Heute: -  Wiederholung: Drehbewegungen -  Drehimpuls & Anwendungen -  Einschub: „Drehmomentsmessungen an biologischen Molekülen“ -  Fluide & deformierbare Körper: Druck und Auftrieb

Physik 1 für Chemiker und Biologen 8. Vorlesung – 11.12.2017

Prof. Dr. Jan Lipfert Jan.Lipfert@lmu.de

http://xkcd.com/1184/

1  

2  

3  

Drehachse  

1 m  

36 kg  

2 m  9 kg  

3 m   4 kg  

Wiederholungs-/Einstiegsfrage: Abstimmen unter pingo.upb.de, # 156658 Die Skizze zeigt drei Kugeln (1, 2, 3), die sich um eine senkrecht Achse drehen. Ordnen Sie die Kugeln nach ihrem Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse, beginnend mit dem größten Wert. A) 1 > 2 > 3 B) 3 > 2 > 1 C) 2 > 1 > 3 D) 1 = 2 = 3

Wiederholung: Drehbewegungen •  Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus Translation und Rotation zusammensetzten

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•  Bewegungsgleichungen für Drehbewegung: Winkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung

d~� ~! =d~�

dt~↵ =

d~!

dt=

d2~�

dt2

•  Trägheitsmoment:

Einheit: [I] = kg·m2

I =X

i

mir2i =

Zr2dm =

Zr2⇢ dV

•  Steinerscher Satz: (über parallele Achsen)

Ia0 = Ia +Md2

•  Rotationsenergie: Erot

=1

2I!2

Schwungräder als Energiespeicher

04.12.17   Prof.  Dr.  Jan  Lipfert     3  

https://de.wikipedia.org/wiki/Schwungrad

Carbon  Fiber    Composite  Flywheel  

-  Drehung mit bis zu 80 000 rpm -  Erot ~ 350 kWh ~ 109 J -  Vakuum um Verluste durch Luftreibung zu minimieren -  Anwendung: schnelle Notstromversorgung

https://de.wikipedia.org/wiki/Schwungrad

Das Drehmoment

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Gleichgewichtsbedingung des starren Körpers

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•  Translation:

•  Rotation:

Experiment: Hebel mit Kraftmesser Experiment: Drehmomentscheibe

Hebelgesetz:

Archimedes von Syrakus

(287-212 v. Chr.)

https://de.wikipedia.org/wiki/Zahl

Erinnerung: ~F = m · ~a

Drehimpuls

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Definition (für Massepunkt): ~L = m · (~r ⇥ ~v)

Änderung des Drehimpuls

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~L =X

i

mi(~ri ⇥ ~vi)

•  Wenn keine äußeren Drehmomente wirken, bleibt der Gesamtdrehimpuls konstant! •  Wenn äußere Drehmomente wirken, ändern sie den Gesamtdrehimpuls gemäß:

~̇L =X

i

~ri ⇥ ~Fi = ~TGesamt

Anwendungen der Drehimpulserhaltung •  Der Drehimpuls in einem

abgeschlossen System ist konstant!

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Film: https://www.youtube.com/watch?v=AQLtcEAG9v0

http://denkwerkstatt-physik.de/denkwerkstatt-physik/files/mechanik/gestoerte_nachtruhe/pirouetteneffekt1.html

Experiment: Drehstuhl mit Hanteln

https://de.wikipedia.org/wiki/B%C3%BCrostuhl https://en.wikipedia.org/wiki/Dumbbell#/media/File:TwoDumbbells.JPG

•  Betrag des Drehimpulses:  

|~L| = mr2! = I!~L =

X

i

~Li(t) = const.

„Die rotierende Studentin“

Eine furchtlose Studentin setzt sich auf einen (ruhenden) Drehstuhl. Sie hält einen Kreisel, der sich gegen den Uhrzeigersinn um eine vertikale Drehachse dreht. Jetzt dreht sie den Kreisel um 180º, so dass er sich im Uhrzeigersinn dreht.

Was passiert mit der Studentin auf dem Drehstuhl? Abstimmen unter pingo.upb.de! A) Sie bleibt in Ruhe. B) Sie beginnt sich im Uhrzeigersinn zu drehen. C) Sie beginnt sich gegen den Uhrzeigersinn zu drehen.

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Experiment: Drehstuhl mit Felge https://de.wikipedia.org/wiki/B%C3%BCrostuhl

Anwendungen des Drehimpulssatzes: Präzession des Kreisels

~̇L =X

i

~ri ⇥ ~Fi = ~TGesamt

Experiment: Gyroskop Experiment: Kreisel

Die Richtung der Drehimpulsänderung steht senkrecht zur Kraft bzw. zum Drehmoment!

1. Schwungrad dreht sich nicht

2. Schwungrad dreht sich

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Drehbewegungen in Molekülen und Atomen

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Elektronen und viele Atomkerne haben einen besonderen Drehimpuls - den Spin Grundlage für ESR, NMR, MR-Bildgebung

http://chemwiki.ucdavis.edu/Physical_Chemistry/Quantum_Mechanics/09._The_Hydrogen_Atom/Atomic_Theory/Electrons_in_Atoms/Electron_Spin

Rotations-Spektroskopie Gasmoleküle mit Trägheits- und elektr. Dipolmoment können zur Rotation angeregt werden. Aus den Spektren kann auf die Bindungslängen geschlossen werden.

Vibration-Rotation-Linienspektrum von Kohlenstoffmonoxid

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotational_vibrational_spectroscopy Wassermoleküle werden im Mikrowellenherd zu (gehinderten) Rotationen angeregt. Dies führt zur Erwärmung der wasser-haltigen Speisen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Microwave_oven

Lineare vs. Drehbewegungen

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Weg, Verschiebung

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Masse

Impuls

Kraft

Kinetische Energie

Drehung

Drehwinkel

Winkelgeschwindigkeit

Winkelbeschleunigung

Trägheitsmoment

Drehimpuls

Drehmoment

Rotationsenergie

LineareBewegung

http://de.wulffplag.wikia.com/wiki/Datei:Kettenkarussell.jpg

Drehung

http://sportsnscience.utah.edu/2012/09/04/skiing-friction-basic/

Lineare Bewegung

Zu jeder Größe der linearen Bewegung gibt es eine korrespondierende Größe der Drehbewegung. Die Gleichungen für beide Bewegungsformen sind formal gleich!

Beispiel aus der aktuellen Forschung:

Drehmomentsmessungen auf der molekularen Skala

(  11.12.2017   Prof.  Dr.  Jan  Lipfert   13  

Drehmomente in der Molekularbiologie (1/2)

Sowa & Berry, Quat. Rev. Biophys (2008)

Klassisches Beispiel: Bakterielle Flagellen

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Schwimmende E. coli Bakterien (Flagellen sind fluoreszierend gefärbt)

Quelle: Howard Berg Lab @ Harvard http://www.rowland.harvard.edu/labs/bacteria/movies/

Animation des flagellaren Motors https://www.youtube.com/watch?v=xEVq7jCT4kw

Drehmomente in der Molekularbiologie (2/2)

Die Helizität der DNA hat wichtige Auswirkungen für ihre Transkription und Replikation:

Liu & Wang, PNAS (1987) Koster, Crut, et al., Cell (2010) 11.12.2017   Prof.  Dr.  Jan  Lipfert   15  

Länge: ~0,3 nm pro Basenpaar

Radius: ~1 nm

Figure 1-2d,e Molecular Biology of the Cell, Fifth Edition (© Garland Science 2008)

Unsere genetische Information ist in der Form von doppelsträngiger DNA gespeichert  

Einzelmolekülmessungen mit magnetischen Pinzetten

Vilfan,  Lipfert,  Koster,  Lemay  &  Dekker,  Springer  Handbook  of  Single-­‐Molecule  Biophysics  (2009)  

Verfolge die Kugel-Position in (x,y,z) mit ~ 1 nm Auflösung

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Multiplexing!

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Elastisches Regime: Bestimme die Drehpersistenzlänge C

“Buckling” Übergang bei einem kritischen Drehmoment; Unterhalb ~ 1 pN symmetrisch

Für F > 1 pN, schmilzt die DNA bei einem Schmelzdrehmoment von ca. -11 pN·nm

Für F > 5 pN, ändert die DNA ihre Konformation zu P-DNA bei Überdrehung

MTT  

eMTT  

Kra$:  F  =  0.5,  1,  3,  6  pN  Lipfert, et al., PNAS (2014)

Drehmomentsmessungen an DNA

Drehmomentsmessungen an E. coli

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E. coli Zellen werden an einer Oberfläche immoblisiert und magnetische Kugeln spezifisch an den flagellaren Motorkomplex gekoppelt:  

Van Oene, et al., Scientific Reports (2017)  

)  11.12.2017   Prof.  Dr.  Jan  Lipfert   20  

Mechanik von Flüssigkeiten und

deformierbaren Festkörpern 11.12.2017   Prof.  Dr.  Jan  Lipfert   21  

https://de.wikipedia.org/wiki/Welle

Bisher:

1) Massenpunkte (nur Translation)

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Massenpunkte starre Körper – reale Körper

2) Starre Körper (Translation und Rotation) Ändern Form unter äußeren Einflüssen (Kräfte, Drehmomente) nicht

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreisel https://de.wikipedia.org/wiki/Kartoffel

https://de.wikipedia.org/wiki/Baseball

Jetzt:

dm1

dm2

3) Deformierbare Körper Mögliches Vorgehen: •  Einteilung im Massenelemente dm •  Kräfte zwischen diesen dm •  Integration

Besser: Neue Größen https://de.wikipedia.org/wiki/Badeschwamm

Deformierbare Körper Ve

rfor

mba

rkei

t

Ord

nung

Kristalliner Festkörper

Flüssigkeiten Volumenelastisch bzw. nicht

kompressibel, aber nicht formelastisch

Gase füllen das Volumen aus; keine Form-,

geringe Volumen-Elastizität – sind kompressibel

Amorpher Festkörper

Form- und volumenelastisch (Behalten ihre Form und ihr

Volumen, in gewissen Grenzen)

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https://de.wikipedia.org/wiki/Diamant https://de.wikipedia.org/wiki/ Kristallstruktur

https://de.wikipedia.org/wiki/Wasser

https://de.wikipedia.org/wiki/Korken https://de.wikipedia.org/wiki/Kork

https://de.wikipedia.org/wiki/Trinkglas

https://de.wikipedia.org/wiki/Gas https://de.wikipedia.org/wiki/Gasflasche

Dichte

Typische Werte

Weltall Luft Wasser Aluminium Quecksilber Neutronen-stern

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https://de.wikipedia.org/wiki/Kartoffel

Druck

bar atm psi (pounds per square inch)

Torr (mm Hg)

105 Pa 1,01325 ·105 Pa 6894,757 Pa 133,322 Pa

Ein paar gebräuchliche Druck-Einheiten:

Blaise Pascal (1623 - 1662)

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https://en.wikipedia.org/wiki/Pressure_measurement

https://als.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

Hydrostatischer Druck

Hydraulische Presse

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https://de.wikipedia.org/wiki/Hydraulik

Hydrostatischer Druck & Schweredruck

Anwendung: Torricelli-Barometer

Vakuum

h

Experiment: Kommunizierende Röhren

Experiment: Trichter und U-Rohr

h„Hydrostatisches Paradoxon“

Experiment: Magdeburger Halbkugel 11.12.2017   Prof.  Dr.  Jan  Lipfert   27