Minimierung nach Quine...

Minimierung nach Quine ‐Mc Cluskey

Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 43

# A B C D OK

m9 + m11 1 0 ‐ 1 P1

m7 + m15 ‐ 1 1 1 P2

m11 + m15 1 ‐ 1 1 P3

m0 + m1 + m4 + m5 0 ‐ 0 ‐ P4

m0 + m1 + m8 + m9 ‐ 0 0 ‐ P5

m4 + m5 + m6 + m7 0 1 ‐ ‐ P6

Ermitteln der Primtermtabelle

m0 m1 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m11 m15

P1

P2

P3

P4

P5

P6



Finden einer minimalen Überdeckung durch wiederholte Spalten und Zeilendominanzprüfung

m0 m1 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m11 m15

P1 X X

P2 X X

P3 X X

P4 X X X X

P5 X X X X

P6 X X X X




m6 m8 m11 m15

P1 X

P2 X

P3 X X

P4

P5 X

P6 X




m6 m8 m11 m15

P3 X X

P5 X

P6 X




m6 m8 m11

P3 X

P5 X

P6 X

Logische BausteineAddierwerke


Addition eines einzigen BitsEingang Ausgang

a b CarryIn CarryOut Sum

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1


+a

b

CarryIn

CarryOut

Sum

Ripple‐Carry‐Adder


+a0

b0

CarryIn

CarryOut

Sum

+a1

b1

CarryIn

CarryOut

Sum

+a2

b2

CarryIn

CarryOut

Sum

Problem: Berechnung benötigt O(n) Gatterlaufzeit.

Carry‐Lookahead‐Adder


Beobachtung 1: wenn zwei Binärzahlen a(0)...a(n‐1) und b(0)...b(n‐1) addiert werden, dann findet ein Übertrag an der Stelle i statt, wenn

Also können wir als „Carry‐Generierer“ g(i) definieren:

Beobachtung 2: ein Übertrag von der Stelle i‐1 wird von der Stelle i an die nächste Stelle i+1 weiter geleitet, wenn

Also können wir als „Carry‐Propagierer“ p(i) definieren:



Mittels der Generate‐ und Propagate‐Ausdrücke lässt ich dann für jede Stelle i der Carry (Übertrag) für die Stelle i+1 definieren:

Für einen 4‐Stelligen Addierer ergibt sich damit:

Wie hilft uns das jetzt weiter?



Wie hilft uns das jetzt weiter?

Expandieren durch Substitution:

Laufzeit: O(1), aber die hohe Anzahl der benötigten Gatter limitiert die Größe eines solchen Bausteins. (Lösung: zusammenfassen mehrerer CLA zu einer Gruppe)

∙∙∙∙

∙

Logische BausteineSequentielle Schaltungen


Sequentielle Schaltungen


Kombinatorische Schaltungen Sequentielle Schaltungen……

n Eingänge m Ausgänge

Ausgänge hängen nur von den Eingängen ab. Wie schon gezeigt, ist dies durch eine Wahrheitstabelle beschreibbar.

Zustand ……

n Eingänge m Ausgänge

Ausgänge hängen von den Eingängen und dem aktuellen Zustand des Bausteins ab. Wie kann man dieses Verhalten beschreiben?

Zustandsautomat


Zustand 00

Zustand 01

Zustand 10

Eingabe 00 / Ausgabe 11Eingabe 10 / Ausgabe 01Eingabe 11 / Ausgabe 10

Eingabe 11 / Ausgabe 00

Eingabe 01 / Ausgabe 00

2‐Bit E

ingabe

2‐Bit AusgabeEin Beispiel:

Speichern von Zuständen

Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik 57Bildquelle: David A. Patterson und John L. Hennessy, „Computer Organization and Design“, Fourth Edition, 2012

R S altes Q neues Q0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 1

Speichern eines Bits am Beispiel R‐S‐Latch (S=Set, R=Reset)

Beobachtung: das Speichern von Zustand erfordert Rückkopplungen (d.h. Ausgang ist wieder Eingang) in der Schaltung.

Speichern von Zuständen


Erweiterung eines R‐S‐Latch zu einem D‐Latch (D=Data, C=Clock)

C D altes Q neues Q0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

R S altes Q neues Q

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

R

S

Beispiel


Ergebnisist ein Bit

Eingang n Bit

…Kombinatorische Schaltung

…

Zeit

Wir wollen das Ergebnis einer kombinatorischen Schaltung in einem D‐Latch speichern. Q soll wohldefiniert entweder den Inhalt vor oder nach der „Berechnung“ speichern.

D‐Latch

D (Daten)

Q

NOT(Q)

C (Clock)

Problem: Wann liegt das Ergebnis‐Bit stabil an D an? Bildquelle: Symbole kopiert aus David A. Patterson und John L. Hennessy, „Computer Organization and Design“, Fourth Edition, 2012

Lösung: Taktung


Ergebnisist ein Bit

Eingang n Bit

…Kombinatorische Schaltung

…

Zeit

Wir wollen das Ergebnis einer kombinatorischen Schaltung in einem D‐Latch speichern. Q soll wohldefiniert entweder den Inhalt vor oder nach der „Berechnung“ speichern.

D‐Latch

D (Daten)

Q

NOT(Q)

C (Clock)

LetztesClock‐Signal

NächstesClock‐Signal

Takt‐ZyklusBildquelle: Symbole kopiert aus David A. Patterson und John L. Hennessy, „Computer Organization and Design“, Fourth Edition, 2012

D‐Latches sind Transparent bzgl. Taktsignal


R

S

D

C

Q

D‐Flip‐Flop (ist nicht transparent)


Ausgang ändert sich nur bei einer fallenden Taktflanke.

DLatch

D

C

Q DLatch

D

C

QD

C

!Q

D

C

Q

Logische BausteineBlockschaltdiagramme


Bausteine als Black‐Box


Wir haben jetzt einige Basisbausteine kennen gelernt.

In dieser Vorlesung sind wir mit Blockschaltbildern in der Regel eine Abstraktionsebene höher.

Die betrachteten Bausteine sind „Kästen“ mit Eingangsleitungen und Ausgangsleitungen. Die Leitungen können entweder Daten (Datenleitungen) oder Steuersignale (Steuerleitungen) transportieren.

Wie die Bausteine der Blockschaltbilder intern mit Grundbausteinen aufgebaut sind und wie die Taktung der einzelnen Bausteine genau abläuft betrachten wir in dieser Vorlesung nicht weiter.

Bemerkung: In Blockschaltbildern wird das für sequentielle Bausteine erforderliche Clock‐Signal häufig der Übersicht halber weg gelassen.

Baustein

Ausgangsleitungen

Eingangsleitungen

Beispiel eines abstrakten Bausteins

Verschaltung von Bausteinen


n Bits

Einzelne Leitung

Bus (lassen häufig dieMarkierung n‐Bits weg)

Verbinden von Bauelementen DatenflussrichtungEingabeeineslogischenBausteins

AusgabeeineslogischenBausteins

Kreuzungen und Verbindungen Beispiel

Leitungen kreuzensich, sind aber nichtverbunden

Verbindungenaußerhalb derLeitungsendpunktesind durch einenPunkt gekennzeichnet.

Baustein A

Baustein B

Baustein C

Arithmetische, logische Einheit (ALU)


ALUZero (1)Result (n)Overflow (1)

ALU Operation (k)

CarryOut (1)

A (n)

B (n)

Angabe in Klammern ist die Anzahl Bits.

Beispiel‐Funktionen

AND

OR

NOT

Addition

Subtraktion

VergleichGgf. ist die ALU auf eine Operation festgelegt. Dann Entfällt der Eingang und ALU wird mit dem Namen der Operation ersetzt.

Kombinatorisch?Sequentiell?

Register und Shift‐Register


Speichert n Bits

Eingang (n)

Ausgang (n)

Shift (1)Load (1)Reset (1)


Control



Control

Ein Baustein der das Zusammenarbeiten von anderen Bausteinen koordiniert.In Abhängigkeit der Eingänge werden die passenden Steuerleitungen geschaltet.

Ausgänge sindSteuerleitungen in andere Bausteine

Eingänge sind Datenleitungen aus anderen Bausteinen

Control Beispiel


4‐Bit‐Register R1Store R1 4‐Bit‐Register R2

R2 Bit 0

Control

Zero

Store R2

SUB

Control soll folgenden Algorithmus implementieren:wenn R2 gerade und R1-R2=0, dann

R1 = 0wenn R2 ungerade und R1-R2!=0, dann

R2 = R1-R2sonst

R1 = R1-R2

R2Bit 0

Zero StoreR1

StoreR2

0 0

0 1

1 0

1 1

Control wird als kombinatorische Schaltung realisiert.Hierzu die Wahrheitstabelle:

Anhand der Wahrheitstabelle wird dann die Schaltung gebaut.

Rückgekoppelte Register haben immer einen wohldefinierten Zustand, da Register nur zur Clock‐Flanke aktualisiert werden.

Eingabe Ausgabe

Darstellung von Algorithmen


Pseudo‐Code‐Darstellungen


Elementaranweisungen

Variablenzuweisungen, z.B.:x = 42

Arithmetik, z.B.:y = 10x = (42 + y) * 20

Das Symbol „=“ beinhaltet implizit eine zeitliche Abfolge, damit ist z.B. sinnvoll:x = x + 1Abkürzende Schreibweise für voriges Konstrukt: x++

Allgemein: als Elementaranweisung betrachten wir jede Anweisung, die auf der betrachteten Abstraktionsebene nicht weiter sinnvoll in eine Folge von einfacheren Anweisungen unterteilbar ist.

Felder


Felder für den Zugriff auf den Speicher, z.B.: A[]

Zugriff auf ite Speicherstelle: A[i]

Beispiel:

0x0f00 : 14 A[0] 0x0f01 : 15 A[1] 0x0f02 : 42 A[2] 0x0f03 : 43 A[3] ......0x0f0f : 255 A[15]

Sequenz von Elementaranweisungen


Setze i auf i+1Setze j auf 2*i

usw.

Jedes Programm beginnt an einer Stelle und terminiert (hoffentlich) irgendwann.

Im Flussdiagramm ist Beginn und Ende des Programms mit den ovalen Symbolen dargestellt.

Im Beispiel also „Start“ und „Ende“.

Das einfachste Programm arbeitet einfach eine Sequenz von elementaren Anweisungen ab.

Im Flussdiagramm wird so eine Sequenz durch ein Rechteck dargestellt.

Die Abarbeitungsrichtung des Programms wird durch die Pfeile gekennzeichnet.

Start

Ende

If‐then‐else


if‐then‐else am Beispiel:

if(i<10) then<Code-Block 1>

else<Code-Block 2>

Ist i<10?

Code‐Block 1 Code‐Block 2

ja

nein

Switch‐Statement


Switch‐Statement am Beispiel:

switch(i)case 1:

<Code-Block 1>case 2:

<Code-Block 2>...defaut:

<Code-Block n>

i=1?

Code‐Block 2

Code‐Block 1ja

Code‐Block n

i=2?

nein

ja

nein

...

For‐Schleife


For‐Schleife am Beispiel:for(i=0; i<10; i++) {

<das innere der Schleife>}

Bedeutet:• Initialisiere i mit 0• Führe das innere der Schleife aus• Erhöhe i um eins• Wiederhole wenn immer noch i<10

Ist i<10?

Ende

Start

Innere der Schleife

Setze i auf 0

Erhöhe i um 1

ja

nein

While‐Schleife


While‐Schleife an Beispiel:

i=0while(i<10) {

<das innereder Schleife>i++

}Bedeutet:• Initialisiere i mit 0• Führe das innere der Schleife aus• Erhöhe i um eins• Wiederhole wenn immer noch i<10

Ist i<10?

Ende

Start

Innere der Schleife

Setze i auf 0

Erhöhe i um 1

ja

nein

Gegeben seien die ganzzahligen Variablen n und m.Bestimme größtes k welches nk < m erfüllt:

Beispiel


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