(1)

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Schwingungsarten1. Freie ungedämpfte Schwingung

Keine Reibung, innere Rückstellkraft proportional zur Auslenkung

2. Freie gedämpfte SchwingungGeschwindigkeitsproportionale innere Reibungskraft

3. Erzwungene SchwingungEinwirkende äußere periodische Kraft treibt Schwingung an

Schwingungen Begrifflichkeiten anhand mechanischer Systeme entwickelt. Jedoch auf andere Bereiche übertragbar, zB Schwinkreise in ET

-x0 0 +x0 x

F = - k·x(t)

km

SchwingungPeriodische Zustandsänderung – periodische Energieumwandlung

Reproduktion des Zustands nach fester Zeit T

T = Periode f = 1/T = Frequenz ωωωω = 2π⋅π⋅π⋅π⋅f

)(txkF ⋅−=

Schwingung : Einzelnes schwingfähiges Element (Oszillator)

Wellen :Vielzahl gekopplelter schwingfähiger Elemente Energietransport im Raum

)()( Ttxtx +=

)()( tvctxkF ⋅−⋅−=

)cos()()( 0 tFtvctxkF ⋅Ω⋅+⋅−⋅−=

(2)

© H.Neuendorf

Freie ungedämpfte Schwingung Harmonischer Oszillator, Bsp Federkraft

Schwingfähiges System = OszillatorPeriodische Energieumwandlung zwischen Ek und Ep ohne dissipative Energieverluste

Konstante Amplitude Durch System-Parameter bestimmt

Anzahl Zyklen je Zeiteinheit =

Frequenz f0

Eigenfrequenz ππππωωωω2

1 0

00 ==

Tf

Amplitude = Scheitelwert

(3)

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Freie ungedämpfte Schwingung Harmonischer Oszillator, Federkraft

Bereits gelöst bei Behandlung der Bewegungsgleichungen

-x0 0 +x0 x

F = - k·x(t)

km

Kraft wirkt Auslenkung stets entgegen und ist ihr proportional

Eindimensionales Problem Nur x-KoordinateRandbedingungen t = 0s : x(t = 0s) = x0 v(t = 0s) = v0

mk

smx

dtxd

smx

mk

dtxd

xkdt

xdmamxFrF

==⋅+

=⋅+

⋅−=⋅=⋅==→→

02202

2

22

2

2

2

0

0

)()(

ωωωωωωωωPhysik : Periodischer Vorgang !Mathe : Funktion deren zweite Ableitung gleich Negativen der Funktion selbst ist mit Vorfaktor ω2

Lösungsansatz : Cosinus und Sinus - Harmonische Bewg. Testen durch Einsetzen in DGL

)()sin()cos()(

)cos()sin()(

)sin()cos()(

200

2020

201

002001

0201

txtctctx

tctctx

tctctx

⋅−=⋅⋅−⋅⋅−=

⋅⋅+⋅⋅−=

⋅⋅+⋅⋅=

••

•

ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωω

Vernachlässigung von Reibung umso eher gerechtfertigt, je größer m (Trägheit) und k (Antreibende Kraft)

(4)

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Freie ungedämpfte Schwingung

Definition Periode T : Nach ∆∆∆∆ t = T hat System kompletten Zyklus durchlaufen

Sinus, Cosinus hat Periodizität 2ππππ : cos(α) = cos( α + 2ππππ )

Schwingungsdauer umso länger, je schwerer die Masse und je weicher die Feder

Bestimmung Faktoren c1 und c2 aus Randbedingungen für t = 0s :

Speziell : Masse bei t = 0s mit x0und v0 = 0 m/s

x(t) = x0 cos (ωωωω0t)

( )( ) ( )( )( ) ( )

000

00000

00000

0201

212

)2sin(sinsin)sin(

)2cos(coscos)cos(

)()()sin()cos()(

ωωωωππππππππωωωω

ππππωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω

ππππωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωω

===⋅

+⋅=⋅+⋅=+⋅=⋅

+⋅=⋅+⋅=+⋅=⋅

+=⋅⋅+⋅⋅=

fTT

tTtTtt

tTtTtt

Ttxtxtctctx

)sin()cos()(

)0()0(

)0(

00

000

0

02002

01

tvtxtx

vcvcstxstv

xcstx

⋅⋅+⋅⋅=

==⋅====

===

•

ωωωωωωωω

ωωωω

ωωωωωωωω

(5)

© H.Neuendorf

=

+=

+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅=

0

000

2

0

020

00

00

000

arctan

)sin(

)sin()cos()(

vxvxA

tA

tvtxtx

ωωωωϕϕϕϕωωωω

ϕϕϕϕωωωω

ωωωωωωωω

ωωωω

Freie ungedämpfte SchwingungKompaktere Formulierung der Lösung mittels Additionstheoremen für Sinus + Cosinus :

Summe harmonischer Schwingungen ist wieder harmonische Schwingung

Spe

ziel

lv0

= 0

m/s

:

ar

ctan

(∞) =

ϕ0

= π

/2

x(

t) =

x0

cos

( ωω ωω0t

)

Bedeutung : Start mit v0 ≠ 0 m/s

Masse hat zusätzlichekinetische Energie

Vergrößerte Amplitude A Phasenverschiebung

gegenüber Cosinus-Verlauf

PhasenverschiebungEffektive Amplitude

ωωωω0 ist unabhängig von v0

Test :Einsetzen von v0 = 0 m/s liefert wieder einfachen Cosinus-Verlauf

(6)

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Freie ungedämpfte Schwingung

Energie der Schwingung ist konstant - da keine Reibungsverluste !

constAkAm

vxmvmxmvmxkE

=⋅=⋅⋅=

+⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅=

2220

2

0

020

20

20

20

202

020

22

22222

ωωωω

ωωωωωωωωωωωω

Periodische Umwandlung von potentieller Energie in kinetische Energie

Periodischer Energieaustausch mit doppelter Systemfrequenz

Energie des Oszillators wächts quadratischmit Amplitude und Frequenz

(7)

© H.Neuendorf

)(

)sin()(

)cos()(

)sin()(

20

0020

000

00

tx

tAta

tAtv

tAtx

⋅−=

+⋅⋅⋅−=

+⋅⋅⋅=

+⋅⋅=

ωωωω

ϕϕϕϕωωωωωωωω

ϕϕϕϕωωωωωωωω

ϕϕϕϕωωωωFreie ungedämpfte Schwingung

Effekt unterschiedlicher Anfangsgeschwindigkeiten v0

a) Vergrößerte Amplitude A

b) Phasenverschiebung ϕϕϕϕgegenüber reinem Cosinus

4,0,

4

/1,/0,/1

1/11

0

0

10

ππππππππϕϕϕϕ

ωωωω

+−=

+−=

=== −

smsmsmv

smNkkgm

Beschleunigung + Kraft! ist proportional und entgegengesetzt zur Verschiebung x(t)

(8)

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Freie gedämpfte Schwingung - schwache Dämpfung : Schwingfall

Wirkende Kräfte :

1. Federkraft Fk = - k·x(t) wirkt Auslenkung stets entgegen

2. Zusätzliche Reibungskraft FR = - c·v(t) proportional v

Randbedingungen t = 0s : x(t = 0s) = x0 v(t = 0s) = v0

22

2

2

2

0

)()(

smx

mk

dtdx

mc

dtxd

tvctxkFFFdt

xdm Rk

=⋅+⋅+

⋅−⋅−=+==⋅

Beobachtung :System schwingt harmonisch

Amplitude nimmt mit der Zeit exponentiell ab

Ansatz für x(t) :Produkt aus Dämpfungsterm und Schwingungsterm

( ))sin()cos()( 21 tctcetx t ⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅− ωωωωωωωωδδδδ

-x0 0 +x0 x

F = - k·x(t) - c·v(t)

km

Dämpfungskonstante c[kg / s]

Einhüllende der Schwingung fällt exponentiell ab

System verliert permanent mechanische Energie durch Dissipation …..[ δδδδ ] = [1 / s]

(9)

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Freie gedämpfte Schwingung - schwache Dämpfung : Schwingfall

Bestimmung von ωωωω und δδδδ aufwändiger :

ωωωωδδδδωωωωδδδδ 00

2021

01

)0()0(

)0(

xvcvcctxstv

xcstx

⋅+==⋅+⋅−====

===

•

Bestimmung Vorfaktoren c1 und c2 aus Randbedingungen für t = 0 s :

mk

mc

mk

mc =≠−=−== 0

2202

2

42ωωωωδδδδωωωωωωωωδδδδ

Resultat :1. Gedämpfter Oszillator schwingt mit geringerer Eigenfrequenz (langsamer) als der

ungedämpfte Oszillator (Unterschied wächst mit zunehmender Reibung)

2. Exponentieller Abfall der Amplitude - umso rascher, je kleiner m und je größer

Dämpfungskonstante c3. Ansatz funktioniert nur für kleine Dämpfung c dh :

Für größere Dämpfung c wird Frequenz ωωωω imaginär !Bedeutung : Keine Schwingung mehr !

4. Verlustleistung durch Reibung :

δδδδωωωω ≥⇔≥ 02

2

4mc

mk

Herleitung durch Ansatz e-Funktion als genereller Lösung einer HLDGL …

2vcdtvvcdtddxvc

dtdW

dtdP RR ⋅=⋅⋅=⋅==

(10)

© H.Neuendorf

Freie gedämpfte Schwingung - schwache Dämpfung : Schwingfall

Gesamtlösung für kleine Dämpfung = SchwingfallKompakte Formulierung :

Für c = 0 kg/s bzw δδδδ = 0/s erhält man Ausdrücke der ungedämpften Schwingung

Durch Dämpfung verliert System mechanische Energie als Reibungswärme

Energie nicht konstant - fällt exponentiell ab :

Konstantes Verhältnis aufeinanderfolgender Amplituden ∆∆∆∆ t = T :

"Logarithmisches Dekrement" δδδδ ·TBestimmung von c aus δδδδ T

i

i eAA

AA

AA ⋅

+==== δδδδ

13

2

2

1

δδδδττττ

ττττ

δδδδ

21

)0(

2/

22

=

⋅==

⋅⋅=

−

⋅⋅−

t

t

estE

eAkE

δδδδωωωω ≥⇔≥ 02

2

4mc

mk

( )

⋅+⋅=

⋅++=

+⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=

⋅−

⋅−

00

00

2002

0

0

000

arctan

sin

)sin()cos()(

xvxxvxA

teA

txvtxetx

t

t

δδδδωωωωϕϕϕϕ

ωωωωδδδδ

ϕϕϕϕωωωω

ωωωωωωωωδδδδωωωω

δδδδ

δδδδ

220

2

2

4

2

δδδδωωωω

ωωωω

δδδδ

−=

−=

=

mc

mk

mc

Zeitkonstante

(11)

© H.Neuendorf

Freie gedämpfte Schwingung - starke Dämpfung : Kriechfall

Starke Dämpfung : Keine Schwingung mehr !

Oszillator nähert sich direkt asymptotisch der Ruhelage

Starke Dämpfung verhindert jede Schwingung !

2202

2

4δδδδωωωωωωωω −=−=

mc

mk

Fälle :

1. Aperiodischer Grenzfall → ωωωω = 0 rad/s

2. Kriechfall → ωωωω wird imaginär

02

2

4ωωωωδδδδ ≥⇔≤

mc

mk

Keine Schwingung mehr wenn :

2

2

4mc

mk =

2

2

4mc

mk <

Im aperiopdischen Grenzfall erreicht das System am schnellstendie Ruhelage

(12)

© H.Neuendorf

Freie gedämpfte Schwingung - Starke Dämpfung

Dämpfung verhindert jede Schwingung

Lösungen x(t) :

1. Aperiodischer Grenzfall → ωωωω = 0 rad/s

Aus Lösung für Schwingfall herleitbar für ω→0 rad/s :

( )( )txvxe

txvtxetx

t

t

⋅⋅++⋅=

=

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=

⋅−

⋅−→

000

000

0)sin()cos(lim)(

δδδδ

ωωωωωωωωδδδδωωωω

δδδδ

δδδδωωωω

2. Kriechfall → ωωωω wird imaginärMathematisch aufwendiger

Aus Lösung für Schwingfall "herleitbar" →Für imaginäre Werte gehen harmonische Funktionen in hyperbolische Funktionen über :

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅= ⋅− )sinh()cosh()( 000 tq

qxvtqxetx t δδδδδδδδ

Lösungsfunktionen enthalten keineschwingenden, dh periodischen Funktionen mehr !

mk

mcq −= 2

2

4

Lösungen ebenfalls durch generellen Ansatz einer e-Funktion herleitbar ….

(13)

© H.Neuendorf

Erzwungene Schwingung Freie Schwingungen : Einmaliger kurzfristiger Eingriff - dann sich selbst überlassen

Erzwungene Schwingung : Durch ständig einwirkende äußere Kraft F(t)

Äußere Kräfte kompensieren Energieverluste durch Reibung

Erzwungene Schwingung solange äußere Kraft einwirkt

Wichtigster Fall : Harmonische äußere Kraft F(t) = F0 · cos(ΩΩΩΩ ·t)

ΩΩΩΩ = Kreisfrequenz der erregenden Kraft

ResonatorenKeine starre sondern schwingfähige Ankopplung

Durch Kopplung wird dem Resonator die Frequenz ΩΩΩΩ der äußeren Kraft aufgezwungen !

Frage : Wie groß ist die sich ergebende Amplitude = Stärke der System-Response

Wie gut kann das träge System dem Stimulus folgen = Phasenverschiebung ?

(14)

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)cos(

)cos()()(

02

2

02

2

tFxkdtdxc

dtxdm

tFtvctxkFFFFdt

xdm aRk

⋅Ω⋅=⋅+⋅+⋅

⋅Ω⋅+⋅−⋅−=++==⋅

Erzwungene Schwingung Bewegungsgleichung :

Äußere Kraft liefert zusätzlichen Term : Fördert die Bewegung positives Vorzeichen

Kräfte = Federkraft + Dämpfungskraft + Äußere Kraft

Lösungsansatz gemäß SchwingverhaltenNach einiger Zeit (Abklingen Einschwingvorgang!) herrschen stationäre Verhältnisse :

1. System schwingt nicht mit Eigenfrequenz ωωωω sondern mit aufgezungener Frequenz ΩΩΩΩder erregenden Kraft F(t)

2. Schwingung des Systems läuft um Phase ϕϕϕϕ verschoben hinter erregender Kraft her Lösungsansatz für die stationäre Schwingung :

Einsetzen Ansatz in DGL liefert Bedingung für Amplitude A und Phasenverschiebung ϕϕϕϕSystemparameter (m, k, c, F0 ) bestimmen nur Größe von A und ϕϕϕϕ

Inhomogene DGLRechte Seite ≠ 0

)cos()( ϕϕϕϕ−⋅Ω⋅= tAtx

Unregelmäßige Einschwingphase muss gesondert behandelt werden !

(15)

© H.Neuendorf

)cos()()(

02

2tFtxk

dttxdm ⋅⋅=⋅+⋅ ΩΩΩΩ

Resonanz : Erzwungene Schwingung ohne ReibungDGL ohne Reibungskraft :

Einsetzen x(t)-Ansatz in DGL liefert Amplitudenausdruck A :

Naiver Lösungs-Ansatz ohneBerücksichtigung Phasenverschiebung :

)cos()( tAtx ⋅⋅= ΩΩΩΩ

( )( ) ( ) ( )22

0

022

0

0

022

0

020

20

2

02

/

)cos()cos()cos(

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

−=

−⋅=

=⋅−⋅⋅

=⋅⋅+⋅⋅−=⋅+⋅⋅−

⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−

ωωωωωωωω

ωωωω

ωωωω

mFm

FA

FmmA

FAmAmFAkAm

tFtAktAm 20

20

ωωωω

ωωωω

⋅=

⇔=

mk

mk

Diskussion des charakteristischen A-Verlaufs :

kF

mFAe

mAdmAc

mAbAa

020

0

0

00

0)

0)0)

0))

=⋅

→→

→∞→<>

><∞→=

ωωωω

ωωωω

ωωωωωωωω

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩ

Bedeutung A-Verlauf :a) Resonanzkatastrophe mit unendlicher Amplitude bei ΩΩΩΩR = ωωωω0

b) A hat gleiches Vorzeichen wie F(t) : Resonator kann niedrigen Anregungs-frequenzen verzugslos folgen. Resonator und Anregung im Gleichtakt mit ϕϕϕϕ = 0c) A hat entgegengesetztes Vorzeichenwie F(t) : Bei hoher Anregungsfrequenz kann Resonator nur phasenverschobenfolgen : Gegentakt mit ϕϕϕϕ = ππππd) Resonator kann nicht mehr folgen. Kein Energieübertrag, keine Anregung

e) Statische Verhältnisse. Hooksches-Gesetz für konstante äußere Kraft

(16)

© H.Neuendorf

Bedeutung :1. Amplitude A umso höher + schärfer je größer F0 / m und je kleiner Dämpfung c

2. Für Dämpfung c = 0 kg/s divergiert Amplitude A →∞→∞→∞→∞ wenn ΩΩΩΩ2 = k / m3. Für Dämpfung c = 0 kg/s ϕϕϕϕ = 0 oder ππππ →→→→ Kraft und Oszillator im Gleich- oder Gegentakt

Resonanz →→→→ Erreichen der maximalen Amplitude ABedingung : Nenner von A wird mimimal

Erzwungene Schwingung Lösung der allgemeinen Bewegungsgleichung :Bedingungen für Amplitude und Phasenverschiebung

Ω−

Ω⋅=

Ω⋅+

Ω−

=

−⋅Ω⋅=

2222

0

arctan

)cos()(

mkmc

mc

mk

mF

A

tAtx

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

!02 2

2

224

2

2222 =

ΩΩ+Ω−Ω+=

Ω⋅+

Ω−=ddn

mc

mk

mk

mc

mkn

!02 2

2

>−mc

mkBedingung für

Resonanz-maximum

Warum spielen die Rand-bedingungen x0 und v0 zur Zeit t = 0s keine Rolle ? …….

2202

2

22

δδδδωωωω −=−=Ωmc

mk

R

(18)

© H.Neuendorf

Grund :Die so formulierten Ausdrücke gelten für alle Resonanzphänomene – egal ob mechanischer oder elektrotechnischer Natur …

Erzwungene Schwingung

Formulierung Zusammenhänge ohne direkten mechanischen Bezug

durch Verwendung der allgemeinen Größen ωωωω0 und δδδδ :

( ) ( )

Ω−Ω⋅=

Ω⋅+Ω−=

−⋅Ω⋅=

220

22220

0

2arctan

2

)cos()(

ωωωωδδδδϕϕϕϕ

δδδδωωωω

ϕϕϕϕ

mF

A

tAtx

δδδδδδδδ

ωωωω

22

20

==

=

mc

mc

mk

220 2δδδδωωωω −=Ω R

(19)

© H.Neuendorf

Resonanz Eigenschaften Amplitude A :1. Maxima Resonanzkurve liegen

unterhalb ωωωω0 = (k / m)1/2

2. Maxima umso höher + schmaler je kleiner

Dämpfungskonstante c3. Für große Reibung existiert kein Maximum

4. Für ΩΩΩΩ →→→→ 0 ist Amplitude stets F0 / k5. Für ΩΩΩΩ →→→→ ∞∞∞∞ geht A→→→→ 0 m:

Anregung so schnell, dass träger Oszillator

nicht folgen kann auch keine E-Aufnahme

Eigenschaften Phasenverschiebung ϕϕϕϕ :1. Für ΩΩΩΩ << ωωωω0 ist ϕϕϕϕ klein : Erreger schwingt

langsam Oszillator kann folgen

Schwingen im Gleichtakt2. Für ΩΩΩΩ →→→→ ∞∞∞∞ geht ϕϕϕϕ →→→→ ππππ : Erreger schwingt

schnell Oszillator kann nicht folgen

Schwingen im Gegentakt3. Für ΩΩΩΩ = ωωωω0 ist stets ϕϕϕϕ = ππππ / 2

Maximale Leistungsaufnahme Resonator!

Energieresonanz

Resonanz-katastrophe

( )cA ,Ω

( )c,Ωϕϕϕϕ

Resonanzkurven

Phasenverschiebungen

c = 0 kg/s ϕϕϕϕ - Sprung

kF0

0ωωωω≤Ω R

0ωωωω

(20)

© H.Neuendorf

Resonanz

Resonanzkurven

0ωωωωΩ

71.02

1

21

2

02

02

0

20

2

220

220

220

≈<

>

>

>−

>−=Ω

ωωωωδδδδ

ωωωωδδδδ

δδδδωωωω

δδδδωωωω

δδδδωωωωs

radR

220 2δδδδωωωω −=Ω R

Nur unter diesen Bedingungen tritt ein Resonanz-Maximum aufBei zu starker Dämpfung fällt die Amplitude ohne Maximum monoton über gesamten Frequenzbereich ab

Resonanzmaximum tritt auf

Resonanzmaximum durch hohe Dämpfung unterdrückt

(21)

© H.Neuendorf

Erzwungene Schwingung : Leistungsaufnahme P(ΩΩΩΩ) Durch äußere Kraft wird Energie auf Resonator übertragen - Ausgleich aller Energieverluste

Energieverlust durch Reibung →→→→ Verlustleistung :Idee : Energieübertrag vom Erreger auf Resonator gleicht alle zeitlichen Energieverluste durch Reibung aus !

Bewegung ist periodisch mit der Periode T. Energiefluss auch periodisch.

Pro Periode zu- und abgeführte Energie identisch bei stationären Verhältnissen !

2vcdtvvcdtddxvc

dtdW

dtdP RR ⋅=⋅⋅=⋅==

( )ϕϕϕϕ−⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅= tAcdt

tdxcvctP ΩΩΩΩΩΩΩΩ 2222

2 sin)(

)(

Zeitliche Mittelung über eine Periode T :

−⋅⋅⋅⋅⋅=

−⋅⋅⋅⋅==

T

s

T

s

T

s

dttAcT

dttAcT

dttPT

P

0

222

0

222

0

__

)(sin1

)(sin1

)(1

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ΩΩΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩ

)cos()( ϕϕϕϕ−⋅Ω⋅= tAtxEinsetzen von x(t) :

Zeitliche Mittelung über eine kontinuierliche Größe bedeutet Aufsummation = Integration der Werte über einen Zeitraum geteiltdurch diesen Zeitraum ......

Mittelwert von sin 2 ist 1/2. Somit liefert Integral = Fläche unter Kurve zwischen 0 und T den Wert 1/2 T 0 T t

sin 21/2

1

(22)

© H.Neuendorf

Erzwungene Schwingung : Leistungsaufnahme P(ΩΩΩΩ)

Mittelung über Periode T :

( )2

2220

220

2__

22

22

0

222__

/2

2211

)(sin1

Ω⋅+Ω−⋅Ω⋅=

⋅Ω⋅=⋅⋅Ω⋅⋅⋅=−⋅Ω⋅Ω⋅⋅⋅=

mc

mFcP

AcTAcT

dttAcT

PT

s

ωωωω

ϕϕϕϕ

0

20

max 2ωωωω=

⋅= ΩΩΩΩfür

cFP

Maximale Leistungsübertragung bei ΩΩΩΩ = ωωωω0unabhängig von Dämpfung !

Grund : Für diese Frequenz hat man Phasen-verschiebung ϕϕϕϕ = ππππ / 2 zwischen Kraft F(t) und Auslenkung x(t)

F(t) und Geschwindigkeit v(t) in Phase

Maximaler Leistungsübertrag P = F·v

Einsetzen der Funktion A(ΩΩΩΩ)

Lorentz-Kurve

P(ΩΩΩΩ)

ωωωω0 ΩΩΩΩ

Breite der Resonanz :FWHM

Pmax (ΩΩΩΩ = ωωωω0)

Pmax / 2

FWHM = Full Width at Half MaximumFläche unter Kurve = Oszillatorenstärke

(23)

© H.Neuendorf

Erzwungene Schwingung : Einschwingvorgang Beobachtung : Stationäre Verhältnisse herrschen nicht sofort, sondern erst nach einiger Zeit

Nach "Einschalten" der äußeren Kraft variiert Amplitude A stark

Erreicht erst nach Einschwing-Zeit ihren konstanten endgültigen Wert

Stationäre stabile Verhältnisse stellen sich erst nach Einschwingvorgang ein

Stationäre Lösung x(t) ist "nur die halbe Wahrheit"dh : nicht allgemein genug !

Beschreibung incl. Einschwingvorgang → Theorie der DGL:

)cos(

0

02

2

22

2

tFxkdtdxc

dtxdm

smxk

dtdxc

dtxdm

⋅Ω⋅=⋅+⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅ Zugehörige

Homogene DGL Gedämpfte Schwingung

Inhomogene DGL Erzwungene Schwingung

↓

Lösungen sind bekannt und zur allgemeinen Gesamtlösung der ILDGL kombinierbar !!

)cos()( ϕϕϕϕ−⋅Ω⋅= tAtxGilt exakt erst nach

Einschwingzeit !

Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL =

= Allgemeine Lösung der homogenen DGL + Spezielle Lösung der inhomogenen DGL

Erst nach der Einschwingzeit dominiert die äußere Kraft das Systemverhalten

Lösungen linearer DGL bilden einen linearen Vektorraum ……

(24)

© H.Neuendorf

Einschwingvorgang

Zusammenbau der allgemeinen Lösung → Bsp: Fall kleiner Dämpfung

Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL =

= Allgemeine Lösung der homogenen DGL + Spezielle Lösung der inhomogenen DGL

−

⋅=

⋅+

−

=

2

222

0

arctanΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩ

mkmc

mc

mk

mF

A

ϕϕϕϕ

Bedingungen für A und ϕϕϕϕ nach Einschwingvorgang unverändertKonstanten c1, c2 folgen aus Randbedingungen für t = 0 s :

( )[ ])sin()cos(1

)cos(

)sin()cos(

002

01

21010

ϕϕϕϕϕϕϕϕδδδδωωωω

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕωωωωδδδδϕϕϕϕ

⋅⋅−⋅−⋅+⋅=

⋅−=

−⋅⋅−⋅+⋅−=⋅+=

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

AAxvc

Axc

AccvAcx

Beschreibt Eigenschwingverhalten, fällt mit t exponentiell ab, "verschwindet" rasch

( ) )cos()sin()cos()( 21 ϕϕϕϕωωωωωωωωδδδδ −⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅− tAtctcetx t ΩΩΩΩ

Nach einiger Zeit bleibt nur stationäre Lösung "übrig"Äußere Kraft hat Kontrolle übernommen

Je nach Dämpfung muss Schwingfall, Kriechfall oder aperiodischer Grenzfall eingesetzt werden !

Unterschiedliche Gesamtlösungen und Konstantenwerte je nach Dämpfung bzw je nach Eigenverhalten im Schwingfall, Kriechfall oder aperiodischem Grenzfall !

Randbedingungen gehen in Einschwingvorgang ein !

(25)

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Einschwingvorgang

( )

)cos(

)sin()cos(

)(

21

ϕϕϕϕ

ωωωωωωωωδδδδ

−⋅Ω⋅

+

⋅⋅+⋅⋅⋅

=

⋅−

tA

tctce

tx

t

Überlagerung der Eigenschwingung und der

stationären erzwungenen Schwingung

Anfängliche Eigenschwingungen sterben mit Zeit aus = EinschwingvorgangDanach verbleibt die regelmäßige erzwungene Schwingung mit konstanter Frequenz und Amplitude = stationäreVerhältnisseÄußere Kraft kontrolliert das System nun vollständig

)(tx

)(tx

)(tx

Eigenschwingung

Äußere Erregung

Schwingvorgang

(26)

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Schwingungen: Charakteristische Kreisfrequenzen

Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators

Eigenfrequenz des gedämpften Oszillators

Resonanzfrequenz = Frequenz maximaler Amplitude

Frequenz der äußeren erregenden Kraft

R

R mc

mk

mc

mk

mk

Ω>>

Ω

⋅−=−=Ω

−=−=

=

ωωωωωωωω

δδδδωωωω

δδδδωωωωωωωω

ωωωω

0

2202

2

2202

2

0

22

4

Behandlung der Schwingungen führte auf typische Kreisfrequenzen : mc⋅

=2

δδδδ

Unterschiedliche Größe umso ausgeprägter je stärker die Dämpfung des Systems ist

(27)

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Schwingungen : Übersicht

x(t) x(t)

x(t)x(t)

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

(28)

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Mechanische und elektrische Schwingungen Analoge Verhältnisse und völlige mathematische Äquivalenz

Schwingkreiselemente : L, C, R und äußere Wechselspannungsquelle U(t) = U0 ·cos(ΩΩΩΩ·t)Statt Masse wird Ladung bewegt - Kirchhoffsche Maschenregel :

)cos(02

2tFxk

dtdxc

dtxdm ⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ΩΩΩΩ

)cos(1

)cos(1

02

2

0 tUQCdt

dQRdt

QdLtUQC

IRdtdIL ⋅⋅=⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ΩΩΩΩΩΩΩΩ

LR

mc

LCmk

QC

ExkEILEvmE

tIdt

tdQtvdt

tdxtQtx

UFCkRcLm

elekpmagk

221

21

222

)()(

)()(

)()(

/1

00

2222

00

=↔==↔=

⋅=↔⋅=⋅=↔⋅=

=↔=↔

↔↔↔↔

δδδδδδδδωωωωωωωω

Auch alle anderen Ausdrücke der Schwingungstheorie lassen sich entsprechend übersetzen !

L RCU(t)

(32)

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Überlagerung harmonischer Schwingungen Natur: Auftreten vieler gleichzeitiger Schwingungen, die sich überlagern = addierenBsp: Geräusche, Sprache, Musik

Signalerzeugung durch Addition von Schwingungen = Fourier-Synthese

Betrachtung einfachster Fall : Überlagerung von 2 Schwingungen1. Parallele Schwingungen

2. Orthogonale Schwingungen

1. Parallele Schwingungen

)cos()cos()()()(

)cos()()cos()(

221121

222111

ϕϕϕϕωωωωωωωω

ϕϕϕϕωωωωωωωω

−⋅⋅+⋅⋅=+=

−⋅⋅=⋅⋅=

tAtAtxtxtx

tAtxtAtx

Drei Fälle :

a) Parallele Schwingung mit ωωωω1 = ωωωω2 = ωωωωb) Parallel Schwingung mit ωωωω1 ≠≠≠≠ ωωωω2

c) Parallele Schwingung mit A1 = A2 = A und ωωωω1 ≈≈≈≈ ωωωω2

Berechnung der resultierenden Summen-Schwingung mittels Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen oder komplexen e-Funktionen

Einzelschwingungen addierensich zur Gesamtschwingung

Superpositionsprinzip

Winkel ϕϕϕϕ ist die relativePhasenverschiebungzwischen den beiden Schwingungen

Wichtigster Fall : Harmonische Schwingungen

(33)

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x(t)

Überlagerung harmonischer Schwingungen

Superpositionsprinzip : Direkte Addition der momentanen Auslenkungen

x(t)

x(t)

x(t)

x(t)

Abbildung der Schwingung auf Kreisbewegung

Projektion der Auslenkungen x(t) auf Kreis

Darstellung der Auslenkung durch umlaufenden Zeiger im Kreis mir r = Amplitude

Addition zweier Schwingungen entspricht vektorielle Addition zweier Zeiger

Hilfsmittel zur mathematischen Berechnung der Auslenkungssumme: Zeigerdiagramm

Phasenverschiebung zwischen den Teilschwingungen

Teilschwingungen in Phase

(34)

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Überlagerung harmonischer Schwingungen

)cos()sin(

)tan(

)cos(2

)cos()cos()cos()(

21

2

2122

21

2211

ϕϕϕϕϕϕϕϕββββ

ϕϕϕϕ

ββββωωωωϕϕϕϕωωωωωωωω

⋅+⋅=

⋅⋅⋅++=

−⋅⋅=−⋅⋅+⋅⋅=

AAA

AAAAA

tAtAtAtx

Parallele Schwingungen mit ωωωω1 = ωωωω2 = ωωωω: Zeitlich konstante Phasendifferenz ϕϕϕϕSumme ist wieder harmonische Schwingung mit gleicher Frequenz ωωωω

Zeigerdiagramm :

Darstellung der Schwingung durch umlaufenden VektorLänge des Vektors = Amplitude

Überlagerung = VektorsummeSonderfälle : Konstruktive / Destruktive Überlagerung

x1(t)

x2(t)

x1(t) + x2(t)

ϕϕϕϕ

( )

( ) ||1)cos()12(

1)cos(2

212

21

212

21

AAAAAn

AAAAAn

−=−=−=⋅+=

+=+==⋅=

ϕϕϕϕππππϕϕϕϕ

ϕϕϕϕππππϕϕϕϕ Eleganter :Verwendung komplexer e-Funktionen

Übung …..

Auftreten Interferenzterm : Zusätzlich zu einfacher Addition der Einzelterme. Typisch für Addition phasenbehafteter Größen

ββββ

(35)

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Überlagerung harmonischer Schwingungen

))(cos(2

)()(

2122

21

2121

tAAAAA

tttt

δδδδ

ωωωωωωωωωωωωωωωωδδδδ

⋅⋅⋅++=

⋅−=⋅−⋅=

Parallele Schwingungen mit ωωωω1 ≠≠≠≠ ωωωω2 : Nichtkonstante Phasendifferenz ϕϕϕϕ

Summe ist keine harmonische Schwingung mehr → Anharmonisch !

Zeitliche Modulation der Amplitude zwischen Extremwerten:

Ünerschaubar Periodisch nur bei einfachem rationalem Frequenzverhältnis : m,n ∈ N und sind kleine Zahlen

[ ]||,)( 2121 AAAAtA −+=

TnTnTmm

nmnm

=⋅=⋅=⋅=⋅

==

221

1

212

1

22ωωωωππππ

ωωωωππππ

ωωωωωωωωωωωωωωωω

Kleines gemeinsames Vielfaches = Überschaubar kurze Periode T existiert !

Resultierende Phasendifferenzist nicht konstant sondern durchläuft zyklisch alle möglichen Werte zwischen 0 und 2ππππ. Somit ist auch die Amplitude nicht konstant

(36)

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Überlagerung harmonischer Schwingungen Parallele Schwingungen mit A1 = A2 und ωωωω1 ≈≈≈≈ ωωωω2 : Schwingung mit periodisch veränderlicher Amplitude = reine SchwebungAmplitude variiert langsam zwischen Null und Maximum

Bsp : t = 0s, 12s, 24s, ...

Beide Schwingungen mit vollem Ausschlag in die gleiche Richtung ergibt Verstärkung

Bsp : t = 6s, 18s, 30s, ...

Beide Schwingungen mit vollem Ausschlag in entgegengesetzteRichtung ergibt Auslöschung

Mathematische Darstellung

→ AdditionstheoremAnwendung auf Addition der beiden Schwingungen

+⋅

−⋅=+2

cos2

cos2)cos()cos(yxyxyx

Einhüllende

Langsame Modulation der Amplitude

Amplitude der reinen Schwebung ist doppelt so groß wie die der Ausgangsschwingungen

(37)

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Überlagerung harmonischer Schwingungen : Schwebung

⋅+⋅

⋅−⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ ttAtAtA2

cos2

cos2)cos()cos( 212121

ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω

Langsame Einhüllende:Modulation mit geringer Frequenz

Ist Schwingung überlagert

Bewirkt Modulation der Amplitude zwischen 0 und 2A

Schnelle Schwingung :Summen-Schwingung mit mittlerer Frequenz ωωωω = (ωωωω1 + ωωωω2) / 2 ≈≈≈≈ ωωωω1 ≈≈≈≈ ωωωω2

Wird durch Einhüllende moduliert

Schwebungsfrequenz:

2121

21 4,

2 ωωωωωωωωππππωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω

−⋅=<<−= ss T

Schwebungsperiode ist umso größer (länger), je dichter die Frequenzen ωωωω1 und ωωωω2 beieinanderliegen.

Die Modulation erfolgt mit der deutlich kleineren Frequenz ωωωω = (ωωωω1 - ωωωω2) / 2.

Der Modulationsterm stellt die Einhüllende der Schwingung dar und moduliertdie Amplitude der Schwingung.

Der Term variiert bei der reinen Schwebung langsam zwischen 0 und 2A und ist für die Schwebungserscheinung verantwortlich.

(38)

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Unreine Schwebung

Überlagerung von 2 Schwingungen mit unterschiedlichen Amplituden :

A1 ≠≠≠≠ A2 und ωωωω1 ≈≈≈≈ ωωωω2

Schwingungen können sich nicht mehr völlig auslöschen !

Resultierende Amplitude A(t) fällt bei Modulation nicht mehr auf Null ab

Variiert langsam zwischen :

[ ]||,)( 2121 AAAAtA −+=

Modulierte Amplitude variiert langsam zwischen einem minimalen und maximalen Wert =

Differenz bzw. Summe der Amplituden der beiden Einzelschwingungen

Beobachtung : Durch Überlagerung zahlreicher Schwingungen unterschiedlicher Frequenz können auch sehr unregelmäßige Verläufe dargestellt werden :

Findet systematische Anwendung im Bereich der Fourier-Analyse und -Synthese ...........

(39)

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Anwendung : Fourier- Reihen

Überlagerung harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen : Fourier-Theorem

Jeder periodische Verlauf x(t) darstellbar als Summe harmonischer Schwingungen

Frequenzen ωωωωn = n · ωωωω = Ganzzahlige Vielfache = Oberschwingungen der Grundfrequenz ωωωω

Relatives Gewicht der Einzelschwingungen = Amplituden = Entwicklungskoeffizienten

( )∞

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

0

)sin()cos()(n

nn tnBtnAtx ωωωωωωωω

Zerlegung x(t) = Fourier-AnalyseAuftragung An Bn gegen ωωωωn = Fourier-Spektrum Signaldarstellung = Fourier-Synthese

Behandlung in Vorlesung Signale & Systeme

+−+= ...5cos51

3cos31

cos2

2)( xxxAAxf

ππππ

(40)

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Überlagerung harmonischer Schwingungen Orthogonale Schwingungen ωωωωx , ωωωωy

Zwei Fälle : 1. ωωωωx = ωωωωy 2. ωωωωx ≠≠≠≠ ωωωωy

1. ωωωωx = ωωωωy = ωωωωSchwingungen in x- und y-Richtungen : x(t) und y(t)

Im allgemeinen Fall liegt Phasenverschiebung ϕϕϕϕ vor

)cos()(

)()cos()cos()(

ϕϕϕϕωωωω

ωωωωωωωω

−⋅⋅=

=⋅⋅⋅=

tAty

AtxttAtx

y

xx

mk x

k x

k y

k y

x

y

Mit Additionstheoremen folgt für y(t) :

( )

)(sin)cos(2

)sin()(

1)cos()()(

)sin()(

1)cos()(

)sin()sin()cos()cos()(

22

2

2

22

2

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕωωωωϕϕϕϕωωωω

=⋅−+⋅

−=⋅−

⋅

−+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅⋅=

yxyxxxy

xxy

y

AAxy

Ay

Ax

Atx

Atx

Aty

Atx

AtxA

ttAty

Gleichung einer Ellipse : Senkrechte Überlagerung führt zu Bewegung auf Ellipse

x

y

A yy0

(41)

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Orthogonale Schwingungen 1. ωωωωx = ωωωωy = ωωωω Spezialfälle :a) Phasenverschiebung ϕϕϕϕ = 0 (Gleichtakt)

)()(

02

)(sin)cos(2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

txAA

ty

Ay

Ax

AAxy

Ay

Ax

AAxy

Ay

Ax

x

y

yxyxyxyxyx

⋅=

=

−=−+=⋅−+ ϕϕϕϕϕϕϕϕ

Geradengleichung :

Masse schwingt auf Geraden

Linear polarisierte Schwingungx

yA y

A x

b) Phasenverschiebung ϕϕϕϕ = ππππ / 2 (Gegentakt)

1)()(

)(sin)cos(2

2

2

2

2

22

2

2

2

=+

=⋅−+

yx

yxyx

Aty

Atx

AAxy

Ay

Ax ϕϕϕϕϕϕϕϕ

Ellipsengleichung :

Masse schwingt auf Ellipse mit Hauptachsen parallel zu x- und y-Achse

Elliptisch polarisierte Schwingung

x

yA y

A x

Die Spezialfälle sind auch bei der Beschreibung der Polarisation von Wellen interessant ….

(42)

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Orthogonale Schwingungen

Geradengleichung :

Masse schwingt auf Geraden mit negativer Steigung

Linear polarisierte Schwingung

c) Phasenverschiebung ϕϕϕϕ = ππππ / 2 (Gegentakt) und Ax = Ay = A

2222

2

2

2

22

2

2

2

)()(1

)(sin)cos(2

AtytxAy

Ax

AAxy

Ay

Ax

yxyx

=+=+

=⋅−+ ϕϕϕϕϕϕϕϕ

Kreisgleichung : Masse schwingt auf Kreis

Zirkular polarisierte Schwingung

x

yA y

A x

d) Phasenverschiebung ϕϕϕϕ = ππππ ("Negativer" Gleichtakt)

)()(

02

)(sin)cos(2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

txAA

ty

Ay

Ax

AAxy

Ay

Ax

AAxy

Ay

Ax

x

y

yxyxyxyxyx

⋅−=

=

+=++=⋅−+ ϕϕϕϕϕϕϕϕ

x

yA y

A x

(43)

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Orthogonale Schwingungen 2. ωωωωx ≠≠≠≠ ωωωωy Spezialfälle :

a) Einfaches Rationales Frequenzverhältnis ωωωωx / ωωωωy = m / n

Geschlossene Bahnen in der xy-Ebene = Lissajous-Figuren

Periode T der Bahn:

Nach T : m ganze Schwingungen in x-Richtung +

n ganze Schwingungen in y-Richtung

b) "Irrationales" Frequenzverhältnis ωωωωx / ωωωωy ≠≠≠≠ m / n

Nicht durch kleine ganze Zahlen ausdrückbar

Keine geschlossenen Bahnen in xy-Ebene

Bahnkurven füllen im Lauf der Zeit erreichbaren

Teil der xy-Ebene immer dichter aus

TTnTmTT

nm

yxx

y

y

x =⋅=⋅==ωωωωωωωω

Lissajous-Figuren für verschiedene Frequenz-Verhältnisse ωωωωx / ωωωωy = 1:2, 1:3, 1:4 und für verschiedene Phasenverschiebungen zwischen den beiden orthogonalen Schwingungen …..