Physik A – VL26 (07.12.2012)VL26 (07.12.2012) · J. Ingenhousz (1730 – 1799) R. Brown (1773 –...

Physik A – VL26 (07.12.2012)Physik A VL26 (07.12.2012)

Thermodynamik (Wärmelehre) III – kinetische Gastheoriey ( )

• Thermische Bewegung – Die kinetische Gastheorie

• Mikroskopische Betrachtung des Druckes

• Maxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung des idealen Gasesg g

1

Thermodynamik IIIWärme und Bewegung

• Wärme ist kinetische Energie kleinster Bewegungen von Molekülen◦ Diese Bewegung ist nicht sichtbar, aber die makroskopische Folge ist Wärme

Wärme und Bewegung

g g , p g

◦ historisch: von J. Ingenhousz 1785 entdeckt, von R. Brown 1828 “wiederentdeckt” (Pollenbewegung)

◦ kaum beachtete Entdeckung („Störeffekt“, Rauschen)

J. Ingenhousz(1730 – 1799)

R. Brown(1773 – 1858)

(„ ff , )

◦ G.L. Guoy (1889): Brown’scheBewegung ist Beweis derkontinuierlichen Molekülbewegungkontinuierlichen Molekülbewegung

◦ A. Einstein (1905): quantitative Analyse: mathematische Gesetze beschreiben die Bewegung der Moleküle, auf der Basis der Prinzipen der kinetisch-molekularen Theorie der Wärme

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A. Einstein(1879 – 1955)


• Die Brown‘sche Molekularbewegung◦ die in Wasser schwimmenden Polystyrolkügelchen führen „Zitterbewegungen“ aus

Wärme und Bewegung

y y g f g g

↔ Die Bewegung von Atomen oderMolekülen wird auf größere Körperübertragen, diese vollführen ruck-übertragen, diese vollführen ruckartige, “zitternde” Wegänderungen

! Der Weg der Bewegung ist zufällig

◦ Bedeutung der Brown‘schen Molekularbewegung

http://www.physics.emory.edu/~weeks/squishy/BrownianMotion.html

g g g z f g

F tkö i d t- Festkörper sind starrN Atome oder Moleküle in festen Abständen⇒ nur 3 räumliche Freiheitsgrade ⇒ keine Statistik notwendig

M l kül B R S h- Moleküle: Bewegung, Rotation, Schwingung⇒ zusätzliche Freiheitsgrade der Bewegung

- Gase: N Moleküle führen statistisch unabhängige Bewegungen aus

3

⇒ N Bewegungsgleichungen zur Beschreibung⇒ allgemeine, statistische Beschreibung (ideales Gas!) sinnvoll


◦ es gelten die Gesetze der klassischen Mechanik (Newton’sche Axiome)

• Eigenschaften eines idealen Gases – Annahmen

Wärme und Bewegung

◦ es gelten die Gesetze der klassischen Mechanik (Newton sche Axiome)

◦ alle auftretenden Geschwindigkeiten sind klein gegen die Lichtgeschwin-digkeit: v ≈1000 m/s, ß = v/c ≈ 3·10-6

◦ die Teilchenzahl ist sehr groß: N >>> 1

◦ der mittlere Abstand der Teilchen >> Durchmesser der Teilchenittle e bsta d de eilc e⇒ die Ausdehnung der Teilchen ist vernachlässigbar

◦ die Wechselwirkung (Anziehungs- und Abstossungskräfte) zwischen den g ( g g f )Gasteilchen kann vernachlässigt werden⇒ kinetische Energie >> potentielle Energie der Teilchen

⇒ Gasteilchen führen im wesentlichen nur elastische Stöße mit den Wänden und untereinander aus

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• Eigenschaften eines idealen Gases – mechanisches Modell des idealen Gases

Wärme und Bewegung

◦ Druck im idealen Gas: Folge des Aufpralls von Teilchen auf Fläche des Stempels

⇒ im mechanischen Modell: mit zunehmenderkinetischer Energie der Stahlkugeln wird derStempel weiter nach oben geschoben !

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Thermodynamik IIIMikroskopische Betrachtung des Druckes

• Betrachtung einer Einzelsituation:

◦ ein Teilchen (Masse m) trifft auf den Stempel (Masse M M >> m) und wird

Mikroskopische Betrachtung des Druckes

y◦ elastischer Stoß: Anwendung von

◦ ein Teilchen (Masse m) trifft auf den Stempel (Masse M, M >> m) und wird dort reflektiert

y

xvmEnergie- und Impulserhaltungssatzfür Komponente in x-Richtung

E i h lt vryv◦ Energieerhaltung:(Annahmen → nur kinetische Energien)

222 1'11 M+x

v′r vr222

2'

22 Sxx Mvmvmv +=

◦ Impulserhaltung: v svM

◦ Impulserhaltung:

Sxx Mvmvmv += '

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• Geschwindigkeit vx aus Energieerhaltungssatz in Impulserhaltungssatz einsetzen ( Mechanik – elastischer Stoß):


vmv =2

• auf den Stempel übertragene EnergiexS v

Mmv ⋅

+=

2411 m m422

2

)(4

21

21

xSkin vMm

mMMvE+

== TeilchenkinE

MmM

m2

1

4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=

21 mv• Berücksichtigung von: Stempelmasse M >>> m

⎠⎝2 xmv

042 =⎞⎛

= Teilchenkinkin E

m

mE

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

MmM

⇒ Es wird (näherungsweise) keine kinetische Energie auf den Stempel übertragen:

⇒ Durch die Stöße der Teilchen auf den Stempel entsteht trotzdem eine Kraft

⇒ Es wird (näherungsweise) keine kinetische Energie auf den Stempel übertragen:

xxS vvv −=⇒= '0

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ß f p f

↔ Impulsübertrag beachten


• Impulserhaltungssatz:

Mikroskopische Betrachtung des DruckesStempel

xxx Pmvmv += '

aus Stoßgesetz (vorehrige Betrachtung): vv'aus Stoßgesetz (vorehrige Betrachtung): xx vv −=

Teilchenxx

Stempelx pmvP 22 ==⇒ mittlere Kraft

• 2. Newton‘sches Gesetz: t

PFdtPdF

Δ=⇒=

rr

rr

• Übertragung auf eine große Teilchen-Zahl N:◦ alle Teilchen, die sich in der Schicht mit

der Dicke tvs Δ⋅=vor dem Stempel befinden, treffen innerhalb der Zeit Δt auf den Stempel.

tvs x Δ⋅=

hll h ⎤⎡◦ Definition der Teilchendichte

AsVmitVolumen

hlTeilchenzaVNn

⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

8

tAnvVnN xΔ=⋅=⇒ Teilchenzahl N im Volumen


• Berechnung der Kraft auf den Stempel aus dem Impulsübertragund der Zahl der Teilchen


TeilchenStempel pmvP 22

∑⋅Δ

=⊥Teilchen

StempelxP

tF 1 ∑ ⋅⋅

Δ=

Teilchen

Teilchenxp

t21 ∑⋅

Δ=

Teilchenxv

tm2

xxp

x pmvP 22 ==

xx vNAnvN

mF ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⇒ ⊥12 Anv

NttAnvNx

x =Δ⇔Δ=

N ⎠⎝AnmvF x22=⇒ ⊥

b h d TeilchenEF 42 2⊥• Der Druck ergibt sich daraus zu: Teilchenkinx nEnmv

Ap 42 2 === ⊥

TeilchenkEnp 4= kinEnp 4=

1 Die Teilchen haben nicht alle dieselbe Geschwindigkeit v• Schwächen und unrealistische Annahmen der Herleitung der Formel:

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1. Die Teilchen haben nicht alle dieselbe Geschwindigkeit vx . 2. Nur Teilchen mit vx > 0 tragen zum Druck bei.


◦ Das Geschwindigkeitsquadrat wird durch das mittlere Geschwindigkeits

• Verbesserung der Berechnung:

Mikroskopische Betrachtung des Druckes TeilchenkinEnp 4=bisher

◦ Das Geschwindigkeitsquadrat wird durch das mittlere Geschwindigkeits-quadrat aller Teilchen ersetzt:

∑=→N

ixxx vvv 222 1 ∑=i

ixxx N 1,

◦ Von den N Teilchen im Volumen V bewegen sich nur N/6 auf die Wand zu(zur Erinnerung:(zur Erinnerung: Gasteilchen = 3 Translationsfreiheitsgrade mit je 2 Richtungen,

nur 1 Freiheitsgrad in 1 Richtung führt zur Kollision m.d. Wand)

1

da die Geschwindigkeitsverteilung isotrop ist.

22

61 vvx

r⋅=⇒

⇒ nur 1/6 des Impulses wird pro Volumen an die Wand übertragen

g g p

10



Mikroskopische Betrachtung des Druckes TeilchenkinEnp 4=bisher

1◦ mittlere kinetische Energie der Teilchen: 2

21 vmETeilchen

kinr

=

◦ mittlerer Druck hervorgerufen durch die Teilchen:mittlerer Druck hervorgerufen durch die Teilchen:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=== Teilchen

kinx Em

mnvmnvmnp 2612

6122 22 r

TeilchenkinEnp

32

=⇒

◦ Die Teilchendichte n = N/V ist, also folgt:

l h 22Ekin : mittlere kinetische Energie

des gesamten Gaseskin

Teilchenkin EENpV

32

32

==⇒

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Ekin : mittlere kinetische Energiedes gesamten GaseskinEpV

32

=

◦ da im idealen Gas keine Kräfte der Teilchen untereinander wirken, istdie gesamte gemittelte potentielle Energie des Gases vernachlässigbar.

⇒ Die innere Energie U des Systems ist gleich der kinetischen Gesamtenergie aller Teilchen im Gas

kinTeilchenkin EENU =⋅=

Zustandsgleichung des idealen GasesUpV

32

=⇒

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Thermodynamik IIIMikroskopische Betrachtung des DruckesMikroskopische Betrachtung des Druckes

EUpV 22== TkNpVE 33

==⇒

• jeder Translations-Freiheitsgrad hat eine Energie von 0,5 kBT

kinEUpV33

== TkNpVE Bkin 22==⇒

• Diese Gleichung gilt in guter Näherung nur für ...◦ einatomige Gase (z B Edelgase wie He Ne Xe)

j g g , B

einatomige Gase (z.B. Edelgase, wie He, Ne, Xe)◦ mittlere Temperaturen, d.h. etwa Zimmertemperatur.

In der Nähe des absoluten Nullpunktes kondensieren viele Gase, bei Temperaturen > 1000°C ionisieren sie

• wenn die innere Energie bei einem idealen Gas konstant ist, dann ist auch die Temperatur T konstant

bei Temperaturen > 1000 C ionisieren sie.

p

• Temperatur T ∝ zur mittleren kinetischen Energie der Gasmoleküle⇒ Definition der Temperatur über obige Formel !

13

⇒ Definition der Temperatur über obige Formel !

Thermodynamik IIIMaxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung des idealen GasesMaxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung des idealen Gases(Maxwell-Boltzmann-Verteilung)

• Experiment: Geschwindigkeitsverteilung von Kugeln

◦ Kugeln werden aus mechanischem Modell herausgeschleudert

ΔN/ΔvAnteil der Molekülemit Geschwindigkeitim Intervall Δv.

v14

v


⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

∝mvvTvfdN exp)(

22ΔN/Δv ⎟

⎟⎠

⎜⎜⎝−⋅∝=

TkvTvf

dv B2exp),(ΔN/Δv

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⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

∝mvvTvfdN exp)(

22ΔN/Δv ⎟

⎟⎠

⎜⎜⎝−⋅∝=

TkvTvf

dv B2exp),(ΔN/Δv

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Zusammenfassung• Stöße mit der Wand (z B Kolben) in einem idealen GasStöße mit der Wand (z.B. Kolben) in einem idealen Gas

Gasmoleküle⇒ Es wird keine kinetische Energie auf den Stempel übertragen

⊥F⇒ durch die Stöße der Teilchen auf den Stempel entsteht aber eine Kraft

⇒ ImpulsübertragStempel mit

der Fläche AZylinder:Volumen V(x)

p g

• Mittelung über viele Teilchen: mittleres Geschwindigkeitsquadrat

kinEUpV32

32

== TkNpVE Bkin 23

23

==⇒

• Temperatur T ∝ zur mittleren kinetischen Energie der Gasmoleküle⇒ Definition der Temperatur über obige Formel !

• Maxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung (Maxwell-Boltzmann-Verteilung)

⎟⎞

⎜⎛ mvdN 2

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⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅∝=

TkmvvTvf

dvdN

B2exp),( 2

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