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  • Rüdiger Scholz

    Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale

    Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover

    -1

    -0,5

    0

    0,5

    1

    1,5

    2

    2,5

    3

    0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

  • Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale

    Inhaltsverzeichnis

    Inhaltsverzeichnis........................................................................................................ 2

    Literatur ........................................................................................................................... 2

    1 Periodische Funktionen: Fourier-Reihen .......................................................... 3

    1.1 Mathematisierung des Problems ......................................................................... 3 1.2 Darstellungen ...................................................................................................... 5

    2 Nichtperiodische Funktionen: Fourier-Integral ................................................ 6

    3 Zusammenfassung ............................................................................................. 7

    Fourier-Reihen, reel ... ..................................................................................................... 7 ... und komplex ................................................................................................................ 7 Fourier-Integral ............................................................................................................... 7 Weitere Beispiele ............................................................................................................. 7

    4 Einige physikalische Anwendungen .................................................................. 9

    Energiespektren .............................................................................................................. 9 Gedämpfter harmonischer Oszillator .............................................................................. 9 Dämpfungsfunktion ........................................................................................................ 9 Strahlungsemission ........................................................................................................ 10

    5 Messwert-Analyse .............................................................................................. 11

    5.1 Diskrete Fourier-Transformation (= DFT) ........................................................ 11 5.2 Abtasttheorem, Nyquist-Frequenz ..................................................................... 13 5.3 Datenfenster ....................................................................................................... 14

    6 Anhang .............................................................................................................. 15

    5.1 Weitere wichtige Themen der Fourier-Analysis ................................................. 15 5.2 Hinweise zu Funktionen .................................................................................... 15 5.3 Ein heuristischer Weg zur Deltafunktion ........................................................... 16 5.4 Parsevals Gleichung für nichtperiodische Funktionen ....................................... 17

    Impressum .................................................................................................................. 18

    Bildverzeichnis ............................................................................................................... 18 Literatur 1. Lehrbücher zur reellen Analysis; Vor allem Murray R. Spiegel: Fourier-Analysis; McGraw Hill 2. M. Schulz: „Physik mit dem Bleistift“, Verlag Harri Deutsch 3. T. Butz; „Fourier-Transformation für Fußgänger“; Vieweg-Teubner, Wiesbaden, 7. Auflage 2011

    © April 2014 ⋅R. Scholz ⋅ PhysikPraktikum ⋅ Leibniz Universität Hannover ⋅ 2

  • Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale

    1 Periodische Funktionen: Fourier-Reihen

    Periodische Funktionen lassen sich in ihre Frequenzanteile zerlegen. Abb. 1 zeigt was gemeint ist. Dort ist die zunehmend „besser“ werdende Approximation eines Sägezahnsignals durch harmonische Teilschwingungen gezeigt. Stören beispielsweise die Verformungen an den Signalrändern und die Restwelligkeit nicht, käme bereits die in Abb. 1 gezeigte Näherung mit den ersten 5 Teilschwingungen in Betracht. Abb. 2 zeigt, in umgekehrter Perspektive, die Zerlegung des Sägezahnsignals in sein Schwingungsspekt- rum (seine Frequenzanteile). 1.1 Mathematisierung des Problems Eine Funktion h(t) sei im Intervall [-T/2, T/2] definiert und mit T periodisch (h(t+T) = h(t). Die Reihe

    0

    1

    2 2 cos sin

    2 n nn

    a n na t b t T T

    π π∞

    =

     + +   

    definiert die Fourier-Reihe von h(t) (hier wird die Zeitkoordinate t verwendet, die Überlegungen lassen sich leicht auf x als Ortskoordinate übertragen). Unter bestimmten Bedingungen konvergiert die Reihe gegen h(t): Die Dirichlet-Bedingungen legen die Konvergenzbe- dingungen fest. Danach reicht es aus, wenn h(t) im Intervall [-T/2, T/2] bis auf endlich viele Stellen eindeutig definiert und stückweise stetig ist. Unter diesen Voraussetzungen gilt also:

    ( ) ( )0 1

    cos sin 2 n nn

    a h t a n t b n tω ω

    =

    = + +∑ mit ω = 2π/T (1)

    Wie berechnet man die Koeffizienten an und bn damit die Reihe gegen f(t) konvergiert? Dazu müssen Sie folgende Integrale ausrechnen

    ( ) ( ) /2 /2

    0 /2 /2

    2 2 d ; d cos

    T T

    n T T

    a t h t a t h t n t T T

    ω − −

    = =∫ ∫ und ( ) /2

    /2

    2 d sin ; 1, 2,3,...

    T

    n T

    b t f t n t n T

    ω −

    = =∫ (2)

    Gl. 2 können aus einem typisch physikalischen Annäherungsargument herleiten (vgl. Anhang für die Details der Rechnung). Dazu untersucht man, ob die Funktionenfolge hn(t):

    ( ) ( )0 1

    cos sin 2

    n

    n k k k

    a h t a k t b k tω ω

    =

    = + +∑ (3)

    2 Zerlegung das Signals oben links in seine Frequenzkomponen-

    ten; unschwer sind die Frequenzkomponenten 0 HZ, 1 Hz, 2 Hz, ... zu erkennen. Der 0-Hz-Anteil ist in Abb. 1 als Gleichspannung -„Offset“ bei konstant 5 V zu erkennen.

    A m

    pl it

    ud e

    0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1

    Frequenz (Hz)

    0 2 4 6 8 10

    1 Zerlegung eines Sägezahnsignals (f(t) = 10 V - 10 V/s⋅t) in

    Partialschwingungen, für das rot dargestellte Summensignal wurden die ersten 5 Partialschwingungen mit den Frequenzen fn = n⋅1 Hz und den Amplituden a0 = 10 V und bn = 10 V/(πn) addiert. Die Partialschwingungen bis n = 5 sind dargestellt.

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

    Si gn

    al sp

    an nu

    ng (

    V)

    Zeit (s)

    © April 2014 ⋅R. Scholz ⋅ PhysikPraktikum ⋅ Leibniz Universität Hannover ⋅ 3

  • Fourier-Analyse zeitabhängiger Signale

    mit zunehmendem n die Funktion h(t) approximiert, ob also der quadratische Fehler

    ( ) ( )( ) /2

    22

    /2

    1 d

    T

    n n T

    t h t h t T

    δ −

    −∫

    durch entsprechende Wahl der Koeffizienten ak und bk minimal wird. Setzen Sie Gl. 3 ein:

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    /2 /21 12 2 22 d d 2 ... /2 /2

    2 22/2 /2 /2 /21 2 22 0 0d d dt cos dt sin . 1/2 /2 /2 /24 2 2

    T T t h t h t t h t h t f t h tn n n nT TT T

    T T T Tn a ba a k kt h t t h t a h t k t b h t k tk kkT T T TT T T T

    δ

    ω ω

    = − = − + =∫ ∫ −

    ∑= + − + − + −∫ ∫ ∫ ∫ =− − − −

         

       

    Jeder einzelne Klammerausdruck für sich muss minimal werden. Die Nullstellen der ersten Ableitung der Klammern nach den a0, ak bzw. bk ergeben:

    ( ) /2

    0 /2

    2 d

    T

    T

    a t h t T −

    = ∫ ; ( ) /2

    /2

    2 d cos

    T

    k T

    a t h t k t T

    ω −

    = ∫ und ( ) 2

    2

    2 d sin ; 1, 2,...

    T

    k T

    b t h t k t k T

    ω −

    = =∫

    Das sind aber gerade die Formeln aus Gl. 2. Einsetzen in δn2 liefert den Minimalfehler:

    ( ) ( ) /2 2

    22 2 20 ,min

    1/2

    2 1 d

    2 2

    T n

    n k k kT

    a t h t a b

    T δ

    =−

      = − + + 

      ∑∫ .

    Daraus folgen zwei wichtige Beziehungen:

    1. Die Besselsche Ungleichung:

    ( ) ( ) /22

    22 20

    1 /2

    2 d

    2

    Tn

    k k k T

    a a b x h x

    T= − + + ≤∑ ∫ .

    2. Die Parsevalsche Gleichung gilt, wenn die Folge der Fourier-Polynome im Mittel gegen h(t) konvergiert:

    ( ) ( ) /22

    22 20

    1 /2

    2 d

    2

    Tn

    k k k T

    a a b t h t

    T= − + + =∑ ∫ . (4)

    Ein kurzer Beweis von Gl. 2 nutzt man die Orthogonalität1 der trigonometrischen Funktionen:

    ( ) ( ) /2 2

    . ., . ., /2 /2

    /2

    /2

    d cos cos ; d sin sin ; 2 2

    d sin cos 0.

    T T

    m n m m m n m m T T

    T

    T

    T Tt