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Tensoreigenschaften physikalischer Größen

Physikalische Größen Skalar – Gewicht, Masse, Volumen, Energie, Wärme, Arbeit Vektor – Feldstärke (des elektrischen oder magnetischen

Feldes, …), Gradienten (Temperatur, Konzentration, Wärme, …), Ströme (elektrischer Strom, Diffusionsstrom, Wärmeströmung, ...)

Tensor – mechanische Spannung, Verzerrung, Diffusionskoeffizient, atomare Temperaturschwingungen, …

Tensoren beschreiben Abhängigkeit einer physikalischen Eigenschaft von der kristallographischen Richtung (Anisotropie)

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Tensoreigenschaften physikalischer Größen

Pyroelektrischer Effekt (max. 3 Komponenten)

Elektrische Leitfähigkeit (max. 9 Komponenten)

Diffusionsstrom (max. 9 Komponenten)

Mechanische Belastung und Verzerrung des Kristallgitters (max. 81 Komponenten)

P p T

�j E

�J D c

� �� S

3

Proportionalkonstanten in physikalischen Gleichungen

3

1,

3

1,0

3

1, 0

23

1 0,0

20

2

02

2

00

21

21

21

khkhihk

hhihi

khkh

kh

i

hh

h

iii

XXyXyYY

XXXXYX

XYYY

XyXyYY

XdXYdX

dXdYYY

XfY

3 9 27 81: 3n+1 Komponenten

4

Tensor

xyzxyzzyxyx

xyzxyzzyxzx

xyzxyzzyxyz

xyzxyzzyxz

xyzxyzzyxy

xyzxyzzyxx

ssssss

ssssss

ssssss

ssssss

ssssss

ssssss

165646362616

165545352515

164544342414

163534332313

162524232212

161514131211

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

ssssssssssssssssssssssssssssssssssss

S

S

�

�

5

Atomare Temperaturschwingungen

khhkkh

zkyhxifNF

ifNF

n

jjjjjjk

n

jkj

tkj

tkjjk

2313122

332

222

11

1

1

2

222exp

2exp

22exp

hBhrh

332313

232212

131211

β

cbbaaa

uuuuu

uuuuu

uuuuu

t

tjjj

00cossin10coscot1

;21 **

***

2

233231

322221

312121

FβFFB

uuB

6

Tensoren und KristallsymmetrieDas Neumann-Prinzip Die Symmetrie einer physikalischen Eigenschaft kann

nicht niedriger sein als die Symmetrie der Punktgruppe des Kristallgitters.

Die Gruppe der Symmetrieoperationen (GT), die eine physikalische Eigenschaft (T) des Kristalls beschreibt, muss alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe K des Kristalls enthalten. Die Gruppe K muss deswegen eine Subgruppe der Gruppe GT sein: K GT.

Spezielle Anwendung: Brechungsindex kubischer Kristalle hat eine Kugelsymmetrie. Das gleiche gilt auch für atomare Temperaturschwingungen.

Oder anders: die höchstmögliche Kristallsymmetrie folgt aus der Symmetrie der physikalischen Eigenschaften.

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Tensoren und KristallsymmetrieDas Voigt-Prinzip Die im Neumann-Prinzip deklarierten Bedingungen sind

automatisch erfüllt, wenn die Komponenten des T-Tensors (Tensor der physikalischen Eigenschaften) gegenüber den Symmetrieoperationen der Symmetriegruppe K (Kristallsymmetrie) invariant sind.

Der Tenzor keiner physikalischen Eigenschaft darf bei den Symmetrieoperationen ändern.

Anwendung: Zusammenhang zwischen einzelnen Komponenten des Tensors T kann durch eine Multiplizierung mit den Matrizen für die Symmetrieoperationen festgestellt werden.

TTMMt

8

Voigt-Prinzip – Beispiele

3331

22

1311

333231

232221

131211

333231

232221

131211

22

3332

2322

11

333231

232221

131211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

000

0

100010001

;100010001

00

00

100010001

;100010001

ttt

tt

ttttttttt

ttttttttt

tttt

t

ttttttttt

ttttttttt

ttttttttt

T

T11

T

MM

MM

TTMM

33

22

11

000000

tt

tT

Erste Spiegelebene

Zweite Spiegelebene

Beide Bedingungen gleichzeitig:

9

Voigt-Prinzip – Beispiele

333231

232221

131211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

100010001

;100010001

ttttttttt

ttttttttt

ttttttttt

T1

T

MM

TTMM

Inversion:

Keine Einschränkung für den Tensor der physikalischen Eigenschaften

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Tensoren und KristallsymmetrieDas Curie-Prinzip Ein Kristall ändert seine Punktgruppe (Punktsymmetrie)

unter dem Einfluss einer externen Kraft, dass nur die Symmetrieelemente erhalten bleiben, die gleich wie die Symmetrieelemente der belastenden Kraft sind.

~K K G

K ... Punktgruppe der Symmetrieoperation im Kristall

G ... Gruppe der Symmetrieelemente der äußeren Kraft