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Stahlbau Grundlagen

Der Grenzzustand der Stabilität nach Theorie II. Ordnung

Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka

Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 2

Geometrisch perfektes System: keine Kräfte in den Diagonalen, Gleichgewicht im Nachbarzustand führt auf das Stabilitätsproblem „Systemknicken“

Leitbauwerk Halle

Geometrisch imperfektes System: Schiefstellung liefert Kräfte in den Diagonalen, Gleichgewicht am verformten System führt auf das Spannungsproblem „Zugkraft in der Diagonalen“

hz

z

1

Z ist von δ abhängig, aber δ ist auch von Z abhängig (elastische Verformung der Diagonalen) nicht sofort geschlossen lösbar

( ) 2322Diagonale

2

crLa4

LEAaN

+⋅

⋅⋅=

aLa

LP4Z

aLaZZ

P4LZ :0M

22

22

h

h1

+⋅

⋅⋅=

+⋅=

⋅⋅=⋅=∑

δ

δ


Bestimmung der Gesamtverformung δges aus Anfangsschiefstellung δ0 :

Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel

• anfängliche Federkraft aus Gleichgewicht:

Anfangsschiefstellung δ0 und Ersatz der Zug-diagonalen durch Feder mit der Steifigkeit K

LP4H :0M 001

δ⋅⋅==∑

• daraus folgt die zusätzliche Verformung der Feder:

00

00 q

LkP4

kLP4

kH δδ

δδ ⋅=⋅

⋅⋅

=⋅⋅

==∆

• zusätzliche Federkraft L

P4H ∆∆ ⋅⋅=δ

• neue Federkraft ∆+= HHH 0• daraus folgt weitere Verformung:

02qq

LkP4

kH δδδδ ⋅=⋅=⋅

⋅⋅

== ∆∆∆

∆∆

• und erneuter Zuwachs der Federkraft….

dies sind Reihen mit immer kleiner werdenden Zuwächsen!

...HHHH ... 00ges +++=+++= ∆∆∆∆∆∆∆ δδδδ

• neue Schiefstellung ∆δ+δ=δ 0ges

...LKP4

LKP4

LKP4

0

3

0

2

00ges +δ⋅

⋅⋅

+δ⋅

⋅⋅

+δ⋅

⋅⋅

+δ=δ




δ0

geometrische Reihe

( )

q11

...qqq1

0ges

320ges

−⋅δ=δ

++++⋅δ=δ




δ0• Analog lässt sich die Federreaktion H entwickeln

cr

0:hier

0

0

2000

0

00

0

0

PP1

1H

LP

k41

1H

q11H

...qHqHH

:folgt LP

k4q mit

...LP

kLP

kH4

4LP

kH4H

...LP4

LP4H

...HHHH

−⋅= →

⋅−⋅=

−⋅=

+⋅+⋅+=

⋅=

+⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅+=

+⋅⋅+⋅⋅+=

+++=

∆∆∆

∆∆∆

δδ




δ0 dabei ist:

oder auch:

Zusammenhang mit Systemknicken!

damit stehen 2 einfache Wege zur Berechnung eines imperfekten Systems zur Verfügung: 1. Steigerung über die Knicklast 2. Steigerung über den 1. Verformungs- bzw.

Lastzuwachs

crPP

Lk41

Pq =⋅⋅

=

00 HHq ∆∆ ==

δδ




Elastizitätstheorie 2. Ordnung

umstellen liefert:

Pel strebt gegen Pcr (Systemknicken) aber H ≤ Hpl durch plastische Grenzlast der Zugdiagonalen!

Plastizitätstheorie 2. Ordnung

plastische Grenze:

PR wahre Traglast δR Grenzverformung

plastische Grenzlast der Feder

−⋅=

δδ0

crel 1PP

δ⋅⋅

=LP4

H plpl

δ1

4LH

P plpl ⋅⋅

=


• Werkstoff

Verformter elastischer Einzelstab – analytische Lösung zusätzliches Moment aus N am

verformten Stab: • Gleichgewicht am verformten Stab:

mit M0: Anfangsmoment aus w0(x)

( ) ( ) ( )( )xwxwNxM :0M0V :0H

0H :0H

0H :0M

0

h

1

21

+⋅==

==

==

==

∑∑∑∑

wNMM 0 ⋅+=

''wEIM ⋅−=


Verformter elastischer Einzelstab – analytische Lösung

• DGL

• mit:

• folgt:

Da die Biegelinie aus der Lösung der DGL die Form: hat, wird für die Anfangsverformung der afine Ansatz gewählt:

0EIMw

EINw 0'' =+⋅+

0EIMww 02'' =+⋅+ α

EIN2 =α

⋅⋅⋅=

LxsinaNM0

π

⋅⋅=

Lxsinfw0

π

cr

0max

cr

NN1

1MM

Lxsin

NN1

1aNL

xsinfNM

−⋅=⇒

⋅⋅

−⋅⋅=

⋅⋅⋅=

ππ


Verformter elastischer Einzelstab – analytische Lösung

• Einsetzen

• es folgt:

cr

crges

cr2

2

cr

22

2

NN1

1aNN

N1afaf

aNN

Nf rd wiL

EIN mit

0L

xsinEI

aN...

...L

xsinfL

xsinfL

−+=

−

+⋅=+=

⋅−

=⋅

=

=

⋅⋅

⋅+

+

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅−

π

π

παππ


• Ansatz für den Verlauf der Vorverformung:

• Moment w0: Verformung:

• Hinweis: Die Norm geht von einem parabelförmigen Verlauf aus!

Verformter el. Einzelstab – Lösung mit Laststeigerung

hier als Knickform angenommen:

• 1. Zuwachs

• 2. Zuwachs

00 wNM ⋅= ( ) ( )EI

xMxw '' =

00

2

20

00

wM

ML

xsinaEI

LNdxEIwNw

LxsinaNwNM

⋅∆

=

⋅⋅⋅

⋅⋅

=⋅

−=∆

⋅⋅⋅=⋅=

∫∫π

π

π

0

2

0

0

0

00

0

wM

MdxEIwN

MMdx

EIwNw

MMMw

MMNwNM

⋅

∆=

⋅⋅

∆−=

∆⋅−=∆∆

∆⋅∆=⋅

∆⋅=∆⋅=∆∆

∫∫∫∫

( )xw~aw0 ⋅=

( )L

xsinxw~ ⋅= π


• mit

Verformter Einzelstab – Näherungslösung

( )q1

1w...qqq1w

...wM

MwM

MwM

Mww

0

Reihe hegeometrisc unendliche

320

0

3

00

2

00

00

−⋅=++++⋅=

+⋅

∆+⋅

∆+⋅

∆+=

cr2

200 N

N

Lxsina

LEI

LxsinaN

ww

MMq =

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=∆

=∆

=ππ

π

cr

0

NN1

1w−

⋅= δ

−⋅=⇒

w1NN 0cr

δ


Falsche Vorverformung! Konvergiert auf Ncr,2

Richtige Vorverformung! Konvergiert auf Ncr,1

Vorverformter Einzelstab: elastisches Verhalten • Nur exakt, wenn q=konst, d.h. ∆M, ∆∆M, ∆∆∆M alle affin

• Vorverformung muß in guter Näherung der Knickbiegelinie entsprechen!


Bisher: ideal elastisches Werkstoffverhalten => was passiert, wenn plastische Gelenke auftreten? • Mpl,N – plastisches Moment

im Gelenk unter Berücksichtigung der M-N-Interaktion

• Plastizitätstheorie II. Ordnung Gleichgewicht an der verformten Fließgelenkkette

Vorverformter Einzelstab: Inelastisches Verhalten

Gleichgewicht:

Instabil! Größere Verformungen bedeuten kleinere Tragfähigkeiten !!!

wM

N0

N,pl

+=

δ

( )

wM

N

MwN

0

N,pl

N,pl0

+=⇒

=+⋅⇒

δ

δ


Vorverformter Einzelstab: Reales Verhalten

= Traglast nach Fließgelenktheorie II. Ordnung ohne Ansatz von strukturellen Imperfektionen

= Traglast nach Fließgelenktheorie II. Ordnung mit Ansatz von strukturellen Imperfektionen

reales Verhalten: instabil


Vorverformtes System

elastisches Verhalten

plastische Kette

reales Verhalten

[P=q∙l]


Vorverformtes System – reales Verhalten

• Einfluss der Eigenspannungen:

– Sukzessive Reduktion der Steifigkeiten durch früheren Fließbeginn

– Eigenspannungen beeinflussen auch den Ort, wo das plastische Gelenk entsteht und damit die Form der Gelenkkette – Es kommt bei bestimmten Systemen zu einem Versagen, bevor sich die gesamte plastische Kette gebildet hat

• Streuung der Eigenspannungen führt zu einer Streuung von Ptrag

[P=q∙l]


• Spannungsproblem, kein Eigenwertproblem mehr, wie bei der Stabilität!

• 1/(1-q) –Verfahren als einfache Näherung (geometrische Reihe)

• Elastische Theorie II. Ordnung: Ncr ist Grenzwert, der asymptotisch erreicht wird

• Gewählte Vorverformung muß in 1. Näherung der Knickform entsprechen

• Plastische Theorie II. Ordnung: plastische Gelenkketten sind instabil!

• Eigenspannungen und andere lokale Imperfektionen haben großen Einfluß auf die Traglast, sie werden durch eine entsprechende Vorverformung berücksichtigt

-> nach Elastizitätstheorie ll. Ordnung rechnen und mit plastischem Grenzzustand vergleichen (siehe DIN EN 1993-1-1)

• Einzelstäbe und Stabsysteme verhalten sich ähnlich

-> Grundlage des Ersatzstabverfahrens

Zusammenfassung


[1] Roik – Vorlesungen über Stahlbau

Verlag Ernst und Sohn, 2., überarbeitete Auflage, 1983

[2] DIN EN 1993-1-1: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten

Beuth Verlag, 2005

[3] Petersen – Stahlbau

Vieweg, 3. Auflage, 2001

[4] Petersen – Statik und Stabilität der Baukonstruktionen

Vieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982

Referenzen

Stahlbau GrundlagenFoliennummer 2Foliennummer 3Foliennummer 4Foliennummer 5Foliennummer 6Foliennummer 7Foliennummer 8Foliennummer 9Foliennummer 10Foliennummer 11Foliennummer 12Foliennummer 13Foliennummer 14Foliennummer 15Foliennummer 16Foliennummer 17Foliennummer 18Foliennummer 19

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