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TM I
Aufgabe 1.1
Gegeben sind die Spaltenvektoren
a =
3
−1
7
, b =
2
6
−2
, c =
−3
5
cz
, d =
3
4
0
.
Man berechne
a) die Summe a + b ,
b) das Skalarprodukt a · b ,
c) die Koordinate cz fur den Fall, dass a ⊥ c ist,
d) das Kreuzprodukt a × b ,
e) das Spatprodukt(
a b c)
, wenn cz = 4 gesetzt wird,
f) die Betrage von a und d.
Aufgabe 1.2
Fur ein beliebiges Dreieck, gegeben durch die Seiten a und b sowie den von diesen
eingeschlossenen Winkel γ, laßt sich die dritte Seite bekanntlich nach dem Cosinus-Satz
c2 = a2 + b2 − 2 ab cos γ
berechnen. Man leite diesen entsprechend
c2 = ‖−→c ‖2 = −→c ·−→c = . . .
auf vektoriellem Wege her.
2 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
Aufgabe 1.3
Welchen Bedingungen mussen die Vektoren −→u und −→v genugen, damit sie dieRelationen
a) ‖−→u + −→v ‖ > ‖−→u −−→v ‖ ,
b) ‖−→u + −→v ‖ = ‖−→u −−→v ‖ ,
c) ‖−→u + −→v ‖ < ‖−→u −−→v ‖ ,
erfullen (Herleitung)?
Aufgabe 1.4
Betrachtet wird eine (schiefe) Ebene im E3. Diese sei durch den Normalenein-heitsvektor n sowie den Punkt P mit Ortsvektor rP festgelegt. Gesucht wird eineGleichung vom Typ
z = f(x, y) ,
welche die Ebene mithilfe von kartesischen Koordinaten beschreibt. Es sei
n =1
3
−2
1
2
, rP =
1
1
−1
.
Aufgabe 1.5
Im E2 seien die Eckpunkte A, B, C eines Dreiecks durch die Ortsvektoren
a =
(
0
1
)
, b =
(
6
0
)
, c =
(
4
5
)
gegeben. Gesucht ist die Flache des Dreiecks.
Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 3
Aufgabe 2.1
Auf einen Leitungsmast wirken vier Krafte F1, F2, F3 und F4 in der horizontalenEbene:
Gesucht ist die auf den Mast wirkende resultierende Kraft nach Betrag und Rich-tung.
Aufgabe 2.2
Ein Schiff wird von drei Schleppern gezogen. Schlepper 1 und 2 ziehen mit der KraftF1 = 8,78kN bzw. F2 = 7,93 kN. Mit welcher Kraft F3 und welchem Winkel αmuss Schlepper 3 ziehen, damit am Schiff eine resultierende Kraft R = 15 kN inx-Richtung wirkt?
Aufgabe 2.3
Am Lasthaken eines Krans ziehen zwei Seile mit den Kraften F1 = 7,8kN undF2 = 10,2 kN. Die zugehorigen Winkel betragen α = 30° und β = 50°.
4 Aufgaben zur Technischen Mechanik I (V 1.2) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher
a) Welchen Betrag hat die auf den Haken ausgeubte Zugkraft?
b) Wirkt diese in lotrechter Richtung?
Aufgabe 2.4
Eine Last Q = 12 kN soll durch ein Seil gehalten werden, dessen Tragfahigkeit mit25 kN angegeben wird. Wie groß darf der Winkel α sein, damit das Seil nicht reißt?
Aufgabe 2.5
Eine Lampe der Eigengewichtskraft G = 120 N soll an zwei Seilen 1 und 2 soaufgehangt werden, dass die Maße a = h = 2,20m eingehalten werden, und dieKraft im Seil 1 den Wert S1 = 100 N annimmt. Wie groß ist ℓ?
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Aufgabe 3.1
Zwei Krafte F1 = 15 N und F2 = 30 N liegen in der x, y-Ebene und greifen an denPunkten(
x1
y1
)
=
(
1,7
3,2
)
m und
(
x2
y2
)
=
(
3,9
2,5
)
m
an. Man berechne das resultierende Moment, wenn beide Krafte im Ursprung 0zusammengefaßt werden sollen.
Aufgabe 3.2
Die an einem Rahmen angreifenden Krafte F1 = F2 = F und F3 = 2F sind imPunkt P zusammenzufassen.
Wie groß ist das resultierende Moment?
Aufgabe 3.3
Die an einem Rahmen unter dem Winkel α angreifende Kraft ist in den Punkt Azu verschieben.
Welches Moment entsteht dabei?
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Aufgabe 3.4
Welches Moment erzeugen die Krafte F1, F2, F3 bezuglich Punkt P
Aufgabe 3.5
An einem Quader greifen die Krafte F1 = F3 = F , F2 = F4 = 3F und F5 = Fin der gezeigten Weise an. Die angreifenden Krafte sind im Ursprung 0 sowie imPunkt P zusammmenzufassen.
Man berechne (jeweils) den resultierenden Kraftvektor und den zugehorigen Mo-mentenvektor.
Aufgabe 3.6
Ein Radfahrer ubt auf die Tretkurbel seines Fahrrades die Kraft F aus. Dabeiwird eine gleichformige (d.h. unbeschleunigte) Bewegung vorausgesetzt, so daßdas Problem als (quasi-)statisch angesehen werden kann. Gesucht ist
a) das Moment MTret an der Tretkurbelwelle,
b) die Zugkraft Z in der Kette,
c) das auf das Hinterrad wirkende Moment MHR ,
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d) die Vortriebskraft FVor.
gegeben: F, d1, d2, ℓ1, ℓ2
Aufgabe 3.7
Ein Kragbalken wird durch die Krafte F1 = 2F und F2 = 3F wie folgt belastet:
Gesucht sind alle Lagerreaktionen in Lager A.
gegeben: F, ℓ
Aufgabe 3.8
Mit einem Hakenschlussel soll auf eine Wellenmutter das Moment Fℓ aufgebrachtwerden.
Welche Reaktionskrafte treten an den Stellen A und B auf? Die Beruhrung in Bsei als reibungsfrei betrachtet.
gegeben: F, d, ℓ
Aufgabe 3.9
Ein Guterwagen steht auf einer Rampe an einem (gut gefetteten) Prellbock. Welche
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Krafte wirken auf Rader und Puffer?
gegeben: G, h, ℓ, α
Aufgabe 3.10
Fur das folgende System berechne man die Lagerreaktionen an den Lagern A undB sowie die Zwischenreaktionen am Gelenk G:
gegeben: F, a
Aufgabe 3.11
Fur das folgende System berechne man die Lagerreaktionen an den Lagern A undB sowie die Zwischenreaktionen am Gelenk G:
gegeben: F, a
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Aufgabe 3.12
Eine in A drehbare Falltur mit Eigengewichtskraft G und Lange ℓ wird durch einSeil gehalten.
Man ermittle die Seilkraft S in Abhangigkeit des Winkels α, d.h. S = S(α).
Aufgabe 3.13
Fur das folgende System berechne man die Lagerreaktionen in A, B und C sowiedie Stabkraft S.
gegeben: F, ℓ, α
Aufgabe 3.14
Die gezeigte Robervalsche Waage ist gewissermaßen die”Basiskonstruktion“ aller
Kaufmannswaagen, die nach dem Abgleichprinzip funktionieren.
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Es seien die Masse mG des aufgelegten Gewichtes sowie die Langen a, b, sW, sG
gegeben. Zu berechnen sind samtliche Lager- und Zwischenreaktionen sowie dieMasse des Wagegutes mW .
In der Praxis sind aber die Langen sW und sG fur gewohnlich nicht bekannt,und es muß allgemein von sW 6= sG ausgegangen werden. Warum laßt sich dieseKonstruktion aber dennoch als Waage verwenden?
Aufgabe 3.15
Auf den dargestellten Grubenausbau wirken vier Einzelkrafte F1 = F4 = 15 kN,F2 = 40 kN, F3 = 50 kN. Es ist a = 1,2 m.
Man berechne die Lager- und Gelenkreaktionen.
Aufgabe 3.16
Gegeben ist die folgende Bruckenkonstruktion:
Man berechne Lager- und Stabkrafte fur gegebenes F, a.
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Aufgabe 3.17
Man ermittle Lager- und Stabkrafte fur das nachfolgend gezeigte Fachwerk. AlleStabe haben die Lange a.
Hinweis: sin[60°] =√
32 , cos[60°] = 1
2
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Aufgabe 4.1
Ein umklappbares Stauwehr (Hohe h, Breite b, Masse m) wird von einem Stab(Eigengewicht vernachlassigbar) gestutzt.
Man berechne die Lagerreaktionen an A sowie die Stabkraft S.
Aufgabe 4.2
Ein Balken auf zwei Stutzen mit Festlager bei x = 0 und Loslager bei x = ℓ wirddurch die Streckenlast
q(x) = q0
[
a4
(x
ℓ
)4
+ a3
(x
ℓ
)3
+ a2
(x
ℓ
)2
+ a1
(x
ℓ
)
+ a0
]
, ∀ x ∈ [0, ℓ ]
belastet. Man berechne die Lagerreaktionen sowie den Schwerpunkt der Strecken-last.
gegeben: q0 = 20 N/m, ℓ = 12 ma0 = 30, a1 = −53, a2 = 200, a3 = −177, a4 = 26
0 2 4 6 8 10 12x @mD
200
400
600
800
q@N�mD
Aufgabe 4.3
Auf einem Speicherboden sei die Flachenlast durch
p(x, y) = p1 cos[
ax
ℓ+ b
]
sin[
cy
L+ d
]
+ p0 fur ∀ x ∈ [0, ℓ ] , y ∈ [0, L ]
auf der Rechteckflache A = ℓL gegeben. Man berechne die Gesamtlast sowie dieLage des Schwerpunktes.
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gegeben: p0 = 10 kN/m2, p1 = 3 kN/m2, ℓ = 20 m, L = 30 ma = 3 , b = 1 , c = −3,6 , d = −1
0
10
20
x @mD
0
10
20
30
y @mD
8
10
12
p @kN�m^2D
0
10
x @mD
Aufgabe 4.4
Fur den gegebenen Querschnitt berechne man die Koordinate yS des Flachen-schwerpunktes.
gegeben: a, b, c, d
Aufgabe 4.5
Fur den gegebenen Querschnitt berechne man die Koordinate xS des Flachen-schwerpunktes.
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(Die Langenangaben sind – wie in techn. Zeichnungen ublich – in mm gegeben.)
Aufgabe 4.6
Man berechne die Lage des Schwerpunktes fur den gezeigten Korper, welcher be-reichsweise aus Stahl(St) bzw. Aluminium(Al) zusammengesetzt ist.
gegeben: St = 7,6 · 103 kg/m3, Al = 2,66 · 103 kg/m3
Aufgabe 4.7
Man berechne die Schwerpunktskoordinate zS fur gezeigte Halbkugel:
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Aufgabe 5.1
Der am Seil hangende Korper K3 hat die Gewichtskraft G. Demgegenuber seiendie Gewichtskrafte von K1 und K2 vernachlassigbar.
Welchen Wert muß der Haftungskoeffizient µ0 fur gebenes α mindestens aufweisen,damit Gleichgewicht herrscht?
Aufgabe 5.2
Ein PKW steht mit angezogener Handbremse auf einer schiefen Ebene mit 30%Gefalle. Wie groß muß der Haftungskoeffizient µ0 sein, damit der Wagen nicht insRutschen kommt? Die Handbremse wirkt dabei – wie allgemein ublich – auf dieHinterrader.
Ab welchen Winkel α⋆ erfolgt (theoretisch) die”Rolle ruckwarts“? Wie groß mußte
µ0 dazu sein? Ist das ein realistischer Wert?
gegeben: G = 7,5 kN, a = 2,2 m, b = 1,6 m, h = 0,7 m
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Aufgabe 5.3
Wie weit (ℓ = ?) kann ein Mann der Gewichtskraft G die demgegenuber praktischgewichtslose Leiter hinaufsteigen? Welchen Einfluß hat die Gewichtskraft G aufdas Ergebnis?
gegeben: G, L, α, µ0,1, µ0,2
Aufgabe 5.4
Zwei Klotze mit jeweils der Gewichtskraft G sind in der gezeigten Weise uber ein(naherungsweise) gewichtsloses Seil miteinander verbunden:
Bis zu welchem Winkel α bleiben die beiden Klotze in Ruhe?
gegeben: G, µ0
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Aufgabe 5.5
Gegeben sei folgende Bremskonstruktion:
a) Man ermittle das Bremsmoment bei Rechts- und Linkslauf.
b) Wie ist das Maß b zu wahlen, damit das Bremsmoment fur beide Drehrich-tungen gleich groß ist (Begrundung)?
c) Fur welches Maß b frißt sich die Bremse fest? Bei welcher Drehrichtung trittdas auf?
gegeben: F, ℓ, a, b, d, µ
Aufgabe 5.6
Ein Zugmittelgetriebe mit Flachriemen ubertragt im Arbeitstrum die Kraft A =890 N. Der Umschlingungswinkel ist mit α = 160° angegeben; der Haftungskoeffi-zient betragt µ0 = 0,3.
a) Fur den Grenzfall der Haftung berechne man die Kraft L im Leertrum.
b) Die Kraft im Arbeitstrum wird auf A⋆ = 1100 N erhoht. Die Kraft L imLeertrum soll hingegen gleich bleiben. Auf welchen Wert α⋆ muß der Um-schlingungswinkel nun mithilfe der Spannrolle gebracht werden?
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Aufgabe 5.7
Bei einer Feuerwehrubung wird eine Person (Masse m) abgeseilt. Das Seil lauftdabei in der gezeigten Weise um ein Gelander:
Mit welcher Kraft F muß am anderen Seilende gegengehalten werden, wenn derVorgang mit konstanter Geschwindigkeit erfolgen soll?
gegeben: m, µ
Aufgabe 5.8
Man ermittle das maximale Moment (MR)max bzw. (ML)max, das mit der gezeigtenBandbremse gehalten werden kann.
In welchem Verhaltnis stehen (MR)max und (ML)max?
gegeben: F, ℓ, r, µ0 = 0,4
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Aufgabe 5.9
Betrachtet sei die nachfolgend dargestellte Bandbremse:
a) Man ermittle das Bremsmoment bei Rechts- und Linkslauf.
b) Welche Bedingung muß gelten, damit das Bremsmoment fur beide Drehrich-tungen gleich groß ist?
c) Kann sich diese Bremse festfressen?
gegeben: F, ℓ, a, b, d, µ
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Aufgabe 6.1
Fur das folgende System die Normalkraft in den drei Staben zu berechnen.
gegeben: m1, m2, ℓ1, ℓ2, ℓ3, α
Aufgabe 6.2
Fur die folgenden Rahmentragwerke sind die Schnittgroßen zu ermitteln und gra-phisch darzustellen.
a)
b)
gegeben: F, ℓ
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Aufgabe 6.3
Man bestimme die Schnittgroßen fur die folgenden Systeme:
a)
gegeben: F, ℓ, α
b)
gegeben: q0, ℓ
c)
gegeben: q0, ℓ
d)
gegeben: q0, ℓ