Z. angew. Math. Mech. Bd, 33 Nr, 1,2 Jan,,Fcbr, 1053 I0 N e u b e r , Theorie der Druokstabilitiit der Sandwiohplatte XI

Wir betrachten zunachst den Fall y > 0, d. h. oberes Vorzeichen in den Formeln (33). Der in negativem Sinne umlaufende Pol A = x liefert in (33a, d) einen Beitrag, der die einfallende Welle genau kompensiert, wahrend er in (33b, c) nichts beitragt. Fur y < 0 unteres Vorzeichen, liefern alle Integrale einen Beitrag. Die Formeln lassen sich in einfacher Form schreiben, wenn man die Winkel a, p, ‘p gemal3 (46) und (49) einfuhrt. Es wird dann

und aus (33) entsteht I. Reflexion der Druckwelle.

TI. Reflexion dcr Schubwelle.

(56tl)

in obcreinstimmung mit dcn bckanntcn Verhiiltnissen bei der Reflexion elastisclicr Wellcn an einer freien ebenen Oberflache ”.

Liegt innerhalb des Winkelbereiches der Totalreflexion fur Schubwellen, d. h. K sin 191 > k, so bleibt der Integrationsweg in (33b, d) auch an einem der beiden Verzweigungs- punkte -t k hangen. Der Beitrag des entstehenden Schleifenintegrals um diesen Punkt ver- schwiiidet jcdoch wie llr fur r -+ 03 ~ ist daher fur das asymptotische Verhalten der Wellen belanglos. Eingegangen am 14. Februar 1952.

Theorie der Druckstabilitat der Sandwichplatte. 11. Von H . Neuber in Dresden

Zweiter Teil der in dieser Zeitschrift, Bd. 32, S. 325-337 erschienenen Arbeit. Auswertung der Theorie

Second part of the paper, publicated in this jorurnal, Bd. 32. 8.325-337. Development of the resulta

DeuxiLme partie de la thdorie ( la premiere partie dtait apparue dana Bd. 32, 8. 325-337. du journal).

B T O ~ ~ S I ¶&CTb B 3TOM xgpnane, T O M 32, CTp. 325-337 ony6wIcoBannot pa6oTa. HClIOJI30-

f u r die technische Anwendung, Diagramme fiir das optimale Wandstarkenverhaltnia.

for technical applications, diagramms for the optimum ratio of thickness.

Esplanation des resultats pour l’application technique avec des diagrammes pour les dimensionea optimalea.

mnae Teopai A ~ S I TesnusecIcoi npaMemMocTa c n a a r p a ~ ~ a ~ a nns~ nystqax mMepenui.

6. Linesrisierung Da die Zusammendruckung der Platte praktisch nur in jenem Bereich untersucht zu werden

braucht, der unterhalb der Bruchfestigkeit liegt, kommen fur die Auswertung nur Werte von e und damit von 8 in Betracht, die sehr klein gegeniiber 1 sind. Mithin ist eine Entwicklung samt- licher Ausdriicke nach Potenzen von S zweckmaoig. Wie nachstehend gezeigt wird, ergibt sich auf diese Weise fur die Stabilitatsbedingung eine Potenzreihe, die bei der dreischichtigen Platte mit der dritten, bei der zweischichtigen Platte mit der vierten Potenz beginnt. Wird jeweils soweit entwickelt, daI3 noch der Faktor der nachst hoheren Potenz exakt herauskommt, und werden alle weiteren Potenzen vernachlassigt, so folgt fur S jeweils eine lineare Gleichung, welche fur die Auswertung wesentliche Vorteile aufweist. Zunachst seien die GroDen e2, y und p. sowie die in der weiteren Rechnung auftretenden Kombinationen dieser GroI3en nach Potenzen von S entwickelt. Mit Hilfe der Binomialreihe erhalt man :

11 2. angew. Math. Mech. Bd. 83 Nr. Jan./Febr. 1953 N e u b e r , Theorie der Druckstctbilitlt der Sandwichplatte I1

y = (1 -S2) [1+ (1 -2c) S2]-1= 1 + (-2+ 2C)S2+ (1 -2c)(2-2c)54+ * . * , p = (1 - S ) [1 - (I - 2c) S ] [l + (1 - 2c) s y

( p - l ) ( y + p - 2 ) = 4 ( 1 - c ) W ( l + S ) + a * . ,

= 1 + (- 2 + 2c) s + (1 - 2c) (2 - 2c) s3+ * * * ,

e 2 = - 1 -s-

(102).

,

1 1 2 2 e =[I + (e2 - 1)11/2= 1 + S+-S2 + -S3+ * - * ,

(; ) w = l - s + ( - H + 2 C ) S 2 + 3 --2c s3+.*.,

(:Y e

= 1 -2S+(-2 + 4c)S2+ * . . I

I p e = 1 + ( - l + Zc)S+ --+2c S2+ * . a , ( i ) py + p - 2 = (- 4 + 4 c) s + (- 2 + 2c) 52 + * * -

Fur die Hyperbelfunktionen ergibt sich mittels der T a y 1 o r - Reihe : Gin eP = Gin [P+ ( e - 1)P] = GinP + (e - 1 ) P B o f P + * . ]

1 Bof eP = Boip + S p Ginp + 8 2 (p 6 i n p + p2 %of p) + - . . Bei Anwendung dieser Entwicklung steht der Auflosung der Basisfunktionen nichts im Wege. Bei zeigt sich, daI3 dieReihe mit S2 beginnt, so daI3 an sich bei Gin e /3 und &of e P eine Ent- wicklung bis zur dritten Potenz von S erforderlich ware. Dies 1aI3t sich jedoch vermeiden, wenn eine Aufspaltung von @s vorgenommen wird, wie z. B. die folgende :

@6 (a) = (PY +r -2) ( W % P -W28) + (P - 1) (P + Y -2) + 4 a2 (4 @3 (P ) (104). Fur die kiirzere Darstellung des Ergebnisses seien folgende Bezeichnungen eingefiihrt :

. . (106). I (P ) = (3 - 4c) Gin 2 P - 2 P ,

3 441 (P) = (z -2c)(Girt 2 P + 2 P Boi 2 P ) - 2 P ,

@ m ( p ) = ( 6 - 8 ~ ) % 0 f 4 P + 1 0 - 2 4 ~ + 16c2+ 16P2,

fBKl ( P ) = (3 -4c) [(4 - 4c)Bof 4 P + 4P Gin 4P] + 4 -4c + 1 6 P

E. angew. l a t h . Mech. Bd. 33 Nr, 1,2 Jan.,Febr. 1953 12

Nunmehr ]a& sich die Stabilithtsbedingung in eine fur S lineare Beziehung uberfuhren. Die Auf- losung nach S fuhrt auf folgende Formeln :

Erste Linesrieierung (8 < 1)

A. D r e i s c h i c h t i g e P 1 a t t e m i t g e g e n s y m m e t r i s c h e r Verf o r mung.

N e u b e r , Theorie der Druckstabilitiit der Sandwichplatte 11 -

(1 - H ) @ , o ( P ) @ 6 0 ( ! j ~ ) + 16(1 - - ) 2 H @ l o ( P + P l ) + - 8 - -

(108),

+ 16 (1 - c)zH[@,, (P + $) (P + $) + + $)OZl (P + 2) + @lo (P + 2) @zo (P +$

(109).

Da die Anforderungen des Leichtbaues - wie erwahnt - ausschlielllich auf Kombinationen von diinnen, festen und damit tragenden Schichten mit dicken, weniger festen und besonders leichten Fiillschichten fiihren, kommen fur die praklische Anwendung nur Werte von h, in Betracht, die sowohl gegenuber der Wandstarke h, als auch der Knickhalbwelle 1 als klein angesehen werden konnen. Der Parameter PI bleibt daher auf Werte beschrankt, die sowohl gegeniiber P, als auch gegeniiber 1 klein sind. Hi'eraus ergibt sich ein zweiter LinearisierungsprozeB, indem die. StabiIi- tatsbedingung auller nach S auch nach P1 entwickelt wird.

Mit Bezug auf die GI. (1071, (108) und (109) sind hierzu die Potenzreihen von fPl, DZ und @&

erforderlich. Bei Anwendung der Potenzreihen der Hyperbelfunktionen folgt aus den Gleichungen (106) fur das Argument P1/2 :

2. Bd. angew. 33 Nr. Math. Jan.,Behr, Mcch. 1859 N e u b e r , Theoria der Druckstabilitlit der Sandwichplatte I1 13

90 = (2 - ZC) (Q014p - 1) + P E t t 4 P - 4 P' ,

@61 - = 16 (1 - c)' + 8 (1 - C) (5 - 4 C) P," + * * * (3 Fur die Gleichungen (107) und (108) werden aul3erdem Funktionen mit dem Argument (P benotigt. Die zugehorigen Entwicklungen nach Pl sind :

&)

, . _ . . (111).

@lo (P + a,) = @I0 ( P ) + 2 P l ( W 2 P - 1) + ' * - f

@ll (P +PI> = @I1 ( P ) + 2P,[(2 -2Cc)BOf 2P + P Gin2PI + . . . @m(P + P I ) = @ 2 o ( P ) + 281 (Qof 2P + 1) + * * a 9

(P + P I ) = @21 ( P ) + 2P, [(2 - 2 4 Qof 2P + P Gin 2P] + - - + I SchlieRlich treten in G1. (109) auch die entsprechenden Funktionen mit dem Argument (P + &/2) auf. Die zugehorigen Entwicklungen ergeben sich unmittelbar am vorstehenden Gleichungen, wenn Pl/2 statt 8, gesetzt wird.

Werden die so gewonnenen Ausdriicke in die G1. (107), (108) und (109) eingesetzt so emp- fiehlt sich die Ordnung von Ziihler und Nenner nach Potenzen von H, wobei innerhalb des Koeffi- zienten jeder Potenz von H i m Rahmen der beabsichtigten Linearisierung nur die niedrigste auf- tretende Potenz von PI zu beriicksichtigen ist. Wird noch in Zahler und Nenner durch 16 (1 -c) dividiert, so ergeben sich die nachstehenden Formeln :

Zweite Linearisierung (S Q 1, < 1, B1 Q 8 ) .

Hierin ist zu setzen : A. F u r d i e d r e i s c h i c h t i g e P l a t t e m i t g e g e n s y m m e t r i s c h e r V e r f o r m u n g : fo= G i n 2 P - 2 P f f l= Qof2P-1, f i = (3-4c)Gin2/3+2p,

B. Fur d i e d r e i s c h i c h t i g e P l a t t e m i t s y m m e t r i s c h e r V e r f o r m u n g :

(1 14). fo= G i n 2 P + 2 P I f 1 = % 0 f 2 P + 1 , f 2 = (3-4c)Gin2P-2PP,

$0 = (2- 20) Gin 2~ + P ~ 0 7 2 ~ + 2 ~ , 5

g1 = (3 - 2 c ) ~ ~ o i 2~ + 1 + P Gin 2~

C. F a r d i e z w e i s c h i c h t i g e P I a t t e :

1 1 4 P z , f , = z G i n 4 P - 2 P , 1 1 f - - 6 O T 4 p 4- -

O - 2 2

Z. angew. ?death. Mach. 14 Bd. 3s Nr. Jan.,Febr. less

uberfuhrt, sind P und P1 sehr klein gegenuber 1, da die Knickhalbwelle 2 als groB gegenuber h und h, angesehen werden kann. Daher konnen fur diesen Bereich durch Entwicklung nach P und PI vereinfachte Formeln erzielt werden. Da hierbei S < 1, P << 1, P1 < 1, jedoch nicht P1 << P vorauszusetzen ist, konnen die Beziehungen der zweiten Linearisierung nicht als Ausgangspunkt der Rechnung dienen, sondern es muD auf die erste Linearisierung zuriickgegriffen werden. Zur Aufstellung der gewunschten Entwicklung ist es erforderlich, die Basisfunktionen ( GI. (105) und (106)) nach dem Argument zu entwickeln, wobei die Potenzreihen der Hyperbelfunktionen zur Anwendung kommen.

Die Entwicklungen von Qlo, Ql,, @*,,, Qgl, Q50, und G5, konnen aus den G1. (110) entnommen werden.

Fur die iibrigen Funktionen folgt :

N e u b e r , Theorie der Druckstabilitilt der Sandwichplatte I1

32

(116). @ 3 , ( P ) = ( S - 8 c ) P + P s + . . . , Q s l ( P ) = ( 8 - S c ) P + ( 8 - ~ c ) P s +

Q 4 0 ( P ) = (4 - 8 c) P + (4 - $ c)Ps + Durch Einsetzen in die GI. (107), (108) und (109) ergeben sich nach kurzer Rechnung nach- stehende Formeln :

Dritte Linearisierung ( S g 1,

A. D r e i s c h i c h t i g e P 1 a t t e m i t g e ge n s y m m e t r i s c h e r V e r f o r m u n g. Q 1, 8 < 1).

. . . (117)

B. D r e i s c h i c h t i g e P l a t t e m i t s y m m e t r i s c h e r V e r f o r m u n g :

H B P P: 1 - 2 c

(118). -s= . . . . . . . . . + + 12 (1 - 4 2

(2 - c ) (P + HP,) + 1_72”H2P& l - c

C. Z w e i s c h i c h t i a e P l a t t e : - (1 - H ) P 4 + H(P +$y + H ( H - I)($r

-s= . . . . . . . (119). 3 (1 - c ) ( P + H:)2

Eine weitere Vereinfachung erfahren die Formeln, wenn auI3er S << 1, P I << 1, P << 1 auch PI < P vorausgesetzt wird. Diese Approximation sei als vierte Linearisierung bezeichnet ; die zugehorigen Endformeln folgen entweder direkt aus den Gleichungen (117) bis (119), wenn innerhalb des Koeffizienten jeder Potenz von H nur die niedrigste Potenz von P1 beriicksichtigt wird, oder aus den Gleichungen (112) bis (115) durch Entwicklung nach P :

Vierte Linearisierung (8 << 1, j3 Q 1, B1 < B ) . A. D r e

B. D r e

s c h i c h t i g e P l a t t e m i t g e g e n s y m m e t r i s c h e r V e r f o r m u n g :

s c h i c h t i g e P l a t t e m i t s y m m e t r i s c h e r V e r f o r m u n g :

C. Z w e i s c h i c h t i g e P l a t t e : 1

P‘ + 2 HP’ Pi + jijH2P:

3 (1 - c) (P + HA12)B -s= . . . . . , . (122).

2. Bd. angew. 33 Nr. Math. Jan.,Bebr, Mech. 1963 N e u b e r , Theorie der Druckstabilitilt der Sandwichplette I1 15 -

7. Nachweis der E u 1 e r bereiche Wie schon anfangs erwahnt wurde, mu13 sich fur lange Knickhalbwellen, d. h. bei Knickung

iiber die volle Plattenlange (beiderseits frei drehbare Rander vorausgesetzt) ein Verhalten der Platte herausstellen, daB dem eines schlanken Stabes ahnlich ist; d. h. der Bereich der langen Knickwellen mu13 sich als ,,E u 1 e r"-Bereich nachweisen lassen.

Zur Unterscheidung vom selbstandigen Knicken des Bleches bei sehr kurzen Knickwellen (,,erster E u 1 e r -Bereich") wird jener Bereich als ,,zweiter E u 1 e r -Bereich" gekennzeichnet. Der Nachweis ergibt sich unmittelbar bei Anwendung der ublichen Naherungsvorslellung : Es wirken im wesentlichen nur Spannungen t,,, und die Querschnitte bleiben eben. Bei Anwendung der Formanderungsgleichungen (20) folgt mit tff I/ = 0 :

a%!=_- c e* . . . . . . . . . . . . . . . (123). a Y 1 - 2 c

Definitionsgemall war entsprechend G1. (7) und (2)

avv aY

so daB nach Elimination von-

e*=-- 1 - 2 c av, . . . . . . . . . . . . . . . (125) 1 - c a x

zu setzen ist. Mit Bezug auf die erste der G1. (20) gilt daher:

t 5-- - E a v, . . . . . . . . . (126). 2 6 av, as X Z

Andererseits folgt aus t X r = 0 bei Integration nach y, wenn nunmehr die Verschiebung V,, ,,Durchbiegung") als eine Funktion von x allein angesehen wird,

V, (yo-y)% . . . . . . . . . . . . . . (127).

Demnach ist

die Formanderungsgleichung, die fur Biege- und Knickvorgange bei Platten anzuwenden ist, deren Dicke als genugend klein gegenuber dem Krummungsradius ihrer Biegelinie angesehen werden kann. Wird hierbei der Elastizitatsmodul E als Funktion von y aufgefaBt, so ist G1. (128) fur beliebig geschichtete Platten (fur kontinuierliche und diskontinuierliche Schichtung) anwendbar. Bei Integration iiber die Plattendicke treten die HilfsgroOen

J E ( y ) d y = K o , T E { y ) y d y = K l , j ' E ( y ) y 2 d y = K , . . . . (129)

auf. Da beim Knickvorgang keine zusatzliche Axialkraft auftreten kann, mu13 das Integral der Spannungen iiber die Dicke verschwinden. Hieraus folgt eine Bedingung fur die Integrations- konstante yo:

Y, k OTa

.... At

'-KO, y -- . . . . . . . . . . . . . . . . (130).

Wird die auf die Langeneinheit der Plattenbreite bezogene Knicklast mit P bezeichnet, so hat das Moment der Knicklast, wenn ihre Wirkungslinie vor Eintreten des Knickvorganges den Ab- stand C, von der Stelle y = 0 hatte, wahrend der Knickung an jeder Stelle der Platte den Betrag P (C, -V,,). Andererseits hat das Moment der Spannungen t,, den Betrag

(131).

1;. angew. Math. Yech. 1863 N e u b e r , Theorie der Druokstabilitiit der Sendwichplatte I1 Bd. 33 Nr. - 16

Als Gleichgewichtsaussage ergibt sich demnach die Differentialgleichung :

. . . . (132).

Hierbei stellt die GroBe

die , , , B i e g e s t e i f i g k e i t d e r g e s c h i c h t e t e n P l a t t e " dar. Aus der Losung der Different ialgleichung

folgt die Knicklast

Herrschte wahrend des Aufbringens der Druckbelastung H o o k e sches Gesetz mit derselben Verteilung der Elastizitatsmoduln, so la& sich die Knicklast aus der Zusammendriickung - E

nach der Gleichung

errechnen. Demnach folgt

V,= C, + C2 sin (a 2) . . . . . . . . . . . . . . (134)

P = p2 B . . . . . . . . . . . . . . . . (135).

. . . . . . . . . . . . . . . p = - E KO (136)

und

(138). - S = - - - - L 2 . . . . . . . . . . . . . KO K2 - K2 (1 - c ) K,2 "

Bei der d r e i s c h i c h t i g e n P l a t t e wird 1 K O = E h + 2 E h , , K , = O , K , = ~ [ ( B - E , ) A S + B , ( B + 2 h , ) 3 ] . . (139),

(140), B = - . . . . . . . . . . . ( E - El) k3 + El (h + 2

. . (141).

Bei der z w e i s c h i c h t i g e n P l a t t e wird

E ( E - h4 + 4 (h + U4 + B (4 - E ) 74 . . . . . . (143), B = - 12 1 f- (1-c) (Eh+E1h1)~ ( A)

(144). - s= (1 - H ) P4 + H (P + P1/2)* + H ( H -- 1) (P1/2)4

Bei Vergleich mit den Beziehungen (117) und (119) erkennt man vollige ubereinstimmung fur die zweischichtige Platte. Bei der dreischichtigen Platte ist zu beachten, daB die Glieder mit H* in G1. (117) mit PPj (d. h. @) im Zahler bzw. PP: (d. h. as) im Nenner behaftet sind und daher bei langen Knickwellen, also kleinem Betrag (d. h. q3) im Zahler, bzw. ,8 und P1 (d. h. y ) im Nenner. Beim Grenziibergang zum E u 1 e r -Verhalten stellen daher die Glieder mit H2 in GI. (117) GroBen dar, die mit abnehmenden a-Werten beliebig klein werden, so daB in der Tat G1. (117) gegen G1. (141) konvergiert. Damit ist der Grenzubergang zum zweiten E u 1 e r -Bereich nachgewiesen.

Andererseits leisten die G1. (117) und (119) fur H = 03 den Ubergang zum e r s t e n E u 1 e r b e r e i c h (selbstandiges Knicken also ,,Beden'' der AuBenschicht); in diesem Falle gilt :

. . . . . . 3 (1 - c) (P + H P1/2)2

klein sind gegeniiber Ps und (P +

- s = .- Ip Pa . . . . . . . . . . . . . . (145). 12 (1 - c )

17 2. sngew. Math. Mech. Bd. 85 Jan.,Febr. 1963 N e u b e r , Theorie der DruckstabilitiLt der hndwichplatte I1

G1. (141) des zweiten E u 1 e r-Bereiches ist dagegen an das Ebenbleiben des Plattenquerschnittes gebunden und liefert rnit H = a:

- # = Pa + P A + PP3 . . . . . . . . . . . . . (146), 1 - c

also einen Ausdruck, welcher dem Knickvorgang zweier in festem Abstand unverschieblch gegeneinander festgehaltenen Bleche .entspricht.

8. Erweiterung 8uf nicht-lineares Forrniinderangsgesetz Bei guter Ausnutzung der Tragfahigkeit eines Bauteiles mu0 die Beanspruchung moglichst

dern sicherheitsmaflig zulassigem Spannungswert genahert werden. Dieser liegt bei den meisten technischen Werkstoffen in einem Gebiet, in welchem die Formanderungskurve nicht mehr linear verlauft, so daB bei Stabilitatsbetrachtungen die bisherigen Ableitungen nicht mehr direkt anwendbar sind. Es la& sich jedoch zeigen, daB die dargelegte Theorie bei Einfiihrung gewisser vereinfachender Annahmen auch fur nicht-lineares Formanderungsgesetz gultig bleibt.

Wird zunachst ein Stab oder eine Platte von gleichem Werkstoff betrachtet, so fuhrt die Frage nach der Stabilitat eines Druckzustandes (Druckspannung - 3, Zusammendriickung - Q auf die Betrachtung der naheren Umgebung des zugehorigen Punktes A der Formanderungskurve (Bild 3). Wird die Formanderungskurve als stetig, differenzierbar und umkehrbar vorausgesetzt (von Verfestigung wird also abgesehen), so kann ihr Verlauf in der Umgebung von A durch die Gerade

(147)

-8

-(U-L+)

&+ww d

0 = & + (e - i)(g) e=a

ersetzt werden.

der Vorspannung TSs, wahrend die be- liebig kleinen Spannungszuwiichse 0-6 mit den Spannungen ta., die Dehnungs- zuwiichse e - B mit den Dehnungen

des Elastizitatsmoduls tritt demnach der ,,fiktive Elastizitatsmodul" oder ,,En ge s s e r modul"') wahrend in G1. (35) an die Stelle der Zusammendruckung - e eine fiktive Zusammendriickung zu setzen ist, welche mit - E* be- zeichnet werden moge; sie ist durch die Bedingung festgelegt, da13 bei Multiplikation mit dem fiktiven Elastizitatsmodul die tatsachlich wirkende Druckvorspannung - 6 erhalten wird :

Die Spannung 13 entspricht hierbei ,-(dl /-

-f - -E'

BIld 8. Zur Stabilltl~~betrachtung be1 nicht-Iinearem aVz/az identisch sind. An die Stelle Formlnderungsgesetz

. . . . . . . . . . . . . . (148).

Hieraus folgt bei Division durch (du/de)&:

Liegt - E* als Rechnungswert auf Grund der Theorie vor, so kann demnach sowohl - i, als auch -8 an Hand der Formanderungskurve .mit Hilfe der GI. (149) bestimmt werden. Die geometrische Betrachtung laBt erkennen (Bild 31, da13 der zugehorige Punkt der Formanderungs- kurve der Bedingung entspricht, daD die Subtangente gleich - e* wird. Ein anderer Weg ware

die Konstruktion einer Kurve mit dem Funktionswert - - als Ordinate und - E als Ab- szisse. Der zugehorige Kurvenpunkt hatte hierbei die Ordinate - E*.

Bei der mehrschichtigen Platte wurde zur einfacheren Durchfiihrung der Rechnung an- genommen, daD alle Schichten bei Knickbeginn die gleiche Zusammendriickung - e besitzen. Fur nicht-lineares Formanderungsgesetz bedeutet diese Annahme die ubereinstimmung von - B.

de d l n u

7) Die Einfiihrnng der Qr6Be dufdc an Stelle dee Eketizit&tsmodds bei Gickung von St&ben mit nicht-linearem Formrinderungsgesetz geht auf F. Engesser zurtick; vgl. Z. VDI 42 (1898), S. 927.

2

2. angew. Math. Mech. 18 N e u b e r , Theorie der Drucketabilitiit der Sandwichplatte I1 Bd. 33 Nr. Jan,,Febr. 1Q5s

Wird ferner zur Vereinfachung angenommen, daB auch - E* ubereinstimmt, so schneiden im Augenblick des Knickbeginnes die Tangenten der Formanderungskurven fur die Werkstoffe der verschiedenen Schichten die E-Achse an der gleichen Stelle (Bild 4). Als Bedingungsgleichung folgt demnach :

Sol1 das Stabilitatsverhalten fur alle Punkte der Formanderungskurve untersucht werden, so wird diese Bedingung zweckmaI3ig fur alle Punkte vorgeschrieben, d. h. die Formanderungs-

Bild 4. Bur Stsbilltatsunterauchung der mehrechichtigen Platte bei nicht-Hnearem Form&nderungegesets

~

kurven unterscheiden sich nur durch einen Faktor :

a ( & ) = K a1 (E) . . . (151). Demnach wird das Verhaltnis EI der Elastizitatszahlen von E unabhangig. Ferner wurde angenommen, daB die P o i s s o n schen Konstanten der Schichten untereinander iibereinstim- men und von der Zusammendriickung unabhangig sind.

Es ist zwar ohne weiteres moglich, die Theorie von diesen Einschrankun- gen frei zu machen; nur mu0 dann ein entsprechender Rechenaufwand in Kauf genommen werden. Es bleibt in- des fraglich, ob derartige Verfeinerun- gen noch praktisch interessieren ; daher wurde in der vorliegenden Arbeit hiervon abgesehen.

9. Auswertung Fur die praktische Anwendung kommen nur kleine Werte von S und p1 in Betracht, also

die G1. (112) bis (115) der zweiten Linearisierung. Um das Stabilitatsverhalten einer bestimmten Ausfiihrungsform mit festen Werten h und h, beurteilen zu konnen, ist die Einfiihrung des W a n d s t a r k e n v e r h a 1 t n i s s e s LY zweckmaBig. Es wurde

bei der zweischichtigen Platte :

bei der dreischichtigen Platte : . . . . . . . . . . . . . (152), i u = hl/h = Pl/2

a = 2 hl/h = Pl/,f?

gesetzt. Die G1. (112) bis (115) stellen daher beifesten Werten Hund a die GroBe - Sund damit - E* als Funktion von P dar. Damit die Kurven naher zusammenriicken, wurde fur die Auf- tragung die GroBe P1 (= orb bzw. 2 ap), als Abszisse gewahlt, welche als ,,reduzierte Wandstarke" bezeichnet werden kann. Die Auswertung wurde fur breite Platten ( c = l/m) mit der P o i s s o nschen Konstanten l/m = 0,3 und einem Verhaltnis der Elastizitatszahlen E,/E = H = 700 durchgefuhrt. Bild 5 und 6 zeigen die kritische Zusammendriickung der dreischichtigen Platte (gegensymmetrischer Fall) und der zweischichtigen Platte, wobei aus Grunden der Ober- sichtlichkeit doppelt-logarithmischer Manstab verwendet wurde. Von der Auftragung des sym- metrischen Knickfalles der dreischichtigen Platte konnte abgesehen werden, da die Rechnung im praktischen Bereich stets hiihere Knicklasten liefert als im gegensymmetrischen Fall.

Infolge der doppelt-logarithmischen Auftragung sind die beiden E u 1 e r-Bereiche unmittel- bar am gradlinigen Verlauf der Kurven LY = konst zu erkennen. Fur LY = 0,Ol; 0,15 und 0,lO sind in Bild 5 auch die der Arbeit von G o u g h - E 1 a m - d e B r u y n e entsprechenden Kurven eingezeichnet. Sie entsprechen der Vernachlassigung von fol go und gl. Fur grof3e P,-Werte ver- laufen sie noch in der Nahe der exakten Kurven, verlassen diese jedoch fur abnehmendes P1 mehr und mehr und streben fur kleines fil gegen den Festwert 1/2 HCL (1 + l/m), statt gegen Null, so daB sie den ubergang zum zweiten E u 1 e r-Bereich nicht wiedergeben.

Fur die exakten Kurven ci = konst ist aulJer dem klar hervortretenden Obergang zum zweiten E u 1 e r-Bereich die Ausbildung eines Minimums an der Stelle P1= 0,167, - E*= 0,0078

I9 2. angen. Math. Mech. Bd, 33 Nr. Jan,,Febr. 1953 N e u b e r , Theorie der DruckstabilitLt der Sandwichplatte I1

-

=- .$ von Bedeutung. Dies gilt bei der dreischichtigen Platte (Bild 5) fur alle Kurven mit a 5 0,06; bis etwa a = 0,08 findet eine kleine Verlagerung des Minimums statt; fur a 2 0,08 tritt schlieBlich kein Minimum mehr auf, und die Kurven verlaufen vom zweiten zum ersten E u 1 e r-Bereich in durchweg positiver Steigung. Bei der zweischichtigen Platte (Bild 6) zeigt sich das ausgepragte Minimum bis etwa a = 0,04, wahrend es fur a 2 0,05 verschwunden ist.

Da fur die Ausbildung der Knickverformung der Platte als Knickhalbwellen 1 alle ganz- zahligen Bruchteile der Plattenlange Z* in Betracht kommen und andererseits nur der niedrigste - e*-Wert fur das Eintreten der Verformung maBgeblich ist, so kommen die gestrichelt ge-

Blld 5 . Kritische Stauchung der dreiachichtigen Platte in AbhLngigkoit von der reduzierten Wandstlrke

zeichneten Kurvenaste, welche oberhalb des Minimums - i$ verlaufen, fur die praktische An- wendung nicht in Betracht und sind durch die Stelle - E*= - $, die kurz als ,,Beulgrenze" gekennzeichnet sei, ersetzt zu denken.

Zur Erlauterung dieses Sachverhaltes wurde in Bild 7 die Zusammendruckung der drei- schichtigen Platte in gewohnlichem MaBstab iiber = n h,/Z* aufgetragen (Z*= Plattenlange). In dieser Darstellung kann die Beulgrenze an unendlich vielen, einzelnen Punkten der Geraden - e*= - .$, liegen, je nachdem, wie groI3 die ganze Zahl der Knickhalbwellen ist, die sich iiber die Plattenlange erstrecken. Die Einzelpunkte liegen im praktischen Bereich so nahe beieinander, dalj die Gerade - e*= - e; direkt als Beulgrenze aufgefaBt werden kann (bei genauer Dar- stellung waren die Einzelpunkte girlandenartig durch Kurvenstucke verbunden ; der so ent- stehende vielfach geknickte Kurvenzug fallt jedoch mit ausreichender Genauigkeit mit der Geraden zusammen). Die Linien u = konst steigen in diesem Diagramm zunachst bis zur Beul- grenze nahezu parabelformig an. Unterhalb der Beulgrenze tritt stets Knicken iiber die gesamte Plattenlange ein ( f i = Z*/Z = 1). Im Schnittpunkt A mit der Beulgrenze ist sowohl Knicken (n = l), als auch Beulen (z. B. n, = 348 fur a = 0,005) moglich. Dariiber hinaus tritt nur noch Beulen ein.

2.

Z. sngew. Math. l e c h . Bd. ss Nr. Jan.,Febr. 196s N e u b e r , Theorie der Druckstsbilitiit der Sandwichplatte 11

- 20

Bild 6. Erlblsche Stanchung der iaelschlahtfgen Platteln AbhLnglgkeit von der redusierten WandstLrke

,

1% Platenliinge

/ ’- I /

/ 1% Platenliinge

I

I

10 0.001 40020

Bild 7. Kritische ZusammendrUckung der drelschichtlgen Platteln gewtihnllchem MaSstsb

21 1;. angew. Math. l eoh . Bd. s3 Nr. Jan.,Febr. 185s N e u b e r , Theorie der Druckstctbilitiit der Sandwichplette I1 -

10. Das optimale Wandst%rkenverhiiltnis Zur Bestimmung der Tragfahigkeit der mehrschichtigen Platten war die Einfuhrung einer

dimensionslosen HilfsgroBe zweckmaBig, welche mit der Knicklast P in direktem Zusammen- hang steht.

Ein solcher Kennwert ist die GroBe

. . . . . . . . . . . . . . (153).

Wird die Plattenbreite rnit b bezeichnet, so gilt fur die Knicklast der dreischichtigen Platte (Index 3) :

2 P , = - ~ * ( E h + 2 E l h l ) b = - 2 2 * E h l EI+- b = - b l , * E p S . . . . (154)

P z = - & * ( E h + E h l ) b = - ~ * E h l a+- b = - - b Z * E p , . . . . (155).

( 3 n

( b) n

bzw. - der zweischichtigen Platte (Index 2): 1

Bei linearem Formanderungsgesetz sind hierbei alle GroBen, aul3er P, p und E* Konstante, so daB P unmittelbar dem Kennwert p proportional ist. Bei nicht-linearem Formanderungsgesetz ist unter dem vereinfachenden Annahmen des Abschnittes 8 fur E der Engessermodul dulds zu

' setzen, der seinerseits eine Funktion von E und damit von p darstellt. Daher wird P in diesem Falle eine nicht-lineare Funktion von p , und zur Beurteilung der Tragfahigkeit mu13 statt p das Produkt p du/de benutzt werden. In den Diagrammen 8 und 9 ist fur yl= 16 y der Kennwert p uber @: aufgetragen. Die zugehorigen Kurven a = konst erfahren an der Beulgrenze einen Knick und verlaufen dariiber hinaus gradlinig. In die so gewonnenen Diagramme wurden zur Entscheidung der Frage des Gewichtoptimums Kurven eingezeichnet, langs denen ein fur das Baugewicht Q der Platte maBgeblicher dimensionsloser Kennwert

p=p1-+- . . . . . . *c b) konstante Werte besitzt. Es folgt fur das Baugewicht der dreischichtigen Platte (Index 3):

1 2 Y a n

& I = b E * ( y A + 2 y l ~ ~ ) = 2 b Z * y R 1 ( ~ + - ) = - b ( I I ) " y p , . . . . . (157),

bzw. der zweischichtigen Platte (Index 2): & , = b z * ( y b + y , h , ) = b z * y h 1 ( ~ + - ) = - b ( z ' ) ~ y * , 1 1 . . . . . .

Y a n (158).

Demnach ist Q direkt proportional p, und alle Punkte einer Kurve q = konst entsprechen den Abmessungen gewichtsgleicher Platten. Die giinstigste Ausfuhrung 'ist mithin jene, zu welcher auf der zugehorigen Kurve p = konst der hochste Wert von P, d. h. bei linearem Formanderungs- gesetz der hochste Wert von p gehort. Die Maxima der Kurven p = konst stellen daher die optimalen Ausfiihrungsarten geschichteter Platten rnit linearem Formanderungsgesetz dar. Die Verbindungslinie der Maxima wurde mit der Bezeichnung ,,Optimum" versehen. Sie verlauft bei der dreischichtigen Platte (Bild 8) im zweiten E u 1 e r-Bereich gradlinig. Fur groBere @:- Werte erreichen die Kurven = konst die Beulgrenze und erfahren dort einen deutlich erkenn- baren Knick, derart, daB die so entstehende Spitze zugleich dem Hochstwert und damit der je- weiligen Lage des Optimums entspricht. Die Optimumlinie faIlt daher nach Erreichen der Beul- grenze mit dieser selbst zusammen.

Im zweiten E u 1 e r-Bereich 1aBt sich das optimale Wandstarkenverhaltnis a n Hand der Ausfuhrungen des siebenten Abschnittes leicht herleiten.

Im zweiten E u 1 e r-Bereich der dreischichtigen Platte (Index 3) gilt namlich wegen /I1= mit Bezug auf G1. (141):

1 3 - + .(a + .a + $)

( l+ ; ) ( l -E) ( l+Ha)a~ -&!=- (P:)z . . . . . . . . . (159).

. . . . . . . . (160).

N e u b e r , Theorie der Druckstabilitiit der Sandwichplatte I1 Bd. 33 Z. Nr. angel*. Math. Mech. 1D53 - 22

Andererseits gilt fur den Gewichtskennwert mit Bezug auf GI. (156)

. . . . . . . . . . . . . . . (161).

Mithin gilt

l a . . . . . . . . . . . . . . . (162). P: = 1 +Y'.

Y

Blld 8. Beduzierte Knlcklast der Qewlchtskurven der dreischichtigen Platte

~ ; . ' ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ t ~ ; n ~ ~ ~ ~ r , N e u b e r , Theorie der Druckstrtbilitat der Sandwichplatte 11 23

Wird diese Beziehung zur Elimination von p: in GI. (160) benutzt, so folgt fur die dreischichtige Platte

. . . . . . (163). P 3 = 3 " " '

Bei konstanten q3 ist demnach p , eine Funktion von a allein. Das Maximum entspricht dem Ver- schwinden der Ableitung nach 01:

. . . . . (164).

Die Auflosung fuhrt auf die quadratische Gleichung

Y1 H - -

mit der positiven Wurzel

bzw. fur H > 1, y l > y : a = - (166).

Wie in Bild 8 ersichtlich ist, entspricht die fur ?!! = 16 eingezeichnete Optimumlinie im zweiten Y

E u 1 e r-Bereich sehr genau dieser Formel.

2 Y1

Der Kennwert p , erreicht fur das optimale a den Betrag

bzw. fur H > 1 und y l > y :

Fur die zweischichtige Platte (Index 2) gilt im zweiten E u 1 ,e r-Bereichentsprechende GI. (144)

* f H ( l f &I4 f ( H - '1 u4 ( p : ) 2 . . . . . . . (169). -

(1 - c) (1 + H a2

- E 2 =

Mit Bezug auf GI. (153) wird

. . . . . . . . ( p 3 3 (170) 1 - H + H ( l +a)"H(H-l)a4

12 1 +- (1 -c)(1 + H a ) a 3 P 2 = -

( 2 Da fur den Gewichtskennwert wieder GI. (156) gilt, kann zur Elimination von p: GI. (159) be- nutzt werden. Dann ergibt sich

q: (171). l - H + + ( l + a ) 4 + H ( H - l ) u 4 . . . . . . . P2 = 12(1 +k)(l -c)(1 + H a ) ( l +"a) Y

Durch Nullsetzen der Ableitung nach a folgt unter Weglassung der Zwischenrechnung eine sym- metrische Gleichung vierten Grades fur u r H :

2. angew. Math. Yeoh. Jan./Febr. 1953 N e u b e r , Theorie der Drucketabilitiit der Sandwichplatte 11 Bd. s3 Nr. - 24

Da B sehr grol3 gegenuber 1 ist, wird die gesuchte Wurzel zweckmal3ig in Form einer Entwicklung nach EI dargestellt. Der Aufbau der G1. (172) fuhrt auf folgende Entwicklung :

1 1 1 a = a E + b Z + c T + . . . . . . . . . H V H

. . . . (173)

Durch Einsetzen in Gl. (172) folgt fiir aa die quadratische Gleichung :

. . . . . . . . . . . . (174)

Blld 0. Bedaslerte Knloklcut and Qeaiohtakarven dsr rr?lBohlohtlgen Platto

2. Bd. sngew. 33 Nr. Math. Jan.,Febr. Mech. 1953 N e u b e r , Theorie der Druaketabilitiit der Sandwichplbtte I1 25

mit den positiv-reellen Wurzeln

a1,2 = r/ -'I *If$! - 1 . . . . . . . . . . (175).

Der maximalen Knicklast entspricht das untere Vorzeichen vor der zweiten Wurzel. Fur a> 1 und y, >> y folgt mithin als optimales Wandstarkenverhaltnis der zweischichtigen Platte im zweiten E u 1 e r bereich -7

. . . . . . . . . .I. . . . . (176).

Blld 10. Optimomllnlon dot drefrohlohtlgsn Platto fur veriohledono Wrlohbrverhlltnlur

26 M a t t h i e u , Fehlerabschlitzung beim Extrapolationsverfahren von Adams Bd. , , ~ r a : ~ $ & ~ & ~ ~ ~ ~ ~

Der zugehorige p-Wert ergibt sich aus G1. (171). Bei Beschrankung auf den Sonderfall H > 1, yl>> y folgt nach kurzer Rechnung

l i y q: . . ~ . . . . . . . . . . (177). Pz =

Die Optimumlinie fur die zweischichtige Platte wurde im Bild 9 fur den zweiten Eulerbereich nicht mehr eingezeichnet, da sich herausstellte, daB die Beziehungen der zweiten Linearisierung fur ihre exakte Ermittlung nicht ausreichen. Die im Bereich hoherer Bf-Werte eingezeichneten p-Kurven zeigen wieder ausgepragte Spitzen auf der Beulgrenze, die also hier wieder mit der Optimumlinie zusammenfallt. Bei abnehmenden Bf werden die Spitzen flacher, sodaB eine Abzweigung der Optimumlinie im zweiten Eulerbereich im Sinne der G1. (176) und (177) als wahrscheinlich anzusehen ist.

Die Berechnungen der Optimalausfiihrungen im zweiten E u 1 e r bereich erlauben un- mittelbar einen Vergleich der drei- und zweischichtigen Platte. Mit Hilfe der Beziehungen (154), (155), (157), (158), (168) und (177) folgt fur das Verhaltnis der Knicklasten bei gleichem Baugewicht (Q2 = Q9) unter Umgehung der Zwischenrechnung

Fur H=700 und y,=16y ist demnach die Tragfahigkeit der dreischichtigen Platte im zweiten E u 1 e r bereich etwa 9mal groljer als die der zweischichtigen Platte. Im ersten E u 1 e r bereich sind infolge des selbstandigen Knickens des Bleches beide Ausfuhrungen gleichwertig. Dieser Grenzfall wird jedoch in praktischen Fallen nicht erreicht. Im Zwischengebiet zeigen die Dia- gramme 8 und 9 stets die Oberlegenheit der dreischichtigen Platte. Bild 10 zeigt die Optimum- linien fur verschiedene Gewichtsverhaltnisse.

Fur nicht-lineares Formveranderungsgesetz sind die Diagramme 8 , 9 und 10 fur das Produkt p de/& unter Berucksichtigung des mit E veranderlichen E n g e s s e r moduls mit Bezug auf die genaue Formveranderungskurve des Werkstoffes aus Bild 5 und 6 neu zu entwickeln, wobei sich eine Verlagerung der Kurven q = Konst und damit der Optimumlinien ergeben kann. Eingegangen: 24. November 1951.

Uber die Fehlerabschatzung beim Extrapolationsverfahren von Adams

11. Gleichungen zweiter und hoherer Ordnung Von P. Mutthieu in Zurich/Berlin

Die vom Verjasser kiirzlich entwickelte neue Methode der Fehlerabschdtzung wird auf Gleichungen hoherer

Thenew method of estimating the errorgiven recently b y the author i s extended to equations ojhigher orders. La nouvelle ntdthode de l'estimation des erreurs ddvdoppde rdcemment par l'auteur est &endue sur des

Ordnung ausgedehnt.

dquations d'ordre supdrieur. P&3BliThIfi aBTOPOM HeAaliHO HOBHt MeTOA OqeHEEl omn6ore PaCIIpOCTpaHaeTCR H& YPaBHeHlisI

BbICUIWO IIOpEJlE&.

1. Einleitung In einer kurzlich erschienenen ersten Arbeit'), die hier als bekannt vorausgesetzt und irn

folgenden mit ,,I" bezeichnet wird, wurde eine neue Methode der Fehlerabschatzung fur das Ver- fahren von Ad a m s zur Integration von Gleichungen erster Ordnung entwickelt. In der vorlie- genden zweiten Arbeit (mit ,,II" bezeichnet) wird gezeigt, da13 sich diese Methode ohne wesent- liche hderungen auch auf die Integration samtlicher Glrichungen hoherer Ordnung ausdehnen la&, ein Problem, das bis jetzt nie systematisch in Angriff genommen wurde. Es ergibt sich auf diese Wcise eine sehr allgemeine und geschlossene Naherungstheorie fur das Ad a ms sche Verfah- ren zur Integration beliebiger gewohnlicher Differentialgleichungen.

Der in I eingeschlagene Weg beruht im wesentlichen auf zwei wichtigen Prinzipien. Erstens wird zu einer gegebenen Gleichung erster Ordnung die zugehorige Fehlergleichung (I,21) auf-

1) Matthieu, P. : gber die Fehbrabschittzung beim Extrapolationsverfahren von Ada me, 2. angew. Math. Mech., Bd. 31 (1951). S. 366-370.

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