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PG-AIR

Rotation Planning for the Continental Service of a European Airline

Seminararbeit

Vitali Gintner

Vitali Gintner 2PG-AIR

Agenda

Prozess der Flugplanung

Amerikanisch Europäisch

Rotation Regeln

Der Graph

ILP

Exkurs

Lagrange-Relaxation

Lösung des Unterproblems

Ergebnisse

Agenda

Prozess der Flugplanung Amerikanisch Europäisch Rotation Regeln Der Graph ILP Exkurs: Lagrange-Relaxation Lagrange-Relaxation Lösung des Unterproblems Ergebnisse


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Rotation Regeln

Der Graph

ILP

Exkurs

Lagrange-Relaxation


Ergebnisse


Rotation Planning – Bestimmung von Routen

(Route – eine Legfolge, die mit einem Flugzeug geflogen werden kann)

Network DesignRevenue

Management

Market Modelling

Fleet Assignment Aircraft

Rotation CrewScheduling Air Traffic

Control


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Rotation Regeln

Der Graph

ILP

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Lagrange-Relaxation


Ergebnisse


Das amerikanische ModellHub-and-Spoke – Struktur

(Passagiere müssen häufig während ihrer Reise umsteigen)

Ziel – „through value“–Maximierung(der erwartete Ertrag + „die Attraktivität“ der

Verbindung)

Plus spezielle Wartungsrestriktionen(Besuch einer Wartungsstation nach bestimmter Zeit)


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Der Graph

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Lagrange-Relaxation


Ergebnisse

Das europäische ModellKeine Hub-and-Spoke – Struktur

Eine kleine Flughafenanzahl in eigenem Land und viele in anderen Teilen Europas

Fahrtunterbrechungen selten „through value“ uninteressant.

Wartungsarbeiten als virtuelle Flüge schon im Flugplan modelliert

Ziel – Reduzierung des Verspätungsrisikos



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Der Graph

ILP

Exkurs

Lagrange-Relaxation


Ergebnisse

Das europäische Modell Eine relativ geringe Anzahl der

Nachflüge

Verspätungen können sich nicht über die Nacht anhäufen

Zerlegung in Teilprobleme (Optimierung für jeden Tag)



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Lagrange-Relaxation


Ergebnisse

Rotation Regeln

Man definiert bestimmte Regeln für Rotationen

Regelverletzung = Strafkosten

Man sucht Rotationen mit der minimalen Summe von Strafen aus (geringe Verspätungsgefahr)


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Ergebnisse

Rotation Regeln

Lokale Regeln (2-Leg-Regel) eine bestimmte minimale Bodenzeit zwischen 2

Legs (Treibstoff, Inspektionen), Meidung der luftverkehrskritischen Flughäfen, 4 weitere Regeln.

Nicht-lokale Regeln (n-Leg-Regel) nur bis zur x Besuchen der luftverkehrs-

kritischen Flughäfen für ein Flugzeug pro Tag, nur eine bestimmte Anzahl von aufeinander-

folgenden Legs mit nur minimaler Bodenzeit, eine propagierte minimale Bodenzeit für eine

Route (Bodenzeit-Puffer).


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Der Graph

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Lagrange-Relaxation


Ergebnisse

Der Graph

Für jeden Flughafen i{1,...,n}Ai – Menge der Ankunftsknoten

Di – Menge der Abflugknoten

Ei – Menge der Kanten

Falls es möglich ist ein Leg (mit dem Ankunftsknoten aAi) mit einem anderen Leg (mit dem Abflugknoten dDi) zu verbinden, fügt man eine Kante eadEi ein.


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Lagrange-Relaxation


Ergebnisse

Der Graph

• Man ordnet jedem startenden Leg ein ankommendes Leg zu. Ergebnis ist ein D-perfektes Matching

• Integration von lokalen Regeln – man gewichtet jede Kante (a,d)E mit bestimmten Strafkosten c(a,d)R+, falls eine lokale Regel verletzt wurde.

Rotationsproblem ein minimales gewichtetes D-perfektes Matchingsproblem


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Lagrange-Relaxation


Ergebnisse

ILP

Sei P eine Menge von Teilpfaden.

Jeder PP bestehet aus einer Folge von Kanten P=e1e2...ek.

Sei |P|:=k die Länge des Pfades P

Für jeden Pfad PP definiert man Strafkosten PR+ (bei einer Verletzung von nicht-lokalen Regeln)

Für jede Kante (a,d)E definiert man eine binäre Variable 1, falls Kante (a,d) zu der Lösung gehört

X(a,d)= 0, sonst.

1, falls jede Kante e aus dem Pfad P in der Lösung yP= vorkommt

0, sonst.

Für jeden Pfad PP definiert man eine binäre Variable


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Ergebnisse

ILP


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ILP

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Ergebnisse

ILP

...

Bei yP=1 für alle PP , ist diese Restriktion immer gültig und beeinflusst den x-Teil der Lösung nicht. Es gibt immer eine gültige Lösung des ILP‘s.

Da P0 für alle PP und Z minimiert werden soll, ist yP nur dann ungleich 0,wenn

(d.h. wenn der x-Teil der Lösung eine Route definiert, die den Pfad P enthält)


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Ergebnisse

Problem Flugpläne enthalten Tausende

solcher Teilpfade.

Sie belasten das ganzzahlige lineare Programm mit einer sehr großen Zahl der Restriktionen und Variablen

ILP


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Ergebnisse

Exkurs: Lagrange-Relaxation

Gegeben ist ein gemischt-ganzzahliges Programm

A ist eine mxn und D eine kxn-Matrix• Angenommen, das Problem lässt sich ohne die Menge der

Ungleichungen Ax b relativ einfach lösen.

• Sei uRm ein Vektor der nicht-negativen Multiplikatoren

Entferne Ax b und erweitere die Zielfunktion um den nicht-negativen Term u(b-Ax)


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Ergebnisse

Die optimale Lösung für einen festen u ist eine obere Schranke für Z (da u(b-Ax)0). Also,

Wie bestimmt man nun u, so dass die obere Schranke möglichst „eng“ zu der optimalen Lösung wäre?

Idealerweise soll u das folgende duale Problem lösen:


ZD(u) Z für alle u 0


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Ergebnisse

ZD(u) ist konvex und differenzierbar, bis auf die Punkte, an denen das Lagrage-Problem mehrere optimale Lösungen liefert.

Subgradientenverfahren Nutzt die Steigung der Funktion ZD(u)

An differenzierbaren Punkten ist die Steigung durch b-Ax gegeben

An nicht differenzierbaren Punkten sucht man eine beliebige alternative optimale Lagrage-Lösung aus.



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Ergebnisse

Subgradientenverfahren- Definiert eine Folge, die rekursiv definiert ist:

Wobeitk – Schrittgrößexk – eine optimale Lösung des Lagrange-Problems Z(uk).

Für die Schrittgröße tk ist folgende Formel effektiv

Z* - Zielfunktionswert der best erreichten zulässigen optimalen Lösung des Hauptproblems



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Lagrange-Relaxation


Ergebnisse

Lagrange-Relaxation

Zurück zu unserem Problem


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Ergebnisse

Subgradienten-Optimierung

Die Schrittgröße ist definiert:

Lagrange-Multiplikatoren:

mit

Wobei (x(k),y(k)) – optimale Lösung der Lagrange-Relaxation ZD(uk)


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ILP

Exkurs

Lagrange-Relaxation


Ergebnisse

Starte mit P=0 und =1,9 Keine Verbesserung nach 5 Iterationen

halbiere Wurde Z* aktualisiert setzte =1,9 Setze nur positive Multiplikatoren ein und

entferne sie, sobald ihren Wert gleich 0 ist.

Subgradienten-Optimierung

In jeder Iteration wird das Lagrange-Problem gelöst und eine zulässige Lösung des Rotationsproblems geliefert.

(immer gegeben, da der x-Teil immer ein gültiges D-perfektes Matching liefert)


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Ergebnisse


Bis zu 98% der Laufzeit wird zur Lösung des Unterproblems verbraucht (ein bipartites Matchingproblem)

Problemreduktion viele Kanten können nicht einen Teil der Lösung

sein Preprocessing

Effektive Lösungsansätze für das Matchingproblem

Oft nur kleine Änderungen der Kantengewichte „nächste“ optimale Lösung ändert sich nur

leicht

Das bipartites Matchingproblem als unkapazitiertes Transportproblem formulieren und mit einer speziellen Variante des Netzwerk-Simplex lösen.


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Exkurs

Lagrange-Relaxation


Ergebnisse

Ergebnisse

Getestet für 7 verschiedene Flotten (4 große und 3 kleine)

Laufzeit für jede Flotte <5 sec. (SUN Ultra 4 Workstation mit 300 Mhz)

Durchschnittlich 30%-60% weniger Regelnverletzungen


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Ergebnisse

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