Proof-Planning

Übersicht

Einleitung

Proof-Planning

Bridge-Taktiken

Repräsentation des Gegenspiels

Planungsalgorithmus

Suchen mit Histories

Einleitung

• Aspekte des FINESSE-Systems bezüglich Proof-Planning

– Verwenden von Taktiken

– Weitere Features :

• vereinfachte Repräsentation

• History-Mechanismus

=> Effizienzsteigerung

Proof-Planning

• entwickelt von der Mathematical Reasoning Group in Edinburgh

• versuchten Theoreme via Regeln in Teilprobleme zu zerlegen und so auf Axiome zurückzuführen

• für jedes Bridge-Spiel erhält man analogen Baum– Regeln entsprechen Bridge-Taktiken

– Erreichen der Axiome analog zu ‚alle Karten gespielt‘ bzw. ‚keine Taktik anwendbar‘

and and

and and

Axiom

Axiom

AxiomAxiom

AxiomAxiom

Theorem

Regeln/Formeln

Teilprobleme

Blatt

Blatt

Blatt Blatt

Blatt Blatt

Spielzustand

Gespielte Karten des Alleinspielers

Gegenspiel

Bridge-Taktiken

• Grundoperation ist das Spielen einer einzelnen Karte

• Sehr viele Kartenkombinationen in einem Stich möglich

• Ziel: Reduzierung des Spielbaums durch Beschränkung auf eine Menge von allgemeinen Bridge-Taktiken

• Betrachte Einfarb-Probleme ohne Trumpf aus Sicht des Alleinspielers (Süd)

Kassieren

• Klein zu einer hohen Karte oder diese selbst ausspielen

N

W

S

O

x

A

N

W

S

O

K D

A x x

N

W

S

O

D B

A K

Schneiden

• Literatur: viele verschiedene Arten des Schneidens

• aber: 4 Typen des Schneidens genügen für alle Beispiele

• Schnittkarte: eine Karte, mit der man einen Stich machen möchte, obwohl der Gegner noch eine höhere hat

• Deckkarte: eine hohe Karte

Schneiden (1)

• Schnittkarte und mind. eine Deckkarte in einer Hand

• es wird klein von der anderen Hand ausgespielt

N

W

S

O

A D

x

Schneiden (2)

• Schnittkarte wird ausgespielt

• Deckkarte in der Hand gegenüber

• Schnittkarte kommt mind. aus 2er-Sequenz

N

W

S

O

K 4 2

A B 10

N

W

S

O

A K 9 4

B 10 2

N

W

S

O

A K 4 2

B 6 3

Schneiden (3)

• keine Deckkarte erforderlich

• es wird klein zur Schnittkarte gespielt

N

W

S

O

K D 2

8 5 3

Schneiden (4)

• einzelne Schnittkarte wird ausgespielt, um anschließend eine Situation vom Typ 1 oder 2 zu schaffen

• wichtig: nicht äquivalent zu zwei Schnitten der Typen 1-3

N

W

S

O

K 5 4

A B 9

N

W

S

O

K 9 8

A B 3

Ducken

• beide Hände spielen in einem Stich eine kleine Karte

• im ersten Beispiel : Hoffnung auf single König bei Ost (eine von 28 Möglichkeiten)

N

W

S

O

A D x

x x

N

W

S

O

A D 7 5 4 2

6 3

Top-Sequenzen

• es wird in jedem Stich eine Karte der Sequenz gelegt

• Sequenz in einer Hand oder auf beide Hände verteilt

N

W

S

O

K D B

9 5 2

N

W

S

O

D 8 3

K B 5

N

W

S

O

B 10 7 3

D 9 4 2

Repräsentation des Gegenspiels

• Beispiel:

• n = Anzahl der Karten in Gegnerhand

• fehlende Karten (n = 7): A K B 8 7 6 3

• mögliche Spielkombinationen s : n(n-1) + 2n = n(n+1)

• hier : s = 56

N

W

S

O

D 10 9

5 4 2

Sequenzen

• Karten einer Sequenz werden als äquivalent angesehen

• n1 = Anzahl Sequenzen der Länge 1

• n2 = Anzahl Sequenzen mit größerer Länge

• mögliche Spielkombinationen s :

• n2(n1+n2) + n1(n1+n2-1) + 2(n1+n2) = (n1+n2+2)(n1+n2) - n1

• hier : s = 22

Kritische Karten

• höhere, entscheidende Karten der Gegner, die eventuell einen Stich machen

• restliche Karten werden als klein betrachtet

• Im vorigen Beispiel– Sequenz der Länge 2 : A K

– Sequenz der Länge 1 : B

– Sequenz der Länge 4 : 8 7 6 3

• damit : s = 14

Planungsalgorithmus

• sucht in jedem Spielzustand nach passenden Taktiken

• konstruiert einen Baum von Taktiken

• mehrere Taktiken zur Auswahl => Ordnen nach Heuristiken

• Im FINESSE-System sind Taktiken repräsentiert durch– finesse (Type, Player, Card, Suit)

– cash (Card, Suit)

– duck (Suit)

– sequence (Card, Suit)

• Taktiken anwendbar, wenn Vorbedingungen erfüllt sind

• Beispiel : Typ-1-Schneiden

• mind. ein Verlierer

• A und B in gleicher Hand

• kleine Karte gegenüber von A B

• nicht bekannt, dass West chicane

N

W

S

O

A B 7

4 2

Suchen mit Histories

• Zustände im Spielbaum, die mehrfach auftreten, brauchen nicht mehrfach untersucht werden

• gleiche Zustände befinden sich immer auf derselben Ebene

• Einführung einer History-Liste auf jeder Ebene :

– Suchergebnis bzw. Plan eines Zustands wird in entsprechender Liste abgelegt

• Implementation mittels Hash-Tabellen

Bis zu welcher Ebene sind Histories sinnvoll ?

• Branching-Faktor b, Ebene i

• kein doppelter Zustand bis zur Ebene i führt zu 1+2+...+(bi-1) = ½(bi-1)bi ~ b2i/2 Vergleichen

• Tiefe des Baums d

• durchschnittliche Kosten für einem Zustand m (bei FINESSE 15 mal so groß wie ein Vergleich)

• Anteil der doppelt vorkommenden Zustände auf i-ten Ebene αi (bei FINESSE ungefähr 1/30)

• Einsparung für einen in History-Liste gefundenen Zustand ist m bd-i

• Einsparung bis zur i-ten Ebene : αi bi m bd-i = αi m bd

αi m bd > b2i/2

2 αi m bd > b2i

ln(2 αi m) + d ln(b) > 2i ln(b)

d ln(b) > 2i ln(b)

d/2 > i

• Also : Histories lohnen in der oberen Hälfte des Spielbaums