1

Quadratische Gleichungen und Funktionen

2

Bei einer quadratischen Gleichung kommt die Unbekannte Variable x mindestens einmal in der 2.Potenz vor, aber in keiner höheren Potenz.

002 ≠=++ acbxax

a, b und c sind Koeffizienten Beispiel:

0987 2 =++ xx

konstanter Anteil

linearer Anteil

quadratischer Anteil

Sollte a = 0 sein, würde der erste Summand zu Null lineare Gleichung Beispiel:

0980980 2 =+⇒=++ xxx

3

Allgemeine Form

)0(02 ≠=++ acbxax

Normalform

02 =++ qpxxKoeffizient a ist nicht vorhanden…also 1. Übliche Benennung der beiden anderen Koeffizienten mit p und q.

Reinquadratische Gleichung

)0(02 ≠=+ acax Lineares Glied fehlt.

Quadratische Gleichung ohne Absolutglied

)0(02 ≠=+ abxax Absolutes Glied (= konstantes Glied) fehlt.

4

Faktorisierte Form

0)()( =+⋅+ bxax Manchmal kann man eine quadr. Gleichung nicht gleich erkennen. Ausmultiplizieren der Klammern:

0)(0

0)()(

2

2

=+++

=+++

=+⋅+

abxbaxabbxaxx

bxax

cbxax =+⋅+ )()(

Sonderfall a = b

0)(0)()(

2 =+

=+⋅+

axbxax

0)()(

)()(

2

2

=−+++

=+++

=+⋅+

cabxbaxcabbxaxx

cbxax

caxcbxax

=+

=+⋅+2)(

)()(Sonderfall a = b

5

Reinquadratische Gleichung

)0(02 ≠=+ acax

44

/16

5/80580/0805

2

1

2

2

2

−==

=

=

+=−

xx

x

xx

auch (-4)•(-4) = 16

Wenn man aus einer Zahl x > 0 die Quadratwurzel zieht, erhält man stets 2 Lösungen

6

Quadratische Gleichungen ohne Absolutglied, also Gleichungen der Form ax² + bx = 0 , kann man lösen, indem man x ausklammert. Man erhält x(ax + b) = 0 .

Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich null ist. Diese Gleichung hat immer zwei Lösungen, x1 = 0 und x2 = -b/a .

Beispiel

( ){ }0;31

31

311310310

0)31(031

2

21

2

−=

−=

−=

−→=

−=+=

=+=+

L

xabxx

xxxx

7

Beispiel

=

=

=⋅=

⋅=

+=−

=

=

−

=−

−=

0;89

89

89

23

43

23/

43

32

43/0

43

32

0

/043

32

/043

32

43/

43

32

2

2

2

2

1

2

2

L

x

x

x

x

x

tNullprodukxx

nausklammerxxx

xxx

3227

3227

6:1926:162/

3227

192162

8493

8899

32

89

43

89

32

43

32

89

2

2

=

=

⋅⋅

=⋅⋅

⋅

⋅=

⋅⇒

=

=

xx

x

Probe

Erste binomische Formel (a+b)²=a² +2ab+b² Plus-Formel Zweite binomische Formel (a-b)²=a²-2ab+b² Minus-Formel Dritte Binomische Formel (a+b)*(a-b)=a²-b² Plus-Minus-Formel

9

1. Sofern die Zahl vor der quadratischen Variable keine 1 ist, dividiert durch diese. 2. Findet p heraus (das ist die Zahl die vor der einfachen Variable steht) 3. Bildet nun (p : 2)2. Damit erhaltet ihr die quadratische Ergänzung 4. Schafft bei eurer Gleichung die alleinstehende Zahl ohne Variable auf die andere Seite 5. Baut die quadratische Ergänzung in die Gleichung ein 6. Bildet den Klammerausdruck

Beispiel: diesedurch Division 1 Variablen her quadratisc vor Zahl2:/0482 2 →≠=−− xx

Warum? Zur Lösung Q.Gl. oder um diese in die Scheitelpunktform zu bringen!

Variablen einfachen der vor Zahlen herausfind p40242

→−==−−

pxx

22

2pdurch bilden Ergänzung hequadratisc4

24

=

−

24Seite andere die auf Variable ohne Zahlendealleinsteh die2/024

2

2

=−

+=−−

xxxx

einbauen Gleichung diein Ergänzung hequadratisc42442 +=+− xx

essen!nicht vergKlammer der hinter Quadrat Das 2.- = 2 : 4- also 2, : pnun dahinter undein x wir schreiben Klammer dieIn

bildendruck Klammeraus62 2 =− )(x

10

1. Sofern die Zahl vor der quadratischen Variable keine 1 ist, dividiert durch diese.

2. Findet p heraus (das ist die Zahl die vor der einfachen Variable steht)

3. Bildet nun (p : 2)2. Damit erhaltet ihr die quadratische Ergänzung

4. Schafft bei eurer Gleichung die alleinstehende Zahl ohne Variable auf die andere Seite

5. Baut die quadratische Ergänzung in die Gleichung ein

6. Bildet den Klammerausdruck

Beispiel 2:

2pdahinter und x bilden druck Klammeraus

1633

41

einbauen Gleichung diein Ergänzung hequadratisc1612

161

21

Seite andere die auf Variable ohne Zahlendealleinsteh die221

2pdurch bilden Ergänzung hequadratisc0625,0

161

41

221

221

Variablen einfachen der vor Zahlen herausfind p21

221

diesedurch Division 1 Variablen her quadratisc vor Zahl8:/1648

2

2

2

2

2

22

2

2

2

→=

+

+=++

=+

===

⋅=

→=

=+

→≠=+

a

aa

aa

p

aa

aa

11

1. Faktor vor dem x2 aus den ersten beiden Termen ausklammern

2. Findet p heraus (das ist die Zahl die vor der einfachen Variable steht)

3. Bildet nun (p : 2)2. Damit erhaltet ihr die quadratische Ergänzung

4. Quadratische Ergänzung

5. Ausmultiplizieren

6. Binomische Formel anwenden

Beispiel:

18)3(2)(2.618)96(2.]4[.5)996(2..4

9326

2.3

6.2)6(2.1

122)(

2222

2

2

222

2

2

−+⇒+=++

−++⇒

−++⇒

==

⇒

=⇒+⇒

+=

xbxbxbxanwendenFormelBinomischexxausZahligenüberschüssderizierenAusmultiplxxErgänzungQuadr

berechnenp

penherausfindxvorpZahlxxnAusklammer

xxxf

12

( )

notwendig. cheidungFallunters eineist kann,sein 5-auch als 5+ sowohl 25 aus Wurzeldie Da5325)3(

/25)3(

2:/50)3(250/050)3(2

.7050)3(2)(2.6

050)96(203218)96(2.]4[.5032)996(2..4

9326

2.3

6.2032)6(2.1

032122

2

2

2

2

2222

22

2

222

2

2

=−

=−

=−

=−

+=−−

=−−⇒−=+−

=−+−→=−−+−⇒

=−−+−⇒

=−=

−⇒

−=⇒=−−⇒

=−−

xx

x

xx

auflösenxnachGleichungxbxbxbxanwendenFormelBinomische

xxxxausZahligenüberschüssderizierenAusmultiplxxErgänzungQuadr

berechnenp

penherausfindxvorpZahlxxnAusklammer

xx

( ){ }8;223/53

5-ist Seite rechte :2 Fall8

3/535+ist Seite rechte :1 Fall

−=−=+−=−

=+=−

Lxx

xx

13

Die Diskriminante D bestimmt die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung.

qppxFormelqp −

±−=−−

2

2/1 22:

Normalform der quadratischen Gleichung: f(x)=x²+px+q

qpD −

=

2

2:nteDiskrimina

DpxDpx −

−=∨+

−=

22 21

D > 0 L = {x1;x2} zwei Lösungselemente

D = 0 L = {x} ein Lösungselement

D < 0 L = {} kein Lösungselement

14

Eine quadratische Gleichung der Form mit (Normalform) lässt sich mithilfe der p-q-Formel lösen. Wichtig ist hierbei, dass der Koeffizient vor dem x² - Term 1 ist.

02 =++ qpxx Rqp ∈,

qppxFormelqp −

±−=−−

2

2/1 22:

Beispiel:

12

123

21

49

21

22

223

21

49

21

22

/,49

48

412

412

21

2/02

3:/0633

22:

2

1

2

2

2

1

2

2

22

2

2

2/1

−==

−=−=−−

−=−

−−=

=+=+−

−=−

+−=

−−=+=+=+

−

=−−

=−−

−

±−=−−

xx

qppx

qppx

Formelqplösbaralsopositiv

qpbestimmenDxx

xx

qppxFormelqp

qppxFormelqp −±−=−−42

:2

2/1

15

16

Normalform einer quadratischen Funktion mit a = 1

qpxxy ++= 2

Sonderfall mit a = 1, b = 0 und c = 0 Normalparabel mit y = x²

)0(02 ≠=++ acbxax

Der Graph einer solchen quadratischen Funktion heißt Parabel.

17

Einfluss des Faktors a auf Parabel y = ax²

•Normalparabel a = 1

•Streckung |a| > 1

•Stauchung |a| < 1

•Nach oben geöffnet a > 0

•Nach unten geöffnet a < 0

Scheitelpunkt: …ist der tiefste (nach oben offene Parabeln) bzw. der höchste (nach unten offene Parabeln) Punkt des Graphen.

Extremstelle: x-Koordinate des Scheitelpunktes.

Extremwert: y-Koordinate des Scheitelpunktes.

Hochpunkt: Ist der Scheitelpunkt die höchste Stelle des Graphen, so wird dieser Punkt als Hochpunkt bezeichnet.

Tiefpunkt: Ist der Scheitelpunkt die tiefste Stelle des Graphen, so wird dieser Punkt als Tiefpunkt bezeichnet.

Der Graph einer beliebigen quadratischen Funktion kann durch Verschieben und Strecken der Normalparabel erzeugt werden.

18

Gesucht ist die Gleichung einer Normalparabel, die um 6 Einheiten nach rechts verschoben ist.

Parabelgleichung: f(x)=(x−d)2

f(x)=(x−6)2

Auf das richtige Vorzeichen achten. Obwohl die Parabel nach rechts (also in positiver) Richtung verschoben ist, braucht man ein negatives Vorzeichen. Grund dafür ist, dass die Formel f(x)=(x−d)2 lautet. Die Lösung für unsere Aufgabe erhalten wir, wenn wir d = 6 einsetzen.

Gesucht ist die Gleichung einer Normalparabel, die um 3 Einheiten nach links verschoben ist.

f(x)=(x+3)2

Die Lösung für unsere Aufgabe erhalten wir, wenn wir d = -3 einsetzen.

22 )3())3(()( +=−−= xxxf

19

Gesucht ist die Gleichung einer Normalparabel, die um 6 Einheiten nach oben verschoben ist.

Parabelgleichung: f(x)=(x−d)2

f(x) = x2 + 6

Allgemein können wir die Normalparabel nach oben verschieben, wenn wir eine konstante Zahl c addieren.

Gesucht ist die Gleichung einer Normalparabel, die um 3 Einheiten nach unten verschoben ist.

f(x) = x2+c

f(x) = x2 - 3

Allgemein können wir die Normalparabel nach oben verschieben, wenn wir eine konstante Zahl c addieren.

f(x) = x2+c

20

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet f(x)=a(x−d)2+e

Die Koordinaten des Scheitelpunktes lassen sich in dieser Form leicht ablesen: S(d|e)

Beispiel:

Gegeben ist eine quadratische Gleichung in Scheitelpunktform

f(x)=−2(x−2)2+3

Der Scheitelpunkt der Parabel ist demnach: S(2|3).