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Grundbegrie der Stochastik

Stochastik 02 Wiederholung & Vierfeldertafel

Holger Wuschke

23. August 2018

Holger Wuschke Stochastik 02 Wiederholung & Vierfeldertafel


Grundlagen der Statistik(bis Klasse 10)

Grundlagen der Stochastik(bis Klasse 10)

Zufallsgrößen und Verteilungen

Bernoulli-Experimente

Beurteilende Statistik(Testen von Hypothesen)



Ziele der Sitzung

Begrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreiben können

Baumdiagramme zeichnen können

Vierfeldertafeln aufstellen können

Ereignisse auf Abhängigkeit/Unabhängigkeit untersuchenkönnen

Eigenschaften von Laplace-Experiment, Bernoulli-Experimentund Bernoulli-Kette beschreiben können



Was ist Zufall?

Abbildung: Plakat Schauspiel Leipzig[HW 2014]

Abbildung: Buchmesse Leipzig [HW2013]



Was ist Zufall?

Abbildung: Einsamer Drucker [HW2017]

Abbildung: Tokyo Highway [HW2018]


Grundbegrie der Stochastik Grundbegrie

Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis, Wahrscheinlichkeit

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang mit ungewissem Ausgang.

Das Resultat bzw. der Ausgang eines Zufallsexperimentes heiÿt(Versuchs-)Ergebnis oder Elementarereignis.(Mehrere) Ergebnisse werden zu einem (Versuchs-)Ereigniszusammengefasst.

Jedem Ergebnis/Ereignis E wird eine Wahrscheinlichkeit P(E )mit 0 5 P(E ) 5 1 zugewiesen.

Ist P(E ) = 0, so spricht man vom unmöglichen Ereignis.Isr P(E ) = 1, so spricht man vom sicheren Ereignis.

Beispiel Würfeln

Ein gewöhnlicher Würfel (Hexaeder) wird geworfen und dieAugenzahl bestimmt.P(2 oder 4) = 2

6= 1

3;

P(Zahl kleiner als 7) = 1; P(7) = 0








Beispiel Würfeln


6= 1

3; P(Zahl kleiner als 7) = 1;

P(7) = 0








Beispiel Würfeln


6= 1

3; P(Zahl kleiner als 7) = 1; P(7) = 0



Ergebnismenge

Die Menge aller möglichen Ergebnisse Ω wird als Ergebnismenge

oder Ergebnisraum bezeichnet.

Es gilt: P(Ω) = 1(Die Wahrscheinlichkeit aller Ergebnisse ist sicher).

Beispiele

Einmaliges Werfen einer Münze: Ω = Wappen;Zahl

Zweimaliges Werfen einer Münze: Ω = WW;WZ;ZW;ZZ

Werfen einer Münze, bis zweimal W oder zweimal Z erschien:

Ω = WW;ZZ;WZW;WZZ;ZWW;ZWZ



Laplace-Experiment

Ist jedes Ergebnis E in der Ergebnismenge Ω gleich wahrscheinlich,so spricht man von einem Laplacea-Experiment

aPierre-Simon Laplace (17491827), frz. Mathematiker

Abbildung: Dodekaeder, CC-Zero

Beispiele Würfeln mit einem Dodekaeder

Ω = gerade Zahl; ungerade Zahl Laplace ExperimentΩ = 1; 2; 3; . . . ; 11; 12 Laplace-ExperimentΩ = Primzahl; keine Primzahl kein Laplace-ExperimentΩ = Zahl kleiner 5;Zahl gröÿer 7 ist keine gültigeErgebnismenge und erst recht kein Laplace-Experiment



Ereignisse bei Laplace-Experimenten

Da alle Ergebnisse bei Laplace-Experimenten gleich wahrscheinlichsind, gilt für jedes Ereignis E die Berechnung:

P(E ) =Anzahl der günstigen ErgebnisseAnzahl der möglichen Ergebnisse

Beispiel Zahlenschloss

Herr Wuschke hat einen Koer mit drei Zahlenrädern, bei denen dieZiern 0 bis 9 einstellbar sind. Er sucht sich zufällig einen Codeaus. Wie wahrscheinlich ist es, dass er einen Code mit drei gleichenZiern eingestellt hat?

Günstige Ergebnisse sind 000, 111, . . . , 999 und damit sind es 10.

P(E ) =10

10 · 10 · 10=

1100

= 1%



Gegenereignis

Das Gegenereignis E ist das Gegenteil eines Ereignisses E .Es gilt:

P(E ) + P(E ) = P(Ω) = 1

Ereignis und Gegenereignis sind der Ergebnisraum.

P(E ) = 1− P(E )

Beispiel

Eine Münze wird dreimal geworfen. Bestimmen Sie dieWahrscheinlichkeit mindestens einmal Wappen zu werfen.

Gegenereignis E : Kein Wappen werfen, also ZZZ

P(E ) = 1− P(E ) = 1− P(ZZZ ) = 1− 1

8= 7

8= 87, 5%



In der Praxis treten die Ereignisse nicht so auf, wie wir siemathematisch berechnen. Sonst würde man beispielsweise bei sechsMal würfeln denitiv eine 3 würfeln.

(schwaches) Gesetz der groÿen Zahlen

Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, nähert sich dierelative Häugkeit mit zunehmender Versuchszahl der tatsächlichenWahrscheinlichkeit an.

Beispiel Ereignis: Würfeln einer 3 mit normalem Würfel

P(E ) = 1

6≈ 0, 1667

http://www.henked.de/begriffe/wahrscheinlichkeit.htm#gesetz

An dem Beispiel sieht man, dass je gröÿer die Anzahl n derVersuche wird, umso näher kommen wir an 1

6heran.


http://www.henked.de/begriffe/wahrscheinlichkeit.htm#gesetz


Baumdiagramm

Zur Veranschaulichung von (mehrstugen) Zufallsexperimentenkann ein Baumdiagramm genutzt werden. Die Zweige zeigendabei die einzelnen Ergebnisse der jeweiligen Stufe an und diePfade sind verschiedene Ereignisse.

Abbildung: EdM Sachsen 11, S. 256, HW

Pfadregeln

1. Entlang des Pfades wirdmultipliziert.2. Mehrere Pfade werdenaddiert.


Abbildung: Abitur MV 2010, B3


Vierfeldertafel

Zwei Ereignisse können auch in einer Vierfeldertafelzusammengetragen werden.

Ereignis A Ereignis A gesamt

Ereignis B P(A ∩ B) P(A ∩ B) P(B)

Ereignis B P(A ∩ B) P(A ∩ B) P(B)

gesamt P(A) P(A) 1

Es gilt beispielsweise: P(A ∩ B) + P(A ∩ B) = P(A).

Es heiÿt A ∩ B (A geschnitten B): A und B treten ein.



Beispiel

Bei dem BZgA-Jahresbericht 2017a zum Thema AlkoholkonsumJugendlicher wurden Personen im Alter von 18 bis 25 Jahrebefragt. Der Anteil der Frauen betrug 48,6%. Es gaben 30,8% derPersonen an, dass sie regelmäÿig Alkohol konsumieren. 21% derTeilnehmer sind männlich und trinken regelmäÿig.

männlich weiblich gesamt

trinken reglm. 21% 9,8% 30,8%

trinken reglm. 30,4% 38,8% 59,2%

gesamt 51,4% 48,6% 1

ahttp://www.suchtfragen.de/landesstellenbrief/2017/2017_06/

BZgA_Alkoholsurvey_2016_Bericht_Alkohol_Ergebnisse.pdf


http://www.suchtfragen.de/landesstellenbrief/2017/2017_06/BZgA_Alkoholsurvey_2016_Bericht_Alkohol_Ergebnisse.pdf

http://www.suchtfragen.de/landesstellenbrief/2017/2017_06/BZgA_Alkoholsurvey_2016_Bericht_Alkohol_Ergebnisse.pdf


Aus einer Vierfeldertafel werden zwei Baumdiagramme




Aus einem Baumdiagramm wird eine Vierfeldertafel


Es ist P(m;R) = 0, 464 · 0, 351 = 0, 162864 ≈ 0, 163

P(m;N) ≈ 0, 301, P(w ;R) ≈ 0, 110 und P(w ;N) ≈ 0, 426

m w gesamtR 0,163 0,110 0,273N 0,301 0,426 0,727

gesamt 0,464 0,536 1



Bei manchen Ereignissen gibt es Zusammenhänge, welche dieWahrscheinlichkeit beeinussen.

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen

Zwei Ereignisse A und B heiÿen stochastisch unabhängig, wenngilt: P(A) · P(B) = P(A ∩ B).Dies erkennt man in der Vierfeldertafel, wenn in der Mitte dieProdukte stehen und im Baumdiagramm, wenn die Äste derzweiten Stufe gleiche Wahrscheinlichkeiten haben (Abbildung).




Abbildung: Abitur MV 2011, A3



Abituraufgabe Sachsen LK 2013, 1.5

Die Endstücke werden von der Firma mit zwei Maschinenproduziert. Maschine A produziert 60% und Maschine B produziert40% der Gesamtprouktion.Erfahrungsgemäÿ sind 96% der von Maschine A produziertenEndstücke und 94% der von Maschine B produzierten Endstückenormgerecht.Der Gesamtproduktion der Firma wird ein Endstück zufälligentnommen. Es ist nicht normgerecht. Bestimmen Sie dieWahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Endstück von der Maschine Aproduziert wurde.



Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen (Treer/keinTreer; blau/nicht blau; ...) heiÿt Bernoullia-Experiment.

Wird ein Bernoulli-Experiment mehrmals durchgeführt, spricht manvon einer Bernoulli-Kette.

aJakob Bernoulli (16551705), schweizer Mathematiker

Eigenschaften Bernoulli-Kette

genau 2 Versuchsausgänge

Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht (Ziehen mitZurücklegen)


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