Mikromechanische Modellierung von Fasergelege-Kunststoff ... · that cannot be measured on the pure...

Alexander Krimmer

Mikromechanische Modellierung vonFasergelege-Kunststoff-Verbunden auf Basisvon Normprüfungen unter Berücksichtigung

der in-situ-Eigenschaften der Matrix

Alexander Krimmer

Mikromechanische Modellierung vonFasergelege-Kunststoff-Verbunden auf Basisvon Normprüfungen unter Berücksichtigung

der in-situ-Eigenschaften der Matrix

Universitätsverlag der TU Berlin

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Zugl.: Berlin, Technische Universität, Diss., 20131. Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Jürgen Thorbeck2. Gutachter: Dr.-Ing. Volker TrappeDie Arbeit wurde am 28.10. 2013 an der Fakultät V unter Vorsitzvon Prof. Dr.-Ing. Gerhard Hüttig erfolgreich verteidigt.

Das Manuskript ist urheberrechtlich geschützt.Druck: docupoint GmbHSatz/Layout: Alexander Krimmer

ISBN 978-3-7983-2654-5 (print)ISBN 978-3-7983-2655-2 (online)

Zugleich online veröffentlicht auf dem Digitalen Repositoriumder Technischen Universität Berlin:URL http://opus4.kobv.de/opus4-tuberlin/frontdoor/index/index/docId/4440URN urn:nbn:de:kobv:83-opus4-44400[http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:83-opus4-44400]

Zusammenfassung

Faser-Polymermatrix-Verbunde besitzen anisotrope Materialeigenschaften. Um Fa-serverbundstrukturen auslegen zu können, ist die Beschreibung der mechanischenEigenschaften der Materialien notwendig. Zuvor werden diese mechanischen Eigen-schaften üblicherweise in mechanischen Prüfungen gemessen. Auf Basis der so ermit-telten Prüfergebnisse werden anschließend mechanische Modelle der Faserverbund-materialien erstellt.

Um die mechanischen Eigenschaften der Materialien im quasi-statischen Fall be-schreiben zu können, sind aufgrund der Anisotropie in aller Regel mindestens dreiPrüfungen an einem Material notwendig. Dabei werden häufig Schwankungen inder Probendicke und damit im Faservolumenanteil beobachtet. Diese Schwankun-gen ziehen Streuungen in den gemessenen Elastizitäten und Festigkeiten nach sich.Demnach werden Ergebnisse von Prüfungen in einem Materialmodell vereint, die beiunterschiedlichen Faservolumenanteilen ermittelt wurden. Da die mechanischen Ei-genschaften von Faserverbunden stark vom Faservolumenanteil abhängig sind, ent-stehen dabei große Fehler. Dadurch und durch andere Einflüsse wie Porositätenund Winkelabweichungen der Faserhalbzeuge sowie der Einzellagen können deutli-che Streuungen in den Messergebnissen entstehen.

In dieser Arbeit wird die inverse Laminattheorie (ILT) erweitert und zur inversen Be-rechnung der mechanischen Eigenschaften von Faserverbundmaterialien eingesetzt.Das so entwickelte Verfahren wird als Erweiterte Inverse Laminattheorie (EILT)bezeichnet. Auf diesem Wege können beispielsweise Unterschiede in den Faservolu-menanteilen der unterschiedlichen Prüfkörper berücksichtigt werden. Der Zyklus derErmittlung von Materialeigenschaften von Faserverbunden wird dadurch in ein ge-schlossenes analytisch-synthetisches Verfahren überführt, bei dem alle Eingangspa-rameter durch genormte Prüfungen ermittelbar sind. Die Beschreibung der mecha-nischen Eigenschaften erfolgt auf Basis dieses Verfahrens in einem generischen Ma-terialmodell, welches vollständig phänomenologisch basiert ist. Einen wesentlichenSchritt bei der Umsetzung dieses Ansatzes stellt die Entwicklung einer Methode dar,welche eine analytische Berechnung der in-situ-Eigenschaften der Polymermatrix er-möglicht. Als in-situ-Eigenschaften der Matrix werden dabei jene mechanischen Ei-genschaften bezeichnet, die am reinen Polymer nicht messbar sind und infolge derQuerkontraktionsbehinderung der polymeren Matrix durch die in sie eingebettetenFasern entstehen.

Messtechnische Grundlage dieser Vorgehensweise sind mechanische Prüfungen anunterschiedlichen Glasfasergelegeverbunden, die nach gültigen Normen durchgeführtwurden. Das so ermittelte Materialmodell kommt bei der Modellierung und Dimen-sionierung der Struktur von Rotorblättern für Windenergieanlagen zum Einsatz.Daher wurden zur Prüfung Normen verwendet, welche durch die bei der Zertifizie-rung dieser Rotorblätter zugrunde gelegten Richtlinie vorgeschrieben werden. Dasentwickelte Verfahren der EILT führt auf hohe Genauigkeiten bei der Modellierungvon Glasfaserverbunden mit Polymermatrix und ist im Gegensatz zur ILT nur aufEingangsparameter angewiesen, die Ergebnisse normgerechter Prüfungen sind.

Abstract

Fibre-polymer-matrix-composites show anisotropic behaviour. For the prediction ofmechanical properties of fibre-reinforced-plastics structures a model of the mecha-nical properties of the material is required. Prior to modelling these properties aredetermined by mechanical testing. Based on the results a modell of the mechanicalproperties of the material is derived.

Due to the anisotropic behaviour at least three different mechanical coupon testshave to be carried out to determine the quasi-static behaviour of a fibre-reinforcedmaterial. Throughout the manufacturing of the coupons it is impossible to avoida scatter in the fibre volume content of the coupons. Thus mechanical propertiesdetermined at different fibre volume contents are merged within one mechanicalmodel of the material. Due to the fact that the mechanical properties of fibre-reinforced plastics are highly dependent on their fibre volume content a significantdeviation of the model from the real mechanical properties can be the result. Furthera remarkable scatter can result from additional deviations such as void content andmisalignment of either the fibres and the fabric.

Within the scope of this research the inverse laminate theory (ILT) is extendedto enable the inverse calculation of the mechanical properties of fibre-reinforcedplastics. The resulting method is called Extended Inverse Laminate Theory (EILT).Utilising this method the variance of the fibre volume content of the tested laminatescan be taken into account. The cycle of determination of mechanical properties canbe transferred to a fully analytical-synthetical process. The only input parametersrequired can be taken from results of coupon testing based on international testingstandards. The resulting generic material model is completely phenomenologicallybased. An important part of this work is the development of an analytical modelto describe the in-situ-properties of the polymer-matrix. All mechanical propertiesthat cannot be measured on the pure polymer-matrix but are resulting from thetransverse strain-blocking effect of the matrix induced by the incorporated fibresare called in-situ-properties.

Mechanical testing carried out on composites made from non-crimped glass-fibrefabrics with epoxy matrix are the experimental basis of this work. All of the testinghas been carried out based on international testing standards. The resulting materialmodel is utilised for dimensioning, simulation and design of rotor blades for windenergy converters. Thus the testing has been carried out based on standards recom-mended by the guideline used for approval of the rotor blades. The resulting method(EILT) leads to a good correlation between measured and calculated mechanicalproperties of non-crimped glass-fibre-reinforced polymer composites. Further all in-put parameters can be taken from mechanical testing results based on establishedinternational testing standards. This makes it superior compared to the ILT.

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit bei der EUROS GmbHin der Abteilung „Material“ von 2008 bis 2013.

Ermöglicht wurde diese Arbeit durch Herrn Dr. Michael Wolf und Hinrich Graue,denen ich für das in mich und meine Arbeit gesetzte Vertrauen danke. Sie haben mirdie Möglichkeit gegeben, neben meiner täglichen Arbeit und mit deren Ergebnissen,diese Dissertation anzufertigen.

Bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Jürgen Thorbeck, dem Leiter des Fachgebiets Luftfahrzeug-bau und Leichtbau am Institut für Luft- und Raumfahrt der TU Berlin, bedankeich mich für die Begutachtung meiner Dissertation und Anregungen zur Wahl desSchwerpunktes. Darüber hinaus danke ich ihm für grundlegende inhaltliche Hinwei-se. Herrn Prof. Dr.-Ing. Gerhard Hüttig danke ich für die Übernahme des Vorsitzesdes Promotionsausschusses.

Besonders möchte ich mich bei Dr.-Ing. Volker Trappe bedanken. Insbesondere dieinhaltliche Diskussion, sowie die Unterstützung durch Ermittlung von Messdaten fürdas Reinharz waren außerordentlich hilfreich. Darüber hinaus danke ich ihm für dieÜbernahme des Koreferats.

Weiterhin möchte ich mich bei Andreas Nickel und Jan-Peter Schümann für fortwäh-rende kritische Diskussion der Inhalte meiner Arbeit danken. Dadurch wurden einigeErkenntnisse überhaupt erst möglich. Mein Dank gilt weiterhin meinen Kollegen beiEUROS, welche durch das angenehme Arbeitsklima und ihre kritischen Fragestel-lungen wesentlich zum gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Ihnen danke ichaußerdem für den Mut, bestehende Konventionen zu hinterfragen und gegebenenfallszu ignorieren.

Schließlich danke ich meiner Familie für ihre fortwährende Unterstützung.

Berlin, im November 2013 Alexander Krimmer

für Aileen,Levin und Tim

Inhaltsverzeichnis

Nomenklaturverzeichnis xv

1 Einleitung 1

1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Rahmenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Grundlagen und Stand der Technik 9

2.1 Vergrößerungseffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Halbzeuge und Faserverbunde für Rotorblattstrukturen . . . . . . . . 11

2.3 Materialprüfung und Zertifizierung von Rotorblättern . . . . . . . . . 12

2.4 Ursachen für Streuungen von Versuchsergebnissen . . . . . . . . . . . 20

2.5 Grundelastizitäten der Einzelschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Festigkeiten der Einzelschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 Klassische Laminattheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8 Inverse Laminattheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9 Sekundäreffekte in Faserverbunden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.10 Versagenshypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.11 Grenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Analytische Modellbildung 43

3.1 Grundelastizitäten der Einzelschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Festigkeiten der Einzelschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Bestimmung des FVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4 Erweiterte Inverse Laminattheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

xiv Inhaltsverzeichnis

4 Modellvalidierung und Diskussion der Ergebnisse 79

4.1 Durchgeführte Materialprüfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 Übersicht der Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3 FVA-Bestimmung und Korrektur der Messwerte . . . . . . . . . . . . 88

4.4 Eingangsparameter der EILT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.5 Vergleich der Materialmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.6 Vergleich von Modell und Messung für Faser und Matrix . . . . . . . 95

4.7 Vergleich von Modell und Messung an Faserverbunden . . . . . . . . 97

4.8 Bewertung der Modellgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.9 Einfluss von Abweichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 Zusammenfassung und Ausblick 115

Literaturverzeichnis 127

Abbildungsverzeichnis 133

Tabellenverzeichnis 137

A Anhang 139

A.1 In-situ-Modul der Matrix in Faserrichtung . . . . . . . . . . . . . . . 139

A.2 Formänderungsenergiehypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

A.3 Schädigungsbedingung für die Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Nomenklaturverzeichnis

Abkürzungen

Abkürzung Bezeichnung2AX Biaxialgelege3AX Triaxialgelegeasym. asymmetrischausgegl. ausgeglichenBAM Bundesanstalt für Materialforschung und -prüfungCFK Carbonfaser-Kunststoff-VerbundCF CarbonfaserCOV Coefficient of Variation (Variationskoeffizient)DMS DehnmessstreifenEILT erweiterte inverse LaminattheorieES EinzelschichtEK EinzelkomponentenEP EpoxidharzFB FaserbruchFE Finite ElementeFEM Finite Elemente MethodeFMA FasermassenanteilFV FaserverbundFKV Faser-Kunststoff-VerbundFVA FaservolumenanteilGF GlasfaserGFK Glasfaser-Kunststoff-VerbundGL Germanischer LloydGV GelegeverbundHL HandlaminatHT High Tenacity (hohe Zähigkeit oder Zugfestigkeit)ILR Institut für Luft- und RaumfahrtILT inverse LaminattheorieKLT Klassische LaminattheorieKoS KoordinatensystemLTH Luftfahrttechnisches HandbuchMB MatrixbruchNCF Non-Crimp Fabrics (Gelege)nG neue GenerationPES Poly-Ether-SulfonPP PrepregQFM QuadratfasermodellRB RotorblattRTM Resin Transfer MouldingRVE Repräsentatives Volumenelement

xvi Nomenklaturverzeichnis

sym. symmetrischSV SchichtverbundTDS Technical Data Sheet (technisches Datenblatt)TSR Tip Speed Ratio (Schnelllaufzahl)TU Technische UniversitätUD unidirektionalUP ungesättigtes PolyesterharzVaRIM Vacuum-assisted Resin Infusion MouldingVI VakuuminfusionWEA WindenergieanlagenZFB ZwischenfaserbruchZFM Zylinderfasermodell

Lateinische Formelzeichen

Symbol Einheit Bezeichnung[A] N/m Scheibensteifigkeitsmatrix des VerbundesA N/m o. m2 Eintrag der FV-Scheibensteifigkeitsmatrix o. Fläche[B] N Scheiben-Platten-Koppelmatrix des FV[D] Nm Plattensteifigkeitsmatrix des FVD m RotordurchmesserE N/m2 Elastizitätsmodul o. E-ModulF N KraftG N/m2 Gleitmodul o. G-Modul[H] N/m2 Elastizitätsmatrix der Verbundscheibe[Q] N/m2 Modulmatrix der ES im lokalen 1, 2, 3-KoSQ N/m2 o. N Eintrag der lokalen ES-Modulmatrix o. QuerkraftR N/m2 o. m o. - Festigkeit o. Rotorradius o. LastverhältnisS m3 statisches Moment[T ] - TransformationsmatrixV m3 Volumen[a] N/m2 Modulmatrix der ES im globalen Laminat-KoSa N/m2 Einzeleintrag der ES-Modulmatrix im Laminat-KoSb m Probenbreitee - Anstrengungf - Faktorl m Längem Nm Momentenflussvektorm - o. kg Wöhlerlinienexponent o. Massen N/m Normalkraftflussvektorn - Anzahl o. Massenexponent bei der Skalierungq N/m Schubflussr - Radius (dimensionslos)s m Laufkoordinatet m o. h Dicke o. Zeitx, y, z m Koordinaten im globalen kartesischen KoSu, v, w m Verschiebung im globalen kartesischen KoSu m/s Umfangsgeschwindigkeit

Nomenklaturverzeichnis xvii

z m Abstand von der Bezugsebene in z-Richtung des KoS

Griechische Formelzeichen

Symbol Einheit BezeichnungΩ 1/s Drehzahlα Faserwinkelγ - Schubverzerrung, Gleitungε - Dehnungsvektorε - Dehnungκ 1/m Krümmungsvektorκ 1/m Krümmungµ N/m querschnittsbezogener Momentenvektorν - Querkontraktionszahlρ kg/m3 Dichteσ N/m2 Spannungsvektorσ N/m2 Zug-, Druckspannungτ N/m2 Schubspannungϕ - Volumenanteil, Faservolumenanteilψ - Massenanteil, Fasermassenanteil

Indizierung

Hochgestellte Indizes

Symbol Bezeichnung(+) Kennzeichnung von Zug(−) Kennzeichnung von DruckT Transponierte einer Matrix(s) Kennzeichnung von Schub′ Modul mit Berücksichtigung der Querkontraktionsbehinderung˜ Fasereigenschaft unter Berücksichtigung der Ondulation¯ Arithmetischer Mittelwert

Tiefgestellte Indizes

Symbol Bezeichnung‖ parallel zur Faserrichtung im lokalen Scheiben-KoS⊥ senkrecht zur Faserrichtung im lokalen Scheiben-KoS⊥‖ Schubeintrag in der lokalen Scheibenmodulmatrix0 Basiswert einer Größe im globalen KoS0, 45, 90 Betrachtungsrichtung im Gelege-KoSA FlächeB Indiziert die Elastizität der EinspannungCOV Variationskoeffizient

xviii Nomenklaturverzeichnis

D Abweichung zw. Modell und Messung für eine VariableDEV ModellgütezahlF FaserG GelegeGl GlasH HarzM MatrixN NähfadenPl Platte (Probeplatte)S Sekante, Schlichte, Stützfaden, SicherheitsfaktorT Tangentea Amplitudeaero aerodynamischb berechnetblatt Blatt, Rotorblatte Eingangsparametereff effektivf Größen aus einer zyklischen Belastung (von fatigue)ges Gesamtwertg Angabe im Koordinatensystem des Geleges o. globale Angabeh hexagonale Packungi Laufindexk Kalzinierungsprobenkor korrigiertm Wert aus einer Messung o. Mittelspannungmass durch Massen bedingte Größen Gesamtanzahl bspw. der Lagen eines Laminatesnl nichtlinearo indiziert den Orthotropiegradp Platteq quadratische Packung oder weist eine Fläche als Querschnitt ausr reduziertref Referenzs Streifen, Scheibet aus Dicketest Kontrollwertu Ondulationv virtuelle Eigenschaftz Zielwertε Transfomationsmatrix für Dehnungen und Elastizitätenσ Transformationsmatrix für Spannungen und Nachgiebigkeiten o.

Standardabweichung einer Variable

Koordinatensysteme

Symbol Bezeichnungx, y, z Kartesisches KoS eines Verbundes mit x und y in Ebenenrichtung

und z in Dickenrichtung der Probe

Nomenklaturverzeichnis xix

xg, yg, zg Kartesisches KoS des Geleges mit xg in Abrollrichtung‖,⊥ Kartesisches KoS des transversal isotropen Elements mit ‖

in Faserrichtung und ⊥ senkrecht dazu1, 2, 3 Kartesisches KoS der orthotropen ES mit 1 in Faserrichtung, 2

senkrecht zur Faser in der Ebene der ES und 3 in Dickenrichtung

1 Einleitung

In vielen industriellen Anwendungen haben sich Faser-Kunststoff-Verbunde (FKV)als Werkstoffe für hoch beanspruchte Strukturen etabliert. Insbesondere in der Fer-tigung von Rotorblättern für Windenergieanlagen (WEA) werden davon große Vo-lumina mit steigender Tendenz verarbeitet.

FKV haben sich als Werkstoffe für die Fertigung von Rotorblättern von WEA durch-gesetzt, da sie vergleichsweise einfach handhabbar, kostengünstig und weitgehendfrei in der Formgebung sind. Gleichzeitig sind ihre mechanischen Eigenschaften übereinen weiten Bereich variabel und können an die Anforderungen der Tragstrukturangepasst werden. Darüber hinaus bieten sie hohes Leichtbaupotential, da sie beihoher Steifigkeit und Festigkeit eine geringe Dichte aufweisen. Am häufigsten findenderzeit Glasfasern in Epoxidharzmatrix Anwendung. Es wird jedoch auch verstärktder Einsatz von Kohlefasern in den Haupttragstrukturen der Blätter sowie im Wur-zelbereich in Erwägung gezogen und durchgesetzt. Außerdem finden ungesättigtePolyesterharze (UP) und andere polymere Harzsysteme als Matrixwerkstoffe Ver-wendung.

Durch den Konstrukteur werden unterschiedliche Anforderungen an Faserverbund-(FV)-Tragstrukturen gestellt. Diese können beispielsweise Steifigkeits- oder Festig-keitsanforderungen sein. Um diesen genügen zu können, müssen sowohl die mecha-nischen Eigenschaften der FV-Materialien als auch jene der FV-Tragstruktur bere-chenbar sein.

Die Möglichkeiten zur Berechnung von FV-Strukturen sind vielfältig und führenhinsichtlich der Steifigkeitsvorhersagen zu realistischen Ergebnissen. Auch Festig-keitsvorhersagen sind für quasi-statische Belastungsfälle in gewissen Grenzen repro-duzierbar möglich (HKS02a). Eine sehr elegante Möglichkeit zur Berechnung vonAnstrengungen und Sicherheiten von FV hinsichtlich Faserbruch (FB) und Zwi-schenfaserbruch (ZFB) ist beispielsweise das Pucksche Versagenskriterium in Ver-bindung mit der klassischen Laminattheorie (KLT). Durch die phänomenologischeBetrachtungsweise wird dieser Ansatz für den Ingenieur leicht nachvollziehbar undliefert Informationen hinsichtlich der Anstrengungen in FV-Strukturen. Diese sindfür deren Optimierung sehr hilfreich.

1.1 Problemstellung

Um die Anwendung dieser Methoden zu ermöglichen, sind eine Reihe mechanischerMaterialparameter wie E-Modul, Querkontraktionszahl oder Dichte notwendig. Al-lerdings findet die Bestimmung dieser Parameter nicht auf dem gleichen hohen Ni-veau statt, auf dem Strukturberechnung und Materialmodellierung gegenwärtig mög-lich sind. Das gilt nicht nur für die Windenergiebranche, sondern auch im Bereichder Luftfahrt und anderer FV-verarbeitender Industrien.

2 1 Einleitung

Prüfverfahren für FV sind gegenwärtig gut beschrieben und hinsichtlich der Quali-tät ihrer Ergebnisse vielfach bewertet. Trotz einiger geeigneter und genormter Prüf-verfahren lassen sich die Ergebnisse von Materialprüfungen entsprechend gängigerNormen nur in größeren Streubereichen mit bekannten Materialmodellen in Über-einstimmung bringen. In den meisten Fällen ist das nur unter Verwendung semi-empirischer Modellansätze möglich. Das steht im Widerspruch zu der Tatsache, dassdie Streuungen von Versuchen innerhalb einer Probenserie häufig sowohl hinsichtlichSteifigkeit als auch Festigkeit vergleichsweise klein ausfallen. Für diese Fälle scheideteine Argumentation mit der mikroskopischen Inhomogenität der Proben aus.

Als problematisch erweist sich in aller Regel der Vergleich von Messergebnissen un-terschiedlicher Prüfserien an ähnlich gefertigten und bewehrten FV-Proben. Da espraktisch nahezu unmöglich ist, bei unterschiedlichen Probenserien gleiche Faservo-lumenanteile (FVA) einzustellen, werden die Prüfergebnisse mit Hilfe von Mischungs-regeln für Steifigkeiten und Festigkeiten über dem FVA skaliert und verglichen. Imeinfachsten Fall wird beispielsweise die Umrechnung des E-Moduls linear mit derBeziehung

E2 = E1ϕ2

ϕ1

(1.1)

vorgenommen. Dabei treten üblicherweise große Abweichungen auf, da sich zumin-dest die matrixdominierten Eigenschaften von FV nicht linear in Abhängigkeit desFVA verhalten. Das Problem vergrößert sich bei der Verwendung unverwebter Faser-gelege wie in Rotorblattstrukturen zusätzlich, da diese aus mindestens zwei unter-schiedlich gerichteten und vernähten Faserschichten bestehen. Im Folgenden werdendiese allgemein als Gelege bezeichnet. Die mechanischen Eigenschaften der Einzel-schichten (ES) können nicht losgelöst vom Gelegeverbund (GV) bestimmt werden.Verwebte Halbzeuge werden allgemein als Gewebe bezeichnet in dieser Arbeit abernicht betrachtet.

Die Folge der Schwierigkeiten bei der Materialcharakterisierung sind große Unsicher-heiten insbesondere in den Festigkeitsaussagen für die ES, welche durch entsprechendhohe Sicherheitsbeiwerte ausgeglichen werden. Diese muss der Konstrukteur bei derAuslegung von FV-Strukturen berücksichtigen. In der Folge erhöht sich die Mas-se der Struktur, was bei einem Rotorblatt für eine WEA und allen anderen durchEigengewicht belasteten Strukturen zum Schneeballeffekt führt, wodurch sich dieStrukturmassen überproportional erhöhen. Das kann soweit gehen, dass die Struk-turen ihre Realisierbarkeitsgrenze erreichen oder gar überschreiten. Dem kann mitder Verwendung von Werkstoffen mit höherem Leichtbaupotential begegnet werden,wodurch sich in aller Regel die Strukturkosten erhöhen. Alternativ kann eine ge-nauere Kenntnis der mechanischen Eigenschaften der verwendeten Werkstoffe unddamit eine Reduktion der zu verwendenden Sicherheitsfaktoren zielführend sein.

Die Ursachen für Unsicherheiten liegen einerseits in den zur mechanischen Prüfungvon FV verwendeten Normen, die teilweise für die Bestimmung von Materialkenn-werten nur bedingt geeignet sind. Andererseits liegen sie in einer starken Vereinfa-chung der Auswertealgorithmen. Jede Vereinfachung muss im Fall von Näherungenauf der sicheren Seite stattfinden. Dabei wird ständig eine Zunahme der Ungenauig-keiten und damit der Strukturmassen akzeptiert. Darüber hinaus gehen diese Effektenicht immer linear in die Berechnungen ein.

1.1 Problemstellung 3

Dieser Entwicklung wird in einigen Bereichen mit der Verwendung der sogenannteninversen Laminattheorie (ILT) begegnet. Ein entsprechender Ansatz wird von Zeb-di, Boukhili und Trochu (ZBT08) dargestellt. Der Vorteil besteht darin, dassaus mehr oder weniger komplexen Verbundlaminaten durch inverse Anwendung derKLT sogenannte virtuelle ES-Eigenschaften ermittelt werden können. Als ES werdenim Folgenden die unidirektionalen Schichten eines Gewebe- oder Gelegeverbundesbezeichnet, die ausschließlich Fasern eines Typs in einer Richtung enthalten. Als vir-tuell werden all jene mechanischen Eigenschaften bezeichnet, die nicht in direktenVerfahren ermittelt werden können.

Als Nachteil erweist sich, dass die mit diesem Verfahren ermittelten Eigenschaftennur über die kleine Gruppe von Materialkombinationen aussagekräftig sind, an de-nen das Verfahren angewandt wurde. Dabei ist das ermittelte Materialmodell derES sogar auf den FVA festgelegt, der bei der Messung vorgelegen hat. Häufig werdenaber bei der Herstellung von FV-Proben Schwankungen der Probendicke und da-mit des FVA festgestellt. Werden Probenplatten aus unterschiedlichen Halbzeugengefertigt, so werden diese Schwankungen noch größer.

Zur Durchführung der ILT sind allerdings mindestens Prüfungen mit drei unter-schiedlichen Belastungen einer Faser-Matrix-Kombination notwendig. Damit wer-den im einfachsten Fall die Elastizitätseigenschaften in Faserrichtung und quer dazusowie der Schubmodul gemessen. Die mindestens notwendigen Prüfungen sind inAbbildung 1.1 dargestellt.

Abbildung 1.1: Notwendige Prüfungen zur Ermittlung der Elastizitäten einer ES

Durch diese Prüfungen werden neben den Elastizitäten allerdings höchstens die Zug-und Schubfestigkeitseigenschaften für diese Faser-Matrix-Kombination ermittelt. DieFestigkeiten unter Druckbelastung müssen in weiteren Prüfungen bestimmt werden.Darüber hinaus ist es unter den genannten Bedingungen nicht wahrscheinlich, mitdem Verfahren ein konsistentes Materialmodell ermitteln zu können, da mit großerWahrscheinlichkeit Eigenschaften von Materialien mit unterschiedlichen Charakte-ristika in einem Materialmodell vereint werden. Die Erzeugung eines generischenMaterialmodells ist mit dem Verfahren nicht möglich, weshalb auch der Nachweisder allgemeinen Gültigkeit schwer fällt.

Für die Verwendung der zu ermittelnden Materialmodelle in der Ingenieurspraxisist es wünschenswert, mit allgemein anwendbaren, möglichst rein analytisch basier-ten Modellen zu arbeiten. Dadurch wird eine parametrische Optimierung des FVW

4 1 Einleitung

und damit der Struktur vereinfacht. Für die Beschreibung der ES sind daher mi-kromechanische Modelle praktikabel. Weiterhin ist es hilfreich, Versuchsergebnisseaus der industriellen Prüfpraxis direkt mit Materialmodellen vergleichen zu können.Dementsprechend liegt ein wesentlicher Vorteil eines generischen Materialmodellsin der Möglichkeit der Umrechnung von Materialeigenschaften in Abhängigkeit desFVA. Dies wird durch die Tatsache bekräftigt, dass selbst innerhalb eines Bauteilsaus FV die FVA und damit die mechanischen Eigenschaften deutlich schwankenkönnen.

Wenn sich die oben genannten Effekte durch eine exakte Auswertung ohne grobeVereinfachungen mit einem generischen Materialmodell kombinieren lassen und da-durch eine realistische und reproduzierbare Modellierung von FV-Strukturen mög-lich wird, steigt die Aussagesicherheit bei der Steifigkeits- und Festigkeitsvorhersagefür FV deutlich an. Das lässt sich im Idealfall durch den Vergleich mit dem Varia-tionskoeffizienten einer Messung zeigen.

xDEV =

√√√√

1

n− 1

∑

i

(

1 − xm(i)

xb(i)

)2!

≤ xCOV =

√√√√

1

n− 1

∑

i

(

1 − xm(i)

xm

)2

(1.2)

Sofern Gleichung 1.2 erfüllt ist, beschreibt das gebildete Modell die Messdaten bes-ser als eine einfache arithmetische Mittelwertbildung. Die dargestellte Modellabwei-chung xDEV funktioniert dabei vergleichbar einem Variationskoeffizienten. Minde-stens aber ist die dargestellte Modellabweichung geeignet um unterschiedliche para-metrische Modelle für die Beschreibung von FV zu vergleichen und zu bewerten.

Durch eine höhere Vorhersagesicherheit für das Materialmodell lassen sich insbeson-dere im Bereich der Rotorblätter für WEA aber auch im Bereich der Luftfahrzeug-oder anderer FV-Strukturen die Eigenschaften der gewünschten Strukturen sicherervorhersagen. In der Folge ist es denkbar, Sicherheitsfaktoren und damit die Struk-turmassen deutlich zu reduzieren.

1.2 Durchführung

Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines geschlossenen analytisch-synthetischenVerfahrens zur Auswertung von Materialprüfungen an FV und zu deren Modellie-rung. Dies wird unter Weiterentwicklung der inversen Laminattheorie (ILT), durchErweiterung um ein mikromechanisch basiertes Modell der ES erfolgen. Es ermög-licht die Bestimmung der mechanischen Eigenschaften von GV sowie der ES undder ihnen zugrunde liegenden Komponenten Faser und Matrix auf Basis weniger, re-präsentativer Versuche. Dazu wurden Materialprüfungen so durchgeführt, dass dieEigenschaften der ES und ihrer Komponenten aus den Eigenschaften des GV bere-chenbar sind. Es werden ausschließlich Ergebnisse von quasi-statischen Prüfungenbetrachtet. Schließlich wird das Verfahren, welches im Folgenden als Erweiterte In-verse Laminattheorie (EILT) bezeichnet wird, auf ein konsistentes Materialmodellführen, aus dem sich alle geprüften GV mittels der KLT bei unterschiedlichen FVAsynthetisieren und in ihren mechanischen Eigenschaften darstellen lassen. Hierdurchsoll die Aussagegenauigkeit hinsichtlich der mechanischen Eigenschaften von FV-

1.3 Motivation 5

Strukturen in Abhängigkeit des FVA gesteigert werden. Für jeden Schritt wird wei-terhin das Fehlerpotential veranschaulicht und gegebenenfalls werden Möglichkeitenzur Fehlerminimierung aufgezeigt.

Um die Datenbasis für das Verfahren und dessen Bewertung zu erzeugen, wurde anEpoxidharz-Glasgelege-Verbunden für die Anwendung in Rotorblättern für WEA derZyklus der Bestimmung von Materialeigenschaften von FV auf Basis genormter Prü-fungen einmal vollständig durchlaufen. Dabei wurden die Anforderungen der aktuellgültigen Richtlinie des Germanischen Lloyd (GL) zur Zertifizierung von Rotorblät-tern (Gmb10) hinsichtlich der Materialprüfungen, soweit möglich, berücksichtigt.

Eine wesentliche Grundlage der realistischen Modellierung von FV ist die Bestim-mung der in-situ-Eigenschaften der Matrix im Verbund. Diese werden bisher im be-sten Fall überschlägig berücksichtigt. Dazu wird die Matrix als vollständig querkon-traktionsbehinderte Scheibe betrachtet (Sch05). Die im Verbund erhöhten Steifig-keitseigenschaften der Matrix sind als Äquivalent des komplexen dreidimensionalenSpannungszustandes in der Matrix zu verstehen. Sind diese Eigenschaften bekannt,so ist eine verlässlichere analytisch basierte Vorhersage von FV-Steifigkeits- und -Festigkeitseigenschaften möglich, als dies bisher der Fall war. Weiterhin eröffnet sichdadurch die Möglichkeit, Schadensakkumulationsbetrachtungen für die Matrix nacheinem konsistenten Modell durchzuführen. Daher ist ein Zwischenziel die Herleitungeines Berechnungsverfahrens zur expliziten Bestimmung der in-situ-Eigenschaftender Matrix im FV.

Schließlich wird mittels der EILT ein Materialmodell bestimmt, welches in Kapitel 4mit den Ergebnissen der durchgeführten Materialprüfungen verglichen wird. Auf Ba-sis dieses Vergleichs findet eine Bewertung der Güte des ermittelten Materialmodellssowie der EILT als geschlossene Methode statt.

1.3 Motivation

In Zeiten des Ausstiegs aus der Atomenergie zwingt die Endlichkeit fossiler Brenn-stoffvorkommen zu einem Umdenken in der Energiegewinnung. In der Folge findetderzeit eine verstärkte Zuwendung zur Windenergie statt. Insbesondere der Offshore-Markt verspricht dabei riesige Energieerträge.

Die klassische dreiblättrige WEA mit horizontaler Rotorachse hat sich weltweitdurchgesetzt. Mit dem Schritt Richtung Offshore steigen die mechanischen Anforde-rungen an die Anlagen und im Besonderen an die Rotorblattstrukturen. Gleichzeitigkönnen einerseits auftretende Lasten noch nicht mit hinreichender Sicherheit ab-geschätzt werden. Andererseits werden längere Wartungsintervalle gefordert, da dieLogistik in Entfernungen um 50 km von der Küste sowie extreme WetterbedingungenWartungsarbeiten an Offshore-Anlagen deutlich erschweren und zeitlich einschrän-ken.

Zusätzlich zeichnet sich die Tendenz zu immer größeren Rotordurchmessern ab, umden Energieertrag weiter zu erhöhen. Dabei geht der Rotorradius quadratisch indie Rotorfläche ein und entsprechend vergrößert sich der Ertrag. Folglich ist eineständige Vergrößerung sowohl von Prototypen- als auch von Serienanlagen zu beob-achten. Die größten Serienanlagen weisen heute Rotordurchmesser von 126 m auf.

6 1 Einleitung

Abbildung 1.2 zeigt die Entwicklung der Nennleistung von WEA mit Bezug auf dendeutschen Markt seit 1988. Außerdem ist die Entwicklung der installierten Leistungin Deutschland dargestellt, welche durch Einbeziehung älterer installierter Anlagenstets unterhalb der Nennleistung aktueller Anlagen liegt.

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 0910

1

102

103

104

Jahr

Nennleistung/kW

WEAMittlere installierte LeisungTrend der Nennleistung 6.442 · 10−5x2

− 93.2x+ 3.381 · 107

Abbildung 1.2: Entwicklung der Nennleistung bis einschließlich 2009 (Gra11)

Es ist deutlich zu erkennen, dass sich die Nennleistung der entwickelten WEA seit1988 stetig vergrößert. Dies ist unter Anderem mit einer Vergrößerung der Rotor-durchmesser und damit mit einer Verlängerung der Rotorblätter möglich.

Die im Folgenden referenzierten Vergrößerungseffekte gelten für Anlagen mit Drei-aber auch mit Ein- (bspw. Monopteros MBB) oder Zweiblattrotoren (bspw. Gro-WiAn). Unter Berücksichtigung von bestimmten Randbedingungen kann ein Rotor-blatt in seiner Geometrie linear skaliert werden. Der wesentliche Skalierungsparame-ter ist die Schnelllaufzahl (engl. tip speed ratio, TSR) im Auslegungspunkt. Sie istdefiniert als das Verhältnis von Geschwindigkeit der Anströmung an der Blattspit-ze zu Windgeschwindigkeit und muss bei der Skalierung konstant gehalten werden,um aerodynamische Ähnlichkeit gewährleisten zu können. In Abbildung 1.3 ist dieSkalierung eines Rotorblattes nach dieser Regel schematisch dargestellt.

Abbildung 1.3: Skalieren mit konstanter Blattspitzengeschwindigkeit

Bei der Skalierung unterliegen die Blätter sogenannten Vergrößerungseffekten. Diesist auf das Verhältnis von Länge zu Oberfläche und Volumen bei der affinen Ver-größerung zurückzuführen. Entsprechende Effekte wurden zuerst durch Galilei in

1.4 Rahmenbedingungen 7

(Gal38) dargestellt und werden allgemein als square-cube-law bezeichnet. Die Folgesind stetig steigende Anforderungen an das verwendete Material. Auf die Ursachendafür wird in Kapitel 2.1 detaillierter eingegangen.

1.4 Rahmenbedingungen

Für die Erweiterung der Fertigung von Rotorblättern für WEA bei der Firma EU-ROS ist der Wechsel des Fertigungsverfahrens vom Handlaminierverfahren (HL-Verfahren) hin zum Vakuuminfusionsverfahren (VI-Verfahren) geplant und teilweisevollzogen. Zur Vorbereitung dieses Wechsels wurden Prüfungen an den bei EUROSverwendeten Glasfasergelegen in großem Umfang durchgeführt. Diese Materialprü-fungen wurden mit unterschiedlichen Harzsystemen durchgeführt und stellen dieprüftechnische Grundlage dieser Arbeit dar.

Bisher wurde bei der EUROS GmbH ein mechanisches Modell der ES eines Gelegesmit Hilfe von Anpassungsparametern mit den Versuchsergebnissen in Übereinstim-mung gebracht. Aus dieser ES konnten dann die mechanischen Eigenschaften vonähnlichen GV mit gleichem Roving und gleicher Harzmatrix synthetisiert werden.Mit diesem Verfahren ließen sich Ergebnisse von Materialprüfungen gut abbilden,allerdings weist es Ungenauigkeiten auf, da die Anpassung des Modells mit physika-lisch schwer oder nicht begründbaren Parametern erfolgte.

Ein Ziel dieser Arbeit ist es, die Verwendung von empirischen und semi-empirischenAnpassungsparametern zu vermeiden. Eine wesentliche Grundlage korrekter Model-lierung der mechanischen Eigenschaften ist die genaue Kenntnis der bei den Prü-fungen vorliegenden FVA. Auf diesen Punkt wird detailliert eingegangen, da hiereine wesentliche Ursache für die schlechte Vereinbarkeit von Messergebnissen undMaterialmodellen vermutet wird.

Entsprechend der GL-Richtlinie in ihrer seit 2010 gültigen Fassung (Gmb10) sindan allen im Rotorblatt verwendeten GV Prüfungen unterschiedlicher Art erforder-lich. Diese Prüfungen werden üblicherweise entsprechend einer vorgegebenen Normdurchgeführt. Um einerseits die Zertifizierung von Rotorblättern nicht zu gefährdenund andererseits die Anwendung der im Folgenden entwickelten Methode einfach zuhalten, werden innerhalb der EILT ausschließlich Ergebnisse normgerechter Prüfun-gen verwendet.

2 Grundlagen und Stand der Technik

In diesem Kapitel werden, zusammengefasst unter dem Oberbegriff Vergrößerungs-effekte, die Ursachen der steigenden Materialbeanspruchungen in FV-Rotorblätternfür WEA dargestellt. Daraufhin werden die Grundlagen der Materialprüfung im All-gemeinen und die Besonderheiten der FV-Prüfung betrachtet. Weiterhin wird aufAuswertemethoden wie Bestimmung von FVA und E-Moduli im Detail eingegan-gen. Außerdem wird die wesentliche ingenieurmäßige Berechnungsmethode für FV,die Klassische Laminattheorie (KLT), vorgestellt. Darüber hinaus wird ein Über-blick über gängige Mischungsregeln für Elastizitäten und Festigkeiten in FV gege-ben, wobei auf deren Grenzen hingewiesen wird. In diesem Rahmen werden gängigeVerfahren zur Berücksichtigung der Querkontraktionsbehinderung der Harzmatrixaufgezeigt. Zusätzlich wird ein Weg zur Berücksichtigung der Nichtlinearität derHarzmatrix in FV dargestellt. Damit wird die Grundlage für die Entwicklung desangestrebten Verfahrens gelegt. Es wird deutlich gemacht, in welchen Bereichen Er-weiterungen der bestehenden Verfahren notwendig sind, um die Schritte von derinversen Laminattheorie (ILT) hin zur Erweiterten Inversen Laminattheorie (EILT)möglich zu machen.

2.1 Vergrößerungseffekte

Das sogenannte square-cube-law beschreibt einen Skalierungseffekt. Dieser sagt aus,dass die Oberfläche eines affin zu vergrößernden Gegenstandes quadratisch (engl.square), sein Volumen jedoch kubisch (engl. cube) mit seiner Länge ansteigt. DieMasse des Körpers ist direkt von seinem Volumen abhängig und steigt damit eben-falls in der dritten Potenz der Länge (Gal38).

Die Belastungen eines Rotorblattes setzen sich im Wesentlichen aus aerodynami-schen Kräften Faero und Massenkräften Fmass zusammen. Wird die aerodynamischeMaßzahl bei der Vergrößerung des Rotorblattes, der TSR, konstant gehalten, sokönnen alle geometrischen Verhältnisse ebenfalls konstant gehalten werden. Die ae-rodynamischen Lasten steigen linear mit der projizierten Fläche A und quadratischmit der Länge l des Rotorblattes an. Reynoldszahleffekte werden für diese verein-fachte Betrachtung vernachlässigt.

Faero ∼ A ∼ l2 (2.1)

Die Massenkräfte Fmass hängen linear mit dem Volumen V zusammen und sinddamit kubisch abhängig von der Länge l des Rotorblattes.

Fmass ∼ V ∼ l3 (2.2)

10 2 Grundlagen und Stand der Technik

Gleichzeitig steigt der Querschnitt Aq, über den die Kräfte abgetragen werden, qua-dratisch mit der Länge l an. Folglich bleiben die Spannungen aus den aerodynami-schen Lasten des Rotorblattes konstant, während die Spannungen aus Massenkräftenlinear ansteigen.

FaeroAq

= σaero = const. undFmassAq

= σmass ∼ l (2.3)

Daraus folgt, dass den ansteigenden Spannungen aus den Massenkräften unter Ver-wendung des gleichen Materials mit einer Querschnittsvergrößerung begegnet werdenmuss. Das wiederum bedeutet, dass die Herausforderung bei der Vergrößerung vonWindkraftanlagen in der Vergrößerung selbst liegt, die zukünftig nur durch konse-quenten Leichtbau möglich ist. Dies gilt insbesondere dann, wenn der Forderung nacherhöhter Zuverlässigkeit im Hinblick auf Offshore-Anwendungen Rechnung getragenwerden soll. Die Entwicklung der Massen von Rotorblättern bei der Vergrößerunglassen sich mit dem folgenden Zusammenhang beschreiben.

mblatt ∼ ln mit n = [2.2...2.8] (2.4)

Dies ist das Ergebnis statistischer Betrachtungen. Deren grafische Darstellung istin Abbildung 2.1 zu finden. Es ist die Entwicklung der Rotorblattmasse mblatt überdem Rotordurchmesser D aufgetragen. Dabei werden unterschiedliche Bauweisenund Materialkombinationen getrennt betrachtet. Die Bauweisen repräsentieren denTechnologiestand unterschieden nach alter und neuer Generation. Innerhalb der al-ten Generation kommt es zu Entwürfen mit geringer relativer Blattdicke, hohenBlatttiefen und hohen Lasten. Die neue Generation (nG) zeichnet sich dadurch aus,dass möglichst viel Ertrag erzielt wird, was in erster Linie durch große Blattlängenerreichbar ist. Dazu ist es notwendig, die Blätter sehr steif zu bauen. Dies führtauf die Verwendung von Profilen mit höherer relativer Dicke, um die Bauhöhe unddamit das Flächenträgheitsmoment im Querschnitt der Blätter zu erhöhen. Damitverringert sich zwar der maximale Leistungsbeiwert der Blätter, allerdings wird aufeiner größeren vom Wind durchströmten Fläche Windenergie umgewandelt. Für diebeispielhaft genannten Rotorblätter alter Generation in Glas-Epoxy-Bauweise wurdeein Massenexponent bei der Skalierung von n = 2.79 ermittelt.

Die Kombination von Carbonfasern (CF) und Epoxidharz (EP) kommt derzeit inerster Linie in den Zentralgurten der Rotorblattstruktur zum Einsatz. Es ist in allenFällen zu erkennen, dass die Massen der Rotorblätter innerhalb einer Variante miteiner Materialkombination stark anwachsen. Damit steigen auch die Belastungender verwendeten Materialien. Dem kann durch konsequenten Leichtbau begegnetwerden. In der komplexen Konstruktion Rotorblatt lassen sich vielfältige Leicht-baupotentiale identifizieren. Im Folgenden wird jedoch insbesondere auf jene derFV-Prüfung und -Modellierung eingegangen. Die Effekte von Vergrößerungen amBeispiel von Rotorblättern für WEA sind in (GT11) ausgeführt und vermitteln ein-drucksvoll den Bedarf nach Leichtbau in dieser Anwendung.

2.2 Halbzeuge und Faserverbunde für Rotorblattstrukturen 11

0 20 40 60 80 100 120 140 16010

−2

10−1

100

101

102

D / m

mblatt/t

GF-UPGF-UP nGGF-EPGF-EP nGGF-CF-EP nGGF-UP fit 4.624 · 10−5x2.234

GF-UP nG fit 1.007 · 10−5x2.504

GF-EP fit 3.36 · 10−5x2.79

GF-EP nG fit 3.74 · 10−4x2.215

GF-CF-EP nG fit 2.43 · 10−4x2.316

Abbildung 2.1: Entwicklung der Blattmassen über dem Rotordurchmesser

2.2 Halbzeuge und Faserverbunde für Rotorblattstrukturen

Bei FV handelt es sich um ein Stoffgemisch aus einem Faser- und einem Matrixma-terial. Die Kombination dieser beiden sehr unterschiedlichen Materialien ermöglichtdie Herstellung von FV, die den Einzelkomponenten hinsichtlich ihrer mechanischenEigenschaften weit überlegen sind.

Die Fasern liefern in ihrer Längsrichtung Zugsteifigkeits- und Zugfestigkeitseigen-schaften, die Größenordnungen über denen der üblicherweise isotropen Matrix lie-gen. Während dessen sorgt die Matrix für deren Stützung unter Druckbelastungund ermöglicht die Einleitung äußerer Kräfte sowie die Formgebung der FV. Weiter-hin schützt die Matrix die in sie eingebetteten Fasern vor äußeren chemischen oderwitterungsbedingten Einflüssen. In der Regel stellen die Fasern in sinnvoll dimen-sionierten FV die haupttragenden Elemente dar. Sie kommen in unterschiedlichenHalbzeugen vorkonfektioniert zur Anwendung. Ein beispielhafter Überblick verfüg-barer Halbzeuge ist in Tabelle 2.1 dargestellt.

Halbzeug Bewährung Bindungsart Prepreg (Vorimprägnierung)

Direktroving uniaxial keine möglichGewebe biaxial verwebt möglichGelege multiaxial unverwebt, vernäht möglich

Tabelle 2.1: Beispiele für Faserhalbzeuge

In dieser Arbeit liegt der Fokus auf Gelegen. Daher wird ihr Aufbau nachfolgendkurz erläutert. In Abbildung 2.2 ist ein Gelege dargestellt, wie es in der Fertigungvon Rotorblättern Verwendung findet. Hier handelt es sich um ein triaxiales (3AX)-Gelege mit angedeuteter Trikotbindung und einer Armierung in 0-Richtung sowiein ±45-Richtung. Die Ausrichtung wird gemessen an der Fertigungsrichtung desGeleges, welche im Folgenden als xg-Achse des xg, yg, zg-Koordinatensystems (KoS)bezeichnet wird.


Abbildung 2.2: Schematische Darstellung eines 3AX-Geleges

Ein wesentlicher Vorteil bei der Verwendung dieser Art von Halbzeugen im Vergleichzu Geweben, ist deren geringe Faserondulation. Während Kett- und Schussfaden beiGeweben in unterschiedlicher Regelmäßigkeit über oder unter den jeweils anderenlaufen, werden die ES von Gelegen ohne gegenseitige Überkreuzung aufeinander ge-schichtet. Dadurch werden Ondulationen der Verstärkungsfasern gering gehalten,was zu hohen Steifigkeiten und Festigkeiten im GV führt. Derartige Gelege werdenauch als non-crimp fabrics (NCF) bezeichnet. Es ist möglich, Gelege mit vergleichs-weise hohen Flächenmassen zu verarbeiten, was zu erhöhter Effizienz beim Belegender Formen im Rotorblattbau führt. In einem Schritt werden gleich mehrere Faser-richtungen in das Bauteil eingebracht, deren Anordnung zueinander im Gelege durchNähfäden fixiert ist. Dadurch kann sichergestellt werden, dass die durch den Kon-strukteur festgelegten Faserwinkel im Bauteil bei der Produktion auf wenige Gradgenau eingehalten werden können.

Gelege können unter anderen im Handlaminier- (HL), im Vakuuminfusions- (VaRIM– Vacuum-assisted Resin Infusion Moulding oder VI) und im Prepreg- (PP) Verfah-ren eingesetzt werden. Für weitere Informationen zu Fertigungstechnologien für FVsei an dieser Stelle (Bar11) empfohlen.

2.3 Materialprüfung und Zertifizierung von Rotorblättern

In diesem Abschnitt wird zunächst allgemein auf die Grundlagen der Materialprü-fung sowie die Besonderheiten bei der Prüfung von FV eingegangen. Schließlichwerden die notwendigen Materialprüfungen zur Zertifizierung von Rotorblattkon-struktionen genauer betrachtet.

Grundsätzlich werden Materialprüfungen durchgeführt, um die mechanischen Ei-genschaften von Konstruktionsmaterialien zu bestimmen. Die wichtigsten sind qua-si-statisch bestimmte E-Moduli, Festigkeitseigenschaften, Dehnungsverhalten undDichten von Werkstoffen. Darüber hinaus finden auch Temperaturdehnung, Feuch-tedehnung, Glasübergangstemperatur (TG) und die Eigenschaften infolge zyklischerBelastung Eingang in den ingenieurmäßigen Auslegungsprozess von Strukturen.

Dabei ist es wünschenswert, wenn einerseits die Prüfungen mit geringem Aufwanddurchgeführt werden können. Andererseits sollen sie möglichst reproduzierbare Er-

2.3 Materialprüfung und Zertifizierung von Rotorblättern 13

gebnisse liefern und das reale Verhalten der Materialien beschreiben können. Indieser Arbeit sollen die quasi-statisch zu ermittelnden Elastizitäts- und Festigkeits-eigenschaften der betrachteten GF-EP-GV im Mittelpunkt stehen. Daher wird vorallem auf die Besonderheiten der Elastizitäts- und Festigkeitsermittlung im quasi-statischen Bereich eingegangen. Dieser ist dadurch definiert, dass die Dehnungsän-derungen der geprüften Materialien mit genügend kleinen Dehnraten stattfinden,sodass beispielsweise Progression der Materialien keinen Einfluss hat. Progressionbeschreibt den Effekt, dass mit einem Dehnungszustand korrespondierende Span-nungen mit der Dehnrate ansteigen. Die entsprechend zu wählenden Prüfgeschwin-digkeiten sind in den zugrunde gelegten Prüfnormen festgeschrieben.

Auf dynamische und zyklische Prüfungen wird nur am Rande eingegangen. Bereitsbei der quasi-statischen Prüfung treten in der Realität auch bei isotropen Materialiennichtlineare Effekte und Abhängigkeiten von der Prüfgeschwindigkeit auf. Hier iststets ein Kompromiss aus Einfachheit der Prüfung und Exaktheit der Messergebnissegefordert. Allerdings ist dieser offenbar weit einfacher für isotrope Materialien zufinden, als für orthotrope oder FV.

Prüfung isotroper Materialien

Die Prüfung isotroper Materialien hinsichtlich Ihrer Dehnungs-, Elastizitäts-, und Fe-stigkeitseigenschaften ist vergleichsweise einfach. Im Rahmen einer einzigen Prüfunglassen sich E-Modul, Querkontraktionszahl und Streck- bzw. Dehngrenze ermitteln.Damit lassen sich im besten Fall der G-Modul des Werkstoffs sowie allgemein dieFestigkeit berechnen. Mit diesen mechanischen Eigenschaften ist der Werkstoff unterAnnahme linearer Elastizität vollständig bestimmt.

Prüfung von Faserverbunden für Rotorblätter

FV setzen sich aus verschiedenen Komponenten zusammen, die unterschiedliche Ei-genschaften besitzen. Nicht nur deren Unterschiedlichkeit, auch ihr Volumenverhält-nis sowie ihre Bindung untereinander sind für die Eigenschaften eines FV bestim-mend. Aufgrund dieser Einflüsse besitzen FV eine stark heterogene Struktur mitausgeprägtem orthotropem Charakter. Um den Mess- und Berechnungsaufwand ge-ring zu halten, werden sie makroskopisch als quasi-homogene Werkstoffe betrachtet.

Üblicherweise sind FV aus mehreren ES aufgebaut. Deren lokale Eigenschaften be-einflussen die globalen Eigenschaften des FV. Es ist dementsprechend nicht ausrei-chend, die makroskopischen Eigenschaften eines FV zu ermitteln. Auch die Eigen-schaften der ES müssen bekannt sein, um das Verhalten des FV hinreichend genaubeschreiben oder vorhersagen zu können.

Grundsätzlich können die Elastizitätseigenschaften und quasi-statischen Festigkei-ten der als quasi-homogen angenommenen ES mit Hilfe weniger Versuche bestimmtwerden. Im Gegensatz zu isotropen Werkstoffen sind dazu allerdings nach heutigemKenntnisstand drei Prüfungen notwendig. Eine dient der Ermittlung der Elastizi-täts- und Festigkeitseigenschaften in Faserrichtung, die zweite der Bestimmung dergleichen Eigenschaften in Richtung quer zur Faser und die dritte der Ermittlungdes Schubmoduls und der Schubfestigkeit der ES, wie in Abbildung 2.3 dargestellt.


Bei der Prüfung von GV mit vernähten ES ist die Ermittlung der Eigenschaften soeinfach nicht möglich.

Abbildung 2.3: Prüfungen zur Charakterisierung der ES

Zertifizierung von Rotorblättern

Die Richtlinie zur Zertifizierung von Rotorblättern für WEA des GL in ihrer gül-tigen Fassung von 2010 (Gmb10) ist eine mögliche Grundlage der Zertifizierungvon Windturbinen im Allgemeinen und von Rotorblättern für Windkraftanlagenim Besonderen. Darin werden sowohl Nachweis- und Berechnungsmethoden für dieAuslegung und den Nachweis von Sicherheiten für Rotorblattstrukturen als auch diedafür erforderlichen Materialprüfungen festgelegt.

Für FV werden die Bestimmung der ES-Eigenschaften hinsichtlich Elastizität undFestigkeit in den relevanten Richtungen, als auch der Nachweis der GV-Eigenschaf-ten aller verwendeten Gelege gefordert. Die für die Zertifizierung von Rotorblät-tern notwendigen Materialprüfungen sind laut (Gmb10) von für diese Prüfungenakkreditierten Prüfinstituten, mindestens aber von durch den GL benannten Stellendurchzuführen.

Zugprüfung von Faserverbunden

Grundlage der Zugprüfung von FV zur Zertifizierung von Rotorblättern sind unter-schiedliche DIN-Prüfnormen. Für die Zugprüfung in Faserrichtung ist in der GL-Richtlinie (Gmb10) DIN EN ISO 527-5A (Ne97b) vorgegeben. Gültig ist diese so-wohl für GFK als auch für CFK unabhängig davon, ob es sich bei dem zu prüfendenMaterial um Direktroving-, Prepreg- oder GV handelt.

In diesem Fall wird der E-Modul der zu prüfenden Probe als Sekantenmodul be-stimmt. Grundlage sind die vorliegenden Spannungen bei Längsdehnungen von ε1 =0.05 % und ε2 = 0.25 %. Das Verhalten der Probe bleibt für GFK bis zum Versagen,welches schlagartig eintritt, annähernd linear elastisch. Es besteht folglich kein Zwei-fel über die Versagensspannung der Probe. Ein Beispiel für eine Zugprüfung an einerUD-GV-Probe ist in Abbildung 2.4 in Form eines Spannungs-Dehnungs-Diagrammsdargestellt.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

200

400

600

800

1000

ε / %

σ/MPa

UD-Z0-1Spannung und Dehnung beim VersagenPunkte zur Bestimmung der Modulsekante

Abbildung 2.4: Zugspannungs-Dehnungs-Diagramm UD-GV in Faserrichtung

Für die Prüfung in Querzugrichtung wird DIN EN ISO 527-5B für GFK und DINEN 2597 (Ne98a) für CFK in der GL-Richtlinie vorgeschrieben. Hier wurde materi-albedingt nach ersterer geprüft. Sofern die Querarmierung des zu prüfenden Gelegesleicht genug ist, tritt auch hier das Versagen schlagartig ein. Die Versagensspannungist demnach eindeutig festgelegt. Dies ist bei den in dieser Arbeit geprüften UD-Gelegen mit 3 % Anteil der Flächenmasse als Querarmierungen noch der Fall, wiein Abbildung 2.5 zu erkennen ist. Hier ist das Spannungs-Dehnungs-Diagramm ei-ner Quer-Zugprüfung an einem UD-GV dargestellt. Entsprechend wird in (Gmb10)gefordert, dass der Anteil der Querarmierung bei der Zug- und Druckprüfung querzur Hauptverstärkungsrichtung 5 % der Flächenmasse des Geleges nicht übersteigendarf. Dies gilt dann, wenn die Prüfung gleichzeitig der Ermittlung der mechanischenEigenschaften der ES dienen soll. Der E-Modul der zu prüfenden Probe wird wie-derum als Sekantenmodul bestimmt. Es liegen die gleichen Dehnungen wie in derLängszugprüfung zugrunde.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

10

20

30

40

50

60

ε / %

σ/MPa

UD-Z90-1Spannung und Dehnung beim VersagenPunkte zur Bestimmung der Modulsekante

Abbildung 2.5: Zugspannungs-Dehnungs-Diagramm UD-GV quer zur Faserrichtung


Multiaxial-GV, hier 2AX- und 3AX-GV, wurden nach DIN EN ISO 527-4 (Ne97a)geprüft. Zur Validierung des Materialmodells ist bei den 3AX-GV die Prüfung inHauptverstärkungsrichtung hinreichend.

Druckprüfung von Faserverbunden

Druckprüfungen von FV für die Zertifizierung von Rotorblättern werden für GFK,konform mit der GL-Richtlinie (Gmb10), nach DIN EN ISO 14126 (Ne00) durchge-führt. Diese gilt für UD-GV sowohl in Faserrichtung als auch quer dazu. Hier werdenzur Bestimmung des E-Moduls wiederum die gleichen Dehnungswerte wie bei derZugprüfung nach DIN EN ISO 527-5 verwendet. In Abbildung 2.6 ist das Spannungs-Stauchungs-Diagramm einer Längs-Druckprüfung am UD-GV dargestellt.

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0−900

−800

−700

−600

−500

−400

−300

−200

−100

0

ε / %

σ/MPa

UD-D0-1Spannung und Dehnung beim VersagenPunkte zur Bestimmung der Modulsekante

Abbildung 2.6: Druckspannungs-Dehnungs-Diagramm UD-GV in Faserrichtung

Abbildung 2.7 zeigt das Spannungs-Stauchungs-Diagramm einer Quer-Druckprüfungam UD-GV. Es ist zu beobachten, dass die Spannungen sich bei der Prüfung querzur Faserrichtung bis zum Versagen über der Stauchung sichtbar degressiv verhalten.

Für unidirektionale CFK-Verbunde hingegen werden die Druckprüfungen in Faser-richtung nach DIN EN 2850 (Ne98c) gefordert. Die Modulsekante wird nach dieserNorm entweder stauchungsabhängig zwischen ε1 = 0.1 % und ε2 = 0.5 % oder last-abhängig zwischen 1/10 und 1/2 der Bruchlast angelegt.

Die Durchführung der Druckprüfung nach DIN EN ISO 14126 wird bevorzugt, da dieStauchungen zur Bestimmung der Modulsekante in dieser Norm den Dehnungen zurBestimmung der Modulsekante in der Zugprüfnorm DIN EN ISO 527 entsprechen.Dadurch werden verfahrensbedingte Abweichungen zwischen Druck- und Zug-E-Mo-dul klein gehalten. Je größer die Dehnungen oder Stauchungen werden, desto stärkerkommt die Nichtlinearität der Proben zum Tragen. Diese wird auch von Möller(Möl11) beschrieben, allerdings ist ihre Ursache nicht geklärt. Es wird vermutet, dasssie auf Ondulationen der Fasern zurückzuführen ist. Darüber hinaus wurde DIN EN2850 im Juni 2011 zurückgezogen, da das Projekt beim Europäischen Komitee fürNormung (Comité Européen de Normalisation - CEN) eingestellt wurde.


−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

ε / %

σ/MPa

UD-D90-1Spannung und Dehnung beim VersagenPunkte zur Bestimmung der Modulsekante

Abbildung 2.7: Druckspannungs-Dehnungs-Diagramm UD-GV quer zur Faserrich-tung

Schubprüfung von Faserverbunden

Derzeit werden Schubprüfungen im Rahmen der Zertifizierung von Rotorblättern imallgemeinen nach DIN EN ISO 14129 (Ne98d) durchgeführt. Alternativ dazu kommtdie ASTM D7078 (AiM05) zur Anwendung. Ein weiterführender Überblick ist in(Bas11) zu finden, wo die Schubkennwertermittlung umfassend analysiert wurde.

Bei der Prüfung nach DIN EN ISO 14129 handelt es sich um eine Schubzugprüfung.Damit sollen intralaminare Schubeigenschaften bestimmt werden. Bei symmetrischausgeglichenen ±45-Winkellaminaten lassen sich die Längsspannungen in der Probein intralaminare Schubspannungen in der ES umrechnen. Dies folgt aus der Rich-tungstransformation des globalen Spannungsvektors in das ES-KoS. Zwar handeltes sich um einen kombinierten Spannungszustand, jedoch liegt genau die halbe Pro-benlängsspannung als mittlere Schubspannung in der ES vor.

τ⊥‖ =σx2

(2.5)

Weiterhin wird die Längs- und die Querdehnung der Proben gemessen. Daraus lässtsich die Schubverzerrung und damit der Schubmodul G⊥‖ bestimmen.

G⊥‖ =τ⊥‖ (γ2 = 0.5 %) − τ⊥‖ (γ1 = 0.1 %)

γ2 = 0.5 % − γ1 = 0.1 %mit γ = εx − εy (2.6)

Für die Schubmodulbestimmung wäre das akzeptabel. Allerdings verhalten sich Pro-ben aus ±45-GF-Winkellaminat relativ stark nichtlinear. Zusätzlich nimmt dieQuerkontraktionszahl νyx ausgehend von einem Wert von νyx ≈ 0.6 mit der Dehnungder Probe in Prüfrichtung zu. Wird der Schubmodulbestimmung am gleichen Win-kellaminat eine Prüfung nach DIN EN ISO 527-4 (Ne97a) zugrunde gelegt, bei der dieDehnungen zur Bestimmung des Sekantenmoduls mit ε1 = 0.05 % und ε2 = 0.25 %angegeben werden und führt die Schritte nach Formeln 2.5 und 2.6 analog aus, so


ergeben sich höhere G⊥‖-Moduli. Das Schubspannungs-Verzerrungs-Diagramm einerSchubzugprüfung nach DIN EN ISO 14129 ist in Abbildung 2.8 dargestellt. Abbil-dung 2.9 zeigt die Ergebnisse des selben Versuchs, ausgewertet nach DIN EN ISO527-4.

0 1 2 3 4 5 6 70

10

20

30

40

50

60

γ / %

τ/MPa

2AX45-12-Z0-1Schubspannung und Verzerrung beim VersagenPunkte zur Bestimmung der Modulsekante

Abbildung 2.8: Schubspannungs-Verzerrungs-Diagramm ±45-2AX-GV

Da sich die Probenkörper in beiden Normen gleichen, ist lediglich das Auswertever-fahren zu adaptieren.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

20

40

60

80

100

120

ε / %

σ/MPa

2AX45-12-Z0-1Spannung und Dehnung beim VersagenSpannung und Dehnung bei 2

3EPunkte zur Bestimmung der Modulsekante

Abbildung 2.9: Zugspannungs-Dehnungs-Diagramm ±45-2AX-GV

Die Schubfestigkeit wird in DIN EN ISO 14129 als der Schubspannungswert bei Er-reichen einer Schubverzerrung von 5 % definiert, sofern das Versagen der Probe nichtvorher eintritt. Bei der Prüfung kann für Proben mit etwa 55 % FVA bereits ab ei-ner Schubverzerrung um 0.7 % eine Eintrübung der glasklaren, infundierten Probenbeobachtet werden. Dies ist ein Anzeichen für das Auftreten von Schädigungen derMatrix vor dem Eintreten des Totalversagens. Weiterhin ist diese Schädigung nicht


durch reine Schubbeanspruchung, sondern durch einen kombinierten Spannungszu-stand verursacht.

Die Schubspannung in der Probe muss an den Probenrändern gleich Null sein. Umnun eine im Querschnitt der Probe konstante Längsspannungsverteilung darstellenzu können, muss entsprechend eine Überhöhung der Querzugspannung zu den Rän-dern der Probe hin vorliegen. Die Verhältnisse sind schematisch in Abbildung 2.10dargestellt.

Abbildung 2.10: Schematische Darstellung des Schubflusses im Probenquerschnitt

Eine Probe nach DIN EN ISO 14129 wird entlang der Schnittebene A–B unter demWinkel α geschnitten. Auf der Schnittebene wird eine Laufkoordinate s definiert.Entsprechend (Wie07) berechnet sich das statische Moment der Schnittfläche durch

S (s) =∫

A

zdA = t∫

s

zds mit dA = tds (2.7)

Dabei beschreibt z den Abstand von der Probenmitte entlang der Schnittfläche. DerSchubfluss folgt dann aus

q (s) =QS (s)

Imit Q = Fx cosα und I = t

(

b

cosα

)3

(2.8)

Daraus folgt für die Probenmitte eine 1.5-fache Überhöhung der Schubspannung.Insgesamt muss festgestellt werden, dass mit dem in DIN EN ISO 14129 definier-ten Festigkeitswert mit Sicherheit keine ZFB-Grenze hinsichtlich Schub in der Pro-be bestimmt wird. Basan macht in seiner Arbeit (Bas11) einen an Schubrahmen-prüfungen optimierten, empirisch basierten Vorschlag, wonach als ZFB-Grenze jeneSchubspannung gewertet wird, bei der der Sekantenmodul genau 2/3 des Normse-kantenmoduls entspricht.


R(s) = τ(

ES =2

3E)

(2.9)

Der nach diesem Verfahren ermittelte Punkt ist in Abbildung 2.9 mit einem gleich-seitigen Dreieck markiert. Im Verlauf dieser Arbeit wird ein alternatives Verfahrendargestellt, welches allerdings mit dem 2/3-Verfahren verglichen wird.

2.4 Ursachen für Streuungen von Versuchsergebnissen

Ein wesentliches Problem bei der Prüfung von FV stellt die teilweise große Streu-ung der Versuchsergebnisse dar. Varna et. al. (VJB95) und Talreja und Huang(HT05) versuchen, sich der Problematik beispielsweise durch Quantifizierung derEinschlüsse (engl. voids) und deren Einfluss auf die mechanischen Eigenschaften zunähern. Bei ihnen ist allerdings nicht das erklärte Ziel, die Ursachen von Streuungen,sondern Einflüsse von Einschlüssen auf Moduli und Festigkeiten zu identifizieren undzu quantifizieren. Im Fokus der Betrachtung stehen Einschlüsse in Form von Gas-blasen, andere Formen von Einschlüssen werden nicht betrachtet.

Es muss darüber hinaus festgestellt werden, dass bei den im Verlauf dieser Ar-beit durchgeführten FV-Prüfungen die Ergebnisse hinsichtlich der Festigkeiten imarithmetischen Mittel einen Variationskoeffizienten von 3.3 % und die Moduli einenVariationskoeffizienten von 2.4 % aufweisen. Dies kann nur bedingt als große Streu-ung bezeichnet werden. Erfahrungsgemäß treten deutlich größere Abweichungen auf,wenn versucht wird, Ergebnisse verschiedener Prüfserien am gleichen Halbzeug mitgleichen Komponenten miteinander zu vergleichen.

Gerade bei der Prüfung von FVW für die Windenergie sind durch die verwendetenHalbzeuge die Möglichkeiten der Optimierung hinsichtlich geringerer Streuung derVersuchsergebnisse, beispielsweise durch Verringerung der Zahl von Einschlüssen,stark eingeschränkt. Insbesondere beim VI-Verfahren ist der Anteil von gasförmigenEinschlüssen vergleichsweise gering. Bei den üblichen GV sind neben Glasfasern inmindestens zwei Richtungen allerdings auch Nähfäden fertigungsbedingt enthalten.Zusätzlich befindet sich Schlichte auf den Fasern, welche als Haftvermittler zwi-schen Fasern und Matrix dient. Diese drei Arten von Einschlüssen lassen sich nichtvermeiden. Darüber hinaus können die Strangmasse (in tex) des Rovings sowie dieFlächenmasse der ES in Gelegen zum Teil deutlich schwanken. Im Folgenden werdendie genannten und weitere mögliche Ursachen von Streuungen in Versuchsergebnis-sen aufgezeigt.

Bestimmung von FMA, Dichte und FVA

Das übliche Verfahren zur Bestimmung des Fasermassenanteils (FMA) von GFKist die Veraschung nach DIN EN ISO 1172 (Ne98e). Idealerweise wird bei der soge-nannten Kalzinierung die Harzmatrix verbrannt und die Fasern bleiben zurück. EineMassenbestimmung vorher und hinterher führt auf die Massendifferenz und damitden FMA. Für CFK werden FMA üblicherweise nach DIN EN 2564 (Ne98b) be-stimmt, wobei die Matrix mit Hilfe von Säure aus dem FV heraus gewaschen wird.

2.4 Ursachen für Streuungen von Versuchsergebnissen 21

Das weitere Vorgehen unterscheidet sich methodisch nicht von dem für GFK. Al-lerdings kann bei CF-Gelegen eine zusätzliche Phase in Form eines GF-Stützfadensauftreten. Vor der Veraschung der Matrix erfolgt in allen Fällen eine Dichtebestim-mung des FV im Auftriebsverfahren nach DIN EN ISO 1183-1 (Ne04).

Die Bestandteile eines GV sind in Abbildung 2.11 schematisch dargestellt. Es wirddeutlich, dass ein GV mit Harzmatrix nicht, wie allgemein häufig angenommen, auszwei Phasen besteht. Er enthält neben Fasermaterial und Matrix auch eine Schlich-te auf der Faser. Darüber hinaus ist in aller Regel ein PES-Nähfaden enthalten.Laut Datenblatt des Rovings PPG Hybon R© 2002 (PPG10) enthält dieser einenSchlichteanteil an der Gesamtmasse von 0.55 %. Es ist weiterhin im Datenblatt desRovings PPG Hybon R© 2001 (PPG09) angegeben, dass der Anteil der Schlichte um±0.15 %-Punkte schwanken kann. Wie stark die Schwankung der Strangmasse desPES-Nähfadens ist, ist nicht bekannt. Während der Gelegeherstellung kann es aller-dings vorkommen, dass der Nähfaden reißt und Abschnittsweise weniger Nähfädenenthalten sind, als nominell vorgesehen.

Abbildung 2.11: Bestandteile eines GV

In der Praxis wird bei der Kalzinierung von GF-GV bei etwa 600C nicht nur dieMatrix verbrannt. Es werden ebenfalls die auf den Fasern befindliche Schlichte so-wie die Nähfäden in einem Gelege umgesetzt. Folglich ergibt sich ein Fehler beimFMA, da üblicherweise Schlichte und Nähfaden dem Gelege und nicht der Matrixzugehörig sind. Unter Zuhilfenahme der Dichte des FV, der Faser und der Matrixkann weiterhin der Faservolumenanteil (FVA) bestimmt werden. Dabei pflanzt sichder Fehler fort.

Da die mechanischen Eigenschaften von FV als Funktionen des FVA zu betrach-ten sind wird klar, dass hier eine Ursache für die Streuung von Versuchsergebnissenliegen kann. Insbesondere zwischen zwei Probenserien können auf diese Weise si-gnifikante Unterschiede zu Stande kommen, sofern sich Massenanteile von Schlichteoder Nähfaden im Gelege unterscheiden.

Das Wissen über Einschlüsse oder Porositäten kann einen Aufschluss über Ursachenvon Streuungen liefern, sofern die Bestimmung der Porositäten korrekt durchgeführtwird. Die Quantifizierung von Porositäten findet der FVA-Bestimmung nachgeordnetstatt. Durch fehlerhafte Massengehaltsbestimmung wird auch die Porosität falschermittelt. Unter Berücksichtigung der genannten Einflüsse ist allerdings eine korrekteBestimmung der Porosität möglich. Durch Porositäten entstehende Schwankungen


von Prüfergebnissen können unter bestimmten Bedingungen korrigiert werden. Einentsprechendes Verfahren wird in Abschnitt 3.3 vorgestellt.

Schwankungen in der Probendicke

Für Materialprüfungen innerhalb einer Probenserie werden aus einer ProbenplattePrüfkörper entnommen. Einige dienen der Bestimmung von Dichte (Ne04) und FMA(Ne98e) des zu prüfenden FV, die übrigen werden zur mechanischen Prüfung ver-wendet. Es wird angenommen, dass die ermittelten Eigenschaften FMA und Dichtefür alle Proben aus der Probenplatte gelten. Dabei wird die Möglichkeit außer Achtgelassen, dass zum Teil deutliche Dicken- und damit FVA-Schwankungen innerhalbeiner Probenplatte auftreten können.

Der mit diesen Unsicherheiten und Ungenauigkeiten behaftete FVA wird als Ein-gangsparameter für Mischungsregeln zur Bestimmung von Festigkeiten, Elastizitä-ten und Querkontraktionszahlen oder zur Skalierung der mechanischen Eigenschaf-ten über dem FVA verwendet. Mit einem fehlerbehafteten FVA folgen verfälschtemechanische Eigenschaften. Dadurch können sich deutliche Abweichungen zwischenMessergebnissen und Rechenmodell ergeben.

Schwankende Flächenmassen der Gelege

Speziell die Verwendung von Gelegen führt einen weiteren Unsicherheitsfaktor mitsich. Die mechanischen Eigenschaften werden auch durch die Flächenmassen der be-teiligten ES beeinflusst. Der Roving schwankt laut Herstellerangabe in seiner Strang-masse um ±7 %. Die Massenschwankung der Rovings gleicht sich statistisch überdie ES des Geleges wieder etwas aus. Dennoch werden für die ES und die GelegeSchwankungen in der Flächenmasse um ±5 % angegeben.

Schwankungen in der Flächenmasse lassen sich ohne größeren Aufwand nur für dasGelege, nicht jedoch für die ES bestimmen. Entsprechend ist es theoretisch möglich,dass bei einem zweiachsigen Gelege mit ES gleicher Flächenmasse eine Schicht 5 %zu schwer ist, während die andere um den gleichen Betrag zu leicht ist, während dieFlächenmasse des Geleges der Spezifikation entspricht. Dieser Fehler lässt sich ohneeine Verringerung der Toleranzen nur schwer vermeiden. Das zu prüfende Gelegemuss daher hinreichend genau bekannt sein, um hier die Streuungen der Eigen-schaften gering zu halten. Zumindest die Flächenmasse des Geleges wird darüberhinaus üblicherweise bei der Bestimmung des FMA einer Probenplatte ermittelt.Massentoleranzen der ES werden dabei nicht erkannt.

Unzureichende Rechenmodelle

Weitere Fehlerquellen können in den Mischungsregeln zur Berechnung von FV-Ei-genschaften selbst oder auch in den zuvor bestimmten Eigenschaften der Kompo-nenten Harz und Faser liegen, die normalerweise losgelöst von der Bestimmung derFV-Eigenschaften ermittelt werden. Um diesen Effekten vorzubeugen, werden diezu verwendenden Mischungsregeln hinsichtlich ihrer Brauchbarkeit geprüft. Eigen-schaften, die an den Einzelkomponenten gemessen wurden, werden in Kapitel 4 zumAbgleich mit den invers berechneten virtuellen Eigenschaften verwendet.

2.4 Ursachen für Streuungen von Versuchsergebnissen 23

Abweichungen des Faserwinkels

In einem FV kann der Faserwinkel jeder ES bei der Fertigung einer FV-Struktur vonder theoretischen Auslegung abweichen. Das gilt auch für Proben zur mechanischenPrüfung von FV. Dies kann einerseits durch falsche Ablage als globale Faserwinkel-abweichung zustande kommen, wie in Abbildung 2.12 links dargestellt. Andererseitskann durch Ondulationen der Fasern eine lokale Winkelabweichung entstehen, wiein der gleichen Abbildung rechts zu sehen ist. Schließlich ist es möglich, insbeson-dere 2AX-Gelege bei der Ablage zu verzerren, sodass spitzere oder flachere Winkelzwischen den ES die Folge sind.

Abbildung 2.12: Beispiele möglicher Faserwinkelabweichungen eines 2AX-Geleges

Der Einfluss auf die Steifigkeiten ist dabei vergleichsweise gering. Allerdings sinkeninsbesondere die Festigkeiten in Faserrichtung signifikant. Entsprechend sind dieStreuungen der Versuchsergebnisse in Faserrichtung und dabei besonders die derFestigkeiten üblicherweise sehr groß.

Ungenügende Messauflösung

Weitere Fehler bzw. Streuungen können durch eine nicht ausreichende Auflösungdes bei der Materialprüfung gemessenen Datensignals auftreten. So wurden die Deh-nungen für die dieser Arbeit zugrunde liegenden FV-Prüfungen mit dem optischenDehnungsmesssystem Aramis aufgenommen. Der Signal-Rausch-Abstand liegt ver-fahrensbedingt deutlich niedriger als bei einer DMS-Messung. Dadurch hebt sichinsbesondere das Querdehnungssignal im Anfangsbereich der Messung nur ungenü-gend aus dem Messrauschen ab. Das führt vor allem zu Fehlern in der Bestimmungder Querkontraktionszahl. Bei der Prüfung in Faserrichtung oder quer dazu hat die-ser Fehler in den meisten Fällen keinen wesentlichen Einfluss auf das Prüfergebnis.Jedoch bei der Bestimmung des G⊥‖-Moduls an ±45-Winkellaminaten sowie allge-mein bei der Bestimmung von Querkontraktionszahlen, ist der Einfluss signifikant.


2.5 Grundelastizitäten der Einzelschicht

Mischungsregeln sind als Übertragungsfunktionen zu verstehen, mit deren Hilfe sichElastizitäten, Festigkeiten oder andere Eigenschaften der Einzelkomponenten einesmehrphasigen Gemischs in verschmierte Eigenschaften überführen lassen. Als Ver-schmieren wird im Folgenden allgemein die gewichtete Superposition unterschiedli-cher mechanischer Eigenschaften bezeichnet. Dabei wird davon ausgegangen, dasssich die im Fall von FV mikroskopisch stark heterogene Struktur makroskopischhomogen verhält. Der wesentliche Parameter ist der FVA. Die so verschmiertenEigenschaften finden wiederum in der KLT zur Berechnung der Elastizitäten undFestigkeiten von FV Anwendung.

Die bisher zuverlässigsten Ergebnisse bei der Verwendung von Mischungsregeln fürES werden bei der Verschmierung von Moduli erzielt. Es muss allerdings vermutetwerden, dass die Güte der Vorhersage der Eigenschaften nicht über den gesamtenBereich einstellbarer FVA gleich ist. Darüber hinaus ist die Bewertung der Güte vonMischungsregeln subjektiven Bewertungskriterien unterworfen, da jeder Anwenderindividuelle Anforderungen an Mischungsregeln stellt.

E-Modul in Faserrichtung

Für den E‖-Modul einer ES wird üblicherweise von einer einfachen Parallelschal-tung der elastischen Wirkungen von Faser und Matrix, ausgedrückt durch deren E-Moduli, ausgegangen. Schematisch ist der Zusammenhang in Abbildung 2.13 dar-gestellt. Es ergibt sich nach Schürmann (Sch05) eine einfache Formel, die sichzur Berechnung des Längs-E-Moduls etabliert hat. Ihre Gültigkeit wurde vielfach,beispielsweise von Puck und Wurtinger (PW63), bestätigt.

Abbildung 2.13: Parallelschaltung von Faser- und Matrixmodul

E‖ = EF‖ϕ+ EM (1 − ϕ) (2.10)

E-Modul quer zur Faserrichtung

Für die Bestimmung der E⊥-Moduli existiert eine beachtliche Bandbreite von Mi-schungsregeln die bei der Berechnung von FV Anwendung finden. Eine der ein-

2.5 Grundelastizitäten der Einzelschicht 25

fachsten basiert auf dem Quadratfasermodell (QFM), wie beispielsweise von Beér(Beé59) verwendet. Sie repräsentiert die Gruppe der integralen, mikromechanischbzw. phänomenologisch basierten Mischungsregeln. Einen ähnlichen Ansatz machtShaffer (Sha64). Im Rahmen dieser Mischungsregeln finden Querkontraktionsbe-hinderungen der Matrix durch die Faser und demnach die in-situ-Eigenschaften derMatrix keine Berücksichtigung.

Eine weitere Variante wird von Hashin und Rosen (HR64) vorgeschlagen und inder VDI 2014-1 (Kun89) referenziert. Sie basiert auf einem Variationsansatz undgenießt hohe Anerkennung. Weiterhin wird sie beim Vergleich unterschiedlicher Mi-schungsregeln für den E⊥-Modul häufig als Referenz verwendet. Hier werden die in-situ-Eigenschaften der Matrix implizit berücksichtigt, was die gute Übereinstimmungzwischen gemessenen Moduli und Rechenergebnissen erklärt.

Weiterhin lassen sich Mischungsregeln auch in semi-empirischer Form für die Elasti-zitäten quer zur Faserrichtung formulieren. Hier sei jene von Puck (Puc67) erwähnt.

Chamis und Sendeckyj (CS68) geben einen allgemeinen Überblick über verfüg-bare Mischungsregeln. Tatsächlich hat sich seit der Veröffentlichung 1968 in diesemBereich nichts Wesentliches verändert. Offensichtlich wird der analytischen Berech-nung von ES eine begrenzte Aussagekraft beigemessen. Chamis und Sendeckyjstellen fest, dass die wohl eleganteste Form der Mischungsregeln für die Elastizitätenvon ES semi-empirische Mischungsregeln sind. Nach ihrer Meinung lassen sich mitdiesen die besten Übereinstimmungen zwischen Theorie und Experiment erreichen.Das ist leicht nachvollziehbar. Es eröffnet sich allerdings auch die Möglichkeit, Fehlerbei Modellierung, Messung oder beiden durch semi-empirische Parameter auszuglei-chen bzw. zu verschleiern.

Im Verlauf dieser Arbeit wird die Erweiterte Inverse Laminattheorie entwickelt undverwendet, um die mechanischen Eigenschaften von FV zu modellieren. Es wirddamit die Möglichkeit geschaffen, aus Messergebnissen am FV bis zu den mechani-schen Eigenschaften seiner Komponenten zurückzurechnen. Daher wird auf vollstän-dig phänomenologisch, d.h. mikromechanisch basierte Mischungsregeln Wert gelegt,wodurch die Möglichkeit gegeben wird, auf Korrekturfaktoren zu verzichten, derenEinfluss nicht direkt physikalisch erklärbar ist. Mischungsregeln für die matrixdo-minierten Elastizitätseigenschaften, die diesen Anforderungen genügen, sind derzeitnicht verfügbar und werden daher in Kapitel 3 entwickelt.

In-situ-Eigenschaften der Matrix

Nach Auffassung des Verfassers wurde der Berücksichtigung der in-situ-Eigenschaf-ten der Matrix in Mischungsregeln für die Moduli bisher nicht genügend Bedeutungbeigemessen. Bereits 1968 stellen Chamis und Sendeckyj in (CS68) fest, dass imBereich der Bestimmung der in-situ-Eigenschaften der Matrix Forschungsbedarf be-steht. Es ist zu erwarten, dass sich unter deren Berücksichtigung eine Verbesserungder Aussagesicherheit für die Moduli von FV erzielen lässt.

Es muss festgestellt werden, dass aktuelle integrale Mischungsregeln für die matrix-dominierten Moduli auf Basis von mikromechanischen Modellen deutliche Abwei-chungen von Messergebnissen aufweisen. Diese Tatsache ist unter Anderem dadurchzu erklären, dass die Querkontraktionsbehinderung der Matrix durch die Fasern


ungenügend berücksichtigt wird. Weiterhin können Abweichungen aus der vereinfa-chenden Annahme einer regelmäßigen Faserpackung folgen. Eigenschaften der Kom-ponenten und der ES, bei denen die Querkontraktionsbehinderung der Matrix durchdie Fasern berücksichtigt wird, werden im Folgenden durch ein nachgestelltes Hoch-komma (′) gekennzeichnet.

Die Querkontraktionsbehinderung der Matrix im FV ist bedingt durch die üblicher-weise sehr stark unterschiedlichen Elastizitäten von Faser und Matrix. Für die KLTgilt im Allgemeinen die Annahme der Dünnwandigkeit. Dementsprechend könnenEffekte in der dritten Richtung vernachlässigt werden. Diese Annahme wurde eben-falls getroffen, um die Querkontraktionsbehinderung der Matrix in Mischungsregelnfür die Querelastizitäten mit

E ′M =

EM1 − ν2

M

(2.11)

vereinfacht zu berücksichtigen. Formel 2.11 ergibt sich als Folge der Annahme, dassdas elastische Materialgesetz mit einem Dehnungsvektor beaufschlagt wird, dessenQuerdehnung gleich Null ist. Dadurch ist nur der 11-Eintrag der Scheibenmodulma-trix zu berücksichtigen. Nach Formel 2.11 wird beispielsweise die Querkontraktions-behinderung der Matrix bei Puck in (Puc67) berücksichtigt. Da diese allerdings inden Fasern selbst ihre Ursache hat, ist leicht vorstellbar, dass in der Matrix, bedingtdurch die darin eingebetteten Fasern, ein komplexer dreidimensionaler Spannungszu-stand herrscht. Dies wird schon in einer einfachen spannungsoptischen Betrachtungwie in Abbildung 2.14 deutlich. Demnach ist die Betrachtung von dreidimensiona-len Effekten erforderlich. Der Einfluss der dritten Richtung darf nicht vernachlässigtwerden.

Abbildung 2.14: Isochromaten am Makro-Modell unter Quer-Druckbeanspruchung(Puc96)

Ein weiteres Indiz für eine zu starke Vereinfachung dieses mikromechanischen Effektsist die Tatsache, dass die Querkontraktionsbehinderung der Matrix nach Formel 2.11unabhängig vom FVA ist. Es ist leicht vorstellbar, dass eine Matrix ohne eingeschlos-

2.6 Festigkeiten der Einzelschicht 27

sene Fasern keine Querkontraktionsbehinderung erfährt, während das bei einem FVAvon 50 % durchaus der Fall ist.

Dank der Anpassungsparameter führt die Pucksche Mischungsregel trotz verein-fachter Berücksichtigung der Querkontraktionsbehinderung der Matrix auf gute Er-gebnisse bei der Abbildung der Realität. Allerdings gilt das nur für die Gruppe vonKomponenten, für welche die Regression stattgefunden hat. Im Fall der PuckschenMischungsregeln für die Moduli sind das GF-EP-Verbunde. Weiterhin ist die An-passung an die Versuchsergebnisse nicht für den gesamten, in Abhängigkeit derPackungsart einstellbaren Bereich gültig.

Für die Durchführung dieser Arbeit ist es notwendig, die in-situ-Eigenschaften derMatrix im FV explizit berechenbar zu machen, um einerseits eine gute Überein-stimmung zwischen Materialmodell und Experimenten hinsichtlich der E⊥-Modulizu ermöglichen. Andererseits ist das notwendig, um mit Mischungsregeln für dieFestigkeiten realistische Ergebnisse zu erzielen, da diese auf die Elastizitäten derEinzelkomponenten und der ES zurückgehen.

2.6 Festigkeiten der Einzelschicht

Üblicherweise werden die Festigkeiten von FV nicht mit Mischungsregeln bestimmt.Bevorzugt wird auf Ergebnisse von Materialprüfungen zurückgegriffen. Schürmannschreibt dazu in Kapitel 16.1 von (Sch05): „Basis von Festigkeitsanalysen sind Festig-keitswerte des verwendeten Werkstoffs. Sie sind in den seltensten Fällen berechenbar,sondern sind fast immer experimentell zu ermitteln. (...) Zwar existieren mikrome-chanische Ansätze, zur Berechnung der Festigkeitswerte aus der Kohäsivfestigkeitder Matrix und der Adhäsivfestigkeit zwischen Faser und Matrix. Sie bergen aberzu große Unsicherheiten. Für die meisten Laminatauslegungen sind die Ergebnissenicht zuverlässig genug.“

Allerdings ist es selten möglich, die Verhältnisse eines Bauteils, insbesondere dieVolumenverhältnisse zwischen Faser und Matrix, innerhalb einer Probe exakt zu re-produzieren. Folglich müssen die Versuchsergebnisse von mechanischen Festigkeits-prüfungen über dem FVA umgerechnet werden. Dazu ist die Verwendung von Mi-schungsregeln für die Festigkeiten unumgänglich, denn auch die Festigkeitskennwerteeiner ES sind über dem FVA veränderlich.

Generell wird im Folgenden in Faserbruch (FB) und, anstelle von Zwischenfaser-bruch (ZFB), in Matrixbruch (MB) unterschieden. Dieser Unterscheidung liegt dieTatsache zugrunde, dass praktisch handhabbare, physikalisch basierte Aussagen fürdie Ursache von Versagen zwischen den Fasern nur für die Matrix verhältnismä-ßig einfach möglich sind. Natürlich kann das Querzugversagen einer ES auch durchVersagen der Schlichte oder durch schlechte Faser-Matrix-Anbindung hervorgerufenwerden. Im Folgenden soll jedoch die Annahme gelten, dass ihr Versagen bei idealerAnbindung zwischen Faser und Matrix stets als Kohäsionsbruch der Matrix oder derFaser stattfindet.


Faserdominierte Festigkeiten

Mischungsregeln für die Festigkeiten in Faserrichtung infolge FB lassen sich ver-gleichsweise einfach bestimmen. Hierzu wird das Verhältnis aus Faserfestigkeit unddem E-Modul in Faserlängsrichtung gebildet und mit dem Verhältnis aus ES-Fe-stigkeit und Längs-E-Modul der ES gleichgesetzt. Umstellen führt auf die folgendeMischungsregel für die faserparallele Zugfestigkeit.

R(+)‖ = R

(+)F‖

(

ϕ+ (1 − ϕ)EMEF‖

)

(2.12)

Für die Druckfestigkeit in Faserrichtung wird analog verfahren.

R(−)‖ = R

(−)F‖

(

ϕ+ (1 − ϕ)EMEF‖

)

(2.13)

Dabei werden Stabilitätserwägungen und Einflüsse aus Ondulation, Matrix-G-Mo-dul und Matrixschubfestigkeit vernachlässigt. Detailliertere Darstellungen zu dieserThematik sind in (Bar11) zu finden.

Matrixdominierte Festigkeiten

Mischungsregeln für die Festigkeiten gegen MB gehen auf die Annahme zurück, dassaufgrund der lokalen Dehnungsvergrößerung in der Matrix, bedingt durch die starkunterschiedlichen Elastizitäten von Faser und Matrix, eine deutliche Spannungsüber-höhung in der Matrix auftritt, welche zu deren Versagen führt. Eine entsprechendeAnnahme legen auch Schürmann (Sch05) und Wiedemann (Wie07) zugrunde.

Adams und Doner haben entsprechende Spannungsüberhöhungen in einem Finite-Differenzen-Verfahren für Quer-Zug- (AD67b) und für Quer-Längs-Schub-Versagen(AD67a) nachgewiesen. Zusätzlich zu der durch die großen Elastizitätsunterschiedebedingten Dehnungsüberhöhung wirkt sich die Querkontraktionsbehinderung derMatrix durch die Fasern ebenfalls erhöhend auf die Matrixspannungen aus.

Folgend wird die Herleitung einer Mischungsregel für die Querfestigkeiten einer ESkurz erläutert. Grundlage der Herleitung ist Abbildung 2.15. Der halbe Abstandzwischen zwei Fasern erhält das Formelzeichen l und hat die dimensionslose Längel = 1. Entsprechend handelt es sich bei rF um einen auf l bezogenen, dimensionslosenFaserradius.

Vorausgesetzt wird zunächst linear-elastisches Verhalten der Komponenten. Die glo-bale Dehnung quer zur Faserrichtung lässt sich dann folgendermaßen beschreiben.

ε⊥ =σ⊥E⊥

(2.14)

Die gleiche globale Dehnung stellt sich in dem Querschnitt ein, in dem die Faser dengrößten Anteil hat. Diese setzt sich unter Annahme einer Reihenschaltung der E-Moduli von Faser und Matrix folgendermaßen zusammen.


Abbildung 2.15: Ersatzquerschnitt zur Herleitung von R⊥

ε⊥ =rFσ

EF⊥+

(1 − rF )σ

EM(2.15)

Ausklammern von σ und Multiplikation mit dem E⊥-Modul aus einer phänomeno-logisch basierten Mischungsregel führt zur folgenden Darstellung.

ε⊥E⊥ = σ⊥ = σE⊥

(rFEF⊥

+1 − rFEM

)

(2.16)

Schließlich werden die globale mittlere Spannung σ⊥ durch die QuerzugfestigkeitR⊥ der ES und die lokale Spannung σ durch die Zugfestigkeit der Harzmatrix RM

ersetzt. Für die Querzugfestigkeit ergibt sich die folgende Darstellung.

R(+)⊥ = R

(+)M E⊥

(rFEF⊥

+1 − rFEM

)

(2.17)

Da der Faserradius rF vom Modell und der Packungsart abhängt wird klar, dass dieSpannung der Matrix sowie die Querfestigkeit über die entsprechende Mischungsregelsowohl von der Form der Faser im Modell als auch von der modellierten Packungsartabhängig sind. Ein analoges Vorgehen ist auch für die intralaminaren Schubfestig-keiten von ES möglich. Da die Herleitung entsprechend der für die Querzugfestigkeiterfolgt, wird sie hier nicht durchgeführt. Es werden lediglich die Ergebnisse darge-stellt.

R⊥‖ = R(s)M G⊥‖

(

rFGF⊥‖

+1 − rFGM

)

(2.18)


R⊥⊥ = R(s)M G⊥⊥

(rF

GF⊥⊥+

1 − rFGM

)

(2.19)

2.7 Klassische Laminattheorie

Die Klassische Laminattheorie (KLT) ist eine einfache ingenieurmäßige Methode zurBerechnung von FV-Strukturen. Da sich die ES eines Laminats orthotrop verhalten,werden üblicherweise unterschiedlich orientierte ES in einem FV kombiniert, umseine Eigenschaften auf die Ansprüche an die Struktur abzustimmen. Dabei wirddie inhomogene ES eines Verbundes als homogenisiertes orthotropes Kontinuum be-trachtet. Mit Hilfe der KLT werden die Beanspruchungen des Schichtverbundes (SV)und der ES ermittelt. Darüber hinaus wird sie zur Optimierung von FV-Laminateneingesetzt, wobei die Ziele der Optimierung individuell festgelegt werden können.Dies können z.B. Massen-, Preis-, oder Steifigkeitsoptima sein.

Es werden zunächst die mechanischen Eigenschaften der Einzelkomponenten Faserund Harzmatrix mit Hilfe von Mischungsregeln für die Moduli verschmiert. Grundla-ge der KLT ist darüber hinaus die Theorie dünnwandiger Schalen (Wie07). Es wirddemnach angenommen, dass die geringe Ausdehnung der Struktur in Dickenrich-tung dazu führt, dass Spannungen und Verformungen in dieser Richtung vernach-lässigt werden können. Die Folge ist die Annahme eines ebenen Spannungszustandes.Weitere Annahmen sind das Ebenbleiben der Querschnitte und die Theorie ersterOrdnung, wonach das Aufstellen der Kräftegleichgewichte am unverformten Elementstattfindet. Eine weitere Annahme ist die vollständige geometrische Kompatibilitätder ES untereinander, wobei eine gegenseitige Beeinflussung nicht stattfindet. In derzur SV-Ebene senkrechten Richtungen verhält er sich schubstarr.

Diese vereinfachenden Annahmen führen zu Begrenzungen des Verfahrens. DurchVernachlässigen von Spannungen und Verformungen in Dickenrichtung werden ins-besondere dickwandige Laminate ungenau beschrieben, wie Piening (Pie07) auf-zeigt. Darüber hinaus wird nichtlineares Verhalten der Einzelkomponenten nichtberücksichtigt. Dies ist nur in einer iterativen Erweiterung des Verfahrens möglich.Weiterhin werden aufgrund der geometrischen Kompatibilitätsbedingung keine inter-laminaren Beanspruchungen berücksichtigt. Entsprechende weiterführende Ansätzewerden von Becker und Kress in (BK94) und (BK95) dargestellt.

Auch in modernen Werkzeugen zur Strukturanalyse und -optimierung findet die KLTAnwendung. So ist in aktuellen Finite Elemente (FE)-Programmen ein Werkzeugzur FV-Modellierung vorhanden, anhand dessen zumindest Scheiben- und Schalen-elemente berechnet werden können.

Beschreibung der Einzelschicht

Das Basiselement der KLT ist die ES, welche aus unidirektional angeordneten Fa-sern, eingebettet in eine Matrix, besteht. Die lokalen Koordinaten der ES werdenim x1,x2,x3-Koordinatensystem (KoS) beschrieben, wobei die x1-Richtung der Fa-serrichtung entspricht. Die x2-Richtung weist in der Ebene der ES in Richtung querzur Faser, während die x3-Richtung in Dickenrichtung der ES weist. Durch die drei

2.7 Klassische Laminattheorie 31

Achsen wird ein rechtshändiges kartesisches KoS aufgespannt. Entsprechend ist dieES auf der linken Seite der Abbildung 2.16 dargestellt.

Abbildung 2.16: Darstellung von ES und SV in Anlehnung an (Bas11)

Das linear elastische Verhalten eines dreidimensionalen Kontinuums ist mit Hil-fe des Hookeschen Gesetzes beschreibbar. Hierbei werden jeweils 6-komponentigeSpannungs- und Verzerrungsvektoren durch eine 36 Konstanten enthaltende Elasti-zitätsmatrix miteinander verknüpft. Unter Ausnutzung der Annahme transversalerIsotropie, Dünnwandigkeit und Symmetrie lässt sich diese Beschreibung deutlichvereinfachen, wie in (AAR96) gut nachvollziehbar dargestellt ist. Es ergibt sich dasElastizitätsgesetz der ES als Scheibe in der folgenden Form.

σ‖σ⊥τ⊥‖

︸︷︷︸

σ

=

E‖

1−ν⊥‖ν‖⊥

ν⊥‖E⊥

1−ν⊥‖ν‖⊥0

ν‖⊥E‖

1−ν⊥‖ν‖⊥

E⊥

1−ν⊥‖ν‖⊥0

0 0 G⊥‖

︸︷︷︸

[Q]

ε‖ε⊥γ⊥‖

︸︷︷︸

ε

(2.20)

Nach Maxwell und Betti (Gum00) lässt sich aus E‖, E⊥ und einer der Quer-kontraktionszahlen die jeweils andere Querkontraktionszahl berechnen. Das Elasti-zitätsverhalten der ES lässt sich demnach mit vier Parametern beschreiben.

Beschreibung des Schichtverbundes

Da die lokale Modulmatrix [a]i der ES, welche im 1, 2, 3-KoS definiert ist, im glo-balen x, y, z-KoS des Laminats angegeben werden muss, findet eine Richtungstrans-formation der ES-Modulmatrix jeder i-ten ES um den Winkel αi statt. Diese wirdentsprechend (Kun06) in der folgenden Form ausgeführt.

[a]i = [Tε,x→1 (αi)]T

i[Q]i [Tε,x→1 (αi)]i (2.21)

mit

[Tε,x→1 (αi)] =

cos2 αi sin2 αi12

sin 2αisin2 αi cos2 αi −1

2sin 2αi

− sin 2αi sin 2αi cos 2αi

(2.22)


Die globale Scheibensteifigkeitsmatrix [A] des Laminats ergibt sich durch Superpo-sition der ES-Modulmatrizen [a]i.

[A] =n∑

i=1

[a]i ti (2.23)

Dünnwandige Strukturen sind üblicherweise beulgefährdet. Um entsprechende Nach-weisrechnungen durchführen zu können, ist die Kenntnis der Plattensteifigkeit not-wendig. Sie wird häufig als [D]-Matrix bezeichnet und ergibt sich aus folgendemZusammenhang.

[D] =n∑

i=1

[a]i

(

t3i12

+ tiz2i

)

(2.24)

Durch unausgeglichene und asymmetrische Winkelverbunde können überdies Kopp-lungen von Scheiben- und Plattenverformungen auftreten. Zur Beschreibung diesesVerhaltens ist die Kenntnis der Koppelmatrix [B] notwendig. Sie berechnet sich inder folgenden Weise.

[B] =n∑

i=1

[a]i ziti (2.25)

Die Kombination der drei Matrizen [A], [B] und [D] resultiert in der Schalensteifig-keitsmatrix (ABD-Matrix) und verkoppelt Spannungs- und Dehnungsvektoren sowieMomenten- und Krümmungsvektoren im Elastizitätsgesetz der Schale in der folgen-den Weise.

n0

m0

=

[

[A] [B][B] [D]

]

ε0

κ0

(2.26)

mit

n0 =

nxnynxy

, m0 =

my

mx

mxy

, ε0 =

εxεyγxy

und κ0 =

κyκxκxy

(2.27)

Durch den dargestellten Zusammenhang sind sowohl die Steifigkeitseigenschaften ei-nes Laminatelements als Schale, als auch die Zusammenhänge zwischen Spannungenund zugehörigen Verformungen des Elementes beschrieben.

Spannungen der Einzelschichten von Schichtverbunden

In Kenntnis der Spannungen und der zugehörigen Verformungen des SV lassen sichdie Spannungen und Verformungen jeder enthaltenen ES berechnen. Dadurch sind

2.8 Inverse Laminattheorie 33

Aussagen über die Festigkeitsgrenzen sowohl der ES als auch des SV möglich. Auf-grund der Kompatibilitätsbedingung folgt die ES den Verformungen des SV. Aller-dings ist die Dehnung einer ES infolge einer Krümmung des SV vom Abstand zi derES von der Bezugsebene zur Berechnung des SV abhängig.

εi,0 = ε0 + zi κ0 (2.28)

Die Überführung der Dehnungen der ES aus dem globalen KoS des SV in das lo-kale KoS der ES findet wiederum durch Anwendung der Transformationsmatrix[Tε,x→1 (αi)]i auf den globalen Dehnungsvektor statt.

εi = [Tε,x→1 (αi)]i εi,0 (2.29)

Mit Hilfe der nun vorliegenden ES-Dehnungen kann der Scheibenspannungsvektorσi der ES im lokalen KoS ermittelt werden.

σi = [Q]i εi (2.30)

In dessen Kenntnis können nun Aussagen über ES-Festigkeiten, Anstrengungen undTragfähigkeiten getroffen werden, sofern geeignete Versagenskriterien Anwendungfinden. Weiterhin ist darauf basierend die Optimierung der FV-Struktur nach aus-gewählten Optimierungszielen möglich.

2.8 Inverse Laminattheorie

Die Inverse Laminattheorie (ILT) ist an die KLT angelehnt. Sie kann grob in zweiTeile untergliedert werden. Der erste Teil des Verfahrens dient zur Bestimmung dermechanischen Elastizitäts- und Festigkeitseigenschaften von ES eines Laminats aufBasis von mechanischen Prüfungen an SV. Der zweite Teil der ILT wird analogzur KLT ausgeführt. Mit ihm können zunächst die mechanischen Eigenschaften desgeprüften FV synthetisiert werden. Darauf aufbauend können aus den invers be-rechneten virtuellen ES-Eigenschaften die Eigenschaften von Laminaten beliebigenAufbaus rechnerisch ermittelt werden. Das Verfahren und auftretende Probleme so-wie deren Lösungen werden bei Zebdi, Boukhili und Trochu (ZBT08) in gewissenGrenzen aufgezeigt. Auf diese wird hier kurz eingegangen und der Verbesserungsbe-darf dargestellt.

Im Rahmen der Methode werden die virtuellen Eigenschaften der ES entsprechendder KLT in umgekehrter Reihenfolge aus den Messdaten berechnet. In (ZBT08) wer-den ausgeglichene Winkelverbunde mit 0/90, ±30, ±35, ±45, ±55 und ±60 La-genausrichtung geprüft. Für diese Laminate werden Ex-, Ey-, und Gyx-Modul sowiedie Querkontraktionszahl νyx in je drei unterschiedlichen mechanischen Prüfungenermittelt. Es lässt sich für jedes Winkellaminat auf Basis der Prüfergebnisse auf dievirtuellen mechanischen Eigenschaften der ES zurückrechnen. Das Verfahren ist inAbbildung 2.17 schematisch dargestellt. Theoretisch lassen sich damit die Elasti-zitätseigenschaften eines beliebigen SV mit der gleichen Faser-Matrix-Kombinationberechnen.


Abbildung 2.17: Schematische Darstellung der Inversen Laminattheorie

Dabei wird allerdings auf Basis vereinfachter mikromechanischer Annahmen der Or-thotropiegrad der ES als Eingangsparameter der Berechnungen innerhalb der ILTvorgegeben. Im Rahmen dieser Arbeit wird der Orthotropiegrad analog zu (ZBT08)als Verhältnis zwischen E-Modul in Faserrichtung und E-Modul quer dazu definiert.Er ist abhängig vom FVA.

fo =E‖E⊥

(2.31)

Weiterhin wird bei Zebdi et. al. davon ausgegangen, dass der FVA für alle drei Prü-fungen an einem Winkelverbund identisch ist. Wie im Rahmen dieser Arbeit gezeigtwerden kann, ist diese Annahme mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht zutreffend. Inder Folge zeigen sich auch in der Ergebnisdarstellung in (ZBT08) teilweise erheb-liche Abweichungen zwischen Materialmodell und Messergebnissen hinsichtlich derModuli. Auf die inverse Berechnung der Festigkeitseigenschaften der virtuellen ESwird nicht eingegangen.

Soll dieses Verfahren zu einer allgemeingültigen, zuverlässigen Anwendbarkeit ge-führt werden, so muss auf die Unterschiede der FVA bei der Bestimmung von Ein-gangsparametern für die ILT durch mechanische Prüfungen Rücksicht genommenwerden. Weiterhin sollten die mechanischen Eigenschaften der ES und ihrer Ein-zelkomponenten nicht Eingangsparameter des Verfahrens, sondern dessen Ergebnissein. Schließlich ist es nur in deren Kenntnis möglich, über die Festigkeitseigenschaf-ten der virtuellen ES Aussagen zu machen.

2.9 Sekundäreffekte in Faserverbunden

Bei der Prüfung von FV sind Effekte zu beobachten, bei denen sich die E-Moduli derzu prüfenden Proben nicht entsprechend der KLT-basierten Vorhersage verhalten.Diese Effekte sind sehr stark von der Faserorientierung in den Proben abhängig.

Rand- und Koppeleffekte

Für FV-Proben wird üblicherweise ein symmetrisch ausgeglichener Aufbau ange-strebt. Symmetrischer Aufbau meint hier den bezüglich der Mittelebene eines GV

2.9 Sekundäreffekte in Faserverbunden 35

spiegelsymmetrischen Aufbau, in dessen Folge Zug-Biege- und Zug-Drill-Kopplun-gen verhindert werden. Der ausgeglichene Aufbau meint bei ±α-Winkellaminaten,dass eine gleich starke Armierung in +α- wie in −α-Richtung erfolgt. Dadurch wer-den Zug-Schub-Kopplungen vermieden. In der Kombination ist die [B]-Matrix nichtbesetzt und es gibt weder Biege- oder Drill- noch Schub-Kopplungen infolge Zugbe-lastung. Es zeigt sich, dass unsymmetrisch ausgeglichene Proben reduzierte Moduliaufweisen. Das gilt besonders für Proben mit Faserwinkeln, die dem Betrage nachkleiner als ±45 sind.

Eine weitere Erklärung für dieses Verhalten sehen Becker und Kress (BK94) inRandeffekten. Die Diskrepanz entsteht nach ihrer Auffassung dadurch, dass die KLTzunächst ein infinitesimales Kontinuum betrachtet. Einflüsse von Freien Rändernund der Breite von Proben werden dadurch nicht berücksichtigt.

Nichtlinearität der Harzmatrix

Im quasi-statischen Zugversuch am verwendeten EP-Reinharz ist festzustellen, dasssich die Harzmatrix ab einem zu bestimmenden Dehnungsniveau nichtlinear de-gressiv verhält. Darüber hinaus wird ein Spannungsmaximum erreicht, woraufhindie Spannung mit zunehmender Dehnung wieder abnimmt. Schließlich tritt bei ver-gleichsweise großen Dehnungen das Versagen ein. Dieses Verhalten kann ebenfallsbei einigen vergüteten Stählen und bei bestimmten Aluminiumlegierungen, die in derLuftfahrt Verwendung finden, beobachtet werden (RO43). Für die in dieser Arbeitverwendeten Reinharz-Zugprüfungen sind die Spannungs-Dehnungs-Diagramme inAbbildung 2.18 dargestellt, um einen Eindruck der Nichtlinearität des Reinharzesim Zugversuch zu vermitteln.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

10

20

30

40

50

60

70

ε / %

σ/MPa

R-11-015 Z01R-11-015 Z02R-11-016 Z01R-11-016 Z02R-11-021 Z01R-11-021 Z02R-11-022 Z01R-11-022 Z02

Abbildung 2.18: Spannungs-Dehnungs-Diagramm von Zugprüfungen an ReinharzRIM135

Um dieses Verhalten zu beschreiben, haben Ramberg und Osgood (RO43) ein ein-faches Verfahren entwickelt. Zumindest bis zur maximalen Spannung lässt sich dasSpannungs-Dehnungs-Verhalten des Reinharzes damit recht gut abbilden. Dadurch


ist eine Aussage über den Sekantenmodul der Matrix für jede Spannungs-Dehnungs-Kombination bis zur maximalen Spannung möglich. Die Bestimmung der dafür not-wendigen Parameter ist im Folgenden kurz dargestellt. Für monotones nichtlinearesSpannungs-Dehnungs-Verhalten gilt allgemein der folgende Ansatz.

εnl =σ

ET+K

(σ

ET

)n

(2.32)

Mit Hilfe des Anfangstangentenmoduls ET und den Spannungs- Dehnungs- Kombi-nationen (σ1, ε1) und (σ2, ε2) lassen sich zunächst zwei Hilfsparameter m1 und m2

bestimmen. Diese Hilfsparameter beschreiben das Verhältnis aus der gemessenenSpannung bei einer Dehnung zur theoretischen Spannung bei dieser Dehnung unterAnnahme linear elastischen Verhaltens.

m1 =σ1

ε1ETund m2 =

σ2

ε2ET(2.33)

Damit kann der Exponent n bestimmt werden.

n = 1 +log

(m1

m2

1−m2

1−m1

)

log(σ2

σ1

) (2.34)

Nachfolgend lässt sich der Faktor K berechnen.

K =(

1

m1

− 1)(

σ1

ET

)1−n=(

1

m2

− 1)(

σ2

ET

)1−n(2.35)

Auf Basis dieser Parameter lassen sich zu jeder Spannung die zugehörigen Dehnungenund folglich der Sekanten-E-Modul ermitteln.

ES =σ

εnl(2.36)

Das Verhalten einer nichtlinearen Harzmatrix, modelliert nach dem Verfahren vonRamberg und Osgood, mit den Eingangsparametern K = 1.48 ·108 und n = 6.04,ist in Abbildung 2.19 dargestellt.

Unter dreidimensionaler Beanspruchung kann wie bei Aboudi (Abo90) Inkompres-sibilität des nichtlinearen Verzerrungsanteils angenommen werden. Dann lässt sichder dreidimensionale nichtlineare Verzerrungszustand der Matrix folgendermaßenberechnen.

εij =1 + νMEM

σij − νMEM

σkkδij + α3

2EMσij

(

|σ|σ0

)n−1

mit α = K(σ0

EM

)n−1

(2.37)

Dabei repräsentiert σij den allgemeinen Spannungsvektor. σkk ist der hydrostati-sche Spannungsvektor, während σij den deviatorischen Spannungstensor darstellt.Weiterhin ist δij das Kronecker-Delta und |σ| stellt den Betrag der Spannung dar.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

10

20

30

40

50

60

70

80

ε / %

σ/MPa

Epoxy nichtlinearEt

Es1Es2RM nichtlinear

Abbildung 2.19: Nichtlineare Eigenschaften der Epoxidharzmatrix

Mit dem Sekantenmodul nach Formel 2.36 lässt sich zu jeder vorgegebenen Spannungder Sekantenmodul der ES berechnen, der mit dieser Spannung korreliert. Hierfürmuss der Sekantenmodul der Matrix anstelle ihres Anfangstangentenmoduls Eingangin die Berechnung der Elastizitätseigenschaften der ES finden. Dazu können die inKapitel 2 gezeigten Mischungsregeln für die Moduli der ES verwendet werden.

Einen ähnlichen Ansatz macht Aboudi (Abo90). Er unterteilt allerdings den Ver-bund in Subzellen, um deren nichtlineare Eigenschaften entsprechend Formel 2.37zunächst individuell zu berechnen und daraufhin zu verschmieren. Hier wird dage-gen ein vereinfachter Ansatz gewählt, da bereits anhand des nichtlinearen Verhaltensunter einachsiger Spannung die Entscheidung über die Berücksichtigung der Nicht-linearität innerhalb der EILT getroffen werden kann. Beispielhaft ist das Vorgehenfür eine Querzugbelastung dargestellt. Es wird von einer Reihenschaltung der Ela-stizitäten ausgegangen. Die mittleren Dehnungen der Matrix ergeben sich als Folgeder auf das ES-Element aufgebrachten Spannung.

σ⊥ = σM (2.38)

Unter Annahme einachsiger Belastung ergibt sich die Dehnung der Matrix aus For-mel 2.32. Damit kann der Sekantenmodul der Matrix bestimmt werden durch

EMS =σMεnl

(2.39)

Mit diesem Sekantenmodul und mit Hilfe von Mischungsregeln für die Elastizitätenkönnen die Sekantenmoduli der ES unter Annahme einer sich nichtlinear verhalten-den Matrix für jeden vorgegebenen Spannungszustand ermittelt werden. Mit Hilfevon Mischungsregeln für die Festigkeiten kann darüber hinaus entschieden werden,wann die Versagensspannung der ES erreicht ist. Schließlich ist es mit Hilfe der Se-kantenmoduli der ES möglich, zu jedem Spannungszustand einen Dehnungszustandzu ermitteln. Die Ergebnisse für einachsige Belastungen in Faserrichtung, quer zur


Faserrichtung und unter reiner intralaminarer Schubbeanspruchung sind im Folgen-den dargestellt. Unter mehrachsiger Beanspruchung gestaltet sich die Berechnungdeutlich komplexer.

Es zeigt sich, dass der Einfluss auf die Steifigkeit FVA-abhängig ist. Im Folgendenwird ein FVA von 54.9 % betrachtet. Weiterhin finden die Komponenteneigenschaf-ten entsprechend Tabelle 4.9 auf Basis der Modellierung mit hexagonaler PackungEingang in die Berechnung.

In Faserrichtung reduziert sich der Sekanten-E-Modul bis zum Versagen um etwa 1 %verglichen mit dem Verhalten unter Annahme einer linear elastischen Matrix. Aller-dings sind in Abbildung 2.20 ebenfalls die Festigkeitsgrenzen mit und ohne Berück-sichtigung der Nichtlinearität der Matrix dargestellt. Diese gehen auf Gleichung 3.33zurück. Sie stellen sich unter Berücksichtigung der Querkontraktionsbehinderung derMatrix dadurch ein, dass die Festigkeitsgrenze der Matrix selbst erreicht wird. Die-ser Punkt wird durch Berücksichtigung der Nichtlinearität der Matrix deutlich zuhöheren Spannungen in der ES in Faserrichtung verschoben. Die Erhöhung beträgtbei den Spannungen 32 %, bei der zulässigen Dehnung sogar fast 34 %. Besondersinteressant ist, dass die dadurch berechneten Festigkeiten der ES und die Dehnun-gen beim Versagen sehr nah an den Ergebnissen der Prüfung liegen, obwohl dieZugfestigkeit der Faser bei dieser Berechnung keine Berücksichtigung findet.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

200

400

600

800

1000

1200

ε / %

σ‖/MPa

E‖ nichtlinear

R(+)‖ nichtlinear

E‖ linear

R(+)‖ linear

Abbildung 2.20: Nichtlinearer E‖-Modul der ES, FVA 54.9 %

Bei der Festigkeit unter Querzug ist der Einfluss der Nichtlinearität vernachlässig-bar. Es zeigt sich, dass der Sekanten-E-Modul der ES bis zum Versagen um ca.9 % abnimmt. Dadurch steigt allerdings die Dehnung bei Erreichen der R(+)

⊥ -Fe-stigkeit entsprechend an. Der Effekt auf das Spannungs-Dehnungs-Diagramm istin Abbildung 2.21 dargestellt. Es ist wiederum festzustellen, dass insbesondere dieDehnungen beim Versagen sehr nah bei denen aus dem Querzugversuch liegen.

Der intralaminare G-Modul der ES nimmt bis zum Versagen um 5 % ab. Hierbleibt die Schubfestigkeitsgrenze, genau wie die Zugfestigkeitsgrenze im Querzug,annähernd konstant. Jedoch nimmt analog die Schubverzerrung beim erreichen derSchubfestigkeit durch die Abnahme des Sekantenmoduls zu. Die Ergebnisse einerentsprechenden Rechnung sind in Abbildung 2.22 zu sehen.


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

10

20

30

40

50

ε / %

σ⊥/MPa

E⊥ nichtlinear

R(+)⊥ nichtlinear

R(+)⊥ linear

E⊥ linear

Abbildung 2.21: Nichtlinearer E⊥-Modul der ES, FVA 54.9 %

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

5

10

15

20

25

30

γ / %

τ ⊥‖/MPa

G⊥‖ nichtlinearR⊥‖ nichtlinearG⊥‖ linearR⊥‖ linear

Abbildung 2.22: Nichtlinearer G⊥‖-Modul der ES, FVA 54.9 %

Mit dieser Form der Modellierung lassen sich Nichtlinearitäten bei der Messung anFV nur zu einem sehr kleinen Teil beschreiben. Wesentlich ist die Tatsache, dassdie Nichtlinearität der betrachteten Epoxidharzmatrix im Verbund keinen sofortersichtlichen Einfluss auf das Spannungs-Dehnungs-Verhalten der ES hat. Durchdie Kombination mit den Fasern entsteht der Eindruck des makroskopisch sprödenVersagensverhaltens. Das kann leicht in den Abbildungen 2.19 bis 2.22 nachvollzogenwerden.

Hinter dem äußerlich spröden Verhalten verbirgt sich demnach ein nichtlineares Ver-halten der Matrix bis zum Bruch. Es kann folglich sinnvoll sein, das Versagen aufmikroskopischer Ebene beispielsweise mit Hilfe der Formänderungsenergie-Hypothe-se nach Beltrami zu beschreiben. Diese Hypothese von 1885 unterscheidet sich vonder Hypothese nach von Mises dadurch, dass die Annahme der Kompressibilität


zugrunde gelegt wird. Die Herleitung ist in Anhang A.2 dargestellt. Ein entsprechen-des Vorgehen wird später noch einmal aufgegriffen.

Insgesamt ist der Einfluss, insbesondere auf das Verhalten unter Schubbeanspru-chung, nicht annähernd von der Qualität, die in Schubzugversuchen bspw. nach DINEN ISO 14129 beobachtet wird. Hier muss demnach ein anderer Effekt zum Tragenkommen. Es wird angenommen, dass diese Nichtlinearitäten eher auf Schädigungender Matrix zurückzuführen sind. Da sich vor allem hinsichtlich matrixdominierterFestigkeiten keine Änderungen ergeben, wird im weiteren Verlauf der Arbeit auf dienichtlineare Modellierung verzichtet. Die sich dadurch ergebenden Vereinfachungenführen vor allem zu einer Unterschätzung der Versagensdehnung. Das entsprichteiner Abschätzung hin zur sicheren Seite.

2.10 Versagenshypothesen

Bruchfunktionen helfen, bei der Auslegung von FV-Strukturen das Potential undverbleibende Sicherheiten unter bestimmten Belastungen zu bestimmen. Es gibt un-terschiedliche Ansätze, die Sicherheiten von FV zu bewerten.

Der Versagenshypothese von Alfred Puck (Puc96) wird in den sogenannten WorldWide Failure Exercises (HKS02a), neben der von Tsai und Wu (TW71), hervor-ragendes Abschneiden im Vergleich mit anderen formulierten Versagenshypothesenbescheinigt. Auf Details der Vergleiche wird in (HS98b), (HKS02b) und (HKS04)eingegangen. Die Pucksche Versagenshypothese wird der von Tsai und Wu imFolgenden vorgezogen, da sie phänomenologisch basiert ist. Auf die anderen Ver-sagenskriterien wird nicht näher eingegangen. Weitere Informationen zu Versagens-hypothesen können den World Wide Failure Exercises (HKS02a) und den bereitserwähnten ergänzenden Publikationen entnommen werden.

Die phänomenologische Betrachtungsweise innerhalb der Puckschen Versagenshy-pothese führt zu logischen Schlüssen. Folgend sollen jedoch einige Auffälligkeitenaufgezeigt werden, welche die Bruchfunktion nur unter bestimmten Randbedingun-gen anwendbar erscheinen lassen.

Puck (Puc96) unterscheidet zunächst in Faserbruch (FB) und Zwischenfaserbruch(ZFB), was aufgrund der Beteiligung der unterschiedlichen Komponenten, vor al-lem Faser und Matrix, durchaus sinnvoll erscheint. Eine wesentliche Grundlage istdie Definition des ZFB als durchgehender Riss einer ES in einer zuvor definiertenWirkebene. Es wird entsprechend in Mikrorisse und makroskopische Zwischenfa-serrisse unterschieden. Erst der durch die Verdichtung von Mikrorissen entstehen-de Zwischenfaserriss gilt nach Puck als Bruch im Sinne der Materialtrennung. Eswird demnach in Mikrorissdichte und Zwischenfaserrissdichte unterschieden. Demgegenüber wird bei Gross und Seelig (GS07) im Fall von Mikrorissen bereits vonSchädigungen gesprochen.

Allgemein muss angemerkt werden, dass das wirkebenenbezogene Versagenskriteri-um nach Mohr (Moh00) und Coulomb in erster Linie das Versagen granularerund geologischer Materialien infolge Gleiten beschreiben soll. In diesem Zusammen-hang ist es durchaus sinnvoll anzunehmen, dass sich die Spannungen in verschieden

2.11 Grenzen 41

Wirkebenen nicht beeinflussen. Daraus ergibt sich der Widerspruch, dass die erwei-terte Mohrsche Festigkeitshypothese den Einfluss der Faserlängsspannungen aufdas ZFB-Versagen ausschließt. Puck weist jedoch darauf hin, dass sich ab einerAnstrengung in Faserrichtung größer als 0.7 Schädigungen in der Matrix einstellen,die das ZFB-Versagen beeinflussen. Die Berücksichtigung dieser Effekte im Rahmender Puckschen Bruchfunktion ist nur unter stark erhöhtem Aufwand möglich.

Wie eingangs erwähnt, liegt bei Querkontraktionsbehinderung der Matrix im FVdurch die Faser, beispielsweise unter Querzug, ein komplexer dreidimensionaler Span-nungszustand in Matrix und Faser vor. Dies bedeutet, dass Wechselwirkungen derSpannungen im dreidimensionalen Spannungsraum einer ES existieren. Eine Abmin-derung der ZFB-Festigkeiten durch Spannungen in Faserrichtung ist dementspre-chend systemimmanent. Folglich sind die Spannungen in unterschiedlichen Wirke-benen im FV nicht unabhängig.

Es ist zu erwarten, dass infolge einer Schädigung durch Mikrorisse in der Matrixeines FV bereits eine Degradation der Materialeigenschaften messbar ist. Dadurchmüssen einerseits die Moduli abnehmen und andererseits die innere Reibung zuneh-men. Dieses Verhalten wird von Trappe (Tra01) ausführlich beschrieben. Wennlediglich über die quasi-statische Resttragfähigkeit einer FV-Struktur entschiedenwerden soll, ist die Betrachtung nach Puck unter Umständen hinreichend. Aller-dings wird eine zuverlässige Aussage auf Basis einer Schadensakkumulationshypo-these, beispielsweise nach Palmgren und Miner, praktisch nicht möglich sein.Allgemein kann festgestellt werden, dass durch die Betrachtungsweise nach Puckdie Schädigungsgrenze von FV insbesondere unter Querlängsschub in der ES deutlichüberschätzt wird. Dies bedeutet, dass die Schädigung des Materials bereits deutlichvor erreichen der ZFB-Grenze nach Puck einsetzt. Das kann möglicherweise Tei-le der signifikanten Reihenfolgenabhängigkeit von zyklischen Prüfungen an FV mitverschiedenen Amplituden erklären.

Wünschenswert wäre die komponentenweise Betrachtung der Festigkeiten im FV,wie auch Sung Ha (Ha08) bemerkt. Dazu ist die Kenntnis der lokalen Spannungs-zustände in den Komponenten notwendig. Das ingenieurmäßige Vorgehen beinhaltetdann den Festigkeitsnachweis für die höchstbelastete Stelle einer Tragstruktur. Indiesem Fall ist das der Ort in Faser, Matrix oder Schlichte mit der größten Span-nungsüberhöhung in der Überlagerung der Spannungskomponenten.

Im Rahmen dieser Arbeit werden Bruchfunktionen zunächst nicht eingesetzt. Die zuermittelnden Festigkeitskennwerte stellen zwar deren Eingangsparameter dar, einekombinierte Betrachtung der in den geprüften Verbunden vorliegenden Spannungenfindet jedoch nicht statt. Aus den hier aufgeführten Auffälligkeiten liegt allerdingsdie Schlussfolgerung einer alternativen Betrachtungsweise nahe, die in Kapitel 5dargestellt ist.

2.11 Grenzen

Im Verlauf von Kapitel 2 wurden der Stand der Technik und damit die Grundlagender heutigen Modellierung und Kennwertermittlung von FV aufgezeigt. Es konn-te dargestellt werden, dass in vielen Bereichen Vereinfachungen zu einem erhöhten


Fehlerpotential führen. Sollen Materialprüfungen auf Basis von existierenden Prüf-normen mit Hilfe der ILT auf ein zuverlässiges Materialmodell für FV führen, so istes notwendig, insbesondere im Bereich der mikromechanischen Modellierung Unge-nauigkeiten und Fehlerursachen zu beseitigen.

Dazu sollen im Verlauf des folgenden Kapitels 3 zunächst die notwendigen analyti-schen Berechnungsmöglichkeiten geschaffen werden, um

• die Berücksichtigung der Querkontraktionsbehinderung der Matrix durch dieFasern explizit zu ermöglichen,

• die Moduli der ES mit Hilfe von Mischungsregeln unter Berücksichtigung derin-situ-Eigenschaften der Matrix berechenbar zu machen,

• die Verwendung von Mischungsregeln für die Festigkeiten auf der gleichen Basiszu ermöglichen,

• die Ermittlung der FVA von Prüfkörpern realistisch und reproduzierbar zugestalten,

• die Korrektur der Moduli und Festigkeiten von Probenkörpern infolge Porosi-tät anwendbar zu machen und damit

• die inverse Berechnung von Komponenteneigenschaften aus FV bis zu denFaser- und Matrixelastizitäten und -festigkeiten zu ermöglichen.

3 Analytische Modellbildung

In diesem Kapitel werden auf Basis der dargestellten Grundlagen die notwendigenErweiterungen vorgenommen, um die in Abschnitt 2.11 geforderten Punkte zu reali-sieren. Dazu werden Mischungsregeln für Elastizitäten und Festigkeiten der ES unterBerücksichtigung der in-situ-Eigenschaften der Matrix abgeleitet. Darüber hinauswird eine Möglichkeit geschaffen, den FVA der zur Erzeugung der Datenbasis fürdie EILT zu prüfenden Probenkörper realistisch zu ermitteln. Dabei wird ein Ver-fahren aufgezeigt, um Porositäten der Matrix zu berücksichtigen und die ermitteltenModuli und Festigkeiten entsprechend zu korrigieren.

Darauf folgend wird die analytische Basis zur erweiterten inversen Berechnung derKomponenteneigenschaften Moduli und Festigkeiten für Faser und Matrix geschaffenund das Verfahren bei der EILT aufgezeigt. Schließlich wird die EILT schematischin einem Struktogramm dargestellt.

3.1 Grundelastizitäten der Einzelschicht

Zunächst werden die Möglichkeiten der mikromechanisch basierten Bestimmungder Moduli von ES erweitert. Insbesondere für die Mischungsregeln der matrixdo-minierten Elastizitäten erfolgt in Anlehnung an die Mischungsregeln entsprechenddes Luftfahrttechnischen Handbuch (LTH), Handbuch Faserverbund-Leichtbau (FL)(Arb08), eine Herleitung. Die Querkontraktionsbehinderung der Matrix durch dieFasern hat erheblichen Einfluss auf die Grundelastizitäten der ES. Daher wird eineMöglichkeit zu deren expliziter Berechnung auf Basis eines analytischen Ansatzeshergeleitet. Schließlich werden die hergeleiteten Mischungsregeln unter Berücksich-tigung der Querkontraktionsbehinderung der Matrix vergleichend mit gängigen Mi-schungsregeln dargestellt.

E-Modul in Faserrichtung

Bei der Verschmierung der E-Moduli in Faserrichtung wird die in Abschnitt 2.5dargestellte Mischungsregel verwendet. Allerdings wird die Möglichkeit gegeben, dieOndulation von Fasern zu berücksichtigen. Diese hat in einer ES in aller Regel be-sonders auf den E-Modul in Faserrichtung Einfluss. Sie wirkt sich derart aus, dassder E-Modul der Faser in Faserrichtung mit einem Faktor fu reduziert wird. DieserFaktor nimmt für verschiedene Halbzeuge und Verarbeitungsprozesse unterschied-liche Werte an. Hier wird ein Wert von fu = 0.95 für das Gelege angenommen.Dieser Wert entspricht den langjährigen Erfahrungen in der industriellen Praxis. InRichtung quer zur Faser wird der Einfluss der Faserondulation vernachlässigt. DieEigenschaften der ondulierten Faser berechnen sich in der folgenden Weise.

EF‖ = fuEF‖ und ν⊥‖ = fuν⊥‖ (3.1)

44 3 Analytische Modellbildung

Zusammen mit der Faserondulation ergibt sich für die Berechnung des verschmiertenModuls in Faserrichtung der folgende Zusammenhang.

E ′‖ = EF‖ϕ+ E ′

M‖ (1 − ϕ) (3.2)

Dabei wird eine Querkontraktionsbehinderung der Matrix durch die Fasern berück-sichtigt deren Berechnung im weiteren Verlauf aufgezeigt wird.

E-Modul quer zur Faserrichtung

Für den E-Modul quer zur Faserrichtung soll eine rein phänomenologisch basierte,analytische Mischungsregel Anwendung finden. Im Folgenden wird die Möglichkeitgegeben, den Effekt der Querkontraktionsbehinderung der Matrix durch die Faserim Rahmen der Verwendung integraler Mischungsregeln zu berücksichtigen. Dies istnotwendig, um im weiteren Verlauf ein vollständig phänomenologisch basiertes Ma-terialmodell verwenden zu können. Dadurch erhält das Verfahren für verschiedeneWerkstoffkombinationen im Rahmen der folgenden Annahmen allgemeine Gültig-keit:

• Lineare, elastische Verformungen

• Transversale Isotropie der Faser

• Isotropie der Matrix

• Ideale Anbindung zwischen Faser und Matrix

• Gleichmäßige Verteilung der Fasern in der Matrix

• Parallelität der Fasern zueinander

Grundsätzlich ist die Herleitung des E⊥-Moduls mit verschiedenen Faserpackungenmöglich. Im Folgenden werden hexagonale und quadratische Packung von Fasernmit zylindrischem Querschnitt unterschieden. Die quadratische Faserpackung ist inAbbildung 3.1 links dargestellt, die hexagonale Packung auf der rechten Seite. Beieiner statistischen Verteilung der Fasern liegt die Packung im Mittel zwischen qua-dratischer und hexagonaler Packung, allerdings näher im Bereich der hexagonalenPackung.

Die Parameter für die Herleitung ergeben sich aus den in Abbildung 3.1 fett einge-rahmt dargestellten Ausschnitten. Sie sind in Tabelle 3.1 abhängig von der Packungs-art dargestellt. Der Faserradius rF ist eine dimensionslose Größe, die immer im Ver-hältnis zur in Abbildung 3.2 dargestellten Seitenlänge a zu betrachten ist. Weiterhinwird die Länge der Seite a, welche den halben Abstand zwischen zwei benachbartenFasern repräsentiert, auf den Wert 1 normiert. Dadurch vereinfacht sich die folgendeHerleitung erheblich.

Es muss angemerkt werden, dass die Ergebnisse der Modulberechnung auf Basis derin Tabelle 3.1 dargestellten Parameter keine allgemeinen Lösungen darstellen. Siesind davon abhängig, wie die Fasern im Referenzquerschnitt angeordnet sind. So


Abbildung 3.1: Links quadratische, rechts hexagonale Packung mit zylindrischenFasern

Packungsart Seitenverhältnis ba

Faserradius rF (ϕ)

quadratisch 2 2√

ϕπ

hexagonal√

3√

2√

3 ϕπ

Tabelle 3.1: Parameter für E⊥-Modul-Herleitung bei verschiedenen Packungsarten

würde sich für die hexagonale Packung bei einer um 90 verdrehten Anordnung einanderes Ergebnis einstellen. Das Gleiche gilt für die quadratische Packung bei einerDrehung um 45. Der Einfachheit halber wird im Folgenden Transversalisotropiefür die ES angenommen. Für eine hexagonale Faserpackung oder eine statistischeFaserverteilung ist diese Annahme zulässig. Bei quadratischer Faserpackung ist siemit einem Fehler verbunden.

Es wird ein rechteckiger Ersatzquerschnitt entsprechend der Abbildung 3.2 heraus-gegriffen. Er hat die Seitenlängen a und b. In den diagonal gegenüberliegenden Eckendes Rechtecks sind die Fasern als Viertelkreise mit Mittelpunkt in den Ecken an-geordnet. Durch diese Darstellung entspricht der FVA genau dann dem maximalmöglichen FVA, wenn der Faserradius genau der Seitenlänge a entspricht.

Seite a liegt in 2-Richtung und Seite b in 3-Richtung eines kartesischen Koordinaten-systems. Die 1-Richtung weist in Richtung der Fasern der betrachteten ES und damitaus der dargestellten Ebene heraus. Nun wird der Ersatzquerschnitt mit Schnittenparallel zur Ebene, die senkrecht zur 3-Achse ist, in beliebig schmale Streifen un-terteilt, sodass der Einfluss des Faserquerschnittsradius’ zu vernachlässigen ist. DieStreifen stellen sich hinsichtlich ihrer Elastizität als Reihenschaltung von Harz- undFaser-E-Modul dar. Querkontraktionseffekte werden zunächst vernachlässigt und eswird angenommen, dass die Ränder des Ersatzquerschnitts eben bleiben. Die Längeder Faserstreifen lF ergibt sich entsprechend dem Satz des Pythagoras durch

lF (z) =√

r2F − z2 mit z ∈ [0, rF ] (3.3)

Da nur ein halber Faserquerschnitt im Ersatzquerschnitt dargestellt ist, berechnetsich die Querschnittsfläche AF der Faser durch:


Abbildung 3.2: Repräsentatives Volumenelement zur Herleitung von E⊥, hexagonalgepackt

AF =πr2

F

2(3.4)

Die Gesamtfläche AV des Ersatzquerschnitts ist für die Annahme hexagonaler undquadratischer Packung zu unterscheiden. Sie entspricht dem Seitenverhältnis b/a. DerFVA ergibt sich aus dem Verhältnis.

ϕ =AFAV

=πr2

F

2ab(3.5)

Nun wird beispielhaft der infinitesimale Faserstreifen in Schnittebene A-B in Ab-bildung 3.2 betrachtet. Die Reihenschaltung der Moduli von Faser und Matrix fürdiesen Streifen berechnet sich durch:

1

E⊥s=

1

EM(1 − lF ) +

1

EF⊥lF (3.6)

Einsetzen von Formel 3.3 in Formel 3.6 ergibt

1

E⊥s=

1

EM

(

1 −√

r2F − z2

)

+1

EF⊥

√

r2F − z2 (3.7)

Der E-Modul des infinitesimal breiten Streifens folgt aus Invertieren von Formel 3.7.


E⊥s =1

1EM

(

1 −√

r2F − z2

)

+ 1EF ⊥

√

r2F − z2

= EM1

1 −√

r2F − z2

(

1 − EM

EF ⊥

) (3.8)

Die gesamte verschmierte Elastizität errechnet sich durch Integration über dz undBeziehen auf die Gesamtbreite b des Ersatzquerschnitts.

E⊥ =2EMb

b

2− rF +

rF∫

0

1

1 −√

r2F − z2

(

1 − EM

EF ⊥

)dz

(3.9)

Aus der Integration folgt

E⊥ =2EMb

b

2− rF − π

2(

1 − EM

EF ⊥

) +

π2

+ arctan

rF

(

1− EMEF ⊥

)

√

1−r2

F

(

1− EMEF ⊥

)2

(

1 − EM

EF ⊥

)√

1 − r2F

(

1 − EM

EF ⊥

)2

(3.10)

Wird für den Faserradius rF der Term für die quadratische Packung aus Tabelle 3.1in Formel 3.10 eingesetzt, so erstreckt sich die Gültigkeit über einen FVA-Bereichvon 0...π/4 (etwa 0 % bis 78 %). Im gesamten Gültigkeitsbereich ergeben sich keineHinterschneidungen von Fasern. Die sich ergebende Formel für den E⊥-Modul wirdauch im Luftfahrttechnischen Handbuch (LTH) (Arb08) referenziert.

Aus bereits genannten Gründen wird hier die Verwendung einer hexagonalen Faser-packung bevorzugt. Einsetzen des entsprechenden Ausdrucks für rF aus Tabelle 3.1in Formel 3.10 führt auf die entsprechende Mischungsregel für den E⊥-Modul beihexagonaler Faserpackung. Sie lautet wie folgt.

E⊥h =2EM√

3

[√3

2−√

2√

3ϕ

π

− π

2(

1 − EM

EF ⊥

) +

π2

+ arctan

√2√

3 ϕπ

(

1− EMEF ⊥

)

√

1−2√

3 ϕ

π

(

1− EMEF ⊥

)2

(

1 − EM

EF ⊥

)√

1 − 2√

3ϕπ

(

1 − EM

EF ⊥

)2

(3.11)

Ab einem Faserradius von rF =√

32

, welcher einem FVA von ca. 68 % entspricht, er-gibt sich eine Hinterschneidung der Fasern im RVE. Dadurch erhöht sich der mittlereModul des Elementes und die Formulierung gestaltet sich mathematisch komplizier-ter. Dieser Effekt wird hier, zugunsten einer Formel für den gesamten zulässigen


FVA-Bereich, vernachlässigt. Damit wird der E⊥-Modul oberhalb eines FVA vonca. 68 % leicht unterschätzt. Allerdings liegen die FVA technisch relevanter FV der-zeit im Bereich zwischen 35 % und 65 %. Der Bereich sich hinterschneidender Fasernim Ersatzquerschnitt ist in Abbildung 3.3 dargestellt.

Abbildung 3.3: Ersatzquerschnitt mit sich hinterschneidenden Fasern bei FVA größer68 %

G-Modul quer-längs zur Faserrichtung

Die Herleitung für den G⊥‖-Modul geschieht analog zur Herleitung des E⊥-Moduls.Weiterhin kann auf diese Weise ebenfalls der G⊥⊥-Modul bestimmt werden. Daherwird hier nur das Ergebnis für die hexagonale Packung dargestellt. Darüber hinauswird auf die Darstellung der Mischungsregel für den G⊥⊥-Modul verzichtet.

G⊥‖h =2GM√

3

[√3

2−√

2√

3ϕ

π

− π

2(

1 − GM

GF ⊥‖

) +

π2

+ arctan

√2√

3 ϕπ

(

1− GMGF ⊥‖

)

√

1−2√

3 ϕπ

(

1− GMGF ⊥‖

)2

(

1 − GM

GF ⊥‖

)√

1 − 2√

3ϕπ

(

1 − GM

GF ⊥‖

)2

(3.12)

In-situ-Eigenschaften der Matrix

Durch Querkontraktionsbehinderung durch die Fasern verhält sich die Matrix ineinem FV steifer als sie dies allein tun würde. Dieser Zusammenhang ist derart


zu verstehen, dass die Matrix durch eine nachgiebige Einspannung gehalten wird,welche die Elastizität der Fasern aufweist. Schematisch ist der Zusammenhang inAbbildung 3.4 gezeigt. Die Einspannung, dargestellt durch fest gelagerte Federn,findet durch den Steifigkeitsbeitrag der Fasern statt, welche in die Matrix einge-bettet sind. Die sich daraus ergebenden scheinbar erhöhten Steifigkeiten werden imFolgenden als in-situ-Eigenschaften der Matrix bezeichnet, da diese Eigenschaftennicht direkt messbar sind und nur in der ES in Gegenwart der Fasern auftreten.

Abbildung 3.4: Modell zur Herleitung der Querkontraktionsbehinderung der Matrix

Als Grundlage für die Überlegungen zur FVA-abhängigen Querkontraktionsbehinde-rung der Matrix werden die Eigenschaften des orthotropen Volumenelements für dieFaser und die des isotropen Volumenelements für die Matrix überlagert. Es geltendie gleichen Annahmen, wie zur Herleitung der Mischungsregeln für den E⊥-Modul.Die orthotrope Nachgiebigkeitsmatrix lautet im dreidimensionalen Fall allgemein

[Q]−1 =

1E11

− ν12

E22− ν13

E330 0 0

− ν21

E11

1E22

− ν23

E330 0 0

− ν31

E11− ν32

E22

1E33

0 0 00 0 0 1

G230 0

0 0 0 0 1G31

00 0 0 0 0 1

G21

(3.13)

Durch Invertieren folgt die dreidimensionale Elastizitätsmatrix des orthotropen Ele-ments. Um nun den Einfluss der Fasern auf die Querkontraktionsbehinderung derHarzmatrix herausstellen zu können, wird die Steifigkeit der Fasern in Längs- undder Steifigkeitsbeitrag der Fasern in Querrichtung abhängig vom FVA in Matrixformdargestellt. Dabei wird nur der Einfluss auf die 1- und die 3-Richtung berücksichtigt.


Koppeleffekte innerhalb der Fasern werden vernachlässigt. Die sich daraus ergeben-den Einspannbedingungen können als nachgiebige Einspannung des Matrixelementsdurch die Fasern ohne Behinderung der Querkontraktion an der Einspannung ver-standen werden.

Um einen Ausdruck zu erhalten, der den E-Modul der Matrix EM und den FVA ϕexplizit enthält, muss der Betrag des Faser-E-Moduls in Längs- und in Querrichtungdes UD-Elementes separiert werden. Der E-Modul in Faserrichtung errechnet sichunter Berücksichtigung der Ondulation durch

E‖ = ϕEF‖ + (1 − ϕ)EM (3.14)

Umstellen führt auf

EB‖ =E‖

1 − ϕ− EM =

ϕ

1 − ϕEF‖ (3.15)

Der Ausdruck rechts des Gleichheitszeichens repräsentiert die Elastizität der Ein-spannung der Matrix in Faserlängsrichtung. In Querrichtung fällt diese weicher aus.Der entsprechende Ausdruck hängt davon ab, ob er ausgehend von der linearen Mi-schungsregel (engl. rule of mixture - ROM) oder der inversen linearen Mischungsregel(engl. inverse rule of mixture - IROM) ermittelt wird. Im ersten Fall lautet er analogzu Formel 3.15

EB⊥ =E⊥

1 − ϕ− EM =

ϕ

1 − ϕEF⊥ (3.16)

Im zweiten Fall folgt für die Elastizität der Einspannung

EB⊥ = E⊥ (1 − ϕ) − EM = − ϕE⊥EM(1 − ϕ)EF⊥

(3.17)

Vereinfachend kann die Elastizität der Einspannung in Querrichtung EB⊥ dargestelltwerden durch

EB⊥ = E⊥ − EM (3.18)

Denn für FVA 0 ≤ ϕ ≤ 1 lässt sich der folgende Zusammenhang zeigen.

E⊥ (1 − ϕ) − EM ≤ E⊥ − EM ≤ E⊥1 − ϕ

− EM (3.19)

Dadurch vereinfacht sich die folgende Herleitung deutlich. Zur Berechnung des E⊥-Moduls kann jede beliebige rein analytisch basierte Mischungsregel ohne Berück-sichtigung der Querkontraktionsbehinderung der Matrix durch die Fasern eingesetztwerden. Die Anwendung semi-empirischer Mischungsregeln ist nicht zulässig. In die-sen wird der Effekt der Querkontraktionsbehinderung der Matrix durch die Fasern


nicht oder nur teilweise explizit berücksichtigt, jedoch wird er durch die semi-empi-rischen Parameter indirekt einbezogen, sodass der Einfluss der Querkontraktionsbe-hinderung der Matrix durch die Fasern überschätzt würde.

Es wird im Weiteren nur der Zug-Druck-Quadrant des dreidimensionalen Elementsbetrachtet, da sowohl im isotropen als auch im orthotropen Elastizitätsgesetz dieKoppeleinträge zwischen Zug-Druck- und Schub-Quadrant gleich Null sind. Folglichhat der Schub-Quadrant beim Invertieren der Nachgiebigkeitsmatrix keinen Einflussauf den Zug-Druck-Quadranten.

Die Terme aus Formeln 3.15 und 3.18 werden in die 11- und 33-Einträge der Modul-matrix der Einspannung durch die Fasern eingesetzt.

[QFr] =

ϕ1−ϕEF‖ 0 0

0 0 00 0 E⊥ − EM

(3.20)

Die Matrixelastizität gestaltet sich in dreidimensionaler Form als Matrix für denZug-Druck-Quadranten wie folgt

[QM ] = EM

1−νM

1−νM −2ν2

M

νM

1−νM −2ν2

M

νM

1−νM −2ν2

MνM

1−νM −2ν2

M

1−νM

1−νM −2ν2

M

νM

1−νM −2ν2

MνM

1−νM −2ν2

M

νM

1−νM −2ν2

M

1−νM

1−νM −2ν2

M

(3.21)

Die Superposition der Elastizitätsmatrizen aus den Formeln 3.20 und 3.21 beschreibteine in der 1- und 3-Richtung durch Fasern eingespannte Harzmatrix.

[QMFr] = EM

ϕEF ‖

(1−ϕ)EM+ 1−νM

1−νM −2ν2

M

νM

1−νM −2ν2

M

νM

1−νM −2ν2

MνM

1−νM −2ν2

M

1−νM

1−νM −2ν2

M

νM

1−νM −2ν2

MνM

1−νM −2ν2

M

νM

1−νM −2ν2

M

1−νM

1−νM −2ν2

M

+ E⊥

EM− 1

(3.22)

Invertieren führt auf die Nachgiebigkeitsmatrix und in den Einzeleinträgen auf dieinversen Moduli der Harzmatrix. Der 22-Eintrag repräsentiert den Kehrwert desE-Moduls der querkontraktionsbehinderten Harzmatrix in Querrichtung. Für denE-Modul der Harzmatrix unter Berücksichtigung der Querkontraktionsbehinderungdurch die Fasern und des FVA ergibt sich durch Umstellen und Kürzen die folgendeFormel.

E ′M⊥ =

EF‖Aϕ+ E⊥ (1 − ϕ)EF ‖

EM

(E⊥

EM(1 − 3ν ′2

M⊥ − 2ν ′3M⊥) + 2 (ν ′2

M⊥ + ν ′3M⊥)

)

ϕ+ A (1 − ϕ)(3.23)

mit A =E⊥EM

(

1 − ν ′2M⊥

)

+ ν ′2M⊥

Dabei wird die Querkontraktionszahl der Matrix in der folgenden Weise abgemin-dert, da Querkontraktionseffekte in den Fasern bisher keine Berücksichtigung finden.


ν ′M⊥ =

1 −(

νF‖⊥ + νF⊥⊥)

EM

νM(

EF‖ + EF⊥)

νM (3.24)

Die Abminderung der Querkontraktionszahl der Matrix folgt aus der Tatsache, dasssich die Faser unter Zug in Querrichtung ebenfalls entlang der Faser und quer dazukontrahiert. Dadurch wird die Einspannung der Matrix durch die Faser abgemindert.Ist jedoch die Faser deutlich steifer als die Matrix, so wird sie der Bewegung derMatrix deutlich weniger folgen und daher auch weniger quer kontrahieren. DieseEffekte in Faserlängs- und -querrichtung sind jeweils linear in der Abminderung derQuerkontraktionszahl der Matrix in Formel 3.24 berücksichtigt.

Hierdurch wird sichergestellt, dass eine Faser-Matrix-Kombination, bei der Faser undMatrix gleiche Moduli und gleiche Querkontraktionszahlen aufweisen, nicht in einerQuerkontraktionsbehinderung der Matrix resultieren kann. Weiterhin wird durcharithmetische Mittelwertbildung der Längs- und Quermoduli der Faser eine möglicheTransversalisotropie der Faser berücksichtigt.

Analog dazu kann für die Bestimmung der Querkontraktionsbehinderung der Ma-trix durch die Faser für Faser-Längs-Beanspruchung verfahren werden. Hier mussallerdings nicht der 22-Eintrag der [AMFr]-Matrix, sondern ihr 11-Eintrag betrach-tet werden. Die Herleitung ist in Anhang A.1 dargestellt. Es ist leicht einzusehen,dass die Querkontraktionsbehinderung der Matrix ebenfalls die Eigenschaften derMatrix in Faserrichtung beeinflusst.

E ′M‖ =

E⊥(

1 − ν ′M‖)

+ EMν′M‖

E⊥

EM

(

1 − ν ′M‖

)

+ ν ′M‖ + 2ν ′2

M‖

(

1 − E⊥

EM

) (3.25)

Da nur die Querrichtung der Faser vom Querkontraktionseffekt betroffen ist, berech-net sich die Abminderung der Querkontraktionszahl der Matrix hier abweichend vonFormel 3.24 durch

ν ′M‖ =

(

1 − νF⊥‖EMνMEF⊥

)

νM (3.26)

Daraus folgt, dass sich die Matrix in der ES makroskopisch gewissermaßen ortho-trop verhält. Weiterhin wirkt sich der Effekt der Querkontraktionsbehinderung derMatrix ebenfalls auf den G-Modul der Matrix aus. Dies ist darauf zurückzuführen,dass die Schubverzerrung der Matrix über dem FV-Querschnitt, bedingt durch dieveränderlichen Querschnittsverhältnisse und Steifigkeiten, mit lokalen, veränderli-chen Längsdehnungen einhergeht. Da die Harzmatrix mikroskopisch weiterhin alsisotrop angenommen wird, kann die Berechnung des querkontraktionsbehindertenSchubmoduls der Matrix folgendermaßen erfolgen.

G′M⊥‖ =

E ′M

2 (1 + νM)mit E ′

M =E ′M⊥ + E ′

M‖2

(3.27)

Es ist allerdings zu erwarten, dass sich der Einfluss beim G⊥‖-Modul der ES andersauswirkt als auf ihren G⊥⊥-Modul


G′M⊥⊥ =

E ′M⊥

2 (1 + νMeff )(3.28)

wobei νMeff nach Foye gegeben ist durch

νMeff = νM1 + νM − ν⊥‖

EM

E‖

1 − ν2M + νMν⊥‖

EM

E‖

(3.29)

wie in (Foy72). Die hierdurch berechneten querkontraktionsbehinderten E- und G-Moduli können nun in die bereits hergeleiteten phänomenologisch basierten analy-tischen Mischungsregeln eingesetzt werden.

Abbildung 3.5 zeigt den in-situ-E-Modul der Matrix in Richtung quer zur Faser.Dabei repräsentiert die gepunktete, mit Kreisen markierte Linie den E-Modul derMatrix bei freier Querkontraktion und die mit Kreuzen markierte Strich-Punkt-Li-nie die volle Querkontraktionsbehinderung als Scheibe. Die mit Quadraten markierteLinie wurde unter Annahme quadratisch gepackter zylindrischer Fasern (ZFMq) er-mittelt. Dem mit Kreisen markierten Graph liegt die Annahme hexagonal gepackterzylindrischer Fasern (ZFMh) zugrunde.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

ϕ / %

E′ M

⊥/GPa

ZFM′q 3D (wie hergeleitet)

ZFM′h 3D (wie hergeleitet)

Scheibe 2Dohne Querkontraktionsbehinderung

Abbildung 3.5: in-situ-E-Modul der Matrix quer zur Faserrichtung durch Faserein-bettung

Es ist gut zu erkennen, dass der in-situ-E-Modul der Matrix unter Annahme dervollen Querkontraktionsbehinderung der Matrix als Scheibe ab einem FVA von 15 %deutlich unterschätzt wird. Das gilt insbesondere im relevanten Bereich zwischen50 % und 60 % FVA.

Der Einfluss der Querkontraktionsbehinderung auf den E⊥-Modul einer ES nachFormel 3.23 im Vergleich zur Berücksichtigung entsprechend dem Scheibenmodell(Formel 2.11) und ohne deren Berücksichtigung, ist in Abbildung 3.6 dargestellt. Eswird in allen drei Fällen die Mischungsregel auf Basis des Zylinderfasermodells mithexagonaler Faserpackung (ZFMh) verwendet.


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

ϕ / %

E⊥/GPa


ZFM′h 2D

ZFMh

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

ϕ / %

E′ ⊥

E⊥/1

ZFM′

h 3DZFMh

ZFM′

h 2DZFMh

Abbildung 3.6: Effekt der Querkontraktionsbehinderung auf den E⊥-Modul einerGFK-ES

Die durchgehende Linie im oberen Diagramm repräsentiert den E ′⊥-Modul der ES

unter Berücksichtigung der Querkontraktionsbehinderung der Matrix nach Formel 3.23(ZFM′

h 3D). Der durch eine Strichpunktlinie dargestellte Graph repräsentiert denE ′

⊥-Modul unter vollständiger Querkontraktionsbehinderung der Matrix als Scheibe,wie in Formel 2.11 (ZFM′

h 2D). Der gepunktete Graph repräsentiert die gleiche Mi-schungsregel ohne Berücksichtigung der Querkontraktionsbehinderung der Matrix(ZFMh). Es ist zu sehen, dass die Querkontraktionsbehinderung einen erheblichenEinfluss auf den E-Modul quer zur Faserrichtung hat.

Im unteren Diagramm sind die beiden ersten Fälle (ZFM′h 3D) und (ZFM′

h 2D) ausdem oberen Diagramm, jeweils bezogen auf den Fall mit nicht querkontraktionsbe-hinderter Matrix (ZFMh) dargestellt. Dadurch wird verdeutlicht, welcher Fehler beider Steifigkeitsverschmierung unter der Annahme der Querkontraktionsbehinderungder Matrix als Scheibe entsteht. Bei 55 % FVA wird der E⊥-Modul unter dieserAnnahme bereits um etwa 15 % unterschätzt. Ohne Berücksichtigung der Querkon-traktionsbehinderung der Matrix werden die E⊥-Moduli noch stärker unterschätzt.Sie liegen noch einmal 11 % tiefer.

Vergleich von Mischungsregeln für die Moduli

Im Folgenden werden die hergeleiteten Mischungsregeln für E⊥- und G⊥‖-Modulmit den gängigsten Mischungsregeln verglichen. Dazu werden zunächst die E⊥- undG⊥‖-Moduli für GFK auf Basis von Tabelle 3.2 in Abhängigkeit des FVA für die


gängigsten Mischungsregeln berechnet. Die Graphen sind für den E⊥-Modul in Ab-bildung 3.7 dargestellt.

Variable Einheit Glasfaser Kohlefaser Harz

E‖ MPa 77314 218620 3218E⊥ MPa 81383 14137 3218ν⊥‖ - 0.21 0.33 0.37ν⊥⊥ - 0.22 0.33 0.37G⊥‖ MPa 33326 71528 1176G⊥⊥ MPa 33326 5315 1176

Tabelle 3.2: Komponenteneigenschaften zum Vergleich der Mischungsregeln

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

20

25

30

35

40

ϕ / %

E⊥/GPa



VDI 2014 ubVDI 2014 lbPuck

Abbildung 3.7: Vergleich von Mischungsregeln für den E⊥-Modul

Als Referenz werden die Ergebnisse nach VDI 2014-1 (Kun89) betrachtet. Die ent-sprechenden Mischungsregeln gehen auf Hashin und Rosen (HR64) zurück undhaben einen Variationsansatz zur Grundlage. Sie werden auch im MIL-HDBK-17-3F (DEP02) verwendet und ihre Tauglichkeit zur Berechnung von Grundelastizitä-ten der ES ist allgemein anerkannt. Allerdings ist die Berechnung sehr aufwändig.Darüber hinaus ergeben sich, bedingt durch das Verfahren, eine obere und eine un-tere Grenze für die Moduli. Diese sind mit ub für die obere (engl. upper bound)und lb für die untere Grenze (engl. lower bound) bezeichnet. Bereits in (HR64) wirddarauf hingewiesen, dass sich gemessene Moduli quer zur Faserrichtung im Bereichder oberen Grenze befinden. Es ist zu erkennen, dass sich das Ergebnis nach ZFMh

zwischen dem oberen und dem unteren Wert nach VDI 2014-1 ebenfalls in der Näheder oberen Grenze einordnet.

Die Ergebnisse entsprechend der Puckschen Mischungsregel liegen sehr nah bei denErgebnissen nach ZFMq. Durch Förster und Knappe (FK71) wurden die Anpas-sungsparameter für die Mischungsregeln nach Puck noch einmal korrigiert. Dadurchändern sich die grundsätzlichen Eigenschaften jedoch nicht wesentlich, weshalb nurdie Ergebnisse nach Puck dargestellt sind.


In Abbildung 3.8 sind die Ergebnisse der Mischungsregeln für die G⊥‖-Moduli ge-zeigt. Hier fallen die obere und die untere Grenze der Mischungsregeln nach VDI2014-1 zusammen. Die Ergebnisse nach ZFMh liegen in deren Nähe und können da-mit ebenfalls als realistisch angesehen werden. Wiederum liegt die Mischungsregelnach Puck deutlich darüber und in der Nähe der Ergebnisse nach ZFMq.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

ϕ / %

G⊥‖/GPa



VDI 2014 ubVDI 2014 lbPuck

Abbildung 3.8: Vergleich von Mischungsregeln für den G⊥‖-Modul

Selbst wenn die Mischungsregeln für isotrope Fasern realistische Ergebnisse liefern,gibt es häufig Abweichungen beim Übergang zu orthotropen Fasern wie beispielswei-se CF. Daher wird weiterhin als Kriterium für die Qualität der Mischungsregeln derVergleich von Rechenergebnissen mit CFK herangezogen. Dazu wird eine HT-CFmit nominalem E-Modul von 230 GPa, wie in Tabelle 3.2, verwendet und die Ergeb-nisse für die gängigsten Mischungsregeln werden bei einem FVA von 60 % berechnet.Sie sind in Abbildung 3.9 dargestellt.

E GFK G GFK E CFK G CFK0

5000

10000

15000

Modul/MPa

ZFMh ZFMq VDI 2014 ub VDI 2014 lb Puck Chamis

Abbildung 3.9: E⊥- und G⊥‖-Moduli auf Basis gängiger Mischungsregeln bei ϕ =60 %

Zwischen den Mischungsregeln nach VDI 2014-1 und ZFMh stellen sich ähnlich Ver-hältnisse ein wie für GFK. Die Tatsache, dass die Pucksche Mischungsregel semi-


empirisch basiert ist, wird beim Übergang zu anderen Faser-Matrix-Kombinationenzum Problem. Hier weicht sie deutlich von den Ergebnissen der ersteren Mischungsre-geln ab. Erfahrungsgemäß werden die Moduli einer CFK-ES quer zur Faserrichtungdamit tendenziell überschätzt.

Da bereits die Mischungsregeln nach VDI 2014-1 als Referenz aufgeführt sind, solldie Mischungsregel nach Chamis nur der Vollständigkeit halber erwähnt werden.Soll der in-situ-E-Modul der Matrix nicht explizit berechnet werden, so empfiehltsich die Verwendung der Mischungsregeln nach Chamis, da diese bei einfacher An-wendbarkeit sehr plausible Ergebnisse liefern, die in der Nähe der oberen Grenze derMischungsregeln nach VDI 2014-1 liegen.

Es zeigt sich, dass die Mischungsregeln auf Basis des ZFMh sehr ähnliche Ergebnis-se liefern wie die obere Grenze der Mischungsregeln nach VDI 2014-1. Damit kannangenommen werden, dass die Mischungsregeln nach ZFMh unter Berücksichtigungdreidimensionaler Querkontraktionsbehinderung der Matrix die Realität gut abbil-den. Entsprechend werden die Mischungsregeln für den E⊥-Modul in Formel 3.11und den G⊥‖-Modul in Formel 3.12 im weiteren Verlauf dieser Arbeit verwendet.

3.2 Festigkeiten der Einzelschicht

Derzeit wird Mischungsregeln für die Festigkeiten der ES in der FV-Branche höch-stens die Fähigkeit zugebilligt, über kleinere FVA-Bereiche die Tendenz der Än-derung der ES-Festigkeit korrekt darzustellen. Für die Festigkeit in Faserrichtungscheint diese Annahme gültig zu sein. Für die matrixdominierten Festigkeiten ist,hin zu höheren FVA, nicht einmal das sichergestellt. Die Ursache dafür wird un-ter anderen in der Tatsache vermutet, dass die Querkontraktionsbehinderung derMatrix durch die Fasern in Mischungsregeln für die Festigkeiten keine Berücksich-tigung findet. Daher wird im Folgenden ein Ansatz unter Berücksichtigung des in-situ-Moduls der Matrix dargestellt.

Faserdominierte Festigkeiten

Eine einfache Mischungsregel für die Festigkeit gegen Faserbruch (FB) wurde bereitsin Abschnitt 2.6 dargestellt. Es soll allerdings zusätzlich die Querkontraktionsbehin-derung der Matrix durch die Fasern sowie Ondulation der Fasern Berücksichtigungfinden. Daher werden EM durch E ′

M‖ entsprechend Formel 3.25 und EF‖ durch EF‖entsprechend Formel 3.1 ersetzt.

R(+)‖ =

R(+)F‖EF‖

E ′‖ = R

(+)F‖

(

ϕ+ (1 − ϕ)E ′M‖

EF‖

)

(3.30)

Für die Druckfestigkeit in Faserrichtung wird analog verfahren.

R(−)‖ =

R(−)F‖EF‖

E ′‖ = R

(−)F‖

(

ϕ+ (1 − ϕ)E ′M‖

EF‖

)

(3.31)


Diese Zusammenhänge basieren auf der Annahme, dass das Versagen bei Belastungin Faserrichtung durch Versagen der Fasern bestimmt ist. Allerdings ist es unter Be-rücksichtigung der Querkontraktionsbehinderung der Matrix möglich, dass die Ver-sagensspannung der Matrix unter Annahme von Kompatibilität auch in Faserrich-tung vor der Versagensspannung der Faser erreicht wird. Folglich wäre das Versagenin Faserrichtung durch Matrixbruch (MB) bestimmt. Auf Basis einer Dehnungsbe-trachtung lässt sich die Spannung in der Matrix in Faserrichtung berechnen durch

σM‖ =σ‖E ′

‖E ′M‖ (3.32)

Werden die Spannungen durch die Festigkeiten ersetzt, so ergibt sich nach Umstelleneine Festigkeit der ES in Faserrichtung, die nicht durch die Faserfestigkeit, sonderndurch die Matrixfestigkeit bestimmt ist.

R‖ =RM

E ′M‖E ′

‖ (3.33)

Das beschriebene Vorgehen ignoriert die Tatsache, dass Versagen durch Druck in Fa-serrichtung in aller Regel durch Knicken auf elastischer Bettung oder durch Schub-knicken entsteht. Dies soll jedoch nicht Gegenstand dieser Arbeit sein.

Matrixdominierte Festigkeiten

Im Folgenden wird die Bestimmung der matrixdominierten Festigkeiten analog zuFormel 2.17 durchgeführt. Allerdings wird dabei die bereits dargestellte Querkon-traktionsbehinderung der Matrix durch die Fasern berücksichtigt. Dazu wird der E-Modul EM der Matrix durch den E-Modul der Matrix unter Berücksichtigung derQuerkontraktionsbehinderung E ′

M⊥ entsprechend Formel 3.23 ersetzt. Das gleicheerfolgt für den E⊥-Modul der ES, der durch E ′

⊥ ersetzt wird. Es folgt für quadra-tisch gepackte Fasern

R(+)⊥q = R

(+)M E ′

⊥q

2√

ϕπ

EF⊥+

1 − 2√

ϕπ

E ′M⊥

(3.34)

und für hexagonal gepackte Fasern

R(+)⊥h = R

(+)M E ′

⊥h

√

2√

3ϕπ

EF⊥+

1 −√

2√

3ϕπ

E ′M⊥

(3.35)

Adams und Doner (AD67b) zeigen für quadratische Packung bei einem Steifig-keitsverhältnis EF

EM= 24, was etwa GFK entspricht, und einem FVA von 55 %

einen Spannungsüberhöhungsfaktor infolge lokaler Dehnungsüberhöhung von etwa1.7. Diese Dehnungsüberhöhung kommt durch die stark unterschiedlichen Modulivon Faser und Matrix zwischen zwei benachbarten Fasern zustande. Für eine qua-dratische Faserpackung folgt aus Formel 3.34 ein Faktor von 1.71. Bei hexagonaler


Faserpackung und sonst gleichen Parametern folgt ein Spannungsüberhöhungsfaktorvon 1.51. Für diesen Fall geben Adams und Doner allerdings keine Überhöhungs-faktoren an. Die Spannungsüberhöhungsfaktoren können auch direkt berechnet wer-den.

fq =R

(+)M

R(+)⊥q

und fh =R

(+)M

R(+)⊥h

(3.36)

In Abbildung 3.10 sind die Verläufe für die Quer-Zugfestigkeit über dem FVA für diehergeleiteten Mischungsregeln dargestellt. Es ist erkennbar, dass diese für zunehmen-de FVA abnehmende Festigkeiten ermitteln lassen. Dieser Trend erscheint zunächstplausibel. Zukünftig muss ein Abgleich mit Versuchsergebnissen in Abhängigkeit desFVA erfolgen.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

ϕ / %

R(+

)⊥

/MPa

ZFM′q 3D

ZFM′h 3D

Abbildung 3.10: Hergeleitete Mischungsregeln für die Quer-Zugfestigkeit von GFK

Analog zu dieser Herleitung können auch die Quer-Längs-Schubfestigkeiten und dieQuer-Druckfestigkeiten bestimmt werden. Die weitere Darstellung beschränkt sichauf die Formeln für die hexagonale Packung.

R⊥‖h = R(s)M G′

⊥‖h

√

2√

3ϕπ

GF⊥‖+

1 −√

2√

3ϕπ

G′M⊥‖

(3.37)

R(−)⊥h = R

(−)M E ′

⊥h

√

2√

3ϕπ

EF⊥+

1 −√

2√

3ϕπ

E ′M⊥

(3.38)

Die Quer-Längs-Schubfestigkeiten auf Basis dieser Mischungsregeln sind in Abbil-dung 3.11 über dem FVA dargestellt. Es ergibt sich ein ähnliches Bild wie für dieQuer-Zugfestigkeiten.

Die dargestellten Mischungsregeln für die Festigkeiten können in angepasster Formebenfalls für die Ermittlung der Festigkeiten in ⊥⊥-Richtung verwendet werden.


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

ϕ / %

R⊥‖/MPa

ZFM′q 3D

ZFM′h 3D

Abbildung 3.11: Hergeleitete Mischungsregeln für die Quer-Längs-Schubfestigkeitvon GFK

Damit sind für die Festigkeiten der ES vollständig analytisch basierte Mischungsre-geln verfügbar, welche die Querkontraktionsbehinderung der Matrix durch die Faserberücksichtigen.

3.3 Bestimmung des FVA

Grundlage der folgenden Überlegungen ist die Annahme, dass der FMA aus DIN ENISO 1172 für die in der Windenergietechnik verwendeten Gelege ausschließlich denFMA der Glasfasern im Verbund ohne Berücksichtigung von Schlichte und Nähfädenwiedergibt. Üblicherweise wird darauf aufbauend, unter Annahme von Zweiphasig-keit, der FVA des FV berechnet. Es wird im Folgenden zunächst ein Verfahrenaufgezeigt, um den FVA unter Annahme vier beteiligter Phasen, Glasfaser, PES-Nähfaden, Schlichte und Matrix, zu berechnen. Im nächsten Schritt wird der FVAanhand der zuvor ermittelten Parameter ebenfalls mit Hilfe der Dicke einer Probebestimmt.

Bestimmung des FVA auf Basis der Normen

Um den FVA korrekt zu bestimmen, müssen Silan-basierte Schlichte und PES Näh-fäden bei der auf dem FMA basierenden Berechnung des FVA berücksichtigt werden.Dazu müssen Schlichte- und Nähfadenanteil bekannt sein oder gemessen werden.

Glasfaserhersteller führen zur Qualitätssicherung in ihrer Produktion üblicherweisesogenannte „loss-on-ignition“-Tests mit den hergestellten Rovings durch. Das Ver-fahren ist ähnlich dem aus der Bestimmung des FMA nach DIN EN ISO 1172. DieErgebnisse geben Aufschluss über den Massenanteil ψSF der Schlichte am Roving.Eine ähnliche Prüfung führen teilweise auch Gelegehersteller durch. Dadurch lässtsich wiederum eine Aussage über den Massenanteil des Nähfadens am Gelege tref-fen. Weiterhin ist der Nähfadenanteil ψNG auch aus den Maschinenparametern und

3.3 Bestimmung des FVA 61

damit aus den technischen Datenblättern (TDS – technical data sheet) des Gelege-herstellers bekannt. Der in der Messung nach DIN EN ISO 1172 bestimmte FMAentspricht dem Glasanteil ψGl am Verbund. Nun kann der Massenanteil der Schlichteam Verbund ψS berechnet werden durch

ψS = ψGlψSF

1 − ψSF(3.39)

Darüber hinaus kann der Massenanteil ψN des Nähfadens am Verbund berechnetwerden mittels der Beziehung

ψN = (ψGl + ψS)ψNG

1 − ψNG(3.40)

Weiterhin wird der Massenanteil ψG des Geleges am Verbund durch Summation derMassenanteile ψGl des Glases, ψS der Schlichte und ψN des Nähfadens berechnet.

ψG = ψGl + ψS + ψN (3.41)

Daraus lässt sich schließlich der Massenanteil ψM des Harzes am Verbund berechnen.Unter der Annahme, dass Gaseinschlüsse wie z.B. Luft in erster Näherung keinenBeitrag zur Probenmasse liefern und keine weiteren Einschlüsse vorhanden sind giltdas Folgende.

ψH = ψM = 1 − ψG (3.42)

Außerdem lässt sich die theoretische Dichte ρges des Verbundes unter Zuhilfenahmeder Einzeldichten bestimmen.

ρges =1

ψGl

ρGl+ ψS

ρS+ ψN

ρN+ ψH

ρH

(3.43)

Dieser Wert beschreibt die Dichte ρges des Verbundes ohne Gaseinschlüsse. Die ver-schmierte Dichte ρG des Geleges ergibt sich aus den Dichten von Nähfaden ρN ,Schlichte ρS und Glas ρGl wie folgt

ρG =ψG

ψGl

ρGl+ ψS

ρS+ ψN

ρN

(3.44)

Daraus lässt sich zunächst das Querschnittsverhältnis einer idealen Probe zu einerProbe mit Einschlüssen bestimmen. Da Anzahl und Länge der Fasern in einer Probekonstant bleiben, entspricht das Querschnittsverhältnis dem aus der theoretischenDichte des Verbundes zur im Auftriebsverfahren nach DIN EN ISO 1183-1 (Ne04)bestimmten Dichte ρm des Verbundes.

Dieses Querschnittsverhältnis stellt gleichzeitig den Korrekturfaktor für die mecha-nischen Kennwerte dar, da der Querschnitt als Bezugsgröße zur Bestimmung der


mechanischen Kennwerte Modul und Festigkeit dient. Diese Korrektur wird vorge-nommen, um die mechanischen Eigenschaften des FV ohne Gaseinschlüsse zu be-stimmen. Diese werden üblicherweise ebenfalls bei der Auslegung von FV-Strukturenverwendet. Sofern der Einfluss der Porosität linear auf die Moduli und Festigkeitendes FV wirkt, kann dieser Schritt mögliche Diskrepanzen zwischen Theorie und Pra-xis überbrücken.

fkor =ρgesρm

(3.45)

Allerdings ist die Annahme der Linearität des Einflusses nur eingeschränkt gültig.Wie Huang und Talreja (HT05) feststellen, ist die Steifigkeitsänderung infolgevon Einschlüssen stark davon abhängig, welche geometrische Form die Einschlüs-se aufweisen. Bei kugelförmigen Einschlüssen ist die Änderung der Steifigkeiten alslinear anzunehmen und entspricht in der Größenordnung etwa der Porosität der Pro-be. Das bedeutet, dass beispielsweise bei einem volumenbezogenen Porenanteil derProben von 5 % der Modul 5 % geringer ist als bei einer vergleichbaren porenfreienProbe.

Hamidi, Aktas und Altan (HAA04) stellen fest, dass im RTM (Resin TransferMoulding) Verfahren der größte Anteil an Lufteinschlüssen durch sphärische Ein-schlüsse repräsentiert wird. Im weiteren Verlauf wird folglich ein linearer Einflussder Porosität auf die E-Moduli angenommen.

Darüber hinaus wird die gleiche Annahme für den Einfluss von Porositäten auf dieFestigkeiten getroffen. Durch die Ergebnisse von Varna, Joffe und Berglund(VJB95) wird diese Annahme zusätzlich bestätigt. Weiterhin wird bei ihnen darge-stellt, dass die Versagensdehnungen bei zunehmender Porosität in RTM Laminatendeutlich zunehmen, die Festigkeiten allerdings gleichzeitig mit zunehmender Porosi-tät deutlich überproportional abnehmen. Für die inverse Bestimmung von Festigkei-ten findet demnach die Annahme eines linearen Festigkeitseinflusses des Porengehaltsauf der sicheren Seite statt.

Die globale Porosität ξg des Verbundes lässt sich schreiben als

ξg = fkor − 1 (3.46)

Dieser Wert ist gewissermaßen als verschmierte Porosität der Probe zu verstehen. Inder Realität weisen die Fasern allerdings keine Porosität auf. Daher kann zum besse-ren Verständnis die Porosität ξM der Matrix bestimmt werden. Dazu wird zunächstdie tatsächliche Dichte der Matrix berechnet. Zu diesem Zweck wird die gemesseneDichte ρm um die Anteile der eingeschlossenen anderen drei Phasen korrigiert.

ρM =ψMρm

1 − ρm(ψGl

ρGl+ ψS

ρS+ ψN

ρN

) (3.47)

Wird die tatsächliche Dichte ρM der Matrix auf die Nominaldichte ρH des Harzesbezogen, so ergibt sich die Porosität ξM der Matrix durch

ξM =ρHρM

− 1 (3.48)

3.3 Bestimmung des FVA 63

Dieser Wert spiegelt die prozentuale Abweichung der Dichten des Harzes mit undohne Einschlüsse wieder.

Schließlich kann der FVA ϕ des Verbundes bestimmt werden. Es werden dabei dieWerte des Verbundes ohne Porosität zugrunde gelegt, da zur Auslegung von FV-Strukturen zunächst ideale Laminate berechnet werden.

ϕ =ψGρH

ψGρH + (1 − ψG) ρH(3.49)

Im relevanten Bereich um 50 % FVA ergeben sich für GFK Unterschiede von ca.2 %-Punkten verglichen mit der gängigen Umrechnung des FMA in FVA basierendauf der Annahme von Zweiphasigkeit. Dieser Unterschied ist für die mechanischenEigenschaften von FV signifikant, da der FVA einer der wesentlichen Parameter beider Verwendung von Mischungsregeln für E-Moduli und Festigkeiten ist.

Bestimmung des FVA mit Hilfe der Probendicke

Die geprüften FV-Platten wiesen in den durchgeführten Messungen Dickenschwan-kungen von bis zu 7.3 % auf. Dieser große Unterschied trat zwischen einer Probezur mechanischen Prüfung und einer Probe zur FMA- und Dichte-Bestimmung ausder selben Probenplatte auf. Diese Dickendifferenz entspricht unter der Annahmekonstanter Gelegeflächenmasse im genannten Fall einem Unterschied im FVA von4.3 %-Punkten.

Bei der Skalierung von Elastizitäten und Festigkeiten über dem FVA zieht das einendeutlichen Fehler nach sich. Werden nun die Probenkörper für Zugprüfungen anStellen entnommen, die sich in der Dicke deutlich von denen unterscheiden, die fürdie FMA Bestimmung entnommen werden, so ergeben sich Fehler und Streuungenim FVA sowie in den E-Moduli und Festigkeiten der Proben. Um sich von der Größedieser Fehler eine Vorstellung zu verschaffen, lässt sich der FVA der Proben, mit Hilfeder in diesem Abschnitt ermittelten Parameter, über die Probendicke berechnen.

Ein Ergebnis der Bestimmung des FMA nach DIN EN ISO 1172 ist die Flächen-masse mAGl der reinen Glasfaser. Hier lässt sich wieder über den Massenanteil derSchlichte ψSF an der Glasfaser und die Flächenmasse mAN der PES-Nähfäden dieFlächenmasse mAG des Geleges bestimmen.

mAG =mAGl

1 − ψSF+mAN (3.50)

Zusammen mit der verschmierten Dichte des Geleges ρG und dem Korrekturfaktorfür die Porosität fkor berechnet sich der FVA in Abhängigkeit der Probendicke tdurch die folgende Gleichung.

ϕ (t) =mAGfkorρGt

(3.51)

Damit lässt sich der FVA für jede einzelne Probe relativ genau bestimmen. Es wirdallerdings die Annahme zugrunde gelegt, dass die Porosität der Proben innerhalb


einer Platte konstant ist. Dadurch lassen sich Streuungen hinsichtlich ihrer Ursachenquantifizieren und bei der Bewertung von Messergebnissen korrigieren. Wird dieserAnsatz konsequent verfolgt, so müssen für eine Probenserie aus einer Probenplattedie Prüfergebnisse in Abhängigkeit des FVA dargestellt werden.

3.4 Erweiterte Inverse Laminattheorie

Die Erweiterte Inverse Laminattheorie (EILT) ist ein erweitertes Verfahren zur Be-stimmung der mechanischen Eigenschaften von FV aus Materialprüfungen. Sie er-hält ihren Namen, in Anlehnung an die Inverse Laminattheorie (ILT), durch eineErweiterung. Bisher fand sie Anwendung bei der Bestimmung der virtuellen ES-Eigenschaften im Verbund. Die EILT geht darüber hinaus und erweitert das beste-hende Verfahren um die Ermittlung der virtuellen mechanischen Eigenschaften derEinzelkomponenten einer virtuellen ES. Dabei werden sowohl deren Elastizitäten alsauch deren Festigkeiten berechnet. Das Verfahren ist schematisch in Abbildung 3.12dargestellt. Die Erweiterung ist durch einen Rahmen kenntlich gemacht.

Abbildung 3.12: Schematische Darstellung der EILT

Im Folgenden wird gezeigt, wie schrittweise die mechanischen Eigenschaften der Ein-zelkomponenten eines FV mit Hilfe der EILT aus Ergebnissen von GV-Prüfungenbestimmt werden können. Der Berechnung werden konsistente Messergebnisse zu-grunde gelegt. Die Konsistenz besteht insbesondere in der Verwendung des immergleichen Harzsystems und des immer gleichen E-CR-Glas-Rovingtyps. Dabei finden

3.4 Erweiterte Inverse Laminattheorie 65

die im Vorfeld dargestellten sensiblen Parameter Berücksichtigung. Darüber hin-aus wurde für alle Probenplatten das gleiche Fertigungsverfahren sowie der gleicheTemperzyklus angewandt.

Die inverse Berechnung bis hin zu den mechanischen Eigenschaften der Einzelkom-ponenten Faser und Matrix ist nur unter Berücksichtigung schwankender FVA sowieder Querkontraktionsbehinderung der Harzmatrix durch die Faser mit realistischenErgebnissen möglich. Innerhalb des Verfahrens werden einerseits die mechanischenEigenschaften der Proben über den FVA skaliert, andererseits werden die in-situ-Eigenschaften der Harzmatrix explizit berechnet und berücksichtigt.

In dieser Arbeit wird das Verfahren nur anhand von GF-GV mit PES-Nähfädenin Epoxidharzmatrix hergeleitet und durchgeführt. Es wird allerdings stets daraufgeachtet, dass eine allgemeine Berechnung auch mit orthotropen Fasern möglich ist.

Um das angestrebte Verfahren handhabbar zu machen, wird es zunächst in zweiBereiche unterteilt. Die Steifigkeitsanalyse wird als erste ausgeführt. Darauf folgtdie Festigkeitsanalyse. Innerhalb der Steifigkeitsanalyse erfolgt eine weitere Unter-teilung in Zug-Druck- und Schub-Steifigkeitsbestimmung. Analog dazu erfolgt eineUnterteilung in Zug-Druck- und Schub-Festigkeitsbestimmung innerhalb der Festig-keitsanalyse.

Die für das Verfahren bevorzugten Mischungsregeln nach ZFMh, insbesondere fürdie E⊥-Moduli, sind relativ komplex und lassen sich nicht einfach nach dem E-Modul der Matrix umstellen. Daher müssen sowohl die Zug-Druck- und Schub-Mo-dulbestimmung der virtuellen ES als auch jene von Faser und Matrix jeweils iterativerfolgen.

Um die zunächst relativ unabhängig betrachteten mechanischen Eigenschaften unterZug-Druck- und Schub-Belastung zu einem konsistenten Materialmodell im Hinblickauf die Steifigkeiten zusammenführen zu können, muss auch die Steifigkeitsbestim-mung insgesamt iterativ erfolgen. Das stellt allerdings bei den heute zur Verfügungstehenden Rechenkapazitäten kein Problem dar.

Die Mischungsregeln für die Festigkeiten sowohl gegen Zug- und Druck- als auchgegen Schubversagen, sind mathematisch einfacher zu handhaben. Hier kann dieBerechnung direkt erfolgen.

Die folgenden Annahmen liegen den Berechnungen zugrunde:

• Die Proben sind symmetrisch ausgeglichen aufgebaut

• Es treten keine Plattenverformungen auf

• Die Betrachtung eines Scheibenmodells ist zur Beschreibung hinreichend

• In der Folge wird nur eine Gelegelage betrachtet

• Hauptverstärkung, Stützfäden und PES-Nähfaden bilden jeweils eine ES

• Der PES-Nähfaden wird als nicht onduliert betrachtet

• Für die anderen Lagen wird Ondulation angenommen und berücksichtigt


Zug- und Druck-E-Modul der virtuellen Einzelschicht

Wie Puck und Wurtinger (PW63) feststellen, verläuft der E-Modul von GFKin Faserrichtung vom Zug- in den Druckbereich stetig differenzierbar. Möller be-stätigt diese Annahme in (Möl11) ebenfalls für CFK. Sofern das zu erzeugendeMaterialmodell Gültigkeit besitzt, ist die Steifigkeit der Zugproben für das Materi-almodell auch auf den Druckbereich übertragbar. Dementsprechend werden für dieBestimmung der Zug-Druck-E-Moduli lediglich die Ergebnisse der Zugprüfungen be-trachtet.

Für die Bestimmung der Zug-Druck-Eigenschaften fallen die xg-Richtung des UD-Geleges und die x-Richtung des UD-GV zusammen. Daher erhalten alle Eigenschaf-ten bei der Prüfung des UD-GV in xg-Richtung den Index x. Alle Eigenschaften beider Prüfung in yg-Richtung erhalten den Index y.

Das UD-Gelege des geprüften UD-GV ist aus drei Schichten aufgebaut. Die Haupt-verstärkung in x-Richtung erhält den Schichtindex i = 1, die Stützfäden in y-Rich-tung erhalten den Schichtindex i = 2 und die PES-Nähfäden, wiederum in x-Rich-tung, erhalten den Schichtindex i = N . Zunächst wird der Aufbau des GV hinsicht-lich der Dicken der vorhandenen ES bestimmt. Die verschmierten Schichtdicken derES ti lassen sich über die Dichte der Faser ρFi jeder Schicht und die Flächenmas-se der jeweiligen ES mAi sowie den FVA bei der Querprüfung ϕy berechnen. DieGesamtdicke ergibt sich als deren Summe. Das ist der erste Schritt um die Ergeb-nisse der Prüfung in Hauptverstärkungsrichtung auf den FVA der Prüfung quer zurHauptverstärkungsrichtung zu skalieren.

ti =mAi

ρFiϕyund tges =

n∑

i=1

ti (3.52)

Es ist theoretisch denkbar, den Ablauf mit mehr als drei ES durchzuführen. In diesemFall sind die Ausdrücke stets analog um die zusätzlichen ES zu erweitern.

Darauf folgt die Skalierung der Querkontraktionszahl und des E-Moduls aus derPrüfung in Hauptverstärkungsrichtung auf den FVA der Prüfung quer zu dieser.Dadurch kann die Berechnung der EILT schließlich bei gleichen FVA für beide Prüf-ergebnisse durchgeführt werden. Dazu werden mit realistischen Anfangsparameternfür die Moduli von Faser und Matrix und deren Querkontraktionszahlen die Steifig-keitseigenschaften des geprüften GV vorausberechnet.

Mittels KLT und dem spezifizierten Gelegeaufbau werden mit den an den Prüfse-rien UD2-Z0 und UD4-Z90 ermittelten FVA die mechanischen Eigenschaften desgeprüften GV berechnet. Es werden beim ersten Iterationsschritt Eigenschaften vonFaser und Matrix verwendet, wie sie in technischen Datenblättern zu finden sind.Die Scheibenelastizitätsmatrix des Verbundes ist definiert durch

[H] =1

tges[A] (3.53)

Mit dem Verhältnis der darauf basierend berechneten Längs-E-Moduli, welche sichals Kehrwerte der 11-Einträge der Nachgiebigkeitsmatrix [H (ϕ)]−1 ergeben, wird der


gemessene Längs-E-Modul Exm in den korrigierten Längs-E-Modul Ex umgerechnet.Dadurch wird der E-Modul der Längsprüfung auf den FVA bei der Querprüfungskaliert.

Ex = Exm

1[H(ϕy)]−1

11

1[H(ϕx)]−1

11

(3.54)

Die gleiche Umrechnung findet für die gemessene Querkontraktionszahl νyxm statt.Danach lässt sich die noch fehlende kleine Querkontraktionszahl νxy, mit Hilfe desgemessenen Quer-E-Moduls Ey, auf Basis der Regel nach Maxwell und Betti(Gum00) berechnen.

νyx = νyxm

H12(ϕy)H22(ϕy)

H12(ϕx)H22(ϕx)

und νxy = νyxEyEx

(3.55)

Mit den nun vorliegenden Werten lässt sich der Zug-Druck-Quadrant der Modulma-trix [Hm] des geprüften UD-GV berechnen.

[Hm] = tm

Ex

1−νyxνxy

νxyEx

1−νyxνxy0

νyxEy

1−νyxνxy

Ey

1−νyxνxy0

0 0 0

(3.56)

Nun wird die Modulmatrix der PES-ES [aN ], wiederum unter Anwendung der KLT,berechnet. Mit deren Hilfe kann die Modulmatrix des UD-GV ohne Einfluss derNähfäden ermittelt werden. Dabei wird angenommen, dass die PES-Nähfäden nichtonduliert sind, da keine Information über das Maß Ondulation der Nähfäden vorliegt.In den GF-ES wird dagegen ein Ondulationsfaktor berücksichtigt.

[H] =[Hm] tges − [aN ] tN

t1 + t2(3.57)

In der Folge kann der Zug-Druck-Quadrant der Modulmatrix der virtuellen ES be-stimmt werden.

a11v = Q11v =H11t1 −H22t2

t1 − t2und a22v = Q22v =

H22 (t1 + t2) − a11vt2t1

tges (3.58)

Der Koppelterm a12v kann einfach aus der Modulmatrix des Geleges übernommenwerden. Da es sich um eine 0- und eine 90-Schicht handelt, sind die Koppeleinträgeder beiden ES gleich und verändern sich auch bei der gewichteten Superposition derModulmatrizen der ES nicht. Da das lokale 1, 2, 3-KoS der ES der Hauptverstär-kung im vorliegenden Fall eines 0/90-Geleges mit dem x, y, z-KoS des Laminatszusammenfällt, sind [Qv] und [av] identisch.

a21v = a12v = Q21v = Q12v = H21 = H12 (3.59)


Die Querkontraktionszahlen ν12v und ν21v lassen sich aus den Einzeleinträgen derModulmatrix der virtuellen ES berechnen.

ν12v =Q12v

Q11v

und ν21v =Q21v

Q22v

(3.60)

Damit lassen sich schließlich die E-Moduli der ES in Faserrichtung und quer dazuermitteln.

E11v = Q11v (1 − ν21vν12v) und E22v = Q22v (1 − ν21vν12v) (3.61)

Virtueller E-Modul von Faser und Matrix

Um nun eine Übertragung der FV-Eigenschaften über dem FVA zu ermöglichen,müssen die Eigenschaften der Einzelkomponenten Faser und Matrix bekannt sein.Dazu wird zunächst der in-situ-E-Modul der Matrix in Faserrichtung nach For-mel 3.25 bestimmt. Aus der Mischungsregel für die Moduli in Faserrichtung ergibtsich nach Umstellen und Einsetzen der Formeln 3.1 und 3.2 der virtuelle E-Modulder Faser.

EF‖v =E11v − E ′

M‖ (1 − ϕy)

ϕymit EF‖v =

EF‖vfu

(3.62)

Entsprechend kann die Querkontraktionszahl der Faser berechnet werden. Dazu wirdim ersten Iterationsschritt ein Literaturwert für die Querkontraktionszahl der Ma-trix angenommen. Dieser wird im weiteren Verlauf der EILT revidiert. Um für dieFaser der Beziehung nach Maxwell und Betti genügen zu können, wird die großeQuerkontraktionszahl der Faser im gleichen Maße mit Ondulationsfaktor fu erhöht,wie der Längs-E-Modul der Faser abgesenkt wird.

νF⊥‖v =ν21v − νM (1 − ϕy)

ϕymit νF⊥‖v =

νF⊥‖vfu

(3.63)

Bei isotropen Fasern gilt

EF = EF‖ = EF⊥ und νF = νF⊥‖ = νF‖⊥ (3.64)

Schließlich wird der Vergleichsmodul der ES E22test über die Mischungsregel nachFormel 3.11 für den E⊥-Modul unter Berücksichtigung der Querkontraktionsbehin-derung der Matrix nach Formeln 3.23 und 3.24 aus den soeben bestimmten Kompo-nenteneigenschaften berechnet. Dieser wird mit dem Quer-E-Modul E22v verglichen.Das Verhältnis der Beiden wird als Korrekturfaktor auf den E-Modul der Harzma-trix zurückgeführt. Die Querkontraktionszahl der Harzmatrix bleibt zunächst un-verändert. Mit den so geänderten Komponenteneigenschaften beginnt der Prozesszur Bestimmung des Zug-Druck-E-Moduls erneut. Dieses iterative Verfahren wirdso lange ausgeführt, bis die folgende Abbruchbedingung erfüllt ist.


E22v!

= E22test ist erfüllt wenn∣∣∣∣1 − E22test

E22v

∣∣∣∣ ≤ 10−9 (3.65)

Wenn die Schleife durchlaufen wurde, kann aus dem E-Modul und der Querkontrak-tionszahl, sowohl für die Faser als auch für die Matrix, unter Annahme von Isotropie,der G-Modul berechnet werden.

GFv =EFv

2 (1 + νFv)und GMv =

EMv

2 (1 + νMv)(3.66)

Für orthotrope Fasern ist die Berechnung nicht ohne weiteres möglich. Hier mussentweder der Orthotropiegrad bekannt sein, oder die Matrix muss in ihren Eigen-schaften bereits in anderen Prüfungen bestimmt worden sein. Dazu bieten sich bei-spielsweise Prüfungen an GFK-GV an, sodass die mechanischen Eigenschaften derMatrix als Eingangsparameter bei der Auswertung von CFK-Prüfungen verwendetwerden können. Die schematische Darstellung der Modulbestimmung im Rahmender EILT ist in Abbildung 3.13 gezeigt.

Abbildung 3.13: Schematische Darstellung der Modulbestimmung

G-Modul der virtuellen Einzelschicht

Die verwendeten ±45 2AX-Gelege bestanden aus ES in ±45-Richtung und einemStützfaden in 0-Richtung. Weiterhin waren die Gelege mit PES-Nähfäden vernäht,die ebenfalls in Fertigungsrichtung des Geleges verliefen. Erneut werden die ver-schmierten Faserschichtdicken sowie die Laminatdicke entsprechend Formeln 3.52berechnet. Die beteiligten ES erhalten die Indizes i = 1 und i = 2 für die Ver-stärkungslagen in ±45-Richtung zur Abrollrichtung des Geleges. Der Stützfadenin Abrollrichtung erhält den Index i = S und der PES-Nähfaden, der ebenfalls inAbrollrichtung des Geleges eingebracht ist, erhält den Index i = N . UnterschiedlicheFVA müssen nicht betrachtet werden, da nur die Ergebnisse der Prüfung in einerRichtung Eingang in die folgenden Berechnungen finden.

Eingangsdaten für die Berechnung sind der mittlere FVA der Prüfkörper und dieErgebnisse der Schubzugprüfung nach DIN EN ISO 14129 (Ne98d) ausgewertet nach


DIN EN ISO 527-4 (Ne97a). Verwendet werden der E-Modul in Abrollrichtung desGeleges Ex und die Querkontraktionszahl νyx.

Anhand der korrigierten Eigenschaften für Faser und Matrix werden nun mit Hilfeeiner KLT Steifigkeitseigenschaften für den GV bestimmt. Dabei wird das Gelegeallerdings um 45 verdreht zur Abrollrichtung betrachtet, weshalb die Hauptverstär-kungslagen in 0/90-Richtung ausgerichtet sind. Dadurch ist keine Richtungstrans-formation der Messergebnisse notwendig. Die in dieser Weise angegebenen Eigen-schaften erhalten den Index 45.

Es wird wiederum nur die Scheibensteifigkeitsmatrix des GV betrachtet, da dieserannähernd symmetrisch ausgeglichen aufgebaut war. Der Schubeintrag der Schei-benmodulmatrix wird ersetzt durch

Hm4566 = G⊥‖ =Ex

2 (1 + νyx)(3.67)

Diese Formel gilt allgemein für isotrope Werkstoffe. In diesem speziellen Fall folgtsie aus der Richtungstransformation der Steifigkeitsmatrix eines ±45-2AX-Gelegesum 45.

Nun wird über Mischungsregeln, unter Zuhilfenahme der Steifigkeitseigenschaftenvon PES-Nähfaden und Harzmatrix, die Scheibenmodulmatrix der Nähfadenschichtberechnet. Dabei muss berücksichtigt werden, dass die 2AX-Proben möglichst sym-metrisch ausgeglichen aufgebaut sein sollten, weshalb in zwei Richtungen Nähfädenenthalten waren. Aus diesem Grunde wird die Nähfadenschicht durch Richtungs-transformation um 45 und -45 gedreht und superponiert, sodass sich der Steifig-keitseinfluss des Nähfadens auf den Verbund errechnet.

[HN ] =1

2

([

Tε,x→1

(

−π

4

)]T

[QN ][

Tε,x→1

(

−π

4

)]

+[

Tε,x→1

(π

4

)]T

[QN ][

Tε,x→1

(π

4

)])

(3.68)

Ziel der weiteren Schritte ist es, zunächst die Eigenschaften der Nähfadenschichtenvon denen des Gesamtverbundes zu trennen. Dazu wird die Gesamtdicke der amVerbund beteiligten GF-ES bestimmt.

tGl = t1 + t2 + tS (3.69)

Nun wird die Steifigkeitsmatrix der Nähfäden gewichtet auf ihre Dicke von der Stei-figkeitsmatrix des Gesamtverbundes subtrahiert.

[H45 ] =[Hm45 ] tges − [HN ] tN

tGl(3.70)

Weiterhin wird mit Hilfe der KLT die lokale Scheiben-Modulmatrix [Q] der ES ausGlas-Roving berechnet. Auch die Stützfäden liegen in zwei Richtungen vor. Es wirddie Modulmatrix [HS] der Stützfäden im Gelege nach folgender Formel berechnet.


[HS] =1

2

([

Tε,x→1

(

−π

4

)]T

[QS][

Tε,x→1

(

−π

4

)]

+[

Tε,x→1

(π

4

)]T

[QS][

Tε,x→1

(π

4

)])

(3.71)

Mit deren Hilfe lässt sich nun der Modul der Stützfäden wiederum vom Gelege-Modul trennen. Dazu findet die Berechnung wie folgt statt.

[H] =[H45 ] tG − [HS] tS

t1 + t2(3.72)

Die Modulmatrix [H] repräsentiert nur noch die ausgeglichene Kombination von GF-ES in 0- und 90-Richtung. Der Schubeintrag repräsentiert den G-Modul der ES.

G21v = H66 = a66v = Q66v (3.73)

Nun wird, mit den in diesem Moment gültigen Steifigkeitseigenschaften für Faserund Matrix, der Vergleichsmodul G21test entsprechend der Mischungsregel nach For-mel 3.12 berechnet. Beide werden ins Verhältnis gesetzt.

ftest =G21test

G21v

(3.74)

Der daraus ermittelte Korrekturfaktor wird auf den G-Modul der Harzmatrix zurück-geführt. Danach wird aus dem korrigierten G-Modul und der Querkontraktionszahlder Harzmatrix, wiederum unter Annahme von Isotropie, der virtuelle E-Modul EMv

der Harzmatrix berechnet.

EMv = GMv2 (1 + νMv) (3.75)

Auch dieser Ablauf wird solange durchlaufen, bis die folgende Abbruchbedingungerfüllt ist.

G21v!

= G21test ist erfüllt wenn∣∣∣∣1 − G21test

G21v

∣∣∣∣ ≤ 10−9 (3.76)

Damit hat eine Korrektur des G-Moduls der Harzmatrix stattgefunden. Nach derKorrektur des G-Moduls der Harzmatrix wird aus diesem und dem zuvor bestimmtenE-Modul der Harzmatrix aus der Zug-/Druck-Modulbestimmung unter Annahmevon Isotropie die Querkontraktionszahl der Harzmatrix berechnet.

νMv =EMv

2GMv

− 1 (3.77)


Dieses hat Einfluss auf die Eingangsparameter der Zug-Druck-Modulbestimmung.Nun muss das Verfahren beginnend bei der Zug-Druck-Modulbestimmung von Neu-em durchlaufen werden. E- und G-Modulbestimmung werden n mal iterativ nach-einander ausgeführt, bis der virtuelle G-Modul der Harzmatrix zweier aufeinanderfolgender Iterationsschleifen die folgende Bedingung erfüllt.

GMv (n)!

= GMv (n− 1) ist erfüllt wenn

∣∣∣∣∣1 − GMv (n− 1)

GMv (n)

∣∣∣∣∣≤ 10−9 (3.78)

Virtuelle G-Moduli von Faser und Matrix

Im Verlauf der Berechnungen wurde der Schubmodul der Faser über die Isotropiean-nahme aus E-Modul und Querkontraktionszahl berechnet. Der G-Modul der Matrixfolgt aus dem oben dargestellten Verfahren. Im Fall der Konvergenz der vorliegen-den Berechnungen ergeben sich die im Rahmen des Modells korrekten virtuellen G-Moduli für beide Komponenten.

Zug- und Druckfestigkeit der virtuellen Einzelschicht

Um Aussagen über die Steifigkeits- und Festigkeitseigenschaften eines FV in Faser-richtung treffen zu können, werden üblicherweise entweder reine ES oder UD-GVmit schwacher Armierung in Richtung quer zur Faser geprüft. Dadurch kann da-von ausgegangen werden, dass das Versagen der betreffenden ES gleichzeitig mitdem Versagen des FV auftritt. Diese Annahme liegt den folgenden Betrachtungenzugrunde.

Die im Rahmen dieser Arbeit geprüften UD-GV weisen Querarmierungsanteile vonetwa 3 % der Gelegeflächenmasse auf. Bei der Prüfung in Hauptverstärkungsrichtungist es möglich, dass die Schicht mit der leichten Querarmierung vor dem Totalver-sagen des GV als ES versagt. Im Fall der inversen Berechnung der Festigkeiten istdie Annahme, dass deren Versagen mit dem Totalversagen des FV zusammenfälltkonservativ. Bei der Prüfung quer zur Hauptverstärkungsrichtung ist tatsächlich eingleichzeitiges Versagen beider Schichten eines derart armierten UD-GV zu beobach-ten.

Mit den bereits ermittelten Steifigkeitseigenschaften der Einzelkomponenten wirddas geprüfte Laminat mit dem bei der Prüfung vorliegenden FVA mit Hilfe der KLTmodelliert. Sowohl für Längs- und Querprüfung als auch jeweils für Zug- und Druck-prüfungen, lagen unterschiedliche FVA vor. Der geprüfte UD-GV muss demzufolgemit vier verschiedenen FVA modelliert werden, um bei der inversen Berechnung derFestigkeiten den Einfluss von Faser und Matrix richtig zu berücksichtigen.

Es wird das Elastizitätsgesetz der Scheibe verwendet, da die Einspannung der Pro-ben in der Prüfmaschine Verkrümmungen und Verdrillungen behindert. Mit denNachgiebigkeitsmatrizen und den Spannungen beim Versagen lassen sich die Deh-nungsvektoren beim Versagen berechnen.


ε(+)x‖ ε

(+)y‖ 0

T=[

H(

ϕ(+)‖

)]−1

R(+)xm 0 0

Tfür Längszugprüfung (3.79)

ε(+)x⊥ ε

(+)y⊥ 0

T=[

H(

ϕ(+)⊥)]−1

0 R(+)ym 0

Tfür Querzugprüfung (3.80)

ε(−)x‖ ε

(−)y‖ 0

T=[

H(

ϕ(−)‖

)]−1

R(−)xm 0 0

Tfür Längsdruckprüfung (3.81)

ε(−)x⊥ ε

(−)y⊥ 0

T=[

H(

ϕ(−)⊥)]−1

0 R(−)ym 0

Tfür Querdruckprüfung (3.82)

Mit diesen werden nun die relevanten ES des GV beaufschlagt. Es folgen die Längs-Zug- und Druckfestigkeiten als auch die Quer-Zug- und Druckfestigkeiten der ES.

R(+)‖v σ⊥ 0

T=[

Q(

ϕ(+)‖

)]

ε(+)x‖ ε

(+)y‖ 0

T(3.83)

σ‖ R(+)⊥v 0

T=[

Q(

ϕ(+)⊥)]

ε(+)x⊥ ε

(+)y⊥ 0

T(3.84)

R(−)‖v σ⊥ 0

T=[

Q(

ϕ(−)‖

)]

ε(−)x‖ ε

(−)y‖ 0

T(3.85)

σ‖ R(−)⊥v 0

T=[

Q(

ϕ(−)⊥)]

ε(−)x⊥ ε

(−)y⊥ 0

T(3.86)

Es muss hervorgehoben werden, dass die Querfestigkeiten der ES sowohl in Zug-als auch in Druckrichtung deutlich kleiner sind als jene des UD-GV. Das ist aufdie Steifigkeitsverhältnisse der im UD-GV vorliegenden ES zurückzuführen. DurchGleichsetzen der Querfestigkeiten des UD-GV mit denen der ES, wie in der GL-Richtlinie (Gmb10) vorgegeben, wird die Querfestigkeit der ES im vorliegenden Fallmit etwa 3 % Querarmierung bereits um ca. 9 % überschätzt. Diese Vereinfachungfindet deutlich auf der unsicheren Seite statt.

Virtuelle Zug- und Druckfestigkeit von Faser und Matrix

Bei schwacher Querarmierung, wie in den geprüften UD-GV, tritt das Totalversagender Probe zusammen mit dem Versagen der Fasern in Hauptverstärkungsrichtungein. Um auf Basis dieser Annahme die Zug- und Druckfestigkeit der Faser zu be-stimmen, werden die Formeln 3.30 und 3.31 nach der Faserfestigkeit umgestellt.

R(+)F‖v =

R(+)‖v

(

ϕ+ (1 − ϕ)E′

M‖

EF ‖

) und R(−)F‖v =

R(−)‖v

(

ϕ+ (1 − ϕ)E′

M‖

EF ‖

) (3.87)

Bei isotropen Fasern gilt

R(+)F⊥ = R

(+)F‖ und R

(−)F⊥ = R

(−)F‖ (3.88)

Die Festigkeitseigenschaften der Faser folgen demnach aus den Prüfungen in Haupt-verstärkungsrichtung am UD-GV. Dabei werden der Einfluss von Ondulationen aufdie Festigkeit der Fasern, Bauabweichungen in den Proben sowie mögliche andereFehler oder Einschlüsse vernachlässigt.


Weiterhin lassen sich mit den im Vorfeld bestimmten Festigkeiten der ES in Quer-richtung auf ähnliche Weise die Festigkeitskennwerte der Harzmatrix bestimmen. Eswird davon ausgegangen, dass das Versagen der ES in Querrichtung nicht nur all-gemein ein ZFB, sondern ganz konkret ein Matrixbruch (MB) ist. Nach Umstellenvon Formeln 3.35 und 3.38 lassen sich die Zug- und Druckfestigkeiten der Matrixaus den Quer-Zug- und -Druckfestigkeiten der ES berechnen.

R(+)Mv =

R(+)⊥

E ′⊥

(√2√

3 ϕ

π

EF ⊥+

1−√

2√

3 ϕ

π

E′M⊥

) und R(−)Mv =

R(−)⊥

E ′⊥

(√2√

3 ϕ

π

EF ⊥+

1−√

2√

3 ϕ

π

E′M⊥

) (3.89)

Schubfestigkeit der virtuellen Einzelschicht

Die Schubfestigkeit der virtuellen ES wird bei der Schubzugprüfung an ±45 armier-ten Proben ermittelt. Entsprechend wird die Scheibennachgiebigkeitsmatrix [H]−1

einer ±45 verstärkten Probe bestimmt. Bei der Prüfung nach DIN EN ISO 14129(Ne98d) wird die Versagensschubspannung als halbe Längsspannung bei einer Schub-verzerrung von 5 % bestimmt. Entsprechend wird die zweifache mittlere Versagens-schubspannung als Längsspannung innerhalb eines Spannungsvektors auf die Nach-giebigkeitsmatrix angewendet.

ε(+)x ε(+)

y 0T

=[

H]−1

σ(+)xm 0 0

T(3.90)

Anschließend wird der resultierende Dehnungsvektor um 45 richtungstransformiertund auf die lokale Elastizitätsmatrix der ES aus der Probe angewendet. Das Resultatist der ES-Spannungsvektor. Die Schubspannung in diesem Spannungsvektor wirdals Schubfestigkeit der ES übernommen.

σ‖ σ⊥ R⊥‖vT [

Q] [

Tε,x→1

(π

4

)]

ε(+)x ε(+)

y 0T

(3.91)

Zunächst kann vermutet werden, dass dadurch die Schubfestigkeit unterschätzt wird,da es sich um einen kombinierten Spannungszustand handelt. Allerdings verhältsich eine derartige Probe im Zugversuch bei einer Schubverzerrung von 5 % be-reits stark nichtlinear. Es ist demnach sogar denkbar, dass die Schubfestigkeit einerentsprechenden Probe bei der Prüfung nach DIN EN ISO 14129 (Ne98d) deutlichüberschätzt wird.

Es wurde bereits dargestellt, dass diese Form der Nichtlinearität nur zu einem gerin-gen Teil auf die Nichtlinearität der Matrix zurückzuführen ist. Eine sehr frühzeitigeEintrübung der infusionierten Proben deutet darauf hin, dass bereits zu Beginn desnichtlinearen Bereichs bei dieser Prüfung Schädigungen der Matrix eintreten. Dahermuss angenommen werden, dass es sich bei diesem nichtlinearen Verhalten bereitsum eine Folge der Schädigung der Matrix und deren Degradation in der ES handelt.Beispielhaft ist das Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Schubzugprüfung an einem2AX-GV in Abbildung 3.14 dargestellt.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

20

40

60

80

100

120

ε / %

σ/MPa

2AX45-12-Z0-2Spannung und Dehnung beim VersagenSpannung und Dehnung bei 2

3EPunkte zur Bestimmung der Modulsekante

Abbildung 3.14: Spannungs-Dehnungs-Diagramm einer Schubzugprüfung an 2AX-GV

Virtuelle Schubfestigkeit von Faser und Matrix

Aus der Schubfestigkeit der ES lässt sich auf die Schubfestigkeit der Matrix zurück-rechnen. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Matrix vor der Faser versagt.

R(s)Mv =

R⊥‖v

G′⊥‖

(√2√

3 ϕπ

GF ⊥‖+

1−√

2√

3 ϕπ

G′M⊥‖

) (3.92)

Allerdings führt dieses Vorgehen auf eine Schubfestigkeit R(s)Mv für die Matrix, die

in der Größenordnung der Zugfestigkeit R(+)Mv der Matrix liegt. Dies widerspricht

den Ergebnissen der Reinharzmessungen, wie sie in Tabelle 4.4 dargestellt werden.Auf Basis dieser Messergebnisse wird die Berechnung der Schubfestigkeit auf Basisihrer Zugfestigkeit bevorzugt. Dazu wird auf die Formänderungsenergiehypothesezurückgegriffen und die Isotropieannahme zugrunde gelegt.

R(s)M =

R(+)M

√

2 (1 + νM)(3.93)

Durch Einsetzen der Schubfestigkeit der Matrix in Formel 3.37 ergibt sich eine Schub-festigkeit der ES von ca. 30 MPa. Diese Schubspannung liegt in dem Bereich, inwelchem sich bei Prüfungen nach DIN EN ISO 14129 erste Eintrübungen in glas-klaren infusionierten Proben einstellen. Das ist ein deutlicher Hinweis darauf, dassderzeit die Schubfestigkeiten der ES signifikant überschätzt werden. Sofern die hierdargestellte Annahme korrekt ist, wird die Schubfestigkeit der ES etwa 60 % zu hochangenommen.


Praktische Umsetzung

Die Ausführungen im Abschnitt 3.4 wurden in Matlab R© als Skripte umgesetzt.Damit ist die vollautomatische Berechnung eines Materialmodells bis hin zu denSteifigkeits- und Festigkeitseigenschaften der Komponenten Faser und Matrix mög-lich. Es müssen lediglich die bei den Prüfungen verwendeten Laminataufbauten sowiedie geprüften Festigkeits- und Steifigkeitseigenschaften zusammen mit den jeweilsvorliegenden FVA als Eingangsparameter definiert werden.

Bei der Programmierung der notwendigen Skripte konnte auf Unterfunktionen einesbereits bestehenden KLT-Programms zurückgegriffen werden. Dieses wurde im Jahr2005 vom Verfasser erarbeitet und wird seitdem gepflegt sowie im Bedarfsfall erwei-tert. So ist mittlerweile die Berücksichtigung von hygro-thermischen Spannungenund eine Degradationsanalyse möglich. Für die inverse Berechnung im Rahmen derEILT wurden die Funktionen teilweise adaptiert. Die Steifigkeitsanalyse als ersterTeil der Programmstruktur ist in einem Flussdiagramm in Abbildung 3.15 darge-stellt.

Die Festigkeitsberechnung ist in Abbildung 3.16 als Struktogramm gezeigt.


Abbildung 3.15: Schematische Darstellung des Programmteils zur Steifigkeitsbestim-mung


Abbildung 3.16: Schematische Darstellung des Programmteils zur Festigkeitsbestim-mung

4 Modellvalidierung und Diskussion derErgebnisse

Zur Ermittlung der Eingangsparameter für die EILT sowie zur Validierung des Ver-fahrens und des daraus resultierenden Materialmodells wurden umfangreiche Mate-rialprüfungen an GF-GV zur Verwendung in Rotorblättern für WEA durchgeführt.Besonderheiten der Prüfungen und die Auswertung der Prüfergebnisse werden dar-gestellt.

Um das Berechnungsverfahren und das Materialmodell einschätzen zu können, wirdder Vergleich mit den mechanischen Eigenschaften der Einzelkomponenten aus Her-stellerangaben bzw. aus Messungen an diesen herangezogen. Schließlich wird dasgenerierte Materialmodell mit den Ergebnissen der Validierungsmessungen gegen-übergestellt. Die Abweichungen werden quantifiziert und die Qualität des Modellsbewertet.

4.1 Durchgeführte Materialprüfungen

Bei den Materialprüfungen wurde Wert auf Konsistenz gelegt, um schließlich ein kon-sistentes Materialmodell mit Hilfe der EILT ermitteln zu können. Dazu wurde dasPrüfprogramm mit dem Vakuuminfusionsharzsystem RIM 135 von Momentive

TM

(Mom06) durchgeführt. In den für die Prüfungen verwendeten Gelegen wurden wei-terhin fast ausschließlich PPG Rovings der Typen Hybon R© 2001 (PPG09) undHybon R© 2002 (PPG10) verwendet. Lediglich in den 3AX-Gelegen kam ein Rovingvon Johns Manville zum Einsatz. Beide PPG-Rovings sind sowohl von den me-chanischen Eigenschaften her vergleichbar, als auch mit der gleichen Schlichte aufSilanbasis behandelt. Lediglich das Auftragsverfahren der Schlichte unterscheidetsich. Der Johns Manville-Roving bietet nominell ebenfalls mit den PPG-Rovingsvergleichbare Eigenschaften.

Zusätzlich wurden die mechanischen Eigenschaften am Reinharz RIM R135 / RIMH137 mit Zug- und Schubprüfungen ermittelt. Mit den Prüfergebnissen werden dieErgebnisse der EILT validiert.

Probenüberblick

Im Folgenden sind die durchgeführten Prüfungen für jeden GV kurz dargestellt. Da-bei wird auf den Gelegeaufbau, die Prüfparameter sowie auf die gemessenen Eigen-schaften eingegangen. Bei Gelegen wird die Abrollrichtung als 0- und die Richtungquer zur Abrollrichtung als 90-Richtung bezeichnet. Die dritte Richtung ist dieDickenrichtung. Der Aufbau der geprüften Gelege wurde entsprechend Tabelle 4.2im Vorfeld der Prüfungen spezifiziert. Ein Überblick der geprüften GV-Proben sowieder dazugehörigen Probenbezeichnungen ist in Tabelle 4.1 gegeben.

80 4 Modellvalidierung und Diskussion der Ergebnisse

Gelege Prüfung u. Richtung / Prüfnormen Probenbezeichnung /Geschwindigkeit in mm/min DIN EN ISO Probenanzahl

UD-1200-xxx

Zug 0 / 2 527-5/A/2 UD2-Z0 / 6Druck 0 / 1 14126/B1 UD4-D0 / 7Zug 90 / 1 527-5/B/1 UD4-Z90 / 8

Druck 90 / 1 14126/B1 UD4-D90 / 7FMA / - 1172 UD2-FG* / UD4-FG*Dichte / - 1183-1 UD2-FG* / UD4-FG*

2AX-1200-0660

Zug 0 u. Schub / 2 527-4/3/2 / 14129 2AX45-12-Z0 / 6Zug 45 / 2 527-4/3/2 2AX45-12-Z45 / 6

FMA / - 11722AX45-12-Z0-FG* /2AX45-12-Z45-FG*

Dichte / - 1183-12AX45-12-Z0-FG* /2AX45-12-Z45-FG*

2AX-0800-0440

Zug 0 u. Schub / 2 527-4/3/2 / 14129 2AX45-08-Z0 / 6Zug 45 / 2 527-4/3/2 2AX45-08-Z45 / 6

FMA / - 11722AX45-08-Z0-FG* /2AX45-08-Z45-FG*

Dichte / - 1183-12AX45-08-Z0-FG* /2AX45-08-Z45-FG*

2AX35-1200-0660Zug 0 / 2 527-4/3/2 2AX35-12-Z0 / 6FMA / - 1172 2AX35-12-FG*Dichte / - 1183-1 2AX35-12-FG*

2AX35-0800-0440Zug 0 / 2 527-4/3/2 2AX35-08-Z0 / 6FMA / - 1172 2AX35-08-FG*Dichte / - 1183-1 2AX35-08-FG*

3AX-1200-6330Zug 0 / 2 527-4/3/2 3AX45-Z0 / 6FMA / - 1172 3AX45-FG*Dichte / - 1183-1 3AX45-FG*

3AX9060-1200-6330

Zug 0 / 2 527-4/3/2 3AX9060-Z0 / 6Zug 90 / 2 527-4/3/2 3AX9060-Z90 / 6

FMA / - 11723AX9060-Z0-FG* /3AX9060-Z90-FG*

Dichte / - 1183-13AX9060-Z0-FG* /3AX9060-Z90-FG*

RIM R135/H137Zug / 1 527-2/1B/1 Reinharz-Z

Schub / (Bas11) (Bas11) Reinharz-S

* Alle Probenserien für Ermittlung von Dichte und FMA umfingen 3 Probenkörper

Tabelle 4.1: Überblick der Prüfungen und Probenbezeichnungen

Probenfertigung, Temperung und Lagerung

Für jedes Gelege wurde eine Probenserie aus jeweils einer Probenplatte gefertigt,wobei als Ziel-FVA 53 % vorgegeben waren. Erfahrungsgemäß stellt sich im ange-wandten VI-Verfahren ein FVA knapp unterhalb 55 % ein. Allerdings wird bei derProbenfertigung eine Toleranz von ±2 %-Punkten FVA angegeben. Da beim Mate-rialnachweis ein FVA von 30 % ≤ ϕ ≤ 55 % gefordert wird, wurde der Ziel-FVA fürdie Proben entsprechend niedriger gewählt. In allen Fällen wurde mit zweiteiligenFormen gearbeitet, deren Kavität durch einen Distanzrahmen, welcher gleichzeitigals Dichtung wirkt, eingestellt wurde, um den Ziel-FVA zu erreichen. Die Dicke

4.1 Durchgeführte Materialprüfungen 81

GelegeFlächenmasse in g/m2, zulässige Massentoleranz ±5 %

0 ±35 ±45 ±60 90 PES-Nähfaden Summe

UD-1200-xxx 1152 − − − 36 12 12002AX-1200-0660 − − 1202 − − 6 12082AX-0800-0440 − − 802 − − 6 8082AX35-1200-0660 − 1236 − − − 6 12422AX35-0800-0440 − 824 − − − 6 8303AX-1200-6330 638 − 602 − − 6 12083AX9060-1200-6330 − − − 600 638 6 1246

Tabelle 4.2: Aufbau der geprüften Gelege

des Distanzrahmens entspricht schließlich der Dicke der Probenplatte. Sie kann imVorfeld berechnet werden durch

tPl =mAG

ρGϕz(4.1)

Dabei beschreibt tPl die notwendige Plattendicke, mAG das Flächengewicht des Ge-leges, ρG die mittlere Dichte des Geleges und ϕz den Ziel-FVA. Der schematischeAufbau des Probenwerkzeugs ist in Abbildung 4.1 dargestellt.

Abbildung 4.1: Schematische Darstellung des Probenbauwerkzeugs

Der Probenaufbau und die daraus resultierende Lagenfolge gestalteten sich entspre-chend Tabelle 4.3.

Der Härtungs- und Temperzyklus für alle Proben wurde vorgegeben und sowohl fürdie GV-Proben als auch für die Reinharzproben angewendet. Er war mit 9 Stunden60C und 8 Stunden 65C festgelegt. Die verschiedenen Temperaturniveaus wur-den mit Gradienten von 2 K/min angefahren. In Abbildung 4.2 ist der vorgegebeneTemperzyklus grafisch dargestellt.

Nach erfolgter Härtung und Temperung wurden entsprechend den angengebenenNormen Doppler aufgeklebt und die Probenkörper wurden mit einer Diamantsägeaus den Probenplatten gesägt. Weiterhin wurden aus jeder Probenplatte drei Pro-ben zur Bestimmung der Dichte und des FMA entnommen. Schließlich wurden dieProben vor der Versuchsdurchführung unter Normklima bei 23C Raumtemperaturund 50 % Luftfeuchtigkeit gelagert.


Probenplatte Lagenanzahl Schichtfolge Eigenschaften

UD2 2 [0, Stützfaden]s sym./ ausgegl.UD4 4 2x[0, Stützfaden]s sym./ ausgegl.2AX45-12-Z0 4 2x[45, -45]s sym./ ausgegl.2AX45-12-Z45 4 2x[45, -45]s sym./ ausgegl.2AX45-08-Z0 4 2x[45, -45]s sym./ ausgegl.2AX45-08-Z45 4 2x[45, -45]s sym./ ausgegl.2AX35-12-Z0 4 4x[35, -35] asym./ ausgegl.2AX35-08-Z0 4 4x[35, -35] asym./ ausgegl.3AX45-Z0 4 2x[45, -45, 0], 2x[0, 45, -45] asym./ ausgegl.3AX9060-Z0 4 4x[60, 90, -60] asym./ ausgegl.3AX9060-Z90 4 4x[-30, 0, 30] asym./ ausgegl.

Tabelle 4.3: Lagenaufbau und Schichtfolge der GV-Proben

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

10

20

30

40

50

60

70

t / h

T/

C

TemperaturverlaufRaumtemperatur

Abbildung 4.2: Vorgegebener Härte- und Temperzyklus

UD-Gelege

Das Gelege für die UD-GV-Prüfung wurde von der Firma Saertex R© gefertigt. DieProbenkörper für die Zugprüfung in 0-Richtung wurden aus der Probenplatte mit2 Lagen Gelege entnommen und entsprechen in ihren Abmessungen DIN EN ISO527-5A. Abweichend von der Norm wurden die Probenkörper mit einer Länge von270 mm gefertigt. Dadurch erhöht sich bei gleicher freier Probenlänge die Einspann-länge und die Spannkräfte können reduziert werden. Zwei entsprechende Probennach erfolgter Prüfung sind in Abbildung 4.3 dargestellt.

Alle anderen UD-Proben wurden aus der Probenplatte mit 4 Gelegelagen gefertigt.Die Probenplatte wurde für die UD-Längsdruck-, Querzug- und Querdruckprüfungin 3 kleinere Probenplatten unterteilt. Für alle drei Probenserien gelten die gleichenReferenzwerte für Dichte und FMA.

Für die Längsdruckprüfung entsprechen die Probenkörperabmessungen DIN EN ISO14126-B1. Abweichend davon wiesen sie eine Breite von 15 mm und eine Länge von


Abbildung 4.3: Längszugproben aus UD-GV UD2-Z0 aus (AG09)

143 mm auf. Die Freie Probenlänge betrug 10 mm. Zwei der zerstörten Probenkörpersind in Abbildung 4.4 zu sehen.

Abbildung 4.4: Längsdruckproben aus UD-GV UD4-D0 aus (AG09)

Die Probenkörper für die Querzugprüfung wurden entsprechend DIN EN ISO 527-5Bzugeschnitten. Abweichend von der Norm wurde eine Probenlänge von 270 mm fest-gelegt. Die freie Probenlänge betrug 150 mm. Zwei der zerstörten Probenkörper sindin Abbildung 4.5 dargestellt.

Abbildung 4.5: Querzugproben aus UD-GV UD4-Z90 aus (AG09)

Bei der Querdruckprüfung wurden die Probenkörper in Anlehnung an DIN EN ISO14126-B1 gefertigt. Allerdings betrug die Breite hier 25 mm. Die Länge von 143 mmwurde beibehalten. Der Abstand zwischen den Aufleimern wurde mit 10 mm abwei-chend von der Norm eingestellt. Bei der hier gewählten Probenbreite ist der Abstandzwischen den Aufleimern laut Norm auf 25 mm einzustellen. Von den zerstörten Pro-benkörpern sind zwei in Abbildung 4.6 gezeigt.

Die unterschiedlichen Prüfrichtungen und die zugehörigen Probenplattenbezeichnun-gen sind in Abbildung 4.7 schematisch dargestellt.

2AX-Gelege

Es wurde Wert darauf gelegt, die Probenplatten für die sechs 2AX-GV-Prüfungensymmetrisch ausgeglichen zu realisieren. Für die ±45-2AX-Gelege, welche von derFirma SGL Kümpers gefertigt wurden, wurde das, abgesehen von den leichtenNäh- und Stützfäden, durch Drehen der Gelegelagen um 90 zur Abrollrichtung


Abbildung 4.6: Querdruckproben aus UD-GV UD4-D90 aus (AG09)

Abbildung 4.7: Prüfrichtungen und Probenplattenbezeichungen UD-GV

für die oberen zwei Gelegelagen erreicht. Da die beiden ±45-2AX-GV sowohl inAbrollrichtung als auch in 45 zur Abrollrichtung geprüft wurden, mussten je zweiProbenplatten gefertigt werden. Für die ±35-2AX-Gelege der Firma Saertex R©

war nur ein ausgeglichener aber kein symmetrischer Aufbau möglich. An diesenwurden nur Prüfungen in Abrollrichtung des Geleges durchgeführt.

Die Probenkonfektionierung erfolgte für die Schubzugprüfungen entsprechend DINEN ISO 14129. Abweichend davon wurde auch hier aus genanntem Grund die Pro-benlänge auf 270 mm festgelegt, wobei die freie Probenlänge von 150 mm erhaltenblieb. Die Probenabmessungen entsprechen, abgesehen von der höheren Klemmlän-ge, denen nach DIN EN ISO 527-4/3. In Abbildung 4.8 sind zwei der zerstörtenProben aus den Schubzugversuchen dargestellt.

Abbildung 4.8: Schubzugproben aus 2AX-GV 2AX45-12-Z0 aus (AG09)

Für die Zugprüfung in 45 zur Abrollrichtung wurden die gleichen Probendimensio-nen verwendet. Zwei der Proben aus diesen Prüfungen sind in Abbildung 4.9 nacherfolgter Prüfung gezeigt.


Abbildung 4.9: Zugproben aus 2AX-GV 2AX45-12-Z45 aus (AG09)

In Abbildung 4.10 sind die Probenplatten mit Prüfrichtung schematisch dargestellt.Jede dargestellte Probenplatte repräsentiert zwei gleichartige GV mit den unter-schiedlichen Flächenmassen der Gelege.

Abbildung 4.10: Prüfrichtungen und Probenplattenbezeichungen 2AX-GV

3AX-Gelege

Für die Prüfungen der Probenserien 3AX45-Z0, 3AX9060-Z0 und 3AX9060-Z90 wur-den die Gelege von der Firma Dipex zur Verfügung gestellt. Für diese war ebenfallsein ausgeglichener aber kein symmetrischer Aufbau der Probenplatten möglich. DieAbmessungen folgten DIN EN ISO 527-4/3 mit Ausnahme der Länge, welche auchhier auf 270 mm eingestellt wurde. Die freie Länge der Proben blieb davon unbe-rührt. Zwei zerstörte Proben der Zugprüfungen am 3AX9060-GV sind beispielhaftin Abbildung 4.11 zu sehen.

Abbildung 4.11: Zugproben aus 3AX9060-GV 3AX9060-Z90 aus (AG09)


Die Probenplatten mit ihren Bezeichnungen und Prüfrichtungen sind in Abbildung4.12 dargestellt.

Abbildung 4.12: Prüfrichtungen und Probenplattenbezeichungen 3AX-GV

Reinharz

Zur Fertigung der Probenplatten für die Reinharzprüfung wurde ein zweiteiligesGießwerkzeug verwendet. Es wurden vier Probenplatten gefertigt. Aus jeder wurdenje zwei Proben für die Zugprüfung und eine für die Schubprüfung entnommen, umjeweils den Zusammenhang zwischen den Ergebnissen der Zugprüfungen und denender Schubprüfungen herstellen zu können. Die Proben für die Zugprüfung am Rein-harz entsprachen in ihren Abmessungen DIN EN ISO 527-2/1B. Abweichend wurdedurch die Kavität des verwendeten Gießwerkzeugs eine Dicke von 6 mm eingestellt.Der Schubrahmenversuch folgt keiner gültigen Norm. Die Abmessungen der dafürnotwendigen Probenkörper folgen den Anforderungen des Schubrahmens. Detailsdarüber können in (Bas11) nachgelesen werden. In Abbildung 4.13 ist die Skizzeeiner entsprechenden Schubrahmenprobe dargestellt.

Der Verlauf einer Schubrahmenprüfung am Reinharz ist in Abbildung 4.14 gezeigt.In den Fotos von links oben, über rechts oben nach links unten ist zu sehen, wie dieSchubverzerrung ansteigt. Im Bild rechts unten ist die zerstörte Probe zu erkennen.

4.2 Übersicht der Messergebnisse

Die Ergebnisse der Prüfungen entsprechend den vorliegenden Prüfberichten sind inTabelle 4.4 zusammenfassend dargestellt. Diese bilden die Ausgangsbasis für dieErmittlung der Eingangsparameter der EILT.

Hier soll kurz auf den Unterschied im ermittelten G-Modul nach DIN EN ISO 14129und DIN EN ISO 527-4 eingegangen werden. Aus den Ergebnissen der Prüfung nachDIN EN ISO 527-4 für 2AX-GV mit Verstärkung in ±45 lässt sich der G-Modulermitteln (siehe Formel 3.67). Für die beiden 2AX-GV 2AX45-12-Z0 und 2AX45-08-Z0 ergeben sich die in Abbildung 4.15 dargestellten Verhältnisse mit 7.2 % und5.5 % Unterschied zwischen den Methoden.

4.2 Übersicht der Messergebnisse 87

Abbildung 4.13: Skizze einer Schubrahmenprobe mit Messinstrumentierung aus(Bas11)

Die nach DIN EN ISO 14129 an den unterschiedlichen GV ermittelten G-Moduli sindannähernd gleich. Das gleiche gilt für die auf Basis der Messdaten nach DIN EN ISO527-4 ermittelten G-Moduli. Darüber hinaus ergeben die Proben aus 2AX45-12-Z0 inbeiden Verfahren geringere Moduli, Versagensspannungen und Versagensdehnungenals jene aus 2AX45-08-Z0. In der praktischen Anwendung entspricht die Auswer-tung nach DIN EN ISO 527-4 einem Schritt in Richtung der sicheren Seite, da diezulässigen Versagensdehnungen bzw. Schubverzerrungen bei höherem Modul undgleichbleibender Versagensspannung reduziert werden. Darüber hinaus entsprechendie so ermittelten G-Moduli eher den Erwartungswerten entsprechend gängiger Mi-schungsregeln.

Für die Reinharzprüfung wurde der G-Modul der Harzmatrix im Schubversuch er-mittelt. Gleichzeitig kann er unter Annahme von Isotropie mit Hilfe des E-Modulsund der Querkontraktionszahl berechnet werden (siehe Formel 3.66). Für die vorlie-genden Messergebnisse folgt ein berechneter G-Modul von GMb = 1176 MPa. Vergli-chen mit dem G-Modul des Reinharzes aus der Schubrahmenprüfung ist der relativkleine Unterschied von weniger als 4 % bemerkenswert. Damit ist zunächst die Zuläs-sigkeit der Isotropieannahme für die Epoxidharzmatrix im linear elastischen Bereichnachgewiesen.

Weiterhin ist die Bestimmung der Querkontraktionszahl sehr störanfällig. Insgesamtkann das Ergebnis demnach als Bestätigung der angenommenen Querkontraktions-zahl von νM = 0.37 gewertet werden. Der aus den Zugprüfergebnissen berechneteG-Modul ändert sich dadurch nicht signifikant.

Schließlich kann anhand der Prüfergebnisse die Gültigkeit der Formänderungsen-ergiehypothese nach Beltrami für diese Harzmatrix geprüft werden. Im Fall derGültigkeit ergibt sich die Schubfestigkeit der Harzmatrix R(s)

M durch

R(s)M =

R(+)M

√

2 (1 + νM)= 41.7 MPa (4.2)


Abbildung 4.14: links oben nach rechts unten: Schubrahmenprüfung am Reinharz

Unter der dargestellten Annahme entsteht ein Fehler von etwa 9 % im Vergleich zurMessung im Schubrahmen. Die Verwendung der entsprechenden Formänderungsen-ergiehypothese ist demnach zumindest nicht ausgeschlossen. Diese Information istfür einen über diese Arbeit hinausführenden Ansatz sehr hilfreich, der in Kapitel 5kurz vorgestellt wird.

Um die Ergebnisse der mechanischen Prüfungen über den FVA und die Porosität kor-rigieren zu können, ist die erweiterte Auswertung der FVA notwendig. Dazu werdendie Ergebnisse der Dichte- und FMA-Ermittlung sowie die Dicken der Veraschungs-proben benötigt. Diese sind in Tabelle 4.5 dargestellt.

Die Größe der Probenkörper zur Bestimmung von Dichte und FMA betrug 20 mmx 30 mm. Aus der Probenplattendicke folgte die Dicke der Probenkörper. Weiterhinwurden die Abmessungen der Probekörper in allen drei Raumrichtungen auf 0.01 mmgenau nachgemessen.

4.3 FVA-Bestimmung und Korrektur der Messwerte

Anhand der Ergebnisse aus Dichte- und FMA-Bestimmung für jede Probenplattein Tabelle 4.5 wurde der FVA und der Porengehalt jeder Probenplatte nach demVerfahren in Abschnitt 3.3 berechnet. Anhand des Porengehaltes entsprechend For-mel 3.46 und der Dicke jeder Probe kann der FVA jeder einzelnen Probe berechnetwerden. Die Ergebnisse werden denen auf Basis der Annahme von zwei Phasen imfolgenden Abschnitt gegenübergestellt.

4.3 FVA-Bestimmung und Korrektur der Messwerte 89

Probenserie E (Eσ) in MPa R (Rσ) in MPa ν (νσ)

UD2-Z01 41685 (2884) 911.3 (45.7) [805.4] 0.26 (0.05)UD4-D01 43885 (458) 815.3 (52.0) [697.6] −UD4-Z901 11901 (301) 52.5 (2.16) −UD4-D901 13702 (287) 154.9 (1.49) −2AX45-12-Z01 13000 (105) / 3744.1* (99) 103.1 (8.45) / 48.5** (1.79) 0.59 (0.09)2AX45-12-Z451 28251 (1184) 518.6 (22.7) 0.15 (0.06)2AX45-08-Z01 13426 (140) / 3859.2* (84) 138.7 (4.47) / 52.6** (1.31) 0.67 (0.14)2AX45-08-Z451 28859 (416) 547.8 (6.54) 0.20 (0.05)2AX35-12-Z01 17102 (283) 191.6 (3.60) 0.62 (0.04)2AX35-08-Z01 18051 (430) 237.1 (3.97) 0.66 (0.09)3AX45-Z01 29048 (464) 662.2 (16.3) 0.46 (0.04)3AX9060-Z01 11280 (400) 60.0 (1.38) 0.18 (0.05)3AX9060-Z901 31624 (628) 802.4 (12.3) 0.47 (0.02)

Reinharz-Z2 3275 (84.4) 69.5 (0.77) 0.39 (0.003)Reinharz-S2 1130* (29.3) 45.7** (0.74) −

* G-Modul; ** Schubfestigkeit; [] charakteristische Werte; 1 aus (AG09); 2 gemessen bei BAM

Tabelle 4.4: Überblick der Messergebnisse aus den mechanischen Prüfungen

Probenserie t in mm ρ in kg/m3 mA in kg/m2 ψ in %

UD2-FG 1.70 1931 2.346 71.51UD4-FG 3.43 1955 4.816 72.822AX45-12-Z0-FG 3.24 1972 4.721 74.442AX45-12-Z45-FG 3.23 1971 4.728 74.452AX45-08-Z0-FG 2.19 1971 3.166 73.572AX45-08-Z45-FG 2.19 1982 3.228 74.292AX35-12-Z0-FG 3.28 1978 4.785 73.902AX35-08-Z0-FG 2.17 1986 3.206 74.313AX45-Z0-FG 3.40 1960 4.926 73.863AX9060-Z0-FG 3.54 1931 4.945 72.403AX9060-Z90-FG 3.33 1971 4.847 74.44

Tabelle 4.5: Überblick der Messergebnisse der FMA- und Dichte-Bestimmung aus(AG09)

Vergleich der Methoden

Die hergeleitete Berechnungsmethode für den FVA führt unter Berücksichtigung vonvier Phasen zu deutlich anderen Ergebnissen als der zweiphasige Ansatz. Bereits derVergleich der FMA nach DIN EN ISO 1172 ψm mit dem korrigierten Ergebnis unterBerücksichtigung von Schlichte und Nähfäden ψkor in Abbildung 4.16 führt auf einenUnterschied von etwa 1 %-Punkt im FMA. Das ist auf den Verlust von Schlichte undNähfäden bei der Veraschung zurückzuführen.

Noch deutlicher wird der Unterschied bei den FVA. Hier ergibt sich infolge der FVA-Bestimmung unter Annahme von zwei beteiligten Phasen (ϕ2p) ein Unterschied vonca. 2 %-Punkten im betrachteten FVA-Bereich, verglichen mit der Bestimmung un-ter Annahme vier beteiligter Phasen (ϕ4p). Die Bestimmung der FVA mit Hilfeder Probendicke, wie sie in Kapitel 3.3 dargestellt ist, wurde ebenfalls an den Kal-zinierungsproben durchgeführt. Der Unterschied zwischen den Ergebnissen dieses


2AX45−12−Z0 2AX45−08−Z00

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Gxy/MPa

G (γ = 0.001, γ = 0.005) G (ε = 0.0025, ε = 0.0005) Erwartungswert

Abbildung 4.15: Vergleich unterschiedlicher Methoden zur Ermittlung des G-Modul

Verfahrens sowie der auf Basis des vierphasigen Ansatzes, ist deutlich geringer, wiein Abbildung 4.17 zu sehen ist.

Es kann insgesamt festgestellt werden, dass die Bestimmung des FVA mit Hilfe derProbendicke unter Verwendung realistischer Eingangsparameter für die Dichten aufrealistische Ergebnisse führt. Bemerkenswert ist darüber hinaus der geringe Poren-gehalt aller untersuchten Proben ξg, der bis auf eine Ausnahme unterhalb 1 % liegt.

Als Folge der Unterschätzung des FVA unter der Annahme von Zweiphasigkeit wer-den die Faser- und Matrixsteifigkeiten bei der inversen Rechnung zu hoch ermittelt.In der Konsequenz werden auch die verschmierten Moduli über dem FVA über-schätzt. Mischungsregeln für mechanische Eigenschaften stellen die Übertragungs-funktionen von den Eigenschaften der Komponenten in jene der ES dar. Der wesent-liche Parameter dabei ist der FVA. Ein Teil der Streuungen der Ergebnisse zwischenunterschiedlichen Probenserien ist demnach schon dadurch zu erklären, dass die FVAungenau oder sogar fehlerhaft ermittelt werden.

FVA der Einzelproben

Im Folgenden wird zusätzlich auf den Unterschied zwischen den für die Bestim-mung des FMA entnommenen Proben und den Probenkörpern für die mechanischenPrüfungen eingegangen. Die Probendicken sowie die sich daraus ergebenden FVAinnerhalb einer Probenserie können deutliche Streuungen aufweisen.

In Abbildung 4.18 sind beispielhaft die FVA der Proben aus der Serie UD2-Z0 überderen Probendicken aufgetragen. Dabei werden die Kalzinierungsproben und jenezur mechanischen Prüfung nebeneinander dargestellt. Weiterhin sind die Ergebnisseder verglichenen Methoden zur FVA-Ermittlung gezeigt. Es ist zu sehen, dass indiesem Fall eine Streuung der Probendicken über 0.06 mm bereits einer Streuungim FVA über 1.85 %-Punkte entspricht. Zusätzlich weichen auch die Dicken derKalzinierungsproben deutlich von denen der Proben zur mechanischen Prüfung ab.

Die Ergebnisse der FVA-Bestimmung mittels der Probendicke der Einzelproben je-der Serie sind für alle Probenserien in Tabelle 4.6 als Mittelwerte vergleichend mit

4.3 FVA-Bestimmung und Korrektur der Messwerte 91

0

10

20

30

40

50

60

70

80

FMA

/%

UD2UD4

2AX45−12−Z0

2AX45−12−Z45

2AX45−08−Z0

2AX45−08−Z45

2AX35−12−Z0

2AX35−08−Z0

3AX45−Z0

3AX9060−Z0

3AX9060−Z90

ψm ψkor

Abbildung 4.16: Vergleich der FMA-Bestimmung an den Kalzinierungsproben

den Mittelwerten des Referenzverfahrens dargestellt. Zusätzlich ist die Standardab-weichung des FVA innerhalb jeder Probenserie angegeben.

Probenserieϕt* ϕtσ* ϕ4p

in % in %-Pkt. in %

UD-Z0 53.67 0.73 54.50

UD-D0 56.65 0.3956.18UD-Z90 55.53 0.34

UD-D90 56.41 0.28

2AX45-12-Z0 57.29 0.39 57.912AX45-12-Z45 57.36 0.11 57.922AX45-08-Z0 56.12 0.10 57.142AX45-08-Z45 57.64 0.13 58.102AX35-12-Z0 55.98 0.43 56.992AX35-08-Z0 57.45 0.14 57.813AX45-Z0 56.04 0.45 57.393AX9060-Z0 54.00 0.31 55.073AX9060-Z90 54.28 0.78 57.72

* an Probenserien zur mechanischen Prüfung ermittelt

Tabelle 4.6: Ergebnisse der FVA-Bestimmung an den Proben zur mechanischen Prü-fung

Es ist auffällig, dass sich die FVA der Kalzinierungsproben auf Basis der FMA-und Dichtemessung deutlich von den FVA-Bestimmungen über die Probendicke derProben zur mechanischen Prüfung unterscheiden. Die Abweichung ist in den mei-sten Fällen größer als die Standardabweichung des FVA ϕtσ der Probenserien zurmechanischen Prüfung. Im Extremfall für die Probenserie 3AX9060-Z90 ergibt sichzwischen beiden ein Unterschied von mehr als 3 %-Punkten im FVA. Das ist mög-licherweise darauf zurückzuführen, dass die Proben zur Bestimmung des FMA an


0

10

20

30

40

50

60Volumenanteil/%

UD2UD4

2AX45−12−Z0

2AX45−12−Z45

2AX45−08−Z0

2AX45−08−Z45

2AX35−12−Z0

2AX35−08−Z0

3AX45−Z0

3AX9060−Z0

3AX9060−Z90

ϕ2p ϕ4p ϕt ξg

Abbildung 4.17: Vergleich der FVA-Bestimmung an den Kalzinierungsproben

1.6 1.62 1.64 1.66 1.68 1.7 1.72 1.74 1.76 1.78 1.852

52.5

53

53.5

54

54.5

55

t / mm

ϕ/%

Probenserie UD2-Z0 ϕt

Probenserie UD2-Z0 ϕt

Kalzinierungsproben ϕt

Kalzinierungsproben ϕt

Kalzinierungsproben ϕ4p

Kalzinierungsproben ϕ4p

Abbildung 4.18: FVA über der Probendicke für Probenserie UD2-Z0

Stellen in der Probenplatte entnommen wurden, die in einiger Entfernung zur Ent-nahmestelle der Proben für die mechanischen Prüfungen lagen.

Unter Berücksichtigung diesen Aspekts muss generell geraten werden, die FVA vonFV-Prüfkörpern, neben der Bestimmung von Dichte und FMA für die Probenplatte,über die Probendicke zu korrigieren. Der Einfluss einer Fehleinschätzung des FVAfür die Bewertung der Elastizitäts- und Festigkeitseigenschaften sowohl in Längs- alsauch in Querrichtung ist signifikant. Beispielsweise ergibt sich bei der Berechnung desE-Moduls in Hauptverstärkungsrichtung des 3AX9060-GV das folgende Verhältnis.

Eb (ϕt = 54.28 %) = 34026 MPa und Eb (ϕ4p = 57.72 %) = 36154 MPa (4.3)

4.4 Eingangsparameter der EILT 93

Das entspricht einem Fehler bei der Modulbestimmung von 6.3 %. Ein großer Teilder Streuungen ist demnach auf mangelhafte Auswerteverfahren bei der Bestimmungdes FVA von FV-Proben zurückzuführen.

Korrektur der mechanischen Eigenschaften

Die im Rahmen der Prüfungen ermittelten Elastizitäten und Festigkeiten werdenmit Hilfe des Porositätsfaktors fkor korrigiert. Für die gemessenen Querkontrakti-onszahlen ν findet keine Korrektur statt. In Tabelle 4.7 sind die korrigierten Mess-ergebnisse dargestellt. Zum Vergleich sind die nicht korrigierten Werte in rundenKlammern daneben gestellt.

Gelege fkor

(Em

)Emkor in MPa

(Rm

)Rmkor in MPa

UD-Z0 1.0027 (41685) 41798 (911.3 [805.4]) 913.8 [807.6]

UD-D01.0026

(43885) 43999 (815.3 [697.6]) 817.4 [699.4]UD-Z90 (11901) 11932 (52.5) 52.7UD-D90 (13702) 13738 (154.9) 155.3

2AX45-12-Z0 1.0086(13000) 13112 (103.1) 104.0

(3744.1)* 3776.3* (48.5)** 49.0**2AX45-12-Z45 1.0092 (28251) 28511 (518.6) 523.4

2AX45-08-Z0 1.0014(13426) 13445 (138.7) 138.9

(3859.2)* 3864.6* (52.6)** 52.7**2AX45-08-Z45 1.0027 (28859) 28937 (547.8) 549.3

2AX35-12-Z0 1.0001 (17102) 17103 (191.6) 191.6

2AX35-08-Z0 1.0004 (18051) 18058 (237.1) 237.2

3AX45-Z0 1.0096 (29048) 29327 (662.2) 668.6

3AX9060-Z0 1.0101 (11280) 11394 (60.0) 60.73AX9060-Z90 1.0088 (31624) 31902 (802.4) 809.4

* G-Modul; ** Schubfestigkeit; [] charakteristische Werte

Tabelle 4.7: Korrigierte mechanische Eigenschaften aus Prüfergebnissen

Aus diesen korrigierten mechanischen Eigenschaften der GV können, zusammen mitden FVA aus Tabelle 4.6, die Eingangsparameter für die EILT zusammengestelltwerden.

4.4 Eingangsparameter der EILT

Die korrigierten Ergebnisse der Prüfungen am UD-GV sowie die korrigierten Er-gebnisse der Schubzugprüfung am 2AX-GV werden als Eingangsparameter für dieEILT verwendet. Für die Eingangsparameter aus der Schubzugprüfung fiel die Wahlauf das schwerere 2AX-Gelege, da hier die kleineren Steifigkeiten, Festigkeiten undDehnungen beim Versagen gemessen wurden. Damit repräsentiert das resultierendeMaterialmodell eine Aussage auf der sicheren Seite.


Die ausgewählten Eingangsparameter für die EILT sind in Tabelle 4.8 zusammenge-fasst. Die Festigkeitswerte der Längsdruck- und Längszugmessung sind als Mittelwer-te dargestellt. Als Auslegungswerte in Rotorblattkonstruktion müssen hier charak-teristische bzw. statistisch abgesicherte Kennwerte eingehen. Für die Querprüfungund die Schubzugprüfung sind ebenfalls Mittelwerte angegeben. Für die Schubzug-prüfung sind die E-Moduli der Auswertung nach DIN EN ISO 527-4 dargestellt sowieder zweifache Schubfestigkeitswert nach DIN EN ISO 14129. Dieser Festigkeitswertentspricht der Festigkeitsdefinition nach DIN EN ISO 14129. Die Daten, die keinenEingang in die EILT finden, sind in Klammern dargestellt.

Probenserie ϕme (t) Emkor Rmkor ν% MPa MPa -

UD-Z0 53.67 41798 913.8 0.2593UD-D0 56.65 (43999) 817.4 −UD-Z90 55.53 11932 52.69 −UD-D90 56.41 (13738) 155.3 −2AX45-12-Z0 57.29 13112 (97.94) 0.5735

PES-Nähfaden: isotrop, E = 15000 MPa, ν = 0.28, ρ = 1370 kg/m3

Tabelle 4.8: Eingangsparameter der EILT

4.5 Vergleich der Materialmodelle

Mit den Daten aus Tabelle 4.8 wurden mit der EILT die Eigenschaften der Einzel-komponenten Glasfaser und Harzmatrix ermittelt. Diese sowie die daraus resultie-renden mechanischen Eigenschaften der virtuellen ES sind in Tabelle 4.9 dargestellt.Zur Berechnung dieser Ergebnisse wurden einmal die Mischungsregeln auf Basis desZFMq mit quadratischer Packung der Fasern zugrunde gelegt, andererseits fandenjene auf Basis des ZFMh mit hexagonaler Faserpackung Anwendung.

Es ist zu erkennen, dass der Einfluss der gewählten Mischungsregel auf die me-chanischen Eigenschaften der Harzmatrix deutlich ausfällt. Die Eigenschaften dervirtuellen ES sowie der Glasfaser unterscheiden sich hingegen nur wenig. Das istdurch das Verfahren bedingt. Der Einfluss der Mischungsregeln für die matrixdo-minierten Eigenschaften auf die Längssteifigkeit einer ES unter Vernachlässigungder Nichtlinearität der Harzmatrix ist nicht signifikant. Daher ändern sich sowohldie Elastizität als auch die Festigkeit in Faserrichtung und damit die der Faser inAbhängigkeit der gewählten Mischungsregel kaum. Der Unterschied in den Elasti-zitäten und Festigkeiten der Harzmatrix hingegen ist groß, da diese direkt mit denMischungsregeln für die matrixdominierten Eigenschaften berechnet werden. Er be-trägt für die dargestellten Mischungsregeln ZFMh und ZFMq nahezu 20 % im E-Modul und etwa 15 % in der Festigkeit. Folglich sind die invers berechneten mecha-nischen Eigenschaften der Matrix auch als ein Maß für die Güte der angewandtenMischungsregeln zu verstehen.

Es sei an dieser Stelle erwähnt, dass das Verfahren unter Verwendung der Mischungs-regeln nach Puck, Förster und VDI 2014-1 mit den in Tabelle 4.8 dargestellten

4.6 Vergleich von Modell und Messung für Faser und Matrix 95

Modellparameter Einheit ZFMh ZFMq Abweichung

EF MPa 81383 81919 0.66 %GF MPa 33327 33993 2.00 %νF - 0.2210 0.2050 −7.24 %

R(+)F MPa 1693.1 1704.2 0.66 %

R(−)F MPa 1440.8 1448.8 0.56 %

EM MPa 3217.7 2584.0 −19.7 %GM MPa 1176.0 931.9 −20.8 %νM - 0.3680 0.3865 5.03 %

R(+)M MPa 73.49 84.45 14.9 %

R(−)M MPa 217.4 250.9 15.4 %

R(s)M MPa 74.80 87.01 16.3 %

E‖ MPa 44267 44292 0.06 %

R(+)‖ MPa 969.4 970.0 0.06 %

ε(+)‖ % 2.19 2.19 0 %

R(−)‖ MPa 825.0 824.6 −0.05 %

ε(−)‖ % 1.86 1.86 0 %

E⊥ MPa 10818 10771 −0.43 %

R(+)⊥ MPa 48.60 48.75 0.31 %

ε(+)⊥ % 0.45 0.45 0 %

R(−)⊥ MPa 143.8 144.9 0.76 %

ε(−)⊥ % 1.33 1.34 0.75 %G⊥‖ MPa 3887.3 3805.7 −2.10 %R⊥‖ MPa 49.12 49.65 1.08 %γ⊥‖ % 1.26 1.30 3.17 %

Tabelle 4.9: Modellparameter aus Ergebnissen der EILT ϕref = 54.9 %

Eingangsparametern nicht konvergiert. Die Ergebnisse unter Verwendung der Mi-schungsregeln nach Chamis sind denen mit ZFMh ähnlich. Sie unterscheiden sichallerdings deutlich in der Matrixfestigkeit. Hier ergibt sich mit den Eigenschaftennach Chamis eine 25 % geringere Festigkeit. Das ist auf die Tatsache zurückzufüh-ren, dass sich mit den Mischungsregeln nach Chamis der in-situ-Modul der Matrixnicht explizit bestimmen lässt. Folglich kann dieser in den Mischungsregeln für dieFestigkeiten keine Berücksichtigung finden. Als Konsequenz werden der Spannungs-überhöhungsfaktor in der Matrix bei Querbeanspruchung und damit die Matrix-festigkeit in der inversen Rechnung deutlich unterschätzt. Allgemein bestätigt sichdadurch die bevorzugte Verwendung der Mischungsregeln auf Basis des Zylinder-fasermodells mit hexagonaler Packung (ZFMh) unter Berücksichtigung der in-situ-Eigenschaften der Matrix für die EILT.

4.6 Vergleich von Modell und Messung für Faser und Ma-trix

In Tabelle 4.10 sind die Eigenschaften der Glasfaser und der Harzmatrix aus techni-schen Datenblättern der Hersteller (engl. technical data sheet - TDS) vergleichendmit den Ergebnissen der EILT dargestellt. Die Daten aus Herstellerangaben sind


allerdings nicht sehr umfangreich. Es sind lediglich Daten für den E-Modul undZug- sowie Druckfestigkeit der Matrix online (Mom06) verfügbar. Außerdem sindE-Modul und Zugfestigkeit der Faser in (PPG10) angegeben. Weiterhin sind in dergleichen Tabelle die Ergebnisse der Messungen am Reinharz aufgetragen.

KomponenteE ν G R(+) R(−) R(s)

GPa - GPa MPa MPa MPa

virtuelle Harzmatrix (ZFMh) 3.218 0.37 1.176 73.5 217 44.6virtuelle Harzmatrix (ZFMq) 2.584 0.39 0.932 84.5 251 50.7Messung Reinharz 3.275 0.39 1.176 69.5 − 45.7TDS Harzmatrix 2.7 − 3.2 − − 60 − 75 80 − 90 −virtuelle Glasfaser (ZFMh) 81.4 0.22 33.3 1693 1441 −virtuelle Glasfaser (ZFMq) 81.9 0.21 33.4 1704 1449 −TDS Glasfaser 81.4 − − 2290 − −

Tabelle 4.10: Vergleich der Komponenteneigenschaften aus Messung, Berechnungund TDS

Zunächst ist zu erkennen, dass der auf Basis des ZFMh invers ermittelte E-Modulder Harzmatrix am oberen Ende des im TDS angegebenen Bereichs liegt. UnterVerwendung der quadratischen Packung (ZFMq) errechnet sich eine Steifigkeit un-terhalb dieses Bereichs. Die Bestätigung, die Mischungsregel auf Basis hexagonalerPackung als geeigneter anzusehen, wird darüber hinaus durch den mit der EILTermittelten Zugfestigkeitswert für die Matrix gegeben, welcher ebenfalls innerhalbdes im TDS angegebenen Bereichs liegt, wie in Tabelle 4.10 zu sehen ist. Weiterhinliegt das Ergebnis der Messung am Reinharz für den E-Modul der Matrix, bis aufeine sehr kleine Abweichung im gleichen Bereich, wie das Rechenergebnis auf Basisdes ZFMh.

Der errechnete Wert für die Druckfestigkeit der Harzmatrix liegt im Vergleich mitder Angabe im TDS in beiden Fällen deutlich zu hoch. Das ist auf die Qualität derMischungsregel für die Druckfestigkeiten zurückzuführen. Diese erscheint zur Abbil-dung der Realität ungeeignet. Die Ursache dieser Abweichungen kann im Rahmendieser Arbeit nicht abschließend geklärt werden. Weiterführende Hinweise sind in(Fie09) zu finden.

Der berechnete E-Modul der Faser ergibt sich unter anderem aus der Annahmeeiner halbzeugbedingten Faserondulation entsprechend Formel 3.1. Es wurde bei derEILT ein Ondulationsfaktor von 0.95 auf den EF‖-Modul der Faser berücksichtigt.Daraus ergibt sich ein E-Modul für die Faser, der mit den Angaben im TDS nahezuübereinstimmt.

Die ermittelte Zugfestigkeit der Faser liegt deutlich unterhalb der Angabe im TDS.Das legt den Schluss nahe, dass das Versagen des UD-GV nicht mit den gängigenMischungsregeln für die Festigkeiten zu beschreiben ist. Es muss vermutet werden,dass das Versagen in Faserrichtung nicht auf ein Zugversagen der Faser selbst zu-rückgeführt werden kann. Unter Berücksichtigung der Querkontraktionsbehinderungder Matrix durch die Faser in Faserrichtung wird rechnerisch die Versagensspannungin der Matrix bei den geprüften FVA bereits vor dem Faserversagen erreicht. Diesgeschieht etwa im Bereich des gemessenen Versagens der in Faserrichtung geprüftenProben. Es kann angenommen werden, dass das Versagen des Verbundes auch in

4.7 Vergleich von Modell und Messung an Faserverbunden 97

Hauptverstärkungsrichtung durch das Versagen der Matrix induziert wird. Für GFmit relativ hohen Versagensdehnungen ist diese Möglichkeit denkbar. Bei CF liegtdie Versagensdehnung deutlich niedriger, sodass dieses Verhalten unwahrscheinlicherwird.

Für die Querkontraktionszahl der Faser liegen keine Referenzwerte vor. Für Glas-fasern werden beispielsweise in (Bar11) Werte von νF ≈ [0.15...0.26] angegeben.Darüber hinaus gibt Schürmann die Querkontraktionszahl von E- und S-Glasfa-sern in (Sch05) mit νF = 0.22 an.

Auf Basis des Vergleichs in Tabelle 4.10 kann der vorliegenden Methode zumin-dest für die Steifigkeitsbetrachtung eine gute Abbildung der Realität im Sinne derKomponentensteifigkeiten attestiert werden. Das ist die Basis für eine realistischeBeschreibung des Steifigkeits- und Eigenfrequenzverhaltens einer FV-Struktur. Wei-terhin ist eine exakte Steifigkeitsbeschreibung notwendig, um hinreichend genaueFestigkeitsaussagen treffen zu können. Dies gelingt sehr gut für die Festigkeit un-ter Querzugbeanspruchung. Auf die übrigen Festigkeitsaussagen wird im weiterenVerlauf dieser Auswertung näher eingegangen.

4.7 Vergleich von Modell und Messung an Faserverbunden

Nur ein kleiner Teil der Messergebnisse aus den Prüfungen an GV wurde für die Be-stimmung des Materialmodells mittels der EILT als Eingangsparameter verwendet.Aus dem gewonnenen Modell lassen sich die mechanischen Eigenschaften aller ge-prüften GV mit Hilfe der KLT berechnen. Die Rechenergebnisse werden anschließendmit den Ergebnissen der Messungen verglichen. Dabei werden insbesondere die E-Moduli zum Vergleich herangezogen, da für einen Festigkeitsvergleich von multiaxia-len Gelegen ein funktionierendes Degradationsmodell notwendig wäre. Die Ermitt-lung eines geeigneten Degradationsmodells würde erheblich über den Rahmen dieserArbeit hinausgehen. Weiterführende Untersuchungen können in (Kno03) nachgele-sen werden.

Im Einzelnen kommt es zu Abweichungen zwischen Materialmodell und Messer-gebnissen. Diese Abweichungen sind einerseits auf Streuungen und Fehler in denMessungen selbst zurückzuführen. Andererseits können sie ihre Ursachen in Model-lierungsfehlern haben, die der Berechnung mit der KLT immanent sind. Auf denVergleich zwischen Modell und Realität der Messung sowie die Abweichungen wirdim Folgenden genauer eingegangen.

Die gemessenen mechanischen Eigenschaften jeder Probe werden einem auf Basis ih-rer Dicke ermittelten FVA zugeordnet und mittels des Porositätsfaktors korrigiert.Der Berechnung der mechanischen Eigenschaften für jede Probe mittels der KLTliegt wiederum der individuelle FVA jeder einzelnen Probe zugrunde. Dadurch wirdein Vergleich der Eigenschaften in Abhängigkeit des FVA möglich. Die Ergebnissedieser Betrachtungen werden in den folgenden Abschnitten in Diagrammen gegen-übergestellt und beurteilt.


UD-Gelegeverbund

In Abbildung 4.19 sind die Ergebnisse der Längs-Zug- und Druckprüfungen ver-gleichend mit den Rechenergebnissen, basierend auf dem erzeugten Materialmodell,dargestellt. Im oberen Teil der Abbildung sind die gemessenen E-Moduli und imunteren die gemessenen Spannungen beim Versagen der Proben aufgetragen. Diejeweils durchgehenden Linien repräsentieren die Ergebnisse der Berechnungen mitdem generierten Materialmodell auf Basis der KLT. Es wurde für die Vergleiche stetsangenommen, dass Biegung und Drillung der Proben behindert sind, während freieQuerkontraktion möglich ist.

52.5 53 53.5 54 54.5 55 55.5 56 56.5 57 57.50

10

20

30

40

ϕ / %

Ex/GPa

52.5 53 53.5 54 54.5 55 55.5 56 56.5 57 57.50

200

400

600

800

1000

ϕ / %

Rx/MPa

Eb E(+)mkor UD2-Z0 E

(−)mkor UD4-D0

R(+)b R

(+)mkor UD2-Z0 R

(−)b R

(−)mkor UD4-D0

Abbildung 4.19: Vergleich von Modell und Messung, UD in 0-Richtung

In Abbildung 4.19 ist zu erkennen, dass die gemessenen E-Moduli über dem FVAsehr gut dem Trend der analytisch berechneten GV-Eigenschaften folgen. Zumindestin der Tendenz wird der Einfluss des FVA demnach auch schon innerhalb einer Pro-benserie gut wiedergegeben. Weiterhin wird durch die dargestellten Ergebnisse dieAnnahme bestätigt, dass der E-Modul vom Zug- in den Druckbereich stetig diffe-renzierbar verläuft. So bildet die durchgehende Linie im oberen Teil der Abbildung,die den Längs-E-Modul des FV über dem FVA repräsentiert, sehr gut sowohl dieMessergebnisse der Druck- als auch der Zugprüfungen ab.

Die Messergebnisse für die Festigkeiten im unteren Teil von Abbildung 4.19 streuenetwas stärker, weichen vom berechneten Materialmodell im Mittel aber nur sehr we-nig ab. Das ist nicht verwunderlich, da die mittleren Festigkeitswerte Eingangswerteder EILT waren. Ob insbesondere für die Druckfestigkeiten die Aussage über einenweiten FVA-Bereich belastbar ist, muss allerdings angezweifelt werden.


Unter Druckbelastung ist das Versagen nicht im eigentlichen Sinne auf Druckversa-gen der Fasern zurückzuführen. Wahrscheinlicher ist ein Versagen, welches im We-sentlichen durch die Eigenschaften der Matrix bestimmt ist. Dabei ist allerdingsnicht abschließend geklärt ob es sich tatsächlich um ein Stabilitätsversagen infolgedes nichtlinearen Spannungs-Dehnungs-Verhaltens der Matrix oder einfach um einSchubfestigkeitsversagen der Matrix infolge Winkelabweichung der Fasern handelt.In jedem Fall handelt es sich um einen Versagensmechanismus, der mit Hilfe vonFaser und Matrixfestigkeit allein nicht zu beschreiben ist. Im Rahmen eines struk-turellen Nachweises eines FV wäre hier ein gesonderter Nachweis zu führen. Ent-sprechende Ansätze wurden beispielsweise durch Barbero (Bar11) und Pansart(Pan08) beschrieben.

Abbildung 4.20 zeigt die Ergebnisse der UD-Querprüfungen. Es sind wiederum dieErgebnisse der Modulbestimmung im oberen Teil dargestellt. Der untere Teil derAbbildung zeigt die Spannungen der Proben beim Versagen.

55 55.2 55.4 55.6 55.8 56 56.2 56.4 56.6 56.8 570

5

10

15

ϕ / %

Ey/GPa

55 55.2 55.4 55.6 55.8 56 56.2 56.4 56.6 56.8 570

50

100

150

ϕ / %

Ry/MPa

Eb E(+)mkor UD4-Z90 E

(−)mkor UD4-D90

R(+)b R

(+)mkor UD4 Z90 R

(−)b R

(−)mkor UD4-D90

Abbildung 4.20: Vergleich von Modell und Messung, UD in 90-Richtung

Die Ey-Moduli der Proben aus dem Zugversuch liegen sehr dicht an den Berechnun-gen auf Basis des erzeugten Materialmodells. Diese hervorragende Übereinstimmungist bedingt durch die Tatsache, dass der mittlere Ey-Modul ein Eingangsparameterder EILT ist.

Die Ey-Modul-Ergebnisse der Druckprüfungen weichen deutlich von den berechnetenErgebnissen ab. Es wird angenommen, dass die relativ starke Abweichung vor allemdurch die Prüfgeschwindigkeit und damit die Dehnrate bedingt ist. Die Prüfungwurde mit einer Geschwindigkeit von 1 mm/min durchgeführt. Das entspricht bei einerfreien Probenlänge von 10 mm einer Dehnrate von 10 %/min. Es ist anzunehmen, dass


sich bei dieser Dehnrate insbesondere bei der Prüfung in Richtung quer zur Faserdie Progression der Matrix bemerkbar macht.

Bei der Zugprüfung nach DIN EN ISO 527-5 ist in Faserrichtung eine Prüfgeschwin-digkeit von 2 mm/min und für die Prüfung quer zur Faserrichtung von 1 mm/min ver-wendet worden. Das entspricht bei einer freien Probenlänge von 150 mm Dehnratenvon etwa 1.3 %/min und 0.7 %/min. Bei der Zugprüfung quer zur Faserrichtung liegt dieDehnrate demnach fast zwei Größenordnungen unter der bei der Druckprüfung inder gleichen Richtung. Darüber hinaus ist für die Druckprüfung eine Probenbreitevon 10 mm bei einer freien Probenlänge von ebenfalls 10 mm vorgesehen. Alternativkann laut Norm die Probenbreite 25 mm bei einer freien Probenlänge von 25 mm be-tragen. Es wurde bei den Prüfungen eine Probenbreite von 25 mm eingestellt, jedochwurde die freie Probenlänge bei 10 mm belassen. Es wird vermutet, dass durch diesebeiden Effekte sowohl die Drucksteifigkeiten als auch die Druckfestigkeiten deutlichüberschätzt werden.

Es wird angenommen, dass auch der E⊥-Modul vom Zug- in den Druckbereich stetigdifferenzierbar verläuft. Daher wird im Folgenden stets der E(+)

⊥ -Modul als Referenzverwendet. Weiterhin ist bei der im Zugversuch vorliegenden Dehnrate eher die An-nahme der quasi-statischen Belastung erfüllt.

2AX-Gelegeverbund

Die Messergebnisse der Prüfungen am 2AX-Gelege mit ±45 Lagenausrichtung sindin Abbildung 4.21 dargestellt. Dabei beschränkt sich die Betrachtung auf die E-Moduli.

56 56.2 56.4 56.6 56.8 57 57.2 57.4 57.6 57.80

5

10

15

20

25

30

35

40

ϕ / %

Ex/GPa

Eb 2AX45-12-Z0

E(+)mkor 2AX45-12-Z0

Eb 2AX45-08-Z0


Eb 2AX45-12-Z45

E(+)mkor 2AX45-12-Z45

Eb 2AX45-08-Z45

E(+)mkor 2AX45-08-Z45

Abbildung 4.21: Vergleich von Modell und Messung für 2AX45-GV

Es ist erneut eine gute Übereinstimmung der korrigierten gemessenen mit den be-rechneten E-Moduli zu erkennen. Hier werden die Ergebnisse entsprechend der Aus-wertung nach DIN EN ISO 527-4 mit dem Modell verglichen. Für die Proben derSerie 2AX45-08-Z0 zeigt sich eine leichte Abweichung. Das kann darauf zurückzufüh-ren sein, dass das Gelege aus dünneren ES aufgebaut ist, weswegen beispielsweise


fertigungsbedingte Exzentrizitäten der Proben geringeren Einfluss auf ihre Eigen-schaften haben. Auch die Ergebnisse der Prüfungen an den 2AX45-GV in 45 zurAbrollrichtung treffen die Berechnungen der E-Moduli auf Basis des Materialmodellssehr gut.

Die 2AX-Gelege mit der ±35 Lagenausrichtung wurden nur in Abrollrichtung ge-prüft. Die berechneten und die korrigierten gemessenen Ergebnisse sind in Abbil-dung 4.22 dargestellt. Hier sind in den E-Moduli die Abweichungen zwischen Be-rechnung und Messung größer. Es wird vermutet, dass diese großen Abweichungenauf Rand- und Koppeleffekte zurückzuführen sind. Derartig große Unterschiede zwi-schen Berechnung und Messung werden ausschließlich bei Gelegen mit Winkeln vonEinzellagen kleiner ±45 beobachtet.

55.5 56 56.5 57 57.50

5

10

15

20

25

ϕ / %

Ex/GPa

Eb 2AX35-12-Z0


Eb 2AX35-08-Z0


Abbildung 4.22: Vergleich von Modell und Messung für 2AX35-GV

3AX-Gelegeverbund

Abbildung 4.23 zeigt den Vergleich zwischen gemessenen und berechneten E-Mo-duli für die Zugprüfungen an den 3AX-GV. Für die Probenserie 3AX45-Z0 ist dieÜbereinstimmung zwischen berechneten und gemessenen E-Moduli sehr gut. Beim3AX9060-GV treten unter Belastung in Abrollrichtung deutliche Abweichungen zwi-schen berechneten und gemessenen E-Moduli auf, wobei das Berechnungsmodell dietatsächlichen E-Moduli unterschätzt.

Bei der Probenserie des 3AX9060-Z90 sind die Abweichungen zwischen gemessenenund berechneten E-Moduli ebenfalls deutlich zu erkennen. Trotzdem ist hier dieberechnete ansteigende Tendenz des E-Moduls über dem FVA in den Messergebnis-sen wiederzuerkennen. Es wird wiederum ein deutlicher Einfluss von Koppeleffektenvermutet, auf die in Abschnitt 4.9 noch einmal eingegangen wird.


53 53.5 54 54.5 55 55.5 56 56.50

5

10

15

20

25

30

35

ϕ / %

Ex/GPa

Eb 3AX45-Z0

E(+)mkor 3AX45-Z0

Eb 3AX9060-Z0

E(+)mkor 3AX9060-Z0

Eb 3AX9060-Z90

E(+)mkor 3AX9060-Z90

Abbildung 4.23: Vergleich von Modell und Messung, 3AX45-12-Z0 in 0-Richtung

4.8 Bewertung der Modellgüte

Zur Bewertung der Güte des Berechnungsmodells wird zunächst die Differenz derarithmetischen Mittelwerte aus den korrigierten Messergebnissen und den Berech-nungsergebnissen ED für die E-Moduli und RD für die Festigkeiten herangezogen.Diese wird als Abweichung der Messergebnisse vom berechneten Mittelwert darge-stellt. Die Abweichung zwischen Modell und Messergebnissen berechnet sich bei-spielhaft für die E-Moduli durch

ED =Emkor

Eb− 1 (4.4)

Um die Modellgüte noch besser bewerten zu können, werden einerseits die Varia-tionskoeffizienten der Prüfserien dargestellt. Diese werden beispielhaft für die E-Moduli berechnet durch

ECOV =

√√√√

1

n− 1

n∑

i=1

(

1 − Emkor(i)

Emkor

)2

(4.5)

Andererseits wird die Modellgütezahl EDEV berechnet. Dies findet analog zur Be-rechnung des Variationskoeffizienten ECOV statt. Allerdings wird der arithmetischeMittelwert der korrigierten Messergebnisse als Bezug durch die FVA-abhängigenErgebnisse des Rechenmodells, hier beispielhaft Eb(i) ersetzt.

EDEV =

√√√√

1

n− 1

n∑

i=1

(

1 − Emkor(i)Eb(i)

)2

(4.6)

Sollte das arithmetische Mittel der berechneten Ergebnisse dem der korrigiertenMessergebnisse entsprechen, so ist die Abweichung gleich Null. Trotzdem kann sich

4.8 Bewertung der Modellgüte 103

die Modellgütezahl EDEV vom Variationskoeffizienten ECOV unterscheiden, da einüber dem FVA ansteigendes oder abfallendes Verhalten des Materialmodells Berück-sichtigung findet. Wird die Modellgütezahl kleiner als der Variationskoeffizient derMessung, so ist das ein Indiz dafür, dass das Materialmodell das Verhalten des FVüber dem FVA gut beschreibt. Dies ist allerdings nur dann aussagekräftig, wenn dieAbweichung zwischen berechneten und gemessenen Eigenschaften im Mittel kleinist.

Modellierung der E-Moduli

Der Vergleich zwischen den arithmetischen Mittelwerten aller gemessenen und be-rechneten E-Moduli für alle Probenserien ist in Abbildung 4.24 zusammenfassenddargestellt.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

4

E-M

odul/MPa

UD2−Z0

UD4−D0

UD4−Z90

UD4−D90

2AX45−12−Z0

2AX45−08−Z0

2AX45−12−Z45

2AX45−08−Z45

2AX35−12−Z0

2AX35−08−Z0

3AX45−Z0

3AX9060−Z0

3AX9060−Z90

gemessene E-Moduli mit Standardabweichungberechnete E-Moduli mit Modellabweichung

Abbildung 4.24: Vergleich der E-Moduli der GV-Prüfungen

Es ist festzustellen, dass die gemessenen und berechneten E-Moduli der ersten dreiProbenserien jeweils nahezu identisch sind. Die Fehlerbalken repräsentieren für diegemessenen E-Moduli die Standardabweichung der Messung. Bei den berechnetenModuli repräsentieren sie die Modellabweichung, wie in Formel 4.6 definiert. Fürdie Längs- und Quer-Zugprüfung am UD-GV (UD2-Z0 und UD4-Z90) ist diese hoheÜbereinstimmung nicht überraschend, da deren Ergebnisse Eingangsparameter derEILT sind. Allerdings kann die Frage gestellt werden, warum es überhaupt zu einerAbweichung kommen kann. Die Ursache ist das nichtlineare Verhalten der Längs-und Quer-E-Modulfunktionen über dem FVA. Je stärker sich diese Funktionen nicht-linear über dem FVA verhalten, desto weiter entfernt muss der Mittelwert von überdem FVA streuenden Eigenschaften vom Funktionsgraphen entfernt liegen. Dadurchist auch zu erklären, warum die Abweichung in der Querzugprüfung verhältnismäßiggrößer ist, als die in der Längszugprüfung. Der E-Modul in Faserrichtung verhält sich


annähernd linear über dem FVA, während sich der E⊥-Modul deutlich progressivüber dem FVA entwickelt.

Die geringe Abweichung von Materialmodell und Messergebnissen in der Längs-Druckprüfung (UD4-D0) ist besonders hervorzuheben, da die Messergebnisse fürdie E-Moduli aus den Druckprüfungen keinen Eingang in die Definition des Mate-rialmodells gefunden haben. Die Abweichung zwischen Modell und gemessenen E-Moduli aus den Längs-Druckprüfungen beträgt im Mittel ED = 0.15 %. Damit kanndie Übereinstimmung als ideal bezeichnet werden. Es kann geschlussfolgert werden,dass die Druckeigenschaften in Faserrichtung hinsichtlich des E-Moduls des UD-GVdurch das vorliegende Materialmodell sehr gut beschrieben werden. Auf die Ursachender größeren Abweichung im Querdruck wurde bereits eingegangen.

Dieser Befund wird dadurch bekräftigt, dass in den ersten drei Probenserien dieModellgütezahl kleiner ist als der Variationskoeffizient der Messung. Dies belegtdie Tatsache, dass eine FVA-abhängige Darstellung der E-Moduli auch innerhalbeiner Probenserie sinnvoll ist, und diese Darstellung die Eigenschaften des FV besserbeschreibt als eine einfache arithmetische Mittelwertbildung.

Für die Messergebnisse an den 2AX45-GV ist die Übereinstimmung zwischen berech-neten und gemessenen E-Moduli ebenfalls gut. Die größte Abweichung beträgt imFall der Probenserie 2AX45-08-Z0 ED = 4.39 %. Bei den anderen drei Probenserienbewegt sie sich um 1 %. Die Abweichungen sind zum Teil dadurch zu erklären, dassdie Bestimmung der Querkontraktionszahl im ±45-Schubzugversuch im Anfangs-bereich von einem hohen Messrauschen beeinflusst wird und mit Hilfe der Querkon-traktionszahl der Harzmatrix νM validiert bzw. korrigiert wurde. Daraus folgt eineAbweichung zwischen gemessener und modellierter Querkontraktionszahl, was beieinem ausgeglichenen Winkelverbund Einfluss auf die Elastizitätseigenschaften hat.

Dieser Kompromiss ist zugunsten eines konsistenten Materialmodells eingegangenworden. Insgesamt sind die ermittelten Abweichungen trotzdem gering. Darüberhinaus rechtfertigen sie die Korrektur der rechnerisch ermittelten Querkontraktions-zahl für die Matrix. Das kann als Hinweis verstanden werden, dass die Verwendungder Querkontraktionszahl der Matrix als Eingangsparameter bei der EILT unterUmständen besser geeignet ist, als die Verwendung der Ergebnisse von Schubzug-prüfungen. Die Modellgütezahlen der vier Prüfungen bewegen sich etwa in der Grö-ßenordnung der Variationskoeffizienten der gemessenen E-Moduli.

Für die 2AX35-GV sind größere Abweichungen zwischen Modell und Messung fest-zustellen. Allerdings bleiben sie kleiner als 10 %. Die Abweichungen sind jedoch nichtauf die Qualität des Materialmodells selbst zurückzuführen. Sie finden ihre Ursachein einem ungeeigneten mechanischen Modell für den verwendeten Probenkörper. ImRahmen dieser Arbeit wird stets eine Scheibenrechnung auf Basis eines infinitesi-malen Kontinuums durchgeführt, welches aus der KLT folgt. Für die meisten GVlässt sich das Verhalten eines Probenkörpers im Messbereich damit gut beschreiben.Insbesondere bei unsymmetrisch ausgeglichenen 2AX-GV kommen allerdings Rand-effekte und Zug-Biege- sowie Zug-Drill-Kopplungen zum Tragen, die sich mit Hilfedieses einfachen mechanischen Modells nicht darstellen lassen. Die hier festgestelltenAbweichungen werden in erster Linie diesen Effekten zugeschrieben.

Auch für die Probenserien der 3AX-GV sind die Vergleiche in Abbildung 4.24 dar-gestellt. Die Abweichung ED zwischen Modell und korrigiertem Prüfergebnis für das


0/± 45-3AX-Gelege liegt unter 1 %. Allerdings liegt auch hier die Modellgütezahlleicht über dem Variationskoeffizienten der gemessenen E-Moduli.

Für die Prüfungen am 3AX9060-GV sind die Abweichungen zwischen berechnetenund gemessenen E-Moduli deutlich. Es ist davon auszugehen, dass hier Einflüsse eineRolle spielen, die durch die innerhalb dieser Arbeit vorgestellten Auswerteverfahrennicht erfasst werden können. Auch hier wird ein Zusammenhang mit Rand- undKoppeleffekten als wesentlich Ursache angesehen, da für dieses Gelege kein symme-trisch ausgeglichener Aufbau möglich ist. Weiterhin können Porositäten einen mitden hier durchgeführten Messungen nicht zu erfassenden Einfluss haben.

Insgesamt ist festzustellen, dass die mittels der EILT ermittelten Materialparametergut geeignet sind, um die Eigenschaften von GFK-GV zu berechnen. In allen Ver-gleichen bleibt die Abweichung ED zwischen berechneten und gemessenen E-Moduliim Mittel unter 10 %. Für 8 von 13 Probenserien ist die Abweichung sogar klei-ner als 5 %. Darüber hinaus ist für einige Prüfungen sogar zu beobachten, dass dieModellgütezahl kleiner ist als der Variationskoeffizient der Messung. Daraus kanngeschlossen werden, dass das verwendete analytisch basierte Materialmodell das Ela-stizitätsverhalten in der Realität sehr gut beschreibt.

Modellierung der Festigkeiten

Von den Prüfserien am UD-GV wurden weiterhin die berechneten und gemessenenFestigkeiten verglichen. Die Ergebnisse sind in Abbildung 4.25 zusammengefasst. Esist festzustellen, dass selbst für die Parameter, die bei der EILT Eingang gefundenhaben, die Abweichung RD zwischen Modell und Messung im Mittel größer ist als fürdie E-Moduli. Für die Querprüfungen ist die Übereinstimmung ähnlich gut, für dieLängsprüfungen schlechter. Das kann darauf zurückgeführt werden, dass im Vorfeldeine Annahme über das Versagen getroffen werden muss. Diese setzt voraus, dassdas Versagen der ersten ES im GV zum Totalversagen des Laminats führt. DieseAnnahme ist offenbar für die Querprüfungen adäquat. Für die Längsprüfungen er-scheint sie weniger gut geeignet. Das Versagen der leichten Querarmierungsschichtim Längszugversuch durch Matrixversagen tritt deutlich vor dem Totalversagen desLaminats ein. Dadurch nimmt die globale Steifigkeit des Laminats ab. In der Folgewird bei der vorgenommenen Dehnungsbetrachtung die Spannung in der 0-Schichtunterschätzt. Um diesen Umstand allerdings zu berücksichtigen, wäre die Verwen-dung eines Degradationsmodells notwendig. Das ist allerdings nicht Thema dieserArbeit.

Für alle vier Prüfserien am UD-GV liegt darüber hinaus die Modellgütezahl für dieFestigkeiten über dem Variationskoeffizienten der Messergebnisse für die Festigkei-ten. Dies kann als Indiz dafür verstanden werden, dass die Mischungsregeln für dieFestigkeiten die Realität weniger gut beschreiben, als jene für die Moduli. Wahr-scheinlicher ist allerdings, dass dies auf die starke Streuung der Messergebnisse zu-rückzuführen ist. Kleine Störungen der Probenqualität beeinflussen die Messung derElastizitätseigenschaften nur leicht, wirken sich jedoch stark auf die Initiierung desVersagens einer FV-Probe aus. Darüber hinaus sind die Angaben über die Proben-dicken laut angewendeter Normen das Ergebnis einer arithmetischen Mittelwertbil-dung aus drei Messergebnissen. Für den E-Modul ist dieses Vorgehen korrekt. Für die


UD2−Z0 UD4−D0 UD4−Z90 UD4−D900

200

400

600

800

1000Festigkeit/MPa

gemessene Festigkeiten mit Standardabweichungberechnete Festigkeiten mit Modellabweichung

Abbildung 4.25: Vergleich der Festigkeiten der UD-GV-Prüfungen

Festigkeiten wäre es hilfreich, die kleinste gemessene Dicke für jede Probe anzugebenund hier den FVA sowie die Festigkeiten erneut zu bestimmen.

Eine weitere Schlussfolgerung ist die Interpretation der Festigkeitsvorhersage, insbe-sondere für die matrixdominierten Festigkeiten, als Aussage über die Versagenswahr-scheinlichkeit der ES. Damit die hier dargestellten Mischungsregeln für die Festigkei-ten als Basis für eine solche Betrachtung dienen können, sind zunächst Vergleiche miteiner größeren Menge von Messwerten erforderlich. Dabei ließe sich der statistischeEinfluss durch Schwankungen der Probenqualität ermitteln und darstellen.

Streuungen der Probendicken

Im Folgenden werden die Standardabweichungen und Variationskoeffizienten für dieProbendicken sowie für die daraus resultierenden FVA jeder Probenserie und jene derberechneten E-Moduli bestimmt. Das Gleiche erfolgt für die am UD-GV ermitteltenFestigkeiten. Dadurch kann aufgezeigt werden, welche Streuungen in den Versuchs-ergebnissen bereits aus der Variation der Probendicken innerhalb einer Probenserieerwachsen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 4.11 dargestellt.

Es zeigt sich, dass allein aus den Streuungen der Dicken und damit der FVA derProben einer Probenserie deutliche Streuungen der E-Moduli sowie der Festigkeitenfolgen. Beispielsweise im Fall der Längszugprüfung am UD (UD2-Z0) ist bereitsim Modell ein Variationskoeffizient des E-Moduls von 1.25 % die Folge der großenDickenschwankungen der Probenplatte.

Der Variationskoeffizient der berechneten E-Moduli für die Längsprüfungen am UD-GV fällt dabei weniger groß aus als jener der zugehörigen Probendicken. Für diematrixdominierten Eigenschaften ist das umgekehrt. Das belegt, dass besonders fürdie Bestimmung der matrixdominierten Eigenschaften geringe Streuungen und ex-akte Bestimmung des FVA sowie des Porengehalts wichtig für ein aussagekräftigesMessergebnis sind. Bei der Ermittlung der matrixdominierten E-Moduli zieht dem-nach eine Abweichung des FVA und des Porengehalts eine größere Abweichung des


Probenseriet tCOV ϕ ϕCOV EbCOV EmCOV RbCOV RmCOV

mm % % % % % % %

UD2-Z0 1.725 1.36 53.67 1.36 1.25 6.92 1.25 5.02UD4-D0 3.356 0.69 56.65 0.68 0.63 1.04 0.63 6.37UD4-Z90 3.424 0.60 55.53 0.61 0.83 2.53 0.14 4.11UD4-D90 3.370 0.50 56.41 0.50 0.70 2.09 0.09 0.962AX45-12-Z0 3.247 0.69 57.29 0.69 0.99 0.81 − −2AX45-12-Z45 3.250 0.19 57.36 0.19 0.20 4.19 − −2AX45-08-Z0 2.218 0.18 56.12 0.18 0.26 1.04 − −2AX45-08-Z45 2.203 0.23 57.64 0.23 0.24 1.44 − −2AX35-12-Z0 3.333 0.77 55.98 0.77 0.96 1.66 − −2AX35-08-Z0 2.187 0.24 57.45 0.24 0.30 2.38 − −3AX45-Z0 3.485 0.81 56.04 0.81 0.83 1.60 − −3AX9060-Z0 3.607 0.57 54.00 0.58 0.77 3.55 − −3AX9060-Z90 3.512 1.43 54.28 1.44 1.41 1.99 − −

Tabelle 4.11: Standardabweichung der Messungen und des Modells für die GV

E-Moduls nach sich. Wider Erwarten ist dieser Einfluss für die matrixdominiertenFestigkeiten deutlich kleiner.

Die Ursache liegt in der Tatsache, dass die mit Mischungsregeln ermittelten matrix-dominierten Festigkeiten im vorliegenden FVA-Bereich eine vergleichsweise flacheSteigung haben, wie in Abbildung 3.10 zu sehen ist. Das bedeutet, dass die Streu-ung der Querzugfestigkeiten nicht in erster Linie eine Folge schwankender FVA ist.

Im Vorfeld wurde die Annahme getroffen, dass die Verteilung der Porositäten überjede Probenplatte konstant ist. Eine Schwankung in der Verteilung der Einschlüs-se kann einen weiteren großen Einfluss auf die Schwankungen der Prüfergebnisse,insbesondere der Festigkeiten, haben. Dieser kann jedoch im Rahmen dieser Arbeitnicht näher untersucht werden.

Für die Probenserien der 2AX- und 3AX-GV liegen die Variationskoeffizienten derberechneten Moduli durch Streuungen der Probendicken etwa in den Größenordnun-gen der Variationskoeffizienten der Probendicken und FVA. Im Fall der Probenserie2AX45-12-Z0 ist der Variationskoeffizient der berechneten E-Moduli sogar größerals der der Prüfergebnisse. Die Streuung der Messergebnisse ist in diesem Fall al-lein schon durch die Streuung der Probendicken zu erklären. In den anderen Fällensind die Streuungen durch Schwankungen der Probendicke kleiner, sodass hier er-neut der Einfluss der Verteilung der Porosität als mögliche Ursache für die größerenStreuungen herangezogen werden muss.

Insgesamt ist für die 2AX- und 3AX-GV erkennbar, dass die Variationskoeffizientender berechneten E-Moduli abgesehen von der Probenserie 2AX45-12-Z0, durchweghöher liegen als jene der zugehörigen Probendicken und FVA. Daraus folgt, dassmit zunehmender Querverstärkung die Empfindlichkeit der zu messenden E-Modulifür Schwankungen in Dicke, FVA, Porengehalt und Probenqualität zunimmt. Jestärker der Einfluss der Matrix auf die zu messenden Eigenschaften, desto größer dieSensibilität für Schwankungen in den genannten Einflussgrößen.


4.9 Einfluss von Abweichungen

Als Ursachen für mögliche Abweichungen wurden unter anderen Toleranzen in denFlächenmassen der Gelege mA und deren ES, Porositäten ξg, Winkelabweichungenbei der Gelegeablage oder beim Probenzuschnitt sowie Fehleinschätzungen des FVAϕ benannt. Der Einfluss der entsprechenden Abweichungen wurde mittels des bereitserwähnten KLT-Programms berechnet und als Abweichungen in den mechanischenEigenschaften Längs-E-Modul, Quer-E-Modul, Quer-Längs-G-Modul und Querkon-traktionszahl dargestellt. Die entsprechende Auftragung ist in Abbildung 4.26 ge-zeigt.

Längs−E−Modul Quer−E−Modul G−Modul Querkontraktion−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

D/%

mAD = ±5 % ξg = 1% αD = −2 ϕD = −2 %-Pkt. Alle

Abbildung 4.26: Einfluss von Abweichungen auf mechanische Eigenschaften einesUD-GV

Alle Abweichungen wurden für einen UD-GV bei einem FVA von ϕ = 54.9 % be-rechnet. Das zugrunde gelegte UD-Gelege entspricht dem in den Probenplatten UD2und UD4 verwendeten.

Abweichung der Flächenmasse

Als erste sind die Einflüsse durch Abweichungen der Flächenmasse des Geleges dar-gestellt. Hierbei wurde die Flächenmasse der Hauptverstärkungsschicht um 5 % auf1094.4 g/m2 abgesenkt, während die Stützfadenschicht um 5 % auf 37.8 g/m2 angehobenwurde. Diese Abweichung ist im Rahmen der Toleranzangabe des Gelegeherstellersgerade noch zulässig. Sie führt zu einer Abnahme des E-Moduls in Längsrichtung desGV um 0.3 %. Zugleich nimmt der E-Modul in Querrichtung um etwa 0.8 % zu, derQuer-Längs-G-Modul nimmt um 0.03 % ab und die Querkontraktionszahl reduziertsich um etwa 0.9 %.

Porosität

Wie bereits aufgezeigt wurde, ist der Einfluss von Porositäten bei kugelförmigenGaseinschlüssen annähernd linear auf die Moduli eines Verbundes. Die größte ermit-telte Porosität bei den vorliegenden Prüfungen betrug etwa ξg = 1 %. Entsprechend

4.9 Einfluss von Abweichungen 109

wurden die Moduli der Referenz durch 1.01 geteilt. Der Einfluss auf die Querkon-traktionszahl ist nicht bekannt. Sie bleibt daher unverändert. Daraus folgt, dass dieModuli bei 1 % Porosität um etwa 1 % abnehmen.

Globale Winkelabweichung

Der Einfluss durch eine Abweichung im Winkel bei der Ablage des Geleges in derForm oder beim Probenzuschnitt folgt aus einer Richtungstransformation der Mo-dulmatrix des FV. Üblicherweise wird von FV-Prüflabors ein Wert von ±2 für diegrößtmögliche Abweichung im Winkel angegeben. Entsprechend wurde eine Rich-tungstransformation um 2 durchgeführt. Daraus folgt für die Hauptverstärkungs-richtung der Probe eine Abnahme des E-Moduls um 1 %, der E-Modul nimmt inQuerrichtung um 0.1 % ab. Für den Quer-Längs-G-Modul ist eine Zunahme um et-wa 0.3 % die Folge, während die Querkontraktionszahl um etwa 1.4 % ansteigt.

Fehleinschätzung des FVA

Es konnte festgestellt werden, dass sich für den FVA je nach Auswerteverfahren ei-ne Abweichung um 2 %-Punkte ermitteln lässt. Folglich wurden die mechanischenEigenschaften des UD-GV mit einem FVA von ϕ = 52.9 % ermittelt. Daraus berech-net sich für den Längs-E-Modul eine Abnahme um etwa 3.4 %. Gleichzeitig reduziertsich der E-Modul in Querrichtung um 4.7 % und der Quer-Längs-G-Modul nimmtum etwa 5.0 % ab. Während dessen erhöht sich die Querkontraktionszahl um 0.7 %.

Überlagerung der dargestellten Abweichungen

Die bis hierhin beschriebenen Abweichungen wurden schließlich gemeinsam auf denGV angewendet, um die Summe der Einflüsse zu ermitteln. Daraus folgt für den E-Modul in Längsrichtung eine Reduktion um ca. 5.6 %, für den E-Modul in Querrich-tung um etwa 4.9 % und für den Quer-Längs-G-Modul um etwa 5.8 %. Die Quer-kontraktionszahl nimmt um etwa 1.2 % zu. Offenbar sind die Abweichungen verhält-nismäßig klein, sodass ihr Einfluss auf die mechanischen Eigenschaften sich linearverhält, denn die Summe der Änderungen aus den einzelnen Abweichungen ent-spricht ungefähr den Änderungen aus den überlagerten Abweichungen. Insgesamtwird die Vermutung bestätigt, dass an sich kleine Abweichungen in Summe einensignifikanten Einfluss auf die mechanischen Eigenschaften von FV haben. In derenFolge können sich leicht 5 % Abweichung in den wesentlichen mechanischen Eigen-schaften ergeben. Diese Abweichungen pflanzen sich in den Festigkeitseigenschaftenfort.

Streuungen durch ungenügende Messauflösung

Insbesondere die gemessenen Querkontraktionszahlen streuen bei den vorliegendenPrüfungen sehr stark. Diese Streuungen wirken sich deutlich auf das zu ermittelndeMaterialmodell aus, da die während der Messungen bestimmten Querkontraktions-zahlen aus der UD-Längs-Zugprüfung und der 2AX-GV-Zugprüfung Eingang in die


EILT finden. Die Messungen belegen insbesondere im Anfangsbereich eine sehr star-ke Streuung der gemessenen Querkontraktionszahlen.

Beispielhaft wurden die Querkontraktionszahlen, die an der Prüfserie 2AX45-12-Z0ermittelt wurden in Abbildung 4.27 über den Dehnungen aufgetragen. Es handeltsich um einen ausgeglichenen ±45-Winkelverbund. Dadurch ist gut zu erkennen,dass die Werte im Anfangsbereich der Messung stark schwanken, die Schwankungenund auch die Abweichungen der Messkurven voneinander mit zunehmender Dehnungallerdings kleiner werden.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

εx / %

νyx/-

2AX45-12-Z0-12AX45-12-Z0-22AX45-12-Z0-32AX45-12-Z0-42AX45-12-Z0-52AX45-12-Z0-6Eingangswert der EILTAuswertebereich

Abbildung 4.27: Querkontraktions-Dehnungs-Diagramm Prüfserie 2AX45-12-Z0

Es wird deutlich, dass Probe 6 fast über den gesamten Dehnungsbereich deutlichvon den Kurven der anderen Proben abweicht. Sobald sich die Schwankungen imAnfangsbereich der Dehnungen bei etwa 0.1 % Dehnung gelegt haben erscheint essinnvoll, die Querkontraktionszahlen mit einem Wert zwischen 0.56 und 0.59 zuapproximieren. Die eingehende Querkontraktionszahl wurde daher mit νyx = 0.57festgelegt und als waagerechte Strichpunktlinie darstellt. Sie wurde anschließend mitHilfe der Querkontraktionszahl der Harzmatrix überprüft. Dazu wurde das Krite-rium eingeführt, dass die Querkontraktionszahl der Matrix als Ergebnis der EILT0.35 ≤ νM ≤ 0.40 betragen soll. Für die Prüfergebnisse der Probenserie 2AX45-08-Z0 stellen sich diese Effekte ähnlich dar.

Einfluss von Näh- und Stützfäden

Die geprüften Gelege enthalten bis zu 12 g/m2 PES-Nähfäden. Diese können auch alsNähfaden-ES betrachtet werden. Der FVA stellt sich genauso ein wie beim übri-gen Gelege, wobei der E-Modul der Nähfäden mehr als eine Größenordnung unterdem der Glasfasern liegt. Die verschmierten Elastizitätseigenschaften der Nähfaden-schicht liegen entsprechend deutlich niedriger als die der GFK-ES. Würden diesenicht herausgerechnet, so würde der E-Modul der Glasfasern um etwa 1.5 % unter-schätzt. Es wird allerdings vernachlässigt, dass die Bindungsart eine Umschlingungder Glasfasern durch die Nähfäden zur Folge hat. Diese wirkt sich in einer weiteren


Reduktion der Steifigkeit der Nähfadenschicht aus. Es ist demnach davon auszuge-hen, dass der E-Modul der Glasfasern durch den Einfluss der Nähfäden immer nochleicht unterschätzt wird.

Nichtlinearität der Harzmatrix

Es wurde dargestellt, dass sich die matrixdominierten Eigenschaften der ES, trotzausgeprägter Nichtlinearität der Matrix, in der vorliegenden Materialkombinationmakroskopisch spröde verhalten. Daher wurde auf eine nichtlineare Modellierungder Moduli und der Festigkeiten der ES verzichtet. Es wurde festgestellt, dass sichin der Matrix im Bereich der dichtesten Annäherung zwischen zwei Fasern unterQuerzug eine Dehnungsüberhöhung einstellt. In deren Folge ergibt sich eine Span-nungsüberhöhung, an der das Versagen der Matrix initialisiert wird. Sofern sich dieMatrix nichtlinear verhält, stellen sich bei gleicher Dehnung geringere Spannungenein. Das gilt besonders dann, wenn die Quersteifigkeit der Faser viel größer ist alsdie Steifigkeit der Matrix. Das entsprechende Verhalten ist in Abbildung 4.28 dar-gestellt. Werden die gezeigten Modelle zur generischen Berechnung von Verbundei-genschaften auf Basis von Datenblattkennwerten eingesetzt, so wird die tatsächlicheFestigkeit der ES tendenziell unterschätzt. Das entspricht einer Abschätzung hin zursicheren Seite.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

10

20

30

40

50

60

70

80

ε / %

σ/MPa

Epoxy nichtlinearRM nichtlinearEt

RM linear

Abbildung 4.28: Vergleich lineare und nichtlineare Versagensspannung der Matrix

Koppeleffekte

In den vorliegenden Berechnungen wird nur der Scheibenspannungszustand des zumodellierenden GV betrachtet. Dies erscheint zunächst zulässig, da die zu prüfen-den Laminate eben und dünnwandig sind und die Spannzeuge der PrüfmaschinenPlattenverformungen behindern. Diese Annahme ist solange geeignet, wie die zuprüfende GV-Probe symmetrisch ausgeglichen aufgebaut ist. Bei einigen Gelegenist ein solcher Probenaufbau nicht möglich. Es ist folglich denkbar, dass sich zwi-schen den Spannzeugen Verformungen ergeben, die aus der Laminatebene heraus


weisen. So können sich Spannungszustände einstellen, die neben denen der Scheibeweitere Spannungskomponenten aufweisen. Das kann dazu führen, dass die real zuermittelnden Moduli, insbesondere von nicht symmetrischen GV, unter denen derberechneten liegen.

In diesem Fall muss die Probe als Schale modelliert werden. Durch asymmetrischausgeglichenen Aufbau ist der Koppelquadrant der ABD-Matrix zwischen Scheiben-und Plattenquadrant von Null verschieden. Es kommt zu einer Zug-Drill-Kopplung.Um sich der Größenordnung des Einflusses bewusst zu werden, wurden die E-Mo-duli der Proben mit Faserwinkeln, die dem Betrage nach kleiner sind als ±45 zurPrüfrichtung noch einmal vergleichend berechnet. Dazu wurden sie einmal mit be-hinderter Biegung und Drillung der Probe berechnet. Dieser E-Modul wird als Ebsbezeichnet. Die zweite Berechnung findet mit der Randbedingung statt, dass dieDrillung und Biegung der GV unbehindert möglich ist. Dieser E-Modul erhält dieBezeichnung Ebp. Die Ergebnisse sind in Abbildung 4.29 als Mittelwerte vergleichendmit den Mittelwerten der gemessenen E-Moduli dargestellt.

2AX35−12−Z0 2AX35−08−Z0 3AX9060−Z900

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4

E-M

odul/MPa

E-Moduli mit freier Drillung aus SchalenrechnungE-Moduli aus Messung nach KorrekturE-Moduli aus Scheibenrechnung

Abbildung 4.29: Gemessene und mit und ohne Zug-Drill-Kopplung berechnete E-Moduli

Es ist zu ersehen, dass eine Zug-Drill-Kopplung in den geprüften Proben eine Erklä-rung sein kann, weshalb die E-Moduli dieser Proben mit einer vereinfachten Schei-benbetrachtung deutlich überschätzt werden. Im Gegensatz dazu werden sie mitfreier Biegung und Drillung deutlich unterschätzt. Obwohl die Drillung der Pro-ben global durch die Spannbacken der Prüfmaschine behindert wird, ist offenbareine lokale Drillung im Messbereich möglich, was zu E-Moduli zwischen den beidenidealisierten Annahmen führt.

Randeffekte

Eine zusätzlich mögliche Erklärung ist der Einfluss von Effekten am freien Randder Proben, wie sie durch Becker und Kress in (BK94) und (BK95) beschrie-ben werden. Da die KLT Anwendung findet, wird Kompatibilität der Verformungen


zwischen den ES des Laminats vorausgesetzt. Schubverformungen in Dickenrichtungwerden vernachlässigt, treten jedoch in der Realität auf. Die Folge sind interlaminareSchubspannungen. An freien Rändern machen sich diese Effekte besonders bemerk-bar. Bei der vorliegenden Probenbreite von 25 mm können sich bis zu 5 % niedrigereE-Moduli ergeben. Die analytischen Verfahren, die in (BK94) und (BK95) beschrie-ben werden, sind aufgrund der Faserwinkel und der Lagendickenverhältnisse nichtauf die vorliegenden GV anwendbar. Daher muss eine Abschätzung ausreichen.

Mit einem geeigneten FE-Modell ließen sich diese Effekte etwas genauer eingrenzen.Als Erklärung für die Abweichung sind die vorliegenden Ergebnisse der Koppelein-flüsse zusammen mit den Abschätzungen auf Basis der Annahmen von Becker undKress jedoch hinreichend. Vorhersagen für Ergebnisse von Zug- oder Druckversu-chen mit Hilfe der KLT werden daher die Realität in der GV-Prüfung teils deutlichüberschätzen.

Orthotropiegrad des geprüften Gelegeverbunds

Es zeigt sich in den durchgeführten Berechnungen, dass insbesondere die Verwen-dung von Gelegen mit hohem Orthotropiegrad zu guten Ergebnissen bei der er-weiterten inversen Berechnung von virtuellen ES- und Komponenteneigenschaftenführt. Beim Blick auf Formeln 3.58 und Annahme des Extremfalls, dass Längs- undQuerrichtung des Geleges gleich stark armiert sind, wird die Ursache klar. Der Or-thotropiegrad wird zu Eins und die Schichtdicken sind gleich groß. Die Folge sindidentische Steifigkeiten der ES in Längs- und Querrichtung. Bei der Annäherungan diesen Extremfall hebt sich die Orthotropie der ES nicht mehr hinreichend ausden Eigenschaften des Geleges ab. Das im Rahmen dieser Arbeit verwendete UD-Gelege erfüllt die Forderung nach einem hohen Orthotropiegrad bei einer leichtenQuerarmierung von etwa 3 % der Gesamtmasse. Auch mit Gelegen, die 8 % Querar-mierung aufweisen, konnten gute Ergebnisse bei der erweiterten inversen Berechnungerzielt werden. Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass bei abnehmendemOrthotropiegrad die Anforderungen an die Genauigkeit der Messergebnisse steigen.

5 Zusammenfassung und Ausblick

In der vorliegenden Arbeit wurde anhand von genormten Prüfungen an GFK-GVein Materialmodell ermittelt, welches auf Basis der mechanischen Eigenschaften derEinzelkomponenten Faser und Matrix die mechanische Modellierung aller im Ro-torblatt eingesetzten GV ermöglicht. Das betrifft insbesondere die Modul- und dieFestigkeitseigenschaften. Erschwert wird dieses Vorgehen durch die Verwendung ver-nähter Gelege, die eine direkte Bestimmung der ES-Eigenschaften nicht zulassen.Daher wurde in der Arbeit die inverse Laminattheorie angewandt und erweitert.

Weiterhin wird dieser Ansatz durch auftretende Streuungen bei der FV-Prüfung er-schwert. Deshalb wurden im Vorfeld die FMA, FVA und Porositätsanteile anhandeines vierphasigen Modells detailliert für die Referenzproben jeder Probenserie be-stimmt. Anhand dieser Daten wurden die FVA für jede Probe jeder Probenserieüber die Probendicke ermittelt. Dadurch konnte ein großer Teil der Streuungen inden vorliegenden Messergebnissen erklärt und teilweise herausgerechnet werden.

Um FV auf Basis der Einzelkomponenten in geeigneter Weise modellieren zu kön-nen, sind Mischungsregeln für Moduli und Festigkeiten notwendig. Besonderes Au-genmerk wurde auf die Auswahl geeigneter Mischungsregeln für die Moduli gelegt.Das allein war jedoch nicht hinreichend, um realistische Materialdaten mit der Er-weiterten Inversen Laminattheorie berechnen zu können.

Ein wesentlicher Punkt dieser Arbeit ist daher die Erarbeitung eines analytischenAnsatzes zur Berechnung der in-situ-Eigenschaften der Matrix. Diese bilden sichinfolge dreidimensionaler Querkontraktionsbehinderung der Matrix durch die Fasernaus. Mit Hilfe geeigneter Mischungsregeln und dem Ansatz zur Berechnung der in-situ-Eigenschaften der Matrix lässt sich aus einer Längszugprüfung nach DIN ENISO 527-5A und einer Querzugprüfung an einem UD-Gelegeverbund nach DIN ENISO 527-5B sowie einer Prüfung an einem ±45 2AX-Gelege nach DIN EN ISO527-4 ein Modell für die Steifigkeitseigenschaften von Faser und Matrix abbilden. Eskonnte gezeigt werden, dass dadurch sowohl die Angaben im technischen Datenblattder Komponenten als auch die Ergebnisse der Messungen am Reinharz sehr genauwidergespiegelt werden.

Es kann sogar auf die Schubzugprüfung verzichtet werden, wenn die Querkontrakti-onszahl der Matrix bekannt ist. Sind darüber hinaus die mechanischen Eigenschaf-ten der Faser aus anderen Prüfungen dieser Art bekannt, so kann nur anhand einesQuerzugversuchs an einem UD-Gelegeverbund mit der vorliegenden Methode einvollständiges Materialmodell ermittelt werden.

Für ein breites Spektrum von GFK-GV wurden die mechanischen Eigenschaftenauf Basis des erarbeiteten Materialmodells berechnet und mit den über FVA undPorengehalt korrigierten Ergebnissen von FV-Zug- und -Druckprüfungen verglichen.

Wie gezeigt werden konnte, bewegen sich dabei die Abweichungen zwischen gemesse-nen und berechneten Moduleigenschaften für die wesentlichen Prüfungen in Längs-und Querrichtung des UD-Geleges unterhalb von 1 %. Bei einigen Prüfergebnissen

116 5 Zusammenfassung und Ausblick

wurden Abweichungen zwischen Materialmodell und Messung ermittelt, die nah an10 % heranreichten. Allerdings treten diese Abweichungen bei der Zugprüfung anunsymmetrisch ausgeglichenen Winkelverbunden mit Faserwinkeln, die dem Betra-ge nach kleiner als ±45 sind, auf und können durch Koppel- und Randeffekte erklärtwerden. Das sind sehr gute Übereinstimmungen verglichen mit Abweichungen nahe5 % bis 30 % in (ZBT08), welche darüber hinaus auch noch von Annahmen überden Orthotropiegrad der ES abhängig sind. Innerhalb der EILT werden alle Da-ten anhand der vorliegenden Eingangsparameter ermittelt. Es ist nicht notwendig,Annahmen über weitere Eigenschaften zu treffen. Das stellt eine wesentliche Verbes-serung gegenüber dem bisherigen Verfahren dar.

Insgesamt lassen sich die realen mechanischen Eigenschaften von FV mit dem vor-gestellten Verfahren sehr gut im Modell abbilden. Weiterhin konnten mit Hilfe dernunmehr explizit bestimmbaren in-situ-Eigenschaften der Matrix im FV Verbesse-rungen im Bereich der Modellierung von ES-Festigkeiten, insbesondere hinsichtlichMatrixversagen erzielt werden. Insgesamt lassen sich damit die mechanischen Ei-genschaften der FV in Abhängigkeit des FVA in einem voll parametrischen Modelldarstellen.

Damit lassen sich nicht nur die Schwankungen in den Eigenschaften von FV-Probenbei der Auswertung von Prüfungen berücksichtigen, sondern es können auch die zumodellierenden FV-Strukturen mit schwankenden FVA berechnet werden. Dadurchist eine realistischere Modellierung von FV-Strukturen möglich, was dem Konstruk-teur sowohl bei deren Verständnis als auch deren Nachweis hilfreich ist.

Der theoretisch berechnete Verlauf der Festigkeiten über dem FVA einer ES lässtdie Vermutung zu, dass die Festigkeiten hinsichtlich Zwischenfaserbruch, zumindestin den vorliegenden GV-Prüfungen in erster Linie durch reines Matrixversagen do-miniert sind. Diese Vermutung wird dadurch gestützt, dass die mit der EILT inversermittelte Zugfestigkeit der Matrix nur wenig von der am reinen Harz gemessenenZugfestigkeit abweicht. In der Folge sind die Festigkeitseigenschaften der ES auf dieFestigkeitseigenschaften der Matrix zurückzuführen. Eine konsequente Betrachtungdieser Feststellung führt zu der Annahme, dass mittels der isotropen Festigkeits-und Steifigkeitseigenschaften der Matrix die Festigkeiten der ES in weiten Teilenbeschreibbar sind. Darüber hinaus ist mit diesem Ansatz die Berücksichtigung desEinflusses der Spannungen in Faserlängsrichtung auf die matrixdominierten Festig-keiten unkompliziert möglich.

In diesem Sinne wird im Folgenden ein Vorschlag für eine Schädigungshypothesegemacht, die nicht nur die Berechnung von quasi-statischen matrixdominierten Fe-stigkeiten der ES möglich macht. Darüber hinaus ermöglicht sie ebenfalls die Berech-nung matrixdominierter Festigkeiten der ES bzw. deren Anstrengungen unter Be-triebsbelastungen unter Berücksichtigung von Schwingungsamplitude der zyklischenBelastung und ihrer Mittelspannung. Diese Betrachtung kann analog ebenfalls fürdie Fasern durchgeführt werden, insbesondere dann, wenn der Faserwerkstoff isotropist.

Vorschlag für eine Schädigungshypothese

Für die weiteren Ausführungen werden folgende Annahmen getroffen:

117

• Regelmäßig wiederkehrende Packung der Fasern (hier hexagonal gepackte zy-lindrische Fasern)

• Ideale Anbindung zwischen Faser und Matrix

• Lediglich Faser und Matrix sind im Verbund vorhanden (keine Poren oderÜbergangsphasen zwischen Faser und Matrix)

• Parallelität der Fasern zueinander

• Isotropes Verhalten der Matrix

• Mindestens transversal isotropes Verhalten der Faser

Wie bereits in Abschnitt 3.2 gezeigt wurde, können die gerichteten Spannungen σ1,σ2, σ3, τ21, τ23 und τ31 in einer ES mittels einer Dehnungsbetrachtung in Maximal-spannungen in der Matrix umgerechnet werden. Weiterhin konnte in Abschnitt 2.9gezeigt werden, dass sich eine ES trotz nichtlinearen Verhaltens der Matrix makro-skopisch spröde verhält. Diese Aussage stimmt mit Beobachtungen aus Versuchenüberein. Auf dieser Basis, kombiniert mit den Ergebnissen der Reinharzprüfungenaus Tabelle 4.4, kann weiterhin angenommen werden, dass sich das Versagen derMatrix durch die Formänderungsenergiehypothese beschreiben lässt. Einen daraufbasierenden Ansatz hat Hill für leicht orthotrope Metalle gemacht (Hil48). Hiersoll allerdings die isotrope Matrix beschrieben werden. Ein entsprechender Ansatzstammt von Beltrami. Die dafür geeignete Herleitung unter Berücksichtigung derKompressibilität der Matrix ist in Anhang A.2 dargestellt und führt auf den folgen-den Zusammenhang für eine Vergleichsspannung.

σv =[

σ2x + σ2

y + σ2z − 2νM (σxσy + σyσz + σzσx)

+2 (1 + νM)(

τ 2yx + τ 2

zx + τ 2yz

)] 1

2 (5.1)

Einsetzen der Matrixspannungen aus Formel 3.32 sowie Formeln 3.35 und 3.37, Er-setzen der Vergleichsspannung durch die Matrixfestigkeit RM sowie Umformen führtauf eine allgemeine dreidimensionale Schädigungsbedingung für die Matrix siehe An-hang A.3.

1 =1

RM

σ21

E ′2‖E ′2M‖ +

σ22 + σ2

3 − 2νMσ2σ3

E ′2⊥

(

rF

EF ⊥+ 1−rF

E′M⊥

)2 − 2νM (σ1σ2 + σ1σ3)E′

‖E′

⊥

E′M‖

(

rF

EF ⊥+ 1−rF

E′M⊥

)

+2 (1 + νM) (τ 2

21 + τ 231)

G′2⊥‖

(

rF

GF ⊥‖+ 1−rF

G′M⊥‖

)2 +2 (1 + νM) τ 2

23

G′2⊥⊥

(

rF

GF ⊥⊥+ 1−rF

G′M⊥⊥

)2

1

2

(5.2)

Dabei steht rF für den dimensionslosen Faserradius gemäß Tabelle 3.1. Diese Dar-stellung wird gewählt, um die Schädigungsfunktion für die Fälle der hexagonalen und


der quadratischen Faserpackung allgemein zu halten. Um die Schädigungsbedingungnicht noch komplexer zu gestalten, wird die Tatsache vernachlässigt, dass die Span-nungen in der Dickenrichtung τ31, τ23 und σ3 einen anderen Spannungsüberhöhungs-faktor, resultierend aus der Faserpackung, erhalten müssten. Diese Vereinfachungführt dazu, dass der Einfluss der Spannungen in der dritten Richtung überschätztwird. Allerdings findet sie auf der sicheren Seite statt. Eine detailliertere Betrachtungkann in weiterführenden Arbeiten erfolgen.

Für die Betrachtung im ebenen Spannungszustand spielt dieser Effekt darüber hin-aus keine Rolle. Die Schädigungsbedingung für den allgemeinen zweidimensionalenFall lautet nach Eliminieren der Spannungsanteile in der dritten Richtung

√√√√√

σ2

1

E′2‖

E′2M‖

+ σ2

2

E′2⊥

(rF

EF ⊥+

1−rFE′

M⊥

)2 − 2νMσ1σ2

E′‖

E′⊥

E′M‖

(rF

EF ⊥+

1−rFE′

M⊥

) + 2(1+νM )τ2

21

G′2⊥‖

(

rFGF ⊥‖

+1−rF

G′M⊥‖

)2

RM

= 1 (5.3)

Im Folgenden wird der Einfachheit halber vom ebenen Spannungszustand ausgegan-gen. Allgemein lässt sich die Anstrengung der Matrix eM sowohl für die dreidimen-sionale als auch für die zweidimensionale Formulierung durch die analoge Schädi-gungsfunktion darstellen, da die Formulierung homogen vom Grad Eins ist.

√√√√√

σ2

1

E′2‖

E′2M‖

+ σ2

2

E′2⊥

(rF

EF ⊥+

1−rFE′

M⊥

)2 − 2νMσ1σ2

E′‖

E′⊥

E′M‖

(rF

EF ⊥+

1−rFE′

M⊥

) + 2(1+νM )τ2

21

G′2⊥‖

(

rFGF ⊥‖

+1−rF

G′M⊥‖

)2

RM

= eM (5.4)

Bei der Degradation von Steifigkeitseigenschaften einer ES infolge Schädigung mussdie Abminderung der Steifigkeitseigenschaften der Matrix in Abhängigkeit der An-strengung εM nach der dargestellten Schädigungsfunktion erfolgen. Wie diese De-gradation nach dem Erreichen einer Anstrengung von eM = 1 erfolgt, kann in dieserArbeit nicht beantwortet werden.

Die Schädigungsbedingung nach Formel 5.2 bildet im σ1, σ2, σ3-Spannungsraum einen3D-Ellipsoid. Dieser ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. DerUnterschied, beispielsweise zur Puckschen Bruchfunktion, insbesondere unter Quer-Druckbeanspruchung, liegt darin, dass durch das vorgeschlagene Schädigungskrite-rium die Schädigung der Matrix in der ES beschrieben werden kann. Die PuckscheBruchfunktion hingegen beschreibt die Materialtrennung im Verbund bei Existenzvon Nachbarschichten. Ein Vergleich zwischen der hier vorgeschlagenen Schädigungs-bedingung und der Puckschen Bruchbedingung ist in den Abbildungen 5.1, 5.2, 5.3und 5.4 für die in dieser Arbeit ermittelten Festigkeitsparameter aus Tabelle 4.9dargestellt.

An dieser Stelle ist zu bemerken, dass bei Anwendung dieser Schädigungsfunkti-on nicht zwangsweise ein Verlust von Tragfähigkeit mit einem SchädigungsfaktoreM ≥ 1 einhergeht. Insbesondere unter Quer-Druckbelastung findet zunächst nur

119

eine Steifigkeitsdegradation der Matrix statt. Ebenso findet unter Schub-Zug-Bean-spruchung in Laminaten mit mehreren Faserrichtungen eine Umlagerung der Span-nungen statt, wodurch sich zunächst, wie im Schub-Zug-Versuch, vor allem eineSteifigkeitsdegradation ergibt.

Abbildung 5.1: Vergleich Schädigungsbedingung mit Bruchbedingung σ‖-σ⊥-Ebene

Abbildung 5.2: Vergleich Schädigungsbedingung mit Bruchbedingung σ‖-τ⊥‖-Ebene

Der Vorteil der vorgeschlagenen Schädigungsfunktion liegt darin, dass alle Spannun-gen in der ES in eine Anstrengung der Matrix überführt werden können. Dadurchist unter zyklischer Belastung die Vorhersage der Rissbildungsgrenze der Matrixim Verbund mit Hilfe einer einfachen generischen Wöhlerlinie in Verbindung miteinem Haigh-Schaubild (auch Goodman-Diagramm) für die Matrix möglich. Dassetzt voraus, dass die Schadensakkumulationshypothese für die betrachtete Matrixim Verbund gültig ist.

Weiterhin liegt die Eleganz der im Rahmen dieser Arbeit vorgeschlagenen Mischungs-regeln für die Moduli als auch des Schädigungskriteriums für die Matrix und derzugehörigen Schädigungsfunktion darin, dass sich die mechanischen Eigenschaftender ES vollständig auf Basis der mechanischen Eigenschaften der Komponenten be-schreiben lassen. Es werden keine weiteren Anpassungsfaktoren benötigt. Dadurchlassen sich bereits in Kenntnis der Datenblätter der Komponenten erste Abschätzun-gen, nicht nur über die Elastizitäts- sondern auch über die Festigkeitseigenschaftendurchführen. Die Tatsache, dass die EILT Ergebnisse liefert, die nah bei den Ei-genschaften der Komponenten im TDS liegen deutet darauf hin, dass diese erstenAbschätzungen durchaus bereits nah an der Realität liegen können. Für andere,als die hier untersuchten Materialkombinationen, muss die Gültigkeit allerdings erstnoch untersucht werden.


Abbildung 5.3: Vergleich Schädigungsbedingung mit Bruchbedingung σ⊥-τ⊥‖-Ebene

Abbildung 5.4: Vergleich Schädigungsbedingung mit Bruchbedingung

Anwendung im statischen und zyklischen Festigkeitsnachweis

Für den statischen Festigkeitsnachweis auf Basis der vorgestellten Schädigungsfunk-tion ist vor allem zu beachten, dass bei Vorhandensein von Nachbarschichten und

121

Erreichen einer Anstrengung von Eins zunächst nicht zwangsweise ein Totalversagendes Laminats eintritt. Vielmehr wird dadurch der Beginn eines Degradationsberei-ches bestimmt. Wie dann eine Degradation bis zum Totalversagen verläuft, muss inweiterführenden Untersuchungen geklärt werden.

Wie ein zyklischer Festigkeitsnachweis für die Matrix, unter Verwendung der darge-stellten Schädigungsfunktion durchgeführt werden kann, wird hier kurz gezeigt. Eswird davon ausgegangen, dass i verschiedene Kombinationen von Mittelspannungs-und Amplitudenspannungsvektoren σmi und σai ni-mal auf ein FV-Scheibenele-ment im Laufe seiner Betriebszeit wirken. Für jeden Mittelspannungsvektor σmilässt sich die Anstrengung eMmi der Matrix des Elements aus der Mittelspannungerrechnen.

√√√√√

σ2

mi1

E′2‖

E′2M‖

+ σ2

mi2

E′2⊥

(rF

EF ⊥+

1−rFE′

M⊥

)2 − 2νMσmi1σmi2

E′‖

E′⊥

E′M‖

(rF

EF ⊥+

1−rFE′

M⊥

) + 2(1+νM )τ2

mi12

G′2⊥‖

(

rFGF ⊥‖

+1−rF

G′M⊥‖

)2

RM

= eMmi (5.5)

Analog kann für den Amplitudenspannungsvektor σai verfahren werden.

√√√√√

σ2

ai1

E′2‖

E′2M‖

+ σ2

ai2

E′2⊥

(rF

EF ⊥+

1−rFE′

M⊥

)2 − 2νMσai1σai2

E′‖

E′⊥

E′M‖

(rF

EF ⊥+

1−rFE′

M⊥

) + 2(1+νM )τ2

ai12

G′2⊥‖

(

rFGF ⊥‖

+1−rF

G′M⊥‖

)2

RM

= eMai (5.6)

Damit lässt sich die zulässige Lastwechselzahl NMi für diese Spannungskombinationbestimmen.

NMi =(

1 − eMmi

eMai

)m

(5.7)

Die Schädigung der Matrix DMi des Elements infolge dieser Spannungskombinationerrechnet sich durch das Verhältnis aus wirkenden Lastwechseln ni und zulässigenLastwechseln NMi entsprechend der Regel nach Palmgren (Pal24) und Miner(Min45).

DMi =niNMi

(5.8)

Die Schädigung durch die Summe aller einwirkenden Spannungskombinationen folgtaus der Summation der Einzelschädigungen.

DM =∑

i

DMi (5.9)

Die Anstrengung unter Betriebsbelastung eMf hinsichtlich Matrixschädigung desbetrachteten FV-Elements aus der zyklischen Belastung berechnet sich schließlichdurch


eMf =(

1

DM

)− 1

m

(5.10)

In (Man11) sind Ergebnisse zyklischer GV-Prüfungen mit unterschiedlichen Mate-rialkombinationen verfügbar. In dieser Datenbasis sind auch Ergebnisse zyklischerPrüfungen an UD-GV aus der hier verwendeten Materialkombination enthalten. DiePrüfungen wurden in Hauptverstärkungsrichtung und quer dazu durchgeführt. AufBasis der im Rahmen dieser Arbeit ermittelten Modul- und Festigkeitsdaten fürdiese Komponenten und des hier erarbeiteten Materialmodells wurden die zulässi-gen Lastspielzahlen bei einem Belastungsverhältnis von R = 0.1 ermittelt und mitgemessenen Lastspielzahlen bei unterschiedlichen Anstrengungen gegenübergestellt.Das Ergebnis ist in Abbildung 5.5 dargestellt. Dabei beschreibt das Belastungsver-hältnis R das Verhältnis aus Unterspannung und Oberspannung eines Schwingspiels.Aufgetragen ist die Oberspannung als Anstrengung eM der haupttragenden Schichtüber der zulässigen bzw. erreichten Schwingspielzahl. Die Darstellung von Anstren-gungen wurde gewählt, da die Prüfungen bei unterschiedlichen FVA durchgeführtwurden. Daher wurden die gemessenen Spannungen in Anstrengungen der Matrixumgerechnet. Sowohl in Faserrichtung als auch quer dazu wurden die Aussagen aus-schließlich über Anstrengungen der Matrix getroffen. Diese Tatsache stützt die Ver-mutung, dass auch in Faserrichtung das Versagen möglicherweise durch Versagender Matrix induziert ist.

100

102

104

106

108

10−1

100

N / -

eM

0/-

zulassige Lastspielzahl R = 0.1gemessene Lastspielzahl R = 0.1Durchlaufer

100

102

104

106

108

10−1

100

N / -

eM

90/-

zulassige Lastspielzahl R = 0.1gemessene Lastspielzahl R = 0.1

Abbildung 5.5: Zyklische Längs(o.)- und Quer(u.)-Prüfungen an UD-GV (Man11)

Obwohl zwischen den gemessenen Daten aus (Man11) und dem hier ermittelten Ma-terialmodell kein Zusammenhang besteht außer dem, dass die gleichen Komponenten

123

eingesetzt wurden, kann eine erstaunlich gute Abbildung mit dem gewählten Ansatzerreicht werden. Dabei bewegt sich die Aussage für die Prüfung in Faserrichtungzusätzlich gerade auf der sicheren Seite, sodass die jeweils niedrigsten gemessenenSchwingspielzahlen etwa mit den berechneten zulässigen Schwingspielzahlen zusam-menfallen. Diese Tatsache wird darauf zurückgeführt, dass die Fasern nach einerSchädigung der Matrix noch tragfähig sind. In Richtung quer zur Faser streuen diegemessenen Schwingspielzahlen um die berechneten zulässigen Schwingspielzahlenherum. Hier ist nach erreichen der Schädigungsgrenze die Tragfähigkeit des Lami-nats nicht mehr gegeben. Nach dem Eintreten der ersten Schädigung muss eine hochkomplexe Degradationsbetrachtung erfolgen, um das weitere Verhalten beschreibenzu können. Ob und wie gut sich die Ergebnisse von Prüfungen mit anderen Lastver-hältnissen und Belastungsrichtungen mit dem vorgeschlagenen Ansatz vorhersagenlassen, muss in zukünftigen Arbeiten geklärt werden.

Hinweise zur Plausibilität

Im Vergleich zu gängigen Versagenshypothesen muss bemerkt werden, dass sich imvorliegenden Fall sowohl gleiche Festigkeitswerte R(+)

‖ = R(−)‖ unter Zug- und Druck-

belastung in Faserrichtung, als auch in Richtung quer zur Faser R(+)⊥ = R

(−)⊥ ergeben.

Diese Tatsache kann als Gegenargument aufgeführt werden. In Faserrichtung stehtdem entgegen, dass das Druckversagen in Faserrichtung üblicherweise einem anderenMechanismus folgt, als das Zugversagen.

Dazu stellt Hart-Smith in (HS98a) fest, dass separate Nachweismethoden für un-terschiedliche Versagensmechanismen der beteiligten Komponenten, in diesem FallFaser und Matrix, notwendig sind. Weiterhin weist er darauf hin, dass Wechsel-wirkungen von Spannungen, die den gleichen Versagensmodus bewirken, zulässigund sogar notwendig sind. Währenddessen sind Wechselwirkungen zwischen ver-schiedenen Versagensmodi nach seiner Auffassung unzulässig. Er führt die folgendennachzuweisenden Versagensmechanismen auf:

• Versagen von Fasern an Störungen und Defekten unter faserparalleler Bela-stung

• Durch Störungen oder Defekte induziertes Versagen unter faserparalleler Be-lastung

• Mikroinstabilitäten oder Knicken von Fasern unter faserparalleler Druckbela-stung

• Schubversagen von gut gestützten Fasern unter faserparalleler Druckbelastung

• Duktiles Versagen der Matrix ohne Rissbildung unter Belastung in der Ebene

• Rissbildung in der Matrix zwischen den Fasern unter Zugbelastung senkrechtzur Faserrichtung (dabei müssen sowohl Material-, als auch Geometrieeigen-schaften berücksichtigt werden)

• Versagen der Anbindung zwischen Faser und Matrix


• Interlaminares Versagen der Matrix an freien Rändern und Diskontinuitäten

• Delamination zwischen den Schichten unter Schlag- oder Schubbelastung inDickenrichtung

• Delaminationen zwischen dicken Schichten verursacht durch Zwischenfaserrissein einer um 90 verdrehten Schicht

• Versagen unter zyklischer Belastung in dünnen Schichten verursacht durchRisse in dicken Nachbarschichten.

Nach Meinung von Hart-Smith erfordert jeder dieser Versagensmodi eine eigeneBerechnungs- und Nachweisgleichung.

Wie Möller in (Möl11) zeigen kann, ist es mit optimierten Versuchsträgern mög-lich, Druckfestigkeiten bei Belastung in Faserrichtung zu messen, die weit über dieüblichen Werte bei der Prüfung nach DIN EN ISO 14126 hinausgehen. Das deu-tet darauf hin, dass die asymmetrische Ausprägung des Bruchkörpers, beispielsweisenach Puck, seine Ursache in einem nicht nur von Faser- und Matrixeigenschaftenabhängigen Mechanismus hat. Es ist demnach nur bedingt möglich, dieses Versagenmit einer Schädigungsfunktion für die Matrix zu beschreiben. Gleiches gilt für dieZugfestigkeit in Faserrichtung. Hier muss zum Nachweis und der Berechnung derSicherheiten die Beanspruchung der Faser betrachtet werden. Dies ist allerdings miteiner ähnlichen Schädigungsfunktion möglich, wie für die Matrix.

Ein weiterer Kritikpunkt kann die geringe Schubfestigkeit bei reiner Schubbelastungin der Ebene der ES sein. Diese ist bedingt durch die Annahme, dass sich die Ma-trix isotrop verhält. Bei genauerem Hinsehen zeigt sich jedoch in unterschiedlichenVersuchsergebnissen, dass eine Degradation der Steifigkeit unter Belastung immermit einer Zunahme der Rissdichte einhergeht (Kno08). Es liegt der Umkehrschlussnahe, dass die Degradation der Steifigkeit eine Folge der Zunahme der Rissdichteist. Vor allem aber zeigt sich, dass die Matrix, sofern die Steifigkeit des Laminatsabnimmt, bereits Schädigungen aufweist. Daraus folgt, dass bei beginnender Nicht-linearität unter Schubbelastung der Punkt beginnender Schädigung erreicht ist. Daswird auch durch Basan (Bas11) bestätigt, der mit seiner empirisch basierten 2/3-Methode ähnliche Schubfestigkeitsgrenzen der ES ermittelt, wie es mittels der vor-geschlagenen Schädigungsfunktion geschieht.

Am kompliziertesten gestaltet sich die Argumentation in Bezug auf die Quer-Zug-und Quer-Druckfestigkeiten der ES. Wie bereits dargestellt, ergeben sich hier ausder vorgeschlagenen Schädigungsfunktion dem Betrage nach gleiche Festigkeitswer-te für Zug und Druck R

(+)⊥ = R

(−)⊥ . Wird das vorgeschlagene Schädigungskriteri-

um für den Betriebsfestigkeitsnachweis von FV angewendet, so werden dadurch mitgroßer Wahrscheinlichkeit Aussagen auf der sicheren Seite getroffen, da mindestensdie quasi-statisch bestimmten Querdruckfestigkeiten deutlich höher liegen, als hierermittelt. Allerdings können sich durch Querdruckbelastung entstehende Risse, wiePuck in (Puc96) feststellt, nicht öffnen. Folglich können weiter Kräfte durch Rei-bung übertragen werden, selbst wenn eine Schädigung eingetreten ist. Es ist demnachzumindest in diesem Belastungsfall schwer zu ermitteln, ob sich vor dem katastro-phalen Versagen unter Querdruck eine Schädigung einstellt. Hier können zur Klä-rung zyklische Druckschwellversuche in Richtung quer zur Faser mit anschließenderRestfestigkeitsprüfung unter Querzugbelastung hilfreich sein.

125

Eine weitere Möglichkeit der Erklärung liegt in der Unterscheidung der betrachtetenMechanismen. In Abbildung 5.3 ist zu erkennen, dass die hier vorgeschlagene Schä-digungsbedingung und der Pucksche Bruchkörper im Querzugbereich sehr dichtbeieinander liegen. Dagegen treten im Querlängsschubbereich und im Querdruckbe-reich deutliche Abweichungen auf. Diese Tatsache kann derart interpretiert werden,dass ab dem Erreichen der Schädigungsgrenze, wie sie hier vorgeschlagen wird, eineRissbildung und damit eine Degradation der matrixdominierten Eigenschaften statt-findet. Diese schreitet unter weiterer Zunahme der Spannungen, insbesondere in denbeiden Querdruckquadranten, soweit voran, bis die Versagensgrenze der ES im Ver-bund, beschrieben durch das Pucksche Bruchkriterium, erreicht ist. Die vorgeschla-gene Schädigungsfunktion stellt demnach einen Zusatz zum etablierten PuckschenVersagenskriterium dar und ermöglicht die Ermittlung der Rissbildungsgrenze inder Matrix eines FV sowie die Beurteilung der Betriebsfestigkeit von FV-Strukturenhinsichtlich ihrer matrixdominierten Eigenschaften.

Zukünftiger Forschungsbedarf

Es konnte im Rahmen der Arbeit gezeigt werden, dass sich die dargestellte Material-kombination aus Glasfasern mit einer Epoxidharzmatrix gut mit dem gezeigten Ver-fahren der EILT beschreiben lässt. Darüber hinaus wurde die Methode so angelegt,dass sie auch auf Kombinationen aus orthotropen Fasern und isotropen Matrixsyste-men anwendbar ist. Allerdings muss die Gültigkeit in zukünftigen Untersuchungenbestätigt werden.

Aus den in der Arbeit verwendeten Ansätzen ergab sich der oben dargestellte Vor-schlag für eine Schädigungshypothese. Hier wurde bereits angemerkt, dass der Ein-fluss der Querdruckbelastung auf das Schädigungsverhalten der ES zukünftig unter-sucht werden muss, um zu ermitteln, wie gut das vorgeschlagene Modell die Realitätim Sinne der Schädigung in diesem Bereich beschreiben kann. Das Gleiche gilt fürdie Anwendung der Schädigungshypothese im zyklischen Festigkeitsnachweis. Hiermuss die Anwendung im Vergleich zu Versuchsergebnissen Aufschluss über die Aus-sagekraft der Schädigungsfunktion geben.

Sofern gezeigt werden kann, dass sich mit dem vorgeschlagenen Verfahren die Rea-lität gut beschreiben lässt, ist dem FV-Konstrukteur ein vergleichsweise einfachesVerfahren zum Nachweis der Betriebsfestigkeit von FV-Strukturen gegen Zwischen-faserbruch oder besser gegen Matrixschädigung an die Hand gegeben. Um allerdingseine Betrachtung über die Schädigungsgrenze hinaus zu ermöglichen, ist die Un-tersuchung des Degradationsverhaltens der Steifigkeiten infolge Matrixschädigungnotwendig. Wertvolle Hinweise lassen sich in dieser Hinsicht allerdings bei Trappe(Tra01) im Hinblick auf das Verhalten unter zyklischer Belastung und bei Knops(Kno08) hinsichtlich der quasi-statischen Belastung finden.

Trappe zeigt bereits Wege auf, die zunehmende Schädigung der Matrix online zuermitteln. Dazu wird die Zunahme der Dissipation infolge innerer Reibung sowiedie Bestimmung innerer Oberflächen mittels Röntgenrefraktometrie herangezogen.Es muss allerdings geklärt werden, ob die Zunahme innerer Oberflächen mit demErreichen einer Matrixanstrengung von eM = 1 nach der hier vorgeschlagenen Schä-digungsfunktion einhergeht.


Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit sind geeignet, um eine bessere Übereinstim-mung zwischen gemessenen und berechneten Materialeigenschaften bei FV zu erzie-len. Damit können zuverlässiger Vorhersagen über mechanische Eigenschaften vonFV-Strukturen getroffen werden. Darüber hinaus scheint ein pragmatischer Ansatzzur Berechnung der Betriebsfestigkeitseigenschaften von FV-Strukturen greifbar.

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Abbildungsverzeichnis

1.1 Notwendige Prüfungen zur Ermittlung der Elastizitäten einer ES . . . 3

1.2 Entwicklung der Nennleistung bis einschließlich 2009 (Gra11) . . . . . 6

1.3 Skalieren mit konstanter Blattspitzengeschwindigkeit . . . . . . . . . 6

2.1 Entwicklung der Blattmassen über dem Rotordurchmesser . . . . . . 11

2.2 Schematische Darstellung eines 3AX-Geleges . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Prüfungen zur Charakterisierung der ES . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Zugspannungs-Dehnungs-Diagramm UD-GV in Faserrichtung . . . . . 15

2.5 Zugspannungs-Dehnungs-Diagramm UD-GV quer zur Faserrichtung . 15

2.6 Druckspannungs-Dehnungs-Diagramm UD-GV in Faserrichtung . . . 16

2.7 Druckspannungs-Dehnungs-Diagramm UD-GV quer zur Faserrichtung 17

2.8 Schubspannungs-Verzerrungs-Diagramm ±45-2AX-GV . . . . . . . . 18

2.9 Zugspannungs-Dehnungs-Diagramm ±45-2AX-GV . . . . . . . . . . 18

2.10 Schematische Darstellung des Schubflusses im Probenquerschnitt . . . 19

2.11 Bestandteile eines GV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.12 Beispiele möglicher Faserwinkelabweichungen eines 2AX-Geleges . . . 23

2.13 Parallelschaltung von Faser- und Matrixmodul . . . . . . . . . . . . . 24

2.14 Isochromaten am Makro-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.15 Ersatzquerschnitt zur Herleitung von R⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.16 Darstellung von ES und SV in Anlehnung an (Bas11) . . . . . . . . . 31

2.17 Schematische Darstellung der Inversen Laminattheorie . . . . . . . . 34

2.18 Spannungs-Dehnungs-Diagramm von Zugprüfungen an Reinharz . . . 35

2.19 Nichtlineare Eigenschaften der Epoxidharzmatrix . . . . . . . . . . . 37

2.20 Nichtlinearer E‖-Modul der ES, FVA 54.9 % . . . . . . . . . . . . . . 38

2.21 Nichtlinearer E⊥-Modul der ES, FVA 54.9 % . . . . . . . . . . . . . . 39

2.22 Nichtlinearer G⊥‖-Modul der ES, FVA 54.9 % . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 Packungsarten mit zylindrischen Fasern . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Repräsentatives Volumenelement zur Herleitung von E⊥ . . . . . . . 46

134 Abbildungsverzeichnis

3.3 Ersatzquerschnitt mit sich hinterschneidenden Fasern . . . . . . . . . 48

3.4 Modell zur Herleitung der Querkontraktionsbehinderung der Matrix . 49

3.5 in-situ-E-Modul der Matrix durch Fasereinbettung . . . . . . . . . . . 53

3.6 Effekt der Querkontraktionsbehinderung auf den E-Modul einer ES . 54

3.7 Vergleich von Mischungsregeln für den E⊥-Modul . . . . . . . . . . . 55

3.8 Vergleich von Mischungsregeln für den G⊥‖-Modul . . . . . . . . . . . 56

3.9 E⊥- und G⊥‖-Moduli auf Basis gängiger Mischungsregeln bei ϕ = 60 % 56

3.10 Mischungsregeln für die Quer-Zugfestigkeit von GFK . . . . . . . . . 59

3.11 Mischungsregeln für die Quer-Längs-Schubfestigkeit von GFK . . . . 60

3.12 Schematische Darstellung der EILT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.13 Schematische Darstellung der Modulbestimmung . . . . . . . . . . . . 69

3.14 Spannungs-Dehnungs-Diagramm einer Schubzugprüfung an 2AX-GV 75

3.15 Schematische Darstellung der Steifigkeitsbestimmung . . . . . . . . . 77

3.16 Schematische Darstellung der Festigkeitsbestimmung . . . . . . . . . 78

4.1 Schematische Darstellung des Probenbauwerkzeugs . . . . . . . . . . 81

4.2 Vorgegebener Härte- und Temperzyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Längszugproben aus UD-GV UD2-Z0 aus (AG09) . . . . . . . . . . . 83

4.4 Längsdruckproben aus UD-GV UD4-D0 aus (AG09) . . . . . . . . . . 83

4.5 Querzugproben aus UD-GV UD4-Z90 aus (AG09) . . . . . . . . . . . 83

4.6 Querdruckproben aus UD-GV UD4-D90 aus (AG09) . . . . . . . . . . 84

4.7 Prüfrichtungen und Probenplattenbezeichungen UD-GV . . . . . . . . 84

4.8 Schubzugproben aus 2AX-GV 2AX45-12-Z0 aus (AG09) . . . . . . . 84

4.9 Zugproben aus 2AX-GV 2AX45-12-Z45 aus (AG09) . . . . . . . . . . 85

4.10 Prüfrichtungen und Probenplattenbezeichungen 2AX-GV . . . . . . . 85

4.11 Zugproben aus 3AX9060-GV 3AX9060-Z90 aus (AG09) . . . . . . . . 85

4.12 Prüfrichtungen und Probenplattenbezeichungen 3AX-GV . . . . . . . 86

4.13 Skizze einer Schubrahmenprobe mit Messinstrumentierung aus (Bas11) 87

4.14 links oben nach rechts unten: Schubrahmenprüfung am Reinharz . . . 88

4.15 Vergleich unterschiedlicher Methoden zur Ermittlung des G-Modul . . 90

4.16 Vergleich der FMA-Bestimmung an den Kalzinierungsproben . . . . . 91

4.17 Vergleich der FVA-Bestimmung an den Kalzinierungsproben . . . . . 92

4.18 FVA über der Probendicke für Probenserie UD2-Z0 . . . . . . . . . . 92

Abbildungsverzeichnis 135

4.19 Vergleich von Modell und Messung, UD in 0-Richtung . . . . . . . . 98

4.20 Vergleich von Modell und Messung, UD in 90-Richtung . . . . . . . 99

4.21 Vergleich von Modell und Messung für 2AX45-GV . . . . . . . . . . . 100

4.22 Vergleich von Modell und Messung für 2AX35-GV . . . . . . . . . . . 101

4.23 Vergleich von Modell und Messung, 3AX45-12-Z0 in 0-Richtung . . . 102

4.24 Vergleich der E-Moduli der GV-Prüfungen . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.25 Vergleich der Festigkeiten der UD-GV-Prüfungen . . . . . . . . . . . 106

4.26 Einfluss von Abweichungen auf Eigenschaften eines UD-GV . . . . . . 108

4.27 Querkontraktions-Dehnungs-Diagramm Prüfserie 2AX45-12-Z0 . . . . 110

4.28 Vergleich lineare und nichtlineare Versagensspannung der Matrix . . . 111

4.29 Einfluss der Zug-Drill-Kopplung auf die E-Moduli . . . . . . . . . . . 112

5.1 Vergleich Schädigungsbedingung mit Bruchbedingung σ‖-σ⊥-Ebene . 119

5.2 Vergleich Schädigungsbedingung mit Bruchbedingung σ‖-τ⊥‖-Ebene . 119

5.3 Vergleich Schädigungsbedingung mit Bruchbedingung σ⊥-τ⊥‖-Ebene . 120

5.4 Vergleich Schädigungsbedingung mit Bruchbedingung . . . . . . . . . 120

5.5 Zyklische Längs(o.)- und Quer(u.)-Prüfungen an UD-GV (Man11) . . 122

Tabellenverzeichnis

2.1 Beispiele für Faserhalbzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Parameter für E⊥-Modul-Herleitung bei verschiedenen Packungsarten 45

3.2 Komponenteneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1 Überblick der Prüfungen und Probenbezeichnungen . . . . . . . . . . 80

4.2 Aufbau der geprüften Gelege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3 Lagenaufbau und Schichtfolge der GV-Proben . . . . . . . . . . . . . 82

4.4 Überblick der Messergebnisse aus den mechanischen Prüfungen . . . . 89

4.5 Überblick der Messergebnisse der FMA- und Dichte-Bestimmung . . . 89

4.6 FVA-Bestimmung an Proben zur mechanischen Prüfung . . . . . . . 91

4.7 Korrigierte mechanische Eigenschaften aus Prüfergebnissen . . . . . . 93

4.8 Eingangsparameter der EILT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.9 Modellparameter aus Ergebnissen der EILT ϕref = 54.9 % . . . . . . 95

4.10 Vergleich der Komponenteneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.11 Standardabweichung der Messungen und des Modells für die GV . . . 107

A Anhang

Im Folgenden werden Herleitungen dargestellt, die zum direkten Verständnis derArbeit nicht zwingend notwendig sind, es aber unterstützen. Dies sind einerseits derModul der Matrix in Faserrichtung infolge Querkontraktionsbehinderung durch dieFasern. Anderseits wird die Formänderungsenergiehypothese hergeleitet.

A.1 In-situ-Modul der Matrix in Faserrichtung

Der Modul der Matrix in Faserrichtung infolge Querkontraktionsbehinderung durchdie Fasern wird analog zum Vorgehen für den Modul in Richtung quer zur Faserermittelt. Dazu wird wiederum der Einfluss des E-Moduls der Faser auf den ver-schmierten Modul der ES extrahiert und in Matrixform aufgetragen. Es handeltsich erneut nur um den Zug-Druck-Quadrant der dreidimensionalen Elementsteifig-keitsmatrix.

[AFr] =

0 0 00 E⊥ (ϕ) − EM 00 0 E⊥ (ϕ) − EM

(A.1)

Die Superposition der Elastizitätsmatrizen aus Formeln A.1 und 3.21 ergibt gewis-sermaßen eine in der 2- und 3-Richtung durch Fasern eingespannte Harzmatrix.

[AMFr] = EM

1−νM

1−νM −2ν2

M

νM

1−νM −2ν2

M

νM

1−νM −2ν2

MνM

1−νM −2ν2

M

1−νM

1−νM −2ν2

M

+ E⊥

EM− 1 νM

1−νM −2ν2

MνM

1−νM −2ν2

M

νM

1−νM −2ν2

M

1−νM

1−νM −2ν2

M

+ E⊥

EM− 1

(A.2)

Invertieren führt auf die Nachgiebigkeitsmatrix und in den Einzeleinträgen auf die in-versen Moduli der Matrix. Der 11-Eintrag repräsentiert den Kehrwert des E-Modulsder querkontraktionsbehinderten Harzmatrix in Faserrichtung. Für den E-Modul derHarzmatrix in Faserrichtung unter Berücksichtigung der Querkontraktionsbehinde-rung durch die Fasern und des FVA ergibt sich durch Umstellen und Zusammenfas-sen:

E ′M‖ =

E⊥(

1 − ν ′M‖)

+ EMν′M‖

E⊥

EM

(

1 − ν ′M‖

)

+ ν ′M‖ + 2ν ′2

M‖

(

1 − E⊥

EM

) (A.3)

Hier berechnet sich die Abminderung der Querkontraktionszahl der Matrix durch

ν ′M‖ =

(

1 − νF⊥‖EMνMEF⊥

)

νM (A.4)

140 A Anhang

A.2 Formänderungsenergiehypothese

Die Formänderungsenergiehypothese nach Beltrami von 1885 geht auf die An-nahme zurück, dass sich die für eine Formänderung aufgewendete Energie mit derEnergie beim Versagen im einachsigen Belastungszustand gleichsetzen lässt.

σvεv = σ ε = σxεx + σyεy + σzεz + τzxγzx + τyzγyz + τyxγyx (A.5)

Der Dehnungsvektor ε wird durch die Multiplikation der Nachgiebigkeitsmatrix[Q]−1 mit dem Spannungsvektor σ dargestellt.

ε =

εxεyεzγzxγyzγyx

= [Q]−1 σ =

1E

− νE

− νE

0 0 0− νE

1E

− νE

0 0 0− νE

− νE

1E

0 0 00 0 0 1

G0 0

0 0 0 0 1G

00 0 0 0 0 1

G

σxσyσzτzxτyzτyx

(A.6)

Einsetzen von Formel A.6 in Formel A.5 führt auf den folgenden Zusammenhang.

σvσvE

= σx(σx

E− ν σy

E− ν σz

E

)

+σy(

−ν σx

E+ σy

E− ν σz

E

)

+σz(

−ν σx

E− ν σy

E+ σz

E

)

+τzxτzx

G+ τyz

τyz

G+ τyx

τyx

G(A.7)

Ausmultiplizieren, Umstellen und Zusammenfassen ergibt die nachfolgende Formel.

σ2v

E=σ2x + σ2

y + σ2z − 2ν (σxσy + σyσz + σzσx)

E+τ 2zx

G+τ 2yz

G+τ 2yx

G(A.8)

Einsetzen der Isotropiebedingung aus Formel A.9 für den G-Modul in Formel A.8und anschließendes Kürzen des E-Moduls führt auf die allgemeine Formänderungs-energiehypothese.

G =E

2 (1 + ν)(A.9)

σ2v = σ2

x + σ2y + σ2

z − 2ν (σxσy + σyσz + σzσx) + 2 (1 + ν)(

τ 2zx + τ 2

yz + τ 2yx

)

(A.10)

Wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen, so ergibt sie sich in der bekannten Form.

σv =[

σ2x + σ2

y + σ2z − 2ν (σxσy + σyσz + σzσx)

+2 (1 + ν)(

τ 2zx + τ 2

yz + τ 2yx

)] 1

2 (A.11)

A.3 Schädigungsbedingung für die Matrix 141

Für den Sonderfall der Inkompressibilität mit ν = 0.5 geht diese in die Fließbedin-gung nach von Mises über, sofern die Vergleichsspannung durch die Materialfe-stigkeit R(+) ersetzt wird. Im Fall einer Fließbedingung ist die Materialfestigkeit alsFließgrenze definiert.

R(+) =√

σ2x + σ2

y + σ2z − (σxσy + σyσz + σzσx) + 3

(

τ 2zx + τ 2

yz + τ 2yx

)

(A.12)

Hier soll die Anstrengung der kompressiblen Harzmatrix bestimmt werden. Die Ver-gleichsspannung σv wird durch den Bruchwiderstand R(+) ersetzt. Da dieses Kon-strukt homogen vom Grad 1 ist, ergibt sich die Anstrengung e durch beidseitigeDivision durch den Bruchwiderstand.

e =

√

σ2x + σ2

y + σ2z − 2ν (σxσy + σyσz + σzσx) + 2 (1 + ν)

(

τ 2zx + τ 2

yz + τ 2yx

)

R(+)(A.13)

A.3 Schädigungsbedingung für die Matrix

Ausgehend von Formel A.13 kann angenommen werden, dass in einer ES die 1-Richtung mit der x-Richtung, die 2-Richtung mit der y-Richtung und die 3-Richtungmit der z-Richtung zusammenfällt. Es gelten

σx = σM1 =σ1

E ′‖E ′M‖ (A.14)

σy = σM2 =σ2

E ′⊥

(√2√

3 ϕπ

EF ⊥+

1−√

2√

3 ϕπ

E′M⊥

) (A.15)

σz = σM3 =σ3

E ′⊥

(√2√

3 ϕπ

EF ⊥+

1−√

2√

3 ϕπ

E′M⊥

) (A.16)

τyx = τM21 =τ21

G′⊥‖

(√2√

3 ϕπ

GF ⊥‖+

1−√

2√

3 ϕπ

G′M⊥‖

) (A.17)

τzx = τM31 =τ31

G′⊥‖

(√2√

3 ϕπ

GF ⊥‖+

1−√

2√

3 ϕπ

G′M⊥‖

) (A.18)

τyz = τM23 =τ23

G′⊥⊥

(√2√

3 ϕπ

GF ⊥⊥+

1−√

2√

3 ϕπ

G′M⊥⊥

) (A.19)

R(+) = RM (A.20)

e = eM (A.21)

Einsetzen in Formel A.13 und Zusammenfassen führt zum folgenden Ausdruck.

142 A Anhang

eM =1

RM

σ21

E ′2‖E ′2M‖ +

σ22 + σ2

3 − 2νMσ2σ3

E ′2⊥

(√2√

3 ϕπ

EF ⊥+

1−√

2√

3 ϕπ

E′M⊥

)2 − 2νM (σ1σ2 + σ1σ3)E′

‖E′

⊥

E′M‖

(√2√

3 ϕπ

EF ⊥+

1−√

2√

3 ϕπ

E′M⊥

)

+2 (1 + νM) (τ 2

21 + τ 231)

G′2⊥‖

(√2√

3 ϕπ

GF ⊥‖+

1−√

2√

3 ϕπ

G′M⊥‖

)2 +2 (1 + νM) τ 2

23

G′2⊥⊥

(√2√

3 ϕπ

GF ⊥⊥+

1−√

2√

3 ϕπ

G′M⊥⊥

)2

1

2

(A.22)

Dabei gibt eM die Anstrengung der Matrix in einer ES unter dreidimensionalerBeanspruchung der ES wieder.

Mikromechanische Modellierung von Fasergelege-Kunststoff ... · that cannot be measured on the pure...

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