Resolventen und Generatoren von Feller-Prozessen, Yosida …sschleef/uni/Bachelor... ·...

Resolventen und Generatorenvon Feller-Prozessen,

Yosida-Approximation undKolmogorov-Gleichungen

Bachelorarbeit im Rahmen des Seminars

Wahrscheinlichkeitstheorie

Sommersemester 2013

Veranstalter: Prof. Dr. F. Gotze, Dr. M. Venker

Fakultat fur Mathematik

Universitat Bielefeld

vorgelegt von:

Sascha Schleef

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXX Matrikelnummer: XXXXXXX

Vorwort

Diese Arbeit entstand im Rahmen des Bachelor-Seminars Wahrscheinlichkeits-

theorie von Prof. Dr. F. Gotze und Dr. M. Venker im Sommersemester 2013 und

beruht zum großten Teil auf dem 19. Kapitel des Buches Foundations of Mo-

dern Probability [Kal02, S. 370-373] von Olaf Kallenberg. Alle daruber hinaus

verwendeten Quellen sind dementsprechend markiert.

i

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

1 Vorwissen 2

Definition: Ubergangsoperator, Halbgruppe . . . . . . . . . . . . . 2

Definition: Feller-Halbgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Definition: pseudo-Poisson-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Resolventen und Generatoren von Feller-Halbgruppen 5

2.1 Die Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Definition: Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Lemma: Resolventengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Satz: Resolventen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Der Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Satz: Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Lemma: Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Yosida-Approximation 12

Definition: Yosida-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Lemma: Yosida-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Bemerkung: Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Vorwarts-Ruckwarts Gleichungen von Kolmogorov 17

4.1 Starke Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Vorwarts-Ruckwarts-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Satz: Vorwarts-Ruckwarts Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 18

Literaturverzeichnis 22

Eigenstandigkeitserklarung 23

ii

Einleitung

In dieser Arbeit geht es um eine indirektere Herangehensweise an zeitstetige

Markov-Prozesse (Xt)t≥0 als uber deren Ubergangskerne µt. Im Allgemeinen wer-

den bei Markov-Prozessen deren Ubergangskerne µt beziehungsweise Erwartungs-

werte und Varianzen direkt betrachtet um bestimmte Aussagen uber das Ver-

halten zu treffen. Hier werden jedoch die mit den Ubergangskernen korrespon-

dierenden Ubergangsoperatoren Tt, welche, operierend auf bestimmten Funktio-

nenraumen dem Erwartungswert des Prozesses entsprechen, betrachtet.

Speziell wird die Darstellung des sogenannten Generators untersucht, welcher

die infinitesimale Anderung des Ubergangsoperators Tt beschreibt und damit auch

eine Aussage uber die Anderungsrate des zugrundeliegenden Prozesses (Xt)t≥0

enthalt. Fur bestimmte Funktionen f , die man unter dem Prozess X betrachten

mochte, lasst sich diese Anderung also umformen zu der Differentialgleichung∂∂tTtf = ATtf . Hierdurch und durch die Halbgruppeneigenschaft, welche noch

eingefuhrt wird, liegt eine formale Beschreibung der Operatoren durch Tt = etA =∑∞

n=0tn

n!An nahe, da diese gerade obige Differentialgleichung lost.

Das Problem besteht folglich darin, dass fur diese explizite Darstellung der

Generator A beschrankt sein muss. Ein Beispiel dafur ist der pseudo-Poisson-

Prozess (siehe Definition 1.6), welcher einen beschrankten Generator besitzt.

Daher geht es in dieser Arbeit darum unter welchen Bedingungen obige Dif-

ferentialgleichung erfullt ist und wie der im Allgemeinen unbeschrankte Genera-

tor A dann aussieht. Dafur wird eine bestimmte Art von Prozessen - die Feller-

Prozesse - betrachtet, welche der sogenannten Feller-Halbgruppe (siehe Definition

1.5) zugrunde liegen.

Letztendlich fuhren diese Generatoren zu der sogenannten Ruckwartsgleichung

von Kolmogorov, welche die anfangs erwahnte Differentialgleichung explizit be-

handelt.

1

1 Vorwissen

Zunachst sollen einige Definitionen erwahnt werden, auf denen diese Arbeit be-

ruht. Sie enthalten zum Teil auch Aussagen fur deren Beweis, wenn nicht anders

gekennzeichnet, auf den Kallenberg [Kal02] verwiesen wird.

Definition 1.1 (Ubergangsoperator, Halbgruppe)

1. Sei µ ein Ubergangskern auf einem messbaren Raum (S,S), wobei S =

B(S). Der zu µ zugehorige Ubergangsoperator T ist fur beschrankte

und messbare Funktionen f : S → R gegeben durch:

Tf(x) = (Tf) (x) =

∫

µ(x, dy)f(y) ∀x ∈ S

Dieser ist fur alle messbaren Funktionen linear und beschrankt.

Des weiteren bewirkt T eine positive Kontraktion in dem Sinne, dass

aus 0 ≤ f(x) ≤ 1 auch 0 ≤ Tf(x) ≤ 1 fur alle x folgt.

2. Die Familie (Tt)t≥0 von Operatoren zu den Kernen µt, t ≥ 0 nennt man

auch Halbgruppe, wenn T0 = I gilt, wobei I der Identitatsoperator ist,

und sie die Halbgruppeneigenschaft erfullt:

Tt+s = Ts ◦ Tt =: TsTt (1.1)

Bemerkung 1.2

Die Ubergangsoperatoren Tt erfullen genau dann die Halbgruppeneigenschaft

(1.1), wenn die dazu korrespondierenden Ubergangskerne die Chapman-Kol-

mogorov Relation µs+t = µsµt erfullen.

2

1. Vorwissen 3

Definition 1.3

Sei S ein lokal kompakter, separabler, metrischer Raum. Dann ist C0 = C0(S)

die Klasse der stetigen Funktionen auf S, die im unendlichen verschwinden

das heißt, fur die Funktionen f : S → R gilt f(x) −−−→x→∞

0.

Insbesondere sind deswegen alle f ∈ C0 beschrankt, da stetige Funktionen auf

kompakten Mengen beschrankt sind. Man kann nun C0 zu einem Banachraum

erweitern indem man die Supremums-Norm ‖f‖ = supx |f(x)| einfuhrt.

Lemma 1.4 (Operatornorm)

Durch ‖T‖ = sup‖f‖≤1 ‖Tf‖ , f ∈ C0 ist eine Norm auf dem Raum L(C0, C0)

der linearen beschrankten Operatoren gegeben, insbesondere also auch auf

den Ubergangsoperatoren aus Definition 1.1. Bei ‖f‖ handelt es sich um die

Supremums-Norm aus Definition 1.3.

Ohne Beweis gilt folgende Ungleichung fur Operatoren T, S und Funktionen

f ∈ C0:

‖TSf‖ ≤ ‖T‖ ‖S‖ ‖f‖

Beweis : Der Beweis ist im Buch Funktionalanalysis [Wer07, S. 46 ff.] von Dirk

Werner zu finden.�

Definition 1.5 (Feller-Halbgruppe)

Eine Halbgruppe von positiven Kontraktionsoperatoren Tt auf C0 wird Feller

Halbgruppe genannt, wenn sie die folgenden zwei Eigenschaften erfullt:

(F1) TtC0 ⊂ C0, t ≥ 0

(F2) Ttf(x) −−→t→0

f(x), f ∈ C0, x ∈ S

In Satz 4.1 wird gezeigt, dass die Eigenschaft der starken Stetigkeit

(F3) Ttf −−→t→0

f, f ∈ C0

aus (F1) und (F2), mit Hilfe der Halbgruppeneigenschaft folgt.

Gilt zusatzlich die starkere Bedingung der Norm-Stetigkeit (vergleiche [Wer07,

S. 358])

(F′3) ‖Tt − I‖ −−→

t→00, f ∈ C0

so nennt man die Halbgruppe normstetig.

1. Vorwissen 4

Wie schon in der Einleitung erwahnt, existieren bestimmte Prozesse, welche einen

beschrankten Operator besitzen. Einer dieser Prozesse ist der, im Folgenden de-

finierte, pseudo-Poisson-Prozess, auf den spater noch einmal eingegangen wird:

Definition 1.6 (pseudo-Poisson-Prozess)

Sei X = (Xt)t≥0 ein Prozess auf einem messbaren Raum (S,B(S)). X heißt

pseudo-Poisson genau dann, wenn es einen zeitdiskreten Markov-Prozess Y

auf (S,B(S)) und einen davon unabhangigen Poisson-Prozess P gibt, sodass

X = Y ◦ P fast sicher.

Bemerkung 1.7

Ohne Beweis sei bemerkt, dass die Halbgruppe eines pseudo-Poisson-Prozesses

die Form Tt = eλt(T−I) := etA besitzt [Kal02, S. 369]. Dabei ist T der

beschrankte Ubergangsoperator des zeitdiskreten Markov-Prozesses Y der

zu dem Ubergangskern µ korrespondiert und λ die Intensitat des Poisson-

Prozesses P . Offensichtlich ist dadurch auch der Generator A beschrankt.

Des Weiteren ist diese Halbgruppe normstetig:

‖Tt − I‖ =∥

∥etA − I∥

∥ =

∥

∥

∥

∥

∥

∞∑

n=0

(tA)n

n!− I

∥

∥

∥

∥

∥

=

∥

∥

∥

∥

∥

∞∑

n=1

(tA)n

n!

∥

∥

∥

∥

∥

≤∞∑

n=0

‖tA‖n

n!− 1 = e‖tA‖ − 1 −−→

t→00

2 Resolventen und Generatoren von

Feller-Halbgruppen

Wie Eingangs erwahnt ist das Ziel nun, den infinitesimalen Generator A einer

beliebigen Feller-Halbgruppe (Tt)t≥0 auf C0 zu konstruieren. Im Allgemeinen muss

es keinen beschrankten linearen Operator A geben, der Tt = etA erfullt. Deshalb

wird fur einen solchen Generator eine passende Charakterisierung benotigt.

Motivation

Im Allgemeinen ist die zu untersuchende Abbildung, durch den Wertebereich von

f , eine Funktion in mehreren Variablen, also Ttf : R+ × S → R. Zur Motivation

wird jedoch zunachst eine reellwertige Funktion p auf R+ mit der Reprasentation

pt = eta betrachtet. Dann kann man a aus p durch Differentiation oder Integration

zuruckgewinnen:

eta − e0·a

t=

pt − 1

t−−→t→0

(

∂

∂teta)

(0) = a

∫ ∞

0

e−λtptdt =

∫ ∞

0

e(a−λ)tdt = (λ− a)−1 , λ > 0

Die Darstellung durch Differentiation wird in Kapitel 4.2 noch einmal aufgegriffen.

Durch die Integraldarstellung motiviert wird nun folgende Definition eingefuhrt:

5

2. Resolventen und Generatoren von Feller-Halbgruppen 6

2.1 Die Resolvente

Definition 2.1 (Resolvente)

Fur eine Feller-Halbgruppe (Tt)t≥0 auf C0 und ein beliebiges λ > 0 wird Rλ,

definiert als die Laplace-Transformierte:

Rλf =

∫ ∞

0

e−λt (Ttf) dt, f ∈ C0.

Rλ wird Resolvente von (Tt)t≥0 genannt.

Man beachte, dass das Integral nur existiert, wenn Ttf(x) beschrankt und

rechtsstetig in t ≥ 0 fur festes x ∈ S ist.

An dieser Stelle wird eine wichtige Gleichung eingefuhrt, die Resolventenglei-

chung. Diese stellt den Zusammenhang zweier Resolventen mit verschiedenen Pa-

rametern µ und λ bezuglich der selben Feller-Halbgruppe (Tt)t≥0 dar. Benotigt

wird sie immer wieder in den nachfolgenden Abschnitten.

Lemma 2.2 (Resolventengleichung)

Seien Rλ, Rµ zwei Resolventen von (Tt)t≥0 zu den Parametern λ, µ > 0. Dann

gilt die Resolventengleichung:

Rλ −Rµ = (µ− λ)RµRλ = (µ− λ)RλRµ, λ, µ > 0 (2.1)

Die letzte Gleichung besagt, dass die Resolventen kommutieren.

Die grobe Idee des Beweises ist [Fel71, XIII.8 S. 453] entnommen.

Beweis : Es wird im Folgenden die Halbgruppeneigenschaft (1.1) benutzt um

durch eine Variablentransformation die Integraldarstellung der Resolvente

umzuformen.

Dazu sei zunachst angemerkt, dass die Resolvente eine Abbildung Rλ : C0 →

C0 ist, da die erste Fellereigenschaft (F1) fur f ∈ C0 impliziert, dass auch

Ttf ∈ C0 fur jedes t ist. Mit majorisierter Konvergenz folgt dann auch Rλf ∈

C0. Des Weiteren sei daran erinnert, dass f ∈ C0 und somit messbar und

beschrankt ist, womit nach Definition 1.1 Ttf messbar und beschrankt ist.

Deshalb kann im Folgenden der Satz von Fubini angewendet werden um die

Integrationsreihenfolge zu andern:

RλRµf = Rλ (Rµ(f)) =

∫ ∞

0

e−λt (Tt) (Rµf) dt

=

∫ ∞

0

e−λt (Tt)

∫ ∞

0

e−µs (Tsf) ds dt


=

∫ ∞

0

∫ ∞

0

e−λte−µs (Tt) (Tsf) ds dt

(1.1)=

∫ ∞

0

∫ ∞

0

e−λt−µs (Tt+sf) ds dt

(∗)= −

1

2

∫ ∞

0

∫ x

−x

e−1

2(λ+µ)x− 1

2(λ−µ)y (Txf) dx dy

= −1

2

∫ ∞

0

e−1

2(λ+µ)x

∫ x

−x

e−1

2(λ−µ)ydy (Txf) dx

= −1

2

∫ ∞

0

e−1

2(λ+µ)x

[

−2e−1

2(λ−µ)y

λ− µ

]x

−x

(Txf) dx

= −−2

2(λ− µ)

∫ ∞

0

e−1

2(λ+µ)x

(

e−1

2(λ−µ)x − e

1

2(λ−µ)x

)

(Txf) dx

=1

λ− µ

(∫ ∞

0

e−1

2(λ+µ)x− 1

2(λ−µ)x (Txf) dx−

∫ ∞

0

e1

2(λ+µ)x+ 1

2(λ−µ)x (Txf) dx

)

=1

λ− µ

(∫ ∞

0

eλx (Txf) dx−

∫ ∞

0

eµx (Txf) dx

)

=1

µ− λ(Rµ −Rλ)

Die Variablentransformation, die in (*) betrachtet wird ist f(x, y) = 12

(

x+yx−y

)

=(

st

)

mit der Determinante det(Df(x, y)) = −12.

Fur die zweite Aussage benutzt man die erste:

(λ− µ)RµRλ = Rµ −Rλ = − (Rλ −Rµ) = −(µ− λ)RλRµ = (λ− µ)RλRµ

�

Fur den Beweis des nachfolgenden Satzes werden zwei wichtige Lemmata benotigt,

fur deren Beweis auf die angegebenen Quellen verwiesen wird.

Lemma 2.3 (Korollar aus dem Satz von Hahn-Banach [Wer07, S. 98])

Sei X ein normierter Raum und U ein abgeschlossener Unterraum. Weiter sei

x ∈ X, sodass x /∈ U . Dann existiert ein ϕ : X → R mit

ϕ 6≡ 0 und ϕ∣∣U

≡ 0.

Lemma 2.4 (Riesz-Markov)

Sei S ein lokalkompakter, seperabler Hausdorffraum. Dann kann jedes lineare

Funktional auf C(S) zu einem eindeutigen (signierten) Radon-Maß auf S

erweitert werden.

Beweis : Aus [Kal02, S. 36] zusammen mit der Anmerkung [Wer07, S. 89] folgt

die Behauptung.�


Mit der Resolventengleichung wurde nun eine Aussage uber den Zusammen-

hang der Resolventen untereinander aufgezeigt. Im Folgenden werden einige Ei-

genschaften der Resolvente bezuglich ihres Definitionsbereiches und ihres Grenz-

verhaltens untersucht.

Satz 2.5 (Resolventen)

Sei (Tt)t≥0 eine Feller-Halbgruppe auf C0 mit Resolvente Rλ, λ > 0. Dann

gilt:

1. Die Operatoren λRλ sind injektive (i) Kontraktionen (ii) auf C0 mit:

λRλ‖·‖

−−−→λ→∞

I (iii)

2. Der Bildbereich, D = RλC0, von Rλ ist unabhangig (i) von λ und dicht

(ii) in C0.

Beweis : Da Rλf ∈ C0 kann man die Operatornorm auf λRλ anwenden um

die Kontraktionseigenschaft (1.ii) zu beweisen:

‖λRλf‖ ≤ λ

∫ ∞

0

e−λt ‖Ttf‖ dt ≤ λ ‖f‖

∫ ∞

0

e−λtdt = ‖f‖

Aus der Definition der Operatornorm folgt die Abschatzung

‖λRλ‖ ≤ 1 ⇔ ‖Rλ‖ ≤ λ−1.

Die Resolventengleichung (2.1) zeigt direkt, dass die Operatoren Rλ einen ge-

meinsamen Bildbereich D haben, da die Linearkombination auf dem gleichen

Bereich operiert wie die Verkettung. Aus der Kommutativitat folgt dann die

Unabhangigkeit des Bildbereiches D von λ.

Ebenfalls aus der Kommutativitat der Resolvente folgt die Gleichung

(λRλ − I)Rµ!= (µRµ − I)Rλ ⇔ λRλRµ −Rµ = µRµRλ −Rλ

⇔ λRλRµ − µRµRλ = Rµ −Rλ ⇔ (λ− µ)RλRµ = Rµ −Rλ.

Sei nun f = R1g, g ∈ C0. Dann folgt mithilfe einer Approximation auf dem

Abschluss D und obiger Identitat in (∗) fur µ = 1 die Konvergenz von (1.iii):

‖λRλf − f‖ = ‖(λRλ − I)R1g‖(∗)= ‖(R1 − I)Rλg‖

≤ λ−1 ‖R1 − I‖ ‖g‖ −−−→λ→∞

0


Dies ist zulassig, da der folgende Abschnitt zeigt, dass D dicht in C0 liegt.

Dafur sei S = S∪{∆} die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von S. Des Weiteren

kann jede Funktion f ∈ C0 durch das Setzen von f(∆) = 0 zu einer Funktion

auf C = C(S) erweitert werden. Wenn nun D 6= C0 gilt, dann existiert nach

dem Satz von Hahn-Banach (2.3) ein beschranktes lineares Funktional ϕ 6≡ 0

auf C, sodass ϕR1f = 0 fur alle f ∈ C0. Nach Riesz-Markov (2.4) kann man ϕ

zu einem beschrankten, signierten Maß auf S erweitern. Wenn weiter f ∈ C0

ist und die zweite Fellereigenschaft (F2) benutzt wird, bekommt man mit

majorisierter Konvergenz

0 = λϕRλf =

∫

ϕ(dx)

∫ ∞

0

λe−λtTtf(x)dt

=

∫

ϕ(dx)

∫ ∞

0

e−sTs/λf(x)ds −−−→λ→∞

ϕf,

da Ts/λf beschrankt ist und Ts/λf(x) −−−→λ→∞

f gilt. Das bedeutet, dass ϕ ≡ 0.

Dieser Wiederspruch zu Hahn-Banach (2.3) zeigt, dass D dicht in C0 liegt,

also (2.ii).

Um zu zeigen, dass die Operatoren Rλ injektiv sind (1.i), sei f ∈ C0 mit

Rλ0f = 0 fur einige λ0 > 0. Dann folgt aus der Resolventengleichung (2.1)

mithilfe von

(Rλ −Rλ0) f = Rλf −Rλ0

f = Rλf

= (λ0 − λ)RλRλ0f

Rλ0f=0= 0,

dass Rλf = 0 fur alle λ > 0. Da λRλf −−−→λ→∞

f folgt, dass f ≡ 0. Dies ist die

Injektivitat von λRλ �


2.2 Der Generator

Satz 2.6 (Generator)

Sei (Tt)t≥0 eine Feller-Halbgruppe auf C0 mit Resolvente Rλ, λ > 0. Dann

gilt:

1. Es existiert ein Operator A auf C0 mit Definitionsbereich D, sodass

R−1λ = λI − A

auf D fur jedes λ > 0.

2. Dieser Operator A kommutiert auf D mit jedem Tt.

Beweis : 1. Aus dem Satz 2.5 ist bekannt, dass Rλ injektiv ist. Also existiert

das Inverse R−1λ auf D, womit auch die Existenz von A = λI −R−1

λ (1)

folgt.

Multipliziert man nun die Resolventengleichung (2.1) von links mit R−1λ

und von rechts mit R−1µ erhalt man auf D die Gleichung

R−1µ −R−1

λ = µ− λ ⇔ λ−R−1λ = µ−R−1

µ (2.2)

Dies zeigt, dass der Definitionsbereich von A unabhangig von λ ist, da

auf beiden Seiten der Gleichung eine gultige Definition von A steht.

2. Zunachst ist anzumerken, dass Tt und Rλ fur jedes t, λ > 0 kommutie-

ren, da RλTtf =∫∞

0e−λsTsTtfds = Tt

∫∞

0e−λsTsfds = TtRλf . Daher

folgt:

Tt(λI − A)Rλ = Tt = (λI − A)RλTt = (λI − A)TtRλ

⇔ (λTt − TtA)Rλ = (λTt − ATt)Rλ ⇔ TtA = ATt

Also kommutiert A mit jedem Tt auf D.�

Der Operator A aus Satz 2.6 heißt Generator der Feller-Halbgruppe (Tt)t≥0.

Wenn man die Rolle des Definitionsbereiches hervorheben will bezeichnet man

den Generator von (Tt)t≥0 als (A,D). Eine weitere Charakterisierung von A,

die die Bedeutung des infinitesimalen Generators deutlicher macht, folgt aus der

Ruckwartsgleichung (4.2) in Kapitel 4.


Lemma 2.7 (Eindeutigkeit)

Eine Feller-Halbgruppe (Tt)t≥0 ist durch ihren Generator (A,D) eindeutig

bestimmt.

Beweis : Der Operator A bestimmt die Resolvente Rλ = (λI − A)−1 fur alle

λ > 0 eindeutig. Mit der Eindeutigkeit der Laplace-Transformation bestimmt

er auch Ttf sowie das Maß µ auf R+ aus Definition 1.1 fur jedes f ∈ C0

und x ∈ S. Da nun Ttf(x) rechtsstetig in t fur jedes feste x ist, folgt die

Behauptung.�

3 Yosida-Approximation

Fur spatere Zwecke wird zunachst die sogenannte Yosida-Approximation ein-

gefuhrt. Diese beruht auf der Idee, den im Allgemeinen unbeschrankten Gene-

rator A aus dem vorherigen Kapitel, durch beschrankte Operatoren Aλ zu appro-

ximieren. Die folgende Definition fuhrt zunachst die formale Approximation ein,

wahrend die darauf folgende Proposition einige Approximationsaussagen enthalt.

Definition 3.1 (Yosida-Approximation)

Sei Rλ, λ > 0 die Resolvente einer Feller-Halbgruppe (Tt)t≥0. Dann nennt

man

Aλ := λARλ = λ (λRλ − I) , λ > 0 (3.1)

Yosida-Approximation und T λt := etA

λ

die dazugehorige Halbgruppe.

Bemerkung 3.2

Da die Halbgruppe eines pseudo-Poisson-Prozesses die Form Tt = ect(T−I) be-

sitzt (siehe Bemerkung 1.7), handelt es sich bei der Halbgruppe der Yosida-

Approximation um die eines pseudo-Poisson-Prozesses mit Rate λ und Uber-

gangs-Operator λRλ.

Der Generator dieser Halbgruppe ist beschrankt, wodurch die Yosida-Approxi-

mation eine Approximation des im Allgemeinen unbeschrankten Generators

einer Feller-Halbgruppe durch einen beschranken Operator darstellt.

Proposition 3.3 (Yosida-Approximation)

Fur jedes f ∈ D gilt die Ungleichung

∥

∥Ttf − T λt f∥

∥ ≤ t∥

∥Af − Aλf∥

∥ , t, λ > 0 (3.2)

und es gilt die Konvergenz: Aλf −−−→λ→∞

Af .

Des Weiteren konvergiert T λt f −−−→

λ→∞Ttf fur jedes f ∈ C0 und beschrankte

t ≥ 0 gleichmaßig.

12

3. Yosida-Approximation 13

Da sowohl in dem Beweis dieser Proposition als auch in Kapitel 4 der Begriff und

die Definition der Ableitung der Yosida-Approximation T λt := etA

λ

benotigt wird,

sei dieser hier eingefuhrt:

Lemma 3.4 (Ableitung)

Fur festes λ > 0 existiert die Ableitung von T λt in 0:

T λh − T λ

0

h=

T λh − I

h

‖·‖−−→h→0

(

∂

∂tT λt

)

0

=: Aλ (3.3)

Beweis : Um die Konvergenz in (3.4) zu zeigen wird der Prozess T λh in seine

grundlegende Definition umgeformt und die Bestandteile durch die Eigen-

schaften der Operatornorm in mehreren Schritten abgeschatzt.

∥

∥

∥

∥

T λh − I

h− Aλ

∥

∥

∥

∥

=

∥

∥

∥

∥

1

h

(

etAλ

− I)

− Aλ

∥

∥

∥

∥

=

∥

∥

∥

∥

∥

1

h

(

∞∑

n=0

hn

n!

(

Aλ)n

− I

)

− Aλ

∥

∥

∥

∥

∥

=

∥

∥

∥

∥

∥

1

h

(

I +∞∑

n=1

hn

n!

(

Aλ)n

− I

)

− Aλ

∥

∥

∥

∥

∥

=

∥

∥

∥

∥

∥

Aλ

∞∑

n=1

hn−1

n · (n− 1)!

(

Aλ)n−1

− Aλ

∥

∥

∥

∥

∥

(∗)=

∥

∥

∥

∥

∥

Aλ

∞∑

n=1

(cn−1 · h)n−1

(n− 1)!

(

Aλ)n−1

− Aλ

∥

∥

∥

∥

∥

≤∥

∥Aλ∥

∥

∥

∥

∥

∥

∥

∞∑

n=0

(cn · h)n

n!

(

Aλ)n

− I

∥

∥

∥

∥

∥

≤∥

∥Aλ∥

∥

∞∑

n=1

(cn · h)n

n!

∥

∥Aλ∥

∥

n (∗∗)

≤∥

∥Aλ∥

∥

∞∑

n=1

hn

n!

∥

∥Aλ∥

∥

n

=∥

∥Aλ∥

∥

(

eh·‖Aλ‖ − 1

)

−−→hց0

0

An der Stelle (∗) wird die Variable cn−1 = n−1

√

1/n eingefuhrt, deren Ei-

genschaft 0 < cn < 1 in (∗∗) durch die Abschatzung mit 1 genutzt wird.

Des Weiteren ist zu beachten, dass es sich bei Aλ um einen beschrankten

Operator handelt, weshalb die Konvergenz folgt.�


Beweis von Lemma 3.3 : Zunachst gilt fur jeden kommutierenden Kontraktions-

Operator B und C und festes f ∈ C0 die Ungleichung

‖Bnf − Cnf‖ ≤∥

∥Bn−1 + Bn−2C + . . .+ Cn−1∥

∥ ‖Bf − Cf‖

‖B‖,‖C‖≤1

≤ n ‖Bf − Cf‖ .

Nach Satz 2.6 gilt Aλf = λRλAf −−−→λ→∞

Af fur jedes f ∈ D. Des Weiteren

gilt die Aussage aus Bemerkung 3.4. Werden nun f ∈ C0 und t, λ, µ > 0 fest

gelassen, erhalt man mit h = t/n → 0

∥

∥T λt f − T µ

t f∥

∥ =∥

∥

∥

(

T λt/n

)nf −

(

T µt/n

)nf∥

∥

∥≤ n

∥

∥T λh f − T µ

h f∥

∥

= t

∥

∥

∥

∥

T λh f − f

h−

T µh f − f

h

∥

∥

∥

∥

−−→h→0

t∥

∥Aλf − Aµf∥

∥ .

Fur f ∈ D folgt, dass T λt f fur λ → ∞ und festes t eine Cauchy-Folge in

λ ist. Da D dicht in C0 liegt, gilt mit Hilfe einer geeigneten Approximation

gµ := µRµf −−−→µ→∞

f, gµ ∈ D durch die Normstetigkeit die gleiche Eigenschaft

auch fur f ∈ C0.

Der nun gesuchte Limes von T λt f , dessen Existenz durch die Cauchykon-

vergenz gesichert ist, sei zunachst mit Ttf bezeichnet. Dann erhalt man

∥

∥

∥T λt f − Ttf

∥

∥

∥≤ t∥

∥Aλf − Af∥

∥ , f ∈ D, t ≥ 0. (3.4)

Also gilt fur jedes f ∈ D die gleichmaßige Konvergenz von T λt f −−−→

λ→∞Ttf ,

fur beschrankte t. Dies lasst sich wieder auf alle f ∈ C0 erweitern.

Um Ttf zu bestimmen wird die Gleichheit der Resolventen von(

Ttf)

t≥0

und (Tt)t≥0 gezeigt. Dafur wird zunachst die Aussage benotigt, dass fur jedes

f ∈ C0 und λ, µ > 0 folgendes gilt

∫ ∞

0

e−λtT µt µRµfdt = (λI − Aµ)−1 µRµf =

µ

λ+ µRνf, (3.5)

wobei ν = λµλ+µ

.

Mithilfe von µRµ −ARµ = (µ−A)Rµ = R−1µ Rµ = I folgt die zweite Gleich-

heit durch nachstehende Aquivalenzumformung, die auf der Darstellung der

Resolvente aus Satz 2.6 beruht:


(λ− Aµ)−1 µRµ!=

µ

λ+ µRν

⇔ µ (µ− A)−1 != (λ− Aµ)

µ

λ+ µRν

⇔λ+ µ

µµ (µ− A)−1 !

= (λ− Aµ) (ν − A)−1

⇔ (λ+ µ)

(

λµ

λ+ µ− A

)

!= (µ− A) (λ− Aµ)

⇔ λµ− (λ+ µ)A!= µλ− λA− µAµ + AAµ

⇔ λµ− λA− µA!= µλ− λA− µµARµ + AµARµ

⇔ −µA!= − µA (µRµ − ARµ)

Wenn nun µ → ∞ bekommt man auch die Konvergenz ν → λ, also auch

Rνf → Rλf . Des Weiteren gilt

∥

∥

∥T µt µRµf − Ttf

∥

∥

∥=∥

∥

∥T µt µRµf − T µ

t f + T µt − Ttf

∥

∥

∥

=∥

∥

∥T µt (µRµf − f) + (T µ

t − Ttf)∥

∥

∥

≤ ‖T µt ‖ ‖µRµf − f‖+

∥

∥

∥T µt f − Ttf

∥

∥

∥−−−→µ→∞

0,

(3.6)

da T µt beschrankt ist. Also folgt aus (3.5) mit majorisierter Konvergenz

∫∞

0e−λtTtfdt = Rλf . Dies bedeutet, dass die Halbgruppen (Tt)t≥0 und

(

Ttf)

t≥0

die gleichen Resolventen Rλ besitzen. Daher folgt mit dem Eindeutigkeits-

lemma 2.7, dass diese ubereinstimmen. Ausserdem folgt die Gleichung (3.2)

aus (3.4).�


Bemerkung 3.5 (Beschreibung der Yosida-Approximation Tλ

t)

Wie in der Bemerkung anfangs bereits erwahnt, handelt es sich bei der Yosida-

Approximation T λt = etλ(λRλ−I) um den Ubergangsoperator eines pseudo-

Poisson-Prozsesses N =(

Nt

)

t≥0. Dies bedeutet, dass sich N fast sicher dar-

stellen lasst durch

Nt = M ◦ Pλ,t, t ≥ 0,

wobei Pλ ein Poison-Prozess mit Rate λ und M eine zeitdiskrete Markovkette

ist, die den Ubergangsoperator λRλ besitzt.

Da dieser Ubergangsoperator eine formale Schreibweise des Erwartungswertes

ist, gilt:

λ

∫ ∞

0

e−λtTtf(x)dt = λRλf(x) = Ex (f(M)) =

∫

α(x, dy)f(y)

Setzt man nun die Erwartungswertdefinition fur Tt ein erhalt man:

λ

∫ ∞

0

e−λt

∫

µt(x, dy)f(y)dt =

∫

α(x, dy)f(y)

=

∫ ∫ ∞

0

λe−λtµt(x, dy)dtf(y)

=

∫

E (µY (x, dy)) f(y)

Y ist hierbei eine zum Parameter λ exponentialverteilte Zufallsvariable, das

heißt Y ∼ Exp(λ). Da Y jedoch die Zeitabstande t des Ubergangskernes µt in

Exp(λ) verteilte Sprunge umwandelt, liegt die Interpretation nahe, dass ein

weiterer, zum Parameter λ verteilter, Poisson-Prozess P ′λ mit dem ursprung-

lichen Prozess X = (Xt)t≥0, zu dem die Ubergangskerne µt gehoren, verkettet

ist.

4 Vorwarts-Ruckwarts Gleichungen

von Kolmogorov

4.1 Starke Stetigkeit

Zunachst wird gezeigt, dass jede Feller-Halbgruppe auch stark stetig ist, also

automatisch die Fellereigenschaft (F3) aus (F1) und (F2) folgt. Dies folgt aus den

Resultaten des letzten Kapitels.

Proposition 4.1

Sei (Tt)t≥0 eine Feller-Halbgruppe mit dem Generator (A,D). Dann ist diese

auch stark stetig.

Beweis : Die Halbgruppe(

T λt

)

t≥0ist normstetig in t fur jedes λ > 0 (Be-

merkung 1.7), da sie ein pseudo-Poisson-Prozess ist. Also folgt die starke

Stetigkeit von (Tt)t≥0 mit dem Lemma 3.3 fur λ → ∞.�

4.2 Vorwarts-Ruckwarts-Gleichungen

Ein wichtiges Resultat sind nun die abstrakteren Versionen der Vorwarts-Ruck-

warts Gleichungen von Kolmogorov. Die Ruckwartsgleichung zeigt dann auch,

dass die Charakterisierung des Generators aus Satz 2.6 die Differentialgleichung

aus der Einleitung erfullt und somit eine sinnvolle Charakterisierung des Gene-

rators A ist.

17

4. Vorwarts-Ruckwarts Gleichungen von Kolmogorov 18

Satz 4.2 (Vorwarts-Ruckwarts Gleichungen)

Sei (Tt)t≥0 eine Feller-Halbgruppe mit Generator (A,D).

Dann erfullt (Tt)t≥0 die Vorwartsgleichung

Ttf − f =

∫ t

0

TsAfds, f ∈ D, t ≥ 0. (4.1)

Des Weiteren ist Ttf differenzierbar in t = 0 genau dann, wenn f ∈ D.

In diesem Fall gilt dann die Ruckwartsgleichung

∂

∂t(Ttf) = TtAf = ATtf, t ≥ 0. (4.2)

Bemerkung 4.3 (Anschauung)

Die Gleichung (4.2) heißt Ruckwartsgleichung, da dort die Anderung des Ope-

rators Tt zum Zeitpunkt t betrachtet wird. Es wird also ruckwirkend fur einen

bestimmten Zeitpunkt betrachtet, wie sich der Operator verhalt.

Die Vorwartsgleichung (4.1) hingegen betrachtet Tt im gesamten Bereich

[0, t] und zerlegt so, vorwarts in der Zeit gerichtet, von 0 an die Funktion

Ttf − f .

Da die Differenzierbarkeitsaussage (4.2) genau dann gilt, wenn f ∈ D, ist

D genau die Menge

D =

{

f ∈ C0

∣

∣

∣

∣

limh→0

Thf − f

hexistiert in C0

}

.

Dies ist die Definition von D, wie sie, aufgrund der anderen Herangehensweise

an den Generator, in vielen Werken (zum Beispiel in [Paz83, S. 1]) zu finden

ist.

Beweis : Zunachst zur Ruckrichtung der Aquivalenzaussage: Es sei auf die

Differenzierbarkeitsaussage h−1(

T λh − I

)

−−→hց0

Aλ in Lemma 3.4 hingewie-

sen. Benutzt man nun die Halbgruppeneigenschaft indem man von rechts

mit T λt multipliziert zusammen mit der Stetigkeit von T λ

t , so erhalt man

etwas allgemeiner die Differenzierbarkeit zu jedem Zeitpunkt t ≥ 0

(

T λh − I

h

)

T λt =

(

T λt+h − T λ

t

h

)

−−→hց0

AλT λt

⇔∂

∂tT λt = AλT λ

t = T λt A

λ, t ≥ 0.


Dies impliziert weiter

∫ t

0

T λs A

λfds =[

T λs f]t

0= T λ

t f − f, f ∈ C0, t ≥ 0. (4.3)

Wenn nun f ∈ D folgt mit Lemma 3.3 die gleichmaßige Konvergenz von

∥

∥T λs A

λf − TsAf∥

∥ ≤∥

∥Aλf − Af∥

∥+∥

∥T λs Af − TsAf

∥

∥ −−−→λ→∞

0

fur beschrankte s durch die gleiche Abschatzung wie in (3.6).

So folgt dann auch Gleichung (4.1) aus (4.3) fur λ → ∞.

Mit der starken Stetigkeit von (Tt) kann man nun (4.1) differenzieren,

womit man auch die erste Gleichung aus (4.2) bekommt. Die zweite Gleichung

in (4.2) liefert dann die Kommutativitat aus Satz 2.6.

Fur die Hinrichtung wird angenommen, dass h−1 (Thf − f) −−→hց0

g fur ein

beliebiges Paar von Funktionen f, g ∈ C0 gilt. Dann folgt aus der Kommu-

tativitat von Tt und Rλ, dass

RλTh − I

hf =

Th − I

hRλf −−→

hց0ARλf

RλTh − I

hf = Rλ

Thf − f

h−−→hց0

Rλg.

Dies kann man nutzen um f umzuschreiben zu

f = (λ− A)Rλf = λRλf − ARλf = Rλ(λf − g) ∈ D.

Damit folgt fur f ∈ C0 aus der Differenzierbarkeit von Tt in 0, dass f ∈ D.�

Bemerkung 4.4

Die eindimensionale Differentialgleichung (4.2) auf R+ lasst sich leicht zu

einer partiellen Differentialgleichung auf R+ × S erweitern durch

∂

∂t(Ttf) (x) = TtAf(x) = ATtf(x), t ≥ 0.

Dies folgt daraus, dass aus der starken Stetigkeit auf C0 die punktweise Ste-

tigkeit in S folgt.


Korollar 4.5 (Spezialfall der Ruckwartsgleichung)

Fur den Spezialfall, dass (Tt)t≥0 die Halbgruppe eines pseudo-Poisson-Pro-

zesses mit Ubergangskern µt und Rate c ist, wird aus der Ruckwartsgleichung

(4.2) die partielle Differentialgleichung

∂

∂tTtf(x) =

∫

(Ttf(y)− Ttf(x))α(x, dy),

wobei α der Intensitatskern eines Markov-Sprung-Prozesses ist.

Beweis : Die Ruckwartsgleichung (4.2) gilt im Allgemeinen fur beliebige Feller-

Prozesse. Im Spezialfall, dass (Tt)t≥0 die Halbgruppe bezuglich eines pseudo-

Poisson-Prozesses ist, gilt fur den Generator A = c(T − I). Dabei gelten die

Bezeichnungen aus Bemerkung 1.7. Dies bedeutet fur die Ruckwartsgleichung

fur t ≥ 0, x ∈ S:

∂

∂tTtf(x) =ATtf(x) = c(T − I)Ttf(x) = c (TTtf(x)− Ttf(x))

=c

(∫

Ttf(y)µ(x, dy)− Ttf(x)

)

(∗)=

∫

(Ttf(y)− Ttf(x))α(x, dy)

Dabei ist α der Intensitatskern eines Markov-Sprung-Prozesses. Fur den Be-

weis des Zusammenhangs des Intensitatskerns α des Markov-Sprung-Pro-

zesses und des Ubergangskern µ des zeitdiskreten Markov-Prozesses, welcher

in der Gleichungskette in (∗) genutzt wurde, sei auf [Kal02, S. 241] verwiesen.

Die partielle Ruckwartsgleichung ∂∂tTtf(x) =

∫

(Ttf(y)− Ttf(x))α(x, dy),

welche Kallenberg in seinem Kapitel”Poisson and Pure Jump-Type Markov

Processes“ [Kal02, Kapitel 12, S. 241 ff.] behandelt, ist also ein Spezialfall

der abstrakten Differentialgleichung (4.2).�


Bemerkung 4.6 (Ruckwartsdifferentiation)

Betrachtet man nun nicht einen in der Zeit von 0 vorwartsgerichteten Pro-

zess, sondern einen von einem festen Zeitpunkt s ≥ 0 ruckwartsgerichteten

Prozess, so ist die Frage, wie sich die Ruckwartsgleichung (4.2) bezuglich der

Halbgruppe andert. Dafur sei zunachst angenommen, dass fur festes x ∈ S die

Umkehrung von Ttf(x) = Ex (f (Xt)) existiert. Diese sei zunachst bezeichnet

mit T−1t f(x). Dann gilt fur 0 ≤ t < s, wobei s fest:

(

∂

∂tTs−t

)

Tt

(

T−1t f(x)

)

= limh→0

Ts−t−h − Ts−t

hTt

(

T−1t f(x)

)

= limh→0

Ts−h − Ts

h

(

T−1t f(x)

)

= limh→0

−Ts − Ts−h

h

(

T−1t f(x)

)

=−∂

∂sTs

(

T−1t f(x)

)

= −ATs

(

T−1t f(x)

)

=− ATs−t+t

(

T−1t f(x)

)

= −ATs−tTt

(

T−1t f(x)

)

=(−A)Ts−tf(x)

Da der Generierungs-Operator A die infinitesimale Anderung der Halbgruppe

(Tt)t≥0 zu jedem Zeitpunkt t beschreibt, zeigt obige Aussage, dass A auch

in der ruckwartsgerichteten Halbgruppe die infinitesimale Anderung angibt.

Gleichzeitig ist die Anderung nun zu jedem Zeitpunkt negativ, welches die

Ruckwartsbewegung von (Tt)t≥0 anzeigt.

Literaturverzeichnis

[Fel71] William Feller. An introduction to probability theory and its applicati-

ons/2. 1971.

[Kal02] Olav Kallenberg. Foundations of modern probability. Springer, New

York, NY [u.a.], 2002.

[Paz83] Amnon Pazy. Semigroups of linear operators and applications to parti-

al differential equations. Applied mathematical sciences ; 44. Springer,

1983.

[Wer07] Dirk Werner. Funktionalanalysis. Springer, Berlin [u.a.], 2007.

22

Eigenstandigkeitserklarung

Hiermit erklare ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbststandig und ohne fremde

Hilfe verfasst und keine anderen Hilfsmittel als angegeben verwendet habe. Ins-

besondere versichere ich, dass ich alle wortlichen und sinngemaßen Ubernahmen

aus anderen Werken als solche kenntlich gemacht habe.

Ort, Datum Unterschrift (Sascha Schleef)

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