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Reizweiterleitung an markhaltigenund marklosen Nervenfasern

Stefan Koppitz

23. Februar 2006

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Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 3

2 Biologisches Modell der Reizweiterleitung 42.1 Aufbau des Axons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Entstehung des Ruhepotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Entstehung des Aktionspotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Depolarisationsphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2 Repolarisationsphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.3 Hyperpolarisationsphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Vergleich Reizweiterleitung an marklosen und -haltigen Nervernfasern 62.4.1 Reizweiterleitung an marklosen Nervenfasern . . . . . . . . . . 62.4.2 Reizweiterleitung an markhaltigen Nervenfasern . . . . . . . . 6

3 Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung 83.1 Entwicklung eines Ersatzschaltbildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.1 Ionenkanale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2 Ionenpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.3 Membran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.4 Vereinfachung des Ersatzschaltbildes . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Modellierung des Ruhepotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Modellierung des Aktionspotentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3.1 Gesamtmembranstrom und Membranpotential . . . . . . . . . 133.3.2 Kaliumleitfahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.3 Natriumleitfahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.4 Ablauf im Hodgkin-Huxley-Modell . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.5 Parameter des Hodgkin-Huxley-Modells . . . . . . . . . . . . . 15

4 Bewertung des Modells 164.1 Vorteile des Hodgkin-Huxley-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Nachteile des Hodgkin-Huxley-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

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1 Einfuhrung

1 Einfuhrung

Der Aufbau des menschlichen Gehirns ist sicherlich so komplex wie seine Funkti-onsweise. Doch um intelligente und effiziente Systeme zu bauen, muss Anleihe ander Natur genommen werden. Biologische Grundlagen und Details sind der Anfang,um Vorgange im menschlichen Gehirn zu simulieren und nachzuempfinden bzw. umsie erst zu verstehen. Doch das allein reicht nicht. Auch physikalische Modelle undmathematisches Knowhow sind notwendig, um die komplexen Vorgange im Gehirnzu beschreiben und zu modellieren.

Der Beleg beschreibt die Reizweiterleitung in einem biologischen System und ent-wickelt mithilfe dessen ein mathematisch-physikalisches Modell, das die Reizwei-terleitung simuliert. Desweiteren wird auf die Vor- und Nachteile des hergeleitetenModells eingegangen.

Aufgabe von Modellen ist es, die Komplexitat zu reduzieren, um Arbeit und For-schung an neuronalen Netzen mit vertretbarem Aufwand zu ermoglichen.

Es existieren verschiedene Modelle von Neuronen, die sich hinsichtlich ihres Detail-grads und der Aufwandigkeit ihrer Verwendung unterscheiden. Diese Ausarbeitungsoll nur das elektro-chemische und leitfahigkeitsbasierende Hodgkin-Huxley-Modellgenauer erlautern.

Dieser Beleg ist wahrend der Vorlesung Mathematische Modellierung und Simu-lation naturlicher, neuronaler Systeme, gehalten von Dr. Rainer Schulze, an derTechnischen Universitat Dresden entstanden.

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2 Biologisches Modell der Reizweiterleitung


Die Nervenzelle besteht aus dem Zellkorper, den Dendriten als Reizaufnehmer unddem Axon als Reizleiter.

Ich werde hier nur auf den Aufbau des Axons eingehen. Alle anderen Zellbestand-teile spielen im Weiteren keine Rolle.

Desweiteren werden hier die Entstehung eines Reizes und Weiterleitung desselbi-gen im biologischen System beschrieben.

2.1 Aufbau des Axons

Das Axon ist ein Auslaufer des Zellkorpers. Es dient zur Informationsweiterleitungzu anderen Neuronen. Diese Informationen werden durch elektrische Signale uberdas Axon geleitet. Da die Ubermittlung meistens uber großere Distanzen stattfindet,ist das Axon bedeutend langer und dunner als das Dendrit.

Weiterhin unterscheidet man beim Axon zwischen markhaltigen und marklosenAxonen. Die markhaltigen Axone werden zusatzlich durch Schwannsche Zellen, eineSonderform der Gliazellen, mit einer Myelinhulle umgeben. Jede Schwannsche Zelleumhullt der Lange nach jeweils ca. einen Millimeter des Axons. So ist die Myelinhulleungefahr alle ein bis zwei Millimeter von einem feinen Spalt, dem RanvierschenSchnurring, unterbrochen.

Von entscheidender Relevanz ist die Zellmembran des Axons. Diese Doppellipid-schicht ist fur einige Stoffe durchlassig, wie z. B. Wasser und fur einige Ionen undMolekule hingegen undurchlassig. Pumpenproteine sorgen unter Energieverbrauchdafur, dass Ionen und andere Molekule die Membran entgegen einem Konzentra-tionsgefalle passieren konnnen. Kanalproteine ermoglichen es, Ionen und Molekuledurch Offnen und Schließen entsprechend einem Konzentrationsgefalle zu passierenbzw. verhindern dieses. Durch diese Semipermeabilitat der Membran konnen erstReize entlang des Axons geleitet werden.

Pumpenprotein

Lipid

Kanalprotein

Membran

Abbildung 1: Aufbau der Membran eines Axons

2.2 Entstehung des Ruhepotentials

Um die Entstehung des Ruhepotentials an der Zellmembran des Axons erklarenzu konnen, muss man sich zuerst die Ionenverteilung anschauen. Die wichtigstenIonen sind in Tabelle 1 zu sehen. Des weiteren sind folgende Eigenschaften derZellmembran zu beachten und vorauszusetzen:

1. Die Membran ist undurchlassig fur Aminosauren A−, weil diese zu groß fur dieIonenkanale sind.

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Ionenart intrazellular extrazellular GleichgewichtspotentialK+ 400 mM 20 mM -75 mVNa+ 50 mM 440 mM +55 mVCl− 32 mM 560 mM -60 mVA− 385 mM - -

Tabelle 1: Ionenverteilung im extra- und intrazellularen Raum an der Axonmembran

2. Die Membran ist semipermeabel fur Na+ und K+. Normalerweise passiert K+

die Membran leichter als Na+.

3. Die Membran enthalt ein Pumpensystem, das intrazellulares Na+ mit extra-zellularem K+ austauscht.

4. Bei der Einstellung des Ruhepotentials spielen nur spannungsunabhangige Io-nenkanale eine Rolle.

Mit Hilfe dieser Bedingungen kann jetzt die Entstehung des Ruhepotentials an derZellmembran wie folgt erklart werden.

Da K+-Ionen im intrazellularen Raum in hoherer Konzentration vorliegen undbestrebt sind Konzentrationsunterschiede auszugleichen, diffundieren sie entlang desKonzentrationsgradienten von innen nach außen. An der Zellaußenseite entstehteine positive Ladung wegen des leichten Uberschusses an positiven Ionen, wegen (2)und wegen der geschlossenen Na+-Kanale, die fur eine Ausgleichstromung sorgenkonnten. An der Zellinnenseite hingegen entsteht eine negative Ladung, da die A−-Ionen wegen (1) nicht passieren konnen.

Weil sich entgegengesetzte Ladungen anziehen, sammeln sich die entsprechendenIonen an den jeweiligen Seiten der Membran. Je mehr K+-Ionen ausstromen, de-sto großer wird die Ladungstrennung und damit auch die Potentialdifferenz. Dieelektrische Kraft, die sich aufgrund dieses Potentials aufbaut, wirkt der Kraft ausdem Konzentrationsgradienten entgegen. Sind beide gleich groß, dann entsteht dasRuhepotential von ca. -65 mV.

Doch werden manche Ionen in den weiteren Extrazellularraum getrieben. Damitist das Gleichgewicht zwischen dem Konzentrationsgradienten und dem elektrosta-tischen Gradienten wieder gestort. Die Folge ist, dass weitere Kaliumionen nachaußen stromen. Damit der intrazellulare Raum mit neuen K+-Ionen versorgt wirdund sich auf Dauer das Membranpotential nicht abbaut, gibt es die Ionenpumpen,die Kaliumionen in und Natriumionen aus dem Axon pumpen. Nur so kann dasFließgleichgewicht aufrecht erhalten werden.

Die Cl−-Ionen konnen sich relativ frei durch die Ionenkanale bewegen und habenso keinen Einfluss auf die Entstehung des Ruhepotentials.

2.3 Entstehung des Aktionspotentials

Damit Informationen uber das Axon transportiert werden konnen, muss es zu einerReizung und der daraus resultierenden Reaktion kommen.

Im Gegensatz zum Ruhepotential sind hier primar die spannungsgesteuerten Na-trium- und Kalium-Ionenkanale zur Signalweiterleitung von Bedeutung.

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2.3.1 Depolarisationsphase

Wird die Membran lokal vorubergehend auf etwa -50 mV depolarisiert, dann ist derSchwellwert uberschritten und es werden nach der Alles-Oder-Nichts-Regel die Io-nenkanale fur Na+-Ionen geoffnet. Diese Ionen konnen in das Zellinnere eindringen.Dadurch uberschreitet der Na+-Einstrom den K+-Ausstrom. Der resultierende Net-toeinstrom positiver Ladungen verursacht eine totale Depolarisation der Membranmit weniger als +55 mV.

2.3.2 Repolarisationsphase

Ist die Depolarisationsspitze erreicht, schließen sich die Na+-Kanale wieder, wahrenddie K+-Kanale aufgrund ihrer langsameren Reaktion noch geoffnet bleiben. Es kommtzur Repolarisiation.

2.3.3 Hyperpolarisationsphase

Da keine Na+-Ionen mehr einstromen konnen und weiter K+-Ionen nach außen drin-gen, kommt es sogar zur Hyperpolarisation mit bis zu -80 mV bevor das ursprung-liche Ruhepotential wieder erreicht wird.

Diese Hyperpolarisation sorgt dafur, dass keine weiteren Depolarisationen in dernachst kurzeren Zeit stattfinden konnen. Da das Hyperpolarisationspotential kleinerals das Ruhepotential ist, muss auch ein großerer Schwellwert uberschritten werdenund damit eine starkere Depolarisation erreicht werden.

2.4 Vergleich Reizweiterleitung an marklosen und -haltigenNervernfasern

Die Depolarisation der Membran ist nicht lokal begrenzt. Wenn es zu einer Depola-risation der Membran kommt, dann werden auch die benachbarten Membranarealedavon beeinflusst. Meist wird ein Aktionspotential am Axonhugel ausgelost. Vondort bewegt sich die Depolarisation in zwei Richtungen entlang des Axons. Dieschon besprochene Hyperpolarisationsphase verhindert dabei die ruckwarts gerich-tete Ausbreitung der Depolarisation und Uberlagerungen.

2.4.1 Reizweiterleitung an marklosen Nervenfasern

Der Na+-Ioneneintritt depolarisiert lokal das Axon, welches stetig weitere Na+-Ionenkanale in den benachbarten Regionen offnet, um wiederum ein Aktionspotenti-al auszulosen. Dieser Vorgang setzt sich entlang des Axons fort. Die Geschwindigkeitdieser Aktion betragt ca. 10 m/s.

2.4.2 Reizweiterleitung an markhaltigen Nervenfasern

Der Na+-Ioneneintritt generiert ein Aktionspotential. Die Myelinhulle wirkt isolie-rend, verhindert den K+-Ionenaustritt und kanalisiert die Depolarisation im Innerendes Axons. Da die Leitfahigkeit der Myelinhulle sehr groß ist, breitet sich die Depo-larisation innerhalb des Axons rapide aus.

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Das Aktionspotential wird dann am nachsten Ranvierschen Schnurring wieder aus-gelost und bewegt sicht von Schnurring zu Schnurring mit einer Geschwindigkeitvon 150 m/s, also 15 Mal schneller als bei der marklosen Nervenfaser.

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3 Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung

3 Mathematisch-physikalisches Modell derReizweiterleitung

3.1 Entwicklung eines Ersatzschaltbildes

Um die Reizweiterleitung an einem Axon physikalisch zu modellieren, bedient mansich bei der Elektrotecknik. Das liegt auch nahe, geht es doch bei beiden um elek-trische Impulse zur Informationsubertragung. Ziel ist es jetzt, die Bestandteile einesMembranareals durch einfache Schaltkreiselemente zu ersetzen, sodass die Elektro-nen denselben Effekt wie die Salzionen erzielen.

Im Grunde genommen ist ein bestimmtes Membranareal auf dem Axon nichts wei-ter als ein Stromkreislauf mit Widerstanden, Kondensatoren und Spannungsquellen.Das gesamte Axon kann dann durch Kopplung dieser einzelnen Ersatzschaltkreiseder Membranareale dargestellt werden.

3.1.1 Ionenkanale

Die Ionenkanale der Membran lassen nur eine bestimmte Ionenart hindurch. DasMaß fur die Passierbarkeit von Ionen durch diese Ionenkanale wird durch die elek-trische Leitfahigkeit g beschrieben. Diese ist nach dem Ohmschen Gesetz umgekehrtproportional zum elektrischen Widerstand.

Es ist jedoch noch zu bemerken, dass die Leitfahigkeit nicht gleich der Permea-bilitat entspricht. Wenn die Permeabilitat fur eine Ionenart hoch ist, kann dieLeitfahigkeit trotzdem gleich null sein. Namlich dann, wenn keine Ionen in derLosung sind.

Durch den Konzentrationsgradienten und den elektrostatischen Gradienten ent-steht eine Ladungstrennung, die durch das Nernstpotential

V =R · Tz · F ln

Ionaußen

Ioninnen

(1)

beschrieben werden kann. Wobei R die allgemeine Gaskonstante, T die absoluteTemperatur in Kelvin, z die Wertigkeit des Ions, F die Faraday-Konstante undIoninnen/außen die jeweiligen Ionenkonzentrationen sind. Diese Ladungstrennung wirdin der Elektrotechnik durch eine Spannungsquelle U dargestellt.

Die Ionenkanale fur die unterschiedlichen Ionen Kalium, Natrium und Chlor kon-nen dann durch verschiedene Widerstande bzw. Leitfahigkeiten gK , gNa und gCl

und die jeweilige Ladungstrennung durch die Spannungsquellen VK , VNa und VCl

beschrieben werden.Da die Ionen auf der Membran auf keine weiteren Hindernisse stoßen, konnen die

nun modellierten Ionenkanale ohne weitere Widerstande durch einen Leiter zusam-mengeschlossen werden.

Aufgrund der nicht absolut spezifischen Ionenkanale, kommt es hin und wiederdazu, dass manche Ionenkanale Ionen passieren lassen, die nicht fur diesen Kanalbestimmt sind. Es kommt zu einer Leckleitfahigkeit gLeck. Diese Leckleitfahigkeitimpliziert wieder eine Leckspannung VLeck. Diese ist zwar sehr gering, sollte hieraber trotzdem erwahnt werden.

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3.1.2 Ionenpumpen

Durch die Ionenpumpen werden Kaliumionen nach innen und Natriumionen nachaußen befordert. Es entsteht also ein steter Kalium- und Natriumionenstrom, wassich im Ersatzschaltbild durch zwei Stromgeneratoren ausdrucken lasst.

3.1.3 Membran

Dadurch dass sich auf der Innen- und Außenseite der Membran Ionen unterschiedli-cher Ladung befinden, und die Membran als Doppellipidschicht einen Isolator gleicht,kann ein Membranareal als Kondensator Cm betrachtet werden.

3.1.4 Vereinfachung des Ersatzschaltbildes

Um ein großeres Membranareal des Axons zu beschreiben, muss die Anzahl derIonenkanale, der Ionenpumpen und die exakte Flache der Membran berucksichtigtwerden. Fur die Leitfahigkeit der Ionenkanale ergibt sich dann:

GK = κ · gK GNa = ν · gNa GCl = χ · gCl (2)

wobei κ Anzahl der Kalium-, ν Anzahl der Natrium- und χ Anzahl der Chlor-Ionenkanale sind.

Wie weiter oben schon beschrieben wurde, konnen sich die Chlor-Ionen relativfrei bewegen und uben so nur einen geringen Einfluss auf das Membranpotentialaus, genauso wie die Leckleitfahigkeit. Diese beiden Großen werden zu einer Ersatz-leitfahigkeit zusammengefasst.

GE = GCl + gLeck (3)

Nach dem Theorm von Thevenin1 kann jeder Stromgenerator in eine Spannungs-quelle umgewandelt werden:

I = G · U (4)

Schließlich konnen die drei Stromgeneratoren IK , INa und ICl zu einem Ersatzstrom-generator IE zusammengefasst werden:

IE = IK + INa + ICl + ILeck (5)

1Jedes lineare Netzwerk von Impedanzen und Generatoren kann, wenn man es von zwei beliebigenPunkten des Netzwerkes aus betrachtet, durch eine ideale Spannungsquelle und eine ihr in Seriebefindliche Impedanz ersetzt werden.

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Somit ergibt sich folgendes Ersatzschaltbild fur ein großeres Membranareal.

Im

Extrazellularraum

Intrazellularraum

IK

GK

VK

INa

GNa

VNa

IE

GE

VE

ICm

Cm

Abbildung 2: Das allgemeine Ersatzschaltbild fur ein Membranareal

3.2 Modellierung des Ruhepotentials

Das Ruhemembranpotential lasst sich allgemeiner durch das Membranpotential Vm

mit dem intrazellularen und extrazellularen Potential darstellen:

Vm = Vinnen − Vaußen (6)

Fur die Berechnung der Anderung des Membranpotentials, z. B. durch eine Strom-injektion braucht man nach dem Ohmschen Gesetz (∆U = ∆I · R) den Membran-widerstand. Um eine von der Große des Axons unabhangige Formel fur den Mem-branwiderstand Rm [Ω · cm] zu bekommen, nutzt man den spezifischen Membranwi-derstand Rs [Ω · cm2], der den Widerstand einer Flache misst. Unter Voraussetzungeines idealen, zylinderformigen Axons folgt:

Rm =Rs

2πr(7)

wobei r der Radius des Axons ist.Zur langenmaßigen Ausbreitung des Axons wird eine weitere Große, der Axial-

widerstand Ra [Ω · cm−1], der den Widerstand bzw. die Leitfahigkeit des Zellplas-mas reprasentiert, eingefuhrt. Dieser hangt sowohl vom spezifischen Widerstand [Ω · cm] des Zellplasmas, als auch von der Querschnittsflache des Axons mit demRadius r ab.

Ra =

πr2(8)

Durch diesen Axialwiderstand nimmt ein unterschwelliges Spannungssignal am Axonmit zunehmender Entfernung von seinem Entstehungsort ab.

Fur die passiven Eigenschaften eines Membranareals, also im Ruhezustand, sinddie Spannungsquellen uninteressant, da sie wegen des schon erreichten Ruhepotenti-als konstante Spannung erzeugen, also Absolutwerte bilden. Die verbleibenden Wi-derstande werden zu einem zusammengefasst und es ergibt sich daraus Rm. Somit

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kann ein Membranareal durch zwei Widerstande Rm und Ra, fur die Kopplung vonmehreren Arealen, und einen Kondensator Cm beschrieben werden. Das heißt, esliegt ein RC-Glied vor, welches folgender Spannungskurve abhangig vom Zeitpunktt ∈ T folgt:

Vm (t) =

Im · Rm ·

(1 − e−

tτ

)bei Spannungsanstieg

Im · Rm · eT−tτ bei Spannungsabfall

(9)

wobei Im Amplitude, T Dauer und τ = Rm · Cm sind.

Im

t

Vm

t

Abbildung 3: Spannungsverlauf bei unterschwelliger Reizung der Membran

Wird jetzt eine unterschwellige Reizung durch Strominjektion im Membran her-vorgerufen, fließt dieser Strom in beide Richtungen vom Entstehungsort uber zweiWiderstande in Reihe: den Gesamtlangswiderstand Rx und den Membranwider-stand Rm. Der Gesamtlangswiderstand summiert sich uber den einzelnen Axial-widerstanden, die auf dem Weg durch die Membran durchflossen werden:

Rx = Ra · x (10)

wobei x die Entfernung vom Injektionsort ist. Wegen

∆Um = ∆Im · Rm (11)

wird die Anderung des Membranpotentials ∆Vm (x) mit ausreichend großem x klei-ner, da der Gesamtlangswiderstand zunimmt. Die Abnahme mit wachsender Entfer-nung erfolgt exponentiell:

∆Vm (x) = ∆Vm (0) · e−xλ (12)

wobei λ die Langskonstante der Membran ist. Diese ist die Entfernung von derStrominjektionsstelle zu dem Ort des Axons, an dem ∆Vm auf 1/e oder 37 % seinesUrsprungswertes abgenommen hat und wird wie folgt berechnet:

λ =

√Rm

Ra(13)

Man kann leicht sehen, dass markhaltige, also besser isolierte, Membrane mit großemRm eine großere Langskonstante haben. Wegen Cm ∼ 1/Rm wird die Membranka-pazitat verringert. Das heißt, es wird der Verlust von Ionen fur die Entstehung eines

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Potentials verhindert. Auch bessere Leitungseigenschaften im Axon, also niedrigesRa, verbessern die Informationsubertragung.

Durch Einsetzen von Gl. 7,8 wird aus Gl. 13:

λ =

√Rm

1· 1

Ra=

√Rm

2πr· πr2

=

√Rm

2︸︷︷︸konstant

·√r (14)

Durch die Proportionalitat der Langskonstante zur Quadratwurzel des Radius lasstsich behaupten, dass dickere Axone besser Reize weiterleiten als dunnere.

Rm Cm

Ra

Rm Cm

Abbildung 4: Die Membran als aneinandergereihte RC-Glieder

3.3 Modellierung des Aktionspotentials

Um das Aktionspotential darzustellen, bedienen wir uns des Hodgkin-Huxley-Modells.Dazu mussen wir das allgemein hergeleitete Ersatzschaltbild Abb. 2 wie folgt ab-andern.

Im

Extrazellularraum

Intrazellularraum

IK

GK

VK

INa

GNa

VNa

IR

GR

VR

ICm

Cm

Abbildung 5: Ersatzschaltbild fur das Hodgkin-Huxley-Modell

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Im Wesentlichen gibt es vier Strompfade. Zwei Strompfade fur die spannungsabhangi-gen Natrium- und Kaliumkanale, ein Strompfad fur die Leckstrome (verursachtdurch die spannungunabhangigen Kanale, aus denen auch das Ruhepotential re-sultiert) und Ionenpumpen und ein Strompfad fur die Membrankapazitat.

Der Natrium- und Kaliumionenpfad werden jeweils reprasentiert durch verander-liche Widerstande in Reihe geschaltet mit einem Nernst-Gleichgewichtspotential. Zubeachten ist, dass die Natrium- und Kaliumleitfahigkeiten vom Membranpotentialund der Zeit abhangig sind. Wie schon besprochen, sind die spannungsabhangi-gen Kaliumkanale langsamer als die spannungsabhangigen Natriumkanale. Die Ru-hestromleitfahigkeit ist dagegen nicht von der Zeit oder dem Membranpotentialabhangig.

3.3.1 Gesamtmembranstrom und Membranpotential

Der Gesamtmembranstrom ergibt sich dann wie folgt:

Im = ICm + IK + INa + IR (15)

Durch Anwendung des Ohmschen Gesetzes I = U/R = U · G und I = Q = C · Ubekommen wir:

Im = Cm · ∆U + GK (Vm, t) · ∆U + GNa (Vm, t) · ∆U + GR · ∆U

Im = Cm · ∂Vm

∂t+ GK (Vm, t) · (Vm − VK) + GNa (Vm, t) · (Vm − VNa) (16)

+ GR · (Vm − VR)

wobei VK und VNa durch die Gl. 1, das Nernstpotential, berechnet werden konnen.Um die Erregungsausbreitung an großeren Membranarealen zu beschreiben, muss

das Hodgkin-Huxley-Modell um eine Kabelgleichung erweitert werden.Wie in Abb.4 mussen wir uns das Axon als aneinandergereihte RC-Glieder vorstellen. Span-nung und Strome werden von der Entfernung vom Entstehungsort x und der Zeit tabhangig gemacht. Das Ohmsche Gesetz impliziert, dass

Vm(x, t) − Vm(x + ∆x, t) = Im(x +∆x

2, t) · Ra · ∆x. (17)

Aus der Erhaltung der elektrischen Ladung folgt, dass

Im(x, t) − Im(x + ∆x, t) =

(Cm · ∂Vm(x + ∆x

2, t)

∂t+ Iion(x +

∆x

2, t)

)· ∆x. (18)

Durch Kombination der beiden Gleichungen 17 und 18 und ∆x → 0 folgt

1

RaCm

∂2Vm

∂x2− ∂Vm

∂t=

Iion

Cm

. (19)

Das heißt, bei einer uberschwelligen Reizung lasst sich folgender Zusammenhangzwischen Gesamtmembranstrom und Membranpotential entlang eines Axons mitRadius r in Ausbreitungsrichtung x zeigen:

∂2Vm

∂x2= 2π · r · Ra · Im (20)

13


Durch Einsetzen von Gl. 16 in Gl. 20 bekommt man die Gleichung fur die Ausbrei-tung des elektrischen Potentials entlang einer Axonmembran.

1

2πrRa· ∂2Vm

∂x2= Cm · ∂Vm

∂t+ GK (Vm, t) · (Vm − VK) (21)

+ GNa (Vm, t) · (Vm − VNa) + GR · (Vm − VR)

Um das Membranpotential mit Gl. 18 berechnen zu konnen, mussen GK (Vm, t) undGNa (Vm, t) bekannt sein. Diese Leitfahigkeiten konnen z. B. mit der Voltage-Clamp-Technik oder dem Patch-Clamp-Verfahren gemessen werden.

3.3.2 Kaliumleitfahigkeit

Hodgkin und Huxley haben durch zahlreiche Experimente Gleichungen zur Bestim-mung der Kalium- und Natriumleitfahigkeit gefunden. Dazu fuhrten sie die soge-nannten Gatingvariablen n, h und m ein, um die Dynamik der Ionenkanale nachzu-bilden.Zusammen mit der Maximalleitfahigkeit der Kalium-Kanale GK beschreibt die Ga-tingvariable oder Torvariable n die Kaliumleitfahigkeit:

GK (Vm, t) = GK · n4 (Vm, t) (22)

wobei n folgender Dynamik unterliegt:

∂n

∂t= αn (1 − n) − βn (23)

Die spannungs- und zeitabhangige Torfunktion n gibt den Anteil der gerade geoff-neten n-Tore, in diesem Fall Kalium-Kanale an. (1 − n) gibt dagegen den Anteil dergeschlossenen Kalium-Kanale an. Die potentialabhangige Reaktionsgeschwindigkeitdes Ubergangs vom geoffneten in den geschlossenen Zustand wird mit βn und derumgekehrte Vorgang mit αn bezeichnet.

Durch die vierte Potenz der Torfunktion n wird ein verzogerter, aber dann steilerAnstieg der Kaliumkurve erreicht.

3.3.3 Natriumleitfahigkeit

Die Natriumleitfahigkeit wird durch ein ahnliches Gleichungssystem beschrieben.Doch werden hier zwei Torvariablen h und m verwendet. Grund ist die schnelleDeaktivierung des Natriumausstromes nach der Depolarisation. Der Anstieg derNatriumleitfahigkeit wird durch die Variable m und zusatzlich die Deaktivierungdurch die Variable h beschrieben.

GNa (Vm, t) = GNa · m3 (Vm, t) · h (Vm, t) (24)

wobei m und h folgender Dynamik unterliegen:

∂m

∂t= αm (1 − m) − βm (25)

∂h

∂t= αh (1 − h) − βh (26)

wobei GNa, αm, βm, αh, βh analog zu den Werten der Kaliumleitfahigkeit zu betrach-ten sind.

14


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

-70

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Depolarisationsimpuls

n

n4

h

m3

m

Abbildung 6: Visualisierung der einzelnen Torfunktionen wahrend der Depolarisation

3.3.4 Ablauf im Hodgkin-Huxley-Modell

Bei einer Depolarisation nimmt h langsamer ab, als m zunimmt. Folglich wachst dieLeitfahigkeit schnell an. Es setzt ein Strom von Na+-Ionen ins Zellinnere ein, derdas Membranpotential weiter erhoht. Dieser sich selbst antreibende Prozess erzeugtein Aktionspotential.

Ab einem gewissen Membranpotential versiegt jedoch der Fluss des Natriums, da hverzogert gegen Null strebt und dem Offnen der Natriumkanale entgegenwirkt. Weilauch n gestiegen ist - wegen der großeren Geschwindigkeitskonstanten allerdings viellangsamer als m - setzt ein Strom von K+-Ionen aus der Zelle hinaus ein, der dasMembranpotential wieder senkt, sogar hyperpolarisiert, bevor das Ruhepotentialerreicht wird.

3.3.5 Parameter des Hodgkin-Huxley-Modells

Folgende Parameter wurden von Hodgkin und Huxley unter der Voraussetzung, dassCm = 1µF/cm2 gilt, gemessen:

x Vx[mV ] Gx[mS/cm2]Na 115 120K -12 36Ruhe 10.6 0.3

Tabelle 2: Nernstpotentiale und Leitfahigkeiten

15

4 Bewertung des Modells

x αx βx

n (0.1 − 0.01 · Vm) /[exp(1 − 0.1 · Vm) − 1] 0.125 · exp(−Vm/80)m (2.5 − 0.1 · Vm) /[exp(2.5 − 0.1 · Vm) − 1] 4 · exp(−Vm/18)h 0.07 · exp(−Vm/20) 1/[exp(3 − 0.1 · Vm) + 1]

Tabelle 3: Geschwindigkeitskonstanten

4 Bewertung des Modells

4.1 Vorteile des Hodgkin-Huxley-Modells

Das Hodgkin-Huxley-Modell ist ein sehr detailliertes Modell, dass ursprunglich denSpannungsverlauf wahrend einer axonalen Ubertragung in einem kleinen Membran-areal beschreibt (Gl. 16). Man kann dies aber durch analoge Gleichungen auf dasSoma und die Dendriten des Neurons ausweiten.

Durch Einbeziehung weiterer Ionenkanale und der Axialwiderstande kann dannauch die Erregungsweiterleitung am Axon beschrieben werden (Gl. 18).

Aufgrund der elektro-chemischen Beschreibung ist das Modell auch sehr nah ambiologischen Vorbild. Es sagt mit guter Genauigkeit viele elektrische Eigenschafteneines Axons voraus: Form, Dauer und Amplitude einer Potentialspitze, Leitgeschwin-digkeit, Depolarisationsphase und Ionenaustausch.

Die postulierten Torvariablen haben sich spater als echte Struktureigenschaft derspannungsabhangigen Ionenkanale herausgestellt. Sie modellieren den charakteristi-schen Aktionspotentialverlauf und garantieren das binare Alles-Oder-Nichts-Gesetz.

Durch Verringerung der Membrankapazitat, also eine Myelinisierung der Nerven-faser, kann eine schnellere Erregungsausbreitung erzielt werden. Damit lasst sich dieUnterscheidung zwischen marklosen und markhaltigen Nervenfasern darstellen.

Das Modell lasst sich bei Bedarf vereinfachen und auf besonders wichtige Bestand-teile reduzieren. Die Berechungen sind dann weniger komplex, aber ungenauer.

4.2 Nachteile des Hodgkin-Huxley-Modells

Insgesamt ist das Gleichungssystem von Hodgkin und Huxley (Gl. 21-26) eher kom-pliziert – Komplizierter, je großer das Netzwerk ist. Es wurde gezeigt, wie diesesSystem aus vier Differentialgleichungen auf ein System aus zwei Gleichungen redu-ziert werden kann.

Ein weiterer Nachteil ist, dass das Modell eigentlich nur die Baismechanismen derLeitung erklart. Um aber z. B. die unterschiedlichen Formen von Aktionspotentialendarzustellen, brauchte es zusatzliche Parameter.

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Abbildungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Aufbau der Membran eines Axons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Das allgemeine Ersatzschaltbild fur ein Membranareal . . . . . . . . . . . . . 103 Spannungsverlauf bei unterschwelliger Reizung der Membran . . . . . . . . . . 114 Die Membran als aneinandergereihte RC-Glieder . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Ersatzschaltbild fur das Hodgkin-Huxley-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Visualisierung der einzelnen Torfunktionen wahrend der Depolarisation . . . . . 15

Tabellenverzeichnis

1 Ionenverteilung im extra- und intrazellularen Raum an der Axonmembran . . . . 52 Nernstpotentiale und Leitfahigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Geschwindigkeitskonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Literatur

[1] W. Gruber: Brain Modelling I, Universitat Wien, Institut fur Experimental-physik, http://brain.exp.univie.ac.at/yunterlagen/BMa1 L.pdf

[2] C. Birmes: Modelle von Neuronen, Westfalische Wilhelms - Uni-versitat Munster, Institut fur Informatik, http://wwwmath.uni-muenster.de/SoftComputing/lehre/seminar/ws2002/vortraege/birmes/NeuronModels.pdf

[3] M. R. Rosenzweig: Biological Psychology - An Introduction to Behavioural andCognitive Neuroscience, Sinauer Associates Incorporated 2004, ISBN 0-878-93754-4

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