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Problemlösen in graphischen Strukturen Optimierung in Graphen Kurseinheit 2: Standortplanung und Transportoptimierung Autoren: Prof. Dr. Dietrich Ohse Prof. Dr. Klaus Neumann

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Inhaltsverzeichnis Lernziele ................................................................................................................. 3

5. Optimale Standortplanung ............................................................................... 1

5.1. Standardfragen der Standortplanung ......................................................... 1 5.2. Mediane und Zentren ................................................................................ 2

5.2.1. Grundbegriffe und Definitionen ................................................ 2 5.2.2. p-Median-Probleme ................................................................... 5 5.2.3. p-Zentren-Probleme ................................................................... 8 5.2.4. Verfahren zur Lösung von p-Median-Problemen .................... 10

5.3. Überdeckungsprobleme .......................................................................... 14 5.3.1. Grundbegriffe und Problembeschreibung ................................ 14 5.3.2. Set-Covering-Location-Probleme ............................................ 15 5.3.3. Maximum-Covering-Location-Probleme ................................ 16

5.4. Warehouse Location Probleme ............................................................... 17 5.4.1. Grundproblem und seine mathematische Modellierung .......... 17 5.4.2. Kapazitierte, einstufige Warehouse Location Probleme .......... 19

6. Modellierung von Transportproblemen ....................................................... 21

6.1. Verallgemeinerungen des klassischen Transportproblems ..................... 27 6.2. Lösungsverfahren für Transportprobleme .............................................. 29

7. Primale Verfahren für das Transportproblem ............................................ 35

7.1. Die Lösung des Transportproblems mit der Simplex-Methode ............ 35 7.1.1. Kanonische Form der Ausgangslösung ................................... 37 7.1.2. Die Basis des Transportnetzwerkes ......................................... 38 7.1.3. Interpretation der Nichtbasisvektoren ...................................... 39 7.1.4. Bedeutung der Dualvariablen .................................................. 42 7.1.5. Optimalitätskriterium und Lösungsverbesserung .................... 46 7.1.6. Aktualisierung der Basis .......................................................... 48 7.1.7. Fortsetzung und Abschluss der Rechnung ............................... 49

7.2. Die Stepping-Stone-Methode .................................................................. 51 7.2.1. Das Transporttableau ............................................................... 52 7.2.2. Die Kostenreduktion ................................................................ 52 7.2.3. Flussänderung .......................................................................... 54 7.2.4. Potentialänderung .................................................................... 54 7.2.5. Zusammenfassung des Algorithmus ........................................ 55

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7.3. Bestimmung einer zulässigen Ausgangslösung ...................................... 59 7.3.1. Die Zeilen- bzw. Spaltenfolge-Methode .................................. 60 7.3.2. Die Zeilen-Spalten-Minimum-Methode .................................. 60 7.3.3. Die Matrix-Minimum-Methode ............................................... 61 7.3.4. Vogels-Approximations-Methode ........................................... 62 7.3.5. Beurteilung der Eröffnungsmethoden ...................................... 63

7.4. Implementierung primaler Methoden ..................................................... 66 7.5. Ganzzahligkeit und vollständige Unimodularität ................................... 67

8. Primal-duale Verfahren für Transport- und Umladeprobleme ................. 69

8.1. Das Umladeproblem ................................................................................ 69 8.2. Der LP-Ansatz für das Umladeproblem .................................................. 70 8.3. Das Out-of-Kilter-Verfahren ................................................................... 72 8.4. Sonderprobleme ...................................................................................... 75

9. Die Ungarische Methode: Ein duales Verfahren zur Lösung des Zuordnungsproblems .......................................................................................... 81

9.1. Das Zuordnungsproblem ......................................................................... 81 9.2. Duale Zulässigkeit ................................................................................... 83 9.3. Flussänderung ......................................................................................... 87 9.4. Potentialänderung .................................................................................... 88 9.5. Netzwerkorientierte Darstellung der Ungarischen Methode ................. 90 9.6. Die Ungarische Methode in Transporttableauform................................. 94

Lösungen der Übungsaufgaben ........................................................................ 101

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Lernziele

Wenn Sie diese Kurseinheit bearbeitet haben, sollen Sie unterschiedliche Prinzipien der Standortwahl kennengelernt, einen Überblick über die Klasse der Transportprobleme sowie über Verfahren zur Lösung dieser Probleme gewonnen haben. Im einzelnen sollen Sie

• die unterschiedlichen Ziele für Lokationsprobleme formulieren können,

• die verschiedenen Varianten von Transportproblemen, das allgemeine Umladeproblem und das Zuordnungsproblem kennen,

• aus einer Problembeschreibung erkennen, um welchen Problemtyp es sich handelt,

• die jeweils dualen Probleme ableiten und sowohl das primale als auch das duale Problem interpretieren können,

• die verschiedenen Probleme als Netzwerkfluss- oder Zirkulationsprobleme abbilden können,

• verstehen, dass die Stepping-Stone-Methode eine spezielle Form der Simplex-Methode darstellt,

• die Eigenschaft der vollständigen Unimodularität von Matrizen kennen,

• ohne großen Aufwand möglichst gute zulässige Ausgangslösungen berech-nen können,

• die Bedeutung der Dualwerte als Kostenpotentiale erkannt haben,

• gelernt haben, die Bedingung des komplementären Schlupfes als Optima-litätskriterium anzuwenden,

• das Zusammenspiel der Mengen und reduzierten Kosten als primale und duale Lösungen verstehen können,

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• das Zuordnungsproblem als spezielles Transportproblem formulieren können,

• die Vorgehensweise bei der Ungarischen Methode in der tableauorientierten Form verstanden haben,

• die Ungarische Methode als dualen Spezialfall des Out-of-Kilter-Verfahrens interpretieren können.

Kapitel 5.

Optimale Standortplanung

Bevor in den Kapiteln 6 bis 8 sowohl Heuristiken als auch exakte Verfahren zur Lösung von Transportproblemen vorgestellt werden, wird zunächst die Frage erörtert, ob bereits bei der Wahl von Standorten für ein Unternehmen gemäß festgelegter Kriterien eine Optimierung hinsichtlich späterer logistischer Aufgaben erfolgen kann. Dabei wird auf verschiedene graphische Repräsentationsformen, die Sie in der ersten Kurseinheit kennengelernt haben, zurückgegriffen. Die dort eingeführte Form der Visualisierung wird stets kombiniert mit einer mathematischen Modellierung, die das vorgestellte Problem auch einer Lösung mit entsprechender Software zugänglich macht.

5.1. Standardfragen der Standortplanung

Hat man im Rahmen konstitutiver Entscheidungen bei der Gründung von Unternehmen oder der Errichtung neuer Standorte Einfluss auf die Positionierung von Betriebsstätten oder Auslieferungszentren, so besitzt diese Planungsaufgabe erhebliches Optimierungspotential. Ähnliche Fragestellungen ergeben sich bei der Suche optimaler Standorte für öffentliche Einrichtungen wie Krankenhäuser, U-Bahnhöfe oder Polizeistationen. Neben Kostengesichtspunkten kommt im zuletzt genannten Fall die Forderung hinzu, einen gewissen Servicegrad zu sichern. So soll beispielsweise das nächstgelegene Krankenhaus in einer fest vorgegebenen Zeit erreichbar sein.

Standortprobleme lassen sich allgemein durch eine Reihe von Merkmalen beschreiben. Zu diesen gehören beispielsweise die vorliegende Topographie, die Anzahl der zu positionierenden Einrichtungen und die Kapazitäten der Einrichtungen. In der Literatur (vgl. FRANCIS (1983)) findet man auf Modellebene die Unterscheidung nach Standortmodellen in der Ebene, Netzwerkmodelle und diskrete Modelle.

Standortmodelle in der Ebene Netzwerkmodelle diskrete Modelle

2 5. Optimale Standortplanung

Bei der Standortbestimmung in der Ebene geht man davon aus, dass eine Menge von Kunden bzw. Lieferanten auf einer Fläche verteilt ist und jeder Punkt der Fläche potentieller Standort für einen Betrieb sein kann. Ziel ist die Transportkostenminimierung, wobei unterstellt wird, dass Transportkosten proportional zur zurückgelegten Entfernung sind.

In Netzwerkmodellen ist die Menge möglicher Standorte auf die Menge der Knoten eines Graphen und die Menge der Punkte auf den Kanten des Graphen beschränkt. Ausgangspunkt bei dieser Form der Modellierung ist meist ein gegebenes Verkehrsnetz. Die Orte, in denen die zu beliefernden Kunden angesiedelt sind, werden den Knoten zugeordnet. Die Transporte laufen über Kanten bzw. Pfeile des Netzwerks. Distanzen werden als Längen kürzester Wege gemessen und Transportkosten bzw. –zeiten gelten als proportional zu diesen Distanzen. Bei Netzwerkmodellen sind zwei Typen von Lokationsproblemen zu unterscheiden:

• Minisum-Lokationsproblem bzw. p-Median-Problem, • Minimax-Lokationsproblem bzw. p-Zentren-Problem.

Ziel ist die Ermittlung ein oder mehrerer Standorte durch Minimierung der Summe aus Fixkosten und variablen Betriebs- oder Transportkosten. Neben der Kostensenkung können aber auch Forderungen nach Erfüllung eines Servicegrades in das Modell aufgenommen werden.

Gegenstand diskreter Modelle ist die Bestimmung der optimalen Anzahl, der Größe und der Standorte von Produktionsstätten, Warenhäusern oder Lagern, von denen die Versorgung einer gegebenen Menge von Nachfrageorten erfolgt. Im Gegensatz zu Netzwerkmodellen wird nicht mehr explizit auf einen zugrunde liegenden Graphen Bezug genommen.

Gegenstand dieses Kurses sind Graphen und Netzwerke, und somit werden im nächsten Abschnitt die Möglichkeiten der Modellierung von Standortproblemen auf der Basis von Netzwerken detailliert vorgestellt.

5.2. Mediane und Zentren

5.2.1. Grundbegriffe und Definitionen

Modellgrundlage ist ein bewerteter ungerichteter Graph G = [V, E, c; b], wobei die Bewertung c zunächst o.B.d.A. als Entfernung interpretiert wird. Gewichte b sind den Knoten zugeordnet, und es können etwa vorhandene Angebote oder

Standortmodell in der Ebene

Netzwerkmodell

diskretes Modell

3

Bedarfe quantifiziert werden. Die Länge einer kürzesten Kantenfolge mit den Endknoten i, j in einem bewerteten Graphen G heißt Entfernung (oder Distanz) der Knoten i und j, in Zeichen d[i, j]. Enthält G keine Kreise negativer Länge, so existiert für je zwei verschiedene Knoten i, j ∈ V, die miteinander verbunden sind, eine kürzeste Kantenfolge mit den Endknoten i, j und folglich die Entfernung d[i, j]. Sind zwei Knoten i, j von G nicht miteinander verbunden, so ist d[i, j] = ∞. Für die eingangs formulierten Lokationsprobleme verfolgt man naturgemäß eine knotenorientierte Betrachtung. So ist für ein Unternehmen etwa die Frage von Interesse, wie kann der Transportaufwand vom Standort aus zu allen Nachfragern bei unterschiedlichen Bedarfen bewertet werden. Formal bestimmt man hierzu für einen Knoten i die gewichtete Distanz σ(i) zu allen Knoten Vj∈ , ij ≠ . Für

diese Berechnung ist es erforderlich, dass die kürzesten Entfernungen vom Knoten i zu allen anderen Knoten bekannt sind. Sollten diese Informationen nicht vorliegen, so ist vorab zunächst ein geeigneter Algorithmus zur Erstellung einer vollständigen Entfernungsmatrix anzuwenden (vgl. Abschnitte 3.2ff. der KE1).

∑∈

⋅=Vj

jbjidi ],[)(σ

In Abbildung 5.1 sind die Berechnungsgrößen für einen ungerichteten Graphen mit ausgezeichnetem Standortknoten i notiert.

1

2i

34

b1

b2

b3b4

d[i,1]

d[i,4]d[i,3]

d[i,2]

Abb. 5.1: Ungerichteter Graph mit ausgezeichnetem Knoten i

Ein Knoten im mit }|)(min{)( Viiim ∈= σσ wird als Median von G bezeichnet.

Ist man – wieder unter Berücksichtigung der jeweiligen Bedarfe der Nachfrager – daran interessiert, in welcher Entfernung sich der am weitesten gelegene Ort befindet, der angefahren muss, so bestimmt man

}|],[max{)( Vjbjidi j ∈⋅=ρ .

Entfernung / Distanz

Median


Dieser Wert ist gleichsam der kleinste Radius, der vom Knoten i aus alle Knoten einschließt. Steht der Servicegedanke im Vordergrund, so muss es das Ziel sein, diesen Radius zu minimieren. Man bezeichnet den so ermittelten Knoten iz mit

}|)(min{)( Viiiz ∈= ρρ als Zentrum des Graphen.

Übungsaufgabe 5.1

Notieren Sie die Berechnungsvorschriften für Median und Zentrum, wenn ein bewerteter gerichteter Graph G = <V, E, c; b> vorliegt. Was ändert sich gegenüber dem ungerichteten Fall; was muss entsprechend berücksichtigt werden?

Übungsaufgabe 5.2

Die fünf Dörfer Aalhus, Borscheidt, Churtingen, Dalenkamp und Estringen im Hochsauerland sind durch nur wenige Straßen miteinander verbunden; die Längen der direkten Verbindungen entnehmen Sie bitte folgender Matrix D. (Erinnerung: ∞ bedeutet, es gibt keine direkte Verbindung.)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∞∞∞∞

∞∞∞∞

∞∞∞

=

037093

807202

20

:D

a) Zeichnen Sie einen Graphen, durch den die obige Situation visualisiert wird und der alle Angaben enthält. Welche Verbindungen sind nur in einer Richtung befahrbar?

b) Ein Dorf soll durch die Ansiedlung eines Einkaufszentrums aufgewertet werden. Analysen haben ergeben, dass von Aalhus, Borscheidt und Churtingen aus mit je 1000 Einkäufen pro Tag zu rechnen ist. Dalenkamp und Estringen dagegen sind größer; von hier aus werden 2000 Einkäufe täglich erwartet. In welchem Dorf sollte das Einkaufszentrum gebaut werden, damit die Gesamtfahrstrecke für alle Tageseinkäufe minimal ist.

c) Eine weitere Standortfrage beschäftigt die dortige Feuerwehr. In welchem Dorf sollte die neue Feuerwehrstation gebaut werden, damit bei einem Einsatz der Weg zum am weitesten entfernt liegenden Dorf am kürzesten ist.

Radius

Zentrum

5

5.2.2. p-Median-Probleme

Nachdem der Begriff des Medians im vorigen Abschnitt eingeführt wurde, steht nun die graphische und mathematische Modellierung für den allgemeinen Fall im Vordergrund. Zudem erfährt das Problem eine Erweiterung durch die Möglichkeit der Verteilung eines Unternehmens auf mehrere Standorte. Ein Beispiel soll zur Verdeutlichung der Zusammenhänge an den Anfang gestellt werden.

Beispiel 5.1

Der Güterverkehr in der Stadt Zwickau soll durch die Einrichtung von Logi-stikzentren optimiert werden. Ziel ist es, eine Reduzierung des Wirtschaftsver-kehrs in der Innenstadt durch eine bessere Auslastung der Fahrzeuge zu erreichen.

Betrachtet wird folgende – vereinfachte – Ausgangssituation: Die zu beliefernden Nachfrager (Einzelhändler, Handelszentren, Industrie- und Gewerbebetriebe) sind innerhalb des Stadtgebietes angesiedelt, und ihre Standorte werden formal durch eine geographische Position, im Modell durch die Knotenmenge V = {1,…,6} repräsentiert (siehe Abb. 5.2). Die Zulieferungen erfolgen per Bahn oder LKW über Bahnhöfe oder Autobahnanschlussstellen. Die Belieferung erfolgt nicht direkt, sondern die Waren sollen in Logistikzentren umgeladen und dann gegebenenfalls weiter transportiert werden. Alle Nachfrager gehören zu einer Unternehmensgruppe, und es besteht grundsätzlich die Möglichkeit, an jedem ihrer Standorte ein entsprechendes Logistikzentrum zu errichten.

4

3 6

2

1

5

b1= 50

60 180

3090

250

36

30 99

69

3650

59

d[1,4] = 66

Abb. 5.2: Auf die relevanten Verbindungen reduziertes Verkehrsnetz

Der Weitertransport sei nur auf dem bestehenden Verkehrsnetz möglich, das durch den Graphen in Abbildung 5.2 beschrieben wird. Die zurückzulegenden Entfernungen sind jeweils an den Kanten, die mittlere erwartete Nachfrage an den Knoten notiert. Das Verkehrsaufkommen wird gemessen an den insgesamt für den Transport zurückgelegten Kilometer.


Das in Beispiel 5.1 vorgestellte Standortproblem stellt den Konzern vor die Aufgabe, nicht zwingend einen einzigen Standort für ein Logistikzentrum auszuwählen, sondern gegebenenfalls auch zwei oder mehr Knotenpunkte zu berücksichtigen.

Sei G = [V, E, c; b] ein bewerteter ungerichteter zusammenhängender Graph mit nichtnegativen Kanten- und Knotenbewertungen sowie Vp eine p-elementige Teilmenge der Knotenmenge V. Die kürzeste Distanz einer solchen Teilmenge Vp zu einem Knoten j ist definiert als

}|],[min{),( pp VvjvdjVd ∈= .

Übungsaufgabe 5.3

Übertragen Sie die Definition der gewichteten Distanz σ(i) eines Knotens i ∈ V in einem Graphen G = [V, E, c; b] auf die gewichtete Distanz σ(Vp) einer p-ele-mentigen Teilmenge der Knotenmenge V.

Eine p-elementige Teilmenge pmV mit }|)(min{)( VVVV ppp

m ⊆= σσ wird als

p–Median von G bezeichnet.

Beispiel 5.2 (Fortsetzung von 5.1)

Bei zwei zu errichtenden Logistikzentren sind die Knoten 2 und 5 die idealen Standorte, die in Abbildung 5.3 grau gekennzeichnet sind. Dabei werden die Knoten 1, 2, 3 von 2 aus und die Knoten 4, 5, 6 von 5 aus beliefert.

4

3 6

2

1

5

b1= 50

60 180

3090

250

36

30 99

69

3650

59

d[1,4] = 66

Abb. 5.3: Verkehrsnetz mit 2-Median

p-Median

7

Das p-Median-Problem lässt sich als binäres lineares Optimierungsproblem formulieren. Bezeichne p Anzahl der auszuwählenden Standorte, I Menge der möglichen Standorte, I = {1,…,ℓ}, J Menge der möglichen Nachfrager, J = {1,…,m}, M eine genügend große Zahl m⋅> l , dij Entfernung d[i, j] vom Standort i ∈ I zum Nachfrager j ∈ J, bj Bewertung des Nachfrage-Knotens j ∈ J, xij 0/1-Entscheidungsvariable, die angibt, ob Nachfrager j vom Standort i bedient wird (xij = 1) oder nicht (xij = 0), yi 0/1-Entscheidungsvariable, die angibt, ob Standort i ausgewählt wird (yi = 1) oder nicht (yi = 0), dann lautet das Optimierungsproblem

∑ ∑∈ ∈

⋅⋅=Ii Jj

ijijj xdbzmin (5.1)

u.d.N. 1=∑

∈Iiijx für alle j ∈ J (5.2)

iJj

ij yMx ⋅≤∑∈

für alle i ∈ I (5.3)

pyIi

i =∑∈

(5.4)

}1,0{, ∈iij yx für alle i ∈ I, j ∈ J (5.5)

Nebenbedingung (5.2) garantiert, dass jeder Nachfrager j genau einem Standort i zugeordnet wird. (5.3) stellt sicher, dass ein Standort i auch vorhanden ist, wenn ihm ein Nachfrager zugeordnet wird und (5.4) legt die Anzahl der Standorte, also die Anzahl der Mediane fest.

Übungsaufgabe 5.4

Geben Sie zu dem in Beispiel 5.1 vorgestellten Standortproblem die konkrete Optimierungsaufgabe an. Gehen Sie wie in der Fortsetzung des Beispiels davon aus, dass zwei Logistikzentren eingerichtet werden sollen.

p-Median-Problem


5.2.3. p-Zentren-Probleme

Wie bereits zu Beginn des Kapitels erläutert, steht bei Zentren-Problemen der Servicegedanke im Vordergrund und damit die Frage, in welcher Entfernung sich der am weitesten gelegene Ort befindet, der angefahren muss. Auch für dieses Problem wird die graphische und mathematische Modellierung vorgestellt, sowie auf die Möglichkeit der Einrichtung von p Zentren erweitert.

Sei G = [V, E, c; b] ein bewerteter ungerichteter zusammenhängender Graph mit nichtnegativen Kanten- und Knotenbewertungen sowie Vp eine p-elementige Teilmenge der Knotenmenge V. Die kürzeste Distanz einer solchen Teilmenge Vp zu einem Knoten j wurde bereits in Abschnitt 5.2.2 definiert als

}|],[min{),( pp VvjvdjVd ∈= .

Berechnet man }|],[max{)( ppp VjjVdV ∈=ρ , so ist damit bestimmt, in

welcher Entfernung sich der am weitesten gelegene Ort relativ zu einer Menge Vp von Knoten befindet, der angefahren muss.

Eine p-elementige Teilmenge pzV bezeichnet man als Knoten-p-Zentrum von G,

wenn für jede andere p-elementige Teilmenge Vp von V gilt:

)()( ppz VV ρρ ≤ .

)( pzVρ wird als Knoten–p–Radius von G bezeichnet.

Beispiel 5.3 (Fortsetzung von 5.2)

Der Konzern muss seine Filialen durch einen Wachschutz absichern; möchte aber aus Effizienzgründen nur an zwei Standorten entsprechendes Bereitschaftspersonal unterbringen. Diese Standorte sollen so gewählt sein, dass bei einem Vorfall die Einsatzkräfte möglichst schnell vor Ort sind.

Analysen ergaben, dass für das bereits aus Beispiel 5.2 bekannte Verkehrsnetz die Knoten 1 und 5 ideale Zentralen für die Bereitschaft sind. Dabei werden die Knoten 1, 2, 3 von 1 aus und die Knoten 4, 5, 6 von 5 aus am schnellsten erreicht. Die genauen Entfernungen entnehmen Sie bitte der nachfolgenden Abbildung 5.4.

p-Zentrum

Knoten-p-Radius

9

4

3 6

2

1

5

36

30 99

69

3650

59

d[1,4] = 66

Abb. 5.4: Verkehrsnetz mit 2-Zentren

Vor einer Modellierung des p-Zentren-Problems als ganzzahliges lineares Optimierungsproblem seien die Bezeichner bei modifizierter Bedeutung der Entscheidungsvariablen nochmals erläutert: p Anzahl der auszuwählenden Standorte, I Menge der möglichen Standorte für Zentren, I = {1,…,ℓ }, J Menge der möglichen Nachfrager, J = {1,…,m}, dij Entfernung d[i, j] vom Standort i ∈ I zum Nachfrager j ∈ J, xij 0/1-Entscheidungsvariable, die angibt, ob Nachfrager j dem potentiellen Zentrum i zugeordnet wird (xij = 1) oder nicht (xij = 0), yi 0/1-Entscheidungsvariable, die angibt, ob Knoten i zur Menge der Zentren gehört (yi = 1) oder nicht (yi = 0), dann lautet das Optimierungsproblem

zmin (5.6) u.d.N.

1=∑∈Ii

ijx für alle j ∈ J (5.7)

0≥− iji xy für alle i ∈ I, j ∈ J (5.8)

pyIi

i =∑∈

(5.9)

zxdIi

ijij ≤∑∈

für alle j ∈ J (5.10)

}1,0{, ∈iij yx für alle i ∈ I, j ∈ J (5.11)

Die Variable z in der Zielfunktion bezeichnet das Maximum )( pVρ der

Distanzen, die zu allen Nachfragern zurückgelegt werden müssen. Das Optimum ist gerade )( p

zVρ , der Knoten–p–Radius von G. Die Nebenbedingungen (5.7) und

(5.9) sind analog den Restriktionen (5.2) und (5.4) des p–Median-Problems entsprechend für Zentren zu interpretieren. Ungleichung (5.8) repräsentiert die disaggregierte Form der Ungleichung (5.3). Mit dieser Ungleichung wird

p-Zentren-Problem


garantiert, dass im Falle der Zuordnung eines Nachfragers zu einem Zentrum dieses Zentrum auch wirklich eingerichtet wird. Ungleichung (5.10) erfasst für jeden Nachfrager j ∈ J die Entfernung, die er zum zugeordneten Zentrum zurücklegen muss und stellt sicher, dass sie nicht größer als z ist. Da z in der Zielfunktion steht, wird diese Entfernung minimiert.

5.2.4. Verfahren zur Lösung von p-Median-Problemen

Mit der Modellierung als Binäres bzw. Ganzzahliges Lineares Optimierungsproblem können zur Lösung von p-Median- und p-Zentren-Problemen auch exakte Verfahren herangezogen werden, die grundsätzlich geeignet sind, optimale Standorte zu ermitteln. Die sehr kompakte Schreibweise der mathematischen Modelle (5.1) bis (5.5) bzw. (5.6) bis (5.11) mag zunächst über die eigentliche Komplexität hinweg täuschen. Bereits die Lösung der Übungsaufgabe 5.3 ergab, dass zu dem Beispiel 5.1 mit sechs Knoten und der vorgegebenen Zahl von zwei Medianen 42 binäre Variable in das Modell mit Zielfunktion und 13 Restriktionen eingehen. Mit steigender Knotenzahl und vor allem auch steigender Zahl von Medianen steigt auch die Komplexität des Problems, selbst wenn man davon ausgeht, dass die Anzahl der Mediane vorgegeben sei. Die Überlegung zur möglichen Auswahl der Knoten als Mediane mag dies nochmals verdeutlichen. Bei der Suche nach einem 10-Median in einem Graphen mit 50 Knoten ergeben sich bereits

1010)!1050(!10

!501050

>−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Kombinationsmöglichkeiten. Die meisten exakten Verfahren zur Lösung von p-Median- und p-Zentren-Probleme sind Branch-and-Bound (B&B) Verfahren, die sich vor allem hinsichtlich der gewählten LP-Relaxation unterscheiden. Eine Form erhält man dadurch, dass man die Binärbedingungen (5.5) bzw. (5.11) durch einfache Nichtnegativitätsbedingungen ersetzt. Eine ausführliche Darstellung der Zusammenhänge einschließlich der algorithmischen Beschreibung des B&B-Verfahrens von Erlenkotter gibt DOMSCHKE (1984) in seinem Buch zur Standortplanung.

In vielen Fällen ist man nicht unbedingt an der optimalen, sondern nur an einer hinreichend guten Lösung interessiert und nutzt deshalb heuristische Verfahren, die sich oft durch die Anwendung einfacher Prinzipien und damit meist auch durch schnelle Berechenbarkeit auszeichnen. Neben anderen sind vor allem zwei Kategorien von sich ergänzenden Algorithmen zu nennen, die sogenannten

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Eröffnungs- und die Verbesserungsverfahren. Die erste Gruppe liefert eine zumeist zulässige Lösung, die allerdings in der Regel noch Verbesserungspotential besitzt. Deshalb kommen dann Algorithmen der zweiten Kategorie zum Einsatz.

Unter der Bezeichnung „Add-Algorithmus“ werden in der Literatur Eröffnungsverfahren vorgestellt, die eine Ausgangslösung für unterschiedliche Probleme der Standortplanung liefern. Ausgehend von der leeren Menge potentieller Standorte werden sukzessive in jedem Iterationsschritt Knoten ausgewählt, bei deren Einrichtung des zugehörigen Standortes der Zielfunktionswert verbessert wird. Der Algorithmus zur Lösung des p-Median-Problems wird zunächst in seinem Ablauf vorgestellt und anschließend an einem Beispiel erläutert.

Betrachtet wird ein Graph G = [V, E, c; b] mit n Knoten gleicher Gewichtung (o.B.d.A. bj = 1 für alle j ∈ V), zu dem die paarweisen Entfernungen bekannt sind und in einer Matrix D zur Verfügung gestellt werden. Gesucht sind p Mediane für diesen Graphen, wobei alle Knoten als Median ausgewählt werden können.

Algorithmus 5.1: Add-Algorithmus für das p-Median-Problem

Eingabedaten: n; p; dij, (i = 1,…,n; j = 1,…,n) L := {} Menge der markierten Knoten M := {1,…,n} Menge der unmarkierten Knoten δj := ∞ (j = 1,…,n) Entfernung zum nächstgelegenen Median νj := 0 (j = 1,…,n) zugeordneter Median

Schritt 1:

• Berechne nidn

jiji ,...,1 allefür :

1==σ ∑

=.

• Bestimme die Zeile i, für die σi minimal, i = 1,…,n. • δj := dij, j = 1,…,n. • νj := i, j = 1,…,n. • L := {i}, Knoten i ist 1-Median. • M := M\{i} Schritt 2:

• Für alle k ∈ M berechne

},0{max1

kjjn

jk d−δ=η ∑

=

Add-Algorithmus


• Bestimme die Zeile i, für die ηi, d.h. die Einsparung maximal. • Falls δj > dij, setze δj := dij und νj := i für alle j = 1,…,n. • L := L ∪ {i}; M := M \ {i}. • Falls |L| = p, terminiere; sonst beginne erneut mit Schritt 2.

Beispiel 5.4

Ein Unternehmen möchte die Struktur seines Distributionsnetzes planen und dabei Lagerstandorte für die Auslieferung bestimmen, die in zwei der sechs Absatzorte angesiedelt werden sollen. Die vorrangige Zielgröße der Standortwahl bilden die Transportkosten zu den Absatzorten, die als proportional zu den bekannten Fahrzeiten geschätzt werden und in der nachfolgenden Matrix D zusammengestellt sind. Konkrete Absatzzahlen für die einzelnen Orte sind noch nicht bekannt und werden deshalb zunächst als gleich angesehen.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

038791040610131286059771050649139602

10127430

D

Da es sich um ein 2-Median-Problem handelt, kann zur Bestimmung einer ersten Lösung der Algorithmus 5.1 angewendet werden. Die Ausgangsdaten sind in Tabelle 5.1 zusammengestellt. Die Markierung der Knoten wird durch Streichung der zugehörigen Zeilen kenntlich gemacht; zu Beginn sind alle Knoten unmarkiert.

Tab. 5.1: Ausgangsdaten des p-Median-Problems

A1 A2 A3 A4 A5 A6 σi ηi L1 0 3 4 7 12 10 L2 2 0 6 9 13 9 L3 4 6 0 5 10 7 L4 7 9 5 0 6 8 L5 12 13 10 6 0 4 L6 10 9 7 8 3 0 δj ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

νj 0 0 0 0 0 0

13

In Schritt 1 sind nun die Zeilensummen zu bilden und in die rechte Spalte einzutragen. Das Minimum dieser Werte bestimmt den 1-Median, hier Knoten 3 mit Wert 32. Die Zeilen δj und νj sind zu aktualisieren und, wie Tabelle 5.2 zeigt, in das Tableau einzutragen. 1

jδ

Tab. 5.2: Tableau nach Bestimmung des 1-Medians

A1 A2 A3 A4 A5 A6 σi

L1 0 3 4 7 12 10 36 L2 2 0 6 9 13 9 39 L3 4 6 0 5 10 7 32 L4 7 9 5 0 6 8 35 L5 12 13 10 6 0 4 45 L6 10 9 7 8 3 0 37

1jδ 4 6 0 5 10 7 32 1jν 3 3 3 3 3 3

Schritt 2 bestimmt einen zweiten potentiellen Standort für ein Lager mit dem Ziel, auf Basis der bestehenden Zuordnung eine größtmögliche Verbesserung zu erzielen. Die Werte sind in die Spalte ηi der Tabelle 5.3 eingetragen. Das Maximum von 14 wird durch Hinzunahme des Knotens 6 erreicht; die Transportkosten betragen nun 18. Die Zeilen δj und νj sind wieder entsprechend zu aktualisieren.

Tab. 5.3: Tableau nach Bestimmung eines zweiten Lagerortes

A1 A2 A3 A4 A5 A6 σi ηi

L1 0 3 4 7 12 10 36 7 L2 2 0 6 9 13 9 39 8 L3 4 6 0 5 10 7 32 L4 7 9 5 0 6 8 35 9 L5 12 13 10 6 0 4 45 13 L6 10 9 7 8 3 0 37 14

2jδ 4 6 0 5 3 0 18

2jν 3 3 3 3 6 6

Während man bei der Einrichtung von Standorten bisher davon ausgegangen ist, dass grundsätzlich jeder Nachfrager erreichbar ist und auch alle Nachfragen


befriedigt werden müssen, werden nun im nächsten Abschnitt Voraussetzungen und Zielsetzung etwas verändert, indem die Erreichbarkeit festgelegt ist und auch die Forderung der vollständigen Versorgung aufgeweicht wird.

5.3. Überdeckungsprobleme

5.3.1. Grundbegriffe und Problembeschreibung

Während bisher bei gegebener Zahl von Standorten das Ziel bestand, diese möglichst so zu positionieren, dass die gewichtete Summe der Distanzen bzw. die maximale Entfernung zum am weitest entfernt liegenden Nachfrager minimal wurde, geht man bei den sogenannten Überdeckungsproblemen, englischsprachig „Covering-Problems“, von einer anderen Zielsetzung aus. Bei gegebenem Erreichbarkeitsradius ist die Anzahl der Einrichtungen zu minimieren bzw. der Versorgungs- oder Abdeckungsgrad zu maximieren.

Bei der Standortermittlung sind häufig Serviceanforderungen zu berücksichtigen, die sich formal durch die Forderung ausdrücken lassen, dass alle Kundenentfernungen von den Logistikknoten einen kritischen Wert (Zeit, Entfernung) nicht überschreiten dürfen. Damit kann der soeben mit Erreichbarkeitsradius bezeichnete Distanz zwischen Standort und Kunde genauer erfasst werden.

In Anlehnung an die Definition in Abschnitt 1.4 der KE1 sei in einem bewerteten ungerichteten Graphen G = [V, E, c; b] ein Knoten j von einem Standort i aus erreichbar, wenn i mit j verbunden und nicht weiter als eine feste Distanz ρ (Erreichbarkeitsradius) entfernt ist. Die Menge der Knoten, die von einem Standortknoten i erreichbar sind, werde mit R(i) bezeichnet.

Somit lässt sich die Erreichbarkeitsmatrix R(G; ρ) definieren, die aus den Elementen

⎩⎨⎧ ∈

=sonst ,0

)( falls ,1:

iRjrij i ∈ I, j ∈ J

besteht. R(G; ρ) stellt eine binäre Matrix dar.

Im Rahmen der Standortplanung sind vor allem zwei Problemtypen zu nennen, deren Zielsetzung bereits eingangs genannt wurde und die in den nächsten beiden Abschnitten genauer vorgestellt werden, das Set-Covering-Location-Problem und das Maximum-Covering-Location-Problem.

Covering-Problem

Erreichbarkeits-matrix

15

5.3.2. Set-Covering-Location-Probleme

Beim Set-Covering-Location-Problem geht man von einer 100%igen Versorgung der Kunden aus und hat das Ziel, bei festgelegtem Servicegrad die Anzahl der Einrichtungen bzw. Standorte für Logistikknoten zu minimieren.

Die potentiellen Standorte seien vorgegeben, und jedem Kunden sei über die Erreichbarkeitsmatrix eine Menge solcher Knoten zugeordnet, die den Kunden innerhalb des vorgegebenen Zeit- bzw. Entfernungslimits bedienen können.

Abbildung 5.5 visualisiert die beschriebene Situation in einem graphischen Modell, wobei jeder Knoten grundsätzlich von jedem anderen Knoten aus erreichbar sei.

Abb. 5.5: Set-Covering-Location-Problem

Die mathematische Modellierung für das Set-Covering-Location-Problem als Binäres Lineares Optimierungsproblem ist vergleichsweise einfach und benötigt mit den Vorgaben und getroffenen Annahmen nur wenige Variable. I Menge der möglichen Standorte für Logistikknoten, I = {1,…,ℓ }, J Menge der möglichen Nachfrager, J = {1,…,m}, rij Knoten j von einem Standort i aus erreichbar (rij = 1) oder nicht (rij = 0), yi 0/1-Entscheidungsvariable, die angibt, ob Knoten i Standort für einen Logistikknoten (yi = 1) oder nicht (yi = 0), dann lautet das Optimierungsproblem

∑∈Ii

iymin (5.12)

u.d.N. 1≥∑

∈Iiiij yr für alle j ∈ J (5.13)

}1,0{∈iy für alle i ∈ I (5.14)

Set-Covering-Location-Problem


Zielfunktion (5.12) minimiert die Anzahl der Standorte; Nebenbedingung (5.13) stellt sicher, dass zu jedem Kunden j im Umkreis von ρ mindestens ein Standort i vorhanden ist. Sollen die Kosten ci zur Errichtung der Standorte i berücksichtigt werden, so wird (5.12) erweitert zu:

∑∈Ii

ii ycmin (5.12a)

Übungsaufgabe 5.5

a) Notieren Sie zu Beispiel 5.1 die Erreichbarkeitsmatrizen für das in Abbildung 5.2 gezeigte Verkehrsnetz mit ρ = 55 und ρ = 100.

b) Stellen Sie mit den in a) gewonnenen Informationen jeweils das zugehörige Binäre Lineare Optimierungsproblem auf.

5.3.3. Maximum-Covering-Location-Probleme

Gibt man den Anspruch einer 100%igen Versorgung der Kunden auf und fordert stattdessen, bei festgelegter Anzahl von Logistikknoten den Servicegrad zu maximieren, so spricht man von einem Maximum-Covering-Location-Problem. Bleibt man etwa bezogen auf Abbildung 5.5 bei drei Standorten und reduziert die Erreichbarkeit auf ca. 85%, so ergibt sich für die angegebenen Knoten die in Abbildung 5.6 gezeigte Zuordnung. Ziel muss es nun also sein, die Anzahl der versorgten Kunden zu maximieren.

Abb. 5.6: Maximum-Covering-Location-Problem bei einer auf 85% reduzierte Erreichbarkeit

Im Gegensatz zum p-Median-Problem ist es im vorliegenden Fall unerheblich, ob der Kunde unmittelbar in der Nähe des Standortknotens liegt oder am Rande der Erreichbarkeit. Gezählt wird nur die Anzahl der versorgten Kunden. Somit bezeichne

Maximum-Covering-Location-

Problem

17

p Anzahl der auszuwählenden Standorte, I Menge der möglichen Standorte für Logistikknoten, I = {1,…,ℓ }, J Menge der möglichen Nachfrager, J = {1,…,m}, rij Knoten j von einem Standort i aus erreichbar (rij = 1) oder nicht (rij = 0), bj Bewertung des Nachfrage-Knotens j ∈ J, xj 0/1-Entscheidungsvariable, die angibt, ob Nachfrager j versorgt wird (xj = 1) oder nicht (xj = 0), yi 0/1-Entscheidungsvariable, die angibt, ob Knoten i Standort für einen Logistikknoten (yi = 1) oder nicht (yi = 0), dann lautet das Binäre Lineare Optimierungsproblem

∑∈

⋅Jj

jj xbmax (5.15)

u.d.N. j

Iiiij xyr ≥∑

∈ für alle j ∈ J (5.16)

pyIi

i =∑∈

(5.17)

}1,0{, ∈ij yx für alle i ∈ I, j ∈ J (5.18)

Nebenbedingung (5.16) garantiert, dass xj nur 1 wird (Nachfrager j versorgt wird), wenn einer der erreichbaren Knoten i als Standort ausgewählt wird. Die übrigen Bedingungen sind analog denen des p-Median-Problems.

5.4. Warehouse Location Probleme

5.4.1. Grundproblem und seine mathematische Modellierung

Da die betriebliche Standortplanung oft eng mit der Frage verbunden ist, welche Kosten nicht nur bei der Einrichtung von Standorten sondern auch bei späteren Transportaktivitäten entstehen, soll nun die Klasse der Warehouse Location Probleme (WLP) vorgestellt werden. Betrachtet wird ein Unternehmen, das Kunden mit Gütern gemäß ihrer periodenbezogenen Nachfrage beliefert. Das Unternehmen ist an einer Senkung der Vertriebskosten interessiert und will zu diesem Zweck Auslieferungslager einrichten.. Entsteht ein Lager, so fallen einmalig Fixkosten an.

Man unterscheidet in der Literatur zwischen ein- und mehrstufigen WLP, hin-sichtlich Kapazitäten zwischen beschränkten und unbeschränkten WLP, außerdem zwischen Einprodukt- und Mehrproduktproblemen und hinsichtlich der Kosten zwischen Probleme mit linearen und mit nichtlinearen Betriebskosten.

Warehouse-Location-Problem


Wenn Sie das Material bisher aufmerksam studiert haben, ist Ihnen sofort klar, dass es sich beim p-Median-Problem ebenfalls um ein WLP handelt, bei dem keine Fixkosten entstehen, das keine Kapazitätsrestriktionen enthält und bei dem die Zahl der Lagerorte vorgegeben ist.

Die einfachste Form des WLP, unkapazitiert und einstufig, wird in der Literatur auch als Simple Plant Location Problem bezeichnet. Für ein Auslieferungslager, von dem aus n Kunden beliefert werden sollen, kommen m potentielle Standorte in Frage. Die Errichtung des Lagers am Standort i (i ∈ I) ist mit fixen Kosten fi pro Periode verbunden. Wird ein Kunde j (j ∈ J) von dort in vollem Umfang mit bj Mengeneinheiten (ME) beliefert, entstehen Kosten in Höhe von cij Geldeinheiten (GE). Die Situation ist in Abbildung 5.7 graphisch dargestellt.

1

i

m

1

j

n

2

c11

c12

ci1

ci2

cij

cin

cmn

b1

b2

bj

bn

f1

fi

fm

Lager-standorte

Kunden

Abb. 5.7: Unkapazitiertes, einstufiges WLP

Um das unkapazitierte, einstufige WLP als binäres, lineares Optimierungsproblem formulieren zu können, werden Entscheidungsvariable yi benötigt, die angeben ob Knoten i als Standort eingerichtet wird (yi = 1) oder nicht (yi = 0). Variable xij nehmen Werte zwischen 0 und 1 an gemäß dem Anteil, mit dem der Kunde vom Standort beliefert wird.

∑∑ ∑∈∈ ∈

⋅+⋅Ii

iiIi Jj

ijij yfxcmin (5.19)

u.d.N. 0≥− iji xy für alle i ∈ I, j ∈ J (5.20)

1=∑∈Ii

ijx für alle j ∈ J (5.21)

19

0≥ijx für alle i ∈ I, j ∈ J (5.22)

}1,0{∈iy für alle i ∈ I (5.23)

(5.20) stellt sicher, dass ein Standort i auch vorhanden ist, wenn ihm ein Nachfrager zugeordnet. Nebenbedingung (5.21) garantiert, dass jeder Nachfrager j genau einem Standort i zugeordnet wird.

Übungsaufgabe 5.6

(5.20) wurde wieder in der disaggregierten Form notiert, die Sie bereits bei der Formulierung der p-Zentren-Probleme kennen gelernt haben. Da für alle i ∈ I und für alle j ∈ J diese Ungleichung formuliert werden muss, entstehen insgesamt ( l⋅m ) Restriktionen. Notieren Sie (5.20) in der aggregierten Form, und geben Sie an, wie viele Ungleichungen bei dieser Form der Modellierung aufzustellen sind.

5.4.2. Kapazitierte, einstufige Warehouse Location Probleme

Ist die Kapazität der potenziellen Standorte auf ai ME beschränkt, so entspricht dies der Vorstellung von Lagerkapazitäten, die bei der Planung mit berücksichtigt werden müssen. Damit ist auch für die Angebotsseite eine Mengenbilanz zu formulieren, und es ist nicht mehr hinreichend festzustellen, welchen Anteil ein Anbieter an der Deckung des Bedarfs hat. Die Variable xij bezeichnet nun die von einem Standort i ∈ I zu einem Nachfrager j ∈ J zu transportierenden ME und cij die Transportkosten je ME. Bei ansonsten wie in Abschnitt 5.4.1 verwendeter Interpretation der Variablen ergibt sich für das kapazitierte, einstufige WLP die folgende Modellformulierung.

∑∑ ∑∈∈ ∈

⋅+⋅Ii

iiIi Jj

ijij yfxcmin (5.24)

u.d.N. ii

Jjij yax ≤∑

∈ für alle i ∈ I (5.25)

jIi

ij bx =∑∈

für alle j ∈ J (5.26)

0≥ijx für alle i ∈ I, j ∈ J (5.27)

}1,0{∈iy für alle i ∈ I (5.28)

Dabei handelt es sich um eine aggregierte Form der Modellierung, da mit Ungleichung (5.25) bereits sicher gestellt wird, dass von Standort i ∈ I aus nur an


einen Nachfrager j ∈ J geliefert werden kann, wenn der Standort auch eingerichtet wird.

In Erweiterung des Modells besteht die Möglichkeit, obere und untere Transportkapazitäten κij bzw.. λij für einzelne Verbindungen festzulegen, indem man Restriktionen vom Typ (5.29) hinzufügt.

ijijijij xx λ≥κ≤ , für i ∈ I, j ∈ J (5.29)

Neben den Kosten für die Errichtung von Zwischenstandorten spielt bei der Erweiterung auf mehrstufige Warehouse Location Probleme vor allem die Bündelung von Transporten eine wesentliche Rolle. In Kapitel 8 wird die damit verbundene Frage der Umladung von Gütern ausführlich behandelt.

Lösungen der Übungsaufgaben

Übungsaufgabe 5.1

Betrachtet man einen bewerteten gerichteten Graphen G = <V, E, c; b>, so ist bei der Berechnung von Medianen zwischen den eingehenden und ausgehenden Pfeilen zu unterscheiden. Die Entfernungen sind nicht mehr symmetrisch; man unterscheidet zwischen einem in-Median, einem out-Median und einem Median schlechthin. Ähnliche Überlegungen sind bei Zentren anzustellen. Welcher Wert schließlich für ein gegebenes Problem geeignet ist, entscheidet sich aus dem Sachzusammenhang heraus. So ist es beispielsweise bei der Errichtung einer Feuerwache hauptsächlich von Bedeutung, wie „schnell“ die Fahrzeuge am Einsatzort sind.

Übungsaufgabe 5.2

a)

A

B

C

2

2

2

D

9

3

E

37

8

7

Dem Graphen ist zu entnehmen, dass die Verbindungen von <B,C>, <C,E>, <D,A>, <D,C> und <E,D> nur in einer Richtung befahrbar sind.

b) Für den Einkauf sind jeweils die Hin- und Rückfahrt auf dem kürzesten Weg zu betrachten. Aus dem in a) erstellten Graphen sind deshalb entsprechend die kürzesten Entfernungen zwischen allen Knoten abzulesen

102 Lösungen der Übungsaufgaben

und in einer Distanzmatrix zusammenzustellen. Für einen komplexeren Graphen liefert der Tripelalgorithmus das gewünschte Ergebnis.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0397612075381101514710202912420

:*D

Da die Anzahl der zu erwartenden Einkäufe je Dorf unterschiedlich ist, muss eine zusätzliche Gewichtung vorgenommen werden. Die Ergebnisse (in 1000 km) sind in der nachfolgenden Matrix zusammengefasst:

4839384134 2839673848

0 12 8 7 9

3 0

11 10 12

9 7 0 2 4

7 5

15 0 2

6 3

142 0

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Somit ergibt sich beispielsweise bei einer Wahl des Standorts „Aalhus“, dass von allen Einkaufenden aus den verschiedenen Dörfern insgesamt zunächst einmal 34.000 km zurückzulegen sind, um zum Kaufhaus zu gelangen, und dann 48.000 km, um wieder nach Hause zu kommen. In der Summe berechnet sich für A: 82.000 km, für B: 79.000 km, für C: 105.000 km, für D: 78.000 km und für E: 76.000 km. Das Kaufhaus sollte somit unter den gegebenen Annahmen in Estringen gebaut werden.

d) Für den Bau des Feuerwehrhauses ergibt sich folgende Situation. Hier muss nur der zurückzulegende Weg zum Einsatzort betrachtet werden. Da die weiteste Entfernung minimal sein soll, ist allerdings auch hier der Standort Estringen zu wählen. In folgender Übersicht ist die weiteste Entfernung vom Standort aus rechts neben der Matrix notiert. Für Estringen ist der Wert mit 9 km minimal.

912151012

0 12 8 7 9

3 0

11 10 12

9 7 0 2 4

7 5

15 0 2

6 3

142 0

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

103

Übungsaufgabe 5.3

Die gewichtete Distanz σ einer p-elementigen Teilmenge Vp von V in G wird bestimmt durch

∑∈

⋅=σVj

jpp bjVdV ],[)( .

Übungsaufgabe 5.4

Für das in Beispiel 5.1 vorgestellte Standortproblem ergibt sich bei zwei einzurichtenden Logistikzentren die folgende Optimierungsaufgabe:

)036956999105(30)36059105135125(180)95590509666(60)691055006636(90)991359666030(250)1051256636300(50min

665646362616

655545352515

645444342414

635343332313

625242322212

615141312111

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅

111111

665646362616

655545352515

645444342414

635343332313

625242322212

615141312111

=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

010010010010010010

6666564636261

5565554535251

4464544434241

3363534333231

2262524232221

1161514131211

≤−+++++≤−+++++≤−+++++≤−+++++≤−+++++≤−+++++

yxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxyxxxxxx

2654321 =+++++ yyyyyy

}1,0{,,,,, 6656131211 ∈xxxxx K

}1,0{,,,,, 654321 ∈yyyyyy

104 Lösungen der Übungsaufgaben

Übungsaufgabe 5.5

a) i)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

110000110000001100001101000011000111

)55;(GR

ii)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

111110111000111111101111101111001111

)100;(GR

b) i) 654321min yyyyyy +++++

u,d.N.

111111

65

65

43

431

21

321

≥+≥+≥+≥++≥+≥++

yyyy

yyyyy

yyyyy

}1,0{,,,,, 654321 ∈yyyyyy

ii) 654321min yyyyyy +++++

u,d.N.

111111

65432

654

654321

64321

64321

4321

≥++++≥++≥+++++≥++++≥++++≥++++

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

yyyy

}1,0{,,,,, 654321 ∈yyyyyy

105

Übungsaufgabe 5.6

Sei M wieder ein genügend große Zahl, so ergibt sich vereinfacht

iJj

ij yMx ⋅≤∑∈

für alle i ∈ I.

Die Darstellung nennt man aggregierte Form, bei der insgesamt m Restriktionen aufzustellen sind.

Übungsaufgabe 6.1

Das primale Problem lautet:

min z = 12x11 +4x12 +7x21 +9x22 +7x23 +6x32 +10x33

u.d.N. x11 +x12 = 60

x21 +x22 +x23 = 40

x32 +x33 = 80

x11 +x21 = 50

x12 +x22 +x32 = 100

x23 +x33 = 30

xij ≥ 0

Das duale Problem lautet:

max w = 60u1 +40u2 +80u3 -50u1´ -100u2´ -30u3´ u.d.N. u1 -u1´ ≥ 12 u1 -u2´ ≥ 4 u2 -u1´ ≥ 7 u2 -u2´ ≥ 9 u2 -u3´ ≥ 7 u3 -u2´ ≥ 6 u3 -u3´ ≥ 10

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