Physik AB1 TU Dortmund SS2016 Dieter Suter Kapitel ... · Drehmoment und Drehimpuls spielen also...

Physik AB1 TU Dortmund SS2016 Dieter Suter Shaukat Khan Kapitel 2

Beispiel 1: Bestimmung der Erdmasse

Die Gravitationsbeschleunigung g kann leicht gemessen werden. Ist die Gravitationskonstante und der

Erdradius gegeben, kann die Erdmasse berechnet werden:

Beispiel 2: Erste kosmische Geschwindigkeit v1

Wie schnell wäre ein Satellit, der die Erde knapp über seiner Oberfläche umkreist? Luftwiderstand und

Erdrotation sollen vernachlässigt werden. Hier gilt: Gravitationsbeschleunigung = Kreisbeschleunigung

Beispiel 3: Geostationärer Satellit

In welcher Höhe befindet sich ein Satellit, der stets über demselben Ort der Erde steht? Ansatz:

Gravitationsbeschleunigung beim Radius r = Kreisbeschleunigung mit Geschwindigkeit v =2pr pro Tag

Beispiel 4: Zweite kosmische Geschwindigkeit v2

Mit welcher Geschwindigkeit muss eine Rakete abgeschossen werden,

um das Gravitationspotenzial der Erde zu überwinden?

1

kg 105,97m

s kg m m/s 24

3

222

11

262

2 1067,6

)1037,6(81,9

G

RgM

R

mMGgm

s

km

s

m sm 106,37 226 9,7109,7/81,9 3

1

2

1 RgvR

vg

km 42.200m

s m m/s

4

2222

7

226

2

223

2

22

2

2

2

1022,4

5,39

86400)1037,6(81,9

4

)/2(

r

TRgr

T

r

r

Tr

r

v

r

Rg

r

MG

p

pp

vom Erdmittelpunkt (Höhe ≈ 35.800 km über dem Erdboden)

12

2

2

22,11180.1181,9222

0)()()(2

1

vRgR

MGv

VR

mMGRVVmvm

s

km

s

m /sm 106,37

mit

226


2

2.1.2.7 Kombination und Zerlegung von Kräften

Kräfte, die am selben Punkt angreifen, addieren sich wie Vektoren. Umgekehrt kann man sich jede Kraft

in Vektoren zerlegt vorstellen. Beispiele:

Treideln: Ein Boot wird mit einer Leine von Ufer aus gezogen. Durch

Ruderlegen wird dafür gesorgt, dass nur die Kraftkomponente parallel

zum Ufer (grün) einen Vortrieb bewirkt. Viele Wege entlang von Flüssen

oder Kanälen dienten früher diesem Zweck.

Schiefe Ebene: Die Gewichtskraft G wird in eine Komponente senkrecht zum Hang (Normalkraft N, rot) und eine

Komponente parallel zum Hang (Hangabtriebskraft H, grün) zerlegt. Die Normalkraft ist für die Reibung relevant,

der Hangabtrieb bewirkt, dass der Körper die Ebene hinabgleitet.

Treidelpfad am Finow-Kanal

sinsin

coscos

gmGH

gmGN

gmG


3

2.1.2.8 Reibungskraft

wird gerne vernachlässigt und kann störend sein (zusätzlicher Kraftaufwand, Wärmeentwicklung).

Allerdings ist Reibung auch nützlich und eine Welt ohne sie ist kaum vorstellbar.

a) Coulomb-Reibung (trockene Reibung) geschwindigkeitsunabhängig

Haftreibung

Gleitreibung

Rollreibung

b) Stokes-Reibung (viskose Reibung) ~ Geschwindigkeit v

in zähen Flüssigkeiten, z.B. Kugel (R ist der Radius, h die sog. Viskosität)

c) Newtonsche Reibung ~ v2

in weniger zähen Fluiden mit Dichte r z.B. Luftwiderstand:

(A: Fläche, CW: dimensionsloser Widerstandskoeffizient

Beispiel: Freier Fall Endgeschwindigkeit

Leonardo da Vinci

(1452 - 1519)

GHRRR

GG

HH

ND

NF

NF

m 1

In jedem Fall ist die Normalkraft N

maßgeblich. Der Haft- und Gleitreibungs-

koeffzient H bzw. G ist dimensonslos

Das Produkt aus Normalkraft und Rollreibungskoeffizient R ist keine Kraft,

sondern ein Drehmoment (Kraft mal Hebelarm, mehr dazu später).

2m

s N 16 hhp vRFS

2

2

1vACF WL r

AC

gmvavACgmam

W

W

rr

20

2

1 2

Rekorde:

1960 Joseph Kittinger

Sprung aus 31 km Höhe: 988 km/h

2012 Felix Baumgartner


2014 Alan Eustace



Der Drehimpulsvektor steht senkrecht auf dem Orts- und Impulsvektor.

Sein Betrag ergibt sich aus dem Betrag des Impulses und dem Abstand

r┴ senkrecht zur Impulsrichtung. Dieser Abstand wird manchmal

"Stoßparameter" genannt.

Beispiel: Kreisbewegung mit Radius R, Betrag L konstant

4

2.1.3 Drehimpuls und Drehmoment

Der Drehimpuls L wird später als Erhaltungsgröße bei der Rotation ausgedehnter Körper eine wichtige Rolle

spielen (z.B. beim Kreisel), er ist auch für Massenpunkte definiert und sinnvoll (z.B. Himmelmechanik):

Kreuzprodukt:

vrmprL

xyyx

zxxz

yzzy

z

y

x

z

y

x

x

y

x

prpr

prpr

prpr

p

p

p

r

r

r

L

L

L

s

m kg

2

1 LpLrL

p

r

ist der Ortsvektor von einem Punkt 0 aus

ist der Impuls

vmp

rr

O

m

prprL

R

vRmvRmpRL 2

Die zeitliche Änderung (Ableitung ) des Drehimpulses ist das Drehmoment D:

Drehmoment und Drehimpuls spielen also bei Drehbewegungen eine ähnliche Rolle wie Kraft und Impuls.

Bei Bewegungen in Zentralkraftfeldern (Gravitation einer Punktmasse, elektrisches Feld einer Punktladung)

ist das Drehmoment 0 und der Drehimpuls ist zeitlich konstant:

mN s

m kg

2

2

11][DpFFrDL

const. LDrF

0||


Andere Interpretation des Drehmoments D (s. auch später, Kapitel über starre Körper):

Drehmoment = Produkt aus Kraft und Hebelarm.

Hebelgesetz: Befindet sich der Hebel im Gleichgewicht,

so ist die Summe aller Drehmomente null (sonst würde sich

der Drehimpuls ändern, d.h. eine Drehbewegung würde

einsetzen):

Anwendungen: größere Kraft, kleinerer Weg (z.B. Werkzeuge)

größerer Weg, kleinere Kraft (z.B. Rudern)

5

FrDrFFrD

Beispiel: Schulter, Oberarm, Unterarm und Hand.

Das Drehmoment ist gegeben durch die Kraft des

Bizeps und den Abstand zwischen Ellenbogen-

gelenk und Ansatzpunkt des Muskels an der

Speiche (ca. 5 cm)

Beispiel:

Hebelwirkung von Werkzeugen

wie Schraubenschlüssel oder Zange

2

1122211

r

rFFFrFr

Experiment

Der Schwerpunkt eines Besens wird bestimmt: Der Besen dreht sich nicht, wenn er unter seinem

Schwerpunkt unterstützt wird, weil sich die Drehmomente beidseitig des Schwerpunkts aufheben.

Nun wird der Besen an seinem Schwerpunkt zersägt. Welche Hälfte ist schwerer, Stiel oder Bürste?

Laut mehrheitlichem Entscheid sind beide Hälften gleich schwer. Eine Betrachtung der Drehmomente

ergibt jedoch: die Bürste ist schwerer als der Stiel, aber ihr Hebelarm ist kürzer als der des Stiels.


Weitere Anmerkungen zur Drehbewegung:

Kinematik der gleichförmigen Kreisbewegung:

Die Beschleunigung zum Kreismittelpunkt wird auch

Zentripetalbeschleunigung genannt (lat. petere = streben).

Auf eine Masse m wird die zum Kreismittelpunkt gerichtete Zentripetalkraft ausgeübt:

Dagegen ist die nach außen gerichtete Zentrifugalkraft eine Scheinkraft, die in einem beschleunigten

Bezugssystem (s. später) auf einen Körper ausgeübt wird, da sich der Körper gemäß dem 1. Newtonschen

Gesetz geradlinig gleichförmig bewegen "will".

6

R

vaz

2

R

vmamF zz

2

2.1.4 Planetenbewegung (Kepler)

Der Lauf der Planeten am Himmel wird leichter verständlich, wenn annimmt, dass alle Planeten um die

Sonne kreisen. Eine gute Übereinstimmung erhält man erst unter der Annahme von Ellipsenbahnen.

Auf der Grundlage u.a. von Tycho Brahes Beobachtungen, fand Johannes Kepler zwischen

1609 und 1618 die nach ihm benannten Gesetze.

Galileo Galilei

(1564 - 1642)

Nicolaus Copernicus

(1473 - 1543)

Tycho Brahe

(1546 - 1601)

Johannes Kepler

(1571 - 1630)


7

Keplersche Gesetze

1. Keplersches Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in einem der

Brennpunkte steht die Sonne (ergibt sich aus dem Gravitationsgesetz, das

Newton 1687 formulierte). Abstand von der Sonne:

für Kreisbahnen Gravitationskraft = Zentripetalkraft

2. Keplersches Gesetz: Der Vektor Sonne-Planet überstreicht in gleichen

Zeiten gleiche Flächen (ergibt sich aus dem Drehimpulserhaltungssatz).

3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten

sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen.

Galileis Aufzeichnungen über

die Positionen der Jupitermonde

Brahes Observatorium auf der

(damals) dänischen Insel Hven

2

2

cos1 mMG

Lr

= 0 Kreis

1 > > 0 Ellipse

= 1 Parabel

> 1 Hyperbel

Kegelschnitte:

r

vm

r

mMG

mMG

rvm

mMG

Lr

2

22

222

2

2

vrdt

dmL

0 In der Klammer steht die pro Zeit überstrichene Fläche, weil der Betrag

des Kreuzprodukts die von den Vektoren aufgespannte Fläche ist.

const.3

2

a

T 2vr

1für Kreisbahnen: wie oben (*)

(*)

e

b

a

abaae // 22

Ein paar Begriffe:

a = große Halbachse der Ellipse

b = kleine Halbachse der Ellipse

e = Exzentrizität

= "numerische" Exzentrizität

Aphel = sonnenfernster Punkt

Perihel = sonnennächster Punkt


effektives Potenzial

8

Das effektive Potenzial

Die kinetische Energie eines Planeten kann in einen Radial- und einen Winkelanteil aufgeteilt werden.

Der Winkelanteil (azimutaler Anteil) wird hier durch den Drehimpuls ausgedrückt:

Energiesatz mit konstanter Gesamtenergie E:

Die Vorstellung einer Potenzialmulde, in der ein Teilchen (z.B. ein Planet) "gefangen" ist, ist in der

Physik aufgrund ihrer Anschaulichkeit sehr beliebt. In diesem Fall bildet das attraktive Potenzial einer

Zentralkraft (z.B. Gravitation) zusammen mit der

abstoßenden Drehimpuls"barriere" eine Mulde.

Verschiedene Fälle:

E1: nur azimutale Bewegung, nur ein Radius möglich

(Kreisbahn)

E2 < 0: azimutale und radiale kinetische Energie,

Radius zwischen zwei Werten (Ellipsenbahn)

E3 = 0: radiale Energie reicht gerade für eine

ungebundene Bewegung aus (Parabelbahn)

E4 > 0: auch im Unendlichen noch radiale kinetische

Energie, ungebundene Bewegung (Hyperbel)

vrmLrm

LrmvvmmvE r

2

22222

22

1

2

1

2

1

kin

22

2

2

2

1

2

1

2rmErm

rm

L

r

mMGEEE

effkinpot

Potenzial ~ 1/r

Drehimpuls"barriere" ~ 1/r2

effektives Potenzial

E4

E3

E2

E1


9

2.2 Systeme von Massenpunkten

Mit dem Gravitationsgesetz und der Planetenbewegung haben wir eigentlich schon Systeme von zwei

Massenpunkten betrachtet, die Kräfte aufeinander ausüben. Allerdings wurde eine Masse (Sonne) immer

als ortsfest angenommen, was nicht ganz richtig ist.

2.2.1 Grundbegriffe

Schwerpunkt von zwei gleichen Massen m:

Schwerpunkt von zwei verschiedenen Massen m1/2:

Schwerpunkt mehrerer Massen mi:

Die Summe aller Impulse ist konstant:

Der Schwerpunkt bewegt sich so, als ob alle Massen in ihm vereinigt wären und die äußeren Kräfte

an ihm angreifen. Wenn z.B. die Summe der äußeren Kräfte null ist, bewegt sich der Schwerpunkt

gleichförmig geradlinig (Impulserhaltung).

Im Schwerpunktssystem (Nullpunkt des Systems ist der Schwerpunkt) ist die Summe aller Impulse null.

Umrechung von Ortsvektoren riS im Schwerpunktssystem in Ortsvektoren ri eines anderen Systems:

mm

rmrmrrrS

21

212

1

11

2111

mm

rmrmrS

für jede Dimension:

arithmetisches Mittel

mit den Massen

gewichteter Mittelwert

N

i

i

N

i

iiN

i

i

N

i

ii

S mMrmM

m

rm

r11

1

1 1

S

N

i

iiN

i

N

i

iii rMM

rm

MrmpP

1

1 1

N

i

Si rMFF1

SiSi rrr


10

Beispiel: Erde und Mond, der Schwerpunkt ist ca. 4500 km vom Erdmittelpunkt entfernt

km kg 10604,7

kg km 370.000kg 10597,4km 22

22

4467103,70 22

Sr

1212

21

2112

12

21

2

12

2

212

1

121

111FF

mm

mmF

mmaa

m

F

m

Fa

m

Fa

M

2

E

MEM kg

kg

kg m

mm

mm

M

988,01026,7

107,604

104391 22

22

44

Statt der Bewegung beider Körper um den gemeinsamen Schwerpunkt kann man die Bewegung

der leichteren Körpers (z.B. Mond) um den Schwerpunkt des schwereren Körpers (z.B. Erde)

betrachten, wenn man statt der leichteren Masse die "reduzierte Masse" verwendet, z.B. Mond:

mE mM

M

ee

ep kg kg

m

mm

9995,0

1011,91067,1 3127

Beispiel: Proton und Elektron im Bohrschen Atommodell

Beispiel zur Bewegung des Schwerpunkts eines starren Körpers:

In einem Video (DELTA Productions) wird ein Besen wird geworfen.

Sein Schwerpunkt beschreibt eine Wurfparabel (rot), während andere

Teile des Besens, z.B. die Bürste, eine kompliziertere Bewegung

ausführen (blau).


11

2.2.2 Stoßprozesse

Ein Stoß ist eine kurzzeitige Wechselwirkung zwischen zwei Körpern z.B. Autos, Billardkugeln, etc.

Dabei müssen sich die Körper nicht notwendigerweise berühren, z.B. geladene Teilchen (Elektronen,

Protonen, Atomkerne etc.) oder Massen (Satelliten, Planeten, Galaxien etc.). Man unterscheidet je nach

Änderung Q der "inneren Energie":

Q = 0: elastische Stöße; die Summe der kinetischen Energien bleibt erhalten

Q < 0: inelastische Stöße; die Summe der kinetischen Energien nimmt ab (z.B. durch Reibung, Wärme...)

Q > 0: superelastische Stöße; die Summe der kinetischen Energien nimmt zu (ein Körper gibt Energie ab)

Bei reaktiven Stößen können sich auch die Massen der Stoßpartner ändern, z.B. chemische Reaktion

2.2.2.1 Elastische Stöße

Beim elastischen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz

2121 pppp

2

22

2

11

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1vmvmvmvm

ohne Strich: vor dem Stoß

mit Strich: nach dem Stoß

Beispiel: zentraler Stoß (Bewegung entlang einer Achse)

2

21

21

21

211

21122211

2222211111

2

1

2

11

2221112112211

2v

mm

mv

mm

mmv

vvvvvvvv

vvvvmvvvvmvvm

vvmvvmvmvmvmvm

(II)

(I)Impulssatz

Energiesatz

(II) durch (I)

in (I) eingesetzt und ein analoger Ausdruck für v'2 (Index 1 und 2 vertauscht)


12

Spezialfall: m2 ruht vor dem Stoß: v2 = 0, v1 nach "rechts"

m1 > m2 : 0 < v'1 < v1 0 < v1 < v'2

m1 < m2 : v1 < v'1 < 0 0 < v'2 < v1

m1 = m2 : v'1 = 0 v'2 = v1

Impulsübertrag

Energieübertrag

1

21

121

21

211

2v

mm

mvv

mm

mmv

langsam nach rechts schnell nach rechts

langsam nach links langsam nach rechts

bleibt stehen mit v1 nach rechts

vgl. Versuche mit der

Luftkissenschiene

11

21

1222 2

2vv

mm

mmvm

1

21

2

12

21

212

12

21

2

12

2

22 444

2

1

2

1E

mmE

mm

mmv

mm

mmvm

2

21

21

21

211

2v

mm

mv

mm

mmv

1

21

12

21

122

2v

mm

mv

mm

mmv

und


13

2.2.2.2 Inelastische Stöße

Beim inelastischen Stoß gilt der Impulserhaltungssatz, nicht aber der Energieerhaltungssatz. Nach

einem vollkommen inelastischen Stoß bewegen sich beide Stoßpartner mit derselben Geschwindigkeit.

Spezialfall: zentraler inelastischer Stoß, m2 ruht vor dem Stoß: v2 = 0 , v1 nach "rechts"

2

1

21

2

12

12

21

2

121

1

21

112111221

2

1

2

1v

mm

mv

mm

mmmE

vmm

mvvmvmm

EQ

EvmEmmm

2

1

2

1

4

1 2

121

z.B. zwei gleiche Massen

Nicht-zentrale elastische Stöße

erfordern eine aufwändigere Rechnung und werden hier nicht behandelt. Sie sind trotzdem wichtig.

Klassische Beispiele sind:

- Stöße von Billardkugeln

- Stöße von -Teilchen (Heliumkerne) mit schweren Atomkernen (Rutherford, um 1911)

- Stöße zwischen Photonen (Lichtteilchen) und Elektronen, sog. Compton-Streuung

(mehr dazu später)

Energieverlust


14

2.3 Der ausgedehnte starre Körper

"Starre" Körper sind solche, die sich nicht verformen, d.h. der Abstand zwischen zwei Volumenelementen

des Körpers ist zeitlich konstant. Während man bei einem System von Massenpunkten über alle Punkte

summiert, muss man beim ausgedehnten Körper über alle infinitesimalen Volumenelemente integrieren:

2.3.1 Bewegung eines starren Körpers

Relativbewegung des Elements i zum Schwerpunkt

R

r

x

xx

y

yy

z

zzV

V

Si

V

S

VVV

N

i

i

NV

drddrdzdydxdVV

dVrV

rdVrM

r

dVdmMdVVVi

0 0

2

0

2

10

sin

11

lim

2

1

2

1

2

1

p

p

r

r

oder

r ist die Dichte = Masse pro Volumeneinheit

für homogene Körper vereinfacht:

Die Integration erfolgt über alle Koordinaten, z.B. kartesische oder (bei Bedarf) Kugelkoordinaten:

Das kann im Einzelfall kompliziert werden, aber im folgenden werden nur einfach geformte Körper

betrachtet, z.B. Zylinder, Hohlzylinder, Kugeln etc.

SiiSiS

SiiS vvvdt

rdrrr

Abstände sind zeitlich konstant: iSiSiSiSiS vrvrrdt

d d.h.022

Die Bewegung relativ zum Schwerpunkt ist immer eine Drehbewegung:

Hier ist die Winkelgeschwindigkeit ein Vektor. Die Länge gibt die Kreisfrequenz,

die Richtung die Drehachse an (rechtshändig: Daumen in Richtung des Vektors)

iSSi

iSiS

rvv

rv

Sr iSr

S


15

2.3.2 Rotationsenergie und Trägheitsmoment

Kinetische Energie bei einer Rotation mit Winkelgeschwindigkeit

Massenelement

gesamter Körper

Trägheitsmoment I

Drehimpuls für ein Massenelement

Drehimpuls des gesamten Körpers

Zeitl. Änderung des Drehimpulses = Drehmoment

Sechs Freiheitsgrade: Translation in 3 Richtungen, Rotation um 3 Achsen

Die Angabe einer Kraft F erfordert bei einem ausgedehnten Körper auch

die Angabe eines Angriffspunkts P. Die Einführung zweier entgegengesetzt

gleicher Kräfte F'=F und F", die am Schwerpunkt S angreifen,

ändern an der Bewegung nichts. Damit:

F' bewirkt eine Beschleunigung → Translation

F" und F bewirken zusammen ein Drehmoment bzgl. S → Rotation

m N 1 DFrD iSS

VV

rot

VV

rot

iiiiiii

dVrdmrIIE

dVrdmrE

rvmrvmE

r

r

222

22

22

2

2

2

2

1

22

22

1

mit

Drehachsezur senkrecht ir

I

LIEIdmrL

mrevmrL

rot

V

iiiiii

22

1 222

2

ID

(Hebelarm x Kraft)


16

Experiment zur Drehimpulserhaltung

Eine Person sitzt auf einem rotierenden Stuhl mit Hanteln an den ausgestreckten Armen. Wenn die Person

die Arme anwinkelt, verkleinert sich das sog. Trägheitsmoment. Es gilt (siehe nächste Vorlesung):

Drehimpuls L = Trägheitsmoment I × Kreisfrequenz (analog zu Impuls = Masse × Geschwindigkeit)

Die Rotationsfrequenz erhöht sich deutlich, wenn die Person

auf dem Drehstuhl die Arme anwinkelt.

Experimente zum Kreisel

(1) Ein kleiner Kreisel wird mit Druckluft in schnelle Rotation

versetzt. Wenn er nur einseitig unterstützt wird, z.B. ein Ende der Achse an

einem Faden hängt (s. Bild), so dreht sich das andere Ende der Achse

horizontal im Kreis, statt nach unten zu fallen.

(2) Ein Zylinder, der einen Kreisel mit horizontaler Achse enthält, rollt eine

schmale gekrümmte Schiene entlang, ohne herunter zu fallen.

In beiden Fällen gilt: Wenn der Kreisel aufgrund der Schwerkraft nach unten

zu kippen droht, wirkt ein Drehmoment

das einer Änderung des Drehimpulses entspricht. Diese Änderung ist senkrecht

zur Schwerkraft (m∙g) und senkrecht zum Ortsvektor r vom Punkt, an dem die

Achse unterstützt wird, zum Schwerpunkt des Kreisels. Es ist also eine

Änderung der Richtung des Drehimpulses und damit der Rotationsachse.

Diese Bewegung wird "Präzession" genannt und ergibt sich formal aus dem

Kreuzprodukt in obiger Formel. Eine "anschauliche" Deutung ist etwas

schwieriger (z.B. mithilfe der noch nicht behandelten Corioliskraft).

LgmrD

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