Stabilitätsforderung führte zu screw-pinch

... oder, um Endverluste zu minimieren zum Tokamak:

Der toroidale Einschluss von Plasmen

Kein magnetischer Einschluß mit rein toroidalem Magnetfeld möglich

B

vD =F x Bq B2

vD 10-3 vth

• Ladungstrennung durch Driften im inhomogenen Magnetfeld

• Drift im E-Feld ist nach außen gerichtet

• Ausgleichsströme ermöglicht durch poloidale Feldkomponente(Pfirsch-Schlüter-Ströme)

Pfirsch-Schlüter-Ströme: die Ausgleichsströme der Ladungstrennung auf Grund des inhomogenen Magnetfeldes

+++++

- - - - -Btor

Bpol

Btor

.jPS

Pfirsch-Schlüter-Ströme schwächen Magnetfeld auf der Innenseite und stärken es auf der Außenseite

Pfirsch-Schlüter-Ströme:

||0 jjj

Für kreiskörmigen Querschnitt und großem Aspektverhältnis erhält man parallelen Strom: r

p

B

qj

tPS

cos2

Das Tokamak

„Toroidale Kammer mit Magnetfeld“

endliche Steigung der Magnetfeldlinien durch Poloidalfeld (erzeugt vom Plasmastrom)

Tokamak ist axisymmetrisch, (unabhängig von toroidaer Koordinate)

poloidale Größen

toroidale Größen

pp jBjB ,,

jBjB zz ,,

• Geeignete Größen zur Beschreibung des Tokamak:

Anzahl der toroidalen WindungenAnzahl der poloidalen Windungen

q

einer Feldlinie auf dem Torus.

• Tokamak ist charakterisiert durch Aspektverhältnis

und „Sicherheitsfaktor“ q:

aRA /

• In Zylinder-Näherung (screw-pinch):p

tB

B

Rr

q

q muss zur Stabilisierung der Kink-Mode ausreichend groß sein: „Sicherheitsfaktor“

• Aus Stabilitätsgründen (siehe pinch): q > 1 erforderlich!

q variiert von q(0)=1 auf der Achse bis q(a) = 3-5 am Rand:

pttot B

p

B

p 100

1222

02

0

Der resultierende Wert liegt zwischen 1% und 10 % !

• Diese Forderung an B hat Auswirkungen auf die Ökonomie:

pp BBrR

B 1053

•

j und B liegen auf Flächen mit p=const.

:0 BpjpBjp

Fluß durch Kurve auf einer Fläche konstanten Drucks is konstant

Gleichgewicht für den axisymmetrischen Fall (Tokamak)

0 AdB

021

constpFF

AdBAdBAdB

F2 0 FV

AdBdVB

Flächen mit p=const

magn. Feldlinien

C1

F1

C2

F2

• Fluß durch jede Kurve auf p=const. Fläche hat gleichen Wert :

Flußflächen

•

j und B liegen auf Flächen mit p=const.

:0 BpjpBjp

Gleichgewicht für den axisymmetrischen Fall (Tokamak)

• Druck ist Flußflächengröße• Tokamak besteht aus ineinandergeschachtelten Flußflächen, die von Magnetfeldlinien aufgespannt werden

• Fluß durch jede Kurve auf p=const. Fläche hat gleichen Wert :

Flußflächen

•

j und B liegen auf Flächen mit p=const.

:0 BpjpBjp

• Zwei Arten von geschlossenen Kurven auf dem Torus:

Poloidale Windung: toroidale Flüsse

Bt

Toroidaler Fluß

Bp

Poloidaler Fluß

• Zwei Arten von geschlossenen Kurven auf dem Torus:

Poloidale Windung: toroidale FlüsseToroidale Windung: poloidale Flüsse

• Wähle den poloidalen Fluß and Ipol (Strom):

)'(''2.),(0

RBRdRconstzRR

Z

)'(´2.),(0

zBdzRconstRzz

R

Projektion der Fläche auf z=const.:Poloidaler Fluss: Fluss durch Fläche, die durch toroidal geschlossene Kurve begrenzt wird

Projektion der Fläche auf R=const.:

• Zwei Arten von geschlossenen Kurven auf dem Torus:

Poloidale Windung: toroidale FlüsseToroidale Windung: poloidale Flüsse

R

IB polo

20

RRBZ

21

)'(''2.),(0

RBRdRconstzRR

Z

)'(´2.),(0

zBdzRconstRzz

R

Projektion der Fläche auf z=const.:

Projektion der Fläche auf R=const.:

ZRBR

21

R

zpol

z

jdRRI

R

RB

Rj

Bj

0

0

0

´´2

1

Poloidalstrom aus:

• schreibe Kraftbilanz in Termina der Flüsse (' bedeutet d/d):

Grad-Shafranov Gleichung

polpolIIpRZRRR

R

20

202

2

)2(1

*

Bjr

p

r

p

R

IB polo

20

ZRBR

21

RRBZ

21

Grad-Shafranov Gleichung

• Gleichung nichtlinear in

• Zur Lösung: schreibe p() und Ipol() vor und integriere numerisch

polpolIIpRZRRR

R

20

202

2

)2(1

*

• schreibe Kraftbilanz in Termina der Flüsse (' bedeutet d/d):

• Randbedingungen müssen spezifiziert werden:- Leitende Wand umgibt Plasma oder

- Zusätzlich zur Lösung der inhomogenen Gleichung kann die Lösung der homogenen Gleichung ( ) addiert werden (Vakuumfeld)

0*

Plasmaring versucht zu expandieren wegen …

Bvert

R

Bt(R)

Itor

Kraft durch toroidalen Strom

plasma R

Magnetfeld durch Plasmastrom ähnlich zu Magnetfeld eines Kreisstromes

1 2

)'(''2)(0

RBRdRRR

Z 1= 2

Vertikalfeld(gegen Expansion)

plasma

Expansion verhindert durch zusätzliches Magnetfeld

Kraft durch endlichen Plasmadruck (pol ~ 1)

Plasmadruck konstant, aber größere Fläche auf Niederfeldseite größere Kraft auf Niederfeldseite Expansion des Plasmas

Plasmarand

Flußflächen für niedriges

Kraft durch endlichen Plasmadruck (pol ~ 1)

R

Bpol(R)

Plasmarand

Shafranov-Verschiebung

Poloidalfeld auf linker Seite wird schwächer (besonders bei hohem )

leftright a

pol

a

pol rdrrBrdrrB00

2)(2)( Auswärtsverschiebung der magnetischen Achse

Vertikalfeld(gegen Expansion)Bpol vom

Plasmastrom

Zusätzlicher Beitrag zur Shafranov-Verschiebung durch Pfirsch-Schlüter-Ströme

r

p

B

qj

tPS

cos2

Gleichgewichte bei unterschiedlichem Plasmadruck

+

=

Vertikal-feld

Bpol

(r)

r0

b) pol=1 c) pol>1a) pol<1

Btor

Vakuum-verlauf

(a) Bei kleinem Plasmadruck ist magnetischer Druck durch Poloidalfeld viel höher als Plasmadruck. Ohne Toroidalfeld würde Plasma so weit komprimiert werden, bis pol=1. Mit Toroidalfeld entsteht erforderlicher Gegendruck vor allem durch Kompression des im Plasma eingeschlossenen Toroidalfeldes. Toroidalfeld übersteigt daher das Vakuumfeld, d.h. das Plasma wird paramagnetisch (bezüglich des Toroidalfeldes)

(b) Plasmadruck erhöht auf pol=1. Toroidalfeld entspricht Vakuumfeld.

(c) Bei weiterer Steigerung des Plasmadrucks wird auch Toroidalfeld zum Einschluß benötigt, das Plasma verhält sich diamagnetisch bezüglich des Toroidalfeldes. Mit steigendem Druck wird auch ein größeres Vertikalfeld nötig, um radiale Plasmaposition zu halten.

Gleichgewichtsgrenze: pol = A

Separatrix

X-Punkt

„Limiter“

Übergang zwischen Plasma und Wand: 2 Lösungen (Limiter, Divertor)

Flußflächen schneiden Wand in kontrolliertem Gebiet, aber Problem mit Verunreinigungskonzentration!

ASDEX UpgradeDivertorexperiment

Separatrix trennt Bereiche geschlossener und offener Feldlinien

D-Strahlung ist Maß für TeilchenverlusteVoraussetzung für H-Mode: T(a)100eVEdge-Localized-Modes

Edge-Localized-Modes

Überraschung: nicht nur Verbesserung der Erosion unddes Verunreinigungsverhaltens!

Transportbarriere am Rand, Transport wird aber überall verbessert! („Profilsteifigkeit“)ITER basiert auf H-Mode.

Eigenmoden Analyse

• Löse zeitabhängige MHD-Gleichungen für linearisierten Eigenmoden-Ansatz:

(poloidale und toroidale Modenzahlen m und n, Anwachsrate )

• For rationale q = m/n, sind Flußflächen besonders empfindlichfür Instabilitäten stehende Wellen auf rationalen Flächen auf `resonanten Flächen`

tonmi ee )(0

m = 1

m = 2

m = 3

Beispiel: magnetische Inseln

Abflachung des Druckprofils wegen gutem Transport entlang von Magnetfeldlinien

p

Technische Realisierung eines Tokamaks

• Toroidalfeld durch externe Spulen:

• Transformator treibt Plasmastrom

• Loop voltage getrieben durch Transformator erzeugt Plasma und heizt es

TBt 51

TBMAI Pp 2.0,1

)10( V).111( MWVMAP

Stellaratoren

Endliche Steigung der Magnetfeldlinien ohne Plasmastrom

STELLARATOR (l = 2)

Btor

(externer) Helix-Strom

Bpoloidal +

+

-

-

-

TF-Spule

+

Ohne Plasmastrom stationärer Betrieb möglich und keine stromgetriebenen Instabilitäten

Abgewickelte Flussfläche im Stellarator

)(

1)(

q

Itor = Tokamak

IHelix2= Stellarator

2. Ordnungs-Effekt!

Steigung der Feldlinien im Stellarator meist kleiner als im Tokamak …

und Poloidalfeld fällt nach außen ab

0 0,5 1

1

0,5

0

TOKAMAK

= r/a

l = 2(Kleine Steigung der helikalen Spulen)

= 1/q

Stellarator-Gleichgewicht

• Stellaratoren sind nicht axisymmetrisch, sondern 3-dimensional

• In 3D-Geometrie kann man nicht allgemein beweisen, dass Flußflächen existieren

• Stellarator hat im allgemeinen Flussflächen, aber mit Inseln an rationalen Flächen

Optimierung von Stellaratoren … Beispiel: geringe Shafranov-Verschiebung

und dadurch höherer Plasmadruck möglich

1970 1980 1990 2000 2010

W 7-A

W 2-A

W 2-B

W 1-A

W1-B

Greifswald

W 7-ASGarching

Stellarator experiments at IPP

W 7-X

Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, EURATOM Association

Magnetic surfaces in W7-X

Sometimes islands are wanted:

e.g. island divertor in W7-X

Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, EURATOM Association

Island divertor in W7-AS

Bottom divertor

Target

BafflesProbe arrays•

••

Targets

Baffles

Titanium evaporators

•

•

5x2 divertor modules

5/9-islandseparatrix

P. Grigull, Plasma Phys. Contr. Fus. (2001)

W7-X

Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, EURATOM Association