Dieses Skript ist nur für den Gebrauch neben der Vorlesung gedacht; für die Richtigkeit kann keine Gewähr übernommen werden! Zur diesem Vorlesungsskript sollte das Übungsmanuskript „Strömungslehre“ verwendet werden.

STRÖMUNGSLEHRE UND STRÖMUNGSMASCHINEN WIRTSCHAFTSINGENIEURWESEN

Prof. Dr.-Ing. J. A. Szymczyk

(I) Statik der Fluide

1. Eigenschaften von Fluiden 1.1 Vorbetrachtungen 1.2 Dichte, Kontinuität der Masse 1.3 Massenstrom, Volumenstrom

2. Druck

3. Hydrostatik 3.1. Grundgleichung der Hydrostatik 3.2. Anwendung der hydrostatischen Grundgleichung

3.2.1 Pascalsches Paradoxon 3.2.2 Druckverlauf in kommunizierenden Röhren

3.3 Statischer Auftrieb

(II) Dynamik der Fluide

4. Beschreibung von Strömungen

5. Viskosität 5.1 Viskosität

6. Massenerhaltungsgesetz

7. Energiesatz (1. HS) 7.1. Allgemeiner Energiesatz 7.2. Inkompressible reibungsfreie Strömung ohne mechanische Leistung 7.3. Inkompressible reibungsbehaftete Strömung 7.5. Inkompressible reibungslose Fluide mit Energiezufuhr (Strömungsmaschinen)

7.5.1 Energiegleichung. Spezifische Stutzenarbeit 7.5.2 Pumpe 7.5.3 Turbine

7.4. Inkompressible reibungslose Strömung (Bernoulli-Gleichung) 7.4.1. Geschwindigkeits-, Druck-, Höhenform 7.4.2. Anwendung der Energie-Gleichung

7.4.2.1 BERNOULLI-Gleichung ohne Höhenglied 7.4.2.2 TORRICELLIsche Ausflußformel 7.4.2.3 Druck im Staupunkt 7.4.2.4 Pitot - Rohr 7.4.2.5 Venturi - Düse

7.6. Inkompressible reibungsbehaftete Fluide ohne Energiezufuhr 7.6.1. Rohrströmung

8. Spezialfall der Energiegleichung. Die Eulerschen Gleichungen (inkompressibles Fluid)

9. Allgemeiner Abriss der Kreiselpumpen und Gebläse 9.1 Radiallaufrad 9.2 Euler-Turbingleichung 9.3 Kennlinien von Strömungsmaschinen 9.4 Kavitation 9.5 Dichte und Kompressibilität 9.6 Isotherme und adiabate Zustandsänderung

10. Strömungstechnische Auslegung der Kraft- und Arbeitsmaschinen 10.1 Axialventilatoren 10.2 Pumpen 10.2 Wasserturbinen

1-1

1. Eigenschaften von Fluiden

1.1. Vorbetrachtungen

Einteilung der Strömungsmechanik

Statik der Fluide

(ruhendes Fluid)

Dynamik der Fluide

(bewegtes Fluid)

Hydromechanik

ρ = konst..

Hydrostatik Hydrodynamik

Aeromechanik

ρ ≠ konst..

Aerostatik Aerodynamik

Gasdynamik

Tab.1-1 Einteilung der Strömungsmechanik

Bei Gasströmungen mit Geschwindigkeiten kleiner als etwa 100 m/s sind die Dichteänderungen so klein, daß man mit konstanter Dichte rechnen und somit die Gesetze der Hydrodynamik anwenden kann.

Die meisten Gesetze der Strömungsmechanik gelten gleichermaßen für Flüssigkeiten und Gase. Der übergeordnete Begriff dafür heißt Fluid.

Flüssigkeit Wasser Gas Luft

Fluide→→

⎫⎬⎭

1-2

1.2. Dichte, Kontinuität der Masse

Ein Fluid wird als ein "Kontinuum" angesehen. In einem Kontinuum ist das kleinste betrachtete Volumenelement dV noch immer homogen, d.h. die Abmessungen von dV sind noch groß gegenüber dem mittleren Molekülabstand im Fluid.

Dichte eines Fluidelements

v = 1ρ (1-3)

[v] = m3kg das spez. Volumen eines Fluids

Die Dichte ist eine Funktion des Ortes und der Zeit:

ρ = ρ(x, y, z, t) für ein kartesisches Koordinatensystem

Bei veränderlicher Dichte spricht man von kompressiblen Fluiden.

Bei konstanter Dichte von inkompressiblen Fluiden

ρ = mV = konst.(bei inkompressiblen Fluiden) (1-4)

Jedes Fluid besitzt eine Masse. Die Dimension der Masse ist "kg".

Die Masse beansprucht Raum. Diesen Raum nennen wir Volumen, welches die Dimension "m3" trägt.

1-3

ρ = mV

kgm3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ (1-5)

Zwischen der Dichte von Flüssigkeiten und der von Gasen besteht ein riesiger Unterschied, der ungefähr dem Faktor 1000 entspricht.

Zu Beachten ist die Abhängigkeit der Dichte vom Druck p und der Temperatur T, die für viele Fluide in Form einer Zustandsgleichung gegeben ist. Für ideale Gase ist dies die Gleichung

p R Tρ= ⋅ , (1-6)

R die Gaskonstante des Gases.

Im Gegensatz zu Gasen weisen Flüssigkeiten nur schwache Abhängigkeiten der Dichte vom Druck und von der Temperatur auf. Fluid ρ (kg/m³) Helium 0,1785 Wasserdampf 0,768 Stickstoff 1,2505 Sauerstoff 1,4289 Luft 1,2928 Argon 1,784 Kohlendioxid 1,977 Mineralöl 850 Wasser 998,2 Quecksilber 13595,5 Quecksiber (20°C) 13546 Tab.1-2 Dichte verschiedener Fluide bei 0°C und 1 atm

1-4

Abb.1-1 Dichte von Wasser als Funktion von T und p

1.3. Massenstrom, Volumenstrom

Das Fluid bewegt sich vor dem ortsfesten Hintergrund: es strömt. Wir stellen uns einen ortsfesten, ebenen Ring beliebiger Form vor, dessen Querschnitt A durchströmt wird.

Abb.1-2 Strömung durch einen gedachten Querschnitt A Wir interessieren uns für die Masse, die pro Zeiteinheit über den Querschnitt A strömt. Sie ist proportional zu A und zu ρ. Weiter ist sie proportional zur Geschwindigkeit w des Fluids, genauer gesagt zu der Komponente, mit der das Fluid senkrecht zu A strömt. &m ~ A [kg/s] (1-7)

1-5

&m ~ ρ (1-8) & cosm w A= ⋅ ⋅ ⋅α ρ (1-9) Die andere Komponente liegt in A und kann somit nichts über A fördern. Für den Massenstrom &m mit der Dimension "kg/s" erhalten wir danach: &m = w ρ A (1-10) Das Produkt

&V = w⋅A ms

3⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ (1-11)

&V = w cosα A (1-12) heißt Volumenstrom mit der Dimension "m3/s". Es gilt also auch: &m = ρ &V . (1-13)

Abb.1-3 Stromröhre bei stationärer Strömung Wir orientieren nun zwei Ringflächen A1 und A2 so, daß sie senkrecht zur Strömung stehen. Wir verbinden die beiden Ringe durch eine gedachte Röhre. Das ganze heißt dann eine Stromröhre. Das Wesentliche daran ist, daß das Fluid nur entlang der Röhrenwand strömen kann.

1-6

Wir setzen voraus, daß sich die Strömung über die Zeit nicht verändert (stationär), d.h., daß ρ und w an jedem Punkt der Röhre konstant sind, während sie sich entlang der Röhre ändern können. Nun muß, da Masse nicht verschwinden oder erzeugt werden kann, diejenige Masse, die pro Zeiteinheit durch A1 in die Stromröhre eintritt, in der selben Zeiteinheit durch A2 wieder austreten. D.h. es gilt: (1-14) oder

w A w A1 1 1 2 2 2ρ ρ= (1-15) Wenn sich die Dichte des Fluids auf dem Weg von A1 nach A2 nicht ändert, gilt: w A w A1 1 2 2= (1-16) oder

(1-17) Wenn darüber hinaus auch noch die Querschnitte gleich sind, folgt: w w1 2= (1-18)

1-7

Bsp.: Spritze

Abb.1-4 Spritze & &m m1 2= (1-19) w A w A weil1 1 1 2 2 2 1 2/ = / =ρ ρ ρ ρ (1-20)

ww

AA

1

2

2

1

= (1-21)

Eine Spritze ist eine Stromröhre mit festen Wänden und deutlicher Querschnittsverengung. Die Spritzenflüssigkeit ändert ihre Dichte nicht. Wir erhalten für die relative Erhöhung der Geschwindigkeit:

2

21

1

12

AAA

www −=

− (1-22)

1-8

Bsp.: Rohrverzweigung

Abb.1-5 Rohrverzweigung Eine Stromröhre mit festen Wänden kann sich verzweigen. Die Massenstrombilanz lautet: & & &m m m1 2 3= + (1-23) und bei konstanter Dichte:

& & &V V V1 2 3= + (1-24) Wenn zwei Ströme gegeben sind, läßt sich der dritte ermitteln. Allein aufgrund der Flächenaufteilung der Verzweigung läßt sich allerdings nicht sagen, wie sich die Ströme verteilen.

2-1

2. Druck

Der Druck spielt eine entscheidende Rolle in der Mechanik der Fluide.

Abb.2-1 Gasbehälter

p KA

Nm

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥2 (2-1)

p - Druck auf den Kolben (skalar)

10 10 1 1000 10 252

52

Nm

Pa bar mbar mH O= = = = ,

In der Technik werden verschiedene Druckgrößen verwendet. p p gh p p pabs u abs= + ⇒ = +ρ 0 ∆ (2-2) pabs - absoluter Druck (gegenüber dem Druck im leeren Raum) ∆p p p= −2 1 - Druckdifferenz, gezeigt durch Manometer pu - Umgebungsdruck (Atmosphärendruck - Barometer)

2-2

Abb.2-2 Stromröhre

pw

pw

p und p statische Drücke

wund

wdynamische Drücke

11

2

22

2

1 2

12

22

2 2

2 2

+ = +

−

−

ρ ρ

ρ ρ

(2-3)

3-1

3. Hydrostatik

3.1. Grundgleichung der Hydrostatik

Ein ruhendes inkompressibles homogenes Fluid unter dem Einfluß der Schwerkraftbeschleunigung g. An der Oberfläche herrscht immer der Umgebungsdruck. Die Aufgabe lautet: Berechne den Druck p.

Abb.3-1 Inkompressibles homogenes Fluid (Gersten: Einf. i. d. STM)

Fp - Druckkraft; G - Gewichtskraft

Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung:

F mziz∑ = && (3-1)

F mg p Ap − − ⋅ =0 0 (3-2)

p A mg p A⋅ − − ⋅ =0 0 (3-3)

m V A h= ⋅ = ⋅ ⋅ρ ρ damit in die Gleichung (3-4)

3-2

p A h A g p A A⋅ / − ⋅ ⋅ / ⋅ − ⋅ / =ρ 0 0 : (3-5)

Grundgleichung der Hydrostatik (3-6)

Aus dieser Gleichung leitet man zwei Sätze ab:

Satz 1: In Punkten gleicher Höhe herscht gleicher Druck.

Satz 2: Der Druck wächst proportional zur Tiefe.

3.2. Anwendung der hydrostat.Grundgleichung

3.2.1. Pascalsches Paradoxon

- gleiche Flüssigkeit

- gleiche Höhe

- gleiche Fläche

- verschiedenes Gewicht

p p g h= + ⋅ ⋅0 ρ

3-3

Abb.3-2 Pascalsches Paradoxon (Becker: Technische Strömungslehre)

p p g h1 0= + ⋅ ⋅ρ p p g h2 0= + ⋅ ⋅ρ p p g h3 0= + ⋅ ⋅ρ (3-7)

p F A1 = / p F A2 = / p F A3 = / (3-8)

p p p1 2 3= = (3-9)

Der Bodendruck ist in allen skizzierten Gefäßen gleich.

Es wirkt die gleiche Kraft F unabhängig vom Gewicht der Flüssigkeit.

Die Druckkraft ist unabhängig von der Gefäßform, wenn die Grundflächen gleich groß sind.

p FA

= (3-10)

3.2.2. Druckverlauf in kommunizierenden Röhren

Abb.3-3 Kommunizierende Röhren

3-4

U-Rohr mit zwei nicht mischbaren Flüssigkeiten

Abb.3-4 U - Rohr (Gersten: Einf. i. d. STM)

p p ghL = +0 1 1ρ (3-11)

p p ghR = +0 2 2ρ (3-12)

p pL R= Grundgleichung der Hydrostatik (3-13)

/ + / = / + /p gh p gh0 1 1 0 2 2ρ ρ (3-14)

ρρ

1

2

2

1

=hh (3-15)

( lt. Abbildung h2/h1 > 1 ⇒ ρ1 > ρ2 )

Hydraulische Presse

Abb.3-5 Hydraulische Presse (Gersten: Einf. i. d. STM)

3-5

pFA

g hL = + ⋅ ⋅1

11ρ (3-16)

pFAR = 2

2 (3-17)

FA

FA

g h da g hFA

1

1

2

21 1

2

2

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ <<ρ ρ (3-18)

FA

FA

1

1

2

2

= (3-19)

FF

AA

da A A F F2

1

2

12 1 2 1= >> ⇒ >> (3-20)

Schlußfolgerung: Mit einer kleinen Kraft F1 kann man eine große Kraft F2 erzeugen.

U - Rohr - Manometer zur Messung des Gasdruckes pg

Abb.3-6 U - Rohr - Manometer (Becker: Technische STL)

links = rechts

p g h p g hg G Fl+ / ⋅ / ⋅ / = + ⋅ ⋅ρ ρ1 0 ∆ (3-21)

ρ ρ ρG g Flg h⋅ ⋅ = ⇒ <<1 0 (3-22)

p p g hG = + ⋅ ⋅0 ρ ∆ (3-23)

3-6

3.3. Statischer Auftrieb

Beim Eintauchen eines beliebig geformten Körpers in eine Flüssigkeit stellt man eine scheinbare Gewichtsminderung fest.

Abb.3-7 Druckkräfte am eingetauchten Körper

Archimedes entdeckte, daß der Betrag, um den sich das Gewicht scheinbar vermindert, gleich ist dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge.

F V gA Fl K= ⋅ ⋅ρ (3-24)

VK - Volumen des eingetauchten Körpers

Der statische Auftieb eines vollständig in eine Flüssigkeit eingetauchten Körpers ρFl KV g⋅ ⋅ ist gleich dem

Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.

3-7

Schwimmen

FA=G (3-32)

Der Körper schwimmt, wenn ein Teil seines Volumens aus der Flüssigkeit herausragt.

Schweben

Der Körper ist völlig eingetaucht.

4 - 1

(II) Dynamik der Fluide

4. Beschreibung von Strömungen

Um die Bewegung des Fluids in einer Strömung zu beschreiben, gibt es zwei verschiedene Darstellungsmethoden:

Die Strömung in einem vorgegebenen Koordinatensystem z.B. kartesischer Koordinatensystem mit der Zeit ist charakterisiert durch

Temperatur

Druck p = p(x, y, z, t) (4-1)

Dichte ρ = ρ(x, y, z, t) (4-2)

Geschwindigkeit w = w(x, y, z, t) = { }u(x, y, z, t),v(x, y, z, t),w(x, y, z, t) (4-3)

Es interessiert also nicht das Einzelschicksal der Fluidteilchen, sondern das Verhalten ständig wechselnder Fluidteilchen, die einen vorgegebenen Punkt passieren.

1. Für dreidimensionale Strömungen gilt: u, v, w, p, ρ, T = f (x, y, z, t) (räumlich)

2. Für zweidimensionale Strömungen gilt: u, v, p, ρ, T = f (x, y, t) (ebene Strömung)

3. Für eindimensionale Strömungen gilt: u, p, ρ, T = f (x, t) (Stromfaden, wenn stationäre Strömung)

4 - 2

Zeitabhängigkeit:

1. Liegt keine Zeitabhängigkeit vor, spricht man von einer stationären Strömung.

2. Liegt Zeitabhängigkeit vor, spricht man von einer instationären Strömung.

Stoffeigenschaften:

1. reibungsfreie/reibungsbehaftete Strömung 2. kompressible/inkompressible Strömung 3. ideales/nichtideales Gas

Inkompressibles Fluid (ρ = konst.)

Eine Strömung, bei der die Dichte r des strömenden Fluids konstant bleibt, heißt inkompressible Strömung.

Vernachlässigung der Temperatur T

Wenn einfache (Model-) Fluide betrachtet werden, kann die Temperatur vernachlässigt werden.

1) Inkompressibles Fluid (ρ = konst.)

Das Temperaturfeld hat keinen Einfluß auf Druck- und Geschwindigkeitsverteilung (-Feld) wenn Viskosität etc. konstant sind.

2) Ideales Gas (p = ρ R T)

Wenn Druck p und Dichte ρ bekannt sind, kann die Temperatur berechnet werden. R ist eine Gaskonstante.

5 - 1

5. Viskosität

Abb.5-1 Couette - Strömung

Fluid befinde sich zwischen einer festen Grundplatte und einer in Abstand h dazu parallelen Platte, die mit der Geschwindigkeit U bewegt wird (Couette-Strömung).

Plattenfläche A →

benötigte Tangentialkraft oder Schubspannungskraft F.

Haftbedingung: Am Rande haben die Flüssigkeitsteilchen die gleiche Geschwindigkeit

wie die Platte.

In einem Fluid ist die Schubspannung τ das Verhältnis der Schubkraft zur Fläche, an der die Schubkraft angreift.

τ = FA (5-1)

5 - 2

mit: A = Plattefläche

Der Zussamenhang zwischen Schubspannung τ (Belastung) und dem Geschwindigkeitsgradienten

heßt Reibungsgesetz

τ = η Fehler! Newtonisches Reibungsgesetz (5-4)

Ein Fluid mit linearem Reibungsgesetz heißt Newtonisches Fluid, anderenfalls Nichtnewtonisches Fluid

η = dynamische Viskosität;

[η] = Fehler!; (5-9)

1 P (Poise) = 0,1 Fehler!

Definition: Die kinematische (dichtebezogene) Viskosität ν

ννρ

= (5-10)

ν =ms

2

1 St (Stokes) = 10-4 Fehler!

SM I und SM II behandeln nur Newtonische Fluide

6-1

6. Massenerhaltungsgesetz

Allgemein gibt es vier Erhaltungssätze: - Energieerhaltungssatz - Impulserhaltungssatz - Massenerhaltungssatz - Impulsmomentensatz

Aus dem Massenerhaltungssatz läßt sich die Kontinuitätsgleichung (Konti) entwickeln.

Formulierungen der Kontinuitätsgleichung

kompressibel (ρ ≠ konst.)

inkompressibel (ρ = konst.)

A ≠ konst. ρ w A = konst. ρ ⋅ &V = m,· = konst. (Massenstrom)

w A = konst.

V,· = konst. (Volumenstrom)

A = konst. (konstanter Querschnitt)

ρ w = konst. Massendichte= konst.

w = konst. Volumendichte= konst.

Tab.6-1 Kontinuitätsgleichung

Für kompressible Fluide (ρ≠ konst.) bei veränderlichen Querschnitt gilt:

m,· = ρ w A = konst. (6-1)

Massenstrom ist immer positiv

Für inkompressible Fluide (ρ = konst.) gilt:

V,· = w A = konst. (6-2)

7-1

7. Energiesatz (1. HS)

7.1. Allgemeiner Energiesatz

Energiesatz bedeutet Energiebilanz

Energiebilanz bedeutet Gleichgewicht

Abb.7-1: Energiebilanz für eine Stromröhre

1, 2: Querschnitte, für welche eine Energiebilanz aufgestellt wird

PM - mechanische Leistung einer Pumpe/Turbine oder Energie pro Zeit

ANNAHMEN:

- stationäre Strömung (zeitunabhängig)

- inkompressible Strömung (ρ = const.)

- reibungsbehaftete Strömung ( )v ≠ 0

7-2

Die gesamte Strömungsenergie besteht aus der:

kinetischen Energie (Leistung; Bewegungsenergie)

12

2⋅ ⋅&m w (7-1)

Druckenergie ( die dem Volumen zu- bzw. abgeführte Arbeit)

&m

pρ⋅ ( )V p⋅ (7-2)

Höhenenergie

- zwischen den Zuständen 1 und 2 besteht ein Höhenunterschied (Leistung eines Kraftfeldes g)

&m g z⋅ ⋅ (7-3)

Inneren Energie

- als aufgespeicherte Wärme (Wärmeleistung)

& &Q m c Tv= ⋅ ⋅ ∆ (7-4)

c Tv ⋅ =∆ ϕ (7-5)

ϕ[m²/s²]- spezifische Dissipation (Reibungsverluste)

cw[Nm/kgK]- Wärmekapazität (die Wärme, die zur Erwärmung von 1 kg einea Stoffes um 1K erforderlich ist)

Zu - oder Abgeführte Energie (mechanische Leistung)

P m wM t= ⋅& (7-6)

wt - spezifische technische Arbeit

- über die Arbeitsmaschine (Pumpe, Turbine) kann dem Volumen Arbeit zu- oder abgeführt werden

Zufuhr - Pumpe Abfuhr - Turbine

7-3

P WtM = (7-7)

Bilanz

12

2⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =&&

& & & .m w m p m g z m c T m w konstv tρ∆ / ÷ &m

(7-8) kin. Druck- Höhen- innere mech. energie energie energie Wärme Energie

12

2⋅ + + ⋅ + + =wp

g z w konsttρϕ . /⋅ρ

(7-9)

12

2⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =ρ ρ ρ ϕ ρw p g z w konstt . (7-10)

Für einen beliebigen Querschnitt A2

7.2. Inkompressible reibungsfreie Strömung ohne mechanische Leistung

Anfang = Ende

12

121

21 1 2

22 2⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ρ ρ ρ ρw p g z w p g z

(7-11)

12

2⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ =ρ ρw p g z konst . (7-12)

7.3. Inkompressible reibungsbehaftete Strömung

12

121

21 1 2

22 2⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +ρ ρ ρ ρw p g z w p g z pG∆ (7-13)

7-4

7.4. Inkompressible reibungslose Strömung (Bernoulli- Gleichung)

7.4.1. Energie-, Druck-, Höhenform

(ohne Energie - Zu - oder Abfuhr;

Mechanische Arbeit wt12=0)

Annahmen:

q12=0 , ρ=const. , T=const. (7-14)

Ende Anfang⇒

⇒

a) Energieform

w p

g zw p

g z22

22

12

112 2

+ + ⋅ = + + ⋅ρ ρ

(7-15)

kin., Druck-, potent. Energie

b) Druckform

w

p p g zw

p p g z22

2 212

1 12 2⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅ρ ρ

(7-16)

dyn., stat., geodet. -Druck

c) Höhenform

w

gp

gz

wg

pg

z22

22

12

112 2⋅

+⋅

+ =⋅

+⋅

+ρ ρ (7-17)

Geschw.,Druck, geodet. -Höhe

7-5

7.4.2. Anwendung der Energie-Gleichung

7.4.2.1. BERNOULLI-Gleichung ohne Höhenglied

Bei annähernd horizontalen Flüssigkeitsströmungen und bei Gasströmungen kann das Höhenglied fast immer vernachlässigt werden, d.h. z=0.

Die Bernoulli-Gleichung ohne Höhenglied lautet:

ρ ρ2 22

22 1

21⋅ + = ⋅ + =w p w p const . (7-22)

Der dynamische Druck q (Staudruck):

q w= ⋅ρ2

2 q pa= (7-23)

Der Gesamtdruck pg:

p w pg = ⋅ +ρ2

2 p pg a= (7-24)

Damit lautet die Bernoulli-Gleichung ohne Höhenglied:

q p p constg+ = = . (7-25)

dynamischer Druck + p = Gesamtdruck

7-6

7.4.2.2. TOORRICELLIsche Ausflußformel

Abb.7-3 Torricellische Ausflußformel

Ein oben offenes (großes!) Gefäß mit einer Öffnung am unteren Ende, aus dem reibungslos Flüssigkeit in die Umgebung ausströmt.

Die Bernoulli-Gleichung in Energieform lautet dazu:

12

022 0

20

1⋅ + + ⋅ = + + ⋅wp

g zp

g zρ ρ (7-26)

w = 0 → großes Gefäß, A1 >> A2 (7-27)

7-7

( )12 2

21 2⋅ = ⋅ − = ⋅w g z z g h (7-28)

w g h2 2= ⋅ ⋅ (7-29)

Abb.7-4: Ausfluß von Flüssigkeiten aus verschiedenen Gefäßen

Die Ausflußgeschwindigkeit hängt nur von h und nicht von der Ausflußrichtung ab.

In der obigen Darstellung ist die Geschwindigkeit w2 in allen drei Fällen konstant. Die Dichte hat hier ebenfalls keinen Einfluß.

Die Ausflußformel von Torricelli gilt nur für h = const. → (z1 - z2) = const.

Wenn h ≠ const. ist, liegt ein instationärer Ausflußvorgang vor.

7-8

7.4.2.3. Druck im Staupunkt

Abb.7-5: Druck im Staupunkt

Beim Auftreffen einer Strömung auf ein freies Hindernis entsteht der Staupunkt.

Gesucht ist der Druck im Staupunkt (w2 = 0). Da z1 = z2 ist, ist hierfür die Bernoulli-Gleichung für horizontale Strömungen ohne Höhenglied geeignet.

ρ2

02⋅ + = + =∞ ∞w p p pS ges (7-30)

dynamischer Druck

Der Druck im Staupunkt ist gleich dem Gesamtdruck: p2 = pges

7-9

Beispiel: Wind gegen eine Wand

Bei der Windgeschwindigkeit v = 100 km/h ergibt sich mit ρL = 1,2 kg/m³ der Staudruck

pv N

mdynL=⋅

=ρ 2

22464 (7-31)

Diese Kraft F p A A Fläche= ⋅ → − muß beim Bau von Häusern berücksichtigt werden.

Man unerscheidet STAUDRUCK (dynamischer Druck) und DRUCK IM STAUPUNKT!

Für den Stromfaden im weit stromaufwärts gelegenen Punkt 1 (obige Abbildung) gilt:

Umgebungsdruck p∞ , Geschwindigkeit w∞ ( w∞ bedeutet nicht w = ∞ bedeutet weit enrfernt vom Objekt

Dieser Zusammenhang erlaubt es, die Messung der Anströmgeschwindigkeit eines Körpers auf eine Druckmessung zurückzuführen. Das geschieht mit zwei Sonden, dem Pitot-Rohr und dem Prandtl-Rohr.

7-10

7.4.2.4. Pitot - Rohr

Abb.7-6 Pitot - Rohr

Messung des Gesamtdruckes (Staupunktdruckes). Am anderen Ende der Druckleitung (mit pg) wird mit einem Manometer der Staudruck gegenüber dem Umgebungsdruck gemessen.

ρ2

02⋅ + = +∞ ∞w p pg (7-32)

ρ2

2⋅ + =∞ ∞w p pg (7-33)

p p w pStau ges= = ⋅ +∞ ∞

ρ2

2 (7-34)

Druck im Staupunkt == Staudruck

7-11

7.4.2.5. Venturi - Düse

Abb.7-7 Venturi - Rohr

Sie wird zur verlustfreien Messung der Geschwindigkeit und damit des Volumenstromes in einer Leitung verwendet, wenn die Drücke gemessen werden.

Der Energiesatz (Bernoulli-Gleichung ohne Höhenglied) eventuell mit Verlusten lautet:

p w p w1 12

2 22

2 2+ ⋅ = + ⋅ρ ρ

(7-35)

Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide lautet:

w A w A1 1 2 2⋅ = ⋅ & .V const= (7-36)

wAA

w21

21= ⋅ (7-37)

Die Gl.(7-37) in die GL.(7-35) eingesetzt, ergibt:

p pAA

w w1 21

2

2

12

12

2− = ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ρ (7-38)

7-12

p p wAA1 2 1

2 1

2

2

21− = ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ρ (7-39)

Für die Geschwindigkeitsmessung mit der Venturi - Düse ergibt sich daraus für die Geschwindigkeit:

( )w

p p

AA

11 2

1

2

2

2

1

=⋅ −

⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ρ (7-40)

Für den Volumenstrom gilt:

&V w A w

d= ⋅ = ⋅

⋅1 1 1

12

4π

(7-41)

7-13

7.5. Inkompressible reibungslose Strömungen mit Energiezufuhr (Strömungsmaschinen)

7.5.1. Energiegleichung; Spezifische Stutzenarbeit

Annahmen: reibungslos → ϕ12 = 0 → unter Formel (7-5) definiert - q12 = 0 → keine Wärme (in Energiegleichung nicht enthalten)

Energiegleichung:

Ende = Anfang + Energiezufuhr

12

122

2 22 1

2 11 12⋅ + + ⋅ = ⋅ + + ⋅ +w

pg z w

pg z w tρ ρ (7-42)

7.5.2. Pumpe

Abb.7-8 Rohrströmung mit Pumpe

7-14

Aufgabe: Eine Pumpe ist mit einer Rohrleitung konstanten Durchmessers d verbunden. Es treten keine Reibungsverluste auf.

Frage 1: Wie groß wird die spezifische Stutzenarbeit Y und die mechanische Leistung PM der Pumpe?

Frage 2: Wie groß ist die Förderhöhe H der Pumpe, wenn p3 = p1 ist?

Gegeben ist ∆p12 = p2 - p1. (7-43)

LÖSUNG:

Spezifische Stutzenarbeit

Die zwischen Eintritts- und Austrittsstutzen einer Strömungsmaschine dem strömenden Fluid zugeführte (Pumpe) oder entzogene (Turbine) spezifische technische Arbeit wt wird die spezifische Stutzenarbeit Y genannt.

Energiezufuhr (dem strömenden Fluid) - Pumpe:

Y = wt12 (7-44)

Energieentnahme - Turbine:

Y = -wt12 (7-45)

In Strömungsmaschinen wird die spezifische Stutzenarbeit Y statt der technischen Arbeit wt12 verwendet.

Energiegleichung zwischen 1 und 2 mit z1 = z2 und Kontinuitätsgleichung:

w A w A1 1 2 2⋅ = ⋅ A1 = A2 = const. (7-46)

ρ = const. (inkompressibles Fluid) (7-47)

7-15

w w1 2= (7-48)

→

12

122

2 22 1

2 11 12⋅ + + ⋅ = ⋅ + + ⋅ +w

pg z w

pg z w tρ ρ (7-49)

p p

w w Yt t2 1

12 12ρ ρ= + ⇒ = (7-50)

Die spezifische Stutzenarbeit der Pumpe (Frage 1) ergibt sich aus:

( )w Y p pp

t12 2 11

= = − =ρ ρ

∆ (7-51)

Der Druckanstieg durch die Pumpe berechnet sich aus:

∆p p p= −2 1 (7-52)

Mechanische Leistung der Pumpe:

P m w m Y V Y V pM t= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅& & & &12 ρ ∆ (7-53)

Berechnung der Förderhöhe H (Frage 2):

Zwischen und gilt:

p3 = p1 (in der Aufgabe vorausgesetzt) (7-54)

w3 = w1 (Kontinuitätsgleichung) (7-55)

wt13 = wt12 (zwischen 2 und 3 erfolgt keine Energiezufuhr wt23 = 0) (7-56)

Damit wird die Energiegleichung zwischen und zu:

7-16

12

123

2 33 1

2 11 13⋅ + + ⋅ = ⋅ + + ⋅ +w

pg z w

pg z w tρ ρ (7-57)

( )w w Y g z z g Hp

Hpgt t13 12 3 1= = = ⋅ − = ⋅ = → =⋅

∆ ∆ρ ρ

(7-58)

bzw. zwischen und :

12

123

2 33 2

2 22⋅ + + ⋅ = ⋅ + + ⋅w

pg z w

pg z

ρ ρ (7-59)

pg z

pg z mit z z H und p p3

32

2 3 2 3 1ρ ρ+ ⋅ = + ⋅ − = =

(7-60)

( )1 12 1 12ρ ρ

⋅ − ⇒ ⋅ = ⋅ =p p p g H wt∆ (7-61)

Förderhöhe H:

H Yg

= (7-62)

Die Förderhöhe H einer Pumpe ist die geodätische Höhendifferenz, über die sie ein Fluid bei dem gleichen Ein- und Austrittsdruck, der gleichen Ein- und Austrittsgeschwindigkeit in reibungsloser Strömung fördern kann.

P m Y m g H V pM = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅& & & ∆ (7-63)

Der Wirkungsgrad einer Pumpe ist der Quotient aus mechanischer Leistung PM und Wellenleistung P.

ηPMPP

m YP

m g HP

= =⋅

=⋅ ⋅

≤& &

1 (7-64)

7-17

H: Förderhöhe (es gilt: p1 = p3 , w1 = w3 (7-65))

ηP = 1 ist ein Idealfall (unmöglich)

7.5.3. Turbine

Abb.7-9 Rohrströmung mit Turbine

Eine Turbine ist mit einer Rohrleitung konstanten Durchmessers d verbunden. Die Strömung erfolgt reibungslos.

Gesucht: spezifische Stutzenarbeit Y

mechanische Leistung PM

Fallhöhe H

gegeben p3 = p1 (7-66)

7-18

Energiegleichung zwischen und mit: w2 = w3 (7-67)

12

122

213 3

2 3⋅ + − = ⋅ +w p w wp

tρ ρ, (7-68)

p p

w t3 2

23ρ ρ= + (7-69)

Für die Turbine gilt: wt = -Y (7-70)

( )w Y p p p PmtM

23 3 21

= − = − ⋅ − = − =ρ ρ

∆& (7-71)

wPmtM

23 = & (7-72)

Der Druckabfall in der Turbine ergibt sich aus:

∆p p p= −2 3 (7-73)

Die mechanische Leistung, die das Fluid an die Turbine abgibt errechnet sich zu:

P m Y Q p Q VM = − ⋅ = − ⋅ ⇒ =& &∆ (7-74)

Energiebilanz zwischen (w=const.; p1 = p3)

( )w w Y g z z g Hp

t t13 23 3 1= = − = ⋅ − = ⋅ = −∆ρ (7-75)

Energiebilanz zwischen

( )p pg z z w2 1

1 3 12 0ρ ρ

= + ⋅ − → = (7-76)

( )12 1ρ ρ

⋅ − = = ⋅p pp

g H∆

(7-77)

7-19

Die Fallhöhe H ist die geodätische Höhendifferenz, die notwendig wäre, um bei gleichem Eintritts- und Austrittsdruck, gleicher Eintritts- und Austrittsgeschwindigkeit und reibungsloser Strömung die Turbinenleistung PM zu erzeugen.

P m Y m g HM = − ⋅ = ⋅ ⋅& & (7-78)

Hw

gYg

t= =−23

(7-79)

Der Wirkungsgrad ηT einer Turbine ist der Quotient aus Wellen-leistung P und negativer mechanischer Leistung (- PM).

ηTM

PP

Pm Y

= − =⋅& (7-80)

7.6. Inkompressible reibungsbehaftete Fluide ohne Energiezufuhr

Inkompressible reibungsbehaftete Fluide sind in vielen technischen Anordnungen vorhanden (Hydraulik).

Durch Reibung entstehen Verluste. Als Verlust bezeichnen wir Temperaturzunahme. Sie äußert sich als Druckabfall.

12

121

21 1 2

22 2⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +ρ ρ ρ ρw p g z w p g z Verluste

(7-81)

12

121

21 1 2

22 2⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +ρ ρ ρ ρw p g z w p g z pv∆

(7-82)

7-20

Der Druck p2 am Ende der betrachteten Strömröhre ist um den Druckabfall ∆p kleiner als bei reibungsfreier Strömung. Die Verluste werden folgendermaßen definiert:

∆p ld

wv = ⋅ ⋅λ ρ2

2 (7-88)

Den Proportionalitätsfaktor nennen wir Verlustbeiwert (oder Widerstandszahl) und bezeichnen ihn mit λ. Es ist eine dimensionslose Konstante.

Betrachtet wird ein Rohrsystem in 4 Teilen. Die gesamte Dissipation ϕges (oder gesamter Druckabfall ∆pv) ist gleich der Summe der Verluste aller Teilsysteme.

Skizze:

Abb.7-10 Rohrsystem

1 gerades Rohr λ 2 Rohrkrümmer ζK 3 Rohrkrümmer ζK 4 Diffusor ζD

ϕ ϕ ϕ ζ

λρ

ges ii

Ni i i

v ii

Nv i i

undw

p ges p mit p ild

w

= = ⋅

= = ⋅ ⋅

=

=

∑

∑1

2

1

2

2

2∆ ∆ ∆

(7-89)

Anfang Ende

7-21

12

12

2 1 2⋅ + + ⋅ = ⋅ + + ⋅ +w p g z w p g zA A EE

E gesρ ρϕ (7-90)

Re = ⋅ ⋅=

⋅≤

ρη νw d w d 2300 ⇒ laminare Strömung

(7-96)

λ =64Re (7-97)

Der gesamte Verlust bei Rohrleitungen mit Übergängen und Rohrreibung resultiert aus:

ϕ ζ λG ii

Ni

ii

ii

Niw l

dw

= ⋅ + ⋅ ⋅= =∑ ∑

1

2

1

2

2 2 (7-98)

∆p w ld

wG ii

N

i ii

ii

N

i= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅= =∑ ∑ζ ρ λ ρ

1

2

1

2

2 2 (7-99)

8-1

8 Spezialfall der Energiegleichung. Die Eulerschen Gleichungen (inkompressibeles Fluid)

Die Eulerschen Gleichungen beschreiben die Bewegung eines Fluids entlang einer Stromlinie s (siehe Kap. 6). Dies bedeutet insbesondere, daß die Geschwindigkeit ).,( tsuu= ist.

Um die Eulerschen Gleichungen herzuleiten, greifen wir auf den Impulssatz zurück ( I = Impuls ; =iF von außen angreifende Kraft ):

∑=i

iFtdJd

Die Bildung der zeitlichen Ableitung des Impulses für ein Fluidelement konstanter Masse m führt zu dem Newtonschen Grundgesetz:

{ {

).(

gungBeschleunikonvektive

gungBeschleunilokale

gungBeschleunitotale

321suu

tum

DtDumF

ii ∂

∂∂∂

+==∑

Als von außen angreifende Kräfte fungieren die Druckkraft sowie Reibungs- und Volumenkräfte (z.B. die Schwerkraft).

Zur weiteren Herleitung der Eulerschen Gleichungen wird postuliert, daß die Reibungskräfte vernachlässigbar sind. Dies impliziert insbesondere das Verschwinden von Schubspannungen.

Die Annahme der Materialgleichung "reibungsfreies Fluid" erweist sich insoweit als tragfähig, als bei vielen Strömungsprozessen die Reibung nur in Gebieten großer lokaler Geschwindigkeitsänderungen (z.B. in der Nähe fester Wände) zum Tragen kommt.

8-2

Diese Aussage wird an späterer Stelle noch einmal ausführlich begründet.

ds

ρgdV

s

z

pdA

(p + dp) dA

ds dzψ

c o sψ = −d zd s

ψ

dAdssppdAdpp )()(

∂∂

+=+

Abb.: 8-1 Zur Herleitung der Eulerschen Gleichung in s-Richtung

Das Newtonsche Grundgesetz soll nun auf ein inkompressibles Fluidelement angewendet werden.

Bild 8-1 dient der Aufstellung des Kräftegleichgewichtes in s-Richtung.

Für die Kräftgleichung in s-Richtung ergeben sich folgende Zusammenhänge

Druckkraft: dV

spdAds

spppdA

∂∂

∂∂

−=+− )(

Schwerkraft: dsdzgdVgdV ρψρ −=cos

Damit lautet die Kräftebilanz:

.dsdzdVgdV

dsdp

DtDudV ⋅⋅−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅ ρρ

8-3

Durch Division mit der Masseneinheit ρ dV folgt die eulersche Kräftegleichung für den Stromfaden

dsdzg

dsdp

suu

tu

−−=∂

+∂∂

ρ∂ 1

Die Eulersche Kräftegleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Trägheits-, Druck- und Schwerkraft. Sie gilt nur für reibungsfreie Strömungen (bei reibungsbehafteten Strömungen würde auf der rechten Seite der Gleichung zusätzlich eine Reibungskraft auftreten; die Kräftegleichung wird dann Navier-Stokes-Gleichung genannt). Die Grundgleichungen der Stromfadentheorie lauten damit für inkompressibele Fluide in einem stationären Feld:

Kontinuitätsgleichung: ( ) 0=uAd

Kräftegleichung: .2

2

dzgdpud −−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ρ

Demnach liegen zwei Gleichungen für die Bestimmungsvariablen vor. Angesichts der Tatsache, daß die Bewegung des Fluids durch diese Gleichungen vollständig beschrieben wird, wirft sich die Frage auf, welche zuzsätzliche Aussage die Eulersche Gleichung senkrecht zum Stromfaden liefert.

9-1

1

9. Allgemeiner Abriß der Kreiselpumpen und Gebläse Dieser kurze Abriß der Strömungsmaschinen zielt darauf ab, die Studierenden mit dem Verhalten von Kreiselpumpen und Gebläsen ein wenig vertraut zu machen. Diese Auswahl aus den hinsichtlich ihrer Wirkweise und Bauform sehr vielfältigen Energiewandlungsmaschinen begründet sich zunächst schlicht darin, daß letztere in dieser Vorlesung ohnehin nicht vollständig behandelt werden können. Überdies spielen Kreiselpumpen zum Transport von flüssigen Medien in der Getränke- und Lebensmitteltechnologie eine überragende Rolle: Suppen, Milch, Milchprodukte, Bierwürze, Säfte u.v.m. Um die Strömungsmaschinen detaillierter zu besprechen, scheinen noch einige Bemerkungen und Definitionen angebracht. Alle folgenden Ausführungen beziehen sich auf newtonsche und näherungsweise inkompressible Fluide. 9.1 Radiallaufrad Es gibt Radialmaschinen, Axialmaschinen (Hauptströmungsrichtung ist axial) und Mischformen (halbaxial). Die eulersche Gleichung gilt unabhängig von der Maschinenform. Am Beispiel der Radialmaschinen werden die sog. Geschwindigkeitsdreiecke und die sie erzeugende Geschwindigkeitskomponenten noch näher erklärt. In Bild 1.1 ist das Laufrad eines Radialgebläses oder einer Radialkreiselpumpe skizziert. Weiterhin sind diverse Geschwindigkeitsvektoren eingetragen. Der Index "1" bezieht sich auf den Eintritt in das Laufrad, der Index "2" auf den Austritt.

Bild 1.1: Die Geschwindigkeitsdreiecke am Ein- und Austritt eines Radiallaufrades.

ω

w1

u1

u2c2

w2

c1

9-2

2

Die drei Geschwindigkeitsvektoren ur , cr und wr haben folgende Bedeutungen: a) Der Vektor ur stellt die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades am jeweiligen

Radius r dar, d. h.

ω⋅= ru wobei ω die Winkelgeschwindigkeit darstellt. ur ist also stets tangential zu dem Kreis, den der betrachtete Laufradpunkt beschreibt.

b) Der Vektor cr ist die Fluidgeschwindigkeit in einem ortsfesten Koordinatensystem ("Absolutgeschwindigkeit").

c) Der Vektor wr ist die Relativgeschwindigkeit zwischen zwischen Fluid und Laufrad (an der betrachteten Stelle 1 oder 2).

d) Ein "stoßfreier Eintritt" ist dann gegeben, wenn die Richtung des Geschwindigkeitsvektors 1wr mit der Tangente der Schaufel am Laufradeintritt zusammenfällt.

e) "Schaufelkongruente Strömung" liegt vor, wenn die Stromlinien der Schaufelkontur folgen.

In der Lebensmittel- /Getränketechnologie werden vorrangig Radialmaschinen eingesetzt. Deshalb, aber auch weil die Radialmaschine etwas anschaulicher ist, wird über das "Innenleben" der Axialmaschine hier nicht gesprochen - von gelegentlichen Bemerkungen in der Vorlesung und den Übungen abgesehen. 9.2 Euler - Turbinengleichung Herleitung Voraussetzungen:

1. newtonsche und näherungsweise inkompressible Fluide 2. Radialmaschinen, Halbaxialmaschinen und Axialmaschinen 3. am Bespiel der Radialmaschinen werden die sog.

Geschwindigkeitsdreiecke und die sie erzeugenden Geschwindigkeitskomponenten erklärt.

ω

9-3

3

Die Abbildung zeigt das Laufrad eines Radialgebläses oder einer Radialkreiselpumpe skizziert. Weiterhin sind diverse Geschwindigkeitsvektoren eingetragen. Der Index „1” bezieht sich auf den Eintritt in das Laufrad, der Index „2” auf den Austritt. Der Geschwindigkeitsvektor c

r mißt nach Große und Richtung ein im

ortsfesten Laborsystem stehenden Beobachter. Ein auf Laufrad befindlicher, also mitrotierender zweiter Beobachter mißt hingegen dir relative Geschwindigkeit wr (zur Verdeutlichung: Flußüberquerung in einem Boot).

βα

Beispiel zur Verdeutlichung der drei Geschwindigkeitsvektoren. Die Eulersche Turbinengleichung (gilt für alle STM) Die Eulersche Turbinengleichung ist die grundlegende Beziehung für die Energieumsetzung zwischen Maschine und Fluid bei

• inkompressiblen, • newtonschen Fluiden. Im Gegensatz zum Verdichter werden hier nur isotherme, rein strömungsmechanische Vorgänge behandelt. Das Wort „Turbinengleichung” soll keine Einschränkung bedeuten: Der abzuleitende Zusammenhang zwischen Energie - Zu- oder Abfuhr und den Beträgen der sechs Geschwindigkeiten

),,,,,( 212121 wwuuccfpe g =∆=

gilt gleichermaßen für die hier im Vordergrund stehenden Arbeitsmaschinen Gebläse und Kreiselpumpe (für Axial- und Radialmaschinen). Gesucht: Zusammenhang zwischen der zu- (oder ab- ) geführten Energiedichte

e = ∆pg und den Beträgen der Geschwindigkeitsvektor unter der Voraussetzung der Verlustfreiheit.

9-4

4

Energiedichten am Eingang („1”) und Ausgang („2”):

21111 2

cgzpe ρρ ++=

22222 2

cgzpe ρρ ++=

Energieumsatz in einem ortsfesten Koordinatensystem:

12 eeepg −==∆

( ) ( ) eprrwwzzgpp g =∆=−−−+−+− 21

22

221

221212 22

)( ωρρρ

ω

ϑ

ϕ

Abb.: Zur Eulerschen Turbinengleichung in einem gleichförmig rotierenden System

Koordinatensystem x, y, z rotiert mit ω = const. um die z-Achse. Für den mitrotierenden Beobachter ergibt sich zweierlei:

a) die Strömung wird in diesem rotierende System stationär b) die beobachtete Geschwindigkeit des Fluides ist w, nämlich die

Relativgeschwindigkeit zwischen Laufrad und Fluid

9-5

5

dVfdF ss ⋅= und admdFs ⋅= . Damit gilt:

dtdwdmdVfs ⋅=⋅ und man erhält die Ausgangsgleichung:

0* =−dtdw

dVdmfs Gl. (1).

dFs ist die in Stromlinienrichtung wirkende resultierende äußere Kraft auf das Fluidelelement dm in s-Richtung. Gegenüber dem ortsfesten System muß noch zusätzlich die Zentrifugalkraft dZ, die auf ein betrachtetes Fluidelement, berücksichtig werden. Somit gilt:

44 344 21

444 3444 21

ϕ

ϑ

ϕρ

ϑωρ

cos

cos

2

cos

cos

⋅

⋅

⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅+⋅⋅∂∂

−⋅−⋅=

gdF

dZ

s

gdV

rdVdAdsspdApdApdF

dZ = dm . r ω2 mit. Diese Gleichung wird durch dA . ds (= dV) geteilt und man erhält die Kraft fs.

ϕρϑωρ coscos2 ⋅+⋅+∂∂

−= grspf s

mit

sz

∂∂

−=ϕcos sr

∂∂

=ϑcos

Damit wird

szg

srr

spfs ∂

∂⋅−

∂∂

⋅+∂∂

−= ρωρ 2. Damit in die Gl. (1):

02 =⋅−∂∂

⋅−∂∂

⋅+∂∂

−dtdw

dVdm

szg

srr

sp ρρω

Für stationäre Vorgänge kann ∂ durch d ersetzt werden: Aus dem gleichen Grund gilt:

9-6

6

{.

2

2

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

+∂∂

=

=

wdsd

tw

sww

dtdw

Aus den obigen Gleichungen folgt:

02 =⋅−∂∂

⋅−∂∂

⋅+∂∂

−dtdw

dVdm

szg

srr

sp ρρω

.022

222 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

∂∂

−w

dsd

szgr

dsd

sp ρρρω oder:

.022

222 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

wdsd

dsdzgr

dsd

dsdp ρρρω

Diese Gleichung kann umgeschrieben werden zu:

021

2222 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅−++ rwgzp

dsd ρωρρ

Durch Integration dieser Gleichung längst der Stromlinie zwischen (1) und (2), ergibt sich die von einem mitrotierenden Beobachter festgestellte modifizierte Bernoulli-Gleichung für verlustfreie Strömung in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden Kanal:

( ) ( ) 022

)( 21

22

221

221212 =−−−+−+− rrwwzzgpp ωρρρ

Mit der Umfangsgeschwindigkeit u = rω ergibt sich für die Differenz des statischen Druckes zwischen 1 und 2:

( ) ( ) ( )21

22

21

221212 22

uuwwzzgpp −+−−−−=−ρρρ

Damit (p2 – p1) gehen wir in die Gleichung für den Energieumsatz:

( ) ( )21

22121212 2

cczzgppeepg −+−+−=−=∆ρρ

Wird hier die vorletzte Gleichung für die Differenz des statischen Druckes eingesetzt, so ergibt sich die Eulersche Turbinengleichung in der 1. Form:

9-7

7

( ) ( ) ( )( )21

22

21

22

21

222

wwuuccpe g −−−+−=∆=ρ

Diese Gleichung gilt für die verlustfreie Energieumsetzung Fluid ↔ Maschine. In der Gleichung werden keine Reibungsverluste oder durch Grenzschichteffekte bedingte Ablösungen an den Schaufeln berücksichtigt. Außerdem ist sie nur für eine schaufelkongruente Strömung gültig. Die 2. Form der Eulergleichung Durch Umstellung der 1. Form

( )[ ]21

21

21

22

22

22 )(

2wucwucpe g −+−−+=∆=

ρ

Nach dem Kosinus-Satz

α

αcos2222 ⋅−+= uccuw

αcos⋅= ccu

ucucuwuc ⋅=⋅⋅=−+ 2cos2222 α

Daraus ergibt sich die Eulergleichung in der 2. Form

[ ].1122 uug cucupe ⋅−⋅=∆= ρ

Welche der beiden Formen verwenden wird, entscheidet allein die Zweckmäßigkeit.

9-8

8

9.3 Kennlinien von Strömungsmaschinen Wie im Abschnitt 1.1 dargelegt, sollen hier ausschließlich Gebläse und Kreiselpumpen betrachtet werden. Zur Charakterisierung von ihrem Betriebsverhalten dienen Kennlinien, welche einen funktionellen Zusammenhang zwischen charakteristischen Größen graphisch illustrieren. Letztere lassen sich aus einfachen Überlegungen gewinnen. Dazu soll an die Überlegungen im Abschnitt 1.2 bezüglich der Euler- Gleichung angeknüpft werden: [ ]1122 uug cucup ⋅−⋅⋅=∆ ρ . Um diese Beziehung zu deuten, soll das Geschwindigkeitsdreieck noch einmal gezeigt werden:

Bild 1.4.1: Darstellung eines Geschwindigkeitsdreieckks Es ist offensichtlich, daß bei gegebenem Winkel β die Umfangsgeschwindigkeiten u proportional zu der Winkelgeschwindigkeit ω bzw. Drehzahl n: nccuu uu ~;;; 2121 . Aus der Eulergleichung folgt daher unmittelbar: 2~ np ⋅∆ ρ . Des weiteren läßt sich aus dem Geschwindigkeitsdreieck auf die Beziehung ncm ~ schließen. Die Massenerhaltung beim Durchströmen des Laufrades fordert: ncV m ~~& . Diese Ergebnisse bedeuten, daß sowohl ∆p als auch V& von n abhängen. Wegen VpP g

&⋅∆= gilt des weiteren 32~ nnnP ⋅=⋅ ρρ . Aus der Definition des Wirkungsgrades ergibt sich schließlich 3~ nPPW ⋅= ρ

η

w β α

cm c

cu u

9-9

9

Offensichtlich lauten die gesuchten charakteristischen Größen nVpP g ,,, &∆ und η. Hieraus lassen sich verschiedene Kennlinien definieren. In der Praxis interessiert häufig die Abhängigkeit ( )Vpg

&∆ für verschiedene Drehzahlen n. Bild 1.4.2 illustriert eine solche Kennlinie, wobei die Drehzahl als Kurvenparameter auftritt. Bei Kreiselpumpen ist es üblich, die Abhängigkeit der Förderhöhe

g

pH g

⋅∆

=ρ

oder der spezifischen Förderarbeit

ρ

gpV

∆=

vom Volumenstrom aufzutragen. Für die Auslegung des Antriebes der Energiewandlungsmaschinen interessiert

die Leistung als Funktion des Volumenstromes ( )VPW& (vgl. Bild 1.4.2).

Bild 1.4.2: Kennlinien von Strömungsmaschinen und ihre typischen Verläufe. Zur Beurteilung von dissipativen Effekten und sonstigen Verlusten wird darüber hinaus häufig die Abhängigkeit des Wirkungsgrades η vom Volumenstrom V& graphisch dargestellt (Bild 1.4.2). Die besprochenen Kennlinien lassen sich auch in dimensionsloser Form beschreiben.

w

V&V&[ ]m³/sV&

n3 > n2 > n1

n1

n2

n3

P[W]∆p [N/m²]

n1

n2

n3n2

η

n1

AVV && < AVV && >

9-10

10

9.4 Kavitation und Maßnahmen zu ihrer Vermeidung (in Vorbereitung auf den Versuch von Biergärung

Der Begriff "Kavitation" (lat. Cavus: = hohl) beschreibt eine Hohlraumbildung bei Flüssigkeiten. Diese Hohlräume sind beispielsweise Blasen unterschiedlicher Größe und Gestalt. Man unterscheidet

- die Gaskavitation und - die Dampfkavitation.

Die Gaskavitation ist das (meist unerwünschte) Freiwerden von in der Flüssigkeit gelösten Gasen infolge einer Druckabsenkung. Unterschreitet der statische Druck den Lösungsdruck, z.B. infolge einer unzulässigen Erhöhung des kinetischen Druckes, so kann die dann einsetzende Gaskavitation von starker Blasenbildung bis hin zu einer Schaumentwicklung und dadurch zu einer Fehlfunktion des Systems führen. Beispiel: CO2- haltige Getränke in fehlerhaften Schankanlagen. Die Gaskavitation ist in Bezug auf Materialerosion harmlos, in Bezug auf die Funktionsfähigkeit von Anlagen, die Flüssigkeiten mit hohem, gelösten Gasanteil führen, aber durchaus eine potentielle Ursache für Funktionsstörungen. Die Dampfkavitation, der Inhalt der jetzt folgenden Ausführungen, hat ihren Namen in der Hohlraumbildung (Kavitationsblasen) infolge eines statischen Druckes p , der gleich oder kleiner ist als der jeweilige Dampfdruck pD der Flüssigkeit .Dpp ≤ Die entstehenden Kavitationsblasen (Hohlräume) sind mit dem Dampf der Flüssigkeit, nicht aber mit dem Fremdgas, erfüllt. Steigt der Druck in der Flüssigkeit wieder über den Dampfdruck pD an, so wird der Dampf wieder flüssig und die Dampfblasen, - genauer: die sie begrenzenden Flüssigkeitsoberflächen – brechen schlagartig zusammen. Man spricht von Implusion. Dies ist die Wurzel der Schädlichkeit und der Gefährlichkeit der Dampfkavitation. Im folgenden wird der Kürze halber nur noch von Kavitation, anstelle von Dampfkavitation, gesprochen. Die Kavitation hat zwei Aspekte, nämlich

- den hydrodynamischen und - den erosiven Aspekt.

9-11

11

Der hydrodynamische Aspekt bezieht sich im wesentlichen auf eine Erhöhung von Stromverlusten, beispielsweise einer Verschlechterung des Wirkungsgrades von Kreiselpumpen, den von Kavitation im allgemeinen am meisten betroffenen Bauelementen der hier interessierenden Industrieanlagen. Das Auftreten von Kavitation bewirkt üblicherweise zuerst nur diese Wirkungsgradverschlechterung (es gibt Kavitation ohne Erosion), aber bei weiterer Zunahme kavitationsfördernder Umstände tritt Materialerosion (Zerstören des die Flüssigkeit begrenzenden oder führenden Materials) auf. Diese Materialabtragung wiederum ist eine Zeitfrage: sie kann in Minuten erfolgen oder sich über lange Zeiträume erstrecken. Bild 1.6.1 zeigt Aufnahmen von Bauteilen, welche durch Kavitation stark beschädigt wurden.

Bild 1.6.1: Schäden durch Strömungskavitation. Natürlich soll hier nicht die Materialfrage behandelt werden. Vielmehr soll die strömungsmechanische Ursache betrachtet werden. Nach den obigen Erläuterungen kann Kavitation an irgendeinem Punkt 1 der Anlage erfolgen, wenn ( )Tpcpp Dg ≤−= 2

11 2ρ

wird. Darin ist pD der von der Temperatur T abhängige Dampfdruck der Flüssigkeit (Beispiel: Der Dampfdruck pD für Wasser beträgt bei 20°C ca. 0,02 bar, bei 100°C ca. 1 bar ). Erreicht oder unterschreitet der statische Druck p1 den Dampfdruck pD, so kann es zu der gefürchteten Dampfblasenbildung kommen. Diese Dampfblasenbildung erfolgt aber nur an sogenannten Phasengrenzflächen (z.B. Flüssigkeit- Gas oder Flüssigkeit- Feststoff). Es bedarf also sogenannter

9-12

12

Kavitationskeime (kleine,feste Partikel oder sehr kleine Gasblasen), damit Dampfblasen entstehen. Der Eintritt der Kavitation hängt also vom Grad der „Sauberkeit“ (Keimfreiheit) und somit von der Vorgeschichte des Fluides ab. Die Gasbläschen, die als Keime zur Kavitation führen, haben Abmessungen in der Größenordnung von 1- 20 mµ . Der Grund für das notwendige Vorhandensein von Keimen liegt im Kapillardruck. Für eine Kugelförmige Blase oder Tropfen ist der Kapillardruck, d.h. der Druckunterschied p1 – p2 zwischen dem Inneren der Kugel (p1) und der Umgebung (p2)

.2

21 rpp oσ

=−

mit σo als Oberflächenspannung in N/m und r dem Kugelradius. Die Oberflächenspannung σo ist eine Konstante, die von der Materialpaarung (z.B. Flüssigkeit- Luft oder Flüssigkeit- ihr eigener Dampf) abhängt. Der Kavitationskeim sorgt dafür, daß sich die Dampfblase mit endlichem Radius r, also auch relativ geringem Kapillardruck bilden kann. Setzen wir realistisch das Vorhandensein von Kavitationskeimen voraus, so ist die Kavitation noch in hohem Maße vom Dampfdruck pD abhängig, der seinerseits widerum abhängt von der Art der Flüssigkeit (Materialeigenschaft) und der Temperatur. Um Kavitation auch bei Anwesenheit von Keimen, sicher zu vermeiden, wird man sich bemühen, den in einer Maschine oder Anlage Vorkommenden niedrigsten statischen Druck p nicht unter den Dampfdruck pD oder einen durch das Experiment festgestellten Druck sinken zu lassen. Die Materialerosion durch Kavitation wird durch die schematische Darstellung der Implosion einer Dampfblase erklärt, vgl. Bild 1.6.2.

Bild 1.6.2: Zum Mechanismus der Materialerosion durch die Implosion von

Kavitationsblasen.

steigenderDruck

steigenderDruck

Flüssigkeits-strahl

Zeit t1 t2 t3

9-13

13

Im linken Bildteil ist das Beispiel eines Strömungsfeldes mit Druckgradienten – aber auch senkrecht – zur Strömungsrichtung dargestellt, in das stark vergrößert eine Kavitationsblase eingezeichnet ist. Im rechten Bildteil wird der Zeitablauf der Implosion dieser Blase skizziert. (Solche Zeitabläufe werden mit Hochgeschwindigkeitsfotografie bei einer Bildfrequenz von ca. 106 Bilder/sec. gewonnen). Die Dampfblase beginnt sich auf der Seite des höheren Druckes im Geschwindigkeitsfeld zu verformen. Der Kollaps der Blase beginnt, wenn der Außendruck den Dampfdruck, bzw. den Druck in der Blase übersteigt. Der bei der Implosion entstehende Flüssigkeitsstrahl (Microjet) erhält eine so hohe Geschwindigkeit, daß bei seinem Auftreffen auf eine materielle Wand punktuelle Drücke von 104 - 105 bar und Temperaturen von 104 K entstehen können. Diese Werte legen es nahe, daß es neben mechanischer auch wahrscheinlich zu chemischer Erosion kommt. Es sind häufig Lumniszenzerscheinungen zu beobachten. Die Implosionszeit liegt in der Größenordnung von 10-7s, d.h. einer Zeit, in der Licht im Vakuum eine Strecke von 30m zurücklegt. Akustisch kann die Kavitation in einer Kreiselpumpe durch Geräusche wahrgenommen werden. Wie bereits erwähnt sind Kreiselpumpen besonders durch Kavitation gefährdet. Um den Druck an jeder Stelle der Anlage oberhalb des Dampfdruckes zu halten, liegt es also gemäß der Bernoulli- Gleichung an der Hand durch

- Vergrößerung des Eintrittsdruckes pe (und damit des gesamten Druckniveaus),

- Tiefersetzen der Kreiselpumpe - Verringerung der Strömungsverluste HVS

(z.B. Rohrleitungdurchmesser, Zahl der Krümmer etc.) die Sicherheit gegenüber Kavitation zu erhöhen.

9-14

9.5 Die Dichte und die Begriffe der Kompressibilität [Inkompressibilität] (1)

Die Dichte eines Stoffes ist definiert durch

dVdm

Vm=

∆∆

= limρ

Ist der Stoff homogen (die physikalischen Eigenschafen sind ortsunab-hängig), kann man vereinfacht schreiben

Vm

=ρ

Die Dichte gibt an, wieviel Masse m das Volumen V ausfüllt, wobei diese abhängig ist vom der Temperatur T und dem Druck p

),( Tpρρ =

Üblicherweise wird bei Flüssigkeiten die Druckabhängigkeit vernachläs-sigt, sofern man sich nicht mit der Hochdruckphysik (p>100bar) beschäf-tig.

Zur Beschreibung der Kompressibilität wird das vollständige Differential gebildet

dTp

dpp

dpT

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=ρρρ

In dieser Gleichung bedeuten die Indices bei den partiellen Ableitungen jeweils das Konstanthalten von T bzw. p.

Durch eine Division durch ρ erhält man

dTT

dpp

d

pT

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅=ρ

ρρ

ρρϑ 11

9-15

Der erste Koeffizient

TT p ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅=ρ

ρβ 1

wird als isothermer Kompressibilitätskoeffizient,

der zweite

pp T ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⋅=ρ

ρβ 1

als isobarer Wärmeausdehnungskoeffizient

bezeichnet.

Damit kann obige Gleichung geschrieben werden

,dTdp pT ⋅−⋅=∂ ββρρ

mit ρρ∂ : totale, bezogene Dichteänderung,

dTT ⋅β : Dichteänderung infolge Druckänderung,

dTp ⋅β : Dichteänderung infolge Temperaturänderung (Minuszeichen deutet auf Dichteverminderung mit steigender Temperatur hin). Bei einer festgehaltenen Masse folgt (dm=0)

VdV

−=∂ρρ

d.h. die Dichteänderung ist bei festgehaltener Masse mit reiner Volumen-änderung verbunden.

9-16

Für die Inkompressibilität gilt daher

,0==∂

VdV

ρρ

wobei eine spezielle Inkompressibilität gegenüber

Druckänderung durch 0=Tβ beschreiben wird.

Zahlenbeispiele zur Dichte und ihrer Änderung infolge Druck und Tem-peratur (bezogen auf 1 und 0°C)

Wasser Methanol Luft CO2 ρ Kg/m3 999,8 810 1,275 1,951

510⋅Tβ M2/N 0,0001 0,000 1,007 1,007 310⋅pβ 1/K -0.085 1,19 3,674 3,746

Die Dichte der Flüssigkeiten liegt fast um 3 Großenordnungen über der der Gase.

9-17

9.6 Isotherme und adiabate Zustandsänderung Wird eine gegebene Masse m eines Gases von einem Druck p1 auf einen höhe-ren Druck p2 verdichtet, so kann dies bezgl. Der Temperaturänderung des Gases während der Kompression in verschiedener Art erfolgen. Die beiden Extremfäl-le, zwischen den realen Vorgänger sind der isotherme und der adiabate Verdich-tungsvorgang. Wenn sich der Kolben von rechts nach links bewegt, erhöht sich der Druck, da sich das eingeschlossene Gasvolumen verkleinert. Für das ideale Gas gilt die allgemeine Gasgleichung:

TRvp ⋅=⋅ oder TRvp ⋅⋅=⋅ ρ oder TRmvp ⋅⋅=⋅

mit ρ1

=v und Vm

=ρ

Die Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen den Zustandsgrößen p (Druck), v (spezifisches Volumen) und T (absolute Temperatur). M ist die Gas-masse, die das Volumen V einnimmt. R ist die individuelle Gaskonstante:

Gas R in J/kgK Luft 287 CO2 189 NH3 488

Bei Veränderung des Volumens wird der Druck sich ebenfalls ändern. Wie er sich ändert hängt jedoch von der Temperatur ab:

1. Isotherme Zustandsänderung: T=const. Während der Verdichtung bleibt aufgrund einer idealen Wärmeleitung zur Außenwelt die Gastemperatur konstant: pV=const.

2. Adiabate Zustandsänderung (adiabat = nicht hindurchtretend)

Zwischen dem eingeschlossenem Gasvolumen und der Außenwelt findet kein Wärmeaustausch statt (ideale Wärmeisolation). Während der Volumenverkleine-rung findet außer der Druckerhöhung auch eine Temperaturerhöhung statt. Der Zusammenhang wird durch die Adiabatengleichung wiedergegeben:

.constVp =⋅ κ

9-18

Gasart Adiabatenexponent Einatomige Gase 1,66 Zweiatomige Gase (Luft) 1,40 Drei- und mehratomige Gase (CO2, NH3) 1,30

Vergleicht man die Zustandänderungen im p, V-Diagram so erkennt man, dass die Isotherme verläuft:

P

V

Adiabate

Isotherme

Adiabate und Isotherme im Vergleich

Die tatsächlichen Kompressions- (oder Expansions-) Vorgänge in der Maschine liegen zwischen diesen beiden Extrema: man spricht von polytropen Zustands-änderungen:

.constVp n =⋅

mit dem Polytropenexponenten

κ≤≤ n1

Dies bedeutet, daß die adiabate Kompression erheblich mehr Arbeit als die Iso-therme erfordert, was bei Strömungsarbeitmaschinen für Gase (Verdichter) zur Berücksichtigung der adiabaten Kompressionsarbeit zur Folge hat.

9-19

Die Ableitung der Beziehung soll nicht an dieser Stelle erfolgen, nur das Ergeb-nis wird hier angegeben:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−==

−

11

1

1

21

κκ

κκ

ppTR

mEH adiabat

adiabat

Die Gleichung beschreibt, wieviel Energie pro Masseeinheit in ein Gas von ei-ner Strömungsmaschine aufgewendet werden muß, um es vom Druck p1 auf den Druck p2 zu verdichteten.

Daraus läst sich auf folgern, dass es bei der Kompression eines Gases (Material-konstanten R und κ) nicht auf die Absolutdrücke ankommt, wohl aber auf des Verhältnis der beiden Drücke, zwischen denen das komprimiert werden soll.

Diese Kompressionsarbeit läst sich im p, V-Diagramm durch die Fläche A-B-C-D darstellen.

P

V

Adiabate

Isotherme

C

D

B

A

Die graphische Darstellung der adiabaten Kompressionsarbeit

9-20

9.7 Unterscheidung Arbeits- und Kraftmaschinen

Arbeitsmaschinen (Energiefluss von Maschine auf Fluid)

Kraftmaschinen (Energiefluss vom Fluid auf Maschine)

Radial- und Axialgebläse, Ventilatoren (G) Radial- und Axialverdichter (G) Kreiselpumpe (F) Rührwerke (F)

Windräder (G) Turbinen: Wasserturbinen (F), Dampfturbinen (G), Gasturbinen (G)

Hubkolbenmaschinen: Kolbenpumpe (F) Drohkolbenmaschine: Rootsgebläse (G) Andere Verdrängermaschinen: Schlauchpumpen (F), Membranpumpen (F), Monopumpen (F)

Hydromotoren (F)

9-21

9.7.1 Gemeinsamkeit und Unterschiede bei Pumpen, Gebläse und Verdichtern

Flörderung von Flüssigkeiten

Förderung von Gasen

Kreiselpumpen Gebläse Verdichter a) Isothermie (T=const.) b) Inkompressibilität (ρ=const.) c) Kavitation

a) Isothermie (T=const.) b) Inkompressibilität (ρ=const.) c) Annährung an Schallgeschwindigkeit vermeiden

a) Temperaturerhöhung (T≠const.) b) Dichteänderung (ρ≠const) c) Annäherung an Schallgeschwindigkeit vermeiden

Der Unterschied zwischen Gebläse und Verdichter liegt in der Gesamtdruckerhöhung der Maschine Der Große Unterschied zwischen der Förderung von Flüssigkeiten und der von Gasen liegt im möglichen Auftreten von Kavitation bei Flüssigkeiten. Kreiselpumpe und Gebläse sind zumindest in technisch brauchbarer Näherung vergleichbar. Die Behandlung der Verdichter erfordert aufgrund der Kompressibilität thermodynamische Überlegungen.

9-22

9.7.2 Gebläse und Verdichter Gebläse und Verdichter unterscheiden sich hinsichtlich der Gesamtdruckerhöhung oder besser, hinsichtlich der Enthalpie. Im Prinzip handelt es sich dabei um denselben Maschinentyp. Sobald die Erhöhung des Gesamtdrucks (oder in Spezialfällen des statischen Druckes) die Dichte- und Temperaturänderung vernachlässigt werden kann, Spricht man von Gebläsen oder Ventilatoren. Bei Verdichtern muß die mit der Kompression zusammenhängende Dichte- und Temperaturänderung berücksichtig werden.

Isotherme und adiabate Zustandsänderung:

Die kompression eines Gases (Hub eines Kolbenverdichters)

9-23

9.7.3 Übergang vom Verdichter zum Gebläse (kleine Druckerhöhungen) Übergang zu kleinen Druckerhöhungen:

ppp ∆+= 12

Damit wird aus der Klammer

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

111

1

1

1

1

2κκ

κκ

pp

pp

Wenn der Ausdruck ∆p/p<<1 ist, so kann die runde Klammer nach einer Binominalreihe entwickelt und nach dem linearen Term abgebrochen werden. Damit wird aus obiger Gleichung:

111

11 p

pVpEadiab∆⋅

−⋅⋅⋅

−≈

κκ

κκ

oder

1VpE ⋅∆≈

Da sich das Volumen V1 beim Übergang zu kleinen Druckerhöhungen nicht ändern soll (Inkompressibilität) kann der Index weggelassen werden, und es entsteht:

VpE ⋅∆≈

für kleine Druckerhöhungen. Der der ‚inkompressiblen’ (d.h. V=const) Energiezufuhr zugeordneten Fläche der adiabaten Kompressionsarbeit gegenüber. Der Fehler, den man bei der Berechnung der Kompressionsarbeit unter Annahme der Inkompressibilität macht, liegt bei einer Druckerhöhung von 300 Pa bei 1%. Bei einer Druckerhöhung von 1 bar hingegen bereits bei 30,2 % (bei einem Ausgangsdruck von 1 bar).

Es hängt nun von der Größe des zulässigen Fehlers ab, bis zu welcher Grenze man von Gebäsen (inkompressible Näherung) spricht. Die Grenze Gebläse-Verdichter ist also willkürlich.

9-24

In den folgendenden Abbildung sind Strömungsarbeitsmaschinen für Gase nach Industrieangaben zusammengestellt. Daraus kann man Anhaltspunkte ableiten, welcher Maschinentyp für einen Anwendungsfall zur Diskussion stehen kann.

∆