pue>j - df.uns.ac.rsd-178).pdf · s a d r z a j u v 0 d • - 1. standardni tretman entropije i...
27
'0861 Q V S I A 0 N o i AO>JU i Je^ eus9/\ pue>j - p e j [>jsuJO[dip- 13QOW I>ISN01IS>I3 GS81 'X
Transcript of pue>j - df.uns.ac.rsd-178).pdf · s a d r z a j u v 0 d • - 1. standardni tretman entropije i...
' 0 8 6 1
Q V S I A 0 N
o i AO>JU i Je^ eus9/\ pue>j
- p e j [ > j s u J O [ d i p -
1 3 Q O W I > I S N 0 1 I S > I 3
GS81 'X
••it'H&'OdHd*'
mi H M I Z I d V Z i n i l l S N I
n a v s W O A O N n
flu-cm -6e ftut&n tta/Mda&JUjc zohvat/u/em psw^eAofiu, tto,.
To^-cea, JiakovocLLQcu Labosiatosiije za t^o^Lj^ku ^z/cfea, InAt-Ltuuta za
-I wwtotiu QVOQ Jidda net ^izbonu. t&ne. -i akazanoj p&iMan<2,ntnoj pornoc-i a
feu -cz^ade OUOG
'
S A D R Z A J
U V 0 D • -
1. STANDARDNI TRETMAN ENTROPIJE I BIOFIZIKA
1.1. . 0 PROBLEMlTsAMOORGANIZACUE B t O S I S T E M A1.2. ENTROPIJA STACIONARN1H I NESTACIONARNIH SISTEMA1.3. STANDARDNA ENTROPIJA E K S f T O N S K O G SiSTEMA
2. UNUTRAsNJE NESTACIONARNOSTI I ENTROPIJA
2.1. PROMENA BROJA EKSITONA U VREMENU2.2. STVARNA ENTROPIJA EKSITONSKOG SISTEMA2.3 . EKSiTONSKI MODEL SAMOORGANiZACIJE
Z A K L J U C A K -
*
L I T E R A T U R A - - - - - -
12
12
19
22
U V 0 D
Cilj ovog dip! omskog rada je dvojak i to:
a) da s e na osnovu nekih specif icnosti u sistemu Frenkelo-
v i h eks'itona otkrlje kakvu ulogu u b l o l o s k i m procesima
mogu da odigraju eksitonl. Ovu ideju o znacaju eksitonskog bi o-
sistema u fizici vec godinama propagira poznati madjarski bio-
log Albert Szent Gyorgyi .
e.st0>Mit£>b) da se analizom elektronskog sistema i njegove entropije
nadju osnove za formulisanje modela za smesu bioloSki
nuznih supstanci u kojima moze da nastupi pojava autokatalize
hemijskih reakcija. Na osnovu ideje Prigozina neophodan uslov
za nastanak katalize su periodicni fluksevi entropije i supro-
tan znak (bar u nekom intervalu vremena) za generalisane sile i gene-
ralisane flukseve entropije.
- 2 -
G L A V A 1.
STANDARADNI TRETMAN ENTROPIJE I BIOFIZIKA
1.1. 0 PROBLEMU SAMOORGANIZACIJE BlOSiSTEMA
Poslednje dve decenije karakterise veoma opsirna
diskusija o odnosu biologije i fizlke. Postoji vise shvatanja o
tome u kojoj men" zakon i fizlke mogu da se uklope u b i o l o s k e
procese i u kojoj men* mogu da ih objasne. Postoje v i t a l i s t i c k a
shvatanja, po kojima za bio-materiju fizicki zakoni ne vaze , te
da bi u ovom domenu trebalo da se formulise nekakva nova fi zi ka
Nesto povoljniju ideju p o f i z i k u zastupao je Vigner, ali je on,
na osnovu rezonovanja koje proizlazi iz zakona ravnotezne termo
d i n a m i k e , dosao do zakljucka da primena f i z i c k i h zakonitosti na
problem nastanka zivota i razvoja materije dovodi do sistema je
dnacina u kojima je bfojnepoznatih daleko veci od samog broja
jednacina. Izveo je na osnovu ovoga zakljucak da metodi fizike
ne rnogu da se primenjuju u b i o l o g i j i bez "fitovanja" v e l i k o g
broja parametara, Po njemu bi fizicka teorija b i o l o s k i h procesa
predstavljala jednu nedovoljno konzistentnu teori ju .
Savremena shvatanja o mogucnosti objasnjenja b i o l o
skih procesa na osnovu zakona fizike su takva da pomenuti zako-
ni mogu da objasne sve bioloske procese i da isti svakako leze
u osnovi s v i h b i o l o s k i h procesa. Osnovna misao, kojom se ovde
operise a jeste ideja o postojanju vremenski zavisne entropije
koja dovodi do usmeravanja ravnotezne haoticnosti procesa i pri*
v i l e g i j e za neke od ovih procesa. Samim tim, pojava p r i v i l e g o v a
n i h procesa predstavlja pocetak autokatalize i l i samoorganizaci
je u nezivoj materiji. U k o l i k o neziva materija ima potrebne kom
ponente (belancevine, deoksiribonukleinska kiselina) dugotrajna samoor-
ganizacija u smesi o v a k v i h materija dovodi do pojave zivota, tj
do takve materije koja sama sebi d i k t i r a dalje struktuiranje.
Entropija i informacija su dve kompiementarne v e l i
cine - smanjenje entropije dovodi do povecanja informacije i o-
brnuto. Povecanje informacije znaci, grubo govoreci, zavodjenje
1s_H3
-P_^!3£_
-PtoH3
•i —•r-o
O-pCO03COOCoCDCO03
l -a
CO
O1 —f
-r-
JDf\3
£:*r-
CO
CDOO$_CL
E•r"*
C>U
•r—•POrojr:^303-aCDV
03•r-)
.,—{_)
•s^
03
CDS_
_d
.^_c:CD•1—
3
"OQJs_
T3ojc•r—
j*:CDC3•r—j
C03•1—
3
a3>-oNJ
>r_rso•i—JD
r.
3
'•"Oc03>•i —*r-}
T3CDt_13EOC
CD•(-j•i —C
Jn3Ei~O<4_
d•i —03j*;«/)
., —>CD>03•ro
OCL
13, —-PCD>CO
^3,
,. — »
JZ*~~7"
.—
EOJ
-c-QJ
>uiCO
^»
V
>CJ
<nc14_
* — I
Oo3>— '
13cn
O£CDC•i—ECD
, —JDOi_CX
•1 —_^:>coo, —0•i—JD03
T3CDE0-P0•^03
>o33• r-0
_^03
Nl
>Oi-a>c:CD
•i —;>03-a03C
X-po
103c:
"OCD•r~
>
03£CD-PCO
COECD
, —JDOL.
CX
03dCD"d05*COCDtoi_CD
•<—>n
Oc-PCD-pC
O
•r-
Nl
do•s/
CD>toCDi_Q
Jto03~a
-„.. •
•03C.,—>o03C*oCD
>r~-i
03• r—
j
Os~JD•oO
.
•r-VOCD
•>
JC•r--P0
3dN0CX
CDd•r-j
O£.
JDCD•r-0
CDT
3O>
03d•r—>O
ri
CD-pCO03S~
••'.";. 03
.. '•r—C
LO£_-PCCDn3E•r—•P
-J
0y1303EECD~PC
O.,_toE•i—C>N
ICD-POC>03S
-
ID
CD'«
"•>
0-2x£
03
•r-r—
•
03ft
C03>03^CL
CO
•r—CD
• 1—5
x03
>O=3
•r~ 3
i —Jy*
03N>OSN
,
CDc;CJ)
•r—,
03"C
J03CX
O03-r*o•r—u03Es_oc•r-
03
1O03JZT13E13E•r-LOy03£03_^;
OC03-PCOC
Lto
•r-
>N
f
CD
4->CDCO_i£03.
*r-j
-P
r-
sz03>N
1CD+->
0C>03s.CDCECD-Pto•I—to
03>O, —CO13
_C
•i —^£tOcC3
a.
O-o~oCDi —to3
r>
03C•i —>oroC-aO
)•1—3
Z5ECD-pto•r-
COEo>0i_CDccn•i —>•1303
~O03*^03C
O
ECD, —JDOj
.
CL
"r*~CD-Pto03i-03c:•i —>u03C-aCD
•1—3
•1-7
0S-
JD
n
OJ
•1—5
•r-
O03ES-
0C|_
C•r-
•Pto03s^oC
X
03Nl
C"
.-
c_03Nl
CD>
CDto,.c•r—
-P03CNl
OCX
CDC•1—}
oJD•r—03d•r->O03CZ
T3CD•"~>
•r—y
OL.
JD
.•r-j
-P
n
CO3
-PC0)
-pto<r_N!
CO-i£a>•r-5
03
-PtoOCX
_c•r—J^.
>coo1 — •
o•1 —
r. ' JD•i—>OCCOo303-o_,J
-p>to•1 —>oc03-Pto03C•i —•P03-PCO
:, , ooECD
VO•r—SI
>CD
'-'•r~
3
=3 ';
*o
,. n3
-v
c. —
-aa>•1—3N•r-
CD•p
"0
•r—dzs•ro•r-cn
Oi — •
O•r-
JD03N03-a.,—•r*C0_
^o3Nl
•i —_
\£
>u•r-N•i —q-o>•r—
>Urs•ro
i —XCO•r-
CD
>N1
CDi —03C
O
CDUOS-.
cx
toCX*
0d>03!L-
03d*CDEO-P•r-i-a.4
03V•i —N•r-~4-03>OCo3
nv^
O)
d0?
fi-ns>•
•PtoCDCO03
"OOdJDCDs.-p0C
X
10)
>NJ
01 —COrOE-
oCD>CD&.
^5-Pj^^3S
-.-Pt/1
CDy>COOi —O•r~*
JDZ5
CO03-at_•i —N
I
JDO=3
CDE130)
CO03"OOdJDO
JS
--P
03cn0S-
•pCO
,f—>03!»-C
X03CQ
JCO03-aO
J>N
IOEO
Jc03
voo_x
itOCD4_J
,C*
•p—,,v>C
J•1 —4~>
03E0)•p03eT3CD
i —to1303-a•i —CDe
irs•r-O-aCD£
«Q
J•roQ
JVOzsC
DO21.
03•r-O
O;>Nl
03i.CDOdCD•roC• r-
CD•r~
7
•f—S-
CD4-J03EiO>r_
JD03•ro•r-s_OQ
J4-)I0S-
.V•r-
E
-ao**03E
..CD-PCO•I—tocno_^;>o•r-
N•r—
CH.,_.
-ptood>o•i—4-
•r-
CJ
CDCL
LOQJCtoO)
^>NI
•r-13S_CDJD03-oOCDCO
03
-Q
^
E•f—-P
i, —03C0)E• —(11
wQ-
01
j^QJ
Cl)ca_D4-)(/I
O"DCDdi —lr_
JD03>i_CDCOCX
o^s-o15JD03~o13•r~
>03^_OECDdCDjyQ
JCjr:•r-*ro
0_ii
CDton3-a03C
X«
03CO
OJLJ
0£^_
CL
-C•r™X>O
•r-N•r-
*+—o•r—
JD•r->Oc:CO
. O13CD
>NQJ
i —QJ
•r~)
O-^*
•"""•,CCDL
.CUeoc
iJDOs_CX
E•r—
^X
>u•r-
Nl
>r_
4_O•p—
JD3-CD"O03£
-r:•r-•roO-^•r-
r— -
CD^OOE^•1—3^5N
l03
t_
JD003CJ1
0>•
013>OcCO
O03d
*3"Ort3J-Eo>o^3CD
• i— >
03dCD>NO, —N
!.,_
i —QJ
-aOE>03
^03>O03N03>OdCOo03d"OCD1—
5•rdE.,_ECDi —
1.,v^
CD
,,--pCOod>u.f—H—•i—QQ
JC
LC
O
_d
'!dtoCD>Nl
•i —^S>Odtoo03C03-a0ECDn3>co^-MOC
X"CD
•i— >
.,_c+_1
QJ
S~JsidOi«i
1O_i<£*s
Z3
•r-O*i —C
XOSt_-pdCD^3d£_003i —,, —{_
)
CO
O^
^3dCO•i —;>O
3N
l
•r-j*£cOCQ
J
EQJ
j_>0ECD>LO. ,_
i
13
ES-otf-03dO-P•r—CO
., —;>coOi —
'a•i —JD•< —
K/l
CDEt/i
1313•ro
•r*U03N• r—d03cni_0oE03to03N
l
r—CD-aoE0n3_
^03i —
'•t~->N
JZ
3i —COoC
L
•r-
JD03'*~
3
r
•
03•r-o., —t-
CD-P03EJZZ•r—dJDQ
JS
--POC
L
- .
r* ,-.-
•
-.
- ."
' -•' ' • ;'•
<cLU
t/5
en
' , - •
1CZ.
Q^
' ^ ^_!.
Ovf
—O
' 2i—LtJ
•'
^1
• c£
.<
t
O,-—
oe£
t—CO
<£— 3
—Ck.
OH-
z.
Lki
CMi—
1
1 0
oo >
E
ro
13 03
t- -P
«i .(—
03 O
J S
-*'
3
-| D
O
3•r—
T
-
CT
)•
U
C
O_
\ -Q
r—
C
O13
C
D
T-
4~
O
CO
. >
OJ
T-
-^
03
O3
'O
CD
~O
*i™"
QJ
-P
C£-.
03,,
£i
J-QN
l Q
J
TO
_£}
4-3 i —
O
03
>
E
o3^3
-P
T-
CO
VO
QJ
QJ
3
-r-o
S_
••-> C
Ln3
<U
-r- -ID
TO
Nl
O
O
rd
' .
£;
:ri «Q
- c
-Po
t. c
£
0
0)
c
-P
c0)
03
O,*:
CL
.5, "-
"O
C
k
OJ
*—
'r—C
4->
T
-™
•—
C
OJ
^
N\4
J
-o S
"3
«J CD
>
r-
O
J°
Q
J CO
Ul
_Q
~O
.-
O
T-
CU
C
k
-CD
S~
\— 1
: •
CNJ
T—
1
^/
•:i .
"
4-J
-Prr*\-^
x — v
-P' — '
Ck
f_Jt
,1
1
*\
4-J
CT
- —
-
1 1
fd
~O
-iC
QJ
OO
i~03
CD
S-
T—
-Q
*OO
4-
O"OO
C
D Y
-*; • —
QJ
T-
QJ ^
.—
T3
-H
O
O
)l"*~^4_>
rx
..
oo c:
O
03 ^o
4->
i-
^—
CO
H
•1—)
^j\j
., —
cd
'1~> ^
^~
c
ro
C~
134—
T—
o3 rd
E
>
c:
03
O
1_^/
cr>
QJ
P
'
"to
C
4—
,,i- •!— •
QJ
<U4-i
O
-r~>
; 03
03
-^
rd
S-
"003
rd
1 r
1^
1
rd1QJ
l1
O
CN
] '
O
+-J
-P
QJ
CO
r—•i — •
>
•r—
-J
::..: - *-• :- -
13
' "
' "
'
C• i—
>ordC"OOJ
•' '• •
•r— 5
rd> ,.•
• .
O3
^7
. ."
'
o ",-•-.
^~~
o
•'- ^
03
. 3=
N
CO
QJ
T?
'"'
cro
^°
v^-
rd
-r--j_
-PcQJ
'-'. ,1
>c
* "••:
CL\O
•»
\
Oit
,,- .,—
r-
1-!
. •
. .,—
, £T
"•- - >
•n-
—_
U
i-j
_X!
CZJ
"'4—
OC
M
rd
" •*-*
^"
'• • ' C
^J
QJ cr
r—
(TO03>
^>
-r-
QJ
O~
^*
"r™
5co
j*:QJ
QJ
£?
>N
1rD
O
Q
Jcr
f ^Z
3
OC
L C
,-S"
O
TO
CL S~
S
'D
" -r-
Oj
^^
\ _^;
" >LJ
>U
^
': "N
J^
a
; ; •»- co
C
S-
•r—
>•
rd
rdT
O
i —< —
03
>
i-o3
C
D4->
Q
J
CO
-P~O
d
CD T—
i-Ck
_C•1—
4-J
i —C
03
CD
-PC
C
OO
O
Ck
-i£
OQ
JO
T-
S
C
03
N
CO
rtJ4—
T
—CO
S
>•r-
03
, N
]
-QE
>
rd
rd
c:
03rd
4-J
13CDv^1
CO
Ck
0_\^;
COoi_>^
rdEQJ•r-O
c: -
)COrdOCk
CO13>
(/>.,-.
iCD -r-
Jii
03
03 < —
S_
fO
rd
CI
s^
r—•r-
.O'l~
3
£
O
fd^^
^
Od
*"
* —
-J "»*p
•
|| .
T
n^
—
-*- ^ '
cxO
J i
it—
c-
TD0Ck
COS.
cu •
•ro•r—uJ*£C3
_Q
0£
j ^
., —
,t fQ
C
^^
C
O
QJ
>(_> C
'1—
3•r~"
O3
CISJ
T—•r-
03
>U
4—
^£
•i—
O3
E
-P
c•r-
CO
•(~i
T-
EO
t-
O>'
QJ
S-
CO
P
-r-
O
rd
_QCL.
S- O
CL
H
-P
00
. ; . C
~
CD
*r—Cr>403rd
o3"O
Q
^*r —
QJ
-P•1—
5
CD
0
O
4_J
** fO
CO
Q
J
-PS
co
O-P
!3T
Ord
C
£Z
fQ
QJ
4-J
5-
LOi*
- C
kID
CV
QJ
'""3
QJ
r—
rd Q
JO
. "O
E
0• r—
rd
C
V>NiQ
J
T-
-PO
rdcr
'"~o>
c
rd
fdS
- 4-JQ
J3
S
-
03-O
r-rd
0
S-
-^
CT>
c03
03<^fO
Q
J•P
CO
QJ
E
03
ro
E5L,
-r—
ro T—
JC
L
0-i<i• i—fd••->
atC
>
rO
O4-J
i —
1CQJ
O,.
e
rofd
_^
-aC
O
" ' •-•'' '13
03
4-
CO*r~
-a
cO
T
-
4—13
Q
Jc
-a
~uQJ
QJ
TO
•(~
3
rd
coT
O
_Q
>
CD
rd4-J
•%
-ro
CO
-r-
-P
"O
OO
J -r-
"S
- N
03
CL
T-
-P4-
CO
3
QJ
O
O
OJ^
Jy£
Ck
>O
C
O
•r-
^00
-P
QJ
CO
•r-
CD
Z3
-P
O
TO
03
C
-r-
P
N
Ck
co
rdO
4-
i-
13-P
-P
c:
ro
coU
J
C
O• r-
C
>u
~a-r-
QJ
,—
S-
QJ
>>
13
•r- C
C
"Ot—
Q
Jrd
s-
•P
CO
^ :. £
/^
(MCM
,
I
1
,
i/
QJ
r
T"5
.- ''
- T
-
' -
•' C
LOS
-4->CQ
J
i — i
4_j .,_
^—
TO
•
.,__
^Tr-
*-*»,
T-
>^^
C
4-t
.,_.
i 4-
1___J
QJ
4-
-Os;
c^j
-r-^
Oi
1
£-
y—x
r—4->
rd
cn
^
^
o4-J
4-
" — -
CL
rd
^
=
tH
0
•O
E*—
»
rd1
t/iIt
CO
rdIDo3CO
1 . ' '
rd,
. '
N
' •
•'"
','
*"•''-..
i .,—"u
'.-".- <r~>o3
'• -PCO
. •'
O
1U
0•i-
Ck
C
CO
•r- fd
4—
S
-
OJ
"O
;
o3•r-O
OJ
T-
>
UO
j~^c;
N
Z5•r-
' 4-
OJ
03•i-3
' E
0
T-
^
'1—3
OCD
^
O
ZJ
-^>co .
**Q
J '
CU4->
i —JD
CD
Ec:
03
CO
C
O
CD
C>
03
M•r- '
QJ
C03
.
>IMc
. : Q
J4_)
QJ
O
o3 >
i 03
rs s-CD
QJ
CLO
03
03 M
TD
13CD
>O
!
•r"^j T™
"4J
"*-i
.
o co •
C
-r-_C
t O
t-
CL
4->O
QJ
O-
TO
03C•r->
r—O^>N.,_
:L - -
»)
o
*i_Q
.
^>"O1 —
1rs
-P**o
^7
TO
-
.
•r- .;.
cr
T"
'C
k **
£ .
£-*-*
' C
LC
"
L_l
' '
QJ rd
4-
co si
"
^i
03
^5
.j,C
C
O
-,
CD
-P
S -P
<=£
.L.
rd
^-^
>
TO
4->
'
*. — *•
-Q
C
k
' '
o
^ r
J4_>
^~"
O
-,
^*
4—
^
-f,>
• r*
""
" -o
S0
^ j^
T—
-P
4-> cn
( —
^ —
• C
Sl
Ck
S-
co fd
^^_i<;
c
,
k
QJ
QJ
|E
-P-
QJ
I'
CO
S-
r
•r-
>
4_)
>•
^-^
-
03 03
c/0M
^y*
CD
Cr—
C
D
QJ
, S-
,'"D
-P
"5mMc:— i
rt
O->rt
co
>
niCO
f S
~O I*
7+r^S~o >rt
v —
II1CO
TJ
/• \
r*3Sv—
-"" '•!'
/~*\1
N)
-J*•*-/
co<rt
OMQJ
fD3O3c/~\1
•ro•£•X3O00
r
mo_..7T
— i
— i.
O<
3fD
"OfD~53crto__i.C
_i.
fD0•oCD-1OJ
rt
OTPJ
CL
QJ
C— i.
fD
on< ;*;
fD
QJ7v~
C
O
—
0
C-i.
CT
fD
— i.
TV" -,-- v
d
ro1
— *.
C0>
rt
j™h
c*
— •
IIH
O
d >
-" — -
- — -
O
rt
rt
*rt
TI)>
"
^-^
N
1!
O3
M
1 fD
PJ
^—
r1-3
r+
~
.•— '
V T
^ ^~
3
""HO
1 .
^
ort
-0- —
.
fD"5"
•
pj
JE? cT
rt -$
*• — -
rS •
^s
="O
)• rt
0
0
^
X2
r^
— '*
— *
fD3ONl<
fDQ-
OJ
i ' *
COfD3PJ
"Ui.
"O >
* — ».
rtHOrt
T") >
O11—1
rt
<£3CLfD'TO*
c3— i.
rt
QJ
-523__j.
0X5fD-5PJrt
O-^d>
i-
K
rt^— '
CL
QJrt
OO
QJ
NJ— j.
™SO(
— 1.
£.
fD3— t.
nOJ
CL
PJCOc:o"OfDOJ
rt
O-s"D >
' — -,
rt__i.
"OOft)N4
QJ
3-j.
"SfD— i
QJ
O— i.
Cj,
O3
COrtro-cfD^3QJ
onrt
QJ
rt
-j.onrt
_*.
O<
/^rOto0fD-^Q
Jj-j.O~5Q
J
rS
f .
rt
* — '
II
5*D^— .
rt
' — '
_i.
CN3ro£ZOcri
3OJ
O<
— i.
3rt
0(/ifDO-ofD"5PJrt
O-5fD="S0T3
C_j.
fDCO
>
rtIIIS3
"D >
^"PJN<_j.
C_
j.
fDC-^fDCL
T3O
NQJ
<-j.tni.
OCL
<—5
O>3fD3OJ
— i.
— i
— t.
3ft)
O<03ON<
fD_^
QJ
7^
OCL
QJfDCL
fD303onrt
-s_j.
-spj3QJ
rt
PJ
NQJ
<;
-j.t/)—
'•
OCL
<T3fD3QJ
CT
NJ
0cr
NJ_j.
—^O
J
3PJ
rt
0CL
QJ
— '
—j.
tnrt
QJrt"
_..
00rt
-j.O
<r-i,
O•ofD-^QJ
rt
O~5
prr
PJ
CO-j.
n<fDPJ3onOJ
3cr— i
fD_j.
"OPJrti.
OCL1.
enr+0to3fDCL
OCO
c+pjrt
TV
"
rC+
f j
•
.
fD3rt
-sOT3— j.
C_i.
pj3fD
O
rt
fD •' ::
o-h
.
-s-j.
PJ
3
:
— '•
,/O
C
O >
C_j.
"PJ
'.. : rt
C-j.
/^^\
h- '
N)
(j\^
CO
cu "
3
,QJ
oo—
i H
rj
O
r ^
<o 2>
PJ ^ .
C_i.
C**^fD
S^D
>C
D
rt
— f.
• — -
cr *"
*00
OOC_
j.
CL
fD-h—i,
'
2.
O— i.
C_i.
— . j.
fD3rt
-s0T3
..
_j.
C_i,
/^^
fD
^hoN
-
PJ
fJ1
'v—
?vfD3rt"O_i.
C_t.
o>COfDCL
fD-h3— '•
CO
<
0>OJ
O(/)
rt
QJrt
—it
COrti.
O<
?^~Q
J~SfDD.
3C_i.
QJ
<~t
fDQ.
3Oonrt
O*o<T>~^PJ1
onrt
— j.
O_j.
fDC<OCL
-j.
T~J
co> o
f — '
C_i.
rt Q
J
' '
3li*
0i
-o;•?
^
f—
QJ
rt
rt
*—
OQJ
fD3rt
~SO•D_j.
C-J.
fD
'
<^>j_
j
l\\J1*^^
D»
h
3PJ
— j
OUD3O"O03c-hOJ
Nl
3OUSm7
*on
TUO3fD3rt
OJ
^C^_
<OJ
3rt
30
-C
_i.
onrt
QJ
rt
-j.
3fDrt
fDOCL
— t.
3QJ
37T
1
fD•
,
,
CDi.
cr
onO<PJCL
fD-h— i.
3_*.
0-j.
C_i,
OJ
fD3rt
-^OT3, — i.
C_i.
fD3fDNl
PJ
CL
O<0C-i.
pjpj
TT0rt
-sfDCT
fD3fD-5QJ
<3Ort
fDNJ<i
-<QJ
3QJ
PJ3Q
J—
i__i.
NJ—i.
<"SfD3fD3CO7^
fDNl
PJ
<;
— j,
on3Oonrt
fD3rt
O-ai.C
-j.
fDOo<_..C
Q— i
fDCL
30C-i.
fDCL
QJ
a>"7\~OonfDO"O-j.
on_i.
<QJ!3C
j.
fD—i.
*~5CD
^fDNl
~t.
cr
-j.—
i3-j.
^3~
rt
fD""•$3O0-
3QJ
3o<x~—i.
3~
"O~5O0CDCO
pjNOJ
on3—i.
OO
<
rt
ONl
3QJ
— i.
CL
PJCOfD_ j. (fin
7^ ^
O
"^
CL
,|,—
5 C
O
<
a3
-
•Ort
fDNi
3—t.
3~
QJ
3onQJ
3^i*
^fl
QJ 1 r4
»
^ fD|>
l(fc •
3T
iv»
fD
>>3C_t.
QJ
C<
""SfD
^>
3
"-1
^
K)
3C
-J>•
V->
CO
—*
— J
fDCL
r'
CL
"Df —
rt
Q
-Of —
rtli
• CL
"Ort
* — -
CL
-Qrt^
•s — "
u
,
'
*.-!
«-.
•
.
*:i-
J '' '-
. [•'' _ ,
.*'
-h
<
•ortvJD
'rt
Mvr^11-hi
T3,-.i4
_C
T+H" —
*MJOrtH^^—
'14rt
Hv_— '
„
OJ
OO.
PJ<CL
fDCO
fDon0CT
Nt.
-^O33
CO
rt11iv
CL
•a^ — -,
rt
ro
—
^ C
L^
-0rt
-h
T3rt
* — '
u_Qrt-*
" — -
i*rt
^ ,
r^-h
"Ort
•*X3c+s r
\*rt
x ,_
tUl1
- 6 -
U dosadasnjem razmatranju v i d e l o se da entropija predstavlja je-
dan od fundamentalnih pojmova statisticke fizike, a l l njen flzi-
c k i sadrzaj do sada n i j e bio a n a l i z i r a n . Na osnovu Gibsove funk-
cije moglo je da s e d o d j e do zakljucka da je sadrzaj pojma e n -
troplje b l i s k o povezan sa procesom merenja, jer u svim izrazima
za entropiju f i g u r i s u verovatnoce da u aktu merenja slstem bude
reglstrovan u datom stanju, pa od toga zakljucka potrebno je i
da se podje p r i l i k o m razjasnjavanja sustine pojma entropije.
Vezu izmedju entropije i procesa merenja (sakuplja-
nja informacija o sistemu) uocio je senon. U teoriji informacija ova
se v e l i c i n a naziva senonovom entropijom i d e f i n i s a n a je kao:
Si - - I r\£nr\)k=l
gde su rtk verovatnoce odlgravanja dogadjaja 1z diskretnog sku-
pa 4 = {1, 2, ... , k, ... , n} . U k o l l k o su sve verovatnoce iz sku-
pa 4 ravne n u l l 5 os^im jedne, recimo n 0 , koja je ravna jedi-
ni ci , tada je informacija o dogadjajima iz skupa uvek ista i »
g l a s i : odigrao se dogadjaj k . S druge strane, ovakvoj maksi-
m a l n o odredjenoj informaciji odgovara, prema (1.2.8), nulta vred-
nost informacione entropije. Ako su svi dogadjaji iz skupa -6
podjednako verovatni : llk = - , informaci je o skupu dogadjaja po-
staju m a k s i m a l n o neodredjene, a informaciona entropija dostize
svoju m a k s i m a l n u vrednost S-^' = inn . Prema tome, informaciona
entropija predstavlja meru odredjenosti (odnosno neodredjenost i) in-
fo rmacije. Kako fizicka merenja predstavljaju specifican slucaj
sakupljanja i nformaci jaa ocigledno je da izmedju statisticke en-
tropije S i informacione entropije Si postoji ne samo formal-
na vec i sustinska povezanost. Otuda se statisticka entropija
cesto definise kao mera odredjenosti rezultata koji se dobijaju
p r i l i k o m merenja f i z i c k i h karakteristika sistema. Kako odredje-
nost i l i neodredjenost rezultata merenja zavisi od stepena ure-
djenosti fizickog sistema, entropija moze da se definise kao me-
ra uredjenosti fizickog sistema, pri cemu maksimalnoj uredjeno-
sti odgovara m i n i m a l n a entropija i obratno. i
Na osnovu o v a k v i h razmatranja doslo se na ideju da
se entropija koristi kao kontrola objektivnosti informacije ko-
j a moze da se d o b i j e u ak tu f i z i c k o g ineren ja i da se s t a t i s t ! -
eke raspode le odredju ju iz zah teva maksiniunia ob jek t i vnos t i in-
f o rmac i j e pr i nieren j u . Da bi s mi sao p re thodne f r a z e pos tao j as -
niji po t rebno je pre s v e g a da se kons ta tu je da neodredjenost in-
fo rm a c i j e pri meren ju b i tno od red ju ju m a k r o s k o p s k i u s l o v i u k o -
j ima se s i s t e m na laz i . U k o l i k o su ovi us lov i s t roz i , t j. namecu
v e c e r e s t r i k c i j e na d o z v o l j e n a s t a n j a s i s t e m a , u to l ' iko je rezu l -
tat mereri ja odredjeni j i i obratno. Ent rop i ja , kao mera odredje-
n o s t i - r e z u l t a t a i ne ren ja , nuzno prat i s v e r e s t r i k c i j e ko j e s p o -
I jasnj i m a k r o s k o p s k i us lov i namecu na spek ta r d o z v o l j e n i h sta-
n ja s i s t e m a , pa se pomocu nje m o z e k o n t r o l i s a t i o b j e k t i v n o s t in -
form a c i j e za s l u c a j o v a k v i h ili onakv ih spo l j asn j i h s p o l j a s n j i h
r e s t r i k c i j a . N a j o b j e k t i v n i j a i n f o r m a c i j a u seb i rnora da s a d r z i
maks imum neodred jenos t i koji u da torn s l u c a j u d o z v o l j a v a j u spo-
I jasn j i u s l o v i , a o v a k v o r n n a j o b j e k t i v n i j e m i n f o r m i s a n j u o d g o v a -
ra maks imum entropi je , U s l o v maks ima lnos t i entropi je, sa s v o j e
s t r a r i e » d a j e na j ve rov^ i t n i j u r a s p o d e l u pri z a d a t i m r e s t r i k c i j a m a
tia d o z v o l j e n a s tan ja s i s t e m a . Pozna te s t a t i s t i c k e raspode le s e 9
z b o g t o g a , z a r a z l i c i t e t i p o v e a n s a m b l a veoma l a k o d o b i j a j u v a -
r i ra njem ent rop i je pr i s p o l j a d i k t i ran im u s l o v i m a k o n z e r v a c i j e
i i z j e d n a c a v a n j e m v a r i j a c i j e sa n u l o m .
— 8 —
1.3. STANOARDNA ENTROPIJA EKSITONSKOG SISTEMA
F r e n k e l o v i e k s i t o n l p r e d s t a v l j a j u o p t i c k a p o b u d j e -
nja u m o 1 e k u 1 a r n i MI k r i s t a 1 i m a . M o 1 e k u 1 a r n i k r i s ta l i su n a j c e s c e
organ s k o g porek la 1 to su an t racen , naf ta l in , naf tacen, benzol
u cv rs torn s tan ju ltd. Proces nas ta jan ja F r e n k e l o v i h eks i t ona o-
v a k o moze da se z a m i s l i : kvant s ve t l os t i pobudi jedan molekul u
k r i s ta lu (najcesce prebaci elektron iz osnovnog u neko pobudjeno stanje) 1
ovo pobud jen je pocne da se prenos i sa m o l e k u l a na ino leku l , je r
su oni p o v e z a n i si 1 ama k o j e su n a j c e s c e Van der W a a l s o v s k o g t i -
pa. N a s t a l i t a l as p r e'b a c i v a n j a pobud jen ja sa m o l e k u l a na m o l e -
k u1 n a z i v a se e k s i t o n .
O s n o v e t e o r i j e e k s i t o n a i z l o z e n e su pod robno u k n j i -
z i V . M . A g r a n o v i c a " T e o r i j a e k s i t o n a " , pa se na ovome ne t femo za -
d r z a v a t i . P o t r e b n o j e da se k a z e da su opera to r ! k o j i k r e i r a j u
1 a n i h l l i r a j u e k s l t o n e P a u l i - o p e r a t o r l i da oni u h a r m o n i j s k o j
a p r o k s i m a c i j i mogu da se zamene B o z e - o p e r a t o r l m a . T a k o d j e j e t i -
pi c no za e k s i t o n s k i s i s tern da opera to r b ro ja e k s i t o n a ne k o m u t i - ,
ra h a m i l t o n i j a n o m s l s t e m a , s to po k v a n t n o - m e h a n i c k i m p r a v l l l m a
k o n z e r v a c i j e z n a c i da operator broja e k s i t o n a n i j e integral kre-
tanja, 111 kako se to p ros t i j e k a z e , ne o d r z a v a se. U s l uca ju
k a d a j e m o g u c e da s e s v e 11 o s rri in k v a n t i in a in o 1 e k u 1 e k s c i 11 r a s a m o
n a j e d a n n a c i n h a mi 1 t o n i j a n e k s l t o n s k o g s 1 s L e in a moze da s e n a p 1 -
s e u o b 1 1 k u
H » I |x(k)B+(k)B(k) + I Y ( k ) [ B ( - k ) B ( k ) + B+( k)B+(-~k) j} (1.3,1)-> v }k
Ovaj ob l l k predstavlja harmonljsku aprokslmaclju 1 operatori-+ ->+B 1 anih l l i ra ju i k re i ra ju e k s i t o n e u s tan ju sa ta lasn im
^ -> -j-vek to rom k . P re tpos tav i cemo da su X ( k ) i Y (k ) realne i par-
ne f u n k c i j e . F u n k c i j a X ( k ) d a t a j e s l e d e ^ i m i z r a z o n i.
X ( k ) == A + Z (k ) (1.3.2)
gde v e l i c i n a A predstavlja energiju i z o l o v a n o g molekula, dok
je Z(~k) kao i funkcija Y(k) Furije l i k matricnih elemenata
Van der Waal sove (dipo'-dipolne) interakcije. Po redu v e l i c i n e A
je oko 5 e V , dok su Z i Y deset-sto puta manje. H a m i l t o n i -
jan (1.3.1) se u o k v i r u standardne procedure dijagonalizuje me-
- 9
todom u - v transformacija Bogoljubova. Metod se sastoji u to-
me s t o se od Boze-operatora B 1 B predje na nove Boze-ope-
r a t o r e b i b k a n o n i c k o m t r a n s f o r m a ci jo in o b i i ka
B(k) = u ( k ) b ( k ) + v ( k ) b ( -k ) ; B (k) = u(k)b (k) + v ( k ) b ( - k ) .3.3)
gde realne i parne funkcije u i v zadovoljavaju u s l o v
u2(k) - v?(k) - 1 (1.3.4)
Posle zamene(1.3.3) u (1.3.1) funkcije u i v odrede se tako
da h a m i l t o n i j a n u n o v i m operator!ma b i b bude d i j a g o n a l a n ,
tj. da ne sadrzi pa rove k r e a c i o n i h i a n i h i l a c i o n i h operatora.
Kao rezultat izlozene procedure h a m i l t o n i j a n obi i -
ka (1.3.1) svodi se na d b l i k
H * l(E(k) -X(k)] + I E(k)b+(k)b(k)
gde je
E(k)0 - /X:'(k) -
ene r g i j a eksltona. Pri tome funkcije
l i k
Cl.3.5)
(1.3.6)
i m a j u s l e d e c i ob-
t Ii
2 ' t(k- 1 u(k)v(k) - (1 .3 .7)
2 E f k
K a k o su e k s i t o n i k v a z i c e s t i c e , za nj ih je hemi j s k i p o t e n c i j a l
r a v a n nu l i , pa s ta t;i s t i e k e o s o b i n e e k s i t o n s k o g s i s t e m a mogu da
se a n a l i z i r a j u fo rma 1 i zrnom k a n o n i c k o g a n s a m b l a . S t a t i s t i c k i ope -
ra to r k a n o n i c k o g a n s a m b l a z a h a m i l t o n i j a n t i pa (1.3.5) d e f i n i s e
s e k a oB(l'-li) 1 .p - e1 (1.3.8)
.gde je 0 temperatura u energetskim j e d i n i c a m a . Bazisne funkci-
je po kojima se uzima spur sta t i s t i c k o g operatora su stanja za-- ~>-
data brojevima n(k), gde su n(k) svojstvene vrednosti opera-
tora b (k}b(K). Ove bazisne funkcije mogu da se n a p i s u u o b l i k u
(n(k)}> ~ n(T)n(2~)---n(k)---> (1.3.9)
O v a k v e funkcije dovode do m u l t i d i m e n z i o n i h matrica, pa se suma
di j a g o n a l - n i h elemenata dobija tako s to se sumira po s v i m broje-
- 10 -
v i m a n ( k ) , z n a c i
Spp) - Me
H
u oEj2>j2j ^ iMn^
O 0
= e
n 1
•o
1n(2)
E(k )n(k )
E ( 2 ) n ( 2 ) E ( ' k )n (k )
n (k)
= e n I ek' n(k)
S a H C J o z n a c e n a j e ' v e l i c i n a
1 I !E (k ) - X ( k ) ]
k
K a k o je rec o B o z e - c e s t i c a m a , broj n(k) u z i m a v rednos t i
0 , 1 , 2 , . co , tada je
(1.3.10)
I?
n(k)
E("k)
1 -e (1.3.11)
kao suma geometrijske progresije i konacno se dobija,->,.
F-H,.
rk'
- e (1.3.12)
K a k o j e Sp(p) = 1 , I z j e d n a c a v a j u c i (1.3.12) sa 1 , d o b i j a se re-
zu1ta t
e ° = e e 1 - e
E(k) 10
— i
(1.3.13)
a posle logaritmovanja izraz za slobodnu energiju sistema glasi
E(k)l
(1.3.14)F = H0 + 0 I in->k
1 - e
Kako je u kanonickom ansamblu entropija jednaka negativnom izvo
du slobodne eriergije po temperaturi , mozemo da napisemo
«-"80 =
r fE(k)r E (k ) E(k )
1 - e a.3.15)
- 11 -
i;ao s to se vi di , standardna entroplja eksitonskog sistema ne za-
v i s l od vremena 1 raste sa porastom temperature. To znaci da u
s i s teniu pos toj i permanentno opadarije informacije i permanentno
narastanje haosa koji o c i g l e d n o ne moze da dovede do pojave au-
tokatalize, tj. do pojave p r i v i l e g o v a n j a p o j e d i n l h reakcija. Sa
ovog stanovista s i s tern eksitona ne predstavlja nista sto bi bi -
lo pogodno za modeliranje biofizicke samoorganizacije. Potrebno
je, medjutim, da se n a g l a s l da su unitarnom transformacljom
(1.3.3-) sacuvane svojstvene vrednosti h a m i l t o n i j a n a sistema, a l l
su zato ispusteni izvesni bitni fazni odnosl koji su prlsutni u
harai1toni janu C1.3*O. Drugim recima,neodr5anje eksitona koje je
prlsutno u h a m i l t o n i j a n u (1.3.1) izgubljeno je u procesu unitar-
ne transfermaclje hamiltonijana (1.3.1) u h a m i l t o n i j a n (1.3.5).
Kako sto ce se u slededoj g l a v i v i d e t i , ovi fazni odnosi, koji
za energ i j u sistema nisu b i t n i , postaju veoma bi t n i za njegovu
entropi j u .
- 12 -
G L A V A
UNUTRAsNJL NESTACIQNARNOSTI I ENTROPJJA
2 . 1 . PROMENA BROJA EKSITONA U VREMENU
Da b ls rno a n a l i z i r a l i v r e m e n s k u z a v i s n o s t o p e r a t o r a
bro ja e k s i t o n a rnoramo da podjemo od hami l ton i jana (1.3.1), t j . da
i s p i t a m o p o n a s a n j e o p e r a t o r a b ro ja e k s i t o n a
N - I B ( k ) B ( k )
k
u s is teinu s a ha ml 1 toni janom
(2.1.1)
H = X(k)B+(k)B(k) + 1 Y(k)[B(-k)B(k) +B+(k)B+(-k)J (2.1.2)
Kori seer, jem Hei senbergove jednacine kretanja
(2.1.3)
za operatore B+(k)B(k), B(-k)B(k) 1 B+(k)B+(-k) doblja se slede-
ci sistern d i f e r e n c l j a l n i h jednacina
HR ^ HP1*n 17 ' • —
fj d o s u u v e d e n e o z n a k e
1T
R :-R(k,t) - B (k,t)B(k,t) ^
R'-R^k^) - B(-k,t)B(k,t) - B+(lc,t)B+(4,t) 1
R":-R"("^t) - B(-k,t)B(t,t) +B+(t,t)B+(»t,t)-> - > --> ->- J
(2.1.4)
(2.1.5)
Osnovnl problem koj1 se javlja pri resavanju sistema (2.1.4) je-
su p o c e t n i u s l o v i . Potrebno je da se odaberu tako da bez obzlra
rta to sto operatorl B B , BB I B B z a v i s e od vremena, h a m i l -
tOTiijan ostane n e z a v l s a n od vremena, Na t a j su n a c i n odrzane ek-j-
sitonske energlje E(k) koje su date formulom (1.3.6) 1 koje su
eksperimentom proverene. U skladu sa ovirn zahtevom uzlmaju se
s l e d e c l pocetni u s l o v i
- 13 -
R(£,0) - B+(l,0)B(k\0)
R ' ( k , 0 ) - B( - i< ,0 )B(k ,Q) - B+( k,0)B+(-k,0)
R"(k ,0) : B( -k ,0)B(k,0) + B+{ k,0)B+(-k,0)
dt
(2.1.6)
- -2i[flY(k) +2fiY(k)R(k tO) +ftY(k)R l l(k>0)3I I A
J
R e s a v a n j e m s i s tern a j e d n a c i n a ( 2 . 1 . 4 ) , s a p o c e t n i m us 1 o v i m a (2. 1.6),
za o p e r a t o r e B+6 , BB 1
B + ( k , t ) B ( k , t ) = o t 1 ( k , t ) + o t - ? ( k , t ) B
B ( - k , t ) B ( k , t ) = B ( k , t ) + e ( k , L ) B
( k , t )B + ( - k , t ) =
+B+ d o b i j a j u se s l e d e c i ' i z raz l :
+ (£,0)B( ' ic ,0) + a3 (k, t )B ( -k ,0)B ( k ,Q ) +
+ a ( k , t )B + ( k , 0 )B + ( - k , 0 )
+ e3$tt)B(-'t,0)B(£,Q) +
+ (SH(k,t)B+(k,0)B"f(-k,0)
0) *(k,t)B+(~k,0)8(4,0) +
+ e*(k,t)B(-k,0)B(£,0) (2.1.7)
gde su funkcije a i 6 date na sledeci nacin
^ Qv(k)oudi.t) =ft2 (k)
a?(k,t) * 1 + 1 - C062Q(k)t
ii.2fl20c)
f . ^ (k - , t ) - -a3(lc,t) ; 3 ? (^ ,
2»2'(k)co-62i, i(k)t -i
(2.1.8)
Kao sto se v i d i , operator br-oja eksitona predstavlja slozenu
f u n k c l j u vremena koja se p e r i o d i c no p o n a v l j a sa periodom
T = 7f/Q(k) 10"15 s . Zamenom (2.1.7) u h a m i l t o n i j a n (2.1.2) dobi ja se
rezu1 tat
H = I jX(k')B+(k>0)B(k,Q) +Y(k)LB(-k,0)B(k,0) >B+(^,0)B"f(-k>0)]} (2.1.9)-> I )k
sto znaci da iako operator broja cestica varira u vremenu, ha-
m i l t o n i j a n ostaje nepromenjen i izrazen je preko stacionarnih
operatora u trenutku t = 0 .
STVARNA ENTRQPIJA EKSITONSKOG SISTEMA!
Kao s t o se iz rezultata prethodnog paragrafa v i d i ,
h a m i l t o n i j a n eksitonskog s i s tema je i n v a r i j a n t a n u vremenu, a l l
je operator broja eksitona periodicna funkcija vremena. Ova c i -
njenica, kao c e b i t i pokazano, dovodi do vremenski zavisne e n -
tropije sistema. Da bis mo presl i na formalizam kvarrtne statisti-
ke, potrebno je da se izracunaju kvantno-mehanicke srednje vred-
nosti. operatora H koji ima o b l i k
H = £ |x(k)B+(k,0)B(k,0) + Y(k)[B(-k,0)B(k>0) + B+(k>0)B+(-k,0) || (2.2.1)-> ^k
i operatora N koji je dat sa
N ( t ) = I {a, (k, t) + a 2 ( k , t ) B + ( k , 0 ) B ( k , 0 ) +••»- Ik
+ a, (k,t)B(-k,0)B(k,0) + a*(k,t)B+(k,G)B+(-k,0) *•* (2.2.2)0 o
S ti rn u vezi postavl>a se pitanje izborakorektnog bazisa. Bazis
treba da bude takav da k v a n t n o - m e h a n i c k e srednje vrednosti ope-
ratora H budu jednake onima koje su vec eks'perimentalno pro-
v e r e n e , a to znaci:
<H*» Ht) + y E(k)N(k,0) ; H0 = - M (2.2.3)
k k
gde su N (k, 0) svojstvene vrednosti operatora B (k,0)B(k,0). Ako
se odabere bazl-s
N ( k , 0 ) } { N ( - k , 0 ) } > 5 | M ( , 0 ) - - - M ( k , 0 ) * - » N ( - , 0 ) - - - N ( - k , 0 ) - * - > (2.2.A-)
t a d a j e
<-^|H|i|;> = H0 + y X ( k ) N ( k , 0 ) (2.2.5)
I
O v o o c i g l e d n o d a j e n e p r a v l l n e k v a n t n o - m e h a n i c k e s r e d n j e v r e d n o -
s t i za e n e r g i j u . P r e l a z l n i o , zbog t oga , na novi or tonorn i i ran i
b a z l s d ^ f l n l s a n n a s l e d e c i n a c l n
x> - ¥ML
+ | {N(£,0) + 1 (lt,0) j-JNK^Q) + 1 (-t,0)}> (2.2.6)
gde realne i parne funkcije usled ortonormiranosti moraju da
zadovolje u s l o v
- 15 -
2b2(fc) = (2.2.7)
F u n k c i j e a (k) 1 b(k) se odrede tako da se u bazisu | x:> dobi -
je koroktna kvantno-mehanicka srednja vrednost, tj.
(2.2.8)X H X> - H0 + I E ( ) N ( k , 0
Odredjene iz prethodnog u s l o v a funkclje a i b Imaju slede-
Ci obli k
aJ({) = .{, + j--2[y^f>12C2.2.9)
Y(k )
S\e s r e d n j e v r e d n o s t i o p e r a t o r a N ( t ) s u d a t e s a
- f ( k , t ) + L 1 + f ( k , t ) . ]N (k ,0 ) ! - C2.2.10)< x | N ( t ) | x > - I
k
gcie je funkc i j a f (k , t ) data i zrazorn
E? (k)
i per 1 odi cna j e s a perl odom -n/^(k) . Na os novu (2.2.10) moze da
se na p i s e da susvojstvene vrednosti operator 1 a B (k, t) E (k»t) 3 koje
se oznaca-vaju sa N(k,t) , date izrazom
t)]N(~£,Q) (2.2.12)N(k,t) =1 f (k,t) +[1 +f
Bududi da su kvantno-mehanieke srednje vrednosti (2.2.8) i (2.2.12)
koje s u b-1 tne za Izracunavanje entroplje slstema poznate, potre-
bno je da da se ova entropija 1 odredl. S obzirom da u formali-
z m u k v a n t no-statist Ickog a n s a in b l a o s t a j e otvoreno pltanje v e i l -
cine hemijskog potencijala za kvazl-cestlce, Isti forniallzam ne
bl ovde mogao da se korlstl bez uvodjenja nekih d o p u n s k i h pret-
p o s t a v k l . Entropija se, zbog toga, odredjuje preko statisticke
verovatnoce koja predstavlja broj mlkrostanja pomociu kojlh se
dato makroskopsko stanje realizuje. Ako deo faznog prostora sa-
drzi g(~£) elementarnlh faznih cell j a i u njemu se nalazi N(k,t)
Boze-cestlca tada je broj mikrostanja kojl odgovara ovom makro-
- 16 -
s tan j u da t s a
Na osnovu prethodne a n a l i z e , kao i na osnovu cinjenice da se ra
d 1 o n e z a v i s n i m dogadjajima, moze da se uvede statisticka vero-
v a t n o £ a po jednoj elementarnoj faznoj d e l i j l , koja je data kao
ir,>(t) = |P ( t ) ] ; : C2.2.14)K
Ova je d e f i n l c i j a j a s n a , jer ako se ve i l c i n e TI->- ( t ) i z m n o z e m e -
d j u s o b n o ' g (k ) puta o n e tacno da ju s t a t i s t i c k u v e r o v a t n o c u P ( t )
del a f a z n e zapremi ne ko j l s a d r z l g (k) e l e n i e n t a r n i h f a z n i h eel i -
ja . En t rop i ja se tada de f i n l se kao logar i tan t p r o i z v o d a v e r o v a t -
r ^ o d a ii - > ( i ) po s v i m ta 1 as nl in vek tor i ma k
S(t) --^ii'ii->(t) = Q(t)~l/[g{t) +N(k,t)]i^[cj(k) +N(k,t)J -k + ^k*
- g(kRng(k) - N(k,t)£nN(k,t) Y (2.2.15)
Ako se uvede verovatnoc!a da se cestica nadje u stanju sa z a d a -
t i m k k o j a je o c i g l e d n o* ».
W ( k , l ) = i ii (2.2.16)
p 11 'tada izraz za entropiju moze da se napise u o b l i k u
Sft)-][ U1 +W(ktt)]-ttt{1 +W(k,t)] -W(k,t)£^W(k,t)[ C2.2.1T)-*- \k
Srednja energija slstema u datom sl u c a j u mora da se odrzava
(uslov kanonickog ansambla). Ova srednja energija kao matematicko o-
cekivanje moze s obzirom na (2.2.8) i (2.2.16) da se n a p i s e kao
U - H0 4- I E(k)W(k,0) (2.2.18)
t
S obzircni na (2.2.12) i (2.2.16), v e r o v a t n o c e W(t»t) i W ( k , 0 ) su pove
z a n e r e l a ' c i j o m
; ' !
fO4J00oCL
CDS-
T30)
tNl
coCM
CM
UJ
cn
X
CN
J
oOexOJ
"aoa.
0003^03T
-)
°
C-
t_*
'
OJ
„
>
E
'O
cn
ooc
+->
fO
OJ
S- C
DCD
i-03
O
J_J
COJ
03O)
-aoCL0003
XJO)
•*->
O)
OJQ.
00 C
L
a> o
c•:-)
O»
-r-
• r~
S-
>U
, _
__
,**-.>
^^/
>
4J
O
UO
V
)
E:
Cu
vU
OJ
-r-
>N
c\
f\C\
I +
i _
I O
O
O)
E
S-
E
-Paj
- c:
s- ^_
a>>
V
^-ao0
)
O
c:O
OJ
T-J
• J—CL
Oi_
XJon-j
CNJ
CD
CNJO
J
rn
C
O)
OJ 4^
cnOOO
uo
•r- G
J
OJ
0
O3
03
<D_^
>oO
)C
T
—i-rj
CL
cnocn
OJ
CDocc:
ooO
03
C
i—
oo
>isl
- 18 -
U ovoj a p r o k s i m a c i j i , tj.
E(k) -y(k,t)
W(k,t) = G - 1 C2.2.26)
srednja unutrasnja energija sistema zavisi od vremena i ima ob -
l i kF/kl -va\ ,,a +\(k) "Hfc't) (2.2.27)
7 E(k) ~M(k,t)G - 1
Jos je potrebno da se naponiene da bi se i s ti rezultati za entro-
piju 1 unutrasnju energlju d o b i l i i u slucaju da se v e l i c l n a A
normira po verovatno^a in a W(k,0) . Moguce je, n a kraju ovog i z-
l a g a n j a , da se konstatuje da, pri kore ktnom izracunavanju neo-
drzanja broja eksltona, sistem lina vremenski z a v i s n a entropiju
1 vremenski zavisnu unutrasnju energiju. Ovo moze da posluzi
kao osnova za objasnjenje samoorganizacije u bio-materijl, jer
kad se pod dejstvom svetl o s n l h kvanata u smesi b i o l o s k i nuznih*
materi jala stvori eksltonskl podsistem, on prema dobljenim re-
z i l t a t i m a deluje kao p e r i o d i c k i odasiljac entropije, odnosno in-
form a c1j e 1 moze da da i m p u1s za a u t o k a t a l l z u . U ovom s m l s l u bi
se d o b i l o mikro-teorijsko objasnjenje za f u n d a m e n t a l n u u l o g u ek-
s i t o n a u b i o 1 o s k i in procesima, k o j u j e u s v o j i m r a d o v i m a' p r e d v i -
dj ao A I b o r t Szent-Gyorgyi.
- 19 -
2.3- EKSITONSKI MODEL SAMOORGAN 1 ZAC I JE
U radovirna Eigena, Prigozina i Glansdorfa postav-
1 j en je kriterijum kojl u s l o v l j a v a pocetak autokatalize 1 1 1 sa-
nioorganlzaclje. Ne upustajuci sa u detalje moze se reel da kri-
terijum za pocetak autokatalize moze da se f ormul i se ovako: au-
to k a t a l i z a moze da nastane samo tada ako generalisani fluksevi
entropije imaju p e r i o d i c n u i l i k v a z i p e r i o d i c n u zavisnost od vre-
mena i ako pri tome , bar u i zves n i m vremensk i m i nterva 1 i ma » ima-
ju suprotan znak od generalisanih sila. Generalisane s i l e i ge-
neralisani fluksevi entropije se pojavljuju u izrazu za izvod
entropije po vremenu, ,koji moze da se napise kao
0(t) . li = I P(k,t)j(k,t) ; (2.3.1)
k
U izrazu (2.3.1) v e l i c i n e p(k,t) predstavljaju generalisane si-
le, dok su v e l i c i n e j (k,t) g e n e r a l i s a n i fluksevi entropije. S
obzirom na rezultate*prethodnog paragrafa, u kojem je dat izraz*
(2. 2. 24) za entropiju, mogu(fe je da se definisu generalisane si-
le eksitonskog sistema. One ocigledno mogu da budu samo pritis-
c i . Kao s to je poznato, p r i t i s a k p r e d s t a v l j a proizvod temperatu-
re u energetskim jedinicama i izvoda entropije po zapremi niL
P(t) = 0 ^ - (2.3.2)
Ako se izraz (2.2.24) diferencira po zaprentini i ako se izdvoji
sabirak dobijene sume koji odgovara datom k , dobija se gene-
r a l i s a n a s i l a p(k,t) . Izraz za ovu s i l u dobijen na opisani na-
ci n g1 as i-> F (U } - 1 1 (\s t \f\.- I \, i-\ c\^y |IV^,L; Q v r (\.\. /IT *.\ /--^ •» -a
S druge strane, ako se izraz (2.2.24) diferencira po vremenu dobi-
ja se
E(k') -M('^t) ()l-i(k,t) f ,rfT rf \~ w- . J
E(k)-u(k.t)
Poredjenjein i zraza (2.3.1), (2.3.3)1 (2.3.4) dolazi se do zakljuc-
ka da su generalisani fluksevi entropije dati sledecom relacijom
- 20 -
atrlE(k) -u(k,t}]
(2.3.5)
P o s t a v l j a se p i t an j e i z r a c u n a v a n j a v e l l c l n e —|.E(k) - y ( £ , t ) ] . Na
o s n o v u for mu le i z m o n o g r a f i j e "Neravnotezna s ta t i s t i c ka termod inami ka"
od D . N . Z u b o r j e v a , 1 z v o d po zap rem in i je da t s l e d e c o m r e l a c i j o m
~ ~ (2.3.6)
U k o l i k o se izracunavanje o g r a n i c i na oblast m a l i h talasnih vek-
tora , tada je
E(£ ) - n ( k , L ) - E 0 +Ma ? k ? - (u 0 -voa2k2)
E0 = A - 6 Z { )!8Yp .A
Mo ^ A
M »
Vo = ~
(2.3.7)
gde je a k o n s t a n t a * k r 1 s t a 1 n e r e s e t k e , a Z0 i Y0 p r e d s t a v -
I jaju niatr lcne elemente d ipo l -d ipo lne in te rakc i je za na jb l ize
s u s e d e .
S o b z i r o m na (2.3.6) i (2.3.7) k o n a c n o se d o b i j a
- 21 fE (2.3.8)
U istoj ovoj aprokslmaciji diferenciranje y(k,t) po vremenu da-
je siededi rezultat
at fi fc ft(2.3.9)
Dva poslednja izraza omogutfuju da se generallsane
s i1e(2.3.3) 1 g e n e r a l i s a n i fluksevi(2.3.4) Izracunaju e k s p l l c i t n o .
Takodje n i j e tesko da.se utvrdl da postoje neki vremenski Inter-
val! u kojima p 1 j imaju suprotne znake, pa prema tome, za-
dovoljavaju kriterijum autokatalize. Receno je vec ranije da ek-
sitonski slstem kojl pod dejstvom svetlosti tnoze da nastane u
smesi organskih supstanci moze da posluzi kao periodicni primo-
predajnik informacija i da na takav nacln dovede do samoorgani-
_ O 1
•
zaci je sis terna supstanci.
Ovde cemo pokusati da obrazujemo model za smesu
supstanci koji je zasnovan na dobijenim rezultatima za eksitone
Model cemo da -f ormi ramo na bazi h a m i l t o n i j a n a eksitonskog siste
ma, koji odgovara m u l t i n i v o s k o j semi m o l e k u l a r n i h pobudjenja,
Ako se pretpostavi da svetlosni kvanti mogu da pobude molekul u
stanja 1,2,3, ... , N , tada h a m i l t o n i j a n eksitonskog sis tema i mao b l i k
(£) + k ) l - k > M k ) +B*(k)B*(-k)] (2.3.10)
U k o l i k o se u ovom h a m i l t o n i j a n u zanemare mesovi ti c l a n o v i , tj.
c l a n o v i gde je 3 u , dolazi se na model smese n e z a v i s n l h eksi-
tonskih gasova ciji je h a m i l t o n i j a n
N r + -> ^H- U^(MB (k)B -(k) + Y_{k)[Bni(-k)Brv.{k} + B fk)B,,(-k)H (2.3.11)
5 obzirom na rezultat*e prethodnog paragrafa, svakom fiksiranom
a odgovara entropija Su(t) koja ima istu strukturu kao u for-
in u 1 i (2.2.2 ) i moze da dovede do autokatalize, Na osnovu ovoga
za smesu b i o l o s k i nuznih supstanci cije cemo komponente oznaci-
ti sa A,B,C, ... , mozemo da formulisemo model koji bismo nazva-
l i modelom smese r i e z a v i s n i h e k s i t o n s k i h gasova. Osnovna postav-
k a model a je hami 1 toni j an o b i i ka
(2.3.12)
Ovde C po komponentama smese supstance uzima vrednosti
A,B ,C , ... , a operatori Cr(k) i Cf (k). kreiraju i a n i h i l i r a j u
m o l e k u l e supstance oznacene indeksom £ . Funkcije X^ (k) i Y^(k)
niogu da se uzmu iz eksperimenta, al i je najprostija aproksimaci-
ja koja gotovo uvek moze da se koristi takva da je
(2.3.133
gde m predstavlja in a s u m o l e k u l a od kojih je sastavljena sup-
stanca numerisana sa E, . Ovo je mikro-teorijski model koji moze
da objasni nastanak autokatalize u smesi b i o l o s k i n uznih organ-
s k i h supstanci. Potrebno je da se napomene da je Prigozin, radi
objasnjenja procesa autokatalize razvio fenomenolosku teoriju
-22-
koju je nazvao " N e l i n e a r n a termodinamika". Model ko j i je ovde
predlozen zasnovan je na ana 1og i j i izmedju smesa supstanci i
smesa " e k s i t o n s k i h gasova", pri cemu je za smesu e k s i t o n s k i h ga-
sova data stroga mi k ro teor i j a.
Z A K L J U C A K
Rezultati ovoga rada niogu da se rezimiraju na s 1 e-
d e d i n a c i n :
a) Pokazano je da neodrzanje b r o j a e k s l t o n a d o v o d i do v r e -
nianski z a v i s n e entropije sistenia.
b) Nadjen je izraz za entropiju i I s p o s t a v i l o s.e da je ona
p e r l o d i c n a funkcija vremena.
c) Nadjeni su izrazi za general!sane s i l e i generalisane
flukseve entropije i pokazano je da su g e n e r a l i s a n i fluksevi p e -4>
r l o d i c n e funkcije vremena i da u i z v e s n i m p e r i o d i m a vremena si-'
le 1 f l u k s e v i imaju suprotne znake.
d) Na osnovu dobijenih rezultata rnoze da se Izvede hipote-
za o tome da e k s i t o n l u snies 1 organsklh supstanci mogu da d e l u -
ju kao p r i m o p r e d a j n l k Informacije i da na taj nacin Izazovu au-
to kata1 1 zu (samoorganizaciju) u h e m i j s k i m proceslma kojl se odigra-
vaju u smesl supstanci. Ovo bi p r e d s t a v l j a l o jedno od mogutfih
objasnjenja znacajne uloge eksltona u b i o l z i c i na kojoj radi
Albert Szent-Gyorgyl.
e) Dobi jeni rezultati daju mogucnost da se za smesu organ-
ski h s u p s t a n c i formulise model smese n e z a v i s n l h e k s i t o n s k i h ga-
sova. U o k v i r u ovog model a svaka komponenta smese i ma oscilator-nu entropiju i zbog toga je zadovoljen Pr i g o z i n o v kriterijum za
nastanak samoorganizacije. Potrebno je da se n a g l a s i da se u o-
vom s l u c a j u ne pretpostavlja prisustvo eksitona u smesi, vec se
samo f o r m u l i s e h a m i l t o n i j a n komponenata smese u onoj a n a l i t i c k o j
o rmi k o j u i m a smesa n e z a v i s n l h e k s i t o n s k i h gasova.
Potrebno je, na kraju, da se istakne da, o s i m e k s i -
tona i drugi f i z i c k i sistemi ne odrzavaju broj pobudjenja, pa
- 23 -
bi i njihovom analizom m o g l i da se dobiju s l i c n i m o d e l l koji bi
mozda b i l l r e l a n i j i nego predlozeni eksltonski model. Dalje usa-
vrsavarije izlozene teorlje rnog 1 o bi da se ostvari analizom eksi-
tonskog sistema u cijeni h a m i l t o n i j a n u ne bi b i l l zanemareni cla-
novi koji karakterisu interakcije izmedju r a z l i c i t i h tipova ek-
sitona. Ovakav bi model svakako b i o realm'ji od predlozenog,
jer je o c i g l e d n o da i komponente u smesi organskih'supstanci me-
djusobno interaguju.
L I T E R A T U R A
1 . LJ . lvl . A r p O H U B H H : "IUOpkm 3Kt:klTCJHUB" ,
IIAVKA, WCKBA, 1968.
2. R.FI. A r p a H O B M H , HijT^ 37, ^30 (1.959-).
3. - A . CeHT-AwepAbw : "BnosHepreTMHa" s MOCKBA, 1961.
4. Ki 3nreH , ytPM, 109(;s), ^5 (1973.)-
5. M. npuftuHHH , H^. HHHOAHC, VO!!, 109(3), 51-7 (1973.)
6. l.i . C . TouiMtl: "CTcJTMCTMHKa (Jjkl^MHa", HOBM Cf.lfl, 197B.
