240 ARCH. MATH.

Quasiplanare Verb~inde

Von

CHRIST IAI~ HERRNIANN

Unter einem quasiplanaren Verband wollen ~_r einen modularen Verband endlicher L/inge yon Breite = 2 verstehen. Es wird gezeigt, dab jeder quasiplanare Verband in den Verband der Teilr~ume einer desarguessehen projektiven Geometrie einbettbar Jst und dal~ jeder endlich erzeugte quasiplanare Verband endlieh ist.

0. Hilfsmittel. FOx einen Verband L wird die LSnge 1 (L) erkl~rt als das Supremum aller I K I -- 1 (K Ket te in L) und die Breite b (L) als das Supremum aller n, fiir die es eine Abbridung ~ des booleschen Verbandes 2 n in L ~bt , bei der fox beliebige a, b e 2 n ~ a ~ ~ b genau dann grit, wenn a =< b. Ist L atomistisch und modular, so grit 1 (L) = b (L).

In [4] wurde fiir einen modularen Verband M --~ (M, + , - ) endlicher Ls das Skelett S (M) als die Menge der kleinsten Elemente der ma,dmalen atomistischen Intervalle yon M eingeffihrt. Es wurde gezeig% dab S (M) = {x I x e M and x*+= x}, wobei

a , = { ~ u p { b l b ~ a } ffirffir a<l,a=l, a + = { o f { b ] b ' ~ a } fiirfox a>O,a=O

(a ~ b bedeute stets, dab a unterer Nachbar yon b ist). S (M) ist ~-Unterhalbverband yon M and M die S (M)-verklebte Summe der maximalen atomistischen Intervalle M x = [x, x*] ( x eS (M) ) . S (M) ist ein Verband (S(M), v, A) mit x v y -~ x + y und x A y = (x. y)*+, mit kleinstem Element 0 und gr6Btem Element 1% Es grit offenbar I(S(M)) < I(M) und b(S(M)) ~ b(M). Das duale Skelett S t (M) = { x * l x e S ( M ) } ist zu S (M) isomorph und stimmt mit dem Skelett des zu M dualen Verbandes iiber- ein.

Aus [4] sei folgendes, leieht zu beweisende Lemma (6.3) angegeben:

Lemma 0.1. Gilt x ~( y in S (M), 8o x < y ~ x* in M.

Die folgenden drei Lemmata beschreiben, wie sieh das Skelett bei der Bildtmg yon Intervallen und Zer]egungen in M verhglt.

Lemma 0.2. Sei M ein moclularer Verband endlicher L~nge, seien x, y e S (M) mit x ~ y und sei M' = [x, y*]M. Dann gilt S(M') ---- [x, y]S(M).

Beweis . Bezeichne ,,$" bzw. , ,e" den Operator auf M', der , * " bzw. ,,+': ent- spricht. Ist a e Ix, y]M, SO grit a S = a*. Es gilt n~mlieh x ~ a ~-- a '~ ~- a* ~ y* ;

Vol. XXIu 1975 Quasiplanare Verb~nde 241

also gehSren alle b �9 M mi t b >- a sehon zu M ' , d.h. a* ---- a% Dua l gilt fiir alle

a �9 [x*, y*] l t a ~ ---- a +. Is t n u n z �9 S ( M ' ) , so gilt x < z ---- z ' ~ < y ~ = y*~ = y*+ ---- y. Also z *+ -=-- z*e _-- z ~ = z. Umgekehr t gilt f i r alle z e [x, Y]S(M) z $~ -= z*$ = z*+ -~ z u n d somit S (M') ----- [x, Y]S(M) .

Lemma 0.3. Sei 2]I �9 modularer Verband endlicher Liinge und x, y �9 S (M). Dann

gilt S ( M ) -~ [0, X]S(M) U [y, I+]S(M) genau dann, wenn M = [0, X*]M U [y, 1]M und x* > y .

B e w e i s . Die eine Imp l ika t i on ergibt sich aus Le mma 0.1, die andere aus 0.2 u n d [4 ; Lemma 7.1 ].

Lemma 0.4. Sei M �9 modularer Verband endlicher Ldinge, x �9 S ( M ) . Folgende A ussagen sind dquivalent:

(i) S ( M ) = [0, X]S(M ) k.J [X $, 1+]$(M) ,

(ii) x * e S ( M ) und x - < x * in S ( M ) , oder x* ~- 1 ,

(iii) M = [0, X•]M ~.) [X $, I ] M .

B e w e i s . (i) ~ (ii) u n d (i) ~ (hi) s ind trivial . (hi) ~ (i) erh/tlt m a n aus Lemma 0.3. Zu (ii) ~ (i): x* ist v-irreduzibel, da aus y -< x* in S ( M ) stets x* < y*, also

y ---- y*+ > x *+ ----- x und somit wegen x -<( x* y = x folgt. Sei n u n y �9 S (M) u n d y ~ x. D a n n ~ b t es �9 z �9 S ( M ) m i t x A y -< z < y und z ~ x. Es gilt z < (x A y)* ==_ X*, also x < x V z < x*. Daher is t x v z =- x* u n d z =-- x*, woraus y > x* folgt.

1. Das Skelett eines quasiplanaren Verbandes. E i n Verband heil~e quasiplanar, wenn er modular ist u n d endliche L/inge und Breite ~ 2 hat. Nach Folgerung 6.7 aus [4] besagt ,,Breite g 2" gerade, dab fiir jedes x �9 S (M) Mx L/~nge < 2 hat.

Lemma 1.1. Sei M �9 quasiplanarer Verband, a �9 M . Is t a .-reduzibel, so ist a �9 S( M ) ; ist a ~-reduzibel , so a �9 S~(M) .

B e w e i s . Seien b, c >- a in M und b~=c. D a n n gilt a *+ < a < b < b ~- c =< a*, also a ---- a * + e S ( M ) , da I(M=.§ < 2.

Lemma 1.2. Sei M �9 quasiplanarer Verband und x -< y in S ( M ) , x A-reduzibel oder y v-reduzibel. Dann ist x -~ y in M.

B e w e i s . Sei x ~- x l A y, Xi~=y sowie xz >- x in S ( M ) . Nach L e m m a 0.1 grit xz, y < x*, also x < y < x* u n d somit wegen I(Mx) ---- 2 x *( y in M. I s t y v-reduzibel, so sei Yi ~ Y in S (M) mi t Yz v x =- y. D a n n ist y aber aueh + - reduz ibe l in M, also nach Lemma 1.1 y �9 S~(M) u n d somit y ---- y+*. Naeh dem zu 0.1 dualen Le mma gilt

Y + < y z , x , also y + < y i A x < x < y < y + * u n d somit wegen l ( M y + ) = 2 x - < y i n M .

Satz 1.3. Das Skelett eines quasiplanaren Verbandes M i s t �9 Unterverband yon M .

B e w e i s . Wir be t rachten zun/ichst den Fa l l x, y ~( z in S ( M ) u n d x # y . D a n n is t z v-reduzibel, also x, y -< z in M nach L e m m a 1.2 u n d somit wegen der Modulari t / i t yon M x . y - < x, y in M, also (x-y)*+ < x - y < x < z < (x .y )* = (x .y )*+* u n d somit x . y = (x- y)*+ = x ^ y.

Archly der Mathematik ~ 16

242 CH. HERI~MANN AKCH. MATH.

x . y ---- x J\ y ~-ird nun a l lgemein du tch abs te igende Ordnungs induk t ion in S (M) bewiesen. Fa l l s x ~ y oder y ~ x, i s t n iehts zu zeigen. Andernfa l l s g ib t es ein z ~- y in S (M) und nach I n d u k t i o n s a n n a h m e gi l t x ^ z ---- x - z < z. Fa l l s schon x ,,\ z ~ y ~oilt, s o f o l g t x A y - - - - x A z ~ - x . z - - - - x . y . S e i a l s o x A z ~ y u n d y = y 0 ~ y l > - . . . ~ - y ~ _ - - ----x A z eine max ima le K e t t e in S ( M ) zwisehen y und x ,\ z. igat i i r l ich y~ ~ y fiir i ---- 0 . . . . . k. Wi r zeigen y~. y -~ y~ A y ~ y~ in M fiir i = 0 . . . . . k du tch Induk - t ion. Der Induk t ionsan fang is t t r iv ia l und yon i au f i -F 1 schliel3t m a n so: Da

yi+l ~ Yt gi l t y~ ~, y =~ Y~+I und somit Y~+I ,~ y -~ Y~+I A Yl A y ---- Yl+l" (Yi ,~ y) = yi+l" �9 Y~" Y ---- yi+l" y. Da Y~+I v (yi A y) = Y~+I q- (Yi A y), folgt wegen der IViodularit/it yon M yi+l A y ~ y~+i in M. Somi t x ,~ y = x ^ z / , y -~ y~ ~,, y ----- Yk" y ---- (x" z)" y ----- x ' y .

Aus dem Sa tz ergibt sich insbesondere, dab das Ske le t t eines quas ip lanaren Ver- bandes M selbs t quas ip lanar (und yon kle inerer L~nge) ist . I s t M p l ana r (d.h. yon Ordnungsdimens ion 2); so is t S (M) sogar d i s t r ibu t iv . Nach Wil le [7] is t n//mlich der U n t e r v e r b a n d 2f der reduz ib len E lemente yon M d i s t r i bu t i v und S (M) C 2V nach L e m m a 1.1. Umge.kehrt e rzwingt die D i s t r i bu t i v i t~ t yon S ( M ) noch nieht , dab M p l ana r ist, wie Fig . 1 zeigt.

Fig. 1

SchlieBlich sei noch folgende leicht zu beweisende Bemerkung angefi igt :

Bemerkung 1.4. Sei a e M x • My . I s t x ~ y und a * x*, so gi l t x -4 y in M und a ---- y. Sind x u n d y unvergle iehbar , so gi l t a ---- (x A y)* = x v y und x A y ~ x, y ~ x v y i n M .

2. I rreduzible Elemente. A. Day , R. Wil le und der A u t o r h a b e n in [2] gezeigt, dab es subd i rek t i r reduzible modula re Verb/~nde der Bre i te 2 m i t 4 Erzeugenden yon bel iebiger endl icher L/gnge (und auch yon unendl icher L/~nge) ~ b t . Dahe r i s t ein Zusammenhang zwischen E l emen tanzah l und Erzeugendenanzah l nur bei fester end- l ieher L~/nge mSglich. Dieser soll i n d u k t i v fiber das Ske le t t herges te l l t werden.

Satz 2.1. Sei M quasiplanarer Verband von Lgnge n ~ 2. Dann hat S ( M ) h6chstens

n -- 3 irreduzible Elemente mehr als M .

Zum Beweis benSt igen wir

L e m m a 2.2. Sei M quasiplanarer Verband, x in S (M) irreduzibel. Dann tritt einer der /olgenden _~dlle ein:

Vol. XXIV, 1975 Quasiplanare Verb~nde 243

(A) Es gibt a ~ M so, daft x -< a, a ~ S (M) und a irreduzibel in M ist.

(B) Es gibt y >- x in S (M) so, daft y v-irreduzibel in S (M) ist.

B e w e i s . F a l l 1: x i s t nich~ das gr61~te Elemen~ l+ yon S(M). a) Sei x* e S ( M ) t rod x* >- x in S(M) . D a n n g i l t nach dem zu 0.1 dua len L e m m a z > x *+ ~- x ffir jedes z ~( x* aus S(M) . Also i s t x* v- i r reduzibe l und es t r i t t Fa l l (B) ein.

b) Sei x* ~ S (M) oder aber x* "~:- x in S(M) . Trete de r Fa l l (B) n ich t ein. D a n n g ib t es aber ein v- reduzib les y >- x in S (M) m i t y < x* in M. Also gi l t y >- x in M und es g ib t a e M m i t a >- x und a =~ y. Es gi l t a ~ S (M), da x A-irreduzibel ist . Also gi l t en tweder (A) oder a is t reduzibe l in M, d a n n abe r wegen L e m m a 1.1 + - r e duz ibe l . y is t ebenfal ls ~--reduzibel , also grit a +, y+ < x. D a M Brei te < 2 ha t , folgt a +, y+-< x. J edoch a +, y+ e S ( M ) und a+=~ y+, da sonst a ----- a +* ---- y+* ---- y. Also is t x =- a + + ~- y+ ~- a + v y+ n ich t i r reduz ibe l im W i d e r s p r u c h zur Voraussetzung. Also mul~ doch der Fa l l (B) oder de r Fa l l (A) e in t re ten .

Fa l l 2: x ---- 1 +. a i s t . - i r reduzibel f/ ir alle a >- x nach L e m m a 1.1. Also grit ent- weder 1 ----- x* >- x und somi t 1 i r reduzibel in M ; oder es g ib t a, b >- x mi t a 4= b. W/iren a und b beide ~--reduzibel , so schl6sse m a n wie u n t e r Fa l l 1 b), dab x in S (M) reduzibe l w/ire. _Also is t a oder b i r reduzibe l in M. Dahe r t r i t t b ie r s te t s der Fa l l (A) ein.

L e m m a 2.3. Sei M quasiplanarer Verband, x ~ y in S (M), x ^-irreduzibel und y v-irreduzibel in S(M). Dann gilt M ~- [0, X*]M t.) [x, lJM und S(M) ---- [0, XJS(M) k.) ~3 [y, 1Is(M) �9

B e w e i s . W i t zeigen zun/ ichst : (*) Ff i r alle a e M folgt aus a > x u n d a ~ x*, dab a > y ist. Fa l l s y = x* ist, so e r ~ b t sich die B e h a u p t u n g aus L e m m a 0.4. Sei nun x ~( y -< x*

in M. W/ire a ~ y, so g/ibe es a ' und a'" mi t x ~( a' ~( a" < a, a" ~ x* und a ' ~= y. Da raus folgte a' = a" . x*, also a' e S ( M ) nach L e m m a 1.1 und x ~- a' ^ y w/ire ^-re- duzibel . D a h e r mul3 a > y gelten.

Sei nun a e M, a ~ x u n d a ;~ x*. Nach (*) u n d der dazu dua len Aussage h/ i t te m a n x A- a > y und y - a < x, also einen W i d e r s p r u c h zur Modular i t / i t . Also muB a > x oder a _--< x* gelten. Dua l h a t m a n auch M ---- [0, Y]M k.) [y+, IJM.

I s t z e S (M), so mul3 z _--< x oder z > y gelten. Andernfa l l s h/ i t te m a n n/~mlieh wegen der v - I r reduz ib i l i t / i t yon y und der ^ - I r reduz ib i l i t / i t yon x z ^ y < x und z v x > y, also einen W i d e r s p r u c h zur Modular i t / i t yon S (M).

B e w e i s d e s S a t z e s . Bezeichne J ( L ) s te t s die Menge der i r reduz ib len E lemen te des Verbandes L. W i r defmieren i n d u k t i v eine Abb i ldung ~0 yon ~r in J ( M ) u { 1 , 2 . . . . , n - - 3 } :

fiir x > 0 _ ~ a naeh (A), falls (A) gi l t fi ir x,

~ - [ m ~ ({1 . . . . . ~ - a} - ~ ({Yl x < y _-< 1+})) s o . s t ;

falls 0 e J ( S ( M ) ) {0 naeh (A), falls (A) g i l t ffir 0,

~0 0 = s o n s t .

Gi l t (A) n ieh t f i ir 0 e ~r so g ib t es naeh 2.2 trod 2.3 genau ein y >- 0 in S ( M ) ,

16"

244 CH. HERRMANN AP.CH. MATH.

also sind wegen 1.1 alle a >- 0 in M mit a . y in M irreduzibel. Daher gilt y = 0", und 0 ist irreduzibel in M.

Da S L~inge __< n - - 1 hat, kann wegen Lemma 2.3 der Fall (B) mit x . 0 hSchstens (n--3)real auftreten. Also ist ~ wohldefiniert.

Dariiber hinaus ist 9 injektiv: Seien x l , x~, e J ( S ( M ) ) und x l * x2. Tr i t t fiir beide der Fall (A) ein, so gilt ~x14= 9xz, da andernfalls ~ x l = X l - / X 2 reduzibel wgre. Tri t t (A) fiir Xl, nieht jedoeh fiir x2 ein, so gilt ~x l e M und ~x2 �9 {1 . . . . . n -- 3}, also ~ xl ~: ~ x2. Trete nun beidesmal nieht Fall (A) ein. Also t r i t t beidesmal Fall (B) ein und es gilt naeh I ~ m m a 2.3, dal3 xl < x2 oder x2 < xl gilt. I m ersten Falle ~(x~) e 9({Y] Xl < y ~ 1+}), also ~(x2) :~ ~(xl) mid entsprechend im zweiten Fall.

DaB die in Satz 2.1 gegebene Abseh~tzung im allgemeinen nieht verbessert werden kann, ze i~ Fig. 2.

~ b ~r = {a, b},

S(M) = ~r

a Fig. 2

Satz 2.4. Die Elementanzahl eines quasiplanaren Verbandes 1513t 8ich primitiv rekursiv aus der L~inge und d~r Anzahl irreduzibler Elemente abschStzen.

B e w e i s . Definiere

] ( m , n ) : = l ftir n = 0 und

] ( m , n ) : = 2 . / ( m - ~ n - - 3 , n - - 1 ) - ~ m ffir n > O .

Sei nun i quasiplanar yon L~nge n mit [~r (M)[ = m. Falls n = 0, so gilt IM]= = 1 = ](m, 0). Falls n = 1, so grit ]M I = 2 - - / ( m , 1). Andernfalls hat S ( M ) L~nge =< n --- 1 mid naeh Satz 2.1 hSchstens m -~ n - - 3 irreduzible Elemente. Also gs nach SaCz 1.2 und Induktionsannahme I S ( M ) I <= ](m ~- n -- 3, n -- 1).

Fiir das duale Skelett S~(M) gilt I SS(M)[ = IS (M)[ , also, da nach Lemma 1.1

M=c Z(M) u Z~(M) u J (~) , I M I --</(~, n).

3. Die primitiven Klassen ~ n . Sei 2~s n die yon allen quasiplanaren Verbs yon L~nge ~ n erzeugte primitive (gleichungsdefinierte) Klasse. Nach Baker [1] ist jeder subdirekt irreduzible Verband aus s~[ n quasiplanar yon L~nge ~ n. Daher folg~ aus Satz 2.4 sofort

Satz 3.1. _~ir a l l e n < r ist die Elementanzahl eines Verbandes au8 2~s n aus der Anzahl der Erzeugenden primitiv rekursiv abschdtzbar. Das Wortproblem /is ~J/g" ist 16sbar.

In [3] haben M. Hall und R. P. Dilworth folgendes Problem gestellt: Welehe Ver- b~nde lassen sieh in den Verband der Teilr~ume einer desarguesschen projektiven Geometrie einbetten ? Eine Kennzeichnung solcher Verb~nde ist nach C. Her rmann u. W. Poguntke [5] durch Axiome der Sprache erster Stufe mSglich, jedoeh nicht durch endlich viele. Ein Axiomensystem ist jedoeh noch nicht bekannt.

Vol. XXIV, 1973 Quasiplanare Verb~inde 245

Eine TefllSsung ha t ]3. J6nsson in [6] angegeben, indem er zei~e, dab alle Argaaesi- sehen Verb~nde yon L~nge __< 4 zu dieser Klasse geh6ren. Eine weitere Teill6sung ~ b t der

Satz 3.2. Sei M ein quasiIolanarer Verband yon I_Zinge n. Sei K ein K6rper mit ] K I ->--- I Mx I -- 3 ]i~r alle x ~ S (M) und V e i n n-dimen~ionaler Vektorraum i~ber g . Dann ist M in den Verband der UntervektorrSume von V einbettbar.

Korollar 3.3. Jeder Verband aus 2~gn ist Arguesisch.

B e w e i s d e s S a t z e s dureh Induk t ion fiber n. Fiir n _--< 2 ist die Aussage trivial. Sei n > 2. Dann gilt 1 + < 1. Sei W ein ( n - - 1 )- bzw. ( n - 2)-dimensionaler Unter- r a u m yon V, je nachdem ob 1 + - ( 1 g21t oder nieht. Nach Iudukt ionsannahme gibt es eine E inbe t tung ~ yon [0, I+]M in den Verband q/(W) der Untervektorr~ume yon W, insbesondere ~0 1 + ~ W.

Falls 1 + < 1 ist, so erh~lt man eine E inbe t tung ~0 mi t ~va= ~0a ffir a ~ 1 + und ~vl = V.

Sei also [1 +, 1] yon L~nge 2. Wir bemerken0 dab ffir alle U1 C U2 C V mit dim U2 = ---~ dim UI-~- 2 und ffir alle x ~ S(M) M:c in das Interval l [U1, Ug.] yon q/(V) einbett- bar ist, da dieses L~nge 2 und wegen der Voraussetzung fiber K mindestens so viele Atome wie Mx hat.

Insbesondere gibt es also eine E inbe t tung a yon Ml+ in [W, V] mi t a l + = W. Ffir jedes U mit W C U C V sei ein eindimensionaler Un te r r aum P u yon V gew/~h]t mit U = W + Pv .

Sei nun z e S(M) mit 1 * x* ~= 1% Es ~ b t ein a e M mit x* =< a -< 1, also a >- 1 + und x* q- 1 + = a ~- 1 +. Daraus folgt mi t der Modularit~it z - ( x* �9 1+ .< x*, also - - da [0, 1+] und q/(W) gleiehe L~nge haben - - ~vx-,( ~0(x*- 1 +) ~ ~ (x* - 1 +) q- Px*, wenn Pz* = P~r Daher gibt es eine E inbe t tung v2x: Mx -~ [epx, cp(x. 1 +) + P z . ] .

I s t x ~ S ( M ) minimal mit l * x * ~ 1 +, so sei ~0x so gew~hlt, dab ~x(x* . l+) = ---- ~0(x* �9 1+). I m fibrigen sei ~x so gew/ihlt, dal~ zus/itzlieh v2z(y* ) = ~py(y*) fiir alle y -~ x in S(M) mit y* ~ 1 + grit. Dies ist m6glich, da y* >- x und da aus y* = stets yl = y2 fo l~ .

SehlieBlieh sei definiert: ~o1+ ---- ~ mad ~vz = ~ I Mx ffir alle x ~ 1 +. Sei v 2 = (J {~px[xeS(M)}. Da S(M) naeh Satz 1.3 modular ist, kann man Zusatz

5.2 aus [4] anwenden, d .h . ~v ist ein injektiver Verbandshomomorphismus yon M in all(V), falls nur ~p~lMz~My ----- W~,IM:~nMu ffir alle x <: y aus S(M) ~l t .

Die ~x sind gerade so definiert, dal~ ~)x ] M~ ~ [0, 1 +] C ~. Naeh Bemerkung 1.4 ~.1"~ J~lx t3 .My C__ {x, y*} ffir alle x - ( y aus S (M). Es ist also nur ffir z ~ y aus S (M) mit y * ~ 1 + nachzuprfifen, dab ~PxY* ~ ~pyY*. I s t x* * 1, so ist dan gerade dutch die Wahl der Y~x gew~hrleistet. I s t x* ---- 1, d.h. x -=-- 1 +, so g4lt

Y)uY* = W -}- Py* = ~y* = ~o~§ (y*).

Also 1/il~t sieh M in den Verband der Unte rvek tor r~ume yon V einbetten.

246 CH. HERRMANN ARCH. MATH.

Literaturverzeichnis

[1] K. B_~xxR, Equational classes of modular lattices. Pacific. J. Math. 28, 9--15 (1969). [2] A. DAY, C. HERRMA~ and 1~. WILLX, On modular lattices with four generators. Eingereicht

bei Algebra Universalis. [3] M. H_~nL and R. P. DILWORTH, The imbedding problem for modular lattices. Ann. Math. 45,

450--456 (1944). [4] C. HER~)~A~, S-verklebte Summen yon Verb~inden. [5] C. HER~A~r and W. POGU~TKX, Axiomatic classes of normal subgroups. Eingereicht bei

Algebra U~iversalis. [6] B. J6zesso~, Arguesian lattices of dimension n ~ 4. Scand. Math. 7, 133--145 (1959). [7] R. W~LE, On modular lattices of order dimension two.

Eingegangen am16.10.1972

~4nschrift des Autors: Christian Herrmann Fachbereich Mathematik der Technischen Hochschule 6800 Darmstadt