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Rudolf Taschner Anwendungsorientierte Mathematik für ingenieur- wissenschaftliche Fachrichtungen Band 3: Geometrie und Räume von Funktionen

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Rudolf Taschner

Anwendungsorientierte Mathematik fr ingenieurwissenschaftliche FachrichtungenBand 3: Geometrie und Rume von Funktionen

Das dreibndige Lehrbuch ist eine Einfhrung fr Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften. Die einzelnen Bndezeichnen sich aus durch hohe Anschaulichkeit anhand zahlreicherAbbildungen. Der Autor legt Wert auf die historische Entwicklungder Fachbegriffe und er richtet das Augenmerk auf Themen, die fr Anwendungen unumgnglich sind. Unntige Abstraktheit wirdvermieden, die Betonung liegt auf der Vermittlung von Verstnd nis.Die zahlreichen Rechenbeispiele tragen sehr dazu bei. Aufgabenmit Lsungen dienen der Festigung des Lehrstoffes.

Im vorliegenden Band 3 werden Vektoranalysis und Hhere Analysisbehandelt.

Aus dem Inhalt:

Kalkl mit Differentialformen

Differentialgeometrie

Integraltransformationen

Funktionenrume

Vollstndige Rume

Prof. Dr. Rudolf Taschner hltVorlesungen zur Mathematik an der TU Wien. Er ist bereits Autor des HanserVerlages und betreibt mit seinerFrau die Plattform math.space,wo Mathematik einer breitenffentlichkeit als kulturelleErrungenschaft vorgestellt wird.

Oliver Indra

www.hanser-fachbuch.de

29,99 [D] | 30,90 [A]

ISBN 978-3-446-44245-0

Rudolf Taschner

Anwendungsorientierte Mathematik fr ingenieur-wissenschaftliche FachrichtungenBand 3: Geometrie und Rume von Funktionen

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Rudolf TaschnerAnwendungsorientierte Mathematik 3

Anwendungsorientierte Mathematik fr ingenieurwissenschaftliche Fachrichtungen

Band 1: GrundbegriffeZahlen Geometrie Hhere Rechenmethoden Reihen und Konvergenz Funktion, Integral, Stetigkeit Regeln des Differenzierens Regeln des Integrierens

Band 2: Gleichungen und DifferentialgleichungenDifferenzieren im Reellen Nichtlineare Gleichungen Lineare Gleichungen Vektor- und Tensorrechnung Differentialgleichungen Differenzieren im Komplexen

Band 3: Geometrie und Rume von FunktionenKalkl mit Differentialformen Differentialgeometrie Krummlinige Koordinaten Integraltransformationen Funktionen- und Ereignisrume Vollstndige Rume

Rudolf Taschner

Anwendungsorientierte Mathematik fr ingenieurwissenschaftliche Fach-richtungen

Band 3: Geometrie und Rume von Funktionen

Mit 71 Bildern, zahlreichen Beispielen und 196 Aufgaben

Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

Autor:Ao. Univ. Prof. Dr. phil. Rudolf TaschnerTechnische Universitt WienInstitut fr Analysis und Scientific Computinghttp://[email protected]

Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet ber http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN978-3-446-44245-0E-Book-ISBN978-3-446-44166-8

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschtzt.Alle Rechte, auch die der bersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfltigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht fr Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den 53, 54 URG genannten Sonderflle , reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfltigt oder verbreitet werden.

Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 2015 Carl Hanser Verlag Mnchen www.hanser-fachbuch.deLektorat: Christine FritzschHerstellung: Katrin WulstEinbandrealisierung: Stephan RnigkSatz: Rudolf Taschner, WienDruck und Bindung: Friedrich Pustet, Regensburg

Printed in Germany

Tom DeMarcoAls auf der Welt das Licht ausging

ca. 560 Seiten. Hardcover

ca. 19,99 [D] / 20,60 [A] / sFr 28,90

ISBN 978-3-446-43960-3

Erscheint im November 2014

Sie mchten mehr ber Tom DeMarco und seine Bcher erfahren.Einfach reinklicken unter www.hanser-fachbuch.de/special/demarco

Der Weltuntergang steht bevor, aber nicht so, wie Sie denken. Dieser Krieg jagt nicht alles in die Luft, sondern schaltet alles ab.

Im obersten Stock der Cornell Universitys Clark Hall stehen der Physiker Homer Layton und seine drei jungen Assistenten vor einem Durchbruch, der es ermglicht, die Zeit etwas langsamer ablaufen zu lassen. Sie vermuten, dass der sogenannte Layton- Effekt keinen praktischen Nutzen haben wird, rechnen aber damit, dass die von ihnen geplante Abhandlung einem Paukenschlag in der Welt der theoretischen Physik gleichkommen wird. Doch dann bemerkt Loren Martine, jngstes Mitglied von Homers Team, etwas Seltsames: Wird die Zeit verlangsamt, reicht die in Brenn-stoffen gespeicherte Energie nicht mehr fr ein pltzliches Feuer. Dinge knnen noch immer brennen, wenn auch langsamer, aber nichts kann mehr explodieren. Die Wissenschaftler stellen sich eine Art Layton-Effekt-Taschenlampe vor, die das Abfeuern einer Waffe verhindert. Ihnen wird klar, dass man auch die Explosion einer Bombe oder gar einen ganzen Krieg verhindern knnte.

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Leseprobe

Vorwort

Der dritte Band meines Lehrbuchs ber Anwendungsorientierte Mathematik besteht aus zweigroen Teilen, die jeweils drei Kapitel umfassen. Der erste Teil thematisiert die Geometrie. DasEinleitungskapitel stellt die grundlegenden Rechenmethoden vor, die man gerne unter demNamen Vektoranalysis zusammenfasst. Es ist von zentraler Bedeutung fr alle, die Mathe-matik in der Physik und im Ingenieurwesen anwenden wollen. Die beiden folgenden Kapitelber Differentialgeometrie und krummlinige Koordinaten bauen darauf auf. Sie richten sichvornehmlich an jene Leserinnen und Leser, die sich fr das Vermessungswesen, fr die ab-strakte Mechanik oder Elektrodynamik, oder aber fr die Grundlagen der Allgemeinen Rela-tivittstheorie Einsteins interessieren. Der zweite Teil des Buches ist jenen Stoffgebieten ge-widmet, die man unter dem Sammelbegriff Hhere Analysis subsumiert. Der Bogen spanntsich dabei vom Rechnen mit verallgemeinerten Funktionen bis hin zur Wahrscheinlichkeits-rechnung, die im Zuge der Betrachtung linearer Funktionenrume im fnften Kapitel einenangemessenen Platz findet.

Die Ziele des Lehrbuchs werden in diesem Band konsequent weiter verfolgt: Es soll eine Ein-fhrung in die Mathematik geboten werden, welche die historische Entwicklung der zentralenmathematischen Konzepte betont und Exkurse in sprachliche Herleitungen einzelner Fach-begriffe sowie grozgige Abschweifungen in Erzhlungen des geschichtlichen Umfeldes nichtscheut. Es soll eine Einfhrung in die Mathematik geboten werden, bei der nur das erklrt wird,was konstruktiv nachvollziehbar ist. Und es soll eine Einfhrung in die Mathematik gebotenwerden, bei der das Augenmerk vor allem auf Themen gelegt wird, die fr Anwendungen un-umgnglich sind.

Wie bei den beiden ersten Bnden des Buches ist auch hier die Anordnung des Lehrstoffs zu-weilen ungewohnt. Es kommt den an Anwendungen der Mathematik Interessierten entgegen,wenn sie schon einige Verfahren, wie zum Beispiel die Berechnung von Fourierreihen, die Inte-graltransformationen, deren Brauchbarkeit beim Lsen partieller Differentialgleichungen undanderes mehr kennenlernen, bevor sie wie es hier im sechsten und abschlieenden Kapi-tel skizziert wird mit der dahinter liegenden abstrakten Theorie konfrontiert werden. Nebenvielen anderen ausgezeichneten Klassikern der Lehrbuchliteratur habe ich mich vor allem andem brillant verfassten Buch von Harley Flanders Differential Forms with Applications to thePhysical Sciences und an dem beeindruckenden Buch von Robert D. Richtmyer Principles ofAdvanced Mathematical Physics orientiert. Die wohl besten Zugnge zu den Themen konnteich einst von Edmund Hlawka, von Johann Cigler und, was die Wahrscheinlichkeitstheorie be-trifft, von Karl Sigmund in deren einzigartigen Vorlesungen an der Universitt Wien erfahren.In diesem Buch versuche ich, so gut ich kann, dieses wertvolle Erbe zu vermitteln. Ein wei-terer Leitstern fr mich ist, wie bereits im Vorwort des ersten Bandes erwhnt, die souverneAufbereitung des Stoffes, die Bernard Friedman in seinen Lectures on Applications-OrientedMathematics gelang.

Auch Kenner der Materie werden an der einen oder anderen Stelle Ungewohntes finden: Denoriginellen Differentialrechnungsvorlesungen Ciglers verdanke ich eine raffinierte Herleitung

6 Vorwort

der sogenannten Transformationsformel mehrdimensionaler Integrale; der Satz von Stokesumgeht elegant die sonst von Vortragenden gefrchtete Umstndlichkeit bei der Beweis-fhrung. Dass man vollstndige Rume quadratisch integrierbarer Funktionen mit verallge-meinerten Funktionen konkret und einsichtig beschreiben kann, hat Richtmyer hervorgeho-ben. Somit zeigt sich, dass die von Riemann entworfene, den Prinzipien des Konstruktivismusgehorchende Integrationstheorie auch bei der Betrachtung von Hilbertrumen vollstndigausreicht. Und die abstrakte Darstellung von Atlanten differenzierbarer Mannigfaltigkeitengelingt wohl dann am besten, wenn man vorher konkrete Kartenentwrfe des Globus stu-diert. Die Veranschaulichung durch ansprechende Abbildungen ist hier von hohem Nutzen.Ich bin meinem Kollegen Hans Havlicek, Grandseigneur der Darstellenden Geometrie ander Technischen Universitt Wien, sehr dankbar, dass er mir dafr einige seiner ausgefeiltenKartenentwrfe freigiebigst zur Verfgung gestellt hat.

Auch dieser Band wurde vom Carl Hanser Verlag unter professioneller Betreuung von ChristineFritzsch und Katrin Wulst mit groer Sorgfalt herausgegeben. Ihnen sei noch einmal herzlichstDank gesagt. Und auch bei diesem Band bitte ich, trotz der gewissenhaften Korrekturarbeitvon Andreas Krner und Carina Pll, die noch immer verbliebenen Druckfehler zu verzeihen.Im Vorwort seines wunderbaren Buches The Mathematical Foundations of Quantum Mecha-nics schrieb George W. Mackey: If the reader thinks a sign should be changed he is probablyright. Perhaps there are more serious errors here and there. Die gleichen Worte mchte ichden Leserinnen und Lesern dieses Buches mit auf dem Weg geben.

Mein innigstesMagnas gratias vobis ago mchte ich schlielich meiner Frau Bianca und mei-nen Kinder Laura und Alexander aussprechen: fr ihre Nachsicht, fr ihre Geduld, fr ihre Zu-neigung. Besonders stark und tief empfand ich sie beim Schreiben dieses Buches.

Wien, September 2014 Rudolf Taschner

Inhalt

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Kalkl mit Differentialformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Zellen und Ketten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Differentialformen und Keilprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Rnder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Differentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Unbestimmte Integrale von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6 Integrale ber Rnder und von Differentialen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7 Gradient, Divergenz, Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.8 Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.9 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.10 Flchenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.11 Raumintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.12 Eulersche Gammafunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.13 bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2 Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.1 Bewegliche Dreibeine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.2 Raumkurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.3 Flchen im Raum .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4 Hyperbolisches Paraboloid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.5 Darbouxsches Dreibein und metrische Fundamentalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.6 Drehflchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.7 Winkel, Lnge, Flcheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.8 Oberflche, Volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.9 Flchenkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.10 Kinematik eines punktfrmigen Krpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.11 Krmmungen einer Flche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.12 Parallelverschiebung eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.13 bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8 Inhalt

3 Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1203.1 Quadratische Plattkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.2 Zylinderprojektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.3 Gnomonische und stereographische Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.4 Karten einer Mannigfaltigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.5 Messen auf einer Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.6 Ableitungskoeffizienten der Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.7 Inhaltselement einer Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.8 Ableitungskoeffizienten der Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.9 Krmmungen einer Mannigfaltigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.10 bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4 Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1604.1 Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.2 Verallgemeinerte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.3 Rechnen mit verallgemeinerten Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.4 Diracs Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.5 Differentiation verallgemeinerter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.6 Greensche Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.7 Fouriers Integraltheorem .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.8 Zwei partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.9 Rechnen mit dem Differentialoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.10 Anfangswertaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4.11 Fourierreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.12 Partialbruchzerlegung des Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.13 bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5 Funktionenrume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2135.1 Lineare Rume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.2 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.3 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5.4 Inneres Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.5 Projektion eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

5.6 Erwartungswert und Varianz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5.7 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5.8 Poissonverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

5.9 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.10 Gesetz der groen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Inhalt 9

5.11 Lineare Operatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5.12 Spektraldarstellung von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.13 Quantentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

5.14 bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6 Vollstndige Rume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2616.1 Dirichletsche Kernfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

6.2 Fejrsche Kernfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.3 Approximationsstze von Fejr und Weierstra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.4 Verschiedene Normen, unterschiedliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

6.5 Quadratisch summierbare Folgen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

6.6 Hilbertrume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

6.7 Hermitepolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

6.8 Quadratisch integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

6.9 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

6.10 bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293

1 Kalkl mit Differentialformen1.1 Zellen und Ketten

Kalkl stammt von dem lateinischen calculus, das Steinchen bedeutet, weil die Rmer mitkleinen Steinen ihre einfachen Rechnungen durchfhrten. Kalkl bedeutet Rechenmetho-de. Dieses Kapitel stellt den Kalkl mit Differentialformen vor, grob gesprochen: den Kalklmit formalen Ausdrcken, in denen Differentiale aufscheinen. Es ist ein Kalkl, dessen Fun-damente Leibniz und Newton gelegt hatten, weshalb die Differentialrechnung im Englischencalculus heit. Der Kalkl mit Differentialformen wurde bis hin zum Beginn des 20. Jahrhun-derts von den magebenden Mathematikern ihrer Zeit, vor allem aber von Naturwissenschaf-tern und Ingenieuren zum Zwecke seiner vielfltigen Anwendungen so weit ausgebaut, wiees im Folgenden beschrieben wird. Anstze dieses Kalkls haben wir bereits im Kapitel berDifferentialrechnung im Komplexen kennengelernt.

Im Zuge der Vorbereitung zum Beweis des Integralsatzes von Cauchy sind wir den Begriffender Zelle und der Kette in der komplexen Ebene begegnet: Eine eindimensionale Zelle war damals eine achsenparallele Strecke, die zwei komplexe Gren verbindet, wobei dieseentweder gleiche Imaginrteile oder gleiche Realteile besitzen. Und eine Kette war damalsdie Summe c11 + . . .+ cnn derartiger Zellen 1, . . . , n , die mit ganzzahligen Vielfachheitenc1, . . . , cn multipliziert sind. Dasselbe wollen wir nun fr den dreidimensionalen Raum wie-derholen:

In diesem Raum befindet sich ein Koordinatensystem mit drei Achsen, die in Richtung vonVektoren weisen, die linear unabhngig sind. Am einfachsten ist es, sich die drei Richtungs-vektoren der Achsen als Einheitsvektoren vorzustellen, die zueinander paarweise orthogonalsind. Dann spannen die nach vorne laufende x-Achse und die nach rechts laufende y-Achsedie Grundrissebene auf. Die y-Achse und die nach oben laufende z-Achse spannen die Auf-rissebene auf, und die z-Achse spannt zusammen mit der x-Achse die Kreuzrissebene auf. Indiesem Raum bezeichnen P = (p, q,r ) und Q = (p +a, q +b,r + c) zwei Punkte. Vorausgesetztwird dabei, von allen drei reellen Gren a, b, c stehe fest, ob sie entweder mit Null ber-einstimmen, oder aber ob sie grer als Null sind. Jedenfalls befindet sich der Punkt Q, fallser nicht mit P zusammenfllt, entweder in Richtung der x-Achse vor P oder in Richtung dery-Achse rechts von P oder in Richtung der z-Achse oberhalb von P . (Dabei schliet das Wortoder nichts aus: der Punkt Q kann gleichzeitig vor P , rechts von P und auch oberhalb vonP geortet sein.) Fr zwei derartige Punkte bezeichnet = [P ;Q] eine Zelle. Sie besteht aus derGesamtheit aller Punkte X = (x, y, z) mit p x p + a, q y q +b, r z r + c. Genauerunterscheiden wir vier Typen von Zellen:

Erstens betrachten wir den Fall a = b = c = 0. Bei ihm stimmt Q mit P berein, und von derZelle = [P ;Q] bleibt nur der Punkt P selbst brig. In diesem Fall nennen wir eine nulldi-mensionale Zelle.

12 1 Kalkl mit Differentialformen

(x) (y)

(z)

O

(x) (y)

(z)

O

PP

Q

Bild 1.1 Links eine nulldimensionale Zelle, rechts eine eindimensionale, zur x-Achse parallele Zelle

Zweitens betrachten wir die drei Flle a > 0, b = c = 0 oder b > 0, c = a = 0 oder c > 0, a = b = 0.Im ersten Fall ist die Zelle = [P ;Q] eine zur nach vorne laufenden x-Achse achsenparalleleStrecke, im zweiten Fall ist sie eine zur nach rechts laufenden y-Achse achsenparallele Strecke,und im dritten Fall ist sie eine zur nach oben laufenden z-Achse achsenparallele Strecke. Inallen drei Fllen nennen wir eine eindimensionale Zelle.

(x) (y)

(z)

O

(x) (y)

(z)

O

P

Q

Q

P

Bild 1.2 Links eine eindimensionale, zur y-Achse parallele Zelle, rechts eine eindimensionale, zurz-Achse parallele Zelle

Drittens betrachten wir die drei Flle a = 0, b > 0, c > 0 oder b = 0, c > 0, a > 0 oder c = 0, a > 0,b > 0. Im ersten Fall ist die Zelle = [P ;Q] ein Rechteck mit Seiten, die zur y-Achse und zurz-Achse parallel sind, im zweiten Fall ist sie ein Rechteck mit Seiten, die zur z-Achse und zurx-Achse parallel sind, und im dritten Fall liegt ein Rechteck mit Seiten vor, die zur x-Achse undzur y-Achse parallel sind. In allen drei Fllen nennen wir eine zweidimensionale Zelle.

Viertens betrachten wir den Fall a > 0, b > 0, c > 0. Bei ihm ist die Zelle = [P ;Q] ein Quader,dessen Kanten zu den drei Achsen parallel sind. Dementsprechend heit in diesem Fall einedreidimensionale Zelle.

Liegen endlich viele Zellen 1, . . . , n von der gleichen Dimension vor und bezeichnen c1, . . . ,cn ebenso viele ganze Zahlen, heit die daraus gebildete formale Summe= c11 + . . .+ cnneine Kette, genauer: eine null-, ein-, zwei- oder dreidimensionale Kette, je nachdem welcheDimension die Zellen1, . . . ,n haben. Die Zahlen c1, . . . , cn , die Vielfachheiten, mit denen die

1.1 Zellen und Ketten 13

(x) (y)

(z)

O

(x) (y)

(z)

OP

PQ Q

Bild 1.3 Links eine zweidimensionale, zur y- und zur z-Achse parallele Zelle, rechts eine zweidimen-sionale, zur z- und zur x-Achse parallele Zelle

Zellen 1, . . . , n in der Kette vorkommen, teilen gleichsam mit, wie oft die jeweilige Zelle inder Kette durchlaufen wird. Die Tatsache, dass die Vielfachheiten sowohl positive wie auchnegative ganze Zahlen sein drfen, weist darauf hin, dass man dem Durchlaufen der Zelleneine bestimmte Orientierung oder einen bestimmten Durchlaufungssinn zuschreibt. Wirwollen dies im Einzelnen errtern:

(x) (y)

(z)

O

(x) (y)

(z)

OO

P

Q

Q

OO

QQPP

Bild 1.4 Links eine zweidimensionale, zur x- und zur y-Achse parallele Zelle, rechts eine dreidimen-sionale Zelle

Handelt es sich bei um eine nulldimensionale Zelle, also um einen Punkt, bedeutet c, dassdieser Punkt gleichsam c-mal genannt wird. Wenn c negativ sein sollte, stellt man sich am bes-ten vor, dass an der Stelle, wo sich der Punkt befindet, ein Loch ist. Im gleichen Sinn, wie es inder Elementarteilchenphysik punktfrmige Teilchen und Antiteilchen gibt, betrachten wir beiden nulldimensionalen Zellen Punkte und Antipunkte oder, anders gesprochen, Punkteund Lcher. Es ist bezeichnend, dass der geniale theoretische Physiker Paul Dirac, der dieExistenz von Antiteilchen theoretisch vorhergesagt hatte, ebenso von Lchern sprach, wenner das Antielektron, das spter Positron getaufte Antiteilchen, als entgegengesetzt zum Elek-tron gezhltes punktfrmiges Teilchen betrachtete.

Handelt es sich bei um eine eindimensionale Zelle, also um eine achsenparallele Strecke[P ;Q], bedeutet c, dass diese Strecke |c|-mal durchlaufen wird. Ist c positiv, denken wir unsdie Strecke [P ;Q] in Richtung von P nach Q durchlaufen, ist hingegen c negativ, denken wir

14 1 Kalkl mit Differentialformen

uns diese Strecke in Richtung von Q nach P durchlaufen. Und zwar so oft, wie der Betrag vonc angibt.

Ein Beispiel dafr ist der folgende rumliche Mander (das Wort Mander stammt vom inder Antike Maandros genannten Fluss, der sich schleifenfrmig durch die Landschaft zieht):Aus den acht Punkten A = (1,0,0), B = (1,1,0), C = (2,1,0), D = (2,1,2), E = (2,1,2), F =(2,1,0), G = (1,1,0) und H = (1,0,0) bilden wir die Kette

= [A;B ]+ [B ;C ]+ [C ;D] [E ;D] [F ;E ]+ [F ;G] [H ;G] .

Wie man schnell erkennt, sind die Vielfachheiten so festgelegt, dass der rumliche Mandervom Punkt A ber die Punkte B , C , D , E , F , G bis zum Punkt H einmal durchlaufen wird.

(x) (y)

(z)

OA BC

D

E

FGH

Bild 1.5 Der rumliche Mander

Handelt es sich bei um eine zweidimensionale Zelle, also um ein achsenparalleles Rechteck,verleihen wir c folgendermaen einen Durchlaufungssinn: Ist c positiv, denken wir uns dieSeiten des Rechtecks so oft gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, wie der Betrag von c angibt.Und ist c negativ, denken wir uns ebenfalls die Seiten des Rechtecks so oft durchlaufen, wieder Betrag von c angibt, diesmal aber im Uhrzeigersinn.

Ein Beispiel dafr ist die folgende geffnete Schachtel: Sie besitzt die acht Punkte A =(1,1,0), B = (1,1,0), C = (1,1,0), D = (1,1,0), E = (1,1,1), F = (1,1,1), G = (1,1,1) undH = (1,1,1) als Ecken. Aus einer Auswahl von ihnen bilden wir die Kette

= [B ;G] [A; H ]+ [D ;G] [A;F ] [A;C ] .

Die Vielfachheiten in dieser Kette haben wir (willkrlich) so festgelegt, dass das vorne und dasrechts befindliche Seitenrechteck der Schachtel einen positiven Durchlaufungssinn zugespro-chen erhalten, das hinten und das links befindliche Seitenrechteck der Schachtel sowie die un-ten befindliche Grundflche der Schachtel einen negativen Durchlaufungssinn zugesprochenerhalten.

Handelt es sich bei um eine dreidimensionale Zelle, also um einen achsenparallelen Quader[P ;Q], bedeutet c, dass dieser Quader |c|-mal in Erscheinung tritt. Auch hier sprechen wirvon einem Durchlaufen des Quaders und unterscheiden je nach Vorzeichen, wie diese Ori-entierung des Quaders gemeint ist: Ist c positiv, wird der Quader so durchlaufen, dass seinevordere, seine rechte und seine obere Seitenflche gegen den Uhrzeigersinn, hingegen seinehintere, seine linke und seine untere Seitenflche im Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Beieinem negativen c ist die Durchlaufungsrichtung der Seitenflchen jeweils umgekehrt.

1.1 Zellen und Ketten 15

(x) (y)

(z)

O

A

BC

D

E

FG

H

Bild 1.6 Die geffnete Schachtel

Ein Beispiel dafr ist der folgende durchbohrte Quader: Er besitzt die 16 Punkte A = (0,0,0),B = (1,0,0), C = (1,3,0), D = (0,3,0), E = (0,0,3), F = (1,0,3), G = (1,3,3), H = (0,3,3) und P =(0,1,1), Q = (1,1,1), R = (1,2,1), S = (0,2,1), T = (0,1,2), U = (1,1,2), V = (1,2,2), W = (0,2,2)als Ecken: Die acht zuerst genannten als uere Ecken und die acht zuletzt genannten als in-nere Ecken, die sein dreidimensionales Loch begrenzen. Den durchbohrten Quader selbsterhalten wir als Kette

= [A;G] [P ;V ] .

Vom Quader [A;G] wird der Quader [P ;V ] gleichsam weggenommen, daher die Wahl der Vor-zeichen.

(x) (y)

(z)

AB

CD

EF

G

H

PQ R

S

TU V

W

Bild 1.7 Der durchbohrte Quader

Liegt mit = c11 + . . .+ cnn eine Kette, egal welcher Dimension vor und bezeichnet c eineganze Zahl, kann man aus die Kette c bilden, indem man einfach

c= cc11 + . . .+ ccnn

setzt. Und liegen mit = a11 + . . .+ amm und mit = b11 + . . .+bkk zwei Ketten dergleichen Dimension vor, kann man ihnen eine Summe+ durch die Festlegung

+ = a11 + . . .+amm +b11 + . . .+bkk

16 1 Kalkl mit Differentialformen

zuordnen. Beides ist sehr einfach und ohne Weiteres verstndlich. Eine kleine Unsicherheitverbleibt allerdings, denn es kann vorkommen, dass zwei Ketten in verschiedenen Darstellun-gen vorliegen, obwohl es sich anschaulich um das gleiche Punktgefge handelt. So wird deroben beschriebene rumliche Mander nicht nur als

= [A;B ]+ [B ;C ]+ [C ;D] [E ;D] [F ;E ]+ [F ;G] [H ;G] ,

sondern auch als

= [A;B ]+ [F ;C ]+ [C ;D] [E ;D] [F ;E ] [G ;B ] [H ;G]

beschrieben. Warum betrachten wir und als gleiche Ketten? Um diese Frage allgemeinbeantworten und hierin Klarheit schaffen zu knnen, fhren wir den Begriff der Spur einerKette ein:

Wenn genau einer der in = c11 + c22 + . . .+ cnn genannten Summanden, zum Beispielckk , die Punkte einer Zelle von der gleichen Dimension wie mit der von Null verschie-denen Vielfachheit ck erfasst, sagt man, dass die Punkte der Zelle auf der Spur der Kette zu liegen kommen. Wenn mehrere dieser Summanden, zum Beispiel die beiden Summandenckk und cll die Punkte der Zelle erfassen, sollen diese Punkte nur dann zur Spur der Kette zhlen, wenn die entsprechende Summe der Vielfachheiten, im Beispiel der zwei Zellen k ,l die Summe ck + cl , von Null verschieden ist. Im oben genannten Beispiel des rumlichenManders gehren genau die in den Zellen [A;B ], [B ;C ], [C ;D], [E ;D], [F ;E ], [F ;G], [H ;G] vor-kommenden Punkte der Spur des Manders an. In der Darstellung des Manders kommtzwar die Zelle [F ;C ] vor, aber nicht alle Punkte dieser Zelle gehren der Spur des Mandersan, denn der Summand [G ;B ] sorgt dafr, dass die zwischen G und B befindlichen Punkteauf [F ;C ] nicht zur Spur des Manders gehren. Im gleichen Sinn befinden sich die Punkte ausdem Inneren des Quaders [P ;V ] nicht in der Spur des durchbohrten Quaders= [A;G][P ;V ],wohl aber alle anderen Punkte des Quaders [A;G]. Dementsprechend nennen wir zwei Kettengleich, wenn sie die gleiche Spur besitzen und die Zellen dieser Spur im gleichen Durchlau-fungssinn mit der gleichen Vielfachheit gezhlt werden.

1.2 Differentialformen und KeilproduktZiel der folgenden Errterungen ist, die im vorigen Abschnitt vorgestellten Zellen und Ket-ten als Integrationsbereiche von mehrdimensionalen Integralen zu ntzen. Zu diesem Zweckmssen neben den Integrationsbereichen die Integranden vorgestellt werden. Diese sind so-genannte Differentialformen. Um sie przise erfassen zu knnen, setzen wir voraus, es liegeim x-y-z-Raum ein Gebiet vor, und jede im Folgenden betrachtete Variable w ist durch eineFunktion f als w = f (x, y, z) definiert, wobei die Funktion f in diesem Gebiet definiert und sooft stetig differenzierbar ist, wie wir es im jeweiligen Zusammenhang bentigen. Ebenso set-zen wir von allen Ketten, die wir im Folgenden betrachten werden, voraus, dass deren Spurenin diesem Gebiete liegen.

hnlich, wie es Zellen und Ketten verschiedener Dimensionen gibt, unterscheiden wir bei Dif-ferentialformen verschiedene Stufen:

1.2 Differentialformen und Keilprodukt 17

Eine Differentialform nullter Stufe ist eine von den Koordinaten x, y , z abhngige Variable= w = w (x, y, z). Wenn eine nulldimensionale Zelle, also einen Punkt P = (p, q,r ) bezeich-net, kann man den Wert, den die Variable w an der Stelle P annimmt, berechnen. Wir habendafr die Bezeichnung w |x=p,y=q,z=r kennengelernt. Nun fhren wir als weitere, vorerst pom-ps wirkende Bezeichnung die mit einem Integral ein: wir schreiben fr diesen Wert

=

w = w |x=p,y=q,z=r .

Bald wird sich zeigen, dass sich diese Schreibweise bewhrt.

Eine Differentialform erster Stufe ist ein Ausdruck der Gestalt = udx + vdy +wdz, wobeiu, v und w drei von den Koordinaten x, y , z abhngige Variablen bezeichnen: u = u (x, y, z),v = v (x, y, z), w = w (x, y, z). Wenn = [P ;Q] bei P = (p, q,r ) und Q = (p +a, q +b,r + c) ei-ne eindimensionale Zelle bezeichnet, unterscheiden wir fr die Erklrung des Integrals von ber die Zelle drei Flle. Im ersten Fall ist a > 0, und b = c = 0; in diesem Fall luft par-allel zur x-Achse und die beiden anderen Variablen bleiben konstant: y = q , z = r . Da derenDifferentiale verschwinden, lautet in diesem Fall

=

udx + vdy +wdz = p+a

pu|y=q,z=r dx .

Im zweiten Fall ist b > 0, und c = a = 0; in diesem Fall luft parallel zur y-Achse und diebeiden anderen Variablen bleiben konstant: z = r , x = p. Da deren Differentiale verschwinden,lautet in diesem Fall

=

udx + vdy +wdz = q+b

qv |x=p,z=r dy .

Im dritten Fall ist c > 0, und a = b = 0; in diesem Fall luft parallel zur z-Achse und die beidenanderen Variablen bleiben konstant: x = p, y = q . Da deren Differentiale verschwinden, lautetin diesem Fall

=

udx + vdy +wdz = r+c

rw |x=p,y=q dz .

Eine Differentialform zweiter Stufe ist ein Ausdruck der Gestalt= udydz+vdzdx+wdxdy ,wobei u, v und w drei von den Koordinaten x, y , z abhngige Variablen bezeichnen: u =u

(x, y, z

), v = v (x, y, z), w = w (x, y, z). Die nach den Variablen auftretenden Symbole dydz,

dzdx und dxdy sehen wie Produkte von Differentialen aus. Solche Produkte sind bisher nochnie vorgekommen. Newton und Leibniz htten mit ihnen auch gar nichts anzufangen gewusst,denn fr sie waren Differentiale so kleine Gren, dass man deren Produkte gleich Null setzenkann. Doch daran wollen wir gar nicht mehr erinnert werden. Besser ist es, sich auf die geome-trische Deutung der Differentiale zu berufen, die bereits von Leibniz geahnt wurde und allenAnwendern der Mathematik, die sich ein anschauliches Bild der Differentiale verschaffen wol-len, in Fleisch und Blut bergegangen sein sollte: Im Punkt X = (x, y, z) des betrachteten Ge-bietes wird eine zur x-Achse parallele dx-Achse, eine zur y-Achse parallele dy-Achse und einezur z-Achse parallele dz-Achse gelegt. So gesehen ist eine Differentialform erster Stufe, also einAusdruck der Gestalt udx + vdy +wdz, ein Vektor, der anschaulich vom Punkt X ausgeht undin dem dx-dy-dz-Koordinatensystem die (an der Stelle X ausgewerteten) Gren u, v , w alsKomponenten besitzt. Der lineare Raum dieser Differentialformen erster Stufe wird von den

18 1 Kalkl mit Differentialformen

Differentialen dx, dy , dz als Basis aufgespannt. Die Vektor- und Tensorrechnung beantwortetnun, wie man die Produkte dydz, dzdx und dxdy zu verstehen hat: Sie sind Bivektoren. Vor-sichtige schreiben tatschlich statt dydz, dzdx und dxdy diese Produkte so: dy dz, dz dxund dx dy . Aber weil uns bisher keine anderen Produkte von Differentialen begegneten alseben jetzt diese Keilprodukte, erlauben wir uns, beim Keilprodukt von Differentialformen denKeil einfach wegzulassen. Genauso wie man beim gewhnlichen Produkt von mit Buchstabensymbolisierten Zahlen den Multiplikationspunkt einfach weglsst.

Die Rechenregeln des Keilprodukts darf man aber nicht vergessen! So ist zu beachten, dass

dxdx = dydy = dzdz = 0

ist und dass

dzdy =dydz , dxdz =dzdx , dydx =dxdy

gilt. Sind1 = u1dx+v1dy+w1dz und2 = u2dx+v2dy+w2dz zwei Differentialformen ersterStufe, stellt =12 deren Keilprodukt dar, das sich aufgrund der eben genannten Rechenre-geln und unter Beachtung des distributiven Rechengesetzes so berechnet:

12 =(u1dx + v1dy +w1dz

)(u2dx + v2dy +w2dz

)== (v1w2 w1v2)dydz + (w1u2 u1w2)dzdx + (u1v2 v1u2)dxdy .

Hier trifft 21 =12 zu. Denn beide Differentialformen 1 und 2 sind von erster Stufe, 1ist eine ungerade Zahl und das graduierte kommutative Rechengesetz ist zu beachten.

Ob man aber das Produkt einer Differentialform nullter Stufe, also einer Variable w , mit einerDifferentialformwelcher Stufe auch immer als gewhnliches oder als Keilprodukt deutet, isteinerlei: Es ergibt in beiden Deutungen das Gleiche. Und weil 0 eine gerade Zahl ist, stimmt indiesem Fall wegen des graduierten kommutativen Rechengesetzes w=w , wie es sein soll.Wenn = [P ;Q] bei P = (p, q,r ) und Q = (p +a, q +b,r + c) eine zweidimensionale Zelle be-zeichnet, unterscheiden wir fr die Erklrung des Integrals von = udydz + vdzdx +wdxdyber die Zellewieder drei Flle. Im ersten Fall ist a = 0, und es sind b > 0, c > 0; in diesem Fallluft parallel zur y-z-Ebene und die Variable x bleibt konstant: x = p. Da deren Differentialverschwindet, also auch dzdx = dz0 = 0 sowie dxdy = 0dy = 0 gilt, lautet in diesem Fall

=

udydz + vdzdx +wdxdy = r+c

r

q+bq

u|x=p dy dz .

Es ist zu beachten, dass im letzten Schritt aus dem einen Integral ber die zweidimensionaleZelle das zuweilen Doppelintegral genannte iterierte Integral geworden ist: Im Innerendes iterierten Integrals wird ber die Variable y integriert, die Variable z spielt in ihm die Rolleeines Parameters. Und im ueren des iterierten Integrals wird ber die Variable z integriert,die Variable y kommt dort gar nicht mehr vor. Genauso gehen wir in den beiden anderen Fllenvor: Im zweiten Fall ist b = 0, und es sind c > 0, a > 0; in diesem Fall luft parallel zur x-z-Ebene und die Variable y bleibt konstant: y = q . Da deren Differential verschwindet, also auchdydz = 0dz = 0 sowie dxdy = dx0 = 0 gilt, lautet in diesem Fall

=

udydz + vdzdx +wdxdy = p+a

p

r+cr

v |y=q dz dx .

1.2 Differentialformen und Keilprodukt 19

Im dritten Fall ist c = 0, und es sind a > 0, b > 0; in diesem Fall luft parallel zur x-y-Ebeneund die Variable z bleibt konstant: z = r . Da deren Differential verschwindet, also auch dydz =dy0 = 0 sowie dzdx = 0dx = 0 gilt, lautet in diesem Fall

=

udydz + vdzdx +wdxdy = q+b

q

p+ap

w |z=r dx dy .

Eine Differentialform dritter Stufe ist ein Ausdruck der Gestalt = wdxdydz, wobei w ei-ne von den Koordinaten x, y , z abhngige Variable bezeichnet: w = w (x, y, z). Hier werdendie drei Differentiale dx, dy , dz mit dem Keilprodukt zu dxdydz verbunden und an die Va-riable w angehngt. Eigentlich sollte man statt dxdydz genauer dx dy dz schreiben. Aberwie schon zuvor vereinbaren wir auch hier, beim Keilprodukt von Differentialformen den Keilwegzulassen. Die Rechengesetze des Keilprodukts bleiben jedoch nach wie vor zu beachten,unter ihnen die Regel

dxdydz = dydzdx = dzdxdy =dzdydx =dydxdz =dxdzdy

Wenn zum Beispiel 1 = u1dx + v1dy +w1dz und 2 = u2dydz + v2dzdx +w2dxdy zwei Dif-ferentialformen bezeichnen, die eine erster und die andere zweiter Stufe, lautet aufgrund derRechengesetze deren Keilprodukt

12 =(u1dx + v1dy +w1dz

)(u2dydz + v2dzdx +w2dxdy

)== u1u2dxdydz + v1v2dydzdx +w1w2dzdxdy = (u1u2 + v1v2 +w1w2)dxdydz .

Hier stimmt 12 = 21, was wegen des graduierten kommutativen Gesetzes so sein muss,weil 2 von gerader Stufe ist. Ebenso ist klar, dass das Keilprodukt zweier Differentialformenzweiter Stufe Null ergibt, denn fr eine Differentialform vierter Stufe, die als dieses Produktaufscheinen sollte, ist im dreidimensionalen Raum kein Platz. Beim Keilprodukt einer Diffe-rentialform erster Stufe mit einer Differentialform dritter Stufe verhlt es sich genauso.

Es liegt nun bereits nahe, wie = wdxdydz entlang einer dreidimensionalen Zelle = [P ;Q]mit P = (p, q,r ), Q = (p +a, q +b,r + c) und mit a > 0, b > 0, c > 0 zu integrieren ist: Wir defi-nieren

=

wdxdydz = r+c

r

q+bq

p+ap

wdx dy dz .

Wir deuten folglich dieses Integral als ein dreifach iteriertes Integral.

Schlielich sollen = c11 + c22 + . . .+ cnn eine Kette und eine Differentialform bezeich-nen, wobei die Stufe der Differentialformmit der Dimension der Kette bereinstimmt. DasIntegral der Differentialform ber diese Kette ist naheliegend so festgelegt:

= c1

1

+ c22

+ . . .+ cnn

Nun ist es an der Zeit, anhand von Beispielen zu belegen, wie das formale Rechnen mit den sodefinierten Begriffen vor sich geht:

Beginnen wir mit einer Differentialform nullter Stufe, zum Beispiel mit der von x, y , z abhn-gigen Variablen= 3x+y z und betrachten wir die nulldimensionale Kette=122+33

20 1 Kalkl mit Differentialformen

44, bei der 1 fr den Punkt (1,0,0), 2 fr den Punkt (1,2,0), 3 fr den Punkt (0,2,3) und4 fr den Punkt (0,0,3) stehen. Dann ist definitionsgem

= (3x + y z) |x=1,y=0,z=0 2(3x + y z) |x=1,y=2,z=0++3(3x + y z) |x=0,y=2,z=3 4(3x + y z) |x=0,y=0,z=3 =

= 32 (3)+3 (6)40 =9 .

Als Nchstes betrachten wir eine Differentialform erster Stufe, zum Beispiel = 4x y2zdx +2x ydy + 6x2z2dz und integrieren diese ber den im vorigen Abschnitt vorgestellten rumli-chen Mander. bernehmen wir fr ihn die Bezeichnungen des vorigen Abschnitts, bekom-men wir:

=

[A;B ]

+

[B ;C ]+

[C ;D]

[E ;D]

[F ;E ]

+

[F ;G]

[H ;G]

=

= 1

02x y |x=1,z=0 dy +

21

4x y2z|y=1,z=0 dx + 2

06x2z2|x=2,y=1 dz

22

4x y2z|y=1,z=2 dx 2

06x2z2|x=2,y=1 dz+

+ 12

4x y2z|y=1,z=0 dx 1

02x y |x=1,z=0 dy =

= 1

02ydy +

21

0dx + 2

024z2dz

22

8xdx 2

024z2dz +

12

0dx + 1

02ydy = 2 .

Als Nchstes betrachten wir eine Differentialform zweiter Stufe, zum Beispiel= 6x y2z3dydz+8x y3dzdx + 9x2 y2dxdy und integrieren diese ber die im vorigen Abschnitt vorgestellte ge-ffnete Schachtel . bernehmen wir fr sie die Bezeichnungen des vorigen Abschnitts,bekommen wir:

=

[B ;G]

[A;H ]+

[D ;G]

[A;F ]

[A;C ]

=

= 1

0

11

6x y2z3|x=1 dy dz 1

0

11

6x y2z3|x=1 dy dz+

+ 11

10

8x y3|y=1 dz dx 11

10

8x y3|y=1 dz dx 11

11

9x2 y2|z=0 dx dy =

= 1

0

11

6y2z3dy dz + 1

0

11

6y2z3dy dz+

+ 11

10

8xdz dx + 11

10

8xdz dx 11

11

9x2 y2dx dy =

= 1

04z3dz +

10

4z3dz + 11

8xdx + 11

8xdx 11

6y2dy =2 .

1.2 Differentialformen und Keilprodukt 21

Zuletzt betrachten wir eine Differentialform dritter Stufe, zum Beispiel = 30x2 y4zdxdydzund integrieren diese ber den im vorigen Abschnitt vorgestellten durchbohrten Quader .bernehmen wir fr ihn die Bezeichnungen des vorigen Abschnitts, bekommen wir:

=

[A;G]

[P ;V ]=

30

30

10

30x2 y4zdx dy dz 2

1

21

10

30x2 y4zdx dy dz =

= 3

0

30

10y4zdy dz 2

1

21

10y4zdy dz = 3

0486zdz

21

62zdz = 2094 .

Die Rechentechnik des Integrierens von Differentialformen ber Zellen und Ketten ist somiterklrt. Offen bleibt die Frage, welche Bedeutung diese Integrale besitzen. Die Antwort daraufist lang und beansprucht einen Groteil des restlichen Kapitels.

Die folgenden elementaren und zugleich sehr einfachen Beispiele fr das Integral

geben einen ersten Einblick: Fr die Differentialform nullter Stufe = 1 und die nulldimen-sionale Zelle ergibt dieses Integral die Zahl 1. Man kann dazu sagen, dass dieses Integralden von symbolisierten Punkt einfach nur zhlt: Er ist einmal vorhanden. Fr die Differen-tialform erster Stufe = dx +dy +dz und die eindimensionale Zelle ergibt dieses Integraldie Lnge der Zelle . Fr die Differentialform zweiter Stufe = dydz +dzdx +dxdy und diezweidimensionale Zelle ergibt dieses Integral den Flcheninhalt der Zelle . Und fr die Dif-ferentialform dritter Stufe = dxdydz und die dreidimensionale Zelle ergibt dieses Integralden Rauminhalt oder das Volumen der Zelle .

Eine letzte wichtige Bemerkung soll diesen Abschnitt abrunden: Es ist zu beachten, dass denRegeln des Keilprodukts zufolge dxdy = dydx ist und daher bei einer zweidimensionalen,zur x-y-Ebene parallelen Zelle = [P ;Q] mit P = (p, q,r ) und Q = (p +a, q +b,r )

udxdy =

udydx

gilt. Hingegen wissen wir, dass bei iterierten Integralen die Reihenfolge der Integration keineRolle spielt. Es gilt: q+b

q

p+ap

udx dy = p+a

p

q+bq

udy dx .

Dies scheint wegen der beiden Formeln

udxdy = q+b

q

p+ap

udx dy und

udydx = p+a

p

q+bq

udy dx

einen Widerspruch zu ergeben. Doch der vermeintliche Widerspruch lst sich dann in Wohl-gefallen auf, wenn wir sorgfltig zwischen einem Integral von Differentialformen, also dem In-tegral der Gestalt

udxdy

22 1 Kalkl mit Differentialformen

und einem iterierten Integral, also dem Integral der Gestalt q+bq

p+ap

udx dy = q+b

q

( p+ap

udx

)dy

unterscheiden: Integrale von Differentialformen bewahren die Geometrie, insbesondere dieOrientierung des x-y-z-Koordinatensystems, iterierte Integrale vergessen die Geometrie unddienen allein der Berechnung.

1.3 RnderJeder Kette ordnen wir nun einen Rand zu, den wir mit bezeichnen. Das Symbol frden Rand hat im Grunde nichts mit dem in partiellen Ableitungen vorkommenden Symbol gemein. Wir drfen es deshalb verwenden, weil es bei den partiellen Ableitungen immerpaarweise am Beginn eines scheinbaren Bruches auftritt; beim Rand aber sieht man ganzallein und ohne jeden Bruchstrich. Zuerst erklren wir fr jede einzelne Dimension, was derRand einer Zelle ist:

Bezeichnet eine nulldimensionale Zelle, also einen Punkt, soll keinen Rand besitzen. For-mal schreibt man =;, und man nennt das Symbol ; die leere Menge. Es betitelt eine Men-ge, die so leer ist, dass sie nicht einmal 0 enthlt. Man braucht sich unter ; buchstblichnichts vorzustellen. Einzig wichtig zu wissen ist, dass ein Integral ber die leere Menge im-mer Null ergibt. Kurz sagt man dafr: Punkte sind randlos.

Bezeichnet = [P ;Q] eine eindimensionale Zelle, also die von P zu Q fhrende Strecke, defi-niert man als deren Rand = Q P , genauer: = [Q;Q] [P ;P ]. Es ist mit anderen Worten jene nulldimensionale Kette, bei welcher der Endpunkt Q von vom Anfangspunkt P von abgezogen wird. Kurz sagt man dafr: Der Rand einer Strecke ist ihr Endpunkt minus ihrAnfangspunkt.

P

Q

(z) (y)

(x)P Q

RS

O

Bild 1.8 Links der Rand einer eindimensionalen, zur z-Achse parallelen Zelle: der obere Punkt wirdpositiv gezhlt, der untere Punkt wird negativ gezhlt. Rechts der Rand einer zweidimensionalen, zurx-y-Ebene parallelen Zelle: die nach rechts und nach oben fhrenden Strecken werden positiv gezhlt,die nach links und nach unten fhrenden Strecken werden negativ gezhlt.

Bezeichnet = [P ;R] eine zweidimensionale Zelle, liegt ein Rechteck mit den Punkten P , Q,R, S als Ecken vor. Ist das Rechteck zur Grundrissebene parallel, sollen, von oben betrachtet,die in dieser Reihenfolge genannten Ecken gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werden. DasGleiche soll zutreffen, wenn das Rechteck zur Aufrissebene parallel ist und von vorne betrach-tet wird, oder wenn das Rechteck zur Kreuzrissebene parallel ist und von rechts betrachtet

1.3 Rnder 23

wird. In jedem der drei Flle definiert man als Rand dieses Rechtecks die eindimensionale Ket-te = [P ;Q]+ [Q;R] [S;R] [P ;S]. Kurz sagt man dafr: Der Rand eines Rechtecks ist dieKette seiner Kanten. Die Orientierung spielt dabei eine wichtige Rolle: Von oben, beziehungs-weise von vorne, beziehungsweise von rechts betrachtet, wird die Kette der Kanten gegen denUhrzeigersinn durchlaufen.

Bezeichnet = [P ;V ] eine dreidimensionale Zelle, liegt ein Quader mit den Punkten P , Q, R,S als Ecken seiner Grundflche und mit den Punkten T , U , V , W als Ecken seiner Deckflchevor. Betrachtet man den Quader von oben, werden die in der Reihenfolge T , U , V , W genann-ten Ecken gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen; unter ihnen befinden sich jeweils die PunkteP , Q, R, S. Betrachtet man den Quader von vorne, werden die in der Reihenfolge Q, R, V , Ugenannten Ecken gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen; hinter ihnen befinden sich jeweils diePunkte P , S, W , T . Betrachtet man den Quader von rechts, werden die in der Reihenfolge S, W ,V , R genannten Ecken gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen; sie berdecken aus dieser Sichtjeweils die Punkte P , T , U , Q. Als Rand dieses Quaders definiert man die zweidimensionaleKette = [T ;V ] [P ;R]+ [Q;V ] [P ;W ]+ [S;V ] [P ;U ]. Kurz sagt man dafr: Der Rand ei-nes Quaders ist die Kette seiner Seitenflchen. Die Orientierung spielt dabei eine wichtige Rolle:Die oben, die vorne und die rechts liegenden Seitenflchen werden addiert, die unten, die hin-ten und die links liegenden Seitenflchen werden subtrahiert.

P

(x)

(y)

(z)

O

QR

S

T

UW

P

OOOOOV

Bild 1.9 Der Rand einer dreidimensionalen Zelle: Die grau unterlegten Seitenflchen: die obere, dievordere, die rechte, werden positiv gezhlt, die schraffierten Seitenflchen: die hintere, die untere, dielinke, werden negativ gezhlt.

Bezeichnet schlielich= c11+c22+ . . .+cnn eine Kette, definiert man als deren Rand dieum eine Dimension geschrumpfte Kette = c11+c22+. . .+cnn . An den drei Beispielendes rumlichen Manders, der geffneten Schachtel und des durchbohrten Quaders zeigenwir, wie gut diese Definitionen das beschreiben, was man intuitiv als Rand empfindet:

Wir bernehmen beim rumlichen Mander

= [A;B ]+ [B ;C ]+ [C ;D] [E ;D] [F ;E ]+ [F ;G] [H ;G]die Bezeichnungen des ersten Abschnitts. Die Rechnung

= (B A)+ (C B)+ (D C ) (D E) (E F )+ (G F ) (G H) = H Azeigt, dass der Rand des rumlichen Manders tatschlich sein Endpunkt H minus sein An-fangspunkt A ist.

24 1 Kalkl mit Differentialformen

Wir bernehmen bei der geffneten Schachtel

= [B ;G] [A; H ]+ [D ;G] [A;F ] [A;C ]

ebenfalls die Bezeichnungen des ersten Abschnitts. Hier errechnet sich der Rand folgender-maen:

= ([B ;C ]+ [C ;G] [F ;G] [B ;F ]) ([A;D]+ [D ; H ] [E ; H ] [A;E ])++ ([D ; H ]+ [H ;G] [C ;G] [D ;C ]) ([A;E ]+ [E ;F ] [B ;F ] [A;B ]) ([A;B ]+ [B ;C ] [D ;C ] [A;D]) = [E ; H ]+ [H ;G] [F ;G] [E ;F ] .

Diese eindimensionale Kette durchluft den Rand des fehlenden Deckels der Schachtel imUhrzeigersinn, also in mathematisch negativer Orientierung, was kein Wunder ist, denn dieserDeckel ist nicht da.

Schlielich bernehmen wir auch beim durchbohrten Quader

= [A;G] [P ;V ]

die Bezeichnungen des ersten Abschnitts. Bei ihm errechnet sich der Rand folgendermaen:

= ([E ;G]+ [B ;G]+ [D ;G] [A;C ] [A; H ] [A;F ]) ([T ;V ]+ [Q;V ]+ [S;V ] [P ;R] [P ;W ] [P ;U ]) .

Vereinfachen lsst sich hier kaum noch etwas, aber die Bedeutung dieses Randes liegt auf derHand.

Von diesen drei Beispielen ist das zweite, jenes der geffneten Schachtel, besonders bemer-kenswert: Wir bernehmen noch einmal die bei ihr vereinbarten Bezeichnungen und betrach-ten sie nun zusammen mit ihrem Deckel, also die geschlossene Schachtel

= [B ;G] [A; H ]+ [D ;G] [A;F ] [A;C ]+ [E ;G] .

Dann kommt bei zu dem oben berechneten Rand noch der Rand [E ;G] = [E ;F ]+[F ;G][H ;G][E ; H ] hinzu. Dadurch heben sich alle vorkommenden eindimensionalen Zellenauf, und es verbleibt =;. Diese Rechnung stimmt natrlich nicht nur fr die geschlosse-ne Schachtel mit den im ersten Abschnitt vereinbarten Koordinaten ihrer Ecken. Jeder Rand einer dreidimensionalen Zelle ist eine derartige geschlossene Schachtel. Und derenRand verschwindet. Also gilt fr jede dreidimensionale Zelle , dass der Rand ihres Randesverschwindet: =;.Bricht man diesen Gedanken um eine Dimension herunter, stimmt das Gleiche: Bezeichnet= [P ;R] eine zweidimensionale Zelle, liegt ein Rechteck mit den Punkten P , Q, R, S als Eckenvor. Ist das Rechteck zur Grundrissebene parallel, sollen, von oben betrachtet, die in dieserReihenfolge genannten Ecken gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Das Gleiche sollzutreffen, wenn das Rechteck zur Aufrissebene parallel ist und von vorne betrachtet wird, oderwenn das Rechteck zur Kreuzrissebene parallel ist und von rechts betrachtet wird. In jedemder drei Flle definierten wir als Rand dieses Rechtecks die eindimensionale Kette = [P ;Q]+[Q;R] [S;R] [P ;S]. Deren Rand errechnet sich als

= (Q P )+ (R Q) (R S) (S P ) =; .

1.4 Differentiale 25

Auch hier verschwindet der Rand dieses Randes. Und bei einer eindimensionalen Zelle stimmtdie gleiche Aussage, weil ihr Rand nur aus Punkten besteht und wir bereits wissen, dass Punkterandlos sind.

Was fr Zellen gezeigt wurde, bertrgt sich sofort auf Ketten: Bezeichnet irgendeine Ketteund ihren Rand, dann gilt =;. Man sagt dazu: Rnder sind randlos, und schreibt

= 0

(Statt = ; schreiben wir lieber = 0, weil wir damit die Vorstellung verbinden, wirktauf jede ihr nachfolgende Kette wie der Faktor Null, der diese Kette in den Abgrund der leerenMenge wirft.)

Wir nennen ferner eine Kette geschlossen oder einen Zyklus, wenn =; zutrifft. Zuweilenschreibt man

,

wenn man betonen mchte, dass die Kette , entlang derer die Differentialform integriertwird, eine geschlossene Kette ist. Solche Integrale heien Ringintegrale. Die Aussage, dass Rn-der randlos sind, ist gleichbedeutend mit dem Satz: Rnder sind geschlossen, oder dem Satz:Rnder sind Zyklen.

Wenn zum Beispiel f eine Funktion bezeichnet, die in einem einfach zusammenhngendenGebiet der komplexen Ebene bis auf isolierte Singularitten holomorph ist, und wenn indiesem Gebiet eine zweidimensionale Kette bezeichnet, auf deren Rand keine Singularittvon f zu liegen kommt, besagt Cauchys Residuensatz in der hier verwendeten Sprache:

f (z)dz = 2j

res(

f ;) ind(;)

Die Summe erstreckt sich in Wahrheit nur ber die Singularitten der Funktion, denn an allenanderen Stellen verschwindet das Residuum.

1.4 DifferentialeDem Rand bei Ketten entspricht bei Differentialformen ein Begriff, den wir bereits seit Leibnizkennen: das Differential. Wenn = w eine Differentialform nullter Stufe, also eine Variablebezeichnet, ist

d= dw = wx

dx + wy

dy + wz

dz

eine Differentialform erster Stufe, die aus durch Differentiation entstand. Diese Differentia-tion weiten wir nun auf Differentialformen hherer Stufen aus: Wenn = udx + vdy + wdzeine Differentialform erster Stufe bezeichnet, definieren wir deren Differential als

d= d(udx + vdy +wdz)= dudx +dvdy +dwdz = (ux

dx + uy

dy + uz

dz

)dx+

26 1 Kalkl mit Differentialformen

+(v

xdx + v

ydy + v

zdz

)dy +

(w

xdx + w

ydy + w

zdz

)dz =

=(w

y vz

)dydz +

(u

z wx

)dzdx +

(v

x uy

)dxdy .

Wir haben hier streng nach den Regeln des Keilprodukts multipliziert anders ginge es ja beiDifferentialformen gar nicht. Als Ergebnis haben wir eine Differentialform zweiter Stufe erhal-ten. Und wenn = udydz + vdzdx + wdxdy eine Differentialform zweiter Stufe bezeichnet,definieren wir deren Differential als

d= d(udydz + vdzdx +wdxdy)= dudydz +dvdzdx +dwdxdy ==

(u

xdx + u

ydy + u

zdz

)dydz +

(v

xdx + v

ydy + v

zdz

)dzdx+

+(w

xdx + w

ydy + w

zdz

)dxdy =

(u

x+ vy

+ wz

)dxdydz .

Auch hier sind wir streng nach den Rechenregeln des Keilprodukts vorgegangen und erhal-ten eine Differentialform dritter Stufe. Eine Differentialform = wdxdydz dritter Stufe ihrer-seits differenziert ergibt d= dwdxdydz = 0. Denn stndig treten hier Keilprodukte dxdx oderdydy oder dzdz auf, die das gesamte Differential zum Verschwinden bringen.

Wenn folglich eine Differentialform zweiter Stufe differenziert und noch einmal differenziertwird, man also dd berechnen mchte, muss die Differentialform d dritter Stufe differenziertwerden, und dies ergibt Null. Folglich ist bei einer Differentialform zweiter Stufe dd = 0.Wenn = udx + vdy + wdz eine Differentialform erster Stufe bezeichnet, erhalten wir nacheiner Differentiation die Differentialform

d=(w

y vz

)dydz +

(u

z wx

)dzdx +

(v

x uy

)dxdy

zweiter Stufe, und nach nochmaliger Differentiation aufgrund der obigen Regel und unter Be-achtung des Satzes von Schwarz

dd=(

x

(w

y vz

)+ y

(u

z wx

)+ z

(v

x uy

))dxdydz =

=(2w

xy

2v

xz+

2u

yz

2w

yx+

2v

zx

2u

zy

)dxdydz = 0 .

Und wenn = w eine Differentialform nullter Stufe bezeichnet, erhalten wir nach einer Diffe-rentiation die Differentialform

d= wx

dx + wy

dy + wz

dz

erster Stufe, und nach nochmaliger Differentiation aufgrund der obigen Regel und unter Be-achtung des Satzes von Schwarz

dd=(

y

w

z z

w

y

)dydz +

(

z

w

x x

w

z

)dzdx +

(

x

w

y y

w

x

)dxdy =

=(2w

yz

2w

zy

)dydz +

(2w

zx

2w

xz

)dzdx +

(2w

xy

2w

yx

)dxdy = 0 .

1.4 Differentiale 27

Dies zeigt, dass die zweimalige Differentiation Null ergibt. Die Formel

dd = 0

fasst diese Einsicht zusammen. Diese Erkenntnis ist deshalb wichtig, weil sie nachtrglich dieDefinition der Differentiation einer Differentialform= udx +vdy +wdz rechtfertigt: Eigent-lich msste deren Differentiation, die wir mit der Formel

d= d(udx + vdy +wdz)= dudx +dvdy +dwdzdefinierten, gem der Produktregel nach der Formel

d= d(udx + vdy +wdz)= dudx +uddx +dvdy + vddy +dwdz +wddzerfolgen. Das tut diese auch, denn die Summanden uddx, vddy und wddz, die in der obengenannten Definition nicht vorkamen, sind in der Tat Null. Und bei der Differentiation von= udydz + vdzdx +wdxdy spielt es sich genauso ab.Eine Differentialform heit geschlossen, wenn d = 0 zutrifft. Und wenn eine Differential-form ihrerseits das Differential einer Differentialform einer um eins kleineren Stufe ist,also = d zutrifft, dann nennt man eine exakte Differentialform. Denn in diesem Fall istsie tatschlich das Differential eines, und sieht nicht nur blo so aus. Die Formel dd = 0 wirdmit diesen Vereinbarungen im folgenden Satz wiedergegeben: Exakte Differentialformen sindgeschlossen.

Es ist klar, dass fr Differentialformen und gleicher Stufe die Summenregel

d(+) = d+d

gilt. Ein wenig mehr Vorsicht muss man beim Differenzieren eines Produkts das ja inWahrheit ein Keilprodukt ist walten lassen. Sind zum Beispiel = udx und = vdy , folglich= uvdxdy , errechnet sich einerseits

d() = d(uv)dxdy = udvdxdy + vdudxdy ,

andererseits

d= udxdvdy =udvdxdy , d= dudxvdy = vdudxdy .

Hier sieht man, dass d() = dd zutrifft. Sind hingegen = udxdy und = vdz, folg-lich = uvdxdydz, errechnet sich einerseits

d() = d(uv)dxdydz = udvdxdydz + vdudxdydz ,

andererseits

d= udxdydvdz = udvdxdydz , d= dudxdy vdz = vdudxdydz .

Hier sieht man, dass d() = d+d zutrifft. Offenkundig hngt es bei der Wahl des Vor-zeichens in d() = dd allein davon ab, welche Stufe die Differentialform besitzt.Ist von gerader Stufe, setzt man das Pluszeichen, ist von ungerader Stufe, setzt man dasMinuszeichen. Die Regel

28 1 Kalkl mit Differentialformen

d() = d+ (1)r d mit r als Stufe von

verallgemeinert daher die Produktregel.

Die Analogie zwischen Ketten und Differentialformen liegt auf der Hand: Was bei den Ketteneine geschlossene Kette oder ein Zyklus ist, ist bei den Differentialformen eine geschlossene Dif-ferentialform. Und was bei den Ketten ein Rand ist, ist bei den Differentialformen eine exakteDifferentialform. Im nchsten Abschnitt wird gezeigt, dass unter bestimmten Bedingungen die Begriffe exakt und geschlossen das Gleiche besagen. Und im darauffolgenden Abschnittwird die Beziehung zwischen der Welt der Ketten und der Welt der Differentialformen weiterverdeutlicht.

1.5 Unbestimmte Integrale vonDifferentialformen

Eine geschlossene Differentialform ist von der sogenannten Integrabilittsbedingung d= 0gekennzeichnet. Der Name geht aus der folgenden berlegung hervor: Wenn es zur Differen-tialform eine Differentialform gibt, deren Stufe um 1 kleiner als die Stufe von ist undfr die d = gilt, nennen wir eine Stammform oder ein Integral von . Ein solches Inte-gral gibt es definitionsgem dann und nur dann, wenn eine exakte Differentialform ist. Wirwissen, dass jede exakte Differentialform geschlossen sein muss. Daher ist die Integrabilitts-bedingung d= 0 eine notwendige Bedingung dafr, dass ein Integral von existiert.Im x-y-z-Raum ist bei einer Differentialform = wdxdydz dritter Stufe die Integrabilittsbe-dingung stets erfllt. Bei einer Differentialform = udydz + vdzdx +wdxdy zweiter Stufe istdie Integrabilittsbedingung d= 0 gleichbedeutend mit der Gleichung

u

x+ vy

+ wz

= 0

die zuweilen auch Integrabilittsbedingung von udydz + vdzdx +wdxdy genannt wird. Beieiner Differentialform= udx+vdy+wdz erster Stufe ist die Integrabilittsbedingung d= 0gleichbedeutend mit den drei Gleichungen

w

y= vz

,u

z= wx

,v

x= uy

die zuweilen auch die Integrabilittsbedingungen von udx + vdy +wdz genannt werden.Wir behaupten nun, dass die Integrabilittsbedingung cum grano salis zugleich eine hin-reichende Bedingung dafr ist, dass ein Integral von existiert: Wenn eine geschlosseneDifferentialform ist, dann ist lokal exakt. Das Wort lokal in diesem Satz steht mit demlateinischen cum grano salis in Verbindung: Cum grano salis bedeutet wrtlich bersetzt:mit einem Krnchen Salz. Man meint damit, dass die getroffene Aussage fast, aber nicht involler Breite zutrifft. Es ist fast, aber nicht ganz richtig, dass geschlossene Differentialformenexakt sind. Erst am Ende dieses Abschnittes werden wir die mit dem Wort lokal umschriebe-ne Einschrnkung zu wrdigen wissen.