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Technische Mechanik Formelsammlung

Institut für Festkörpermechanik

Fakultät Maschinenwesen

Version: Mai 2017

Nachfolgend wird von den Bilanzgleichungen der Kontinuumsmechanik:

Massenerhaltung Impulserhaltung Drehimpulserhaltung Energieerhaltung

- ohne zusätzlichen Hinweis darauf - Gebrauch gemacht.

Inhaltsverzeichnis

Statik Ebene Statik .......................................................................................... 1 Lasten (Kräfte und Momente) ...................................................... 1 Tragwerkselemente ...................................................................... 4 Lagerungen .................................................................................. 5 Gelenke ........................................................................................ 6 Schnittgrößen beim Balken .......................................................... 7 Räumliche Probleme ............................................................................. 8 Lasten (Kräfte und Momente) ...................................................... 8 Lagerungen und Gelenke (Beispiele) ........................................ 10 Schnittgrößen beim Balken ........................................................ 11 Reibung................................................................................................ 12

Festigkeitslehre Grundlagen .......................................................................................... 13 Spannungen ............................................................................... 13 Verzerrungen .............................................................................. 15 HOOKEsches Gesetz ................................................................. 16 Zulässige Spannungen............................................................... 18 Vergleichsspannungen ............................................................... 19 Linientragwerke ................................................................................... 21 Zug (Druck) ................................................................................. 21

Biegung....................................................................................... 21 Reine Torsion ............................................................................. 24 Querkraftschub ........................................................................... 25 Federn ........................................................................................ 26 Satz von CASTIGLIANO ............................................................ 27 Stabilitätsproblem Knicken ......................................................... 27

Flächentragwerke ................................................................................ 28 Rotationsschalen ........................................................................ 28

Kreis- und Kreisringscheiben .................................................... 29 Kreis- und Kreisringplatten ......................................................... 30

Formelsammlung Technische Mechanik i

Resultat1.pdf

Resultat1.doc

Seite5.pdf

Kinematik Kinematik des Punktes ............................................................... 32 Kinematik des starren Körpers ................................................... 34

Kinetik starrer Körper Translation .................................................................................. 36 Beliebige Bewegung ................................................................... 37

Bewegung in der x,y-Ebene ....................................................... 39

Gerader zentrischer Stoß ........................................................... 41 LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art ......................................... 42 Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 .................................... 43 Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1 ...................... 47

Geometrie- und masseabhängige Kennwerte Schwerpunkt ebener Linienstrukturen ....................................... 48 Schwerpunkt ebener Flächen .................................................... 49 Schwerpunkt von Körpern .......................................................... 50 Flächenmomente 2. Ordnung .................................................... 51 Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion ........ 53 Massenmomente 2. Ordnung ..................................................... 54 Ergänzungen ....................................................................................... 58

ii Formelsammlung Technische Mechanik

Formelsammlung Technische Mechanik

1

Lasten (Kräfte und Momente) (Einzel-)Kraft

F

Vektorielle Darstellung Betrag, Richtung Koordinaten Moment bezüglich der z-Achse Resultierende Kraft aus n Kräften (Einzel-)Moment z

M

Vektorielle Darstellung

Statik

2 2

1 1

tan

mit:

RyR Rx Ry R

Rx

n n

Rx ix Ry iyi i

FF F F

F

F F F F

y

z x

F

Fy

exez

Fx

x

y

x y

x x y yF F

F F F

e e

2 2

tan

x y

y

x

F F F

FF

F

cos sinsin cos

x

y

F F FF F F

z z z y x zM x F y F M e e

z z zM M e

y

z x

Mz

Ebene Statik


2

Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten Gleichung der Wirkungslinie der äquivalenten Kraft Streckenlasten (auch: Linienlasten) in Längsrichtung des Balkens n: in Querrichtung des Balkens q: Reduktion der Streckenlasten äquivalente Einzellasten: (demonstriert an Streckenlast q)

1 1 1 1

n m n m

Rz iz kz i iy i ix kzi k i k

M M M x F y F M

Ry Rz

Rx Rx

F My xF F

A

q(z)

zl

dz A

FR

zR

q0

l

F =q lR 0

l/2 l/2

q0

lA

F =q l/R 0 2

2 3 l/ l/3A

223

0R

R

q lF

z l

0

2

R

R

F q llz

l

RF q z dz0

0

1 l

RR

z q z z dzF

q

nIntensität

Intensität


3

Gleichgewichtsbedingungen

Kräftegleichgewicht Momentengleichgewicht

10

n

ixi

F

1 1

0

n m

i iy i ix kzi k

x F y F M

10

n

iyi

F

mit: m - Anzahl der Einzelmomente (inklusive der reduzierten) n - Anzahl der Einzelkräfte (inklusive der reduzierten)

0R

F 0RzM


4

Tragwerkselemente Linientragwerke Eine Hauptabmessung dieser Tragwerke ist wesentlich größer als die beiden anderen.

Seil, Kette

(Fachwerk-)Stab

Torsionsstab

Knickstab

(Biege-)Balken

Flächentragwerke Zwei Hauptabmessungen dieser Tragwerke sind wesentlich größer als die dritte.

Scheibe (Belastung in Mittelfläche)

Platte (nur bei räumlichen Problemen) (Belastung Mittelfläche)

Schale (nur bei räumlichen Problemen

3D-Körper (nur bei räumlichen Problemen) Alle Hauptabmessungen dieser Tragwerke liegen in der gleichen Größenordnung.

Zwischen Stab und Balken bzw. zwischen Scheibe und Platte unterscheidet nur die Belastung. Die Geometrie kann jeweils gleich sein.

oder:

oder:


5

Lagerungen (Verbindungen von Linien- bzw. Flächentragwerken mit Umgebung)

Bezeichnung Symbol Lagerreaktionen Reduzierter Freiheitsgrad

Feste Einspannung

0

Tangential (zur Balkenlängsachse) verschiebliche Einspannung (Schiebehülse)

1

(Verschiebung von B tangential zur Balkenlängs-

achse)

Normal (zur Balkenlängsachse) verschiebliche Einspannung (Parallelführung)

1

(Verschiebung von B normal

zur Balkenlängs-achse)

Festlager (gelenkiges Lager)

1

(Drehung um B)

Loslager (Rollenlager)

2 (Verschiebung

von B entlang der Gleitebene,

Drehung um B)

Pendelstütze (Stützstab, Seil)

2 (Verschiebung

von B auf Kreis-bogen um C,

Drehung um B)

B

C

FB

FBh

MB

B

B

FB

FBh

FB

FS

B

B

B

FB

MB

FBh

MB


6

Zug-/Druckfeder (Federkonstante c)

2 (horizontale

Verschiebung von B, Drehung

um B)

Drehfeder (Federkonstante ct)

2 (horizontale und

vertikale Verschiebung

von B)

Gelenke (Verbindungen von Linien- und/oder Flächentragwerken miteinander)

Bezeichnung Symbol Gelenkaktionenund -reaktionen

Reduzierter Freiheitsgrad

(Momenten-) Gelenk

1

(Drehung um G)

Normalkraftgelenk (Schiebehülse)

1 (relative Ver-

schiebung beider Balken tangential zu deren Längs-

achsen)

Querkraftgelenk (Parallelführung)

1

(relative Ver. Schiebung beider Balken normal zu

deren Längs-achsen)

F = c

M = ct t

B

c t

B

c

G

beliebig F FG G

F FGh Gh

F F

MM

G G

GGG

G

F F

MM

G G

GG


7

Schnittgrößen beim Balken Definition Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Streckenlasten

Für entgegengesetztes z gelten die unteren Vorzeichen.

M b

FQ

Mb

FQ

FLFL

mit: FL – Längskraft (auch: FN – Normalkraft) FQ – Querkraft Mb – Biegemoment

2

2

( ) ( )( ) ( )

( )( )

bQ

b

Q

dM z F zd M zdz q z

dF z dzq z

dz

Auftragerichtung für M b

Mb Mb-+

( ) ( )LdF z n zdz

q

z dzn F +dFQ Q

FQ

F +dFL LFL

M +dMb bMb


8

Lasten (Kräfte und Momente) (Einzel-)Kraft

F

Vektorielle Darstellung Betrag Koordinaten Moment bezüglich des Punktes O

Resultierende Kraft aus n Kräften

x y z

x x y y z zF F F

F F F F

e e e

2 2 2

x y zF F F FF

coscoscos

x

y

z

F FF FF F

mit:

x x y y z z

x z y

y x z

z y x

M M MM y F z FM z F x FM x F y F

M r F e e e

Räumliche Probleme

F

y

yx

r

z

z

O

ez

ex e y

x

Fy

Fx

Fz

1

n

R ii

F F


9

(Einzel-)Moment

M

Vektorielle Darstellung

x y z

x x y y z zM M M

M M M M

e e e

Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten Weitere Streckenlast Torsionsstreckenlast Gleichgewichtsbedingungen

Kräftegleichgewicht Momentengleichgewicht

0

RF 0

RM

10

n

ixi

F

1 1

0

n m

i zi i yi kxi k

y F z F M

10

n

iyi

F

1 1

0

i

n m

i x i zi kyi k

z F x F M

10

n

izi

F

1 1

0

n m

i yi i xi kzi k

x F y F M

mit: m - Anzahl der Einzelmomente (inklusive der reduzierten) n - Anzahl der Einzelkräfte (inklusive der reduzierten) Reduzierte Lasten - Integrale von Linien-, Flächen- und Volumenlasten (analog zu S. 2).

1 1

n m

R i i ki k

M r F M

yy

r

z

z

O

ez

ex ey xx

My

Mx

Mz

M

mt

10 Formelsammlung Technische Mechanik

Lagerungen und Gelenke (Beispiele) Bezeichnun Symbol Lagerreaktionen Reduzierter

Freiheitsgrad

(Feste) Einspannung

0

Festlager (gelenkiges Lager)

3

(Drehung um x-, y-, z-Achse

durch B)

Loslager (Rollenlager)

5 (Drehung um

x-, y-, z-Achse durch B,

Verschiebung in x- und z-Richtung)

Pendelstütze (Stützstab, Seil)

5 (Verschiebung

von B auf Kugel-fläche mit Radius

BC um C, Drehung um B)

Hülse (ohne axiale Verschieblichkeit)

1 (Drehung um

z-Achse)

(Momenten-) Gelenk

3

(Drehung um x-, y-, z-Achse

durch G)

FBy

FF

Bz

Bx

M

M

M

By

Bz

BxB

xy

z

B

xy

zFBy

F

FBz

Bx

B

xy

z FBy

x

y

zBFBy

F

FBz

Bx

M

M

By

Bx

Gx

z

yF F

Gy Gy

FF F

Gz

Gx Gx

FS

B

C

B

Formelsammlung Technische Mechanik 11

Schnittgrößen beim Balken Definition oder:

mit: FL - Längskraft (auch: FN – Normalkraft) FQx , FQy - Querkräfte Mbx , Mby - Biegemomente Mt - Torsionsmoment Achsen x, y, z bilden körperfestes Rechtssystem z- Achse entlang der Schwerpunktachse, zeigt bei größerem Koordinatenwert aus dem Querschnitt heraus y- Achse zeigt nach unten

z

dz

y

Mbx

Mbx

Mt

MtFQx

FQx FLFL

FQy

FQy

Mby

Mby

SSx

Schnittfläche

z

dzy

Mbx

Mbx

Mt

MtFQx

FQx

FL

FL

FQyFQy

Mby

Mby

SS

x

Schnittfläche


Haftreibung 0H NF F Gleitreibung Gl NF F , entgegengesetzt zur

Relativgeschwindigkeit

Rollreibung Ro N

fF F

R

Seilreibung 0

2 1S SF F e Haften 2 1S SF F e Gleiten

mit: FH - Haftreibungskraft FGl - Gleitreibungskraft FRo - Rollreibungskraft FN - Normalkraft (Druckkraft) FS1, FS2 - Seilkräfte

0 - Haftreibungskoeffizient - Gleitreibungskoeffizient f - Hebelarm der Rollreibung R - Radius des Rollkörpers - Umschlingungswinkel

Reibung

} meist: fR


Spannungen Spannungsvektor

mit: Koordinaten:

n - Einheitsvektor in Normalenrichtung s - Einheitsvektor in Tangentenrichtung

Räumlicher Spannungszustand Spannungstensor

xx xy xz

kl yx yy yz

zx zy zz

Normalspannung

Tangentialspannung oder Schubspannung

, , ,

kl lk

kl kl

k l x y z

z

xy

zz

yy

xx

zyyz

xz

xy

zx

yx

Festigkeitslehre Grundlagen

dA

AFi

Mk

dFN

dFT

ns

dF

N

T

dFdA

dFdA

ddA

Ft n s


Hauptspannungen ( 1, 2, 3)i i aus: mit: Hauptspannungsrichtungen in aus: mit: Ebener Spannungszustand (ESZ) Spannungstensor

Für gedrehtes Koordinatensystem

3 21 2 3 0 i i iS S S

2 2

( )1

i ix x iy y iz z

i ikk

n n e n e n e

n n

xx xykl

yx yy

Einheitsvektor der i-ten Hauptspannungsrichtung

0

0

0

xx i ix xy iy xz iz

yx ix yy i iy yz iz

zx ix zy iy zz i iz

n n n

n n n

n n n

cos 2 sin 22 2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

xx yy xx yyuu xy

xx yy xx yyxy

xx yyu u xy

x

y

σxx

σxx

yx

yx

xy

xy

σyy

σyy

x

u

yσxxyx

xy

σyy

u

k = x, y, z

1 2 3

, ,

kl lk

kl kl

k l x y

1

2 2 22

2 2 23 2

xx yy zz

xx yy yy zz zz xx xy yz zx

xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy

S

S

S


Hauptspannungen Hauptspannungsrichtungen Verzerrungen Verschiebungsvektor

Räumlicher Verzerrungszustand Verzerrungstensor

Dehnungen Gleitungen

Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen wie beim räumlichen Spannungszustand ( ) kl kl S. 14

x y z

x x y y z z

u w

u u ue e e

u e e e

1 12 2

1 12 21 12 2

xx xy xz

kl yx yy yz

zx zy zz

, , ,

, , ,

, , ,

yx xxx x x xy x y y x

y y zyy y y yz y z z y

xz zzz z z xz x z z x

uu uu u ux y xu u uu u uy z y

uu uu u uz z x

, , ,2

kl lk

kl kl

k l x y z

22

1,2 2 2xx yy xx yy

xy

01,02

012

2tan 2

tan

xy

xx yy

xy

xx

für eindeutige Hauptspannungsrichtung 1

x

1

1

2

2

yσxx

yx

xy

σyy

2

u

y

z

O

ez

exey

x

uyux

uz

P

P'


Ebener Verzerrungszustand (EVZ) Verzerrungstensor

Für gedrehtes Koordinatensystem Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen wie beim ebenen Spannungszustand kl kl S. 15 HOOKEsches Gesetz Voraussetzung: isotropes Material

12

12

xx xy

kl

yx yy

1

1

1

1

1

1

xx xx yy zz

yy yy zz xx

zz zz xx yy

xy xy

yz yz

zx zx

TE

TE

TE

G

G

G

1cos2 sin 2

2 2 21

cos2 sin 22 2 2

sin 2 cos2

xx yy xx yyuu xy

xx yy xx yyxy

u u xx yy xy

x

u

y

xx u u

yy

2 u

2 xy

, ,2

kl lk

kl kl

k l x y


mit:

E – Elastizitätsmodul (YOUNGs Modul) G – Schubmodul – Querkontraktionszahl ( - POISSONsche Zahl) – Temperaturdehnzahl T - Temperaturdifferenz Sonderfall: Ebener Spannungszustand (ESZ) Sonderfall: Ebener Verzerrungszustand (EVZ)

1

1

1

xx xx yy

yy yy xx

zz xx yy

xy xy

TE

TE

TE

G

1 1 1

1 1 1

1

xx xx yy

yy yy xx

xy xy

TE

TE

G

2 1E G

1m


Zulässige Spannungen

mit:

Bei anisotropem Material zusätzlich mit analoger Definition.

zähes Material

sprödes Material

F

Fzul

B

B

S

S

))

( 1,2...2)( 4...9)

Fließfestigkeit (Bruchfestigkeit (Sicherheitsfaktor gegen FließenSicherheitsfaktor gegen Bruch

F e

B m

F F

B B

RR

S SS S

Sicherheitsfaktoren aus Regelwerken für jeweilige Anwendung

d zul


Vergleichsspannungen Festigkeitskriterium

mit: Vergleichsspannung

Bei anisotropem Material zusätzlich

Allgemein

Formulierung mit den Hauptspannungen 1 2 3 S. 14

Normalspannungshypothese Isotropes Material:

Anisotropes Material:

Schubspannungshypothese

Gestaltänderungsenergiehypothese

Analog für Zylinderkoordinaten:

2 1 3

2 2 23 1 2 2 3 3 1

2 2 2 2 2 2

121 32 xx yy yy zz zz xx xy yz zx

1 3 1 1

1 3 1 1 1 3

1 3 1 3

0 , 0 :0 , 0 :

0 , 0 :

und

d

d

1 3 1 1

1 3 1 3

:

:

2 2 2 2 2 23

1 32 rr zz zz rr r z zr

zul

d d zul


Linientragwerke (Balken, Wellen) S. 21 ff

Normalspannungshypothese

Formulierung mit den Hauptspannungen 1 2 (ESZ) S. 15

Isotropes Material:

Anisotropes Material:

Schubspannungshypothese


Flächentragwerke (Behälter, Scheiben, Platten – ESZ)


Behälter S. 28

Scheiben, Platten S. 29 ff

2 22 4

2 23 l u l u

2 23 rr rr

1 2 1 1

1 2 1 1 1 2

1 2 1 2

0 , 0 :0 , 0 :

0 , 0 :

und

d

d

1 2 1 1

1 2 1 2

:

:

2 23 3


Zug (Druck)

Sonderfall: ., 0 zz konst T

mit:

Biegung (Definition der Schnittgrößen S. 11, Definition der Verschiebungskoor-dinaten S. 15, Definition der Flächenmomente 2. Ordnung S. 51) Spannung Gerade Biegung (Biegung um Hauptträgheitsachse x)

mit: max

xxbx

IWy

Widerstandsmoment gegenüber Biegung

Schiefe Biegung, x, y – Hauptträgheitsachsen, einschließlich Längskrafteinfluss

( )( )( )

L z Lzz zz

F z du Fz TA z dz EA

Linientragwerke

A - Querschnittsfläche EA - Dehnsteifigkeit l - Längenänderung l - Ursprungslänge

zz

ll

bxzz

xx

M yI

maxmax

bxzz

bx

MW

bybxLzz

xx yy

MMF y xA I I


Gleichung der Spannungsnulllinie Schiefe Biegung, x, y – beliebige Schwerpunktachsen, einschließlich Längskrafteinfluss

mit:

Gleichung der Spannungsnulllinie

Verformung Gerade Biegung (Biegung um Hauptträgheitsachse x)

Differenzialgleichung 2. Ordnung

mit: ´ddz

Neigung

EI(xx) – Biegesteifigkeit

I(xx) – axiales Flächenträgheitsmoment S. 51

Randbedingungen für bzw. ´

( )

( )

´́ b x

xx

MEI

xMb(x) Mb(x)

xz z

y, y,

2

bx xy by xx xx yy xyL

bx yy by xy bx yy by xy

M I M I I I IFy xM I M I A M I M I

0 zz

0 zz

2 xx yy xyI I I I

bx yy by xy bx xy by xxLzz

M I M I M I M IF y xA I I

by xx xxL

bx yy bx

M I IFy xM I M A


Differenzialgleichung 4. Ordnung

Randbedingungen für , ´ , ( )´́ b xM , bzw. ( )´́ ´ Q yF

Schiefe Biegung, x, y – Hauptträgheitsachsen Schiefe Biegung, x, y – beliebige Schwerpunktachsen

( )

( )

´́ ´́ y

xx

qEI

´́

´́

bx

xx

by

yy

MEI

Mu

EI

1´́

1´́

bx yy by xy

by xx bx xy

M I M IEI

u M I M IEI


Reine Torsion

mit: z - Verdrehwinkel l - Stablänge - Drillung GIt - Torsionssteifigkeit It - Torsionsträgheitsmoment Wt - Widerstandsmoment gegenüber Torsion

- Torsionsstreckenlast Sonderfall: Kreis(ring)querschnitt mit: Ip - polares Flächenträgheitsmoment Ip = It = 2 Ixx= 2 Iyy

p

pa

IW

r - polares Widerstandsmoment Wp=Wt =2Wbx=2Wby

r – (beliebiger) Radius innerhalb des Querschnitts ra – Außenradius

max

t tz

t t

M MdW dz GI

max( ) t t

p p

M Mr rI W

Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion S. 53

z dz

mt

M +dMt tMt

tt

dMm = -dz


Querkraftschub Voraussetzung: x, y – Hauptträgheitsachsen

Massive Querschnitte (annähernd rechteckig) Schubspannungen

Dünnwandige offene Querschnitte Schubspannungen

0

0

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

mit:

Qy x Qx yzs

xx yy

l s

xsl s

ys

F S s F S ss

I s I s

S s y s s ds y s s ds

S s x s s ds x s s ds

Koordinaten des Schubmittelpunkts M

0

0

1( )

1( )

l

M x txx

l

M y tyy

x S s r s dsI

y S s r s dsI

zy

dy

S

A y( )

FQy

b yx( )

b yx( )y

y

yR

x~

~

~

~

( )

( )( )

( )

( ) ( )

statisches Moment der (unterlegten)Restfläche

mit:

R

Qy xzy

xx xy

x xy

A y

F S yy

I b y

S y y b y dy

y

z

FQy

s

s s=l

s=s=0r st( )

x S

MFQx

xM

yM

~~

( )s( )s ds

( )( )

( ) Qx y

zxyy y

F S xx

I b x

Analog:


Federn Federgesetze

Feder Federgesetz Potenzielle Energie

Zug-/Druck-Feder

Drehfeder

Ersatzfederkonstanten

Federschaltung Ersatzfederkonstante

Reihenschaltung

Parallelschaltung

Federkonstanten elastischer Linientragwerke

Beanspruchungsart Federkonstanten

Zug

Biegung

Torsion

1 2

1 2

1 1 1

1 1 1t t t

c c c

c c c

1 2

1 2t t t

c c c

c c c

FL

M t

c1 c2

c t2c t1

w

FL

M t

c1 c2

c t2c t1

w1 w2

1 2

EAc

lFL

EA, l

M t

GI , lt

tt

GIc

l

3 2

2

3 2:

2:

Q t

b t

EI EIF c cl lEI EIM c c

l l

FQ

M b

EI, l

F c w

t tM c

FL

c w

M t

ct

212

U c w

212

tU c


Satz von CASTIGLIANO Voraussetzungen: x, y – Hauptträgheitsachsen, T = 0

mit: U - linearelastische Verzerrungsenergie x, y - Schubfaktoren des jeweiligen Querschnitts

Stabilitätsproblem Knicken Kritische Kraft für EULERsche Knickfälle mit: Schlankheitsgrad i - Trägheitsradius S. 52

P - Proportionalitätsgrenze

)(für p

P

E

Kli

1 ( )

...

analog

i

nbyi byibxi bxi ti ti

kik xx k k t kl yyi ii

Qxi Qxi Qyi QyiLi Lixi yi i

k k ki i i

kk

M MM M M MUF EI F F GI FEI

F F F FF F dsEA F GA F GA F

UM

22Kk

E IF

l

FK FKFKFK

2 1 0,5lKl

: 0,7


Voraussetzung: Belastung, Geometrie, Materialverhalten sind rotationssymme-trisch: Spannungs- und Verzerrungszustand ist rotationssymmetrisch

Rotationsschalen (Behälter - Membrantheorie)

Behälter

Längs- spannung

Umfangs- spannung

allgemein

Kugelschale

Zylinder- schale

Kegelschale

2R

ph

Flächentragwerke

R1

p

hR2

l

l

u

u

1 2

: (Rotationsachse)

l u pR R h

h R

uu

p

pR

l

u u

h

p

h

u u

ll Ø2R

2R

ph

sinR p

h 2 sinR p

h

Rp

h


Kreis- und Kreisringscheiben

Differenzialgleichung mit: ( )ru r - Verschiebung in radialer Richtung

- Massendichte 2 n Winkelgeschwindigkeit (n – Drehzahl)

Allgemeine Lösung mit: Randbedingungen (je 1 pro Rand) für bzw. r rru Spannungen

1 2

0 ((

,

Vollscheibe)Innenradius Ringscheibe)

Integrationskonstanten aus Randbedingungen

a

C C

2

2

´ 11

´ 11

rrr r

rr

uE u Tr

uE u Tr

2

22

´ 1 1´´ ´ ´ 1 ´r rr r

u uu r u r Tr r r E

´r

2

2 31 2

1 1 1 ( )8

r

ra

u C r C r r T r drr E r

rr rr+d

2r

r dr

rr

d


Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 20 Dehnungen

Alternative Lösung (günstig bei Spannungs-Randbedingungen)

mit: K1, K2 – Integrationskonstanten Dehnungen wie oben

Kreis- und Kreisringplatten

2

2 31 2

2 21 22 2

2 21 22 2

1 1 1 1 1 ( )8

1 3 ( )8

1 1 3 1 ( )8

r

ra

r

rra

r

a

u K r K r r T r drE E r E r

EK K r r T r drr r

K K r E T r T r drr r

mn

z,w

dr

mr

p r( )qr+dqr

qr

mn

hd

r

mr +dmr

´

rrr r zz rr

uu Tr E


Differenzialgleichung mit: w(r) – Verschiebung der Plattenmittelfläche in z-Richtung Allgemeine Lösung für 0( ) .p r p konst mit: r0 - beliebiger Bezugsradius C1, …, C4 - Integrationskonstanten aus Randbedingungen

Randbedingungen (je 2 pro Rand) für w oder qr bzw. w´ oder mr

Schnittgrößen

Spannungen

Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 20 Dehnungen

3

212 1

´

PlattensteifigkeitKE h

ddr

2

´ ´´́ ´´

´́ ´´´´

r

r

w wm K w m K wr r

w wq K wr r

3 3

1212

2 2mit:

rrr

mm z zh hh hz

2 3

´´´ ´́ ´ 1 1 ( )´´´́ 2 ´ ´ ´ ´

w w w p rw w r r wr r r r r K

42 2 0

1 2 3 40 0

ln ln64p rr rw C C C r C r

r r K

´´́ 0 rr zzwz w zr


Kinematik-

Bewegung auf gerader Bahn

Weg ( )s s t

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Bewegung auf Kreisbahn (Dreh-)Winkel ( ) t

Winkelgeschwindigkeit

Winkelbeschleunigung

Bewegung auf beliebiger Bahn, verschieden beschrieben

Kartesische Koordinaten

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x y z

x y z

x y z

t x t y t z t

t x t y t z t

t x t y t z t

r e e e

r e e e

a r e e e

P

O

x

y

z

ez

exey

r t( )

y t( )

z t( )

x t)(

s

a s

( )

mit:

- Punkt auf Bahn

d ddt ds

P

Kinematik des Punktes

Ps t( )a

Bahn

22 n

T

P

O

r=konst.

( )t ( )

mit:

- Kreisfrequenz (Umlaufzeit) - Drehzahl

d ddt d

Tn


Natürliche Koordinaten Polarkoordinaten (ebene Bewegung)

2

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ρ( )

t t

t n

t t

tt t t

s s tt s t t

t t

e e

a e e

mit: - Krümmungsradius

e er

P

O

r( )t

2

( )( )

( ) ( 2 )CORIOLIS-Beschleunigung

r

r

r

r tt r r

t r r r r

ee e

a e e

r

en

e tP

O

s t( )

( )t


Translation

Ein Körperpunkt ( A bzw. B ) ist repräsentativ für alle Körperpunkte; Kinematik des Punktes anwendbar Rotation um raum- und körperfesten Punkt O Allgemeine Bewegung

Ebene Bewegung Momentanpol mit:

A AP

A AP

A AP AP

r r r

r r r

a r r r r

r r

a r r

PA

AP

O

rrA

r

P

A

AP

O

rrA

rer

e

e

ex

ey

ez

z AM A

er r

z A A y A xx ye e e

A

A´´A´

BB´ B´´

0t t1t t

2t t

2

A AP

A AP

AP AP

z

A z

e r

e

r r rr r

a r r r r

P

O

r

Kinematik des starren Körpers


2CORIOLIS-FührungsbeschleunigungBeschleunigung

B BP

B BP rel

B BP BP rel rel

r

r

a r r a

r rr rr r

Bewegung des Punktes P relativ zu bewegtem Bezugssystem mit: - absolute Winkelgeschwindigkeit des bewegten Bezugssystems

B (körperfestesBezugssystem)

B

B P

O

rr

rP


R SmF r 0

R SmF r

1 1

0 0

2 21 0 1 0

1 1( ) ( ) ( )2 2

t

R Rt

d t t dt m m T TF r r F

Kinetik starrer Körper- Translation NEWTONs statische Interpretation Bewegungsgleichung (D´ ALEMBERT) mit: m s - Hilfskraft (Trägheitskraft)

Mathematische Folgerungen für beliebige Translation

mit: 0, 1 - Indizes für Weganfang bzw. Wegende Für 0

RF (Impulserhaltung) : .konst

Mechanischer Arbeitssatz (Translation) mit:

RP F Leistung (bei Translation)

kinetische Energie (der Translation)

1

0

1 0( ) t

Rt

t dt mF

: 0F m s F m s

F

mSO

s geradlinige Translation infolge der Kraft F

F

mSO

s F

m

msSO

s

212

T m

beliebige Translation ( 0RM

)


1( ) ( ) ( ) ( )

n

R i ii

t t t t TF F

Mechanischer Energiesatz (Translation)

mit:

RF - Potenzialkraft U - potenzielle Energie (der Translation) Beispiele: Gewicht: Federenergie S. 26

Mechanischer Leistungssatz (Translation) Beliebige Bewegung Schwerpunktdefinition folglich:

Definition von Impuls und Drehimpuls Impuls

Drehimpuls bezüglich des Punktes O

0 0 1 1 .U T U T konst

1

0

2 20 1 1 0 1 0

1 1( )2 2

R d U U m m T TF r r

( )

1S

m

dmm

r r

: Höhemit -U mg h h

( )m

dm L r r

( )S

mdm m

p r r

dmS

m

O

rrS( )

1S

m

dmm

r r

dmS P

m

O

r

ri

rS

rSP

Fi

Mk

Schwerpunktsatz


1 1 1 2 3 2 3

2 2 2 3 1 3 1

3 3 3 1 2 1 2

R

R

R

M J J J

M J J J

M J J J

1

1

1

n

ixin

iyin

izi

Rx S

Ry S

Rz S

F

F

F

F m x

F m y

F m z

EULERs Grundgesetze der Kinetik Impulsbilanz

Drehimpulsbilanz

Formulierung im x,y,z-Koordinatensystem Impulsbilanz Drehimpulsbilanz

bezüglich körperfester Hauptträgheitsachsen 1, 2, 3i durch den Schwerpunkt S (EULERsche Gleichungen)

mit:

Koordinaten des resultierenden Moments(Massen-)Hauptträgheitsmomente Koordinaten der absoluten Winkelgeschwindigkeit

S. 54Ri

i

i

MJ

R SmF p r

RM L


1 1: 0 : 0

n n

ix s iy Si i

F m x F m y

Bewegung in der x,y-Ebene Statische Interpretation von Impuls- und Drehimpulsbilanz für verschiedene Bezugspunkte mit: zzJ - Hilfsmoment (Moment der Trägheit) Kräftegleichgewicht (für alle Bezugspunkte gleich)

Momentengleichgewichte

1 1

1 1

1 1

: 0

: 0

: 0

n m

iy i ix i k S S S S zzi k

n m

iy i B ix i B k S S B S S B zzi k

n m

iy i S ix i S k zzi k

O F x F y M m y x m x y J

B F x x F y y M m y x x m x y y J

S F x x F y y M J

bzw.

bzw.

S

Jzz

..

..

..

Fix

F iym, Jzzy

yi

yS

yB

y

z

xxixSxB

x

O

mxSmyS

Mk

B


Mechanischer Energiesatz

Sonderfall: Rotation um raumfeste Achse durch den Punkt A Bewegungsgleichung (analog zur Translation) mit mit: Satz von STEINER S. 54 Mathematische Folgerungen aus der Bewegungsgleichung

Für 0R zM (Drehimpulserhaltung) : Mechanischer Arbeitssatz (Rotation)

mit: RzP M Leistung (bei Rotation)

kinetische Energie (der Rotation)

1 1

0 0

2 21 0 1 0

1 1( ) ( ) ( ) 2 2R z R z

t

zz zzt

M d M t t dt J J T T

Rz zzM J

2 2 2 2 2 20 1 1 1 1 0 0 0 1 0

0 0 1 1

1 1 1 12 2 2 2

.

S S zz S S zzU U m x y J m x y J T T

U T U T konst

1 1

:n m

iy i ix i ki k

Rz F x F y MM

. .bzw.zzJ konst konst

1

0

1 0( )R z zz

t

zzt

M t dt J J

1 1

0n m

iy i ix i k zzi k

F x F y M J

2zz zz sJ J r m

2 2 2S S Sr x y

S. 2

212

T J

S

Fix

Fiy

m, J zz

y

yi

yS

y

z

zx

xixS

rS

x

Mk

O=AFAh

AF


Mechanischer Energiesatz (Rotation)

mit: R zM aus Potenzial ableitbar U - potenzielle Energie (der Rotation) Mechanischer Leistungssatz (Rotation) Gerader zentrischer Stoß

Geschwindigkeiten nach dem Stoß

mit: Stoßzahl

Geschwindigkeiten vor dem Stoß

Verlust an kinetischer Energie

1

0

2 20 1 1 0

0 0 1 1

1 1( )2 2

.

R z zz zzM d U U J J

U T U T konst

1 1 2 2 2 1 21

1 2

1 1 2 2 1 1 22

1 2

m m k mm m

m m k mm m

1 2

1 2

k

S1

S2

m1m2

1 2,

( 1: elastischer Stoß0 : plastischer Stoß )

kk

2

21 21 2

1 2

12k m mT T

m m

1( ) ( ) ( ) ( )

n

R i ii

t t t t TM M


LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art

mit: T - kinetische Energie des Gesamtsystems lq - verallgemeinerte Koordinate

lQ - verallgemeinerte Last aus

W - Arbeitszuwachs der eingeprägten Lasten

lq - virtuelle Verschiebung für konstant gehaltene Zeit f - reduzierter Freiheitsgrad

Sonderfall: Existenz einer potenziellen Energie U für alle verallgemeinerten Lasten

1, ...,ll l

T TQ l f

q q

0 mit :l l

L L L T Uq q

1

f

l ll

W Q q


Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 Anm.: Aufgeführt sind jeweils die Beziehungen für Schwingungen

mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung. Ist die Schwingung ungedämpft, dann gilt: Freie gedämpfte Schwingungen Bewegungsgleichung

andere Formulierung: mit:

Lösung für schwache Dämpfung (0

1D

)

andere Formulierung: mit:

0m s b s c s

202 δ 0s s s

1 2δ( ) cos sint C Cs t e t t

s im raumfesten Koordinatensystem (analog für Winkel)

0 0 0b D

20

δ =2

Dämpfung

Abklingkonstante

Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung

b -bmcm

s

O

m

c b

δ( ) cos αts t e C t

2 21 2C C C

C1, C2 - Integrationskonstanten aus Anfangsbedingungen: 0 00 : ,t s s s

2

1

α arctanCC

Phasenwinkel

( Formelzeichen s. u. )


Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung LEHRsches Dämpfungsmaß (Dämpfungsgrad) Schwingungsdauer

Logarithmisches Dekrement Erzwungene gedämpfte Schwingungen Voraussetzung: Harmonische Erregung

Lasterregung Unwuchterregung Bewegungserregung

2 2 20 0δ 1 D

2T

2

2 πln1

k

k

s t D Ts t T D

t

s(t)

Ttk

te

te

0 02b

Dm

s

O

m

F t =F sin t( ) 0

c b s

O

mmu

t

ru

c b

s

O

B

u=u sin t0 s =s-ur

m

c b


Erregungsart Lasterregung

Erregungsfunktion F0 - konstante Lastamplitude

Bewegungsgleichung

Homogene Lösung

Anfangsbedingungen

Partikuläre (stationäre) Lösung

Vergrößerungsfunktion

Phasenwinkel 22 η

arctan1 η

D

Frequenzverhältnis

Eigenkreisfrequenz (gedämpft)

LEHRsches Dämpfungsmaß

0( ) sin F t F t

δ cos αts e C t

0 00 : ,t s s s

0 sinp IFs V tc

22 2 2

max 2

1

1 η 4 η

12 1

I

I

VD

VD D

VI

D = 0

D = 0,2

0 sinms b s c s F t

0

20 1 D

0 02 2b b mD

m c


Unwuchterregung Bewegungserregung mu ru 2

- konstante Kraftamplitude u0 - konstante Wegamplitude

22 ηarctan1 η

D

3

2 21 42 ηarctan

1 ηDD

2( ) sinu uF t m r t

VII

D = 0

D = 0,2

VIII

D = 0

D = 0,2

sinup u II

u

ms r V tm m

2 sinu u um m s b s c s m r t

δ costs e C t

0 00 : ,t s s s

0 sinr p IIIs u V t

0 00 : ,rr r rt s s s

δ cos αtrs e C t

0( ) sinu t u t

20 sinr r rs b s c s tm m u

2 2

22 2 2

max

1 4

1 41 1

2

III

III

DV

D

V DD

für

2

22 2 2

max 2

1 41

2 1

II

II

VD

VD D

0

20 1 D

0 02 2

b bDm m c 0 02

u

bDm m


Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1

Bewegungsgleichung

mit: Spezialfall: Freiheitsgrad f = 2, Erregerlast F1(t) = F0 sint,

keine Dämpfung Anfangsbedingungen für t = 0 : Lösungsanteil der freien Schwingung Eigenfrequenzen i (i = 1, 2) und dazugehörige -moden 1 2ˆ ˆ( / )iq q aus: Lösungsanteil der erzwungenen Schwingung Amplituden 1 2, q q aus:

11 1 12 2 11 1 12 2 0

21 1 22 2 21 1 22 2

sin0

m q m q c q c q F tm q m q c q c q

1 1 11 12

2 2 21 22

ˆ cos sin

ˆ cos sinh

h

q q C t C t

q q C t C t

2 211 11 1 12 12 2

2 221 21 1 22 22 2

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ 0

c m q c m q

c m q c m q

1 1 1

2 2 2

sin

sin

p p

p p

q C q t

q C q t

2 211 11 1 12 12 2 0

2 221 21 1 22 22 2 0

c m q c m q F

c m q c m q

M q B q C q F

, 1, ...,

Vektor der verallgemeinerten Koordinaten

Massenmatrix Komponenten:

Dämpfungsmatrix

Steifigkeitsmatrix

Vektor der Erregerlasten

k

kl lk

kl lk

kl lk

k

b

F

q

m m

b

c c

k l f

q

M

B

C

F

1 10 1 10 2 20 2 20q q q q q q


Schwerpunkt ebener Linienstrukturen Allgemein

Spezielle Linien

Linie Schwerpunktskoordinaten

cos

2 2

sin2 2

S L

S L

a cx

b cy

2S L S Lx y R

Bei bekannten Werten für n Teillinien

Geometrie- und masseabhängige Kennwerte

x

xS L

xx

yS L

y

y y

S

ds

s=l

s

x

xS L xS Li

x

yS L

yS Li

y y

S

SLi

li

x

xS L

x

yS L

b

y yc

a

S

x

xS L

x

yS L

y y

R

S

( )

( )

( )

1

1

S Ll

S Ll

l

x x dsl

y y dsl

l ds

1

1

1

1

1

n

S L S Li ii

n

S L S Li ii

n

ii

x x ll

y y ll

l l


Schwerpunkt ebener Flächen Allgemein

( )

( )

( )

1

1

S AA

S AA

A

x x dAA

y y dAA

A dA

Spezielle Flächen

Fläche Schwerpunktskoordinaten

Bei bekannten Werten für n Teilflächen

x

xS A

xx

yS A

y

y y

S

A dA

x

xS A

xyS A

b

y y

a

S

x

xS A

x

yS A

y y

R

S4

3S A S Ax y R

2313

S A

S A

x a

y b

1

1

1

1

1

i

i

n

S A S A ii

n

S A S A ii

n

ii

x x AA

y y AA

A A

yiy

xi

AiSi

S x yS A_

_

xS A

_

xS Ai

yS Ai

x

y


Schwerpunkt von Körpern Allgemein

Spezielle Körper

Körper Schwerpunktskoordinaten

Bei bekannten Werten für n Teilkörper

x

xS m xx

yS m

y

y

z

z

z

zS m

yS

m dm

x

x

zS mb1

a2

a1

b2

y

z

y

z

h1 1 1 2 2 1 2 2

1 1 1 2 2 1 2 2

32 2 2

S ma b a b a b a bhza b a b a b a b

1

1

1

1

1

1

1

n

S m S mi iin

S m S mi iin

S m S mi ii

n

ii

x x mm

y y mm

z z mm

m m

( )

( )

( )

( )

1

1

1

S mV

S mV

S mV

V

x x dmm

y y dmm

z z dmm

m dm

Keil(stumpf) Pyramide(-nstumpf) Quader

Kegel(stumpf) Pyramide(-nstumpf)

xx

zS m

S1

A1

S

S2

A2

r1

r2

y

z

y

z

h

2 21 1 2 2

2 21 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

2 34

2 34

S mr r r rhzr r r r

A A A AhA A A A


Flächenmomente 2. Ordnung Trägheitstensor

Satz von STEINER Spezielle Flächen

Fläche Flächenmomente 2. Ordnung

x,y- Koordinatensystem ,x y -Koordinatensystem

3

312

120

xx

yy

xy

b hI

h bI

I

3

3

2 2

3

3

4

xx

yy

xy

b hI

h bI

b hI

xx xykl

yx yy

I II

I I

2

( )

2

( )

:

xiale Flächenträgheitsmomente

mit

Axx

A

yyA

I y dA

I x dA

( )

( )Zentrifugal- oder Deviationsmoment xy xy yxA

I x y dA I I

2 2 xx xx S yy yy S xy xy S SI I y A I I x A I I x y A

y

x

y

x S

h

b

y

x

y

xS

h

b

3

3

2 2

36

36

72

xx

yy

xy

b hI

h bI

b hI

3

3

2 2

12

12

24

xx

yy

xy

b hI

h bI

b hI


Bei bekannten Werten für n Teilflächen

Hauptträgheitsmomente 1 2I I Hauptträgheitsrichtungen

01,02

012

2tan 2

tan für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1

xy

xx yy

xy

xx

II I

II I

Trägheitsradius

y

x

D=2R

S

2

1

2

1

1

i i i

i i i

i i i i

n

xx x x S iin

yy y y S iin

xy x y S S ii

I I y A

I I x A

I I x y A

22

1,2 2 2xx yy xx yy

xy

I I I II I

,kkk

Ii k x yA

x

2

1

S

y

2

2

1

1

y

x

y

x S R

4

4

1618

xx yy

xy

I I R

I R

4

4

416 9

4 19 8

xx yy

xy

I I R

I R

4

4

4

640,5

xx yy

p

I I R

D

I

02

01

yiy

xi

A ,I ,I ,Ii x x y y x yi i i iiiSi

S x yS_

_

xS

_

xSi

ySi

x

y


Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion

Querschnitt It Wt

Kreis (Ri=0), Kreisring

4 4

4 4

2

32

a i

a i

R R

D D

4 4

4 4

2

16

a i

a

a i

a

R RR

D DD

dünnwandig offen

3

1

13

n

i ii

l

max

t

i

I

dünnwandig geschlossen

24

1( )

mA

dss

min2 mA

Rechteck (h>b)

h/b 1 1,5 2 3 4

c1 0,141 0,196 0,229 0,263 0,281

c2 0,208 0,231 0,246 0,267 0,282

Di=2Ri

Da=2Rah

b

s

Am

(s)

31c h b 2

2c h b


Massenmomente 2. Ordnung Trägheitstensor

mit:

Axiale Massenträgheitsmomente

Zentrifugal- oder Deviationsmomente Satz von STEINER Trägheitsradius

( , , , ) kl lkJ J k l x y z

2 2

( )

2 2

( )

2 2

( )

xxm

yym

zzm

J y z dm

J z x dm

J x y dm

( )

( )

( )

xym

xzm

yzm

J x y dm

J x z dm

J y z dm

2 2

2 2

2 2

xx xx S S xy xy S S

yy yy S S xz xz S S

zz zz S S yz yz S S

J J y z m J J x y m

J J z x m J J x z m

J J x y m J J y z m

xx xy xz

kl yx yy yz

zx zy zz

J J JJ J J J

J J J

dm

m

y

z

xSyS

zS

x

S

_

__

_ __

, ,kkk

Jj k x y zm


Spezielle Körper (Masse m)

Körper Massenmomente 2. Ordnung

Kreiszylinder

Stab

Kreisscheibe

Kreisring (dünner Kreiszylinder)

Kugel

Quader

xz R

l

Sy 2

2zzmJ R 2 23

12xx yymJ J R l

x

x

y

y z

l

S

2

2

12

3

xx yy

xx yy

mJ J l

mJ J l

x

y

z

R

S2

2zzmJ R

2zzJ m R

Rx

y

z

x

y

z

ca

b

S

2 2

12zzmJ a b

2 2

12yymJ a c

2 2

12xxmJ b c

225xx yy zzJ J J m R

x

y

z

R

S


0

0

0

xx i ix xy iy xz iz

yx ix yy i iy yz iz

zx ix zy iy zz i iz

J J c J c J c

J c J J c J c

J c J c J J c

i ix x iy y iz ze c e c e c e

Bei bekannten Werten für n Teilkörper

Hauptträgheitsmomente Ji (i =1,2,3) aus (vgl. Hauptspannungen S. 14):

mit: Hauptträgheitsrichtungen ie aus (vgl. Hauptspannungen S. 14):

mit:

Einheitsvektor der i-ten Hauptträgheitsrichtung 2 2

( )

1i ikk

e c

3 21 2 3 0 i i iJ S J S J S

k = x, y, z

1 2 3J J J

1

2 2 22

2 2 23 2

xx yy zz

xx yy yy zz zz xx xy yz zx

xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy

S J J J

S J J J J J J J J J

S J J J J J J J J J J J J

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

i i i i

i i i i

i i i i

n n

xx x x Si Si i xy x y Si Si ii in n

yy y y Si Si i xz x z Si Si ii in n

zz z z Si Si i yz y z Si Si ii i

J J y z m J J x y m

J J z x m J J x z m

J J x y m J J y z m


Sonderfall: Zur x,y-Ebene symmetrischer Körper (vgl. Flächenmomente 2. Ordnung S. 52) Hauptträgheitsmomente Hauptträgheitsrichtungen

für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1

x

v

2

y 1

S

y

2

2

1

1

22

1,2 1 2

3

2 2xx yy xx yy

xy

zz

J J J JJ J J J

J J

01,02

2tan 2 xy

xx yy

JJ J

01

012

tan xy

xx

JJ J


Ergänzungen:

Formelzeichen

O Koordinatenursprung im raumfesten Koordinatensystem

Z, z alphanumerisches Zeichen zur Symbolisierung einer physikalischen oder mathematischen Größe

z Vektor bzw. Matrix z ´z (Orts-)Ableitung der Größe z

,xz partielle (Orts-)Ableitung der Größe z nach x

z Zeitableitung der Größe z z parallele Achse zur (durch den Schwerpunkt

gehenden) Achse z

Z bewegter Punkt Z im raumfesten Koordinatensystem z

e z-Komponente des Einheitsvektors

e

Kombinationen von Symbolen sind möglich. Die „doppelte“ Symbolik für Vektoren und Matrizen wird benutzt, weil die ausschließlich „fette“ Darstellung in handschriftlichen Aufzeich-nungen nicht eindeutig ist.

Farbsymbolik im Text S. Z Verweis auf Seite Z (in gedruckter Version) Hyperlink zu Seite Z (in elektronischer Version)

Farbsymbolik in den Skizzen Einheitsvektoren Lasten, Schnittgrößen, Spannungen, Drücke Koordinaten, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen

Stoffauswahl, didaktisch-methodische Aufbereitung, Layout, Satz und Druck:

apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi e-Mail: [email protected] Vorschläge für Berichtungen und Ergänzungen an obige e-Mail-Adresse werden gern entgegengenommen.

Der Autor ist Mitarbeiter an der Professur Elastizitätstheorie/Bruchmechanik: Inhaber: Prof. Dr.-Ing. habil. H. Balke Technische Universität Dresden Fakultät Maschinenwesen Institut für Festkörpermechanik 01062 Dresden

George-Bähr-Straße 3c [email protected] [email protected]

mailto:[email protected]

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