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NM

Numerical

Modelling GmbH

Bönirainstrasse 12

CH-8800 Thalwil

tel. +41 (0)44 720 13 30

fax. +41 (0)44 720 13 02

www.nmtec.ch

[email protected]

Näherungssensoren

Guido Schmid

19. Juni 2014

NM Numerical Modelling GmbH / Bönirainstrasse 12 / CH-8800 Thalwil www.nmtec.ch

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Näherungsschalter – Typen

• Näherungssensoren/-schalter erkennen das Vorhandensein von Objekten in ihrer Umgebung.

• Begriffe

– Näherungssensor: Analoges Signal mit Abstandsinformation

– Näherungsschalter: Digitales Signal bei Unterschreitung des Schaltabstandes

• Typen

– Ultraschall

• Teuer, detektieren fast alle Materialien, Temperaturprobleme, nicht geeignet für Sicherheitsanwendungen.

– Photoelektrisch

• Detektieren fast alle Materialien (nicht durchsichtig oder spiegelnd), hohe Schaltabstände.

– Kapazitiv

• Detektieren metallische und teilweise auch nicht-metallische Materialien. Detektion durch Trennwände möglich (z.B. Füllstandsanzeige).

– Induktiv

• Preisgünstig, detektieren elektrisch leitfähige Objekte, schmutzunempfindlich, eher geringe Schaltabstände.


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Näherungsschalter – Beispiele

• Aussehen

– Bündiger oder nicht-bündiger Einbau

• Steuerung von Industrieanlagen – Berührungslos, verschleissfrei, schmutzunempfindlich

Bilder: www.ifm.com


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Induktive Näherungsschalter – Funktionsweise

• Anregung

– LC-Schwingkreis

• Spule erzeugt Magnetfeld mit Frequenz 𝝎

• 𝛁 × 𝑯 = 𝒋 (Ampere-Gesetz)

– Puls

• Auswertung der Systemantwort auf den Puls

• Induktion von Wirbelströmen im Target

– 𝛁 × 𝑬 = −𝑩 (Induktionsgesetz)

– Energie stammt vom Schwingkreis (Bedämpfung)

• Schalter: Z.B. Anschwingen des LC-Schwingkreises

abhängig von der Bedämpfung

• Schematisch

– Spule (erzeugt das B-Feld)

– Kern (Verstärkung, grosses 𝜇, nicht-leitfähig)

– Gehäuse (Gewinde, Abschirmung, Ganzmetall oder mit Kappe)

– Target (Metall)

www.salon24.pl

www.proximityswitch.co.in


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Induktive Näherungsschalter – Schwierigkeiten

• Nutzsignal oft sehr klein

– Entsprechend sind Simulationen notwendig, die zumindest die Impedanzdifferenzen Δ𝑍

(für verschiedene Targetdistanzen) sehr genau (im Bereich von 10−3 ∙ 𝑍 bis 10−4 ∙ 𝑍)

wiedergeben.

• Induktionseffekte abhängig vom Targetmaterial – Aufbau oft komplizierter

• Z.B. mehrere Spulen als Differentialtransformator

zur Elimination von Targetmaterialabhängigkeit

• Temperaturabhängigkeit insb. des Spulenwiderstandes

– Die zugelassene Arbeitstemperatur ist oft eingeschränkt

• Induktion umgebungsabhängig

– Z.B. hilft ein kontrollierter Verlauf des Magnetfeldes

(Abschirmung)

www.ia.omron.com


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Modellierung – Gleichungen

• Maxwell Gleichungen 𝛻 ∙ 𝐷 = 𝜌 𝛻 × 𝐸 = −𝜕𝑡𝐵 𝛻 ∙ 𝐵 = 0 𝛻 × 𝐻 = 𝑗 + 𝜕𝑡𝐷

• Kapazitive Effekte – Im typischen Frequenzbereich sehr klein (Resonanz ~10𝑀ℎ𝑧, Betrieb ~1𝑀ℎ𝑧)

– V.a. zwischen den Windungen der Spule (Effekt des Targets noch kleiner)

– V.a. Impedanzunterschiede für verschiedene Targetabstände interessant (kaum abhängig von kapazitiven Effekten mit Target)

– Vernachlässigen Keine Ladung (𝜌 = 0), bzw. approximative a posteriori Berücksichtigung

• Lineares Material – Zusätzliche externe Stromquelle 𝑗0 (mit 𝛻 ∙ 𝑗0 = 0, ohne E-Feld zur Erzeugung von 𝑗0)

𝐷 = 𝜖𝐸, 𝐵 = 𝜇𝐻, 𝑗 = 𝜎𝐸 + 𝑗0

• Harmonisch (Fourier-Transformation)

– Verschiebungsstrom EM Wellen (2. Ableitung in der Zeit)

• Problematisch bei zeitabhängiger Simulation

• Unproblematisch bei harmonischer (konstante Frequenz 𝜔) Rechnung (Zusatzterm zu 𝑗)

𝛻 ∙ 𝐷 = 0 𝛻 × 𝐸 = −𝑖𝜔𝐵 𝛻 ∙ 𝐵 = 0 𝛻 × 𝐻 = 𝑗 + 𝑖𝜔𝐷

• Simulation mit FE (via Vektorpotential 𝐴 und skalarem Potential 𝜙)


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Modellierung – Geometrie

• Axialsymmetrie

– Näherungsschalter sind oft (fast) axialsymmetrisch aufgebaut

– 𝑗 und E-Feld nur entlang 𝜙-Achse

– Skalares Potential 𝜙 = 0

– B-Feld nur in-plane

– nur eine Komponente 𝐴𝑧

• Abweichungen von Axialsymmetrie

– (Wenn überhaupt) a posteriori approximativ berücksichtigen

– Potentialdifferenz zwischen Windungen (𝜙 ≠ 0) als Randbedingung für in-plane E-Feld

– Entspricht kapazitiven Effekten zwischen Spulenwindungen

• Alternativer Lösungsweg

– In einem Schritt als System mit Nebenbedingungen für 𝐴𝑧 und 𝜙 (Lagrange Multiplikatoren)


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Simulation – Windungen aufgelöst

• 𝒏 × 𝒏 Admittanzmatrix – Eine Simulationen pro Windung mit externem Strom

𝑗0 =𝑈0

2𝜋𝑥𝜎

– Beitrag zur Admittanzmatrix ist

Z𝑙𝑘−1 = 𝑌𝑙𝑘 = 𝑗 ∙ 𝑑𝐴

𝑊𝑖𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔𝑘

∙1

𝑈0

– Durch Serieschaltung der Windungen erhält man die Impedanz 𝑍 = 𝑍𝑙𝑘𝑙,𝑘

– Berechnung der selbstkonsistenten Felder (jede Windung mit vorgegebenem Gesamtstrom 𝐼)

• Alternative

– In einem Schritt als gekoppelte Gleichungen mit Nebenbedingungen

• Skin-Effekt in der Spule

– 𝛿 ≫ Windung nicht sichtbar.

• Proximity-Effekt

– B-Feld beeinflusst via Induktionsgesetz die Stromverteilung in den Windungen

– Konstantes 𝐵 linearer Verlauf

B-Feld (Real- und Imaginärteil)

Typische Stromverteilung

Selbstkonsistentes B-Feld (Real- und Imaginärteil)


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Simulation – Windungen aufgelöst

• Vorteil

– Konzeptionell einfacher

– Enthält prinzipiell Proximity- und Skin-Effekt auch in der Spule

– Kann einfach um Kapazitätsberechnung erweitert werden

– Einfach auf mehrere Spulen erweiterbar

• Nachteil

– Lange Rechenzeiten

– Nicht auf HF-Litze erweiterbar (Schlag der HF-Litze ist wesentlich)


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Simulation – Windungen gemittelt

• Näherung

– Proximity- und Skin-Effekt in der Spule sehr klein

• A priori vernachlässigen

• A posteriori näherungsweise berücksichtigen

– Viele Windungen 𝒋 ≈ const. in der Spule

• Simulation mit 𝒋𝟎 = const. und 𝝈𝒔𝒑𝒖𝒍𝒆,𝒔𝒊𝒎 = 𝟎

– Ausserhalb der Spule: E und B sehr präzise

– Innerhalb der Spule: Nur mittlere Felder, E-Feld zur Erzeugung von 𝑗 nicht enthalten

– Externes Feld 𝐸0 zur Erzeugung von 𝑗 ist

𝑗 = 𝜎 𝐸0 + 𝐸𝑠𝑖𝑚 𝐸0 =

𝑗

𝜎− 𝐸𝑠𝑖𝑚

– Spannung über der Spule ist

𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ∙ 𝑗

𝜎− 𝐸𝑠𝑖𝑚 𝑑𝑉

𝑉𝑠𝑝𝑢𝑙𝑒

• 1. Term: Überwindung des Drahtwiderstandes

• 2. Term: Verluste durch Induktion in der Umgebung (Abhängig von z.B. der Targetposition)

• Vorfaktor: Etwas tricky wegen der Leerräume zwischen den Windungen

– Daraus kann die Impedanz 𝑍 =𝑈

𝐼 berechnet werden.


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• Proximity-Effekt

– Strom wird auf eine Seite der Windung gedrängt (𝑗 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. im Leiter).

– Führt auf zusätzliche ohmsche Verluste (Reduktion der effektiven Leiterfläche)

𝑝𝑊𝑖𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔 = 𝐸 ∙ 𝜎 ∙ 𝐸∗

𝑊𝑖𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔

𝑑𝑉

• Verlauf von E nur numerisch bekannt.

• Besser: Analytische Näherung von E aus B und Induktionsgesetz 𝛻 × 𝐸 = −𝑖𝜔𝐵 𝑝𝑊𝑖𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔(𝐵)

• Verlustleistung der Spule

𝑝𝑠𝑝𝑢𝑙𝑒 =𝑛𝑠𝑝𝑢𝑙𝑒

𝐴𝑠𝑝𝑢𝑙𝑒∙ 𝑝𝑊𝑖𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔

𝐴𝑠𝑝𝑢𝑙𝑒

∙ 𝑑𝐴

– Aus 𝑝 = 𝑍 ∙ 𝐼 ∙ 𝐼∗ kann dann die Proximity-Korrektur zur Impedanz berechnet werden

• Skin-Effekt in der Spule

– Oft nicht relevant da 𝛿 ≫ Windung

– Strom wird an den Rand der Windung gedrängt

– Führt auf zusätzliche ohmsche Verluste (Reduktion der effektiven Leiterfläche)

– Berechnung eines Korrektur-Terms ähnlich zum Proximity-Effekt

• Kapazitive Effekte

– Oft nicht relevant

– Z.B. Approximation durch Simulation des Potentials 𝜙 mit aufgelösten Windungen (Vorsicht bei HF-Litze).

Typische Stromverteilung


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• Vorteil

– Genaue Positionen der Windungen müssen nicht bekannt sein

– Kurze Simulationszeiten

– Nur geringe Qualitätseinbusse gegenüber aufgelösten Windungen (Auflösung von 10−3 ∙ 𝑍

bis 10−4 ∙ 𝑍 in Impedanzdifferenzen ΔZ möglich)

– Einfach auf mehrere Spulen erweiterbar

– Erweiterung auf HF-Litze möglich

• Nachteil

– Konzeptionell schwieriger (a posteriori Berücksichtigung von Skin- und Proximity-Effekt oder

kapazitiven Effekten)


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Simulation – Resultate

• Verlauf von E- und B-Feld

– Möglichkeit zur physikalisch motivierten Optimierung des

Sensors

• Impedanz für verschiedene Frequenzen,

Targetabstände, Temperaturen, …

– Vollständige Charakterisierung des Sensorverhaltens


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Auswertung – Fit

• Netzwerke

– Die Impedanz 𝑍 𝜔 eines Netzwerks bestehend aus (endlich vielen) Widerständen (𝑅),

Spulen (𝑖𝜔𝐿) und Kapazitäten (1

𝑖𝜔𝐶) ist immer eine positiv-reelle (rationale) Funktion (𝑠 = 𝑖𝜔)

𝑛0 + 𝑛1𝑠 + 𝑛2𝑠2 +⋯

𝑑0 + 𝑑1𝑠 + 𝑑1𝑠2 +⋯

• Sensor

– Approximation von 𝑍(𝜔) bzw. 𝑌 𝜔 = 𝑍−1(𝜔) durch eine positiv-reelle, rationale Funktion

(Paritalbruchzerlegung)

𝑌 𝜔 = 𝑎𝑗

𝑠 − 𝑝𝑗

𝑗

– Fit durch 𝑛 Stützstellen (höchstens 𝑛 Summanden) so dass u.a.

• Stabil (𝑅𝑒 𝑝𝑗 < 0, nicht exponentiell wachsend)

• Passiv (keine netto Energieerzeugung)

– Fit-Algorithmen sehr kompliziert

– Fit charakterisiert das Verhalten des Sensors vollständig.

𝑠

𝜔


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Auswertung – Elektronikanbindung

• Einfachster Fall

– 𝑎𝑖 > 0 und 𝑝𝑖 < 0 dann ist

𝑌 𝜔 = 𝑎𝑖

𝑖𝜔 − 𝑝𝑖

𝑖

= 1

𝑅𝑖 + 𝑖𝜔𝐿𝑖

𝑖

mit 𝑅𝑖 = −𝑝𝑖

𝑎𝑖> 0 und 𝐿𝑖 =

1

𝑎𝑖> 0

– Interpretation als Parallelschaltung von R-L Gliedern

• Allgemeiner Fall

– Alle anderen Fälle (z.B. mit 𝑎𝑖 , 𝑝𝑖 𝜖 ∁) lassen sich als Parallelschaltung von komplizierteren

Netzwerken darstellen

– Mit ein paar Tricks können die Elektronikanbindungen für z.B. verschiedene Targetdistanzen

und Temperaturen in ein LTspice Library-File verpackt werden.

𝑠

𝜔

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