Statistische Methoden IISS 2003

Vorlesung: Prof. Dr. Michael SchürmannZeit: Freitag 10.00 - 12.30

(Pause: 11.30 - 11.45)Ort: Hörsaal Loefflerstraße

ÜbungenGruppe 2: 414 Arne Neumann Di 11.15 - 12.45Gruppe 3: 414 Andreas Matz Mi 7.15 - 8.45Gruppe 1: 414 Andreas Matz Mi 13.00 - 14.45Gruppe 4: 301 Birte Holtfreter Do 7.30 - 9.00Gruppe 5: 301 Birte Holtfreter Do 9.15 - 10.45Gruppe 6: 301 Birte Holtfreter Do 11.00 - 12.30

Ort: Diagnostikzentrum in den Räumen 301 und 414

Konfidenzintervalle

Intervallschätzung

Jeder Beobachtung wirdein Intervall C()

der reellen Zahlen zugeordnet

Niveau

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit.eine Beobachtung zu machen,für die der wahre Parameter

im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

Niveau

Das Niveau wird „klein“„klein“ gewählt.(Wir nehmen in unseren Beispielenin den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1)

Es gibt aber einen Zusammen-Zusammen-hanghang zwischen der Breite derKonfidenzintervalle und dem Niveau:

Niveaukleiner

Intervallbreiter

Die Intervallbreite soll möglichstgering sein.

Konfidenzintervallfür den Erwartungswert

Varianz bekannt

Annahme:

Konfidenzintervalle:

wobei

Fall Normalverteilung

Tafel für die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung

BeispielKaufhaus-Konzern

Kauf würde in Erwägung

gezogen

Kauf würde nicht in Erwägung

gezogen

572 1428

Der Zentrale Grenzwertsatz

Approximative Konfidenzintervalleim Bernoulli-Fall I

Konfidenzintervall zum Niveau

Approximative Konfidenzintervalleim Bernoulli-Fall II

Vereinfachung für großes n(n 100)

Die Student- oder t-Verteilung

Hängt von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung

Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsdichte

Die Konstante c ist dabei:

: Gamma-Funktion

Chi-Quadrat-Verteilung

Die Student- oder t-Verteilung

Hängt von Parameter n ab!

Die Student- oder t-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsdichte

Die Konstante d ist dabei:

Student-Verteilung

Für n unabhängigeunabhängige Zufallsvariablen

mit

hat man:

Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

Für unabhängigeunabhängige ZufallsvariablenW und U mit

hat man:

Mathematische Bedeutung der t-Verteilung

Konfidenzintervallfür den Erwartungswert

Varianz unbekannt

Student-Verteilung(oder t-Verteilung)

Fall Normalverteilung

Konfidenzintervallfür die Varianz

Erwartungswert bekannt

Einseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Fall Normalverteilung

Konfidenzintervallfür die Varianz

Erwartungswert bekannt

zweiseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Fall Normalverteilung

Konfidenzintervallfür die Varianz

Erwartungswert unbekannt

Einseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Fall Normalverteilung

Konfidenzintervallfür die Varianz

Erwartungswert unbekannt

Zweiseitig

Chi-Quadrat-Verteilung

Fall Normalverteilung

Rechenbeispiel

Stichprobe vom Umfang n = 5

3.5 7.2 5.0 4.3 7.9

Stichprobenfunktionen

Chi-Quadrat-Verteilung

falsch

Student-Verteilung

Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe

1.Fall

2.Fall

3.Fall

4.Fall

5.Fall

6.Fall

18.28

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Konfidenzintervallefür diese konkrete Stichprobe

Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!

2.Fall

5.Fall

TESTS

TESTS

TESTS

TESTSTESTS

TESTS

TESTS

Worum es geht

Man möchte „testen“, ob eine bestimmteAnnahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht.

Beobachtung(Stichprobe)

EntscheidungEntscheidungVorgabe:

„Irrtumswahr-scheinlichkeit“

Formulierung einer

Hypothese

Da man sich in der Statistik nie ganz sicher sein kann: Die „Irrtumswahr-scheinlichkeit“ sollteklein sein.