Statistische Methoden II SS 2008

Vorlesung: Prof. Dr. Michael SchürmannZeit: Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45)Ort: Hörsaal Makarenkostraße (Kiste)

ÜbungenGruppe 2: Henrike Berg Di 8.00 - 10.00 SR

222Gruppe 1: Hermann Haase Di 10.00 - 12.00 SR

222Gruppe 5: Svenja Schützhold Di 12.00 - 14.00 SR

222Gruppe 7: Sebastian Grapenthin Di 14:00 - 16:00 SR

4 ??Gruppe 8: Svenja Schützhold Di 16:00 - 18:00 SR 5Gruppe 4: Sabine Storandt Mi 8.00 - 10.00 SR

222Gruppe 3: Hermann Haase Mi 10.00 - 12.00 SR

222Gruppe 6: Sebastian Grapenthin Mi 12.00 - 14.00 SR 3

SR 222 : Fleischmannstraße 6SR 3, 4 + 5: Loefflerstraße 70

http://www.math-inf.uni-greifswald.de/algebra/

Statistische Methoden IWS 2007/2008

Literatur

1) G. Bamberg, F. Baur: Statistik. Oldenbourg 2) G. Bamberg, F. Baur: Statistik-Arbeitsbuch. Oldenbourg 3) L. Fahrmeir, R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz: Statistik. Springer 4) J. Schira: Statistische Methoden der VWL und BWL. Pearson Education 5) H. Haase: Stochastik für Betriebswirte. Shaker 6) J. Hartung: Statistik. Oldenbourg 7) R. Schlittgen: Einführung in die Statistik. Oldenbourg 8) A. Quatember: Statistik ohne Angst vor Formeln. Pearson Studium 9) H.-D. Radke: Statistik mit Excel. Markt + Technik

Statistische Methoden I + II 2007/2008

Einleitung: Wie schätzt man die Zahl der Fische in einem See?Zur Geschichte der Statistik

I. Beschreibende Statistik

1. Grundlegende Begriffe

2. Eindimensionales Datenmaterial2.1. Der Häufigkeitsbegriff2.2. Lage- und Streuungsparameter2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve)

3. Mehrdimensionales Datenmaterial3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung3.2. Indexzahlen3.3. Saisonbereinigung

II. Wahrscheinlichkeitstheorie1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume

1.1. Kombinatorische Formeln1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein-

lichkeiten2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume

2.1. Der diskrete Fall2.2. Der stetige Fall2.3. Unabhängigkeit und bedingte

Wahrscheinlichkeit3. Zufallsvariablen

3.1. Grundbegriffe3.2. Erwartungswert und Varianz

3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

4. Markov-Ketten 4.1. Übergangsmatrizen 4.2. Grenzverhalten irreduzibler Markov-Ketten 4.3. Gewinnwahrscheinlichkeiten 4.4. Beispiel „Ruin der Spieler“ 4.5. Anwendungen

III. Induktive Statistik

1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung

2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle

3. Tests 3.1. Grundbegriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

Beschreibende Statistik(= Deskriptive Statistik)Beschreibung von Datenmaterial

Vorstufe zur

Schließenden Statistik(= Induktive Statistik)Analyse von Datenmaterial,Hypothesen, Prognosen

1. Semester

2. Semester

Statistische Struktur diskret stetig

Maximum-Likelihood-Schätzer(diskreter Fall)

Likelihood-Funktion

mit

oder

M-L-Schätzer

Der Parameter

ist die beste Erklärung für die Beobachtung

Beispiel Poisson-Verteilung

Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich-Probenvariablen (Intensität: )

M-L-Schätzer für

oder

Beispiel Bernoulli-Verteilung

Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen(p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses)

M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

Maximum-Likelihood-Schätzer(stetiger Fall)

Likelihood-Funktion

mit

oder

M-L-Schätzer

Der Parameter

ist die beste Erklärung für die Beobachtung

Normalverteilte Stichprobenvariable

M-L-Schätzer Erwartungswert

Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

Normalverteilte Stichprobenvariable

M-L-Schätzer Varianz bekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable

M-L-Schätzer Varianz unbekannt

Übersicht

Erwartungstreue Schätzer

Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll:

Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt:

Dabei bedeutet der Index , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X

Statistisches Problem gegeben durch:

Erwartungstreuer Schätzer:

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X

Statistisches Problem gegeben durch:

Erwartungstreuer Schätzer:

Erwartungswert bekannt

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X

Statistisches Problem gegeben durch:

Erwartungstreuer Schätzer:

Erwartungswert unbekannt

Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer

für den Erwarungswert

Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

ist erwartungstreuerwartungstreu

Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer

für die Varianz

bekannt

ist erwartungstreuerwartungstreu

Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer

für die Varianz

unbekannt

ist erwartungstreuerwartungstreu

Kein M-L-Schätzer!!

Übersicht

erwartungstreuerwartungstreu

erwartungstreuerwartungstreu

erwartungstreuerwartungstreu

nichtnichterwartungstreuerwartungstreu

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Konfidenzintervalle

Intervallschätzung

Jeder Beobachtung wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet

Niveau

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen

Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

Die Ungleichung von TschebyschevTschebyschev

Niveau

Das Niveau wird „klein“„klein“ gewählt.(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1)

Es gibt aber einen ZusammenhangZusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau:

Niveaukleiner

Intervallbreiter

Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Schätzer von

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung

Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y

hat man

Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Varianz bekannt

Annahme:

Konfidenzintervalle:

wobei

In unserem Beispiel:

Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich:

und

Verwendung der Tafelfür die Normalvertreilung