QUANTENMECHANIK I - BTU
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QUANTENMECHANIK I
Dr. Ulrich Wulf
Sommersemester 2004
2
Inhaltsverzeichnis
Literaturverzeichnis 7
I Physikalischer Zugang 9
1 Einleitung 11
2 Wellen mit Teilcheneigenschaften 132.1 Planck sches Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Der Comptoneffekt, Charakterisierung der Teilcheneigenschaften des Photons . . . . 20
3 Teilchen mit Welleneigenschaften 253.1 Young sches Doppelspaltexperiment (1801) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Materiewellen und Welleneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Die Schrodinger-Gleichung 394.1 Heuristische Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Wichtige mathematische Eigenschaften der Schrodinger-Gleichung . . . . . . . . . . 414.3 Ubergang zur zeitunabhangigen Schrodinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1 Beispiel fur diskretes Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.2 Allgemeines Prinzip zur Erzeugung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . 44
4.4 Wahrscheinlichkeitsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Eindimensionale Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5.1 Eindimensionaler unendlich hoher Potenzialkasten . . . . . . . . . . . . . . 474.5.2 Potenzialbarriere - Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5.3 Rechteckiger endlich hoher Potenzialkasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II Mathematische Formulierung im Hilbertraum 61
5 Der Raum der Wellenfunktion eines Teilchens 635.1 Linearer Raum V (Vektorraum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Hilbertraum H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3 Zuordnung der physikalischen Zustande zum Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.1 Vollstandige Funktionssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.2 Entwicklung von Zustanden in Basisfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3
4 INHALTSVERZEICHNIS
6 Operatoren im Hilbertraum 756.1 Darstellung eines linearen Operators durch Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 Adjungierter Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.3 Hermitescher (selbstadjungierter) Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7 Allgemeine Postulate der Quantenmechanik 797.1 Allgemeine Eigenschaften hermitischer Operatoren und der Meßprozess . . . . . . . 817.2 Messung verschiedener Observabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8 Zeitentwicklung des Systems 87
III Anwendungen 89
9 Das zentralsymmetrische Potenzial 919.1 Der Drehimpulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.2 Schrodinger-Gleichung im zentralsymmetrischen Potenzial . . . . . . . . . . . . . . 969.3 Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10 Der Spin 115
11 Der harmonische Oszillator 121
12 Bohr-Sommerfeld-Quantisierung fur den harmonischen Oszillator 129
13 Zeitunabhangige Storungstheorie 13313.1 Storungstheorie ohne Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13313.2 Storungstheorie mit Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14 Zeitabhangige Storungstheorie und Wechselwirkungsbild 141
INHALTSVERZEICHNIS 5
Vorlesungsplan
I. Physikalischer Zugang zur Quantenmechanik (vom Experiment zur Naturbeschreibung) :
1. Versagen der klassischen Physik: Welle-Teilchen Dualismus
2. Quantenmechanische Beschreibung: Wellenfunktionen mit Wahrscheinlichkeitsdeutung
3. Schrodinger Gleichung, Postulate der Quantenmechanik
II. Mathematische Formulierung (Ordnung muss sein):
1. Hilbertraum
2. Vektoren im Hilbertraum und QM Zustande
3. Operatoren im Hilbertraum und QM Observable
4. Dynamik der Quantenssysteme
III. Anwendungen (der Erfolg der Quantenmechanik heiligt die Mittel):
1. Der harmonische Oszillator
2. Das Wasserstoffproblem
3. Der Spin
4. Vielteilchensysteme
5. Storungstheorie
6. ....
6 INHALTSVERZEICHNIS
Literaturverzeichnis
[1] W. Greiner: Theoretische Physik. Band 4: Quantenmechanik 2. Auflage, Verlag HarriDeutsch, Thun und Frankfurt am Main, 1979, ISBN 3–87144–474–X.
[2] J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Rev. edition, Addison-Wesley Publishing Com-pany, New York, 1994, ISBN 0–201–53929–2.
[3] R. Eisberg, R. Resnick: Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particu-les. 2nd edition, J. Wiley and Sons, New York,1985, ISBN 0–471–87373–X.
[4] T. Fließbach: Quantenmechanik. Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 2. Auflage, Spek-trum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995, ISBN 3–86025–714–5.
[5] A. S. Dawydow: Quantenmechanik 7. Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,Berlin 1987, ISBN 3–326–00095–2.
7
8 LITERATURVERZEICHNIS
Teil I
Physikalischer Zugang
9
Kapitel 1
Einleitung
Warum Quantenmechanik?
Grundlegende Konzepte der klassischen Physik
i. Teilchen:
Lokalisierte Einheiten mit definierter Energie und Impuls Zu jedem Zeitpunkt beschrieben durch Orts- und Geschwindigkeitskoordinaten Dynamik durch Newton’sche Bewegungsgleichungen festgelegt
q ∂H∂p
und p ∂H∂q
Hp q T V Hamiltonfunktion bei gegebenen Anfangsbedingungen (Anfangsposition und -geschwindigkeit) sind Position und
Impuls des Teilchens zu jedem Zeitpunkt festgelegt.
ii. Wellen: raumlich ausgedehnte Storung An jedem Raum-Zeitpunkt beschrieben durch Wellenfunktion Ψr t und deren zeitliche Ande-
rung (Beispiel: Elektromagnetisches FeldEr t , Wellenfunktion mit drei Komponenten) Zeitliche Entwicklung durch Wellengleichung
∆Ψ 1c2
∂2
∂t2 Ψ bei gegebenen Anfangsbedingungen Ψr 0 und Ψ
r 0 ist Ψ
r t zu jedem Zeitpunkt festge-
legt.
11
12 KAPITEL 1. EINLEITUNG
Versagen der klassischen Physik
Die klassische Physik versagt in mikroskopischen Dimensionen.
“Klassisches” Beispiel: das Atom Elektrodynamik: Beschleunigte Ladungen strahlen, klassische Elektronenbahnen sind instabil keine klassische Erklarung der z. B. im Wasserstoffatom gemessenen Linienspektren
Frage: Was ware eine Welt ohne Atome ????????
Die Basiskonzepte sind falsch !!!!! Wellen haben Teilchencharakter ( Photon) Hohlraumstrahlung, Photoeffekt, Compton Effekt.... Teilchen haben Wellencharakter ( Materiewellen) Beugungsexperimente von Davisson undGermer, Doppelspaltexperimente . . . Welle-Teilchen Dualismus
Grundlegendes Konzept der Quantenmechanik Ein quantenmechanisches Objekt wird durch eine Wellenfunktion beschrieben Welleneigen-schaft die Wellenfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit das Teilchen als Ganzes zu messen Teilcheneigenschaft, kein Determinismus Dynamik der Wellenfunktion durch Schrodingergleichung beschrieben
Kapitel 2
Wellen mit Teilcheneigenschaften
2.1 Planck sches Strahlungsgesetz
Messung der spektralen Endergiedichte uω T eines schwarzen Hohlraumstrahlers.
Öffnung
Abbildung 2.1: Hohlraumstrahler
schwarz: samtliche durch die Offnung einfallende Strahlung wird vor Wiederaustrittviele Male an Wanden absorbiert und wieder emittiert Strahlungsfeld undWande sind im Gleichgewicht.Absorption = Emission Energiedichte U
T ist im Hohlraum von der Form unabhangig.
UT ∞
0
uω t dω aT 4 (2.1)
a 7 56 10 16Jm 3K 4
Stefan-Boltzmann-Gesetz spektrale Verteilung ist universell
Wien sches Verschiebungsgesetz: Maximum uT ω , verschiebt sich bei wachsendem T zu hoheren
Frequenzen.
13
14 KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
Gesetz
ω [Hz]
Wiensches
Rayleigh−Jeans
Abbildung 2.2: Energiedichte der Hohlraumstrahlung
Kleine Frequenzen klassisch verstandlich Rayleigh-Jeans (Abbildung 2.1 rote Linie).
uω T ω2
π2c3 kT (2.2)
Problem: divergiert fur ω ∞
Ansatz fur hohe Frequenzen von Wien (Abbildung 2.1 grune Linie)
uω T ∝ ω3exp
bω T (2.3)
Korrekte Beschreibung im gesamten Bereich durch Planck sches Gesetz:
uω T ω3
π2c3 exp ω kT 1 (2.4)
Geburt der Planck schen Konstante
h 6 6256 10 34Nms 4 1356 10 15eV s
(Planck sches Wirkungsquantum) h2π sehr klein auf der Skala der im “Alltag” verwendeten Großen im “Alltag” nicht sichtbar ω “typische Energie”
2.1. PLANCK SCHES STRAHLUNGSGESETZ 15
klassischer Grenzfall: ω kT (thermische Energie)
Planck sches Gesetz wird dann wegen
exp ω kT 1 ω
kT u
ω T ω2
π2c3 kT
identisch mit Rayleigh-Jeans. Im klassischen Limes verschwindet .Was bedeutet diese typische Energie?
Planck sche Grundidee
Jeder mit der Frequenz ω schwingende Resonator (Oszillator) kann nur diskrete Energien En aufneh-men mit:
En n ω nhν n N0 (2.5)
Dieses gilt sowohl fur die Resonatoren der Wand (Gitterschwingungen) als auch fur die Moden desStrahlungsfeldes. n ist die diskrete Anregungsstufe des Oszillators. Fur die Wahrscheinlichkeit, einenmit ω schwingenden Resonator in der Anregungsstufe n zu finden, gilt die Boltzmann-Statistik:
pn exp En
kT ∞∑
n 0exp
EnkT exp
n ωkT
Z (2.6)
Fur die mittlere Energie (Energieerwartungswert) dieser Methode ergibt sich
E ∞
∑n 0
En pn ∑n En exp En ! "
n ωkT
∑n exp
n ωkT ∂
∂β ∑n exp βEn
∑n exp βEn # ∂
∂βln∑
nexp
βEn ∂∂β
ln∑n
exp β ω $ n d
dβln % 1
1 exp β ω '& d
dβln 1 exp
β ω () ωexp
β ω * 1+ , n - ω
Spater wichtig in Statistischer Physik: , n -. 1
exp ω
kT 1 Bose-Einstein-Statistik (2.7)
16 KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
Klassischer Grenzfall: ω kT : Quantisierungsenergie thermische Energie expβ ω ./ 1 ωkT E kT klassischer Gleichgewichtsverteilungssatz fur Oszillator f kT
2 f 2: Anzahl der Freiheitsgerade; kinetische + potentielle Energie
Hergeleitet fur einen einzelnen Oszillator:
E ωexp
β ω 1
(2.8)
Gemessenes Planck sches Strahlungsgesetz:
uω T ω2
π2c3 "! D
ωexp
β ω * 1
(2.9)
Woher kommt der Faktor D?
Antwort: D ist die Anzahl der elektromagnetischen (EM) Moden pro Frequenzintervall ω ω dω und pro Volumen.
(Energiedichte) 10223 4 EM Moden (Schwinger)pro Energieintervallpro Volumenˆ Zustandsdichte
5!667 03 mittlere Energiein der Mode mitω
578 u
ω T 9 D
ω E ω ω2
π2c3 ωexp
ωkT 1 (2.10)
mit Dω : ω2
π2c3 (2.11)
Anschauliche Interpretation der Experimentellen Ergebnissekleine Frequenzen ω kT
;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<
ωh
kT
Diskretisierung der zugelassenen Energien nichtwichtig klassisches Ergebnis fur E
ω
Eω kT uω T ω2
π2c3 kT = Rayleigh-Jeans u wachst mit ω2 durch den Zustandsdichtefaktor
große Frequenzen ω = kT
2.1. PLANCK SCHES STRAHLUNGSGESETZ 17
hω
Boltzmann-Faktornur Grundzustand mit n 0 E0 0 besetztBesetzung hoherer Zustande n > 0 En > 0 ver-schwindet exponentiell mit En
kT Eω T fallt exponentiell uω T fallt exponentiell
Ubergangsbereich ω / kT
Maximum ist Kompromiss zwischen
Dω 0 fur kleinere Frequenzen
Eω 0 fur hohere Frequenzen
Abschatzung:
kB 1 38 10 23JK 1 ω 1 05 10 34Js
kBT / ω 8 1 38 10 23JT K ) 1 05 10 34Jω Hz 8 ω Hz )/ 1011T K 8 ω 1014Hz )/ T 1000K quantenmechanisch korrekt:
En n 1 2 ω (2.12)
12 ω Nullpunktschwingung
Ubung: Berechne Eω unter Berucksichtigung der Nullpunktenergie. Warum andern sich die we-
sentlichen Schlußfolgerungen nicht?
Schwingungsmoden des Hohlraumresonators
L
Hohlraumresonator = Wurfel mit Kantenlange LVernachlassigung des Lochs
Im Inneren des Hohlraumes: “freie” Maxwell Gleichungρ
j 0 div
E 0 div
B 0
rotE B rot
B ε0µ0
E
Ubungen: fur jede Komponente ψ vonE und
B gilt die Schwingungsgleichung:?
ψr t @% ∆ 1
c2
∂2
∂t2 & ψr t (2.13)
18 KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
mit
c2 1ε0µ0
Freie Verschiebbarkeit der Ladungen auf dem Rand Randbedingungen auf dem Rand (Wand)
ψr t verschwindet A Transversalkomponente
E :
tEr t 0
NormalkomponenteB :
nBr t 0
Ansatz fur das Elektrische FeldE
Ex c1 cos nxπx
L sin
nyπyL sin
nzπzL exp
iωt Ey c2 sin
nxπxL cos
nyπyL sin
nzπzL exp
iωt Ez c3 sin
nxπxL sin
nyπyL cos
nzπzL exp
iωt mit
nx ny nz 1 2 BB ∞ k π
L
nx ny nz ω2 c2
k2
Zeige, dass sowohl?
ψr t 0 als auch
tEr t
r R erfullt sind!
Zeige aus divE 0 folgt:
c1nxπL c2
nyπL c3
nπL 0 (2.14)
∂β∂t 1
crot E nur zwei Parameter z. B. c1 und c2 sind unabhangig.
Zeige: Aus
rotE C 1
c∂B∂t iω
cB
folgt:
B3 icω D c2nxπ
L c1nyπ
L E cos nxπx
L cos
nyπyL sin
nzπzL exp
iωt B2 BBB1 BB
Ist Losung der Schwingungsgleichung + RB
Jedem Gitterpunktu nx ny nz entsprechen 2 unabhangige Modenc1 1 c2 0c1 0 c2 1
nx
ny
n z
2.1. PLANCK SCHES STRAHLUNGSGESETZ 19
Frequenz der Moden
ω c F k2 cπL G n G cπ
L H n2x n2
y n2z (2.15) Anzahl der Moden mit festem ω
Anzahl der Gitterpunkten in einer Kugelschale mit dem Radius n G n G ωL
πc
dn Lπc
dω
Abbildung 2.3: Gitterpunkte in einer Kugelschale
dN 2 (Volumen der Kugelschale) (Dichte der Punkte) 2 4πn2dn
8 1 I π
L2ω2
π2c2
Lπc
dω8 nur Segment mit nxnynz J 0 D
ω 9 ω2
π2c3 V L3 (2.16)
20 KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
2.2 Der Comptoneffekt, Charakterisierung der Teilcheneigenschaftendes Photons
Um das Planck sche Strahlungsgesetz abzuleiten, haben wir postuliert, dass die Energie eines Oszil-lators der Frequenz ω quantisiert ist. Es sind nur diskrete Energien
En n ω (2.17)
erlaubt. Im Falle des Hohlraumresonators ist ein solcher Oszillator eine Schwingungsmode des elek-tromagnetischen Feldes. Gleichung 2.17 haben wir “adhoc” anschaulich als Besetzung dieser Modemit einer diskreten Anzahl von n Photonen mit der Energie
E ω hν hcλ
(2.18)
interpretiert.
Die Teilcheneigenschaften eines Photons werden weiterhin sehr eindrucksvoll im Comptoneffekt de-monstriert. (Streuung von Licht an Elektronen)
Aufbau
KLKLKKLKLKKLKLKKLKLKMLMLMMLMLMMLMLMMLMLMDetektor
Kristall
Blei
definiertλ gestreuter Strahl
Einfallender Strahl
genau
NLNLNNLNLNNLNLNNLNLNOLOLOOLOLOOLOLOOLOLOPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQRSTLTLTTLTLTTLTLTTLTLTULULUULULUULULUULULUVLVWLW
Streuer
Röntgenstrahlung
Graphit
Abbildung 2.4: Aufbau des Comptoneffektes
2.2. DER COMPTONEFFEKT, CHARAKTERISIERUNG DER TEILCHENEIGENSCHAFTENDES PHOTONS21
Ergebnis
Abbildung 2.5: Ergebnis des Comptoneffektes
unverschobener Peak: λ0
verschobener Peak:
λ1 λ0 ∆λ
∆λ hm0c
1 cosθ $YX 0
λc hm0c
2 43 10 12m 0 0243A
Compton Wellenlange Nobelpreis 1927
22 KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
Erklarung
Abbildung 2.6: Erklarung des Comptoneffektes
1. Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Streuer und Photon:Im Teilchenbild: Nicht zentraler Stoß zwischen einfallendem Photon und Streuer als Teilchen.
Energieerhaltung + Impulserhaltung gelten. Unverschobener Peak:Bei der Streuung bleibt das Atom als Ganzes erhalten große Masse des Streuers kleiner Energieubertrag elektrischer Stoß Verschobener Peak:Streuer ist schwach gebundenes, fast freies Elektron, Atomrumpf an Stoß nicht beteiligt kleine Masse des Streuers relativ großer Energieubertrag inelastischer Stoß
2. Teilcheneigenschaften des Photons:
Das Photon ist ein masseloses Teilchen, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt.Die Masselosigkeit folgt bei v c aus der Relativitatstheorie.
E m0c2H 1 v2
c2
(2.19)
Fur m0 > 0 folgt bei v c E ∞
Einsteins Energie-Impuls Beziehung:
E2 c2 p2 m0c2 2 c2 p2
2.2. DER COMPTONEFFEKT, CHARAKTERISIERUNG DER TEILCHENEIGENSCHAFTENDES PHOTONS23 ω 2 hv 2 p Ec
hvc h
λ
Verknupfung der Teilcheneigenschaft p mit der Wellenlange λ Elastischer Stoß: Photon verliert Energie Impuls wird kleiner Quantitative Erfassung des Stoßes: p: Impuls ElektronK: Kinetische Energie Elektron
x
y
Elektron
λ
λ’
K, p
Photon
E0 p0
E1 p1
θ
Photon
Abbildung 2.7: Quantitative Erfassung des Stoßes
3. Impulserhaltung
x-Komponente p0 p1 cosθ ) pcos
ϕ
y-Komponente p1 sinθ : psinϕ
p0 p1 cosθ B 2 p2 cos2 ϕ
p1 sin2 θ p2 sin2 ϕ9 p20 p2
1 2p0 p1 cosθ : p2 (2.20)
4. Energieerhaltung
E0 m0c2 E1 K m0c2 "Z nichtrelativistische Behandlung
(2.21)
m0c2 - Ruheenergie des Elektrons
E0 E1 K
cp0 p1 K (2.22)
24 KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
Fur das Elektron gilt:
E2 c2 p2 m0c2 2 K m0c2 2
K2 2m0c2 c2 p2
K2
c2 2Km0 p2 (2.23)
Ubungen:Wir setzen fur die Gleichung 2.20 fur p2 und die Gleichung 2.22 fur K und erhalten:
1p1 1
p0 1
m0c 1 cos
θ $ (2.24)
Durch multiplizieren mit h und λ1 hp1 λ1 λ0 λc
1 cosθ $
λc hm0x
2 43 10 12m j 0 0243A (2.25)
Betrachte Kurve fur 90 [ in Experimenten!
Welle-Teilchen-Dualismus:In Abhangigkeit von der experimentellen Situation kann sich das quantenmechanische Partikel“Photon” wie ein Teilchen oder wie eine Welle verhalten.
Im Comptoneffekt: Teilchenartig: Stoß mit dem Streuer
m 0 p hλ
E hv hcλ Wellenartig: anschließende Bragg-Streuung am Kritstall zur Messung der Wellenlange der
Rontgenstrahlung.
In Wirklichkeit liegt immer das Quantenpartikel vor, die sich manchmal wie ein Teilchen undmanchmal wie eine Welle verhalt.
Kapitel 3
Teilchen mit Welleneigenschaften
3.1 Young sches Doppelspaltexperiment (1801)
Zum Nachweis der Wellennatur des Lichtes
(Newton: Licht ist Teilchenstrahlung!)
Abbildung 3.1: Der Young sche Spaltversuch
Erklarung in Fraunhofer Naherung:
Jeder der Spalte ist eine Quelle von Kugelwellen. Fur jede der Komponenten ψ desE und
B Feldes
25
26 KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
konnen wir schreiben:
ψr t c % exp
ikr1
r1 exp
ikr2
r2 & (3.1)
mitω ck
Wichtig: Dadurch, dass beide Spalte von hinten von derselben Wellenfront angeleuchtet werden, strah-len sie mit synchroner Phasenlage.
Die Intensitat (z. B. Schwarzung der Photoplatte) ist dann
I Gψ G 2 G c G 2 A 1
r21
1
r22
2r1r2
cos k r1 r2 $B\] (3.2)
Hieraus folgt die fur die Wellen typische Interferenz (siehe Ubung).
I ^____` ____abcb 2 c r1 d r2 e 2
r22r2
1/ 4
bcb 2
r2 fur cos ff g 1 konstruktive Interferenzbcb 2 c r1 r2 e 2
r22r2
1/ fur cos ff C 1 destruktive Interferenz
Wie in der Ubung gezeigt werden wird, bekommen wir die angegebene Abschatzung im Fernbereich,d. h. d L.
Fur die Periodizitat des Streifenmusters dx konnen wir im Fernbereich schreiben:
dx Ld
λ mit k 2πλ
(3.3)
Das laßt sich ausschließlich begrunden durch:
Interferenzmaxima:s d sin
θ . d
xmax
L mλ m 0 1 2 BB (3.4)
Interferenzminima:
s d sinθ I d
xmin
L m 1
2 λ m 0 1 2 BB (3.5)
Periodizitatsintervall:
dx xmaxm 1 xmax
m 0 . λ
Ld
(3.6)
Im Teilchenbild wurde man ein ganzlich anderes Ergebnis erwarten.Zwei Maxima; Ort der Maxima nicht durch λ , sondern allein durch die Geometrie (Ort der Quelle,der Spalt des Schirms) gegeben.O. Carnal und J. Mlynek, Phys. Rev. Lett. 66, 2689 (1991)
Strahl von angeregten Helium-Atomen; Geschwindigkeit durch Temperatur in Reservoir geregelt. An-geregte He besser nachweisbar.
Vorher Elektron und Neutron, Ende 90-er Jahre C60 Molekule.
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN 27
θθ
L
d
r1
r
r2
x
s
θ
ν
s = Gangunterschied s = d sin
Abbildung 3.2: Periodizitat des Streifenmusters
a.) Temperatur T 295K λdB 0 56A
b.) Temperatur T 83K λdB 1 03A
3.2 Materiewellen und Welleneigenschaften
1924 de Broglie: Licht ist nicht das einzige “Teilchen (Korpuskel)” mit Wellen-Teilchen-Dualismus.Auch andere Partikel wie Elektronen, Neutronen, Protonen,... unterliegen dem Dualismus.
Die Wellen- und die Teilcheneigenschaften sind wie beim Photon verknupft.p k bzw. G !p G h
λE ω (3.7)
Aus diesen Annahmen folge unterschiedliche Dispersion fur ein Photon und ein massebehaftetes Teil-chen
ωλ bzw. ω
k mit G k G 2π
λ k (3.8)
Photonen:
E c G p G ω chλ
ω2πcλ ck (3.9)
28 KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
θ
Abbildung 3.3:
Abbildung 3.4: Doppelspaltversuch mit Atomen
nichtrelativistisches freies Teilchen mit Masse m.
E p2
2m ω 12m
hλ 2 ω
2m
2πλ 2
2mk (3.10)
Betrachten wir die Beschreibung eines freien Teilchens mit gegebenem Impuls durch Wellenfunktion
ψx t . ψ0 exp
ikr exp
iωk t (3.11)
Es unterscheiden sich nur die Dispersionen ωk .
Der Vergleich mit dem Experiment
Maxwell sche Geschwindigkeitsverteilung
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN 29
Abbildung 3.5:
fur die Teilchen im Ofen
fv 4π
m2πkBT 3 h 2v2 exp
mν2
2kBT Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag der Geschwindigkeit eines herausgegriffenen Teilchen zwischenω und ω dω liegt.
vmax
f (v)
v
Abschatzung:
vmax i 2Tm
steigt mit hoherer Temperatur
30 KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
pmax j 2kTm
λdB hpmax
hj 2kTm 1H 2 kT mh2
(3.12)
m mHe / 4mp 4 1 67 10 27kg
kT 295K 1 3 10 23JK 1300K 5 10 21J
h 6 65 10 34Js
2mkT
h 2
5 10 21J4 1 67 10 27kg6 652 10 68J2s2 7 101 21 27 d 68
401
m2
74
1020
m2 1A2
λdB 0 8A
gemessen: λdB 0 56A bei T 295K
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN 31
Materiewelle wird durch Wellenfunktionen beschrieben
Freies TeilchenV 0 V k Potenzial mit gegebenem Impuls
p und fester Energie E p2
2m mit p G p GWellenfunktion durch monocharomatische ebene Welle
ψr t ψ0 exp
ikr iω
k t = ohne Welle (3.13)
de Broglie p k (3.14)
E ω p2
2m k2
2m(3.15)
Analogie zum elektromagnetischen Feld im VakuumE
E0 expikr iω
k t = ebene Welle fur jede Komponente (3.16)
ausdiv E 0 folgt die Bedingung
kE0 0
Die ebene Welle ist unendlich ausgedehnt.
Zu festem Zeitpunkt
ϕ= ϕ π+ 20
ϕ = kr − tω
y
x
k
ϕ
Wellenfronten
= ϕ0
ϕ= ϕ π0 +4
Abbildung 3.6: Skizze
Ubungen Wellenfronten: Ebenen mit konstanter Phase, ∞-ausgedehnt (z. B. ϕ k r Z iωt 2π)
32 KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN Abstand Wellenfront mit ϕ ϕ0 und ϕ ϕ0 2π ist 2πλ Wellenfront wandert in Richtung von
k mit der Phasengeschwindigkeit
vphas ωk (3.17) ∞-Ausdehnung Idealisierung nicht real
Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion
Elektromagnetisches Feld Wellenbild:
PointingvectorS ε0xE2 Energiestromdichte Energie
Flache Zeit Teilchenbild:
S , N - ω, N -9 Zahl der ProtonenFlache Zeit ω Energie des Photons , N - ∝ E2 : Die Anzahl der am Spalt zur Zeit registrierten Photonen ist proportional zum
elektrischen Feld.
Ubertragung auf Materialwellen: Gψ r t G 2d3r (3.18)
ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumenelement d 3r dxdydz zu finden.ψr t d3r 1 (3.19) Sinnvoll nur fur ein Ensemble von Teilchen.
Wellenpakete
Eine monochromatische ebene Welle kann kein Teilchen darstellen, dass sich in einem bestimmtenRaumbereich befindet (Lokalisierung). Beschreibung durch eine Uberlagerung von monochromatischen ebenen Wellen Wellenpaket.
ψx t . 1j 2π
∞ ∞
dk expikx ωt B ψ k (3.20)
Hier nun eine Dimension betrachtet, der dreidimensionale Fall ist strukturgleich. ψk : Anzahl und
Phase der am Paket beteiligten m, ebene Wellen im k-Intervall k k dk.
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN 33
Typisches Beispiel: Gauß sches Wellenpaket
ψk ml 2σ2
0
π n 14
exp σ2
0k k0 2 cexp
σ2
0k k0 2 (3.21)
1G0
k0
ψ (k)
Abbildung 3.7: Skizze
c ml 2σ20
π n 14 Normierungskonstante (3.22) ∞
dkj 2π G ψ k G 2 1 (3.23) k0: mittlerer Wellenvektor, Ak um k0 lokalisiert. 1
σ0: Maß fur die Breite der Gauß schen Verteilung
Entwicklung der Dispersion
ωk : ω
k0 ) dω
dk G k0 "Z vg
k k0 ) 1
2d2ωdk2 G k0
k k0 2 oBB (3.24) ω0 vg
k k0 p β
k k0 2 (3.25) vg: Gruppengeschwindigkeit β: Dispersionsparameter
ψx t q cj 2π
∞ ∞
dk exp σ2 k k0 2
34 KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
expikx exp rs i ω0 vg
k k0 p β
k j k0 2 t t
Ubungen Gauß sches Integral cj 2
exp i k0x ωt $F σ2 iβt exp l
x vgt 24σ2 iβt un (3.26) WahrscheinlichkeitsverteilungGψ x t G 2 G c G 2
2 F σ4 β2t2 exp l σ2 x vgt 2
2σ4 β2t2 vn (3.27) G c G 2
2 F G4 β2t2 exp wx x vgt 2
σ21 β2
σ4 t2 zy (3.28)
v tg
β2
G2G2 + t2
ψ (x, 0)|2
ψ 2(x, t)|
σ0
t = 0
zeitliche
Entwicklung
ψ
Abbildung 3.8: Evolution eines quantenmechanischen Wellenpaketes
σ0: anfangliche Breite Das Maximum des Wellenpaketes bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit. Das Wellenpaket verbreitert sich (zerfließen). Der Bereich mit einer nennenswerten Wahr-scheinlichkeit, ein Teilchen zu finden, wird mit der Zeit immer großer (diffusive Bewegung,z. B. ...)typische Verbreiterungszeit Typische Zeit zum Auseinanderlaufen
τ σ2
β(3.29)
β 12
d2ωdk2 (3.30)
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN 35
Photonen:
ω k β 0 keine Verbreiterung τ ∞
Massebehaftetes Teilchen:
ω 2m
k2 ∂2ω∂k4
m(3.31) β
2m τ σ2
β 2mσ2 (3.32)
Je schwerer das Objekt und je großer die anfangliche Ausdehnung, je geringer das Auseinanderlaufen. Makroskopisches Objekt: m 1g σ0 1 cm τ 1027 secgroß gegenuber Weltalter Mikroskopisches Objekt: Elektronen, σ0 10 13 cm τ 10 26 sec.
Orts-Impuls Unscharferelation
Gegeben Px : Wahrscheinlichkeitsdichte Variable x (Ereignis)
Wir wahlen als Ereignisbereich x ∞ ∞ Fur Wahrscheinlichkeitsdichte gilt die Normierungsbedingung
∞ ∞
dxPx . 1
Betrachte Gauß sche Wahrscheinlichkeitsdichte
Px . 1
Nexp
αx x0 2
0x
x∆ =α2
1
Normierungsfaktor durch Normierungsbedingung gegeben
36 KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
1 1N
exp α
x x0 2 1
N
∞ ∞
dxexp αx2 "Z j π
a
N i πα
(3.33)
a: Erwartungswert oder Mittelwert von x
x , x -: ∞ ∞
dxPx x
∞ ∞
dx1N
exp α
u Z "x x0 2 x ∞ ∞
dxx01N
exp α
x x0 2 ) ∞ ∞
du 11N
exp αu2 u "Z 0 x0
∞ ∞
exp α
x x0 2
N x0 (3.34)
∆x: Schwankungsquadrat, “Breite” der Verteilung∆x 2 , x x 2 -. dxP
x x x0 2 1
N
∞ ∞
dx exp α
x x0 2 x x0 2 "Z
Gradstein, Ryzlik 3 461 12α j π
α
(3.35)
απ
12α i π
α 1
2α ∆x 1j 2α
(3.36)
Anwendung auf das Gauß sche Paket
1. Im Impulsraum
ψk 9 cexp
σ2 k k0 B Pk G ψ k G 2 G c G 2 exp
2σ2 k k0 2 αk 2σ2 von Zeit unabhangig
∆k 1j 2αk 1
2σ ∆p ∆k
2σ(3.37)
2. Im Ortsraum
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN 37
Px t Gψ x t G 2
αexp
x vgt 22σ2
1 t2
τ τ mσ2
ψ 2(x, t)|
ψ (x, 0)|2
v tgx0 =
x(t) = 0∆ x (t)∆
αx 1
2σ21 t2
τ ∆x 1j 2αx
1i 1
σ2 c 1 d t2
τ2 e σ i 1 t2
τ2 (3.38)
Produkt aus Orts- und Impulsunscharfe
∆x∆p σ i 1 t2
τ2 2σ 2i 1 t2
τ2 (3.39)
∆x ∆p X 2
Heisenberg sche Unscharferelation (3.40)
Am Anfang maximale Scharfe; Auseinanderfließen Erhohung der Unscharfe.
38 KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
Kapitel 4
Die Schrodinger-Gleichung
4.1 Heuristische Konstruktion
1. Maxwell-Gleichungen:
“Bewegungsgleichung” fur das elektromagnetische Feld. Bewegungsgleichung beschreibt diezeitliche Entwicklung.
2. Schrodinger-Gleichung:
Bewegungsgleichung fur die Materiewellen (in nichtrealistischer Naherung) 1926 aufgestellt.
Eine Herleitung ist nicht moglich, nur Plausibilitat durch Experimente (Newton-Gleichung).
Ansatz, der durch seinen Erfolg gerechtfertigt werden muss. Plausibilitatsbetrachtung
Ausgangspunkt: monochromatische Ebene
Welle, ψ0 1ψr t exp
i kr ωt B (4.1)
de Broglie
E ωp k
Fur die ebene Welle konnen wir schreibenpψr t : kψ
r t . k exp
i kr ωt B i ∇exp
ikr (4.2) Zuordnung
39
40 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNGp | i ∇
Der Observable (Messgroße)p wird ein Operator i ∇ zugeordnet, der auf die Wellenfunktion ψ
r t
wirkt.
Weiterhin konnen wir schreiben
Eψr t : ωψ
r t ωexp
i kr ωt B i ∂
∂texp
i kr ωt B (4.3)
E | i ∂
∂t
Schrodinger-Gleichung fur freies Teilchen erfullt die Dispersionsrelation fur freies TeilchenE
p2
2m(4.4)
wird ubersetzt in
i ∂∂t
ψr t .~ 2
2m∆ψr t (4.5)
hier ist p2 i ∇ 2 2 ∇ 2 C 2∆
∆ ∂2
∂x2 ∂2
∂y2 ∂2
∂z2 Laplace Operator (4.6)
∆ ∇ ∇ ml ∂
∂x ∂∂y ∂∂z n l ∂
∂x ∂∂y ∂∂z n (4.7)
Ubersetzung: E undp werden zu Operatoren, die auf die Wellenfunktion wirken.
In Anwesenheit eines Potenzials
E p2
2m V
r t (4.8)
Vr t wird als multiplikativer Skalar angesehen. Wird ersetzt zu
i ∂∂t
ψr t .@%~ 2
2m∆ V
r t & ψ
r t (4.9)
Zeitabhangige Schrodinger-Gleichung
mathematisch: partielle Differentialgleichung
4.2. WICHTIGE MATHEMATISCHE EIGENSCHAFTEN DER SCHRODINGER-GLEICHUNG41
4.2 Wichtige mathematische Eigenschaften der Schrodinger-Gleichung Erster Ordnung in Zeit ψr t ist durch die Anfangsverteilung ψ
r 0 bestimmt. (kein Determinismus wegen der
statischen Interpretation von ψr t ). Die Schrodinger-Gleichung ist linear. Superposition von Einzellosungen ist wieder eine Losung Die Schrodinger-Gleichung ist homogen.
Resultierende Wellenfunktionen sind zu allen Zeiten normierbar. Die Schrodinger-Gleichung ist komplex.
komplexe Losungen
4.3 Ubergang zur zeitunabhangigen Schrodinger-Gleichung
Sehr haufig ist das Potenzial Vr t nicht von der Zeit abhangig.
Vr t V
r (4.10)
(Zentral wichtigster Fall!)
In der klassischen Mechanik gilt dann vorausgesetzt die Erhaltung der Gesamtenergie
E T V p2
2m V
r H
!p r const (4.11)
HZp r ist die Hamilton-Funktion
Quantenmechanisch i ∂∂t
ψr t 9 p2
2m V
r $ ψ
r t Hψ
r t
H p2
2m V
r Hamilton-Operator (4.12)
Operator linke Seite: nur von der Zeit abhangig.
Operator rechte Seite: nur vom Ort abhangig.
42 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG Produktansatz
ψr t q ψ
r φ t
ψr i ∂
∂tφt . φ
t p2
2m V
r ψ
r (4.13)
Setze voraus: ψr t > 0 und dividiere durch
i ∂t ∂
∂tφt . 1
ψr Hψ (4.14)
linke Seite nur von der Zeit, rechte Seite nur vom Ort gleich einer von Ort und Zeit unabhangigenKonstante E
linke Seite:
i ∂t
φt : Eφ
t φ
t : exp
iE t (4.15)
rechte Seite:
Hψr .@ p2
2m V
r $ ψ
r Eψ
r (4.16)
zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung hat die Form eines Eigenwertproblems
Hψr Eψ
r (4.17)
besserHψ
r E Eψ
r E (4.18)
denn die Eigenfunktion ψr E des Operators H
Eigenwert E abhangig spater H ist hermitesch E sind reell Moglichkeiten
1. E Teil eines Kontinuums
2. E En diskrete Eigenwerte
- allgemeiner Fall- beides vorhanden !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
E − Kontinuum
En diskrete Werte
4.3. UBERGANG ZUR ZEITUNABHANGIGEN SCHRODINGER-GLEICHUNG 43 Zu jedem Eigenwert E gibt es eine Losung der zeitabhangigen Schrodinger-Gleichung ψEr t
der Form
ψEr t ψ
r E exp
iE t (4.19)
– Die zeitliche Evolution des Zustandes besteht in einer einfachen Multiplikation des Pha-senfaktors exp
i E t – zeitunabhangig GψE
r t G 2 Gψ r E G 2 (4.20) Auf Grund der Linearitat der Schrodinger-Gleichung gilt, dass die Uberlagerung
ψr t : ∑
nanψEn
r t ) dEa
E ψE
r t ∑
nψx En exp
iEn t p dEa
E ψ r E exp
iE t (4.21)
eine Losung der zeitabhangigen Schrodinger-Gleichung ist. Die Dynamik des Systems bestehtin den unterschiedlichen Phasenfaktoren exp
i E t . Es gilt dann z. B. Gψ r t G 2 > Gψ r G 2.
4.3.1 Beispiel fur diskretes Spektrum
Beispiel: unendlich hoher rechteckiger Potenzialkopf
V =
00 V =
00
x−a a
Abbildung 4.1: Skizze
Klassisch:
E T Vx . const J 1
2 p2x p2
y p2z ) V
x (4.22)
Wegen der Translationsinvarianz in y und z Richtung sind py und pz erhalten.
ε E 12m
p2
y p2z p2
x
2m V
x (4.23)
ε: Gesamtenergie der Bewegung in x Richtung
44 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG x Bewegung des Teilchens ist vollstandig im Bereich a x a eingeschrankt.
Quantenmechanisch:
Losung der zeitunabhangigen Schrodinger-Gleichung
Hψr E Eψ
r E A 2
2ml ∂2
∂x2 ∂2
∂y2 ∂2
∂z2 n Vx \ ψ
r E Eψ
r E (4.24)
Das Potenzial ist von y und x unabhangig. ebene Welle in dieser Richtung erhalten
ψr E ψ
x exp
ikyy ikz (4.25)
Eingesetzt in die zeitunabhangige Schrodinger-GleichungA 2
2ml ∂2
∂x2 ky2 k2z n V
x \ ψ
x exp
ikyy ikzz Eψ
x exp
ikyy ikzz (4.26)
4.3.2 Allgemeines Prinzip zur Erzeugung der Wellengleichung
1. Nimm Jordansche Regeln p p i ∇
E E i ∂∂t
2. Nimm die klassische Energie-Impulsbeziehung
E p2
2m V
r t nichtrelativistische Teilchen
3. Ersetze in der Energie-Impulsbeziehung die Skalare durch Operatoren und wende die Operato-ren auf die Wellenfunktionen an i ∂
∂t 2
2m∆ V
r t $ ψ r t
Andere Beispiele:
Photonen n0 0E G p G c oder E2 p2c2 (4.27) ∆ 1
c2
∂2
∂t2 ψ r t . 0 Wellengleichung fur die Komponenten vonE und
B (4.28)
relativistische massebehaftete Teilchen
4.4. WAHRSCHEINLICHKEITSSTROM 45
E2 m20c4 p2c2 (4.29) l ∆ 1
c2
∂2
∂t2 n ψ m0c2 2 ψ (4.30)
Klein-Gordon-Gleichung fur spinlose Teilchen (z. B. Mesonen)
Andere Moglichkeit: Diverse Gleichungen zur relativistischen Beschreibung von Spin 12 -Teilchen
(Elektronen) = Dirac-Gleichung.
4.4 Wahrscheinlichkeitsstrom
Wahrscheinlichkeitsinterpretation von ψ ψ wird durch folgende Uberlegung erklart:
die Schrodinger-Gleichung lautet
i ∂ψ∂t % 2
2m∆ V
r & ψ
r t (4.31)
Multiplikation von links mit ψ i ψ r t ∂ψ r t
∂t ψ % 2
2m∆ V
r & ψ
r t (4.32)
Die Komplex-Konjugierte der Schrodinger-Gleichung ist i ∂ψ ∂t
% 2
2m∆ V
r & ψ r t (4.33)
von links mit ψr t multipliziert, i ψ
r t ∂ψ
∂t ψ % 2
2m∆ V
r & ψ r t (4.34)
Gleichung 4.32 - Gleichung 4.34
i % ψ r t ∂∂t
ψr t ) ψ
r t ∂
∂tψ r t & (4.35) 2
2mψ ∆ψ
r t ψ∆ψ r t $ (4.36) 2
2m
∇ ψ ∇ψ ψ
∇ψ (4.37) ∂
∂tψ r t ψ r t $ ∇
2im
∇ ψ ∇ψ ψ ∇ψ (4.38)
Es existiert eine Kontiunitatsgleichung.8 ∂∂t
ρr t 9
∇j
ρr t 9 ψ r t ψ r t (4.39)
46 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG
Wahrscheinlichkeitsdichte = “Dichte” gemessene Teilchendichte,
j 2im
ψ ∇ψ ψ ∇ψ (4.40)
interpretierbar wegen der Kontiunitatsgleichung. = Wahrscheinlichkeitsstromdichte
N d3rρr t Normintegral (4.41)
In Ubungen∂N∂t d3r
∂∂t
ρr t 0 N > N
t (4.42)
Bedingung:
ψB
r 0 0 ψ Br 0 0
“Naturliche” Bedingung fur eine “zugelassene” Wellenfunktion mit
N d3rρr t ∞ (4.43) Fur zugelassene Wellenfunktionen ist das Normintegral eine Konstante und ψ
r t wird so gewahlt,
dass1 d3rρ
r t (4.44)
Zugelassene Wellenfunktionen im 1d Fall bisher behandelt
1. diskretes Spektrum in ∞-hohen Rechteckst... ψ G x G J a 0
2. diskretes Spektrum ε 0 endlich hohe Potenzialtopf ψ ∝ exp κ G x G
3. Wellenpakete, z. B. Gauß sches Wellenpaket aus Kontinuumswellenfunktionen
Nichtzugelassene Zustande
1. Streuzustande = Eigenfunktionen fur ε J 0 endlich hoher Potenzialtopf, Potenzialbarriere je-doch Gψ x ∞ t G ∞ k ∞ Sonderrolle (uneigentliche Basisfunktion des Hilbertraumes).
2. Fur G x G ∞ exponentielle divergierende Losungen der Schrodinger-Gleichung in endlich ho-hem Potenzialtopf fur ε 0. In jedem Fall ausgeschlossen diskretes Spektrum.
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE 47
4.5 Eindimensionale Beispiele
4.5.1 Eindimensionaler unendlich hoher Potenzialkasten
V =
00 V =
00
x
Abbildung 4.2: Eindimensionaler Potenzialkasten
zeitunabhangige Schrodinger-GleichungA 2
2m∆ V
x E \ ψ
r E 0 (4.45)
Ansatz:ψr E ψ
x exp
ikyy kizz (4.46) Effektiv 1d-Problem A ~ 2
2md2
dx2 Vx ε \ ψ
x q 0
ε E 2
2m
k2
y k2z (4.47)
Losungen
1. Außenraum G x G J 0 ψx I 0
2. Innenraum G x G 0 Losung der Dgl. % 2
2md2
dx2 ε & ψx q 0 ψ 2mε 2 ψ 0 (4.48)
Vergleiche mit Dgl. fur den klassischen harmonischen Oszillator (formal) mit der Federkonstante D.
x Dm
x 0 xt Asin
ωt δ ω i D
m(4.49) Ansatz fur ψ
ψ Asinkx δ k i 2mε 2 (4.50)
Zusatzlich: Berucksichtigung der Randbedingungen
ψa I ψ
a . 0 (4.51)
48 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG
Eigenfunktion
n = 2
a− a
n = 1 n = 3
Abbildung 4.3: Eigenfunktion
ψn An sin n π2a
x a $ An sin nπ
2ax nπ
2
k kn nπ2a nπ
L2a L : Breite
δ δn nπ2
ε 2k2
2mε En 2
2mk2
n 2
2m
πL 2n2 (4.52)
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE 49
Vollstandig diskretes Spektra
Losungen der zeitabhangigenSchrodinger-Gleichung
E3 n = 3
E2 n = 2
E1 n = 1
ψEn
r t ψ
x En exp
i En t “stationare Zustande”, denn
ρ Gψ x En G 2 GAn G 2 sin2 nπL
x a $
Quantisierung der stationaren Zustande
Berechnung der Normierungskonstanten
1 dxρx GAn G 2 a a
dx sin2 nπ2a
x a $ "Z
12 L
An H 2L
ψx En i 2
Lsin πn
L
x a
En 2m D π
L E 2n2
Eigenfunktion und Eigenwerte
Quantenmechanische Nullpunktsenergie
E1 2
2m D πL E 2 Grundzustandsenergie (4.53)
Betrachte dreidimensionales ∞ Kastenpotenzial
V ^____` ____a ∞ fur
^` aG x G J aG y G J aG z G J a
0 sonst
50 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG
Ubungen:
ψx E . ψ
r Enx ny nz
vollstandig reell wahlbar
Enx ny nz 2
2m D πa E 2
n2x n2
y n2z (4.54)
nx ny nz 1 2 3 BBVollstandig diskretes Energiespektrum
= im Einschlusspotenzial gebundene Zustande
= extrem vereinfachtes Modell fur diskretes Termschema im H-Atom wird eingehender diskutiert.
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE 51
4.5.2 Potenzialbarriere - Tunneleffekt
Rastertunnelmikroskop
Nobelpreis 1986
Konstanthaltung des Tunnelstromes durch Nachfuehrung der Spitze:
Abbildung 4.4: Rastertunnelmikroskop 1
52 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG
Atomare Aufloeesung: Einzelnes Dotieratom auf Halbleiteroberflaeche
Potentiallandschaft fuer den Tunnelvorgang:
Abbildung 4.5: Atomare Auflosung und Potenziallandschaft
Idealisierung der Potenziallandschaft: rechteckige Potenzialbarierre der Hohe V0.
Reduktion auf 1d-Problem
ψr E ψ
x exp
ikyy ikzz
E ε 2
2m
k2
y k2z A 2
2md2
dx2 Vx ε \ ψ
x : 0 (4.55)
ε: Energie der Bewegung in x Richtung
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE 53
t e ikx
r −e ikx
eikx
einlaufendA
x−a a
V0
z
Abbildung 4.6: Skizze Idealisierung der Potenziallandschaft
Fur x a Vx I 0 freies TeilchenA 2
2m∂2
∂x2 ε \ ψx a 0 (4.56)
Differentialgleichung 2. Ordnung 2-Losungen
ψx q Aexp
ikx ) Bexp
ikx ε 2
2mk2 k j 2mε (4.57)
Interpretation der Losung der zeitabhangigen Schrodinger-Gleichung
ψx a t = ψ
x exp
i E t Aexpikx iωt "Z + Bexp
ikx iωt "Z k J 0 einlaufende Welle, k 0 auslaufende Welle,Punkte gleicher Phase Punkte gleicher Phasebewegen sich in positive bewegen sich in negativex-Richtung x-Richtung“nach rechts laufender “nach links laufenderZustand” Zustand”
Fur x J a A 2
2md2
dx2 ε \ ψx J a ε : 0 ψx J a 9 C exp
ikx g 0exp
ikx (4.58)
Wir konnen Losungen der zeitunabhangigen Schrodinger-Gleichung der Form
A 1 C t
B r D 0
54 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG
finden. (von links einlaufender) Streuzustand.
Stuckelung der Wellenfunktion
Setze voraus ε V0 klassisch ist keine Bewegung von der linken Seite
uber die Barriere hinweg auf die rechte Seite erlaubt.
Quantenmechanisch G ε G > 0 Tunneleffekt, es gibt eine auf der rechten Seite aus-laufende Welle Messung des Stromes durch dieTunnelspitze.
Wellenfunktion zwischen a und aA 2
2md2
dx2 V0 ε \ ψ G x G a ε 0 (4.59)
Entscheidender Unterschied zwischen den vorher genannten Fakten
V0 ε J 0 weil V0 J ε (4.60)
Daher keine oszillierende Wellenfunktion, wie expikx , sondern eine exponentiell wachsende oder
fallende Wellenfunktion.
ψ G x G a ε : a exp
κx g b exp
κx (4.61)
κ F 2mV0 ε (4.62)
eikx
eikxt
et ikx−
Abbildung 4.7: Schematische Darstellung
Insgesamt: x a
ψx ε I exp
ikx g r exp
ikx (4.63) a x aψx ε . a exp
κx ) b exp
κx (4.64)
x X aψx ε . t exp
ikx (4.65)
Bestimmung der vier unbekannten Koeffizienten rk a k b k t k , durch je zwei Kontinuitatsglei-
chungen bei a und bei a.
Kontinuitat der Wellenfunktion bei x a
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE 55
1.exp
ika g r expika a exp
κa p b expκa (4.66)
Kontinuitat der Ableitung der Wellenfunktion bei x a
ψ x a ε : ik expikx * r exp
ikx ( (4.67)
ψ G x G a ε : κ aexpκx * bexp
κx $ (4.68)
sodass, fur x C a
2.ik exp
ika r expika (g κ aexp
κa bexp κa ( (4.69)
Ubungen: Leite die beiden entsprechenden Gleichungen bei x a ab und zeige, dass
T 1
1 sin 2 c kL e4 E
V0c 1 E
V0e + G t k G 2 (4.70) Fur jedes ε J 0 ε R gibt es zwei Losungen (links einfallende und rechts einfallende) ε Kontinuum Wellenenfunktionen sind nicht normierbar
dx Gψ x E G ∞ (4.71) Wellenfunktionen sind komplex, konnen nicht reell gewahlt werden
4.5.3 Rechteckiger endlich hoher Potenzialkasten
− V0
−a a
(a) (b)
2. Fall
ε
ε
1. Fall
(c)
Abbildung 4.8: Skizze rechteckiger hoher Potenzialkasten
Fur ε J 0 kontinuierliches Spektrum
56 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG
1. linkseinfallender Streuzustand ψL
(a) x a
ψL x ε . expikx ) rL exp
ikx k j 2mε (4.72)
(b) a x a
ψL x ε I aL expikx g aLbL exp
ikx κ F 2mε V0 (4.73)+ k
V0
(c)ψL x ε tL exp
ikx (4.74)
2. rechtseinfallender Streuzustand ψR
(a) x J a
ψR x ε . exp ikx g rR exp
ikx k j 2mε (4.75)
(b) a x aψR x ε . aR exp
iκx ) bR expiκx (4.76)
(c) x a
ψR x ε q tR exp ikx (4.77) A 2
2md2
dx2 Vx ε \ ψ
x ε (4.78)
ist lineare Dgl. 2-ter Ordnung, zwei linear unabhangige Losungen.
ψL x ε ψR x ε ψ AψL x ε p BψR x ε (4.79)
3. Was passiert fur ε 0 ?
(a) x a
ψx ε I Aexp
κx g Bexp
κx κ F 2m G ε G F 2m G ε G (4.80) ikV0 0
(b) a x a
ψx ε . aexp
iκx g bexp
iκx κ F 2mV0 ε (4.81)
(c) x J aψx ε . C exp
κx ) Bexp
κx (4.82)
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE 57
Wichtig: Die Wellenfunktion darf fur x ∞ nicht divergieren nicht alle Losungen der Dgl. 2. Ordnung sind als Wellenfunktion akzeptabel Bedingung B 0 und C 0Setze A 1 = Normierungskoeffizient (Linearitat) 1. x aψx ε . exp
κx
2. a x aψx ε . aexp
iκx g bexp
iκx 3. x J 0
ψx ε . Bexp
κx Durch Stuckelung erhalt man vier Gleichungen mit drei Unbekannten.
58 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG
Ubung: Losung nur bei bestimmten Energien.
ε < 0 diskretes Spektrum
reel wählbar
V 2−fach entartet, Streufunktionen
x
− V0
Abbildung 4.9:
Beispiel: Comptoneffekt, Ubergang von diskretem Zustand in das Kontinuum
Abbildung 4.10:
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE 59
Allgemeines 1d-Potenzial endlicher Reichweite
quasigebundeneZustände
Kontinuum
< Diskretes Spektrumε
V (|x| > d) = 0
Abbildung 4.11:
quasigebundener Zustand = zerfallende Zustande
z. B. α-Zustand Schrodinger-Gleichung kann viele physikalische Probleme beschreiben, nicht klaren.
Verallgemeinbar auf allgemeines 3d-Potenzial mit endlicher Reichweite.
60 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG
Teil II
Mathematische Formulierung imHilbertraum
61
Kapitel 5
Der Raum der Wellenfunktion einesTeilchens
5.1 Linearer Raum V (Vektorraum)
Gegeben - Menge von Elementen (“Vektoren”) - ψφχ BBMenge von Skalaren a b c BB
- Regeln fur (a) Vektoraddition ψ φ(b) skalare Multiplikation aψ
(a) Vektoraddition: Eingenschaften einer Abelschen Gruppe ψ V φ V ψ φ V Kommutativitatψ φ φ ψ Assoziativiat
ψ φ ) X ψ φ χ Nullelement0 ψ ψ 0 Inverselementψ ψ 0
(b) Multiplikation ψ V φ V aψ bφ V Distributitataψ φ aψ aφ Assoziativitatabψ I abψ Einselement1 ψ ψ
63
64 KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS
5.2 Hilbertraum H
Gegeben - Menge von Vektoren - ψ φ χMenge von Skalaren
(a) H ist ein linearer Vektorraum
(b) H hat ein definiertes Skalarproduktψ φ das eine komplexe Zahl ist. Hermitizitat
ψ φ . φ ψ Linearitat ψ aφ1 bφ2 a
ψ φ1 ) b
ψ φ2 Positivitat der Norm
ψ ψ +¢¡ ψ ¡ 2 X 0
Anmerkungen -ψ φ . 0 Vektoren ψ und φ sind orthogonal.
H ist separabel
In jeder beliebigen Folge existiert eine konvergente Teilfolge. Es gibt eine Cauchy-Folge ψn, sodassfur jedes ψ H und ε J 0 ein ψn gilt mit ¡ ψ ψn
¡ ε (5.1)
(Jedes Element von H kann als Grenzwert einer Cauchy-Folge von Elementen aus H dargestellt wer-den £ Entwicklung von ψ in einer Basis.)
Cauchy-Folge ψn
limk l ¤ ∞
¡ ψk ψl¡ 0 (5.2)
H ist vollstandig
Jede Cauchy-Folge von Elementen ψn H konvergiert zu einem Element in H . D. h., es gilt
limn m ¤ ∞
¡ ψn ψm¡ 0 (5.3)
dann gibt es einen eindeutigen Grenzwert ψ H mit
limn ¤ ∞
¡ ψ ψn¡ 0 (5.4)
5.3. ZUORDNUNG DER PHYSIKALISCHEN ZUSTANDE ZUM HILBERTRAUM 65
5.3 Zuordnung der physikalischen Zustande zum Hilbertraum
Der Raum der quadratintegrablen Funktionen ist ein Hilbertraum.
3d H r ψ : IR3 C G d3r G ψ r G 2 ∞ t (5.5)
1d H r ψ : IR C G dx G ψ x G 2 dx ∞ t (5.6)
Auf der anderen Seite gilt fur einen quantenmechanische Zustand¡ ψx ¡ ¥% d3x G ψ x G2 & 1
2 1 (5.7)
und nicht nur ¡ ψ ¡ ∞. Im Allgemeinen gilt¡ ψ1¡ 1 ¡ ψ2
¡ 1 ¡ αψ1 βψ2¡ > 1 (5.8)
Fragestellung: Physikalische Zustande bilden also keinen Hilbertraum?
Losung: Physikalische Zustande erzeugen eine Aquivalenzklasse ψ mit
ψ Cr φ G φ / ψ t¦ (5.9)
wobei die Aquivalenzrelation / bedeutet
φ / ψ | φ λψ mit λ C λ > 0 (5.10)
Die Elemente von ψ sind physikalisch aquivalent. Alle Aquivalenzklassen ψ bilden den Hilbertraum H der quadratintegrierbaren Funktionen.
5.3.1 Vollstandige Funktionssysteme
Geeignete Mengen von Vektoren bilden die Basis des Hilbert-Raumes. Sei r un H t ein Orthogonal-system:
un um δn m. Dieses System ist eine Basis,§
ψ H gilt ψ ∑n
cnun (5.11)
mit geeigneten Koeffizienten cn un G ψ ∑
n ¨ cn ¨ δn © n ¨ Z "un un ¨ cn (5.12)
Betrachte den Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen in einer Dimension
un unx
ψ ψx
un ψ ∞ ∞
dxu n x ψ x
66 KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS
dann erhalten wir
ψx q ∑
ncnun
x . ∑
n
∞ ∞
dyu n y ψ y B unx (5.13) ∞ ∞
dy ∑n
u n y unx "Z
δ c x y e ψy (5.14) ∑
nu n y un
x 9 δ
x y (5.15)
“Zerlegung der 1”
und ψx q ∞ ∞
dyδx y ψ y (5.16)
δx y wird in der Umgangssprache als Dirac sche Delta-Funktion bezeichnet. Korrektur: verallge-
meinerte Funktion, Veranschaulichung durch Folge von einfachen Funktionen.
z. B. Lorenz-Kurven
δx x0 1
πlimε ¤ 0
εx x0 2 ε2 lim
ε ¤ 0Fεx x0 (5.17)
ε2
ε3
ε4
ε1
= lim0
F (x − x 0 )ε ε
ε1 ε2
ε3
ε4> > >
Fε (x)
x
5.3. ZUORDNUNG DER PHYSIKALISCHEN ZUSTANDE ZUM HILBERTRAUM 67
∞ ∞
Fεx dx ∞ ∞
dxε
x2 ε2 1 ∞ ∞
dxδx (5.18)
Fε 1ε
(5.19) limε ¤ 0
Fεx : ^` a 1
ε ∞ x 0
∞ sonst(5.20)
keine “normale” Funktion
In drei Dimensionen lautet die Zerlegung der 1
∑n
unr1 u n r2 δ
r1 r2 (5.21)
mitψr1 d3r2δ
r1 r2 ψ r2 (5.22)
Betrachte Fouriertrafo in 1d. Wir konnen fur jede quadratintegrable Funktion schreiben
ψx q
dkj 2πψk exp
ikx (5.23)+
dkj 2πψ uk
x (5.24)
ψk ist auch quadratintegrierbar und sieht aus, wie eine Entwicklung nach einer Basis uk
x .
ukx ist jedoch nicht quadratintegrierbar uneigentliche Basis des Hilbertraumes.
68 KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS
5.3.2 Entwicklung von Zustanden in Basisfunktionen
Wiederholung Physikalischer Zustand ˆ Vektor im Hilbertraum H normiertGfGψ GfG ψ ψ . 1 3. Axiom fur Hilbertraum, Separabilitat von H
“Es existiert eine Candy-Folge ψn Hn 1 2 BBf , so dass fur jedes ψ H und ε J 0 wenig-
stens ein ψn der Folge existiert fur das GfGψ ψn GfG ε“
Man sagt: Die Folge ψnliegt dicht im H
Umformulierung fur Physiker
Skript Analysis V, Vorlesung: Prof. F. Sauvigny, Kapitel XIV “Lineare Operatoren im Hilbertraum”,S. 118, Satz 5
“Sei H ein separabler Hilbertraum, dann gibt es ein vollstandiges Orthonormalsystem r un t n 1 2 H ”
Orthonormalsystem: un um δn m (5.25)
Vollstandigkeit:
ψ ∞
∑n 1
Cnun§
ψ H (5.26)
mitCn un ψ (5.27)
im Sinne des Verschwindens der Norm
limN ¤ ∞ GfGψ N
∑n 1
Cnun GfG 0 (5.28)
Beweis:
Konstruktion der un aus den ψn durch Schmidt sches Orthonormalisierungsverfahren.
Wichtiger Spezialeffekt
M H ist linearer Teilraum des Hilbertraumes H , falls fur beliebiges f g M und α β C
α f βg M Dimension des Teilraums n = Anzahl der linear unabhangigen Element
n ∞ Teilraum wird auch als unitarer Raum bezeichnet.
5.3. ZUORDNUNG DER PHYSIKALISCHEN ZUSTANDE ZUM HILBERTRAUM 69
Unitarer Raum
Ein unitarer Raum M besitzt eine orthonormale Basis r ϕi BB ϕn t¦ n dimH mit der Eigenschaft
f n
∑l 1
ϕk f ϕk
§f M (5.29)
Beispiel:
Wellenfunktionen im ∞-hohen Potenzialkasten
ª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ª¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬
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− a ax
v
Abbildung 5.1:
M r ψ : R C Gψ G x G J a . 0 tC r ψ : R C G dx Gψ x G 2 ∞ t H
M ist ein unendlich dimenionaler Teilraum von H , denn Fourierreihe fur ψ M
ψx : ∞
∑n 1
an i 2L
sin knx a $ (5.30)
kn nπ2a
(5.31) ∞
∑n 1
anunx (5.32)
unx : i 2
Lsin kn
x a $ (5.33)
bilden vollstandiges Orthonormalsystem.
Orthonormalitat un um 9 ∞ ∞
unx um
x dx (5.34)
70 KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS 2L
a asin kn
x a $ sin km
x a $ (5.35) δm n (5.36)
Berechnung der Entwicklungskoeffizienten
an un ψ . i 2L
a a
dxsinknx ψ x (5.37)
Ortsdarstellung Vektor im Hilbertraum Vektor im RB
ψx Gψ -
rZustandsvektor
unx G n -
e j
Basisvektoren
u n x , n G e j
dualer Vektor dxu m x unx δm n , m G n - δm n
e j ei j δi jOrthonormalitat
ψx I ∑n anun
x Gψ - ∑n
, n Gψ - G n - x ∑m 1
¯en r en
Entwicklung
δx x ∑n un
x un
x 1 ∑n G n - , n G 1 ∑n
en ° en
03 1 0 00 1 00 1
57dyadisches Produkt
Basiswechsel
Gegeben sind zwei unterschiedliche vollstandige Orthonormalsysteme r G n -±t und r G m -±t mit
1 N
∑n 1 G n - , n G N
∑m 1 G m - , m - (5.38)
Der Einfachheit halber Annahme eines N-dimensionalen Teilraumes ( ˆ Standardannahme fur nume-rische Rechnungen, denn der Computer kann nicht mit unendlich vielen Basiselementen rechnen).G ψ - N
∑n 1 G n - , n G ψ -. N
∑n 1
an G n - (5.39)
5.3. ZUORDNUNG DER PHYSIKALISCHEN ZUSTANDE ZUM HILBERTRAUM 71
In der n-Darstellung ist der Zustandsvektor G ψ - ein N-komponentiger Spaltenvektor
a 023 a1...
aN
5!67 Der zu G ψ - duale (oder auch adjungierte) Vektor wird gebildet durch, ψ G N
∑n
, ψ G n - , n G N
∑n
, n G ψ - , n G (5.40) N
∑n
a n , n G (5.41) N-komponentige Zeilenvektor a ² a 1 a 2 BBB a N .Wir finden dann
1 , ψ G ψ -9 N
∑n
, ψ G n - , n G ψ - (5.42) N
∑n G an G 2 (5.43)
In der m-Darstellung ist G ψ - ein Spaltenvektor
b 023 b1...
bN
5!67 03 , m 1 G ψ -, m M G ψ -57
ψ ∑m G m - , m G ψ - "!
bm
∑mn G n - , n G m - bm Z ", m G ψ - "Z
an
(5.44) an Unmbm (5.45)
U N ³ N Matrix mit Unm , n G m - (5.46)
023 a1...
aN
5!67 023 U11 U1i U1N...
......
UN1 UNi UNN
5!67 023 b1...
bN
5!67 Die i-te Spalte beinhaltet den i-ten Basisvektor des Orthogonalsystems r G m -±t in der Basis G n - .U ist eine unitare Matrix.D. h.
U d U 1 8 U d U 1 U 1 inverse Matrix (5.47)
wobei,U d mn U nm (5.48)
72 KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS
Andere Basissysteme
Der Operator
Hop L
2m∆ V
r (5.49)
definiert uber seine Eigenwertgleichung
HopUnx . Enun
x (5.50)
das vollstandige Orthonormalsystem r unx ±t . Von zentraler Bedeutung sind fur die Quantenmechanik
auch der Impulsoperator in Ortdarstellung pop C i ∇ (5.51)
und der Ortsoperatorrop r (5.52)
Auch diese Operatoren erzeugen ein vollstandiges Orthonormalsystem
1. Impulsoperator pop exp
ikr j 2π
i ∇exp
ikr j 2π pexp
ikr j 2π
(5.53)
Fur ebene Wellen gilt das Fourierintegral fur alle normierbaren Wellenfunktionen
ψr 1j 2π
d3kψ
k exp
ikr ´ (5.54)
Die Eigenfunktionen des Impulsoperators bilden ein kontinuierliches (uberabzahlbares) undnicht normierbares Funktionssystem. Normierung auf δ-Funktionl 1
2π n 32
d3r exp ik r exp
ikr δ
k k (5.55)
dann folgt nach linksseitiger Multiplikation von (5.54) mit exp c iµk µr e¶2π3 und Integration d3r die
Berechnung der Entwicklungskoeffizienten:l 1j 2π n 3 d3r exp
ik r ψ r 9 l 1
2π n 3 "! d3r u"Zu d3k ψ k exp
ikr exp
ik r "Z
δ c k k e ¨ (5.56) d3k ψ k δ k k ψ
k (5.57)
Vollstandigkeitsrelation
5.3. ZUORDNUNG DER PHYSIKALISCHEN ZUSTANDE ZUM HILBERTRAUM 73
Setze (5.57) in (5.54) ein
ψr : l 1
2π n 3 d3r d3k exp
ikr exp
ikr · ψ r f (5.58) δ
r r ¸: l 1
2π n 3 d3k exp
ikr r ·B (5.59)
2. Ortoperator
Die Eigenvektoren G r - des Ortsoperators lassen sich im Ortsraum nur formal durch Funktionaledarstellen
δr r0 δ
x x0 δ y y0 δ z z0 (5.60)
r0 x0 y0 z0 sind die kontinuierlichen Eigenwerte des Vektoroperatorsropδ
r r0 rδ
r r0 r0δ
r r0 (5.61)
Zeigen durch Anwendung von Testfunktionend3r f
r rδ
r r0 r0 f
r0 r0
d3r f
r (5.62)
Ortdarstellung des abstrakten Vektors G ψ - ˆ Projektion auf G r - .ψr , r G ψ - (5.63)
Ortdarstellung des Impulsvektors G p -, r G p - 1j 2πexp
ikr p k (5.64)
Ortdarstellung des Energievektors G n - , r G n - unr (5.65)
Die Ausdrucke , r G p - und , r G n - sind die Skalarprodukte der Eigenvektoren von je zwei unter-schiedlichen Basissystemen., r G p - ˆ unitare Matrix zum Ubergang der
p-Darstellung in
r-
Darstellung.
ψr . 1j 2π
d3r exp
irk ψ k (5.66)
74 KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS
Kapitel 6
Operatoren im Hilbertraum
Ein Operator O im Hilbertraum ordnet einen Ket-Vektor G ψ - einem Ket-Vektor G ψ - zu
1 ¹ G ψ - 1 ¹ O1 ¹ G ψ - (6.1)
und ein Bra-Vektor , ϕ G ein Bra-Vektor , ϕ G , ϕ G , ϕ G O6.1 Darstellung eines linearen Operators durch Matrizen
Ein linearer Operator hat die Eigenschaften
O a G ψ1 -) b G ψ2 -$g aO G ψ1 -) bO G ψ2 - (6.2)
und , ψ1 G a , ψ2 G b O a , ψ1 G O b , ψ2 G O (6.3)
Die in der Quantenmechanik vorkommenden Operatoren sind in der Regel linear. Wir setzen einVONS r , ϕn G t voraus und setzen die vollstandige 1 in Gleichung (6.1) in den markierten Stellen ein.Wir erhalten auf Grund der Linearitat von O
∑n G ϕn - , ϕn G ϕ "Z
bn
- ∑nn ¨ , ϕn G O G ϕn ¨ "!
Onn ¨ - , ϕn ¨ G ϕ "! an ¨ - (6.4)
Fur die Entwicklungskoeffizienten ergibt sich eine zu 6.1 aquivalente Matrizengleichungb O
a
wobei die Vektorena und
b gegeben sind durch
a an , ϕn G ϕ -B b bn , ϕn G ϕ -B (6.5)
und die Matrix
O Onn ¨ , n G O G n ·-B 0223 O11 O12 O13 BBO21 O22 O23 BBO31 O32 O33 BBBB BB BB BB (6.6)
75
76 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERTRAUM
Die Operatoren lassen sich also durch unendlich-dimensionale Matrizen darstellen. DarstellungsfreieReprasentation des Operators
O ∑nn ¨ G ϕn - , ϕn G O G ϕn ¨ - , ϕn ¨ G (6.7)
Analog G ψ - ∑n
, ϕn G ϕ - , ϕn G (6.8)
Anmerkung zur darstellungsfreien Representation des Operators
darstellungsfrei:
Die Basisvektoren G ϕn - sind als abstrakte Hilbertraumelemente ausgedruckt und nicht als N-Tupel ineiner konkreten Basis.
Analogie zu einer linearen Abbildung A im reellen R3 mit
y Ax x und y R3 Koordinatenfreie Darstellung von x
x 3
∑i 1
xiei ei : orthonormierte Einheitsvektoren (6.9)x 03 x1
x2
x3
57 Darstellung des Vektors x im System der ei (6.10)
Operator im Hilbertraum H Abbildung im reelen R3
Koordinatenfreie Darstellung O ∑nn ¨ Onn ¨ G ϕn - , ϕn ¨ G A 3
∑i j
Ai jei ° e j "Z
Dyadisches ProduktBasis r , ϕn G t r e1 e2 e3 tDarstellung Onn ¨ : unendlich-dimensionale
MatrixAi j 3 x 3 Matrix
6.2 Adjungierter Operator
Betrachte zunachst den Bra-VektorG ψ - ∑n
an G ψn - Darstellungº a u"Zu
Spalten
an , ψn G ψ -B (6.11)
Das Ket , ψ G ist der zu G ψ - adjungierte Vektor, , ψ G G ψ - dG ψ - d , ψ G ∑n
a n , ψn GDarstellungº a T u"Zu
Zeilenvektor
a dn (6.12)
6.3. HERMITESCHER (SELBSTADJUNGIERTER) OPERATOR 77
T : transponiert
Es gilt dann, ψ G ψ - ∑n G an G 2Darstellungº
a T a ∑n G an G 2 a 1 BB a N 023 a1
...aN
5!67 ∑n G an G 2 (6.13)
Anschauliche Definition des zu O adjungierten Operators O d uber seine Darstellung
Oº O 0223 O11 O12 O13 BB
O21 O22 O23 BBO31 O32 O33 BBBB BB BB BB (6.14)
O d º O T 0223 O 11 O 12 O 13 BBO 21 O 22 O 23 BBO 31 O 32 O 33 BBBB BB BB BB (6.15)
Von der allgemeinen Matrizenrechnung abgeleitete Regeln (Ubung)O d d O
O1O2 d O d2 O d1O G ψ -B d , ψ G O d
Wendet man Regel 3 auf O d G ϕ -$ d an, erhalt man, ϕ G O G ψ -. , O d ϕ G ψ - § G ϕ - G ψ -» H (6.16) Definition von O d ohne Darstellung wichtig!
6.3 Hermitescher (selbstadjungierter) Operator
Definition: Ein Operator ist genau dann hermitesch, wenn gilt
O O d selbstadjungiert (6.17)
oder aquivalent , ϕ G O G ψ - , Oϕ G ψ - (6.18)
Diese Operatoren sind von zentraler Wichtigkeit fur die Formulierung der Quantenmechanik.
78 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERTRAUM
Kapitel 7
Allgemeine Postulate derQuantenmechanik
P1: Zustand eines SystemsDer Zustand eines Systems ist zu jedem Zeitpunkt durch einen Zustandsvektor G ψ t B- im Hil-bertraum spezifiziert. G ψ t B- enthalt alle zuganglichen Informationen uber das System.
P2: Zu jeder physikalischen Messgroße A (Observable) gehort ein Hermitescher Operator.
Konstruktion: Klassisch ist jeder Observablen eine Funktion Fr p zugeordnet.
Fr p ^__` __a µp2
2m Vr 9 E
Zp r Energie
p Impulsr Ortl r ³ p Drehimpuls
Quantenmechanisch wird in dieser Funktion durch Einsetzen des Quantenmechanik-Operators einOperator.
Klassisch Quantenmechanik
Impulsp
p
Ortr ˆr
Energie µp2
2m Vr µp2
2m V ˆr
Drehimpulsrxp ˆr ³ p
Uberkomponenten definiert
Wie ist die Funktion eines Operators a definiert?
79
80 KAPITEL 7. ALLGEMEINE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK
Fa . ∑
n
1n!w ∂t
∂a n 2 ¼¼¼¼¼ a 0
an F a ∑n
1n!w ∂F
∂a n 2 ¼¼¼¼¼ a 0
an (7.1)
Hermizitat des Ortsoperators in einem Ortsoperator x xϕ G ψdx
xnϕ
x B ψ x dx ϕ x xnψ
x B dx
ϕ xnψdx (7.2)
7.1. ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN HERMITISCHER OPERATOREN UND DER MESSPROZESS81
7.1 Allgemeine Eigenschaften hermitischer Operatoren und der Meß-prozess
Ein hermitischer Operator A hat reelle Eigenwerte an. Die Eigenvektoren G ψn - konnen so gewahltwerden, dass sie ein vollstandiges Orthonormalsystem bilden (Ubungen).G ψ - ∑
nWn G ψn - ;Wn , ψn G ψ - (7.3)
Mit den Elementen G ψn - kann der Operator dargestellt werden als
A ∑mn
, ψm G A G ψn - G ψm - , ψn G (7.4) ∑mn
an, ψm G ψn - G ψm - , ψn G (7.5) ∑
nan G ψn - , ψn G + ∑
nanPn (7.6)
Pn G ψn - , ψn G Projektionsoperator auf , ψn G (7.7)
Allgemeine Definition eines Projektoperators P
P d P
P2 P
Postulat 3: Messung und Eigenwerte eines Operators
Das einzig mogliche Ergebnis einer Messung der Observablen A am Zustandsvektor G ψ t B- sind diereellen Eigenwerte an von A. Wenn das Resultat einer Messung von A der Wert an ist, dann ist derZustand des Systems unmittelbar nach der Messung gegeben durch die Projektion von G ψ t B- auf denEigenvektor G ψn - . G ψ - nach G ψn - , ψn G ψ t B- Wn
t G ψn - (7.8)
Postulat 4: Statistisches Resultat von Messungen
Wenn eine Observable A eines Systems im Zustand G ψ - gemessen wird, ist die Wahrscheinlichkeit,einen der nichtentarteten Eigenwerte an des entsprechenden Operators A zu erhalten, gegeben durch
Pnan G , ψn G ψ - G 2 G Wn G 2 (7.9)
Bei einer m-fachen Entartung des Eigenwertes an wird die Wahrscheinlichkeit gegeben durch
Pnan m
∑j 1 G , ψ j
n G ψ - G 2 m
∑j 1 G W j
n G 2 (7.10)
Messung einer Observablen an einer Gesamtheit von Einzelsystemen. Einzelsysteme ohne gegensei-tige Wechselwirkung, vor Messung Zustand G ψ - Erwartungswert A der Observablen A im ZustandG ψ -
A ∑n
anPnan ∑
n G , ψn G ψ - G 2 (7.11) ∑n
an, ψ G ψn - , ψn G ψ - , ψ G A G ψ - (7.12)
82 KAPITEL 7. ALLGEMEINE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK
Postulat 4 fur kontinuierliche Spektren
A G a - a G a - a R Eigenwert zu G a - (7.13)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte bei einer Messung von A hat einen Wert zwischen a und a da. Wirfinden, wenn der Ausgangszustand G ψ - ist.
dPa
da G ψ a G 2 G , a G ψ - G 2 (7.14)
a da a
dPa
da da a G ψ a G 2 (7.15)
da a , ψ G a - , a G ψ -. , ψ G A G ψ - (7.16)
mit A da a G a - , a G (7.17)
Beispiel 1:
Ortsoperator in 1d A x a x
dPx
dx G ψ x G 2 G , x G ψ - G 2 (7.18)
x dx x G ψ x G 2 (7.19)
Impulsoperator in 1d A p a p
p d pp G p - , p G (7.20)
dPp
d p G ψ p G 2 G , p G ψ - G 2 (7.21)
ψp : , p G ψ - dx , p G x - "Z c 1½
2πexp c ipx h( ee·¾ , x G ψ - "!
ψ c x e (7.22)
1j 2π
dxexp
ikx ψ x (7.23) Fouriertransformierte von ψx mit k p
p , ψ G p G ψ -. d p G ψ p G 2 p (7.24)
Beispiel: Gauß sches Wellenpaket
ψx t q 1j 2π
∞ ∞
dk expikx ωt B ψ k (7.25)
mit ψk l 2σ2
0
π n 14
exp σ2
0k k0 2 (7.26)
ψp t q 1j 2π
dx exp
ikx ψ x t k p (7.27)
7.1. ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN HERMITISCHER OPERATOREN UND DER MESSPROZESS83 1j 2π
dx exp
ikx 1j 2π
∞ ∞
dk expik x ω ψ k · (7.28) exp
iωt ∞ ∞
dk ψ k 12π
∞ ∞
dx expik k x "!
δ c k k ¨ e (7.29)
exp iωt ψ k (7.30) dP
p
d p G ψ p t G 2 G ψ k G 2 (7.31) l 2σ2
0
π n 12
exp l 2σ20 2
p p0 2 n (7.32)
p0= h k 0
dP (p)dp
p
Von Zeit abhangig!!
p d p pdPp
d p p0 (7.33)
Unscharfe
Diese Standardabweichung bei einer Messung der Observablen A am Zustand ψ mit , ψ G A G ψ - A
∆A + , ψ G A A 2 G ψ -$ 12 (7.34) , ψ G A2 2AA A2 G ψ -$ 1
2 (7.35) , ψ G A2 A2 G ψ -$ 12 (7.36)
mit , ψ G 2AA G ψ - 2A , ψ G A G ψ - (7.37) 2A2 Betrachte
A2 A2 G ψ -. 0 (7.38)
wenn G ψ - ein Eigenzustand von A ist, A G ψ - a G ψ - , dann ist A , ψ G A G ψ - a und damit
A2 A2 G ψ - 0 ∆ψ 0 (7.39) Schlussfolgerung geht in beide Richtungen:
Eine Messung ohne Unscharfe ∆A 0 geht nur dann, wenn das System in einem Eigenzustand d G a -des Operators A ist. Dann wird mit Sicherheit der Eigenwert a von G a - gemessen.
84 KAPITEL 7. ALLGEMEINE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK
7.2 Messung verschiedener Observabler
Betrachte zwei Observablen A und B, dann gilt folgende Unscharferelation∆A 2 ∆B 2 X 1
4 G , ψ G A B G ψ - G 2 (7.40)
wobei A B der Kommutator der Operatoren A und B ist, der definiert ist durch A B ) AB BA (7.41)
Beweis
a A A hermitesch
b B B hermitesch A B a b ∆A 2 , ψ G a2 G ψ -∆B 2 , ψ G b2 G ψ -
Aus der Schwarz schen Ungleichung folgt dann,∆A 2 ∆B 2 G , a2 - G , b2 - G G , aψ G aψ - G , bψ G bψ - G (7.42)¡ aψ ¡ 2 ¡ bψ ¡ 2 X G , aψ G bψ - G 2 (7.43)
Benutze
ab 12
ab ba "Z
γ
12 a b "Z
ε
(7.44)ab ba d b d a d a d b d ba ab ε (7.45)
Ubungen:
γ: hermitescher Operatorε: antihermitescher Operator
ε , ψ G ε G ψ - , εψ G ψ - , ψ G εψ - ε (7.46)
Erwartungswerte rein imaginarG , aψ G bψ - G 2 G , ψ G ab G ψ - G 2 (7.47) 14 G , ψ G γ G ψ "Z
reell
-) , ψ G ε G ψ - "Z imaginar
G 2 (7.48)
J 14 G , ψ G γ G ψ - "Z ¿
0G 2 1
4 G , ψ G ε G ψ - G 2 (7.49) ∆A 2 ∆B 2 X 1
4 G , ψ G A B G ψ - G 2 (7.50)
7.2. MESSUNG VERSCHIEDENER OBSERVABLER 85
1. Vertragliche Observable A B g 0
Zwei Operatoren A und B sind dann und nur dann miteinander vertauschbar (vertraglich), wennsie ein vollstandiges Orthogonalsystem gemeinsamer Eigenvektoren haben. Nimm Eigenbasisvon
A r G an -±t ∑n G an - , an G 1 , an G a n - δnn
A ∑n
an G an - , an G (7.51)
AB ∑nn ¨ an G an - , an G B G an ¨ - , an ¨ G (7.52)
BA ∑nn ¨ G an - , an G B G an ¨ - , an an ¨ . 0 (7.53)
AB BA 0 , an G B G an ¨ - an an ¨ 0 (7.54)
Keine Entartung:
an > an ¨ , an G B G an ¨ - 0 (7.55)§n À n ¨ §
n À n ¨ B G an ¨ - λ G an ¨ - (7.56)
d. h., die Eigenvektoren von A sind auch Eigenfunktionen von B unscharfefreie gleichzeiti-ge Messung von A und B: Systemzustand ist einer der gemeinsamen Eigenvektoren von A und B.
Bei Entartung:
Die Observablen A B C BB M bilden einen vollstandigen Satz von kommulierenden Observa-blen, wenn es genau ein System von Eigenzustanden gibt.
Def: Ein reiner Zustand wird durch die Messung eines vollstandigen Satzes von kommutieren-den Observablen prapariertG ψ - G ψ ai bi ci BB mi B- + G ai bi ci BB mi - (7.57)
Die Zahlen ai bi ci BB mi sind die Quantenzahlen, die den Zustand G ψ - eindeutig festlegen. Istdas System in diesem Zustand, konnen alle Observablen ohne Unscharfe gemessen werden.
2. Nichtvertragliche Observable
Aus prinzipiellen Grunden nicht gleichzeitig scharf messbar.
Wichtiges Beispiel: Ort und Impuls
86 KAPITEL 7. ALLGEMEINE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK
In Ortsdarstellung, 1d
p i ddx x x (7.58)
p x 9 i ddx x x i d
dx(7.59) i % x d
dx d
dxx & i (7.60)
Betrachte die Wirkung des Operators auf eine Funktion% x ddx d
dxx & ψ
x : x
ddx
ψx d
dxxψx (7.61) x
ddx
ψx ψ
x x
ddx
ψx (7.62) ψ
x (7.63) i % x d
dx d
dxx & ψ
x : i ψ
x (7.64)
x p ) i Vertauschungsrelation
Betrachte
∆A ∆B X 12 G , ψ G A B G ψ - G (7.65)
A p B x x p ) i (7.66)
∆x ∆p 2
Heisenberg sche Unscharferelation
Kapitel 8
Zeitentwicklung des Systems
Postulat 5:
Die Zeitentwicklung des Zustandsvektors G ψ t B- wird durch die zeitabhangige Schrodinger-Gleichungbestimmt
i ∂ G ψ t B-∂t
H G ψ t B- (8.1)
Schrodinger-Gleichung ist erster Ordnung in Zeit G ψ t B- folgt, wenn G ψ t 0 G - G ψ0 - vorgege-ben ist.
Ansatz: G ψ t B-: Ut t0 G ψ t0 B- (8.2)
Ut t0 Zeitentwicklungsoperator i ∂
∂tUt t0 G ψ t0 B-9 HU
t t0 G ψ0 - (8.3) i ∂
∂tUt t0 9 HU
t t0 (8.4)
Wichtiger Spezialfall∂H∂t 0 z. B. bei V V
r nicht V V
r t (8.5) U
t t0 exp
i Ht t0 B (8.6)
Beweis:
Ut t0 9 ∞
∑n 0
1n! i t t0 $ nHn (8.7)
∂∂t
Ut t0 9 ∑
n 1
1n!
i nnt t0 n 1Hn (8.8) i H ∑
n 1 u"Z'm n 1
1n 1 ! i t t0 $ n 1Hn 1 (8.9)
i H Ut t0 (8.10)
87
88 KAPITEL 8. ZEITENTWICKLUNG DES SYSTEMS i ∂∂t
Ut t0 9 H U
t t0 (8.11)
U d exp i H
t t0 B (8.12) U d U exp
i Ht t0 B exp
i Ht t0 B 1 (8.13)
U ist unitar
Teil III
Anwendungen
89
Kapitel 9
Das zentralsymmetrische Potenzial
dreidimensional, Hamiltonoperator rotationsinvariant
9.1 Der Drehimpulsoperator
Konstruktion nach Postulat 2
klassisch * quantenmechanischl r ³ p ˆL ˆr ³ p03 Lx
Ly
Lz
57 03 y pz zpy
z px x pz
x py y px
57Li ist hermitisch, L di Li
L dx y pz z py d p dz y d p dy z d pzy pyz (9.1) y pz z py Lx (9.2) reelle Eigenwerte ˆ mogliche Messwerte
Kommutatorbeziehungen (Ubungen) Lx Ly g LxLy LyLx i Lz Ly Lz ) LyLz LzLy i Lx Lz Lx ) LzLx LxLz i Ly Li und L j mit i > j, nicht vertragliche Variablen konnen nicht gleichzeitig scharf gemessen werden.
Definiere den Operator fur das Quadrat des Drehimpulses.
ˆL2 ˆL2
x ˆL2
y ˆL2
z (9.3)
91
92 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
es gilt (Ubungen) ˆL2 Lx g ˆL2 Ly ˆL2 Lz ) 0 (9.4)
(d. h., ˆL2ist vertraglich mit Li) Es konnen gleichzeitig das Betragsquadrat und eine Komponente scharf gemessen werden. z. B.
L2 und Lz.
L2 und Lz
z
Lz
L
Abbildung 9.1:
Die Komponenten Ly und Lz sind unbestimmt.
Ortsdarstellung des Drehimpulsoperators
ˆL ˆr ³ p C i r ³ ∇ (9.5)
03 Lx
Ly
Lz
57 i 023 y ∂∂z
z ∂∂y
z ∂∂x
x ∂∂z
x ∂∂y
y ∂∂x
5!67 (9.6)
Ubungen in Kugelkoordinaten (x r sinϑ cosϕ y r sin ϑ sinϑ z r cosϑ)
i 023 sinϕ ∂∂ϑ cot
ϑ cos
ϑ ∂
∂ϕ cosϕ ∂
∂ϑ cotϑ sin
ϕ ∂
∂ϕ ∂∂ϕ
5!67 Áil eϕ
∂∂ϑ 1
sinϑeϑ
∂∂ϕ n (9.7)
L
2 L2x L2
y L2z (9.8) 2 A 1
sinϑ ∂
∂ϑ% sin
ϑ ∂
∂ϑ & 1
sin2 ϑ∂2
∂ϕ2 \ (9.9)
9.1. DER DREHIMPULSOPERATOR 93
ϕ
x
y
z
r
υ
Abbildung 9.2: Skizze zum besseren Verstandnis
Eigenfunktionen der Operatoren L2 und Lz
Die Operatoren L2 und Lz sind vertraglich. Sie haben ein vollstandiges orthonormales System vongemeinsamen Eigenvektoren.
Eigenvektoren von L2
Eigenwertgleichung in Ortdarstellung
L2 φϑ ϕ q 2 A 1
sinϑ ∂
∂ϑ% sin
ϑ ∂
∂ϑ & 1
sin2 ϑ ∂∂ϕ2 \ φ
ϑ ϕ (9.10) L2φ
ϑ ϕ (9.11)
Losung: Kugelfunktionen Yl mφϑ ϕ . Yl m ϑ ϕ
l m ! 2l 1 4πl m Pl m cos
ϑ $ exp
imϕ (9.12)
Hier sind Pl m die Legendre schen Polynome
Pl m x . 1 m2l l!
1 x2 m h 2 dl d m
dxl d m
x2 1 l (9.13)
mit der Bedingungl X m XÂ l
Die Eigenwerte sindL2 2l
l 1 l 0 1 2 3 BBZ (9.14)
d. h.,LzYl n ϑ ϕ I 2l
l 1 Yl m ϑ ϕ (9.15)
Eigenwert 2 ll 1 ist von m unabhangig. 2l 1-fache Entartung dieses Eigenwertes fur
l X m X l.
Beispiel l 3L2 2 l l 1 12 2 (9.16)
94 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
Die Eigenvektoren Yl m mitl 3 m 3 l 3 m C 2 l 3 m 1 pBB l 3 m 3 haben
dasselbe Drehimpulsquadrat.
L2 ist ein hermitescher Operator. Eigenfunktionen konnen so gewahlt werden, dass sie ein vollstandiges Basissystem bilden. d Ω '"Zu
Raumwinkel
Y l ¨ m ¨ Ω YlmΩ
1 1
d cosϑ 2π
0
d ϕY l ¨ m ¨ ϑ ϕ Ylmϑ ϕ . δll ¨ δm ¨ m ¨
Orthonormierung∞
∑l 0
m l
∑m l
Y lm ϑ ϕ Ylmϑ ϕ . δ cos
ϑ cos
ϑ $ δ ϕ ϕ (9.17)
Vollstandigkeit
Einfuhrung von abstrakten Vektoren G l m - . Ylmϑ ϕ ist “Ortsdarstellung” von G l m -
Yl m ϑ ϕ , ϑ ϕ G l m - (9.18)
Ortr ˆ Raumwinkel Ω G r - G ϑ ϕ - . , l m G l m -9
dΩYl ¨ m ¨ Ω YlmΩ δl l ¨ δmn ¨ (9.19)
∑l 0
m
∑m l G lm - , lm G 1 Vollstandigkeit (9.20)
Die Ylmϑ ϕ sind so gewahlt, dass sie auch Eigenfunktionen zu Lz sind
LzYlm i ∂∂ϕ
l m ! 2l 1
4πl m ! Pl m cos
ϑ B exp
imϕ (9.21) i im Ylm m Ylm (9.22)
Mogliche Messwerte von Lz sind m .
Anmerkung: Durch die Bildung spezieller Linearkombinationen φ l∑
m lam Ylm hatten wir die Eigenvekto-
ren ϕ auch als simultane Eigenvektoren von Lz und ˆL2wahlen konnen.
9.1. DER DREHIMPULSOPERATOR 95 Die bezuglich L2 entarteten Eigenvektoren G l à l - G l l 1 B-pBB G ll - sind bezuglich Lz nichtentartet. Ein Zustand mit den unscharfefrei gemessenen Messwerten
L2 2 ll 1
undlz mh
ist eindeutig bestimmt reiner Zustand. L2 und Lz bilden bezuglich der Funktionen φϑ ϕ einen vollstandigen Satz kommutierender
Observablen. Durch die Angabe der Quantenzahlen m und l ist der quantenmechanische Drehimpulszustandeindeutig bestimmt.
Veranschaulichung
L [h]y
− L [h]z
L [h]x
1
2
4
3
Beispiel l = 3
Die quantenmechanisch erlaub-ten Impulse liegen im Impuls-raum auf diskreten Kugelscha-len mit dem Radius
L ll 1
bezuglich einer (z. B. durch ein schwaches Magnetfeld definierten Achse) kann lz nur bestimmteWerte einnehmen, die durch
cosϑ mF l
l 1 m l BB l (9.23)
gegeben sind.
Die Orthogonalkomponenten Ly und Lx sind unscharf, was einer Prazession um die z-Achse entspricht.
96 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
9.2 Schrodinger-Gleichung im zentralsymmetrischen Potenzial
Fur das zentralsymmetrische Potenzial gilt Vr Y V
r . Die zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung
lautet dann
Hψr @%~ 2
2m∆ V
r & ψ
r E ψ
r (9.24)
In der Ubung wurde gezeigt, dass wir in Kugelkoordinaten schreiben konnen
∆ 1r2 % ∂
∂rl r2 ∂
∂r n 1 2ˆL2 & (9.25)
mitˆL2 C 2 % ∂2Ylm
ϑ ϕ
∂ϑ2 cosϑ ∂Ylm
ϑ ϕ
∂ϑ 1
sin2 ϑ ∂2
∂ϕ2 & (9.26)
Da ˆL2nur von ϑ und ϕ abhangig ist, gilt∆ ˆL2 g 0 und V r ˆL2 ) 0 (9.27)
Wenn V Vr ϑ ϕ
Vr ϑ ϕ L2 0 weil, z. B. ϕ ∂
∂ϕ Ä> 0, dann folgtH ˆL2 g 0 (9.28)
ˆL2ist in einem zentralsymmetrischen Potenzial eine Erhaltungsgroße.
Weiterhin gilt fur jede Impulskomponente Li, ˆL2 Li g 0 und Li ist nur von ϑ ϕ abhangig, ∆ Li ) 0 V r Li ) 0 (9.29) H Li 0 (9.30)
Jede einzelne Drehimpulskomponente bleibt erhalten.
Die Operatoren H ˆL2 Lz sind ein vollstandiges System kommutierender Observabler und haben ge-nau ein gemeinsames vollstandiges Orthogonalsystem.
Ein reiner Zustand ist ein gemeinsamer Eigenvektor, der durch die Eigenwerte der Operatoren H ˆLund einem Li z. B. (Lz) eindeutig bestimmt ist.Ansatz fur den Eigenzustand
ψr : R
r Ylm
ϑ ϕ (9.31) ^` a ~ 2
2m ÅÆ 1r2
∂∂rl r2 ∂
∂r n 1 2
ˆL2
r2 ÇÈ Vr ÊÉÌËÍ R
r Ylm
ϑ ϕ (9.32) E R
r Ylm
ϑ ϕ (9.33)
9.2. SCHRODINGER-GLEICHUNG IM ZENTRALSYMMETRISCHEN POTENZIAL 97
8 ÅÎÎÆ 2
2m 1r2 ∂
∂rl r2 ∂
∂r n 2
2m l l 1
r2 "Z VDreh
Vr E ÇÐÏÏÈ R
r Ylm
ϑ ϕ (9.34)
V le f f V
r ) 2
2m l l 1
r2 (9.35) % 2
2m1r2
ddr
l r2 ddr n V l
e f f
r E & Rl
r 0 (9.36)
Ubungen
Ansatz
Rlr χl
r
r% 2
2md2
dr2 V le f fr E & χl
r 0 (9.37)
Regularitatsbedingungχlr 0 0 und V
Br . ∞ 0 Fur E J 0
Fur jedes E gibt es genau eine Losung.
E 0Diskrete Eigenwerte En Rlr
durch Angabe von E J 0 oder En 0 eindeutig bestimmt. ψr . Rl
r Ylm
ϑ ϕ
durch die Angabe von E l und m vollstandig bestimmt.
Beispiel: rechteckiger Potenzialtopf
−V0
E2
E1
r
a
V0 >0
V
Kurzreichweitiges Potenzial es gibtein R0, sodass V
r J R0 0 ist.
Ansatz fur r J aE J 0
χr J a : B exp
ikx g C exp
ikx (9.38)
E 2
2mk2 (9.39)
98 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
Fur r a
χ Ñ 2m 2
Ve f f E χ 0 (9.40)
χr 0 9 0 (9.41)
Die Losung ist bis auf die Normierungskonstante A eindeutig
χr a Aχ0
r
Im Potenzialtopf
χ0r sin
k Ò x k ÒÓ F 2m
E V0 (9.42)
Stuckelungsbedingungen fur Wellenfunktionen und deren Ableitung bei r a
Fur jede Energie gibt es eindeutig festgelegte Koeffizienten A und B eindeutige Losung.
Fur E 0
χr J a : B exp
κx ) C expκx (9.43) E 2
2mκ2 (9.44)
Normierbarkeit von χ Alle mathematisch moglichen Losungen mit C > 0 mussen verworfen wer-den. C 0. Nur bei diskreten Energien En gibt es genau eine Losung.
9.3 Das Wasserstoffatom
mp = me Vereinfachung des Zweikorperproblems. Das Elektron bewegt sich im Coulombpotenzial
des ortsfesten Protons beirp 0
r re rp re µ me1 d me
M me m. A 2
2m∆ e2G r G E \ ψ
r 0 (9.45)
Ansatzψr Re
r Yln
ϑ ϕ r χe
r Yln
ϑ ϕ (9.46)
fuhrt auf die Gleichung ÅÎÎÎÆ 2
2m d2
dr2 e2G r G Ô 2
2m l l 1
r2 "! Ve f f
E ÇÐÏÏÏÈ χlr 0 (9.47)
Kepler Problem
Ve f f L2
2mr2 γmM
r(9.48)
Schwierigkeit:langreichweitiges Potenzial, d. h. es gibt kein R0 fur das gilt, V
r J R0 ² 0 Losung der Radial-
gleichung schwieriger als bei kurzreichweitig.
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM 99
E = Eminl
ool =
e²r−
2m r²= V
Drehh² l(l +l)
steilerAnstieg
Veff schneller Abfall
klassisch r
elliptische Bahn E > E lmin
kontinuierliche Energie
klassische kreisförmige Bahn
schematisch
Abbildung 9.3: Skizze
Losung der Radialgleichung
Allgemeine Forderungen fur V
limr ¤ ∞
Ve f fr 0 lim
r ¤ 0Ve f f
r 0 (9.49)
Das Verhaltem am Ursprung wird durch den Drehimpulsterm bestimmt
χ ll 1 r2 χ 0 (9.50)
lineare Dgl. 2. Ordnung ergeben zwei linear abhangige Losungen χi i 1 2χi crκi κ1 l 1 κ2 C l
χ2 cr l scheidet wegen limr ¤ 0 r l ∞ aus. χr crl d 1 Losung fur V , eindeutig bestimmt
Losung uberall eindeutig.
Asymptotisches Verhaltenr ∞ Ve f f 0% 2
2md2
dr2 E & χr 0 (9.51)
100 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
Gebundene Zustande: E 0
χr B exp
κr ) C exp
κr κ j 2mE J 0 (9.52)
B 0 χr ∞ C exp
κr (9.53)
Konstruktion der Losung im gesamten Bereich durch Sommerfeld sche Polynommethode.
Ansatzχr exp
κr rl d 1 Pr (9.54)
mit dem PolynomansatzPr ∑
k
αkrk (9.55)
Das Einfuhren einer dimensionslosen Variablen fuhrt zu
ρ raB
aB 2
me2 0 53A Bohr scher Radius (9.56)
Betrachte mp = me rp 0r
re rp re
µ me
1 memp
me m
Schrodinger Gleichung ^___` ___a 2
2m∆ e2
r "Z V c r e zentralsymmetrisch
EÉ ___Ë___Í ψ
r 0 (9.57)
Ansatz
ψr χe
r
rYlmϑ ϕ (9.58)
Radialgleichung
ÅÎÎÎÎÎÎÎÆ ~2
2m d2
dr2 e2
rÔ 2
2m l l 1
r2 "Z VDreh "Z
Ve f f
ÇÐÏÏÏÏÏÏÏÈ E χer 0 (9.59)
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM 101
V
r
eff
V
proportional 1r²
proportional − 1r
Abbildung 9.4:
Quanten-Kepler-Problem
Vgrav γmMr
| V e2
r(9.60)
Ve f f gravr 9 L2
2mr2 γmM
r(9.61)
L2: klassisches Drehimpulsquadrat kontinuierlich
l l 1 2: quantenmechanisches Drehimpulsquadrat, diskret l 0 1 2 BBB Planetenbahnen: 2 sehrklein, aber l extrem groß
∆l2
l 1 l 2 2 l l 1 2 2l 1 2 ∆
l2
l2 2l 1 2
l l 1 2 2l 0
Quantelung irrelevant.
102 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
Fur E 0 gebundene Zustande
Klassisches Kepler-Problem
a.) periodische planare Kreisbahnenr ρ ρ0
ϕ0
ρy
ρx
ϕ
Abbildung 9.5: Kreisbahn
b.) periodische planare Ellipsenρt ϕ t
l erhalten. Fur Kreise ϕ lµρ0 ω
ρy
ρmin
maxρ
ρx
Abbildung 9.6: Ellipsen
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM 103 ϕ lµρt (9.62)
Bewegung in ρ Koordinaten, bestimmt durch Energieerhaltung
E µ2
ρ2 e2
2µρ V
ρ µ
2ρ2 Ve f f
ρ (9.63) 1d-Bewegung im Potenzial Ve f f ˆ Radialgleichung in der Quantenmechanik.
nicht betrachtet E J 0
klassisch: Hyperbelbahn - nicht periodisch frei, Quantenmechanik = Streuzustand.
V
0 > E > E min
Emin
ρ0ρmin ρmax
Ellipse
Kreisbahn
ρ
Abbildung 9.7:
Umkehrpunkte ρ 0E Ve f f
ρmin Ve f f
ρmax (9.64)
Quantenmechanik: die Radialgleichung fuhrt fur E 0 zur Quantisierung der Bewegung in r Richtung.% 2
2md2
dr2 e2
r 2
2mll 1 r2 E & χl
r (9.65)
ist Eigenwertproblem.
Losungsansatz nach Sommerfeld scher Polynommethode
χlr : exp
κr rl d 1 Pr (9.66)
Pr : ∑
k
αkrk κ i 2mE (9.67)
104 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
Korrektes Verhalten von χl fur r 0 und r ∞. Durch Einfuhren dimensionsloser Variabler erhaltenwir
ρ raB
aB 2
me2 0 53A Bohr scher Radius (9.68)
η i EER
ER 2
2maB 13 6eV (9.69) % d2
dρ2 2ρ ll 1 ρ2 η2 & χl
ρ 0 (9.70)
Einsetzen vonχρ exp
ηρ ρl d 1 Pρ (9.71)
fuhrt auf die Dgl. fur das Polynom
P ρ ) 2 l l 1ρ
η n P ρ p 2ρ 1 η
l 1 $ ¶
ρ 0 (9.72)
Einsetzen von
Pρ k0
∑k 0
ακρk (9.73)
fuhrt aufk0
∑k 0
ρk 1 r αk d 1k 1 k 2
l 1 $Ñ 2αk
1 ηk l 1 $¯t¦ (9.74)
Fur alle ρ αk d 1 2ηl k 1 1
k 1 k 2l 2 ak (9.75)
Frage: Kann k0 unendlich sein?
Fur k ∞ak d 1
αk 2η
k(9.76)
Betrachte die Reihe fur exp 2ηρ
exp2ηρ 9 ∑
k
2ηρ k
k! ∑k
βkρk βk 2η kk!
(9.77)
βk d 1
βk 2η
k 1/ 2η
k (9.78)
Fur große ρ (große k wichtig in der Potenzreihe)
Pρ ∝ exp
2ηρ χ
ρ exp
ηρ ρl d 1 Pρ / exp
ηρ ´ (9.79)
divergent, d. h. nicht normierbar. Abbrechen bei k0 erfordert
0 ηl k0 1 1 η 1
l k0 1 (9.80)
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM 105
Hauptquantenzahl
Definiere die ganze Zahl n (Hauptquantenzahl)
n l k0 1 (9.81) En ER
n2 n 1 2 3 (9.82) Quantisierung der zugelassenen Energien χlr x* χnl
r und Rl
r Rnl
r
k0 ist die Radialquantenzahl: Anzahl der Knoten von Rnlr .
Bahndrehimpulquantenzahl l:
Wegen k0 X 0 und l X 0 muss gelten:
0 l n l 0 1 BBB n 1
En ist unabhangig von l n-fache zufallige Entartung des Eigenwertes En.
Bezeichnung in der Chemie l 0 s-Orbitalel 1 p-Orbitalel 2 d-Orbitalel 3 f-Orbitale
Magnetische Quantenzahl m: l BBB 0 BBB± l 2l 1 fache Entartung von n Gesamtentartung des Energieniveaus n
gm 2 u"ZuSpin
n 1
∑l 0
2l 1 2n2 (9.83)
Zur Form der Orbitale
n 1 l 0 "Z nur s-Orbital
m 0
l 0 kein Drehimpulspotenzial R0 Õ> 0
n 2 l 0 s-Orbital m 0
zufallige Entartung Öl 1 p-Orbital m 1
m 0m 1
ÉÌËÍ gleiche Radialfunktion
106 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
Abbildung 9.8:
Die normierten Radialfunktionen Rnlr (links) und die normierten radialen Wahrscheinlichkeitsdich-
ten Wnlr (rechts) fur das Wasserstoffatom.
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM 107
Abbildung 9.9:
108 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
n 3 l 0 s-Orbital
l 1 p-Orbital m 1m 0m 1
l 2 d-Orbital m 2m 1m 0m 1m 2
n0 = 0
χ 22
χ00
χ 11 r
l = 0
l = 1
l = 2
Abbildung 9.10:
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM 109
Das Wasserstoffatom - Wiederholung der Vorlesung
mp ∞ µ me m
e
mp
mProton
Elektron
r
Schrodinger-Gleichung A 2
2m∆ l2
r E \ ψ
r 0 (9.84)
Losung
ψr ψnlm
r χnl
rYlmϑ ϕ +, r G nlm - (9.85)G nlm - abstrakter Zustandsvektor charakterisiert durch die Quantenzahlen n l m.
E En ER
n2 2
2ma2B
1n2 # 13 6eV
1n2 (9.86)
aB 2
me2 0 53 A (9.87)
χnlr bestimmt durch Radialgleichung% 2
2m d2
dr2 e2
r 2
2m l l 1
r2 En & χnlr . 0 (9.88)
Ylnϑ ϕ mit l m l sind Kugelfunktionen.
m X 0
Ylm 1 n 2l 14π
l m !l m ! Pm
l cos
ϑ $ exp
imϕ (9.89)
Pml zugeordnetes Legendre Polynom.
m 0Ylmϑ ϕ 1 m Y m
l
ϑ ϕ $ (9.90)
Beispiele:
l 0 m 0 Y 1j 4π
l 1 m ^___` ___a 1 : Y11 H 38π sin
ν exp
iϕ
0 : Y10 H 34π cos
ν 1 : Y1 1 H 3
8π sinν exp
iϕ
110 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
Polardiagramme:
Betrachte G Θmlϑ G 2 2π G Ylm
ϑ ϕ G 2 (9.91)
= Winkelabhangigkeit der Dichteverteilung (nur von ϑ abhangig).
l 0m 0
G θ00ϑ G 2 1
2(9.92)
| | ( ) |²θ υ00
x, y
z
12
υ
Abbildung 9.11:
l 1 m 1 G θ × 11
ϑ G 2∝ sin2 ϑ (9.93)
l 1 m 0 G θ01ϑ G 2∝ cos2 ϑ (9.94)
Aquivalente:
Wahl der drei Orthonormierten Eigenzustande fur l 1, in Chemie haufig benutzt.
φ11ϑ ϕ 9 1j 2
Y11ϑ ϕ ) Y1 1
ϑ varphi $ (9.95) «i 3
4πsinϑ sin
ϕ (9.96)
φ21ϑ ϕ 9 Y10
ϑ ϕ Øi 3
4πcosϑ (9.97)
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM 111
z
x, y
Abbildung 9.12:
x, y
z
Abbildung 9.13:
φ31ϑ ϕ 9 1j 2
Y11ϑ ϕ Y1 1
ϑ ϕ $ (9.98) «i 3
4πsinϑ cos
ϕ (9.99)
In abstrakten Hilbertraum-Vektoren G φ11 -9 1j 2
G 11 -B G 1 1 -$G φ01 -9 G 10 -G φ 1
1 -9 1j 2 G 11 -´ G 1 1 -$
Die Zustande G φi1 - sind orthonormal
112 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL Eigenvektoren von L2 , aber nicht von L2z reiner Zustand, weil wohldefinierte Linearkombination von reinen Zustanden.G ϕi
1 - ∑m
aim G 1m - und damit ist G φi
1 - genau definierter Hilbertraum-Vektor 0 reiner Zustand.
Im Gegensatz zum Zustandsgemisch:
System wird durch ein Ensemble r G ψi -±t von reinen Zustanden r G ψi -±t beschrieben. Fur jeden dieserZustande ist nur die Wahrscheinlichkeit Pi R d seines Auftretens bekannt mit ∑
iPi 1. Der system-
beschreibende Hilbert-Vektor ist nicht bekannt.Betrachte
ϑ π2
sinϑ 1
G φ11ϕ G 2∝ sin2 ϕ (9.100)
y
xϕ
= "px − Orbital"
Abbildung 9.14:
G φ31ϕ G 2∝ cos2 ϕ (9.101)
G φ21 G 2 “pz Orbital (9.102)
Bsp.: Der reine Zustand (hier in Ortsdarstellung)
φϑ ϕ . 3
∑i 1
ai φi1ϑ ϕ (9.103)
ist normalerweise nicht bekannt. Insbesondere die Phase mit der sich die φ i1 uberlagern, ist schwer
ermittelbar. Aber: die Rotationssymmetrie ist gegeben. Daraus folgt
P1 Wahrscheinlichkeit von φ11 P2 P3 1
3
Das Zustandsgemisch ist bekannt, es beinhaltet weniger Information insbesondere uber Phasenlagen.
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM 113
y
x
= "py − Orbital"
Abbildung 9.15:
Einfaches Atommodell fur wasserstoffahnliche Atome
Betrachte ein Atom mit der Ordnungszahl Z Kernladung Z und Z Elektronen
Z +
Z = 5
−
− −
−−
Abbildung 9.16:
Naherung: Die Elektronen sehen ein effektives zentralsymmetrisches Potenzial, dass dem 1r Potenzial
nahe kommt. Energieniveaus bilden die Termschalen Schalenmodell.
n 1 E E1 K-Schale l 0 m 0 g1 2
n 2 E2 L-Schalel 0 m 0l 1 m 1 0 1 \ g2 8
n 3 E3 M-Schalel 0 m 0l 1 m 1 0 1l 2 m 2 Ã 1 0 1 2 É ËÍ g3 18
114 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
Pauli-Prinzip:
Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin). Jeder Zustand darf nur mit einem Elektron besetzt wer-den.
3s 3p 3dn = 3
n = 2 2s 2p
n = 3 1s
l = 0 l = 1
l = 0
L − Schale 2 Elektronen
Abbildung 9.17:
Das Pauli-Prinzip wird als neues unabhangiges Prinzip fur Vielfermionensysteme eingefuhrt.
Kapitel 10
Der Spin
Aufspaltung der Eigenzustande von L2 im Magnetfeld
Aus der Elektrodynamik folgt, dass jedem BahndrehimpulsL ein magnetisches Moment
M zugeordnet
ist. M q
2m
L (10.1)
wobei q die Ladung und m die Masse des Teilchens sind. Die Energie eines magnetischen Momentsin einem außeren Magnetfeld ist
HB B M # q2m
BL (10.2)
Wir wahlenB B0
ez und gehen zur Quantenmechanik uber, indem wir die Observable durch den
Operator ersetzen
HB q2m
B0LzB0 keine Systemobservable (10.3)
BetrachteH H0 HB (10.4)
H0 = Hamiltonoperator bei B 0, zentralsymmetrisch
H0 G n l m -. E0nl G n l m - (10.5)
HB: bricht Rotationssymmetrie. Es gilt jedoch H H0 g H L2 g H0 L2 ) 0 (10.6) G n l m - bleiben die Eigenfunktionen von H.
H G n l m -: H0 G n l m -) HB G n lm - (10.7) E0nl G n l m - qB0
2mLz G n l m - (10.8) E0
nl G n l m - q2m
B0 m G n l m - (10.9) Enlm G n l m - (10.10)
Enlm E0nl e
2mB0 m (10.11)
Aufspaltung ∆E µBB0
115
116 KAPITEL 10. DER SPIN
p
s
m = − 1
m = 0
m = 1
s−Niveau unverändert wegenm = 0
µB e 2m
Bohrsches Magneton (10.12)
Zeeman-Effekt: Niveauaufspaltung linear mit Magnetfeld gemessen.
Komplikation:
Der Bahndrehimpuls ist nicht die einzige Quelle des magnetischen Moments. Es existiert ein innererDrehimpuls
S (Spin, Drall), der klassisch nicht verstandlich ist. Dieser fuhrt zu einem zusatzlichen
magnetischen Moment MS 2µB
S (10.13)
Stern-Gerlach-Versuch
Abbildung 10.1: Der Stern-Gerlach-Versuch
Auch mit neutralem H l 0.
H muB + Vm (10.14)
Fz ∂Vm
∂z µz
∂B∂z
(10.15)
Experiment Es gibt zwei diskrete Werte fur µz. Annahme zur Erklarung: Es existiert ein innererDrehimpuls der ein magnetisches Moment erzeugt.
117µS gS
q2m
j (10.16)
gS : g-Faktor ˆ Abweichung von klassisch erwartetem Wert.
Zwei Werte furµS z S 1
2
Sz 12 mS (10.17)
S2 2 12l 1
2 1 n G S G i 3
4(10.18)
12
m = −
ms = 12
34|S| = h
Experimentell: gS 2 !!! klassisch vollig unverstandlich
Mathematische Formulierung des Spins Es gibt einen Spin-OperatorS mit den Vertauschungsrelationen des Drehimpulses Si S j Ù i ∑k
εi jk Sk (10.19)
Bsp. Sx Sy Ù i Sz (10.20)
und Si S2 g 0 (10.21) Sz hat zwei Eigenwerte 2Sz G k- 2 G k- (10.22)
Darstellung mit 2 x 2 Matrizen
118 KAPITEL 10. DER SPIN
Sz Sz 2l 1 0
0 1 nG k- l 01 n Zweikomponentenvektor ˆ SpinorG Ú- l 01 n
Aus den Kommutatorrelationen folgen dann die Darstellungsmatrizen
Sx 2l 0 1
1 0 nSy
2l 0 i
i 0 n sodass wir schreiben konnen
Si 2
σi (10.23)
σx l 0 11 0 n l 0 i
1 0 nσz l 1 0
0 1 n Pauli-Matrizen Dem Teilchen wird ein innerer Freiheitsgrad zugeordnet Der Zustandsraum H ist der Pro-duktraum aus den bisher behandelten raumlichen Zustandsraum HRaum und dem Spin-ZustandsraumHSpin.
H HRaum ° HSpin (10.24)
Die Basis dieses Raumes muss daher um den Spin-Freiheitsgrad erweitert werden.G r - G r mS - mS G 1 GIn der Ortsdarstellung hat die Wellenfunktion daher zwei Komponenten, r ( G ψ -: ψ d r (10.25), r à G ψ -: ψ r (10.26)
und kann daher als Spinor l ψ d r
ψ r n
119
dargestellt werden.G ψ d r G 2: Wahrscheinlichkeit das Spin am Ortr nach obenG ψ r G 2: dto. nach unten
d3r G ψ d r G 2 G ψ r G 2 (10.27)
120 KAPITEL 10. DER SPIN
Kapitel 11
Der harmonische Oszillator
Betrachte den Hamiltonoperator
H p2
2m mω2
2x2 (11.1)
der in einem eindimensionalen parabolischen Potenzial resultiert. Zur Bestimmung der Eigenvek-toren und -werte konnte man wie beim Wasserstoffatom die zeitabhangige Schrodinger-Gleichungin Ortsdarstellung aufstellen und mit der Sommerfeld schen Polynommethode losen. Eine andereLosungsmoglichkeit des Eigenwertproblems ist die algebraische Methode, die auf der Einfuhrungvon Leiteroperatoren beruht.
a i mω2 l x ip
mω n Vernichtungsoperator (11.2)
a d i mω2 l x ip
mω n Erzeugungsoperator (11.3)
Offensichtlich sind weder a noch a d hermitesch, aber es gilta d a d d a
Wir erhalten weiterhin a a d Ù mω2 % x ip
mω x ip
mω & (11.4) i2 x à p Ñ i
2 p x (11.5) i x p u"Zui g 1 (11.6)
Weiterhin definieren wir den hermiteschen Besetzungszahloperator
N a d a (11.7) mω2 l x ip
mω n l x ipmω n (11.8)
121
122 KAPITEL 11. DER HARMONISCHE OSZILLATOR mω2 l x2 p2
m2ω2 n mω2 i
mω x p px "Z Û
x p ÜÌ i (11.9)
1 ω% p2
2m mω2
2x2 & 1
2(11.10) H ω
12
(11.11) H ω l N 12 n (11.12) H N ) 0 H und N haben ein vollstandiges gemeinsames Orthonormalsystem G n - .
N G n - n G n -n sind die Eigenwerte von N. Weiterhin ist
H G n -: l n 12 nÓ ω G n -. En G n - (11.13) En l n 12 nÓ ω (11.14)
Zur Feststellung der Bedeutung der Operatoren bilden wir (wir lassen die “Hute” uber den Vektorenweg) N a a d a a g a d aa a d aa a d a a # aN a d a d aa d a d a d a a d a a d ) a d Wir finden daher
N a G n -9 aN G n - a N G n - (11.15) an G n - a G n - n 1 a G n - (11.16)
Hier wieder der Hut uber den Operatoren!
N a G n -: n 1 a G n - (11.17)
a G n -: C G n 1 - (11.18)
Das Adjungierte der Gleichung, a n G , n G a d C , n 1 G (11.19) , n G a d a '"Zun bC b 2 G n -: G C G 2 , n 1 G n 1 - (11.20)
Wahle C reell C j n a G n -: j n G n 1 - Absteigeoperator = Vernichtungsoperator (11.21)
123
und analoga d G n - j n 1 G n 1 - Aufsteigeoperator = Erzeugungsoperator (11.22)
Betrachte die Folge von Zustanden die durch wiederholte Anwendung von a auf den Zustand G n -resultieren.
a G n -: j n G n 1 - (11.23)
a2 G n -: F nn 1 G n 2 - (11.24)
a3 G n -: F nn 1 n 2 G n 3 - (11.25)
ai G n -: F nn 1 pBB n i 1 G n i - (11.26)
Es gibt zwei unterschiedliche Falle:
(a) n N0 Serie bricht ab, wenn n 1 i 0 i n 1
an d 1 G n - 0 der Zustand G 1 - kann nicht konstruiert werden.
(b) n N Serie bricht nicht ab. Zustande mit negativem Eigenwert n
N G n -. n G n - n 0
konnen konstruiert werden. Dieses fuhrt aber auf einen Wiederspruch, denn, n G n G n - , n G N G n - , n G a d a G n - , an G an - X 0
Skalarprodukt positiv definiert. n N0
En n 1 2 ω
n 0 Zustand mit kleinster Energie ω2 Grundzustand.
Konstruktion der Grundzustandswellenfunktion:
Nimm
a G 0 - 0
in Ortsdarstellung % mω
ddx x & ψ0
x : 0 (11.27) % x2
0ddx x & ψ0
x : 0 mit x0 i
mω(11.28) ψ0
x : 1
π1 4 j x0exp w 1
2l x
x0 n 2 y , x G 0 - (11.29)
124 KAPITEL 11. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
Wir berechnen , x G 1 - nach a d G n -. j n 1 G n 1 - in Ortsdarstellung
ψ1x I 1j 2x0
l x x20
ddx n ψ0
x . , x G 1 - (11.30)
Allgemeine Formel
ψnx I , x G n -: 1j n!
, x G a d n G 0 - (11.31) 1j n!l 1j 2x0 n n l x x2
0ddx n n
ψ0x (11.32) 1F j π2nn!
1
xn d 1 h 20
l x x20
ddx n n
exp l x2
2x20 n (11.33) 1F j π2nn!x0
exp l. x2
2x20 n Hn l x
x0 n (11.34)
Hny : Hermitesches Polynom
H0y . 1 H1
y 2y
H2y 4y2 2 H3
y 8y3 12y
H4y 16y4 48y2 12 H5
y 32y5 160y3 120y
ψnx ^______` ______a
symmetrisch fur "Z gerade Funktion
n gerade
asymmetrisch fur "Z ungerade Funktion
n ungerade
V G x G ∞ ∞ kein Kontinuum, nur gebundene Zustande vollstandig diskretes Spektrum En n 1 2 ω. Eigenfunktion ψn konnen reell gewahlt werden.
Realistisches Potenzial Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit
xt mit Periodendauer T
ωklx dx dt
T 2 2ω2π
dt ωπ
dxdx dt
quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit
ωqux dx G ψn
x G 2 dx
125
Abbildung 11.1:
Oszillierendes Wellenpaket
Bisher haben wir stationare Losungen der Schrodinger-Gleichung betrachtet. Diese entsprechen einerzeitlich konstanten Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit
ωnx . G ψn
x G 2 (11.35)
Klassisch wird die Bewegung eines Massenpunktes im harmonischen Potenzial durch eine Oszillation
xt x0 cos
ωt δ (11.36)
beschrieben, wobei x0 die frei wahlbare Amplitude ist und δ die frei wahlbare Anfangsphase. Dieseklassisch bekannte Bewegung entspricht einer sich periodisch verandernden Aufenthaltswahrschein-lichkeit. Wie kann eine solche Bewegung quantenmechanisch beschrieben werden?
Antwort: Die klassische Oszillation xt eines Massenpunktes entspricht in der Quantenmechanik dem
Zeitverhalten des Ortserwartungswertes , ϕ t G x G ϕ t B- eines Wellenpaketes G ϕ t B- .Wir schreiben G ϕ t B-: U
t 0 G ϕ t 0 B- (11.37)
Ut 0 q ∑
n 0
exp l iEn t nCG ϕn - , ϕn G (11.38)
126 KAPITEL 11. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
freies Kontinuum
parabolische Näherung
V (x)
Grundzustand
gebundene angeregte Zustände
parabolische Näherung bricht zusammen
Abbildung 11.2:
Zeitentwicklungsoperator G ϕ t B-: ∑n 0
exp in 1 2 ω t G ϕn - , ϕn G ϕ t 0 "!
Cnc 0 e - (11.39) ∑
n 0
Cn0 exp
in 1 2 ω t G n - (11.40)
Cn0 : Entwicklungskoeffizienten, die durch die Anfangsbedingungen ϕ
x t 0 festgelegt sind.
Das Adjungierte , ϕ t G ∑n 0
C n 0 exp in 1 2 ω t Z (11.41)
Wir finden damit, ϕ t G x G ϕ t B-: ∑n mC n 0 Cm
0 , n G x G m - exp
im n ω t (11.42) i
2mω
∞
∑n 1
j n C n 10 Cn
0 exp
iωt C n 0 Cn 10 exp
iωt (11.43) i
2mωRe w ∞
∑n 1
j nC n 10 Cn
0 exp
iωt y (11.44)+ x0 cosωt δ (11.45)
Der Erwartungswert im harmonischen Oszillator vollzieht genau dieselben Oszillationen wie der klas-sische Oszillator. Die genaue Ubereinstimmung ist eine Eigenheit des Oszillators.
Allgemein: Ehrenfest-Theorem.
127
Abbildung 11.3:
128 KAPITEL 11. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
Kapitel 12
Bohr-Sommerfeld-Quantisierung fur denharmonischen Oszillator
Postulat: Fur geschlossene klassische Bahnen gilt fur ein Teilchen in einer Dimension die Bedingung
im Phasenraum
quantenmechanischerlaubt TrajektorieÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝ
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p
x
klassische Trajektorien(x (t), p (t))
Fn
Fn á pdq n α h n 1 2 BB (12.1)
α: nicht a-prion bestimmbare Konstante
Fn: Flache von der n-ten “quantenmechanisch erlaubten” Phasenraumtrajektorie eingeschlossen. (Pha-senraumvolumen)
129
130KAPITEL 12. BOHR-SOMMERFELD-QUANTISIERUNGFUR DEN HARMONISCHEN OSZILLATOR
Fur harmonischen Oszillator
H p2
2m mω2
2x2 E ω k
m(12.2)
k: Federkonstante
131
Phasenraumbahnen sind Ellipsen
x max = 2 Em ω²
pmax = 2 m E
p
x
Abbildung 12.1:
á pdx πpmax xmax n α h (12.3) En
ω
n α (12.4) En n 1
2 ω α 1
2(12.5)
pmax j 2mE j 2 j mω j n 1 (12.6) j 2∆p (12.7) i 2Emω2 j 2 i
mω "! x0
j n 1 (12.8)
Paritat der Wellenfunktion , x G n -Fuhre den Paritatsoperator ein
P fx f
x P2 fx f
x P2 1 (12.9)
Eigenwertgleichung
Pϕx : λϕ
x (12.10) P2 ϕ
x : λ2 ϕ
x ϕ
x (12.11) λ 1 zwei Eigenwerte (12.12)
132KAPITEL 12. BOHR-SOMMERFELD-QUANTISIERUNGFUR DEN HARMONISCHEN OSZILLATOR
mit Eigenfunktionen
λ A 1 : ϕx . ϕ
x ϕ d x 1 : ϕx . ϕ
x ϕ x Paritatsoperator ist hermitesch
∞ ∞
dxϕ x Pψx q ∞ ∞
ϕ x ψ x dx (12.13) dx dx ∞ ∞
dxϕ x ψ x q ∞ ∞
dxPϕx B ψ x (12.14) P d P
Aus P2 1 PP d P ist unitar.
Wir finden fur den harmonischen Oszillator
H 2
2md2
dx mω2
2x2 (12.15)
PH H PH HP H P 0 (12.16) H und P haben ein vollstandiges gemeinsames Orthonormalsystem. Da H keine Entartung auf-weist, ist dieses eindeutig durch G n - gegeben.
Allgemein fur 1d-Problem mit Vx Y V
x P H z 0 Eigenfunktionen konnen mit definierterParitat gewahlt werden.
Kapitel 13
Zeitunabhangige Storungstheorie
Betrachte die zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung
H G ψ - H0 V G ψ - E G ψ - (13.1)
Aufteilung im “ungestortes Problem”, das als gelost vorausgesetzt wird
H0 G n -. εn G n - (13.2)
und eine Storung V . Beispiel: H0 Hamiltonoperator fur H-Atom, V Storung durch ein extern angeleg-tes Feld Veranderung der Energieniveaus (Stark-Effekt).
13.1 Storungstheorie ohne Entartung
Keine Entartung der G n - .Betrachte Eigenwertgleichung
H0 λV G ψ λ B-. Eλ G ψ λ B- (13.3)
reeller Parameter λ, fur
λ 1 zu losendes Problemλ 0 gelostes Problem
Ansatz: Entwicklung der Losung in Potenzen von λ
Enλ 9 εn ∑
ν 1
λν Ec ν en (13.4)G ψn
λ B-9 G n -) ∞
∑ν 1
λν G ψνn - (13.5)
gesuchte Losung fur λ 1,
En En1 : εn E
c 1 en E
c 2 en oBB (13.6)G ψn -: G ψn
1 B-. G n -B G ψ c 1 en -B G ψ c 2 en -pâBBB (13.7)
133
134 KAPITEL 13. ZEITUNABHANGIGE STORUNGSTHEORIE
Idee: wenn V hinreichend schwach ist, bringen schon die linearen Korrekturterme Ec 1 en und G ψ c 1 en -
eine gute Naherung.
Setze unseren Ansatz in die Schrodinger-Gleichung mit dem Parameter λ ein!H0 λV w G n -) ∞
∑ν 1
λv G ψvn - y w εn ∞
∑v 1
λv Ec nu en y w G n -) ∞
∑nu 1
λν G ψνn - y (13.8)
Sortiere nach Potenzen von λ!
λ0: H0 G n -. εn G n -λ1: V G n -p H0 G ψ c 1 en - εn G ψ c 1 en -) E
c 1 en G n -
λ2: H0 G ψ c 2 en -) V G ψ c 1 en - εn G ψ c 2 en -) Ec 2 en G n -) E
c 1 en G ψ1
n -Hierarchie von Gleichungen
Storungstheorie 0. Ordnung Gleichung mit λ0
1. Ordnung Gleichung mit λ1
2. Ordnung Gleichung mit λ2
1. Ordnung Ec 1 en V G n - H0 εn G ψ1
n - (13.9)
Entwickle G ψ c 1 en - in das Basissystem der G n -G ψ c 1 en - ∞
∑m 1
ac 1 en m G m - (13.10)
Daraus folgt:
Ec 1 en G n -) ∑
m 1
εn εm a c 1 en m G m - V G n - (13.11)
Projektion auf , k G εn εk a c 1 en k E
c 1 en δn k , k G V G n - (13.12)
Setze n k Ec 1 en , n G V G n - (13.13)
Setze n > k ac 1 en k , k G V G n -
εn εk
k > n (13.14)
1. Ordnung
En+ εn E
c 1 en εn , n G V G n - (13.15)G ψn - + G n -B G ψ c 1 en - G n -) ∑
k À n
, k G V G n -εn εk G k - (13.16)
13.1. STORUNGSTHEORIE OHNE ENTARTUNG 135
Betrachte 2. Ordnung
H0 G n - εn G ψ c 2 en V G ψ1n - E
c 2 en G n -p E
c 1 en G ψ c 1 en - (13.17)
Projektion auf G n - durch Multiplikation der linken Seite , n G . , n G V G ψc 1 en '"Zu
∑k ãä n å k æ V æ n çεn è εk æ k ç - E
c 2 en E
c 1 en, n G ψ c 1 en "Z
a é 1 ênn 0
- (13.18)
8 ∑k À n
, n G V G k - , k G V G n -εn εk
Ec 2 en (13.19)8 E
c 2 en ∑
k À n
G , n G V G k - G 2εn εk
(13.20)
Storung des Energiewertes in zweiter Ordnung
Beispiel: Quadratischer Stark-Effekt
Betrachte H-Atom im Grundzustand, r G 100 -. 1H πa3B
exp l rab n (13.21)
Storung durch konstantes elektrisches Feld
E 0 0 Ez Vr e
Er eEz z (13.22)
1. Ordnung
E1100 , 100 G V G 100 - eEz
1
πa3B
d3 r z exp l 2r
aB n 0 Zweite Ordnung
z r cosϑ ∝ rY10
ϑ ϕ (13.23) , nlm G z G 100 - ∝
d3 rRn l r Y l m ϑ ϕ rY10ϑ ϕ exp
r aB αδm 0 δl 1 dr d3 Rn l r exp
r aB (13.24) Ec 2 en ∑
n l m À 1 00
G , n l m G V G 100 - G 2εn l ε10
∑n 2 u"Zu
n nr d l d 1
G , n 1 0 G V G 100 - G 2εn1 ε1
(13.25)
94
a3B E2
z quadratischer Stark-Effekt (13.26)
136 KAPITEL 13. ZEITUNABHANGIGE STORUNGSTHEORIE
Klassische Erklarung
e−
E+
e−
+
ohne Feld
P
Dipol−moment
| P | = E α
α : Polarisierbarkeit
Abbildung 13.1:
Energie des Dipols im elektrischen Feld
V P E αE2z (13.27)
13.2. STORUNGSTHEORIE MIT ENTARTUNG 137
13.2 Storungstheorie mit Entartung
Fur den nichtentarteten Fall gilt in erster Ordnung
En εn , n G V G n - (13.28)G ψn - G n -) ∑m À n
, m G V G n -εn εm G m - (13.29)
Tritt eine Entartung auf, z. B. εM εn divergiert der m M-Term in der Reihe fur G ψn - , wenn, M G V G n -> 0.
Grundidee zur Behebung des Problems:
Die entarteten Eigenvektoren des ungestorten Problems werden so gewahlt, dass das Matrixelementverschwindet.
Durchfuhrung:
Annahme: Eigenwert εn sei N-fach entartet
H0 G n -: εn G n - (13.30)
H0 G nα -: εn G nα - α 1 2 BBB N (13.31)
α: Zusatzlicher Index bei Entartung.
Betrachte nun den modifizierten Ansatz fur die erste Ordnung
G ψ λ B-: ∑α 1
Cα G nα - "Z vorher b n ë λ ∑
m À n
ac 1 en m G m - (13.32)
Eλ ε λEc 1 e (13.33)
Einsetzen in Schrodinger-Gleichung
H0 λV G ψ λ B-. Eλ G ψ λ B- (13.34)
bringt in Nullter Ordnung
H0
N
∑α 1
Cα G nα - εn
N
∑α 1
Cα G nα - (13.35)
Cα: unter der Bedingung der Normierbarkeit frei wahlbar.
Erste Ordnung
138 KAPITEL 13. ZEITUNABHANGIGE STORUNGSTHEORIE
H0 ∑m À nα
ac 1 en m G m -) V
N
∑nα 1
Cα G nα - (13.36) εn ∑m À nα
ac 1 en m G m -p E
c 1 e ∑nα 1
Cα G nα - (13.37)
Wir projizieren auf einen Eigenvektor G nβ - aus der Menge der entarteten Eigenvektoren G nα - , nβ Gnα - δα β. N
∑α 1
Cα, nβ G V G nα -I E
c 1 e Cβ (13.38) Korrektur des Zustandes in Nullter Ordnung Korrektur der Energie in Erster Ordnung als Ersatz von Ec 1 e , n G V G n - ohne Entartung. Gleichung 13.38 ist eine Eigenwertgleichung.
Definiere:
1. Darstellungsmatrix V V αβ , nβ G V G nα - (13.39)
des Storoperators im Raum der entarteten Eigenvektoren.
2. EigenvektorC
C β Cβ (13.40)
Dann ist Gleichung 13.38 aquivalent zum Matrix-Eigenwertproblem
VC E
c 1 e C (13.41)
Weil V hermitesch ist, ist auch V hermitesch. N EigenvektorenCγ γ 1 BBB N N reelle Eigenwerte E
c 1 eγ n Eigenkets G nγ G nγ - N
∑α 1
Cγα G nα - γ 1 BBB N (13.42)
= spezielle Eigenvektoren des ungestorten Problems.
13.2. STORUNGSTHEORIE MIT ENTARTUNG 139
Basis des ungestorten Problems G n1 - G n2 -pBB G nN -r G m - G m > n ¸tFur die r G m - G m > n t folgt aus der Gleichung 13.36 derselbe Ausdruck wie ohne Entartung 1.Ordnung. G ψ - G ψnγ - G nγ -p ∑
m À n
, m G V G nγ -εn εm G m - (13.43)
Enγ εn , nγ G V G nγ - εn Ec 1 eγ (13.44)
Linearer Stark-Effekt:
Betrachte das 2. Niveau im H-Atom vierfache Entartung N 4, r G n 1 -: ϕ1 ψ200 1 r2aB
2a32B
exp l r2aB n Y00
2s (13.45), r G n 2 -: ϕ2 ψ210 1
6a32B
r2aB
exp l r2aB n Y10
2p m 0 (13.46), r G n 3 4 -q ϕ3 h 4 ψ21 × 1 1
6a32B
r2aB
exp l r2aB n Y1 × 1 (13.47)
Storoperator
V erE ezEz C eEzr i 4π
3Y10 (13.48)
Stormatrixelement
Vαβ d3r ϕ α V ϕβ (13.49)
Nach langerer Rechnung
V12 V21 3eEzaB V0 alle anderen Vαβ 0 (13.50)
V Ù0223 0 V0 0 0V0 0 0 00 0 0 00 0 0 0
5!667 Wir bekommen die Eigenvektoren und Eigenwerte
C1 1j 2
0223 1100
5!667 Ec 1 e1 V0
140 KAPITEL 13. ZEITUNABHANGIGE STORUNGSTHEORIEC2 1j 2
0223 1 100
5!667 Ec 1 e2 # V0
C3 0223 0
010
5!667 Ec 1 e3 0
C4 0223 0
001
5!667 Ec 1 e4 0
= E = E4(1) (1)
3
εn + Eγ(1)
εn
Ez
linearer Stark−Effekt
Die Ladungsverteilungen zu G ψn1 - und G ψn2 - haben ein Dipolmoment.
Kapitel 14
Zeitabhangige Storungstheorie undWechselwirkungsbild
Betrachte jetzt eine zeitabhangige Storung
H H0 Vt (14.1)
Das ungestorte Problem sei zeitunabhangig und gelost;
H0 G - εn G n - (14.2)
Fur das volle Problem gibt es keine zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung. Daher mussen wir diezeitabhangige Schrodinger-Gleichung losen.
i ∂∂t G ψ t B-. H0 λV
t $ G ψ t B- (14.3)
wobei wir wieder einen reelen Kopplungsparameter λ eingefuhrt haben. Wir entwickeln G ψ t B- in dasVONS der G n - . G ψ t B- ∞
∑k 1
ckt exp D i
εk t E G k - (14.4)
Fur λ 0 gilt ckt ck const. Das Einsetzen des Ansatzes bringt
∑k 1
% i d ckt
dt εkck
t & exp D i
εk t E G k - (14.5) ∞
∑k 1
ckt exp D i
εk t E εk λVt G k - (14.6)
Projektion auf , m G ergibt
i dcmt
dt λ
∞
∑k 1
ck expiωmk , m G V t G k - ωmk epsilonm εk (14.7)
Ansatz fur die Losung
cmt . c
c 0 emt p λc
c 1 emt ) λ2 c
c 2 emt )oBB (14.8)
141
142KAPITEL 14. ZEITABHANGIGE STORUNGSTHEORIE UND WECHSELWIRKUNGSBILD
Anfangsbedingung
cc 0 em0 . βm n und c
c 1 em c
c 2 em ìBB' 0 (14.9) System ist zur Zeit t 0 im Eigenzustand G n -G ψ 0 B-. G n - (14.10)
Das Wechselwirkungsbild
Wir gehen vom Hamiltonoperator
H H0 Vt (14.11)
aus, wobei H0 nicht von der Zeit abhangt. Der Zeitentwicklungsoperator des ungestorten Systems ist
Ut . exp
iH0t ´ (14.12)
Die Wellenfunktionen im Wechselwirkungsbild sindG ψWt B- U d0 t G ψS
t B-. U d0 t U t G ψH - (14.13)G ψS
t B- : Zustand in Schrodinger-BildG ψSt 0 B- G ψH - : Zustand in Heisenberg-Bild
Trafo-Operator AS in Schrodinger-Bild
AW U d0 ASU0 (14.14)
AS : Operator in Schrodinger-Bild , ψSt G AS G ψS
t B-: , ψW G U0 ASU d0 G ψW - (14.15) , ψW G AW G ψW - (14.16)
Zeitabhangigkeit der Zustande
G ψwt B-: exp
i H0 t G ψS
t B-. exp l i H0t n exp l 1 Ht nG ψS
0 (14.17) exp l i H0 t n exp l i H0
t n G ψw G 0 B- (14.18) UW
t G ψW
0 B- (14.19)
UW : Zeitentwicklungsoperator in Ww-Bild, Randbedingung U0 í 1 Wichtig fur Vielteilchen-
Storungstheorie!
143
ddt G ψW
t B-9 i H0 exp
i H0 exp
i Ht B G ψW
0 B- exp
i H0t l i n H exp
i Ht B G ψW
0 (14.20) i exp
i H0t H0 H "Z V
exp
i H0t exp
i H0t exp i H0t G ψW
0 (14.21) i VW G ψW
t B- (14.22)
Entwickle VW und ψW in die Eigenzustande von H0
H0 G k - εk G k - (14.23)
Vorher geschriebenG ψSt B-: ∑
k
akt G k - + ∑
k
ckt exp l i εkt n G k - ak exp
i t ck (14.24) G ψWt B-: exp l i H0t n ∑
k
akt G k - (14.25) ∑
k
ak exp l i εkt n G k - ∑k
ckt G k - (14.26)
ck: Entwicklungskoeffizienten des Zustandes im Wechselwirkungsbild in der Darstellung G k - .Einsetzen in die Bewegungsgleichung
ddt G ψW
t B-: i VW G ψW
t B- (14.27) ∑
k
ddt
ckt G k -: i VW ∑
k
ckt G k - (14.28)
Projektion auf , m Gi d
dtcmt 9 ∑
k
, m G VW G k - ckt (14.29), m G VW G k -9 , m G exp l i H0t n V exp l i H0t nG k - (14.30) exp
iωmkt , m G V G k - ωmk εm εk (14.31) i d
dtcmt 9 ∑
k
ckt exp
iωmkt , m G V t G k - V λ (14.32)
Storungstheoretischer Ansatz erster Ordnung in λ (schwache Storung)
144KAPITEL 14. ZEITABHANGIGE STORUNGSTHEORIE UND WECHSELWIRKUNGSBILD
Vt 9 λV
t (14.33)
cnt c
c 0 emt p λc
c 1 emt pâBB (14.34)
Einsetzen 0-te Ordnung
i ddt
cc 0 emt 0 c
c 0 emt . c0
m zeitunabhangig (14.35)
Wahle cc 0 emn δmn System soll zum Zeitpunkt t 0 im Zunstand G n - sein.
1. Ordnung
i ddt
cc 1 emt 9 ∑
k
c0k
t exp
iωmkt , m G V t G k - (14.36)8 i d
dtcc 1 em exp
iωmnt , m G V t G n - (14.37)
Mit der Losung
cc 1 emt C i t
0
dt expiωmnt , m G V t G n - (14.38)
Dann bekommen wir im Schrodinger-Bild
G ψSt B-9 ∑
k
ckt exp l i εkt n G k - (14.39) exp l i εnt nCG n -) ∞
∑m 1
cc 1 em exp l i εmnt nG m - (14.40)
Die Wahrscheinlichkeit in G ψSt B- den Zustand G m - zu finden
pn G δmn cc 1 em G 2 (14.41)
ˆ Wahrscheinlichkeit des Uberganges n m Gultigkeitsbedingung fur Storungstheorie 1. OrdnungG c c 1 ent G 1 m > n (14.42)
Bsp.: Periodische Storung
Vt V0 exp
iωt g V t
0 exp iωt (14.43)
(wegen Hermizitat normalerweise nicht wichtig)
Etwa: elektromagnetische Strahlung trifft auf geladenes Teilchen.
145
i cc 1 emt : , m G V0 G n - t
0
dt expiωmn ω "Z
Ω î t f (14.44)
, m G V t0 G n - t
0
dt expiωmn ω "!
Ω è t (14.45)
Fur relativ lange Zeiten t J ωmin
mnist immer nur einer der beiden Beitrage wichtig und zwar nur, wenn^______________` ______________a
Ω / 0ωmn ω εm J εn Absorbtion von Energie von Storung Term mit , m G V t
0 G n - wichtig
Ω d / 0ωmn ω εm εn Eingabe von Energie “Emission” an Stromung Term mit , m G V0 G n - wichtig
(14.46)
Gilt H Ht Energie keine Erhaltungsgroße.
Wenn Ω / 0 Term mit Ω d oszilliert schnell verschwindet im zeitlichen Mittel.
Betrachte
t0
dt expiΩt 1
iΩ exp
iΩt * 1 (14.47) exp
iΩt 2 iΩ
expiΩ 2t * exp
iΩ 2t (14.48) 2expiΩt 2
Ωsin l Ω
2t n (14.49) G t
0
dt expiΩt G 2 4sin2 Ωt 2
Ω2
t ∞ t 2πδΩ (14.50) Fur lange Zeiten wird nur bei Ω / 0 eine Ubergangswahrscheinlichkeit festgestellt.
G c c 1 emt G 2 G , m G V× G n - G 2 4sin2 D Ω ï
2 EΩ × (14.51)
Vd V0
V V t0
146KAPITEL 14. ZEITABHANGIGE STORUNGSTHEORIE UND WECHSELWIRKUNGSBILD
t
2π Ω
Ω
Ubergangsrate
ωn ¤ m cc 1 emt G 2
t G , m G V× G n - G 2 2 (14.52) 4sin2 Ωt 2
Ω2t(14.53)
t d ∞ 2π G , m G V× G n - G 2 δεm εn ω (14.54)
Fur ω 0 Fermis Goldene Regel
Anwendung: Strahlung von Atomen
Vorgegeben Elektomagnetische Welle, durch Vektorpotenzial beschriebenAr t A0
ε cos
kr ωt (14.55)
ω ck undεk 0
ˆ stehender Welle, z. B. im Resonator
ε: Polarisationsfilter
A0: Amplitude
H p2
2me Ze2
r "! Elektronen im ungestorten Atom
emec
Ap "Z
Kopplungsterm
H0 Vt (14.56)
A2: Terme weggelassen
147Vt e
mec
Ap V0 exp
iωt ) V d0 expiωt (14.57)
wegen
cosx : 1
2
exp
ix g exp
ix à (14.58)
V0 A0ε2mc
εp exp
ikx eA0
2mec
cp (14.59)
Langwellennaherung k 2πλ 1
V d0 A0ε2mc
εp exp
ikx eA0
2mec
εp (14.60) Wab πe2 G A0 G 2
2m2ec2 2 G , b G ε p G a - G 2 δ εb εa "Z
Absorption
ω δ
εb εa "Z Emission
ω $ (14.61)
/ A20: induzierte Emission, induziert Absortiv, auch spontane Emission. Quantisieren EM-Feld