Mit dem „Freien Fall“ und der Geschwindigkeit.

Einführung in die Differenzialrechnung

mit dem „Freien Fall“ und der Geschwindigkeit

Denken wir an Geschwindigkeit, so fällt uns sofort Kilometer pro Stunde ein.

Das ist auch gleich die Formel der Geschwindigkeit:

Wie ist Geschwindigkeit definiert?

Wie kann man ohne Tachometer auf der Autobahn die Geschwindigkeit messen?

Na, ganz einfach – man schaut hinaus und sieht die Kilometersteine, die die Entfernung (von z.B. Wien) anzeigen.

Dann muss man nur mehr die Zeit zwischen dem Vorbeifahren an zwei Kilometersteinen messen


Das ergibt zum Beispiel: Kilometerstein 103 wird um 17:35 gesehen Kilometerstein 104 wird um 17:36 gesehen Die Geschwindigkeit ergibt sich daraus als Bruch:

Wie viel ist das in km/h ? >


Das ergibt zum Beispiel: Kilometerstein 103 wird um 17:35 gesehen Kilometerstein 104 wird um 17:36 gesehen Die Geschwindigkeit ergibt sich daraus als Bruch:

Wie viel ist das in km/h ? 60 km/h zu langsam für die Autobahn!


Daraus folgt die Definition der mittleren Geschwindigkeit – im Zeitintervall [ta; te]

für die Wegabschnitte s(ta) und s(te)

v [ta; te] =

Was ist die mittlere Geschwindigkeit?

eines Steins wird mit folgender Tabelle gegeben:

Der „Freie Fall“ (=ohne Luftreibung)

Zeit Wegstrecke

1 s 5 m2s 20 m3 s 45 m4 s 80 m5 s 125 m


Wie kann man eine Formel für die Wegstrecke aufstellen?


Zeit Wegstrecke

1 s 5 m2s 20 m3 s 45 m4 s 80 m5 s 125 m



Dazu dividieren wir die Zahlen der Wegstrecke durch 5


Zeit Wegstrecke

1 s 5 m2s 20 m3 s 45 m4 s 80 m5 s 125 m



Dazu dividieren wir die Zahlen der Wegstrecke durch 5


Zeit Wegstrecke

durch 5

1 s 5 m 12s 20 m 43 s 45 m 94 s 80 m 165 s 125 m 25


Nun sieht man, dass die neuen Zahlen die Quadrate der Zeiten (also t²) sind, daher ergibt sich die Formel für die Wegstrecke:


Zeit Wegstrecke

durch 5

1 s 5 m 12s 20 m 43 s 45 m 94 s 80 m 165 s 125 m 25


Die Formel für die Wegstrecke ist: s(t) = 5*t²


Zeit Wegstrecke

durch 5

1 s 5 m 12s 20 m 43 s 45 m 94 s 80 m 165 s 125 m 25

Wir wollen die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [2;4] bestimmen.

Dazu müssen wir die Wegdifferenz durch die Zeitdifferenz dividieren:

Bestimmung der mittleren GeschwindigkeitZeit Wegstrec

ke1 s 5 m2s 20 m3 s 45 m4 s 80 m5 s 125 m

Wir wollen die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [2;4] bestimmen.

Dazu müssen wir die Wegdifferenz durch die Zeitdifferenz dividieren:

Bestimmung der mittleren GeschwindigkeitZeit Wegstrec

kedurch 5

1 s 5 m 12s 20 m 43 s 45 m 94 s 80 m 165 s 125 m 25

Dazu ersetzen wir nur die konkreten Zahlen für die Zeit (2 und 4) durch die Buchstaben a und e (für Anfangszeit und Endzeit)

Bestimmung der mittleren Geschwindigkeit allgemein


Und außerdem die Strecken durch die Formel s(t) = 5*t²



Und außerdem die Strecken durch die Formel s(t) = 5*t²

Wie können wir das noch vereinfachen?


Dazu werden wir 5 herausheben



und die Binomische Formel benutzen.



und die Binomische Formel benutzen.Und dann kürzen:

5*(e+a)


Mit der Formel der mittleren Geschwindigkeit 5*(e+a)

können wir nun auch die momentane Geschwindigkeit berechnen.

Momentane Fallgeschwindigkeit

Mit der Formel der mittleren Geschwindigkeit 5*(e+a)

können wir nun auch die momentane Geschwindigkeit berechnen.

Dazu brauchen wir nur mehr den Wert des Endzeitpunktes e immer näher an den Anfangszeitpunkt a annähern

(in der Mathematik ist das der LIMES=Grenzwert)


10 a ist die Formel für die momentane

Fallgeschwindigkeit zum Zeitpunkt a




Berechnet man damit die Geschwindigkeit des fallenden Steins nach 2 Sekunden, so ergibt sich

v(2) = 10∙2 = 20 m/s Mit 3,6 multipliziert ergibt das v(2) = 72 km/h




Berechnet man damit die Geschwindigkeit des fallenden Steins nach 2 Sekunden, so ergibt sich

v(2) = 10∙2 = 20 m/s Mit 3,6 multipliziert ergibt das v(2) = 72 km/h

Dasselbe für die Zeit t=4 ergibt v(4) = 10∙4 = 40 m/s = 1440 km/h


Was haben wir getan?

Wir haben aus der Formel der Fallbewegung s(t) = 5*t² die Geschwindigkeit v(t) = 10*t hergeleitet.

Können wir das jetzt auch für andere Formeln machen?


Wir haben aus der Formel der Fallbewegung s(t) = 5*t² die Geschwindigkeit v(t) = 10*t hergeleitet.

Können wir das jetzt auch für andere Formeln machen?

Ja – dazu machen wir eine Tabelle:


Tabelle der GeschwindigkeitenTyp Wegfunkti

onGeschwindigkeit

Stehen in 3m Entfernung s(t) = 3 v(t) = 0Gehen mit 2 m/s s(t) = 2t v(t) = 2Fallen s(t) = 5t² v(t) = 10tBeschleunigen s(t) = t³ v(t) = 3t²

Allgemein s(t) = a*tn v(t) = a*n*tn−1

Und wie geht es weiter?

Jetzt können wir das Thema Geschwindigkeit auf allgemeine Funktionen erweitern:

Dann sind die Funktionen f(x) = x²



Dann sind die Funktionen f(x) = x² und die „Geschwindigkeiten“ f‘(x) = 2x



Dann sind die Funktionen f(x) = x² und die „Geschwindigkeiten“ f‘(x) = 2x Und heißen: momentane Änderungsrate



Dann sind die Funktionen f(x) = x² und die „Geschwindigkeiten“ f‘(x) = 2x Und heißen: momentane Änderungsrate oder: 1.Ableitung



Dann sind die Funktionen f(x) = x² und die „Geschwindigkeiten“ f‘(x) = 2x Und heißen: momentane Änderungsrate oder: 1.Ableitung oder: Differenzialquotient


Und wie geht es dann weiter?

Dann kommen die Ableitungsregeln



Und die grafische Betrachtung (Steigung)




Und viele viele Beispiele und Anwendungen (Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben,

Wirtschaftsfunktionen, physikalische…)




Und viele viele Beispiele und Anwendungen (Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben,

Wirtschaftsfunktionen, physikalische…) UND DAS WAR ES! (Liebe Grüße von Manfred)


Mit dem „Freien Fall“ und der Geschwindigkeit.

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