Statistische Methoden I SS 2005

Vorlesung: Prof. Dr. Michael SchürmannZeit: Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45)Ort: Hörsaal Loefflerstraße

ÜbungenGruppe 2: Andreas Matz Di 8.00 -

10.00Gruppe 1: Andreas Matz Di 10.00 -

12.00Gruppe 6: Regina Reiner Di 12.00 -

14.00Gruppe 5: Ronny Feuer Mi 8.00 -

10.00Gruppe 4: Ronny Feuer Mi 10.00 -

12.00Gruppe 3: Ronny Feuer Mi 12.00 -

14.00

Ort: Diagnostikzentrum Sauerbruchstraße

Raum 301301

Gruppe 3: Ronny Feuer Mi 12.00 - 14.00

Gruppe 3: Ronny Feuer Mi 12.00 - 14.00

Diagnostikzentrum Sauerbruchstraße

Raum 301301

Seminarraum 4 MehringstraßeSeminarraum 4 Mehringstraße

Die Klausur findet- laut Prüfungsausschuss BWL -

am

29.Juli 2005

8.00 bis 12.00 UhrHörsaal Makarenkostraße

Konfidenzintervalle

Intervallschätzung

Jeder Beobachtung wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet

Niveau

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen

Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

Die Ungleichung von TschebyschevTschebyschev

Niveau

Das Niveau wird „klein“„klein“ gewählt.(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1)

Es gibt aber einen ZusammenhangZusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau:

Niveaukleiner

Intervallbreiter

Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Schätzer von

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung

Für unabhängige normalverteilteZufallsvariablen X und Y

hat man

Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Varianz bekannt

Annahme:

Konfidenzintervalle:

wobei

In unserem Beispiel:

Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich:

und

Die Gauß- oder Normalverteilung

Gauß-Bildnisund –Kurve auf100 DM-Schein

Dichte

Verteilung

Verteilungsfunktion

Erwartungswert

Varianz

Verwendung der Tafelfür die Normalvertreilung

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

BeispielKaufhaus-Konzern

Kauf würde in Erwägung

gezogen

Kauf würde nicht in Erwägung

gezogen

572 1428

Der Zentrale Grenzwertsatz

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I

Konfidenzintervall zum Niveau

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II

Vereinfachung für großes n(n 100)

Die Student- oder t-Verteilung

Hängt von Parameter n ab!

Die Student- oder t-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsdichte

Die Konstante d ist dabei:

Die Chi-Quadrat-Verteilung

Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsdichte

Die Konstante c ist dabei:

: Gamma-Funktion

Für n unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen

mit

hat man:

Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

Für unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen W und U mit

hat man:

Mathematische Bedeutung der t-Verteilung

Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Varianz unbekannt

Student-Verteilung(oder t-Verteilung)

Konfidenzintervall für die Varianz

Erwartungswert bekannt

Einseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz

Erwartungswert bekannt

zweiseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz

Erwartungswert unbekannt

Einseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz

Erwartungswert unbekannt

Zweiseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Übersicht IKonfidenzintervalle

für den Erwartungswert

Übersicht IIKonfidenzintervalle

für die Varianz

Rechenbeispiel

Stichprobe vom Umfang n = 5

3.5 7.2 5.0 4.3 7.9

Stichprobenfunktionen

Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe

1.Fall

2.Fall

3.Fall

6.Fall

18.28

5.Fall

4.Fall

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe

Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!

2.Fall

5.Fall