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Hounsfield, 1969

Röntgen Computertomographie (CT)

Zusätzliche Literatur:W.A. Kalender: ComputertomographiePublicis MCD Verlag, 2000


Entwicklung der CT im historischen Überblick

1895 W.C. Röntgen entdeckt eine 'neue Art von Strahlen',die später nach ihm als Röntgenstrahlen benannt werden

1917 J.H. Radon entwickelt die mathematischen Grundlagen zur Errechnung von Querschnittsbildern aus Transmissionsmessungen

1960/1970 Verbesserung der Computertechnologie

1972 G.N. Hounsfield und J. Ambrose führen erste klinische Untersuchungen mit Computertomographie durch

1975 erster Ganzkörpertomograph im klinischen Einsatz

1979 Verleihung des Nobelpreises an Hounsfield und Cormack

1989 erste klinische Untersuchungen mit Spiral-CT

1998 erste klinische Untersuchungen mit Mehrzeilen-Spiral-CT

2000 ca. 30 000 klinische Spiral-CT- Installationen weltweit


1974 1994


1974Bildmatrix: 80 x 80

2000Bildmatrix: 512 x 512Spiral-CT


Hounsfield, 1969 moderner CT-Scanner


Probleme der Projektionsradiographie:

Röntgenbild: - modulierte Verteilung der durch Gewebe transmittierten

Röntgenquanten

- 2D Projektion der Schwächungseigenschaften des Gewebes

- Überlagerungsbild: alle durchstrahlten Volumenelemente tragen zur Schwächung bei

- Linienintegral der Abschwächung:

- Kontrast: Strukturen mit großem µ (Knochen) bzw. Dickenunterschiede; Weichteilgewebe nicht darstellbar

- Projektionsradiographie ist nicht tomographisch

∫−= )dlµ(0D x,y,zeJJ

?


homogenes Objekt; mono-chromatische Strahlung

D

D

d

JJ

d

dJJ

P

eJJ

0

0

ln1

ln

⋅=

⋅==

⋅= −

µ

µ

µ0D

J0

JD

P = Projektionswert


inhomogenes Objekt; mono-chromatische Strahlung

??

ln 0

...

0

332211

=

⋅==

⋅=⋅=

⋅=

∑

∫−∑ ⋅−

−−−−

i

iii

D

dsd

ddd

dJJ

P

eJeJ

eJJd

iii

µ

µ

µµ

µµµ

00

0D

J0

JD


inhomogenes Objekt; poly-chromatische Strahlung

??),(

ln

)(

0

00

0max

=

=

⋅=∫−

∫

yxJJ

P

dEeEJJ

D

dsEd

µ

µ

D

J0

JD


Prinzipiender

Röntgen-Computertomographie


Prinzip der Computertomographie:

- messe räumliche Verteilung einer physikalischen Eigenschaft [µ(x,y)] des zu untersuchenden Objekts

- errechne aus Meßwerten überlagerungsfreie Bilder(Radon-Transformation und Fourier-Scheiben-Theorem)


x

Idee: Aufnahme einzelner Schichtenbetrachte menschlicher Körper alsein aus endlich vielen diskreten Volumenelementen zusammen-gesetztes Objekt

in grober Auflösung: - einzelne transversale Schichten der Dicke s- Schichten zusammengesetzt aus diskreten quaderförmigenVolumenelementen

Volumenelement: Voxel (volume element)Bildelement: Pixel (picture element)


Messung von Schichtbildern und inverses Problem

Inverses Problem: Gegeben eine Menge Np von Messungen (Schichtbilder) außerhalb eines Objektes, bestimme die Verteilung der physikalischen Kenngröße µ innerhalb des Objektes

J. Radon (1917): Die 2D-Verteilung einer Objekteigenschaft kann exakt beschrieben werden, wenn eine unendliche Anzahl von Linienintegralen vorliegt.

⇒ Durch eine endliche Anzahl Np von Messungen kann dieVerteilung µ(x,y) ausreichend approximiert werden

Vorwärtsproblem: gegeben µ(x,y) innerhalb des Objekts, bestimmeErgebnis der Messung außerhalb des Objekts.


Einfachstes Meßprinzip der CT Mit Radon Vorgabe:erst Translation (ergibt Projektion)dannRotation (min. 180°)

Nadelstrahl

Moderne CT-Scanner:800-1500 Projektionenmit ca. 600-1200 Meßwertenpro Projektion


Radon-Transformation (I)

J. Radon (1917): Die 2D-Verteilung einer Objekteigenschaft kann exakt beschrieben werden, wenn eine unendliche Anzahl von Linienintegralen vorliegt.

sei f(x,y) beliebige integrierbare Funktion

beschreibe f(x,y) durch alle geradenLinienintegrale durch Definitionsgebietvon f(x,y):

( )∫+∞

∞−lll dyxf )(),(


Radon-Transformation (II)

naiver Ansatz: integriere nacheinander durch alle Punkte über alle Richtungen⇒ einige Linienintegrale sind identisch

⇒ wähle geeignetes Ordnungsschema, so dass alle Linienintegrale nureinmal vorkommen (Hesse Normalform)

Null durch Normalen und nslinieIntegratio zwischen Winkel

Richtung in ktorEinheitsve

=Θ

Θ=

Θ=∫=⋅

e

spdyxfsre

r

lrr

),(),(


Radon-Transformation (III)

mit Θ ∈[0°,180°] und mit allen s: (smin < s < smax )⇒ alle möglichen Linienintegrale p(Θ,s) über Funktion f(x,y)

Radon-Transformation:Übertragung der Werte der Linienintegrale in p(Θ,s)-Diagramm

Eine Linie in der Radontransformierten mit Θ =const nennt man Projektion pΘ(s)

pΘ(s) = Zahlenfolgealler Linienintegraleüber f(x,y) mit Θ =const und variablemAbstand s zumKoordinatenursprung


Radon-Transformation (III-1)

Berechnung der Radontransformierten für Θ=0


Radon-Transformation (III-2)

Berechnung der Radontransformierten für Θ ≠ 0


Fourier-Scheiben-Theorem (I)- Messung mit Nadelstrahl für gegebenen Winkel Θ und Abstand svom Koordinatenursprung (Projektionswerte pΘ(s)) entspricht der Radontransformierten des Bildes.

- Mit Hilfe des Fourier-Scheiben-Theorems läßt sich aus der Radon-transformierten die Funktion f(x,y) bestimmen (d.h. µ(x,y))

Zusammenhang zwischen Radon- und Fourier-Transformation(Projektionssatz oder Fourier-Scheiben-Theorem):

{ }{ }),(),(

)()(

)sin,(cos),(),()(

)(),

2

1

yxfFvuFsfRFG

vu vuFG

frdrfseRf(re

==

ΘΘ⋅==⇒

=

Θ

⋅∫

α

ααmit

für

Objekts des formierteRadontranssei

rr

rrr

→ µ(x,y) durch inverse 2D-FT


Fourier-Scheiben-Theorem (Beweis für Θ=0)

Projektion zum Winkel Θ=0


Def.:

1D-FT(pΘ=0(s)) ergibt Werte der 2D-FT von f(x,y) auf der u-Achse

Fourier-Scheiben-Theorem (Beweis für Θ=0)


Projektion für Θ ≠ 0

Fourier-Scheiben-Theorem (Beweis für Θ ≠ 0)


Projektion pΘ(s) kann als Projektion auf der x´-Achse einesgedrehten Koordinatensystems aufgefaßt werden.

Es gilt die gleiche Herleitung wie für Θ=0:1D-FT(pΘ(s)) ergibt Werte der 2D-FT von f(x,y) auf der u´-Achse

Allgemein gilt:Die FT einer um den Winkel Θ gedrehten Funktion f(x,y) ist um dengenau den gleichen Winkel Θ gegenüber der FT F(u,v) verdreht

q.e.d.

Fourier-Scheiben-Theorem (Beweis für Θ ≠ 0)


Fourier-Scheiben-Theorem (II)

Θ=0 Θ ≠ 0


Fourier-Scheiben-Theorem (III)

Sei eine Funktion f(x,y) gegeben und F(u,v) deren2D-Fouriertransformierte

Sei weiter pΘ(s) eine Projektion von f(x,y) und PΘ(w) deren1D-Fouriertransformierte

Dann beschreibt PΘ(w) die Werte von F(u,v) auf einemRadialstrahl zum Winkel Θ.


Rekonstruktion von f(x,y) = µ(x,y) aus Radon-Transformation


Radon-Transformation und Computertomographie

Durchgang eines nadelförmigenRö.-Strahls durch Körper



Caveat:

- Daten liegen als Werte auf Radialstrahlen vor !

- Schnelle Fouriertransformation (FFT) benötigt Uminterpolationauf quadratisches Gitter (Polarkoordinaten → kartesische Koordinaten)

- Uminterpolation kann zu schwerwiegenden Artefakten führen !

(moderne Scanner ermöglichen Abtastung im kartesischen Raster)


Iterative CT-Rekonstruktion (I)

- gesuchte Verteilung µ(x,y) liegt nach Messung nur in Form der Projektionswerte (Radon-Transformierte) vor.

- finde Rücktransformation um µ(x,y) zu erhalten

einfachster Ansatz:gesucht: N x N Bildpunkte der Matrix: N2 Wertegegeben: M = Np x Nd

= Anzahl Projektionen x Anzahl Werte/Projektion

wenn M ≥ N: über-bestimmtes Problem ⇒ lösbar !


Iterative CT-Rekonstruktion (II)

Allgemeiner Fall: sei f(x,y) = µ(x,y)

Für digitale Verarbeitung: Hintereinandersetzen der Zeilen der Bildmatrix ergibt Zahlenfolge mit einzelnem Index: fi

Messung mit Nadelstrahl j liefertIntegral über Werte fi, die auf demStrahl liegen:- Funktionswerte fi werden mit Gewichtsfaktor wij multipliziert u. addiert- wij gibt Flächenanteil vom Nadelstrahl j zum Pixel i an(wg. Nadelstrahl sind die meisten wij=0)


Iterative CT-Rekonstruktion (III)

NMNMMM

NN

NN

fwfwfwp

fwfwfwpfwfwfwp

+++=

+++=+++=

LM

LL

2211

22221212

12121111

Meßwerte pi (Linienintegrale) lassen sich darstellen als:

⇒ lineare Abbildung !!

Beispiel: Bildgröße: 512x512 ⇒ N = 262144gegeben: 1000 Projektionen mit jeweils 800 Detektoren⇒ M = 1000 x 800 = 800000 (über-bestimmtes Problem)

800000 Gleichungen mit 262144 Unbekannten !!


Iterative CT-Rekonstruktion (IV)Lösen des linearen Gleichungssystems:

(1) direkte Methodenz.B. Gauß-Elimination unpraktikabel bei großen Matrizen

(2) iterative Methoden:


Iterative CT-Rekonstruktion (V)

- Verfahren konvergiert immer

- Verfahren wird bei der Röntgen-CT heute nicht mehr verwendet

- Verfahren findet jedoch bei PET/SPECT immer mehr Anwendung


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion

Wiederholung:Messung mit Nadelstrahl für gegebenen Winkel Θ und Abstand s vom Koordinatenursprung (Projektionswerte pΘ(s)) entspricht der Radon-Transformierten des Bildes µ(x,y).

Mit Fourier-Scheiben-Theorem gilt:

- durch 1D-FT der gemessenen Projektion erhält man die 2D-FT vonµ(x,y) auf einer Geraden in Richtung Θ.

- Rekonstruktion von µ(x,y) durch inverse 2D-FT möglich

Problem: Daten liegen in Polarkoordinaten vor; FFT benötigt kartesische Koordinaten


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (I)

Rückprojektion:

Messwerte (Projektionswerte pΘ(s)) sind Linienintegrale von µ(x,y).

Jedoch:Integralwert = Summe aller Beiträge und ohne Ortsinformation

Ansatz: Rückprojektion: gleichmäßige Verteilung des Integralwerts entlang des ursprünglichen Integrationsweges

Überlagerung aller Projektionsgeraden im Punkt (x,y) ⇒ µ(x,y) näherungsweise


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (II)

Rückprojektion:

x

µ(x)

Schwächungsprofil:

0. Rückprojektion

1. Rückprojektion

3. Rückprojektion

N. Rückprojektion

Schwächungsprofilnach N Rückprojektionen


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (III)

Rückprojektion:

Durch Rückprojektion entsteht einePunktbildfunktion (PBF) der Form 1/r

Jedem Bildpunkt kann eine derartige PBFzugeordnet werden, gewichtet mit dem lokalen µ(x,y)

Rückprojektion = 1/r ∗ µ(x,y) (Faltung)

Rückprojektion führt zu Verwischung, dadurch keine Kontrastunterschiede und keine Feinstrukturen erkennbar

1/r


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (IV)

Gefilterte Rückprojektion:

Idee:

Modifiziere Punktbildfunktion derart, dass Verwischung minimiert(ideal: verhindert) wird.

Ansatz:

Faltung des Schwächungsprofils mit geeignetem Filter (Faltungskern)


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (V)


Originalprofil ∗ Faltungskern = gefiltertes Profil


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (VI)


x

µ(x)

Schwächungsprofil:

0. Rückprojektion

1. Rückprojektion

3. Rückprojektion

N. Rückprojektion

Schwächungsprofilnach N Rückprojektionen


Einfluß des Faltungskerns

glättend Standard Kanten betonend


Einfluß des Faltungskerns

glättend„soft“

Standard Kanten betonend„bone“


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (VII)Gesucht: f(x,y) = µ(x,y) aus der inversen 2D-FT von F(u,v)

mit Zylinderkoordinaten im Fourierraumu = w.cos Θv = w.sin Θdudv = w.dw.dΘ

folgt


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (VIII)Reduktion der Integrationsfläche auf [0,π] (w.g. Hesse Normalform)

Absolutbetrag von w, da in dieser Form negative Radien vorkommen.


Ersetze

Wäre |w| nicht im Integral enthalten, bräuchte nur die inverse FTangewendet werden, um die Originale Projektion pΘ(s) zu erhalten.

Durch Multiplikation im Fourierraum mit |w| wird die Projektion pΘ(s) gefiltert

pΘ(s) ist gefilterte Projektion (Faltung im Ortsraum = Multiplikation im Fourierraum). h(s) ist Impulsantwort des Filters (=Faltungskern)

CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (IX)

~


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (X)Welche Funktion h(s) gehört zur FT von |w| ?

Problem: h(s) nur im Grenzübergang definierbar

Ansatz: |w| ≈ |w| . exp(-ε |w|)

hierfür gilt:

Inverse FT von |w| . exp(-ε |w|)

Betrachte Übergang ε → 0:rhs geht über in |w|lhs geht über in -1/2πs2

peak bei s=0 wird umso schmaler und höher je kleiner ε


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XI)Was bedeutet das Integral über Θ ?

Rückprojektion:Um den Wert von f(x,y)=µ(x,y) an einem gegebenen Punkt (x,y) zu

erhalten, nimm von allen gefilterten Projektionen pΘ(s) an der

Stelle xcosΘ+ysinΘ und summiere diese Werte auf.

~


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XII)


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XIII)


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XIV)

Bei der Rückprojektion trifft der Projektionsstrahl nicht immer auf die Mitte der quadratisch angeordneten Pixel. Rückwärts vorgehen: ziele vom Zentrum des Pixels unter Winkel Θ auf die gefilterte ProjektionDann: lineare Interpolation zwischen benachbarten Werten, um Meßort des Detektors zu approximieren.


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XV)

Einhalten des Abtast-Theorems und Rauschen:

durch digitales Abtasten gibt es in den Projektionen pΘ(s) eine maximale Frequenz wmax = 1/2∆S, wobei ∆S= Detektor-Abstand

Da Raumfrequenzen oberhalb wmax nicht bekannt sind, kann Projektionsverfahren in der Praxis nur schlechter sein (Überbewertung hoher Raumfrequenzen).

Bei Raumfrequenzen w< wmax wird das Spektrum PΘ(w) meist vonRauschen dominiert.

Durch Multiplikation mit |w| wird Rauschen zusätzlich verstärkt


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XV)

Einhalten des Abtast-Theorems und Rauschen:


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XVI)

Alternative Filterfunktionen nach Shepp & Logan und Ramachandran & Lakshminarayan


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XVII)

analoge und digitale Filterung:


CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XVII)

analoge und digitale Rückprojektion:

M =Zahl der Projektionen


Was wird im CT-Bild dargestellt?

Hounsfield-Skala

Absorptions- oder Schwächungskoeffizient

in der Kernphysik:

µ abh. von Rö.-Energie !!

in der Medizin: relative Hounsfield-Skala (CT-Zahl)

- Mensch besteht zu mehr als 60 % aus Wasser- die meisten körper-eigenen Substanzen unterscheiden sich nur

wenig von µWasser, daher Darstellung der Abweichung in Promille

1cm][ −=µ

1000⋅−

=Wasser

Wasserrel µ

µµµ


Hounsfield-Skala

CT

-Zah

lRöntgen Computertomographie (CT)

Hounsfield-Skala

50

70


Hounsfield-SkalaWerte-Bereich: -1024 bis +3071 (entspricht 4096 Graustufen)

in erster Näherung proportional zu Dichte der Gewebe:

Luft/Gase ~-1000Fett ~ -90Wasser ~ 0 Weichteile ~ +20Knochen > +250

Unterschiede Lunge bis Knochen großUnterschiede bei Weichteilen, Fettgewebe, Wasser nur gering(typische Differenzierung durch Betrachtung: 60-80 Graustufen)

⇒ Fenstertechnik


Hounsfield-Skala + Fenstertechnik

-1000

0

+3000

CW

Grauwert-darstellung

C Fenstermitte (center)W Fensterbreite (width)

Verbesserte Beurteilbarkeit der Bilder

z.B. mit:Knochenfenster: C/W = 1000/2500Mediastinalfenster: C/W = -50/ 400Lungenfenster: C/W = -625/1250


Hounsfield-Skala + Fenstertechnik


Hounsfield-Skala + Zwei-Spektren CT

CT-Zahlen meist eindeutig interpretierbar(beachte: Addition aller Materialien und chemischen Elemente proVoxel !!)

Unklare Befunde (Beispiel):Beobachtung: Areal mit erhöhter Schwächung im WeichteilgewebeFrage: frischer Prozess (Blutung) oder alter Prozess (Kalkeinlagerung)

Ausnutzung der ordnungszahlbedingten Energieabhängigkeit von µµ = f(E,Z)

Zwei-Spektren CT: - zwei Aufnahmen mit unterschiedlichen Rö.-Energien- Subtraktion liefert materialselektive Bilder


Hounsfield-Skala + Zwei-Spektren CT


Homogenitätsbestimmung


Toleranz:+ 4HUvom Sollwert(Wasser: 0 HU)


Projektionsradiographie und Computertomographie:

Beide Verfahren: - Bildgebung mit Röntgenstrahlen- vergleichbare Dosis (neuere CT-Geräte geringere Dosis)

Projektionsradiographie:- Kontrast = Summe der Signalbeiträge (µ) entlang der

Transmission- Kontrast abhängig von Z und Dosis

Computertomographie- Kontrast = Werte benachbarter Voxel (nicht durch Summen-oder Linienintegrale); lokale Zusammensetzung des Gewebes

- kein Einfluß angrenzender oder überlappender Strukturen


CT-Bild

Röntgen-Bild

CT-Bild:hoher lokaler Kontrast KK = ∆CT=J1-J2~ 50 %

Röntgen-Bild:niedriger WeichgewebekontrastK=(J1-J2)/((J1+J2)/2) ~ 0,23 %

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