Physik A – VL20 (23.11.2012)VL20 (23.11.2012) - uni … · • Schwingungen treten in vielen...

Physik A – VL20 (23.11.2012)Physik A VL20 (23.11.2012)

Schwingungen und Wellen I - Einleitungg g g

S h i d W ll Ei l it• Schwingungen und Wellen - Einleitung

◦ Exkurs: Komplexe Zahlen

• Schwingungsgleichungen

• Die Energie von Schwingungen

1

Schwingungen und Wellen

Ei l it

Di Si L b i b d f S h i i ih U lt

• Schwingungen treten in vielen verschiedenen physikalischen Situationen auf

Einleitung

• Die Sinne von Lebewesen reagieren besonders auf Schwingungen in ihrer Umwelt: ◦ das Gehör empfängt Schallwellen◦ das Auge empfängt Lichtwellen

• Bisher in der Vorlesung betrachtete Schwingungen:◦ Pendelschwingungen ( Foucault-Pendel)Pendelschwingungen ( Foucault Pendel) ◦ Schwingungen von Atomen in einem Festkörper

( Deformierbarkeit von Festkörpern)

• Schwingungen im weiteren Verlauf der Vorlesung:◦ Schwingungen von elektrischen Ladungen in g g g

einem Schwingkreis bzw. generell Themengebiet Elektrodynamik

◦ gesamter Bereich der Wellenoptik

2

gesamter Bereich der Wellenoptik


S h i

• Ein schwingungsfähiges Objekt besitzt eine Ruhelage, um die es schwingen kann,wenn Energie zugeführt wird (z B durch Anstoßen)

Schwingungen

wenn Energie zugeführt wird (z.B. durch Anstoßen) → Oszillator

• Bewegung des Objektes wiederholt sich → periodische Bewegung

Schwingungen sind lokale periodische Bewegungen um eine Gleichgewichtslage

• einfachste Oszillatoren: Pendel• Arten von Pendeln: ◦ GravitationspendelArten von Pendeln: Gravitationspendel

◦ Kugelpendel◦ Federpendel ◦ Rotationspendel

• Bezeichnungen der Pendelbewegung:harmonische Schwingung periodische Schwingung gedämpfte Schwingung

p

3

harmonische Schwingung, periodische Schwingung, gedämpfte Schwingung,erzwungene Schwingung, Resonanz, aperiodischer Grenzfall


W ll• Schwingungen, die zusätzlich ihren Ort ändern, sind Wellen

Wellen

Wellen sind zeitlich und örtlich periodische Vorgänge

• Beispiele für Wellen

◦ Wasserwellen ◦ akustische Wellen

Beispiele für Wellen

◦ Lichtwellen (elektromagnetische Wellen)...

• Wellen können mit und ohne Träger übertragen werden:

4

g gSchall- und Wasserwellen bzw. Licht


D fi iti S h iDefinition von Schwingungen• ein allgemeiner periodischer Vorgang kann durch folgende Parameterbeschrieben werden:

x(t)x(t)

x0

◦ Die Schwingungsdauer T◦ Die Amplitude 0x

T

t

φ0

◦ Die Phase 0ϕ◦ Die Kreisfrequenz

Tπω 2

0 =T

• periodische Vorgänge sind aus Sinusschwingungen zusammengesetzt

◦ einfachster Fall: nur eine Sinusschwingung → harmonische Schwingung

)sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx )()( 000 ϕ

Systeme, die harmonische Schwingungen aus-führen werden als „harmonische Oszillatoren“

5

führen, werden als „harmonische Oszillatoren bezeichnet


D fi iti S h i

◦ Zusammenhang zwischen Pendelbewegung und harmonischer Schwingung

• Beispiel: Federpendel – ohne Berücksichtigung der Gravitation

Definition von Schwingungen

◦ Zusammenhang zwischen Pendelbewegung und harmonischer Schwingung

Zeit t)i ()( +tt )sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx

Systeme, die harmonische Schwingungen aus-führen werden als „harmonische Oszillatoren“

6

führen, werden als „harmonische Oszillatoren bezeichnet


D fi iti S h i



◦ Schwingung = Auslenkung um Ruhelage, Federkraft wirkt als Rückstellkraft

x = x0DxF −=

Kraft:

Dehnung

0

x

F < 0

Gl i h i h (R h l )x = 0

F < 0

Gleichgewicht (Ruhelage)

F = 0

Kompression

F > 0

7

F > 0x = -x0


D fi iti S h i Diff ti l l i h

Di A l k d F d d R h l i Rü k llk f


Definition von Schwingungen - Differentialgleichung

◦ Die Auslenkung der Feder aus der Ruhelage erzeugt eine Rückstellkraft

→ Federpendel⇒ periodische Bewegung

xDFx ⋅−=

◦ Federkraft erzeugt Beschleunigung

⇒ periodische Bewegung

amxDFx ⋅=⋅−= xmxDFx &&⋅=⋅−=

xDx ⋅−=⇒ && xm

x ⋅−=⇒

mitD

=0ω 02 =⋅+⇒ xx ω&&mitm0ω 00 =⋅+⇒ xx ω

Differentialgleichung der harmonischen Schwingung

8

Differentialgleichung der harmonischen Schwingung(hier: des Federpendels)


D fi iti S h i Diff ti l l i h

◦ Exkurs: Wie löst man eine Differentialgleichung ?

Definition von Schwingungen - Differentialgleichung


1. Lösungsansatz: Durch „Raten“ - es wird eine Funktion x(t) gesucht, derenAbl b f K d d F k b

◦ Exkurs: Wie löst man eine Differentialgleichung ?→ Lösungsansatz → periodische Lösung: Sinus- oder Kosinusfunktion

zweite Ableitung bis auf eine Konstante wieder die Funktion ergibt

)cos()()sin()(ttxttx

==

& d )sin()()cos()(ttx

ttx==

&K = 1 K 1

2 Überprüfen durch Einsetzen in die Differentialgleichung

)sin()()cos()(ttx

ttx−=

=&&

oder)cos()()sin()(ttxttx

−=−=

&&

K = -1 K = -1

2. Überprüfen durch Einsetzen in die Differentialgleichung

)sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx

)cos()( ϕωω +⋅⋅⋅=⇒ txtx&

„geratene“ Lösung der DGL:

⇒ ergibt die Differentialgleichung:

)cos()( 0000 ϕωω +⋅⋅⋅=⇒ txtx

)sin()( 00020 ϕωω +⋅⋅⋅−=⇒ txtx&&

9

g ff g g

0)()( bzw. )()( 20

20 =⋅+⋅−= txtxtxtx ωω &&&&


D fi iti S h i

• Beispiel: Gewichtsmessung eines Astronauten im Raumschiff

◦ Problem: Schwerelosigkeit!


◦ Problem: Schwerelosigkeit!→ Masse nicht einfach durch Wiegen bestimmbar

◦ Lösung: Messung in einem speziellem Messstuhl◦ Lösung: Messung in einem speziellem Messstuhl, der in Oszillationen versetzt wird⇒ Berechnung der Masse aus der

O ill ti fOszillationsfrequenz

◦ Beispielrechnung:Das Gerät hat eine Federkonstante D = 606 N/m, der Stuhl ein Gewicht von 12kg,Das Gerät hat eine Federkonstante D 606 N/m, der Stuhl ein Gewicht von 12kg,Die gemessene Oszillationsperiode ist 2,41 s. Wie schwer ist der Astronaut ?

D==

πω 2 2DTm⇒ kg289)s41,2()Nm 606( 2-1 ⋅mT

==ω0 24πm =⇒ kg2,89

4)()(

2 ==π

kg77,2 kg)0,122,89( =−=−= StuhlAstronaut mmm

10

g,g),,(StuhlAstronaut


E k K l Z hl

• Frage: Was sind komplexe Zahlen ?

Exkurs: Komplexe Zahlen

kann durch reele Zahlen nicht gelöst werden!

↔ Problem: Die Gleichung 12 −=x

• Leonhard Euler (1707 – 1783) führte zur Lösung dieser Gleichung die imaginäre Zahl i ein:

g

Leonhard Euler (1707-1783)12 −=i

• Definition: eine komplexe Zahl ist die Linear-Kombination aus rellen und imaginären Zahlen

Realteil von z Imaginärteil von zyixz ⋅+=

11


E k K l Z hl

• Frage: Wie kann man sich komplexe Zahlen vorstellen ?

Exkurs: Komplexe ZahlenCarl Friedrich Gauß (1777-1855)

◦ nach Carl-Friedrich Gauß (1831):

komplexe Zahlen x + iy können als Punkte in einem Koordinatensystem, dass durch die Koordinaten (x, iy) gebildet wird, angesehen werden

→ reelle Achse x, Einheit: 1i i ä A h i Ei h i i

Im z

→ imaginäre Achse iy, Einheit: i

ϕsin)Im( riz

z

ϕsin)Im( ⋅⋅= riz ⇒ Jede komplexe Zahl kann in der Form

)Im()Re( +=i

zzz

rφ

iϕcos)Re( ⋅= rz

)sin(cos ϕϕ ⋅+⋅=+=

iryix

12

Re z1 dargestellt werden.


E k K l Z hlExkurs: Komplexe Zahlen

• Frage: Wie stehen komplexe Zahlen und andere Funktionen in Zusammenhang ?

◦ die Euler‘sche Gleichung verknüpft die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen

ϕϕ )exp(⋅ iei

ϕϕϕϕ

sincos)exp(⋅+=

⋅=i

ie

Leonhard Euler (1707-1783))sin(cos)Im()Re(

ϕϕ ⋅+⋅=+=

irzzzmit

◦ Die trigonometrische Funktionen werden durch Exponentialfunktionen ersetzt

ϕ⋅⋅= ierz⇒

⇒ mit komplexen Zahlen und der Euler‘schen Gleichung können viele

◦ Die trigonometrische Funktionen werden durch Exponentialfunktionen ersetzt⇒ Die Additionstheoreme für sin und cos entfallen → Lösungen werden vereinfacht

13

⇒ mit komplexen Zahlen und der Euler schen Gleichung können vielemathematische Probleme vereinfacht gelöst werden



• Die komplexe Zahlenebene= 2πϕ

Im (z)

ϕ⋅ierz

,⋅= πϕungeradek

k iei =⋅ 2π

r

ϕ⋅= erz1−=⋅⋅ πkie

φ

Re (z)Re (z)

1)(2

)1(22 =−=

⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅ ππ

πϕkiki ee

k

iei −=

=⋅ 23

23π

πϕ

14

ie



• Rechenregeln für komplexe Zahlen - Beispiele

ii◦ Addition & Subtraktion

)()( 2211

212121

yixyixererzz ii

⋅+±⋅+=⋅±⋅=± ⋅⋅ ϕϕ

)()( 2121 yyixx ±⋅+±=

ii◦ Multiplikation)(

21

2121

21

21

ϕϕ

ϕϕ

+⋅

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅=⋅i

ii

err

ererzz

◦ Division21

2

1 21 ϕϕ ⋅−⋅ ⋅⋅⋅= ii ererzz

)(21

2

21 ϕϕ −⋅⋅⋅= ierr

15


S h i l i h• reele Gleichung für Schwingungen

Schwingungsgleichungen

)sin()( ϕω +⋅⋅= txtx )sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx

oder allgemein )sin()cos()( tBtAtx ⋅⋅+⋅⋅= ωω

• komplexe Darstellung von Schwingungen)(

0)( ϕω +⋅⋅⋅= tieztz

)()(

)(20

)(0

20

)(00

tzeztz

ezitzti

ti

⋅−=⋅⋅−=

⋅⋅⋅=+⋅⋅

+⋅⋅

ωω

ωϕω

ϕω

&&

&

⇒ komplexe Differentialgleichung für Schwingungen

)()( 000 tzeztz ωω

• Folgerung aus komplexer Darstellung:

0)()( 20 =⋅+ tztz ω&&

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Folgerung aus komplexer Darstellung: Beschreibung der Schwingung kann mit Sinus- oder Kosinusfunktion erfolgen


S h i l i h• Anfangsbedingungen:◦ Pendel wird nur ausgelenkt, ist aber in Ruhe: x0 = max

Schwingungsgleichungen

g 0

◦ Geschwindigkeit gleich Null: v0 = 0

• Funktion: sin(wt)+φ )()();( tvtxtx =&

0x )(tx&0)0( xx =

20πϕ = (bei Ansatz mit

cos-Funktion: φ = 0 )2 φ )

0)0( 0 == vx&

allgemeiner Ansatz:00 =v

tallgemeiner Ansatz:)sin()cos()( tBtAtx ⋅⋅+⋅⋅= ωω

1)0cos( ⎫=⋅ω

)(tx

)()(

0,0)0sin(1)0cos(

0 ==⇒⎭⎬⎫

=⋅=

BxAωω

17

)cos()( 0 txtx ω⋅=⇒


Di E i S h i• beim Anstoßen erhält ein Federpendel Spannenergie (allgemein: potentielle Energie)• bei der Oszillation wird die potentielle in kinetische Energie umgewandelt,

Die Energie von Schwingungen

danach wieder in Spannenergie (potentielle Energie)

Energiebilanz: kinSpann WWW += 2

21 DxWSpann = 22

21

21 xmmvWkin &==

2 22

)(sin11 222 ϕω +⇒ tDxDxW

Einsetzen von und )sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx )cos()( 0000 ϕωω +⋅= txtx&

)(sin22 000 ϕω +⋅==⇒ tDxDxWSpann

)(cos21

21

0022

020

2 ϕωω +⋅⋅==⇒ tmxxmWkin &mD

=20ω

22

)cos(21)(sin

21

0020

2000

220 ϕωωϕω +⋅++⋅=+=⇒ tmxtDxWWW kinSpann m

D=2

0ω22

))cos()((sin21

000022

0 ϕωϕω +++⋅= ttDx 1cossin 22 =+ αα

18

202

1 Dx= ⇒ Die Gesamtenergie der ungedämpften Schwingung istproportional zum Amplitudenquadrat


Di E i S h i

→ sowohl die kinetische als auch die potentielle Energie oszillieren:• Folgerungen aus der Energiebilanz

Die Energie von Schwingungen

sie durchlaufen Werte zwischen Null und einem Maximum

→ beide Energien hängen vom Wert der Maximalamplitude x0 ab:die Gesamtenergie wird durch die Anfangsauslenkung bestimmtg f g g

→ kinetische Energie hängt auch von der Schwingungsfrequenz ab

→ kinetische Energie erreicht ihr Maximum, wenn die potentielle Energie ihrMi i i h d k hMinimum erreicht und umgekehrt.

)()cos()( 000

πϕϕω

=+⋅⋅= txtx

kiS WWW +=)( 0 πϕ =

)(1 22 tDW

kinSpann WWW +=

)(cos2 0

220 tDxWSpann ω⋅=⇒

)(sin1 222 tmxW ωω⇒

19

)(sin2 000 tmxWkin ωω ⋅⋅=⇒


M th ti h P d l F d d l

• punktförmige Masse schwingt an (masselosem) Faden

Mathematisches Pendel - Fadenpendel

Rückstellkraft durch Gewichtskraft: αsin⋅−= mgFRück

Trägheitskraft: xmmaF &&==Trägheitskraft: xmmaFTrägheit ==

Kräftegleichgewicht: TrägheitRück FF =

⇒ Differentialgleichung: 0sin =⋅+ αgx&&xilx

=αmit

0il&& 0i ⎟⎞

⎜⎛ x

&&0sin =⋅+⋅⇒ αα gl&& 0sin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⇔

lgx&&

Dl h d d l

20

0=⋅+ xmDx&&Vergleich mit Federpendel:


M th ti h P d l F d d lMathematisches Pendel - Fadenpendel

• punktförmige Masse schwingt an (masselosem) Faden

◦ für kleine Winkel ⇒ kleine Schwingungsamplitude gilt: αα ≈sin (Kl i i k l◦ für kleine Winkel ⇒ kleine Schwingungsamplitude gilt: αα ≈sin (Kleinwinkel-Näherung)

00sinsin

=⋅+⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+

≈x

lgx

lxgx &&&&

ααoder 0sin =⋅+ αα

lg

&&

⇒ Differentialgleichung des mathematischen Pendels:

⎠⎝ ll l

2 2mitlg

=0ω 020 =⋅+⇒ xx ω&& oder 02

0 =⋅+ αωα&&

⇒ Schwingungsdauer:glT ⋅== π

ωπ 22

⇒ Pendel zur Bestimmung von Zeitsequenzen nutzbar: Sekundenpendel

21

• Periodendauer ist proportional zur Wurzel der Fadenlänge


Ph ik li h P d l

• ein starrer Körper wird außerhalb seines Schwerpunkts - im Abstand d vom Schwerpunkt - aufgehängt

Physikalisches Pendel

im Abstand d vom Schwerpunkt aufgehängt

◦ hier: Betrachtung der jeweiligen Drehmomente

Rückstelldrehmoment: ϕsin⋅⋅⋅−= dgmTRück

Trägheitsdrehmoment: ϕ&&⋅= JTT ä h iTrägheitsdrehmoment: ϕ= JTTrägheit

Differentialgleichung: 0sin =⋅+ ϕϕJ

mgd&&

J

kleine Schwingungsamplitude:(Kleinwinkel-Näherung)

0=⋅+ ϕϕJ

mgd&&

(Kleinwinkel-Näherung)

Jmgd

=0ω 020 =+⇒ ϕωϕ&&

22

J0 00⇒ ϕωϕ

Zusammenfassung

Harmonische Schwingungen

• Schwingungen sind lokale periodische Bewegungen um eine Gleichgewichtslage• periodische Vorgänge sind aus Sinusschwingungen zusammengesetzt• einfachster Fall: nur eine Sinusschwingung → harmonische Schwingung

d h h h

)sin()( 000 ϕω +⋅⋅= txtx

• Differentialgleichung der harmonischen Schwingung

020 =⋅+ xx ω&&Federpendel D

=0ω0

020 =⋅+ αωα&&

p

mathematisches Pendel (kleine Auslenkungen)

m0ω

lg

=0ω

020 =+ ϕωϕ&&

(kleine Auslenkungen)

physikalisches Pendel

l

Jmgd

=0ω

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