SINUS-Transfer NRW Projekt 2 Klaus Gerber Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie Eine...

SINUS-Transfer NRW Projekt 2 Klaus Gerber

Projektionsmatrizen - Einblicke in die Raumgeometrie

Eine anwendungsorientierte Unterrichtsreihe aus der Analytischen Geometrie

Kongress zur Weiterentwicklung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts

Mittwoch, 1. März 2006, 10.00 Uhr bis 16.30 Uhr, AudiMax der Ruhruniversität Bochum


Bandenwerbung

Film 1 / Film 2 / Film 3


Aufgabe:

Entwerfe einen Werbeteppich

für das RheinEnergie-Stadion

in Köln-Müngersdorf.

Dieser Teppich soll in der

rechten Spielfeldhälfte rechts

neben dem Tor liegen

(gesehen von der

Haupttribüne oberhalb derer

sich die Kamera befindet).

Spielfeldmaße: 105m x 68m


Bearbeitung als Schnittproblem:

Richtungsvektor:

Koordinaten eines Eckpunktes des Buchstabens: P(2,8|0|1)

ergibt

Der gesuchte Schnittpunkt hat also die Koordinaten:

31

53

53

v

031

53

53

1

0

8,2

y

x

pvp 311

00

0

8,2

31

53

53

1

0

8,2

3153

155169

31533153

311p

0|7,1|1,1T1


Allgemeine Berechnungsmethode:

Der Punkt soll in Richtung des Vektors in die xy-Ebene und

dort auf den Punkt mit abgebildet werden.

ergibt

Der gesuchte Punkt hat also die Koordinaten:

03

2

1

y

x

v

v

v

z

y

x

pvp 3vz

03

2

3

1

3

2

3

1

3

3

2

1

zy

zx

z

z

z

z

y

x

v

v

v

z

y

x

pvvvv

vvvv

vz

0||3

2

3

1 zyzxPvv

vv

zyxP ||

3

2

1

v

v

v

v

zyxP || 0z


Einführung der Matrizenschreibweise:

Berechnungsvorschrift:

Projektionsmatrix:

z

y

x

zyx

zyx

zyx

zy

zx

vvvv

vvvv

vvvv

000

10

01

000

10

01

03

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

pA

z

y

x

ihg

fed

cba

ziyhxg

zfyexd

zcybxa

000

10

01

000

10

01

31533153

3

2

3

1

vvvv

A


Graphische Darstellung

mit dem TI:

vollständiger Befehl zum Zeichnen


Definitionen und Sätze:

Hauptsatz über Abbildungsmatrizen

Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der

Einheitsvektoren.

Parallelprojektionssatz

Die Matrix beschreibt die Parallelprojektion in die

xy-Ebene in Richtung des Projektionsvektors .

31

21

11

333231

232221

131211

11

0

0

1

a

a

a

aaa

aaa

aaa

eAe

000

10

01

3

2

3

1

vvvv

xyA

v


!!!! Übungsaufgaben !!!!


2-dimensionale Darstellung räumlicher Objekte:

Projektionsmatrix:

10

011

22

22

PRO

)45sin(

)45cos(

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0


Drehungen im Raum um eine Koordinatenachse:

Drehmatrix:

Blick „von oben“ auf die xy-Ebene

0

sin

cos

0

0

1

0

cos

sin

0

1

0

1

0

0

1

0

0

100

0cossin

0sincos

RotZ


Platonische Körper:

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