Physikalisches Grundpraktikum für Physiker/innen

Teil III

Michelson-Interferometer

Fachrichtungen der Physik UNIVERSITÄT DES SAARLANDES

Version 7 (4/2017 HL, MD, AL)

Grundpraktikum Physik: 0Hhttp://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/

2 Michelson-Interferometer

Ziel des Versuchs In diesem Versuch soll mit Hilfe des Michelson-Interferometers ein Verständnis der Interfe-rometrie und ihrer Anwendungen, aber auch für die sich ergebenden Probleme vermittelt wer-den. Insbesondere wird das justieren eines optischen Strahlenganges geübt.

1. Fragen 1. Erklären Sie die Begriffe Welle und Interferenz.

2. Was versteht man unter den Begriffen räumliche und zeitliche Kohärenz und Kohärenz-länge?

3. In welchen Größenordnungen liegen die Kohärenzlängen verschiedenerer Lichtquellen (z.B. Weißlicht, Licht von Gasentladungslampen, Laserlicht)?

4. Skizzieren und erläutern Sie die grundlegende Funktionsweise eines Michelson-Interferometers.

5. Normalerweise liegt zwischen zwei benachbarten Maxima der Interferenz zweier elektro-magnetischen Welle eine Phasendifferenz von einer Wellenlänge vor. Wieso muss in die-sem Experiment ein Spiegel jedoch nur um die halbe Wellenlänge verschoben werden, um zum nächsten Maximum zu gelangen?

6. Was bezweckte Michelson mit dem Aufbau seines Interferometers und wie führte er die Messungen durch?

7. Wie kann man mit Hilfe eines Michelson-Interferometers die Wellenlänge der Lichtquelle, bzw. den Brechungsindex eines Mediums bestimmen?

8. Warum sind die Interferenzstreifen, die durch eine weiße Lichtquelle erzeugt werden, nicht einfach nur weiß?

9. Kennen Sie noch andere Typen von Interferometern?

10. Erhält man immer noch Interferenzen, wenn nur noch ein Lichtquant durch das Interfero-meter geschickt wird?

2. Einführende Literatur • D. Meschede, Gerthsen Physik

24. Auflage (Springer-Verlag, Heidelberg 2010) Kap. 14.5

• W. Demtröder, Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik 6. Auflage (Springer-Verlag, Heidelberg 2013) Kap. 10.3

Titelbild: 14. September 2015: Nachweis von Gravitationswellen in den beiden LIGO-Interferometern Hanford und Livingston (oben). Die Wellen wurden durch das Verschmelzen zweier Schwar-zer Löcher verursacht. Die unteren Bilder zeigen die simulierten Signale, die durch das Ver-schmelzen zweier Schwarzer Löcher erzeugt werden. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration, Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, Phys. Rev. Lett. 116 (2016) 061102 http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.116.061102)

Michelson-Interferometer 3

3. Grundlagen 3.1 Michelson-Interferometer

Das Grundprinzip eines Interferometers ist, elektromagnetische Wellen mit sich selbst kohä-rent interferieren zu lassen. Dies bedeutet, dass die im Interferometer erzeugten Teilstrahlen in einer zeitlich und räumlich festen Phasenbeziehung zueinander stehen müssen, da ansons-ten keine feste Interferenzbedingung zwischen den einzelnen Teilstrahlen entstehen kann und somit kein festes Interferenzbild erzeugt wird.

Interferometrie ist eine Methode zur Messung von Längenänderungen, Brechungsindizes bzw. Lichtgeschwindigkeiten. Interferometrische Messungen beruhen auf folgendem Prinzip: Der von der Lichtquelle kommende Strahl wird durch einen Strahlteiler in zwei Teilstrahlen auf-gespalten. Bei einem dieser Teilstrahlen wird nun die optische Weglänge, d.h. das Produkt aus Brechzahl und geometrischem Weg, geändert. Er erfährt dabei eine Phasenverschiebung ge-genüber dem ungestörten Strahl, mit dem er schließlich wieder überlagert wird. Aus dieser Phasenverschiebung erfolgt eine Änderung des Interferenzbildes, aus der sich dann eine der beiden Größen, Brechzahl oder geometrischer Weg, ermitteln lässt, wenn die andere bekannt ist. Wird z.B. die Brechzahl konstant gehalten, so sind Differenzen des geometrischen Weges bestimmbar, z.B. die Ausdehnung von Materialien, die Krümmung von Oberflächen, die Di-cke von Schichten usw. Messungen dieser Art werden vornehmlich mit dem Michelson-Interferometer vorgenommen.

In einem Michelson-Interferometer wird das dadurch erreicht, dass in der y-z-Ebene der Strahl einer einzelnen Lichtquelle A (Laser) mittels eines Strahlteilers ST aufgespalten, auf unter-schiedliche Bahnen geschickt und durch zwei Spiegel M1, M2 wieder zurückgeführt wird (Abb. 1). Aus dem so auf dem Schirm in der x-z-Ebene entstehenden Interferenzmuster kön-nen Informationen über die Phasen und Intensitäten der einzelnen Teilstrahlen gewonnen werden, insbesondere enthält die Phasenbeziehung Informationen über die geometrischen und optischen Weglängen, die einen oder beide Teilstrahlen beeinflusst haben.

Abb. 1: Aufbau eines Michelson-Interferometers: Ein Laserstrahl A wird durch einen Strahlteiler (ST) in zwei Teilstrahlen (S1 und S2) aufgeteilt und über zwei Spiegel (M1 und M2) wieder zusammengeführt. Auf dem Schirm entsteht ein Inter-ferenzmuster.

Damit die räumliche Kohärenzbedingung erfüllt ist, darf die Wegdifferenz der beiden Teil-strahlen die Kohärenzlänge des verwendeten Lichts nicht überschreiten. Da die Kohärenzlän-ge von Laserlicht sehr groß ist (Meter bis Kilometer), wird dies im Experiment zu keinerlei

ST

Schirm

y

zA

1s

2s

1M

2M

4 Michelson-Interferometer

Problemen führen. Da Laser monochromatisches Licht emittieren, ist die Bedingung der zeit-lichen Kohärenz ebenfalls erfüllt.

Der Laserstrahl (A) in z-Richtung trifft in einem Winkel von 45° auf den Strahlteiler (ST). Der Strahlteiler besteht aus zwei Prismen, die an ihrer Basis (z.B. mit Kanadabalsam) zu-sammengekittet worden sind. Die Dicke der Klebeschicht ist so eingestellt, dass die Hälfte der einfallenden Intensität am der Grenzschicht reflektiert wird und die Hälfte der Intensität durch verhinderte Totalreflexion transmittiert wird. Aufgrund des Einfallswinkels von 45° zur Kon-taktfläche der beiden Prismen ergibt sich so ein Winkel von 90° zwischen den beiden Teil-strahlen. Diese werden dann von den beiden Spiegeln (M1 und M2) reflektiert. Die nun wieder auf den Strahlteiler treffenden Teilstrahlen werden reflektiert bzw. transmittiert, wobei der Teilstrahl, der beim ersten Eintreffen auf den Strahlteiler reflektiert wurde nun transmittiert wird und umgekehrt. Dies hat zur Folge, dass die beiden Teilstrahlen wieder „ineinanderlau-fen“ und miteinander interferieren können und auf dem Schirm (x-z-Ebene) ein Interferenz-muster erzeugen (s. Abb. 1). Ob sich im Zentrum des Interferenzbildes ein Maximum oder ein Minimum ausbildet hängt offensichtlich von der Phasenbeziehung und somit der optischen Wegdifferenz der beiden Teilstrahlen S1 und S2 ab.

Wir berechnen die durch das Interferometer transmittierte Intensität IT in der Schirmebene als Funktion der Wegdifferenz Δs = s1 – s2. Die einfallende Welle lässt sich beschreiben mit

cos( )e eE A t kzω= −

(1)

Der Strahlteiler hat das Reflexionsvermögen R und das Transmissionsvermögen T. Der erste Teilstrahl in der Schirmebene mit e eA A=

ist dann

1 1cos( )eE RT A tω ϕ= +

(2)

und die Phase φ1 ist durch den optischen Weg (ST – M1 – ST – Schirm) bestimmt. Für die zweite Teilwelle gilt

2 2cos( )eE RT A tω ϕ= +

(3)

Die Amplituden beider Teilwellen sind gleich, unabhängig von R und T. Die gesamte Intensi-tät durch die Schirmebene ist

[ ]

20 1 2

220 1 2

( )

cos( ) cos( )T

e

I c E E

c RTA t t

ε

ε ω ϕ ω ϕ

= +

= + + + (4)

Das menschliche Auge oder auch jeder Detektor mittelt die beobachtete Intensität über die kurzen Lichtperioden T = 2π/ω, mit dem Mittelwert 2cos ( ) 1 2tω = ergibt sich

20 0 0 0 1 2

2(1 cos ) mit ,TI RTI I c E sπϕ ε ϕ ϕ ϕλ

= + ∆ = ∆ = − = ∆ (5)

Für einen 50:50-Strahlteiler (R = T = 0.5) und 10 02I I= ist

01 (1 cos )2TI I ϕ= + ∆ (6)

Als Funktion der Phasendifferenz ändert sich IT zwischen I0 für Δφ = 2mπ und null für Δφ = (2m+1)π. Für IT = 0 wird das gesamte Licht in die Quelle zurück reflektiert. Das Michelson-Interferometer ist also auch ein sehr genaues Gerät zur Messung von Wellenlängen. Wird der Spiegel M2 mit einer Auflösung im Bereich von µm in z-Richtung verschoben, kann man die auf dem Schirm erscheinenden Maxima zählen und damit die Wellenlänge bestimmen. Wenn

Michelson-Interferometer 5

bei einer Verschiebung um Δz N Interferenzmaxima auftreten, ergibt sich die Wellenlänge durch

2s zN N

λ ∆ ∆= = (7)

Der Faktor 2 ergibt sich dadurch, dass der Teilstrahl den geänderten Weg Δz doppelt durch-läuft. Die Wegdifferenz darf nicht größer als die Kohärenzlänge sein, da sonst der Kontrast zwischen Interferenzmaxima und –minima gegen null geht.

Abb. 2: Entstehung von Interferenzringen bei divergenten einfallenden Lichtwel-len [1].

In Realität emittieren Lichtquellen kein exakt paralleles sondern ein leicht divergentes Licht-bündel mit Teilstrahlen, die unterschiedliche Winkel α zur z-Achse haben (Abb. 2). Dadurch ist der Wegunterschied Δs = Δs0 f(α) ≈ Δs0/cosα und es bilden sich Interferenzringe auf dem Schirm. Für die Maxima gilt

2s z mλ∆ = ∆ = (8)

Und für die Minima

122

s z m λ ∆ = ∆ = +

(9)

3.2 Druckabhängigkeit des Brechungsindex von Gasen

Wie oben beschrieben ist die Wegdifferenz der von den beiden Teilstrahlen zurückgelegten Wege Δs = 2Δz. Jedoch ist der optische Weg abhängig vom Brechungsindex des optischen Medium, in dem die Wellen sich ausbreiten. In einem Medium ist die Ausbreitungsgeschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) cm einer elektromagnetischen Welle immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum und ist abhängig vom Brechungsindex n des Mediums:

mc nc= (10)

Der Wert von n und damit auch die Geschwindigkeit cm hängen nicht nur vom Medium ab, sondern auch von der Wellenlänge λ (Dispersion). Die optische Weglänge ist in der Wellen-

y

x

B

α

6 Michelson-Interferometer

optik die Streckenlänge, für die Licht im Vakuum die gleiche Zeit benötigt, wie für einen ge-gebenen Weg mit möglicherweise abweichender Phasengeschwindigkeit. Ändert sich also entlang der Ausbreitungsrichtung einer Welle die Phasengeschwindigkeit bzw. der Bre-chungsindex, ist die optische Weglänge verschieden von der geometrischen Weglänge. Dies wird in der Interferometrie dazu benutzt, um Brechungsindizes von Materialien zu bestim-men.

Die Phasengeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle in einem Medium wird durch Streuprozesse an Atom- oder Molekülelektronen bestimmt, d.h. durch die Wechselwirkung des elektrischen Felds der Welle und den Elektronen im Medium und ist damit abhängig von der Anzahldichte der Atome oder Moleküle. Der Brechungsindex eines Gases hängt daher vom Druck des Gases ab. Hier wollen wir die Druckabhängigkeit des Brechungsindex von Luft und den Brechungsindex von CO2 bestimmen. Solange der Gasdruck nicht zu groß wird, d.h. der Brechungsindex nicht zu stark vom Brechungsindex 1 des Vakuums abweicht, nimmt der Brechungsindex linear mit der Anzahldichte der Moleküle im Gas zu. Dies gilt hinrei-chend gut für niedere Drücke und für sichtbares Licht. Mit der Anzahl Moleküle νMol im Vo-lumen V ist also

1 MolnVν

− ∝ (11)

Mit der idealen Gasgleichung

MolpV RTν= (12)

erhalten wir

1 Mol pnV Tν

− ∝ = (13)

Mit der Proportionalkonstante a ergibt sich

1 oder 1p an a n pT T

− = = + (14)

Für eine konstante Temperatur ist a/T die Steigung in einem n-p-Diagramm.

Mathematisch entspricht Gl. (14) der Entwicklung einer Taylorreihe um p = 0 unter Vernach-lässigung quadratischer und höherer Terme:

( ) ( 0) 1n nn p n p p pp p

∆ ∆= = + = +

∆ ∆ (15)

np

∆∆

ist ein diskreter Differenzenquotient

( ) ( )n n p p n p

p p∆ + ∆ −

=∆ ∆

(16)

Es muss folglich der Wert dieses Differenzenquotienten bestimmt werden, um die druckab-hängige Änderung des Brechungsindex zu erhalten.

Eine Änderung des Drucks um Δp lässt sich durch eine Änderung des optischen Wegs aus-drücken. Vor der Druckänderung ist der optische Weg w1 = n(p)s, nach der Druckänderung w2 = n(p + Δp)s, wobei s den geometrischen Weg bezeichnet. Erzeugt man nur in einem der bei-

Michelson-Interferometer 7

den Teilstrahlen des Interferometers eine Druckänderung, ist der Unterschied der beiden opti-schen Weglängen

( ) ( )w n p p s n p s∆ = + ∆ − (17)

Da der Strahl vor und nach der Reflexion am Spiegel den geänderten optischen Weg durch-läuft, gilt Δw = 2Δz. Im Experiment wird die Druckänderung durch das Abpumpen einer Glasküvette realisiert, die in den Weg einer der beiden Teilstrahlen eingesetzt wird. Die Küvette hat eine Innenlänge l, die im Interferometer zweimal durchlaufen wird. Mit Gl. (7) und (17) ergibt sich

2

np p l

N λ ∆ = ∆ ∆ (18)

Dieser Aufbau kann auch dazu benutzt werden, den Brechungsindex (unter Normaldruck) eines anderen Gases wie CO2 zu bestimmen. Verdrängt man langsam die Luft aus der Küvette und ersetzt sie durch CO2, ändert sich der Brechungsindex kontinuierlich von nLuft zu nCO2 und damit der optische Weg rLuft = nLuftl zu rCO2 = nCO2l, was durch das Wandern der Interferenz-ringe beobachtet werden kann. Eine Änderung des Interferenzmusters von einem Maximum zum nächsten (N = 1), bedeutet, dass sich der optische Weg um Δr = 2Δz = λ geändert hat. Damit ergibt sich die Änderung des Brechungsindex bei zweimaligem Durchlauf der Küvette zu

2 2lr mn

lλ∆ ∆

∆ = = (19)

Bei bekanntem Brechungsindex von Luft ergibt sich

2CO Luftn n n= + ∆ (20)

Der Brechungsindex eines Gases hängt nicht nur vom Druck und der Temperatur, sondern auf Grund der Dispersion auch von der Wellenlänge ab. Insbesondere für Luft spielt auch die ge-naue Zusammensetzung (z.B. der Gehalt an CO2) und die Luftfeuchte ein Rolle. In der Litera-tur wurden sehr genaue Näherungsgleichungen für all diese Effekt entwickelt [2]. Die genaue Kenntnis des Brechungsindex von Luft ist z.B. wichtig für die Berücksichtigung der Bre-chung in der Atmosphäre bei astronomischen Beobachtungen. Auf Basis der Gleichungen in [2] hat das amerikanische „National Institute of Standards and Technology“ (NIST) einen „Refractive Index of Air Calculator“ im Web bereit gestellt [3]. Tabellierte Werte finden sich in [4].

3.3 Das Michelson-Morley-Experiment

Ein solches Interferometer wurde von A. Michelson entwickelt und 1887 zusammen mit E. Morley dazu benutzt, experimentell zu klären, ob es einen ruhenden „Weltäther“ geben kann [5].

Der Äther ist eine hypothetische Substanz, die seit Newton und Huygens als Medium für die Ausbreitung von Licht postuliert wurde. Später wurde das Konzept aus der Optik auch auf Elektrodynamik und Gravitation übertragen, vor allem um auf Fernwirkung basierende An-nahmen zu vermeiden. Die Äther-Hypothese führte zu unüberwindlichen konzeptionellen Schwierigkeiten sowie Widersprüchen zu experimentellen Resultaten. So konnten die Max-wellschen Gleichungen niemals vollständig in Übereinstimmung mit den mechanischen Äthermodellen gebracht werden. Der Äther musste einerseits als materieller Festkörper defi-niert werden, andererseits sollte sein Widerstand gegenüber der Bewegung der Himmelskör-

8 Michelson-Interferometer

per unmerklich gering sein. Sowohl ruhender also auch von der Erde mitgeführter Äther wur-den durch Experimente und Beobachtungen widerlegt. Die Äthermitführung widersprach der Aberration des Lichtes, die erforderte, dass Licht kein Teilchen, sondern eine in einem ruhen-den Äther übertragene Welle ist. Wenn es aber einen ruhenden Äther gäbe, sollte der Wert von c von der Richtung der Erdbewegung bei dem Umlauf um die Sonne abhängen.

Das Experiment sollte die Bewegung der Erde relativ zu diesem Äther bestimmen, indem eine eventuell vorhandene Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit c von der Richtung gemessen werden sollte. Orientiert man das Michelson-Interferometer so, dass ein Arm parallel und der zweite senkrecht zur Erdgeschwindigkeit v (etwa 30 km/s) steht, so sollte für die Laufzeiten des Lichtes vom Strahlteiler zum Spiegel M1 und zurück in dem parallelen Arm der Länge L unterschiedliche Laufzeiten gelten, da das Licht auf dem Hinweg gegen den Äther mit einer Geschwindigkeit c – v relativ zur Erde läuft und auf dem Rückweg mit dem Äther läuft, also mit c + v. Für die Laufzeit gilt dann

|| 2 2

2

2

2

2

2 1mit1

L L cLtc v c v c v

Lc v

c

γ γ

= + =− + −

= =

−

(21)

Für den zur Erdbewegung senkrechten Arm gilt die Laufzeit

2 2

2 2L Ltcc v

γ⊥ = =−

(22)

Damit ist der Zeitunterschied zwischen den beiden Teilwellen

22 ( )Lt t tc

γ γ⊥∆ = − = −

(23)

Abb. 3: Aufbau des Interferometers im Michelson-Morley-Experiment von 1887 [5].

Michelson und Morley bauten ein Interferometer, bei dem durch Vielfachreflexionen eine effektive Armlänge von L = 11 m erreicht wurde (Abb. 3). Das gesamte Interferometer war auf eine Steinplatte montiert. Diese Platte lag auf einem Holzkörper, der in einer mit Queck-

Michelson-Interferometer 9

silber gefüllten Rinne schwamm so dass sie leicht gedreht werden konnte. Als Lichtquelle wurde ein Argand-Brenner, eine Öllampe, benutzt.

Falls der ruhende Äther existiert, sollte mit diesem Aufbau durch den ruhenden Äther eine Verschiebung um 0.4 Interferenzringe auftreten, wenn das Interferometer um 90° gedreht wird. Trotz vieler Messungen wurde keine Verschiebung beobachtet, die größer als 0.05 Rin-ge war, der Auflösung des Interferometers. Daraus schloss Michelson, dass die Lichtge-schwindigkeit für alle Richtungen gleich und unabhängig von der Geschwindigkeit der Licht-quelle oder der des Detektors ist. Dies bedeutet auch, dass es keinen Äther geben kann. Dieses Experiment ist eine der experimentellen Grundlagen der Relativitätstheorie und brachte 1907 Michelson den Nobelpreis ein [6].

3.4 Gravitationswellen

Mit einem Michelson-Interferometer können kleine Längenänderungen sehr präzise gemessen werden. Eine der aktuellen Anwendungen dieses Interferometertyps ist der Nachweis mögli-cher Gravitationswellen, winzigen Verzerrungen der Raumzeit, die sich gemäß Einsteins all-gemeiner Relativitätstheorie mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum bewegen. Werden Massen beschleunigt, so erzeugen sie Gravitationswellen [7]. Diese breiten sich mit Lichtge-schwindigkeit aus und dehnen und stauchen abwechselnd den Raum, den sie durchqueren: Die Abstände zwischen den im Raum enthaltenen Objekten ändern sich. Diese Distanzände-rungen sind extrem klein. Selbst bei der Beschleunigung großer Massen wie bei einer Stern-explosion in einer Nachbargalaxie zur Milchstraße, verändert die entstehende Gravitations-welle den Abstand zwischen Erde und Sonne (etwa 1.5×108 km) für Sekundenbruchteile nur um den Durchmesser eines Wasserstoffatoms.

Abb. 4: Das VIRGO-Interferometer zum Nachweis von Gravitationswellen in Cascina/Italien [9].

Solche Gravitationswellen sollen mit den Experimenten LIGO [8] und VIRGO [9] nachge-wiesen werden. Kernstück von VIRGO ist ein Michelson-Interferometer mit je drei Kilometer langen Armen (Abb. 4). In diesem Interferometer wird Laserlicht viele Male hin- und herge-worfen, so dass ein Interferometer mit einer effektiven Armlänge von 120 km entsteht. Damit sind Längenänderungen von 10-18 m nachweisbar. VIRGO ist Teil des Europäischen Gravita-tionswellen-Observatoriums (EGO) in Cascina in Italien.

Noch viel größer soll das Experiment LISA (Laser Interferometer Space Antenna) werden, ein auf Satelliten basierendes Interferometer mit fünf Millionen Kilometern Armlänge [10]. Al-

10 Michelson-Interferometer

lerdings ist die NASA aus dem LISA-Projekt ausgestiegen und europäische Wissenschaftler können mit der ESA das Projekt, wenn überhaupt, nur in deutlich kleinerem Maßstab realisie-ren.

Nachtrag 11. Februar 2016

“On September 14, 2015 at 09:50:45 UTC the two detectors of the Laser Interferometer Grav-itational-Wave Observatory (LIGO) simultaneously observed a transient gravitational-wave signal. The signal sweeps upwards in frequency from 35 to 250 Hz with a peak gravitational-wave strain of 1.0×10-21. It matches the waveform predicted by general relativity for the inspi-ral and merger of a pair of black holes and the ringdown of the resulting single black hole. The signal was observed with a matched-filter signal-to-noise ratio of 24 and a false alarm rate estimated to be less than 1 event per 203 000 years, equivalent to a significance greater than 5.1 σ. The source lies at a luminosity distance of 160

180410+−   Mpc corresponding to a red-

shift 0.030.040.09z +−= . In the source frame, the initial black hole masses are 5

436+− M⊙ and 4

429+−

M⊙, and the final black hole mass is 4462+− M⊙, with 5

53.0+− M⊙c2 radiated in gravitational

waves. All uncertainties define 90% credible intervals. These observations demonstrate the existence of binary stellar-mass black hole systems. This is the first direct detection of gravi-tational waves and the first observation of a binary black hole merger.” [11]

4. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung 4.1 Versuchsaufbau

Abb. 5: Aufbau des Michelson-Interferometers zur Messung von Wellenlängen.

Der Aufbau des Interferometers ist in Abb. 5 dargestellt. Das Licht des Lasers wird durch den Spiegel M1 in einem Winkel von 90° abgelenkt, tritt durch die Linse L und auf den zweiten Spiegel M2. Von dort aus trifft es auf den Strahlteiler ST, der es zu Teilen von je 50% der

Michelson-Interferometer 11

ursprünglichen Intensität auf Spiegel M3 transmittiert bzw. auf Spiegel M4 reflektiert. Damit die beiden entstehenden Teilstrahlen orthogonal zueinander stehen, muss der Strahlteiler in einem Winkel von 45° zum Lot des einfallenden Laserstrahls stehen. Die beiden Spiegel sind so aufgestellt, dass sie die ankommenden Teilstrahlen auf direktem Wege wieder zurück zum Strahlteiler schicken, wo nun der zuvor reflektierte Teilstrahl S2 transmittiert, bzw. der zuvor transmittierte Teilstrahl S1 reflektierte wird. Beide Teilstrahlen interferieren nun miteinander und erzeugen auf dem Schirm S das Interferenzbild. Statt dem Schirm kann auch eine Photo-diode PD zur Messung der Lichtintensität eingesetzt werden. Mit Hilfe einer CCD-Kamera können die Interferenzmuster auf dem Schirm für die spätere Auswertung aufgezeichnet wer-den.

Alle optischen Komponenten sind auf Magnetsockel auf der Grundplatte montiert. Das ei-gentliche Michelson-Interferometer ist auf einer zusätzlichen Platte P aufgebaut. Der Spiegel M3 ist an einem Feinsteinstelltrieb befestigt, und lässt sich auf einer Achse senkrecht zum Hebelarm bewegen. Das Rad der Mikrometerschraube ist in 50 Einheiten unterteilt, pro Ein-heit bewegt sich der Spiegel um 0.5 µm, insgesamt lässt sich der Spiegel um maximal 500 µm bewegen. Alle Spiegel können durch zwei Einstellschrauben um die horizontale bzw. vertika-le Achse gedreht werden.

Als Lichtquellen stehen 2 Laser zur Verfügung. Der He-Ne-Laser emittiert rotes Licht mit der Wellenlänge von 632.8 nm, der grüne Laser mit der Wellenlänge 532 nm ist ein diodenge-pumpter, frequenzverdoppelter Yttrium-Vanadat (Nd:YVO4) Festkörperlaser. Beide Laser haben eine Maximalleistung von 1 mW.

4.2 Versuchsdurchführung

Abb. 6: Aufbau des Michelson-Interferometers der Fa. PHYWE mit CCD-Kamera.

Bei diesem Versuch arbeiten Sie mit Lasern (Leistung < 1 mW), die bei unsachgemäßem Umgang zu Augenschäden führen können. Die folgenden Regeln dienen Ihrer eigenen Si-cherheit während der Arbeit

• Schauen Sie niemals direkt in den Laserstrahl.

12 Michelson-Interferometer

• Ihre Augen sollten sich niemals auf der Höhe des optischen Tisches befinden. Schauen Sie immer von oben auf das Experiment.

• Wegen der möglichen unkontrollierten Reflexion des Laserlichtes dürfen Sie an den Hän-den keine Ringe, keine Armreife und keine Armbanduhr tragen. Lange Halsketten sollten Sie ebenfalls ablegen.

• Der Laserstrahl darf beim Experimentieren niemals über den eigenen Tisch hinaus leuch-ten.

Alle der folgenden Messungen sind aufgrund der hohen Messgenauigkeit des Interferometers sehr empfindlich gegen Erschütterungen und Luftzirkluationen. Vermeiden Sie es deshalb, während einer Messung neben dem Tisch herzulaufen, bzw. an den Tisch oder die Apparatur zu stoßen.

Justierung des Interferometers

Verschieben Sie alle optische Komponenten immer nur am zugehörigen Magnetsockel oder der Haltestange. Vermeiden Sie es, die Spiegel und den Strahlteiler direkt zu berühren. Ma-chen Sie sich mit der Wirkungsweise der Komponenten zur Feinjustierung der einzelnen opti-schen Elemente vertraut. Alle Justierschrauben können nur in einem gewissen Bereich ver-stellt werden. Falls Sie bei einer Justierung an den Anschlag kommen, stellen Sie alle Justier-schrauben auf Mittellage und beginnen Sie mit der Justierung von vorn.

Abb. 7: Optimal justiertes Michelson-Interferometer mit Interferenzbild des He-Ne-Lasers.

Abb. 6 zeigt einen möglichen Aufbau der einzelnen Komponenten. Sie sollten alle optischen Komponenten so aufstellen, dass der Laserstrahl diese etwa in der Mitte trifft. Zum Aufbau und zur Justierung des Interferometers empfiehlt sich folgende Reihenfolge:

• Justieren Sie den He-Ne-Laser so, dass der Laserstrahl möglichst parallel zur Grundplatte verläuft.

Michelson-Interferometer 13

• Justieren Sie die Spiegel M1 und M2 so dass der Laserstrahl parallel zur Grundplatte ver-läuft. Benutzen Sie die Rasterlinien auf der Grundplatte als Hilfe zur Justierung. Versu-chen Sie, die Spiegeloberfläche und nicht den Magnetfuß auf die Kreuzungspunkte der Rasterlinien auszurichten. Mit der Kante eines Stück Papiers können Sie Lage des La-serstahls kontrollieren.

• Stellen Sie ohne Strahlteiler den Spiegel M3 so ein, dass der Laserstrahl in sich selbst zu-rückreflektiert wird und setzen Sie jetzt den Strahlteiler ein.

• Justieren Sie den Spiegel M4 so, dass die Reflexe auf dem Schirm zur Deckung gebracht werden.

• Bringen Sie nun hinter dem Spiegel M1 eine konvexe Linse mit 20 cm Brennweite zur Strahlaufweitung in den Strahlengang. Kontrollieren Sie, das der aufgeweitete Strahl den Strahlteiler an derselben Stelle wie ohne Linse trifft.

• Auf dem Schirm sollte jetzt ein Interferenzmuster zu sehen sein, im Idealfall bereits ein kreis- oder ellipsenförmiges Ringsystem. Optimieren Sie das Interferenzbild (Abb. 7) mit den Stellschrauben des Spiegels M4.

• Bauen Sie die CCD-Kamera ein und versuchen Sie, das Interferenzbild auf dem Schirm aufzunehmen.

Aufgabe 1: Eichung der Mikrometerschraube

Die Messunsicherheit bei der Wellenlängenbestimmung ergibt sich aus der Bestimmung von Δz und N (Gl. (7)). Die Unsicherheit der Bestimmung von N kann durch fehlerfreies Zählen der Ringe zum Verschwinden gebracht werden. Mit dem Feinsteinstelltrieb (Mikrometer-schraube) wird Δz gemessen. Die Messunsicherheit hängt also wesentlich von der Güte der Mikrometerschraube ab. Das Rad der Mikrometerschraube ist in 50 Einheiten unterteilt. Nach Herstellerangabe entspricht die Spiegelbewegung 0.5 μm pro Einheit, eine volle Umdrehung also 25 µm. Maximal lassen sich etwa 20 Umdrehungen ausführen. Wie alle miteinander in Reibkontakt stehenden mechanischen Elemente hat auch die Mikrometerschraube einen „Schlupf“, Schlupf ist hier der Abstand, den es zu überwinden gilt, um Kräfte zwischen Schraube und Gegengewinde überhaupt übertragen zu können. Bei der Umkehrung der Be-wegungsrichtung zeigt die Mikrometerschraube bereits eine kleine Verschiebung an, bevor der mit der Schraube gekoppelte Spiegel seine Position wirklich verändert. Um diesen Effekt zu minimieren, sollte eine Messreihe immer ohne Umkehr der Bewegungsrichtung durchge-führt werden.

Abb. 8: Änderung des Interferenzmusters durch stückweises Variieren der Wegdif-ferenz Δz der beiden Teilstrahlen. Im rechten Bild beträgt die Änderung von Δz gerade die halbe Wellenlänge des verwendeten Laserlichts.

Benutzen Sie den He-Ne-Laser (Wellenlänge in Luft 632.816 nm) um die Mikrometerschrau-be zu eichen. Stellen Sie dazu die Mikrometerschraube auf die Nullposition und drehen sie

14 Michelson-Interferometer

diese ein Stück, so dass neue Maxima entstehen (Abb. 8). Drehen Sie die Schraube nun um eine komplette Umdrehung und zählen die Anzahl der auftretenden Maxima. Aus dieser er-halten Sie die Wegstrecke, um die Sie den Spiegel bewegt haben (laut Hersteller 25 µm). Stel-len Sie nun die Schraube wieder auf die Nullposition und drehen nun soweit, bis Sie 50, 60, 70 ,80 und 90 neue Maxima gezählt haben. Zeichnen Sie die theoretische Weglängenände-rung gegen die von der Mikrometerschraube angezeigte. Passen Sie die Funktion mit einer Ursprungsgeraden an, um eine Korrekturfunktion zu erhalten, welche Sie zur Auswertung ihrer Daten nutzen können.

Aufgabe 2: Bestimmung der Wellenlänge eines grünen Lasers

Über die Bedingung für Maxima des Interferenzbild (Gl. (8)) sollen Sie die Wellenlänge des grünen Lasers bestimmen. Bauen Sie diesen in die dafür vorgesehenen Halterungen ein und stellen Sie die Höhe so ein, dass ein Interferenzmuster auf dem Schirm erscheint. Verschieben Sie den Spiegel M3 mit der Mikrometerschraube und zählen Sie die Anzahl der neu im Zent-rum je nach Verschiebrichtung entstehenden oder verschwindenden Ringe als Funktion der Positionsänderung Δz des Spiegels. Beobachten Sie das Auftreten von 50-100 Maxima in Schritten von 10 Maxima. Führen Sie die Messung mindestens dreimal durch. Berechnen sie jeweils unter Benutzung der in Aufgabe 1 bestimmten Korrekturfunktion die resultierende Wellenlänge λ und den zugehörigen Fehler.

Aufgabe 3: Druckabhängigkeit des Brechungsindex von Luft

Bauen Sie die Halterung für die Glasküvette in den Strahlengang zwischen Strahlteiler und Spiegel M4 ein. Bauen Sie nun die Glasküvette, die mit der Hand-Vakuumpumpe verbunden ist, in die Halterung ein und schrauben diese fest (vorsichtig, nicht zu viel Spannung auf die Küvette geben, diese kann sonst zerbrechen). Schließen Sie das eine Schlauchende eines der dünnen Schläuche an die Glasküvette und das andere Ende an ein T-Stück, welches es Ihnen ermöglicht durch zwei weitere Schläuche die Pumpe und einen Drucksensor anzuschließen, mit dessen Hilfe Sie den Druck mit CASSY direkt ablesen können (Abb. 9). Pumpen Sie nun die Luft vollständig aus der Küvette und testen Sie, ob das System hinreichend dicht ist.

Abb. 9: Hand-Vakuumpumpe und Druckmesssystem mit CASYY.

Michelson-Interferometer 15

Lassen Sie nun wieder Luft in das System, bis der Normaldruck erreicht ist, notieren Sie den Umgebungsdruck. Pumpen Sie nun bis, Sie ein neues Maximum erzeugt haben und notieren Sie sich den aktuellen Druck. Versuchen Sie, den Druck möglichst gleichzeitig mit dem Er-scheinen des Maximums abzulesen, um den sofort einsetzenden Druckanstieg durch Undich-tigkeiten nicht mitzumessen. Pumpen Sie weiter, bis Sie ca. 6 bis 7 neue Maxima erzeugt ha-ben, protokolieren Sie den jeweiligen Druck. Sie können nun aus der Druckdifferenz Δp, N und der Wellenlänge des Lasers n(p) bestimmen (Gl. (18)und (15)). Die Innenlänge der Küvette beträgt ca. 1.2 cm. Führen Sie eine Fehlerrechnung durch und interpolieren Sie den Brechungsindex von Luft bei Normaldruck. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem tatsächli-chen Wert, siehe [3]. Welche Änderung des optischen Wegs wird durch den Einbau der Küvette in den Strahlengang nicht berücksichtigt und wie könnte man dies kompensieren?

Falls Sie den grünen Laser benutzen: Seine Wellenlänge ist 532 nm.

Aufgabe 4: Bestimmung des Brechungsindex von CO2

Bauen Sie die Glasküvette mit der Pumpe aus und ersetzen Sie diese durch eine Küvette an deren eines Ende Sie über einen dünnen Schlauch eine CO2-Gasflasche anschließen. An den anderen Anschluss der Glasküvette schließen Sie einen Schlauch an, dessen offenes Ende nach oben gerichtet ins Leere zeigen soll (Abb. 10). Dieser dient dazu, dass das einströmende CO2 nicht wieder aus der Glasküvette herausströmt und durch Luft ersetzt wird.

Abb. 10: Aufbau des Michelson-Interferometers mit Glasküvette und Anschluss an eine CO2-Flasche.

Stellen Sie ein Intensitätsmaximum ein und öffnen Sie das Ventil der CO2-Flasche vorsichtig und lassen Sie das Gas in die Küvette strömen. Zählen Sie dabei die Zahl der durchlaufenden Maxima. Wenn sich das Interferenzbild nicht mehr ändert, ist die Küvette vollständig mit CO2 gefüllt, schließen Sie die Gasflasche. Je nach der eingestellten Durchflussgeschwindig-keit, kann die Geschwindigkeit der durchlaufenden Maxima so groß sein, dass ein fehlerfreies Zählen nicht möglich ist. Nehmen Sie dann mit der CCD-Kamera ein Video auf, welches das Entstehen der neuen Maxima aufzeichnet. Dies können Sie später in Zeitlupe abspielen, um die Anzahl sich neu ausbildenden Maxima zu bestimmen. Wiederholen Sie die Messung 2 – 3 Mal. Blasen Sie vor jeder neuen Messung das CO2 (z.b. mit Hilfe der Druckpumpe) aus der Küvette.

16 Michelson-Interferometer

Die Messung startet zwar mit einem Interferenzmaximum im Zentrum, aber wahrscheinlich ist kein Maximum im Zentrum nachdem die Küvette vollständig mit CO2 gefüllt ist. Schätzen Sie deshalb den Bruchteil des Maximums, das am Ender Messung erreicht wurde, z.B. N = 4.5. Bilden Sie nun den Mittelwert und berechnen Sie die Änderung des Brechungsindex (Gl. (19)) und den Brechungsindex von CO2.

Der Literaturwert für den Brechungsindex von CO2 bei Normaldruck (1013.25 hPa) und bei 20 °C ist für eine Wellenlänge von 633 nm nCO2 = 1.0004134 [12].

4.3 Geräteliste

• PHYWE Michelson-Interferometer, hochauflösend mit optischer Grundplatte • He-Ne-Laser 1 mW • Grüner Dioden-Laser • CCD-Kamera Moticam 2000 • Sensor-CASSY mit Drucksensor • 2 Glasküvetten • Hand-Vakuumpumpe • CO2-Druckgasdose mit Regulierventil • Handzähler • PC

Literatur [1] W. Demtröder, Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik

5. Auflage (Springer-Verlag, Heidelberg 2010) S. 315

[2] P.E. Ciddor, Refractive index of air: new equations for the visible and near infrared, Appl. Opt. 35 (1996) 1566

[3] http://emtoolbox.nist.gov/Wavelength/Ciddor.asp

[4] D.R. Lide, ed., CRC Handbook of Chemistry and Physics, 90th Edition (CD-ROM Ver-sion 2010) (CRC Press/Taylor and Francis, Boca Raton, FL) p. 10-252

[5] A.A. Michelson and E.W. Morley, On the Relative Motion of the Earth and the Lumi-niferous Ether, American Journal of Science 34 (1887) 333

[6] http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1907/

[7] A. Einstein, Über Gravitationswellen, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1. Halbband (1918) 154

[8] https://www.ligo.caltech.edu/

[9] https://www.virgo-gw.eu/

[10] http://sci.esa.int/lisa

[11] LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration, Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, Phys. Rev. Lett. 116 (2016) 061102

[12] J. Zhang, Z.H. Lu, and L.J. Wang, Precision refractive index measurements of air, N2, O2, Ar, and CO2 with a frequency comb, Appl. Opt. 47 (2008) 3143