Segeln*...Segeln 3 Möglicher Lösungsweg a) – BP = √3,3² + 2,7² – 2 ∙ 3,3 ∙ 2,7 ∙...

Segeln*Aufgabennummer: B_321

Technologieeinsatz: möglich T erforderlich £

Die Entfernungen werden beim Segeln in nautischen Meilen (NM) angegeben. Die davon ab-geleitete Geschwindigkeitseinheit nautische Meilen pro Stunde wird Knoten genannt.

a) Ein Segelboot fährt, nachdem es vom Punkt P gestartet ist und den Punkt A passiert hat, zum Punkt B. Von dort fährt es zum Punkt P zurück (siehe nachstehende nicht maßstab-getreue Skizze). Die folgenden Abmessungen sind bekannt: α = 63°, –PA = 3,3 NM und –AB = 2,7 NM.

P

A

B

β α

– Berechnen Sie die Entfernung BP . – Berechnen Sie die Dauer dieser Umrundung, wenn das Segelboot mit einer mittleren

Geschwindigkeit von 6,8 Knoten fährt. – Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Entfernung BP auf, wenn anstatt der Ent-

fernung –AB der Winkel β bekannt wäre.

BP =

* ehemalige Klausuraufgabe

b) Ein Segelboot startet im Punkt R und fährt geradlinig zum Punkt C. Dort findet eine Kurs-änderung statt, um den Punkt D zu erreichen.

y in NM

x in NM

R

C

0 0,5–0,5 1 1,5 2 2,5

–0,5

–1

0

1

0,5

1,5

c

– Lesen Sie die Koordinaten des Vektors →c ab. – Zeichnen Sie den Punkt D ein, der ausgehend vom Punkt C mit dem Vektor →d = ( )–1

–0,5

angefahren wird. – Berechnen Sie das Skalarprodukt →c ∙ →d . – Interpretieren Sie dieses Skalarprodukt geometrisch.

c) Die Vortriebskraft FV beim Segeln lässt sich mit folgender Formel annähernd berechnen:

FV = A · ρ · vW

²4

FV ... Vortriebskraft in Newton (N) A ... Segelfläche in m² vW ... Windgeschwindigkeit am Segel in m/s ρ ... Dichte der Luft (ρ = 1,225 kg/m³)

– Berechnen Sie, wie groß die Segelfläche sein muss, damit bei einer Windgeschwindig-keit von 5 m/s eine Vortriebskraft von 153 N erreicht wird.

– Geben Sie an, wie sich die Vortriebskraft verändert, wenn sich die Windgeschwindigkeit verdoppelt und die anderen Parameter konstant bleiben.

Hinweis zur Aufgabe: Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Segeln 2

Segeln 3

Möglicher Lösungswega) –BP = √3,3² + 2,7² – 2 ∙ 3,3 ∙ 2,7 ∙ cos(63°) = 3,176… ≈ 3,18 Die Entfernung zwischen dem Punkt B und dem Punkt P beträgt rund 3,18 NM.

–PA + –AB + –BP = 9,176…

t = 9,176…6,8 = 1,349… ≈ 1,35

Die Umrundung dauert etwa 1,35 Stunden.

Sinussatz: –PA

sin(β) = –BP

sin(α) ⇒ –BP = –PA ∙ sin(α)

sin(β)

b) →c = ( )1–2

y in NM

x in NM

R

C

0 0,5–0,5 1 1,5 2 2,5

–0,5

–1

0

1

0,5

1,5

c

Dd

→c ∙ →d = ( )1–2

∙ ( )–1–0,5

= 0

Die beiden Vektoren →c und →d stehen normal aufeinander.

c) A = 4 ∙ FV 1,225 ∙ vW

²=

4 ∙ 153 1,225 ∙ 5² = 19,9… ≈ 20

Die Segelfläche muss dazu rund 20 m² groß sein. Eine Verdoppelung der Windgeschwindigkeit führt zu einer Vervierfachung der Vortriebs-

kraft.

Segeln 4

Lösungsschlüssela) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Entfernung –BP

1 × B2: für die richtige Berechnung der Dauer dieser Umrundung 1 × A: für das richtige Aufstellen der Formel

b) 1 × C1: für das richtige Ablesen der Koordinaten des Vektors →c 1 × A: für das richtige Einzeichnen des Punkts D 1 × B: für die richtige Berechnung des Skalarprodukts 1 × C2: für die richtige geometrische Interpretation des Skalarprodukts

c) 1 × B: für die richtige Berechnung des Flächeninhalts der Segelfläche 1 × C: für die richtige Beschreibung

Schwangerschaft*Aufgabennummer: B_322

Technologieeinsatz: möglich £ erforderlich T

Nach der Ausbildung der inneren Organe verwendet man für das ungeborene Kind den Begriff Fötus.

a) Bei Ultraschalluntersuchungen wird die Scheitel-Steiß-Länge (SSL) von Föten bestimmt. In der nachstehenden Tabelle sind die durchschnittlichen Längen in Zentimetern (cm) in der jeweiligen Schwangerschaftswoche angegeben:

Schwanger- schaftswoche 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

SSL in cm 4,1 5,4 7,4 8,7 10,1 11,9 13,3 14,1 14,8 16,2

– Ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen Regressionsgeraden. (Die Länge soll in Abhängigkeit von der Schwangerschaftswoche beschrieben werden.)

– Interpretieren Sie den Wert der Steigung der Regressionsgeraden im gegebenen Sach-zusammenhang.


b) Die zunehmende Masse eines Fötus kann näherungsweise durch die Funktion m be-schrieben werden:

m(t) = 4 9001 + 681 · ℯ–0,185·t mit 15 ≤ t ≤ 40

t … Zeit seit Beginn der Schwangerschaft in Wochen m(t) … Masse des Fötus zur Zeit t in Gramm (g)

Der Graph dieser Funktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt:

Masse in Gramm

m

Zeit in Wochen

454035302520151050 500

4 000

3 000

2 000

1 000

5 000

– Berechnen Sie die Masse des Fötus zum Zeitpunkt t = 25. – Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Massezunahme des Fötus am größten

ist.

Hinweis zur Aufgabe: Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Schwangerschaft 2

Schwangerschaft 3

Möglicher Lösungswega) Ermittlung der Gleichung der Regressionsgeraden mittels Technologieeinsatz:

y = 1,36 · x – 10,42 Gemäß dem Modell nimmt die Scheitel-Steiß-Länge durchschnittlich rund 1,36 cm pro Woche zu.

b) m(25) = 638,3… ≈ 638

Die Masse des Fötus zum Zeitpunkt t = 25 beträgt rund 638 g. Die stärkste Massezunahme erfolgt an der Wendestelle m″(t) = 0. Lösung dieser Gleichung mittels Technologieeinsatz: t = 35,26… ≈ 35,3 Nach etwa 35,3 Wochen ist die Massezunahme am größten.

Lösungsschlüssela) 1 × B: für die richtige Ermittlung der Gleichung der Regressionsgeraden

1 × C: für die richtige Interpretation der Steigung der Regressionsgeraden im gegebenen Sachzusammenhang

b) 1 × B1: für die richtige Berechnung der Masse des Fötus 1 × B2: für das richtige Bestimmen des Zeitpunktes, zu dem die Massezunahme am

größten ist (In der Grafik ist klar zu erkennen, dass an der Wendestelle die größte Massezunahme vorliegt. Eine rechnerische Überprüfung des Steigungsverhaltens der Funktion an der berechneten Stelle sowie eine Überprüfung der Randstellen sind daher nicht erforderlich.)

Minigolf*Aufgabennummer: B_323


a) Ein Minigolfball soll von der horizontalen Abschlagfläche auf eine höhergelegene horizon-tale Plattform gerollt werden. Der Verlauf der Bahn im Querschnitt kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion f mit f(x) = a · x3 + b · x2 + c · x + d beschrie-ben werden. Die Bahn soll in den Punkten A und B knickfrei auf die jeweilige Ebene führen (siehe nachstehende Abbildung). Knickfrei bedeutet, dass die Funktionen an diesen Stel-len den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung haben.

A

f

B

f(x) in m

x in m

2,521,510,50 3

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1,4

– Geben Sie an, welche Steigung die Funktion f in den Punkten A und B haben muss. – Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion f. – Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion f.


b) In der nachstehenden Abbildung ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm eines Balles auf einer Minigolfbahn dargestellt. Während der ersten Sekunde hat der Ball eine konstante Geschwindigkeit. Danach kann die abnehmende Geschwindigkeit näherungsweise durch die Funktion v beschrieben werden: v(t) = 1

245 ∙ (16 ∙ t³ – 132 ∙ t² + 216 ∙ t + 243) mit 1 ≤ t ≤ 4,5 t … Zeit in Sekunden (s) v(t) … Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in Metern pro Sekunde (m/s)

4,543,532,521,510,50 5

Zeit in s

Geschwindigkeit in m/s

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1,4

– Erklären Sie, was die momentane Änderungsrate der Funktion v zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 in diesem Sachzusammenhang angibt.

– Berechnen Sie den zurückgelegten Weg des Balles in den ersten 4,5 Sekunden.

Minigolf 2

c) Die Masse von Minigolfbällen eines bestimmten Typs ist normalverteilt mit dem Erwar-tungswert μ = 41 g und der Standardabweichung σ = 0,1 g. Wenn ein Minigolfball mehr als 41,25 g wiegt, wird er aussortiert.

– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Minigolfball aus-sortiert wird.

– Zeichnen Sie den Graphen der Dichtefunktion dieser Normalverteilung in der nach-stehenden Abbildung ein. Berücksichtigen Sie dabei den Erwartungswert und die Standardabweichung.

Masse in g

41,541,441,341,241,14140,940,840,740,640,5 41,6

– Beschreiben Sie, wie sich eine kleinere Standardabweichung auf den Graphen der Dichte funktion auswirken würde.


Minigolf 3

Minigolf 4

Möglicher Lösungswega) Die Steigung der Funktion f muss in den Punkten A und B null sein.

I. f ′(0) = 0 II. f ′(3) = 0 III. f(0) = 0 IV. f(3) = 1,2

Lösen des Gleichungssystems mittels Technologieeinsatz:

a = – 445; b = 25 ; c = 0; d = 0

b) Die momentane Änderungsrate der Funktion v zum Zeitpunkt t0 ist die Beschleunigung

des Balles zu diesem Zeitpunkt.

Der zurückgelegte Weg entspricht dem Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall [0; 4,5].

Flächeninhalt des Rechtecks: A1 = 1,4 · 1 = 1,4 Flächeninhalt unter dem Graphen der Polynomfunktion im Intervall [1; 4,5]:

A2 = ∫

1

4,5

v(t)dt = 2,45

A = A1 + A2 = 3,85

Der zurückgelegte Weg des Balles beträgt 3,85 m.

c) P(„Minigolfball wird aussortiert“) = 1 – P(X < 41,25) = 0,0062… ≈ 0,6 %

Masse in g

41,541,441,341,241,14140,940,840,740,640,5 41,6

Bei einer kleineren Standardabweichung wäre die Gauß’sche Glockenkurve schmäler und höher.

Minigolf 5

Lösungsschlüssela) 1 × A1: für die richtige Modellbildung zur Steigung der Funktion f 1 × A2: für das richtige Erstellen des Gleichungssystems 1 × B: für die richtige Berechnung der Koeffizienten

b) 1 × D: für die richtige Erklärung 1 × A: für einen richtigen Ansatz (Aufteilen in 2 Teilflächen) 1 × B: für die richtige Berechnung des zurückgelegten Weges

c) 1 × B: für die richtige Berechnung der Wahrscheinlichkeit 1 × A: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Dichtefunktion (Glockenkurve mit

Maximum an der Stelle μ und Wendepunkten an den Stellen μ ± σ erkennbar) 1 × C: für die richtige Beschreibung

Modernisierung (2)Aufgabennummer: B_324


Ein Unternehmer möchte seinen Betrieb modernisieren.

a) Er überlegt die Anschaffung einer neuen Maschine. Dabei stehen 2 Modelle – Maschine A und Maschine B – zur Auswahl. In der nachstehenden Grafik ist der Kapitalwert dieser Investitionen in Abhängigkeit vom kalkulatorischen Zinssatz dargestellt.

Kapitalwert in Euro

kalkulatorischer Zinssatz in %

Maschine B

Maschine A

17 000

15 000

13 000

11 000

9 000

7 000

5 000

3 000

1 000

–1 000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

– Kreuzen Sie diejenige Aussage an, die mithilfe der Informationen in der Grafik getroffen

werden kann. [1 aus 5]

Beide Maschinen haben dieselbe Nutzungsdauer.

Die Anschaffungskosten von Maschine A sind höher als jene von Maschine B.

Der zu erwartende Liquidationserlös von Maschine B ist höher als jener von Maschine A.

Der interne Zinssatz von Maschine A ist höher als jener von Maschine B.

Die zu erwartenden Rückflüsse von Maschine A sind stets höher als jene von Maschine B.

– Lesen Sie aus der obigen Grafik denjenigen kalkulatorischen Zinssatz ab, für den beide

Maschinen einen gleich hohen Kapitalwert haben.

b) Der Unternehmer hat in den letzten 5 Jahren Rücklagen gebildet. Er hat dazu über den gesamten Zeitraum halbjährlich nachschüssig Raten der Höhe R auf ein Sparbuch gelegt. Es hat aber auch andere Ein- bzw. Auszahlungen am Sparbuch gegeben. Die nach-stehende Berechnung zeigt, wie der momentan am Sparbuch zur Verfügung stehende Betrag bei jährlicher Verzinsung gebildet wurde.

208 732,46 = Endwert der Rente + 40 000 ∙ 1,0253 – 20 000 ∙ 1,0252 + 28 000

– Stellen Sie den beschriebenen Zahlungsstrom auf einer geeigneten Zeitachse grafisch dar.

– Lesen Sie aus der obigen Berechnung denjenigen Jahreszinssatz ab, mit dem die Geld-beträge am Sparbuch verzinst wurden.

– Berechnen Sie den dazu äquivalenten Halbjahreszinssatz. – Berechnen Sie die Höhe der halbjährlichen Raten.

c) Durch den Einsatz neuer Maschinen steigt die Qualität des hergestellten Produkts. Man glaubt, dass bei einem Preis von 20 GE/ME monatlich 100 ME abgesetzt werden können. Der Höchstpreis für das Produkt liegt erfahrungsgemäß bei 60 GE/ME.

– Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Preisfunktion der Nachfrage.

Der Unternehmer plant, den Preis von 20 GE/ME auf 18 GE/ME zu senken.

– Berechnen Sie, um welchen Betrag sich der Erlös durch die Preissenkung verändert.

Hinweis zur Aufgabe:Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben. Diagramme sind zu beschriften und zu skalieren.

Modernisierung (2) 2


Möglicher Lösungswega)

[...]

[...]

[...]

Der interne Zinssatz von Maschine A ist höher als jener von Maschine B. T

[...]

Bei einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % haben beide Maschinen einen gleich hohen

Kapitalwert (in Höhe von rund € 8.700).

b)

Zeit in Jahren0 1 2 3 4 5

€ 20.000

€ 40.000

R R R R R R R R R R

€ 28.000

Jahreszinssatz i = 2,5 % p. a. q2 = √ 1,025 = 1,01242… Der äquivalente Halbjahreszinssatz beträgt rund 1,24 % p. s.

Endwert der Rente = 208 732,46 – 40 000 ∙ 1,0253 + 20 000 ∙ 1,0252 – 28 000 = 158 669,335

158 669,335 = R ∙q 2

10 − 1q2 − 1

R = 15 000,000...

Die Höhe der halbjährlichen Raten beträgt € 15.000.

c) pN(x) = a ∙ x + b x ... Anzahl der nachgefragten ME pN(x) ... Preis bei x nachgefragten ME in GE/ME Aus pN(0) = 60 folgt b = 60. pN(100) = 20 ⇒ 20 = 100 ∙ a + 60 a = –0,4 pN(x) = –0,4 ∙ x + 60 18 = –0,4 ∙ x + 60 x = 105 Bei einem Preis von 18 GE/ME können 105 ME abgesetzt werden. Bei 20 GE/ME werden 100 ME verkauft. Erlös = 20 ∙ 100 = 2 000. Bei 18 GE/ME werden 105 ME verkauft. Erlös = 18 ∙ 105 = 1 890. Durch die Preissenkung sinkt der Erlös um 110 GE.



Klassifikation

£ Teil A T Teil B

Wesentlicher Bereich der Inhaltsdimension:

a) 3 Funktionale Zusammenhänge b) 3 Funktionale Zusammenhänge c) 4 Analysis

Nebeninhaltsdimension:

a) —b) —c) 3 Funktionale Zusammenhänge

Wesentlicher Bereich der Handlungsdimension:

a) C Interpretieren und Dokumentierenb) B Operieren und Technologieeinsatz c) B Operieren und Technologieeinsatz

Nebenhandlungsdimension:

a) —b) A Modellieren und Transferieren, C Interpretieren und Dokumentierenc) A Modellieren und Transferieren

Schwierigkeitsgrad: Punkteanzahl:

a) leicht a) 2b) mittel b) 4c) mittel c) 2

Thema: Wirtschaft

Quellen: —

Radioaktive StrahlungAufgabennummer: B_325


a) Der menschliche Körper besteht zu 18,30 % aus Kohlenstoff. 10–10 % der Masse des Kohlenstoffs entfallen auf das Isotop 14C. Die Halbwertszeit des Isotops 14C beträgt 5 730 Jahre. Die Masse eines 14C-Kerns beträgt 1,661 · 10–27 kg.

– Stellen Sie das Zerfallsgesetz für das Isotop 14C auf. – Berechnen Sie die Anzahl der 14C-Kerne, die in einem 70 kg schweren menschlichen

Körper pro Minute durchschnittlich zerfallen.

b) Beim sogenannten α-Zerfall verlässt ein α-Teilchen den Atomkern und hat abhängig von der Umgebungsmaterie eine bestimmte Reichweite. Die nachstehende Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem Logarithmus der Reichweite s eines Teilchens und dem Logarithmus der Zerfallskonstante λ beim α-Zerfall.

0 0,60,50,40,30,20,1 0,7 0,8–2

–4

–6

–8

–10

–12

–14

–16

–18

–20

0

2

–22

lg(s)lg( )λ

– Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Zerfallskonstante λ aus der Reichweite s, in der der Logarithmus nicht vorkommt.

λ =

c) Durch das Zerfallsgesetz für 210Po lässt sich die Anzahl N(t) der 210Po-Kerne zum Zeit-punkt t bestimmen. N(t) = N0 ∙ ℯ–0,00502 ∙ t

t … Zeit in Tagen N0 … Anzahl der Teilchen zur Zeit t = 0

– Stellen Sie für 210Po eine Formel für die Anzahl z(t) der pro Tag zerfallenden Teilchen zum Zeitpunkt t auf.

Es gilt: „Die Anzahl z(t) der zum Zeitpunkt t pro Tag zerfallenden Teilchen ist proportional zur mo-mentan vorhandenen Anzahl N(t) der Teilchen.“

– Bestimmen Sie die Proportionalitätskonstante k.

Hinweis zur Aufgabe:Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Radioaktive Strahlung 2

Radioaktive Strahlung 3

Möglicher Lösungswega) N(t) = N0 ∙ ℯ–k ∙ t

t ... Zeit in Jahren N(t) ... Menge an 14C zur Zeit t N0 ... Menge an 14C zur Zeit 0 0,5 = ℯ–k ∙ 5 730

k = –ln(0,5)

5 730 = 1,2096… ∙ 10–4 N(t) = N0 ∙ ℯ–1,2096... ∙ 10–4 ∙ t 1 min = 1

365 ∙ 24 ∙ 60 Jahre = 1525 600 Jahre

N0 = 70 · 0,183 · 10–12 kg

1,661 ∙ 10–27 kg = 7,71222155… ∙ 1015 N(0) – N ( 1

525 600) = 1,77... ∙ 106 Es zerfallen rund 1,8 Millionen 14C-Kerne pro Minute. (Aufgrund der ungenauen Angaben ist das allerdings nur eine sehr grobe Schätzung.)

b) Die Punkte (0,7 | 0) und (0,4 | –18) liegen annähernd auf dem Graphen der linearen Funktion mit der Gleichung lg(λ) = k ∙ lg(s) + d. k = 0 – (–18)

0,7 – 0,4 = 60 0 = 60 ∙ 0,7 + d ⇒ d = –42 lg(λ) = 60 ∙ lg(s) – 42 λ = 1060 ∙ lg(s) – 42 = 10lg(s60)

1042

λ = s60

1042

c) momentane Änderungsrate der Anzahl der 210Po-Kerne: N′(t) = –0,00502 ∙ N0 ∙ ℯ–0,00502 · t

Die Anzahl der zur Zeit t pro Tag zerfallenden Kerne ist also z(t) = | N′(t) | = 0,00502 ∙ N0 ∙ ℯ–0,00502 · t . z(t) = k ∙ N(t) z(t) = 0,00502 ∙ N0 ∙ ℯ–0,00502 · t = 0,00502 ∙ N(t) ⇒ k = 0,00502

4Radioaktive Strahlung

Klassifikation

£ Teil A T Teil B


a) 3 Funktionale Zusammenhängeb) 2 Algebra und Geometriec) 4 Analysis


a) 1 Zahlen und Maßeb) 3 Funktionale Zusammenhängec) —


a) A Modellieren und Transferierenb) A Modellieren und Transferierenc) A Modellieren und Transferieren


a) B Operieren und Technologieeinsatzb) —c) C Interpretieren und Dokumentieren


a) schwer a) 2b) schwer b) 1c) mittel c) 2

Thema: Chemie

Quellen: —

Qualitätstest bei Objektiven (2)*Aufgabennummer: B_327


Um das Objektiv einer Digitalkamera zu testen, fotografiert man eine genormte Tafel (Test-Chart) mit einem Test-Motiv und lässt das Foto von einer speziellen Software auswerten.

a) Eine Fotografin möchte ihr neues Objektiv testen. Dazu verwendet sie folgenden Aufbau:

ScheinwerferScheinwerfer

Kamera mit Objektiv

Test-Chart

y

x

α

z

1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung von x aus y, z und α.

x =

Bei einem bestimmten Test gilt: α = 45° x = 121 cm z = 70 cm

2) Berechnen Sie die Entfernung y.


b) Ein beliebtes Motiv für solche Test-Charts ist ein spezieller Stern:

ganzer Stern Detailansicht

Ein Stern besteht aus einzelnen Abschnitten, die abwechselnd schwarz und weiß sind. Jeder dieser Abschnitte kann näherungsweise als Dreieck mit folgenden Abmessungen beschrieben werden:

a

a

α

1) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A des obigen Dreiecks aus a und α.

A =

Ein ganzer Stern besteht aus n weißen und n schwarzen Abschnitten.

2) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Winkels α aus n.

α =

Qualitätstest bei Objektiven (2) 2

Qualitätstest bei Objektiven (2) 3

Möglicher Lösungswega1) x =

Q y2 + z2 – 2 ∙ y ∙ z ∙ cos(α)

a2) ... Winkel gegenüber von z ... Winkel gegenüber von y

121sin(45°)

= 70sin( )

⇒ = 24,1...°

= 180° – 45° – 24,1...° = 110,8...°

ysin(110,8...°)

= 121sin(45°)

⇒ y = 159,9...

Die Entfernung y beträgt rund 160 cm.

b1) A = a2 ∙ sin(α)

2

b2) α = 360°2 ∙ n

Lösungsschlüssela) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung von x

1 × A2: für den richtigen Ansatz zur Berechnung der Entfernung y 1 × B: für die richtige Berechnung der Entfernung y

b) 1 × A1: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A 1 × A2: für das richtige Erstellen der Formel zur Berechnung des Winkels α

AmpelschaltungAufgabennummer: B_329


Laut § 38 Abs. 6 Satz 1 der Straßenverkehrsordnung (StVO) gilt:„Das grüne Licht ist jeweils mit viermal grünblinkendem Licht zu beenden, wobei die Leucht- und die Dunkelphase abwechselnd je eine halbe Sekunde zu betragen haben.“

a) Ein Auto fährt mit 72 km/h auf eine Kreuzung zu. Als es sich 100 m vor der Ampel befin-det, beginnt das Grünblinken.

– Überprüfen Sie nachweislich, ob der Fahrer noch beim Grünblinken in die Kreuzung einfahren kann, wenn er mit gleicher Geschwindigkeit weiterfährt.

Bei konstanter Bremsung hat das Auto eine Bremsverzögerung von 8 m/s2.

– Berechnen Sie die Bremszeit des Autos bis zum Stillstand.

b) Auf einer Straße mit einer Geschwindigkeitsbegrenzung von 60 km/h sind zwei Ampeln 300 m voneinander entfernt. Ein Auto steht vor der ersten Ampel, die Rot anzeigt. Für die Beschleunigung-Zeit-Funktion a gilt bis zum Erreichen von 60 km/h: a(t) = –2,5 · t2 + 8,55 · t t … Zeit in s a(t) … Beschleunigung zur Zeit t in m/s2

– Berechnen Sie, nach wie vielen Metern das Auto die Geschwindigkeit von 60 km/h erreicht hat.

Nach dem Erreichen von 60 km/h fährt das Auto mit dieser Geschwindigkeit weiter. Das Auto soll noch beim Grünblinken die zweite Ampel erreichen.

– Berechnen Sie, nach wie vielen Sekunden die zweite Ampel zu blinken anfangen darf, wenn das Auto genau bei Schaltung auf Grün von der ersten Ampel wegfährt.

c) Eine Ampel hat folgendes Anzeigeprogramm:

Ampelphase DauerRot 30 sGelb 3 sGrün 20 s

Grün blinkend 4 s

– Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, die Ampel bei einer Gelbphase anzutreffen. – Interpretieren Sie den Ausdruck (1 – 30

57)n im gegebenen Sachzusammenhang.

Ampelschaltung 2

d) Das Abbremsen vor der Ampel erfolgt nicht konstant, sondern lässt sich mit einer Poly-nom funktion 3. Grades beschreiben. In Grafik A ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm des Bremsvorgangs dargestellt.

– Skizzieren Sie in Grafik B das zugehörige Beschleunigung-Zeit-Diagramm.

6543210 7

16

14

12

10

8

6

4

2

0

18 Geschwindigkeit in m/s

Zeit in s

A

6543210 7

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

-6

0

Beschleunigung in m/s2

Zeit in s

B

– Kreuzen Sie diejenige Aussage an, die zu Grafik A passt. [1 aus 5]

Das Auto hat nach 3 Sekunden seine Höchstgeschwindigkeit er-reicht.

Das Auto ist am Anfang (t = 0 s) 16 m von der Ampel entfernt.

Der Bremsweg des Autos beträgt rund 24 m.

Die Anfangsgeschwindigkeit des Autos beträgt 16 km/h.

Die durchschnittliche Beschleunigung während des Bremsvorgangs beträgt – 16

6 m/s2.

Hinweis zur Aufgabe:Lösungen müssen der Problemstellung entsprechen und klar erkennbar sein. Ergebnisse sind mit passenden Maßeinheiten anzugeben.

Ampelschaltung 3

Ampelschaltung 4

Möglicher Lösungsweg

a) Zeit für die Strecke bis zur Ampel: 10020

= 5 Der Fahrer braucht bis zur Ampel 5 s, das Grünblinken endet jedoch schon nach 4 s, er kann daher nicht mehr beim Grünblinken in die Kreuzung einfahren.

Bremszeit = GeschwindigkeitBremsverzögerung = 20

8 = 2,5 Die Bremszeit beträgt 2,5 s.

b) v(t) = ∫ a(t) dt = – 2,53 ∙ t3 + 4,275 ∙ t2 + v(0), wobei v(0) = 0

603,6 = – 2,5

3 ∙ t3 + 4,275 ∙ t2

t1 = −1,709…, t2 = 3,407…, t3 = 3,432... Nach rund 3,41 s hat das Auto eine Geschwindigkeit von 60 km/h erreicht.

∫3,407...

0 (– 2,5

3 ∙ t3 + 4,275 ∙ t2) dt = 28,287…

300 – 28,287... = 271,712... Es bleiben noch rund 271,71 m bis zur Ampel. Bei einer konstanten Geschwindigkeit von 60 km/h (= 60

3,6 m/s) braucht das Auto dafür rund 16,30 s. Insgesamt braucht das Auto bis zur nächsten Ampel rund 19,71 s. 4 s vorher fängt die Ampel zu blinken an. Nach rund 15,71 s darf die Ampel frühestens zu blinken anfangen.

c) P(„Gelb“) = 357 = 1

19 Der Ausdruck (1 – 30

57)n entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass man bei n Anfahrten die

Ampel nie bei Rot erreicht.

Ampelschaltung 5

d)

6543210 7

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

-6

0

Beschleunigung in m/s2

Zeit in s

B

Die durchschnittliche Beschleunigung während des Bremsvorgangs beträgt – 16

6 m/s2.

6Ampelschaltung

Klassifikation

£ Teil A T Teil B


a) 1 Zahlen und Maßeb) 4 Analysisc) 5 Stochastik d) 4 Analysis


a) 2 Algebra und Geometrie b) 3 Funktionale Zusammenhängec) —d) —


a) B Operieren und Technologieeinsatzb) B Operieren und Technologieeinsatzc) B Operieren und Technologieeinsatzd) A Modellieren und Transferieren


a) D Argumentieren und Kommunizierenb) A Modellieren und Transferierenc) C Interpretieren und Dokumentierend) C Interpretieren und Dokumentieren


a) mittel a) 2b) schwer b) 4c) mittel c) 2d) mittel d) 2

Thema: Verkehr

Quellen: —

Auf der BaustelleAufgabennummer: B_333


Zur Bewegung von Lasten werden auf einer Baustelle verschiedene Hilfsmittel eingesetzt.

Abb. 1 Abb. 2 a) Mithilfe einer nahezu reibungsfreien festen Seilrolle soll eine Palette hochgehoben werden (siehe Abb. 1). Auf das Seil wirkt eine Kraft von F = 1,5 kN unter einem Winkel α = 35°.

mMasse

A

β

α

F

FG

– Beschriften Sie in Abb. 2 die Kräfte in der Skizze mit FG, F und R, wobei R die Resultierende ist, die auf die Seilrolle wirkt.

– Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Kraft R.

β

α

β

b) Ein Wagen soll von 2 Bauarbeitern mit einer Kraft F gezogen werden. F ist die Summe der Kräfte F1 und F2 (siehe Abb. 3). Abb. 3

αβ

F

F1

F2

s

– Erstellen Sie eine Formel zur Ermittlung des Betrags der Kraft F1, wenn man den Betrag der Kraft F und die Winkel α und β kennt.

Beim Ziehen einer Last wird Arbeit W verrichtet. Die Formel für die Arbeit W lautet: W = F ∙ s

– Zeigen Sie, dass es im Fall der gegebenen Situation genügt, nur das Produkt der Beträ-ge von F und s zu berechnen.

Wird die Last nur von einer Person gezogen, schließt die Kraft F = ( )200100

N mit dem

Weg s = ( )100130

m einen Winkel φ ein.

– Berechnen Sie die zu verrichtende Arbeit W. – Berechnen Sie den Winkel φ.

Auf der Baustelle 2

c) 30 kg Schutt werden in einer Schubkarre abtransportiert. Dabei wirkt die Gewichtskraft F1 auf die Schubkarre. Zum Entladen muss die Schubkarre gekippt werden. Die Kraft F2, mit der man am äußersten Ende der Haltegriffe nach oben drücken muss, kann mithilfe des Hebelgesetzes F1 ∙ a1 = F2 ∙ a2 ermittelt werden. Die Gewichtskraft ist das Produkt aus Masse m und Erdbeschleunigung g.

Abb. 4

a1

a2F1

F2

– Berechnen Sie den Betrag der Kraft F2, wenn a1 = 250 mm und a2 = 1 500 mm gilt. (Rechnen Sie mit g = 9,81 m/s2.)


Auf der Baustelle 3

Möglicher Lösungsweg

a) β = 90° – α2 ; cos(β) =

R2F

R = 2 ∙ F ∙ cos(90° – α2 )

R = 2 ∙ 1,5 ∙ cos(27,5°) = 2,6610… ≈ 2,66 R ≈ 2,66 kN

β

α

β

R

FFG

b) F1

sin(β) = Fsin(180° – α – β)

F1 = sin(β) ∙ F

sin(180° – α – β) W = F ∙ s

F ∙ s = |F | ∙ |s| ∙ cos(φ), φ ist der Winkel zwischen F und s. φ = 0°, da der Körper in Richtung der Kraft F gezogen wird. ⇒ cos(0°) = 1 ⇒ F ∙ s = |F | ∙ |s| F ∙ s = ( )200

100 ∙ ( )100

130 = 33 000 W = 33 000 Nm

φ = arccos ( F ∙ s

|F | ∙ |s|) φ = 25,86…° ≈ 25,9°

c) F2 = F1 ∙ a1

a2 , F1 = m ∙ g

F1 = 30 ∙ 9,81 = 294,3 F1 = 294,3 N F2 = 294,3 ∙ (250)/(1 500) = 49,05 F2 = 49,05 N

a1

a2F1

F2

4Auf der Baustelle

Klassifikation

£ Teil A T Teil B


a) 2 Algebra und Geometrieb) 2 Algebra und Geometriec) 2 Algebra und Geometrie


a) —b) —c) —


a) C Interpretieren und Dokumentieren b) B Operieren und Technologieeinsatz c) B Operieren und Technologieeinsatz


a) B Operieren und Technologieeinsatz b) D Argumentieren und Kommunizieren, A Modellieren und Transferierenc) —


a) leicht a) 2b) mittel b) 4c) leicht c) 2

Thema: Physik

Quellen: —

PalisadenzäuneAufgabennummer: B_334


Palisaden sind Pfähle, meist aus Holz, die früher zur Befestigung verwendet wurden und heute auch als Designelement und Sichtschutz eingesetzt werden.

Bildquelle: BMBWF

a) Ein Zaun wird aus zylinderförmigen Pfählen mit gleichem Durchmesser gebaut. Die Längen der Pfähle bilden eine arithmetische Folge. Der kürzeste Pfahl ist 0,40 m lang, der Pfahl daneben ist 0,55 m lang.

– Erstellen Sie das explizite Bildungsgesetz der arithmetischen Folge. – Ermitteln Sie, aus wie vielen Pfählen der Zaun besteht, wenn der letzte Pfahl 2,20 m lang

ist.

Die Zaunpfähle kosten pro Meter € 45.

– Berechnen Sie die Kosten für das Holz des gesamten Zaunes.

b) Das Volumen eines Zaunpfahls ergibt sich durch die Rotation der Funktionen f und g um die x-Achse. Fichtenholz hat eine Dichte von etwa 0,43 g/cm3. Die Funktion wird beschrieben durch: f(x) = 0,375 ∙ x2 + 0,12 mit 0 ≤ x ≤ 0,4. Die Funktion g ist zwischen B und C konstant.

y in m

10,80,60,40,20 21,81,61,41,2 2,2

–0,2

0,2

0,1

0

–0,1

x in m

A

B Cg

f

– Berechnen Sie die Masse des Zaunpfahls in Kilogramm. – Erklären Sie, um welchen Faktor sich die Masse des zylindrischen Teils des Zaunpfahls

verändert, wenn sein Durchmesser halbiert wird.

c) Als Designelement in einem Garten soll ein Zaun aus 6 Pfählen errichtet werden. Die nach-gestellte Grafik stellt die Längen der Pfähle in Abhängigkeit von ihrer Position im Zaun dar.

Länge in m

n

543210 6

2

1,5

1

0,5

0

2,5

(1|0,08)(2|0,16)(3|0,32)

(4|0,64)

(5|1,28)

(6|2,56)

Position

– Erstellen Sie eine passende Funktionsgleichung. – Geben Sie die Definitionsmenge der dargestellten Funktion an. – Argumentieren Sie, warum die dargestellten Lösungen eine geometrische Folge bilden.

d) In einen Zaun soll eine Ausnehmung in Form eines Vierecks mit den gegebenen Größen b = 0,75 m, d = 0,5 m, α = 35°, β = 95° und γ = 135° geschnitten werden.

c

b

a

de

γ

β

α

– Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks.


Palisadenzäune 2

Palisadenzäune 3

Möglicher Lösungswega) a1 = 0,4; a2 = 0,55

d = a2 – a1 = 0,15an = a1 + (n – 1) ∙ dan = 0,4 + (n – 1) ∙ 0,15an = 0,15 ∙ n + 0,25

2,2 = 0,15 ∙ n + 0,25n = 13Der Zaun besteht aus 13 Pfählen.

sn = (a1 + an) ∙n2

s13 = (0,4 + 2,2) ∙ 132 = 16,9

16,9 ∙ 45 = 760,5Das Holz für den Zaun kostet € 760,50.

b) V1 = π ∙ ∫0,4

0 (0,375 ∙ x2 + 0,12)2 dx = 0,02503… m3

V2 = d2 ∙ π4 ∙ l = 0,362 ∙ π

4 ∙ 1,8 = 0,18321… m3

V = V1 + V2 = 0,20824… m3

m = ρ ∙ V = 0,20824… m3 ∙ 430 kg/m3 = 89,54… kg ≈ 89,5 kg

Bei Halbierung des Durchmessers d wird das Volumen und damit auch die Masse geviertelt.

c) L(n) = 0,08 ∙ 2n – 1 … Länge des Pfahles an der Position n

D = {1; 2; 3; 4; 5; 6} oder D = {n ∈ ℕ |1 ≤ n ≤ 6}

Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder kons-tant. Hier ist der Quotient q = 2. (Das Bildungsgesetz lautet bn = b1 ∙ q

n – 1.)

d) φ = 180°– α – β φ = 50°c

b

a

de

γ

β

αε

δ φ

A2

A1

a = b ∙ sin(φ)sin(α) a = 1,0016… m

A1 = ∙ a ∙ b ∙ sin(β)21 A1 = 0,3741… m2

e = b ∙ sin(β)

sin(α) e = 1,3026… m δ = arcsin(d ∙ sin(γ)

e ) δ = 15,7487…°

ε = 180° – γ – δ ε = 29,2512…°

A2 = ∙ d ∙ e ∙ sin(ε)21 A2 = 0,1591… m2

A = A1 + A2 A = 0,5333… m2 ≈ 0,53 m2

�Palisadenzäune

Klassifikation

£ Teil A T Teil B


a) 3 Funktionale Zusammenhängeb) 4 Analysisc) 3 Funktionale Zusammenhänged) 2 Algebra und Geometrie


a) —b) 2 Algebra und Geometriec) —d) —


a) B Operieren und Technologieeinsatzb) B Operieren und Technologieeinsatzc) A Modellieren und Transferierend) A Modellieren und Transferieren


a) A Modellieren und Transferierenb) A Modellieren und Transferieren, D Argumentieren und Kommunizierenc) D Argumentieren und Kommunizieren, C Interpretieren und Dokumentierend) B Operieren und Technologieeinsatz


a) leicht a) 3b) leicht b) 3c) mittel c) 3d) mittel d) 2

Thema: Sonstiges

Quellen: —

ErbschaftenAufgabennummer: B_335

Technologieeinsatz: möglich erforderlich

a) Sabine erbt von einer Tante Bargeld. Im ersten Monat gibt sie € 600 des geerbten Geldes aus. Sie plant, in jedem folgenden Monat um € 100 mehr auszugeben als im Monat davor, bis die gesamte Erbschaft ausgegeben ist. Die ausgegebenen Beträge bilden eine endli-che arithmetische Folge (a1; a2; a3; … ; a15 ).

– Stellen Sie das explizite Bildungsgesetz dieser Folge auf. – Berechnen Sie die Höhe der Erbschaft.

b) Martin legt den Gesamtbetrag K0 einer Erbschaft auf ein Sparkonto mit fixem Zinssatz. Die jährliche Kapitalentwicklung kann in rekursiver Form angegeben werden:

Kn = 1,015 ∙ Kn – 1

n … Jahre nach Beginn der Verzinsung

– Geben Sie die zugehörige explizite Darstellung an.

Kn =

– Berechnen Sie, nach wie vielen Jahren sich das ursprüngliche Guthaben K0 verdoppelt hat.

c) Eine Erbschaft in Höhe von € 100.000 soll auf mehrere Erben aufgeteilt werden. Der erste Erbe erhält die Hälfte der Erbschaft, der zweite Erbe ein Viertel der Erbschaft, der dritte ein Achtel usw.

– Erklären Sie, warum es sich bei den vererbten Beträgen um eine geometrische Folge handelt.

Das Erbe wird auf 9 Erben aufgeteilt, der Rest an eine karitative Einrichtung gespendet.

– Berechnen Sie, welcher Betrag gespendet wird. – Geben Sie an, welche Bedingung für q einer geometrischen Folge an = a0 ∙ q

n mit a0 ≠ 0 gelten muss, dass die Folge konvertiert.

d) Marco erbt Silbermünzen im Wert von € 6.500. Er kann jede Silbermünze um € 65 verkau-fen. Es wird folgende Funktion f aufgestellt: f(n) = 6 500 – 65 ∙ n 0 ≤ n ≤ 100, n ∈ ℕ … Anzahl der verkauften Münzen

– Beschreiben Sie, welche Bedeutung der Funktionswert f (n) im gegebenen Sachzusam-menhang hat.

– Stellen Sie die Funktion f für 0 ≤ n ≤ 10 in einem Koordinatensystem grafisch dar.

Die Funktion f ist eine endliche Folge.

– Stellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz dieser Folge auf.


Erbschaften 2

Erbschaften 3

Möglicher Lösungswega) an = 600 + (n – 1) ∙ 100 = 100 ∙ n + 500

a15 = 600 + (15 – 1) ∙ 100 = 2 000

sn = n2 ∙ (a1 + an)

s15 = 152 ∙ (600 + 2 000) = 19 500

Die Höhe der Erbschaft beträgt € 19.500.

b) Kn = K0 ∙ 1,015n 2 = 1,015n n = 46,55… Das ursprüngliche Guthaben hat sich nach etwa 46,6 Jahren verdoppelt.

c) Es handelt sich um eine geometrische Folge, da der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist (q = 0,5). (50 000; 25 000; 12 500; …) Die Summe der 9 vererbten Beträge kann mit der Summenformel für endliche geometri-sche Reihen berechnet werden. s9 = b1 ∙

1 – qn

1 – q mit b1 = 50 000, q = 0,5 s9 = 50 000 ∙ 1 – 0,59

1 – 0,5 = 99 804,6875… Es bleiben etwa € 195,31 an Spenden übrig. Eine geometrische Folge ist konvergent, wenn |q| < 1.

d) f(n) gibt den Wert der Goldmünzen in Marcos Besitz an, wenn Marco n Stück Goldmünzen verkauft.

rekursives Bildungsgesetz: a0 = 6 500, an = an – 1 – 65

Erbschaften 4

5Erbschaften

Klassifikation

Teil A T Teil B


a) 3 Funktionale Zusammenhängeb) 3 Funktionale Zusammenhänge c) 3 Funktionale Zusammenhänge d) 3 Funktionale Zusammenhänge


a) —b) —c) —d) —


a) A Modellieren und Transferieren b) A Modellieren und Transferieren c) D Argumentieren und Kommunizieren d) C Interpretieren und Dokumentieren


a) B Operieren und Technologieeinsatzb) B Operieren und Technologieeinsatzc) B Operieren und Technologieeinsatzd) B Operieren und Technologieeinsatz, A Modellieren und Transferieren


a) leicht a) 2b) leicht b) 2c) mittel c) 3d) mittel d) 3

Thema: Sonstiges

Quellen: —

Segeln*...Segeln 3 Möglicher Lösungsweg a) – BP = √3,3² + 2,7² – 2 ∙ 3,3 ∙ 2,7 ∙...

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