1

Tempusprojekt: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS-

JPCR:

ANPASSUNG DES LEHRBETRIEBS AN DEN BOLOGNA

PROZESSIM INGENIEURSTUDIUM FÜR ASERBAIDSCHAN

Vorlesungsskript: Mathematische Modellierung und

Simulation

Für Studiengang: Master-Automatisierunmgstechnik

Magistr təhsili üçün- Proseslərin avtomatlaşdırılması

ixtisası üzrə

Riyazi modelləşdirmə və simuliyasiya

Prof. Dr. Ing. Ghasanfer Rustamov ( AzTU)

Dr. Ing. Mammadova Afaq (AzTU)

Baku 2015

2

Mündəricat

Giriş ………………………………………………....... 6

1. RİYAZİ MODELLƏŞDİRMƏ VƏ

SİMULYASİYA..................................................... 8

1.1. Model aylayışı və modelləşdirmə...................... 8

1.2.

1.3.

Modellərin təsnifatı............................................

Riyazi modellərin təsnifatı.................................

8

11

1.4. Modellərə təqdin olunan tələblər............................. 13

1.5. Modelləşdirmənin əsas mərhələləri........................ 13

1.6. Simulyasiya və ya imitasiya

modelləşdirilməsi.................................................... 14

1.7. Monte-Karlo üsulu. Statistik sınaqlar üsulu............ 15

1.7.1. Pi ədədinin hesablanması............................... 18

1.7.2. Sahələrin hesablanması.................................. 20

1.7.3. Müəyyən inteqrallaın hesablanması..............

Çalışmalar -1...........................................................

22

27

2. DİNAMİK OBYEKTLƏRİN DİFERENSİAL

TƏNLİKLƏRİN KÖMƏYİ İLƏ

MODELLƏŞDİRİLMƏSİ........................................ 28

2.1. Əsas anlayışlar........................................................ 28

2.2. Diferensial tənliklərin yazılış formaları................... 29

2.3. Diferensial tənliklərin tərtib olunmasına aid

misallar.................................................................... 32

2.4. Dinamika tənliyi..................................................... 36

2.5. Statika tənliyi.......................................................... 39

2.6. Obyektlərin vəziyyət modelləri formasında

yazılı................................................... 43

2.7. Vəziyyət modellərinin MATLABda realizasiyası. 47

2.7.1. Birqiymətli keçidin mövcud olmaması .... 49

2.7.2. Minimal realizasiya………………………. 50

3

2.8. Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli.. 51

2.9. Matlab mühitində adi diferensial tənliklərin həlli... 54

2.10. Diferensial tənliklərlə modelləşdirməyə aid

texniki misallar....................................................... 58

3. VƏZİYYƏT MODELLƏRİ ŞƏKLİNDƏ

VERİLMİŞ OBYEKTLƏRİN VƏ

TƏNZİMLƏMƏ SİSTEMLƏRİNİN SİMULİNK

PAKETİNDƏ

SİMULYASIYASI................................................. 64

3.1. İlkin anlayışlar........................................................ 64

3.2. İdarəetmə obyektlərinin simulyasiyası................... 65

3.3. İdarəetmə obyektlərinin vektor

modelləşdirilməsi.................................................... 69

3.4. Sabit əmsallı xətti obyektlərin vektor

modelləşdirilməsi.................................................... 73

3.5. Xətti tənliklər sisteminin Simulinkdə həlli………. 78

3.6. Tənzimləmə sisteminin simulyasiyası.................... 79

4. TƏCÜRBİ VERİLƏNLƏRİN EMALI.

İNTERPOLYASİYA............................................... 86

4.1.

4.2.

İlkin anlayışlar.......................................................

Düyün nöqtələrində dəqiq olan interpolyasiya.......

86

88

4.2.1.Nöqtəvi interpolyasiya...................................

4.2.2. Çoxhədlilərin vasitəsi ilə interpolyasiya.......

88

91

4.3. Ən kiçik kbadratlar üsulu. Approksimasiyaedici

funksiyanın (modelin) tapılması............................. 99

4.4. Aproksimasiya xətasının hesablanması................... 108

4.5. Splaynlarla interpolyasiya....................................... 109

Tapşırıq-4.1............................................................. 113

Çalışmalar-4. 2........................................................ 114

Çalışmalar-4. 3........................................................ 115

ƏDƏBİYYAT......................................................... 117

4

GİRİŞ

Riyazi modelləşdirmə və simulyasiya elim və texnikanın demək

olar ki bütün sahələrini əhatə edir. Hazırda istənilən sistemi layihə

edərkən imitasiya modelləşdirilməsindən geniş istifadə olunur.

İmitasiya vasitələri geniş proqram vasitələrindən və kompyuterdə

realizasiya olunmuş müxtəlif tətbiqi sistemlərdən ibarətdir. Məsələn,

Matlab/Simulink proqram paketi.

Model originalın isanın ixtiyarında olan hər-hansı bir vasitə ilə

əks etdirilmiş surətidir (kopiya). Riyazi modeldə real obyekt (proses)

riyazi vasitələrin köməyi ilə ifadə olunur: tənliklər, məntiqi ifadələr

və s.

İmitasiya anlayışını – (Lat. – imitatio-oxşadmaq, bənzətmək)

kimi ifadə etmək olar.

İmitasiya modelləşdirilməsi- tədqiq olunan sistem (obyekt) onun

modeli ilə əvəz olunur və real obyektin xarakteristikaları modelin

verdiyi xarakteristikalar əsasında tədqiq olunur.

Simulyasiya –(Lat. simulatio-görkəm yaratmaq, yalançı

əmməliyyat).Və ya hər- hansı real prosesi onun modeli əsasənda

imetasiya etmək.

İmitasiya (simulyasiya) modelləşdirilməsindən obyektin özünün

modelinin, bu modelin iştirak etdiyi hər-hansı bir sistemin (məsılən

idarəetmə sistemi) tədqiq olunması və ya hər-hansı bir qurğunun

həndəsi ölçülərini və başqa göstəricilərini hesablamaq üçün (layihə

məsələsi) istifadə olunur. Indi geniş yayilmış imitasiya üsullarından

olan Monte-Karlo (satatistik sınaqlar) üsulu təhlil edilmiş, konkret

misallar həl olunmuşdur.

İmitasiya (simulyasiya) modelləşdirilməsi aşağıdakı üstünlüklərə

malikdir:

- real obyektdə tədqiq oluna bilməyən parametrlərin və

xarakteristikaların öyrənilməsi;

- real obyektdə üzə çıxmayan effektlərin aşkar edilməsi;

- real obyektə xələl gətirmədən mütəlif kompyüter

eksperimentlərinin yerinə yetirilməsi;

- sistemin lazımı (optimal) sazlama parametrlərinin model

5

əsasında hesablanması (sintez məsələsi);

- tədqiqatlarin təqribi belə olmasına baxmayaraq iqtisadı

baxımdan cox səmərəli olması və s.

Matlabın tərkibində olan vizual-bloklu imitasiya

modelləşdirmə paketi Simulink xüsusi yer tutur. Simulinkdə

avtomatik tənzimləmə sisteminin tipik element və blokları – giriş

siqnalları, funksional və vizuallaşdırma vasitələri kitabxanada olan

hazır bloklar şəklində təqdim olunur. Proqram müşahidəsi üzə

çıxmayaraq arxa planda qalır. Sistemin parametrlərini dəyişmək üçün

parametrlər pəncərəsindən istifadə olunur.

Simulinkdə müxtəlif modellər şəklində verilmiş obyektləri

modelləşdirmək mümkündür. Bunlardan ötürmə funksiyalarını və

vəziyyət modellərini göstərmək olar. Bloklu imitasiya

modelləşdirməsinə olduqca az vaxt sərf olunduğundan bir dərs saatı

ərzində nəticələri almaq və daha çox məlumat toplamaq mümkündür.

Tədqiqatların virtual xarakter daşımasına baxmayaraq praktiki

tədbiqlərdə çox vacib olan biliklər qazanmaq mümkündür.

Kitabda Matlabın aşağıdakı bölmələrindən istifadı olunmuşdur:

Symbolic Math Toolbox; Control System Toolbox; Statistics

Toolbox; System Identification Toolbox; Simulink.

Dərs vəsaiti 4 bölmədən ibarətdir. İxtisasa uyğun olaraq

avtomatik tənzimləmədə baxılan dinamik obyektlərin

modelləşdirilməsi, Matlab/Simulinkdə simulyasiya texnologiyaları,

təcrübi verilənlər əsasında modellərin qurulması və təsadüfi

proseslərin ədədi və ehtimal xarakteristikalarının Matlabda qurulması

texnologiyası işlənilmişdir. Hər bölməyə aid xarakterik misallar və

simulyasiya sxemləri verilmişdir.

Kitab Proseslərin avtomatlaşdırılması mühəndisliyi ixtisasları

üzrə təhsil alan tələbələr və bu sahədə çalışan müxtəlif peşə sahibləri

üçün nəzərdə tutulmuşdur.

Müəllif: Q.Ə.Rüstəmov

Email: gazanfar.rustamov@gmail.com

6

1. RİYAZİ MODELLƏŞDİRMƏ VƏ SİMULYASİYA

1.1. Model aylayışı və modelləşdirmə

Sözün geniş mənasında model- real prosesin və ya obyektin hər-

hansı bir vasitələrin köməyi ilə alınmış təsviridir. Belə vasitələrdən

fikirdə yaranan obrazı, maketi, söz ilə yazılışı (linqvistik model)

fuksional sxemi, rəsmi (çertyoj), xəritəni və s. göstərmək olar.

Model tam dəqiq olmayıb real obyektin sədə əvəzedicidir.Obyektin,

prosesin və ya hadisənin özü isə qurulmuş modelin originalı adlanır.

Modeldən real obyektin əlçatmaz xarakteristikalarını tıyin etmək,

onun gələcək fəaliyyətini proqnozlaçdırmaq, tənzimləyicinin sazlama

parametrrlərini hesablamaq (sintez məsələsi) və ya yeni yaradılan

obyektin həndəsi ölçülərini təyin etmək üçün (layihə məsələsi) və s.

istifadə edilə bilər.

Modelləşdirmə- hər-hansı obyekti tədqiq etmək etmək üçün onun

modelinin qurulması və öyrənilməsindən ibarətdir. İstənilən elmi-

tədqiqat metodu modellşdirmə ideyasına əsaslanır.

Riyazi model- real prosesin və ya obyektin riyazi vasitələrin

köməyi ilə alınmış təsviridir. Belə vasitələrdənd müxtəlif tənlikləri

(məsələn, diferensial, ehtimal (stoxastik), Bul (məntiqi), qeyri-səlist

və s.), ifadələri, qanunları (məsələn, Nyuton, Faradey və s.) və s.

göstərmək olar.

1.2. Modellərin təsnifatı

1. Zaman faktorunun nəzərə alinmasına görə təsnifat

Statik model-obyektin qərarlaşmış rejimdə (sükunıtdə) olan

modeli. Bəzi hallarda qeyd olunmuş zaman kəsiyindəki model də

statik model kimi təqdim olunur.

Dinamik model-obyektin vəziyyətinin (xarakteristikalarının)

zaman üzrə necə dəyişdiyini izləməyə inkan verir. Məsələn, xəstəlik

tarixi qeyd olunan sənəd. Texniki obyektlərin dinamik modelləri

adətən diferensial tənliklərlə ifadə edilir.

7

Şəkil 1.1-də baxılan təsnifata uyğun gələn sxem göstərilmişdir.

Şəkil 1.1

Bundan başqa, modelləri aid olduğu elim sahəsinə əsasən də

təsnif etmək olar. Məsələn, bioloji, tarixi, ekoloji və s. modellər.

2. İstifadə olunma sahəsinə görə təsnifat

Tədris modelləri-əyani vasitələr, trenajorlar, öyrədən (tədris)

proqramları və s.

Oyun modelləri-iqtisadi,idman, işgüzar oyunlar və s.

Elmi-tədqiqat- sinxrofazatron, aparatları yoxlamaq və kolibrovka

etmək üçün stendlər və s.

Təcrübi modellər- real obyektlərin kicildilmiş surəti (qlobus).

İmitasiya modelləri-rellığı əks etdirməkdən başqa, onu imitasiya

edir (dərimanların siçovulların üzərində yoxlanılması,

kosmonaftların çəkisizliyi yer şəraitində imitasiya etməsi).

Şəkil 1.2-də uyğun blok-sxem göstərilmişdir.

Şəkil 1.2

8

3. Təqdim olunma üsuluma əsasən təsnifat

Material modelləri-və ya əşya (cisimi) modelləri.Bu modellər

originalın həndəsi və fiziki xassələrini əks etdirir və reallığın

təcəssümüdür (воплощение).

İnformasiya modelləri-bu modellərə toxunmaq və görmək

mümkün deyil.Onlar yalnız obyekt (proses, hadisə) haqqında səhih

və dürüst informasiyaya əsasən qurulur. İnformasiya modelləri-

obektin xassələrini və vəziyyətini, eyni zamanda bunlar və xarici

aləm arasındakı əlaqələri də xarakterizə edən sistemli informasiya

toplusundan ibarətdir.

Verbal model-fikir və ya danışıq formasında olan informasiya

modeli.

Simvollu modellər-istənilən formal dillərin simvolları (proqram

əmirləri, cəbri, münasibət, məntiqi əməliyyatlar və s. simvolları) ilə

ifadə olunan informasiya modelləri.

Kompyüter modeli-proqram vasitələri ilə realizasiya olunan

model.

Şəkil 1.3-də uyğun blok-sxem göstərilmişdir.

Şəkil 1.3

9

1.3. Riyazi modellərin təsnifatı

Riyazi model dedikdə, hər şeydən əvvəl, obyektin riyazi vasitələr

ilə ifadə olunan giriş və çıxış dəyişənləri arasında əlaqə tənliyi və ya

alqorilmi başa düşülür.

Əsasən aşağıdakı modelləri öyrənəcəyik.

Determinik, stoxastik, qeyri-səlis və interval qeyri- müəyyənliyə

malik olan riyazi modellər.

Determinik moedeldə obyekti, prosesi və ya hadisəni yazan

dəyişənlər arasında birqiymətli uyğunluq (funksional asılılıq)

mövcud olur. Bu tip modelləri prosesin başvermə mexanizmi tam

məlum olduqda qurmaq mümkündür. Məsələm, fizikanın,

mexanikanın, kimya və s. qanunları. Qanun kəşf etmək - dərk etmək

deməkdir.

Stoxastik modeldə dəyişənlər arasinda birqiymətli asılılıq olmur.

Model xətti olduqda bu asılılığın “gücü” korrelyasiya əmsalı

11 r ilə xarakterizə olunur və “ehtimal asılılığı” adlanır.

Determinik model üçün 1r . Obyektdə baş verən prosesin

mexanizmi məlum deyilsə originalda təcrübə aparılır və alınmış

statistik verilənlər riyazi statistika üsullarından və ehtimal

nəzəriyyəsindən istifadə etməklə emal olunur. Nəticədə stoxastik

model alınır. Bu halda modelin əmsalların ehtimal xassələrinə malik

olduğundan onların “etibarlılıq intervalları” (ellipisoidləri)

hesablanır.

Qeyri-səlist modelin əmsalları qeyri-səlis, dəyişənləri isə

linqvistik dəyişənlər şəkildə olur. Bu halda obyektdə aparılmış

təcrübənin nəticəsində alınmış statistik verilənləri emal etmək üçün

həmyerlimiz amerika alimi Lütfi Əsgər-zadənin qeyri-səlist

çoxluqlar nəzəriyyəsindən istifadə olunur.

İnterval qeyri- müəyyənliyə malik olan riyazi modellərin əmsalları

hədd qiymətləri ilə təyin olunur: .maxmin iii aaa İntervalın

daxilində dəyişmə qanunu məlum deyil.

Statik və dinamik modellər- əvvəldə təyin olunub. Məsələn,

dinamik model kimi adi differensial tənliyi göstərmək olar:

10

.kxydt

dyT

Burada T, k-obyektn parametrləri; x(t), y(t) -giriş və çıxış

dəyişənləridir.

Statik rejimdə obyekt sükunətdə olduğundan sürət dy/dt=0 və

statika tənliyi: y=kx.

Fasiləsiz, diskret və kombinə olunmuş modellər.

Fasiləsiz modellərdə dəyişənlər müəyyən intervaldan istənilən

qiymət ala bilir. Diskret modellərin dəyişənləri yalnız təcrid olunmuş

qiymətlər alır. Üçüncü halda dəyişənlərdən bəziləri fasiləsiz,

digəriləri isə diskret qiymətlər ala bilər.

Zamana görə diskret modelə misal olaraq sonlu-fərq tənliyini

misal göstərmək olar:

).,...,,,,...,,( 121 mkkknkkkk xxxyyyfy

,...2,1,0k diskret zaman anlarıdır.

Xətti və qeyri-xətti modellər.Xətti modeldə modeli ifadə edən

bütün funksiyalar və münasibətlər dəyişənlərdən xətti asılı və qeyri-

xətti -digər halda.

Yuxarıda göstərilənlərdən başqa.

Analitik modellər. Analitik ifadə və tənliklərlə yazılan modellər.

İmitasiya modelləri.

İnformasiya modelləri.

Predmet modelləri-məsələn, uşaq oyuncaqları.

Obraz-simvol modelləri-hər şeydən əvvəl insanın yaddaşında

olan modellər və s.

11

1.4. Modellərə təqdim olunan tələblər

1.Universallıq- real obyektin öyrənilən xassələrinin model

tərəfindən əks etdirilməsinin dolğunluğu.

2. Adekvatlıq- obyektin lazımi xassələrinin verilən dəqiqlikliklə

əks etdirmək xüsusiyyəti. Prosesə uyğunluq.

3. Dəqiqlik – real obyektin xarakteristikalarının model vasitəsi

ilə alınmış xarakteristikalara uyğun gəlmə dərəcəsi ilə

qiymətləndirilir.

4. Qənaətlilik-modelləşməyə sərf olunan xərclərlə təyin olunur.

1.5. Modelləşdirmənin əsas mərhələləri

1. Məsələnin quyuluşu.

2. Nəzəri əsasların öyrənilməsi və real obyekt haqqında

informasiyanın toplanılması.Obyektin identifikasiyası.

3.Formallaşdırma. Moodelin tipinin secilməsi. Bu etapda bəzi

parametrlərin qiymətləri konkretləşməyə bilər.

4.Qiymətləndirmə üsulunun seçilməsi. Bu etapda statistikk

verilənlər əsasında parametrlərin qiymətlədirmə üsulu seçilir və təyin

olunur.

5. Modelin realizasiya sı. Alqoritm və proqram tərtib olunur.

Modelin verdiyi xarakteristikalar kompyüterdə yoxlanılır.

6. Alınmış informasiyanın təhlili. Modelin xətası təyin olunur.

7. Modelin real obiyektə adekvatlığının yoxlanilması. Müxtəlif

modelləşdirmə üsüllarında müxtəlif yanaşmalar mövcuddur.

Məsələm, reqresiya analizi əsasında qurulmuş modellərdə əmsalların

həqiqiliyi Styüdent kriterisi, adekvatlıq isə Fişer kriterisi əsasıda

təyin olunur. Əgər dəyişənlər nortmal (Qaus) paylanma qanununa

tabe olarsa.

8. Alımış modelin təhlili. Bu etapda modelin izafi əmsalları

nəzərdən atılır, yəni model sadələşdirilir. Əgər adekvatlıq şərti

ödənilmirsə, ilk növbədə təcrübələrin sayını artırmaq lazımdır.

12

1.6. Simulyasiya və ya imitasiya modelləşdirilməsi

İmitasiya anlayışını – (Lat. – imitatio-oxşadmaq, bənzətmək)

kimi ifadə etmək olar.

İmitasiya modelləşdirilməsi- tədqiq olunan sistem (obyekt) onun

modeli ilə əvəz olunur və real obyektin xarakteristikaları modelin

verdiyi xarakteristikalar əsasında tədqiq olunur.

Simulyasiya –(Lat. simulatio-görkəm yaratmaq, yalançı

əmməliyyat).Və ya hər- hansı real prosesi onun modeli əsasənda

imetasiya etmək.

Misal 1.1. İnteqrallayıcı obyektin tənliyi aşağıdakı şəkildə

alınmışdır:

).( tkudt

dy

Burada u-gecikməyə malik olan idarə təsiri, k=1 obyektin

gücləndirmə əmsalı, xalis və nəqliyyat gecikməsi.

u= –Ke (K=5 ) mütənasib idarə qanununa malik olan avtomatik

tənzimləmə sisteminin dayanıqlığının pozulmasına səbəb olan

gecikməni (kritik gecikmə) təyin etmək tələb olunur.

Şəkil 1.4 a-da idarə kanalında gecikməyə malik olan ATS-in

imitasiya sxemi göstərilmişdir.

a)

yu=5e

Tau =[0 0 .2 0 .5]g=1

e

Transport

Delay 1

To Workspace1

y1

StepScope 1SaturationIntegrator 1

1

s

Gain 3

5

13

b)

Şəkil 1.4

Kritik gecikməni tapmaq üçün Transport Delay blokunun

parametrlər pəncərəsindən gecikmənin [0 0.2 1] qiymətləri daxil

edilmişdir. Kritik gecikmənin qiyməti şəkil 1.4 b-də göstərilmiş

keçid xarakteristikalarının xarakterinə əsasən təyin edilmişdir.

Dayanıqsız xarakteristikaya uyun gələn gecikməs. Dəqiqliyi

artırmaq məqsədi ilə gecikmənin qiymətlərini çoxaltmaq olar.

Real obyektdə modeldə yerinə yetirdiyimiz simulyasiyanı realizə

etmək mümkün olmaya bilər. Və ya çox baha başa gələ bilər.

1.7. Monte-Karlo üsulu. Statistik sınaqlar üsulu

İmitasiya modelləşdirməsinin ən geniş yayılma üsullarından biri

MONTE-KARLO (1949) və ya statistik sınaqlar üsuludur.

Monte-Karlo üsulunun nəzəri əsasları kompyuterlərin meydana

çıxmasından çox əvvəl məlum olmasına baxmayaraq geniş tətbiq

tapa bilməmidir. Buna əsas səbəb təsadüfi kəmiyyətlərin əl ilə

hesablanmasının (generasiyasının) cox yorucu və səmərəsiz

olmasıdır.

Kompyuterlərin vüsətli inkişafı ilə əlaqədar olaraq bu üsulun

praktiki tətbiq sahəsi olduqca genişlənmişdir. Bu ədədi üsulun

köməyi ilə kompyüter proqramı vasitəsi ilə aşağıdakı məsələləri

təqribi həll etmək mümkündür:

14

- təsadüfi kəmiyyətlərin modelləşdirilməsi;

- kütləvi xidmət nəzəriyyəsinin məsələləri;

- Pi-ədədinin hesablanması;

- Sahələrin və çoxqat inteqralların hesablanması;

- Tənliklərin həlli ;

- Dinamik sistemlərinin məlun modelləri əsasında müxtəlif

xarakteristikaların alınması və s.

Üsulun texnologiyası cox sadə olub “obyektin” girişinə N sayda

bərabər paylanmış diskret təsadüfi kəmiyyətlərin verilməsi və

alınmış statistik nəticələrin emalına əsaslanır.Yada salaq ki, bərabər

paylanmanın ehtimalların paylanma sıxlığı funksiyası:

. яэяр

, яэяр

, яэяр

bx0

bxac

ax0

)x(p

Uyğun qrafik şəkil1.5-də göstörilmişdir.

Şəkil 1.5

Bərabər paylanmaya malik təsadüfü kəmiyyətləri generasiya

etmək üçün Matlab funksiyası:

rand(n,m) – (0-1) interervalında orta qiyməti m0= 0, dispersiyası

D=1 olan təsadüi ədədlər generasiya edir.

Ümumi halda

).,(*0 mnrandDmx

Burada n,m-generasiya olunan təsadüfi ədədlər matrisinin

ölçüsüdür. D orta kvadratik meyiletmə.

Təsadüfi kəmiyyətlərin [a,b] intervalına düşməsi üçün onu

aşağıdakı kimi normallaşdırmaq lazımdər: .),1()( amrandabx

15

Histeqrammların qurulması. Praktiki məsələlərdə təsadüfi

kəmiyyətlərin sayı məhdud olduğundan onlar üçün ehtimalların

paylanma sıxlığı funksiyasını nəzəri üsullarla qurmaq mümkün

olmadığindan təqribi aproksimasiya olan histoqram qurulur.

Bu məqsədlə hist(x,N) funksiyasından istifadə olunur.Burada N-

intervalların sayıdır.

Misal 5.15. Bərabər paylanma qanunu, m0=5, σ=3.

Şəkil 1.6. Bərabər paylanma qanunun histeqramı

3. (x,y) müstəvisində təsadüfi nöqtələrin paylanma sxeminin

qurulması.

Şəkil 1.7. Bərabər paylanmaya malik olan təsadüfi

kəmiyyətin paylanma sxemi Görundüyü kimi, nöqtələr müstəvidə kifayyət qədər bərabər

paylanmışdir.

5 5.5 6 6.5 7 7.5 80

5

10

15

20

25

30

35

5 5.5 6 6.5 7 7.5 85

5.5

6

6.5

7

7.5

8

16

1.7.1. Pi ədədinin hesablanması

Misal 1.1. Monte-Karlo üsulunun mahiyyətini Pi ( ) ədədinin

hasablanması əsasında izah edək. (çevrənin uzunluğunun diametrinə oln nisbəti (

R

C

2 )

ədədinin hesablanmasının müxtələf qaydaları mövcuddur. Ən sadə

və aydın üsul belədir.Tərəfi a=2R olan kvadrat götürülür. Bu

kvadrata radiesu R olandairə yerləşdirilir. Kvadratın içərisinə

təsadüfi (kortəbii) olaraq bərabər paylanmış N sayda təsadüfi (xi ,yi) ,

i=1,2,...,N , noqtələri yerləşdirilir (şəkil 1.8.).

Şəkil 1.8

Müvafiq proqram

>> N=100; >> x= -1+2*rand(1,N); >> y= -1+2*rand(1,N); >> plot(x,y,'.') >> Qeyd etmək lazımdır ki, x və y kəmiyyətləri normallaşdırılaraq

1,1 yx intervalına yerləşdirilmişdir. Bu halda dairənin

radiusu R=1 olur!

Həndəsi olaraq nöqtənin dairiyə düşmə ehtimalı dairənin

sahəsinin kvadratın sahəsinə olan nisbətinə bərabərdir:

17

.4/)2/(// 22221 RRaRSSP kvadratdaire

Təcrübədən sonra nöqtənin dairiyə düşmə ehtimalını daha sadə

yolla hesablamaq olar:

./2 NMP

Burada N-kvadrata düşən (yəni bütün) nöqtələrin sayı; M-dairənin

içərisinə düşən nöqtələrin sayıdır.

Ümumi nöqtələrinsayını artırsaq həddə alarıq ,12 PP yəni

.0)(lim 21

PPN

Deməli həddə .4 N

M

Buradan

.4N

M (1.1)

Lakin praktikada N<∞ və gerasiya olunan təsadüfi ədədlər edeal

deyil psevdotəsadüfi olduğundan (1.1) bərabərliyi təqribi ödənir.

-nin hesablanmasının N-in altı qiyməti və R=1 qiyməti üçün

aşağıda göstərilmişdir.

>> clear clc % Ekranin temizlenmesi

>> for N=[10 100 1000 10000 100000 1000000] % N-in

qiymetleri

x=rand(1,N)*2-1; % Tesedufi vektorun generasiyasi

y=rand(1,N)*2-1; % Tesedufi vektorun generasiyasi

R=sqrt(x.^2+y.^2); % Koordinat baslanqic-dan olan mesefenin hesablanm. M=sum(R<=1); % Sayqac-dairenin daxiline dusen noqtelerin

sayının hesablanmasi Pi=4*M/N;disp([' N=',num2str(N),' pi= ',num2str(Pi)]) end N=10 pi= 4 N=100 pi= 3.28 N=1000 pi= 3.16 N=10000 pi= 3.1412 N=100000 pi= 3.136

18

N=1000000 pi= 3.1414 Müqayisə üçün Pi-nin daha dəqiq üsullarla hesablanmış qiymətini

göstərək: ....141592653.3 Göründüyü kimi N=1000000

qiymətində alınmış cavab həqiqiyə daha yaxındır.

İnteqralların (sahələrin) hesablanması da yuxarıda gəstərilən

texnologiyaya əsaslanır.

1.7.2. Sahələrin hesablanması

Misal 2. Sahənin hesablanması. ACDB düzbucaqlısının daxilinə

yerləşdirilmiş fiqurun sahəsini hesablayaq.

Şəkil 1.9

Fiqurun sahəsi həddə, yəni N halında:

.N

MSS DuzbFiq

Bu sahə f(x) fünksiyası ilə absis oxu arasındakı sahədir. Burada əvvəldə olduğu kimi, N-düzbucaqlının daxilinə düşən

nöqtələrin sayı (nöqtələrin ümumi sayı); M-fiqurun daxilinə düşən

nöqtələrin sayıdır.

Düzbucaqlının sahəsini həmişə hesablamaq mümkündür:

.BDABSDuzb

., LDBDABAB

Təsadüfi kəmiyyətlərin AB intervalına düşməsi üçün onu

aşağıdakı şəkildə yazmaq lazımdır:

.),1()( ANrandABx

19

Fərz edək fiqur y=cos(x) funksiyasını yarımdalğasından ibarətdir.

Bu halda x-üçün: A=-pi/2 B=pi/2. y-üçün A=0, B=1 və BD=1. SDüzb=(pi/ 2+pi/2)∙1=pi. Beləliklə müvafiq dərabər paylanmış təsədüfi kəmiyyət generatorları:

).,1(1

,2/),1(2/),1()2/2/(

Nrandy

piNrandpipiNrandpipix

Aşağıda N=2000, 15000, 20000 qiymətləri üçün y=cos(x),

,2/2/ x fiqurunun sahəsinin hesablanma proqramı və

nəlicələr göstərilmidir.

>> clear clc %Ekranin temizlenmesi for N=[10 100 1000 10000 100000 ]% N-in qiymetleri x=pi*rand(1,N)-pi/2; % x-uzre Tesedufi vektorun generasiyasi y=rand(1,N); % y-uzre Tesedufi vektorun generasiyasi r=y-cos(x);% Ferq M=sum(r<=0);% Sayqac-fiqurun daxiline dusen noqtelerin hesablanmasi Sfiq=pi*M/N;% Eiqurun sahesinin hesablanmasi disp([' N=',num2str(N),' S = ',num2str(Sfiq)]) end N=10 S = 3.1416 N=100 S = 2.1677 N=1000 S = 1.9886 N=10000 S = 2.0037 N=100000 S = 2.0007 Sahənin dəqiq qiyməti :

>> syms x >> y=cos(x); >> Sfiq=int(y,-pi/2,pi/2) Sfiq =2 >>

20

1.7.3. Müəyyən inteqralın hesablanması

İki üsuldan istifadə edək.

1. Birinci üsul. Trapesiyalar üsulu. Aşağıdakı ifadəyə əsaslanır:

.)()(11

N

ii

N

ii

b

a

yN

abxf

N

abdxxf

(1.2)

Burada N-ümumi sınaqların (nğqtğlğrin) sayı, xi- [a,b] intervalında

yerləşən bərabər paylahmış təsadüfi ədədlərdir.

2. İkinci üsul (sahə üsulu). Bu üsulun əsas mahiyyəti

yuxarıda açıqlanmışdır.Bu halda inteqralın həndısi mənasından

istifadə olunaraq SFiq sahəsi axtarılır.

b

aFiqSdxxf )( (1.3)

Hesablama alqoritmi aşağıdakından ibarətdir:

SFiq sahəli fiqur tərəfləri (b-a) və L olan düzbucaqlıya

yerləşdirilir.L>0 elə ədəddir ki, istənilən ],[ bax üçün

LxfL )( şərti ödənilməlidir (şəkil 1.10).

Şəkil 1.10

21

Bu düzbucaqlınin daxilinə düşən dabərabər paylanmış N

sayda (xi, yi) təsadüfi ədədlər generasiya olunur.

Fiqurun daxilinə düşmüş nöqtələrin sayı M təyin

olunur.Təsadüfi nöqtənin SFiq sahəsinə düşmə ehtimalı

.N

Mp (1.4)

Digər tərəfdən təsadüfi nöqtənin SFiq oblastına düşmə ehtimalı

sahələrin nisbətinə bərəbərdir:

].,[,)(

baxLab

S

S

Sp

Fiq

Duzb

Fiq

(1.5)

(1.3), (1.4) və (1.5) ifadələrinə əsasən nahəyyət inteqralın

axtarılan qiymətini tapmaq üçün aıağıdakı ifadəni alırıq:

].,[,)()( baxN

MLab

N

MSdxxfS Duzb

b

aFiq

(1.6)

Çoxqat inteqralların hesablanma alqoritmi də yuxarəda göstərilən

metodikaya uyğundur. Lakin bu halda düzbucaqlı əvəsinə çoxölçülü

paralelopipitdən istifadə olunur.

Misal 2. 8

0

2sin37 xdx inteqralını iki üsul ilə hesablayaq.

Əvvəlcə xy 2sin37 funksiyasının qrafikini quraq.

>> x=0:0.01:8; >> y=(7-3.*sin(x).^2).^0.5; >> plot(x,y), >> ylim([0,3]) >>

22

Şəklə əsasən məsələnin verilənləri: a=0, b=8; L=4.

1. Birimci üsul (1.2) düsturuna əsaslanır:

.)()(11

N

ii

N

ii

b

a

yN

abxf

N

abdxxf

Aşağıda M-fayılda yazılmş inteqralın uyğun hesablama proqramı

göstörilmişdir.

23

Matlabun əmirlər pəncərəsindən OİNT(N) proqramını çağırıb N-

ə müxtəlif qiyməllər verərək aşağıdakı qiymətləri alırıq:

>> OINT(100) In = 18.5300 >> OINT(1000) In = 18.5872 >> OINT(10000) In = 18.6142

Trapesiyalar üsulu ilə hesablanmış İnteqralın həqiqi (daha dəqiq)

qiyməti:

>> x=0:0.01:8; >> y=(7-3.*sin(x).^2).^0.5; >> In=trapz(x,y) In = 18.6249 >>

2. İkinci üsul (1.6) düsturuna əsaslanır:

].,[,)()( baxN

MLab

N

MSdxxfS Duzb

b

aFiq

Bizim halda

]8,0[,37sin37 2 xxy

olduğundan L=3 qəbul edirik.

Aşağıda M-fayılda yazılmş inteqralın uyğun hesablama proqramı

göstörilmişdir.

24

>> OINT(1000)

M = 796

In = 19.1040

>> OINT(10000)

M = 7702

In = 18.4848

>> OINT(100000)

M = 77699

In = 18.6478

>> Göründüyü kimi, 1-ci üsulda daha dəqiq nəticə alınmışdır.

25

Çalışmalar-1

1.f(x)-funksiyasının qrafikini qurmalı

2.Aşağıdakı inteqralları N=1000; 10000; 1000000 üçün iki üsul

ilə hasablamalı

26

2. DİNAMİK OBYEKTLƏRİN DİFERENSİAL TƏNLİKLƏRİN KÖMƏYİ İLƏ

MODELLƏŞDİRİLMƏSİ

2.1. Əsas anlayışlar

Dinamik obyektlərin koordinatları zamana görə dəyişdiyindən

onların modellərinə giriş və çıxış dəyişənlərinin sürəti, təcili və s.,

yəni zamana görə birinci, ikinci və daha yüksək tərtibli törəmələri

daxil olur. Axtarılan funksiya, yəni məchulun törəmələrinin daxil olduğu tənlik diferensial tənlik adlanır. Diferensial tənliklər ingilis alimi İsaak Nyuton (16421727)

tərəfindən ixtira olunmuşdur. O, deyirdi: təbiətin qanunları

diferensial tənliklərlə ifadə olunmalıdır.

Məchul bir dəyişənli funksiya olarsa, diferensial tənlik adi

diferensial tənlik, çoxdəyişənli funksiya )t,,x,x(y 21 olduqda isə

xüsusi törəməli və ya paylanmış parametrli diferensial tənlik

adlanır. Aşağıda uyğun tənliklər göstərilmişdir:

);,()(

tyfdt

tdy

).,,(),(),(

txyft

txy

x

txy

Naməlum (məchul) )t(y və ya )t,x(y funksiyaları bu tənliklərin

həlli nəticəsində tapılır. Biz adi diferensial tənlikləri öyrənəcəyik.

Tətbiqi məsələlərdə x (bəzi hallarda u) obyektin (və ya prosesin)

girş dəyişənini (koordinatı və ya kəmiyyəti), y isə çıxış dəyişənini

ifadə edir (şək.2.1).

)t(y

27

Şəkil 2.1

2.2. Diferensial tənliklərin yazılış formaları

Avtomatik tənzimləmə nəzəriyyəsində dinamik obyektlər öyrə-

nilir. Dinamik obyektin giriş siqnalı dəyişdikdə qərarlaşma baş

verənə qədər çıxışda keçid prosesi müşahidə olunur. Biz toplanmış

parametrli və ya addi diferensial tənliklərlə yazılan dinamik

obyektləri öyrənəcəyik.

1. Adi differensial tənlik. Axtarılan funksiya (məchul) bir

dəyişəndən (burada t) asılıdır. Xətti halda:

.

y(t) – axtarılan funksiya (məchul), yəni həll; u(t) – məlum funksiya.

Abstrakt riyaziyatta adətən arqument kimi x qəbul edirlər.Onda törəmə: dy/ dx. 2. Xüsusi törəməli differensial tənlik. Axtarılan funksiya iki və

daha çox dəyişəndən x, t,…, asılıdır:

.

y(x,t) – axtarılan funksiyadır (məchul), yəni həll.

3. Xətti differensial tənlik. Funksiya və onun törəmələrinə

nəzərən xətti olan tənlik. Məsələn,

.

4. Qeyri xətti differensial tənlik. Funksiya və onun törəmələrinə

nəzərən qeyri xətti olan tənlik:

.

Qeyri-xətti tənliklərə misal olaraq aşağıdakı xarakterik tənlikləri

)t(ub)t(yadt

)t(dya

dt

)t(yda 0212

2

0

)t,x(ut

)t,x(y

x

)t,x(y2

2

)t2cos(y3yty 2

)t(uyeyy2y 2t

,bu)t(ydt

)t(dy)1)t(y(

dt

)t(yd 2

2

2

bu)t(kydt

)t(dy 2

28

göstərmək olar:

1. Van-der-Pol tənliyi

0,0yy)1(yу 2 .

2. Rikkati (qeyri-stasionar tənlik) tənliyi

0(t)(t)y(t)yy 2 .

3. Rəqqasın böyük meyillərdə sərbəst hərəkətinin tənliyi

0sinmgbİ .

4. Birinci tərtib qeyri-xətti aperiodik oöyekt

y1u

ay

.

5. Silindrik çəndən mayenin sərbəst axması

0. 2ghFhS

6. Dartqı qüvvəsi altında vertikal start götürən raketin tənliyi

mcmg)hk(hm 2 , um .

Burada və sonra u-idarə siqnalı olub, obyektin girişidir.

5. Qeyri stasionar xətti differensial tənlik. Bir və ya bir neçə

parametri zamandan asılı olan tənlik:

,

Məsələn, .

6.Qeyri xətti və qeyri stasionar differensial tənlik:

,

.

7. Bircins differensial tənlik. Sağ tərəfi sıfra bərabər olan tənlik.

Obyektin sərbəst hərəkətini xarakterizə edir:

)t(bu)t(y)t(adt

)t(dy)t(a

dt

)t(yd)t(a 212

2

0

)t(buyedt

dy t

ub)ysin()t(dt

yd02

2

buy)t2sin(ydt

dyt

dt

yd2

2

29

F(y,y, y)=0, y(0)=y0, y´(0)=y'0.

Məsələn, , y(0)=y0.

8. Qeyri bircins differensial tənldik. Sağ tərəfi sıfra bərabər

olmayan tənlik. Obyektin məcburi hərəkətini xarakterizə edir:

)(0212

2

0 txbyadt

dya

dt

yda .

9. Vəziyyət dəyişənlərində yazılmış tənlik. Normal Koşi

forması. Bir tərtibli differensial tənliklərdən ibarət olan tənliklər

sistemidir. Xətti halda:

,

,

10.Vektor şəklində yazılış forması:

.

Burada

T

nxxxx ),...,,( 21 n-ölçülü vəziyyət vektoru,

Tmuuuu ),...,,( 21 m-ölçülü udarə vektoru,

Tlyyyy ),...,,( 21 l-ölçülü müşahidə olunan cıxış vektorudur.

n,m,l –qiymətlərinə əsasən matrislərin ölçüsünu aşağıdakı sxem

üzrə təyin etmək olar.

0)t(yadt

)t(dya 10

11 x

dt

dx

ubxaxadt

dx02211

2

DuCxyBuAxdt

dx ,

30

2.3. Diferensial tənliklərin tərtib olunmasına

aid misallar

1. Əgər isti cisim tez, soyuq cisim isə gec soyuyursa, onda

soyuma sürəti, yəni temperaturun zamana görə dəyişməsi cismin

baxılan anda temperaturundan asılı olacaqdır. Onda soyuma

tənliyi:

(2.1)

burada mütənasiblik əmsalıdır. Mənfi işarəsi temperaturun

azalmasını göstərir. Bu halda tənliyin həllindən tapılacaq məchul

-dir.

2. Fərz edək ki, nohurdakı balıqların artım sürəti onların ümumi

sayı x ilə düz mütənasibdir. Onda artım tənliyi:

. (2.2)

Əgər artım sürəti fərdlərin ümumi sayına yox, cütlərin (dişi-

erkək) sayına mütənasibdirsə, bu daha təsirli faktor olduğundan

artım sürətinin kəmiyyətindən asılılığını daha adekvat (uyğun)

hesab etmək olar:

. (2.3)

Bu tənlik həm də ona görə daha adekvatdır ki, -in böyük

qiymətlərində artım daha sürətlə (partlayış), kiçik qiymətlərində isə

olduqca yavaş gedir.

3. Nyutonun birinci qanununa (ətalət qanunu) əsasən kənar

qüvvələrin təsirinə məruz qalmayan maddi nöqtənin təcili sıfıra

bərabərdir:

. (2.4)

)t(x

,)t(kxdt

)t(dx

0k

)t(x

kxdt

dx

2х

2kxdt

dx

х

0dt

xd2

2

31

Bu halda məsafəni xarakterizə edir.

4. Nyutonun ikinci qanununa əsasən hərəkət tənliyini aşağıdakı

şəkildə yazmaq olar:

. (2.5)

4.1. Əgər cismin cazibə qüvvəsi altında sərbəst düşməsinə

baxılırsa, onda Qalileyə görə qüvvə olduğundan hərəkət

tənliyi . Bu tənliyi inteqrallasaq, sürətin dəyişməsini

, bir dəfə də inteqrallasaq hündürlüyün dəyişmə

tənliyini alarıq:

.

Burada və inteqrallama sabitləri olub ilkin anında

cismin vəziyyətindən, yəni hündürlüyün və sürətin

başlanğıc qiymətlərindən asılıdır. Fərz edək ki, başlanğıc

sürət . Bu qiymətləri yuxarıdakı ifadədə yerinə yazıb alınmış

tənliklər sistemini həll etsək, taparıq: , . Bu halda

hündürlüyün dəyişmə qanunu

, .

4.2. Havanın müqavimətini nəzərə alıb, fərz edək ki, müqavimət

qüvvəsi cismin düşmə sürətinə mütənasibidir: ,

havanın müqavimətini nəzərə alan sabit əmsaldır. Bu qüvvənin

qravitasiya qüvvəsinin əksinə yönəldiyini nəzərə alsaq,

yekun qüvvə:

.

Baxılan hal üçün cismin hərəkətinin sürətin dəyişməsinə nəzərən

yazılmış diferensial tənliyi:

)t(x

Fdt

xdm

2

2

mgF

g)t(x

1Cgt)t(x

212 CtCt

2

g)t(x)t(h

1C 2C 0t

0h)0(h

0h)0(h

0h0

0C1 02 hC

20 t

2

gh)t(h 0hh0

vFm const

mgFq

vmgFFF mq

32

.

Və ya , , (2.6)

Şəkil 2.2-də 4.1 və 4.2 halları üçün cismin

düşmə diaqramları göstərilmişdir. Cazibə

qüvvəsinin təsiri altında sürətartdıqca havanın

da müqaviməti artaraq cismi tormozlamağa

başlayacaq. Yəni olacaqdır.

Qərarlaşma sürətini tapmaq üçün burejimdə

lduğunu nəzərə alıb, onu (2.6)

tənliyində yerinə yazaq. Onda

.

Buradan . Bu ifadə sürətinin dəyişməsindən

asılı olmayıb sabitdir.Fərz edək ki, , və məlum

olduğu kimi, sərbəstdüşmə təcili . Onda qərarlaşma

sürəti . Cisim müəyyən vaxtdan sonra sabit

sürəti ilə düşməyə başlayacaqdır. Əlbəttə, əgər cisim bu vaxta qədər

yerin səthinə çatmazsa. Göstərilən xüsusiyyət paraşutçuya və cismin

mayedə batmasına da aiddir (Stoks qanunu).

Şəkil 2.3-də (2.6) diferensial tənliyinin müxtəlif başlanğıc

şərtlərində həllər ailəsi göstərilmişdir. Şəkil 2.4-də

Simulinkdə həll sxemi göstərilmişdir.

vmgdt

dvm

gavdt

dv

ma

constg

constv

0v

0gav

mgv 0v)t(v

kq10m s/kq2

2s/m8,9g

s/m492/8,910vq

0v)0(v )t(v

m

mg

m

mg

v

a) b)

Şəkil 2.2. Cismin sərbəst (a) və havanın

müqaviməti nəzərə alınmaqla (b) düşməsi

33

Şəkil 2.3.(2.6) tənliyinin həllər ailəsi Şəkil 2.4. (2.6) tənliyinin Simulinkdə həll sxemi

4.3. Riyazi rəqqas. Uzanmayan cəkisiz mildən asılmış nöqtəvi

yükə baxaq. Rəqqasın vertikal xətdən meyl bucağını ilə işarə edək.

Mexanikanın qanununa əsasən rəqqasın bucaq təcili çəki

qüvvəsinin momentinə mütənasibdir (şəkil 2.5):

.

Burada ətalət momentidir. Mənfi

işarəsi momentin meyletməni azaltmağa çalışması

ilə izah olunur. Beləliklə, rəqqasın hərəkət tənliyi:

, . (2.7)

Kiçk meyletmələrdə, yəni bucağı kiçik olduqda

əvəzləməsiedib bu tənliyi xəttiləşdirmək olar:

. (2.8)

Tənlikdən göründüyü kimi, Nyutonun ikinci qanunundan irəli

gələn tənliklərdən fərqli olaraq bu sistemə kənar qüvvə təsir etmir.

Bəs rəqqas hansı qüvvənin təsiri altında hərəkət edir?

Bu tip hərəkət sərbəst hərəkət adlanır və sıfra bərabər olmayan

başlanğıc şərtlərin təsiri altında baş verir. Yəni sistem başlanğıc

anında artıq həyəcanlanmış vəziyyətdə olur. Məsələn, (2.8)

tənliyi üçün iki başlanğıc şərti verilməlidir: , .

Bunlardan hər hansı biri sıfır ola bilər. Lakin hər ikisi sıfır olarsa, bu

hal tarazlıq vəziyyətinə (sükunət) uyğun olduğundan hərəkət baş

verməyəcəkdir.

Əgər başlanğıc həyəcanlanma yoxdursa (sıfırdırsa), onda sistemi

hərəkətə gətirən kənar qüvvə olmalıdır. İfadə (2.5) və (2.6)-da bu

qüvvə xarici F qüvvəsidir.

Deməli, sistemin hərəkəti iki təşkiledicidən ibarətdir: a) sıfra

bərabər olmayan başlanğıc şərtlərin təsiri altında yaranan sərbəst hərəkət ys(t); b) xarici qüvvənin təsirindən yaranan məcburi hərəkət ym(t). Xətti sistemlərdə, yəni xətti diferensial tənliklə yazılan

sinmgI

2mI

sink constg

k

)sin(

k

0t

0)0( 0)0(

mg

Şəkil 2.5. Riyazi rəqqasın sxemi

34

sistemlərdə, yekun hərəkət göstərilən hərəkətlərin cəmindən ibarət

olur: ).()()( tytyty ms

2.4. Dinamika tənliyi

Klassik idarəetmə nəzəriyyəsində diferensial tənlik (obyektin

riyazi modeli) obyektin )t(u , )t(f girişləri ilə )t(y çıxışı arasında

qurulur (şəkil 2.6). Belə tənlik giriş-çıxış formada yazılmış tənlik

adlanır. Qeyri-aşkar şəkildə bu tənlik aşağıdakı şəkildə verilir:

0)f,,f,f;u,,u,u;y,,y,y(F )r()m()n( . (2.9)

Burada )(F qeyri-xətti

funksiya, )t(u , )t(f

obyektin idarə və həyəcan

girişləri olub xarici təsirlər;

)(F obyektin çıxış

dəyişəni; n diferensial

tənliyin tərtibidir.

Məsələn, 0f5.0uu4)t(y)t(yt2)t(y)t(y 2 .

Fərz olunur ki, baxılan obyekt birölçülüdür. Yəni bir idarə, bir

həyəcan girişlərinə və bir çıxışa malikdir.

Diferensial tənlik çıxışın yüksək tərtibli törəməsinə nəzərən

yazılarsa (əgər bu mümkündürsə), belə konstruksiya aşkar şəkildə

yazılış forması adlanır:

)f,,f,f;u,,u,u;y,,y,y(y )r()m()1n()n( . (2.10)

Burada )( qeyri-xətti funksiyadır. Fizika və texnikanın bir

çox modellərini aşkar şəkildə yazılmış formaya gətirmək olur.

Məsələn,

ff5.1u2)t(y4)t(y)t(y 3 .

Keçid prosesi )t(y -ni qurmaq üçün (2.10) tənliyini u və f -in

Şəkil 2.6. Birölçülü obyektin sxemi

OBYEKTİN

MODELİ

İdarə Çıxış

Həyəcan

у(t)

35

məlum ifadələrində (sabit və ya zaman funksiyası ola bilər) analitik

və ya ədədi üsulların köməyi ilə həll etmək lazımdır.

Ümumi həll. n sayda iC inteqrallama sabitlərindən asılı

olan həll ümumi həll adlanır:

)C,,C,С,t(y)t(y n21 . (2.11)

Bu ifadə inteqral əyriləri ailəsinin tənliyidir. iC -lərin qiymətlər

çoxluğu sonsuz olduğundan belə əyrilərin sayı da sonsuzdur.

İnteqrallama sabitlərini təyin etmək üçün n sayda əlavə şərtlər

verilməlidir. Koşi məsələsində bu şərtlərin hamısı zamanın başlanğıc

0tt (bir çox hallarda 0t0 ) anında verilir və başlanğıc şərtlər

adlanır:

00 y)t(y , 1

00 y)t(y , 2

00 y)t(y ,, 1n

00

)1n( y)t(y .

Əgər (2.11) ümumi həlli məlumdursa, Koşi məsələsində iC

inteqrallama sabitlərini aşağıdakı cəbri tənliklər sisteminin həllindən

tapırlar:

.y)C,,C,С,t(ydt

d

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,y)C,,C,С,t(ydt

d

,y)C,,C,С,t(y

1n

0

tt

n2101n

1n

1

0

tt

n210

0n210

0

0

(2.20)

İndi (2.11) ümumi həllini aşağıdakı konkret şəkildə yazmaq olar:

)y,,y,y,t(y)t(y 1n

0

1

0

0

0

. (2.21)

Xüsusi həll. Konkret başlanğıc şərtlərdən asılı olan həll

xüsusi həll adlanır. Bu həll inteqral əyriləri ailəsindən yalnız

başlanğıc şərtləri ödəyən birinin tənliyidir.

Çoxnöqtəli sərhəd məsələsində n sayda sətirlər zamanın

}t,,t,t{t m21 anlarında verilir. Maraqlı cəhət odur ki, Koşi

36

məsələsindən fərqli olaraq, n sətrin hamısı eyni tərtib )t(y )kn(

törəməyə aid ola bilər, n,,1k . Bu halda nm olmalıdır.

Məsələn, ikitərtibli tənlik üçün ( 2n ) iki sayda sətri 0y)0(y ,

1y)1(y ( 2k ) şəklində vermək mümkündür.

Aşağıda bir tərtibli Tdy/dt+y=k tənliyin ümumi və xüsusi

həllinin Matlab proqramı göstərilmişdir.

Obyektin dinamik hərəkətini ifadə edən (2.9) və ya (2.10) tənliyi

dinamika tənliyi adlanır .

Avtomatik idarəetmə nəzəriyyəsində adətən obyektin diferensial

tənliyini onun fiziki strukturuna (şəkil 2.6) daha çox uyğun olan

şəkildə yazırlar:

)f,,f,f;u,,u,u()y,,y,y( )r()m(2

)1n(1 . (2.12)

Göründüyü kimi, belə yazılış formasında çıxış dəyişəni və onun

törəmələri sol tərəfdə, girişlər və onların törəmələri isə sağ tərəfdə

yazılır. Məsələn,

f5.1u3dt

duy2

dt

dy 2 .

Xətti diferensial tənlikləri həmişə (2.12) şəklində yazmaq

mümkündür.

37

Sağ tərəf 0)(2 olarsa, diferensial tənlik bircins tənlik

adlanır və obyektin sərbəst hərəkətini ifadə edir. 0)(2 olarsa,

yəni xarici təsir mövcuddursa, tənlik qeyri-bircins tənlik adlanır və

başlanğıc şərtlər sıfır olarsa, obyektin sırf məcburi hərəkətini ifadə

edir.

2.5. Statika tənliyi

Obyektdə qərarlaşma baş verərsə (yəni o dayanıqlıdırsa), t

halında dəyişənlərin törəmələri, yəni dəyişmə sürətləri sıfra

yaxınlaşır. Qərarlaşma t nöqtəsində törəmələrin qiyməti

0yyy )1n( , 0uuu )m( , 0fff )r(

olduğundan daha hərəkət baş vermir və obyekt sükunətdə olur. Bu

rejim statik rejim adlanır.

Statik rejimdə obyektin tənliyini almaq üçün (2.17) dinamika

tənliyində törəmələrin yerinə sıfırlar yazmaq kifayətdir. Onda:

0)0,,0,f;0,,0,u;0,,0,y(F . (2.13)

Və ya sıfırları nəzərdən atsaq, yazmaq olar:

0)f,u,y(F . (2.14)

Statik rejimdə obyektin çıxış dəyişəni ilə giriş dəyişənləri

arasındakı əlaqəni ifadə edən (2.14) tənliyi statika tənliyi adlanır.

Bu tənlik ümumi halda qeyri-xətti cəbri tənlikdir. Bu tənlik

stasionarlıq şərti adlanır. (2.14) tənliyini aşkar şəkildə yazmaq

mümkündürsə, onda

)f,u(y . (2.15)

Çıxışın syy qərarlaşmış qiyməti girişlərin suu və sff

işçi və ya nominal qiymətlərində (2.15) statika tənliyindən tapılır.

Statik xarakteristika. Statika tənliyinə uyğun gələn y

çıxışının qrafiki statik xarakteristika adlanır.

Şəkil 2.7-də dəyişən cərəyan mühərrikinin statik (mexaniki)

xarakteristikası göstərilmişdir. Göründüyü kimi, bu xarakteristika

38

birqiymətli olmayıb 1M yükünə 1 və 2 tezlikləri uyğun gəlir. Bu

qurğunun 1M qiymətində iki A və B tarazlıq (stasionar) nöqtələri

mövcuddur.

Silindrik çəndən mayenin sərbəst axma tənliyi:

u2ghFhS .

Qərarlaşmış rejimdə törəmənin 0h olduğunu nəzərə alsaq,

statika tənliyini kuh şəklində alarıq. Burada 12 g]F)[2(k .

Şəkil 2.8-da çıxış borusunun F en kəsiyinin müxtəlif qiymətlərində

obyektin parabolalardan ibarət olan statik xarakteristikası

göstərilmişdir.

Şəkil 2.7. Dəyişən cərəyan mühərrikinin statik (mexaniki) xarakte-

ristikası

Şəkil 2.8. Çənin statik xarakteristikası

Şəkildən göründüyu kimi, mayenin giriş sərfi u=u1-dən u2-yə

dəyişdikdə səviyyə h=h1-dən 2h qiymətinə dəyişərək yeni 2h

vəziyyətində qərarlaşır.

ATS-in nə dərəcədə statik olub-olmamasını xarakterizə etmək

üçün statizm və ya qeyri-müntəzəmlik dərəcəindən istifadə

olunur:

sfff

.

2

1

M M1

A

3

B

h

h2

h1

u u1

A

F2 F1 F3

u2

39

Statik xarakteristika const olarsa, 0f

olur. Bu

obyektin və ya ATS-in astatik olmasını göstərir. Həndəsi olaraq, bu

göstərici sf nominal nöqtəsində statik xarakteristikanın əyrilərini

göstərir. Şəkildən göründüyü kimi, a) halında 0 , b) halında isə

0 .

Tarazlıq nöqtələrinin təyin olunması. Statik xarakteris-

tikadan istifadə etməklə obyektin (sistemin) tarazlıq nöqtələrinin

sayını da təyin etmək olar. Fərz edək ki, obyektin diferensial tənliyi

aşağıdakı 1 tərtibli diferensial tənliklə verilib:

)(/ yfdtdy .

Burada )y(f qeyri-xətti funksiyadır. Bu halda stasionarlıq

şərti 0)y(f . Bu funksiya qeyri-xətti olduğundan onun xətti

tənliklərdən fərqli olaraq bir neçə kökü ola bilər. Deməli, bir o qədər

də tarazlıq nöqtələri (vəziyyətləri) mövcuddur. Bu xüsusiyyəti )y(f

funksiyasının y -dən asılılıq qrafikini, yəni statik xarakteristikanı

quraraq aşkar etmək olar. Bu 0)y(f tənliyinin qrafiki həlli

deməkdir. Xarakteristikanın absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin sayı

tarazlıq nöqtələrinin sayını göstərəcəkdir.

Misal 2.1. Obyektin sərbəst hərəkəti aşağıdakı qeyri-xətti

diferensial tənliklə yazılır:

y)T

y1(k

dt

dy . (2.16)

Burada 0k , 0T . Bu halda

)y(f 0y)T

y1(k .

0)y(f tənliyinin analitik həllindən göründüyü kimi, onun

0y1 , Ty2 iki həlli mövcuddur. Deməli, tarazlıq nöqtələrinin

sayı da ikiyə bərabərdir.

Şəkil 2.9-də uyğun statik xarakteristika göstərilmişdir. Şəkildən

göründüyü kimi, statik xarakteristika (2.16) tənliyi ilə yazılan

40

obyektin iki (1 və 2 nöqtələri) tarazlıq vəziyyəti mövcuddur.

Bunlardan biri dayanıqlı (1 nöqtəsi), digəri isə (2 nöqtəsi)

dayanıqsızdır. Bu xüsusiyyəti (2.16) tənliyinin müxtəlif 0y başlanğıc

şərtlərində həllər çoxluğunun xüsusiyyətindən görmək olar.

Şəkil 2.10-də 4k və 2T qiymətlərində )t(y həllər çoxluğu

göstərilmişdir.

Şəkildən göründüyü kimi, dayanıqsız )2,0( nöqtəsinin

ətrafından )t(y trayektoriyaları uzaqlaşır, )2,0(y0 qiymətləri üçün

isə dayanıqlı )0,0( nöqtəsinə yaxınlaşır.

Simulink paketində modelləşdirmə. Şəkil 2.11-də 4k və

2T qiymətlərində şəkil 2.9-da göstərilən statik xarakteristikanın

qurulma sxemi göstərilmişdir.

Şəkil 2.9. Qeyri-xətti obyektin statik xarak-

teristikası

Şəkil 2.10. Müxtəlif başlanğıc şərtlərdə (2.16) tənliyinin həllər çoxluğu

Şəkil 2.12-də (2.16) difernsial tənliyinin Simulinkdə həlli sxemi

göstərilmişdir. Constanta blokunun köməyi ilə tənliyin başlanğıc

şərtləri ]8.15.115.0[0 y vektor şəklində daxil edilmişdir.

t

y

y2=

y1=

41

Şəkil 2.11. Statik xarakteristikanın Şəkil 2.12. (2.16) tənliyinin Simulinkdə qurulma sxemi həll sxemi

2.6. Obyektlərin vəziyyət modelləri formasında yazılışı Vəziyyət dəyişənləri adlanan dəyişənlərdən istifadə edərək biz n

tərtibli giriş-çıxış modellərindən hər biri bir tərtibli olan n sayda

diferensial tənliklərdən ibarət olan ekvivalent tənliklər sisteminə keçə

bilərik. Belə tən-liklər sistemi normal diferensial tənliklər sistemi

(Koşi forması) adlanır.

Burada iki hal ola bilər:

a) obyektin modeli fiziki xüsuiyyətlərinə görə ,y,y 21

çıxışlarına nəzərən normal diferensial tənliklər sistemi şəklindədir.

Bu halda vəziyyət dəyişənlərinə keçməyin mənası yoxdur.

b) obyektin modeli giriş-çıxış formasındadır.

Axırıncı halda bu formadan normal tənliklər sisteminə keçid

qaydaları mövcuddur.

Müasir idarəetmə nəzəriyyəsində tədqiqatların əksəriyyəti

normal tənliklər sisteminin əsasında aparılır.

Vəziyyət dəyişənləri )t(x,),t(x),t(x n21 obyektin daxili

vəziyyətini xarakterizə edən fiziki dəyişənlərdir. Əgər bu dəyişənlər

müəyyən zaman daxilində məlum olarsa, onda )t(y çıxışını bu

dəyişənlərdən və )t(u girişindən asılı olaraq təyin etmək olar.

Şəkil 2.13-də dinamik obyektin giriş-vəziyyət-çıxış tipli sxemi

göstərilmişdir.

42

Sxemdən göründüyü kimi, belə təsvir formasında obyektin girişi

ilə çıxışı arasında köməkçi (fiktiv əslində fiziki olaraq mövcud

olmayan) vəziyyət dəyişəni iştirak edir. Həqiqi )t(y çıxışı isə

vəziyyət dəyişənindən və girişdən asılı olaraq təyin edilir.

Adətən )t(x vəziyyəti

ölçülməyə əlçatmaz

olduğundan onu )t(u girişi

və )t(y çıxışının ölçülən

qiymətləri əsasında

qiymətləndirirlər. Bu

məqsədlə qeyri-xətti

sistemlərdə Kalman-Byusi,

xətti halda isə Lyuenberger

və s. müşahidəçilərindən

istifadə olunur.

Sistemi tam xarakterizə edən vəziyyət dəyişənlərinin sayı

(toplusu) birqiymətli deyil. Sistemi modelləşdirərkən mümkün qədər

daha az sayda vəziyyət dəyişənlərindən istifadə etmək lazımdır. Bu

minimal realizasiya adlanır.

Yuxarıda daxil edilən yeni ix dəyişənləri əvvələr faza

dəyişənləri, müasir idarəetmə nəzəriyyəsində isə vəziyyət dəyişmələri

adlandırıldığından normal Koşi forması vəziyyətlər fəzasında yazılış

adlanır. Belə yazılış forması müasir idarəetmə nəzəriyyəsinin

tədqiqat və sintez üsullarının tətbiq etmək üçün çox əlverişli

konstruksiyadır. İki ölçülü hal (n=2) üçün söhbət vəziyyətlər

müstəvisindən kedir. Vəziyyətlər fəzasının və ya sistemin ölçüsü

vəziyyət vektorunun ölçüsü ilə müəyyən edilir. Məsələn, т

q1 ),...,x(xx olarsa, onda sistemin tərtibi q olur.

Dinamik sistemlərin hərəkətinin yazılışında müasir yanaşmanın

əsasını təşkil edən vəziyyət anlayışı ilk dəfə 1936-cı ildə Türinq

tərəfindən təklif edilmiş, sonralar

R.Bellman, L.Zadə, R.Kalman, rus

alimlərindən M.Ayzerman,

Şəkil 1.13. Dinamik obyektin vəziyyəti

nəzərə alan sxemi

Şəkil 1.14. konturu

RLC

43

A.Letov, A.Lurye və digərləri tərəfindən işkişaf etdirilmişdir.

Deyilənlərə aydınlıq gətirmək bir neçə misala baxaq.

Şəkil 1.14-da göstərilən RLC konturunun kondensatorda düşən

)t(uc çıxış gərginliyinə nəzərən giriş-çıxış formasında yazılmış

tənliyi:

)()()()(

2

2

tutudt

tduRC

dt

tudLC c

cc

c1 ux , dt/dux c2 işarə etsək, bu tənliyi hər tərəfi LC

hasilinə böldükdən sonra normal formada yazmaq olar:

.11

,

212

21

uLC

xL

Rx

LCdt

dx

xdt

dx

Matris formasında:

uLCx

x

LRLCx

x

)/(1

0

/)/(1

10

2

1

2

1

.

Çıxışın vəziyyətdən asılılığı 1c xu .

Əgər giriş-çıxış formasında yazılmış birölçülü obyektin

tənliyini yüksək tərtibli törəməyə nəzərən, yəni aşkar formada

)u,y,...,y(y,y 1)(n(n) (2.17)

yazmaq mümkündürsə, belə tənliyi həmişə normal tənliklər sisteminə

gətirmək mümkündür.

Yeni dəyişənlər

yх1 , yx2 , ... , )1n(n yx

daxil etsək, (2.17) tənliyini aşağıdakı normal tənliklər sistemi

şəklində yazmaq olar:

44

.xy

,u),,...,x,x(xx

,xx

,xx

1

n21n

32

21

(2.49)

Burada )( ümumi halda qeyri-xətti funksiyadır.

Ümumiləşdirmə. Ümumi halda çoxölçülü obyektin (çoxlu

sayda ,u,u 21 girişləri və ,y,y 21 çıxışları olan obyekt) vəziyyət

modelləri aşağıdakı qeyri-xətti tənliklər sistemi ilə ifadə olunur:

...),f,...,f,u,...,u,x(xx 212121ii , n,,2,1i ,

...),f,...,f,u,...,u,x(xgy 212121ij , ,,2,1j .

Və ya vektor şəklində

f)u,(x,x ,

f)u,(x,gy .

Burada тn1 )x,,x( x n-ölçülü vəziyyət vektoru;

тm1 )u,,u( u m-ölçülü idarə vektoru; т

r1 )f,,f( f r-ölçülü

həyəcan vektoru; т1 )y,,y( y -ölçülü çıxış vektoru

(müşahidə olunan çıxış); тn1 ),,( , т

1 )g,,g( g qeyri-

xətti vektor funksiyalardır.

)(x vəziyyət tənliyi, )(gy müşahidə tənliyi adlanır.

Xətti obyektlər üçün vəziyyət modeli matris formasında

aşağıdakı şəkildə ifadə olunur:

.

,

fuxy

fuxx

NDC

MBAdt

d

(2.18) (2.50)

Burada A sistemin nn -ölçülü matrisi; B mn -ölçülü

gücləndirmə matrisi; C n -ölçülü müşahidə matrisi; D m

45

-ölçülü, E r -ölçülü, M rn -ölçülü matrislərdir.

Avtomatik idarəetmədə vəziyyət modellərinin qeyri-aşkar Koşi

formasından da istifadə olunur:

.

,

fuxy

fuxx

NDCE

MBAdt

dE

Burada E-nxn ölçülü matris olub ix dəyişənlərinin əmsallarıdır.

Obyektin (2.18) modelinə uyğun olan sxemi şəkil 2.15-də

göstərilmişdir.

Şəkil 2.15. Model (2.18)-in blok-sxemi

0)AsIdet( tənliyi (2.18) sisteminin xarakteristik tənliyi

adlanır.

2.7. Vəziyyət modellərinin MATLABda realizasiyası

Burada məqsəd obyektin xətti şəkildə verilmiş giriş-çıxış

modellərinə ekvivalent olan vəziyyət modellərinin qurulmasıdır.

Giriş-çıxış şəklində modelin operator formasında yazılışı:

u)bpbpb(y)apapa( m

1m

1

m

0n

1n

1

n

0 . (2.19)

Və ya ötürmə funksiyası şəklində:

46

][

][

apapa

bpbpb)p(G

u

y

n

1n

1

n

0

m

1m

1

m

0

den

num

, nm . (2.20)

Burada num kəsrin surəti, den isə məxrəcidir.

MATLABda çevirmə prosedurunu yerinə yetirmək üçün

m10 b,,b,b və n10 a,,a,a əmsallarının məlum olması kifayətdir.

tf obyektin modelinin ötürmə funksiyası şəklində alınması və ss

obyektin modelinin vəziyyət dəyişənlərində formalaşdırılması

funksiyalarından istifadə olunur.

MATLABda giriş-çıxış formasında verilmiş (2.19)

modellərindən vəziyyət modellərinə keçmək üçün tf , ss , canon ,

minreal funksiyalarından istifadə olunur:

tf obyektin modelinin ötürmə funksiyasının (1.4) şəklində

alınması;

ss modelin vəziyyət dəyişənlərində standart şəkildə

alınması;

canon vəziyyət modelinin kanonik şəkildə, yəni А matrisinin

diaqonal (və ya kvazidiaqonal) matris olduğu halda

formalaşdırılması (Jordan realizasiyası);

minreal minimal realizasiyalı modelin, yəni ix vəziyyət

dəyişənlərinin sayının minimal olduğu formanın alınması.

Keçid birqiymətli olmadığından minimal realizasiyalı modellərə

daha çox üstünlük verilir. Bu üsul yüksək tərtibli modelləri

çevirdikdə daha önəmlidir.

Vəziyyət dəyişənlərində yazılmış modelin əsas elementləri x , y

, u vektorları və )D,C,B,A( matrisləridir.

Obyektin vəziyyət modeli qeyri-aşkar Koşi formasında

DuCxEy

,BuAxdt

dxE

verilərsə bu tip modelləri formalaşdırmaq üçün dss(A,B,C,D,E)

funksiyasından istifadə olunur.

2.7.1. Birqiymətli keçidin mövcud olmaması

47

Nəzəri və kompüter tədqiqatları bir daha göstərir ki, eyni

formasında verilən diferensial tənliyə vəziyyət dəyişənlərində normal

formada (yəni hər bir tənliyi məchulun birinci tərtib törəməsinə

nəzərən yazılmış tənliklər sistemi) yazılmış müxtəlif ekvivalent

modellər uyğun gəlir.

Burada ekvivalentliyi eyni u(t) girişində hər iki modelin y(t)

çıxışının eyni olması mənasında başa düşmək olar. Vəziyyət )t(xi

dəyişənlərinin isə içəridə dəyişməsi müxtəlif modellərdə müxtəlif

olur. Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, vəziyyət dəyişənləri

tərifə əsasən obyektin daxili vəziyyətini fiziki olaraq xarakterizə

etmir. Bunlar fiktiv dəyişənlər olub riyazi çevirmələrə daha çox

tabedirlər. Modellərin seçilməsində ədalətli kriterilərdən biri

minimal realizasiya kriterisi ola bilər. Yəni obyektin vəziyyətini

daha az sayda vəziyyət dəyişəninin köməyi ilə ifadə etmək.

Misala müraciət edək. Əvvəldə baxdığımız obyektin

u11u8u2y2y3y

giriş-çıxış formasında verilmiş tənliyinə vəziyyət dəyişənlərində

altı model uyğun gəlir.Onlardan ikisi aşağıda göstərilmişdir:

1) u1

2

32

10

xx , uy 2)01( x ;

2) u472.4

657.5

10

02

xx , ;2)118.15303.0( uy x

Şəkil 2.16-da 1 və 2 modellərində )t2sin(u və

0)0(x)0(x 21 sıfır başlanğıc şərtlərində vəziyyət )t(x1 , )t(x2 və

çıxış )t(y dəyişmə qrafikləri göstərilmişdir. Göründüyü kimi,

uyğun vəziyyət trayektoriyalarının müxtəlif olmasına baxmayaraq

)t(y çıxışı hər iki model üçün eyni alınmışdır.

48

Şəkil 2.16. 1 və 2 modellərində vəziyyət və çıxış dəyişənləri

Vəziyyət modellərinin müxtəlif olmasına baxmayaraq bütün (1 –

6) variantlarında )t(y çıxışları eyni qanun üzrə dəyişir.

2.7.2. Minimal realizasiya

MATLABda minimal realizasiyaya uyğun gələn modeli almaq

üçün )minreal( funksiyasından istifadə olunur.

Misal 2.2. Obyektin tənliyi:

u312u302u96u10y24y2y17y8y )3()3()4( . (2.21 )

Bu tənliyə uyğun minimal realizasiyalı vəziyyət modeli almaq

tələb olunur. Bu realizasiya şəkil 2.17 – də göstərilmişdir.

Şəkil 2.17. Giriş-çıxış tənliyi əsasında minimal realizasiya

49

Göründüyü kimi, ilkin (2.21) tənliyinin tərtibi 4n olmasına

baxmayaraq vəziyyət dəyişənlərinin sayı 2-yə qədər azalmışdır. Əgər ilkin tənlik vəziyyət modeli şəklində verilərsə, ona da

uyğun olan minimal realizasiyanı almaq mümkündür. Ekvivalent

minimal realizasiyalar da alınma üsulundan asılı olaraq eyni giriş-

çıxış modeli üçün müxtəlif ola bilər.

Şəkil 2.18-də iki ekvivalent minimal realizasiyalı vəziyyət

modelləri üçün x1(t), x2(t) və çıxışlar y1 (t), y2(t) göstərilmişdir.

a) b)

Şəkil 2.18. Vəziyyət tənliklərinin həlləri (a) və çıxış dəyişənləri (b)

Şəkildən göründüyü kimi, vəziyyət dəyişənlərinin müxtəlif

qanunla dəyişməsinə baxmayaraq hər iki realizasiyada çıxışlar

)()()( 21 tytyty eyni alınmışdır.

Beləliklə, aparılmış kompüter tədqiqatları bir daha göstərir ki,

vəziyyət modelləri y(t) çıxışına nəzərən ekvivalentdirlər!

2.8. Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli

Arqumenti dinamik sistemlərin yazılışında olduğu kimi t

(zaman) deyil x qəbul etcək xətti tənliyi aşağıdakı şəkildə yazmaq

50

olar:

.)(),( 00 yxyxBAydx

dy

Burada y=(y1, y2,...,yn)T; ;),...,,( 21

Tm A,B-n×n və n×m

ölçülü matrislərdir.

Xətti diferensial tənliklər sisteminin analitik həlli mövcuddur və

Koşi düsturu ilə təyin olunur:

.)()(

0

0 )(0

)( dBueyexy

x

x

xAxxA

Burada eAx

- matris eksponentası adlanır. x=x-x0.

Bircins tənlik üçün xarici qüvvə u=0 olduğundan fəll sadələşir:

.)( 0)( 0 yexy

xxA

Qeyd edək ki, xətti diferensial tənliklərdən fərqli olaraq ümumi

halda qeyri-xətti diferensial tınliklərin analitik həlli mövcud deyil.

Bu halda adətən ədədi (təqribi) hsablama üsullarından istifadə

olunur.Lakin bu zaman həllin analitik (ifadə şəklində) düsturunu

almaq mümkün olmur.Funksiyanın (məchulun- y(x)) arqumentin x

diskret qiymətlərinə uyğun gələn qiymətləri hesablanir. Bu nöqtələrə

əsasən həllin qrafikini də qurmaq mümkündür.

Misal 2.3. Obyektin тянлийи

21 yy , u 22 y2y , x0=1, y(1)=0, y(1)=2; u=0.

Бурада

20

10

А ,

1

0B

xAe тапмаг цчцн ])[( 11 AsILeAx дцстурундан истифадя

едяк:

2s0

1s

20

10

s0

0ss

AIR .

т11 )(det

1)(s R

RAIR

51

2s

10

)2s(s

1

s

1

s0

12s

)2s(s

1

.

R матриси R матрисинин ъябри тамамлайаъагдыр.

Лаплас чевирмяси ъядвяиндян истифадя едяряк, тапырыг:

)1(2

)1(2

2

211

0

)1(5.01

0

150 1][

x

xA

e

e

e

)e(.Le

x

xx

R .

Həll

)1(2

)1(2

2

1

2

1

2

)1(

)1(

)1(

)(

)(

x

xA

e

e

y

ye

xy

xy x .

Şəkil 2.19-da y(x) və y(x) həllərinin qrafiki göstərilmişdir.

Şəkil 2.19. Həllərin qrafiki

52

2.9. Matlab mühitində adi diferensial tənliklərin

həlli

MatLAB системи нятиъяляри ъядвял вя график шякилдя

тясвир етмякля диференсиал тянликляри вя диференсиал

тянликляр системини ədədi щялл етмяйя имкан верир. Bundan

başqa ahalitik (simvol) həll texnologiyaları da mövcuddur ki, bu

halda həllin ifadəsi (düsturu) alınır. 1. Simvolik həll. Bu halda diferensial tənliyin həllinin analitik

ifadəsi alınır. Bu məqsədlə MATLABda dsolve funksiyasından

istifadə olunur. Analitik həlli olmayan tənliklərin həllində təqribilik

ola bilər. Xətti diferensial tənliklərin dəqiq analitik həlli mövcud

olduğundan bu tip tənliklərin simvolik həllində problem yaranmır.

Inteqrallama sabitlərindən asılı olan ümumi həllin və verilmiş sərhəd

şərtlərini ödəyən xüsusi həllərin alınması mümkündür.

Misallara müraciət edək. İşarələmələr:

yDy , yy2D ,, )k(yDky .

Qeyd edək ki, baxılan tənliklərdə arqument kimi t (zaman)

götürülmüşdür.

Sırf riyazi məsələlərdə isə adətən x qəbul olunur.Onda

.// dxdydtdy Həll texnologiyası isə dəyişmir.

Misal.2.4. )cos(3 tyyy tənliyinin y(0)=1,y'(0)=0

başlanğıc şərtlərində xüsusi həllini tapaq.

>> y=dsolve('D2y+3*Dy+y=cos(t)','y(0)=1','Dy(0)=0') y =exp(1/2*(5^(1/2)-3)*t)*(1/2+7/30*5^(1/2))+exp(-1/2*(5^(1/2)+3)*t)*(-

7/30*5^(1/2)+1/2)+1/3*sin(t) >> ezplot(y,0,20)

53

2. Ədədi həll. Bu üsullar ilkin analoq (fasiləsiz) diferensial

tənliyin zamana görə diskretləşdirilməsinə əsaslandığından həllin

qiymətləri )tk(y , zamanın yalnız diskret tkt , ,2,1,0k

nöqtələrində hesablanır. Bu qiymətlər cədvəl və qrafiki təqdimatda

verilə bilər. MATLABda adi diferensial tənliklər sistemini həll etmək

üçün 23ode , 45ode , 113ode , 23ode , s15ode , s23ode , t23ode və

tb23ode funksiyalarından istifadə olunur. Бу функсийаларын

адларынын щярфи щиссяси Ordinary Differential Equation (Ади

диференсиал тянлик) ифадясинин ихтисарыны, рягямляр ися

истифадя олунан Рунге-Кутт усулларынын версийаларынын

тяртиблярини эюстярир. )(ode45 функсийасы даща дягиг щялл

верир, лакин щялл цчцн нисбятян чох вахт тяляб олунур. )(ode

funksiyaları 3 – 6 tərtibli Runqe-Kut üsulunu reallaşdırır. Addımın

seçilməsi avtomatik yerinə yetirilir.

Bu funksiyalar aşkar şəkildə verilmiş

)t,x,,x(fx n1ii , ,,1 ni

diferensial tənliklər sistemini həll edir. Bu səbəbdən ilkin diferensial

tənliyin tərtibi n>1 olarsa onu tənliklər sisteminə (Koşi forması)

gətirmək lazımdır.

Sintaksis: [t,x]=ode(.)(’fun’,t0,tf,x0). fun- dif. tənliyin fi(.) sağ tərəflələrindən ibarət olan M-

fayl;

t0 arqumentin başlanğıc qiyməti;

54

tf - arqumentin son qiyməti;

x0 başlanğıc şərtlər vektorudur.

Qeyd edək ki, arqumenti x, funksiyanı isə y ilə işarə etmək olar.

Həll texnologiyası aşağıdakı bəndlərdən ibarətdir:

1. M-faylda hər hansı bir ad altında, məsələn, fun və ya sisdu,

diferensial tənliklər sisteminin sag tərəfini yadda saxlamaq lazımdır.

Bu ona görə edilir ki, hər iterasiyada tənliklər sisteminə müraciət

oluna bilsin. Bu məqsədlə alətlər panelində File/New/M-file

düyməsinə klik etmək lazımdır.Açılan M-fayl pıncərəsinə yazmalı:

2. function F=sisdu(t,x)

))];(),...,1(());...(),...,1(([ 1 nxxfnxxfF n

3. Tənliklər sisteminin fi(.)sağ tərəflərini daxil etdikdən sonra

File/Save düyməsinə klik edib F funksiyasını sisdu faylında yadda

saxlamalı;

4. Növbəti mərhələdə MATLABın əmrlər pəncərəsində t0, tf, x0

və )(ode funksiyası daxil edilir:

>>t0=t0; tf=tf; x0=[x10 ,x20 ,…,xn0];

>>[t,x]=ode()(sisdu,t0,tf,x0); >>z=[x,y] % Çap etmək 5. Sonra Enter klavişini klik etmək lazımdır.

6. Həllin qrafikini əldə etmək üçün plot(t,x) bütün xi(t)-lər bir

pəncərədə, ayrı-ayrılıqda isə plot(t,x(:,1)), plot(t,x(:,2)),...,plot(t,x(:,n)) funksiylarından istifadə etmək olar.

Misal 2.4. )(ode23 функсийасындан истифадя етмякля

,xydx

dy x0=0, xf=1. 1)0(y

Коши мясялясини щялл етмяли. Алынмыш щяллин графикини

гурмалы. Bu halda arqument .xt Верилмиш тянлийин саь тяряфини sisdu адлы M-файл

шяклиндя формалашдыраг:

function F = sisdu(x,y)

F = x*y;

55

Сонра Matlabın əmirlər pəncərəsindən параметрлярин ядяди

гиймятлярини

>> x0=0; xf=1; y0=1

və ясас ямрi

>> [x,y]=ode23('sisdu',[x0 xf],y0) veririk.

Sonra nəticələri çap etmək üçün

>> z=[x,y] йазыб Enter клавишини басırıq.

Həllih qrafiki plot() əmrinin köməyi ilə qurulur.

Şəkil 2.20-də M-fayl və həllin Matlab proqramı göstərilmişdir.

56

Şəkil 2.20

2.10. Diferensial tənliklərlə modelləşdirməyə aid texniki misallar

1.Yuxarı atılmış cismin hərəkəti. Yerin qravitasiya sahəsində

cismin sərbəst düşməsi sadə halda

d2y/dt

2=-mg

tənliyi ilə yazilır. y=h - hündürlük, m; t- zaman, san.; y - sürət,

m/san.; g=9.8 m/san2.

Başlanğıc şərt ).10;0(),(0 yyy Yəni cisim yerin səthindən

atıldığından başlanğıc hündürlük h=0.Start sürəti isə v=10 m/san-dir.

Havanın sürəti nəzərə alınmır.

Şəkil 2.21-də hərəkət tənliyinin həll proqramı və qrqfiki təsviri

göstərilmişdir.

57

Şəkil 2.21

Şəkildən göründüyü kimi, cisim parabola qanunu üzrə yuxarı

qalxaraq hmax nöqtəsinə çatdıqdan sonar enməyə başlayır. Sürət isə

xətti qanun üzrə dəyişir.Yuxarı qalxdıqca azalır, hmax (1 san.

sonra)sonara istiqamət dəyişdiyindən mənfi işarə ilə artmağa

başlayır.

Şəkil 2.22-də həllin Simulink paketində həll sxemi gəstərilmişdir.

58

Şəkil 2.22

1. Vav-der-Pol tənliyi.

Qeyri-simmetrik rəqslərin generasiyasında istifadə olunan Van-

der-Pol tənliyinin həllini tapaq:

0yy)1μ(yу 2 .

0μ dinamik sistemin qeyri-xəttilik dərəcəsini təyin edən para-

metrdir. y=x1 , y' =x2 qıbul etsək uyğun tənliklər sistemi:

121 fxx

212212 fxx)1x(x ,

yx1 , yx2

Fərz edək ki, 2 , 2x10 , 0x20 .

Şəkil 2.23-də 45ode funksiyasından istifadə etməklə həll

proqramı göstərilmişdir.

59

60

Şəkil 2.23. Van-der-Pol tənliyinin həlli

3. Yaşamaq yğrunda mübarizə (Yırtıcı-qurban məsələsi).

Bu prosesin Lotk-Volter modeli aşağıdakı qeyri-xətti əlaqəli

diferensial tənliklər sistemi ilə yazılır:

.

,

2122

2111

yryRyy

ypyPyy

Burada )t(у1 , )t(у2 uyğun olaraq qurbanların və yırtıcıların

sayıdır.

P sabiti qurbanlarin sayı sıfra bərabər olduğu halda yırtıcıların

sayını təyin edir.Yırtıcı tırəfindın qurbanın yeyilməsi ehtimalı y1y2

hasilinə uyğundur.Belə ki, py1y2 yırtıcıların sayının azalmasına

uyğun gəlir.Eyni zamanda ry1y2 hasili qurbanları yeyən yırtıcıların

sayını xarakterizə edir. P,p,R,r parametrlərinin müəyyən

qiymətlərində yırtıcıların və qurbanların sayının zaman üzrə

dəyişməsi xarakter daşıyır.

Parametrlər P=3,R=2,p=r=1. Başlanğıc şərtlər

y=(y10;y20)T=(3;4)

T.

Şəkil 2.24-də 23ode s funksiyasının köməyi ilə alınan ədədi həll

və nəticələr göstərilmişdir.

61

Şəkil 2.24. Lotk-Volter tənliyinin həlli

62

3. VƏZİYYƏT MODELLƏRİ ŞƏKLİNDƏ VERİLMİŞ

OBYEKTLƏRİN VƏ TƏNZİMLƏMƏ SİSTEMLƏRİNİN SİMULİNK PAKETİNDƏ SİMULYASIYASI

3.1. İlkin anlayışlar

Simulink MATLAB istifadəçilərinə idarəetmə dinamik

sistemləri modelləşdirmək və tədqiq etmək üçün güclü vasitə təqdim

edir. Simulinkin məzmunlu adı vizual bloklu imitasion

modelləşdirmə paketidir. Şəkil 3.1-də analoq sistemlərini modelləşdirmək üçün istifadə

olunan bloklar ğöstərilmişdir.

63

Şəkil 3.1. Analoq sistemlərinin modelləşdirilməsində

istifadə olunan bloklar

3.2. İdarəetmə obyektlərinin simulyasiyası Fərz edək ki, birölçülü idarəetmə obyektinin vəziyyət

dəyişənlərində tənliyi (vəziyyət modeli) aşağıdakı ümumi halda

qeyri-xətti normal tənliklər sistemi şəklində verilmişdir:

64

.)t,u,x,,x,x(gy

,)t,u,x,,x,x(f)t(x

,)t,u,x,,x,x(f)t(x

,)t,u,x,,x,x(f)t(x

n21

n21nn

n2122

n2111

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3.1)

Burada dt/dxx ii ; n21 x,,x,x əvvəldə olduğu kimi

vəziyyət dəyişənləri, u idarə siqnalı, y müşahidə olunan çıxışdır.

Əgər model giriş-çıxış formasında verilər-sə, onu (3.1)

şəklində olan normal tənliklər sisteminə gətirmək lazımdır.

Məsələ verilmiş )0(x,),0(x),0(x n21 başlanğıc şərtlərində və

girişin )t(uu məlum ifadəsində )t(xi , n,,2,1i həllərinin

qrafiki şəkildə tapılmasından ibarətdir. Lazım gələrsə bu qiymətləri

cap etmək de olar.

Simulinkdə (3.1) sistemin həll konstruksiyası belədir. Həlləri

almaq üçün (3.1) sisteminin hər sətrini inteqrallamaq lazımdır:

.)()(

. . . . . . . . . . . . . . .

)0(,)()( 011

dtftx

xxdtftx

nn

ii

(3.2)

Deməli bizə n sayda inteqrallayıcı lazımdır. Başlanğıc xi(0)

şərtləri hər bir i inteqratoru üçün rarametrlər pəncərəsindən Initial

condition (baş. şərt) şərtindən və ya external rejimində constanta

kimi sxemdən daxil edilə bilər.

Modelləşdirmə sxemini qurmaq üçün Simulinkdə yeni pəncərə

açıb oraya kitabxanadan Gain,Inteqrator (gücləndirici),

Clock,ttanCons (saat), Delay (gecikmə) və )(fi funksiyalarını

formalaşdırmaq üçün lazım olan başqa blokları gətirib birləşdirmək

lazımdır.

Misal 3.1. Əvvəldə baxılan Van-der-Pol generatoruna baxaq:

0yy)1y(y 2 .

65

Bu tənliyi (3.1) şəkilli normal tənliklər sisteminə gətirək:

.fxx)1x(x

,fxx

212

2

12

121

Şəkil 3.2-də bu tənliyin 2 , 0)0(x1 , 1)0(x2 halında

Simulinkdə modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir.

Şəkil 3.2. Van-der-Pol generatorunun modelləşdirmə sxemi

Şəkil 3.3-də sistemin vəziyyət dəyişənləri )t(x1 , )t(x2 (a) və

faza portreti (b) göstərilmişdir.

a) b)

Şəkil 3.3. Generatorun dinamik xarakteristikaları (a) və faza portreti (b)

Misal 3.2. Obyektin giriş-çıxış formasında verilmiş tənliyi:

uy)6t2sin(eyey t5t2.0 .

66

yx,yx 21 işarə etsək, obyektin vəziyyət dəyişənlərində

uyğun tənliyi:

,fxx 121

,fuxex)6t2sin(ex 22

t2.0

1

t5

2

.gxу 1

Şəkil 3.4-da )t(1u , 2.0 s, 4.0)0(x1 , 5.1)0(x2

qiymətlərində uyğun modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir.

Şəkil 3.4. Obyektin modelləşdirmə sxemi

Gecikmə 2.0 s və tezlik 2 rad/s, faza 6 rad müvafiq

parametrlər pəncərəsindən daxil edildiyindən sxemdə görünmürlər.

Şəkil 3.5-də idarə siqnalı )t(u və )t(x1 , )t(x2 vəziyyət

dəyişənlərinin qrafikləri göstərilmişdir.

Göründüyü kimi, )t(x1 və )t(x2 dəyişənləri sonsuzluğa

yaxınlaşdığından bu obyekt dayanıqsızdır.

X1=Y

t

f2=X'2f1=X'1

Tau

U 1(t-tau)

X2

XY Graph

Transport

Delay

Step

t

Sine Wave1

ScopeSaturation1

Product1

Product

eu

Math

Function2 eu

1

sxo

Integrator1

1

sxo

Integrator

-0.2

Gain1 -5

88.18

10.22

Display

0.41.5

Clock

Şəkil 3.5. Obyektin keçid xarakteristikaları

67

Modelləşdirmə sxemini zamandan asılı olan əmsalları Fnc

blokundan istifadə edərək formalaşdırmaqla daha yığcam göstərmək

mümkündür. Bu halda blokun giriş siqnalı zaman t -dir. Simulinkdə

Fnc blokunun giriş siqnalı u ilə işarə olunur.

Şəkil 3.6-də müvafiq modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir.

Əmsallar Fnc blokunun parametrlər pəncərəsindən MATLABın

riyazi əməliyyat (cəmləmə, vurma, qüvvətə yüksəltmə, bölmə və s.)

simvolarından istifadə etməklə yazılır.

Şəkil 3.6. Fnc blokundan istifadə etməklə modelləşdirmə sxemi

3.3. İdarəetmə obyektlərinin vektor modelləşdirilməsi

Bu üsul sxemlərin qurulma metodikasını sadələşdirir və istifadə

edilən qurğuların sayını əhəmiyyətli dərəcədə azaltmağa imkan verir.

Üsul Simulinkdə inteqrallayıcı, gücləndirici və s. qurğuların vektor

şəklində (bir kanal ilə bir neçə siqnalın ötürülməsi) olan siqnalları

qəbul edib əməliyyat apara bilməsinə əsaslanır.

Tənlik (3.1)-nin sağ tərəfində olan )(fi funksiyaları isə Fnc

bloklarının parametrlər pəncərəsində MATLABın riyazi əməliyyat

X1=Y

t

f2=X'2f1=X'1

Tau

U 1(t-tau)

X2

XY Graph

Transport

Delay

Step

ScopeSaturation1

Product1

Product

1

sxo

Integrator1

1

sxo

Integrator

exp(-5*u)*sin(2*u+6)

Fcn1

exp(-0.2*u)

Fcn

87.31

10.12

Display

0.41.5

Clock

68

(cəmləmə, vurma, qüvvətə yüksəltmə, bölmə və s.) simvolarından

istifadə olunaraq yığılır. Bu halda 1x)1(u , 2x)2(u , ,

nx)n(u , u(n+1)=t kimi işarə olunur.

Bu halda obyektin modeli:

).t,u,x(fdt/dx (3.3)

Burada f(.)=(f1, f2,..., fn)T – qeyri-xətti vektor funksiyasıdır.

Şəkil 3.7-də (3.3) tənliyinin ümumiləşdirilmiş həll sxemi

göstərilmişdir. Fjn bloklarına (3.1) tənliyinin sağ tərəfindəki f1, f2,...,

fn funksiyaları daxil edilir. Bu funksiyalar xətti şəkildə də ola bilər.

Şəkil 3.7. Qeyri-xətti sistemin həll sxemi

Clock (taymer) blokunun çıxış siqnalı t, Fcn blokuna u(n+1)

şəklində yazılır.n=2 olarsa – u(3) şəklində olur.

Misal 3.3. «Qurban – yırtıjı» prosesinin modeli:

.ubxrxRxx

,ubxpxPxx

222122

112111

(3.4)

Burada x1, x2 – qurban və yırtıjıların sayıdır.

P=3, R=2, p=r=1, b1=0.04, b2=0.01. Başlanğıj şərt x10=3,

x20=4.

u1=1-sin(0.2t), u2=1-cos(0.2t).

Şəkil 3.8 a,b və j-də həll sxemi, x1(t), x2(t) həlləri (keçid

prosesləri) və faza portreti göstərilmişdir. Ədədi inteqallama üsulu

. . . . . .

. . . x1 x2...xn

t=xn+1

Xo

X'1

sxo

f1(x,u,t)

fn(x,u,t)

Fcn1

[x1o, xno]

69

kimi ode23s seçilmişdir. u1 və u2 idarə təsirləri kənardan olan

«müdaxiləni» xarakterizə edir.

a)

b) c)

Şəkil 3.8. Tənlik (3.4)-nın həll sxemi və alınmış nətiçələr

Misal 3.4. Vəziyyət dəyişənlərində verilən obyektin tənliyi:

.)t(u)t(z]c)t(x[b)t(z

,)t(ay)t(x)t(y

,)t(z)t(y)t(x

(3.5)

İdarə t4.0e)t(u . Parametrlər 2.0ba , 7.5c . Başlanğıc

şərtlər 0)0(z)0(y)0(x .

Şəkil 3.9-də obyektin modelləşdirilməsinin vektor sxemi

göstərilmişdir.

f1

f2x1,x2

x1

x2

t=u(3)

XY Graph

1

sxo

3*u(1)-u(1)*u(2)+0.04*(1-sin(0.2*u(3)))

-2*u(2)+u(1)*u(2)+0.01*(1-cos(0.2*u(3)))

(3 4)

70

Şəkil 3.9. Həllin vektor sxemi

Şəkil 3.10-da (3.5) sisteminin dinamik xarakteristikaları (a) və

)Y,X( görə faza portreti (b) göstərilmişdir.

a) b)

Şəkil 3.10. Dinamik xarakteristikalar (a) və faza portreti (b)

X'

Z'

U(t)

(X,Y,Z)

f3f1 f2

Y'

XY Graph1

Scope2

Scope1

1

s

Integrator2

exp(-0.4*u)

Fcn7

u(2)

Fcn6

u(1)

Fcn5

-u(2)-u(3)

Fcn4

u(1)+0.2*u(2)

Fcn3

0.2+(u(1)-5.7)*u(3)

Fcn2

Clock1

71

3.4. Sabit əmsallı xətti obyektlərin vektor modelləşdirilməsi Bütün xətti obyektlər eyni struktura malik olduğundan onları

yalnız )D,C,B,A( parametrlərinə görə fərqlənən vahid vəziyyət

modeli şəklində yazmaq mümkündür. Əgər ilkin model giriş-çıxış

şəklində verilərsə, onu §2.10-da şərh olunmuş qaydaladan istifadə

edərək vəziyyət modelinə gətirmək lazımdır.

1. State–Space bloku. Modelləşdirmək məqsədi ilə Continuous

bunkerində yerləşən SpaceState (Vəziyyət-fəza) blokundan

istifadə olunur. D,C,B,A matrisləri parametrlər pəncərəsindən daxil

edilir. Bu matrislərin ölçülərini düzgün vermək vacibdir. Əgər x

vəziyyət vektorunun ölçüsü n , idarə vektru u -nun ölçüsü nm , y

çıxışının ölçüsü olarsa, onda )nn(A , )mn(B , )n(C ,

)m(D olmalıdır. Başlanğıc )0(x,),0(x n1 şərtləri Initial

conditions sətrindən ]xx[ 2010 və ya sıfır olarsa, 0 şəklində daxil

etmək lazımdır.

Şəkil 3.11-də

11

31A ,

3.00

02B , 01C ,

2.00D üçün 2n , iki idarə 1u , 2u , 2m və bir çıxış y ,

1 və x0=0 halında SpaceState blokunun parametrlər pəncərəsi

göstərilmişdir.

72

Şəkil 3.11. SpaceState blokunun parametrlər pəncərəsi

Şəkil 3.12-də uyğun modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir.

Şəkil 3.12. Xətti obyektin vector vəziyyət modeli

Şəkil 3.13-də çıxışın dəyişmə qrafiki (keçid prosesi) (a) və faza

portreti göstərilmişdir.

73

a) b)

Şəkil 3.13. Keçid prosesi və faza portreti

Giriş siqnalları ui daha mürəkkəb olduqda onları Fcn blokunda

reallaşdırmaq sərfəlidir. Vəziyyət xi dəyişənlərinin qrafikini almaq

üçün parametrlər pəncərəsində C=İ, D=0 daxil etmək lazımdır. İ –

nxn ölçülü vahid matrisdir.

1. Bir inteqrallayıcıdan istifadə olunması. Obyektin tənliyi:

.BuAxdt/dx (3.6)

Burada nRx – n–ölçülü vəziyyət vektoru; mRu – m–

ölçülü idarə (giriş) vektoru; A,B – müvafiq olaraq nn və mn

ölçülü matrislərdir.

Şəkil 3.14-də Simulink paketində modelləşdirmə sxemi

göstərilmişdir.

Şəkil 3.14. Tənlik (3.6) –in modelləşdirmə sxemi

74

Misal 3.5. Fərz edək ki, tənlik

.2)0(x,5)0(x,ux4.0x2x

,u2xx

212212

121

(3.7)

Burada

10

02B,

4.02

10A .

İdarə siqnalları u1=1+0.2sin(4t), u2=1(t) – vahid təkan.

Şəkil 3.15-də müvafiq modelləşdirmə sxemi, b-də isə x1(t),

x2(t) həllərinin qrafikləri göstərilmişdir.

a)

b) Şəkil 3.15. Tənlik (3.7)-in həll sxemi (a) və həllərin qrafiki (b)

Step

Scope1

1

sxo

0 1

-2 -0.4* uvec

2 0

0 1* uvec

Gain

0.2*sin(4*u)

Fcn

[5 2] Constant1

Clock

75

Gain və constanta bloklarına matris orta mötərizələrin

içərisində sətir-sətir daxil edilir. Hər sətirdən sonra ; yazılır.

Keçid matrisinin təyini Simulink paketində riyazi element matris olduğundan bu

paketdə həm matris diferensial tənliklərin, həm də xətti jəbri matris

tənliklərinin qrafiki həlli çətinlik törətmir.

Əvvəldə deyildiyi kimi, keçid matrisi (və ya matris

eksponentası) eAt

aşağıdakı matris diferensial tənliyin həllidir:

I)0(),t(Adt

)t(d

(3.8)

Burada, )t()t( ij – nn ölçülü matrisdir.

Başlanğıj şərt vahid İ matrisidir.

Misal 3.6. Fərz edək ki,

10

01)0(,

9.04.0

10A .

Şəkil 3.16-də modelləşdirmə sxemi (a) və həllin Fij(t) nətijələri

(b) qrafik şəklində göstərilmişdir.

a) b)

Şəkil 3.16. Keçid matrisinin təyin olunması

Xo

X'(t)X(t)1

sxo

0 1

-0.4 -0.9* u

1 0

0 1

76

3.5. Xətti tənliklər sisteminin Simulinkdə həlli Xətti tənliklər sisteminin matris şəklində yazılışı:

Ax b. (3.9)

Burada A=(aij) , n,1j,i – əmsallarından təşkil olunmuş ədədi

matris; b=(b1, b2,...,bn)T – sağ tərəf, x=( x1, x2,..., xn)

T – axtarılan

(naməlum) həlldir.

Simulink paketində realizasiya etmək üçün (3.9) tənliyini belə

yazmaq lazımdır:

.bAxdt/dx (3.10)

Xətti (3.9) tənliklər sisteminin həlli (3.10) xətti diferensial

tənliyin həllinə gətirilir. Bu tənliyin qərarlaşmış qiyməti (3.9)

tənliyinin həllidir. Keçid proseslərinin qərarlaşması üçün A matrisi

müsbət müəyyən matris olmalıdır. Yəni, Silvester şərtinə görə bu

matrisin diaqonal minorları sıfırdan böyük olmalıdır. Scope cihazının

ekranında və ya displeydə qərarlaşmanı görmək üçün simulyasiya

vaxtı kifayət qədər böyük götürülməlidir.

Misal 3.7. Fərz edək ki,

.5

14b,

52

24A

Şəkil 3.17-də modelləşdirmə sxemi (a) və həllin nətijələri (b)

göstərilmişdir. Şəkil 3.17, b-dən göründüyü kimi, qərarlaşmış

qiymətlər x1=5 və x2=-3 (3.9) tənliyinin həllidir. Qərarlaşmış

qiymətləri displeydə də görmək mümkündür.

77

a) b)

Şəkil 3.17. Xətti tənliklər sisteminin həll sxemi

3.6 Tənzimləmə sisteminin simulyasiyası Tənzimləmə sistemi sadə halda tənzimləyici ilə obyektin

vəhdətindən ibarətdir. Əks əlaqəli ATS-də tənzimlənən )t(y çıxış

kəmiyyəti )t(g tapşırıq siqnalı ilə müqayisə edildiyindən (çıxılır)

sxemdə müqayisə elementinin də olması vacibdir. Bu element texniki

baxımdan cəmləyicidən (Sum) ibarətdir.

Simulinkdə tənzimləyici kimi standart PİD- tənzimləyicidən

istifadə olunur. Bu tənzimləyici Simulink Extras (Additional

Linear) bunkerində yerləşir. Tənzimləyicinin sazlama parametrləri

parametrlər pəncərəsindən daxil edilir: dip k,k,k . Bu tənzimləyicinin

tənliyi:

dt

)t(deTd)(ek)t(ek)t(u d

t

0

iт .

Şəkil 3.18-də ATS-in struktur sxemi göstərilmişdir.

Şəkil 3.18. Simulinkdə vəziyyət modeli ilə verilmiş ATS-in sxemi

78

Tənzimləmə sistemində keçid proseslərinin xarakteri

tənzimləyicinin sazlama parametrlərinin qiymətindən asılıdır.

Misal 3.8. Fərz edək ki, obyektin giriş-çıxış formasında

verilmiş modeli:

u)t(y)t(y3)t(y3)t(y .

Bu tənliyi §2.11-ə əsasən normal tənliklər sisteminə gətirək:

.0)0(x)0(x)0(x.xу

,ux3x3xx

,xx

,xx

3211

3213

32

21

Burada

331

100

010

A ,

1

0

0

B , 001C , 0D .

Şəkil 3.19-da 1kkk dip qiymətində keçid prosesi

göstərilmişdir.

Şəkil 3.19. 1kkk dip qiymətində )t(y keçid prosesi

Misal 3.2-də verilmiş qeyri-stasionar dayanıqsız obyektin

tənzimləmə sisteminə baxaq. Tənliyin əmsalları zamana görə

dəyişkən olduğundan modeli yığmaq üçün SpaceState blokundan

istifadə etmək mümkün deyil. Bu səbəbdən obyektin modeli fərdi

qaydada yığılmışdır.

79

Şəkil 3.20-də ATS-in sxemi göstərilmişdir.

Şəkil 3.20. Qeyri-stasionar xətti obyektin tənzimləmə sistemi

Şəkil 3.21-də sazlama parametrlərinin 20kp , 10ki , 2kd

qiymətlərində keçid prosesi (a) və xəta koordinatlarında faza portreti

(b) göstərilmişdir.

a) b)

Şəkil 3.21. Qeyri-stasionar sistemdə keçid prosesi (a) və

faza portreti (b)

Misal 3.9. Pİ-tənzimləyicisi olan qapalı tənzimləmə sisteminin

tənliyi aşağıdakı şəkildə verilmişdir:

Obyekt )t(udt)t(uL

1)t(u

R

1

dt

)t(duС cc

c ;

Tənzimləyici dt)t(k)t(ku iт;

x1=yx2g=1 e

t

Kp=20,Ki=10,Kd=2

XY Graph

Step Scope

Product1

Product

PID

PID Controller

1

s

Integrator1

1

s

Integrator

exp(-5*u)*sin(2*u+6)

Fcn1

exp(-0.2*u)

Fcndu/dt

Derivative

Clock

80

Əks əlaqə )t(y)t(g)t( .

Burada tənzimləmə xətası, iт k,k tənzimləyicinin sazlama

parametrləridir.

Şəkil 3.22-də obyektin (rəqsi RLC konturu) elektrik sxemi

Şəkil 3.22. Rəqsi RLS konturu

Obyekt tənliyini normal tənliklər sisteminə gətirmək üçün

c1 ux , dtux c2 qəbul edək. Onda:

.xuy

,xx

,)t(uC

1x

LC

1x

RC

1x

1c1

12

211

Tənzimləyicinin tənliyini normal tənliklər sisteminə gətirmək

üçün

е

0

3 dtx qəbul edək. Onda:

.)t(gx)t(gy

,xkkuy

,x

1

3iт2

3

100C Mkf, 1.0L Hn , 4R Om qiymətlərində qapalı ATS-

in vəziyyət dəyişənlərində yazılmış modeli:

81

.)t(gkxkxky

,xy

,)t(gxx

,xx

,y01.0x2.0x0025.0x

т3i1т2

11

13

12

2211

Şəkil 3.23-də ATS-in modelləşdirmə sxemi göstərilmişdir.

Şəkil 3.23. Rəqsi RLC konturunun tənzimləmə sistemi

Şəkil 3.24-də )t(1)t(g , 800ki , ]100205[kт

qiymətlərində ATS-də baş verən keçid prosesləri göstərilmişdir.

Şəkil 3.24. Gücləndirmə тk əmsalının müxtəlif

qiymətlərində keçid prosesləri

Tənzimləyicini sazlayanda тk artdıqca rəqslilik azalır. Vacib

cəhət sazlama parametrlərinin müxtəlif qiymətlərində alınan keçid

xarakteristikalarını eyni zamanda müşahidə etməkdir.

Matris halda modelləşdirmə. Tənzimləyici və obyektdən ibarət

olan birölçülü tənzimləmə sisteminin sxemi şəkil 3.25-də

göstərilmişdir.

KT

Kix1=y1x3 x2e

g=1y2=u

TENZIMLEYICI OBYEKT

Step Scope

1

s

Integrator3

1

s

Integrator2

1

s

Integrator1

0.01

0.1

Gain7

0.0025

Gain6

[5 20 100]

Gain4

800

Gain3

82

Şəkil 3.25. ATS-in təsvirlərdə verilmiş matris sxemi

Misal 3.10. Fərz edək ki, obyektin (sabit cərəyan mühərriki)

diferensial tənliyi

ukyyТ ob1 , 03.0Т1 s, 62kob

şəklində verilmişdir. (2.51) ifadəsinə əsasən 2n , 0m ; 10 Ta ,

1a1 , 0a2 , ob0 kb .

Pİ-tənzimləyici .0

t

iт dtkku Və ya iт kku .

Bu halda 1n , 1m . (2.59) ifadəsinə əsasən 1a0 , т0 kb ,

i1 kb .

Obyektin və tənzimləyinin verilmiş giriş-çıxış modellərini

uyğun olaraq (2.51) və (2.59) ifadələrinə əsasən vəziyyət modellərinə

gətirək.

Obyekt:

.xy

,u2067

0x

3.330

10u

T/k

0

x

x

T/10

10

x

xx

1

1ob1

1

11

1

Burada

3.330

10A ,

2067

0b , 01T c .

Tənzimləyici: .zkku

,z

1iт

1

Bu halda 0R , k=1, i

T

0 kk , тkh .

83

Adətən başlaqğıc şərtləri 02010 xx , 0z10 , tapşırıq siqnalını

isə )t(1)t(g vahid təkan şəklində qəbul edilir.

Şəkil 3.26-da tənzimləmə sisteminin struktur sxemi göstəril-

mişdir.

Şəkil 3.26. Sabit cərəyan mühərrikinin tənzimləmə sistemi

Şəkil 3.27-də ATS-in uyğun Simulink sxemi göstərilmişdir.

Şəkil 3.27. ATS-in matris Simulink sistemi

Şəkil 3.28, a və b-də tənzimləyicinin sazlama parametrlərinin

10kт və 5.0k i qiymətlərində )t(y keçid xarakteristikası və

faza portreti göstərilmişdir.

a) b)

Şəkil 3.28. ATS-in keçid xarakteristikası və faza portreti

y(t)=x1x1(t), x2(t)u

g=1

Kt

Ki

R

A

Cb

Eps

XY Graph

StepScope4

1

s

Integrator1

1

s

Integrator

[1 0]* uvec

[0 1 ;-1 -33.3]* uvec

[0 ;2067]* u

Gain3

0.1

Gain2

0

0.4

Gain

du/dt

84

4.TƏCÜRBİ VERİLƏNLƏRİN EMALI. İNTERPOLYASİYA

4.1. İlkin anlayışlar

Bu fəsildə matlabın aşağıdakı bölmələrindən istifadə olunmuşdur.

Statistics Toolbox ;

Sustem İdentification Toolbox .

İntepolyasiya verilmiş (məlum) y=f(x) funksiyasını y=φ(x)

funksiyası ilə təqdim olunması (sadə dildə desək -əvəz olnması)

deməkdir.İlkin f(x) funksiyası analitik (riyazi ifadə şəklində) və ya

cədvəl və digər şəkildə verilə bilər.

İnterpolyasiya riyazi modelləşdirmənin əsasını təşkil

edir.Analitik şəkildə alınmış φ(x) funksiyası obyektin və ya

hadisənin riyazi modelidir.

İnterpolyasiyanın əsas növləri aşağidakılardır:

1. Düyün nöqtələrində dəqiq olan. 2. Düyün nöqtələrində dəqiq olmayan (yəni təqribi olan). Axırıncı üsul aproksimasiya (yaxınlaşma) da adlanır.

Şəkil 4.1, a və b-də dəqiq və dəqiq olmayan interpolyasiya

göstərilmişdir.

a) b)

Şəkil 4.1

Şəkildə, dairəciklər ° - koordinatları (xi, f(xi)) məlum olan

düyün nöqtələridir.

Birinci növ interpolyasiya üsuluna Laqranjın məşhur

85

interpolyasiya polinomunu göstərmək olar.Dəqiq üsul aşağıdakı

hallarda tətbiq olunur:

f(x) funksiyası analitik məlum, lakin istifadə üçün mürəkkəb

olduqda;

cədvəl qiymətləri cox dəqiq və stabil olduqda və eyni

zamanda verilənlərin sayı az olduqda.

Təqribi interpolyasiya adətən approksimasiya (yaxınlaşma)

adlanır. Bu üsul f(x) funksiyasını xarakterizə edən təcrübi

verilənlərin sayı çox böyük olduqda və onlar təsadüfi mahiyyət

daşıdıqda tətbiq olunur. Təbii ki, yüzlərlə küylənmiş düyün

nöqtələrindən (korrelyasiya sahəsi) keçən φ(x) fuksiyasının

qurulması ağlasığmaz məsələdir.

İstənilən növ interpolyasiyanın kompyüter texnologiyası

aşağıdakı əsas üç etapdan ibarətdir:

Interpolyasiyaedici φ(x) funksiyasının tipinin seçilməsi;

Seçilmiş funksiyanın parametrlərinin (əmsallarının) təyini;

Alınmış modelin adekvatlığının (dəqiqliyinin )yoxlanılması.

Xətanı aşağidakı ifadələrin köməyi ili qiymətləndirmək olar:

;1

)]()([(1

2

N

xxyN

i

ii

%.100

)(1

2

N

i

ixy

(4.1)

orta kvadratik meyiletmə; δ- nisbi xəta;N-təcrübi verilənlərin

həcmi (sayı).

Bu fəsildə yalnız birölçülü interpolyasiya məsələsinə baxılır.

Lakin Matlab çoxölçülü interpolyasiya məsələlərini də həll etməyə

imkan verir.

86

4.2. Düyün nöqtələrində dəqiq olan interpolyasiya

4.2.1.Nöqtəvi interpolyasiya

Bu halda interpolyasiya məsələsi təcrübə nəticəsində əldə oluna

bilməyən (yəni cədvəldə olmayan) nöqtələrdə y funksiyasının

qiymətinin hesablanmasından ibarıtdir.

Мцхтялиф физики щадисялярин, техноложи просеслярин

анализи апарыларкян təcürbələrin нятиъяляри y=f(x) адятян

ъядвял шяклиндя эюстярилир:

1x

Bu асылылыгда верилмиш дцйун нюгтяляринин сайы

мящдуддур.

Хятти интерполйасийада гоншу дцйцн нюгтяляри дцз хятт

парчалары иля бирляшдирилирляр, bizə lazım olan нюгтяляр ися

бу дцз хятлярин тянлийиня эюря мцяййян едилərək onların

üzərində yerləşir (şəkil 4.2).

Şəkil 4.2

Şəkildə °- təcrübə nəticəsində alınmış düyün nöqtələri; -tələb

olunan interpolyasiya nöqtələri.

MatLAB мцщитиндя хятти интерполйасийа interp1()

x 2x 3x 1nx nx

y1y 2y 3y

1ny ny

87

функсийасынын кюмяйи иля щяйата кечирилир. Бу

функсийанын истифадя олунма формаларындан бири

interp1(x,y,xi)

шяклиндядир, бурада:

x интерполйасийа дцйцнляри вектору;

y интерполйасийа дцйцнляриндя функсийанын

гиймятляри вектору;

xi истифадячи тяряфиндян верилмиш lazımı аргументлярин гиймятляри векторудур.

Мясялянин interp1() функсийасынын кюмяйи иля

мясялянин щялл едилмясиня мисаллар эюстяряк.

Мисал 4.1. Тутаг ки, )x(fy функсийасынын гиймятляри

ашаьыдакы ъядвял шяклиндя верилмишдир.

x 2.5 3.7 8.4 11.7 20 27 38 y 1.4 2.7 5.6 7.5 9.1 13.2 15.3

Аргументин х 3, 6, 10, 25, 30 гиймятляриндя функсийанын

гиймятляринин щесабланмасы тяляб олунур.

Интерполйасийа проседуру ашаьыдакы шякилдядир: >> x=[2.5 3.7 8.4 11.7 20 27 38];

>> y=[1.4 2.7 5.6 7.5 9.1 13.2 15.3];

>> xi=[3 6 10 25 30];

>> yi=interp1(x,y,xi)

Enter клавишини басдыгдан сонра ъавабы ашаьыдакы

шякилдя аларыг: yi = 1.9417 4.1191 6.5212 12.0286

13.7727

Бу ону эюстярир ки,

9415.1)3(y ,

1191.4)6(y ,

5212.6)10(y ,

88

12.0286)25(y ,

13.7727)30(y .

Мисал 4.2. Тутаг ки, 2

xsine)x1(y x

функсийасы

верилмишдир. ixi ( 4,,1,0i ) дцйцн нюгтяляриндя бу

функсийанын гиймятляринин щесабланмасы, хятти

интерполйасийадан истифадя етмякля аргументин 0,5; 1,5; 2,5;

3,5 гиймятляриндя функсийанын гиймятляринин щесабланмасы

вя алынмыш нятиъялярин функсийанын аналитик гиймятляри

иля мцгайися едилмяси тяляб олунур.

Мясялинин щялли проседуруну ашаьыдакы кими L_Int

адлы м-файл шяклиндя формалашдыраг:

x=0:4;

y=(1+x).*exp(-x)+sin(pi*x/2);

xi=0.5:3.5;

yi=interp1(x,y,xi);

yx=(1+xi).*exp(-xi)+sin(pi*xi/2);

z=[xi; yi; yx]

L_Int м-файлына мцраъият едяк:

>> L_Int

Enter клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы ъавабы

алырыг: z =

0.5000 1.5000 2.5000 3.5000

1.3679 1.0709 -0.1974 -0.3546

1.6169 1.2649 -0.4198 -0.5712

Демяли, мясялинин щяллини ашаьыдакы ъядвял шяклиндя

эюстяря билярик.

Аргументин

гиймятляри

Интерполйасийа

гиймятляри

Функсийанын

аналитик

гиймятляри

89

0.5000 1.3679 1.6169

1.5000 1.0709 1.2649

2.5000 -0.1974 -0.4198

3.5000 -0.3546 -0.5712

interp1() функсийасы )x( интерполйасийа функси-

йасыны дцстур шяклиндя алмаьа имкан вермир. Бу онун нюгсан

ъящятидир.

4.2.2. Çoxhədlilərin vasitəsi ilə interpolyasiya

Bu üsul da dəqiq interpolyasiya üsullarına aid oluib bütün düyün

(yi, xi) nöqtələrindən keçən çoxhədlini almağa imkan verir.

Çoxhədlinin forması verilir əmsalları isə düyün nöqtölərində yi

ordinatlarin φ(xi)=yi bərabərliyi şərtindən alınan cəbri tənliklər

sisteminin hıllindən tapılır.Xətti interpolyasiya məsələlərində

çoxhədlinin sadə növü olan polinomdan istifadə olunur. Bu halda

interpolyasiya məsələsi polinomial interpolyasiya adlanır.

İnterpolyasiya məsələsinin qoyuluşu. Fərz edək ki, [a,b]

intervalında y=f(x) funksiyası verilmişdir. Iterployasiya məsələsi elə

φ(x) funksiyasının tapılmasından ibarətdir ki, bu funksiya [a, b]

intervalında yerləşən interpolyasiynan {x1, x2,..., xn+1} düyün

nöqtələrində məlum f(x) funksiyası ilə üst-üstə düşsün, yəni

aşağidakı bərabərlik şərtləri ödənilsin:

1,...,2,1,)( nkyx kk

Burada yk-f(x) funksiyasının xk nöqtəsindəki məlum qiymətidir.

Şəkil 4.3-də dörd düyün nöqtəli interployasiyaya aid misal

göstərilmişdir.

90

Şəkil 4.3 Şəkildən göründüyü kimi, düyün nöqtələri [a, b] intervalında

bərabər paylanmaya da bilər. Bundan başqa y=f(x) asılılığı analitik,

məsələn, y=sin(x) şəklində və ya cədvəl şəklində verilə bilər.

Sadə olduğu üçun burada xətti interpolyasiya məsələsinə baxaq.

Bu halda

)()(1

1

xpax k

n

k

k

şəklində qəbul olunur.

Burada pk(x)-verimiş məlun funksiya, ak- axtarılan nəməlum

əmsallardır.

Nəməlum ak əmsalları düyün nöqtələrində ilkin yk və

interployasiyaedici funksiyaların bərabərliyi şərtindən tapıla bilər:

.1,...,2,1,)(1

1

njyxpa jjk

n

k

k

Bu cəbri tənliklər sistemini açıq şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq

olar:

.)(...)()(

...........................................................................

,)(...)()(

,)(...)()(

1111122111

2211222211

1111122111

nnnnnn

nn

nn

yxpaxpaxpa

yxpaxpaxpa

yxpaxpaxpa

91

ak əmsallarının sayının düyün nöqtələrinin sayına bərabər olması

sistemin matrisinin kvadratik matris ((n+1)×(n+1) ölçülü) olmasını

təmin edir.Birqiymətli həllin mövcud olması üçün bu matriin

determinantı sıfırdan fərqli olmalıdır (yəni cırlaşmayam olmalıdır):

.0

)()...()(

.............................................

)()...()(

)()...()(

111211

212221

111211

nnnn

n

n

xpxpxp

xpxpxp

xpxpxp

Əksər hallarda pk(x) funksiyalar sistemi kimi polinomlardan

istifadə edirlər. Məsələn,

.)(,...,)(,)(,1)( 12

321n

n xxpxxpxxpxp

Bu halda interpolyasiya polinomial interpolyasiya adlanır və

sistemin matrisi

).(

...

..............................

...

...

1

1

11

10

1

212

02

111

01

j

n

jij

i

nnnn

n

n

xx

xxx

xxx

xxx

Bu Vandermond determinantıdır və onun sıfra bərabər olmaması

üçün xi≠xj çərti ödənilməlidir.Başqa sözlə, düyün nöqtələrinin

absisləri müxtəlif olmalıdır.

Bu zaman həllin mövcudluğu və yeganəliyi təmin olunur.

Polinomun tərtibi düyün nöqtələrin sayından bir vahid kiçikdir.

Burada düyün nöqtələrinin sayı n+1 olduğundan polinomun tərtibi n-

dir. Belə ki, iki nöqtədən düz xətt 12)( axax , üç nöqtədən isə

yeganə 122

3)( axaxax parabolası keçir.

İlk baxışdan belə qənaətə gəlmək olar ki,

92

....

............................................

...

...

1111

120

11

221122

021

111112

011

nnnnnn

nn

nn

yxaxaxa

yxaxaxa

yxaxaxa

cəbri tənliklər sistemini həll edib ak əmsallarını dəqiq tapmaq olar.

Lakin təcrübi düyün nöqtələrinin sayı artdıqca sistemin matrisinin

şərtləşmə ədədi (bax, §6.7.8) artır ki, bu da böyük xətaya gətirə bilər.

Bu xüsusiyyət aşağıdakı qrafikdən aydın görünür.

Klassik ədəbiyyatda əsasən Laqranj və Nyutonun interpolyasiya

polinomlarına geniş yer verilir.

Laqranjin interpolyasiya polinomu (fransız riyaziyatçısı və

mexaniki, 1793). Laqranjın təklif etdiyi interpolyasiya polinomu

n tərtibli çoxhədlidən ibarətdir:

1,...,1,0),()()(1

1

nkxpyxLx k

n

k

kn

Əgər pk funkiyaları

jk

jkxp jk

,0

,,1)( (4.2)

93

şərtini ödəyərsə bizə lazım olan interpolyasiya polinomunu almış

olarıq. Çünki bu polinomun tərtibi n-dən böyük olmayıb düyün

nöqtələrində 1,...,2,1,)( nkyxL kkn bərabərlik şərtini ödəyir.

(4.2) şərtini ödəyən pk(x) fuksiyasını qupmaq cətin deyil:

.))()...()()...()((

))()...()()...()(()(

11121

11121

nknkkkkkkk

nnkk

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxkp

Və ya

.)(1

1,...,2,1

n

kjnj jk

jk

xx

xxxp

Laqranjın interpolyasiya polinomunu daha kompakt şəkildə

aşağıdakı kimi yazmaq olar:

.)(1

1 1,...,2,1

n

kkj

nj jk

jkn

xx

xxyxL

Konkret olaraq:

)3.4(.))...()((

))...()((...

...))...()((

))...()((

))...()((

))...()(()(

12111

211

123212

1212

113121

1211

nnnn

nn

n

n

n

nn

xxxxxx

xxxxxxy

xxxxxx

xxxxxxy

xxxxxx

xxxxxxyxL

Misal 4.3. Fərz edək ki, iki düyün nüqtəsi vertmişdid: (0;1),

(2;5). Bu halda n=1. (4.3) ifadəsinə əsasən

.12)02(

)2)(0(5

)20(

)0(1)(1

x

xxxxL

Alınmış düz xətt hər iki düyün nöqtəsindən dəqiq keçir.

Misal 4.4.Funksiya y = x3.Cədvəl şəklində:

i 0 1 2

xi 1 2 3

94

yi 1 8 27.

İkinci tərtib interpolyasiya polinomu quraq L2(x):

L0(x) =(x − x1)(x − x2)/(x0 − x1)(x0 − x2)=1/2(x2 − 5x + 6);

L1(x) =(x − x0)(x − x2)/(x1 − x0)(x1 − x2) = −(x2 − 4x + 3);

L2(x) =(x − x0)(x − x1)/ (x2 − x0)(x2 − x1)=1/2(x2 − 3x + 2);

Onda

L2(x) = 1*1/2(x2 − 5x + 6) – 8*(x

2− 4x + 3) + 27*1/2(x

2 − 3x +

2) = 6x2

–

-11x + 6. L2 - nin qiymətlərini bir-neçə nəzarət nöqtəsində yoxlayaq:

x 1.9 2.3 2.8 L2(x) 6.76 12.44 22.24

x3

6.859 12.167 21.952

Məticə o qədər də qənaətbaxış deyil. İlkin verilənlərə (0;0)

nöqtəsini əlavə edib üçüncü tərtib L3 polinomunu qursaq dəqiq nılicə

ala bilərik:

L0(x) = −1/6(x−1)(x−2)(x−3); L1(x) = 1/2x(x − 2)(x − 3);

L2(x) = −1/2x(x − 1)(x − 3); L3(x) = 1/6x(x − 1)(x − 2):

L3(x) = 1/2x(x − 2)(x − 3) − 4x(x − 1)(x − 3) +9/2x(x − 1)(x −

2) = x3.

Göründüyü kimi, L3=x

3 ilkin funksiyaya bərabər alınır.

Şəkil 4.4,a-da Laqranj çoxhədlisinin Matlabda hesablama

proqramı və nəticə göstərilmişdir. Proqram hesablama baxımından

daha sadə olan şəkildə yazilmış aşağıdakı ifadə üçün tərtib

edilmişdir:

95

.)(1

1 1,...,2,1

n

kkj

nj jk

jkn

xx

xxyxL

Əvvəlcə

.)(

1,...,2,1

kjnj

jk

kk

xx

yz

hesablanır. Sonra coxhədli )()()( xsxwxLn şəklində yazılır.Burada

.)(),()(1

1

1

1

n

k k

kn

k

kxx

zxsxxxw

96

97

Şəkil 4.4

Başqa misala baxaq. Bu halda düyün nöqtələri təcrübi

verilənlərdən ibarətdir. Matlab proqramının əvvəli aşağıda

göstərilmişdir.

......................

Şəkil 4.5

Qeyd edək ki, Laqranj polinomundan ilkin (4.3) şəklində deyil,

standart n

nn axaxaxL ...)( 21

10 formada istifadə olunması

daha əlverişlidir. Lakin bu halda ai əmsalları məlum olmalədır.

4.3. Ən kiçik kbadratlar üsulu. Approksimasiyaedici funksiyanın (modelin) tapılması

Верилянлярин емалынын ян эениш йайылмыш мясяляси

експериментлярин нятиъяляринин )x( функсийасы иля analitik

тясвир едилмясидир, yəni riyazi modelin qurulmasıdır. Mясяля x

вя y векторлары иля верилмиш експериментал верилянлярdən

istifadə edərək ян кичик квадратlar üsulu ilə strukturu verilmiş

L(x)

x

98

φ(a,x) (апроксимасийа функсийасынын) a параметрлярини тяйин

етмякдян ибарятдыр. Ümumi halda Taaa ,...),( 21

bektordur.Alınmış ifadə reqressiya tənliyi adlanır.

Əн кичик квадратlar üsulundan istifadə etmək üçün müəyyən

ehtimal-statistik əlamətlər (şərtlər) ödənilməlidir. Bunlardan əsasları:

x1, x2,.... girişləri arasında əlaqə (korrelyasiya əlaqəsi)

olmamalıdır;

girişlər x çıxışa y nisbətən dıqiq ölçülməlidir;

çıxıçin təsadüfi hissəsi xətti (cəm şəklində) olmalı və normal

paylanma qanununa tabe olmalıdır və s.

Ən кичик квадратlar üsulu optimallaşdırma məsələsi olub

aşağıdakı kriteriyaya malikdir:

.min)],...,,([)(1

2221

1a

N

i

ii

N

i

i xaayaQ

Burada yi, xi – təcrübi nöqtələrin məlum qiymətləridir.

Axtarılan a1, a2,... parametrləri otimallığın zəruri şərti əsasında

alınmış aşağıdakı xətti cəbri tənliklər sisteminin həllindən tapılır:

,...0,021

a

Q

a

Q (4.4 11.2)

Ян садя регрессийа нювц хятти регрессийадыр. Хятти

регрессийада )x( апроксимасийа функсийасы 10)( axax

шяклиндя ахтарылыр. Bu halda (4.4) sistemi:

.

,

21403

11201

BaAaA

BaAaA

(4.5)

Burada .,,

;,,

243

122

1

ii

iiii

yBNAxA

xyBxAxA (4.6)

(4.5) sistemini matris formada yazaq:

.BAa

99

.),(,, 102

1

43

21 TaaaB

BB

AA

AAA

Həll

.1

1

0BA

a

a

(4.7)

Мисал 4.5. Тутаг ки, )x(fy функсийасынын гиймятляри

ашаьыдакы ъядвял шяклиндя верилмишдир.

x 0 1 2 3 y 3.5 2.2 0.1 -2.3

Aпроксимасийа функсийасы xətti 10)( axax шяклиндя

ахтарaq. Bu halda (4.6)-ə əsasən A1=14, A2=6, A3=6, A4=4.B1=-4.5,

B2=3.5.

(4.7)-ə əsasən həll

.5.3

95.1

5.3

5.4

46

6141

1

0

a

a

Beləliklə a0=-1.95, a1=3.8.

Şəkil 4.6-da alınmış )x( =-1.95x+3.8 funksiyasının qrafiki və

təcrübi nöqtələr (düuün nöqtələri) göstərilmiçdir.

100

Şəkil 4.6

Korrelyasiya əmsalı. Xətti aproksimasıyanın “gücünü”

xarakterizə edən göstərici xətti korrelyasiya əmsalıdır: .11 xyr

Bərabərlik 1xyr halına funksional aslılıq uyğun gəlir.Bu halda

bütün təcrübi düyün nöqtələri 10)( axax düz xəttinin üzərində

yerləşir.

Xətti korrelyasiya əmsalı yalnız təcrübi xi və yi qiymətləri

əsasında hesablanır:

.)1(

)()(1

yx

N

i

ii

xyN

yyxx

r

(4.8)

Burada təcürbi verilənlərin orta qiyməti və orta kvadratik

meyiletmələr:

.1

,1

ii yN

yxN

x

.)(1

1,)(

1

1 22

yyN

xxN

iyix

Xətti funksional asılılıq üçün .)( 10 axayx iii Bu ifadəni

(4.8)-də yerinə yazsaq a0-ın işarəsindən asılı olaraq alarıq .1xyr

Полиномиал approksimasiya. Полиномиал регрессийа о

щалда истифадя олунур ки, ъядвял шяклиндя верилмиш yi вя xi-

ляр арасында полиномиал (n-дяряъяли чохщядли) асылылыьын

олмасы эюзлянилир.

Məqsəd

nnn axaxax ...)( 1

10

polinomunun naaa ,...,, 10 əmsallarının (4.4) tənliklər sisteminin

həlli əsasında tapmaqdır. MatLAB мцщитиндя ən kiçik kvadratlar üsulu ilə

полиномial апроксимасийа polyfit() функсийасынын

101

кюмяйи иля щяйата кечирилир. Бу функсийа

polyfit(x,y,n) шяклиндядир.

Bурада:

x интерполйасийа дцйцнляри вектору;

y интерполйасийа дцйцнляриндя функсийанын

гиймятляри вектору;

n полиномун дяряъясидир.

polyfit() функсийасынын реализасийасынын нятиъяси

полиномун (n+1) юлчцлц ямсаллар векторудур. Беля ки, бу

векторун 1-ъи елементи полиномун a0 ямсалынын, 2-ъи

елементи a1 ямсалынын вя нящайят, ахырынъы, йяни (n+1)-

ъи елементи am ямсалынын гиймятини верир.

Гейд едяк ки, y=f(x) функсийасы аналитик шякилдя дя

вериля биляр.

polyfit() функсийасынын кюмяйи иля

интерполйасийайа мисал эюстяряк.

Мисал 4.6. Təcrübənin nəticəsi ашаьыдакы

ъядвялdə верилмишдир.

x 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

y 6.36 6.85 7.34 7.84 8.08 8.32 8.57 8.70 8.82 8.94

Qanunauygunlugu 212

0)( axaxax квадрат чохщядлиси

иля апроксимасыйа етмяк тяляб олунур.

Интерполйасийа проседуру ашаьыдакы шякилдядир: >> x=[30 40 50 60 70 80 90 100 110 120];

>> y=[6.36 6.85 7.34 7.84 8.08 8.32 8.57 8.70

8.82 8.94] ;

>> p=polyfit(x,y,2)

Enter клавишини басдыгдан сонра ъавабы ашаьыдакы

шякилдя аларыг: p = -0.0003 0.0719 4.4747

Tapılmış функсийа

.4747.40719.00003.0)( 2 xxx

102

Nəticəni təcrübi yi qiymətləri ilə мцгайися етмяк цчцн )x(

функсийасыныn qiymətlərini xi qiymətlərində hesablayaq.

MatLABda аргументин верилмиш гиймятляриндя

funksiyanın uyğun qiymətlərini hesablamaq цчцн polyval()

функсийасы мювъуддур. Бу функсийа

polyval(p,x)шяклиндядир.

Bурада:

p щесабланан функсийа;

x функсийанын аргументляри векторудур.

Апроксимасийанын нятиъяляринин доьрулуьуну йохламаг

цчцн бу функсийадан истифадя едяк.

Fi=polyval(p,x) функсийасыны дахил едяк вя

Enter клавишини басаг. Ъаваб:

Fi = 6.3695 6.8840 7.3400 7.7373 8.0761

8.3564 8.5780 8.7412 8.8457 8.8917

Bu qiymətləri təcrübi yi qiymətləri ilə мцгайися етмякля ямин

олуруг ки, аргументин бцтцн дяйишмя диапазонунда )x(

квадрат интерполйасийа чохщядлисинин гиймятляри илкин

верилянлярдян аз фярглянир. Şəkil 4.7-də bu məsələnin Matlada həlli göstərilmişdir.

103

104

Şəkil 4.7

Xətti korrelyasiya əmsalı corrcoef(x,y) funksiyasının köməyi ilə

(5.8) əsasında hesablanıb. Kxy=0.9656 vahidə yaxın olması təcrübi

verilənlərin xətti φ(x)=a0x+a1 aproksimasiyası da kifayyət qədər

önəmli olardı.

Мисал 4.6. Təcrübi qiymətlər (statistika) ашаьыдакы ъяд-

вялdə верилмишдир.

x 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1.2

y 3.5 4.8 2.1 0.2 0.9 2.3 3.7

Верилмиш функсийаны дюрдцнъц, бешинъи вя алтынъы

дяряъяли чохщядлилярля апроксимасыйа етмяк вя

апроксимасыйанын характерини якс етдирян графикляри гурмаг

тяляб олунур.

Яввялъя апроксимасыйа чохщядлилярини гураг.

Интерполйасийа проседуруну ашаьыдакы кими L_Inter

адлы м-файл шяклиндя формалашдыраг:

x = [0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1.2];

y = [-3.5 -4.8 -2.1 0.2 0.9 2.3 3.7];

p4 = polyfit(x, y, 4)

p5 = polyfit(x, y, 5)

p6 = polyfit(x, y, 6)

Matlabın əmirlər pəncərəsindən L_Inter м-файлына

мцраъият едяк:

105

>> L_Inter

Enter клавишини басдыгдан сонра ашаьыдакы ъавабы

алырыг:

p4 = 104.8749 -277.6552 238.1503 -64.7626

0.8035 p5 = -149.6034 537.0567 -721.1354 435.6721 -

101.5961 2.9904 p6 = 1.0e+003 * -2.3571 7.6621 -9.2819

5.2026 -1.3390 0.1415 -0.0086

Aпроксимасыйа polinomları:

.8035.0762.641503.2386552.2778749.1044 234 xxxxp

.9904.25961.101

6721.4351354.7210567.5376034.1495 2345

x

xxxxp

.6.85.141

0.13396.52029.92811.76621.23576 23456

x

xxxxxp

İndi isə müqayisə üçün təcrübi verilənləri (düyün nöqtələrini) və апроксимасыйанын характерини якс етдирян графикляри гурaq. Misal 4.7.

106

Enter клавишини басдыгдан сонра апроксимасыйанын

характерини якс етдирян графикляри алырыг (шякил 4.8):

Шякил 4.8. Апроксимасыйанын характерини якс етдирян

графикляр

Göründüyü kimi, p6 polinomunun tərtibinin n=6 olmasına

baxmayaraq axırıncı iki düyün nöqtəri arasında böyük

107

approksimasiya xətası alınır.Bu xüsusiyyət ən kiçik kvadratlar

üsulunun çatışmayan cəhətidir.

4.4. Aproksimasiya xətasının hesablanması İnerpolyasiya və ya approksimasiya xətası (4.1) ifadəsinin

əsasında hesablanır.

Aşağıda xətanın hesablanmasına aid nümunə verilmişdir.

Misal 4.8.

108

4.5. Splaynlarla interpolyasiya Splayn iningilis cözü (spline) olub rəsimxətdə müxtəlif nöqtələri

hamar birləşdirmək üçün istifadə olunan cevik lekal, dəmir xətkeş

parçası deməkdir.Yəni interpolyasiyanı qrafiki yolla yerinə yetirir

[14].

Burada bütün təcrübi düyün nöqtölərindən dəqiq kecən φ(x)

funsiyası tapılır. Lakin interpolyasiyaedici polinomun tertibini

azaltmaq məqsədi ilə φ(x) düyün nöqtələrini iki-iki birləşdirən

parçalardan ibarət olur.Bu parçalar müxtəlif tipli və ya əmsalları

fərqlənən eyni tipli (məsələn, polinom) şəkilində verilə bilərlər.Bu

halda φ(x) parçada (hisə-hissə) kəsilməz funksiyalar sinfində

axtarılır:

nnn xxxx

xxxx

xxxx

x

11

322

211

),(

,),(

,),(

)(

Şəkil 4.9-da splaynlarla interpolyasiyanın xarakteri

göstərilmişdir.

Şəkil 4.9

Biz polinomial splaynlarla interpolyasiya məsələsinə baxacayıq:

109

n=3-kub splayn, ;)( 23 dcxbxaxx

n=2- düyün nöqtələri parabolalar ilə birləçdirilirlər,

;)( 2 cbxaxx

n=1- düyün nöqtələri düz xəttlərlə (parçalarla) birləçdirilirlər,

;)( baxx

n=0-düyün nöqtələri pilləvari funksiyalar ilə birləçdirilirlər, ;)( ax

n=3 halında hər- bir [xi-1, xi] parçasında dörd sayda a, b, c və

d əmsallarını tapmaq üçün dörd sayda da şərt lazinmır:

).(23)(

);(23)(

);()(

);()(

2

112

11

11

iiii

iiii

ii

ii

xycbxaxx

xycbxaxx

xyx

xyx

Burada düyün nöqtələrində ordinatların və birinci tərtib

törəmələrin bərabərliyi şərtindən isytifadə olunur. Statistik

verilənlərin düyün noqtələrində törömölörin qiyməti məlun

olmadığından onları sol-fərq sxemi əsasənda hesablamaq olar:

.)(1

1

ii

iii

xx

yyxy

İkinci tərtib )( ixy törəməni hesablamaq üçün üç sayda

21,, iii yyy düyüm nöqtəsi tələb olunur.

Aşağıdakı interpolyasiya funksiyalarundan geniş istifadə olunur:

''nearest pilləvari interpolyasiya;

''linear xətti interpolyasiya;

''spline kubik polinomla interpolyasiya;

Aşağida hər üç halı əks etdirən Matlab proqramı və nəticə

göstırilmişdir.

110

Misal 4.8.

111

Şəkil 4.10

Misal 4.9.

Şəkil 4.11

Əmsalların təyin olunması. Kubik splaynın hər intervalda

əmsallarının hesablanmasına aid misala baxaq.

Misal 4.9.

112

Şəkil 11.7

Kubik dcxbxaxx 23)( polinomunun 4 əmsalı və 5

interval olduğundan əmsallar matrisinin ölçüsü 5×4.

Matlabda təkcə birölçülü deyil, eyni zamanda ikiölçülü və

çoxölçülü təcrübi verilənləri də emal etmək mümkündür.

Tapşırıq - 4.1

1.1. Ъядвял 4.1-дя верилмиш тапшырыг вариантларына

уйьун )x(y функсийасы цчцн ixi ( 4,,1,0i ) дцйцн

нюгтяляриндя бу функсийанын гиймятлярини MatLAB

мцщитиндя щесабламалы. Хятти интерполйасийа функси-

йасынын кюмяйи иля щяр бир локал интерполйасийа

113

интервалынын ортасында (йяни аргументин 0,5; 1,5; 2,5; 3,5

гиймятляриндя) функсийанын гиймятлярини щесабламалы.

Алынмыш нятиъяляри дягиг гиймятлярля мцгайися етмяли.

1.2. Хятти интерполйасийадан вя )x(L Лагранж интерпол-

йасийа чохщядлисиндян истифадя етмякля щяр бир локал

интерполйасийа интервалынын ортасында функсийанын

гиймятлярини щесабламалы. Алынмыш нятиъяляри дягиг

гиймятлярля мцгайися етмяли. Бир график цзяриндя )x(yy вя

)x(Ly функсийаларынын графиклярини гурмалы.

Ъядвял 4.1

№ )(xy № )(xy

1 xcos)x( 2 16 xsinx 21

2 xcosx1 17 312 x)xsin(

3 4

5322

42 x)xlg(x

18

4232

31 x

)xln(x

4 xxcos 2 19 )xxcos(x 2

5 212 x)xcos( 20 xsinx 2

6 5

1332

53 x)xlg(x

21

3122

31 x

)xlg(x

7 )xxsin(x 22 22 xsinxe x 23

8 )еxcos(x x23 23 xsinx 32

9 333 xxsin 24 43 xxcos

10 xsine x 2 25 223 xxcos

11 )xcosx(e x 2 26 xe)x( 1

12 xsin)x( 2 27 )xx(sinx 2

13 )xx(sinx 52 28 )xx(cosx 2

14 xsinx 23 29 xe)x( 23

15 xcos)x( 1 30 )xx(cosx 32

114

Çalışmalar-4. 2

Ъядвял 4.2-дя верилмиш тапшырыг вариантларына уйьун

експериментал верилянляр ясасында MatLAB мцщитиндя

xaa)х( 10 хятти асылылыьыны гурмалы. Гурулмуш хятти

асылылыгдан истифадя етмякля щяр бир локал интерполйасийа

интервалынын ортасында функсийанын гиймятлярини щесабла-

малы.

Ъядвял 4.2

№1 №2 №3 №4

x y x y x y x y

1 0,686 2 2,312 3 4,615 4 8,472

1,1 0,742 2,1 2,251 3,1 4,591 4,1 8,805

1,2 0,767 2,2 2,418 3,2 5,13 4,2 9,096

1,3 0,646 2,3 2,752 3,3 5,481 4,3 8,993

1,4 0,807 2,4 2,459 3,4 5,492 4,4 9,312

1,5 0,774 2,5 2,7 3,5 5,553 4,5 9,465

1,6 0,97 2,6 3,022 3,6 5,471 4,6 9,771

1,7 0,932 2,7 3,079 3,7 5,727 4,7 9,61

1,8 0,936 2,8 2,42 3,8 5,798 4,8 9,722

1,9 0,978 2,9 2,669 3,9 6,11 4,9 11,42

2 1,048 3 3,241 4 6,605 5 10,28

№5 №6 №7 №8

x y x y x y x y

9 5 0 -1 1,1 0,5 0,2 1,2

11 7,5 1 1,1 2,2 1,21 0,4 1,5

13 8,8 2 3,1 3,3 2,4 0,5 1,8

15 9,7 3 5,2 4,4 3,88 0,7 2,7

19 12,4 4 6,9 5,5 4,15 0,9 3,4

21 14,3 5 9,05 6,6 5,55 1,2 4,3

23 15,3 6 10,98 7,7 7,58 2,3 5,8

25 17,45 8 11,52 8,8 9,34 2,9 7,45

27 17,34 9 14,34 9,9 10,95 3,7 8,34

29 18,5 10 15,5 4,4 10,5

115

№9 №10 №11 №12 №13

x y x y x y х y х y

11 115 1 5,2 0,5 1,9 0 4 1,2 1,2

12 121 3 5,4 0,9 1,95 11 6 1,6 1,5

13 132 5 5,7 1,3 2,3 23 12 2,5 1,8

14 134 7 5,9 1,7 2,47 35 20 2,7 2,7

15 145 9 6,3 2,1 2,54 47 30 3,1 3,4

16 155 11 6,95 2,4 2,63 59 34 3,5 4,3

17 164 13 7,18 2,7 2,78 71 50 4,3 5,8

18 172 15 7,52 3,1 2,65 83 53 4,9 7,45

19 183 17 7,74 3,5 2,44 95 12 5,5 8,34

19 8,25 3,9 2,35 107 3 6,4 10,5

Çalışmalar - 4.3

3.1. Ъядвял 4.3-дя верилмиш тапшырыг вариантларына

уйьун експериментал верилянляр ясасында MatLAB мцщитиндя

mm

1m1m

2210m xaxaxaxaa)x(P

, 4,3,2,1m

апроксимасийа чохщядлилярини тапмалы вя апроксимасыйанын

характерини якс етдирян графикляри гурмалы.

Ъядвял 4.3

№1 №2 №3 №4 №5 №6

х y x y x y x y x y x y

0 1 5 99,1 0 0,5 1 41,1 0 -3 3,7 14

1 1 10 50,6 2 50,0 3 78,2 3 0 5,1 16

2 1 15 23,5 4 118,5 5 129,6 4 2 6 12

3 2 20 20,1 6 163,9 7 184,0 5 10 7,2 12

116

4 2 25 45,7 8 195,0 9 220,0 7 9 8 10

5 3 30 51,1 10 235,0 11 260,0 8 14 8,3 9

6 4 35 76,0 12 267,3 13 274,0 11 21 8,9 7

7 5 40 110,1 14 284,0 15 283,2 14 25 9,4 8,9

8 7 45 156,1 16 297,0 17 307,5 17 31 9,6 5,1

9 9 50 176,2 18 311,0 19 315,3

10 20 20 320,5 21 320,7

11 22 23 330,6

12 30 25 335,3

№7 №8 №9 №10 №11 №12

х y х y x y x y x y x y

1,3 120 100 315 0,5 14,5 0 -3 1 12,5 0 1

1,5 115 111 299 0,7 10,1 3 0 2 10 -1 0,5

2 100 120 250 1 9,6 4 2 3 13,6 -2 0,3

3,4 99 124 266 1,1 5,5 5 10 4 17,4 -3 -0,2

6,1 81 128 270 1,5 3,6 7 9 5 21,5 -4 0,1

7 72 131 111 1,8 0,5 8 14 6 20,5 -5 0,6

9,3 64 156 91 1,9 -0,3 11 21 7 29,3 -6 0,3

10,2 55 163 100 2,2 -7,6 14 25 8 27,6 -7 -0,2

11 48 170 78 2,3 -8,0 17 31 -8 0 Matlabda təsadüfi proseslər Statistics Toolbox bölməsində

öyrənilir.

Ədəbiyyat

1. Məmmədov H.Ə., Rüstəmov Q.Ə., Rüstəmov R.Q. Mühəndis

riyazziyatı. Dərslik, AzTU,-2015,- 440 s.

2. Rüstəmov Q.Ə. Avtomatik tənzimləmə nəzəriyyəsi.Matlab

Simulinkdə modelləşdirmə.. Bakı, 2012, 750 s.

3. Əlizadə A.N., Namazov M.B., Aslanov M.S. Matlab tətbiqi

proqramlar paketi və

117

simvollu riyaziyyat. Dərs vəsaiti. Bakı, 2005, 280 s.

4. Seyidov M.İ., Qardaşova L.A., Səlimov V.H. Kompüter

riyaziyyatı. Metodik vəsait, Bakı, “Təhsil” EİM, 2010, 188 s.

5. Вербицкий В.М. Основы численных методов: Учебник

для вузов. – М.: Высшая школа, 2005.

6.Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и прак-

тика. – М.: Нолидж, 2001.

7. Сейидов М.И., Сярдарлы С.М., Мяммядова К.А, Хялилов

Е.О. Excel вя Mathcad васитяси иля тянликляр вя тянликляр

системинин щялли. Дярс вясаити. – Бакы, Ширванняшр, 2007.

8. Сейидов М.И., Йусифов Р.Ф. Моделляшдирмя вя ядяди

цсуллар. Дярс вясаити. – Бакы, Ширванняшр, 2009.

9. Исмайылов Я., Ялийев М. вя башг. Щесаблама методлары

вя ЕЩМ-ин тятбиги. – Бакы, Бакы Университети няшриййаты,

1991.

10. Ширинов Т.В., Гурбанов Щ.Т., Кяримова Р.Н. Тятбиги

програмлашдырма. Mathcad-да щесаблама цсуллары. Дярс

вясаити. – Бакы, Сабащ, 2006.

13.Власьева В.А. Метод Монте-Карло.Методическое

указания л выполнению лабораторных работ. Санкт-петергбург,

2008.

14. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы

машинной графики. М.: Мир, 2001.

118

Rüstəmov Qəzənfər Ərəstun oğlu

119

Riyazi modelləşdirmə və simulasiya

Dərs vəsaiti. Bakı, AzTu, 2015,- 120 s.

AzTU-nun mətbəəsi-2015