Mortalitätsanalyse (ehemals: Allgemeine Demographie III) · 20 Gamma-Gompertz-Hazards zi e x mit =...
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Mortalitätsanalyse(ehemals: Allgemeine Demographie III)
ROLAND RAU
Universität Rostock, Wintersemester 2013/2014
07. Januar 2014
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Vergangene & Heutige Veranstaltung
Vergangene Veranstaltungen:parametrische SterblichkeitsmodelleHöchstaltrigensterblichkeitSchätzung von klassischen parametrischenSterblichkeitsmodellenBrass-Logit-Modell
Heutige Veranstaltung:
“Deceleration” der SterblichkeitLife-Table Aging Rate “LAR”Variabilität im SterbealterGeschlechtsspezifische Unterschiede in der Sterblichkeit
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Gompertz(-Makeham)-Modelle überschätzen dieSterblichkeit in den höchsten Altersstufen
Alter x
m(x
) (lo
g 10−
Ska
la)
40 50 60 70 80 90 100 110
0.00
10.
010.
11
BeobachtetGeschätzt
Gompertz' Mortalitätsgesetz, angewendet auf Männer im Alter 40−110 in Japan
Parameter alpha: 0.00003 Parameter beta: 0.09727© Roland Rau Mortalitätsanalyse 3 / 38
Schätzung üblicherweise mittels:
Logistisches Modell / Kannisto-Modell:
µ(x) =αeβx
1 + αeβx + γ
Qualitätsmerkmalemöglichst wenig Parameter. Vhohe Anpassung an die Originaldaten. Vgute inhaltliche Interpretation der einzelnen Parameter. V
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Problem: Höchste Altersstufen
Alter x
m(x
) (lo
g 10−
Ska
la)
40 50 60 70 80 90 100 110
0.00
10.
010.
11
BeobachtetGeschätzt GompertzGeschätzt Logistisch
Gompertz' Mortalitätsgesetz, angewendet auf Männer im Alter 40−110 in Japan
Parameter alpha: 0.00001 Parameter beta: 0.10880 Parameter gamma: 0.00096
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Wodurch könnte diese “Deceleration” verursacht werden?
DatenproblemeEchte “Verlangsamung”Kompositionseffekte
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Kompositioneffekte, Deceleration, Frailty
Erstmalig in die Demographie eingeführt vonJames W. Vaupel, Kenneth G. Manton, Eric Stallard (1979):The Impact of Heterogeneity in Individual Frailty on the Dynamics of MortalityDemography, Vol. 16, No. 3 (Aug., 1979), pp. 439–454http://www.jstor.org/stable/2061224
Etwas leichter verständlich:Vaupel, James W. and Yashin, Anatoli I. (1985):Heterogeneity’s ruses: Some Surprising Effects of Selection on PopulationDynamicsThe American Statistician, Vol 39, No. 3, pp. 176–185http://www.jstor.org/stable/2683925
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Kompositioneffekte, Deceleration, Frailty
Grundsätzliche Idee: Nicht alle Menschen haben dasselbe Sterberisiko.
Sie unterscheiden sich durch einen “frailty term” z
Typische Form: multiplikative Verknp̈fung.
µi(x, z) = zi · µ0(x)
In einer Vielzahl von Artikeln — wie auch in Vaupel et al. (1979) — wirdangenommen, dass µ0(x) einer Gompertz- (oder Gompertz-Makeham-)Verteilung folgt und zi einer Γ -Verteilung mit einem Mittelwert von einszu Beginn.
Vaupel and Yashin (1985) erläutern die grundsätzliche Idee anhand von(diskreten) Zwei-Punkt-Verteilungen
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0 1 2 3 4 5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
z
Dic
hte
von
z
Gamma−Verteilungen mit einem Mittelwert von eins und unterschiedlicher Varianz
σ2=0.02σ2=0.10σ2=0.20σ2=0.50σ2=1.00
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20 Gamma-Gompertz-Hazards ziαeβx mit α = 0.0001, β = 0.1 und 20 zufälligen zi-Werten, die einer Γ -Verteilung
mit einem Mittelwert von 1 und einer Varianz von σ2 = 0.2 entstammen.
0 20 40 60 80 100
−4
−3
−2
−1
0
Alter x
z iαe
βxi
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Age
log
of fo
rce
of m
orta
lity
80 90 100 110
0.01
0.1
1
Age
log
of fo
rce
of m
orta
lity
80 90 100 110
0.01
0.1
0.5
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Diese “Heterogeneity”-Hypothese ist natürlich nur eine vondrei Möglichkeiten zur Erklärung der “Deceleration”.Doch welche ist nun korrekt?Können wir testen, ob die “Heterogeneity”-Hypothese(zumindest zum Teil) korrekt ist?
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Diese “Heterogeneity”-Hypothese ist natürlich nur eine von dreiMöglichkeiten zur Erklärung der “Deceleration”.
Doch welche ist nun korrekt?
Können wir testen, ob die “Heterogeneity”-Hypothese (zumindest zumTeil) korrekt ist?
Idee: Sofern die Hypothese richtig ist, sollten wir über die(Kalender-)Zeit hinweg eine Verschiebung der Deceleration in immerhöhere Altersstufen beobachten. Warum?
Wie wollen wir dies messen?
⇒ Life-Table Aging Rate k(x)eingeführt von Horiuchi and Coale (1990), bisweilen abkeürzt als “LAR”.
k(x) =∂µ(x)∂x
x=∂ lnµ(x)x∂x
Empirisch gemessen durch:
k(x)∗ = ln m(x) − ln m(x − 1)
üblicherweise nach Glättung von m(x)
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LAR, Schweden, Frauen, 2000
60 70 80 90 100
0.08
0.10
0.12
0.14
Alter x
k(x)
Quelle: Daten Human Mortality Database; Glättung m(x) mittels P-Splines (Camarda, 2012; Eilers and Marx, 1996)
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LAR, Schweden, Frauen, 2000 & 1980
60 70 80 90 100
0.08
0.10
0.12
0.14
Alter x
k(x)
Quelle: Daten Human Mortality Database; Glättung m(x) mittels P-Splines (Camarda, 2012; Eilers and Marx, 1996)
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LAR, Schweden, Frauen, 1950–2011
60 70 80 90 100
0.08
0.10
0.12
0.14
Alter x
k(x)
19502011
Quelle: Daten Human Mortality Database; Glättung m(x) mittels P-Splines (Camarda, 2012; Eilers and Marx, 1996)
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Diese “Heterogeneity”-Hypothese ist natürlich nur eine von dreiMöglichkeiten zur Erklärung der “Deceleration”.
Doch welche ist nun korrekt?
Können wir testen, ob die “Heterogeneity”-Hypothese (zumindest zumTeil) korrekt ist?
Idee: Sofern die Hypothese richtig ist, sollten wir über die(Kalender-)Zeit hinweg eine Verschiebung der Deceleration in immerhöhere Altersstufen beobachten. Warum?
Wie wollen wir dies messen?
⇒ Life-Table Aging Rate k(x)eingeführt von Horiuchi and Coale (1990), bisweilen abkeürzt als “LAR”.
⇒ Empirische Überprüfung liefert keinen Nachweis für dieFalsifizierung der Hypothese.
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Ungleichheiten im Sterbealter
http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/apps/dxSweden/
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Ungleichheiten im Sterbealter
http://demo07.wiwi.uni-rostock.de/apps/lxSweden/
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Ungleichheiten im Sterbealter
Es gibt einen klaren Trend hin zu einer“Rektangularisierung”Doch wie soll man diese messen — insbesondere, umeinen Trend über die Zeit hinweg festzustellen (odernatürlich auch zwischen unterschiedlichenBevölkerungen)?
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Ungleichheiten im Sterbealter
Einfache Idee: Die Standardabweichung der Sterbealter “σ0”(siehe z.B. Tuljapurkar and Edwards (2005) für dieses undverwandte Maße)
σ0(x) =√
Var(x) =
√√√√ 1n − 1
n∑i=1
(xi − x̄)2
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Ungleichheiten im Sterbealter
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1750 1800 1850 1900 1950 2000
1520
2530
Jahr
σ 0
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Problem: stark von Säuglings- und Kindersterblichkeitbeeinflusst. Daher häufig erst ab Alter 10. Tuljapurkar andEdwards (2005) nennen dieses Maß: S10
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Ungleichheiten im Sterbealter
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1750 1800 1850 1900 1950 2000
1214
1618
2022
24
Jahr
S10
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Wilmoth and Horiuchi (1999) schlagen die sogenannte“Interquartile-Range” vor, also die Distanz zwischen demdritten und dem ersten Quartil.
0 20 40 60 80 100
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Alter
Dic
hte
IQR
Schweden 2000
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1750 1800 1850 1900 1950 2000
2030
4050
6070
Jahr
IQR
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James W. Vaupel hat in verschiedenen Publikationen den Werte† vorgeschlagen (z.B. Vaupel and Canudas-Romo, 2003,2007; Vaupel et al., 2011; Zhang and Vaupel, 2009a)Er ist definiert als:
e† =
ω∫0
e0(a, t)f (a, t)da
Erkennt jemand, was damit also gemessen wird?
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James W. Vaupel hat in verschiedenen Publikationen den Werte† vorgeschlagen (z.B. Vaupel and Canudas-Romo, 2003,2007; Vaupel et al., 2011; Zhang and Vaupel, 2009a)Er ist definiert als:
e† =
ω∫0
e0(a, t)f (a, t)da
Erkennt jemand, was damit also gemessen wird?
Es handelt sich um die durchschnittliche Anzahl an verlorenenLebensjahren. Ein Wert von 20 für e† bedeutet also, dass jederdurchschnittlich 20 Jahre vor seiner oder ihrer Zeit gestorbenist.
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1750 1800 1850 1900 1950 2000
1015
2025
Jahr
e−da
gger
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Der Zusammenhang zwischen der Lebenserwartung und e†
(Länder der HMD im Jahr 2000; beide Geschlechter gemeinsam)
65 70 75 80
910
1112
1314
1516
e0
e−da
gger
AUSAUT
BEL
BGR
BLR
CAN
CHE
CHL
CZEDEU
DNK
ESP
EST
FIN
FRA
FRG
GBRGDR
HUN
IRL
ISL
ISR
ITAJPN
LTU
LUX
LVA
NLDNOR
NZL
NZM
NZN
POL
PRT
RUS
SVK
SVN
SWE
TWN
UKR
USA
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Mehr zum Thema Lebenserwartung und e† findet man in:Vaupel, J. W., Z. Zhang, und A. A. van Raalte (2011).Life expectancy and disparity: an international comparison oflife table data.BMJ Open 1(1), 1–6.http://bmjopen.bmj.com/content/1/1/e000128.full
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Einen anderen Weg wählte Lloyd Demetrius (1974). Er definierte “Life TableEntropy H” als:
H = −
∞∫0
l(x)log(l(x))dx
∞∫0
l(x)dx+ log e(0)
Doch wie Vaupel (1986) bewiesen hat, ist dies nichts anderes als
H =e†
e0
(siehe auch Zhang and Vaupel (2009b)).Es handelt sich dabei also nur um eine Normierung von e† auf dieLebenserwartung bei Geburt.⇒ Gibt es einen Minimalwert für H?
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Literatur I
Camarda, C. G. (2012). Smoothing and forecasting Poisson counts with P-splines.Technical report, Package ’MortalitySmooth’.
Demetrius, L. (1974). Demographic Parameters and Natural Selection. Proceedings ofthe National Academy of Sciences of the United States of America 71, 4645–4647.
Eilers, P. H. C. and B. D. Marx (1996). Flexible Smoothing with B-splines and Penalties.Statistical Science 11(2), 89–102.
Horiuchi, S. and A. J. Coale (1990). Age patterns of mortality for older women: Ananalysis using the age-specific rate of mortality change with age. MathematicalPopulation Studies 2(4), 245–267.
Tuljapurkar, S. and R. Edwards (2005). Inequality in life spans and a new perspectiveon mortality convergence across industrialized countries. Population andDevelopment Review 31(4), 645–674.
Vaupel, J. W. (1986). How Change in Age-Specific Mortality Affects Life Expectancy.Population Studies 40, 147–157.
Vaupel, J. W. and V. Canudas-Romo (2003). Decomposing Change in Life Expectancy:A Bouquet of Formulas in Honor of Nathan Keyfitz’s 90th Birthday. Demography 40,201–216.
Vaupel, J. W. and V. Canudas-Romo (2007). Analysis of Population Changes andDifferences. Methods for Demographers, Statisticians, Biologists, Epidemiologists,and Reliability Engineers. Konrad Zuse Str. 1, D–18057 Rostock, Germany: MaxPlanck Institute for Demographic Research, Rostock, Germany.
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Literatur II
Vaupel, J. W., K. G. Manton, and E. Stallard (1979). The impact of heterogeneity inindividual frailty on the dynamics of mortality. Demography 16, 439–454.
Vaupel, J. W. and A. I. Yashin (1985). Heterogeneity’s ruses: Some surprising effectsof selection on population dynamics. The American Statistician 39(3), 176–185.
Vaupel, J. W., Z. Zhang, and A. A. van Raalte (2011). Life expectancy and disparity: aninternational comparison of life table data. BMJ Open 1(1), 1–6.
Wilmoth, J. R. and S. Horiuchi (1999). Rectangularization Revisited: Variability of Ageat Death Within Human Populations. Demography 36(4), 475–495.
Zhang, Z. and J. W. Vaupel (2009a). The age separating early deaths from late deaths.Demographic Research 20(21), 721–730.
Zhang, Z. and J. W. Vaupel (2009b). The age separating early deaths from late deaths.Demographic Research 20, 721–730.
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Sprechstunde im WS 2013/2014: Mittwochs, 09:00–10:00(und nach Vereinbarung)
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