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Regelungstechnik 2

Jan Lunze

Regelungstechnik 2Mehrgrößensysteme, Digitale Regelung

10., überarbeitete und aktualisierte Auflage

Mit 277 Abbildungen, 60 Beispielen, 107 Übungsaufgaben sowie einer Einführung in das Programmsystem MATLAB

Prof. Dr. Jan LunzeRuhr-Universität Bochum Bochum, Deutschland

ISBN 978-3-662-60759-6 ISBN 978-3-662-60760-2 (eBook)https://doi.org/10.1007/978-3-662-60760-2

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https://doi.org/10.1007/978-3-662-60760-2

http://dnb.d-nb.de

Vorwort

Aufbauend auf den im ersten Band vermittelten Grundlagen linearer Regelungenbehandelt der zweite Band die Modellierung und Analyse von Mehrgrößensystemen,den Entwurf von Mehrgrößenreglern sowie die digitale Regelung.

Obwohl für Mehrgrößensysteme zahlreiche Analyse- und Entwurfsverfahren imZeitbereich und im Frequenzbereich zur Verfügung stehen, haben die theoretischenGrundlagen beider Betrachtungensweisen bisher nur begrenzt Eingang in Lehrbü-cher für das Ingenieurstudium gefunden. Insbesondere fehlen einführende Darstel-lungen, in denen die Theorie mit praxisrelevanten Beispielen und Übungsaufgabenverknüpft ist und in denen ein Anschluss an die rechnergestützten Entwurfswerkzeu-ge wie beispielsweise MATLAB hergestellt wird. Diese Lücke zu schließen, ist einAnliegen des vorliegenden Buches.

Inhalt. Die Stoffauswahl wurde wesentlich durch die Erfahrungen des Autorsbei der Behandlung praktischer Mehrgrößenregelungsaufgaben aus den Gebietender Elektroenergieversorgung, der chemischen Verfahrenstechnik und der Biover-fahrenstechnik bestimmt. Diese Anwendungen legen es nahe, von der Vielzahl derim Laufe der Zeit entwickelten Verfahren diejenigen herauszugreifen, die einerseitsvon praktisch erfüllbaren Voraussetzungen ausgehend ein gutes theoretisches Funda-ment haben und andererseits zu überschaubaren Analyse- und Entwurfsergebnissenführen. Viele Beispiele verdeutlichen diesen Charakter der beschriebenen Methoden.Der praktische Hintergrund der Beispiele kann hier zwar nur kurz angesprochen wer-den. Die betrachteten Regelungsaufgaben sowie die zu ihrer Lösung verwendetenModelle zeigen jedoch, worin die maßgebenden Schwierigkeiten dieser Regelungs-aufgaben bestehen und welche praktisch akzeptablen Vereinfachungen möglich sind.

Die digitale Regelung wird im dritten Teil dieses Buches ausgehend von derFrage behandelt, welche Veränderungen sich für den Regelkreis ergeben, wenn an-stelle eines kontinuierlich arbeitenden Reglers ein Abtastregler eingesetzt wird. DerSchwerpunkt liegt in der Behandlung derjenigen Probleme, die sich beim Übergangvon der kontinuierlichen zur zeitdiskreten Betrachtungsweise ändern bzw. neu ent-stehen. Die Gliederung des dritten Teils ähnelt deshalb der des ersten Teils, wodurchdie Parallelen bei der Behandlung kontinuierlicher und zeitdiskreter Systeme deut-lich zum Ausdruck kommen und die neuen Aspekte der Abtastsysteme herausgeho-ben werden.

Einige der hier angesprochenen Themen werden erstmals in einem Lehrbuchder Regelungstechnik behandelt, u. a. die strukturelle Steuerbarkeit und strukturelleBeobachtbarkeit, das Innere-Modell-Prinzip, Einstellregeln für Mehrgrößensysteme,

VI

die robuste Regelung sowie die Modellbildung gekoppelter Systeme und die dezen-trale Regelung. Die zu diesen Themen vorgestellten Methoden entstanden aus For-schungsarbeiten, die zu praktikablen Analyse- und Entwurfsverfahren geführt habenbzw. die Regelungstheorie an wichtigen Punkten ergänzen.

Bei der Vermittlung des Stoffes wird Wert auf eine in allen Einzelheiten durch-schaubare Darstellung gelegt. Für Mehrgrößensysteme entsteht dabei jedoch dasProblem, dass selbst sehr einfache Beispiele nicht mehr von Hand gerechnet wer-den können und der Lösungsweg nicht immer in allen Einzelheiten aufgeschriebenwerden kann. Hier kommt das bereits im ersten Band eingeführte ProgrammsystemMATLAB zum Einsatz, das umfangreiche numerische Rechnungen übernimmt. DieBehandlung der Beispiele kann sich deshalb auf die Herausarbeitung der numerischzu lösenden Probleme beschränken und mit den von MATLAB gelieferten Ergebnis-sen weiterarbeiten.

Zahlreiche Übungsaufgaben dienen zur Festigung des Stoffes. Die Lösungender wichtigsten Aufgaben sind im Anhang angegeben.

Die am Ende jedes Kapitels gegebenen Literaturhinweise beziehen sich aufAufsätze und Bücher, die maßgeblich zur Entwicklung der Regelungstheorie bei-getragen haben bzw. in denen einzelne Aspekte des beschriebenen Stoffes vertieftdargestellt sind.

Leser. Ein großer Teil der für Mehrgrößensysteme entwickelten Ansätze setzt um-fangreiche mathematische Kenntnisse voraus. Die Stoffauswahl dieses Buches istu. a. durch das Ziel bestimmt, die wichtigsten Herangehensweisen und Verfahren sodarzustellen, dass von den Lesern lediglich Kenntnisse über die Matrizenrechnungsowie über die Anwendung der Fourier-, Laplace- und Z-Transformation vorausge-setzt werden müssen, die den Ingenieurstudenten in den ersten Semestern vermitteltwerden.

Ich verwende dieses Buch an der Ruhr-Universität Bochum für eine weiterfüh-rende Regelungstechnikvorlesung des Masterstudiengangs Elektrotechnik und Infor-mationstechnik. In dieser einsemestrigen Veranstaltung werden die meisten der hierbehandelten Themen angesprochen, allerdings nicht immer in der beschriebenen Tie-fe. Das Buch dient als Vorlesungsskript, beschreibt Erweiterungen des behandeltenStoffes und dient als Vorlage für die Rechenübungen. Die im Anhang angegebenenProjektaufgaben sind von den Hörern meiner Lehrveranstaltung parallel zur Vorle-sung mit dem Programmsystem MATLAB zu lösen. Sie vermitteln erste Erfahrungenim Umgang mit Mehrgrößenregelungen und digitalen Regelkreisen.

Danksagung. An der mehrjährigen Umarbeitung meiner Vorlesung, aus der diesesBuch entstand, haben meine Mitarbeiter und Studenten großen Anteil. Herr M. Sc.ALEXANDER SCHWAB hat in den letzten Jahren die zu dieser Vorlesung gehören-de Übung geleitet und wertvolle Hinweise zur Verbesserung der Übungsaufgabengegeben. Bei der Überarbeitung des Buches zeichnete Frau ANDREA MARSCHALLzahlreiche Bilder neu und erstellte die Druckvorlagen.

Vorwort

VII

Zehnte Auflage. Die neue Auflage enthält viele kleinere Änderungen des Tex-tes und der Übungsaufgaben. Die Darstellung der strukturellen Analyse der Steu-erbarkeit und Beobachtbarkeit wurde grundlegend überarbeitet und die Projektauf-gabe zum Mischprozess durch zwei weitere Übungsaufgaben untersetzt. Die Be-schreibung des Programmsystems MATLAB wurde der aktuellen Version (ReleaseR2019a) angepasst.

Bochum, im Oktober 2019 JAN LUNZE

Auf der Homepage www.atp.rub.de/Buch/RT2 des Lehrstuhls für Automatisie-rungstechnik und Prozessinformatik der Ruhr-Universität Bochum finden Interessentenweitere Informationen zu den Beispielen, die zur Erzeugung von Bildern verwendetenMATLAB-Programme sowie die Abbildungen dieses Buches für den Gebrauch in Lehr-veranstaltungen.

Vorwort

Inhaltsverzeichnis

Verzeichnis der Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XVII

Inhaltsübersicht des ersten Bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XXI

Hinweise zum Gebrauch des Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XXIII

Teil 1: Analyse von Mehrgrößensystemen

1 Einführung in die Mehrgrößenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Regelungsaufgaben mit mehreren Stell- und Regelgrößen . . . . . . . . . 1

1.1.1 Charakteristika von Mehrgrößensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Beispiele für Mehrgrößenregelungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Mehrgrößenregelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Regelungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Regelkreisstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Probleme und Lösungsmethoden für Mehrgrößenregelungen . . . . . . 12Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Beschreibung und Verhalten von Mehrgrößensystemen . . . . . . . . . . . . . 152.1 Beschreibung von Mehrgrößensystemen im Zeitbereich . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Zustandsraummodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3 Übergangsfunktionsmatrix und Gewichtsfunktionsmatrix . . . 18

2.2 Beschreibung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1 E/A-Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens mit Hilfe der

ROSENBROCK-Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Strukturierte Beschreibungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Reihen-, Parallel- und Rückführschaltungen . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Systeme in P- und V-kanonischer Struktur . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.3 Beliebig verkoppelte Teilsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Verhalten von Mehrgrößensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.1 Zeitverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.2 Verhalten im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

X Inhaltsverzeichnis

2.4.3 Übergangsverhalten und stationäres Verhalten . . . . . . . . . . . . 442.5 Pole und Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5.1 Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5.2 Übertragungsnullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5.3 Invariante Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6 Stabilität von Mehrgrößensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.7 MATLAB-Funktionen für die Analyse von Mehrgrößensystemen . . 59

Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1 Steuerbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1 Problemstellung und Definition der Steuerbarkeit . . . . . . . . . 653.1.2 Steuerbarkeitskriterium von KALMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1.3 Steuerbarkeit der kanonischen Normalform . . . . . . . . . . . . . . 783.1.4 Steuerbarkeitskriterium von HAUTUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.1.5 Nicht vollständig steuerbare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.6 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.1 Problemstellung und Definition der Beobachtbarkeit . . . . . . . 933.2.2 Beobachtbarkeitskriterium von KALMAN . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2.3 Dualität von Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . 1013.2.4 Weitere Beobachtbarkeitskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2.5 Nicht vollständig beobachtbare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.3 KALMAN-Zerlegung des Zustandsraummodells . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.4 Strukturelle Analyse linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.4.1 Struktur dynamischer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.4.2 Beziehungen zwischen strukturellen und numerischen

Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.4.3 Strukturelle Steuerbarkeit und strukturelle Beobachtbarkeit . 1233.4.4 Strukturell feste Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.4.5 Aussagekraft der strukturellen Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.5 Realisierbarkeit und Realisierung von Mehrgrößensystemen . . . . . . . 1403.6 MATLAB-Funktionen zur Steuerbarkeits- und

Beobachtbarkeitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Teil 2: Entwurf von Mehrgrößenreglern

4 Struktur und Eigenschaften von Mehrgrößenregelkreisen . . . . . . . . . . 1494.1 Struktur von Mehrgrößenreglern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.1.1 Zustands- und Ausgangsrückführungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.1.2 Dynamische Mehrgrößenregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.1.3 Dezentrale Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.2 Grundlegende Eigenschaften von Mehrgrößenregelkreisen . . . . . . . . 161

Inhaltsverzeichnis XI

4.2.1 Pole und Nullstellen des Führungsverhaltens . . . . . . . . . . . . . 1614.2.2 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit des Regelkreises . . . . . . . 166

4.3 Stabilität von Mehrgrößenregelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.3.1 Stabilitätsanalyse anhand der Pole des Regelkreises . . . . . . . 1684.3.2 HSU-CHEN-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.3.3 Nyquistkriterium für Mehrgrößensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.3.4 Stabilität bei kleiner Kreisverstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.3.5 Robuste Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.4 Stationäres Verhalten von Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.4.1 Führungsgrößengenerator und Störgrößengenerator . . . . . . . . 1854.4.2 Vorfilterentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.4.3 Störgrößenaufschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.4.4 PI-Mehrgrößenregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.4.5 Inneres-Modell-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924.4.6 Verallgemeinerte Servoregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.5 Kriterien für die Wahl der Regelkreisstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.5.1 Auswahl von Stell- und Regelgrößen anhand der Pole und

Nullstellen der Regelstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.5.2 Kopplungsanalyse einer dezentralen Regelung . . . . . . . . . . . . 2034.5.3 Auswahl von Stellgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2064.5.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

5 Einstellregeln für PI-Mehrgrößenregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.1 Zielstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.2 Gegenkopplungsbedingung für I-Mehrgrößenregler . . . . . . . . . . . . . . 2215.3 Einstellung von I-Reglern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5.3.1 Idee der Reglereinstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2285.3.2 Festlegung der Reglermatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2295.3.3 Festlegung des Tuningfaktors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2325.3.4 Erweiterung auf PI-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2355.3.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5.4 Robustheit des eingestellten PI-Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2435.5 MATLAB-Programm zur Reglereinstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247


6 Reglerentwurf zur Polzuweisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.1 Zielstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.2 Polzuweisung durch Zustandsrückführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

6.2.1 Polzuweisung für Systeme in Regelungsnormalform . . . . . . . 2516.2.2 Erweiterung auf beliebige Modellform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.2.3 Diskussion der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.2.4 Darstellung der Reglerparameter in Abhängigkeit von den

Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.3 Erweiterung auf Regelstrecken mit mehreren Stellgrößen . . . . . . . . . 262

XII Inhaltsverzeichnis

6.3.1 Dyadische Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2636.3.2 Vollständige Modale Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

6.4 Polzuweisung durch Ausgangsrückführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2686.4.1 Überlegungen zu den Freiheitsgraden von Ausgangsrück-

führungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2686.4.2 Ersetzen einer Zustandsrückführung durch eine äquivalente

Ausgangsrückführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.4.3 Näherung einer Zustandsrückführung durch eine

Ausgangsrückführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2726.4.4 Ersetzen einer Zustandsrückführung durch einen

dezentralen Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2796.5 MATLAB-Programme für den Entwurf zur Polzuweisung . . . . . . . . . 288


7 Optimale Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2937.1 Grundgedanke der optimalen Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2937.2 Lösung des LQ-Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

7.2.1 Umformung des Gütefunktionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3017.2.2 Ableitung einer notwendigen Optimalitätsbedingung . . . . . . 3037.2.3 Optimalreglergesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3057.2.4 Lösung der Riccatigleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

7.3 Eigenschaften des LQ-Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3087.3.1 Stabilität des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3087.3.2 Eigenschaft der Rückführdifferenzmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . 3097.3.3 Stabilitätsrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3117.3.4 Abhängigkeit der Eigenwerte des Regelkreises von den

Wichtungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3137.3.5 Diskussion der angegebenen Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 314

7.4 Rechnergestützter Entwurf von LQ-Regelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3157.4.1 Entwurfsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3157.4.2 Wahl der Wichtungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3167.4.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

7.5 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3247.6 Optimale Ausgangsrückführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3287.7 H∞-optimaler Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

7.7.1 Erweiterungen der optimalen Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3327.7.2 H∞-Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3337.7.3 Lösung des H∞-Optimierungsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

7.8 Optimalreglerentwurf mit MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

8 Beobachterentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3458.1 Beobachtungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3458.2 LUENBERGER-Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

8.2.1 Struktur des Beobachters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Inhaltsverzeichnis XIII

8.2.2 Konvergenz des Beobachters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3518.2.3 Wahl der Rückführmatrix L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3518.2.4 Berechnung des Beobachters aus der

Beobachtungsnormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3528.2.5 Störverhalten des Beobachters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

8.3 Realisierung einer Zustandsrückführung mit Hilfe einesBeobachters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3558.3.1 Beschreibung des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3558.3.2 Separationstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3578.3.3 Entwurfsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

8.4 Reduzierter Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3658.4.1 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3658.4.2 Ableitung der Beobachtergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3658.4.3 Regelkreis mit reduziertem Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

8.5 Weitere Anwendungsgebiete von Beobachtern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3718.6 Beziehungen zwischen LUENBERGER-Beobachter und

KALMAN-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3738.7 Beobachterentwurf mit MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377


9 Reglerentwurf mit dem Direkten Nyquistverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 3819.1 Grundidee des Direkten Nyquistverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3819.2 Stabilitätsanalyse unter Verwendung von Abschätzungen . . . . . . . . . 383

9.2.1 Betrachtungen zum Nyquistkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3839.2.2 Abschätzung der Eigenwerte der Rückführdifferenzmatrix . . 3859.2.3 Stabilitätsbedingung für ein dezentral geregeltes System . . . 3889.2.4 Integrität des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

9.3 Entwurf mit dem Direkten Nyquistverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3919.4 Verbesserung der Analyse des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

9.4.1 Ableitung einer Stabilitätsbedingung ausRobustheitsbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

9.4.2 Abschätzung des E/A-Verhaltens des Regelkreises . . . . . . . . 4029.5 Entkopplung der Regelkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4109.6 Entwurfsdurchführung mit MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416


Teil 3: Digitale Regelung

10 Einführung in die digitale Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42510.1 Digitaler Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42510.2 Abtaster und Halteglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

10.2.1 Abtaster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42710.2.2 Halteglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

XIV Inhaltsverzeichnis

10.2.3 Wahl der Abtastzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43610.3 Vergleich von kontinuierlichem und zeitdiskretem Regelkreis . . . . . . 438


11 Beschreibung und Analyse zeitdiskreter Systeme im Zeitbereich . . . . . 44111.1 Beschreibung zeitdiskreter Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

11.1.1 Modellbildungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44111.1.2 Beschreibung zeitdiskreter Systeme durch Differenzenglei-

chungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44211.1.3 Zustandsraummodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44611.1.4 Ableitung des Zustandsraummodells aus der

Differenzengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44811.1.5 Zeitdiskrete Systeme mit Totzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45111.1.6 Ableitung des Zustandsraummodells eines Abtastsystems

aus dem Modell des kontinuierlichen Systems . . . . . . . . . . . . 45311.1.7 Kanonische Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

11.2 Verhalten zeitdiskreter Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46111.2.1 Lösung der Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46111.2.2 Bewegungsgleichung in kanonischer Darstellung . . . . . . . . . . 46211.2.3 Übergangsfolge und Gewichtsfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46511.2.4 Darstellung des E/A-Verhaltens durch eine Faltungssumme . 47211.2.5 Übergangsverhalten und stationäres Verhalten . . . . . . . . . . . . 473

11.3 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit zeitdiskreter Systeme . . . . . . . . . 47611.3.1 Definitionen und Kriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47611.3.2 Steuerbarkeitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47711.3.3 Beobachtbarkeitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48511.3.4 Weitere Ergebnisse zur Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit . . 489

11.4 Pole und Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49011.5 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

11.5.1 Zustandsstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49211.5.2 E/A-Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

11.6 MATLAB-Funktionen für die Analyse zeitdiskreter Systeme imZeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

12 Beschreibung und Analyse zeitdiskreter Systeme im Frequenzbereich 50112.1 Z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

12.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50112.1.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

12.2 Z-Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50912.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50912.2.2 Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51112.2.3 Eigenschaften und grafische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 51412.2.4 Pole und Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

Inhaltsverzeichnis XV

12.2.5 Übertragungsfunktion zusammengeschalteter Übertra-gungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

12.3 MATLAB-Funktionen für die Analyse zeitdiskreter Systeme imFrequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

13 Digitaler Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52313.1 Regelkreisstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52313.2 Stabilitätsprüfung digitaler Regelkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

13.2.1 Stabilitätsprüfung anhand der Pole des geschlossenenKreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

13.2.2 Nyquistkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52613.3 Stationäres Verhalten digitaler Regelkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

14 Entwurf von Abtastreglern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53314.1 Entwurfsvorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53314.2 Zeitdiskrete Realisierung kontinuierlicher Regler . . . . . . . . . . . . . . . . 534

14.2.1 Approximation kontinuierlicher Regler durch Verwendungvon Methoden der numerischen Integration . . . . . . . . . . . . . . 534

14.2.2 Approximation des PN-Bildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54114.2.3 Anwendungsgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

14.3 Reglerentwurf anhand des zeitdiskreten Streckenmodells . . . . . . . . . 54314.3.1 Entwurf einschleifiger Regelungen anhand des PN-Bildes

des geschlossenen Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54314.3.2 Entwurf von Mehrgrößenreglern durch Polzuweisung . . . . . . 54514.3.3 Zeitdiskrete optimale Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54614.3.4 Beobachter für zeitdiskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

14.4 Regler mit endlicher Einstellzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54814.5 MATLAB-Funktionen für den Entwurf digitaler Regler . . . . . . . . . . . 557


15 Ausblick auf weiterführende Regelungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

Anhänge

Anhang 1: Lösung der Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

Anhang 2: Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641A2.1 Bezeichnungen und einfache Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641A2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643A2.3 Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647A2.4 Determinantensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

XVI Inhaltsverzeichnis

A2.5 Normen von Vektoren und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649A2.6 Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650A2.7 Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651A2.8 Nichtnegative Matrizen und M-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652


Anhang 3: MATLAB-Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659A3.1 Funktionen für den Umgang mit Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . 659A3.2 MATLAB-Funktionen für die Systemanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660A3.3 Funktionen für den Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663A3.4 Zusammenstellung der Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664

Anhang 4: Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665

Anhang 5: Projektaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

Anhang 6: Verzeichnis der wichtigsten Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

Anhang 7: Korrespondenztabelle der Funktionaltransformationen . . . . . . . 685

Anhang 8: Fachwörter deutsch – englisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693

Verzeichnis der Anwendungsbeispiele

Regelung von Elektroenergieversorgungssystemen

• Frequenz-Übergabeleistungsregelung (FÜ-Regelung)

Kalmanzerlegung eines Elektroenergieversorgungsnetzes (Aufgabe 3.12) . . . . 117Netzkennlinienverfahren für die FÜ-Regelung von Elektroenergienetzen (Auf-gabe 5.1 mit Lösung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226, 586

Dezentrale FÜ-Regelung (Beispiel 6.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Entwurf einer FÜ-Regelung als Optimalregler (Aufgabe 7.5 mit Lösung) . . . . . 342, 604Entwurf einer FÜ-Regelung mit dem Direkten Nyquistverfahren (Aufgabe 9.6mit Lösung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422, 618

Entwurf einer dezentralen FÜ-Regelung (Projektaufgabe A5.6 mit Lösung) . . 673, 635

• Knotenspannungsregelung

Spannungs-Blindleistungsverhalten eines Elektroenergienetzes (Aufgabe 2.4) 35

Entwurf einer dezentralen Knotenspannungsregelung (Beispiel 9.1) . . . . . . . . . 392Verbesserte Abschätzung für das Verhalten der dezentralen Knotenspannungs-regelung (Beispiel 9.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405Knotenspannungsregelung eines Elektroenergienetzes mit zwei Teilnetzen(Projektaufgabe A5.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

• Dampferzeugerregelung

Verhalten eines Dampferzeugers (Beispiel 2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Kalmanzerlegung eines Dampferzeugers (Aufgabe 3.13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Minimale Realisierung eines Dampferzeugers (Aufgabe 3.20 mit Lösung) . . . . 146, 582

Optimalreglerentwurf für einen Dampferzeuger (Aufgabe 7.4 mit Lösung) . . . 342, 600

Regelung eines Dampferzeugers (Projektaufgabe A5.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

Prozessregelung

Regelungsaufgabe für einen Wärmeübertrager (Beispiel 1.1) . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Regelung einer Destillationskolonne (Beispiel 1.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

XVIII Verzeichnis der Anwendungsbeispiele

• Regelung einer Anlage zur Herstellung von Ammoniumnitrat-

Harnstoff-Lösung

Einstellung der PI-Regelung für die AHL-Anlage (Beispiel 5.1) . . . . . . . . . . . . . 237

Zeitdiskrete Realisierung des PI-Reglers (Aufgabe 14.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

Analyse und Regelung der AHL-Anlage (Projektaufgabe A5.3) . . . . . . . . . . . . . 671

• Analyse und Regelung von Rührkesselreaktoren

Beschreibung eines Rührkesselreaktors in V-kanonischer Struktur (Bei-spiel 2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Steuerbarkeit gekoppelter Rührkesselreaktoren (Beispiel 3.1) . . . . . . . . . . . . . . . 70Steuerbarkeit gekoppelter Rührkesselreaktoren mit zeitdiskreter Eingangsgröße(Beispiel 11.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

Beobachtbarkeit gekoppelter Rührkesselreaktoren (Beispiel 3.7) . . . . . . . . . . . . 98

Beobachtbarkeit der Füllstände eines Behältersystems (Aufgabe 3.10) . . . . . . . 108Reduzierter Beobachter für zwei gekoppelte Rührkesselreaktoren (Aufga-be 8.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Konzentrationsregelung gekoppelter Rührkesselreaktoren durch Zustandsrück-führung (Beispiel 6.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Stabilitätsanalyse der Konzentrationsregelung (Beispiel 4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . 173Konzentrationsregelung gekoppelter Rührkesselreaktoren durch Ausgangsrück-führung (Beispiel 6.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Zustandsraummodell eines Mischprozesses (Aufgabe 2.1 mit Lösung) . . . . . . . 17, 567

Analyse des Mischprozesses (Aufgabe 3.21 mit Lösung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146, 583

Regelung eines Mischprozesses (Projektaufgabe A5.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

• Regelung eines Biogasreaktors

Regelungsaufgaben für einen Biogasreaktor (Beispiel 1.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Kopplungseigenschaften eines Biogasreaktors (Beispiel 4.6) . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Existenz von PI-Reglern für einen Biogasreaktor (Beispiel 5.2) . . . . . . . . . . . . . . 246

Zeitdiskrete Messung der Betriebsgrößen (Aufgabe 10.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

• Regelung einer KlärschlammverbrennungsanlageAuswahl der Stellgrößen für die Regelung einer Klärschlammverbrennungsan-lage (Beispiel 4.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Einstellung der PI-Regelung für die Klärschlammverbrennungsanlage (Aufga-be 5.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Zeitdiskretes Modell der Klärschlammverbrennungsanlage (Aufgabe 11.6) . . . 460Analyse und Regelung einer Klärschlammverbrennungsanlage (Projektaufga-be A5.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

Verzeichnis der Anwendungsbeispiele XIX

Regelung von Fahrzeugen und Flugkörpern

Beobachtbarkeit der Satellitenbewegung (Aufgabe 3.8 mit Lösung) . . . . . . . . . . 106, 575

Flugüberwachung als zeitdiskreter Vorgang (Aufgabe 10.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

Strukturelle Analyse eines Quadrokopters (Aufgabe 3.17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Regelung eines Quadrokopters (Projektaufgabe A5.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

• Abstandsregelung in Fahrzeugkolonnen

Regelungsaufgabe (Beispiel 1.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Abstandsregelung in einer Fahrzeugkolonne (Beispiel 4.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Struktur der Abstandsregelung (Aufgabe 4.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Abstandsregelung mit unterschiedlichen Regelungsstrukturen (Projektaufga-be A5.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

• Flugregelung

Autopilot für ein Flugzeug (Beispiel 1.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Optimalregler für die Rollbewegung eines Flugzeugs (Beispiel 7.2) . . . . . . . . . . 319Entwurf eines Reglers mit endlicher Einstellzeit für die Rollbewegung einesFlugzeugs (Aufgabe 14.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

• Regelung einer Magnetschwebebahn

Stabilitätsprüfung der geregelten Magnetschwebebahn (Beispiel 4.2) . . . . . . . . 174Stabilisierung der Magnetschwebebahn durch Zustandsrückführung (Aufga-be 6.5 mit Lösung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290, 596

Beobachter für die Magnetschwebebahn (Aufgabe 8.6 mit Lösung) . . . . . . . . . . 378, 607

Regelung mechanischer Systeme

Strukturelle Steuerbarkeit eines elektrischen Rotationsantriebs (Aufgabe 3.16mit Lösung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139, 579

• Analyse und Regelung einer VerladebrückeSteuerbarkeit und Beobachtbarkeit einer Verladebrücke (Aufgabe 3.9 mit Lö-sung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107, 575Steuerbarkeit einer Verladebrücke mit zeitdiskreter Eingangsgröße (Bei-spiel 11.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485Regelung einer Verladebrücke mit Zustandsrückführung (Aufgabe 6.2 mit Lö-sung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260, 592Regelung einer Verladebrücke mit Ausgangsrückführung (Aufgabe 6.3 mit Lö-sung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271, 595

Positionsregelung für eine Verladebrücke (Projektaufgabe A5.1) . . . . . . . . . . . . 670

XX Verzeichnis der Anwendungsbeispiele

• Stabilisierung eines invertierten Pendels

Kalmanzerlegung des Zustandsraummodells des invertierten Pendels (Bei-spiel 3.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Stabilisierung des invertierten Pendels durch Zustandsrückführung (Aufga-be 6.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

LQ-Problem für das invertierte Pendel (Beispiel 7.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Stabilisierung des invertierten Pendels durch einen Optimalregler (Beispiel 7.3) 320

Beobachter für das invertierte Pendel (Beispiel 8.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Reduzierter Beobachter (Beispiel 8.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Regelung eines Gleichstrommotors

Beobachtbarkeit eines Gleichstrommotors (Aufgabe 3.14 mit Lösung) . . . . . . . 130, 577

Störverhalten eines digital geregelten Gleichstrommotors (Beispiel 10.2) . . . . . 432

Zeitdiskrete Realisierung einer Drehzahlregelung (Beispiel 14.1) . . . . . . . . . . . . 539

Regler mit endlicher Einstellzeit für einen Gleichstrommotor (Beispiel 14.3) . 553

Weitere Anwendungen

Raumtemperaturregelung mit fester Einstellzeit (Aufgabe 14.3) . . . . . . . . . . . . . 555Regelung einer Züchtungsanlage für GaAs-Einkristalle (Aufgabe 9.5 mit Lö-sung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420, 614

Analyse und Regelung der Einkristallzüchtungsanlage (Projektaufgabe A5.7) . 675Zeitdiskrete Zustandsraumbeschreibung einer Rinderzucht (Aufgabe 11.1 mitLösung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450, 623

Preisdynamik in der Landwirtschaft (Aufgabe 11.15 mit Lösung) . . . . . . . . . . . . 497, 630

Zeitdiskrete Zustandsraumbeschreibung der Lagerhaltung (Aufgabe 11.2) . . . . 450

Zustandsraummodell eines Filters (Beispiel 11.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

Zustandsraummodell der Fußball-Bundesliga (Aufgabe 11.3) . . . . . . . . . . . . . . . 451

Beobachtbarkeit eines Oszillators (Aufgabe 11.12 mit Lösung) . . . . . . . . . . . . . . 489, 628

Stabilitätsanalyse eines Bankkontos (Aufgabe 11.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

Inhaltsübersicht des ersten Bandes

Zielstellung der Regelungstechnik

Beispiele für technische und nichttechnische Regelungsaufgaben

Strukturelle Beschreibung dynamischer Systeme

Blockschaltbild, Signalflussgraph

Systembeschreibung im Zeitbereich

Beschreibung durch Differentialgleichungen, Zustandsraummodell

Verhalten linearer Systeme

Lösung der ZustandsgleichungKennfunktionen des dynamischen ÜbertragungsverhaltensModellvereinfachung, Kennwertermittlung

Beschreibung linearer Systeme im Frequenzbereich

Frequenzgang, ÜbertragungsfunktionEigenschaften wichtiger Übertragungsglieder im Frequenzbereich

Regelkreis

Modell des Standardregelkreises

Stabilität rückgekoppelter Systeme

Nyquistkriterium; robuste Stabilität

Entwurf einschleifiger Regelkreise

Übersicht über die EntwurfsverfahrenEinstellregeln für PID-Regler

Reglerentwurf anhand des PN-Bildes des geschlossenen Kreises

Konstruktionsvorschriften für WurzelortskurvenReglerentwurf mittels Wurzelortskurve

Reglerentwurf anhand der Frequenzkennlinie der offenen Kette

Frequenzkennlinie und RegelgüteReglerentwurf auf Führungs- und auf Störverhalten

Weitere Entwurfsverfahren

Erweiterung der Regelungsstruktur

12. Auflage 2020mit 426 Abbildungen, 77 Beispielen und 186 Übungsaufgaben

Hinweise zum Gebrauch des Buches

Formelzeichen. Die Wahl der Formelzeichen hält sich sich an folgende Konventio-nen: Kleine kursive Buchstaben bezeichnen Skalare, z. B. x, a, t. Vektoren sind durchkleine halbfette Buchstaben, z. B. x, a, und Matrizen durch halbfette Großbuchsta-ben, z. B. X , A, dargestellt. Entsprechend dieser Festlegung werden die Elementeder Matrizen und Vektoren durch kursive Kleinbuchstaben (mit Indizes) symboli-siert, beispielsweise mit x1, x2, xi für Elemente des Vektors x und a12, aij für Ele-mente der Matrix A. Werden Größen, die im allgemeinen Fall als Vektor oder Matrixgeschrieben werden, in einem einfachen Beispiel durch Skalare ersetzt, so wird diesdurch den Übergang zu kleinen kursiven Buchstaben verdeutlicht, beispielsweisedurch Verwendung von x, a anstelle von x bzw. A. Dann gelten die vorher mit Vek-toren und Matrizen geschriebenen Gleichungen mit den skalaren Größen gleichenNamens.

Vektoren sind stets als Spaltenvektoren definiert. Die Transposition von Vektorenund Matrizen wird durch ein hochgestelltes „T“ gekennzeichnet (cT).

Mengen sind durch kalligrafische Buchstaben dargestellt, z. B. Q, P .Funktionen der Zeit und deren Fourier-, Laplace- und Z-Transformierte haben

denselben Namen, unterscheiden sich aber in der Größe. Den Funktionen f(t) bzw.f(k) im Zeitbereich sind die FunktionenF (jω), F (s) bzw.F (z) im Frequenzbereichzugeordnet.

Bei den Indizes wird zwischen Abkürzungen und Laufindizes unterschieden. Beiks ist der Index „s“ die Abkürzung für „statisch“ und deshalb steil gesetzt, wäh-rend bei xp das p einen Parameter darstellt, der beliebige Werte annehmen kann unddeshalb kursiv gesetzt ist.

Die verwendeten Bezeichnungen orientieren sich an den international üblichenund weichen deshalb auch in wichtigen Fällen von der DIN 19299 ab. Beispielsweisewerden für die Regelgröße und die Stellgröße die Buchstaben y und u verwendet. xbzw. x ist das international gebräuchliche Formelzeichen für eine Zustandvariablebzw. den Zustandsvektor.

Eine Zusammenstellung der wichtigsten Formelzeichen enthält Anhang 6.Wenn bei einer Gleichung hervorgehoben werden soll, dass es sich um eine For-

derung handelt, die durch eine geeignete Wahl von bestimmten Parametern erfülltwerden soll, wird über das Gleichheitszeichen ein Ausrufezeichen gesetzt ( !

=).Bei Verweisen auf Textstellen des ersten Bandes (12. Auflage 2020) ist den

Kapitel-, Aufgaben-, Beispiel- und Gleichungsnummern eine römische Eins voran-gestellt, z. B. Abschn. I-3.2, Gl. (I-4.98).

XXIV Hinweise zum Gebrauch des Buches

Bei den Beispielen wird mit Zahlengleichungen gearbeitet, in die die physikali-schen Größen in einer zuvor festgelegten Maßeinheit einzusetzen sind. Bei den Er-gebnissen werden die Maßeinheiten wieder an die Größen geschrieben. Dabei wirdzur Vereinfachung der Darstellung in den Gleichungen nicht zwischen den physi-kalischen Größen und ihren auf eine vorgegebene Maßeinheit bezogenen Größenunterschieden (vgl. Abschn. I-4.4.4).

Übungsaufgaben. Die angegebenen Übungsaufgaben sind ihrem Schwierigkeits-grad entsprechend folgendermaßen gegliedert:

• Aufgaben ohne Markierung dienen der Wiederholung und Festigung des unmit-telbar zuvor vermittelten Stoffes. Sie können in direkter Analogie zu den behan-delten Beispielen gelöst werden.

• Aufgaben, die mit einem Stern markiert sind, befassen sich mit der Anwendungdes Lehrstoffes auf ein praxisnahes Beispiel. Für ihre Lösung werden vielfachaußer dem unmittelbar zuvor erläuterten Stoff auch Ergebnisse und Methodenvorhergehender Kapitel genutzt. Die Leser sollen bei der Bearbeitung dieser Auf-gaben zunächst den prinzipiellen Lösungsweg festlegen und erst danach die Lö-sungsschritte nacheinander ausführen. Die Lösungen dieser Aufgaben sind imAnhang 1 angegeben.

• Aufgaben, die mit zwei Sternen markiert sind, sollen zum weiteren Durchdenkendes Stoffes bzw. zu Erweiterungen der angegebenen Methoden anregen.

Aufgaben, die umfangreiche numerische Rechnungen enthalten und deshalb zweck-mäßigerweise unter Verwendung von MATLAB gelöst werden sollten, sind durchdas Symbol gekennzeichnet.

MATLAB1. Eine kurze Einführung in das Programmpaket MATLAB� findet manim Anhang I-2 des ersten Bandes. Die wichtigsten Funktionen der Control SystemToolbox für die in diesem Band behandelten Methoden werden am Ende der ent-sprechenden Kapitel erläutert und sind im Anhang 3 zusammengestellt. Dabei wirdnur auf die unbedingt notwendigen Befehle und deren einfachste Form eingegangen,denn im Vordergrund stehen die Demonstration des prinzipiellen Funktionsumfangsheutiger rechnergestützter Analyse- und Entwurfssysteme und die Nutzung dieserWerkzeuge für die Lösung von Regelungsaufgaben. Von diesen Erläuterungen aus-gehend können die Leser mit Hilfe des MATLAB-Handbuchs den wesentlich grö-ßeren Funktionsumfang des Programmsystems leicht erschließen. Programmzeilensind im Text in Schreibmaschinenschrift angegeben.

Die Behandlung von MATLAB zur Demonstration der rechnergestützten Ar-beitsweise des Ingenieurs bringt die Schwierigkeit mit sich, dass das Buch mit je-der neuen MATLAB-Version veraltet, weil wichtige Befehle von Version zu Versionumgestellt werden. Es sei deshalb darauf hingewiesen, dass derartige Umstellun-gen zwar die fehlerfreie Nutzung des Programmsystems erschweren, nicht jedoch

1 MATLAB ist eingetragenes Warenzeichen der Fa. The MathWorks, Inc.

Hinweise zum Gebrauch des Buches XXV

die methodischen Grundlagen der Regelungstechnik verändern, die im Mittelpunktdieses Buches stehen.

Die MATLAB-Programme, mit denen die in diesem Buch gezeigten Abbildun-gen hergestellt wurden und die deshalb als Muster für die Lösung ähnlicher Analyse-und Entwurfsprobleme dienen können, stehen über die Homepage des Lehrstuhls fürAutomatisierungstechnik und Prozessinformatik der Ruhr-Universität Bochum

www.atp.rub.de/Buch/RT2

jedem Interessenten zur Verfügung.

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