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V9: Wellen in Plasmen II

• Allgemeine Wellengleichung

• Allgemeine Dispersionsgleichung

• Dieelektrizitatskonstante, -funktion

• Energie in Wellen

• MHD-Wellen: Alfven- und magnetosonische Wellen

Physik VI - V9 - Seite 1

Allgemeine Wellengleichung

Beim letzten Mal haben wir gesehen, dass Wellen sich in einem Plasma ausbrei-ten konnen. Als die drei einfachsten Wellen in einem unmagnetisiertem Plasmahaben wir die elektrostatischen Langmuir und Ionen-akustischen Wellen, sowiedie ordentliche (ordinary) elektromagnetische Welle gefunden. Wenn im Plasmaauch ein magnetisches Feld vorhanden ist, fuhrt das zu einer Grosszahl von wei-teren moglichen Wellenmoden. Andererseits fuhren die komplexen Interaktionenzwischen den Teilchen und Feldern dazu, dass nur eine endliche Anzahl vonWellen sich ausbreiten konnen: die Eigenmoden des Plasmas. Um die moglichenZweige zu bestimmen wird eine allgemeine Prozedur, die sogenannte AllgemeineDispersionsgleichung des Plasmas bestimmt.


Wir schreiben die Maxwell Gleichgungen auf und berucksichtigen dabei eineselbkonsistenten Strom ~j, der die zahlreichen Beitrage der beweglichen Plasma-teilchen berucksichtigt. Die selbst konsistente Ladungsdichte im Plasma nennenwir ρ. Zusatzlich zu diesen selbskonsistenten Quellen des Feldes kann es aussereStrome und Ladungen, ~jex, ρex geben, die die Quellen des e-m Feldes sind, welchesauf das Plasma wirkt. Aus den Maxwell Gleichungen:

∇× ~B = ε0µ0∂ ~E

∂t+ µ0

(~j +~jex

)∇× ~E = −∂

~B

∂t

∇ · ~B = 0

∇ · ~E =1

ε0(ρ+ ρex)


Folgt mit ∇× (∇× ~E) und Einsetzen von ~B die Wellengleichung:

∇2 ~E −∇(∇ · ~E)− ε0µ0∂2 ~E

∂t2= µ0

(∂~j

∂t+∂~jex∂t

)

Die Maxwell Gleichungen sind linear in Ladung und Feldern und fur kleine Storun-gen ergibt sich naherungsweise ein linearer Zusammenhang zwischen Strom ~jund Feld ~E, welcher einem zeitlich veranderlichem Ohmschen Gesetz entspricht.Dieses System kann gelost werden, wenn der Leitfahigkeitstensor σ bekannt ist.Dieser Tensor hangt von der Plasmadynamik, und damit auch vom gewahltenPlasmamodell ab. Wenn man annimmt, dass das Plasma linear auf die Wellenan-regung reagiert, wird damit die Leitfahigkeit unabhangig von der Wellenamplitude


und die Wellengleichung kann nur fur die Storungen δ ~E betrachtet werden:

∇2δ ~E −∇(∇ · δ ~E)− ε0µ0∂2δ ~E

∂t2= µ0

∂~j

∂t

mit dem Ohmschen Gesetz

~j(t, ~x) =

∫d3x′

∫ t

−∞dt′~σ(~x− ~x′, t− t′) · δ ~E

Die obere Gleichgung ist die allgemeine lineare Wellengleichung, sie gilt furjedes Medium mit einer lineare Antwort auf aussere Fluktuationen. Die linkeSeite reprasentiert den elektromagnetischen Anteil (unabhangig vom Medium).Die Antwort des Mediums ist im fluktuierenden Strom, welcher proportionalzum fluktuierenden Feld ist, und damit im fluktuierenden Leitfahigkeitstensor σenthalten.


Allgemeine Dispersionsgleichung

Mit dem Ansatz fur ebene Wellen vereinfacht sich die allgemeine Wellengleichung:

[(k2 − ω

2

c2

)~I − ~k~k − iωµ0~σ(ω,~k)

]· δ ~E0(ω,~k) = 0

mit der konstanten Wellenamplitude δ ~E0(ω,~k) = 0. Da die Amplituden reell sind,gelten die Symmetriebedingungen:

δ ~E∗(ω,~k) = δ ~E(−ω,−~k)

~σ∗(ω,~k) = ~σ(−ω,−~k)


Die Losung dieses Gleichungssystems erfordert, dass die Determinante der Klam-mer verschwindet. Wir definieren die Verschiebungsdichte

δ ~D = ~ε · δ ~E

mit dem Dielektrizitatstensor ~ε, der ebenfalls symmetrisch ist. Damit wird dieStromdichte

δ~j(ω,~k) = −iωε0[ε(ω,~k)− ~I] · δ ~E(ω,~k)


Mit dieser Version des Ohmschen Gesetzes kann der Strom durch das Wellenfeldersetzt werden. Die Dielektrizitatstensor ist definiert als

ε(ω,~k) = ~I +i

ωε0~σ(ω,~k)

Damit wird die Dispersionsrelation

Det

[k2c2

ω2

(~k~k

k2− ~I + ε(ω,~k)

)]= 0

Dies ist die allgemeine Dispersionsrelation fur ein aktives Medium. Sie beschreibtdie Ausbreitung von lineares Wellen der Frequenz ω = ω(~k). Als Eigenwertglei-chung hat sie nur eine endliche Anzahl von Losungen. Um diese Losungen zufinden, muss zunachst der Dielektrizitatstensor des Plasma bestimmt werden,


also die linearen Plasmagleichungen. Diese Losung hangt von dem gewahltenPlasmamodell ab.


Dieelektrizitatskonstante, -funktion

Der Dielektrizitatstensor beschreibt alle relevanten (linearen) Eigenschaften desPlasmas. Im allgemeinen ist der Tensor anisotrop. Ohne externes MagnetischesFeld (unmagnetisiertes Plasma) wird der Tensor isotrop. Damit vereinfacht sichdie Dispersionsrelation, da die einzige ausgezeichnete Richtung im Plasma entlangdes Wellenvektors ist. Der longitudinale Einheitstensor

~IL =~k~k

k2

Beschreibt die Richtung der elektrostatischen Fluktuationen.


Der transversale Einheitstensor

~IT = ~I − ~IL = ~I −~k~k

k2

beschreibt die Ausbreitungsrichtung des elektromagnetischen Anteils. Damit kannder Dielektrizitatstensor in longitudinal und transversal Anteil zerlegt werden

ε(ω,~k) = εL(ω, k)~IL + εT (ω, k)~IT

Die Koeffizienten sind jetzt skalare Funktionen, da sie nur von Frequenz undWellenzahl, aber nicht der Richtung der Wellenzahl abhangen.


Wenn die isotrope Dieelektrizitatstensor bekannt ist, konnen diese beiden Funk-tionen durch beidseitiges Multiplizieren von ε mit ~k berechent werden

εL(ω, k) =~k · ~ε(ω,~k) · ~k

k2

εT (ω, k) =tr~ε(ω,~k)− εL(ω, k)

2

Im isotropen Plasma wird der Dispersionstensor einfach:

Det

[εkl(ω, k)~IL +

(εT (ω, k)− k

2c2

ω2

)~IT

]= 0


Die zwei Tensoren sind linear unabhangig und die zwei Dispersionsrelationen imisotropen Plasma werden zu zwei entkoppelten skalaren Gleichungen

εL(ω, k) = 0

εT (ω, k)− k2c2

ω2= 0

fur die longitudinal und transversal elektromagnetischen Wellen, die im Plasmapropagieren konnen.

Die Dieelektrische Antwort Funktion ergibt sich

ε(ω,~k) =~k · ~ε(ω,~k) · ~k

k2


Energie in Wellen

Alle Wellen enthalten Energie, auch wenn sich die Wellenamplitude uber mehrereWellenzuge wegmittelt. Diese Energie ist die Energie der elektrischen und ma-gnetischen Fluktuationen, die durch das Plasma mit der Gruppengeschwindigkeittransportiert wird.

Fur Langmuir Wellen haben wir folgende Dispersionsrelation erhalten

ω2 = ω2pe(1 + γek

2λ2D)

Aus der Quantenmechanik wissen wir, dass zu jeder Frequenz eine quantisierteEnergie hω gehort. Damit lasst sich die Energie eines einzelnen Langmuir WellenPaketes berechnen, ein Langmuir Plasmon. Die Energie eines Teilchens mit der


Ruhemasse m0 kann, fur kleine Geschwindigkeiten, als

W = m0c2 +

~p2

2m0

geschrieben werden. Da der Impuls des Teilchens ~p = −ih∇ der Gradient ist,konnen wir auch ~p = h~k schreiben. Damit kann die Diespersionsrelation furLangmuir Wellen auch geschrieben werden als:

hω = hωpe

(1 +

γe~p2lλ

2D

2h2

)Der Vergleich mit der Energie der Teilchen ergibt, dass die kinetische Energie desPlasmons hγek

2v2e/2 ist. Die Ruhemasse des Teilchens ist m0l = hωpe/c2 und ist

in der Regel sehr klein. Fur den Sonnenwind mit fpe ≈ 10 kHz ist m0l ≈ 10−46 kg.


Eine Plasma Welle besteht aus vielen Plasmonen. Sie transportieren Energiedurch das Plasma und verteilen dabei Energie und Informationen. Es ist wichtigeinen makroskopischen Ausdruck fur den mittleren Energiegehalt der einzelnenPlasma Wellen zu finden. In der Elektrodynamik wird der Energie Fluss einerelektromagnetischen Welle durch den Poynting Vektor beschrieben

µ0~P = δ ~E × δ ~B

Der Poynting Vektor ~P ist nichtlinear. Da er den Energiefluss beschreibt, be-schreibt seine Divergenz die Abnahme der Wellenenergie Ww pro Volumen. DieAbnahme der Wellenenergie wird dabei durch die Anderungen der Energiedichtendes elektrischen und magnetischen Feldes beschrieben. Fur die Langmuir Welleergibt sich, dass die Halfte der Wellenenergie in der thermischen Elektronenbe-wegung gespeichert ist, die damit fur die Polarisation des Plasma sorgt. Fur dieionen-akustische Welle (lange- sowie kurze Wellenlangen) ergibt sich dasselbe.


MHD-Wellen: Alfven- und magnetosonische Wellen

Ideale Magnetohydrodynamische Wellen konnen mit Hilfe des vorigen Kapitelsbehandelt werden, indem die Leitfahigkeitstensoren der Welle und die Dielektri-zitatsfunktion bestimmt werden. Da aber die Gleichungen der idealen MHD relativeinfach sind, ist es leichter, diese zu linearisieren. Bei idealen stationaren Bedin-gungen als Ausgangszustand des Ein-Flussigkeiten Plasmas mit verschwindendenmittleren Geschwindigketen und elektrischen Feldern, Druckgleichgewicht, undverschwindendem magnetischem Stress gilt:

v0 = 0

E0 = 0

∇(p0 +B20/2µ0) = 0


( ~B0 · ∇) ~B0 = 0

Plasma Dichte, Geschwindigkeit, magnetisches und elektrische Feld werden zerlegtin ihre Anfangsbedingungen plus zeitabhangige Fluktuationen

n = n0 + δn

~v = δv

~E = δ ~E

~B = ~B0 + δ ~B

Da die MHD Gleichungen nichtlineare Terme enthalten, mussen die Fluktuatio-nen klein sein. Dies gilt, wenn das Hintergrundmagnetfeld viel grosser ist als die


Fluktuationen, eine ubliche Annahme in der MHD. Damit wird die Kontinuitats-gleichung

∂δn

∂t+ n0∇ · δ~v = 0

Die MHD Impulserhaltung wird zu

min0∂δ~v

∂t= −∇

(δp+

1

µ0

~B0 · δ ~B)

+1

µ0( ~B0 · ∇)δ ~B

Da das Plasma typischerweise schnelle Temperaturanderungen, die durch die Fluk-tuationen erzeugt werden, nicht ausgeichen kann, konnen wir den adiabatischenDruck verwenden, und die Druckanderung wird zu

∂δp

∂t= mic

2s

∂δn

∂t= −min0c

2s∇ · δ~v


Dabei is cs die Schallgeschwindigkeit mit c2s = γp0/min0. Das Induktionsgesetzwird nach Linearisierung zu

∂δ ~B

∂t= ( ~B0 · ∇)δ ~B − ~B0(∇ · δ~v)

damit haben wir ein lineares und homogenes Gleichingssystem fur δn, δ~v undδ ~B. Da wir ein gleichformiges Plasma mit geraden Magnetfeldlinien angenommenhaben, ist die Richtung des Hintergrundmagnetfeldes die einzige Symmetrierich-tung. Wir wahlen Richtung des Magnetfeldes als z-Achse: ~B0 = B0~ez. Damitwerden unsere Gleichungen zu

∂δ~v

∂t= v2A∇‖

(δ ~B⊥B0

)−∇

(δp

min0

)Physik VI - V9 - Seite 20

∂

∂t

(δ ~B

B0

)= ∇‖δ~v⊥ − ~e‖(∇⊥ · δ~v⊥)

mit der Alfven Geschwindigkeit vA. Dieses Differentialgleichungssystem kann mitdem Ansatz ebener Wellen gelost werden, oder indem eine Variable, zB δ~v ineine Wellengleichung uberfuhrt wird. Eine sinnvolle Losung erhalt man nur furδ~v0 6= 0. Wir wahlen ein rechtshandiges Koordinatensytem, in dem die senkrechteKomponente der Welle parallel zur x-Achse ist, so dass ~k = k‖~e‖ + k⊥~ex Damiterhalten wir

ω2 − v2Ak2‖ − c2msk

2⊥ 0 −c2sk‖k⊥

0 ω2 − v2Ak2‖ 0

−c2sk‖k⊥ 0 ω2 − c2sk2‖

δv0xδv0yδv0z

= 0


Die Geschwindigkeitsfluktuationen in y-Richtung sind unabhangig von allen an-deren Feldern, was zu einer Welle mit einer linearen Dispersionsrelation fuhrt

ωA = ±k‖vA

Diese Welle propagiert parallel zum Hintergrundfeld und ist eine transversal Welle.Diese Elektromagnetsiche Welle wird Alfven (Scher) Welle genannt. Die magne-tische Komponente dieser Welle ist parallel zur Geschwindigkeitskomponente,deshalb hat die Welle kein fluktuierendes Elektrisches Feld in Richtung ~B0. Daselektrische Feld der Welle zeigt in x-Richtung. Da die Magnetfeldfluktuationenklein sind, sind auch die Geschwindigkeitsfluktuationen klein. Die Frequenz derAlfven Welle geht linear mit der Wellenzahl, deshalb ist die Welle nicht dispersivund ihre Energie fliesst entlang ~B0, da vgr,A‖ = vA, vgr,A⊥ = 0. Das Magnetfeldverhalt sich wie eine schwingende Saite.


Magnetosonische Welle

Die ubrigen Matrixelemente stellen eine Beziehung zwischen der parallelen Ge-schwindigkeitskomponente δv‖ und der anderen transversal Geschwindigkeit δvxher. Die Dispersionsrelation dieser Welle folgt aus dem verschwinden der Deter-minante

ω4 − ω2c2msk2 + c2sv

2Ak

2k2‖ = 0

Die zwei Losungen beschreiben zwei Magnetosonische Wellen, die nur vom Winkelθ zwischen Magnetfeld und Wellenvektor abhangen: k2⊥/k

2 = sin2 θ. Die zweiLosungen sind die schnelle und die langsame Magnetosonische Welle (vgl schnelleund langsame Schocks). Schnelle und langsame Schocks sind die Endzustande derschnellen und langsamen magnetosonischen Welle, die sich zu grossen Amplituden


entwickeln. Fur k⊥ erhalt man

ω2 =1

2k2(c2ms ± c2ms)

Die schnelle Mode (Plus Zeichen) propagiert senkrecht mit der Phasengeschwin-digkeit vph,f⊥ = cms, wahrend die langsame Mode (Minus Zeichen) nicht propa-giert. Da die Alfven Welle auch nicht in die senkrechte Richtung propagiert, istdie schnelle magnetosonische Welle die einzige senkrechte MHD Welle.

Fur die Parallele Ausbreitungsrichtung wird die Dispersionrelation

ω2 =1

2k2[c2s + v2A ± (c2s − v2A)]

Fur vA > cs wird die parallele Phasengeschwindigkeit der langsamen Welle


vph,s‖ = cs. Sie ist eine reine Schallwelle, wahrend sich die schnelle Welle mit derAlfven Geschwindigkeit ausbreitet: vph,f‖ = vA.

Im anderen Fall, wenn cs > vA, nahert sich die langsame Mode der AlfvenGeschwindigkeit und die schnelle Welle hat die Schallgeschwindigkeit.


Phasengeschwindigkeit Diagramme der drei MHD Wellen (Baumjohann, 2006).~B0 zeigt in x-Richtung. Die Lange der Vektoren entspricht der Phasen Geschwin-digkeit unter dem entsprechenden Winkel. Das Bild kann als instantes Bild derWellenfronten, die sich vom Urpsrung in alle Richtungen ausbreiten, aufgefasstwerden.


Abhangigkeit der MHD Phasengeschwindigkeiten vom Winkel zwischen ~k und~B0 (Baumjohann, 2006). Die Geschwindigkeit der schnellen Welle nimmt zwi-schen paralleler und senkrechter Richtung zu. Gleichzeitig nehmen die AlfvenGeschwindigkeit und die Geschwindigkeit der langsamen Welle ab.


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