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EinführungUnivariates Gaußsches Modell

ROCAusblick

PWP 1Signalentdeckungstheorie

Signal Detection Theory

Roland Marcus Rutschmann

WiSe 2006

Roland Marcus Rutschmann SDT


ROCAusblick

MotivationTerminologieBeispiel GoldsteinEinfaches Modell

SDT in der Psychologie

I Mensch als Detektor/EntscheidungsträgerI Empfindlichkeit/Entdeckbarkeit des ReizesI Antworttendenz

I Psychophysisches ModellI Beschreibung nicht beobachtbarer ProzesseI Verhaltensvorhersage



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Anwendungsbeispiele

I Psychophysik: 1000 Hz-Ton aus weißem RauschenI Diagnostik: bestimmter Befund vorhanden?I Seismologie: Steht Erdbeben bevor?I Zeugenaussagen: Person vor Ort?



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Bsp. Detektion von Tönen im Rauschen

I 2 VPn sollen reagieren, wenn Töne anwesend sindI Je 100 Durchgänge Rauschen, 100 Durchgänge SignaleI VP1 detektiert 90, VP2 60 SignaleI Hört VP1 besser?I VP1 sagt in 40 Fällen, in denen kein Ton da war

(Rauschdurchgänge, Catch-Trials) „Ja“ es war ein Ton daVP2 irrt sich nur bei 10 Rauschdurchgängen

I Wer ist jetzt besser?



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Terminologie

I „Rauschdurchgänge“ (noise trials): Nur ZufallsrauschenI Versuchsdurchgänge (trials) ohne Signal

I Signaldurchgänge (signal trials)I Versuchsdurchgänge mit Signal und Rauschen

I Antwort „ ja“ auf Signaldurchgang = Treffer (hit)

AntwortNein Ja

Rauschen korrekte Ablehnung falscher Alarmtrial typeSignal Auslassung (miss) Treffer (hit)



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Zusammenfassung der VPn im Bsp. von Goldstein

I Je 100 Trials nur Rauschen 100 Trials mit SignalI VP 1 tendiert zum „Ja“-Sagen

VP 1 VP 2Nein Ja

N 60 40S 10 90

Nein JaN 90 10S 40 60



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Änderung der Antworttendenz

I Gleicher Versuch mit VP2 aber Geld für richtige Antworten(und Abzug für falsche) ⇒ liberalere Antworten

I Belohnung von korrekter Zurückweisung ⇒ konservativeAntworten (wenig „Ja“)

I Neutrale Antworten, wenn alles gleich belohnt.Payoff-Matrix VP2-Antwort Gewinn

Nein Ja Nein JaN +20e -20e 10 90S -200e +200e 02 98 17600eN +200e -20e 99 1S -20e +20e 90 10 18180eN +20e -20e 80 20S -20e +20e 25 75 2200e



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Falscher Alarm vs. Treffer

●

●

●

PF0 1

0

1

PH

VP1 lib

VP1 kons

VP1 neut

●

●

●

VP2 kons

VP2 neut



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2. Beispiel: 1000 Hz-Ton

I Je 100 Trials nur Rauschen 100 Trials mit SignalI 1. Durchgang: Treffer wichtig (Belohnung für hit)I 2. Durchgang: kein falscher Alarm (Belohnung für correct

rejection)

1. Durchgang 2. DurchgangNein Ja

N 54 46S 18 82

Nein JaN 81 19S 45 55



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Relative Häufigkeiten

I Überführung in rel. HäufigkeitenI Trefferrate (hit rate): h = Anz. Treffer

Anz. Signaldurchgänge

I falscher Alarm Rate (false-alarm rate): f = Anz. false alarmAnz. Rauschdurchgänge

Nein JaN 54 46S 18 82

undNein Ja

N 81 19S 45 55

⇒h f

1. Durchg. 0.82 0.462. Durchg. 0.55 0.19

Redundante Werte:I Auslassungsrate, Fehlerrate (miss rate)= 1− hI Rate der korr. Zurückweisungen (corr. rej. rate)= 1− f



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Modell der Entscheidung

Noise Signal

x

I Verteilung der Zufallsvariablen XI bei Rauschdurchgängen (Xn)I und Signaldurchgängen (Xs)



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Setzen des Kriteriums

Noise Signal

Nein Jaλ

I Zufallsvar. x > λ ⇒ Entscheidung „Ja“I false-alarm rate:

PF = P(Ja|noise) = P(X > λ|noise) = P(Xn > λ) =R∞λ fn(x)dx = 1 − Fn(λ)

I hit rate:PF = P(Ja|signal) = P(X > λ|signal) = P(Xs > λ) =

R∞λ fs (x)dx = 1 − Fs (λ)



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Variation von λ

Noise Signal

λ

λkλl

I Veränderung von λ wirkt auf h und f gemeinsamI λk : (konservativ) Vermeidung von false alarm, aber wenig TrefferI λl : Viele Treffer, aber auch viele false alarm

I Geringere Überlappung der Dichtefunktionen fn und fs⇒ höhere Trennschärfe



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Modell der statistischen Entscheidung

I Modell zur Bestimmung interpretierbarer VariablenI 3 Voraussetzungen

I Gesamte Information in einer Zahl repräsentiertI Diese Zahl ist ZufallsvariableI Überschreiten einer festen Schwelle ⇒ Entscheidung ja

I Analogie zur NHST (Nullhypothesensignifikanztest)



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Allgemeines ModellUnivariates ModellBerechnung Kriterium und d′Bias und LikelihoodIdealer Beobachter

Das Gaußsche Modell

I Xn ∼ N (µn, σn) und Xs ∼ N (µs , σs)

I Skalierung: µn = 0, σn = 1I Xn ∼ N (0, 1) und Xs ∼ N (µs , σs)I Rechtfertigung für Normalverteilungsannahme

I Gut untersuchte EigenschaftenI Zentraler GrenzwertsatzI Empirische Befunde

I Bei speziellen Fragestellungen andere Verteilung



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Die Normalverteilung

I Dichte an der Stelle x :φ(x) = 1σ√

2πe

12 ·(

x−µσ )

2

I Akkumulierte Dichte: Φ(x) =∫ x−∞ φ(t) dt

I mit µ Erwartungswert und σ Standardabweichung derVerteilung



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Das univariate Gaußsche Modell

I ProblemI Ein Experiment → 2 Meßwerte (f , h)I aber 3 unbekannte Variablen (λ, µs , σs)

I Setze σs = σn = 1, µs wird zu d ′I Xn ∼ N (0, 1) und Xs ∼ N (d ′, 1)I Vorsicht: Echte Einschränkung, sollte überprüft werden.



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Beispiel zur Berechnung von d ′ und λ

2. Beispiel oben, 1. Durchg.Nein Ja

N 54 46S 18 82

f = 0.46h = 0.82

1. PF = 0.46 = 1−Fn(λ) = 1−Φ(λ) ⇒ Φ(λ) = 1−0.46 = 0.54⇒ λ = Z (1− 0.46) = Z (0.54) = 0.10

2. Xs ∼ N (d ′, 1)⇒ λ− d ′ = Z (1− 0.82) = Z (0.18) = −0.92

3. Kombination: d ′ = λ− (λ− d ′) = 0.10 + 0.92 = 1.02



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Schätzer für d ′ und λ

1. Z (1− f ) = λ̂symm.⇒ λ̂ = −Z (f )

2. Z (1− h) = λ̂− d̂ ′ ⇒ Z (h) = d̂ ′ − λ̂

3. d̂ ′ = Z (h)− Z (f )

! Vorsicht! Vorzeichen überprüfen!



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Fortsetzung 2. Beispiel

I Beispiel oben, rel. H.h f

1. Durchg. 0.82 0.462. Durchg. 0.55 0.19

I 1. Durchgang: d̂ ′ = 1.02; λ̂ = 0.10I 2. Durchgang: d̂ ′ = 1.00; λ̂ = 0.88

I λ̂ = −Z (f ) = −Z (0.19) = 0.88I d̂ ′ = Z (h)−Z (f ) = Z (0.55)−Z (0.19) = 0.12−(−0.88) = 1.00

⇒d̂ ′ λ̂

1. Durchg. 1.02 0.102. Durchg. 1.00 0.88



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Erhöhung der Entdeckbarkeit

I Weniger Überlappung der Verteilungen durchI Erhöhung von d ′

I Verringerung der Varianz σ2



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Messung des „Bias“ (Tendenz/Neigung)

I „Ja-Sage-Tendenz“ von Kriterium λ und d ′ abhängig.I zentriertes Kriterium: λcenter = λ− 1

2d ′ = −12 [Z (f ) + Z (h)]

I Wahrscheinlichkeitsverhältnis (likelihood ratio):β = fs(λ)

fn(λ) = φ(λ−d ′)φ(λ)



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Verlauf β

I Asymmetrisch von 0 . . .∞I 1 am Schnittpunkt von fs und fnI log(β) = log

[fs(λ)fn(λ)

]= log(fs(λ))− log(fn(λ))



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Der ideale Beobachter

I Maximierung der Wahrscheinlichkeit richtiger AntwortI s Wahrscheinlichkeit für Signaltrial⇒ 1− s = Wahrscheinlichk. für Noisetrial

I PC = P(signal) · P(Ja|signal) + P(noise) · P(Nein|noise)= s[1− Fs(λ)] + (1− s)Fn(λ)

Kriterium λ

Pc

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

−3 −1 1 3 5

λ*


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Optimales Kriterium

I Optimales Krit. λ∗ für β∗ = fs(λ∗)fn(λ∗) = 1−s

s : Wettchance (odds)

I s = 12 ⇒ fs(λ∗) = fn(λ∗) Schnittpunkt der Kurven.

I Mehr Signaltrials: s > 12 ⇒

1−ss < 1 ⇒ fs(λ∗) < fn(λ∗)

Das Kriterium verschiebt sich nach links (wird liberaler)


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Pay-off Matrix

I Kosten und Nutzen der Verschiedenen Möglichkeiten ungleich⇒ Optimierung des Erwartungswertes des „Gesamtwerts“

E (V ) = P(Signal + Ja)V (hit) + P(Signal + Nein)V (miss)+P(Noise + Ja)V (false alarm)+P(Noise + Nein)V (cor. rej.)

V (miss) und V (f. a.) meist negativ



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Graphische DarstellungIsosensitivitätskurvenUnivar. Gaußsches Modell

Graph zu 2. Bespiel

I 2. Bsp.:h f d̂ ′ λ̂

1. Durchg. 0.82 0.46 1.02 0.102. Durchg. 0.55 0.19 1.00 0.88

−4 −2 0 2 4

d'

λ1 λ2



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Umsetzung in ROC-Graph

I Trefferrate gegen Falschen Alarm auftragenI Punkte auf einer Linie, weil d ′ gleich groß

●

●

PF0 1

0

1

PH

S1

S2


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Eine Isosensitivitätskurve� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! ! " # $ % & ' ( )

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Isosensitivitätslinien bei versch. d ′� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

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Isokriteriumslinien (λ fest)

PF0 1

0

1

PH

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5



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ROC im univ. Gaußschen Modell

I Es gilt PF =∫∞λ fn(x)dx und PH =

∫∞λ fs(x)dx

I im univariaten Fall alsoPF = 1− Φ(λ) = Φ(−λ) undPH = 1− Φ(λ− d ′) = Φ(d ′ − λ)

I Durch einsetzen gewinnt man die Kurve:PH = Φ(d ′ + Φ−1(PF ))

I Nur durch Tabellen oder Computerprogramme errechenbar



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Weiterführende ThemenLiteratur

Weitere Themen

I ROC-Gerade mit Gaußschen KoordinatenI Ungleiche Varianzen σ2

n und σ2s

I Verschiedene Alternativen zu d ′

I Anwendung SDT aufI VertrauensskalenI forced-choice ParadigmaI Diskrimination, bzw. Identifikation

I Likelihoods und Bayesscher Beobachter



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Weiterführende ThemenLiteratur

Literatur

I Goldstein, E. B. (1997) Wahrnehmungspsychologie. SpektrumAkademischer Verlag, Heidelberg, erste Auflage.

I Macmillan, N. A. (2002) Signal detection theory. In: Pashler,H. (Hrsg.), Stevens’ Handbook of Experimental Psychology,Band 1, Kapitel 2, Seiten 43–91. Wiley, New York, dritteAuflage.

I Wickens, T. D. (2002) Elementary Signal Detection Theory.Oxford University Press, New York, New York.


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