Modulkatalog Master of Science Mathematik (120 LP)

Modulkatalog

Master of Science Mathematik

(120 LP)

Fakultät für Mathematik und Informatik Friedrich-Schiller-Universität Jena

Stand: WS 2012/13

Gültig ab: 02.12.2009 Zuletzt geändert am: 04.09.2012

MK MSc Mathematik WS 2012/13

2

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................... 2 Regelstudienplan M. Sc. Mathematik ......................................................................... 3 Modulauflistung M. Sc. Mathematik ............................................................................ 4 Modulbeschreibungen M. Sc. Mathematik ................................................................ 13 1. Reine Mathematik ................................................................................................. 13

1.1 Algorithmik ...................................................................................................... 13 1.2 Algebra ............................................................................................................ 14 1.3 Analysis ........................................................................................................... 40 1.4 Geometrie ....................................................................................................... 80 1.5 Numerische Mathematik/Wissenschaftliches Rechnen ................................... 94

2. Angewandte Mathematik/Stochastik ..................................................................... 97 2.1 Algorithmik ...................................................................................................... 97 2.2 Analysis ......................................................................................................... 113 2.3 Numerische Mathematik/Wissenschaftliches Rechnen ................................. 114 2.4 Optimierung .................................................................................................. 126 2.5 Stochastik ..................................................................................................... 135

4. Nebenfächer ....................................................................................................... 160 4.1 Informatik ................................................................................................. 160 4.2 Computerlinguistik/Sprachtechnologie ..................................................... 161 4.3 Ökologie ........................................................................................................ 163 4.4 Philosophie ................................................................................................... 165 4.5 Physik ........................................................................................................... 167 4.6 Psychologie ................................................................................................... 172 4.7 Wirtschaftswissenschaften ............................................................................ 177

5. Allgemeine Schlüsselqualifikationen ................................................................... 177 6. Master-Arbeit ...................................................................................................... 178


3

Regelstudienplan M. Sc. Mathematik

Sem

este

r Mathematik Nebenfach und übergreifende Inhalte (ASQ)

Sum

me:

Reine Mathematik

LP

Angewandte Mathematik/ Stochastik

LP

Mathematik Vertiefung

LP LP

1.

Reine Mathematik 15 - 27 LP

Angewandte

Mathematik/ Stochastik 15 – 27 LP

Vertiefung Seminar

24 3

Nebenfach : 12 -18 LP

und ASQ: 3 -9 LP 21

30

2. 30

3. 30

4. Masterarbeit 30 30

42 57 21 120

Summe Mathematik 99

Im Bereich Reine Mathematik existieren die Fachrichtungen: Algebra, Analysis, Geometrie, Numerische Mathematik/Wissenschaftliches Rechnen

Im Bereich Angewandte Mathematik/Stochastik existieren die Fachrichtungen: Optimierung, Numerische Mathematik/ Wissenschaftliches Rechnen, Stochastik, Algorithmik

Im Bereich Vertiefung wird gemäß Studienordnung eine der folgenden Fachrichtungen gewählt: Algebra, Analysis, Geometrie, Numerische Mathematik/Wissenschaftliches Rechnen, Optimierung, Stochastik oder Algorithmik (Theoretische Informatik) In dieser Vertiefungsrichtung soll die Masterarbeit geschrieben und es müssen ein Seminar mit 3 LP und andere Module lt. Studienordnung mit 24 LP belegt belegt.

Im Bereich Nebenfach und ASQ müssen gemäß Studienordnung mindestens 12 LP aus dem Nebenfach, sowie mindestens 3 LP ASQ gewählt werden. Nebenfächer sind: Informatik, Computerlinguistik/Sprachtechnologie, Ökologie, Philosophie, Physik, Psychologie oder Wirtschaftswissenschaften


4

Modulauflistung M. Sc. Mathematik

1. Reine Mathematik (15 – 27 LP)

1.1. Algorithmik

FMI-IN0082 Logik und Beweisbarkeit 6 LP

1.2. Algebra

FMI-MA1183 Algebraische Geometrie 6 LP

FMI-MA0150 Algebraische Kombinatorik 6 LP

FMI-MA0110 Algebraische Kombinatorik mit Übung 9 LP

FMI-MA0143 Algebraische Zahlentheorie 6 LP

FMI-MA0103 Algebraische Zahlentheorie mit Übung 9 LP

FMI-MA1184 Analytische Zahlentheorie 6 LP

FMI-MA0144 Codierungstheorie 6 LP

FMI-MA0104 Codierungstheorie mit Übung 9 LP

FMI-MA0145 Computeralgebra 6 LP

FMI-MA0105 Computeralgebra mit Übung 9 LP

FMI-MA1185 Darstellungstheorie 6 LP

FMI-MA1186 Elliptische Kurven 6 LP

FMI-MA1187 Homologische Algebra 6 LP

FMI-MA1189 Klassenkörpertheorie 6 LP

FMI-MA1188 Kommutative Algebra 6 LP

FMI-MA0147 Lie-Algebren 6 LP

FMI-MA0107 Lie-Algebren mit Übung 9 LP

FMI-MA1104 Lie-Gruppen und Lie-Algebren 6 LP

FMI-MA1190 Modulformen 6 LP

FMI-MA1103 Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen 6 LP

FMI-MA1102 Quadratische Formen 6 LP

FMI-MA1191 Riemannsche Flächen 6 LP

FMI-MA1148 Ringtheorie 6 LP

FMI-MA1108 Ringtheorie mit Übung 9 LP

FMI-MA1193 Spezielle Kapitel der Algebra 6 LP

FMI-MA1182 Seminar Algebra 3 LP

1.3. Analysis

FMI-MA1270 Anwendungen von Operatortheorie 6 LP

FMI-MA1271 Aperiodische Ordnung – 3 LP 3 LP

FMI-MA1276 Aperiodische Ordnung - 6 LP 6 LP


5

FMI-MA0204 Approximationstheorie 1 – 9 LP 9 LP




FMI-MA1272 C*- Algebren 6 LP

FMI-MA1273 Dirichlet Formen 3 LP

FMI-MA0270 Diskrete Schrödingeroperatoren 6 LP

FMI-MA1217 Distributionen – 6 LP 6 LP


FMI-MA1201 Elliptische Differentialoperatoren – 6 LP 6 LP


FMI-MA1224 Elliptische Differentialoperatoren 2 3 LP

FMI-MA0205 Entropiemethoden und Anwendungen 9 LP

FMI-MA1274 Ergodentheorie 6 LP

FMI-MA1203 Fourieranalysis 2 6 LP

FMI-MA1204 Funktionenräume 6 LP

FMI-MA0206 Geometrische Funktionalanalysis 9 LP

FMI-MA1275 Harmonische Analysis 6 LP

FMI-MA1212 Höhere Analysis 2 9 LP

FMI-MA1209 Interpolationstheorie – 3 LP 3 LP


FMI-MA1277 Mathematische Methoden der Quantenmechanik 6 LP

FMI-MA1213 Moderne Methoden der Analysis – 6 LP 6 LP


FMI-MA1223 Moderne Methoden der Approximationstheorie 9 LP

FMI-MA1241 Nichtlineare Analysis und Anwendungen 6 LP

FMI-MA1214 Pseudodifferentialoperatoren 6 LP

FMI-MA1215 Sobolevräume 9 LP

FMI-MA1216 Spektraltheorie 6 LP

FMI-MA1261 Stabilität Dynamischer Systeme 2 – 6 LP 6 LP


FMI-MA1207 Struktur hochdimensionaler normierter Räume 6 LP

FMI-MA0288 Wavelets – 3 LP 3 LP


FMI-MA1281 Seminar Analysis 3 LP

1.4. Geometrie

FMI-MA1409 Aktuelle Entwicklungen in der Geometrie 3 LP

FMI-MA1441 Differentialgeometrie 6 LP

FMI-MA1401 Differentialgeometrie mit Übung 9 LP

FMI-MA1450 Dynamische Systeme und Fraktale 6 LP

FMI-MA0442 Fraktale Geometrie 6 LP

FMI-MA0402 Fraktale Geometrie mit Übung 9 LP

FMI-MA1443 Fraktale stochastische Prozesse 3 LP

FMI-MA1403 Fraktale stochastische Prozesse mit Übung oder Seminar 6 LP

FMI-MA0444 Geometrische Integrationstheorie 6 LP

FMI-MA0404 Geometrische Integrationstheorie mit Übung 9 LP


6

FMI-MA1420 Geometrische Zerlegungen 6 LP


FMI-MA0148 Lie-Gruppen 6 LP

FMI-MA0108 Lie-Gruppen mit Übung 9 LP

FMI-MA1451 Topologie und Mannigfaltigkeiten - 6 LP 6 LP

FMI-MA1452 Topologie und Mannigfaltigkeiten - 9 LP 9 LP

FMI-MA1482 Seminar Geometrie 3 LP

1.5. Numerische Mathematik/Wissenschaftliches Rechnen

FMI-MA0204 Approximationstheorie 1 9 LP

FMI-MA0551 Monte – Carlo – Methoden – 6 LP 6 LP


FMI-MA1553 Quasi-Monte-Carlo-Methoden und Diskrepanz 6 LP

2. Angewandte Mathematik/Stochastik (15 – 27 LP)

2.1. Algorithmik

FMI-IN0119 Algorithm Engineering 6 LP

FMI-IN0097 Algorithmische Graphtheorie 6 LP

FMI-IN0081 Algorithmische Logik 3 LP

FMI-IN0100 Approximationsalgorithmen 6 LP

FMI-IN0099 Approximative Methoden in der Geometrie 6 LP

FMI-IN0019 Automaten und Sprachen 6 LP

FMI-IN0003 Formale Sprachen – 9 LP 9 LP


FMI-IN0127 Grenzen Algorithmischen Lernens 3 LP

FMI-IN0028 Komplexitätstheorie 6 LP

FMI-IN0101 Konvexe Optimierung 6 LP

FMI-IN0064 Mengenlehre als Fundament für Mathematiker unf Informatiker – 3 LP 3 LP


FMI-IN0098 Parametrisierte Algorithmik 6 LP

FMI-IN0102 Projekt Algorithm Engineering 6 LP

FMI-IN0103 Randomisierte Algorithmen 6 LP

FMI-IN0104 Seminar Algorithmik 3 LP

2.2. Analysis





2.3. Numerische Mathematik/Wissenschaftliches Rechnen

FMI-MA1570 Computational Finance 9 LP


7

FMI-MA1521 Finite Elemente für partielle Differentialgleichungen – 6 LP 6 LP


FMI-MA0572 Hyperbolische Erhaltungssätze und Wellengleichungen 9 LP

FMI-MA1550 Komplexität stetiger Probleme 6 LP

FMI-MA1551 Moderne Methoden der Numerischen Mathematik 6 LP

FMI-MA1571 Moleküldynamik 6 LP



FMI-MA1531 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 2 6 LP



FMI-MA0573 Randelementmethoden und schnelle Summationsverfahren 9 LP

FMI-MA1552 Seminar Numerische Mathematik 3 LP

FMI-MA1510 Seminar Wissenschaftliches Rechnen 3 LP

2.4. Optimierung

FMI-MA1608 Anwendung Numerischer Vefahren der nichtglatten Optimierung 1.5 LP

FMI-MA1604 Anwendung Numerischer Verfahren der nichtlinearen Optimierung 3 LP

FMI-MA1606 Anwendungen Optimaler Steuerung 3 LP

FMI-MA1601 Diskrete und Experimentelle Optimierung A 9 LP

FMI-MA1602 Diskrete und Experimentelle Optimierung B 6 LP

FMI-MA1607 Numerische Verfahren der nichtglatten Optimierung 4.5 LP

FMI-MA1603 Numerische Verfahren der nichtlinearen Optimierung 6 LP

FMI-MA1605 Optimale Steuerung 6 LP

FMI-MA1681 Seminar Optimierung 3 LP

2.5. Stochastik

FMI-MA1714 Bootstrap-Verfahren 3 LP

FMI-MA1718 Dynamik von Differentialgleichungen 6 LP

FMI-MA1703 Finanzmathematik 2 6 LP

FMI-MA1443 Fraktale Stochastische Prozesse 6 LP

FMI-MA1403 Fraktale Stochastische Prozesse mit Übung oder Seminar 9 LP

FMI-MA1717 Lévy-Prozesse 3 LP

FMI-MA1701 Mathematische Statistik 9 LP

FMI-MA1706 Nichtparametrische Kurvenschätzung 3 LP

FMI-MA1709 Prognoseverfahren 3 LP

FMI-MA1710 Projekt Multivariate Statistik 3 LP

FMI-MA1712 Semimartingale 1 3 LP

FMI-MA1716 Semimartingale 2 – 3 LP 3 LP


FMI-MA1704 Stochastische Analysis 6 LP

FMI-MA1707 Stochastische Geometrie 6 LP

FMI-MA0702 Stochastik 2 9 LP

FMI-MA0703 Stochastische Prozesse 1 – 9 LP 9 LP


FMI-MA1702 Stochastische Prozesse 2 6 LP


8

FMI-MA1720 Topologie und Maß 3 LP

FMI-MA1711 Zeitreihenanalyse – 3 LP 3 LP


FMI-MA1708 Zufällige Punktprozesse 6 LP

FMI-MA1721 Zufällige Reihen 3 LP

FMI-MA1781 Seminar Mathematische Statistik 3 LP

FMI-MA1782 Seminar Wahrscheinlichkeitstheorie 3 LP

3. Vertiefung (27 LP)

3.1. Wahlpflichtmodule – Seminare (3 LP)

FMI-MA1182 Seminar Algebra 3 LP

FMI-MA1281 Seminar Analysis 3 LP

FMI-MA1482 Seminar Geometrie 3 LP

FMI-IN0104 Seminar Algorithmik 3 LP

FMI-MA1552 Seminar Numerische Mathematik 3 LP

FMI-MA1510 Seminar Wissenschaftliches Rechnen 3 LP

FMI-MA1681 Seminar Optimierung 3 LP

FMI-MA1781 Seminar Mathematische Statistik 3 LP

FMI-MA1782 Seminar Wahrscheinlichkeitstheorie 3 LP

3.2. Wahlpflichtmodule – sonst (24 LP)

3.2.1. Algorithmik (Theoretische Informatik)

FMI-IN0082 Logik und Beweisbarkeit 6 LP

FMI-IN0119 Algorithm Engineering 6 LP

FMI-IN0097 Algorithmische Graphtheorie 6 LP

FMI-IN0081 Algorithmische Logik 3 LP

FMI-IN0100 Approximationsalgorithmen 6 LP

FMI-IN0099 Approximative Methoden in der Geometrie 6 LP

FMI-IN0019 Automaten und Sprachen 6 LP



FMI-IN0127 Grenzen Algorithmischen Lernens 3 LP

FMI-IN0028 Komplexitätstheorie 6 LP

FMI-IN0101 Konvexe Optimierung 6 LP



FMI-IN0098 Parametrisierte Algorithmik 6 LP

FMI-IN0102 Projekt Algorithm Engineering 6 LP

FMI-IN0103 Randomisierte Algorithmen 6 LP

3.2.2 Algebra

FMI-MA1183 Algebraische Geometrie 6 LP

FMI-MA0150 Algebraische Kombinatorik 6 LP


9

FMI-MA0110 Algebraische Kombinatorik mit Übung 9 LP

FMI-MA0143 Algebraische Zahlentheorie 6 LP

FMI-MA0103 Algebraische Zahlentheorie mit Übung 9 LP

FMI-MA1184 Analytische Zahlentheorie 6 LP

FMI-MA0145 Computeralgebra 6 LP

FMI-MA0105 Computeralgebra mit Übung 9 LP

FMI-MA1185 Darstellungstheorie 6 LP

FMI-MA1186 Elliptische Kurven 6 LP

FMI-MA1187 Homologische Algebra 6 LP

FMI-MA1189 Klassenkörpertheorie 6 LP

FMI-MA1188 Kommutative Algebra 6 LP

FMI-MA0147 Lie-Algebren 6 LP

FMI-MA0107 Lie-Algebren mit Übung 9 LP


FMI-MA1190 Modulformen 6 LP

FMI-MA1103 Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen 6 LP

FMI-MA1102 Quadratische Formen 6 LP

FMI-MA1191 Riemannsche Flächen 6 LP

FMI-MA1148 Ringtheorie 6 LP

FMI-MA1108 Ringtheorie mit Übung 9 LP

FMI-MA1193 Spezielle Kapitel der Algebra 6 LP

3.2.3. Analysis

FMI-MA1270 Anwendungen von Operatortheorie 6 LP

FMI-MA1271 Aperiodische Ordnung – 3 LP 3 LP


FMi-MA1220 Approximationstheorie 2 – 6 LP 6 LP

FMI-MA1205 Approximationstheorie 2 - 9 LP 9 LP

FMI-MA1272 C*- Algebren 6 LP

FMI-MA1273 Dirichlet Formen 3 LP





FMI-MA1224 Elliptische Differentialoperatoren 2 3 LP

FMI-MA0205 Entropiemethoden und Anwendungen 9 LP

FMI-MA1274 Ergodentheorie 6 LP

FMI-MA1203 Fourieranalysis 2 6 LP

FMI-MA1204 Funktionenräume 6 LP

FMI-MA0206 Geometrische Funktionalanalysis 9 LP

FMI-MA1275 Harmonische Analysis 6 LP

FMI-MA1212 Höhere Analysis 2 9 LP



FMI-MA1277 Mathematische Methoden der Quantenmechanik 6 LP


10




FMI-MA1241 Nichtlineare Analysis 6 LP


FMI-MA1214 Pseudodifferentialoperatoren 6 LP

FMI-MA1215 Sobolevräume 9 LP

FMI-MA1216 Spektraltheorie 6 LP



FMI-MA1207 Struktur hochdimensionaler normierter Räume 6 LP



3.2.4. Geometrie

FMI-MA1409 Aktuelle Entwicklungen in der Geometrie 3 LP

FMI-MA1441 Differentialgeometrie 6 LP

FMI-MA1401 Differentialgeometrie mit Übung 9 LP

FMI-MA1450 Dynamische Systeme und Fraktale 6 LP

FMI-MA0442 Fraktale Geometrie 6 LP

FMI-MA0402 Fraktale Geometrie mit Übung 9 LP

FMI-MA1443 Fraktale stochastische Prozesse 3 LP

FMI-MA1403 Fraktale stochastische Prozesse mit Übung oder Seminar 6 LP

FMI-MA0444 Geometrische Integrationstheorie 6 LP

FMI-MA0404 Geometrische Integrationstheorie mit Übung 9 LP

FMI-MA1420 Geometrische Zerlegungen 6 LP

FMI-MA0148 Lie-Gruppen 6 LP

FMI-MA0108 Lie-Gruppen mit Übung 9 LP

FMI-MA1451 Topologie und Mannigfaltigkeiten – 6 LP 6 LP

FMI-MA1452 Topologie und Mannigfaltigkeiten – 9 LP 9 LP

3.2.5. Numerische Mathematik/Wissenschaftliches Rechnen




FMI-MA1570 Computational Finance 9 LP



FMI-MA0572 Hyperbolische Erhaltungssätze und Wellengleichungen 9 LP

FMI-MA1550 Komplexität stetiger Systeme 6 LP

FMI-MA1551 Moderne Methoden der Numerischen Mathematik 6 LP

FMI-MA1571 Moleküldynamik 6 LP



FMI-MA0573 Randelementmethoden und schnelle Summationsverfahren 9 LP

3.2.6. Optimierung

FMI-MA1604 Anwendung Numerischer Verfahren der nichtlinearen Optimierung 1.5 LP


11

FMI-MA1606 Anwendungen Optimaler Steuerung 3 LP

FMI-MA1601 Diskrete und Experimentelle Optimierung A 9 LP

FMI-MA1602 Diskrete und Experimentelle Optimierung B 6 LP


FMI-MA1603 Numerische Verfahren der nichtlinearen Optimierung 4.5 LP

FMI-MA1605 Optimale Steuerung 6 LP

3.2.7. Stochastik

FMI-MA1714 Bootstrap-Verfahren 3 LP

FMI-MA1718 Dynamik von Differentialgleichungen 6 LP

FMI-MA1703 Finanzmathematik 2 6 LP

FMI-MA1443 Fraktale Stochastische Prozesse 6 LP

FMI-MA1403 Fraktale Stochastische Prozesse mit Übung oder Seminar 9 LP

FMI-MA1717 Lévy-Prozesse 3 LP

FMI-MA1701 Mathematische Statistik 9 LP

FMI-MA1706 Nichtparametrische Kurvenschätzung 3 LP

FMI-MA1709 Prognoseverfahren 3 LP

FMI-MA1710 Projekt Multivariate Statistik 3 LP

FMI-MA1712 Semimartingale 1 3 LP



FMI-MA1704 Stochastische Analysis 6 LP

FMI-MA1707 Stochastische Geometrie 6 LP



FMI-MA1702 Stochastische Prozesse 2 6 LP

FMI-MA1720 Topologie und Maß 3 LP



FMI-MA1708 Zufällige Punktprozesse 6 LP

FMI-MA1721 Zufällige Reihen 3 LP

4. Nebenfächer (12 – 18 LP)

4.1 Informatik

Siehe Studienordnung

4.2 Computerlinguistik/Sprachtechnologie M-GSW-09 Computerlinguistik I 10 LP

M-GSW-10 Computerlinguistik II/ Sprachtechnologie (o. Übg) 5 LP

4.3 Ökologie Siehe Studienordnung

Module aus Bachelor-Studiengang, zusätzlich:

Ök NF 3.1 Ökologie von Lebensgemeinschaften 9 LP

Ök NF 3.2 Verhalten und Evolution 6 LP


12

4.4 Philosophie Siehe Studienordnung

Module aus Bachelor-Studiengang sowie zusätzlich:

LA-Phi 3.2 Schwerpunkt I 5 LP

LA-Phi 3.3 Schwerpunkt II 5 LP

4.5 Physik Siehe Studienordnung


128.120 Grundkurs Experimentalphysik II 8 LP

128.130 Grundkurs Physik der Materie I (Atome) 4 LP

128.160 Grundkurs Physik der Materie II (Festkörper) 4 LP

128.180 Grundpraktikum Experimentalphysik II 4 LP

128.210 Theoretische Mechanik 8 LP

4.6 Psychologie Siehe Studienordnung


PsyN-WP4.1 Arbeits-, Betriebs- und Organisationspsychologie 10 LP

PsyN-WP4.2 Biologische und Klinische Psychologie 10 LP

PsyN-WP4.3 Intervention und Evaluation 10 LP

PsyN-WP4.4 Kommunikations- und Medienpsychologie 10 LP

PsyN-WP4.5 Pädagogische Psychologie 10 LP

4.7 Wirtschaftswissenschaften Siehe Studienordnung

5. Allgemeine Schlüsselqualifikationen (3 – 9 LP)

Siehe Bachelor-Studiengang und ASQ-Katalog der Universität

6. Master-Arbeit (30 LP)

FMI-MA1999 Master-Arbeit 30 LP

Die Zuordnung zu den Modulen in Pkt. 3 erfolgt zur Darstellung, in welchen

Vertiefungsrichtungen die Module eingebracht werden können. Die Modulbeschreibungen

dazu entnehmen Sie bitte der Auflistung in Pkt. 1 und Pkt. 2. Rot gekennzeichnte Module sind neue Module seit der Erstveröffentlichung des Modulkataloges vom WS 2010/11.


13

Modulbeschreibungen M. Sc. Mathematik

1. Reine Mathematik

1.1 Algorithmik Modultitel (deutsch) Logik und Beweisbarkeit

Modultitel (englisch) Logic and Provability

Modulnummer FMI-IN0082 01.10.12

Art des Moduls (Pflicht-, Wahlpflicht- oder Wahlmodul)

Wahlpflichtmodul (ALG, MAT) für den M. Sc. Informatik Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Bioinformatik (Bereich Informatik) Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Mathematik

Modul-Verantwortlicher Martin Mundhenk

Leistungspunkte (ECTS credits) 6

Arbeitsaufwand (work load) in: Präsenzstunden Selbststudium (einschl. Prüfungsvorbereitung)

180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 5 V/Ü

Häufigkeit des Angebots (Modulturnus)

in der Regel alle 2 Jahre

Dauer des Moduls 1 Semester

Voraussetzung für die Zulassung zum Modul

keine

Empfohlene Vorkenntnisse für das Modul

Grundbegriffe der Logik

Voraussetzung für die Zulassung zur Modulprüfung

Die Kriterien (z.B. 50% der erreichbaren Punkte aus den Übungsaufgaben) werden zu Beginn der Veranstaltung bekanntgegeben.

Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten (Prüfungsform)

Bestehen der Abschlussprüfung: Klausur oder mündliche Prüfung. Die Prüfungsform wird zu Beginn der Veranstaltung bekanntgegeben.

Inhalte Logik wird von ihrer mathematischen Seite betrachtet. Es wird ein Beweis-Kalkül (z.B. Hilbert-Kalkül oder natürliches Schließen) vorgestellt. Korrektheit und Vollständigkeit des Kalküls werden für Aussagen- und Prädikatenlogik nachgewiesen (Vollständigkeitssatz von Gödel). Die Grenzen dieser Kalküle werden aufgezeigt (Unvollständigkeitssatz von Gödel).

(Qualifikations-)Ziele Profunde Kenntnisse in Mathematik bezgl. Logik

Literatur Dirk van Dalen: Logic and Structure. Springer Verlag, Berlin 2004.

Elliot Mendelson: Introduction to mathematical logic. Chapman & Hall, London 2001.

Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akad. Verl., Berlin 2007.


14

1.2 Algebra

Modultitel (deutsch) Algebraische Geometrie

Modultitel (englisch) Algebraic Geometry

Modulnummer FMI-MA1183 02.06.10


Wahlpflichtmodul M. Sc. Mathematik

Modul-Verantwortlicher David J. Green

Leistungspunkte (ECTS credits) 6 LP

Arbeitsaufwand (work load) in: - Präsenzstunden

- Selbststudium (einschl. Prüfungsvorbereitung)

180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V (oder 3 V+ 1 Ü)


Unregelmäßig im WS oder SS, alle 4 Jahre



keine

Empfohlene Voraussetzung zum Modul

Algebra 1

Zusätzliche Zulassungs-voraussetzung zur Modulprüfung

keine


mündliche Prüfung

Inhalte Affine und projektive algebraische Varietäten

Kurven und Flächen

Koordinatenringe und Funktionenkörper

Tangentialraum, reguläre und singuläre Punkte

Dimension

Evtl. Gröbnerbasen

(Qualifikations-)Ziele Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der Algebra. Nachweis der Fähigkeit zu wissenschaftlicher Arbeit.

Kenntnis der Konzepte, Begriffe und wesentlichen Ergebnisse der Algebraischen Geometrie.

Aufgabenstellungen in der Algebraischen Geometrie lösen können, mit einer Kombination aus rechnerischen Ansätzen und theoretischen Überlegungen.

Den geometrischen Inhalt von Aussagen aus anderen Gebieten der Mathematik (z.B. Zahlentheorie, Kommutative Algebra) erkennen und deuten können.

Literatur E. Kunz: Einführung in die Algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig 1997.

Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer, New York, 2000.

Klaus Hulek, Elementare Algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig 2000.


15

Modultitel (deutsch) Algebraische Kombinatorik

Modultitel (englisch) Algebraic Combinatorics




Modul-Verantwortlicher Burkhard Külshammer


Arbeitsaufwand (work load) in: - Präsenzstunden - Selbststudium (einschl.

Prüfungsvorbereitung)

180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





keine


Algebra 1

Zusätzliche Zulassungsvoraussetzung zur Modulprüfung

Keine


mündliche Prüfung

Inhalte Binomial- und Gauß-Koeffizienten

Formale Potenzreihen und erzeugende Funktionen

Geordnete Mengen, Inzidenzalgebren und Möbius-Inversion

Verbände

Partitionen und Permutationen

Gruppenoperationen und Polya-Theorie

Vertretersysteme

Lateinische Quadrate und Designs

(Qualifikations-)Ziele Erwerb von Kenntnissen und Fähigkeiten in der Kombinatorik

Vorbereitung für erste Projektarbeiten in der Algebra und ihren Anwendungen

Ergänzung für vertiefte Algebra-Kenntnisse

Literatur Lehrbücher nach Empfehlung des Dozenten

Martin Aigner: Kombinatorik. Bd. 1, Springer, Berlin 1975.



16

Modultitel (deutsch) Algebraische Kombinatorik mit Übung

Modultitel (englisch) Algebraic Combinatorics with Exercises








270 Std. 90 Std. 180 Std.

Lehrform (SWS) 4 V + 2 Ü





keine


Algebra 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Binomial- und Gauß-Koeffizienten

Formale Potenzreihen und erzeugende Funktionen

Geordnete Mengen, Inzidenzalgebren und Möbius-Inversion

Verbände

Partitionen und Permutationen

Gruppenoperationen und Polya-Theorie

Vertretersysteme

Lateinische Quadrate und Designs

(Qualifikations-)Ziele Erwerb von Kenntnissen und Fähigkeiten in der Kombinatorik

Vorbereitung für erste Projektarbeiten in der Algebra und ihren Anwendungen

Ergänzung für vertiefte Algebra-Kenntnisse





17

Modultitel (deutsch) Algebraische Zahlentheorie

Modultitel (englisch) Algebraic Number Theory




Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Wirtschaftsmathematik





180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





keine


Der Inhalt des Bachelor-Wahlpflichtmoduls Algebra 1 wird im vollen Umfang vorausgesetzt.


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Algebraische Zahlkörper und ihre Ganzheitsringe

Zerlegung von Idealen in Primideale

Struktur der Einheitengruppe

Bewertungen und lokale Körper

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Algebraischen Zahlentheorie und deren Anwendungen

Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der Algebra

Nachweis der Fähigkeit zu wissenschaftlicher Arbeit


Daniel A. Marcus: Number fields. 3. Aufl., Springer, New York 1995.


18

Modultitel (deutsch) Algebraische Zahlentheorie mit Übung

Modultitel (englisch) Algebraic Number Theory with Exercises









270 Std. 90 Std. 180 Std.






keine




keine


mündliche Prüfung

Inhalte Algebraische Zahlkörper und ihre Ganzheitsringe

Zerlegung von Idealen in Primideale

Struktur der Einheitengruppe

Bewertungen und lokale Körper

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Algebraischen Zahlentheorie und deren Anwendungen




Daniel A. Marcus: Number fields. 3. Aufl., Springer, New York 1995.


19

Modultitel (deutsch) Analytische Zahlentheorie

Modultitel (englisch) Analytic Number Theory



Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Mathematik

Modul-Verantwortlicher Klaus Haberland




180 Std. 60 Std. 120 Std.






keine


Analysis 3 FMI-MA0203, Funktionentheorie 1 FMI-MA0243, Algebra 1 FMI-MA0101


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Die Riemannsche Zetafunktion

Primzahlsatz mit Restglied

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Analytischen Zahlentheorie und ihrer Anwendungen



Literatur Z. I. Borevich, I. R. Shafarevich: Number Theory, Academic Press, 1966.

H. Davenport: Multiplicative Number Theory, Springer, 2000.

G. Everest, T. Ward: An Introduction to Number Theory, Springer, 2007.

J. Stopple: A Primer of Analytic Number Theory: From Pythagoras to Riemann, Cambridge Univ. Press, 2003.

D. Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie, Springer, 1981.


20

Modultitel (deutsch) Codierungstheorie

Modultitel (englisch) Coding Theory



Wahlpflichtmodul für den B. Sc. Mathematik Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Mathematik






180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





keine


Algebra 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Algebraische Grundlagen, Hamming-Abstand und Gewichtsverteilung

Schranken für die Güte von Codes, Hamming- und Golay-Codes, zyklische Codes, BCH- und QR-Codes, Reed-Muller- und Reed-Solomon-Codes

die Mathematik der CD, Decodierungsalgorithmen, Anwendungen algebraisch-geometrischer Methoden

(Qualifikations-)Ziele Erlernen von modernen Methoden der Theorie der Codierungstheorie und deren Anwendungen

Die Fähigkeit, die bisher gelernten algebraischen Methoden in einem interdisziplinären Kontext (Datenübertragung) anwenden zu können


Wolfgang Willems: Codierungstheorie. de Gruyter, Berlin 1999.


21

Modultitel (deutsch) Codierungstheorie mit Übung

Modultitel (englisch) Coding Theory with Exercises









270 Std. 90 Std. 180 Std.






keine


Algebra 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Algebraische Grundlagen, Hamming-Abstand und Gewichtsverteilung

Schranken für die Güte von Codes, Hamming- und Golay-Codes, zyklische Codes, BCH- und QR-Codes, Reed-Muller- und Reed-Solomon-Codes

die Mathematik der CD, Decodierungsalgorithmen, Anwendungen algebraisch-geometrischer Methoden

(Qualifikations-)Ziele Erlernen von modernen Methoden der Theorie der Codierungstheorie und deren Anwendungen

Die Fähigkeit, die bisher gelernten algebraischen Methoden in einem interdisziplinären Kontext (Datenübertragung) anwenden zu können


Wolfgang Willems: Codierungstheorie. de Gruyter, Berlin 1999.


22

Modultitel (deutsch) Computeralgebra

Modultitel (englisch) Computer Algebra









180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





keine


Algebra 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen für ganze Zahlen und Polynome

Algebraische Gleichungssysteme und Gröbnerbasen

Reduktion von Basen in Gittern

Computational group theory

(Qualifikations-)Ziele Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der Algebra


Kenntnisse der Konzepte, Begriffe, Ansätze und wesentlichen Algorithmen der Computeralgebra

Algebraische und zahlentheoretische Fragestellungen auf deren effiziente Berechenbarkeit analysieren und bewerten können

Aufgabenstellung in der Computeralgebra lösen können, ggf. mit Hilfe eines Computeralgebrasystems


Joachim von Zur Gathen, Jürgen Gerhard: Moderne Computeralgebra. 2. ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge 2003.

Michael Kaplan: Computeralgebra. Springer, Berlin 2005.


23

Modultitel (deutsch) Computeralgebra mit Übung

Modultitel (englisch) Computer Algebra (with Examples Classes)









270 Std. 90 Std. 180 Std.






keine


Algebra 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen für ganze Zahlen und Polynome

Algebraische Gleichungssysteme und Gröbnerbasen

Reduktion von Basen in Gittern

Evtl. Algorithmische Gruppentheorie

(Qualifikations-)Ziele Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der Algebra


Kenntnisse der Konzepte, Begriffe, Ansätze und wesentlichen Algorithmen der Computeralgebra

Algebraische und zahlentheoretische Fragestellungen auf deren effiziente Berechenbarkeit analysieren und bewerten können

Aufgabenstellung in der Computeralgebra lösen können, ggf. mit Hilfe eines Computeralgebrasystems


Joachim von Zur Gathen, Jürgen Gerhard: Moderne Computeralgebra. 2. ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge 2003.

Michael Kaplan: Computeralgebra. Springer, Berlin 2005.


24

Modultitel (deutsch) Darstellungstheorie

Modultitel (englisch) Representation Theory








180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4V (oder 3V+ 1Ü)


unregelmäßig im WS oder SS, alle 3 Jahre



keine




keine


mündliche Prüfung

Inhalte Darstellungen und Charaktere endlicher Gruppen,

Blöcke und Defektgruppen,

Vertizes und Quellen,

Brauer- und Green- Korrespondenz,

Cartan-Invarianten und Zerlegungszahlen

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Darstellungstheorie und deren Anwendungen,




J. L. Alperin: Local representation theory. Cambridge Univ. Press, Cambridge Mass. 1993.


25

Modultitel (deutsch) Elliptische Kurven

Modultitel (englisch) Elliptic Curves








180 Std. 60 Std. 120 Std.






Keine


Analysis 3 FMI-MA0203, Algebra 1 FMI-MA0101


Keine


mündliche Prüfung

Inhalte Algebraische Theorie der elliptischen Kurven

Ellitpische Kurven über den komplexen Zahlen

Elliptische Kurven über endlichen und lokalen Körpern,

der Satz von Mordell-Weil

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Theorie der Elliptischen Kurven und ihrer Anwendungen,



Literatur T. Ekedahl: One Semester of Elliptic Curves, European Math. Soc., 2006.

D. Husemoller: Elliptic Curves, Springer, 2004.

A. W. Knapp: Elliptic Curves, Princeton Univ. Press, 1002.

J. Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 2009.


26

Modultitel (deutsch) Homologische Algebra

Modultitel (englisch) Homological Algebra



Wahlpflichtmodul für den M.Sc. Mathematik





180 Std. 60 Std. 120 Std.






Keine


Algebra 1; evtl. auch Topologie 1


Keine


mdl. Prüfung

Inhalte - Beispiele halbexakter Funktoren

- Kategorien, Funktoren, natürliche Transformationen, (Ko)Limites, exakte Folgen

- Kettenkomplexe, Abelsche Kategorien

- Projektive und injektive Objekte; Auflösungen; Abgeleitete Funktoren

- die Funktoren Ext und Tor; Doppelkomplexe und der Künneth-Satz

- evtl. auch Spektralsequenzen

(Qualifikations-)Ziele - Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der Algebra. Nachweis der Fähigkeit zu wissenschaftlicher Arbeit.

- Kenntnis der Konzepte, Begriffe und wesentlichen Ergebnisse der Homologischen Algebra.

- Aufgabenstellungen in der Homologischen Algebra lösen können, mit einer Kombination aus rechnerischen Ansätzen und theoretischen Überlegungen.

- Fragestellungen aus anderen Gebieten (z.B. Algebraische Topologie, Gruppentheorie) mit den Begriffen der Homologischen Algebra erfassen können.

Literatur C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Univ. Press.


27

Modultitel (deutsch) Klassenkörpertheorie

Modultitel (englisch) Class Field Theory








180 Std. 60 Std. 120 Std.






Keine


Analysis 3 (FMI-MA0203), Algebra 1 (FMI-MA0101), Algebraische Zahlentheorie (FMI-MA0143 oder FMI-MA0103)


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Die Hauptsätze der lokalen und globalen Klassenkörpertheorie

Gruppenkohomologie

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Klassenkörpertheorie und ihrer Anwendungen



Literatur N. Childress: Class Field Theory, Springer, 2009.

G. Gras: Class Field Theory, Springer, 2003.

S. Lang: Algebraic Number Theory, Springer, 1994.

J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer, 2006.


28

Modultitel (deutsch) Kommutative Algebra

Modultitel (englisch) Commutative Algebra








180 Std. 60 Std. 120 Std.






keine


Algebra 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Kommutative Ringe und Moduln über diesen

Ringerweiterungen

Quotientenringe und Lokalisierung

das Spektrum

Kettenbedingungen

Dimensionstheorie

Primärzerlegung von Idealen

Cohen-Macaulay-Ringe und reguläre Ringe

(Qualifikations-)Ziele Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der Algebra. Nachweis der Fähigkeit zu wissenschaftlicher Arbeit.

Kenntnis der Konzepte, Begriffe und wesentlichen Ergebnisse der Kommutativen Algebra.

Aufgabenstellungen in der Kommutativen Algebra lösen können, mit einer Kombination aus rechnerischen Ansätzen und theoretischen Überlegungen.

Fragestellungen aus anderen Gebieten (z.B. Algebraische Geometrie, Algebraische Zahlentheorie) mit den Begriffen der Kommutativen Algebra erfassen können.

Literatur Michael. F. Atiyah, Ian G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Westview Press, Boulder Colo. 1969.

David Eisenbud, Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, New York 2004.


29

Modultitel (deutsch) Lie-Algebren

Modultitel (englisch) Lie Algebras








180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





Keine




Keine


mündliche Prüfung

Inhalte Die Vorlesung behandelt die Klassifikation endlich-dimensionaler komplexer halbeinfacher Lie-Algebren und deren Darstellungstheorie

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Theorie der Lie-Algebren und deren Anwendungen




J. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer, New York, 1987.


30

Modultitel (deutsch) Lie-Algebren mit Übung

Modultitel (englisch) Lie Algebras with Exercises








270 Std. 90 Std. 180 Std.






keine




keine


mündliche Prüfung

Inhalte Die Vorlesung behandelt die Klassifikation endlich-dimensionaler komplexer halbeinfacher Lie-Algebren und deren Darstellungstheorie.







31

Modultitel (deutsch) Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Modultitel (englisch) Lie groups and Lie algebras




Modul-Verantwortlicher Oksana Yakimova




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





Keine


Der Inhalt des Bachelor-Wahlpflichtmoduls Algebra 1 (FMI-MA0101) wird im vollen Umfang vorausgesetzt.


Keine


mündliche Prüfung

Inhalte komplexe und reelle Lie-Gruppen, Wirkungen auf Mannigfaltigkeiten, homogene Räume

Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren (-Gruppen) und deren Darstellungstheorie

Anwendungen in Geometrie und dynamische Systeme

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Theorie der Lie-Gruppen und -Algebren und deren Anwendungen




J. Frank Adams: Lectures on Lie groups. Univ. Of Chicago Press, Chicago 1982.

Jean-Pierre Serre, Lie Algebras and Lie Groups, Lecture notes in math., 1500, Springer 1965.



32

Modultitel (deutsch) Modulformen

Modultitel (englisch) Modular Forms








180 Std. 60 Std. 120 Std.






Keine




keine


mündliche Prüfung

Inhalte Elliptische Modulformen

Fourier-Entwicklung

Hecke-Operatoren

Thetafunktionen

ganzzahlige quadratische Formen

(Qualifikations-)Ziele vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Theorie der Modulformen und ihrer Anwendungen



Literatur J. H. Bruinier et al.: The 1-2-3 of Modular Forms, Springer, 2008

F. Diamond, J. Shurman: A First Course in Modular Forms, Springer, 2005.

G. Shimura: Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Forms, Princeton Univ. Press, 1994.

W. Stein: Modular Forms, a Computational Approach, Amer. Math. Soc, 2007.

T. Miyake: Modular Forms, Springer, 2006.


33

Modultitel (deutsch) Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen

Modultitel (englisch) Primality tests and algorithms for factorization








180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V (oder 3 V + 1 Ü)


Unregelmäßig,



keine


Algebra 1 (FMI-MA0101)


keine


schriftliche oder mündliche Prüfung

Inhalte Zahlentheoretische Grundlagen, Elliptische Kurven,

Pseudo-Primzahlen und Carmichael-Zahlen,

Deterministische und probabilistische Primzahltests,

Tests für allgemeine und spezielle Primzahlen,

Verschiedene Faktorisierungsmethoden (Pollards Rho,

Pollards (p-1), Quadratisches Sieb)

(Qualifikations-)Ziele Kennenlernen der grundlegenden Begriffe und Konzepte, Erwerb von Fähigkeiten zur Lösung von Problemen

Literatur Lasse Rempe und Rebecca Waldecker, Primzahltests für Einsteiger, Vieweg + Teubner 2009

Hans Riesel, Prime numbers and computer methods for factorization, Birkhäuser-Verlag 1994

Richard Crandall and Carl Pomerance, Prime numbers: a computational perspective, Springer-Verlag 2005


34

Modultitel (deutsch) Quadratische Formen

Modultitel (englisch) Quadratic Forms








180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V (oder 3 V + 1 Ü)


Unregelmäßig



keine


Algebra 1 (FMI-MA0101)


keine



Inhalte Bilinearformen und quadratische Formen über Körpern,

Wittringe, Quaternionenalgebren, Clifford-Algebren, das

Lokal-Global-Prinzip, Hilberts 17. Problem

(Qualifikations-)Ziele Kennenlernen der grundlegenden Begriffe und Konzepte,

Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf einem

Spezialgebiet der Algebra, Erwerb von Fähigkeiten zur

Lösung von Problemen

Literatur T. Y. Lam, The algebraic theory of quadratic forms, Benjamin 1973

T. Y. Lam, Introduction to quadratic forms over fields, AMS 2005

Pfister, Quadratic forms with applications to algebraic geometry and topology, Cambridge University Press 1995


35

Modultitel (deutsch) Riemannsche Flächen

Modultitel (englisch) Riemann Surfaces








180 Std. 60 Std. 120 Std.






keine




keine


mündliche Prüfung

Inhalte Sätze von Riemann-Roch und Abel-Jacobi für kompakte Riemannsche Flächen mit Hilfe des Garbenkalküls

(Qualifikations-)Ziele vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Theorie Riemannscher Flächen und ihrer Anwendungen



Literatur O. Forster: Lectures on Riemann Surfaces, Springer, 1999.

J. Jost: Compact Riemann Surfaces, Springer, 2006.

F. Kirwan: Complex Algebraic Curves, Cambridge Univ. Press, 1992.

K. Lamotke: Riemannsche Flächen, Springer, 2009.

G. Harder: Lectures on Algebraic Geometry 1: Sheaves, Cohomology of Sheaves, and Applications to Riemann Surfaces, Vieweg+Teubner, 2008.


36

Modultitel (deutsch) Ringtheorie

Modultitel (englisch) Ring Theory

Modulnummer FMI-MA 1148 02.12.09







180 Std. 60 Std. 120 Std.






keine




keine


mündliche Prüfung

Inhalte Einfache und halbeinfache Ringe und Moduln

freie, projektiveund injektive Moduln

Radikal und Idempotente

Semiperfekte Ringe

das Tensorprodukt

Morita-Theorie

(Qualifikations-)Ziele vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Ringtheorie und deren Anwendungen




Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings and categories of modules. Springer, New York 1992.


37

Modultitel (deutsch) Ringtheorie mit Übungen

Modultitel (englisch) Ring Theory with Exercises








270 Std. 90 Std. 180 Std.






keine




keine


mündliche Prüfung

Inhalte Einfache und halbeinfache Ringe und Moduln

freie, projektiveund injektive Moduln

Radikal und Idempotente

Semiperfekte Ringe

das Tensorprodukt

Morita-Theorie

(Qualifikations-)Ziele vertiefendes Erlernen von modernen Methoden der Ringtheorie und deren Anwendungen




Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings and categories of modules. Springer, New York 1992.


38

Modultitel (deutsch) Spezielle Kapitel der Algebra

Modultitel (englisch) Current Topics in Algebra




Modul-Verantwortlicher David Green




180 Std. 60 Std. 120 Std.






keine


Algebra 1, mindestens ein weiteres Algebra-Mastermodul


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Bei entsprechendem studentischem Interesse wird eine vertiefende Algebra-Vorlesung fortgesetzt.

Die Themenauswahl richtet sich nach den aktuellen Jenaer Forschungsinteressen.

(Qualifikations-)Ziele vertiefendes Erlernen eines aktuellen Bereichs der Algebra oder ihrer Anwendungen

verstärkter Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der Algebra

Vorbereitung auf wissenschaftliche Arbeit

Literatur Lehrbücher oder Forschungsartikel nach Empfehlung des Dozenten


39

Modultitel (deutsch) Seminar Algebra

Modultitel (englisch) Seminar Algebra









90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 S


Jährlich, im WS oder SS



keine




keine


eigener Vortrag, regelmäßige aktive Mitarbeit und schriftliche Ausarbeitung

Inhalte Ausgewählte Themen aus der Algebra

(Qualifikations-)Ziele selbständige Erarbeitung eines fortgeschrittenen mathematischen Themas

Kompetenz in der Präsentation von Mathematik



40

1.2 Analysis

Modultitel (deutsch) Anwendungen von Operatortheorie

Modultitel (englisch) Applications of operator theory



Wahlpflichtmodul für M. Sc. Mathematik

Wahlpflichtmodul für M. Sc. Physik

Modul-Verantwortlicher Daniel Lenz




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4V oder 3V+1Ü


alle sechs Semester



keine


Kenntnisse der Maß- und Integrationstheorie

Höhere Analysis 1 +2


keine


mündliche oder schriftliche Prüfung

Inhalte Normale (insbesondere unbeschränkte) Operatoren im Hilbertraum

Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

Ungeordnete Systeme und zugehörige Opertoren

(Qualifikations-)Ziele Einführung in das Gebiet

Erwerb vertiefender Kenntnisse der Funktionalanalysis

Kennenlernen von modernen Methoden und Hilfsmitteln,

Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse

Literatur Literatur nach Empfehlung des Dozenten, Beispielhaft seien genannt:

Joachim Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen. Teil 1: Grundlagen. Teubner, Stuttgart 2000.

Joachim Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen. Teil II: Anwendungen. Teubner, Stuttgart 2003.


41

Modultitel (deutsch) Aperiodische Ordnung

Modultitel (englisch) Aperiodic Order



Wahlpflichtmodul für M.Sc. Mathematik






90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2V


alle acht Semester



keine


Grundkenntnisse der Funktionalanalysis


keine



Inhalte Delone Mengen und Meyer Mengen

Fourier Transformation und Diffraktion

Dynamische Systeme mit aperiodischer Ordnung





Literatur Literatur nach Empfehlung des Dozenten. Einen Einblick in das Gebiet gibt der Sammelband:

Michael Baake, Robert V. Moody (Hrsg): Directions in mathematical quasicrystals. CRM Monograph Series, V.13, American Mathematical Society, Providence, RI 2000.


42

Modultitel (deutsch) Aperiodische Ordnung – 6 LP

Modultitel (englisch) Aperiodic Order – 6 CP




Wahlpflichtmodul für M.Sc. Physik

Wahlpflichtmodul für Lehramt Mathematik Gymnasium





180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4V (oder 3V + 1Ü)


alle acht Semester



keine


Grundkenntnisse der Funktionalanalysis


keine



Inhalte Delone Mengen und Meyer Mengen

Fourier Transformation und Diffraktion

Dynamische Systeme mit aperiodischer Ordnung





Literatur Literatur nach Empfehlung des Dozenten. Einen Einblick in das Gebiet gibt der Sammelband:

Michael Baake, Robert V. Moody (Hrsg): Directions in mathematical quasicrystals. CRM Monograph Series, V.13, American Mathematical Society, Providence, RI 2000.


43

Modultitel (deutsch) Approximationstheorie 1

Modultitel (englisch) Approximation Theory 1



Wahlpflichtmodul B. Sc. Mathematik Wahlpflichtmodul M. Sc. Mathematik

Modul-Verantwortlicher Dorothee Haroske, Winfried Sickel




270 Std. 90 Std. 180 Std.



Unregelmäßig im WS oder SS, jedoch einmal innerhalb von 3 Jahren



B. Sc. Mathematik: Analysis 1 und 2, Algebra/Geometrie 1


keine


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Approximationssätze von Weierstraß

Approximation in Hilberträumen und in C( [a,b] )

Algebraische und trigonometrische Polynome, Splines

Sätze vom Jackson-Bernstein-Typ

Quantitative Fragen der Approximierbarkeit (Approximationszahlen, Kolmogorovzahlen)

(Qualifikations-)Ziele Einführung in die Approximationstheorie

Kennenlernen von klassischen und modernen Methoden und Hilfsmitteln


Literatur Philip J. Davis: Interpolation and approximation. Dover Publ., New York, 1975.

Ronald A. DeVore, George G. Lorentz: Constructive approximation. Springer, Berlin, 1993.

Manfred W. Müller: Approximationstheorie. Akad. Verl.-Gesel., Wiesbaden 1978.

Allan Pinkus: n-widths in approximation theory. Springer, Berlin u.a., 1985.

Arnold Schönhage: Approximatinostheorie. de Gruyter, Berlin u.a. 1971.


44

Modultitel (deutsch) Approximationstheorie 1 – 6 LP




Wahlpflichtmodul (Analysis, Num.Math./WR) für den B. Sc. Mathematik Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Mathematik

Modul-Verantwortlicher Dorothee Haroske, Winfried Sickel



- Selbststudium (einschl.


180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





B. Sc. Mathematik:Analysis 1(FMI-MA0201) + 2 (FMI-MA0202), Algebra/Geometrie 1(FMI-MA0101)


keine


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Approximationssätze von Weierstraß

Approximation in Hilberträumen und in C( [a,b] )

Algebraische und trigonometrische Polynome, Splines

Sätze vom Jackson-Bernstein-Typ

Quantitative Fragen der Approximierbarkeit

(Approximationszahlen, Kolmogorovzahlen)

(Qualifikations-)Ziele Einführung in die Approximationstheorie

Kennenlernen von klassischen und modernen Methoden und

Hilfsmitteln


Literatur Philip J. Davis: Interpolation and approximation. Dover Publ.,

New York, 1975.

Ronald A. DeVore, George G. Lorentz: Constructive

approximation. Springer, Berlin, 1993.

Manfred W. Müller: Approximationstheorie. Akad. Verl.-Gesel.,

Wiesbaden 1978.

Allan Pinkus: n-widths in approximation theory. Springer, Berlin

u.a., 1985.

Arnold Schönhage: Approximatinostheorie. de Gruyter, Berlin

u.a. 1971.


45




Art des Moduls (Pflicht-, Wahlpflicht- oder Wahl-modul)


Modul-Verantwortlicher W. Sickel




270 Std. 90 Std. 180 Std.

Lehrform(en) (V, Ü, S, P) 4V + 2Ü

Häufigkeit des Angebots (Zyklus) einmal innerhlb von 3 Jahren



Höhere Analysis 2, Approximationstheorie 1

Empfohlene Voraussetzungen Zum Modul

Modul Höhere Analysis 1; Kenntnisse der Maß- und Integrationstheorie

Zusätzliche Voraussetzung zur Modulprüfung

keine


mündliche Prüfung

Inhalte Approximation auf dünnen Gittern bzw. vom hyperbolischen Kreuz

Tensorprodukte

Approximationsräume und Interpolationstheorie

s-Zahlen und Samplingzahlen

nichtlineare Approximation

(Qualifikations-)Ziele Einführung in aktuelle Probleme der hochdimensionalen Numerik

Vertiefung des Zusammenhangs zwischen Regularität und Approximierbarkeit


Literatur Ronald A. DeVore, George G. Lorentz: Constructive approximation. Grundlehern der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 303, Springer, Berlin, 1993

Vladimir N. Temlyakov: Approximation of Periodic Functions. Nova Sience Publ., New York 1993.


46


Modultitel (englisch) Approximation Theory 2 – 6 CP




Modul-Verantwortlicher Winfried Sickel




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform(en) (V, Ü, S, P) 4VÜ

Häufigkeit des Angebots (Zyklus) einmal innerhalb von 3 Jahren



Höhere Analysis 2, Approximationstheorie 1


Modul Höhere Analysis 1; Kenntnisse der Maß- und Integrationstheorie


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Approximation auf dünnen Gittern bzw. vom hyperbolischen Kreuz

Tensorprodukte

Approximationsräume und Interpolationstheorie

s-Zahlen und Samplingzahlen

nichtlineare Approximation

(Qualifikations-)Ziele Einführung in aktuelle Probleme der hochdimensionalen Numerik

Vertiefung des Zusammenhangs zwischen Regularität und Approximierbarkeit


Literatur Ronald A. DeVore, George G. Lorentz: Constructive approximation. Grundlehern der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 303, Springer, Berlin, 1993

Vladimir N. Temlyakov: Approximation of Periodic Functions. Nova Sience Publ., New York 1993.


47

Modultitel (deutsch) C*- Algebren

Modultitel (englisch) C*-Algebras




Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Physik





180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4V oder 3V + 1Ü


alle sechs Semester



keine


Interesse an Operatortheorie und Funktionalanalysis


keine


Mündliche oder schriftliche Prüfung (Festlegung zu Beginn der Vorlesung)

Inhalte Kommutative Banachalgebren, Gelfandtheorie

Spektralsatz

Gelfand-Naimark-Segal Darstellung von Neumann Algebren

Bikommutantensatz

Anwendungen (Qualifikations-)Ziele Erwerb von vertiefenden Kenntnissen der Operatortheorie

Kennenlernen von modernen Methoden und deren Anwendungen

Vorbereitung auf selbständige wissenschaftliche Arbeit

Literatur Nach Empfehlung des Dozenten. Beispielhaft seien genannt:

Gerard J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory. Repr., Academic Press, Boston 2004.

Gert K. Pedersen: Analysis now. Springer, New York 1995.

Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I: Elementary theory. Academic Press, Inc., New York 1983.


48

Modultitel (deutsch) Dirichlet Formen

Modultitel (englisch) Dirichlet Forms








90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 V


Alle 6 Semester



keine



keine


schriftliche oder mündliche Prüfung (Festlegung zu Beginn der Vorlesung)

Inhalte grundlegende Begriffe

Beziehungen zwischen Formen, Halbgruppen und Resolventen

Beurling Deny Kriterien

Wärmeleitung

Anwendungen


Erwerb vertiefender Kenntnisse der Operatortheorie

Kennenlernen von modernen Methoden und Hilfsmitteln


Literatur Lehrbücher nach Empfehlung des Dozenten. Beispielhaft seien genannt:

Masatoshi Fukushima, Yoichi Ōshima, Masayoshi Takeda: Dirichlet forms and symmetric Markov processes. de Gruyter & Co., Berlin 1994.

Nicolas Bouleau, Francis Hirsch: Dirichlet forms and analysis on Wiener space. de Gruyter & Co., Berlin 1991.

Zhi-Ming Ma, Michael Röckner: Introduction to the theory of (nonsymmetric) Dirichlet forms. Springer, Berlin 1992.


49

Modultitel (deutsch) Diskrete Schrödingeroperatoren

Modultitel (englisch) Discrete Schrödingeroperators




Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Physik





180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V


alle sechs Semester



Keine


Interesse an Operatortheorie


Keine


mündliche Prüfung

Inhalte Operatoren auf Graphen

Abschätzungen zum unteren Rand des Spektrums

Spektrale Typen

Jacobi Operatoren

Anwendungen


Erwerb vertiefender Kenntnisse der Funktionsanalysis


Literatur Literaturangaben nach Empfehlung des Dozenten

G. Teschl: Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, American Math. Soc., Providence RI, 2000


50

Modultitel (deutsch) Distributionen – 6 LP

Modultitel (englisch) Distributions




Modul-Verantwortlicher Hans-Gerd Leopold, Winfried Sickel




180 Std. 60 Std. 120 Std.



einmal innerhalb von 3 Jahren




Modul Analysis 3


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Testfunktionen - Faltung und Fouriertransformation

Distributionen

Rechenoperationen und Fouriertransformation

Grundlösungen spezieller Differentialgleichungen

Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten

Satz von Malgrange-Ehrenpreis

Hypoelliptische Differentialoperatoren

Ausbreitung von Singularitäten

(Qualifikations-)Ziele Einführung in die Theorie der Distributionen

Erwerb vertiefter Kenntnisse der Funktionalanalysis


Literatur Hans Triebel: Höhere Analysis. 2. verb. Aufl., Deutsch, Thun 1980.

Dorothee D. Haroske, Hans Triebel: Distributions, Sobolev Spaces, Elliptic Equations. European Math. Soc., Zürich 2008.

Valilij S. Vladimirov: Gleichungen der mathematischen Physik. Dt. Verl. D. Wissenschaften, Berlin 1972.

Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Springer, Berlin.


51

Modultitel (deutsch) Distributionen – 9 LP

Modultitel (englisch) Distributions




Modul-Verantwortlicher Hans-Gerd Leopold, Winfried Sickel




270 Std. 90 Std. 180 Std.

Lehrform (SWS) 4V + 2Ü






Modul Analysis 3


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Testfunktionen - Faltung und Fouriertransformation

Distributionen

Rechenoperationen und Fouriertransformation

Grundlösungen spezieller Differentialgleichungen

Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten

Satz von Malgrange-Ehrenpreis

Hypoelliptische Differentialoperatoren

Ausbreitung von Singularitäten

(Qualifikations-)Ziele Einführung in die Theorie der Distributionen

Erwerb vertiefter Kenntnisse der Funktionalanalysis




Valilij S. Vladimirov: Gleichungen der mathematischen Physik. Dt. Verl. D. Wissenschaften, Berlin 1972.

Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Springer, Berlin.


52

Modultitel (deutsch) Elliptische Differentialoperatoren – 6 LP

Modultitel (englisch) Elliptic Differential Operators – 6 CP




Modul-Verantwortlicher Hans-Jürgen Schmeißer, Dorothee D. Haroske




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V


Unregelmäßig im Wintersemester oder Sommersemester, jedoch einmal innerhalb von 3 Jahren



keine



Kenntnisse über Distributionen und Fouriertransformation

Modul Höhere Analysis 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Laplace-Poisson-Gleichung (klassisch),

Distributionen

Sobolev-Räume

L_2-Theorie (für Laplace-Operator)

Kompakte Einbettungen, Eigenwertabschätzungen

Spektraltheorie

(Qualifikations-)Ziele Aufbauend auf Kenntnissen der Integrationstheorie und der höheren Analysis (Funktionalanalysis, Distributionen) werden vertiefte Kenntnisse und Fertigkeiten auf einem Teilgebiet der modernen Analysis, das über vielfältige Anwendungen verfügt, erworben.

Die Studierenden verfügen über Detailverständnis moderner Konzepte und Methoden in einer Spezialisierungsrichtung. Sie sind auf selbstständige Forschungstätigkeit vorbereitet.



Lawrence C. Evans: Partial differential equations. American Math. Soc., Providence, Rl 1998.

David E. Edmunds, Hans Triebel: Entropy Numbers, Function Spaces, Differential Operators. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1996.


53

Modultitel (deutsch) Elliptische Differentialoperatoren – 9 LP

Modultitel (englisch) Elliptic Differential Operators – 9 CP








270 Std. 90 Std. 180 Std.



unregelmäßig im Wintersemester oder Sommersemester, jedoch einmal innerhalb von 3 Jahren



keine



Kenntnisse über Distributionen und Fouriertransformation



keine


mündliche Prüfung

Inhalte Laplace-Poisson-Gleichung (klassisch),

Potentialtheorie und Randwertprobleme

Distributionen

Sobolev-Räume

L_2-Theorie (für Laplace-Operator)

Funktionenräume

Kompakte Einbettungen

Eigenwertabschätzungen

Spektraltheorie

(Qualifikations-)Ziele Aufbauend auf Kenntnissen der Integrationstheorie und der höheren Analysis (Funktionalanalysis, Distributionen) werden vertiefte Kenntnisse und Fertigkeiten auf einem Teilgebiet der modernen Analysis, das über vielfältige Anwendungen verfügt, erworben.

Die Studierenden verfügen über Detailverständnis moderner Konzepte und Methoden in einer Spezialisierungsrichtung. Sie sind auf selbstständige Forschungstätigkeit vorbereitet.



Lawrence C. Evans: Partial differential equations. American Math. Soc., Providence, Rl 1998.

David E. Edmunds, Hans Triebel: Entropy Numbers, Function Spaces, Differential Operators. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1996.

Manfred Dobrowolski: Angewandte Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2006.


54


55

Modultitel (deutsch) Elliptische Differentialoperatoren 2

Modultitel (englisch) Elliptic Differential Operators 2








90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2V


Unregelmäßig im Wintersemester oder Sommersemester, jedoch einmal innerhalb von 3 Jahren



keine


- Kenntnisse über Distributionen und Fouriertransformation

- Modul Höhere Analysis 1 (FMI-MA0207)

- Modul Elliptische Differentialoperatoren (FMI-MA1201 oder FMI-MA1202)


- Keine


Mündliche Prüfung

Inhalte Funktionenräume Kompakte Einbettungen Eigenwertabschätzungen Spektraltheorie

(Qualifikations-)Ziele Aufbauend auf Kenntnissen der höheren Analysis (Funktionalanalysis, Distributionen) und der klassischen Theorie der elliptischen Differentialoperatoren werden vertiefte Kenntnisse und Fertigkeiten auf einem Teilgebiet der modernen Analysis, das über vielfältige Anwendungen verfügt, erworben. − Die Studierenden verfügen über Detailverständnis moderner Konzepte und Methoden in einer Spezialisierungsrichtung. Sie sind auf selbstständige Forschungstätigkeit vorbereitet.

Literatur - Hans Triebel: Höhere Analysis. 2. verb. Aufl., Deutsch, Thun 1980. − Dorothee D. Haroske, Hans Triebel: Distributions, Sobolev Spaces, Elliptic Equations. European Math. Soc., Zürich 2008. − Lawrence C. Evans: Partial differential equations. American Math. Soc., Providence, Rl 1998. − David E. Edmunds, Hans Triebel: Entropy Numbers, Function Spaces, Differential Operators. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1996. − Manfred Dobrowolski: Angewandte Funktionalanalysis.

Springer, Berlin 2006..


56

Modultitel (deutsch) Entropiemethoden und Anwendungen

Modultitel (englisch) Entropy Methods and its Applications




Modul-Verantwortlicher Aicke Hinrichs




270 Std. 90 Std. 180 Std.






keine




keine


mündliche Prüfung

Inhalte Entropiezahlen von Mengen und Operatoren

Eigenwertungleichungen

Abschätzung von Entropiezahlen konvexer Hüllen

Entropiezahlen von Operatoren mit Werten in C(K)

Anwendungen auf das Eigenwertverhalten von Matrix- und Integraloperatoren

(Qualifikations-)Ziele

Die Kompaktheit von Mengen und Operatoren wird mit Hilfe von Entropiezahlen und verwandter Größen quantifiziert. Ungleichungen zwischen Entropiezahlen, Eigenwerte und anderer charakteristischer Größen von Operatoren werden bewiesen. Nützliche Anwendungen auf Matrix- und Integraloperatoren werden gegeben. Das Entropieverhalten von konvexen Hüllen wird bestimmt, um Aussagen über analytische und geometrische Parameter von Operatoren zu gewinnen.

Kennenlernen von klassischen und modernen Methoden und Hilfsmitteln und Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse

Literatur Hermann König: Eigenvalue distribution of compact operators. Birkenhäuser, Basel 1986.

Albrecht Pietsch: Operator Ideals. North-Holland, Amsterdam 1980.

Albrecht Pietsch: Eigenvalues and s-numbers. Cambridge Univ. Press., Cambridge 1987.

Bernd Carl, Irmtraud Stephani: Entropy, compactness and the approximation of operators. Cambridge Univ. Press., Cambridge 1990.

Gilles Pieser: The volume of convex bodies and Banach space geometry. Cambridge Univ. Press., Cambridge 1989.


57


58

Modultitel (deutsch) Ergodentheorie

Modultitel (englisch) Ergodic theory









180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V oder 3V + 1 Ü


alle 6 Semester



keine


Kenntnisse der Masstheorie, Grundkenntnisse Funktionalanalysis


keine



Inhalte Grundlegende Begriffe und Beispiele

Ergodensätze

Spektraltheorie dynamischer Systeme

Entropy

Symbolische Dynamik

Anwendungen

(Qualifikations-)Ziele Erwerb fortschgeschrittener Kenntnisse

Kennenlernen moderner Methoden und Hilfsmittel

Erwerb forschungqualifizierender Kenntnisse

Literatur Lehrbücher nach Empfehlung der Dozenten. Beispielhaft seien genannt:

Karl Petersen: Ergodic theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1983.

Peter Walters: An introduction to ergodic theory. Springer, New York/Berlin 1982.


59

Modultitel (deutsch) Fourieranalysis 2

Modultitel (englisch) Fourier Analysis 2




Modul-Verantwortlicher Hans-Jürgen Schmeißer




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V ( oder 3 V +1 Ü )


unregelmäßig im WS oder SS, jedoch einmal innerhalb von 3 Jahren



keine



Module Höhere Analysis 1 , Fourieranalysis 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Maximalfunktionen und -ungleichungen

Bandbegrenzte Funktionen und deren Eigenschaften

Singuläre Integrale und Fourier’sche Multiplikatoren

Littlewood - Paley Theorie (Qualifikations-)Ziele Die Studierenden beherrschen die grundlegenden Methoden

und Techniken der modernen harmonischen Analysis.

Sie sind damit in der Lage, sich vertiefte Kenntnisse und Fertigkeiten auf einem Spezialgebiet der Analysis anzueignen.

Sie bereiten sich auf selbstständige Forschungstätigkeit und die eigenständige Durchführung von Forschungsprojekten vor.

Literatur Elias M. Stein: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton Univ. Press, Princeton 1970.

Javier Duoandikoetxea: Fourier Analysis. Graduate Studies in Math. Vol. 29, American Math. Soc., Providence, Rl 2001.

Loukas Grafakos: Classical and modern Fourier analysis. Pearson/Prentice Hall, New York 2004.

Elias M. Stein, G. Weiss: Introduction to Fourier analysis in Euclidean spaces. Princeton Univ. Press, Princeton 1971.


60

Modultitel (deutsch) Funktionenräume

Modultitel (englisch) Function Spaces




Modul-Verantwortlicher Hans-Jürgen Schmeißer




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4V


Einmal innerhalb von 3 Jahren



keine



Module Höhere Analysis 1 , Fourieranalysis 2


keine


Mündliche Prüfung

Inhalte Fourieranalytischer Zugang

Besov- und Lizorkin-Triebel-Räume

Grundlegende Eigenschaften,

Äquivalente Charakterisierungen,

Sobolev’sche Einbettungssätze

(Qualifikations-)Ziele Aufbauend auf vertieften Kenntnissen der harmonischen Analysis wird das fachliche Wissen in einer Spezialisierungsrichtung erweitert.

Die Studierenden sollen befähigt werden, auf einem modernen Teilgebiet der Analysis, eigenständige Forschungs-arbeitleisten zu können.

Sie erweitern ihr fachliches und methodisches Wissen und sind in der Lage, Probleme und Aufgabenstellungen in diversen Anwendungsfeldern zu bearbeiten.

Literatur Loukas Grafakos: Classical and modern Fourier analysis. Pearson/ Prentice Hall, New York 2004.

Hans Triebel: Theory of Function Spaces. Birkhäuser, Basel 1983.

Hans Triebel: Theory of Function Spaces II. Birkhäuser, Basel 1982.

Hans Triebel: Theory of Function Spaces III. Birkhäuser, Basel 2006.

Hans-Jürgen Schmeißer, Hans Triebel: Topics in Fourier Analysis and Function Spaces, Wiley, Chichester 1987.


61

Modultitel (deutsch) Geometrische Funktionalanalysis

Modultitel (englisch) Geometric Functional Analysis








270 Std. 90 Std. 180 Std.






keine




keine


mündliche Prüfung

Inhalte Entropie- und s-Zahlen von Operatoren

Spuren und Determinanten

Das Lewis-Theorem mit Anwendungen

Eigenwertungleichungen für Operatoren in Hilbert- und Banachräumen

Ein Tensorproduktkonzept

Konstruktion von Lösungen der Korteweg-de Vries Gleichung

(Qualifikations-)Ziele Die Vorlesung behandelt Kenngrößen, die z.B. beim Studium des Eigenwertverhaltens von (beschränkten linearen) Operatoren und anderer analytischer oder geometrischer Parameter geeignet sind.

Die Erfahrung der letzten 30 Jahre hat gezeigt, dass es im Wesentlichen zwei Ideenkreise gibt: zum einen ist es der Entropiegedanke und zum anderen der Approximations-gedanke. Die Vorlesung widmet sich dem Approximations-gedanken. Es werden schlagkräftige Eigenwertungleichungen für Operatoren bewiesen, die vielfältige Anwendung auf Matrix- und Integraloperatoren haben.

Es werden nur Grundkenntnisse dem Modul Höhere Analysis 1 (Grundkenntnisse der Funktionalanalysis) verwendet. Schließlich stellen wir mit Hilfe von Spuren und Determinanten ein Modell zur Gewinnung von Lösungen gewisser nichtlinearer Gleichungen, wie z.B. der Kortweg-de Vries Gleichung vor.



Literatur Hermann König: Eigenvalue distribution of compact operators. Birkenhäuser, Basel 1986.

Albrecht Pietsch: Eigenvalues and s-numbers. Cambridge Univ. Press., Cambridge 1987.

Bernd Carl, Irmtraud Stephani: Entropy, compactness and the


62

approximation of operators. Cambridge Univ. Press., Cambridge 1990.

Gilles Pieser: The volume of convex bodies and Banach space geometry. Cambridge Univ. Press., Cambridge 1989.


63

Modultitel (deutsch) Harmonische Analysis

Modultitel (englisch) Harmonic Analysis








180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V oder 3V + 1 Ü


alle 8 Semester



keine


Interesse an Gruppentheorie und Funktionalanalysis


keine



Inhalte Lokalkompakte Gruppen

Haarmass

Etwas Gelfandtheorie

Fouriertransformation

Pontryagin Dualität

Fastperiodische Funktionen


Erwerb vertiefender Kenntnisse der Analysis

Kennenlernen moderner Methoden und Hilfsmittel


Literatur Lehrbücher nach Empfehlung der Dozenten. Beispielhaft seien genannt:

Lynn H. Loomis: An introduction to abstract harmonic analysis. van Nostrand, Toronto/New York/London 1953.

Walter Rudin: Fourier analysis on groups. Nachdr., Wiley-Intersience, New York 1996.


64

Modultitel (deutsch) Höhere Analysis 2

Modultitel (englisch) Higher Analysis 2




Wahlpflichtmodul M. Sc. Wirtschaftsmathematik

Modul-Verantwortlicher Daniel Lenz, Hans-Jürgen Schmeißer




270 Std. 90 Std. 180 Std.

Lehrform(en) (V, Ü, S, P) 4V + 2Ü

Häufigkeit des Angebots (Zyklus) Jährlich im SS oder WS



keine


Kenntnisse der Maß- und Integrationstheorie Modul Höhere Analysis 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Theorie von Riesz, Schauder und Fredholm

Spektraltheorie kompakter Operatoren

Integralgleichungen

Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren oder Distributionen und Elemente der harmonischen Analysis

(Qualifikations-)Ziele Die Studierenden erwerben umfassende und fortgeschrittene Kenntnisse der Methoden und Konzepte der Funktionalanalysis.

Sie erkennen die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten und den universellen Charakter einer zunächst abstrakten Theorie.

Sie bereiten sich auf das vertiefende Studium in Spezialisierungsrichtungen der Analysis und verwandten Gebieten vor.

Literatur Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. korrig. Aufl., Springer, Berlin 2007.

Hans Triebel: Higher Analysis. Barth, Leipzig 1992.

Jürgrn Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vieweg, Wiesbaden 2005.

Walter Rudin: Functional Analysis. Mc Craw-Hill, New York 1991.

Kosaku Yosida: Functional Analysis. Springer, Berlin 1995


65

Modultitel (deutsch) Interpolationstheorie – 3 LP

Modultitel (englisch) Interpolation Theory




Modul-Verantwortlicher Dorothee D. Haroske, Hans-Gerd. Leopold




90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2V









keine


mündliche Prüfung

Inhalte Reelle Interpolationsmethoden (Eigenschaften und Reiterationssatz)

Reelle Interpolation von Folgenräumen

Retraktion, Coretraktion, Kompakte Operatoren (Qualifikations-)Ziele Einführung in die Interpolationstheorie von Banachräumen



Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse Literatur Hans Triebel: Interpolation Theory, Function Spaces,

Differential Operators. 2. rev. And enl. ed., Barth, Heidelberg 1995.

Jöran Bergh, Jörgen Löfström: Interpolation Spaces. Springer, Berlin 1976.

Colin Bennett, Robert Sharpley: Interpolation of operators. Acad. Press, Boston 1988.


66

Modultitel (deutsch) Interpolationstheorie – 6 LP

Modultitel (englisch) Interpolation Theory




Modul-Verantwortlicher Dorothee D. Haroske, Hans-Gerd Leopold




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V









keine


mündliche Prüfung

Inhalte Reelle Interpolationsmethoden (Eigenschaften und Reiterationssatz)

Reelle Interpolation von Folgenräumen

Retraktion, Coretraktion, Kompakte Operatoren

Satz von Riesz –Thorin

Komplexe Interpolationsmethode

Interpolation von Funktionenräumen vom Sobolev-Besov Typ (Qualifikations-)Ziele Einführung in die Interpolationstheorie von Banachräumen



Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse Literatur Hans Triebel: Interpolation Theory, Function Spaces,

Differential Operators. 2. rev. And enl. ed., Barth, Heidelberg 1995.

Jöran Bergh, Jörgen Löfström: Interpolation Spaces. Springer, Berlin 1976.

Colin Bennett, Robert Sharpley: Interpolation of operators. Acad. Press, Boston 1988.


67

Modultitel (deutsch) Moderne Methoden der Analysis

Modultitel (englisch) Modern Methods in Analysis








180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform(en) (V, Ü, S, P) 4V




keine



Module Höhere Analysis 1 + 2


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Aktuelle Trends in der Analysis

(Qualifikations-)Ziele Aufbauend auf fortgeschrittenen Kenntnissen analytischer Methoden und Verfahren werden Konzepte analysiert und studiert, die geeignet sind, innovative und kreative Lösungsstrategien für aktuelle Problemstellungen auf Teilgebieten der Analysis zu entwickeln.

Die Studierenden werden auf die Durchführung eigener Forschungsprojekte vorbereitet.

Literatur Aktuelle Bücher und Artikel nach Empfehlung des Dozenten


68

Modultitel (deutsch) Moderne Methoden der Analysis – 3 LP

Modultitel (englisch) Modern Methods in Analysis – 3 CP








90 Std. 30 Std. 60 Std.





keine



Module Höhere Analysis 1 + 2


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Aktuelle Trends in der Analysis

(Qualifikations-)Ziele Aufbauend auf fortgeschrittenen Kenntnissen analytischer Methoden und Verfahren werden Konzepte analysiert und studiert, die geeignet sind, innovative und kreative Lösungsstrategien für aktuelle Problemstellungen auf Teilgebieten der Analysis zu entwickeln.

Die Studierenden werden auf die Durchführung eigener Forschungsprojekte vorbereitet.

Literatur Aktuelle Bücher und Artikel nach Empfehlung des Dozenten


69

Modultitel (deutsch) Moderne Methoden der Approximationstheorie

Modultitel (englisch) Modern Methods of Approximation Theory









270 Std. 90 Std. 180 Std.



Unregelmäßig im WS oder SS



keine


Modul Höhere Analysis 1 (FMI-MA0207),

Modul Approximationstheorie 1 (FMI-MA0204)


keine


Mündliche Prüfung

Inhalte - Optimierung in l_1 - Compressive Sensing - Gelfand-Zahlen und Approximation - Matrix-Rekonstruktion - Smolyak-Algorithmus

(Qualifikations-)Ziele - Einführung in moderne Verfahren der Approximationstheorie - Kennenlernen spezifischer Eigenschaften der

Komplexitätstheorie hochdimensionaler Probleme - Erwerb berufs- und forschungsqualifizierender Kenntnisse

Literatur - Ronald A. DeVore, George G. Lorentz: Constructive approximation, Springer, 1993

- Massimo Fornasier (ed.): Theoretical foundations and numerical methods for sparse recovery, de Gruyter, 2010


70

Modultitel (deutsch) Nichtlineare Analysis und Anwendungen

Modultitel (englisch) Nonlinear Analysis and Applications




Wahlpflichtmodul für den M. Sc.Computational Science





180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 3V + 1Ü oder 4V


unregelmäßig im WS oder SS, jedoch einmal innerhalb von 3 Jahren



keine


Modul Analysis 3

Module Höhere Analysis 1 + 2,

Elliptische Differentialoperatoren


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Differential-und Integralrechnung in Banachräumen

Abbildungseigenschaften nichtlinearer Operatoren in Hölder- und Sobolevräumen

Ausgewählte Methoden der nichtlinearen Analysis wie etwa: - lokale Methoden (Bifurkationssätze) - topologische Methoden (Fixpunktsätze, Abbildungsgrad,

monotone Operatoren, Iterationsverfahren)

- Variationsmethoden (Extremwerte, Palais-Smale-Theorie, Minimax-Methoden, Ljusternik-Schnirelman-Theorie)

(Qualifikations-)Ziele Verständnis und Erörterung von Strukturen und grundlegenden Methoden der nichtlinearen Analysis und ihre Anwendungen auf die Lösbarkeit von Randwertproblemen für nichtlineare partielle Differentialgleichungen.

Vorbereitung auf selbständiges wissenschaftliches Arbeiten

Literatur Eeberhard Zeidler: Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis. Teubner, Leipzig 1976-.

Thomas Runst, Winfried Sickel: Sobolev Spaces of Fractional Order, Nemytskij Operators, and Nonlinear Partial Differential Equations. de Gruyter, Berlin 1996.

Klaus Deimling: Nonlinear functional analysis. Springer, Berlin 1985.

Melvyn S. Berger: Nonlinearity and functional analysis. Acad. Press, New York 1977.


71

Modultitel (deutsch) Pseudodifferentialoperatoren

Modultitel (englisch) Pseudo Differential Operators




Modul-Verantwortlicher Hans-Gerd Leopold




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4V







Höhere Analysis 1 +2

Distributionen


keine


Mündliche Prüfung

Inhalte Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten

Definition und Beispiele von Pseudodifferentialoperatoren

Symbolklassen, Oszillierende Integrale, Komposition, Asymptotische Entwicklung, Fortsetzung auf Distributionen, Pseudolokalität, Abbildungseigenschaften, Hypoelliptizität, Parametrix, lokale Lösbarkeit, Mikrolokalität und Wellenfronten

(Qualifikations-)Ziele vertiefendes Kennenlernen von modernen Methoden der Analysis und deren Anwendungen

Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse und Vorbereitung auf selbständige wissenschaftliche Arbeit

Literatur Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I-IV. Springer, Berlin 1983-.

Hitoshi Kumano-go: Pseudodifferential Operators. MIT Press, Cambridge, Mass. 1981.

Michael E. Taylor: Pseudodifferential Operators. Birkhäuser, Boston 1993.

Francois Treves: Introduction to Pseudodifferential and Fourier Integral Operators. Bd. I u. II, Plenum Press, New York 1980-.


72

Modultitel (deutsch) Sobolevräume

Modultitel (englisch) Sobolev Spaces








270 Std. 90 Std. 180 Std.






keine


Module Höhere Analysis 1und 2


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Eigenschaften des Lebesgue-Integrals

schwache Ableitungen

Funktionen mit beschränkter Variation und absolutstetige Funktionen

Poincare-Ungleichungen

Spurprobleme

die Poisson-Gleichung

(Qualifikations-)Ziele Einführung in die Theorie der Sobolevräume

Kennenlernen moderner Regularitätsbegriffe für Funktionen


Literatur William P. Ziemer: Weakly Differentiable Functions. Springer, New York 1989.

Viktor I. Burenkov: Sobolev Spaces on Domains. Teubner, Stuttgart 1998.


73

Modultitel (deutsch) Spektraltheorie

Modultitel (englisch) Spectral Theory




Modul-Verantwortlicher Hans-Gerd Leopold




180 Std. 60 Std. 120 Std.






keine



Höhere Analysis 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Selbstadjungierte (insbesondere unbeschränkte) Operatoren im Hilbertraum

Spektrum selbstadjungierter Operatoren

Spektraldarstellungen

(Qualifikations-)Ziele Erwerb von Grundkenntnissen der Spektraltheorie von Operatoren im Hilbertraum, die für die axiomatische Formulierung der Quantenmechanik und zur Behandlung von Differentialoperatoren nötig sind

Literatur Hans Triebel: Höhere Analysis. 2. verb. Auflage, Deutsch, Thun 1980.

Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. korrig. Aufl., Springer, Berlin 2007.

Joachim Weidmann: Lineare Operatoren im Hilbertraum I. Teubner, Stuttgart 2000.


74

Modultitel (deutsch) Stabilität dynamischer Systeme 2 – 6 LP

Modultitel (englisch) Stability of Dynamical Systems 2





Modul-Verantwortlicher Albin Weber




180 Std. 60 Std. 120 Std.



in der Regel alle zwei Jahre



Keine


Gewöhnliche Differentialgleichungen. Analysis 3, Stabilität dynamischer Systeme 1


keine



Inhalte Stabilität von Ruhelagen und periodischen Orbits

Floquet-Theorie und Poincare-Abbildungen

Bifurkation

(Qualifikations-)Ziele Im Rahmen der Vorlesung werden grundlegende Methoden der Stabilitätstheorie von dynamischen Systemen behandelt, die bei der Erklärung und Untersuchung von Abläufen in der Wirtschaft und bei physikalischen Vorgängen auftreten.

Erwerb vertiefender Kenntnisse.

Literatur Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2., überarb. Aufl., de Gruyter, Berlin 1995.

Volker Reitmann: Reguläre und chaotische Dynamik. Teubner, Stuttgart 1996.

Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7., neubearb. und erw. Aufl., Springer, Berlin u.a. 2000.


75

Modultitel (deutsch) Stabilität dynamischer Systeme 2 – 9 LP

Modultitel (englisch) Stability of Dynamical Systems 2




Wahlpflichtmodul für den M.Sc. Wirtschaftsmathematik

Modul-Verantwortlicher Albin Weber




180 Std. 60 Std. 120 Std.



In der Regel alle zwei Jahre



keine


Gewöhnliche Differentialgleichungen, Analysis 3, Stabilität dynamischer Systeme 1


Keine


- Schriftliche oder mündliche Prüfung

Inhalte Stabilität von Ruhelagen und periodischen Orbits

Floquet-Theorie und Poincare-Abbildungen

Bifurkation

(Qualifikations-)Ziele Im Rahmen der Vorlesung werden grundlegende Methoden der Stabilitätstheorie von dynamischen Systemen behandelt, die bei der Erklärung und Untersuchung von Abläufen in der Wirtschaft und bei physikalischen Vorgängen auftreten.

Erwerb vertiefender Kenntnisse.

Literatur Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2., überarb. Aufl., de Gruyter, Berlin 1995.

Volker Reitmann: Reguläre und chaotische Dynamik. Teubner, Stuttgart 1996.

Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7., neubearb. und erw. Aufl., Springer, Berlin u.a. 2000.


76

Modultitel (deutsch) Struktur hochdimensionaler normierter Räume

Modultitel (englisch) Structure of High-Dimensional Normed Spaces








180 Std. 60 Std. 120 Std.






keine


Höhere Analysis 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Konzentrationsphänomene in hohen Dimensionen

Dvoretzky – Theorem

Ungleichungen der geometrischen Maßtheorie wie Santalo, Urysohn, Brascamb-Lieb

Operatorenideale


Kennenlernen moderner Methoden der asymptotischen geometrischen Analysis

Einführung in die Problematik hochdimensionaler Probleme


Literatur Milman, Schechtman: Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces. Springer 1986

Pisier: The Volume of Convex Bodies and Banach Space Geometry.


77

Modultitel (deutsch) Wavelets – 3 LP

Modultitel (englisch) Wavelets – 3 CP








90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 V


Einmal innerhalb von 3 Jahren



keine


Kenntnisse in Maß- und Integrationstheorie


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Eigenschaften der Fouriertransformation

Auflösungsskalen und Wavelets

Wavelets mit kompaktem Träger

Zerlegungs- und Rekonstruktionsalgorithmen

(Qualifikations-)Ziele Einführung in die Theorie der Wavelets im Hinblick auf die numerische Behandlung von partiellen Differentialgleichungen und Anwendungen in der Signaltheorie


Erwerb berufsqualifizierender Kenntnisse

Literatur Przemyslaw Wojtaszczyk: A mathematical introduction to wavelets. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1997.


78

Modultitel (deutsch) Wavelets – 9 LP

Modultitel (englisch) Wavelets – 9 CP








270 Std. 90 Std. 180 Std.



unregelmäßig im WS oder SS, innerhalb von 3 Jahren



keine


Höhere Analysis 1


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Eigenschaften der Fouriertransformation,

Auflösungsskalen und Wavelets,

Wavelets mit kompaktem Träger

Zerlegungs- und Rekonstruktionsalgorithmen

Mehrdimensionale Wavelets

Hölderräume und Wavelets

(Qualifikations-)Ziele Einführung in die Theorie der Wavelets im Hinblick auf die numerische Behandlung von partiellen Differentialgleichungen und Anwendungen in der Signaltheorie


Erwerb berufs- und forschungsqualifizierender Kenntnisse

Literatur Przemyslaw Wojtaszczyk: A mathematical introduction to wavelets. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1997.


79

Modultitel (deutsch) Seminar Analysis

Modultitel (englisch) Seminar Analysis





Modul-Verantwortlicher Daniel Lenz, Hans-Jürgen Schmeißer, Albin Weber




90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 S


Jährlich im WS oder SS




Kenntnisse der Höheren Analysis


keine


Vortrag und schriftliche Ausarbeitung des Vortrags

Inhalte Moderne Methoden der Analysis entsprechend des

Forschungsprofils in Jena

(Qualifikations-)Ziele Die Studierenden erwerben im Selbststudium Kenntnisse über anspruchsvolle forschungsnahe ausgewählte Themen eines Teilgebiets der Analysis.

Sie bereiten sich damit auf die Bearbeitung komplexerer Aufgabenstellungen vor.

Sie sind in der Lage, das erlernte Wissen zu reproduzieren und ihren Standpunkt wissenschaftlich fundiert zu vertreten.

Sie haben die Fähigkeit, mathematische Sachverhalte schriftlich und mündlich unter Verwendung zeitgemäßer Techniken darzustellen.

Literatur nach Themenvergabe


80

1.3 Geometrie

Modultitel (deutsch) Aktuelle Entwicklungen in der Geometrie

Modultitel (englisch) Current developments in Geometry




Modul-Verantwortlicher Martina Zähle, Vladimir Matveev




90 Std. 30 Std. 60 Std.





keine


Umfangreiche Geometrie-Kenntnisse


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Ein ausgewähltes Thema aus den modernen Entwicklungen in der Geometrie.

(Qualifikations-)Ziele Die Hörer lernen und vertiefen einen durch aktuelle Forschungser-gebnisse geprägten Bereich der Geometrie. Somit bereiten sie sich in besonderem Maße auf einer forschungsnahen Master-Arbeit vor.

Literatur Monographien und aktuelle Arbeiten nach Empfehlung des Dozenten


81

Modultitel (deutsch) Differentialgeometrie

Modultitel (englisch) Differential geometry




Modul-Verantwortlicher Vladimir Matveev




180 Std. 60 Std. 120 Std.



WS und/oder SS, alle 2 Jahre



keine


Klassische Differentialgeometrie


aktive Teilnahme an den Übungen


mündliche Prüfung

Inhalte Mannigfaltigkeit und Tangentialräume

Tensoren

Riemansche Metriken

Zusammenhang und kovariante Ableitung

Erste und zweite Fundamentalformen

Geodäten und Bewegungsgleichungen

Krümmung, Einführung in allgemeinere Relativitätstheorie

Evt. Matrizen-Liegruppen und Faserbündel

Feldgleichungen

(Qualifikations-)Ziele Vermittlung von Grundlagen der Differentialgeometrie für Anwendungen in Mathematik, Physik, Naturwissenschaften und Technik

Literatur Lehrbücher nach Empfehlung der Dozenten

Iskander A. Taimanov: Lectures on differential geometry. European Math. Soc., Zürich 2008.


82

Modultitel (deutsch) Differentialgeometrie mit Übung

Modultitel (englisch) Differential geometry (with exercises)








270 Std. 90 Std. 180 Std.






keine




aktive Teilnahme an den Übungen


mündliche Prüfung

Inhalte Mannigfaltigkeit und Tangentialräume

Tensoren

Riemansche Metriken

Zusammenhang und kovariante Ableitung

Erste und zweite Fundamentalformen

Geodäten und Bewegungsgleichungen

Krümmung, Einführung in allgemeinere Relativitätstheorie

Evt. Matrizen-Liegruppen und Faserbündel

Feldgleichungen

(Qualifikations-)Ziele Vermittlung von Grundlagen der Differentialgeometrie für Anwendungen in Mathematik, Physik, Naturwissenschaften und Technik


Iskander A. Taimanov: Lectures on differential geometry. European Math. Soc., Zürich 2008.


83

Modultitel (deutsch) Dynamische Systeme und Fraktale

Modultitel (englisch) Dynamical Systems and Fractals





Modul-Verantwortlicher Martina Zähle




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 VSÜ





keine


Stochastik 2 (Maßtheorie)


keine


mündliche Prüfung

Inhalte -- Elemente der Ergodentheorie

-- Beziehungen zur Informationstheorie (maßtheoretischer Entropiebegriff)

-- Thermodynamischer Formalismus (topologischer Druck, topologische Entropie, Variationsprinzip)

-- Glatte hyperbolische dynamische Systeme (Lyapunov-Exponenten, Attraktoren)

-- Zusammenhang zu fraktalen Dimensionen

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Kennenlernen von modernen Methoden und Verbindungen der Geometrie und der Analysis und ihrer Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik

Literatur Empfehlungen in der Vorlesung


84

Modultitel (deutsch) Fraktale Geometrie

Modultitel (englisch) Fractal Geometry



Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Mathematik Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Wirtschaftsmathematik





180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





keine




keine


mündliche Prüfung

Inhalte Hausdorff- und Packungsmaße und zugehörige Dimensionen in euklidischen Räumen,

Dichten von geometrischen Maßen

die potentialtheoretische Methode zur Bestimmung der Hausdorff-Dimension

weitere fraktale Dimensionsbegriffe: Minkowski-Dimension, Entropie-Dimension, metrische Dimension, Box-Dimension

Dimensionen von Borel-Maßen

Attraktoren iterierter Funktionensysteme - Selbstähnlichkeit

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Kennenlernen von modernen Methoden der Geometrie und deren Anwendungen

Verbindung von Geometrie und Analysis

Literatur Kenneth Falconer: Fractal Geometry. Wiley, Chichester 1997.

Kenneth Falconer: Techniques in Fractal Geometry. Wiley, Chichester 1997.

Pertti Mattila: Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1995.

Gerald A. Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry. Springer, New York 1990.


85

Modultitel (deutsch) Fraktale Geometrie mit Übung oder Seminar

Modultitel (englisch) Fractal Geometry ( with Tutorial or Seminar)









270 Std. 90 Std. 180 Std.

Lehrform (SWS) 4 V + 2 Ü oder 2 S





keine




aktive Mitarbeit in den Übungen oder im Seminar mit Vortrag


mündliche Prüfung

Inhalte Hausdorff- und Packungsmaße und zugehörige Dimensionen in euklidischen oder allgemeinen metrischen Räumen, Überdeckungssätze

Dichten von geometrischen Maßen und Vergleichssätze

die potentialtheoretische Methode zur Bestimmung der Hausdorff-Dimension

weitere fraktale Dimensionsbegriffe: Minkowski-Dimension, Entropie-Dimension, metrische Dimension, Box-Dimension

Dimensionen von Borel-Maßen

Attraktoren iterierter Funktionensysteme - Selbstähnlichkeit

Anwendungen in der Stochastik

Fraktale und Computergrafik - Seminar

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Kennenlernen von modernen Methoden der Geometrie und deren Anwendungen

Verbindung von Geometrie und Analysis

Literatur Kenneth Falconer: Fractal Geometry. Wiley, Chichester 1997.

Kenneth Falconer: Techniques in Fractal Geometry. Wiley, Chichester 1997.

Pertti Mattila: Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1995.

Gerald A. Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry. Springer, New York 1990.


86

Modultitel (deutsch) Geometrische Integrationstheorie

Modultitel (englisch) Geometric Integration Theory








180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V


WS/SS alle 2 Jahre



keine




keine


mündliche Prüfung

Inhalte Hausdorff-Maße und Integraltransformationssätze – Verallgemeinerungen des Lebesgueschen Transformationssatzes

Alternierende und äußere Algebra

Differentialformen und Multivektorfelder im Euklidischen Raum

Integralsätze - Satz von Stokes und Folgerungen

Elementare Potentialtheorie

(Qualifikations-)Ziele Erweiterung der Grundkenntnisse und Fähigkeiten im gegenseitigen Durchdringen von Analysis, linearer Algebra und Geometrie


Steven G. Krantz, Herold R. Parks: Geometric Integration Theory. Birkhäuser, Boston u.a. 2008.

Leon Simon: Lectures on Geometric Measure Theory. Centre Univ., Canberra 1983.


87

Modultitel (deutsch) Geometrische Integrationstheorie

Modultitel (englisch) Geometric Integration Theory








270 Std. 90 Std. 180 Std.



WS/SS alle 2 Jahre



keine




Aktive Mitarbeit in den Übungen


mündliche Prüfung

Inhalte Geometrische Überdeckungsmaße, Hausdorff-Maße und Integraltransformationssätze – Verallgemeinerungen des Lebesgueschen Transformationssatzes

Alternierende und äußere Algebra

Differentialformen und Multivektorfelder im Euklidischen Raum

Integralsätze

Satz von Stokes und Folgerungen

Elementare Potentialtheorie

Anwendungen in der Physik

(Qualifikations-)Ziele Erweiterung der Grundkenntnisse und Fähigkeiten im gegenseitigen Durchdringen von Analysis, linearer Algebra und Geometrie


Steven G. Krantz, Herold R. Parks: Geometric Integration Theory. Birkhäuser, Boston u.a. 2008.

Leon Simon: Lectures on Geometric Measure Theory. Centre Univ., Canberra 1983.


88

Modultitel (deutsch) Geometrische Zerlegungen

Modultitel (englisch) Geometric Decompositions




Modul-Verantwortlicher Christian Richter




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V oder 3V + 1Ü


WS oder SS, alle 3 Jahre



keine


keine


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Elementare Zerlegungsgleichheit von Polyedern (Hilbert-Dehnsches Problem) bzw. topologischen Scheiben (Quadratur des Kreises)

Disjunkte Zerlegungsgleichheit von räumlichen Objekten (Banach-Tarski-Paradoxon)

Disjunkte Teilbarkeit konvexer Körper

Zerlegung konvexer Körper in Teile kleineren Durchmessers (Borsuksches Problem)

(Qualifikations-)Ziele Einführung in zerlegungstheoretische Fragestellungen als Teilgebiet der diskreten Geometrie

Vertiefendes Kennenlernen von modernen Methoden der Geometrie in deren Wechselspiel mit Kombinatorik und Algebra

Literatur Empfehlungen durch den Dozenten


89

Modultitel (deutsch) Lie-Gruppen

Modultitel (englisch) Lie groups








180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





keine


Algebra/Geometrie 2


keine


mündliche Prüfung

Inhalte lineare Lie-Gruppen

Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen

Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Halbeinfache und kompakte Lie-Gruppen

Homogene und symmetrische Räume

Anwendungen (Lie-Gruppen)


Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der Algebra, Differentialgeometrie, Feldtheorie





90

Modultitel (deutsch) Lie-Gruppen mit Übung

Modultitel (englisch) Lie groups








270 Std. 90 Std. 180 Std.






keine


Algebra/Geometrie 2


aktive Mitarbeit in den Übungen


mündliche Prüfung

Inhalte lineare Lie-Gruppen

Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen

Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Halbeinfache und kompakte Lie-Gruppen

Homogene und symmetrische Räume

Anwendungen (Lie-Gruppen)


Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der Algebra, Differentialgeometrie, Feldtheorie





91

Modultitel (deutsch) Topologie und Mannigfaltigkeiten – 6 LP

Modultitel (englisch) Topology and Manifolds – 6 CP




Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Informatik






180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4V (oder 3V + 1Ü)


WS/SS, alle 3 Jahre



Keine


Algebra/Geometrie 1 und 2, Analysis 1 und 2


Keine

Voraussetzung für Vergabe von Leistungspunkten (Prüfungsform)

mündliche Prüfung

Inhalte Elemente der Mengenlehre, Kardinalzahlen und Größenvergleiche, Zornsches Lemma

Mengentheoretische Topologie, Basen, Abzählbarkeitsaxiome, Trennung und Zusammenhang, kompakte Räume

Topologische Mannigfaltigkeiten

Differenzierbare Strukturen und differenzierbare Abbildungen

Tangentialräume, Untermannigfaltigkeiten

(Qualifikations-)Ziele Erwerb von topologischen Grundkenntnissen, die in vielen Gebieten der Mathematik Anwendung finden

Beziehungen zu Differentialgeometrie und -topologie erkennen

Literatur B. von Querenburg: Mengentheoretische Topologie, Springer, 1973.

J. Munkres: Topology, Prentice Hall, 1975.

T. tom Dieck: Topologie, de Gruyter, 2000.


92

Modultitel (deutsch) Topologie und Mannigfaltigkeiten – 9 LP

Modultitel (englisch) Topology and Manifolds – 9 CP



Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Mathematik Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Informatik






270 Std. 90 Std. 180 Std.



WS/SS, alle 3 Jahre



Keine


Algebra/Geometrie 1 und 2, Analysis 1 und 2


Keine

Voraussetzung für Vergabe von Leistungspunkten (Prüfungsform)

mündliche Prüfung

Inhalte Elemente der Mengenlehre, Kardinalzahlen und Größenvergleiche, Zornsches Lemma

Mengentheoretische Topologie, Basen, Abzählbarkeitsaxiome, Trennung und Zusammenhang, kompakte Räume

Topologische Mannigfaltigkeiten

Differenzierbare Strukturen und differenzierbare Abbildungen

Tangentialräume, Untermannigfaltigkeiten

Topologische Gruppen und Lie-Gruppen (Beispielklassen)

(Qualifikations-)Ziele Erwerb von topologischen Grundkenntnissen, die in vielen Gebieten der Mathematik Anwendung finden (z.B. in Analysis und Stochastik)

Beziehungen zu Differentialgeometrie und –topologie und zur Algebra erkennen

Literatur B. von Querenburg: Mengentheoretische Topologie, Springer, 1973.

J. Munkres: Topology, Prentice Hall, 1975.

T. tom Dieck: Topologie, de Gruyter, 2000.


93

Modultitel (deutsch) Seminar Geometrie

Modultitel (englisch) Seminar ‚Geometry’





Modul-Verantwortlicher Vladimir Matveev, Martina Zähle




90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 S


Jährlich im WS oder SS



keine


wird bekannt gegeben


Keine


aktive Teilnahme am Seminar, Seminarvortrag, evtl. schriftliche Ausarbeitung des Vortrags (nach Bekanntgabe zu Beginn)

Inhalte Wahlweise: z.B.

Konvexe und metrische Geometrie


Fraktale und stochastische Geometrie

sowie Verbindungen zwischen diesen Themen

(Qualifikations-)Ziele Vertiefte, selbständige Beschäftigung mit einem ausgewählten Thema Geometrie oder angrenzender Gebiete

Präsentation eines wissenschaftlichen Gegenstands

Kompetenz in öffentlichen Vorträgen



94

1.4 Numerische Mathematik/Wissenschaftliches Rechnen

Modultitel (deutsch) Monte-Carlo Methoden – 6LP

Modultitel (englisch) Monte-Carlo Methods





Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Computational Science


Modul-Verantwortlicher Erich Novak




180 Std. 60 Std. 120 Std.



WS oder SS, einmal innerhalb von 2 Jahren



keine


Analysis 2 und 3

Einführung in die Numerische Mathematik und das Wissenschaftliche Rechnen

Kenntnisse aus der Stochastik


Keine


mündliche Prüfung

Inhalte Direkte Simulation

Zufallszahlen

Berechnung hochdimensionaler Integrale

Markov Chain Monte Carlo

Metropolis-Algorithmus

(Qualifikations-)Ziele Zusammenführung von Stochastik und Numerik

Literatur Siehe Skript zur Vorlesung


95

Modultitel (deutsch) Monte-Carlo Methoden – 9LP

Modultitel (englisch) Monte-Carlo Methods




Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Mathematik Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Informatik





270 Std. 90 Std. 180 Std.



Unregelmäßig im WS oder SS, einmal innerhalb von 2 Jahren



keine


Analysis 2 und 3

Einführung in die Numerische Mathematik und das Wissenschaftliche Rechnen

Kenntnisse aus der Stochastik


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Direkte Simulation

Zufallszahlen

Berechnung hochdimensionaler Integrale

Markov Chain Monte Carlo

Metropolis-Algorithmus

(Qualifikations-)Ziele Zusammenführung von Stochastik und Numerik

Literatur Siehe Skript zur Vorlesung


96

Modultitel (deutsch) Quasi-Monte-Carlo-Methoden und Diskrepanz

Modultitel (englisch) Quasi-Monte-Carlo-Methods and Discrepancy









180 Std. 60 Std. 120 Std.






keine


keine


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Quasi-Monte-Carlo-Algorithmen

Ungleichungen vom Koksma-Hlawka-Typ

Konstruktionsmethoden für Mengen kleiner Diskrepanz

Komplexität hochdimensionaler Integrationsprobleme

Irregularität von Punktverteilungen


Kennenlernen moderner Methoden zur numerischen Integration

Einführung in die Problematik der Komplexität hochdimensionaler Probleme


Literatur Chazelle: The discrepancy method. Cambridge Univ. Press, 2000

Drmota, Tichy: Sequences, discrepancies and applications. Lecture Notes in Mathematics 1651, Springer 1997

Matousek: Geometric discrepancy, an illustrated guide. Springer 1999 (2. Auflage)

Novak, Wozniakowski: Tractability of multivariate problems. Vol. 2, 2010


97

2. Angewandte Mathematik/Stochastik

2.1 Algorithmik

Modultitel (deutsch) Algorithm Engineering

Modultitel (englisch) Algorithm Engineering



Wahlpflichtmodul (ALG) für den M.Sc. Informatik Wahlpflichtmodul für den M.Sc. Bioinformatik (Bereich Informatik) Wahlpflichtmodul (ALG(TI)) für den M.Sc. Mathematik Wahlpflichtmodul (Informatik) für den M.Sc. Wirtschaftsmathematik

Modul-Verantwortlicher Markus Chimani


Arbeitsaufwand (work load) in: - Präsenzstunden - Selbststudium (einschl. Prüfungs- vorbereitung)

180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V/Ü (2V+2Ü)

Häufigkeit des Angebots (Modultur- nus)




keine


FMI-IN0002 (Grundlagen der Algorithmik)


Übungskriterien, die zu Modulbeginn festgelegt werden


Abschlussprüfung: Klausur oder mündliche Prüfung; Festlegung erfolgt zu Beginn des Moduls

Inhalte Einführung des Algorithm-Engineering-Kreislaufs und Vermittlung der einschlägigen Problemstellungen (u.A. klassische Komplexitäts-abschätzung vs. Verhalten in der Praxis, Externspeicher-Algorithmen, Succinct-Datastructures, Real-world instances, „schnelle“ exakte Algorithmen für NP-harte Probleme,…) und Fallbeispiele deren Anwendung, z.B. Routenplanung, dynamische kürzeste Wege, Suffix Array, TSP, Steinerbaum, Mathematische Programmierung, etc.

(Qualifikations-)Ziele Erkennen der Stärken und Schwächen der klassischen Algorithmenkomplexität. Befähigung zum Erkennen und Ausnutzen/Umschiffen (sowohl praktisch als auch theoretisch) der Eigenheiten praxisrelevanter Problemklassen. Befähigung zum Erstellen und Auswerten strukturierter Experimentreihen sowie zum Erfassen und Bewerten neuer Forschungsergebnissen (vorallem durch die 2Ü)

Literatur Aktuelle Literatur (Zeitschriften- und Konferenzartikel)


98

Modultitel (deutsch) Algorithmische Graphtheorie

Modultitel (englisch) Algorithmic Graph Theory



Wahlpflichtmodul (TIA) für den M. Sc. Informatik

Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Mathematik Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Bioinformatik (Bereich Informatik)





180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V / Ü


Alle 2 Jahre



keine


Grundlagen der Algorithmik (FMI-IN0002)




Klausur oder mündliche Prüfung (Festlegung erfolgt zu Beginn des Moduls)

Inhalte Es werden Grundlagen der Graphentheorie betrachtet, wobei der besondere Schwerpunkt auf algorithmischen Eigenschaften liegt. Darauf aufbauend werden effiziente Algorithmen für Graphprobleme betrachtet oder NP-Härte von Problemen nachgewiesen

Beispiele für Themen

Netzwerkflüsse, Zusammenhang von Graphen

Färbungen, Matchings, Planare Graphen

Rundreisen, Hypergraphen

(Qualifikations-)Ziele Vertiefende Kenntnisse von Graphalgorithmen und graphtheoretischen Konzepten

Befähigung zu Entwurf und Analyse effizienter Graphalgorithmen

Einsicht in die Modellierung realer Probleme mit Graphen und deren Lösung auf dieser Basis

Literatur Dieter Jungnickel: Graphs, Networks and Algorithms. 2., completely rev. ed., Springer, Berlin u.a. 2005.


99

Modultitel (deutsch) Algorithmische Logik

Modultitel (englisch) Algorithmic Logic




Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Mathematik Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Bioinformatik





90 Std. 30 Std. 60 Std.



jährlich im SS



keine


Diskrete Strukturen 1 (FMI-IN0013)




Bestehen der Abschlussprüfung: Klausur oder mündliche Prüfung (Festlegung erfolgt zu Beginn des Moduls)

Inhalte Logik wird von der algorithmischen Seite betrachtet. Dazu wird das Resolutionskalkül für Aussagen- und Prädikatenlogik eingeführt.

Die Theorie von Herbrand wird benutzt, um die Vollständigkeit des Resolutionskalküls zu beweisen. Anschließend werden die direkt daraus entwickelten Grundideen der Logik-Programmierung betrachtet.

(Qualifikations-)Ziele Grundlegende Kenntnis in Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlegende Kenntnis in theoretischer Informatik bezgl. Aussagen- und Prädikatenlogik sowie logischer Programmierung

Literatur Uwe Schöning: Logik für Informatiker. 5. Aufl., korr. Nachdr., Spektrum Akad. Verl., Heidelberg 2005.

M. Fitting: First-Order Logic and Automated Theorem Proving. 2. ed., Springer, New York u.a. 1996.


100

Modultitel (deutsch) Approximationsalgorithmen

Modultitel (englisch) Approximation Algorithms



Wahlpflichtmodul (ALG) für den M. Sc. Informatik


Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Bioinformatik (Bereich Informatik)

Modul-Verantwortlicher NN


Arbeitsaufwand (work load) in:

- Präsenzstunden


180 Std.

60 Std.

120 Std.



in der Regel alle zwei Jahre im Sommersemester



keine






Abschlussprüfung: Klausur oder mündliche Prüfung;

Festlegung erfolgt zu Beginn des Moduls

Inhalte Behandlung von Algorithmen zur effizienten Bestimmung von Näherungslösungen von zumeist NP-schweren Optimierungsproblemen.

Einzelne Themen sind beispielsweise:

Graphprobleme, Zeichenkettenprobleme, Probleme der algorithmischen Biologie, Ressourcenverteilung

kombinatorische Algorithmen; Lösungsansätze beruhend auf linearem Programmieren; Randomisierung

Approximationshärte, approximationserhaltende Reduktionen, Approximationsklassen

(Qualifikations-)Ziele Kenntnis des approximativen Ansatzes zur Handhabung NP-schwerer Probleme.

Befähigung zu Entwurf und Analyse von Approximationsalgorithmen.

Einsicht in die Grenzen des approximativen Ansatzes.

Literatur Giorgio Ausiello [u.a.]: Complexity and Approximation. Combinatorial Optimization - Problems and Their Approximability Properties. 2. corr. print., Springer, Berlin 2003.

V. Vazirani Vijay: Approximation algorithms. Springer, Berlin 2003.


101

Modultitel (deutsch) Approximative Methoden in der Geometrie

Modultitel (englisch) Approximation Methods in Geometry



Wahlpflichtmodul (ALG) für den M.Sc. Informatik

Wahlpflichtmodul für den M.Sc. Bioinformatik (Bereich Informatik)

Wahlpflichtmodul für den M.Sc. Computational Science


Modul-Verantwortlicher Joachim Giesen



- Präsenzstunden


180 Std.

60 Std.

120 Std.



mindestens alle 3 Jahre



keine


FMI-IN0095 (Algorithmische Geometrie)






Inhalte Approximative Methoden in der algorithmischen (hoch-dimensionalen) Geometrie: räumliche Unterteilungsdatenstrukturen, nächste-Nachbarn-Datenstrukturen, approximative geometrische Optimierung, niedrig dimensionale Einbettungen, geometrisches Sampling, Polytoptheorie

(Qualifikations-)Ziele - Aktives Verständnis für die kombinatorischen und metrischen Besonderheiten hoch-dimensionaler Räume.

- Befähigung zu Design, Analyse und Implementierung von geometrischen Approximationsalgorithmen.

Literatur - Matousek, Jiri: Lectures on Discrete Geometry.

- Chazelle, Bernard: The Discrepancy Method: Randomness and Complexity.


102

Modultitel (deutsch) Automaten und Sprachen

Modultitel (englisch) Automata and Languages



Wahlpflichtmodul im Schwerpunkt Algorithmik im M. Sc. Informatik


Modul-Verantwortlicher Jörg Vogel



- Präsenzstunden


180 Std.

60 Std.

120 Std.

Lehrform (SWS) 4(V+Ü)


In der Regel alle zwei Jahre im Wintersemester



keine


Modul Automaten und Berechenbarkeit




Abschlussprüfung: Klausur oder mdl. Prüfung;


Inhalte Sprachklassen der Chomsky-Hierarchie, deren gegenseitige Beziehungen, Charakterisierungen und Eigenschaften, insbesondere auch automatentheoretische Charakterisierungen

Normalformen und Gleichungssysteme

Beziehungen zu Programmiersprachen

Ausgewählte Themen.

(Qualifikations-)Ziele Vertiefte Kenntnisse in Theoretischer Informatik und der Modellierung mit Automaten und Grammatiken.

Befähigung zur Analyse von Parser-Algorithmen.

Einsicht in die Wechselwirkung zwischen Beschreibungsmächtigkeit und effizienter Analysierbarkeit.

Literatur Thomas A. Sudkamp: Languages and Machines: an Introduction to the Theory of Computer Science. Pearson/Addison Weasley, Boston 2006.


103

Modultitel (deutsch) Formale Sprachen

Modultitel (englisch) Formal Languages


Art des Moduls (Pflicht-, Wahlpflichtmodul)

Wahlpflichtmodul (TIA) für den M.Sc. Informatik

Wahlpflichtmodul (ALG(TI)) für den M.Sc. Mathematik

Modul-Verantwortlicher Gerhard Lischke


Arbeitsaufwand (work load) in

- Präsenzstunden


270 Std.

90 Std.

180 Std.



Mindestens alle zwei Jahre



keine



Übungskriterien, die zu Vorlesungsbeginn festgelegt werden


Klausur oder Mündliche Prüfung

Inhalte Sprachklassen der Chomsky-Hierarchie, deren gegenseitige Beziehungen, Charakterisierungen und Eigenschaften, insbes. auch automatentheoretische Charakterisierungen


Beziehungen zu Programmiersprachen, Codierungstheorie, Kompliziertheitstheorie und Kombinatorik von Wörtern und Sprachen

Ausgewählte Themen

(Qualifikations-)Ziele Fähigkeiten zum wissenschaftlichen Arbeiten auf diesem Gebiet und zur Nutzung sprachen- und automatentheoretischer Mittel in anderen Gebieten der theoretischen und praktischen Informatik


104

Modultitel (deutsch) Formale Sprachen

Modultitel (englisch) Formal Languages



Wahlpflichtmodul (TIA) für den M.Sc. Informatik





- Präsenzstunden


180 Std.

60 Std.

120 Std.



Mindestens alle zwei Jahre



keine






Inhalte Sprachklassen der Chomsky-Hierarchie, deren gegenseitige Beziehungen, Charakterisierungen und Eigenschaften, insbes. auch automatentheoretische Charakterisierungen


Beziehungen zu Programmiersprachen, Codierungstheorie, Kompliziertheitstheorie und Kombinatorik von Wörtern und Sprachen

Ausgewählte Themen

(Qualifikations-)Ziele Fähigkeiten zum wissenschaftlichen Arbeiten auf diesem Gebiet und zur Nutzung sprachen- und automatentheoretischer Mittel in anderen Gebieten der theoretischen und praktischen Informatik


105

Modultitel (deutsch) Grenzen Algorithmischen Lernens

Modultitel (englisch) Limits of Computation Learning



Wahlpflichtmodul (ALG, MAT) für den M.Sc. Informatik

Wahlpflichtmodul für den M.Sc. Bioinformatik (Bereich Informatik)

Wahlpflichtmodul für den M.Sc. Mathematik Modul-Verantwortlicher Tobias Friedrich



- Präsenzstunden


90 Std.

60 Std.

30 Std.

Lehrform (SWS) 2 V / 2 Ü




keine


Sicherheit im Umgang mit formaler Mathematik


Die Kriterien (z.B. 50% der erreichbaren Punkte aus den Übungsaufgaben) werden zu Beginn der Veranstaltung bekanntgegeben.


Klausur oder mündliche Prüfung. Die Prüfungsform wird zu Beginn der Veranstaltung bekanntgegeben.

Inhalte Was ist (algorithmisches) Lernen? Was ist Extrapolation? Macht es einen Unterschied, eine allgemeine Regel ableiten zu wollen, oder „nur“ eine einzelne Vorhersage treffen zu wollen? In dieser Veranstaltung werden diese und ähnliche Fragen formalisiert und untersucht. Hierbei liegt der Fokus auf den Grenzen des algorithmisch Lernbaren, ähnlich wie bei der Untersuchung der Grenzen des Berechenbaren.

(Qualifikations-)Ziele Kenntnisse von Formalisierungen von Lernbarkeit

Lernbarkeitskriterien

das Inkonsistenzphänomen

iteratives Lernen.

Literatur S. Jain, D. N. Osherson, J. S. Royer and A. Sharma: Systems That Learn, 2nd Edition. MIT Press, 1999.

J. R. Shoenfield: Recursion Theory. Springer-Verlag, 1993.


106

Modultitel (deutsch) Komplexitätstheorie

Modultitel (englisch) Computational Complexity




Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Mathematik Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Bioinformatik

Modul-Verantwortlicher Jörg Vogel




180 Std. 60 Std. 120 Std.



alle zwei Jahre



keine


Algorithmen und Datenstrukturen (FMI-IN0001)

Automaten und Berechenbarkeit (FMI-IN0005)




Klausur oder mündliche Prüfung (Festlegung erfolgt zu Beginn des Moduls)

Inhalte Einführung in die strukturelle Komplexitätstheorie, die Komplexitätsmaße Zeit und Raum und daraus definierte Klassen

Einzelne Themen sind beispielsweise:

Komplexitätsklassen

Theorie der NP-Vollständigkeit

Hierarchiesätze

Polynomialzeithierarchie

(Qualifikations-)Ziele Vertiefte Kenntnisse in theoretischer Informatik und der quantitativen Grenzen der Berechenbarkeit

Befähigung zur komplexitätstheoretischen Einordnung konkreter Berechnungsprobleme

Einsicht in die PvsNP Frage und damit verknüpfte Thematiken

Literatur Christos H. Papadimitriou: Computational Complexity. Addison-Wesley, Mass. u.a. 1995.

Ingo Wegener: Komplexitätstheorie. Springer, Berlin 2003.


107

Modultitel (deutsch) Konvexe Optimierung

Modultitel (englisch) Convex Optimization



Wahlpflichtmodul (ALG, TIA) für den M. Sc. Informatik Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Mathematik Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Bioinformatik (Bereich Informatik) Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Computational Science

Modul-Verantwortlicher Joachim Giesen




180 Std. 60 Std. 120 Std.



mindestens alle 3 Jahre



keine


FMI-IN0095 (Algorithmische Geometrie I)




Abschlussprüfung: Klausur oder mündliche Prüfung; Festlegung erfolgt zu Beginn des Moduls

Inhalte Konvexe Mengen und Funktionen

konvexe Optimierungsprobleme

lineare, konvexe quadratische und semi-definite Programme

Dualität, Elipsoidmethode

simplexartige Algorithmen

(Qualifikations-)Ziele Grundlegendes Verständnis für die Theorie und Praxis der konvexen Optimierung.

Einsicht in die Beschränkungen der verschiedenen Verfahren, z.B. numerische Stabiltät.

Literatur Stephen P Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2005.

Bernd Gärtner, Jiri Matousek: Understanding and Using Linear Programming. Springer, Berlin 2007.


108

Modultitel (deutsch) Mengenlehre als Fundament für Mathematik und Informatik

Modultitel (englisch) Set Theory as the Foundations for Mathematics and Informatics



Wahlpflichtmodul (TIA, ALG) für den M.Sc. Informatik





- Präsenzstunden


90 Std.

30 Std.

60 Std.

Lehrform (SWS) 2V


unregelmäßig



keine




Klausur oder mündliche Prüfung

Inhalte Kritik der naiven Mengenlehre

eine mögliche Formalisierung der Mengenlehre unter besonderer Berücksichtigung von Auswahlaxiom und dazu äquivalenten Sätzen und deren Anwendung in Mathematik und Informatik

Natürliche Zahlen, Kardinalzahlen und Ordinalzahlen und deren Arithmetik

Ordnungsrelationen, Verbände, Algebren und Hüllenoperatoren;

Anwendungen in Mathematik und Informatik (z.B. lineare Algebra, Boolesche Funktionen, rekursive Funktionen, formale Sprachen, Unentscheidbarkeitsgrade, Kompliziertheitsklassen)

(Qualifikations-)Ziele Förderung der Überzeugung, dass die gesamte Mathematik und theoretische Informatik nur auf mengentheoretisch-logischer Grundlage exakt entwickelt und betrieben werden können

Demonstration eines formalen Systems der Mengenlehre und deren Tragweite an ausgewählten Beispielen


109

Modultitel (deutsch) Mengenlehre als Fundament für Mathematik und Informatik

Modultitel (englisch) Set Theory as the Foundations for Mathematics and Informatics



Wahlpflichtmodul (TIA, ALG) für den M.Sc. Informatik





- Präsenzstunden


180 Std.

90 Std.

120 Std.



unregelmäßig



keine






Inhalte Kritik der naiven Mengenlehre

eine mögliche Formalisierung der Mengenlehre unter besonderer Berücksichtigung von Auswahlaxiom und dazu äquivalenten Sätzen und deren Anwendung in Mathematik und Informatik

Natürliche Zahlen, Kardinalzahlen und Ordinalzahlen und deren Arithmetik

Ordnungsrelationen, Verbände, Algebren und Hüllenoperatoren

Anwendungen in Mathematik und Informatik (z.B. lineare Algebra, Boolesche Funktionen, rekursive Funktionen, formale Sprachen, Unentscheidbarkeitsgrade, Kompliziertheitsklassen)

Gödelscher Vollständigkeitssatz

(Qualifikations-)Ziele Förderung der Überzeugung, dass die gesamte Mathematik und theoretische Informatik nur auf mengentheoretisch-logischer Grundlage exakt entwickelt und betrieben werden können;

Demonstration eines formalen Systems der Mengenlehre und deren Tragweite an ausgewählten Beispielen


110

Modultitel (deutsch) Parametrisierte Algorithmik

Modultitel (englisch) Parameterized Algorithmics



Wahlpflichtmodul (ALG, TIA) für den M. Sc. Informatik






- Präsenzstunden


180 Std.

60 Std.

120 Std.



jedes Wintersemester – z.Zt. kein Angebot



keine








Inhalte Behandlung von Algorithmen zur exakten Lösung NP-schwerer Optimierungsprobleme unter Berücksichtigung wichtiger Problemparameter wie z.B. der Lösungsgröße

behandelte Themen u.a. Graph- und Netzwerkprobleme, Zeichenkettenprobleme

Probleme der algorithmischen Biologie

vorgestellte Techniken u.a. Datenreduktion

tiefenbeschränkte Suchbäume

Farbkodierung

iterative Kompression

Baumzerlegung von Graphen

(Qualifikations-)Ziele Kenntnis des Ansatzes der parametrisierten Komplexitätsanalyse zur Handhabung NP-schwerer Probleme.

Befähigung zu Entwurf und Analyse parametrisierter Algorithmen.

Einsicht in die komplexitätstheoretischen Grenzen des parametrisierten Ansatzes.

Literatur Rod G. Downey, Michael R. Fellows: Parameterized Complexity. Springer, New York 1999.

Jörg Flum, Martin Grohe: Parameterized Complexity Theory. Springer, Berlin 2006.

Rolf Niedermeier: Invitation to fixed-parameter algorithms. Oxford Univ. Press, Oxford 2006.


111

Modultitel (deutsch) Projekt Algorithm Engineering

Modultitel (englisch) Project Algorithm Engineering






Modul-Verantwortlicher Joachim Giesen, Martin Mundhenk,Markus Chimani



- Präsenzstunden


180 Std.

60 Std.

120 Std.

Lehrform (SWS) 4P





keine




Kriterien, die zu Modulbeginn festgelegt werden, etwa ein Vortrag oder eine schriftliche Ausarbeitung; regelmäßige Teilnahme an den Veranstaltungen


Die Prüfung kann nur durch Wiederholung des ganzen Moduls wiederholt werden.

Inhalte Entwurf und Implementierung von Algorithmen für in der Regel NP-harte Probleme

besondere Betonung von Effiziensgesichtspunkten

behandelte Themen u.a. Graph- und Netzwerkprobleme, Zeichenkettenprobleme etc.

Arbeit z.T. mit Daten aus realen Anwendungen

methodische Ansätze wie z.B. Datenreduktion, effiziente Suchstrategien, dynamisches Programmieren.

(Qualifikations-)Ziele Vertrautheit mit praxisrelevanten und forschungsnahen Methoden zur algorithmischen Lösung diskreter Probleme

Tuning der Perfomanz von Algorithmen

Beherrschung fortgeschrittener Programmiertechniken

Literatur Bjarne Stroustrup: The C++ Programming Language. special Ed., 13. prinz., Addison-Weasley, Boston Mass 2006.

Stanley B. Lippman, Josee Lajoie, Barbara E. Moo: C++ Primer. 4. Aufl., Addison/Weasley, München 2006.

Scott Meyers: Effective C++: 55 specific ways to improve your programs and designs. Addison-Weasley, New York 2005.

Andrew Koenig, Barbara E. Moo :Accelerated C++: practical programming by example. Addison-Weasley, Boston 2005.


112

Modultitel (deutsch) Randomisierte Algorithmen

Modultitel (englisch) Randomized Algorithms










180 Std.

60 Std.

120 Std.



in der Regel alle zwei Jahre im Sommersemester – z.Zt. kein Angebot



keine








Inhalte Zusammenstellung mathematischer Grundlagen

Techniken der Laufzeitanalyse an Beispielen randomisierter Datenstrukturen

randomisierte Algorithmen für Probleme auf Graphen

randomisierte Algorithmen für geometrische Probleme

randomisierte Algorithmen für zahlentheoretische Probleme

weitere Themen nach Schwerpunktsetzung der Vorlesung

(Qualifikations-)Ziele Kenntnis randomisierter Methoden für den Entwurf und die Analyse von Algorithmen.

Befähigung zu einfachen probabilistischen Analysen.

Einsicht in die Grenzen randomisierter Algorithmen.

Literatur Rajeev Motwani, Prabhakar Raghavan: Randomized Algorithms. reprint., Cambridge University Press, Cambridge 2000.

Michael Mitzenmacher, Eli Upfal: Probability and Computing. Cambridge University Press, Cambridge 2005.


113

Modultitel (deutsch) Seminar Algorithmik

Modultitel (englisch) Seminar Algorithmics



Wahlpflichtmodul (Seminar ALG) für den M. Sc. Informatik


Modul-Verantwortlicher Joachim Giesen, Martin Mundhenk, Tobias Friedrich



- Präsenzstunden


90 Std.

30 Std.

60 Std.

Lehrform (SWS) 2S (die Zahl der Teilnehmer ist beschränkt)


in der Regel jedes Semester

Dauer des Moduls ein Semester oder Blockseminar


keine


keine


Regelmäßige Teilnahme an den Veranstaltungen und Konsultationen mit dem Betreuer des Vortrags


Vortrag einschließlich einer schriftlichen Ausarbeitung

Inhalte Themen der Theoretischen Informatik und Algorithmik

(Qualifikations-)Ziele Vertiefte, selbstständige Beschäftigung mit einem ausgewählten wissenschaftlichen Thema der aktuellen Forschung

Kompetenz in mündlicher und schriftlicher Präsentation

2.2 Analysis

Siehe entsprechendes Modul unter 1.3 Analysis


114

2.3 Numerische Mathematik/Wissenschaftliches Rechnen

Modultitel (deutsch) Computational Finance

Modultitel (englisch)



Wahlpflichtmodul für M. Sc Wirtschaftsmathematik

Wahlpflichtmodul für M. Sc Mathematik

Modul-Verantwortlicher Gerhard Zumbusch




270 Std. 90 Std. 180 Std.



unregelmäßig



keine


keine


Festlegung zu Modulbeginn


mündliche Prüfung

Inhalte Modellierung von Finanzderivaten

Lösung stochastischer Differentialgleichungen. Grundlegende Ansätze und Konvergenzbegriffe, Simulation stochastischer Prozesse

Behandlung der Black-Scholes-Gleichung. Grundlegende Ansätze mit Finiten Differenzen, Konvergenztheorie, Stabilität, Lösung der entstehenden linearen Gleichungssysteme

(Qualifikations-)Ziele Beherrschung grundlegende Konzepte der Modellierung von Finanzderivaten

Erwerb des theoretischen Verständnisses der Algorithmen

Fähigkeiten zur Implementierung der Algorithmen und zur Benutzung von Software

Literatur Rüdiger Seydel: Einführung in die numerische Berechnung von Finanz-Derivaten. Springer, Berlin 2000.

Rüdiger Seydel: Tools for computational finance. Springer, Berlin 2004.

Günther/Jüngel

Paul Wilmott, Sam Howison, Jeff N. Dewynne: The Mathematics of financial derivatives. Cambridge Univ. Press 2002.

Kloeden/Platen


115

Modultitel (deutsch) Finite Elemente für partielle Differentialgleichungen - 6LP





Wahlpflichtmodul für M. Sc. Computational Science (mathematisch orientiert)

Modul-Verantwortlicher Erich Novak, Gerhard Zumbusch




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 3V+1Ü


Module FMI-MA1520 oder FMI-MA1521 im WS oder SS, einmal innerhalb von 2 Jahren



keine


Kenntnisse: Funktionalanalytische Grundlagen, Numerik von Randwertproblemen, partielle Differentialgleichungen, Höhere Programmiersprache

M.Sc.Computational Science: Module Einführung in die Numerische Mathematik und das wissenschaftliche Rechnen oder Computational Physics


Festlegung zu Beginn des Moduls



Inhalte Hilbertraummethoden,

Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen

Ritz-Galerkin-Verfahren, Finite Elemente

Multigrid – Methode, schnelle Löser

Finite Volumen Diskretisierung

(Qualifikations-)Ziele Verstehen des Konzepte der Finite Elemente und finite Volumen Diskretisierung

schnelle Lösung der linearen Gleichungssysteme. Implementierung und Anwendung der numerischen Algorithmen


Literatur Lehrbücher nach Empfehlungen des Dozenten

K. Atkinson, W. Han: Theoretical Numerical Analysis: A functional analysis framework, 3. Auflage, Springer, 2009.

S. C. Brenner, L. R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer, 2008.


116

Modultitel (deutsch) Finite Elemente für partielle Differentialgleichungen - 9LP





Modul-Verantwortlicher Erich Novak, Gerhard Zumbusch




270 Std. 90 Std. 180 Std.



Module FMI-MA1520 oder FMI-MA1521 im WS oder SS, einmal innerhalb von 2 Jahren



keine



Kenntnisse: Numerik von Randwertproblemen, partielle Differentialgleichungen, Höhere Programmiersprache


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Hilbertraummethoden,

Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen

Ritz-Galerkin-Verfahren, Finite Elemente

Konvergenz und Fehlerabschätzungen in Funktionenräumen

Multigrid – Methode, schnelle Löser

(Qualifikations-)Ziele Beherrschung der numerischen Lösung von ausgewählten partiellen Differentialgleichungen mit finiten Elementen

Kenntnis von Fehlerabschätzungen und Fähigkeit zur Implementierung der numerischen Algorithmen

Literatur Nach Empfehlung des Dozenten bei Beginn des Moduls


117

Modultitel (deutsch) Hyperbolische Erhaltungssätze und Wellengleichungen









270 Std. 90 Std. 180 Std.



unregelmäßig



keine


M. Sc. Mathe: Einführung in die Numerische Mathematik und das Wissenschaftliche Rechnen

M. Sc.Comp. Sience: Einführung in das Wissenschaftliche Rechnen (CS)




mündliche Prüfung

Inhalte Grundlegende Ansätze im Ort mit Finiten Differenzen, Finiten Volumen

Verschiedene Zeitintegrationsverfahren einschließlich Charakteristikenverfahren

Spezielle Lösungsverfahren für lineare Wellengleichungen

Begriff der Entropielösung und Konvergenzabschätzungen

(Qualifikations-)Ziele Beherrschung grundlegender Kompetenz linearer und nichtlinearer Wellengleichungen


Fähigkeiten zur Implementierung der Algorithmen und zur Benutzung von Software

Literatur P. Knabner u. L. Angermann: Numerik partieller Differentialgleichungen: Eine anwendungsorientierte Einführung, Springer, Berlin, 2009.

D. Kröner: Numerical Schemes for Conservation Laws, Vieweg+Teubner, 1997

R. J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge Univ. Press, 2002.


118

Modultitel (deutsch) Komplexität stetiger Probleme

Modultitel (englisch) Complexity of Continuous Problems









180 Std. 60 Std. 120 Std.






keine


keine


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Ein Schwerpunkt der Vorlesung ist Numerik hochdimensionaler Probleme. Welche Probleme sind tractable? Was ist der Fluch der Dimensionen und wie kann man ihn vermeiden?

(Qualifikations-)Ziele Im Rahmen der Vorlesung werden Methoden der Analysis und der theoretischen Informatik zusammengeführt.

Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse und Vorbereitung auf selbständige wissenschaftliche Arbeit

Literatur Skript zur Vorlesung


119

Modultitel (deutsch) Moderne Methoden der Numerischen Mathematik

Modultitel (englisch) Modern Methods in Computational Mathematics








180 Std. 60 Std. 120 Std.





keine


keine


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Aktuelle Trends in der Numerischen Mathematik

(Qualifikations-)Ziele Kennenlernen und Vertiefung von Methoden und Hilfsmitteln der Numerischen Mathematik,


Literatur Nach Empfehlung des Dozenten.


120

Modultitel (deutsch) Moleküldynamik




Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Computational Science (anwendungsorientiert)


Wahlpflichtmodul für den M. Sc. Informatik (Nebenfach Mathematik)




- Präsenzstunden - Selbststudium (einschl.


180 Std. 60 Std. 120 Std.



Wintersemester, unregelmäßig





Erfolgreiche Bearbeitung der Übungsaufgaben und Programmieraufgaben


mündliche Prüfung

Inhalte Moleküldynamik:

Newtonsche Bewegungsgleichungen und Zeitintegrationsverfahren

Modellierung mit kurz- und langreichweitigen Potentialen

Algorithmen zur schnellen Kraftauswertung

Visualisierung und Stochastische Interpretation der Daten

(Qualifikations-)Ziele Einführung in grundlegende Konzepte der numerischen Lösung von Differentialgleichungen

Anwendung von Software zu Lösung von Differentialgleichungen

Literatur


121

Modultitel (deutsch) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 2

Modultitel (englisch) Numerical methods for Ordinary Differential Equations 2




Pflichtmodul für M. Sc. Computational Science (mathematisch-orientiert)

Modul-Verantwortlicher Martin Hermann




180 Std. 60 Std. 120 Std.



jährlich im Wintersemester



keine


Module „Weiterführende Techniken des Wissenschaftlichen Rechnens“ und „Numerik gewöhnlicher DGLn 1“, Programmierkenntnisse in MATLAB


50% der erreichbaren Punkte aus den Übungsaufgaben



Inhalte Weiterführende Problemstellungen auf dem Gebiet der Numerik gewöhnlicher DGLn, wie:

Verfahren zur Lösung nichtlinearer Zweipunkt-Randwertprobleme und

Numerische Verfahren zur Behandlung von nichtlinearen parameterabhängigen DGLn (Bifurkationsprobleme)

(Qualifikations-)Ziele Im Mittelpunkt steht hier die Erlangung von Kenntnissen zur Theorie der Numerik nichtlinearer Probleme (insbesondere nichtlinearer DGLn) sowie der Erwerb praktischer Fertigkeiten zur die Lösung derartiger Probleme auf einem Computer. Hierzu gehören Techniken für die Implementierung der Verfahren und deren Anwendung auf Modellprobleme aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften.

Ein wichtiges Ziel ist dabei der Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet des Wissenschaftlichen Rechnens.

Literatur M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Oldenbourg, 2004.

U. M. Ascher, L. R. Petzold: Computer Methods for Ordinary Differential Equaions, SIAM, 1998.

U. M. Ascher, R. M. M. Mattheij, R. D. Russell: Numerical Differential Equations, Prentice-Hall, 1988.


122

Modultitel (deutsch) Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 3

Modultitel (englisch) Numerical Ordinary Differential Equations 3



Wahlpflichtmodul für den M.Sc. Mathematik,

Pflichtmodul für M.Sc. Computational Science (mathematisch-orientiert), wenn im Bachelor bereits „Numerik gewöhnlicher DGLn 1“ belegt wurde

Modul-Verantwortlicher Martin Hermann




180 h 60 h 120 h

Lehrform (SWS) 4 VÜ


SS, falls im M.Sc. Computational Science (mathematisch-orientiert) Studenten sind, die im Bachelor bereits „Numerik gewöhnlicher DGLn (I)“ gehört haben



Modul „Einführung in das Wissenschaftliches Rechnen“ (FMI- MA0801) oder „Computational Physics I“ (128.230) bzw. „Einführung in die Numerische Mathematik und das Wissenschaftliche Rechnen 1“ (FMI-MA0500)

Modul „Numerik gewöhnlicher DGLn 1“ (FMI-MA0531) und Modul „Numerik gewöhnlicher DGLn 2“ (FMI-MA1531)


Programmierkenntnisse in MATLAB


50% der erreichbaren Punkte aus den Übungsaufgaben



Inhalte Numerische Verfahren zur Behandlung parameterabhängiger Randwertprobleme

Verfahren zur Bestimmung singulärer Punkte

Kurvenverfolgungstechniken

Bifurkationstheorie

(Qualifikations-)Ziele Die Studenten sollen befähigt werden, parameterabhängige nichtlineare Probleme aus den Anwendungen selbständig zu studieren und eine Bifurkationsanalyse auf dem Computer zu realisieren. Die Methoden sind so allgemein gehalten, dass sie für nichtlineare Operatorgleichungen in Banach-Räumen Gültigkeit besitzen.

Literatur wird in der Vorlesung bekanntgegeben


123

Modultitel (deutsch) Randelementmethoden und schnelle Summationsverfahren




Wahlpflichtmodul für M. Sc Mathematik





270 Std. 90 Std. 180 Std.



unregelmäßig



keine


B. Sc: Einführung in die Numerische Mathematik und das Wissenschaftliche Rechnen

M. Sc. Comp. Science: Einführung in das Wissenschaftliche Rechnen (CS)





Inhalte Integralgleichungen

Randelementmethode

grundlegende Ansätze mit Kollokations- und Galerkin- Diskretisierung

schnelle Summationsverfahren und Matrixkompressionen

(Qualifikations-)Ziele Beherrschung grundlegender Konzepte der Integralgleichungen und Randelementmethoden


Fähigkeit zur Implementierung der Algorithmen und zur Benutzung von Software

Literatur Lehrbücher von Hackbusch, Sauter/Schwab, Steinbach


124

Modultitel (deutsch) Seminar Numerische Mathematik

Modultitel (englisch) Seminar on Computational Mathematics



M. Sc. Mathematik: Wahlpflichtmodul

M. Sc. Wirtschaftsmathematik: Wahlpflichtmodul





30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2S


einmal innerhalb von 2 Jahren, WS oder SS



keine


keine


keine


Vortrag, schriftliche Ausarbeitung des Vortrags

Inhalte Moderne Methoden der Numerischen Mathematik entsprechend des Forschungsprofils in Jena

(Qualifikations-)Ziele Erwerb von vertiefenden Kenntnissen der Numerischen Mathematik

Kennenlernen von modernen Methoden und deren Anwendungen

Vorbereitung auf selbständige wissenschaftliche Arbeit

Fähigkeiten zur Präsentation

Literatur Themenbezogen nach Vorgabe


125

Modultitel (deutsch) Seminar Wissenschaftliches Rechnen




Wahlpflichtmodul M. Sc Mathematik


Modul-Verantwortlicher Gerhard Zumbusch, Martin Hermann




90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 S


WS+SS



keine


Kenntnisse einer strukturierten Programmiersprache bzw. MATLAB

Kenntnisse zur Numerik gewöhnlicher und partieller DGLn


keine


schriftliche Ausarbeitung des Seminarthemas, gehaltener Vortrag

Inhalte Spezielle Themen aus den Bereichen des Wissenschaftlichen Rechnens

Benutzung (i.a. englischsprachiger) relevanter Fachliteratur

(Qualifikations-)Ziele Vorbereitung und Halten eines mathematischen Vortrags

schriftliche Ausarbeitung des Seminarthemas



126

2.4 Optimierung

Modultitel (deutsch) Anwendung Numerischer Verfahren der nichtglatten Optimierung (Ergänzungsmodul zu Numerische Verfahren der nichtglatten Optimierung)

Modultitel (englisch) Applications of nonsmooth optimization





Modul-Verantwortlicher Walter Alt

Leistungspunkte (ECTS credits) 1,5 LP



45 Std. 15 Std. 30 Std.

Lehrform (SWS) 1Ü


unregelmäßig



Kann nur zusammen mit Modul ‚Numerische Verfahren der nichtglatten Optimierung‘ FMI-MA1607 belegt werden


Grundkenntnisse in Analysis und linearer Algebra, Programmier-kenntnisse, Einführung in die nichtlineare Optimierung


Bearbeitung von Hausaufgaben


mündliche Prüfung oder schriftliche Prüfung

Inhalte Implementierung von Optimierungsverfahren

Lösung von Optimierungsproblemen aus technischen, ökonomischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen

(Qualifikations-)Ziele Implementierung und Anwendung von Optimierungsverfahren

Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der nichtlinearen Optimierung

Literatur s. Veranstaltungskommentar


127

Modultitel (deutsch) Anwendung Numerischer Verfahren der nichtlinearen Optimierung (Ergänzungsmodul zu Numerische Verfahren der nichtlinearen Optimierung)

Modultitel (englisch) Applications of nonlinear optimization









90 Std. 30 Std. 60 Std.



unregelmäßig



keine


Grundkenntnisse in Analysis und linearer Algebra, Programmier-kenntnisse




mündliche Prüfung oder schriftliche Prüfung

Inhalte Lösung von Optimierungsproblemen aus technischen, ökonomischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen

(Qualifikations-)Ziele Anwendung von Optimierungsverfahren




128

Modultitel (deutsch) Anwendungen Optimaler Steuerung (Ergänzungsmodul zu Optimale Steuerung)

Modultitel (englisch) Applications of optimal control









90 Std. 30 Std. 60 Std.



unregelmäßig



keine


Grundkenntnisse in Funktionalanalysis, Programmierkenntnisse




mündliche Prüfung

Inhalte Modellierung technischer, ökonomischer und naturwissen-schaftlicher Anwendungen

Diskretisierung und numerische Lösung der Probleme

(Qualifikations-)Ziele Modellierung mit optimaler Steuerung

numerische Lösung der resultierenden Optimierungsprobleme

Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der optimalen Steuerung



129

Modultitel (deutsch) Diskrete und Experimentelle Optimierung A

Modultitel (englisch) Discrete and Experimental Optimization A




Wahlpflichtmodul für M. Sc. Wirtschaftsmathematik

Modul-Verantwortlicher Ingo Althöfer




270 Std. 90 Std. 180 Std.



alle 2 Jahre im Sommersemester




eine Programmiersprache oder Matlab


Erreichen von mindestens 50% der möglichen Punkte der Übungsaufgaben Vorrechnen von mindestens 2 Übungsaufgaben



Inhalte Experimentelles Lösen aktueller Optimierungsprobleme

Optimierung in spieltheoretischen Szenarien

Experimentelle Multiple-Choice-Optimierung

Analyse von Black-Box-Software

(Qualifikations-)Ziele Einführung in grundlegende Konzepte der experimentellen Optimierung

Literatur Althöfer/Schwarz

E. A. Heinz


130

Modultitel (deutsch) Diskrete und Experimentelle Optimierung B

Modultitel (englisch) Discrete and Experimental Optimization B




Wahlpflichtmodul für M. Sc. Wirtschaftsmathematik

Wahlpflichtmodul für M. Sc. Informatik

Wahlpflichtmodul für M. Sc. Computational Science

Modul-Verantwortlicher Ingo Althöfer




180 Std. 60 Std. 120 Std.



alle 2 Jahre im Wintersemester




eine Programmiersprache oder Matlab


Erreichen von mindestens 50% der möglichen Punkte der Übungsaufgaben, Vorrechnen von mindestens 2 Übungsaufgaben



Inhalte Experimentelles Lösen aktueller Optimierungsprobleme

Strukturerkennung in guten/optimalen Lösungen

Elemente der Informationstheorie

(Qualifikations-)Ziele Verbessern des experimentellen Umgangs mit Optimierungsproblemen

Literatur Borwein/Bailey

Cover/Thomas

Althöfer/Schwarz

aktuelle Dissertationen


131

Modultitel (deutsch) Numerische Verfahren der nichtglatten Optimierung

Modultitel (englisch) Numerical methods of nonsmooth optimization







Leistungspunkte (ECTS credits) 4,5 LP



135 Std. 45 Std. 90 Std.



Unregelmäßig



Keine


Grundkenntnisse in Analysis und linearer Algebra, Programmierkenntnisse, Einführung in die nichtlineare Optimierung


Erreichen von mindestens 50% der möglichen Punkte der Übungsaufgaben, Bearbeitung von Hausaufgaben



Inhalte Subdifferential und Richtungsableitung konvexer Funktionen

Numerische Verfahren der konvexen, nichtglatten Optimierung wie Subgradienten- und Bundle-Verfahren

(Qualifikations-)Ziele Kennenlernen der theoretischen Grundlagen der Verfahren

Kenntnis grundlegender Prinzipien zur Konstruktion der Verfahren

Implementierung und Anwendung der Verfahren


Literatur W. Alt: Nichtlineare Optimierung. 2. Auflage Vieweg 2011

W. Alt: Numerische Verfahren der konvexen, nichtglatten Optimierung, Teubner 2004

Weitere Literatur wird in der Vorlesung bekannt gegeben


132

Modultitel (deutsch) Numerische Verfahren der nichtlinearen Optimierung

Modultitel (englisch) Numerical methods of nonlinear optimization










180 Std. 60 Std. 120 Std.



Unregelmäßig



Keine


Grundkenntnisse in Analysis und linearer Algebra, Programmierkenntnisse


Erreichen von mindestens 50% der möglichen Punkte der Übungsaufgaben



Inhalte Numerische Verfahren der nichtlinearen Optimierung wie SQP-Verfahren, Innere-Punkte-Verfahren, Trust-Region-Verfahren, Bundle-Verfahren

(Qualifikations-)Ziele Kennenlernen der theoretischen Grundlagen der Verfahren

Kenntnis grundlegender Prinzipien zur Konstruktion der Verfahren

Implementierung und Anwendung der Verfahren


Literatur Walter Alt: Nichtlineare Optimierung. Vieweg Braunschweig 2002.

Walter Alt: Numerische Verfahren der konvexen, nichtglatten Optimierung. Teubner, Stuttgart 2004.

Weitere Literatur wird in der Vorlesung bekannt gegeben


133

Modultitel (deutsch) Optimale Steuerung

Modultitel (englisch) Optimal control









180 Std. 60 Std. 120 Std.



Unregelmäßig



Keine


Grundkenntnisse in Funktionalanalysis, Programmierkenntnisse


Erreichen von mindestens 50% der möglichen Punkte der Übungsaufgaben, Vorrechnen von mindestens 2 Übungsaufgaben



Inhalte Optimalitätsbedingungen (Minimumprinzip)

Diskretisierung und Fehlerabschätzungen

Numerische Verfahren

(Qualifikations-)Ziele Kennenlernen der theoretischen Grundlagen der optimalen Steuerung, der Diskretisierung von Funktionenraumproblemen und der Konstruktion numerischer Verfahren

Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der optimalen Steuerung

Literatur Walter Alt: Optimale Steuerung. Vorlesungsskript.

Weitere Literatur s. Vorlesungsskript


134

Modultitel (deutsch) Seminar Optimierung





Modul-Verantwortlicher Ingo Althöfer, Walter Alt




90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 S


WS/SS



keine


Modul Lineare Optimierung . Erfahrung im Umgang mit einer Programmiersprache oder von MatLab und Grundkenntnisse im Wissenschaftlichen Rechnen bzw. in der Numerischen Mathematik


Keine


Vortrag, Ausarbeitung des Vortrags

Inhalte Spezielle Themen aus den Bereichen Lineare Optimierung, Diskrete Optimierung oder Nichtlineare Optimierung

(Qualifikations-)Ziele Vorbereitung und Halten eines mathematischen Vortrags, schriftliche Ausarbeitung eines mathematischen Themas



135

2.5 Stochastik

Modultitel (deutsch) Bootstrap-Verfahren

Modultitel (englisch) Bootstrap procedures


Art des Moduls (Pflicht- oder Wahlpflichtmodul)



Modul-Verantwortlicher Michael Neumann




90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 V


Unregelmäßig



Stochastik 1 (FMI-MA0701), Stochastik 2 (FMI-MA0702)




mündliche Prüfung

Inhalte Falls die Kenntnis der Verteilung einer Statistik wichtig ist, diese aber auf analytischem Wege nicht erreicht werden kann, so bieten sich Imitationsverfahren („Bootstrap“-Verfahren) zur approximativen Bestimmung an. Die VL gibt einen Einblick in solche Verfahren für unabhängige und abhängige Daten und es werden Wege zum Beweis von deren asymptotischer Korrektheit aufgezeigt.

(Qualifikations-)Ziele Vertiefung der Stochastikkenntnisse, Kennenlernen wichtiger Techniken in der Statistik

Literatur Wird in der Vorlesung bekannt gegeben


136

Modultitel (deutsch) Finanzmathematik 2

Modultitel (englisch) Mathematics of Finance 2





Modul-Verantwortlicher Ilya Pavlyukevich




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





Keine


Stochastik 2 dringend empfohlen

Finanzmathematik 1

Kenntnisse aus der stochastischen Analysis


Keine



Inhalte Behandlung von zeitstetigen stochastischen Modellen für Finanz-märkte mit endlicher Handelsperiode wie z.B. Black-Scholes- Modell und Verallgemeinerungen, Modelle mit Preisprozessen, die durch Lévy-Prozesse beschrieben werden, Semimartingalmodelle, etc. Schwerpunkte sind:

Arbitragefreiheit, Vollständigkeit, Martingalmaße und verwandte Begriffsbildungen

Preisbildung und Absicherung von Contingent Claims, Preisformeln

Hedging und Superhedging

Preisbildung in unvollständigen Finanzmärkten. optimale äquivalente Martingalmaße

Weitere ergänzende oder alternative Schwerpunkte:

Portfoliooptimierung und Equilibrium

Risikomaße

Zinsstrukturmodelle

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Kennen lernen von modernen Methoden der Finanzmathematik und deren Anwendungen

Literatur I. Karatzas, S. Shreve: Methods of Mathematical Finance, Springer

M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer

S. Shreve: Stochastic Calculus for Finance II: Continuous Time Models, Springer


137

Modultitel (deutsch) Fraktale stochastische Prozesse

Modultitel (englisch) Fractal Stochastic Processes








90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 V


einmal in 2 Jahren



keine


Stochastik 1+2


keine


mündliche Prüfung

Inhalte Grundlagen der Prozesstheorie

Konstruktionen, Modifikationen und analytische Pfadeigenschaften

geometrische Eigenschaften fraktaler Prozesse

Elemente der fraktalen stochastischen Analysis.

(Qualifikations-)Ziele Vertiefung der Kenntnisse und Fähigkeiten in der Mathematik beim gegenseitigen Durchdringen von fraktaler Analysis, Geometrie und Stochastik

Literatur J.-P. Kahane: Some Random Series of Functions, Cambridge Univ. Press, 1994.

P. Mörters und Y. Peres: Brownian Motion, Cambridge Univ. Press, 2010.


138

Modultitel (deutsch) Fraktale stochastische Prozesse mit Übung oder Seminar

Modultitel (englisch) Fractal Stochastic Processes (with Tutorial or Seminar)








180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 2 V + 2 Ü oder 2 S


einmal in 2 Jahren



keine


Stochastik 1 und 2


aktive Mitarbeit in den Übungen oder im Seminar mit Vortrag


mündliche Prüfung

Inhalte Grundlagen der Prozesstheorie

Konstruktionen, Modifikationen und analytische Pfadeigenschaften

geometrische Eigenschaften fraktaler Prozesse

Elemente der fraktalen stochastischen Analysis.

(Qualifikations-)Ziele Vertiefung der Kenntnisse und Fähigkeiten in der Mathematik beim gegenseitigen Durchdringen von fraktaler Analysis, Geometrie und Stochastik

Literatur J.-P. Kahane: Some Random Series of Functions, Cambridge Univ. Press, 1994.

P. Mörters und Y. Peres: Brownian Motion, Cambridge Univ. Press, 2010.


139

Modultitel (deutsch) Lévy-Prozesse

Modultitel (englisch) Lévy-Processes





Modul-Verantwortlicher Ilya Pavlyukevich




90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 V


unregelmäßig



keine


FMI-MA0702 Stochastik 2



Mündliche Prüfung

Inhalte Begriffliche Grundlagen, Poisson-Prozess, zusammengesetzter Poisson Prozess, Brown'sche Bewegung, Sprungmaße, Lévy-Ito-Darstellung, Lévy-Hintchine-Formel, Eigenschaften von Lévy-Prozessen, stabile Prozesse, numerische Simulation von Lévy-Prozessen

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Kennenlernen von modernen Methoden der Theorie stochastischer Prozesse, Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der Stochastik

Literatur Sato, K.–I.: Lévy processes and infinitely divisible distributions, Cambridge University Press, 1999 Skorohod, A. V.: Random processes with independent increments, Kluwer Academic Publishers, 1991 Applebaum, D.: Lévy Processes and Stochastic Calculus, 2nd edition, Cambridge University Press, 2009 Cont, R., and Tankov, P.: Financial modelling with jump processes, Chapman & Hall/CRC, 2004


140

Modultitel (deutsch) Mathematische Statistik

Modultitel (englisch) Mathematical Statistics









270 Std. 90 Std. 180 Std.



WS



keine


Stochastik 1 und 2 dringend empfohlen


keine



Inhalte Schätztheorie (Punktschätzungen, Erwartungstreue, Optimalität, Konsistenz, Maximum-Likelihood-Methode, Konfidenzintervalle)

Testtheorie (Gütefunktion, Likelihood-Quotiententest, gleichmäßig beste Tests, Lemma von Neyman-Pearson)

Suffiziente Statistiken, Satz von Rao-Blackwell

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Kennenlernen von modernen Methoden der Statistik

Erwerb forschungsqualifizierender Kenntnisse auf dem Gebiet der Statistik



141

Modultitel (deutsch) Nichtparametrische Kurvenschätzung

Modultitel (englisch) Nonparametric curve estimation









90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 V


SS



keine




keine



Inhalte Schätzung der Verteilungsfunktion

Kernschätzer der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Regressionsfunktion

Konvergenzraten

Asymptotische Optimalität





142

Modultitel (deutsch) Prognoseverfahren

Modultitel (englisch) Prediction Theory




Modul-Verantwortlicher Roland Günther




90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 V


Unregelmäßig



keine


Stochastik 2 (FMI-MA0702)


keine


mündliche Prüfung oder Klausur (nach Festlegung des Dozenten)

Inhalte Lineare Approximation

partielle und multiple Korrelation

optimale lineare Prognose stationärer Prozesse

partielle Autokorrelationsfunktion

rekursive Prognoseverfahren (Box-Jenkins-Ansatz, Kalman-Filter, Modellbeispiele und Anwendungen)

Anpassung linearer Prozesse (Spezifikation von ARMA-Modellen, Behandlung instationärer Prozesse, Vektorkorrelation stochastischer Prozesse)

Verfahren der exponentiellen Glättung (Exp. Gl. im horizontalen und im linearen Trendmodell, adaptive Verfahren)

(Qualifikations-)Ziele Kennenlernen und Aneignung praxisrelevanter Prognoseverfahren



143

Modultitel (deutsch) Projekt Multivariate Statistik

Modultitel (englisch) Project Multivariate Statistics




Modul-Verantwortlicher Jens Schumacher, Michael Neumann




30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) Projekt 2 SWS


unregelmäßig



keine


Erfahrung mit matrixorientierter Programmiersprache


regelmäßige Teilnahme an den Veranstaltungen


Vortrag zu selbst erarbeitetem Themenkomplex

schriftliche Ausarbeitung

Inhalte Ausgewählte Methoden der Multivariaten Statistik, deren programmtechnische Umsetzung und Anwendung auf biologische und ökonometrische Beispieldatensätze.

(Qualifikations-)Ziele Vertrautheit mit praxisrelevanten und forschungsnahen Methoden der multivariaten Statistik,

Fähigkeit zur praktischen Implementierung statistischer Algorithmen

Fähigkeit zur angemessenen Darstellung von Methoden und Analyseergebnissen

Literatur Andreas Handl: Multivariate Analysemethoden. Springer, Berlin 2002.

weitere Literatur nach Empfehlung der Dozenten


144

Modultitel (deutsch) Semimartingale 1

Modultitel (englisch) Semimartingales 1



Wahl- oder Wahlpflichtmodul für den M.Sc. Mathematik

Wahl- oder Wahlpflichtmodul für den M.Sc. Wirtschaftsmathematik

Modul-Verantwortlicher Hans-Jürgen Engelbert




90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 V (in Englisch)


unregelmaessig

Dauer des Moduls 1 Semester (Fortsetzung mit Semimartingale 2)


Stochastik 1 und 2


Vorkenntnisse aus stochastischer Analysis/ stochastische Prozesse wünschenswert


keine


Mündliche Prüfung

Inhalte Grundlagen stochastischer Prozesse und der Martingaltheorie (stetige Zeit),

Einführung in die Semimartingaltheorie,

Semimartingalzerlegungen, spezielle Semimartingale, Semimartingalcharakteristiken,

Kompensatoren von zufälligen Maßen und Grundzüge der stochastischen Integration bzgl. zufälliger Maße,

Grundzüge der stochastischen Integration bzgl. Semimartingalen,

Beispiele und Anwendungen

(Qualifikations-)Ziele Erweiterung der Kenntnisse auf dem Gebiet der stochastischen Analysis/stochastischen Prozesse, insbesondere Erarbeitung von theoretischen Grundlagen für die Behandlung von fortgeschrittenen stochastischen Modellen z.B. in der Finanzmathematik

Literatur He, Wang, Yang: Semimartingale Theory and Stochastic Calculus

Jacod, Shiryaev: Limit Theorems for Stochastic Processes

Protter: Stochastic Integration and Differential Equations


145

Modultitel (deutsch) Semimartingale II – 3 LP

Modultitel (englisch) Semimartingales II





Modul-Verantwortlicher Hans-Jürgen Engelbert, Michael Neumann




90 Std. 30 Std 60 Std.



unregelmäßig



Stochastik 1 (FMI-MA0701) und Stochastik 2 (FMI-MA0702)


Vorkenntnisse aus stochastischer Analysis/ stochastische Prozesse; Semimartingale I (FMI-MA1712)


Keine


Mündliche Prüfung

Inhalte Weiterführende Kapitel zu Semimartingalen, Darstellung weitgehend unabhängig von Semimartingale I (benötigte Inhalte aus Semimartingale I werden erläutert), z.B. aus dem folgenden Kreis von Fragen:

Semimartingalzerlegungen, Semimartingalcharakteristiken,

Kompensatoren von zufälligen Maßen und stochastische Integration bzgl. zufälliger Maße,

Stochastische Integration bzgl. Semimartingalen,

Ito Formel und Lokale Zeiten,

Absolute Stetigkeit und Maßtransformationen,

Stochastische DGL und stochastische Exponentiale,

Räume von Martingalen und Integraldarstellungen






146

Modultitel (deutsch) Semimartingale II – 6 LP

Modultitel (englisch) Semimartingales II





Modul-Verantwortlicher Hans-Jürgen Engelbert, Michael Neumann




180 Std. 60 Std 120 Std.



unregelmäßig



Stochastik 1 (FMI-MA0701) und Stochastik 2 (FMI-MA0702)


Vorkenntnisse aus stochastischer Analysis/ stochastische Prozesse; Semimartingale I (FMI-MA1712)


Keine


Mündliche Prüfung

Inhalte Weiterführende Kapitel zu Semimartingalen, Darstellung weitgehend unabhängig von Semimartingale I (benötigte Inhalte aus Semimartingale I werden erläutert), z.B. aus dem folgenden Kreis von Fragen:

Semimartingalzerlegungen, Semimartingalcharakteristiken,

Kompensatoren von zufälligen Maßen und stochastische Integration bzgl. zufälliger Maße,

Stochastische Integration bzgl. Semimartingalen,

Ito Formel und Lokale Zeiten,

Absolute Stetigkeit und Maßtransformationen,

Stochastische DGL und stochastische Exponentiale,

Räume von Martingalen und Integraldarstellungen






147

Modultitel (deutsch) Stochastische Analysis

Modultitel (englisch) Stochastic Analysis




Modul-Verantwortlicher Ilya Pavlyukevich, N .N. (Nachfolger Engelbert)




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





Keine




Keine



Inhalte Grundlagen aus der Theorie stochastischer Prozesse

Beispiele: Brownsche Bewegung und Poisson-Prozeß

Martingale und verwandte Prozesse mit stetiger Zeit

Stochastisches Itô-Integral für (stetige) lokale Martingale und (stetige) Semimartingale

Itô-Formel und Anwendungen

Absolutstetige Transformation von Maßen

Raum- und Zeittransformationen

Ergänzend oder alternativ:

Anwendungen auf stochastische Differentialgleichungen

Stochastischer Kalkül für Lévy-Prozesse

(Vgl. auch die jeweils aktuellen Veranstaltungskommentare.)

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Kennenlernen von modernen Methoden der Stochastischen Analysis und deren Anwendungen

Literatur I. Karatzas, S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer

B. Øksendal: Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6. Auflage, Springer

H.-H. Kuo: Introduction to Stochastic Integration, Springer


148

Modultitel (deutsch) Stochastische Geometrie

Modultitel (englisch) Stochastic Geometry




Modul-Verantwortlicher Werner Nagel




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V


unregelmäßig



keine



zufällige Punktprozesse


keine


mündliche Prüfung zur Vorlesung

Inhalte Grundlagen aus der Konvexgeometrie und der Integralgeometrie

zufällige abgeschlossene Mengen

Geradenprozesse

Partikelprozesse

Boolesches Modell

zufällige Mosaike

spezielle Probleme aus der Stereologie

(Qualifikations-)Ziele Grundlegende Konzepte und Methoden der Stochastischen Geometrie kennen.

Literatur Rolf Schneider, Wolfgang Weil: Stochastic and Integral Geometry. Springer, Berlin 2008.

Dietrich Stoyan, Wilfried S. Kendall, Joseph Mecke: Stochastic Geometry and its Applications. 2. ed., Wiley, Chichester 2008.


149

Modultitel (deutsch) Stochastik 2

Modultitel (englisch) Stochastics 2



Wahlpflichtmodul für den B. Sc. Mathematik Pflichtmodul für den B. Sc. Wirtschaftsmathematik Wahlpflichtmodul für den M.Sc. Mathematik

Modul-Verantwortlicher Werner Linde, Michael Neumann




270 Std. 90 Std. 180 Std.



SS



B.Sc.: Stochastik 1


Keine


Keine


Klausur oder mündliche Prüfung (nach Festlegung des Dozenten)

Inhalte messbare Räume, messbare Funktionen, Maßräume, Integrale, integrierbare Funktionen, Stetigkeitssätze, Lebesguesches Integral, Konvergenzsätze, Produkt von Maßräumen, Integrale zu Produktmaßen, Satz von Radon-Nikodym

maßtheoretische Fundierung der Wahrscheinlichkeitstheorie

bedingte Verteilungen, bedingte Erwartungen

charakteristische Funktionen

Mehrdimensionaler zentraler Grenzwertsatz

(Qualifikations-)Ziele Einführung in die Maß- und Integrationstheorie

Erweiterung und Vertiefung der Kenntnisse im Fach Stochastik

Literatur A. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer, Berlin, 2008

H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie, de Gruyter, Berlin, 2001.

D. L. Cohn: Measure Theory, Birkhäuser, Boston, MA, 1993.


150

Modultitel (deutsch) Stochastische Prozesse 1 – 9 LP




Wahlpflichtmodul für den M. Sc.Wirtschaftsmathematik

Wahlpflichtmodul für den M. Sc.Mathematik

Modul-Verantwortlicher Werner Linde, Michael Neumann




270 Std. 90 Std. 180 Std.



WS



keine




keine



Inhalte diskrete und stetige stochastische Prozesse

spezielle Prozesse, wie z.B. Brownsche Bewegung

Irrfahrten - Markovketten u.ä.

(Qualifikations-)Ziele Einführung in die Theorie der stochastischen Prozesse

Modellierung und Beschreibung einfachster Prozesse

Literatur J. L. Doob: Stochastic Processes, Wiley, 1990.

S. R. S. Varadhan: Stochastic Processes, American Math. Soc., Providence RI, 2007.

G. F. Lawler: Introduction to Stochastic Processes, 2nd ed., Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL, 2006.

A. Bobrowski: Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes, Cambridge Univ. Press, 2005.


151

Modultitel (deutsch) Stochastische Prozesse 1 - 6 LP

Modultitel (englisch) Stochastical Processes 1





Modul-Verantwortlicher Werner Linde, Ilya Pavlyukevich




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V


WS



Stochastik 1




keine



Inhalte - Grundbegriffe, - Konstruktion, - Markoff--Ketten (starke Markoff--Eigenschaft, invariante Verteilungen,Ergodizität),Irrfahrten, - Martingale (Ungleichungen, Konvergenz, zentraler Grenzwertsatz, Elemente der stochastischen Analysis für zeitdiskrete Prozesse), - stationäre Folgen.

(Qualifikations-)Ziele Einführung in die Theorie der stochastischen Prozesse

Modellierung und Beschreibung einfachster Prozesse



152

Modultitel (deutsch) Stochastische Prozesse 2

Modultitel (englisch) Stochastic Processes 2





Modul-Verantwortlicher Werner Linde, N.N. (Nachfolger Engelbert)




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V





Keine



Stochastische Prozesse 1


Keine



Inhalte Begriffliche Grundlagen, Konstruktion stochastischer Prozesse und Existenz einer stetigen Modifikation. Je nach Angebot Auswahl von Themen aus dem Spektrum des Gebietes, wie z.B.:

Markov-Prozesse (Halbgruppen von Operatoren, infinitesimale Generatoren, homogene Markov-Prozesse und ihre Konstruktion, Eigenschaften, Diffusionsprozesse, spezielle Markov-Prozesse, stochastische Lösung von Rand-Anfangswert-Aufgaben wie z.B. Cauchy-Problem, Dirichlet-Problem

Stochastische Differentialgleichungen

Gauß-Prozesse, insbesondere Brownsche Bewegung

Lévy-Prozesse: Unbegrenzt teilbare Verteilungen, Konstruktion von Lévy-Prozessen, Poissonsche zufällige Maße, Lévy-Ito-Darstellung, Subordinatoren, spezielle Lévy-Prozesse

Dynamische Systeme, stationäre Prozesse, Ergodentheorie, individueller Ergodensatz von Birkhoff und Anwendungen, im weiteren Sinne stationäre Prozesse, Spektralzerlegung

(Vgl. auch die jeweils aktuellen Veranstaltungskommentare.)

(Qualifikations-)Ziele Vertiefendes Kennenlernen von modernen Methoden der Theorie stochastischer Prozesse und deren Anwendungen

Literatur S. R. S. Varadhan: Stochastic Processes, American Math. Soc., 2007.

G. F. Lawler: Introduction to Stochastic Processes, 2. Auflage, Chapman & Hall/CRC, 2006.

A. Bobrowski: Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes, Cambridge Univ. Press, 2005.


153

Modultitel (deutsch) Topologie und Maß

Modultitel (englisch) Topology and Measure



M.Sc. Mathematik: Wahlpflichtmodul

M.Sc. Wirtschaftsmathematik: Wahlpflichtmodul

Modul-Verantwortlicher Werner Linde




90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2V


Einmal in zwei Jahren



Keine


Stochastik 1+2


Keine


Mündliche Prüfung

Inhalte - Einführung in die Theorie der topologischen Räume (Umgebungen, Filter, Konvergenz, Kompaktheit, Stetigkeit)

- Borel- und Bairsche σ-Algebren und Eigenschaften von Maßen auf diesen σ-Algebren (Regularität, Existenz eines Trägers)

- Integraldarstellungen stetiger linearer Funktionale mit Hilfe von Borelmaßen (Satz von Riesz in allgemeiner Form)

(Qualifikations-)Ziele - Vertiefendes Kennenlernen von allgemeinen toplogischen Methoden

- Tieferer Einblick in die Maßtheorie und deren Zusammenhang zur Topologie



154

Modultitel (deutsch) Zeitreihenanalyse – 3 LP

Modultitel (englisch) Time series analysis









90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 V


unreglmäßig



keine




keine



Inhalte Beispiele für Zeitreihen

Trendschätzung

MA-, AR- und ARMA-Prozesse

Autokovarianz

Zentraler Grenzwertsatz für Martingale




Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series: Theory and Methods. 2.ed., Springer, New York 1991.


155

Modultitel (deutsch) Zeitreihenanalyse -6 LP

Modultitel (englisch) Time series analysis









180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V


SS



keine




keine



Inhalte Beispiele für Zeitreihen

Trendschätzung

MA-, AR- und ARMA-Prozesse

Autokovarianz

Zentraler Grenzwertsatz für Martingale

lineare Vorhersage

Periodogramm

Schätzung der Spektraldichte




Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series: Theory and Methods. 2.ed., Springer, New York 1991.


156

Modultitel (deutsch) Zufällige Punktprozesse

Modultitel (englisch) Point Processes




Modul-Verantwortlicher Werner Nagel




180 Std. 60 Std. 120 Std.

Lehrform (SWS) 4 V


unregelmäßig



keine




keine


mündliche Prüfung zur Vorlesung

Inhalte Punktprozesse (PP) auf der nichtnegativen Halbachse, auf der reellen Achse, auf messbaren Räumen

Stationarität und Isotropie

Palmsche Verteilung

Poissonscher PP und davon abgeleitete PP.

(Qualifikations-)Ziele Grundlegende Konzepte und Methoden der PP-Theorie kennen.

Literatur Daryl J. Daley, David Vere-Jones: An Introduction to the Theory of Point Processes. Volume I, 2. ed., Springer, New York 2003.

John F.C. Kingman: Poisson Processes. Clarendon Press, Oxford 1993.


157

Modultitel (deutsch) Zufällige Reihen

Modultitel (englisch) Random Series









90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2V


Einmal in zwei Jahren



Keine


Stochastik 1 (FMI-MA0701) + 2 (FMI-MA0702)


Keine


Mündliche Prüfung

Inhalte - Arten der Konvergenz zufälliger Reihen

- Kriterien für die Konvergenz (Zwei- und Dreireihensätze)

- Reihen mit vektorwertigen Koeffizienten

- Ito-Nisio Theorem

- Zufällige Taylor- und Fourierreihen

(Qualifikations-)Ziele - Besseres Verständnis der Konvergenz von Reihen

- Darstellung von Anwendungen in Wahrscheinlichkeitstheorie und Analysis



158

Modultitel (deutsch) Seminar Mathematische Statistik

Modultitel (englisch) Seminar Mathematical Statistics









90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 SWS


mindestestens einmal in 2 Jahren



keine


Stochastik 1 und 2 wird dringend empfohlen


regelmäßige aktive Mitarbeit im Seminar


eigener Vortrag, schriftliche Ausarbeitung des Vortrags

Inhalte Ausgewählte Themen aus der Mathematischen Statistik

(Qualifikations-)Ziele Selbständige Erarbeitung eines fortgeschrittenen mathematischen Themas

Fähigkeit, ein mathematisches Thema verständlich an der Tafel vorzustellen

Fähigkeit, mathematische Sachverhalte exakt zu formulieren und aufzuschreiben.

Literatur Lehrbücher oder Fachartikel nach Empfehlung des Dozenten


159

Modultitel (deutsch) Seminar Wahrscheinlichkeitstheorie

Modultitel (englisch) Seminar Probability Theory









90 Std. 30 Std. 60 Std.

Lehrform (SWS) 2 SWS


jährlich, im WS oder SS



keine


Stochastik 2 wird dringend empfohlen


regelmäßige aktive Mitarbeit im Seminar


eigener Vortrag, schriftliche Ausarbeitung des Vortrags

Inhalte ausgewählte Themen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie

(Qualifikations-)Ziele Selbständige Erarbeitung eines fortgeschrittenen mathematischen Themas

Fähigkeit, ein mathematisches Thema verständlich an der Tafel vorzustellen

Fähigkeit, mathematische Sachverhalte exakt zu formulieren und aufzuschreiben.

Literatur Lehrbücher oder Fachartikel nach Empfehlung des Dozenten


160

4. Nebenfächer

4.1 Informatik Siehe Studienordnung und Modulkatalog B. Sc. Mathematik


161

4.2 Computerlinguistik/Sprachtechnologie

Modulnummer M-GSW-09

Modultitel Computerlinguistik I

Modul-Verantwortlicher Prof. Dr. Udo Hahn


Verwendbarkeit (Voraussetzung wofür)

MA Germanistische Sprachwissenschaft, MA Anglistik/Amerikanistik, Individueller Vertiefungsbereich MA Neuere Geschichte; Voraussetzung für M-GSW-10

Art des Moduls (Pflicht-, Wahlpflicht-, Wahlmodul)

Wahlpflichtmodul

Häufigkeit des Angebots (Zyklus) jährlich

Dauer des Moduls 1-2 Semester

Zusammensetzung des Moduls / Lehrformen (VL, Ü, S, Praktikum)

V (30h) + Ü (30h) und S (30h)


Arbeitsaufwand (work load) in: - Präsenzstunden und - Selbststudium (einschl.

Prüfungsvorbereitung) in h

300h Präsenzzeit: 90h Selbststudium: 210h

Inhalte

In der Vorlesung werden methodische Grundlagen der Computerlinguistik mit Bezug zur formalen und algorithmischen Analyse sprachlicher Äußerungen vermittelt. Im Vordergrund steht hierbei das symbolisch-regelbasierte Paradigma der Computerlinguistik. Diese Inhalte werden durch die Bearbeitung von Übungsblättern und die Diskussion von Lösungen in der Übung zur Vorlesung vertieft. Das Seminar ist als Lektürekurs gestaltet, in dem parallel zu den Inhalten der Vorlesung ergänzende Fachliteratur zu bearbeiten ist.

Lern- und Qualifikationsziele

Befähigung zur Formalisierung bzw. Algorithmisierung sprachlicher Prozesse, Überblick über symbolische Methoden der automatischen Sprachanalyse. Entwicklung von Problemlösefähigkeiten, die linguistisches und informatisches Wissen konstruktiv kombinieren, um gehaltvolle computerlinguistische Fragestellungen selbstständig behandeln zu können.


erfolgreiches wöchentliches Lösen der Übungsaufgaben; Vortrag im Lektürekurs, Erstellung und Abgabe von Präsentationsmaterialien

Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten (Prüfungsformen); einschl. Notengewichtung in %

Modulklausur (100%)

Empfohlene Literatur Jurafsky&Martin: Speech and Language Processing


162

Modulnummer M-GSW-10

Modultitel Computerlinguistik II /Sprachtechnologie

Modul-Verantwortlicher Prof. Dr. Udo Hahn


M-GSW-09


MA Germanistische Sprachwissenschaft, MA Anglistik/Amerikanistik; Voraussetzung für M-GSW-11


Wahlpflichtmodul


Dauer des Moduls 1-2 Semester


V (30h) + Ü (30h) und S (30h)




300h Präsenzzeit: 90h Selbststudium: 210h

Inhalte

In der Vorlesung werden methodische Grundlagen der Computerlinguistik mit Bezug zur formalen und algorithmischen Analyse sprachlicher Äußerungen vermittelt. Im Vordergrund stehen hierbei das empirisch-statistische Paradigma der Computerlinguistik sowie computerlinguistische Ressourcen. Diese Inhalte werden durch die Bearbeitung von Übungsblättern und die Diskussion von Lösungen in der Übung zur Vorlesung vertieft. Das Seminar ist als Lektürekurs gestaltet, in dem parallel zu den Inhalten der Vorlesung ergänzende Fachliteratur zu bearbeiten ist.


Befähigung zur Formalisierung bzw. Algorithmisierung sprachlicher Prozesse, Überblick über empirisch-statistische Methoden der automatischen Sprachanalyse. Entwicklung von Problemlösefähigkeiten, die linguistisches und informatisches Wissen konstruktiv kombinieren, um gehaltvolle computerlinguistische Fragestellungen selbstständig behandeln zu können.


erfolgreiches wöchentliches Lösen der Übungsaufgaben; Vortrag im Lektürekurs, Erstellung und Abgabe von Präsentationsmaterialien


Modulklausur (100%) oder mündliche Prüfung (100%)

Empfohlene Literatur Jurafsky&Martin: Speech and Language Processing


163

4.3 Ökologie

Modulnummer Ök NF 3.1

Modultitel

Ökologie von Lebensgemeinschaften

Modul-Verantwortlicher Voigt


keine

Verwendbarkeit

(Voraussetzung für)

Nebenfach Ökologie für Master-Studiengänge Mathematik, Informatik, Bioinformatik und Physik

Art des Moduls

(Pflichtmodul, Wahlpflichtmodul)

Wahlpflichtmodul


Dauer des Moduls 1 Semester (WS)

Zusammensetzung des Moduls / Lehrformen (V, Ü, S, P, E)

V: 1 SWS

S: 1 SWS

P: 4 SWS

Leistungspunkte (ECTS credits)

9 LP

Arbeitsaufwand (work load in h):

– Präsenzstunden

– Selbststudium (einschl. Prüfungsvorbereitung)

– 90 h Präsenz

– 180 h Selbststudium

Inhalte

Das Modul vermittelt vertieften Grundlagen der Ökologie auf der höchsten Komplexitätsebene von Lebensgemein-schaften. Der Schwerpunkt liegt auf Veränderungen von Lebensgemeinschaften über die Zeit und auf Aspekten der aktuellen Biodiversitätsdiskussion. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der eigenständigen statistischen Datenanalyse, wobei anspruchsvolle Verfahren der modernen multivariaten Statistik vermittelt werden.


vertiefte Kenntnisse von ökosystemaren Prozessen; Forschungsansätze auf der Ebene der Lebensgemein-schaften; statistische Methoden der multivariaten Datenanalyse

Voraussetzungen für die Zulassung zur Modulprüfung

keine

Voraussetzungen für die Vergabe von Leistungspunkten; Prüfungsformen

(Notengewichtung in %)

mündliche Prüfung zur Vorlesung (50%); Seminarbeitrag (50%); regelmäßige Teilnahme am Praktikum (Anwesen-heitsliste)


164

Modulnummer Ök NF 3.2

Modultitel

Verhalten und Evolution

Modul-Verantwortlicher Halle


keine

Verwendbarkeit

(Voraussetzung für)

Nebenfach Ökologie für Master-Studiengänge Mathematik, Informatik, Bioinformatik und Physik

Art des Moduls

(Pflichtmodul, Wahlpflichtmodul)

Wahlpflichtmodul


Dauer des Moduls 1 Semester (SS)

Zusammensetzung des Moduls / Lehrformen (V, Ü, S, P, E)

V: 1 SWS

S: 4 SWS

Leistungspunkte (ECTS credits)

6 LP

Arbeitsaufwand (work load in h):

– Präsenzstunden

– Selbststudium (einschl. Prüfungsvorbereitung)

– 75 h Präsenz

– 105 h Selbststudium

Inhalte

Das Modul vermittelt die fachübergreifende Sichtweise von evolutionären Prozessen auf den Gebieten Ökologie und Tierverhalten. Ziel des Moduls ist es, die grundlegenden Mechanismen der Evolution unabhängig von der Organismengruppe zu erkennen und die Auswirkungen auf die Musterbildung in unterschiedlichen Systemen zu verstehen. Im Oberseminar werden aktuelle Fragen aus den drei Fachgebieten Spezielle Zoologie, Spezielle Botanik und Ökologie diskutiert.


fachübergreifendes Verständnis evolutiver Prozesse; Zusammenhang zwischen evolutiven Mechanismen und Musterbildung; Verständnis für die enge Verbindung zwischen Evolution und Ökologie; Evolution des Tierverhaltens als adaptive Fitness-Optimierung; Vertiefung von aktuellen evolutionären Fragestellungen anhand von Originalarbeiten

Voraussetzungen für die Zulassung zur Modulprüfung

zwei Seminarvorträge

Voraussetzungen für die Vergabe von Leistungspunkten; Prüfungsformen

(Notengewichtung in %)

Klausur zur Vorlesung Evolutionäre Ökologie (40%); Beiträge zu den beiden Seminaren (je 30%)


165

4.4 Philosophie

Modulnummer LA-Phi 3.2

Modultitel Schwerpunkt I

Modul-Verantwortlicher HDoz. Dr. Klaus Vieweg


B.A. Mathematik: Das Modul wird im Rahmen der kapazitären Möglichkeiten geöffnet. Die Teilnehmerzahl der Tutorien ist beschränkt. B.A. Informatik: Das Modul wird im Rahmen der kapazitären Möglichkeiten geöffnet. Die Teilnehmerzahl der Tutorien ist beschränkt.



Häufigkeit des Angebots (Zyklus) jedes Semester



Vorlesung oder Seminar und Selbststudium




150 h 30 h 120 h

Inhalte

Das Modul gibt den Studierenden die Möglichkeit, eigene Schwerpunkte in den Bereichen theoretische und praktische Philosophie, Geschichte der Philosophie und fachübergreifende Themen der Philosophie zu setzen. Die bereits erworbenen Grundkenntnisse werden vertieft und erweitert. (Genauere Erläuterungen finden sich im Veranstaltungskommentar.)


Befähigung zur eigenständigen Problemerschließung; Erarbeitung eigener thematischer Schwerpunkte und Fragestellungen.


Regelmäßige Teilnahme; zusätzlich können vom Dozenten Referat, Protokoll, Essay o.ä. verlangt werden (wird zu Beginn des Seminars bekannt gegeben).

Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten (Prüfungsformen)

Klausur (90 Min., benotet) oder Essay (benotet) zur Vorlesung; Hausarbeit (10-15 Seiten, benotet) oder Klausur (90 Min., benotet) zum Seminar. (Prüfungsform wird zu Beginn der Lehrveranstaltung vom Dozenten bekannt gegeben.)

Empfohlene Literatur s. Veranstaltungskommentar


166

Modulnummer LA-Phi 3.3

Modultitel Schwerpunkt II

Modul-Verantwortlicher Prof. Dr. Birgit Sandkaulen


B.A. Mathematik: Das Modul wird im Rahmen der kapazitären Möglichkeiten geöffnet. Die Teilnehmerzahl der Tutorien ist beschränkt. B.A. Informatik: Das Modul wird im Rahmen der kapazitären Möglichkeiten geöffnet. Die Teilnehmerzahl der Tutorien ist beschränkt.



Häufigkeit des Angebots (Zyklus) jedes Semester



Seminar und Selbststudium




150 h 30 h 120 h

Inhalte

Das Modul gibt den Studierenden die Möglichkeit, eigene Schwerpunkte in den Bereichen theoretische und praktische Philosophie, Geschichte der Philosophie und fachübergreifende Themen der Philosophie zu setzen. Die bereits erworbenen Grundkenntnisse werden vertieft und erweitert. (Genauere Erläuterungen finden sich im Veranstaltungskommentar.)


Befähigung zur eigenständigen Problemerschließung; Erarbeitung eigener thematischer Schwerpunkte und Fragestellungen.


Regelmäßige Teilnahme; zusätzlich können vom Dozenten Referat, Protokoll, Essay o.ä. verlangt werden (wird zu Beginn des Seminars bekannt gegeben).

Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten (Prüfungsformen)

Abschlussprüfung durch Hausarbeit (10-15 Seiten, benotet) oder Klausur (90 Min., benotet). (Prüfungsform wird zu Beginn der Lehrveranstaltung vom Dozenten bekannt gegeben.)

Empfohlene Literatur s. Veranstaltungskommentar


167

4.5 Physik

Modulnummer 128.120

Modulbezeichnung Grundkurs Experimentalphysik II (Elektrodynamik, Optik)

Modulverantwortliche(r) Prof. Dr. R. Kowarschik

Dozent: Prof. C. Spielmann

Sprache: deutsch

Zuordnung zu den Studiengängen Pflichtmodul im 2. Semester für die Studiengänge BSc Physik, Lehramt im Fach Physik, Wahlmodul für Nebenfächler (Mathematik, Geowissenschaften u. a.).

Voraussetzung für den Modul Grundkurs Physik der Materie 1

Häufigkeit des Angebots (Zyklus) Sommer- und Wintersemester

Dauer des Moduls: 1 Semester

Lehrform / SWS: Vorlesung: 4 SWS

Übung: 2 SWS

Arbeitsaufwand (work load): Präsenzstunden: Vorlesung: 60, Übung: 30

Selbststudium: Nacharbeit (Vorlesung, Übung): 60

Lösen von Übungsaufgaben: 60

Prüfungsvorbereitung: 30

Gesamtarbeitsaufwand: 240 Stunden

Leistungspunkte (ECTS credits): 8

Voraussetzungen: Besuch des Moduls Grundkurs Experimentalphysik I: Mechanik/Wärmelehre

Lernziele / Kompetenzen: - Vermittlung der grundlegenden Begriffe, Phänomene und Konzepte der Elektrodynamik und Optik

- Entwicklung von Fähigkeiten zum selbständigen Lösen von Aufgaben aus diesen Gebieten

Inhalt: Elektrizität und Magnetismus Elektrostatik, Stationäre Ströme, Permanentmagnete Magnetfeld stationärer Ströme, Kraftwirkungen Elektromagnetische Induktion, Materie im Magnetfeld Maxwellsche Gleichungen, Wechselstrom Ladungstransportprozesse Optik Optisches Strahlungsfeld, Geometrische Optik Wellenoptik, Polarisation

Voraussetzungen für die Zulassung zur Modulprüfung (Prüfungsvorleistungen)

Regelmäßige Teilnahme an den Übungen und Abgabe der Übungsaufgaben (mindestens 80%)

Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten (Prüfungsform):

Semesterabschlussklausur 120 min Dauer

Medienformen: Medienunterstützte Vorlesung mit Hörsaalexperimenten und Übungen

Literatur: Lehrbücher der Experimentalphysik von Bergmann/Schaefer, Demtröder, Gerthsen, Halliday, Pohl, Tipler,


168

Modulnummer 128.130

Modulbezeichnung: Grundkurs Physik der Materie I (Atome, Kerne, Elementarteilchen)

Modulverantwortliche(r): Prof. Dr. P.Seidel

Dozent(in): Prof. W. Wesch

Sprache: Deutsch

Zuordnung zu den Studiengängen:

Wahlpflichtmodul für das Nebenfach Physik (im B.Sc.Informatik)

Wahlpflichtmodul für das Nebenfach Physik (im M.Sc.Informatik)

Lehrform (SWS): 2V+ 1Ü

Arbeitsaufwand:

- Präsenzstunden


120 Std.

45 Std.

75 Std. (Nacharbeit 30 Std., Lösen von Übungsaufgaben 30 Std., Prüfungsvorbereitung 15 Std.)

Dauer des Moduls: 1 Semester

Leistungspunkte 4

Voraussetzungen: Erfolgreicher Abschluss des Moduls Grundkurs Experimentalphysik II

Lernziele / Kompetenzen: - Vermittlung der grundlegenden Begriffe, Konzepte der Atom-, Kern- und Elementarteilchenphysik

- Entwicklung von Fähigkeiten zum selbstständigen Aufgaben aus diesen Gebieten

Inhalt: - Atomphysik

- Kernphysik

- Elementarteilchen


Übungsaufgaben, aktive Teilnahme an den Übungen, Kurzarbeiten.


Semesterabschlussklausur (30 bis 60 Minuten)

Medienformen: Medienunterstützte Vorlesung mit Hörsaalexperimenten und Übungen

Literatur: Lehrbücher der Experimentalphysik von Bergmann/Schaefer, Demtröder, Gerthsen, Halliday, Tipler


169

Modulnummer 128.180

Modulbezeichnung: Grundkurs Physik der Materie II (Festkörper)

Modulverantwortliche(r): Prof. Dr. Seidel

Dozent(in): Prof. Dr. Seidel

Sprache: deutsch

Zuordnung zu den Studiengängen Wahlpflichtmodul für das Nebenfach Physik (im M.Sc.Informatik)

Pflichtmodul für das Anwendungsfach Physik (im B.Sc. Angewandte Informatik)

Lehrform (SWS): 2V+ 1Ü

Arbeitsaufwand:

- Präsenzstunden


120 Std.

45 Std.

75 Std. (Nacharbeit 30 Std., Lösen von Übungsaufgaben 30 Std., Prüfungsvorbereitung 15 Std.)

Leistungspunkte: 4

Voraussetzungen Grundkurs Physik der Materie I (Atome)

Lernziele / Kompetenzen: - Vermittlung der grundlegenden Begriffe, Phänomene und

- Konzepte der Festkörperphysik

- Entwicklung von Fähigkeiten zum selbständigen Lösen von Aufgaben aus diesem Gebiet

Inhalt: - Kristallstruktur und deren Bestimmung,

- Phononen und Elektronen im Kristall,

- Bändermodell, Metalle, Halbleiter,

- Magnetismus, Supraleiter


Übungsaufgaben, aktive Teilnahme an den Übungen


Schriftliche Prüfung (120 Minuten)

Literatur: Lehrbücher der Theoretischen Physik: Jackson, Sommerfeld,

Landau/Lifschitz, Nolting, Greiner etc.


170

Modulnummer 128.160

Modulbezeichnung: Grundpraktikum Experimentalphysik II (GP2)

Semester: 2. Semester

Modulverantwortliche(r): Prof. Dr. C. Spielmann

Dozent(in): Priv.Doz. Dr. H.G.Walther

Sprache: Deutsch

Zuordnung zu den Studiengängen

Pflichtkurs für die Studiengänge BSc Physik, Physik-Lehramt und Geophysik

Voraussetzung für den Modul GP3

Lehrform / SWS: Praktikum, 4 SWS

Arbeitsaufwand: Präsenzstunden: 48 Praktikum

Selbststudium: 36 Vorbereitung (Versuch)

36 Nacharbeit (Protokoll)


Leistungspunkte: 4

Voraussetzungen: Abgeschlossene Teilnahme am Modul Grundkurs Experimentalphysik I „Mechanik, Wärmelehre"

Teilnahme am Modul Grundkurs Experimentalphysik II „Elektrodynamik/Optik "

Lernziele / Kompetenzen: Die Studenten besitzen die in den Versuchsanleitungen aufgeführten physikalischen Grundkenntnisse.

Die Studenten kennen wichtige physikalische Messprinzipien.

Die Studenten sind in der Lage, komplexere physikalische Messaufgaben zur Mechanik, Elektrotechnik, Optik und Wärmelehre selbstständig durchzuführen und zu protokollieren.

Die Studenten sind in der Lage, die auftretenden Messabweichungen zu bestimmen und deren Einfluss auf das Endergebnis abzuschätzen.

Inhalt: Wärmelehre, Elektrophysik, Optik


11 Praktikumsversuche mit Protokoll

1 Hausversuch zur Fehlerrechnung


mündliche Prüfungen über je 20 Minuten (mindestens 3)

Akzeptanzbewertung der Praktikumsprotokolle

Medienformen: Einführungsvorlesung (2 h)

Experimente (teilweise PC-unterstützt)

Literatur: „Versuchsanleitungen zum Physikalisches Grundpraktikum für Studenten der Physik“ (auf Homepage)

„Das Neue Physikalische Grundpraktikum“, Eichler, Kronfeldt, Sahm (Springer 2001)

„Physikalisches Praktikum“, Hrg. Geschke (Teubner 2001)

„Fehleranalyse“, J.R.Taylor, VCH 1988

„Messung beendet - was nun?“, H.Gränicher, Teubner 1994


171

Modulnummer 128.210

Modulbezeichnung: Theoretische Mechanik

Modulverantwortliche(r): Prof. Dr. R. Meinel

Dozent(in): Prof. Dr. F. Lederer im WS 2008/09

Sprache: Deutsch

Zuordnung zu den Studiengängen Pflichtmodul für die Studiengänge BSc Physik (im 2. Semester), Lehramt im Fach Physik, Nebenfächler (Mathematik, Geowissenschaften u.a.). Voraussetzung für Modul Elektrodynamik

Häufigkeit des Angebots (Zyklus) Sommer- und Wintersemester


Lehrform / SWS: Vorlesung: 4 SWS

Übung: 2 SWS

Arbeitsaufwand (work load): Präsenzstunden: Vorlesung: 60, Übung: 30

Selbststudium: Nacharbeit (Vorlesung, Übung): 60 Lösen von Übungsaufgaben: 60 Prüfungsvorbereitung: 30


Leistungspunkte (ECTS credits): 8

Voraussetzungen: Stoff der Module Mathematische Methoden der Physik, Analysis I und Lineare Algebra

Lernziele / Kompetenzen: Vermittlung der Grundlagen und Methoden der klassischen Mechanik

Entwicklung von Fähigkeiten zum selbständigen Lösen von Aufgaben aus diesem Gebiet

Inhalt: Mechanik eines Massenpunktes Massenpunktsysteme d'Alembertsches Prinzip Lagrangegleichungen 1. und 2. Art Hamiltonsches Prinzip Starrer Körper und Kreiseltheorie Hamiltonsche Formulierung Einführung in die spezielle Relativitätstheorie


Regelmäßige Teilnahme an den Übungen und Bearbeitung der Übungsaufgaben


Semesterabschlussklausur 120 min Dauer

Medienformen: Tafelvorlesung mit Übungen

Literatur: Lehrbücher der theoretischen Physik von z.B. Sommerfeld, Landau/Lifschitz, Scheck; Budó: Theoretische Mechanik; Stephani/Kluge: Theoretische Mechanik


172

4.6 Psychologie Modulnummer PsyN-WP4.1

Modultitel Arbeits-, Betriebs- und Organisationspsychologie

Modul-Verantwortlicher Prof. Dr. R. Trimpop

Voraussetzung f. d. Zulassung zum Modul -

Verwendbarkeit des Moduls --


Wahlpflichtmodul

Häufigkeit des Angebots (Zyklus) Jährlich


Zusammensetzung des Moduls/Lehrformen 2 Vorlesungen (2 SWS), 1 Seminar (2 SWS)


Arbeitsaufwand in h 300h, davon 90h Präsenzzeit und 210h Selbststudium (einschließlich Prüfungsvorbereitung) – der zeitliche Umfang des Selbststudiums ist gegenüber dem analogen Modul im B.Sc. Psychologie um 30 Stunden erhöht.

Inhalte

Vorlesungen und Seminare vermitteln die folgenden Inhalte in Grundzügen: Unternehmenskultur, Historische Entwicklung, Belastung, Beanspruchung, Stress und Mobbing, Risikoverhalten, Fehler und Fehlhandlungen, Arbeitsanalyseverfahren, Arbeitsgestaltung, Mensch-Maschine Interaktion/Ergonomie, Sicherheit und Gesundheit, Arbeitsmotivation und Arbeitszufriedenheit, Arbeitswerte und Einstellungen, Führung und Steuerung, Qualität- und Produktivität, Personaldiagnose, -auswahl und -entwicklung, Teamarbeit- und Teamentwicklung, Arbeitszeit, Be-/Entlohnung, Beurteilung, Organisationsmodelle, -diagnose, -entwicklung, Arbeitslosigkeit, Neue Arbeitsformen, Die Zukunft der Arbeit, Mobilität, Transport und Verkehr, Arbeit/Freizeit/Familie


Die Studierenden lernen in dem Modul: Grundlagen der Arbeits-, Betriebs- und Organisationspsychologie; Theorien, Konzepte und Studien aus dem organisationalen Arbeitsleben sowie deren kritische Interpretation; Analyse organisationaler Prozesse und deren Bedeutung und Auswirkung im gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Leben; Übertragung der theoretischen Grundkenntnisse in Anwendungsbeispiele zur Intervention im Arbeits- und Organisationsleben; Recherche und Präsentation von wissenschaftlichen Erkenntnissen in schriftlicher und mündlicher Form vor wissenschaftlichen und organisationalen Gremien; Wechselwirkungen und Synergien aus Arbeitsgestaltung, Organisation, Freizeit, Mobilität, Familie und Gesundheit werden verdeutlicht.


Unbenotete schriftliche Ausarbeitung mit Referat im Seminar.


1Fallklausur zu den Inhalten des Moduls (100%)


173

Modulnummer PsyN-WP4.2

Modultitel Biologische und Klinische Psychologie

Modul-Verantwortlicher Prof. Dr. W. Miltner




Wahlpflichtmodul



Zusammensetzung des Moduls/Lehrformen 3 Vorlesungen (2 SWS): 1 Vorlesung Biologische Psychologie 1 Vorlesung Klinische Psychologie I 1 Vorlesung Klinische Psychologie II


Arbeitsaufwand in h 300h, davon 90h Präsenzzeit und 210h Selbststudium (einschließlich Prüfungsvorbereitung)

Inhalte

In der Vorlesung Biologische Psychologie werden neurobiologische Grundlagen der Psychologie vermittelt. Dabei werden vorbereitend für die Vorlesungen in Klinischer Psychologie die Grundlagen der neuronalen Erregung, die funktionelle Anatomie des ZNS, der allgemeine Aktivitätszustand, Lernen und Gedächtnis, Wahrnehmung, Sprache, Stress und dessen Verbindung zu den unterschiedlichen Systemen, Emotion und Motivation sowie neuropsychologische Themen behandelt. In beiden Vorlesungen Klinische Psychologie werden die wichtigsten epidemiologischen, symptomatologischen, biologischen, psychologischen, soziologischen, diagnostischen und interventionellen Grundlagen der bedeutendsten klinisch-psychologischen Störungsbilder nach ICD10 bzw. DSM IV-R vorgestellt.


Die Studierenden erwerben Kenntnisse über Prinzipien des Nervensystems und die wichtigsten biopsychosozialen Grundlagen der häufigsten psychischen Störungen. Sie sind in der Lage, Forschungsergebnisse in diesem Inhaltsbereich zu bewerten.


Regelmäßige Teilnahme an den Vorlesungen


1 Klausur zu den Inhalten des Moduls (100%)


174


Modultitel Intervention und Evaluation

Modul-Verantwortliche Prof. A. Beelmann


-



Wahlpflichtmodul



Zusammensetzung des Moduls/Lehrformen 3 Vorlesungen


Arbeitsaufwand in h 300h, davon 90h Präsenzzeit und 270h Selbststudium (einschließlich Prüfungsvorbereitung)

Inhalte

Die beiden Vorlesungen zur Intervention befassen sich mit verschiedenen Formen der psychologischen Intervention bei Erwachsenen (Prof. Stangier) und Kindern/Jugendlichen (Prof. Beelmann). Dabei werden sowohl die verschiedenen Interventionsansätze (Prävention, Beratung, Psychotherapie, Krisenintervention, Rehabilitation) mit ihren theoretischen Grundlagen vorgestellt als auch unterschiedliche Anwendungsbereiche hinsichtlich spezifischer Interventionskonzepte behandelt. Die Vorlesung Evaluation führt in die Grundlagen sozialwissenschaftlicher Evaluationsforschung ein (Definition und Modelle der Evaluation; Fragestellungen und Konzepte der Evaluation; Methoden und Probleme der Evaluation sozialwissenschaftlicher Programme; Grundlegende Designs und systematische Validitätskonzepte; Spezielle Auswertungs- und Bewertungsverfahren; Einführung in die Meta-Evaluation/Meta-Analyse).


Intervention: Die Studierenden sollen grundlegende Kenntnisse zu verschiedenen psychologischen Interventionsformen erlernen, einen Einblick in wichtige Anwendungsbereiche psychologischer Praxistätigkeit bekommen und das dazu notwendige wissenschaftliche Grundwissen erwerben. Evaluation: Die Studierenden sollen grundlegende Methoden und Konzepte sozialwissenschaftlicher Evaluationsforschung erlernen. Sie sollen zugleich in die Lage versetzt werden, evaluative Fragestellungen in der Praxis auf Basis einer wissenschaftlichen Evaluationsmethodik zu bearbeiten.


Regelmäßige Teilnahme an den drei Vorlesungen.




175


Modultitel Kommunikations- und Medienpsychologie

Modul-Verantwortlicher Prof. Dr. W. Frindte

Voraussetzungen f. d. Zulassung zum Modul --


Art des Moduls Wahlpflichtmodul

Häufigkeit des Angebots Jährlich

Dauer des Modulabschnitts 2 Semester

Zusammensetzung des Moduls/Lehrformen 1 Vorlesung (1 SWS pro Semester) 1 Seminar (2 SWS)

Leistungspunkte (ECTS Credits) 10 LP

Arbeitsaufwand in h: 300h, davon 90h Präsenzzeit und 210h Selbststudium (einschließlich Prüfungsvorbereitung)

Inhalte Vorlesung: Kommunikations- und Medienpsychologie

Einführung in die Kommunikationspsychologie

Einführung in die Medienpsychologie Seminare: Kommunikations- und Medienpsychologie (Auswahl von 1 Seminar in Anlehnung an die Vorlesung):

Kommunikationspsychologie

Kommunikationspsychologische Grundkompetenzen

Medienpsychologie

Medienpsychologische Grundkompetenzen

Lern- und Qualifikationsziele In der Vorlesung werden die theoretischen und methodischen Grundlagen der Kommunikations- und Medienpsychologie dargestellt, unterschiedliche Formen und Pathologien zwischenmenschlicher Kommunikation behandelt, wichtige psychologische Aspekte der interkulturellen Kommunikation herausgearbeitet und ausgewählte Formen der Mediennutzung und Medienwirkung vorgestellt. Im Seminar sollen die Studierenden kommunikations- und medienpsychologische Grundkompetenzen erlernen (Gesprächsführung, Rhetorik, Nonverbale Kommunikation, Moderation von Gruppen- und Intergruppenkommunikation) und die Auswahl, Nutzung, Gestaltung und Bewertung von Medieninhalten in Organisationen, in der Werbung und in der Bildung kennen lernen.


1. Regelmäßige Teilnahme an der Vorlesung und in einem Seminar. 2. In dem Seminar ein Referat mit schriftlicher Ausarbeitung

Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten einschließlich Notengewichtung in %

1 Klausur über die Inhalte des Moduls (100%)


176


Modultitel Pädagogische Psychologie

Modul-Verantwortlicher Prof. Dr. P. Noack


Verwendbarkeit des Moduls -


Wahlpflichtmodul



Zusammensetzung des Moduls/Lehrformen 2 Vorlesungen (je 2 SWS), 1 Seminar (2 SWS)


Arbeitsaufwand in h 300h, davon 90h Präsenzzeit und 210h Selbststudium (einschließlich Prüfungsvorbereitung) – der zeitliche Umfang des Selbststudiums ist gegenüber dem analogen Modul im B.Sc. Psychologie um 30 Stunden erhöht.

Inhalte

Die Vorlesungen führen in Gegenstand, Denkweisen und Untersuchungsstrategien des Fachs ein und geben einen Überblick zu theoretischen Überlegungen und empirischen Befunden aus den beiden zentralen Feldern Lernen in institutionellen Kontexten (mit einem besonderen Fokus auf Schule), Erziehung und Sozialisation in der Familie. Das Seminar dient der vertieften Auseinandersetzung mit einem ausgewählten Ausschnitt des Stoffs einer der Vorlesungen (Wahlmöglichkeit zwischen Parallelseminaren).


Die Studierenden lernen in dem Modul: Grundlagen der Pädagogischen Psychologie; Theorien, Konzepte und Studien zu Lehren und Lernen in institutionellen Kontexten und Sozialisation in interpersonalen, speziell familialen Beziehungen sowie deren kritische Interpretation; Übertragung der theoretischen und empirischen Grundkenntnisse auf das Handeln in Anwendungsfeldern; Recherche und Präsentation von wissenschaftlichen Erkenntnissen in schriftlicher und mündlicher Form.


Aktive Teilnahme am Seminar, die in Abhängigkeit von dessen Gestaltung ein Referat, eine Sitzungsmoderation, eine Feldrecherche o.ä. einschließt.




177

4.7 Wirtschaftswissenschaften

Siehe Bachelor-Modulkatalog.

5. Allgemeine Schlüsselqualifikationen Siehe Bachelor-Studiengang und ASQ-Katalog der Universität


178

6. Master-Arbeit

Modultitel (deutsch) Master-Arbeit

Modultitel (englisch) Master Thesis



Pflichtmodul für den M.Sc. Mathematik

Pflichtmodul für den M.Sc. Wirtschaftsmathematik

Modul-Verantwortlicher Betreuer der Master-Arbeit entsprechend Prüfungsordnung §20(3)



- Präsenzstunden


900 Std.

Lehrform (SWS) Abschlussarbeit


ständig

Dauer des Moduls sechs Monate


75 LP gemäß Regelstudienplan, vgl. Prüfungsordnung §18(2)


keine


k.A.


schriftliche Ausarbeitung, zwei positive Gutachten

Kolloquium (30 Minuten Präsentation und anschließende Verteidigung)

Inhalte Der Inhalt, insbesondere die Beschreibung der zu lösenden Aufgabe wird bei der Ausgabe des Themas festgelegt (vgl. Prüfungsordnung §20(3,4)).

Thema und Aufgabenstellung müssen so beschaffen sein, dass die zur Bearbeitung vorgegebene Frist eingehalten werden kann und die mit der Master-Arbeit verbundene Arbeitsbelastung des Studierenden 900 h nicht überschreitet.

(Qualifikations-)Ziele Mit der Master-Arbeit sollen die Studierenden nachweisen, dass sie in der Lage sind, innerhalb einer vorgegebenen Frist ein anspruchsvolles Problem selbstständig wissenschaftlich zu bearbeiten und wissenschaftlichen Standards entsprechend darzustellen. Sie haben Erfahrungen in der Entwicklung von Lösungsstrategien und in der Dokumentation ihres Vorgehens. Außerdem haben sie in einem speziellen Forschungsgebiet der Mathematik bzw. Wirtschaftsmathematik vertiefende praktische Erfahrungen gesammelt. Die in der Master-Arbeit erlernten Arbeitstechniken können auch für eine möglicherweise anschließende Promotion hilfreich sein.

Modulkatalog Master of Science Mathematik (120 LP)

Documents

Transcript of Modulkatalog Master of Science Mathematik (120 LP)