Bivariater Zusammenhang in

der Vierfeldertafel

PEΣO

12. Oktober 2001

Zusammenhang zweier Variablen und bivaria-

te Haufigkeitsverteilung

• Die Bivariate Haufigkeitsverteilung gibt

Auskunft daruber, wie zwei verschiede-

ne Merkmale verteilt sind, wenn man sie

gemeinsam, d.h. in Relation zueinander

betrachtet.

• Falls ein Zusammenhang zwischen diesen

beiden Variablen besteht, muß er sich in

der bivariaten Haufigkeitsverteilung nie-

derschlagen. Aus diesem Grund untersucht

man die Haufigkeit der jeweiligen Aus-

pragungskombinationen.

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Kreuztabelle

• Die Kreuztabelle eignet sich zur Darstel-

lung der bivariaten Verteilung zweier ka-

tegorialer Variablen.

• Die Auspragungen der einen Variablen wer-

den dabei in den Zeilen, die der anderen

Variablen in den Spalten angegeben. Man

spricht daher von Zeilen- und Spaltenva-

riablen.

• Die univariaten Verteilungen beider Va-

riablen werden hierbei hierbei am Rand

der Tabelle angegeben. Man spricht da-

her auch von der Randverteilung.

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Haufigkeiten und Anteile in der Kreuztabelle

• absolute Haufigkeiten

• relative Haufigkeiten

bezogen auf die Gesamtfallzahl

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Beispiel absolute Haufigkeiten

– Stichprobe erwachsener osterreichischer

Staatsburger

Datensatz ISSP95

– Zusammenhang zwischen Geschlecht

und Einstellung bezuglich Einwander-

erdelinquenz

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Anteile bezogen auf die Gesamtfallzahl

– Formel Zellenanteile

pij =nij

n••

– Beispiel

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Bedingte und Unbedingte Haufigkeitsver-

teilungen

– Bis jetzt wurden nur unbedingte Haufig-

keitsverteilungen betrachtet. Beding-

te Haufigkeitsverteilungen dienen zur

Untersuchung des Einflusses der be-

dingenden Variable auf die Verteilung

der jeweils Anderen.

– Beispiel:

Auf diese Art kann man den Anteil

der Personen, welche einen Krimina-

litatsanstieg durch Einwanderer erwar-

ten uber die Geschlechter (bedingende

Variable) vergleichen.

– Man erhalt bedingte Kreuztabellen, in-

dem man nicht uber die Gesamtfall-

zahl, sondern uber die Kategoriensum-

men der Kategorien der bedingenden

Variablen prozentuiert.

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Bedingte Haufigkeitsverteilungen

• Bedingte Anteile

bezogen auf die Spaltensummen

• Bedingte Anteile

bezogen auf die Zeilensummen

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Bedingte Anteile

• Formel bedingte Zellenanteile(Spaltenvariable

bedingend)

pi(j) =nij

n•j=

nij/n

n•j/n=

pij

p•j

• Beispiel

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Zusammenhangsmaße

in der Vierfeldertabelle

• Asymmetrische Zusammenhangsmaße

unterscheiden zwischen unabhangiger (be-

dingender) und abhangiger (bedingter) Va-

riable. Dies wirkt sich bei Vertauschung

dieser Variablen in veranderten Auspragun-

gen der Maße aus.

• Symmetrische Zusammenhangsmaße

treffen die obengenannte Unterscheidung

nicht.

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Asymmetrischer Zusammenhang:

die Prozentsatzdifferenz

• Die Prozentsatzdifferenz dyx÷ ist ein Maß,

welches bei bedingten Kreuztabellen an-

gewendet wird.

Hierbei wird die Prozentsatzdifferenz (zwi-

schen den Kategorien der abhangigen Va-

riable) uber die Kategorien der unabhangi-

gen Variable verglichen.

• Formel

Prozentsatzdifferenz mit X als bedingen-

der Spaltenvariable

dyx÷ = 100∗(n11

n•1−n12

n•2) = 100∗(p1(1)−p1(2))

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Beispiel Prozentsatzdifferenz

Berechnung dyx÷

dyx÷ = 100 ∗ (p1(1) − p1(2))

= 100 ∗ (0.436− 0.522) = −8.6

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Hypothesenprufung der Prozentsatzdifferenz

• Als Testverteilung der Prozentsatzdiffe-

renz wird bei ausreichendem Stichprobe-

numfang (wie bei Anteilen generell) die

Normalverteilung und damit die Z-Statistik

herangezogen.

• Es lassen sich prinzipiell folgende Hypo-

thesenpaare formulieren:

H0 : δyx÷ = δhypo ÷ H1 : δyx÷ 6= δhypo ÷ (1)

H0 : δyx÷ ≤ δhypo ÷ H1 : δyx÷ > δhypo ÷ (2)

H0 : δyx÷ ≥ δhypo ÷ H1 : δyx÷ < δhypo÷ (3)

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Berechnung der Z-Statistik fur δxy÷ bei un-

abhangigen Stichproben

• Formel

Z-Statistik fur δxy÷ aus Anteilen

Z = (p1−p2)−π√p1∗(1−p1)

n1+

p2∗(1−p2)n2

• Formel

Z-Statistik fur δxy÷ aus absoluten Haufig-

keiten (vermeidet Rundungsfehler)

Z =(

n11n11+n21

− n12n12+n22

)−δhypo÷100√

n11∗n21(n11+n21)3

+n12∗n22

(n12+n22)3

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Berechnung der Z-Statistik fur δxy÷ bei abhangi-

gen Stichproben

• Diese Formel berechnet die Z-Statistik

fur den Test einer Populations-

Prozentsatzdifferenz von (minimal oder

maximal) null.

• Formel

Z-Statistik fur δhypo÷ = 0 bei abhangigen

Stichproben aus Anteilen

Z = p1−p2√πpooled∗(1−πpooled)∗( 1

n1+ 1

n2)

mit

πpooled = p1 ∗ n1n1+n2

+ p2 ∗ n2n1+n2

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Beispiel Hypothesentest der Prozentsatzdif-

ferenz

• Als Beispiel verwenden wir die Prozent-

satzdifferenz von -8,6 zwischen Zustim-

mung (43.6÷;n = 597) und Ablehnung(52.2÷;n =

180) der Aussage”Einwanderer erhohen

die Kriminalitat“ bei Mannern und Frau-

en in der osterreichischen ISSP Teilstich-

probe.

• Mogliche Hypothese:

H0 : δyx÷ = 0 H1 : δyx÷ 6= 0

• Z-Statistik fur unabhangige Stichproben

Z = −0.086−0√0.436∗0.574

597 +0.522∗0.478180

= −2.32

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• Dieser Z-Wert entspricht einem empiri-

schen Signifikanzniveau von 0.01 . Daher

muß die Nullhypothese verworfen werden.

Man kann davon ausgehen, daß eine Pro-

zentsatzdifferenz in der Population vor-

liegt.

Konfidenzintervall fur Prozentsatzdifferenzen

• Formel

Konfidenzintervall

c.i.(δyx÷) =

dyx÷±z1−α/2∗100∗√

n11∗n21(n11∗n21)3

+ n12∗n22(n12∗n22)3

• Das 95÷Konfidenzintervall fur die Bie-

spieldifferenz von −8.6÷ betragt somit:

c.i.(δyx÷) =

− 8.6± 1.96 ∗ 100 ∗√

260∗3375973 + 94∗86

1803

c.i.(δyx÷) = −8.6± 8.08

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Statistische Unabhangigkeit

• Symmetrische Zusammenhangsmaße ba-sieren auf der Uberprufung der Statisti-schen Unabhangigkeit der Tabelle. Die-se liegt dann vor, wenn die Anteile derbedingten Verteilung gleich den Anteilender Randverteilungen sind.

• Es ist moglich, bei gegebenen Randver-teilungen die relativen Zellenhaufigkeitenpeij anzugeben, die bei statistischer Un-abhangigkeit zu erwarten waren. Dies ge-schieht uber Multiplikation der Randan-teile der jeweiligen Zelle:

pe11 = π1• ∗ π•1pe12 = π1• ∗ π•2pe21 = π2• ∗ π•1pe22 = π2• ∗ π•2

Die bei Unabhangigkeit erwarteten abso-luten Haufigkeiten eij errechnen sich durchdie Multiplikation von peij mit der Ge-samtfallzahl n.

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Die Chiquadrat χ2 Teststatistik

• Die χ2-Statistik kann zur Uberprufung der

Statistischen Unabhangigkeit einer Tabel-

le verwendet werden. Der Hypothesen-

test, der mit Hilfe der χ2-Statistik durch-

gefuhrt wird, heißt Chiquadrattest. Je großer

dei Abweichung zwischen beobachteten

und bei Unabhangigkeit erwarteten Haufig-

keiten, desto großer χ2.

• Formel:

χ2 =∑2

i=1∑2

i=j(nij−eij)

2

eij

bzw. in der Vierfeldertabelle:

χ2 = n ∗ (n11∗n22−n12∗n21)2

n1•∗n2•∗n•1∗n•2

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Symmetrische Zusammenhangsmaße in derVierfeldertabelle

• SymmetrischesZusammenhangsmaß Phi ΦDa der Wert von χ2 mit der Fallzahl n

variiert, ist es als Maß fur die Starke ei-nes statistischen Zusammenhangs unge-eignet. Dies korrigiert der Phi-Koeffizient,der nur zwischen -1 und 1 variieren kann.Ein Φ von null bedeutet hier keinen Zu-sammenhang, ein negatives einen umge-kehrt proportionalen und ein positives einenproportionalen Zusammenhang. bei 1 und-1 sind die Zusammenhange jeweils per-fekt.

• Formel:

φ2 = χ2

n

Φ =

√χ2

n

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