Optik-Projekt„Bestimmung des Brechungsindex von Gasen,

Flüssigkeiten und Feststoffen“

28.07.08 – 1.08.08

von Felix Geisler 739633Matthias Gohlke 738602Justus Neumann 739714

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung................................................................................................... 2

2. Michelson-Interferometer........................................................................... 3

3. Lichtreflexion..............................................................................................10

4. Spektralzerlegung am Prisma....................................................................14

5. Lichtgeschwindigkeit.................................................................................. 17

6. Abbe-Refraktometer...................................................................................18

7. Krümmungsradius einer Linse .................................................................. 19

8. Newtonsche Ringe.....................................................................................19

9. Quellenverzeichnis.................................................................................... 26

1

1. Einleitung

In unserem Optik-Projekt im Zeitraum vom 28.07.08 bis zum 01.08.08 haben wir uns mit dem Thema „Bestimmung des Brechungsindex von Gasen, Flüssigkeiten und Feststoffen“ beschäftigt. Licht ist der für uns sichtbare Bereich der elektromagnetischen Strahlung (etwa 380nm – 780nm). Es weist sowohl Welleneigenschaften als auch Teilcheneigenschaften auf.Mehrere Experimente beruhen auf unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien, dies führt unter anderem zu Brechung, Totalreflexion oder einfach nur zu verschiedenen optischen Weglängen. Ebenso lässt sich mit der Bildung von Interferenzen experimentieren.Folgende Experimente sind durchgeführt worden:

– Michelson-Interferometer zu Bestimmung der Brechzahl von Gasen– Lichtreflexion an einer Glasoberfläche– Brechung von Licht an Prismen, Untersuchung der Brechung der einzelnen

Spektrallinien– Messung der Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Flüssigkeiten und Luft durch

Phasenmodulation– Abbe-Refraktometer– Bildung Newtonscher Ringe an Luft und verschiedener Flüssigkeiten

Als wichtiger Zusammenhang erweist sich, dass der Quotient der Brechungszahl zweier Medien gleich dem umgekehrten Quotienten der Lichtgeschwindigkeit in diesen Medien ist. So lassen sich aus einfachen strahlenoptischen Zusammenhängen, wie der Brechung, ebenfalls die Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Medien errechnen. Vergleicht man mit Vakuum ergibt sich die vereinfachte Gleichung: n = c0/c , wobei c0 die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist. Nach der Maxwellschen Theorie des Lichts als elektromagnetische Welle folgt c0= (e0µ0)-1/2. Betrachtet man die Ausbreitung nun in einem Dielektrikum erhält man: c = (ere0µrµ0)-1/2 bzw. c = c0 (erµr)-1/2. Viele Medien besitzen µr=1 so, dass sich für den Brechungsindex n=r ergibt.Wird nun die Frequenzabhängigkeit von er mit einbezogen kommt man auf die Clausius-Mosotti-Beziehung:

−12

= 13⋅0

⋅N A⋅M

⋅P

und die Lorentz-Lorenzsche Formel, welche den Zusammenhang zwischen dem Brechungsindex n und der Teilchendichte N verdeutlicht:

n2−1n22

=1

3⋅0⋅N⋅P

2

2. O11 Michelson Interferometer

Einleitung

Das Michelson-Interferometer wurde nach dem Physiker Albert Abraham Michelson benannt. Er untersuchte damit den „Lichtäther“ als Medium für die Ausbreitung des Lichts und widerlegte die Existenz des „Lichtäther“

Aufgaben

1. Kalibrierung des Michelson Interferometers zur Bestimmung der Wellenlänge „unbekannter“ Lichtquellen

2. Druckabhängigkeit des Brechungsindex von Gasen zeigen und daraus den Brechungsindex derer ermitteln

Versuchsaufbau und Funktionsweise

Abbildung 1: Schematischer Aufbau des Michelson-Interferometer

Der Versuchsaufbau ist in der Abbildung O11a schematisch dargestellt. Zur Bestimmung des Brechungsindex von Gasen wird zwischen dem Strahlteiler und dem verstellbaren Spiegel eine Küvette in den Strahlengang gebracht.

Das Licht aus der Laserquelle trifft auf einen Strahlteiler, von dort aus werden beide Strahlen über Spiegel zum Schirm geleitet. Einer der Spiegel lässt sich mit Hilfe einer Mikrometerschraube verstellen, so dass der Weg, den dieser Strahl zurücklegt verändert werden kann. Das das Licht aus einer Laserquelle stammt ist es in Phase, womit es durch die Welleneigenschaft elektromagnetischer Wellen und somit auch Licht zu einem Interferenzmuster auf dem Schirm kommt. Zur besseren Sichtbarkeit des Interferenzmusters ist vor der Laserquelle eine Konvexlinse angebracht.

3

Messwerte

Zu 1.

Tabelle 1: Bestimmung des Korrekturfaktors k, a und b sind die Werte der Mikrometerskala, daraus ergibt sich durch d'=b-a

Zu 2.

Tabelle 2: Ermittlung der Interferenzänderung N bei Herabsenken des Drucks p in der Küvette bei Luft.

4

p1 N1 p2 N2 p3 N3in mbar in mbar in mbar

Messung vom Montag/eventuell Vakuumpumpe defekt? Dienstag/neue Vakuump.1006 0 1010 0 1010 0925 1 946 1 936 2891 2 861 3 851 4835 3 811 4 775 6768 4 770 5 690 8720 5 657 7 610 10652 6 608 8 528 12595 8 521 10 455 14534 9 434 12 370 16462 11 366 14 293 18413 12 284 16 216 20364 13 197 18 130 22261 16 162 19 59 24170 18 116 20138 1998 20

a b d' a b d'1 µm 1 µm 1 µm 1 µm 1 µm 1 µm

633nm, n=100 543nm, n=10050 82 32 100 128 28

100 132,5 32,5 200 229 29140 172,5 32,5 200 230 30175 208 33 200 230 30201 233 32 200 230 30

Tabelle 3 (l.) und 4 (r.): Ermittlung der Interferenzänderung N bei Herabsenken des Drucks p in der Küvette bei CO2 (links) und Argon (rechts).

Auswertung und Diagramme

Zu 1.

Bei der Kalibrierung wird der bewegliche Spiegel mittels der Mikrometerschraube bewegt, während die Wechsel der Interferenzringe gezählt werden. Die Anzahl der Wechsel wurde hierbei konstant bei n = 100 belassen. Anhand der Skala auf der Mikrometerschraube lässt sich somit die angebliche Verschiebung d' des Spiegel bestimmen. Da bekannte Laser als Lichtquelle vorliegen kann die tatsächliche Verschiebung d des Spiegel anhand der Wellenlänge berechnet werden:

d=⋅n2 (1)

Der Korrekturfaktor k ergibt sich nun als:

k= dd ' (2)

5

p1 N1 p2 N2

CO2 /543nm CO2 /543nm CO2 /543nm CO2 /543nm1003 0 995 0948 2 956 1892 4 909 3842 6 856 5788 8 804 7746 10 731 10692 12 625 14617 15 574 16490 20 524 18358 25 468 20219 30 343 25115 34 203 3066 36 95 34

45 36

in mbar in mbarp1 N1

mbarArgon/543nm Argon/543nm

1013 0979 1918 2904 3857 4816 5771 6735 7705 8654 9621 10571 11535 12496 13448 14423 15380 16345 17308 18255 19220 20185 21130 2281 23

Mit den Messwerten:

Tabelle 5: Korrekturfaktoren der einzelnen Messungen bei 100 Änderungen des Interferenzmusters von min->max->min

k633nm=0,977 k543nm=0,923

Beide Korrekturwerte hätten recht dicht aneinander liegen müssen, es kommt jedoch zu einer Abweichung von fast 6%.

Mit Hilfe des Korrekturfaktors vom ersten Laser lässt sich mit folgender Gleichung die Wellenlänge eines zweiten unbekannten Lasers errechnen:

=2 dn=2 k⋅d '

nMit den Messwerten erhält man für den zweiten Laser eine Wellenlänge von:

=2 0,977⋅29,4 µm100

=574,5 nm

Dies entspricht einer Abweichung von 6% von 543nm.

Zu 2.

Bei diesem Experiment wird der Druck innerhalb der Küvette, die zwischen dem Strahlteiler und dem verstellbaren Spiegel in den Strahlengang gebracht wird, mit Hilfe einer Hand-Vakuumpumpe verringert. Hierbei wird die optische Dichte des Gases niedriger, womit sich auch die optische Weglänge verringert. Es kommt zu einer Änderung des Interferenzmusters auf dem Schirm.

6

1 1

32 0,989 28 0,97032,5 0,974 29 0,93632,5 0,974 30 0,905

33 0,959 30 0,90532 0,989 30 0,905

d' k d' k1 µm 1 µm

633nm, n=100 543nm, n=100

Diagramm 1: Interferenzwechsel in Abhängigkeit vom Druck bei Luft, begonnen wurde mit Atmosphärendruck bei ca. 1000 mbar

Zwischen der 2. und 3. Messreihe mit Luft ist leider die Vakuumpumpe undicht geworden, so dass nicht auszuschließen ist, dass die ersten beiden Messreihen unbrauchbar sind. Der lineare Fit beider brachte eine etwa 5-7 mal höhere Standardabweichung als bei der 3. Messreihe, daher wird für der Brechungsindex von Luft nur die 3. Messreihe verwendet.

Diagramm 2: Interferenzwechsel in Abhängigkeit vom Druck bei CO2, begonnen wurde mit Atmosphärendruck bei ca. 1000 mbar

7

Diagramm 3: Interferenzwechsel in Abhängigkeit vom Druck bei Argon, begonnen wurde mit Atmosphärendruck bei ca. 1000 mbar

Für den Brechungsindex n besteht der Zusammenhang:

n= N p

⋅ 2 s

⋅p

Mit p= p=1013mbar , DN = f(p=0), s = 3cm und l = 543nm:

n=N⋅ 2 s (3)

Für die einzelnen Messreihen ergeben sich somit folgende Brechungsindizes:

Tabelle 6: Berechnung der Brechzahl von verschiedenen Gasen bei Normdruck p = 1013mbar*) Literaturwerte aus Stöcker, Taschenbuch der Physik

Die ermittelten Brechungsindizes zeigen eine richtige Tendenz, liegen allerdings stets zu niedrig. Näheres zur Abweichung befindet sich in der Fehlerbetrachtung.

8

Luft 3 CO2 1 CO2 2 Argon25,35 38,6 37,82 25,43

0,000229 0,000349 0,000342 0,0002301,000229 1,000349 1,000342 1,000230

Literaturwert* 1,000290 1,000450 1,000450 1,000283Abweichung 0,000061 0,000101 0,000108 0,000053

DNDnn

Fehlerbetrachtung

Zu 1.

Die Formel für den Korrekturfaktor k lautet (siehe Auswertung, Gleichung (1) und (2)):

k= ⋅n2⋅b−a

Nach dem linearen Fehlerfortpflanzungsgesetz folgt:kk

= nn

bab−a

Dabei wird n=±1 angenommen und die systematischen, absoluten Fehler von a und b betragen die Hälfte des kleinsten Skalenteils (0,5µm)

Es ergeben sich folgende absolute und relative Fehler:

Tabelle 7: Fehlerberechnung der Korrekturfaktoren

Die Fehler, die bei der Kalibrierung entstehen sind mit etwa 6,3% bzw. 8% höher als erwartet. Den größten Anteil mit fast 4% trägt dabei die Mikrometerschraube. Beide Intervalle überschneiden sich, so dass der Korrekturfaktor zwischen 0,91 und 1 liegt.

Möchte man nun den Fehler bei der Wellenlänge eines unbekannten Lasers errechnen, dies sei hier der 543nm Laser, so geschieht dies nach folgender Fehlergleichung:

=kk

b ab−a

nn

Mit den oben genannten/ermittelten Fehlern:

=0,063 1µm29,4 µ

1100

=0,107≈0,11

=±0,11∗574,5nm=±63,2nm

511nm638nm

Es ergibt sich ein recht hoher relative Fehler für die Wellenlänge von 11%. Der tatsächliche Wert für die Wellenlänge beträgt 543nm und liegt damit in dem Intervall der experimentell ermittelten Wellenlänge. Die möglichen Fehlerquellen sind bereits oben genannt.

Zu 2.

Nachfolgend weiche ich von der mir geläufigen Notation für die einzelnen Unsicherheiten folgendermaßen ab: sämtliche absoluten Unsicherheiten werden als u... geschrieben.

Nach dem linearen Fehlerfortpflanzungsgesetz folgt aus Gleichung (3):unn

=uNN

9

kmEinheit 1 1 1 1 1 1 1

0,923 0,050 0,030 0,080 0,074 0,849 0,9970,977 0,050 0,013 0,063 0,062 0,915 1,040

Dk' s Dk/k Dk min k max k

543 nm633 nm

uN entspricht der Standardabweichung der Regressionsgeraden. Damit ergibt sich folgende Tabelle:

Tabelle 8: Fehlerberechnung der Brechungsindizes

Der berechnete Fehler erweist sich als sehr klein, so dass die Literaturwerte nicht im Intervall der Messunsicherheit liegt. Aus Tabelle 6 geht hervor, dass die relative Abweichung der Brechungsindizes sehr gering ist. Betrachtet man aber nur die Dn-Werte zeigt sich eine erheblich größere Abweichung als aus der Fehlerrechnung hervorgeht. Es müssen folglich andere Fehlerquellen vorliegen. Unter anderem können die Fehler bei CO2 und Argon durch Unreinheiten beim Gas vorliegen. Sei es durch bereits unreines Gas aus der Flasche oder innerhalb der Küvette durch Mischung mit zuvor vorhandenem Gas.Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Experiment eine sehr hohe Genauigkeit im Bezug auf systematische Fehler besitzt, es aber auf Grund der hohen Empfindlichkeit andere Fehlerquellen starke Auswirkungen haben können.

3. Lichtreflexion (Brewsterwinkel, Reflexionskoeffizient und Polarisationsgrad)

Trifft Licht auf einen Isolator (z.B. Glas) wird ein Teil reflektiert und ein Teil gebrochen. Die Intensitäten des gebrochenen und reflektierten Lichtes hängen vom Einfallswinkel und der Polarisation des einfallendes Lichtes ab. Der Reflexionskoeffizient R ist der Quotient der Intensitäten von reflektiertem und einfallendem Licht.

R = IR/I0

Bei p-polarisiertem Licht, das heißt parallel zur Einfallsebene polarisiertem Licht, existiert ein Winkel, bei dem die Intensität des reflektierten Lichtes null ist, diesen Winkel nennt man Brewsterwinkel, er ist abhängig vom Brechungsindex des Isolators.

n = tan αp

Aufbau:

Auf einer optischen Bank war eine Laserlichtquelle montiert, davor wurde ein Polarisationfilter angebracht. Der Lichtstrahl ging dann in eine verschließbare Messkammer mit unabhängig von einander drehbarer Glasplatte und Lichtdetektor. Am Lichtdetektor war ein Strommessgerät angeschlossen. Der Raum wurde bis auf Nachtlichtlampen verdunkelt.

Mithilfe des Polarisationsfilters ließ sich das Licht p-polarisieren, indem man ihn so drehte, bis es unter Brewsterwinkel zu keinem sichtbaren Ausschlag des Strommessgerätes kam. Durch Addition von 90° konnte man so auch den Winkel des Polarisationsfilters für s-Polarisation (senkrecht zur Einfallsebene) finden.

10

1 1 1 1 1Luft 3 0,000229 25,35 0,05 0,00197 4,52E-007CO2 1 0,000349 38,60 0,11 0,00285 9,95E-007CO2 2 0,000342 37,82 0,10 0,00264 9,04E-007Argon 0,000230 25,43 0,09 0,00354 8,14E-007

Dn DN u_DN u_Dn/Dn u_Dn

Auswertung:

Nun wurden für verschiedene Einfallswinkel die Intensitäten des reflektierten Lichtes und des einfallenden Lichtes sowohl unter p- als auch s-polarisierten einfallendem Licht gemessen und der Reflexionskoeffizient in Abhängigkeit vom Einfallswinkel bestimmt.Anschließend bestimmten wir den Polarisationsgrad gemäß der Formel:

PR = (R_|_ - R||)/(R_|_ + R||)

Es wurde ein Brewsterwinkel von αp = 55,5°

gemessen. Das entspricht einem Brechungsindex von

n = 1,46. (1)

Aus R_|_ = [(n²-1)/(n²+1)]² bei α = αp folgt

n = 1,44. (2)

Aus R|| = [(n-1)/(n+1)]² bei α = 0° folgt nach interpolieren des Wertes R||

n = 1,46. (3)

Der Brechungsindex lässt auf Quarzglas (n = 1,46) als Isolator schließen.

Die Kurven der Reflexionskoeffizienten und des Polaristionsgrades zeigen sehr gut den idealen Verlauf der Werte. Auch der Brewsterwinkel lässt sich gut ablesen.Der Ablauf des Experimentes ist einfach und schnell, es lässt sich eine recht gute Genauigkeit erreichen. Allerdings lässt die Kammer immer noch etwas Licht herein und die Ablesegenauigkeit der Intensitäten beim Brewsterwinkel ist nicht sehr hoch. Aus diesem Grunde ist auch die Variante (2) der Bestimmung des Brechungsindexes die ungenaueste.Für planare Objekte ist es aber eine empfehlenswerte Methode.

11

12

P-polarisiertes LichtEinfallswinkel Intensität

einfallend UnsicherheitR_||

4 173 4900 0,035 0,0025 172 4900 0,035 0,0026 171 4900 0,035 0,0027 171 4900 0,035 0,0028 170 4900 0,035 0,0029 169 4900 0,034 0,00210 168 4900 0,034 0,00215 158 4900 0,032 0,00220 146 4900 0,030 0,00225 131 4900 0,027 0,00230 111 4900 0,023 0,00235 83 4900 0,017 0,00240 58 4900 0,012 0,00245 32 4900 0,007 0,00250 11 4900 0,002 0,00255 0,4 4900 0,000 0,00260 16 4900 0,003 0,00265 83 4900 0,017 0,00270 252 4900 0,051 0,00275 585 4900 0,119 0,00280 1200 4900 0,245 0,00290 1

S-polarisiertes LichtEinfallswinkel Intensität

reflektiert einfallend Unsicherheit UnsicherheitR_|_ P_R

4 1,89 46 0,041 0,012 0,08 0,185 1,89 46 0,041 0,012 0,08 0,186 1,88 46 0,041 0,012 0,08 0,187 1,88 46 0,041 0,012 0,08 0,188 1,89 46 0,041 0,012 0,08 0,189 1,89 46 0,041 0,012 0,09 0,1810 1,89 46 0,041 0,012 0,09 0,1815 2 46 0,043 0,012 0,15 0,1720 2,1 46 0,046 0,012 0,21 0,1625 2,3 46 0,050 0,012 0,3 0,1530 2,52 46 0,055 0,012 0,41 0,1335 2,88 46 0,063 0,012 0,58 0,1140 3,3 46 0,072 0,012 0,71 0,0945 3,9 46 0,085 0,012 0,85 0,0750 4,7 46 0,102 0,012 0,96 0,0555 5,7 46 0,124 0,013 1 0,0460 7,3 46 0,159 0,013 0,96 0,0365 8,8 46 0,191 0,013 0,84 0,0370 10,8 46 0,235 0,014 0,64 0,0375 13,6 46 0,296 0,015 0,43 0,0380 16,8 46 0,365 0,015 0,2 0,0390 1 0

Reflexionskoeffizientreflextiert

α I_R,|| in nA I_0,|| in nA u_R_||

Reflexionskoeffizient Polarisationsgrad

α I_R,|_ in μA I_0,|_ in μA u_R_|_ u_P_R

13

Reflexion polarisierten Lichtes (1)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 20 40 60 80 100

Einfallswinkel in °

Ref

lexi

onsk

oeffi

zien

t

R_||

R_|_

Reflexion polarisierten Lichtes (2)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100

Einfallswinkel in °

Ref

lexi

onsk

oeffi

zien

t

R_||

R_|_

P_R

4. Lichtbrechung im Prisma (Dispersionskurve)

Ein Lichtstrahl erfährt beim Durchgang durch ein Prisma die kleinste Ablenkung, wenn der Strahlengang symmetrisch ist, wenn also Eintritts- und Austrittswinkel gleichgroß sind. Dieses Minimum lässt dich beim Verändern des Eintrittswinkels als Umkehrpunkt der Veränderung des Winkels des austretenden Strahles erkennen. In diesem Fall lässt sich sein Brechungsindex so berechnen:

n = {sin[(δ+γ)/2]} / {sin(γ/2)}.

Dabei ist n die Brechzahl und γ der brechende Winkel des Prismas, δ der Winkel, um den der Strahl abgelenkt wird.Bei diesem Experiment lässt sich die Dispersion des Lichtes beobachten: die Brechzahl eines Mediums ist von der Wellenlänge des Lichtes abhängig. Verschiedenfarbiges Licht wird also am selben Medium unter differierenden Winkeln gebrochen..

Aufbau:

Als Lichtquelle diente bei diesem Experiment eine Cadmium-Quecksilber-Lampe. Dieser Lichtstrahl fiel auf ein Prisma, das auf einem drehbarem Tisch lag (Spektrometer). Durch Drehung des Tisches konnte der Einfallswinkel verändert werden. Mit einem Fernrohr, war der aus dem Prisma austretende Lichtstrahl zu beobachten. Die Stellung des Fernrohrs war mithilfe eines Nonius abzulesen. Durch Differenz der Messungen der Positionen des Fernrohres bei Sicht auf den ungebrochenen und auf den gebrochenen Strahl ließ sich der Ablenkungswinkel bestimmen.Man konnte ein Farbspektrum von ungefähr sieben verschiedenen Farben erkennen, die jeweils unterschiedliche minimale Ablenkungen hatten.Durch Farb- und Helligkeitsanalyse und Vergleich mit Tabellenwerten waren die dazugehörigen Wellenlängen zuzuordnen. Die brechenden Winkel der Prismen haben wir mit einem Winkelmesser bestimmt. Wir verwendeten drei verschiedene Prismen.

Auswertung:

Trägt man die Brechzahlen in Abhängigkeit der Wellenlänge auf erhält man für jedes Material spezifische Dispersionskurven. Licht mit kleinerer Wellenlänge wird stärker gebrochen.Durch Interpolation erhält man die Werte für die Natrium-D-Linie (ca. 589nm). Mit diesen ist ein Vergleich mit Literaturangaben möglich.

Prisma1: n = 1,62 (+/- 0,05) [Flintglas F3: 1,62]Prisma2: n = 1,59 (+/- 0,05) [Flintglas 1,56..1,93 bzw. Glas 1,45..2,14]Prisma3: n = 1,46 (+/- 0,03) [Quarzglas: 1,46]

Die Materialien von Prisma1 und 3 sind gut bestimmbar, die Abweichung vom Literaturwert ist null. Der Brechungsindex von Prisma2 lässt sich nicht eindeutig zuordnen scheint aber ebenfalls zu einer Glassorte zu gehören. Das Ungenauigkeitsintervall ist recht groß, allerdings stimmen die Brechungsindizes bei allen brechenden Winkeln des Prismas recht gut überein.

Die Methode hat den Vorteil, dass es fast keine systematische Unsicherheit gibt, allerdings ist die zufällige umso größer. Für das Abschätzen des Umkehrpunktes durch das Fernrohr benötigt man viel Feingefühl und die Zuordnung eines hellen Streifens zu seiner Wellenlänge ist recht umständlich.

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Prisma1Winkel zwischen ein-Winkel minimaler

Wellenlängeund austretendem StrahlAblenkungbrechender Winkel Brechzahl

708,190 312,1 47,9 60 1,62 0,05643,847 311,7 48,3 60 1,62 0,05576,960 311,2 48,8 60 1,63 0,05546,074 310,9 49,1 60 1,63 0,05479,992 310,3 49,7 60 1,64 0,05467,816 310,1 49,9 60 1,64 0,05435,834 309,4 50,6 60 1,64 0,05

Prisma2708,190 324 36 52 1,58 0,05643,847 323,7 36,3 52 1,59 0,05576,960 323,5 36,5 52 1,59 0,05546,074 323,3 36,7 52 1,59 0,05479,992 323 37 52 1,6 0,05467,816 322,9 37,1 52 1,6 0,05435,834 322,5 37,5 52 1,61 0,05404,656 322 38 52 1,61 0,05708,190 312,4 47,6 62 1,59 0,04643,847 311,9 48,1 62 1,59 0,04576,960 311,7 48,3 62 1,59 0,04546,074 311,3 48,7 62 1,6 0,04479,992 310,9 49,1 62 1,6 0,04467,816 310,7 49,3 62 1,6 0,04435,834 310,1 49,9 62 1,61 0,05404,656 309,3 50,7 62 1,62 0,05708,190 306,8 53,2 66 1,58 0,04643,847 306,3 53,7 66 1,59 0,04576,960 305,9 54,1 66 1,59 0,04546,074 305,4 54,6 66 1,59 0,04479,992 304,9 55,1 66 1,6 0,04467,816 304,7 55,3 66 1,6 0,04435,834 304 56 66 1,61 0,04404,656 303,1 56,9 66 1,61 0,05

Prisma3708,190 319,4 40,6 68 1,45 0,03643,847 319,2 40,8 68 1,45 0,03576,960 319 41 68 1,46 0,03546,074 318,8 41,2 68 1,46 0,03479,992 318,6 41,4 68 1,46 0,03467,816 318,5 41,5 68 1,46 0,03435,834 318,3 41,7 68 1,46 0,03404,656 317,9 42,1 68 1,47 0,03

λ in nm φ in ° δ_min in ° γ in ° n u_n

16

Dispersionskurve Prism a1

1,615

1,62

1,625

1,63

1,635

1,64

1,645

1,65

400 450 500 550 600 650 700 750

Wellenlänge in nm

Bre

chun

gsin

dex

Dispersionskurve Prism a2

1,585

1,59

1,595

1,6

1,605

1,61

1,615

1,62

400 450 500 550 600 650 700 750

Wellenlänge in nm

Bre

chun

gsin

dex

Dispersionskurve Prism a3

1,45

1,452

1,454

1,456

1,458

1,46

1,462

1,464

1,466

1,468

400 450 500 550 600 650 700 750

Wellenlänge in nm

Bre

chun

gsin

dex

5. Bestimmung des Brechungsindex durch Ermittlung der Lichtgeschwindigkeit

Der Brechungsindex n eines Stoffes ist definiert als

n=c0

c,

wobei c0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist, die 2,99792458*108 m/s beträgt, und c für die Lichtgeschwindigkeit im jeweiligen Medium steht. Durch die Ermittlung der Lichtgeschwindigkeit lässt sich also der Brechungsindex bestimmen.

Konkret wurde bei diesem Experiment die Ausbreitung des Lichts in verschiedenen Medien durch die Messung der Weglängenabhängigkeit der Phasenlage eines modulierten optischen Signals untersucht. Dazu standen eine optische Schiene mit Sende- und Empfangsgerät, zwei Linsen, ein Umlenkspiegel und ein Zweikanaloszilloskop zur Verfügung.

Die Helligkeit des Lasers mit konstanter Frequenz wird sinusförmig verändert, also die Intensität moduliert. Das nach zurückgelegter Wegstrecke auf einen Detektor auftreffende Licht erzeugt dort eine Wechselspannung gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Phasenlage. Die Phasenverschiebung wird mit einem Zweikanaloszilloskop durch Überlagerung beider Signale zur Lissajous-Figur gemessen, die bei gleicher Phasenlage eine Ursprungsgerade darstellt, die durch den ersten und dritten Quadranten verläuft, und bei entgegengesetzter Phasenlage entsprechend durch den zweiten und vierten Quadranten. Zudem wird ein Umlenkspiegel so in den Strahlengang gebracht, dass der Weg zwischen Quelle und Detektor gerade eine Phasenverschiebung von 0° bewirkt. Im Anschluss wird der Spiegel um eine Strecke Dx so weit verschoben, bis sich die Phasenlage um 180° verändert hat, was einem Zeitabstand von gerade einer halben Periode, also T/2, zwischen Sender- und Empfangssignal entspricht. Daraus ergibt sich für die Lichtgeschwindigkeit

c=4⋅ x⋅ fmit der Frequenz f des modulierten Signals, die 50,0 MHz betrug.

Zur Messung der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts in einer Flüssigkeit wird eine mit der Versuchsflüssigkeit gefüllte Rohrküvette so in den Strahlengang gebracht, dass das Licht auf dem Hin- oder Rückweg durch die Küvette hindurch geht. Die Position des Umlenkspiegels wird derart gewählt, dass die Phasenverschiebung 0° beträgt. Nach dem Entfernen der Küvette aus dem Strahlengang wird der Umlenkspiegel um eine Strecke Dx so weit verschoben, bis die Phasenverschiebung wiederum 0° beträgt. Der Brechungsindex der Flüssigkeit ergibt sich dann zu

cLcF

=12⋅ xlF

c L⋅kf⋅l F

,

wobei cL die Lichtgeschwindigkeit in Luft ist, die praktisch mit c0 übereinstimmt, cF für die Lichtgeschwindigkeit in der Flüssigkeit steht, lF die Länge der Rohrküvette bedeutet, die 101,6 cm betrug, und k eine ganze Zahl ist, die hier gleich 0ist, da die am Nahesten gelegene Position des Umlenkspiegels gewählt wurde, die die Phasenverschiebung wieder auf 0° einstellte.

17

Die Ergebnisse sind im Überblick in der Spalte „Wert“ zusammengestellt. Außerdem sind dort die Vergleichswerte aus der Literatur sowie der absolute und der relative Fehler verzeichnet. Ebenfalls aufgeführt ist die nach dem linearen Fehlerfortpflanzungsgesetz

∣uy x1,... , xk∣=∑i=1

k

∣∂ y∂ xi⋅ux i∣

berechnete Messunsicherheit u. Die daraus resultierende konkrete Formel zur Berechnung von u findet sich in einer weiteren Spalte. Die zugrunde liegenden Messunsicherheiten betragen:

u f≈2⋅10−5MHzu lF≈5⋅10−4mu x≈3⋅10−2m

Dabei wird die erste Messunsicherheit von der systematischen Messunsicherheit us , f=2⋅10−5MHz dominiert, mit der der Messwert zwangsläufig behaftet ist. Die

zufällige Messunsicherheit uz , f=5⋅10−7MHz , die von der begrenzten Ablesegenauigkeit des Oszilloskops herrührt, mit dem die Frequenz f des modulierten Signals gemessen wurde, ist demgegenüber vernachlässigbar klein. Die letzte Messunsicherheit ist größer als die vorige, da dort zur Unsicherheit der Längenmessung noch die Unsicherheit der Auswertung der Lissajous-Figur kommt. Es zeigt sich, dass der jeweilige absolute Fehler stets in dem von der jeweiligen Messunsicherheit induzierten Intervall liegt.

6. Bestimmung des Brechungsindex mit dem Abbe-Refraktometer

Das Abbe-Refraktometer erlaubt eine einfache Messung des Brechungsindex von Flüssigkeiten. Es basiert auf dem Effekt der Totalreflexion. Dabei wird die dispersionsbedingte chromatische Abberation durch ein Amici-Prismenpaar beseitigt. Die so ermittelten Werte für den Brechungsindex beziehen sich auf die D-Linie lD,Na von Natrium, die bei 589nm liegt.

Die Resultate sind im Überblick analog zu oben zusammengefasst. Es stellt sich heraus, dass der jeweilige absolute Fehler bei Ethanol und Glyzerin geringfügig außerhalb des von der jeweiligen Messunsicherheit induzierten Intervalls liegt. Dies ist damit zu begründen, dass bei diesen Stoffen Verunreinigungen durch Wasser auftreten, die den jeweiligen Brechungsindex in Richtung des Wertes von Wasser verschieben.

18

7. Messung des Krümmungsradius einer Linse mit dem Sphärometer

Der Krümmungsradius R einer Linse, mit der im Folgenden auch die Newtonringe untersucht wurden, ließ sich zunächst mit dem Sphärometer durch Messung des Kugelschalendurchmessers d und der Kugelschalenhöhe h berechnen. Er ergibt sich direkt aus dem Satz des Pythagoras via

R= 4⋅h2d 2

8⋅h

Das Ergebnis ist im Überblick analog zu oben verzeichnet. Die zugrunde liegenden Messunsicherheiten lauten:

ud≈3⋅10−4m ,

uh≈5⋅10−6m ,

wobei es sich um Ableseungenauigkeiten handelt. Das Resultat wird verglichen mit dem Wert, der sich aus dem arithmetischen Mittel der Ergebnisse der Geradenanstiege aus linearer Regression in den Diagrammen für Luft und einen Grünfilter sowie für Luft und einen Orangefilter bei den Newtonringen ergibt. Näheres dazu wird weiter unten besprochen. Es zeigt sich nahezu eine Übereinstimmung der beiden Werte.

8. Bestimmung des Brechungsindex durch Messung der Newtonringe

Wenn eine Plankonvexlinse mit ihrer gekrümmten Fläche auf eine planparallele Platte gelegt wird, dann befindet sich zwischen beiden eine dünne Luftschicht, deren Dicke nach außen zunimmt. Anstelle der Luft kann sich auch ein anderes Medium zwischen der Linse und der Platte befinden. Punkte jeweils gleicher Dicke der Zwischenschicht bilden Kreise um den Berührungspunkt. Bei Beleuchtung mit monochromatischem Licht entstehen durch Interferenz dunkle Ringe im Falle der Auslöschung und helle Ringe im Falle der Verstärkung, falls sich die Brechungsindizes des Glases und des Mediums in der Zwischenschicht hinreichend stark voneinander unterscheiden. Ist das Medium in der Zwischenschicht optisch dünner als Glas, so findet ein Phasensprung um l/2 an der Oberfläche der planparallelen Platte statt, wobei l die Wellenlänge des Lichts ist. Ist das Medium in der Zwischenschicht optisch dichter als Glas, so findet ein Phasensprung beim Übergang von der plankonvexen Linse in das Medium in der Zwischenschicht statt. Der Radius der Newtonringe ist wellenlängenabhängig. Sie lassen sich unter dem Mikroskop betrachten.

In beiden Fällen gilt für die Radien rk der dunklen Ringe (k = 1,2, ... von innen nach außen):

r k2=k−1⋅R⋅

n−2⋅d 0⋅R ,

wobei d0 berücksichtigt, dass die Plankonvexlinse mit ihrer gekrümmten Fläche die planparallele Platte im Allgemeinen nicht in genau einem Punkt berührt, sondern durch Deformation der Linse, eine dünne Staubschicht oder einen Flüssigkeitsfilm in einer abgeschlossenen Umgebung des Punktes.

19

Die Newtonringe wurden zunächst für Luft als Medium in der Zwischenschicht sowohl mit einem Grün- als auch mit einem Orangefilter untersucht. Die folgende Abbildung zeigt exemplarisch das aufgenommene Bild der Newtonringe für Luft in der Zwischenschicht und den Grünfilter im Strahlengang.

Newtonringe für Luft in der Zwischenschicht und den Grünfilter im Strahlengang

Entsprechend der Wahl der Achsen ergeben sich gemäß der obigen Formel erwartungsgemäß Geraden, deren Anstieg gerade der Krümmungsradius R der Linse ist, wie es im vorigen Abschnitt bereits erwähnt wurde. Die beiden Geraden besitzen jeweils eine negative, aber betragsmäßig sehr kleine Schnittstelle mit der Ordinatenachse, also ein positives und ebenfalls betragsmäßig sehr kleines d0, was auf eine leichte Deformation der Linse oder eine sehr dünne Staubschicht zurückzuführen ist.

Anschließend erfolgte die Untersuchung der Newtonringe mit verschiedenen Flüssigkeiten in der Zwischenschicht und dem Grünfilter im Strahlengang. Es konnten derartige Ringe für Wasser, Ethanol und 1-Bromnaphthalin beobachtet werden, wobei die ersten beiden Stoffe optisch dünner als das verwendete Glas sind, der letzte Stoff hingegen optisch dichter. Jedoch gelang die Beobachtung von Newtonringen weder bei Verwendung von Zedernholzöl, noch bei Benutzung eines Immersionsöles, da deren Brechungsindizes nicht signifikant von dem des genutzten Glases abweichen. Entsprechend der Achsenwahl ergeben sich gemäß der obigen Formel in umgestellter Variante,

k−1⋅=r k

2

R⋅n2⋅d 0⋅n ,

wie zu erwarten, Geraden, deren Anstieg gerade der Brechungsindex n des jeweiligen Mediums ist. Die drei Geraden haben jeweils eine positive und betragsmäßig sehr kleine Schnittestelle mit der Ordinatenachse, also auch ein positives und betragsmäßig sehr kleines d0, was auf einen Flüssigkeitsfilm zurückführbar ist.

Die Resultate sind im Überblick analog zu oben zusammengefasst. Es stellt sich heraus, dass die jeweiligen absoluten Fehler geringfügig außerhalb der von den jeweiligen Messunsicherheiten induzierten Intervalle liegen. Dies ist damit zu begründen, dass diese Unsicherheiten lediglich aus linearer Regression berechnet wurden und damit nur die Streuung der Messwerte bezüglich der Regressionsgeraden berücksichtigen, nicht jedoch die Unsicherheit der Messwerte selbst, die durch die Ausmessung der Newtonringe entsteht. Real ergeben sich also größere Werte für die jeweiligen Messunsicherheiten.

Insgesamt stellt sich bei diesen Teilexperimenten heraus, dass die Bestimmung des Brechungsindex mit dem Abbe-Refraktometer am einfachsten ist und die kleinsten relativen Fehler verursacht. Auch die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit führt, wenngleich das Verfahren komplizierter ist, nur zu geringen relativen Fehler. Die Messung der Durchmesser der Newtonringe induziert allerdings, obschon der Effekt sehr interessant ist, größere relative Fehler im Endergebnis und ist daher zur Bestimmung des Brechungsindex eher ungeeignet.

20

21

2 125,000 4,167E-04 5,458E-07 4,340E-08 135,015 4,500E-04 5,83E-07 5,064E-083 221,000 7,367E-04 1,092E-06 1,357E-07 234,000 7,800E-04 1,17E-06 1,521E-074 290,000 9,667E-04 1,638E-06 2,336E-07 298,002 9,933E-04 1,75E-06 2,467E-075 340,001 1,133E-03 2,183E-06 3,211E-07 353,001 1,177E-03 2,33E-06 3,461E-076 385,000 1,283E-03 2,729E-06 4,117E-07 402,000 1,340E-03 2,91E-06 4,489E-077 428,001 1,427E-03 3,275E-06 5,088E-07 442,000 1,473E-03 3,50E-06 5,427E-078 464,001 1,547E-03 3,821E-06 5,980E-07 480,000 1,600E-03 4,08E-06 6,400E-079 498,001 1,660E-03 4,367E-06 6,889E-07 513,000 1,710E-03 4,66E-06 7,310E-07

10 530,000 1,767E-03 4,913E-06 7,803E-07 545,004 1,817E-03 5,25E-06 8,251E-0711 559,000 1,863E-03 5,458E-06 8,680E-07 576,003 1,920E-03 5,83E-06 9,216E-0712 588,000 1,960E-03 6,004E-06 9,604E-07 604,001 2,013E-03 6,41E-06 1,013E-06

2 138,004 4,600E-04 3,178E-07 5,46E-07 153,000 5,100E-04 0 5,46E-073 214,000 7,133E-04 7,641E-07 1,09E-06 217,000 7,233E-04 0 1,09E-064 260,002 8,667E-04 1,128E-06 1,64E-06 272,002 9,067E-04 0 1,64E-065 308,002 1,027E-03 1,583E-06 2,18E-06 311,002 1,037E-03 0 2,18E-066 342,001 1,140E-03 1,952E-06 2,73E-06 348,006 1,160E-03 0 2,73E-067 375,001 1,250E-03 2,346E-06 3,28E-06 380,001 1,267E-03 0 3,28E-068 406,000 1,353E-03 2,750E-06 3,82E-06 411,000 1,370E-03 0 3,82E-069 437,005 1,457E-03 3,186E-06 4,37E-06 438,010 1,460E-03 0 4,37E-06

10 464,001 1,547E-03 3,592E-06 4,91E-06 465,000 1,550E-03 0 4,91E-0611 488,001 1,627E-03 3,974E-06 5,46E-06 493,001 1,643E-03 0 5,46E-06

2 143,003 4,767E-04 3,412E-07 5,46E-073 196,003 6,533E-04 6,410E-07 1,09E-064 241,002 8,033E-04 9,691E-07 1,64E-065 280,002 9,333E-04 1,308E-06 2,18E-066 313,000 1,043E-03 1,635E-06 2,73E-067 340,000 1,133E-03 1,929E-06 3,28E-068 369,005 1,230E-03 2,272E-06 3,82E-069 395,005 1,317E-03 2,603E-06 4,37E-06

10 430,001 1,433E-03 3,085E-06 4,91E-0611 455,001 1,517E-03 3,454E-06 5,46E-06

5,46E-07 5,83E-071,0002780 1,0002770

Kalibrierung2E-03 600

Newtonringe

Durchmesser d k und Radien r k der Minima von innen nach außen, Linsenradius R

k dk in px dk in m (k-1)λg/nL,g rk2 in m2 dk in px dk in m (k-1)λo/nL,o rk

2 in m2

(Luft und Grünfilter) (Luft und Orangefilter)

k dk in px dk in m rk2/R in m (k-1)λg dk in px dk in m rk

2/R in m (k-1)λg

(Wasser und Grünfilter) (Ethanol und Grünfilter)

k dk in px dk in m rk2/R in m (k-1)λg

(1-Bromnaphthalin und Grünfilter)

Wellenlängen und zugehörige Brechzahlen der trockenen Luftλg = m λo = mnL,g = nL,o =

m = px

22

Luft und Grünfilter

y = 1,6782E-01x - 4,5065E-08

0,E+00

1,E-07

2,E-07

3,E-07

4,E-07

5,E-07

6,E-07

7,E-07

8,E-07

9,E-07

1,E-06

0,E+00 1,E-06 2,E-06 3,E-06 4,E-06 5,E-06 6,E-06 7,E-06

(k-1)λ g/nL,g

r k2 in

m2

Luft und Orangefilter

y = 1,6514E-01x - 3,9497E-08

0,0E+00

2,0E-07

4,0E-07

6,0E-07

8,0E-07

1,0E-06

1,2E-06

0,E+00 1,E-06 2,E-06 3,E-06 4,E-06 5,E-06 6,E-06 7,E-06

(k-1)λ o/nL,o

r k2 in

m2

23

Wasser und Grünfilter

y = 1,3465E+00x + 9,5372E-08

0,E+00

1,E-06

2,E-06

3,E-06

4,E-06

5,E-06

6,E-06

0,0E+00 5,0E-07 1,0E-06 1,5E-06 2,0E-06 2,5E-06 3,0E-06 3,5E-06 4,0E-06

rk2/R in m

(k-1

) λg i

n m

Ethanol und Grünfilter

y = 1,3530E+00x + 7,8883E-09

0,E+00

1,E-06

2,E-06

3,E-06

4,E-06

5,E-06

6,E-06

0,0E+00 5,0E-07 1,0E-06 1,5E-06 2,0E-06 2,5E-06 3,0E-06 3,5E-06 4,0E-06 4,5E-06

rk2/R in m

(k-1

) λg i

n m

24

1-Bromnaphthalin und Grünfilter

y = 1,5900E+00x + 1,0327E-07

0,E+00

1,E-06

2,E-06

3,E-06

4,E-06

5,E-06

6,E-06

0,0E+00 5,0E-07 1,0E-06 1,5E-06 2,0E-06 2,5E-06 3,0E-06 3,5E-06

rk2/R in m

(k-1

) λg i

n m

25

ÜberblickLichtgeschwindigkeit

Stoff FormelVakuum - 2,9979E+08 - -

Luft 3,0300E+08 2,9971E+08 5,0106E+06

Bemerkung- - - -

3,2925E+06 1,1 WAHR -

Stoff Wert FormelLuft 0,9894141 1 0,02

Wasser 1,35 1,33 0,05Ethanol 1,37 1,36 0,05Glyzerin 1,49 1,45 0,050

Bemerkung-0,01 1,1 WAHR -0,02 1,5 WAHR -0,01 0,6 WAHR -0,03 2,4 WAHR -

Stoff Wert FormelWasser 1,332 1,33 - 0Ethanol 1,360 1,36 - 0Glyzerin 1,451 1,46 - 0

Bemerkung-0,001 0,1 WAHR --0,002 0,2 FALSCH Verunreinigung durch Wasser-0,004 0,3 FALSCH Verunreinigung durch Wasser

Stoff Formel- 0,16 0,1665 0,01

{=C48}Bemerkung

-0,0018 1,1 WAHR -

Lichtgeschwindigkeit c in der Luft bei der Wellenlänge λr=645nm

Wert in m/s Lit. in m/s |uc| in m/s

|uc(∆x,f)|=4*(f*u∆x+∆x*uf)

∆c in m/s δc in % |uc|>=|∆c|

Brechungsindex n einiger Stoffe bei der Wellenlänge λr=645nm

Lit. |un||un(∆x,f)|=4*c0*(f*u∆x+∆x*uf)/c2

|un(∆x,l)|=2*(l*u∆x+∆x*ul)/l2

|un(∆x,l)|=2*(l*u∆x+∆x*ul)/l2

|un(∆x,l)|=2*(l*u∆x+∆x*ul)/l2

∆n δn in % |un|>=|∆n|

Abbe-Refraktometer

Brechungsindex n einiger Stoffe bei der Wellenlänge λD,Na=589nm

Lit. |un|

∆n δn in % |un|>=|∆n|

Sphärometer

Krümmungsradius R der Linse

Wert in m Grafik in m |uR| in m|uR(h,d)|=((d2-4*h2)*uh+2*d*h*ud)/(8*h2)

∆R in m δR in % |uR|>=|∆R|

9. Quellenverzeichnis

[1] Geschke, D.: Physikalisches Praktikum, Leipzig 1998;

[2] Kohlrausch, F.: Praktische Physik 3, Stuttgart 1996;

[3] Kuchling, H.: Taschenbuch der Physik, Leipzig 2001;

[4] Stöcker, H.: Taschenbuch der Physik, Frankfurt am Main 1997;

[5] Vogel, H.: Gerthsen Physik, Berlin 1993;

[6] Westphal, W. H.: Physikalisches Praktikum, 1963;

[7] Paetec – Tafelwerk, Berlin 2006;

[8] Platzanweisungen und Versuchsanleitungen der Universität Potsdam

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