Thomas Röser Prozent- und Zins- rechnung · Promille Aufgabe: Rechne mit Promille (Tausendstel)....

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Thomas Röser

Terme – Lineare Gleichungen und Funktionen – Prozent-

und Zinsrechnung – Körper – Stochastik

StationenlernenMathematik 8. Klasse

Bergedorfer Lernstationen

Thomas Röser

Prozent- und Zins-rechnungStationenlernen Mathematik 8. Klasse

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.

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1Thomas Röser: Prozent- und Zinsrechnung© Persen Verlag

Laufzettelzum Stationenlernen Prozent- und Zinsrechnung

Kommentare:

Station 1

Wiederholung Prozentrechnen

Station 2

Erhöhter und erniedrigter Grundwert

Station 3

Zinsrechnung

Station 4

Tages- und Monatszinsen

Station 5

Formelumstellung Zinsrechnung

Station 6

Zinseszinsen

Zusatzstation A

Zusammengesetzter Dreisatz

Zusatzstation B

Promille

Zusatzstation C

Vermischte Sachaufgaben

4. Prozent- und Zinsrechnung

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Thomas Röser: Prozent- und Zinsrechnung© Persen Verlag


2

Station 1 Aufgabe


Aufgabe:Wiederhole das Basiswissen der Prozentrechnung.

1. Ergänze die Tabelle und berechne den fehlenden Wert in deinem Heft.

2.– 4. Bearbeite die Sachaufgaben nach dem folgenden Prinzip:

Gegeben sind jeweils ein Sachverhalt und eine Frage.

Deine Aufgabe ist es,

– die Rechnung durchzuführen und

– den Antwortsatz zu formulieren.

Schreibe auf, was gegeben ist und was gesucht wird. Benutze die vorgegebenen Formeln.

Station 2 Aufgabe


Aufgabe:Berechne erhöhte und erniedrigte Grundwerte.

1.– 4. Bearbeite die Sachaufgaben nach dem folgenden Prinzip:





Schreibe auf, was gegeben ist und was gesucht wird. Benutze die vorgegebenen Formeln.

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Station 3 Aufgabe

Zinsrechnung

Aufgabe:Berechne Zinsen, Zinssatz und Kapital bei Jahreszinsen.

1. Vervollständige die Tabelle in deinem Heft.

2.–4. Bearbeite die Sachaufgaben nach dem folgenden Prinzip:





Schreibe auf, was gegeben ist und was gesucht wird

Station 4 Aufgabe


Aufgabe:Berechne Tages- und Monatszinsen.

1. Berechne die Zinsen von 30 000,00 € bei, …






Schreibe auf, was gegeben ist und was gesucht wird.

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Station 5 Aufgabe

Formelumstellung Zinsrechnung

Aufgabe:Übe das Umstellen von Formeln der Zinsrechnung.

1. Stelle in deinem Heft die Formel nach den gesuchten Größen um.

2. Berechne die fehlenden Größen und trage auf dem Materialblatt ein.

3. Beantworte die folgenden Fragen in deinem Heft.

4. Beantworte die folgende Aufgabe in deinem Heft.

Station 6 Aufgabe

Zinseszinsen

Aufgabe:Übe das Berechnen von Zinseszinsen.

1. Stelle die Formel nach K0 um.






Schreibe auf, was gegeben ist und was gesucht wird.

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Zusatzstation A Aufgabe


Aufgabe:Übe die Anwendung des zusammengesetzten Dreisatzes.






Zusatzstation B Aufgabe

Promille

Aufgabe:Rechne mit Promille (Tausendstel).

1. Berechne in deinem Heft.






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Zusatzstation C Aufgabe


Aufgabe:Übe die Bearbeitung von gemischten Sachaufgaben.

Bearbeite die Sachaufgaben 1–5 nach dem folgenden Prinzip:

– Gegeben ist jeweils ein Sachverhalt und eine Frage.

– Führe in deinem Heft die Rechnung durch und formuliere einen passenden Antwortsatz.

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Station 1 Material


Der Grundwert, abgekürzt G, ist der Basiswert und entspricht 100 %. Der Prozentsatz p sagt aus, wie viele Hundertstel (Prozent) man von einer Größe ermitteln soll. Der Prozentwert W ist das abschließende Ergebnis dieser Rechnung. Die folgenden Formeln werden verwendet:

W = G ¦ p100

= G ¦ p % p = 100 ¦ WG

G = 100 ¦ Wp

Alternativ ist auch die Lösung per Dreisatz möglich.

1.

Prozentsatz p Grundwert G Prozentwert W

a) 34 % 700 kg

b) 72 % 1275,25 €

c) 2400 m 2025 m

d) 110 t 8,8 t

e) 30 % 45 s

f) 56 % 293,72 m2

2. Familie Arenz gewinnt im Lotto. 64 % des Gewinns verwendet sie zum Kauf eines neues Fern-

sehers, 85,00 € schenken sie dem Sohn. Am Ende haben sie noch 365,00 € übrig. Wie hoch

war der Lottogewinn?

3. Eine Spülmaschine kostet 720,00 €. Im Großhandel ist sie 20 % billiger. Familie Schulz ist mit

einem Großhändler befreundet und erhält die Spülmaschine dadurch 12 % billiger. Familie

Schmitz ist mit einem Einzelhändler befreundet und erhält sie 28 % billiger. Welche Familie

kauft günstiger und wie viel Geld spart sie jeweils?

4. An einer Matheklausur nahmen 90 Studenten teil. Von diesen 90 Studenten studieren 36 als

zweites Fach Informatik. Wie hoch ist der Anteil der Studenten, die im Zweitfach Informatik

studieren?

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Station 2 Material


Bei einer Preiserhöhung/Preissenkung, ist der Grundwert (100 %) immer der alte Preis. Be-

trachtet man z.B. eine Preiserhöhung um 5 %, so kann man den Aufschlag (5 % vom alten

Preis) berechnen und zum alten Preis addieren, um den neuen Preis zu erhalten. Ist der neue

Preis bekannt und man weiß, wie viel er höher/niedriger ist als der alte Preis, lässt sich der alte

Preis berechnen. Der neue Preis beträgt nach einer Erhöhung um 5 % (105 %), bzw. nach einer

Senkung (95 %) des alten Preises.

Beispiel:

1. Im vergangenen Jahr übernachteten 32 500 Gäste in einem Hotel. Dieses Jahr ist die Zahl der

Gäste um 4 % gestiegen. Wie viele Gäste übernachten dieses Jahr im Hotel?

2. In einem Sportgeschäft wurden 522 Fußbälle verkauft, das waren 10 % weniger als im Vor-

jahr. Wie viele Fußbälle wurden verkauft?

3. Andre möchte sich ein neues Handy kaufen. Er überlegt, ob er das Handy aus der Vorgänger-

kollektion, welches früher 200,00 € kostete und um 15 % reduziert wurde oder ein aktuelles

Handy, welches den Ausgangspreis des ersten Handys um 4 % übersteigt, kaufen soll. Wie

viel spart Andre, wenn er sich für das Vorgängerhandy entscheidet?

4. Beim Grillen von Fleisch gehen ca. 23 % des Gewichts in der Hitze verloren. Xenia will nach

dem Grillen 250 g Fleisch vorliegen haben. Wie viel kg muss sie einkaufen?

Sachverhalt: Eine Schule wurde letztes Jahr von 730 Schülern besucht. In diesem Jahr sindes 10 % mehr.

Frage: Wie viele Schüler besuchen jetzt die Schule?Rechnung: gegeben: G = 730 Schüler, p = 110 % gesucht: W W = 730 ¦ 110 : 100 = 803 SchülerAntwort: 803 Schüler besuchen jetzt die Schule.

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Station 3 Material

Zinsrechnung

Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung und bezieht sich auf das Rechnen

mit Geldbeträgen. Die drei Grundbegriffe ändern ihren Namen:

Prozentrechnung ZinsrechnungGrundwert G Kapital K

Prozentwert W Zinsen Z

Prozentsatz p Zinssatz p

Formeln:

Z = K ¦ p100

, p = 100 ¦ ZK

, K = 100 ¦ Zp

Beispiel:

1.

a) b) c) d) e) f)

K 2 000,00 € 7 000,00 € 12 760,00 € 10 500,00 €

Z 110,00 € 345,30 € 924,00 € 3 165,75 €

p 2 % 3 % 6,5 % 6,30 %

2. Samuel hat bei der Bank ein Sparbuch und zu Beginn des Jahres beträgt sein Guthaben

1 150,00 €. Der Zinssatz für das Sparbuch liegt bei 1,5 %. Wie hoch sind die Zinsen am Ende

des Jahres?

3. Frau Bermel hat sich bei ihrer Bank Geld geliehen und zahlt für ein Jahr 153,00 € Zinsen.

Der Zinssatz beträgt 7,5 %. Wie viel Geld hat sie sich geliehen?

4. Jörn bekommt in einem Jahr für ein Guthaben von 500,00 € insgesamt 8,50 € Zinsen.

Wie hoch ist der Zinssatz?

Sachverhalt: Auf einem Sparbuch werden 950,00 € für einen Zeitraum vom einem Jahr mit 3 % verzinst.

Frage: Wie hoch sind die Zinsen?Rechnung: gegeben: K = 950,00 €, p = 3 % gesucht: Z Z = 950,00 € ¦ 3 : 100 = 28,50 €Antwort: Die Zinsen betragen 28,50 €.

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Station 4 Material


Im Geschäftsleben ist es üblich, dass Zinsen für m Monate oder für t Tage gezahlt bzw. be-rechnet werden.

Monatszinsen: Zm = K ¦ p ¦ m

100 ¦ 12 Tageszinsen: Z

t = K ¦ p ¦ t

100 ¦ 360

Zinsen beziehen sich (wenn nicht anders angegeben) auf ein Jahr. Ein Zinsjahr hat 360 Tage, ein Monat hat 30 Tage.

Allgemein gilt: Tages- bzw. Monatszinsen = Jahreszinsen ¦ Zeitfaktor

Beispiel:

1. a) 8 % für 18 Tage b) 6,5 % für 36 Tage c) 4,5 % für 58 Tage

d) 2 % für 3 Monate e) 3,8 % für 5 Monate f) 4 % für 7 Monate 15 Tage

2. Herr Kunibert legt 3 Monate lang ein Kapital von 8 350,00 € und Zinssatz 4 % an. Wie viel Zin-

sen bekommt er?

3. Familie Schwarz hat im März im Lotto 4 200,00 € gewonnen. Sie eröffnen am 1. April ein Spar-

buch und legen das Geld zu einem Zinssatz von 2,5 % an.

a) Wie hoch ist das Guthaben am Jahresende (inkl. Zinsen)?

b) Familie Schwarz lässt das Guthaben (inkl. Zinsen) ein weiteres Jahr auf dem Sparbuch.

Wie hoch ist das Guthaben danach?

4. Ein Kredit von 125 730,00 € wird nach 8 Monaten und 12 Tagen mit 7,2 % Zinsen zurückge-

zahlt. Wie hoch ist die Rückzahlung?

Sachverhalt: 20 000,00 € werden für 33 Tage mit 3 % verzinst. Frage: Wie hoch sind die Zinsen?Rechnung: gegeben: K = 20 000,00 €, p = 3 %, t = 33

gesucht: Zt = K ¦ p ¦ t

100 ¦ 360 = 20 000 ¦ 3 ¦ 33

100 ¦ 360 = 55,00 €

Antwort: Die Zinsen betragen 55,00 €.

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Station 5 Material

Formelumstellung Zinsrechnug

Beim Umstellen von Formeln gehst du genauso vor, also würdest du beispielsweise eine Glei-

chung nach x auflösen, sodass die gesuchte Größe allein auf einer Seite steht.

Beispiel:

1. Zt = K ¦ p ¦ t

100 ¦ 360 K = … p= … t = …

2.

Kapital Zinssatz Zinsen Zeit

a) 3 200,00 € 2,5 % 135 Tage

b) 870,00 € 14,50 € 5 Monate

c) 4,5 % 168,75 € 9 Monate

d) 11500,00 € 3 % 149,50 €

3. a) Welches Kapital bringt in einem Jahr 65,00 € Zinsen bei einem Zinssatz von 5%?

b) Bei welchem Zinssatz ergeben 6 400,00 € in 4 Monaten 128,00 € Zinsen?

c) Ist die Laufzeit für ein Kredit von 25 000,00 € bei einem Zinssatz 8 % und

1011,11 € Zinsen 180 Tage?

4. Max ist in Geldnot. Ein „guter“ Freund bietet ihm folgendes Geschäft an:

Ich leihe dir 1 250,00 € für den Roller und du gibst mir nach 6 Monaten 1325,00 € zurück. Was

hältst du von dem Geschäft?

Stelle nach Z um: K = 100 ¦ Zp

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K ¦ p = 100 ¦Z | : 100

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Station 6 Material

Zinseszinsen

Wenn ein Kapital für mehr als ein Jahr verzinst wird, werden im Normalfall am Jahresende die

Zinsen berechnet. Diese werden zum bisherigen Kapital addiert. Im nächsten Jahr wird dann

das ursprüngliche Kapitel zusammen mit den Zinsen verzinst. Dadurch fallen durch das höhere

Kapital mehr Zinsen an. Eine mehrjährige Verzinsung nennen wir Zinseszins und zur Berech-

nung gibt es folgende Formel:

Kn = K

0 ¦ (1 + p

100)n

Kn = Endkapital nach der Verzinsung (nach n Jahren)

K0 = Startkapital vor der Verzinsung

p = Zinssatz

n = Anzahl der Jahre

1. Kn = K

0 ¦ (1 + p

100)n

K0 = …

2. Ein Guthaben von 1500,00 € wird für zwei Jahre zu einem Zinssatz von 4 % festgelegt. Wie

hoch ist das Guthaben nach Ablauf der zwei Jahre?

3. Ein Vater legte am 01.01.2010 ein Sparbuch über 500,00 € für seinen Sohn an.

Wie viel Geld wird der Sohn am 31.12. 2028 haben, wenn das Sparguthaben mit 3 % verzinst

wird?

4. Frau Ohlhausen plant in 4 Jahren den Kauf eines neuen Autos. Sie rechnet mit Kosten für den

Kleinwagen von ca. 12 000,00 €. Die Bank bietet ihr 2,5 % Zinsen. Wie viel Geld muss Frau

Ohlhausen anlegen, um die Summe zu erreichen?

5. Ein Startkapital von 8000,00 € bringt bei einem Zinssatz von 2 % nach einer gewissen Zeit

9373,28 €. Wie viele Jahre ist es gelaufen? (Probiere aus, nicht rechnen!)

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Zusatzstation A Material


Beim zusammengesetzten Dreisatz sind mehr als zwei Wertverhältnisse gegeben. Beim unge-

raden Dreisatz (proportionale Zuordnung) bleiben die Zahlen gleich stehen (Je mehr, desto

weniger oder je weniger, desto mehr), beim geraden Dreisatz (antiproportionale Zuordnung)

werden die Zahlen umgedreht (Je mehr, desto mehr oder je weniger, desto weniger).

Beispiel:

1. Sieben Lkws zu 4 t benötigen 15 Fahrten, um aufgeschüttetes Erdreich täglich abzufahren.

Wie oft müssten fünf 6-Tonner Lkws täglich fahren?

2. Für Planierarbeiten wird eine Raupe mit einer Schubfläche von 1,5 m Breite für den Bau eines

neuen Parkplatzes eingesetzt. Es werden sechs Tage für den 120 m langen und 80 m breiten

Parkplatz benötigt. Wie groß ist die Schubfläche einer zweiten Raupe, wenn diese einen

11 200 m2 großen Parkplatz in 5 Tagen anfertigen soll?

3. Für einen Firmenauftrag sollen 60 Werkstücke von 15 Angestellten in zwölf Arbeitstagen bei

achtstündiger Arbeit angefertigt werden. Wegen wachsender Nachfrage sollen 75 Stücke in

zehn Tagen angefertigt werden.

Wie viele Überstunden müssen die 15 Angestellten täglich leisten?

Sachverhalt: Um ein Haus zu mauern, benötigen sechs Bauarbeiter, die täglich sieben Stunden arbeiten, 20 Tage.

Frage: Wie lange benötigen die Bauarbeiter, wenn ein Maurer ausfällt und die ande-ren Arbeiter täglich eine Überstunde leisten müssen?

Rechnung:6 Bauarbeiter – 7 Stunden – 20 Tage5 Bauarbeiter – 8 Stunden – x Tage

1. (ungerade Dreisatz) 20 T. ¦ 6 B. : 5 B.6 Bauarbeiter brauchen 20 Tage; 5 Bauarbeiter brauchen mehr Tage

2. (ungerader Dreisatz) 20 T. ¦ 7 h : 8 h7 Stunden täglich in 20 Tagen; 8 Stunden täglich in weniger Tagen

3. Zusammengesetzt: 20 ¦ 6 ¦ 75 ¦ 8

= 21 Tage

Antwort: Die Bauarbeiter benötigen 21 Tage.

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Zusatzstation B Material

Promille

Promille sind Anteile oder Brüche mit dem Nenner Tausendstel.

Es gilt: 1 ‰ = 11000

, allgemein: p ‰ = p1000

.

Die Vorgehensweise ist dieselbe wie beim Prozentrechnen.

7 ‰ (Promillesatz p) von 80 000,00 € (Grundwert GW) = 560,00 € (Promillewert PW)

Das Grundschema der Promillerechnung sieht so aus:

¦ p1000

GW PW

: p1000

Folgende Formeln werden benutzt:

GW = PW ¦ 1000p

PW = GW ¦ p1000

p = PW ¦ 1000GW

Bemerkung:

Der Alkoholgehalt im Blut wird in z.B. standardmäßig in Promille angegeben. Dieser kann mit-

hilfe einer Blutprobe bestimmt werden.

1 ‰ heißt 1 ml Alkohol in 1l Blut.

Da Alkohol häufige Ursache für Verkehrsunfälle ist, beginnt ab 0,3 Promille die Fahruntüchtig-

keit.

1. a) 3 ‰ von 2000,00 € b) 4 ‰ von 500 kg c) 1,5 ‰ von 1200 m2

d) 5,5 ‰ von 10500 g

2. Familie Schreck schließt eine Glasversicherung für ihr Haus ab. Als Prämie zahlen sie jährlich

48,00 €, das sind 0,3 ‰ des Gebäudewerts. Welchen Wert besitzt das Gebäude?

3. Herr Windolf will nach der Firmenfeier mit dem PKW nach Hause fahren. Vorher rechnet er

sich seinen Promillewert aus. Er hat 10 ml reinen Alkohol zu sich genommen. Darf er noch

nach Hause fahren, wenn seine Blutmenge 8 l entspricht?

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Zusatzstation C Material


1. Zum Herstellen von Teig benötigt ein Bäcker folgende Zutaten:

a) Wie schwer ist der Teig?

b) Aus dem Teig werden 50 Brote geformt.

Wie schwer ist ein Brot?

c) Der Teig verliert beim Backen 12 % seines Gewichts.

Wie schwer ist ein Brot nach dem Backen?

2. Im Fachhandel kostet ein Laptop 850,00 €.

Da er schon länger im Schaufenster steht

bietet der Händler einen Rabatt von 10 % an.

a) Wie teuer ist der Laptop jetzt?

b) Überprüfe die Angaben des Händlers,

wenn er einen weiteren Rabatt von 5 %

anbietet. Stimmen seine Angaben?

3. Ein Kunde erhält beim Autokauf einen Rabatt

von 12 % auf den Nettopreis und zahlt insgesamt

noch 16 000,00 € (Brutto, 19 % Mehrwertsteuer).

Wie teuer war das Auto ursprünglich?

4. Oma Hilde will ihrem Enkelkind Pia ein

Sparbuch mit Startkapital 2000,00 € anle-

gen. Dafür lässt sie sich bei zwei verschie-

denen Banken beraten und schreibt sich

die wichtigsten Daten auf. Leider ist der

Zettel nass geworden und ein Wert ist nicht

mehr lesbar. Kannst du Oma Hilde bei der

Entscheidung helfen, bei welcher Bank sie

den Vertrag abschließen soll?

Zutaten: 32 kg Mehl 250 g Salz 200 g Backpulver

10 Pfund Butter (1 Pfund = 0,5 kg)

9 l Wasser (1l = 1000 g)

850 ¤ Alter Preis: 850 € 10 % Rabatt 5 % Rabatt 15 % Rabatt

Bank Ost Bank West

2 000 ¤ Startkapital 2 000 ¤ Startkapital

Zinssatz: 4,5 % Zinssatz:

36,35 ¤ Zinsen nach 145 Tagen

20 ¤ Zinsen nach 3 Monaten

5 Euro Abzug jährlich wegen Kontofüh-rungsgebühr

Kein Abzug für Konto-führung

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Abschließende Bündelung des Stationenlernens Material

Aufgaben zur Wiederholung

Wiederholung der Stationen 1–6 sowie der Zusatzstationen A–C

1. Eine Umfrage in der 8. Klasse ergab, dass 8 von 25 Schülern zu Fuß zur Schule kommen. Wie

viel Prozent der Schüler kommen zu Fuß, wie viele nicht? Berechne beide Prozentsätze nach

Formeln. Gib das Ergebnis zusätzlich in ‰ an.

2. Auf Jennas Kassenzettel sind nur noch Bruchstücke zu finden. Ergänze die fehlenden Werte.

Artikel Netto Brutto MwSt- Betrag Prozentsatz

Haarspangen 2,00 € 0,38 € 19 %

Handball 20,00 € 19 %

Kugelschreiber 0,95 € 19 %

Bildband 2,42 € 7 %

3. Wie viele Tage/Monate wird ein Guthaben von 5 200,00 € angelegt, das einen Zinssatz von

3 % hat und 32,50 € Zinsen bringt?

4. Auf welchen Betrag wachsen die folgenden Startkapitalwerte an?

a) 1 800,00 € bei 6 % Zinssatz und 7 Jahren

b) 3 250,00 € bei 3,5 % vom 01.01.2012 bis 31.12.2035

5. 6 Mitarbeiter produzieren in 14 Tagen bei einer täglichen Arbeitszeit von 8 Stunden 1200 Mi-

krowellen. Wegen Krankheit können nur noch 5 Mitarbeiter täglich 6 Stunden eingesetzt wer-

den. Wie viele Mikrowellen produzieren sie in 16 Tagen?

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4. Prozent- und Zinsrechnung – Lösungen

Bemerkung:

Bei Fragen (z.B. Reduzierung um 5 %) kann p entweder als 5 % angenommen werden und das

Ergebnis wird schließlich von G subtrahiert, oder p wird direkt als 95 % betrachtet (erniedrigter

Prozentsatz). Alternativ kann bei den Prozentaufgaben auch der Dreisatz gewählt werden.

Station 1: Wiederholung Prozentrechnen

1.

Prozentsatz p Grundwert G Prozentwert W

a) 34 % 700 kg 238 kg

b) 72 % 1275,25 € 918,18 €

c) 84,38 % 2400 m 2025 m

d) 8 % 110 t 8,8 t

e) 30 % 150 s 45 s

f) 56 % 524,5 m2 293,72 m2

2.

Frage: Wie hoch war der Lottogewinn?

Rechnung: gegeben: p = 36 % (da 64 % schon im Ursprungsgewinn vorhanden sind),

W = 365,00 ¤ + 85,00 ¤ = 450,00 ¤

gesucht: G

G = 450,00 ¦ 100 : 36 = 1250,00 ¤

Antwort: Der Lottogewinn betrug 1250,00 €.

3.

Frage: Welche Familie kauft günstiger und wie viel Geld spart sie?

Rechnung: Einzelhandel: 720,00 € Großhandel: 720,00 € ¦ 80 : 100 = 576,00 €

gegeben: G = 720,00 €, p = 28 % gegeben: G = 576,00 €, p = 12 %

gesucht: W gesucht: W

W = 720 ¦ 28 : 100 = 201,60 € W = 576,00 ¦ 12 : 100 = 69,12 €

Ersparnis: Ersparnis:

720,00 € – 201,60 € = 518,40 € 576,00 € – 69,12 € = 506,88 €

Differenz: 518,40 € – 506,88 € = 11,52 €

Antwort: Familie Schulz kauft günstiger und spart 11,52 €.

chnuEinzelha

eben:

sucht:

Welc

ng:del: 720,0

he Fa

36 = 125

etrug 1250,0

¤

00 ¤

0 €.

gewinn v rhandn vorhanden sin

m2

gesuc

Antwo

n: p

W =

ht: G

och war de

= 36 % (da 64

65,00

Lottogewin

150

524,

00 m

0 t

0 s

P

91

20


a) b)

c) d)

Station 3: Grundform einer linearen Funktion kennen

1.

a) fallend: g4, g

5; steigend: g

1, g

2, g

3

b) linear: g3, g

4, g

5 ; proportional: g

1, g

2

c) g1: b = 0; g

2: b = 0; g

3: b = – 1; g

4: b = 2,25; g

5: b = 0,5

d) g1 hat den größten Wert bei m, g

3 den kleinsten

–4

–2

–3

–4

4

3

2

1

00–3 –2 –1 1 2 3 4

–1

–2

4

3

2

1

00–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

–1

–2

8

6

4

2

00–8 –6 –4 –2 2 4 6 8

–2

–10

10

10

4

3

2

1

00–4 –3 –2 –1 1 2

–1

5

–2

–3

–4

4.

Frage: Wie hoch ist der Anteil der Informatikstudenten?

Rechnung: gegeben: G = 90 Studenten; W = 36 Studenten

gesucht: p

p = 100 ¦ 36 : 90 = 40 %

Antwort: Der Anteil der Informatikstudenten beträgt 40 %.

Station 2: Erhöhter und erniedrigter Grundwert

1.

Frage: Wie viele Gäste übernachten dieses Jahr im Hotel?

Rechnung: gegeben: G = 32500 Gäste, p = 104 %

gesucht: W

W = 32500 Gäste ¦ 104 : 100 = 33800 Gäste

Antwort: Dieses Jahr übernachten 33 800 Gäste im Hotel.

2.

Frage: Wie viele Fußbälle wurden verkauft?

Rechnung: gegeben: W = 522 Fußbälle, p = 90 %

gesucht: G

G = 522 Fußbälle ¦ 100 : 90 = 580 Fußbälle

Antwort: Es wurden im Vorjahr 580 Fußbälle verkauft.

3.

Frage: Wie viel spart Andre, wenn er sich für das Vorgängerhandy entscheidet?

Rechnung:

Vorgängerhandy: Aktuelles Handy: gegeben: G = 200,00 € , p = 85 % gegeben: G = 200,00 € , p = 104 %

gesucht: W gesucht: W

W = 200,00 € ¦ 85 : 100 = 170,00 € W = 200,00 € ¦ 104 : 100 = 208,00 €

Differenz: 208,00 € – 170,00 € = 38,00 €.

Antwort: Andre spart 38,00 € wenn er sich für das Vorgängerhandy entscheidet.

4.

Frage: Wie viel kg Fleisch muss sie einkaufen?

Rechnung: gegeben: W = 250 g, p = 77 %

gesucht: G

G = 250 g : 77 ¦ 100 = 325 g = 0,325 kg

Antwort: Sie muss 0,325 kg Fleisch einkaufen.

egeben

gesucht:

gerhandy: : G = 200

W

el spa

00

ahr 580

e, we

0 Fußbä

ßbälle verkau

älle

ft.

Antwo

3.

ges

G =

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egeben: W = 522

ucht: G

2 Fu

wurden ve

00 =

3 800

800 Gäste

Gäste im Ho


Station 3: Zinsrechnung

1.

a) b) c) d) e) f)

K 2000,00 € 7000,00 € 11510,00 € 12760,00 € 10500,00 € 50250,00 €

Z 110,00 € 140,00 € 345,30 € 829,40 € 924,00 € 3165,75 €

p 5,5 % 2 % 3 % 6,5 % 8,8 % 6,3 %

2.

Frage: Wie hoch sind die Zinsen am Ende des Jahres?

Rechnung: gegeben: K = 1150,00 €, p = 1,5 %

gesucht: Z

Z = 1150,00 € ¦ 1,5 : 100 = 17,25 €

Antwort: Am Ende des Jahres betragen die Zinsen 17,25 €.

3.

Frage: Wie viel Geld hat sie sich geliehen?

Rechnung: gegeben: Z = 153,00 € , p = 7,5 %

gesucht: K

K = 100 ¦ 153,00 € : 7,5 = 2040,00 €

Antwort: Frau Bermel hat sich 2040,00 € geliehen.

4.

Frage: Wie hoch ist der Zinssatz?

Rechnung: gegeben: K = 500,00 €, Z = 8,50 €

gesucht: p

p = 100 ¦ 8,50 € : 500,00 € = 1,7 %

Antwort: Der Zinssatz beträgt 1,7 %.

Station 4: Tages- und Monatszinsen

1.

a) Zt = K ¦ p

100 ¦ t

360 = 30000 ¦ 8

100 ¦ 18

360 = 120,00 €

b) Zt = K ¦ p

100 ¦ t

360 = 30000 ¦ 6,5

100 ¦ 36

360 = 195,00 €

c) Zt = K ¦ p

100 ¦ t

360 = 30000 ¦ 4,5

100 ¦ 58

360 = 217,50 €

d) Zm = K ¦ p

100 ¦ m

12 = 30000 ¦ 2

100 ¦ 3

12 = 150,00 €

on 4: T

De

t:

Zinss

Zinssatz

500,00 €, Z =

00 ¦ 8

8,50

n.

€00

4.

Frage

Rechn

Z

t: K

K =

Frau Bermel hat

e sich

= 153,00 € , p

00 ¦ 1

gelieh

= 7,5

en?

€

17,25 €.


e) Zm = K ¦ p

100 ¦ m

12 = 30000 ¦ 3,8

100 ¦ 5

12 = 475,00 €

f) Zt = K ¦ p

100 ¦ t

360 = 30000 ¦ 4

100 ¦ 225

360 = 750,00 € (7 Monate 15 Tage = 225 Tage (7 ¦ 30+15))

2.

Frage: Wie viel Zinsen bekommt er?

Rechnung: gegeben: K = 8350,00 €, p = 4 %, m = 3

gesucht: Zm

Zm = 8350,00 € ¦ 4 : 100 ¦ 3 : 12 = 83,50 €

Antwort: Herr Kunibert erhält 83,50 € Zinsen.

3.

a)

Frage: Wie hoch ist das Guthaben am Jahresende?

Rechnung: gegeben: K = 4200,00 €, p = 2,5 %, m = 9 (von April – Dezember)

gesucht: Zm

Zm = 4200 € ¦ 2,5 : 100 ¦ 9 : 12 = 78,75 €

4200,00 € + 78,75 € = 4278,75 €

Antwort: Am Jahresende beträgt das Guthaben 4278,75 €.

b)

Frage: Wie hoch ist das Guthaben nach einem weiteren Jahr?

Rechnung: gegeben: K = 4278,75 €, p = 2,5 %

gesucht: Z

Z = 4278,75 € ¦ 2,5 : 100 = 106,97 €

4278,75 € + 106,97 € = 4385,72 €

Antwort: Nach einem weiteren Jahr beträgt das Guthaben 4385,72 €.

4.

Frage: Wie hoch ist die Rückzahlung?

Rechnung: gegeben: K = 125730,00 €, p = 7,2 %, t = 252 (8 ¦ 30 + 12)

gesucht: Zt

Zt = 125730,00 € ¦ 7,2 : 100 ¦ 252 : 360 = 6336,79 €

125730,00 € + 6336,79 € = 132066,79 €

Antwort: Die Rückzahlung beträgt 132 066,79 €.

ge:

chnu

Nac

78,

78,75 €

h eine

ut

78,75 €, p

,5 : 100 = 106

97 €

nach einem

= 2,5 %

weiteren

5 €.7

)

Frage

Rechn

: W

ng:

+ 78

Am Jahresende

2,5 : 100 ¦ 9 :

75 € = 4278,

eträg

€, p =

2 = 7

?

5 %, m = 9 (vvon Ap


Station 5: Formelumstellung Zinsrechnung

1.

K = Zt ¦ 100 ¦ 360

p ¦ t p =

Zt ¦ 100 ¦ 360K ¦ t

t = Zt ¦ 100 ¦ 360

K ¦ p

2.

Kapital Zinssatz Zinsen Zeit

a) 3200,00 € 2,5 % 30,00 € 135 Tage

b) 870,00 € 4 % 14,50 € 5 Monate

c) 5000,00 € 4,5 % 168,75 € 9 Monate

d) 11500,00 € 3 % 149,50 € 156 Tage

3.

a) K = 100 ¦ Z

p =

100 ¦ 65 €p

= 130,00 €

Antwort: Ein Kapital von 1300,00 € bringt in einem Jahr 65,00 € Zinsen bei einem Zinssatz

von 5 %.

b) p = Zt ¦ 100 ¦ 12

K ¦ m =

128,00 € ¦ 100 ¦ 126400,00 € ¦ 4

= 6 %

Antwort: Bei einem Zinssatz von 6 % ergeben 6400,00 € in 4 Monaten 128,00 € Zinsen.

c) 180 ≠ 1011,11 € ¦ 100 ¦ 360

25000,00 € ¦ 8 ; Korrektur: 182 =

1011,11 € ¦ 100 ¦ 36025000,00 € ¦ 8

Antwort: Nein, die Laufzeit für ein Kapital von 25000,00 € bei einem Zinssatz 8 % und

1011,11 € Zinsen beträgt 182 Tage.

4.

Frage: Wie hoch ist der Zinssatz?

Rechnung: gegeben: K = 1250,00 €, t = 6 Monate, Z = 75,00 €

gesucht: p

p = 75 ¦ 100 ¦ 12

1250 ¦ 6 = 12 %

Antwort: Der Zinssatz ist zu hoch. Den Kredit erhält man von der Bank mit einem

geringeren Zinssatz.

Rechnu

Wie

g: gegeb

g

hoch

n Kapital vo

gt 182 Tage.

Korrektu

n 25000,00

r: 182 = 1

Mona

11,11

ten 128,00 € Z

nssatz

c) 1

Antwo

0 ≠ 1011,11 €5000

€

00,0

inem Zinssatz vo

100 ¦ 3

¦ 100 ¦ 12€ ¦ 4

= 6 %

%

gt in e nem Jahr 65 00 € Z


Station 6: Zinseszinsen

1.

Kn = K

0 ¦ @1 +

p100

#n

| : @1 + p

100 #n

K0 =

Kn

@1 + p

100 #n

2.

Frage: Wie hoch ist das Guthaben nach Ablauf der zwei Jahre?

Rechnung: gegeben: K0 = 1500,00 €, p = 4 %, n = 2

gesucht: Kn

Kn = K

0 ¦ @1 +

p100

#n

= 1500,00 € ¦ @1 + 4

100 #2

= 1500 ¦ 1,0816 = 1622,40 €

Antwort: Nach Ablauf der zwei Jahre beträgt das Guthaben 1622,40 €.

3.

Frage: Wie viel Geld wird der Sohn am 31.12. 2028 haben, wenn das Sparguthaben

mit 3 % verzinst wird?

Rechnung: gegeben: K0 = 500,00 €, p = 3 %, n = 18

gesucht: Kn

Kn = K

0 ¦ @1 +

p100

#n

= 500,00 € ¦ @1 + 3

100 #18

= 500 ¦ (1,03)18 = 851,22 €

Antwort: Der Sohn verfügt nach 18 Jahren über 851,22 €.

4.

Frage: Wie viel Geld muss Frau Ohlhausen anlegen, um die Summe zu erreichen?

Rechnung: gegeben: Kn = 12000,00 €, p = 2,5 %, n = 4

gesucht: K0

K0 =

Kn

@1 + p

100 #n

= 12000 €

@1 + 2,5100

#4 = 12000 €

(1,025)4 = 10871,41 €

Antwort: Frau Ohlhausen muss 10871,41 € anlegen.

5.

Frage: Wie viele Jahre ist es gelaufen?

Rechnung: gegeben: K0 = 8000,00 €, K

n = 9373,28 €, p = 2 %

gesucht: n

Durch das Einsetzen der natürlichen Zahlen in die Formel erkennen wir,

dass für n = 8 das vorgegeben Endkapital erreicht wird.

Formeln zur Berechnung von Unbekannten in Potenzen folgen später.

Antwort: Das Startkapital ist 8 Jahre gelaufen.

wo

ge

gesu

K

e viel G

geben

cht: K

gt nach 1

ss F

00

@1

ahren über 85

3100 #18

= 5

51 2

00 ¦ (

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Antwo

4.

K

t:

rzin

eben: K0 =

gesucht: Kn

= K0 ¦ @

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st wird

00,00 p =

n am 3

gt das G

1 12 2

#uthaben 162

0 ¦ 1,0816 =

40


Zusatzstation A: Zusammengesetzter Dreisatz

1.

Frage: Wie oft müssten täglich fünf 6-Tonner-Lkws fahren?

Rechnung: 7 LKW – 4 t – 15 F.

5 LKW – 6 t – x F.

Zusammengesetzt: 15 ¦ 7 ¦ 4

5 ¦ 6 = 14 Fahrten.

Antwort: Die 6-Tonner-Lkws müssten täglich 14-mal fahren.

2.

Frage: Wie groß ist die Schubfläche einer zweiten Raupe, wenn diese einen

11 200 m2 großen Parkplatz in 5 Tagen anfertigen soll?

Rechnung: 9600 m2 – 6 Tage – 1,5 m

11200 m2 – 5 Tage – x m

Zusammengesetzt: 1,5 ¦ 11200 ¦ 6

9600 ¦ 5 = 2,1 m

Antwort: Die Schubfläche muss 2,1 m betragen.

3.

Frage: Wie viele Überstunden müssen die 15 Angestellten täglich leisten?

Rechnung: 60 Stücke – 15 Angestellte – 12 Tage – 8 h

75 Stücke – 15 Angestellte – 10 Tage – x h

Zusammengesetzt: 8 ¦ 75 ¦ 15 ¦ 12

60 ¦ 15 ¦ 10 = 12 h; 12 h – 8 h = 4 h

Antwort: Die Angestellten müssen täglich vier Überstunden leisten.

Zusatzstation B: Promille

1.

a) 3

1000 ¦ 2000 € = 6 € b)

41000

¦ 500 kg = 2 kg

c) 1,5

1000 ¦ 1200 m2 = 1,8 m2 d)

5,51000

¦ 10500 g = 57,75 g

2.

Frage: Welchen Wert besitzt das Gebäude?

Rechnung: gegeben: PW = 48,00 €, p = 0,3‰

gesucht: GW

GW = 48 ¦ 1000 : 0,3 = 160000,00 €

Antwort: Das Gebäude ist 160 000,00 € wert.

st

31000

¦ 2

ation B: Promi

etzt: 8

60 ¦

müssen tägli

10 Tage

15 ¦ 1¦ 10

12 h;

ch vi

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– 8 h

– x h

12

tellten täglich leisten

Antw

ung: 6

7

Wie viele Übers

0 Stücke – 1

tück

muss 2,1

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¦ 1120600 ¦ 5

m bet

6 = 2,1 m

agen.

wenn diese

oll?


3.

Frage: Darf Herr Windolf noch mit dem PKW nach Hause fahren?

Rechnung: gegeben: 10 ml = 10 : 1000 l = 0,01 l

GW = 8 l; PW = 0,01 l

gesucht: p

p = 0,01 ¦ 1000 : 8 = 1,25 ‰

Antwort: Herr Windolf hat 1,25 ‰ Alkohol im Blut und darf daher auf keinen Fall mit

seinem PKW nach Hause fahren.

Zusatzstation C: Vermischte Textaufgaben

1.

a) Frage: Wie schwer ist der Teig?

Rechnung: 32 kg + 0,25 kg + 0,2 kg + 5 kg + 9 kg = 46,45 kg

Antwort: Der Teig wiegt 46,45 kg bzw. 46450 g.

b) Frage: Wie viel Gramm wiegt ein Brot?

Rechnung: 47350 g : 50 = 947 g

Antwort: Ein Brot wiegt 947 g.

c) Frage: Wie schwer ist ein Brot nach dem Backen?

Rechnung: 947 ¦ 88 : 100 = 833,36 g

Antwort: Nach dem Backen wiegt ein Brot ca. 833 g.

2. a)

Frage: Wie teuer ist der Laptop jetzt?

Rechnung: gegeben: G = 850,00 €, p = 90 %

gesucht: W

W = 850,00 € ¦ 90 : 100 = 765,00 €

Antwort: Der Laptop kostet jetzt 765,00 €.

b) Frage: Stimmen die Angaben des Händlers?

Rechnung: gegeben: G = 765,00 €, p = 95%

gesucht: W

W = 765,00 € ¦ 95 : 100 = 726,75 €

Vergleich mit den Händlerangaben: gegeben: W = 726,75 €, G = 850,00 €

gesucht: p

p = 100 ¦ 726,75 € : 850,00 € = 85,5 % (100 % – 85,5 % = 14,5 %)

Antwort: Die Händlerangaben sind falsch. Er gibt 15 % an, in Wirklichkeit sind es aber

nur 14,5 % Rabatt.

Antw

Fra

g: ge

ges

W = 8

rt: D

e teuer

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cht:

50

en wiegt

Lapt

0

m Ba

n Brot ca. 833

ken?

g

)

Re An

2.

age: W

chnung: 9

wort:

am

0 g : 50 =

Ein Brot wiegt 9

e schw

m wiegt ein B

47 g

7 g.

g + 5

bzw. 4

ot?

+ 9 kg = 46,

6450 g

45 kg


3.

Frage: Wie teuer war das Auto ursprünglich?

Rechnung:

Nettopreis bestimmen:

gegeben: W = 16000,00 €, p = 119 % (100 % + 19 %) gesucht: G

G = 16000,00 € ¦ 100 : 119 = 13445,38 €

Bestimme 12 % Rabatt von 13445,38 € Nettopreis.

gegeben: W = 13445,38 €, p = 88 % (100 % – 12 %) gesucht: G

G = 13445,38 € ¦ 100 : 88 = 15278,84 €

Berechne 19 % Mehrwertsteuer auf 15278,84 €.

gegeben: G = 15278,84 €, p = 119 % (100 % + 19 %) gesucht: W

W = 15278,84 € ¦ 119 : 100 = 18181,82 €

Antwort: Das Auto kostete ursprünglich 18 182,82 €.

4.

Frage: Bei welcher Bank soll Oma Hilde den Vertrag abschließen?

Rechnung: Bank Ost: Z =

2000 ¦ 4,5100

= 90 €

90 € – 5 € Kontoführung = 85 € Ertrag

Bank West: Z = 2000 ¦ p ¦ 3

100 ¦ 12 = 20 €;

6000 ¦ p1200

= 20; 6000 ¦ p = 24000; p = 4 %

Z = 2000 ¦ 4

100 = 80 € Zinsen im Jahr

Antwort: Oma Hilde sollte bei Bank Ost den Vertrag abschließen, da bekommt sie 5 € mehr

Zinsen.

Abschließende Bündelung des Stationenlernens

1.

Frage: Wie viel Prozent der Schüler kommen zu Fuß, wie viele nicht?

Rechnung: zu Fuß: gegeben: G = 25 Schüler, W = 8 Schüler gesucht: p

p = 8 ¦ 100 % : 25 = 32 % = 320 ‰

nicht zu Fuß: G = 25 Schüler, W = 25 Sch.– 8 Sch. = 17 Sch. , gesucht: p

p = 17 ¦ 100 % : 25 = 68 % = 680 ‰

Antwort: 32 % der Schüler kommen zu Fuß, 68 % kommen nicht zu Fuß.

hlie

age: h

ßende Bündelu

Z

Ost den V

im Jahr

trag abschli

000 ¦ p = 2400024000; p 4

Antwort:

est:

Z

,50

€ – 5 € Kon

Z =2000 ¦ p ¦ 3

100

Hilde

= 90 €

oführung =

en Vertrag absch

sucht: W


2.

Artikel Netto Brutto MwSt-Betrag Prozentsatz

Haarspangen 2,00 € 2,38 € 0,38 € 19 %

Handball 20,00 € 23,80 € 3,80 € 19 %

Kugelschreiber 0,80 € 0,95 € 0,15 € 19 %

Bildband 34,57 € 36,99 € 2,42 € 7 %

Erklärung: Der MwSt-Betrag ist die Differenz aus Brutto und Netto.

Haarspangen: Der Nettowert entspricht 100 % und es kommen 19 % dazu.

gegeben: G = 2,00 € , p = 119 %

gesucht: W; Rechnung: 2,00 € ¦ 119 : 100 = 2,38 €

Handball: Der Nettowert entspricht 100 % und es kommen 19 % dazu.

gegeben: G = 20 € , p = 119 %

gesucht: W; Rechnung: 20 € ¦ 119 : 100 = 23,80 €

Kugelschreiber: Der Bruttowert entspricht 119 %, rechne 100 % für den Nettowert aus.

gegeben: W = 0,95 € , p = 119 %

gesucht: G; Rechnung: 0,95 € ¦ 100 : 119 = 0,80 €

Bildband: 2,42 € MwSt-Betrag gegeben, das sind 7 %

Netto: gegeben: W = 2,42 €, p = 7 %

gesucht: G; Rechnung: 2,42 € ¦ 100 : 7 = 34,57 €

Brutto: gegeben: G = 34,57 €, p = 7 %

gesucht: W; Rechnung: 34,57 € ¦ 107 : 100 = 36,99 €

3.

Umstellen der Formel Zt =

K ¦ p ¦ t100 ¦ 360

nach t ergibt: t = Z

t ¦ 100 ¦ 360

K ¦ p

Rechnung: gegeben: K = 5200,00 €, p = 3 %, Zt = 32,50 € gesucht: t

Antwort: Das Guthaben ist 75 Tage (2 Monate 15 Tage) angelegt.

4.

a) Rechnung: gegeben: K0 = 1800,00 €, p = 6 %, n = 7 gesucht: K

n

Kn = K

0 ¦ @1 +

p100

#n

= 1800 € ¦ @1 + 6

100 #7

= 1800 ¦ (1,06)7 = 2706,53 €

b) Rechnung: gegeben: K0 = 3250,00 €, p = 3,5 %, n = 24 gesucht: K

n

Kn = K

0 ¦ @1 +

p100

#n

= 3250 € ¦ @1 + 3,5100

#24

= 3250 € ¦ (1,035)7 = 7420,82 €

a) Rech

Kn = K

nung: gegeb

aben is

p ¦ t0 ¦ 360

n

0 €, p = 3 %, Z

ge (2

t ergibt: t =

Z

00

¦ 100

36,99 €

57

3.

Umste

Rech

len der F

G; R

to: gegebe

gesucht: W; Re

g ge

n: W = 2,42

echnung: 2,42

G = 34,5

p =

0,95

eben,

€, p =

€ ¦

¦ 100 : 119 =

das sind 7

3,80 €

00 % für d

0,80 €

azu.

en Netto


5.

6 Mitarbeiter – 14 Tage – 8 Stunden – 1200 Mikrowellen

5 Mitarbeiter – 16 Tage – 6 Stunden – x Mikrowellen

1200 ¦ 5 ¦ 16 ¦ 6

6 ¦ 14 ¦ 8 = 857,194 � 857 Mikrowellen

Antwort: 5 Mitarbeiter, die täglich 6 Stunden an 14 Tagen arbeiten, produzieren 857 Mikrowel-

len.

Gerade Dreisätze:

1) Je mehr Mitarbeiter, desto mehr Mikrowellen

2) Je mehr Tage, desto mehr Mikrowellen

3) Je weniger Stunden, desto weniger Mikrowellen

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