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Topologie

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Topologie

Alle Rechte vorbehalten.© 2005 ?? ??

Tag des Druckes: 22. September 2005

III

Inhaltsverzeichnis

1 Metrik und Topologie 11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Kugeln und offene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Stetigkeit in metrischen Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.8 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.9 Beispiele topologischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Spezielle Teilmengen in topologischen Räumen 52.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Der Abschlussoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Stetigkeit 73.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Konstruktion topologischer Räume 94.1 Erzeugung von Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94.2 Basis einer Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94.3 Unterraum-Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104.3.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104.3.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

4.4 Produkttopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114.4.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114.4.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114.4.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124.4.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

4.5 Topologische Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124.6 Quotiententopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

4.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124.6.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134.6.3 Universelle Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134.6.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134.6.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144.6.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

IV Inhaltsverzeichnis

4.6.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144.6.8 Verklebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144.6.9 Endliche CW-Komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

5 Trennungsaxiome 175.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175.3 Zusammenhang zu Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175.4 Vererbbarkeit auf Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185.5 Vererbbarkeit auf Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

6 Normale Räume 216.1 Urysohns Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216.2 Tietzescher Fortsetzungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216.3 Trennende Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226.5 Ein Metrisationssatz von Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226.6 Abschließendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

7 Das Zornsche Lemma 23

8 Moore-Smith-Konvergenz und Netze 258.1 Gerichtete Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258.3 Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268.6 Teilnetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268.7 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278.8 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278.10 Universelle Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

9 Zusammenhang 299.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309.5 Zusammenhängende Teilmengen vonR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309.9 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309.10 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319.12 Beispiel (Topologischer Sinus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319.14 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .329.15 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .329.16 Zusammenhangskomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .329.17 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .329.18 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339.19 Total unzusammenhängende Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339.20 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339.21 Satz von Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

Inhaltsverzeichnis V

9.22 Lokaler Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339.23 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

10 Kompaktheit 3510.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3510.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3510.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3510.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3510.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3510.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3610.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3610.8 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3610.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3610.10Satz von Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3710.11Satz von Heine-Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3710.12Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3710.13Cantormenge, Cantorwürfel und Peano-Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3710.14Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3810.15Konvexe Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3810.16Lokalkompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3910.17Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3910.18Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3910.19Einpunkt-Kompaktifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3910.20Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3910.21Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

11 Homotopie 4111.1 Homotopie von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4111.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4111.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4111.4 Verkettung von Wegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4211.5 Die Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4311.6 Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4311.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4311.8 Funktorialität der Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4311.9 Satz über Homotopie-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4411.10Homotopie-Äquivalenz von Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4411.11Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4411.12Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4411.13Lebesgue-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4411.14Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4511.15Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

12 Überlagerungen 4712.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4712.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4712.3 Homotopie-Hochhebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4812.4 Korollar: Weg-Hochhebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4812.5 Operation auf einer Faser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4912.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4912.7 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4912.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4912.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5012.10Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5012.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

VI Inhaltsverzeichnis

12.12Retraktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5012.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5012.14Fixpunktsatz von Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5012.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5112.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5112.17Hochhebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5112.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5112.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5112.20Existenz von Überlagerungs-Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5212.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5212.22Korollar über universelle Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5212.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5212.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5212.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5212.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5312.27SO3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

13 (Zufällig) Ausgewählte Übungsaufgaben 5513.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5513.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5513.3 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5513.4 Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5513.5 Aufgabe 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5613.6 Aufgabe 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5613.7 Aufgabe 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5613.8 Aufgabe 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5613.9 Aufgabe 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5613.10Aufgabe 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5613.11Aufgabe 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5613.12Aufgabe 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5613.13Aufgabe 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5613.14Aufgabe 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5713.15Aufgabe 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5713.16Aufgabe 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5713.17Aufgabe 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5713.18Aufgabe 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5713.19Aufgabe 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5713.20Aufgabe 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5713.21Aufgabe 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5713.22Aufgabe 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5713.23Aufgabe 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5813.24Aufgabe 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5813.25Aufgabe 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5813.26Aufgabe 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

1

Kapitel 1

Metrik und Topologie

1.1 EineMetrik auf einer MengeX ist eine Abbildungd : X×X → R mit(M1) d(x,y) = 0⇔ x = y,(M2) d(x,y) = d(y,x) (Symmetrie),(M3) d(x,z)≤ d(x,y)+d(y,z) (Dreiecksungleichung),für alle x,y,z∈ X. Das Paar(X,d) heißt metrischer Raum. Es lässt sich leicht zeigen, dassd(x,z) ≥

|d(x,y)−d(y,z)| und insbesondered(x,y)≥ 0 gilt für allex,y,z∈ X (siehe Übungsaufgabe 2).Die Abbildungd heißtUltrametrik, wenn zusätzlich(M4) d(x,z)≤max{d(x,y),d(y,z)}für allex,y,z∈ X gilt.

1.2 Beispiele

(a) Auf jeder MengeX ist die wegen (M1) eindeutigediskrete Metrik d: X×X →{0,1} definiert.

(b) Die euklidische Metrikauf Rn ist durchd(x,y) =(∑ni=1(xi −yi)2

) 12 gegeben. Insbesondere ist(R, | · |)

ein metrischer Raum und durch IdentifikationCn ∼= R2n wird auchCn zu einem metrischen Raum.

(c) Für eine MengeM wird die MengeRM aller Abbildungen vonM nachR durch diebeschränkte Maxi-mumsmetrik d( f ,g) := min{sup{| f (x)−g(x)| : x∈M},1} zu einem metrischen Raum.

(d) Für jeden metrischen Raum(X,d) und jede TeilmengeA j X ist auch(A,d|A×A) ein metrischer Raum,etwa fürA = Q, Menge der stetigen Funktionen.

(e) Sei p eine Primzahl, dann gibt es zu jeder rationalen Zahlq 6= 0 genau eine ganze Zahlz(q), so dassZähler und Nenner des gekürzten Bruchesqp−z(q) nicht durchp teilbar sind. Seid : Q×Q→R definiertdurchd(x,y) = p−z(x,y), falls x 6= y undd(x,y) = 0 sonst. Dann ist(Q,d) ein metrischer Raum unddist sogar eine Ultrametrik, die sogenanntep-adische Ultrametrik(siehe Übungsaufgabe 4).

0 p p

1/p 1/p

1/p

2

2

1.3 Kugeln und offene Mengen Sei(X,d) ein metrischer Raum. Die Teilmenge

Bdr (x) := Br(x) := {y∈ X | d(x,y) < r}

für r ∈R undx∈X heißtoffene Kugelmit Radius rundMittelpunkt x, oder kurzr-Kugel. Die Teilmengen

B̄dr (x) := B̄r(x) := {y∈ X | d(y,x)≤ r}

2 Kapitel 1. Metrik und Topologie

undSdr (x) := Sr(x) := {y∈ X | d(x,y) = r}

heißenabgeschlossene KugelnbeziehungsweiseSphären.Eine TeilmengeU von X heißtoffen, wenn für jedesx∈U ein r ∈ R〉0 existiert mitx∈ Br(x) j U , und

eine Teilmenge vonX heißtabgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.1

rx

B (x)r

U

1.4 Beispiele

(a) In jedem metrischen Raum sind alle offenen Kugeln offene Teilmengen und alle abgeschlossenen Ku-geln sind abgeschlossen, siehe Übungsaufgabe 3.

(b) Im metrischen RaumR mit der euklidischen Metrik ist das Intervall]0,1[ offen und[0,1] abgeschlossen.Das halboffene IntervallX := [0,2[ ist weder offen noch abgeschlossen. Im Sinne von Beispiel 1.2(d)ist auchX ein metrischer Raum. In diesem ist[0,1[ offen und[1,2[ abgeschlossen.

(c) In diskreten metrischen Räumen sind alle Teilmengen offen und abgeschlossen.

(d) ÜA/Witz: What is the difference between a door and a set?

1.5 Satz Für jeden metrischen Raum(X,d) gilt

(a) Die Teilmengen/0 und X sind offen.

(b) Jede Vereinigung von offenen Mengen ist offen.

(c) Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist offen.

Beweis.Übungsaufgabe 3.

1.6 Stetigkeit in metrischen Räumen Eine Abbildungf : X →Y eines metrischen Raums(X,d) in einenmetrischen Raum(Y,d′) heißtstetig, wenn

∀x∈ X,ε > 0 : ∃δ > 0∀y∈ X : d(x,y) < δ =⇒ d′( f (x), f (y)) < ε

gilt.

1.7 Satz Eine Abbildung f: X →Y zwischen metrischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilderaller offenen Mengen offen sind.

Dieser Satz ist wesentlich für die Definition von topologischen Räumen, denn er gestattet es, Stetigkeitdurch Offenheit auszudrücken.

Beweis.Die Bedingung in 1.6 ist äquivalent zu

∀x∈ X,ε > 0 :∃δ > 0 : f (Bδ (x)) j Bε( f (x)). (1.1)

Sei nun f stetig undU offen in Y. Für x ∈ f−1(U) wähleε > 0 mit Bε( f (x)) j U und δ wie in (1.1).Dann folgtBδ (x) j f−1(Bε( f (x))) j f−1(U).

Sei nun umgekehrtf−1(U) offen für alle offenen TeilmengenU j Y. Seix∈ X undε > 0. Dann ist mitBε( f (x)) auch f−1(Bε( f (x))) offen. Also existiertδ > 0 mit Bδ (x) j f−1(Bε( f (x))) und (1.1) ist gezeigt.

1 Abgeschlossenheit ist nicht das Gegenteil von Offenheit. Es gibt Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B.X und/0 und auch Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind.

1.8. Definition 3

1.8 Definition EineTopologieO auf einer MengeX ist ein System von Teilmengen vonX, den sogenann-tenoffenenTeilmengen, das folgende Eigenschaften erfüllt:

(T1) Die Teilmengen /0 undX vonX sind offen: /0,X ∈O.(T2) Vereinigungen offener Mengen sind offen:U j O =⇒

⋃U ∈O.

(T3) Endliche Schnitte offener Mengen sind offen:U,V ∈O =⇒U ∩V ∈O.Das Paar(X,O) heißttopologischer Raum, häufig werden wir einfach vom topologischen RaumX spre-

chen.

Eine TeilmengeA j X heißtabgeschlossen, falls X \A offen ist.Eine Abbildung f : X → Y für einen weiteren topologischen Raum(Y,O ′) heißtstetig, wenn Urbilder

offener Teilmengen vonY offen in X sind, das heißtf−1(U) ∈ O für alle U ∈ O ′ oder prägnanter, aberungenauer:f−1(O ′) j O.

Ist f bijektiv und f−1 ebenfalls stetig, so heißtf ein Homöomorphismusund die Räume(X,O) und(Y,O ′) homöomorph, in Zeichen(X,O)≈ (Y,O ′) oder(X,O)∼= (Y,O ′).

Sind O und O ′ Topologien aufX, so heißtO feiner als O ′, beziehungsweiseO ′ gröber als O, wennO ′ j O ist.

1.9 Beispiele topologischer Räume

(a) Für jede MengeX ist℘(X) eine Topologie aufX, die sogenanntediskrete Topologie: Sie ist diefeinsteTopologie aufX.

(b) Für X ist { /0,X} ist die gröbste Topologie aufX, die sogenannteantidiskrete Topologie.Allgemein ist(X,{U1, . . .,Un}) ein topologischer Raum, falls /0= U1 j U2 j · · ·j Un = X gilt.Auf der Menge{1,2} gibt es 4 Topologien, die diskrete, die antidiskrete,{ /0,{i},{1,2}} für i = 1 oderi = 2.

(c) Nach Satz 1.5 ist für jeden metrischen Raum(X,d) die Menge der offenen Mengen eine Topologieauf X. Ein topologischer Raum, dessen Topologie auf diese Weise entsteht, heißtmetrisierbar. Diediskrete Metrik liefert die diskrete Topologie. Die euklidische Metrik liefert die sogenanntenatürlicheTopologie(oder Standard-Topologie) aufRn (und Cn ∼= R2n). Es lässt sich zeigen, dass die offenenTeilmengen vonR genau die abzählbaren disjunkten Vereinigungen offener Intervalle sind.

(d) Auf R ist {]−∞, r[: r ∈R}∪{ /0,R} eine weitere Topologie, denn⋃{]−∞, r[| r ∈ A}=]−∞,supA[ für

A j R. Diese Topologie ist nicht metrisierbar. (Diese Topologie ist nicht "Hausdorffsch").

(e) SeiX eine beliebige Menge undO die Menge der kofiniten Teilmengen vonX und /0, alsoO = {U jX | X \U ist endlich}∪{ /0}. Dann ist(X,O) ein topologischer Raum.

5

Kapitel 2

Spezielle Teilmengen in topologischenRäumen

2.1 Satz In einem topologischen Raum gelten folgende Aussagen:

(a) Die Teilmengen/0 und X sind abgeschlossen.

(b) Durchschnitte beliebig vieler abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.

(c) Vereinigungen endlich vieler abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.

Beweis.Für /0 6= U j℘(X) undA,B j X giltX \

⋂U =

⋃{X \U |U ∈U } und

X \ (A∪B) = (X \A)∩ (X \B).

2.2 Der Abschlussoperator SeiX ein topologischer Raum undA j X. Der AbschlussĀ, das InnereA◦

und der Rand∂A vonA sind durch

• Ā =⋂{B j X | B abgeschlossen undA j B}

• A◦ =⋃{U j X |U offen undU j A} und

• ∂A = Ā\A◦

definiert. Der Abschluss vonA ist die kleinste abgeschlossene Menge, dieA enthält (siehe 2.1(b)), unddas Innere ist die größte offene Teilmenge vonA (siehe (T2)).

In R gilt ]0,1] = [0,1], ]0,1]◦ =]0,1[ und∂ ]0,1] = {0,1}. Achtung: In{0,1} gilt B1(0) = {0} 6= {0,1} =B̄1(0).

Eine TeilmengeU j X heißtUmgebungvon x ∈ X oder allgemeiner vonA j X, wenn es eine offeneTeilmengeV gibt mit x∈V j U bzw.A j V j U .

Ein Punktx∈ X heißtBerührpunktvon A j X, wenn alle Umgebungen vonx die MengeA treffen (dasheißtU ∩A 6= /0), er heißtinnerer PunktvonA, wennA eine Umgebung vonx ist undRandpunktvonA, wennx Berührpunkt vonA und vonX \A ist.

2.3 Satz Für eine Teilmenge A eines topologischen Raums X gilt:

(a) (X \A)◦ = X \ Ā undX \A = X \A◦.

(b) Die Menge der Berührpunkte von A ist der AbschlussĀ.

(c) Die Menge der inneren Punkte von A ist das Innere A◦.

6 Kapitel 2. Spezielle Teilmengen in topologischen Räumen

(d) Die Menge der Randpunkte von A ist der Rand∂A.

Beweis. (a) Es gilt

(X \A)◦ =⋃{U j X |Uoffen,U j (X \A)}=

⋃{X \B | X \B offen,(X \B) j (X \A)}= X \

⋂{B j

X | B abgeschlossen,A j B}= X \ Āund

X \A = X \ (X \X \A) = X \ (X \ (X \A))◦ = X \A◦.

(b) Für x ∈ X gelten folgende Äquivalenzen:x ist kein Berührpunkt vonA ⇔ x ist innerer Punkt vonX \A⇔ x∈ (X \A)◦ = X \ Ā⇔ x /∈ Ā.

(c) Ist trivial.

(d) Dies folgt mit (a) aus (b):̄A∩X \A = Ā∩X \A◦ = Ā\A◦ = ∂A.

2.4 Satz Seien A und B Teilmengen eines topologischen Raums. Der Abschlussoperator hat die folgendenEigenschaften

(a) /̄0 = /0,

(b) A j Ā

(c) A∪B = Ā∪ B̄ und

(d) Ā = Ā

Aus solch einem Operator lässt sich auch umgekehrt eine Topologie definieren (die abgeschlossenen Teil-mengen sind genau die Bilder unter ¯· und genau die Fixpunkte), siehe Übungsaufgabe 8.

Beweis.Siehe Übungsaufgabe 8.

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Kapitel 3

Stetigkeit

3.1 Satz Seien X,Y topologische Räume und f : X →Y. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) Die Abbildung f ist stetig.

(b) Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.

(c) Für jedes x∈ X gilt: für jede Umgebung V von f (x) existiert eine Umgebung U von x mit f (U) j V.

(d) Ist x∈ X ein Berührpunkt von A j X, so ist f (x) ein Berührpunkt von f (A) [ f (Ā) j f (A)].

Gilt Bedingung (c) für ein x∈X, so sagen wir f ist stetig inx. Bedingung (c) besagt dann, dass f stetig istin x für alle x∈ X. Die Bedingung (d) formuliert die anschauliche Vorstellung, dass stetige Funktionen nicht"springen".

Beweis.Wegenf−1(Y \B) = X \ f−1(B) für alleB j Y sind (a) und (b) äquivalent.(a)⇒ (c): IstV eine Umgebung vonf (x), so existiert eine offene MengeV ′ mit f (x) ∈V ′ j V. Dann ist

U := f−1(V ′) offen und damit Umgebung vonx mit f (U) j V ′ j V.(c)⇒ (d): IstV Umgebung vonf (x), dann existiert eine UmgebungU vonx mit f (U) j V. Dann trifftU

die MengeA; also auchV k f (U) die Mengef (A).(d)⇒ (b): SeiBjY abgeschlossen undA := f−1(B). Wegenf (Ā) j f (A) j B̄= B folgt Āj f−1(B) = A.

Also istA = Ā abgeschlossen.

Achtung: Wir werden später Beispiele kennenlernen, die besagen, dass sich Stetigkeit im Allgemeinennicht durch Folgen charakterisieren lässt.

3.2 Satz Sind X,Y und Z topologische Räume und f : X →Y und g : Y → Z stetige Abbildungen, so istg◦ f stetig.

Beweis.Es gilt (g◦ f )−1(U) = f−1(g−1(U)) für alleU j Z.

3.3 Beispiele

(a) Sei X die Menge der stetigen Abbildungenf : [0,1] → R; sei d die Maximumsmetrik undd′ die"Integralmetrik" aus Übungsaufgabe 1. Dann ist id :(X,d) → (X,d′) stetig, nicht aber id :(X,d′) →(X,d); dies bedeutet, dass die Topologie der Maximumsmetrik echt feiner als die der Integralmetrik ist.

(b) Die Abbildungσ : R → R, x 7→ −x ist stetig (wegenσ = σ−1 sogar ein Homöomorphismus), dennwegen−Br(x) = Br(−x) für r,x∈ R ist mit U auch−U = σ−1(U) offen.Die Betragsfunktion| · | : R → R ist stetig, denn fürA j R abgeschlossen ist auch| · |−1(A) = (A∩[0,∞[)∪σ(A∩ [0,∞[) abgeschlossen (folgt auch mit Übungsaufgabe 2(c) fürA= {0}). Also ist nach 3.2für eine stetige Abbildungf : X → R auch| f | stetig.

8 Kapitel 3. Stetigkeit

(c) Mit der TopologieO< aus Beispiel 1.9(d) lässt sich die Halbstetigkeit aus der Analysis definieren: füreinen topologischen Raum(X,O) heißt f : X → R halbstetig nach oben, wenn f : (X,O)→ (R,O

9

Kapitel 4

Konstruktion topologischer Räume

4.1 Erzeugung von Topologien SeiX eine Menge undSj℘(X). Dann ist

O :=⋂{O ′ Topologie aufX mit Sj O ′}

die kleinste Topologie aufX, dieSenthält. Es gilt

O ={⋃

U |U j {U1∩·· ·∩Un |U1, . . .,Un ∈ S}}∪{X}. (4.1)

Diese Topologie aufX heißt die vonS erzeugte Topologie undS Subbasis der Topologie(oft wird auchnoch

⋃S= X gefordert).

Beweis.Die diskrete Topologie aufX umfasstS. (Der Schnitt ist also nicht-leer).Gilt etwaA,B∈O, so folgtA,B∈O ′ für alle TopologienO ′ aufX mit Sj O ′, alsoA∩B∈O ′ für alleO ′

und somitA∩B∈O; (T1) und (T2) folgen analog. Die Minimalität vonO ist klar.Es bleibt zu zeigen, dass die rechte Seite von (4.1) eine Topologie ist, denn dann ist "j" und "k" folgt, da

die Menge⋃

U in jeder Topologie aufX, dieSenthält, enthalten ist, also auch inO. (T1) und (T2) sind klar,und (T3) folgt aus dem Distributivgesetz.

Beispiel. Sei(X, x} für allex∈X erzeugte Topologie. Die StandardtopologieaufR ist die Ordnungstopologie bezüglich der Standard-Ordnung.

Achtung: Die Ordnungstopologie aufX := [0,1[∪{2}∪]3,4] j R bezüglich< ist nicht die vonR induzierteTopologie;{2}= B1(2) ist nicht offen in der Ordnungstopologie vonX. Es giltX ≈ [0,2], denn die Abbildungf : X→ [0,2] mit f (x) = x für x∈ [0,1[, f (2) = 1 und f (x) = x−2 für x∈]3,4] ist ein Ordnungsisomorphismus.

Korollar. Seien X und Y topologische Räume und S eine Subbasis der Topologie auf Y . Dann ist f: X →Ygenau dann stetig, wenn f−1(U) offen ist für alle U∈ S.

Beweis.Es gilt f−1 (⋃

U ) =⋃{

f−1(U) |U ∈U}

und f−1(U ∩V) = f−1(U)∩ f−1(V) für U,V j Y, U j℘(Y), also folgt die Behauptung, denn jede offene Menge vonY lässt sich nach 4.1 als große Vereinigungendlicher Schnitte darstellen.

4.2 Basis einer Topologie SeiX eine Menge. Ein MengensystemB j℘(X) heißtBasis einer Topologieauf X, wenn

⋃B = X und für alleB1,B2 ∈B undx∈ B1∩B2 ein B3 ∈B existiert mitx∈ B3 j B1∩B2. Ist

B Basis einer Topologie aufX, so ist{⋃

U |U j B} eine Topologie aufX. (Distributivgesetz für Mengen).Ist umgekehrtO eine Topologie aufX undB j O ein Mengensystem mitO = {

⋃U |U j B}, so heißt

B Basis der TopologieO aufX.

Beispiele. (a) Eine Basis einer Topologie ist eine Subbasis der Topologie.

10 Kapitel 4. Konstruktion topologischer Räume

(b) In einem metrischen Raum ist die Menge der offenen Kugeln eine Basis für die Topologie der offenenMengen.

PSfrag replacementsB1B2

B3x

Im Allgemeinen hat eine Topologie viele Basen. Die Menge der KugelnB1n(q) für n ∈ N und q ∈

Qn ist auch eine Basis der Topologie aufRn; diese Basis ist abzählbar, obwohl die Topologie aufRnüberabzählbar ist.

(c) Seiend undd′ zwei Metriken aufX. Die Metrik d heißtfeineralsd′, wenn für allex∈ X undr > 0 eins> 0 existiert mitBds(x) j B

d′r (x), etwaX = Rn, d euklidische Metrik,d′ Maximumsmetrik,r = s.

PSfrag replacements

R2

d

d′

d′

x

Da died′-Kugeln offen bezüglichd′ sind, folgt hieraus, dass died′-Kugeln auch offen bezüglichdsind. Dies impliziert, dass die Topologie, die vond erzeugt wird, feiner ist als die vond′ erzeugte. Istinsbesondered feiner alsd′ undd′ feiner alsd, dann sind die beiden erzeugten Topologien gleich. Dadie Maximumsmetrik auch feiner ist als die euklidische Metrik (s= r/

√n) induzieren beide Metriken

die gleiche Topologie aufRn.

4.3 Unterraum-Topologie Sei(X,d) ein metrischer Raum,Aj X undd′ := d|A×A wie in Beispiel 1.2(d).Es giltBd

′r (x) = B

dr (x)∩A für x∈ A undr ∈ R und Entsprechendes für allgemeine offene Teilmengen.

Definition. Sei (X,O) ein topologischer Raum undA eine beliebige Teilmenge vonX. Dann wird durchOA := {O∩A |O∈O} eine Topologie aufA definiert (Distributivgesetz). Die TopologieOA heißtUnterraum-,Spur-, oderinduzierte Topologie, der topologische Raum(A,OA) Unterraum von(X,O).

Die offenen (abgeschlossenen) Mengen vonA (eigentlich(A,OA)!) sind die Schnitte von offenen (abge-schlossenen) Mengen ausX mit A. Sie sind im Allgemeinen nicht offen (abgeschlossen) inX: R trägt dieUnterraumtopologie vonC, aber keine nicht-leere offene Menge vonR ist offen inC. Ist allerdingsA offenin X, so sind die offenen Teilmengen vonA genau die offenen TeilmengenO vonX mit O j A. Analoges giltfür “abgeschlossen”.

4.3.1

Beispiele. (a) Die SphärenSn−1 := S1(0) und die abgeschlossene KugelDn = B̄1(0)in Rn mit der euklidi-schen Metrik fürn∈ N sind wichtige Beispiele topologischer Räume.

(b) SeiC0 := [0,1] das Einheitsintervall und fürn∈N definiereCn := 13Cn−1∪(

13Cn−1 +

23

). Die Teilmenge

C :=⋂

n∈NCn ={

∑ an3n | an ∈ {0,2}}

vonR heißtCantormenge; sie ist abgeschlossen nach 2.1(b).

4.3.2 Satz Seien X und Y topologische Räume und trage B j Y die induzierte Topologie. Die Einbettungι : B→Y, y 7→ y ist stetig und die Unterraum-Topologie auf B ist die größte Topologie mit dieser Eigenschaft.Eine Abbildung f : X → B ist genau dann stetig, wenn ι ◦ f stetig ist.

Teilbeweis.Sei ι ◦ f stetig. IstU offen in B, so existiert eine offene TeilmengeV vonY mit U = V ∩B, undes gilt f−1(U) = (ι ◦ f )−1(V). Also ist f stetig.

Die Abbildung f : R → R definiert durchf (x) = 0 für x∈ Q und f (x) = 1 für x∈ R\Q ist nicht stetig;aber die Einschränkungenf |Q und f |R\Q sind als konstante Abbildungen stetig.

4.4. Produkttopologie 11

4.3.3 Satz Seien X und Y topologische Räume und A j X ein Teilraum. Ist f : X →Y stetig, so ist auchf |A stetig.

Seien Ai j X für i = 1,. . . ,n abgeschlossene Teilmengen mit A1 ∪ . . . ∪An = X und f : X → Y eineAbbildung, so dass f |Ai stetig für alle i = 1,. . . ,n ist; dann ist f stetig.

Beweis.Ist f stetig undU offen in Y, so gilt ( f |A)−1(U) = f−1(U)∩A; also ist f |A stetig (zeigt auch dieStetigkeit vonι oben).

Seien nunf |Ai stetig und seiB abgeschlossen inY. Dann giltf−1(B) =

⋃ni=1Ai ∩ f−1(B) =

⋃ni=1(Ai ∩ f−1(B)) =

⋃ni=1( f |Ai )−1(B),

also ist f stetig, denn die Mengen( f |Ai )−1(B) sind abgeschlossen inAi und damit inX, dennAi istabgeschlossen inX.

Beispiel. Eine Funktionf : R→ R, die auf]−∞,0] und[0,∞[ stetig ist, ist stetig aufR.

4.4 Produkttopologie Sei I eine Indexmenge, und seienXi , i ∈ I Mengen. In der Mengenlehre definiertman

∏i∈I

Xi :=

{f : I →

⋃i∈I

Xi : f (i) ∈ Xi für alle i ∈ I

}.

Für die endliche IndexmengeI = {1,. . .,n} schreibt man auch

n

∏i=1

Xi = X1×·· ·×Xn = {(x1, . . .,xn) : xi ∈ Xi , i = 1,. . .,n}.

Seien nun dieXi topologische Räume. Wir wollen auf∏i∈I Xi eine Topologie definieren. Dies soll sogeschehen, dass dieProjektionen

πi : ∏i∈I

Xi → Xi , f 7→ f (i)

stetig werden.

4.4.1 Definition Die Produkttopologieauf ∏i∈I Xi ist die vom Mengensystem{π−1i (U) für alle i ∈I undU offen inXi} erzeugte Topologie.

4.4.2 Satz Seien X1, . . . ,Xn topologische Räume und seien B1, . . . ,Bn jeweils Basen. Dann ist das System{U1×U2×·· ·×Un : Ui ∈Bi für i = 1,. . . ,n} eine Basis der Produkttopologie auf X1×·· ·×Xn.PSfrag replacements

U1

U2

X1

X2 π−1(U1)

π−1(U2)

U1 ×U2

Beweis.Zunächst istU1× ·· ·×Un = π−11 (U1)∩ ·· · ∩ π−1n (Un) für U1 ∈ B1,. . . ,Un ∈ Bn offen im ProduktX1×·· ·×Xn. Ferner ist die MengeB dieser Mengen Basiseiner Topologie, denn es gilt sogar(U1×·· ·×Un)∩(V1×·· ·×Vn) = (U1∩V1)×·· ·×(Un∩Vn). Wir müssen also zeigen, dass die vonB erzeugte TopologieO die Produkttopologie ist. Hierzu reicht esπ−1i (U) = X1×·· ·×Xi−1×U ×Xi+1×·· ·×Xn ∈ O für U j Xioffen undi = 1,. . .,n zu zeigen. Dies folgt wegenπ−1i (

⋃U ) =

⋃{π−1i (U) : U ∈U

}∈O für U j Bi .

4.4.3 Beispiel

(a) Die Standardtopologie aufRn = R×·· ·×R ist die Produkttopologie: dies folgt aus 4.4.2, denn]x−ε,x+ε[= Bε(x) für x∈R undε > 0 bilden eine Basis der Topologie aufR undBε(x1)×·· ·×Bε(xn) isteine offene Kugel inRn bezüglich der Maximumsmetrik, welche die Standardtopologie aufRn induziertnach 4.2(c).

12 Kapitel 4. Konstruktion topologischer Räume

(b) Für die diskrete Topologie auf{0,2} ist die Produkttopologie auf{0,2}N homöomorph zur Cantormen-geC aus 4.3.1(b).

Beweis.Die Abbildungϕ : {0,2}N → C, (an) 7→ ∑ an3n ist bijektiv (Eigenschaften der geometrischenReihe,an 6= 1).Um die Stetigkeit in(an) nachzuweisen seiε > 0. WähleN ∈ N mit 2∑∞n=N 3−n < ε. Dann istU :={(xn) ∈ {0,2}N | xn = an für 1≤ n < N} =

⋂N−1n=1 π

−1n ({an}) offen und für(xn) ∈ U gilt |ϕ((an))−

ϕ((xn))|=∣∣∑∞n=1 an−xn3n ∣∣ = ∣∣∑∞n=N an−xn3n ∣∣≤ 23n < ε, alsoϕ(U) j]ϕ((an))− ε,ϕ((an))+ ε[. Somit istϕ

stetig.

Wir werden später sehen, dass{0,2}N kompakt ist, als Produkt kompakter Mengen und dass jede stetigeBijektion auf ein Kompaktum ein Homöomorphismus ist.

4.4.4 Satz Seien X und Yi , i ∈ I topologische Räume und trage Y := ∏i∈I Yi die Produkttopologie. Dannsind die Projektionen πi : Y→Yi für i ∈ I stetig und die Produkttopologie ist die gröbste Topologie mit dieserEigenschaft. Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig, wenn alle Koordinatenabbildungen πi ◦ f füri ∈ I stetig sind.

Beweis.Die Projektionen sind stetig per Definition der Produkttopologie. Istf stetig, so sind es auch dieHintereinanderausführungenπi ◦ f nach Satz 3.2.

Für die Umkehrung müssen wir nach Korollar 4.1 die Stetigkeit vonf nur auf einer Subbasis der Produkt-topologie überprüfen. Sei alsoi ∈ I undU offen inYi . Dann ist f−1(π−1i (U)) = (πi ◦ f )−1(U) offen, daπi ◦ fals stetig vorausgesetzt ist.

4.4.5 Beispiele Eine GruppeG heißt topologische Gruppe, wenn G eine Topologie trägt und die Ab-bildung G×G → G, (ab) 7→ ab−1 stetig ist. Jede Gruppe ist eine topologische Gruppe mit der diskretenTopologie.

R, C, Rn und Cn mit der Addition sind topologische Gruppen, sowie die multiplikativen GruppenR×,C×: Seien etwa+ : R×R → R und +Rn : Rn×Rn → Rn die Additionen aufR beziehungsweiseRn. Mitder Dreiecksungleichung zeigt man leicht, dass fürδ > 0 gilt Bδ (x)+Bδ (y) j B2δ (x+y). Also existiert fürjedesε > 0 einδ > 0, so dass+(Bδ (x)×Bδ (y)) j Bε(+(x,y)) gilt, also ist+ stetig in(x,y). Nun folgt ausSatz 4.4.4, dass+Rn stetig ist, denn es giltπi ◦+Rn = +◦ (πi ,πi) für i = 1,. . .,n.

Die Matrizengruppen GLnR, SLnR, OnR und SOnR sind topologische Gruppen mit der vonRn2

indu-zierten Topologie.

4.5 Topologische Summe SeiI eine Indexmenge, seienXi , i ∈ I topologische Räume und seiX :=⋃

i∈I Xi .Dann heißt der Raum∑i∈I := {(x, i) ∈ X× I | x ∈ Xi} topologische Summeder Xi , i ∈ I , wenn∑Xi eineTopologieO trägt, so dass für die Abbildungenιi : Xi → ∑Xi , x 7→ (x, i) gilt: U ∈O ⇔ ι−1i (U) offen inXi .

Wenn dieXi , i ∈ I paarweise disjunkt sind, dann kann manXi mit ιi(Xi) = Xi ×{i} identifizieren und wirhaben∑i∈I Xi =

⋃̇i∈I Xi , dann istU j ∑Xi offen genau dann, wennU ∩Xi offen ist für allei ∈ I .

Beispiele. (a) Ist X ein diskreter Raum, so giltX ∼= ∑x∈X{x}.

(b) In R gilt ]0,1]∪]1,2] =]0,2] �]0,1]∪]2,3]∼=]0,1]+]2,3]∼=]0,1]+]1,2].

4.6 Quotiententopologie Die bisherigen Konstruktionen von topologischen Räumen haben alle Analogafür metrische Räume. Die Quotiententopologie formalisiert die anschauliche Vorstellung des Verklebens undliefert häufig nicht metrisierbare Räume.

4.6.1 Definition Sei(X,O) ein topologischer Raum,Y eine Menge undq : X →Y eine Surjektion. Dannist {U j Y | q−1(U) ∈ O} eine Topologie aufY und heißtQuotiententopologiebezüglichq. TrägtY dieQuotiententopologie bezüglichq, so heißtq identifizierende Abbildung.

Die Abbildungq ist stetig bezüglich der Quotiententopologie aufY, und sie ist die feinste Topologie, sodassq stetig ist.

4.6. Quotiententopologie 13

Ist ∼ eine Äquivalenzrelation aufX, so ist diekanonische Projektion q: X → X/∼ = {[x] | x ∈ X} de-finiert durchq(x) = [x] = {y ∈ X | y∼ x}. Ist O die Quotiententopologie bezüglichq, so heißt((X/∼),O)Quotientenraum bezüglich∼. Eine TeilmengeU von (X/∼) ist genau dann offen, wennq−1(U) =

⋃U in X

offen ist.

4.6.2 Beispiele

(a) KreislineS1X = [0,1], 0∼ 1

(b) Kompaktes Möbiusband:X = [0,1]2, (0,y)∼ (1,1−y)

(c) Kleinsche Flasche:X = [0,1]2, (0,y)∼ (1,y), (x,0)∼ (1−x,1)

4.6.3 Universelle Eigenschaft SeienX,Y,Z topologische Räume undq : X →Y eine identifizierende Ab-bildung. Dann istf : Y → Z genau dann stetig, wennf ◦q stetig ist.

Beweis.Ist f stetig, so istf ◦q stetig als Hintereinanderausführung nach 3.2.Sei nun f ◦q stetig undU j Z offen. Dann ist auchq−1( f−1(U)) = ( f ◦q)−1(U) offen; also istf−1(U)

offen, daq identifizierend ist.

4.6.4 Korollar SeienX und Y topologische Räume undf : X → Y identifizierend. Sei∼ die durch fauf X definierte Äquivalenzrelation; das heißtx∼ y⇔ f (x) = f (y) für alle x,y∈ X, undq : X → X/ ∼ diekanonische Projektion. Dann istf̄ : X/∼→Y, [x] 7→ f (x) ein wohldefinierter Homöomorphismus und es giltf = f̄ ◦q.

PSfrag replacements

Xf

Yq

X/∼f̄

14 Kapitel 4. Konstruktion topologischer Räume

Beweis.Die Abbildung f ist wohldefiniert und injektiv nach Definition von∼. Wegenf = f̄ ◦q ist f stetig(siehe oben), daq identifizierend ist. FürU offen in X/∼ ist f−1( f̄ (U)) = q−1(U) offen in X, daq stetig ist,also ist f̄ (U) offen, da f identifizierend ist. Also sind̄f und f̄−1 stetig.

4.6.5 Definition SeienX undY topologische Räume. Eine Abbildungf : X →Y heißtoffen(bzw. abge-schlossen), wenn f (U) offen (bzw. abgeschlossen) ist für alleU j X offen (bzw. abgeschlossen).

4.6.6 Satz Seien X,Y topologische Räume und f eine stetige Surjektion. Dann ist f identifizierend, fallsf offen oder abgeschlossen ist.

Beweis.Wir müssen zeigen, dassU j Y genau dann offen ist, wennf−1(U) offen in X ist. Die eine Impli-kation ist die Stetigkeit vonf . Für die andere Implikation seiU j Y, so dassf−1(U) offen in X ist. Da fsurjektiv ist, giltU = f ( f−1(U)) undU = Y \ f (X \ f−1(U)). Da f stetig ist und offen oder abgeschlossenfolgt, dassU offen ist.

4.6.7 Beispiele

(a) Der reelle projektive RaumPn := {xR | x ∈ Rn+1 \ {0}} trägt die Quotiententopologie bezüglich deridentifizierenden Abbildungq : Sn→ Pn, x 7→ xR. Die Abbildung f : S1 j C→ S1, z 7→ z2 ist stetig undabgeschlossen (siehe Kompaktheit), also nach 4.6.6 identifizierend. Es giltf (z) = f (w)⇔ z= w oderz=−w, also folgtP≈ S1 nach 4.6.4.Für n > 1 gilt Pn 6≈ Sn (algebraische Topologie, oder später). Die Abbildungf : S2 → R4, (x,y,z) 7→(x2−y2,xy,xz,yz) liefert eine Einbettung vonP2 in R4; nachR3 ist nicht möglich.

(b) SeiX ein topologischer Raum undAj X. Dann istx∼A y :⇔ x,y∈A oderx= y eine Äquivalenzrelationauf X (also∼A= (A×A)∪ idX) und der QuotientenraumX/∼A entsteht ausX durch "Verschmelzen"vonA zu einem Punkt.

DerKegelüberX ist gegeben durchCX := X× [0,1]/∼X×{1}.

PSfrag replacements

X

X

Der Doppelkegel(auchSuspensionoder Einhängung) ist gegeben durchΣX := X × [0,1]/(∼X×{0}∪ ∼X×{1}).Es gilt CSn−1 ≈ Dn und ΣSn−1 ≈ Sn für n ∈ N, denn f : Sn−1× [0,1] → Dn, (x, t) 7→ (1− t)x undf ′ : Sn−1× [0,1]→ Sn, (x, t) 7→ (x

√1− (2t−1)2,2t−1) sind stetig und abgeschlossen (Kompaktheit)

und damit identifizierend, dann 4.6.4.

(c) SeiG eine topologische Gruppe undH eine Untergruppe. Dann istg∼ h :⇔ g−1h∈ H ⇔ gH = hH.Der QuotientenraumG/∼ wird mit G/H bezeichnet und heißthomogener Raum. Für jedesg∈ G isthH 7→ ghH ein Homöomorphismus vonG/H auf sich (dennh 7→ gh 7→ ghH ist stetig; dann 4.6.3) unddiese Homöomorphismen permutierenG/H transitiv.

Beispiel:R/Q, R/Z≈ S1 ≈ C×/R+ (Polarkoordinaten:C∗ ≈ S1×R+).

4.6.8 Verklebung SeienX undY topologische Räume,A j X und f : A→Y eine stetige Abbildung. DerVerklebungsraum X∪ f Y ist der Quotientenraum(X +Y)/∼, wobeiu∼ v, falls u,v∈ ι1(A) und f (ι−11 (u)) =f (ι−11 (v)) oder (bis auf Reihenfolge vonu undv) u∈ ι1(A) undι2( f (ι

−11 (u))) = v.PSfrag replacements

X

Y

A

f

f (A)

X ∪ f Y

4.6. Quotiententopologie 15

Beispiele. (a) Für |Y|= 1 erhält manX∪ f Y ∼= X/∼A wie in 4.6.2(b).

(b) Sn entsteht ausRn ≈ D0n durch Ankleben eines Punktes.

PSfrag replacements

Dn+1

Sn

{p}

Für p = (0,. . .,0,−1) ∈ Sn und f : Sn−1 → {p}, x 7→ p gilt Dn∪ f {p} ≈ Sn, denng : Dn → Sn mitg(0) = (0,. . .,0,1) undg(x) =

(x|x|Ie

iπ|x|,Reiπ|x|)

für x 6= 0 ist stetig und abgeschlossen (KompaktheitvonDn). Es gilt f = g|Sn−1, undg : D0n → Sn\{p} ist bijektiv.

(c) Der projektive RaumPn entsteht ausRn ≈ D0n durch Ankleben vonPn−1: Für f : Sn−1 → {(x,0)R jRn+1 | x∈Rn,x 6= 0} ≈ Pn−1, x 7→ (x,0)R gilt Dn∪ f Pn−1≈ Pn, denn fürg : Dn→ Pn, x 7→ (x,1−|x|)Rgilt f = g|Sn−1.

4.6.9 Endliche CW-Komplexe Ein null-dimensionaler endlicher CW-Komplexist eine endliche Menge,bestehend aus den sogenannten0-Zellen, mit der diskreten Topologie. Einn-dimensionaler endlicher CW-Komplex Yfür n ∈ N ensteht aus einem höchstens(n−1)-dimensionalen CW-KomplexX durch Anklebenendlich vielern−Zellen: Y = X∪ f ∑ki=1Dn, wobei f : ∑ki=1Sn−1 → X stetig ist.

Beispiel. (a) Sn ist ein endlicher CW-Komplex mit einer Zelle in Dimension 0 und einer in Dimensionn;undPn ist ein endlicher CW-Komplex mit je einer Zelle in jeder Dimension 0,. . .,n; siehe oben.

(b) Das Möbiusband besteht aus zwei 0-Zellen, drei 1-Zellen und einer 2-Zelle, der TorusS1×S1 bestehtaus einer 0-Zelle, zwei 1-Zellen und einer 2-Zelle, ebenso die Kleinsche Flasche. Der Unterschiedbesteht in der Verklebungsabbildung.

(c) Jeder endliche Graph(V,E) (das heißtV endliche Menge undE j(

V2

):= {ejV, |e|= 2}) definiert

einen 1-dimensionalen endlichen CW-KomplexV ∪ f ∑e∈E[0,1]; wobeiV die diskrete Topologie trägtund f : ∑e∈E{0,1}→V, (x,{v0,v1}) 7→ vx.

17

Kapitel 5

Trennungsaxiome

In diesem Abschnitt werden verschiedene Bedingungen diskutiert, die ausdrücken, dass es "genügend viele"offene Mengen gibt.

5.1 Definition Ein topologischer Raum heißtT1-Raum, falls zu verschiedenenx,y ∈ X eine UmgebungU von x existiert mity /∈U ; T2-RaumoderHausdorff-Raum, falls zu verschiedenenx,y∈ X disjunkte Um-gebungenU,V von x bzw. y existieren,T3-Raum, falls zux ∈ X undA j X mit A abgeschlossen undx /∈ AUmgebungenU,V existieren vonx bzw.A mit U ∩V = /0, undT4-Raum, falls zu disjunkten abgeschlossenenA,B j X disjunkte UmgebungenU,V vonA bzw.B existieren.

PSfrag replacements

T1 T2 T3 T4

Der Raum heißtT312-Raum, falls zux∈X undAj A mit A abgeschlossen undx /∈A eine stetige Abbildung

f : X → [0,1] existiert mit f (x) = 0 und f (A) = {1}.Der RaumX heißt regulär, falls er einT1- und T3-Raum ist,vollständig regulär, falls er einT1- und

T312-Raum ist, undnormal, falls er einT1- undT4-Raum ist.

5.2 Bemerkung Es gelten genau die folgenden Implikationen:

PSfrag replacements

metrisierbar normal vollständig regulär regulär Hausdorff

T4 T3 12T3 T2 T1

Gegenbeispiele (siehe 1.9(c),(b) und (d)) für die nicht geltenden Implikationen erhält man etwa mit derkofiniten Topologie, der antidiskreten Topologie, der Topologie der Halbstetigkeit oder endlichen Topologien.

Nach Übungsaufgabe 18 ist jeder metrisierbare Raum normal. Dies impliziert, dass die Räume aus denBeispielen 1.9(b),(d) und (e) im Allgemeinen nicht metrisierbar sind. Dennoch istR mit der Topologie derHalbstetigkeit einT4-Raum, da es keine disjunkten nicht-leeren abgeschlossenen Teilmengen gibt.

5.3 Zusammenhang zu UmgebungenDiese Trennungsaxiome lassen sich mit Hilfe von Umgebungsba-sen umformulieren. Ein SystemU von Umgebungen heißtUmgebungsbasisvon x∈ X (bzw.A j X); wennes zu jeder UmgebungU vonx (bzw.A) einV ∈U gibt mit V j U .

Beispielsweise bilden die offenen Umgebungen eines Punktes eine Umgebungsbasis oder die offenen(abgeschlossenen) Kugeln in einem metrischen Raum.

Satz. Sei X ein topologischer Raum.

(a) X ist genau dann ein T1-Raum, wenn alle einelementigen Mengen abgeschlossen sind.

(b) X ist genau dann ein T2-Raum, wenn für jedes x∈ X der Durchschnitt aller abgeschlossenen Umge-bungen von x gleich{x} ist.

18 Kapitel 5. Trennungsaxiome

(c) X ist genau dann ein T3-Raum, wenn jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengenhat, das heißt wenn es zu jeder Umgebung U von x eine offene Menge V gibt mit x∈V j V̄ j U

(d) X ist genau dann ein T4-Raum, wenn jede abgeschlossene Menge A eine Umgebungsbasis aus abge-schlossenen Mengen hat, das heißt wenn es zu jeder Umgebung U von A eine offene Menge V gibt mitA j V j V̄ j U.

Beweis. (a) Sei X ein T1-Raum undx ∈ X. Wähle für jedesy ∈ X \ {x} eine UmgebungUy mit x /∈ Uy.Dann istX \{x}=

⋃y∈X\{x}U

0y offen.

Ist umgekehrt{y} abgeschlossen, so ist die MengeX \{y} offene Umgebung aller ihrer Elemente.

(b) SeiX einT2-Raum undx∈X. Wähle für jedesy∈X \{x} disjunkte UmgebungenUy undVy vonx bzw.y. DaX \V0y abgeschlossen ist, gilt̄Uy j X \V0y , insbesonderey /∈Uy. Also gilt {x}=

⋂y∈X\{x}Uy.

Ist umgekehrt{x} =⋂{A j X : A abgeschlossene Umgebung vonx}, so gibt es zuy ∈ X \ {x} eine

abgeschlossene UmgebungA von x mit y /∈ A; undA undX \A sind die gesuchten trennenden Umge-bungen.

(c) SeiX ein T3-Raum undU eine Umgebung vonx∈ X. Dann gibt es disjunkte UmgebungenV undWvonx bzw.X \U0, und es giltx∈V0 j V0 j X \W0 j U0 j U .Gibt es umgekehrt Umgebungsbasen aus abgeschlossenen Mengen, so können wir zux∈ X und abge-schlossener TeilmengeB mit x /∈ B eine abgeschlossene, zuB disjunkte UmgebungU von x wählen.Die gesuchten trennenden Umgebungen sind dannU undX \U .

(d) Man ersetzt in obigem Beweis überall{x} durch eine abgeschlossene MengeA.

5.4 Vererbbarkeit auf Unterräume Für i ∈ {1,2,3,312} gilt: Jeder Unterraum einesTi-Raums ist einTi-Raum. Insbesondere ist jeder (vollständig) reguläre Unterraum ein (vollständig) regulärer Raum.

Beweis.Sei X regulär, also einT1- und einT3-Raum, und seiA j X. Dann istA ein T1-Raum. SeiB j Aabgeschlossen undx ∈ A\B. Dann gibt es eine abgeschlossene TeilmengeB′ von X mit B = B′ ∩A. Dax /∈ B′, existieren disjunkte UmgebungenU ′ undV ′ von x bzw.B′ in X, undU ′∩A undV ′∩A sind disjunkteUmgebungen vonx bzw.B in A.

PSfrag replacementsA

xU ′

BB′

V ′

Der Beweis der anderen Trennungsaxiome geht analog.

Nicht abgeschlossene Unterräume von normalen Räumen sind im Allgemeinen nicht normal, siehe Que-renburg 6.12.

5.5 Vererbbarkeit auf Produkte Für i ∈ {1,2,3,312} und topologische RäumeXj 6= /0, j ∈ J gilt: jedesXjist genau dann einTi-Raum, wenn das Produkt∏ j∈J Xj einTi-Raum ist.

Beweis.Ist das ProdukX = ∏ j∈J Xj ein nicht-leererTi-Raum, so wählex j ∈ Xj und fürk∈ J setzeYj := {x j}für j ∈ J\{k}, Yk := Xk. Dann ist der Unterraum∏ j∈JYj von X ein Ti-Raum nach 5.4 und homöomorph zuXk.

Seien nun alleXj Ti-Räume. Füri = 1,2 ist der Beweis analog zum Falli = 3. Betrachte also nur denFall i = 3: Jede Umgebung vonx = (x j) j∈J ∈ X enthält eine Umgebung der FormU =

⋂l∈E π−1l (Ul ) für

eine endliche TeilmengeE j J und UmgebungenUl von xl für l ∈ E. Nach 5.3(c) existieren abgeschlosseneUmgebungenAl j Ul vonxl , also ist

⋂l∈E π−1l (Al ) eine abgeschlossene Umgebung vonx.

5.5. Vererbbarkeit auf Produkte 19

Fall i = 312 ist Übungsaufgabe 17.

21

Kapitel 6

Normale Räume

6.1 Urysohns Lemma Im T4-RaumX gibt es zu jedem Paar nicht-leerer disjunkter TeilmengenA undBeine stetige Abbildungf : X → [0,1] mit f (A) = {0} und f (B) = {1}.

Beweis.Für n∈ N0 setzeDn := {k2−n | k∈ N0,k≤ 2n}j [0,1] undD =⋃

n∈N0 Dn. Nach 5.3(a) können wiroffene MengenUd für d ∈ D0 = {0,1} wählen mit

A j U0 j U0 j U1 j U1 j X \B.

Wir ordnen nun induktiv den Elementend ∈ D offene MengenUd zu mitUd j Ud′ für alle d < d′ ∈ D.Für n∈ N seiUd für d ∈ Dn−1 schon definiert. Sei nunk∈ N0 mit k≤ 2n, und seik ungerade (sonst istUk2−nschon definiert). Dann sindU(k−1)2−n undU(k+1)2−n schon definiert und wir können eine offene MengeUk2−nwählen mit

U(k−1)2−n j Uk2−n j Uk2−n j U(k+1)2−n .

Das definiert MengenUd für d ∈ Dn; also sind induktiv MengenUd für alled ∈ D definiert.SetzeUt :=

⋃{Ud | d ∈ D∩ [0,t]} für t ∈ [0,1], Ut := /0 für t < 0 undUt := X für t > 1. Dann istUt

offen, und fürt < t ′ gilt Ut j Ut ′ ; denn es giltd,d′ ∈]t, t ′[ mit Ut j Ud j Ud j Ud′ j Ut ′ . Wir zeigen, dass die

Abbildung f : X→ [0,1], x 7→ inf{t | x∈Ut} stetig ist: fürx∈X und 0< ε istU f (x)+ε \U f (x)−ε =:U eine offeneUmgebung vonx (x∈U jU f (x)+ε , daU f (x)−ε jU f (x)−ε/2 undx /∈U f (x)−ε/2) und f (U) j [ f (x)−ε, f (x)+ε].Offenbar gilt f (A) = {0} und f (B) = {1}.

Korollar. Jeder normale Raum ist ein vollständig regulärer Raum.

Nach Übungsaufgabe 19 ist die Sorgenfrey-GeradeS normal, also vollständig regulär nach UrysohnsLemma. Also istS2 vollständig regulär, aber nicht normal, siehe Querenburg, Beispiel 6.15.

Die Aussage des Urysohnschen Lemmas besagt, das sich eine gewisse stetige auf der abgeschlossenenTeilmengeA∪B definierte Abbildung aufX fortsetzen lässt. Dies gilt allgemeiner:

6.2 Tietzescher FortsetzungssatzEin topologischer RaumX ist genau dann einT4-Raum, wenn sichjede stetige Abbildungf : A→ R definiert auf einer abgeschlossenen TeilmengeA von X zu einer stetigenAbbildung aufX fortsetzen lässt.

Beweis.Siehe Querenburg: Satz 7.7.

6.3 Trennende Familien Eine Familiefi : X →Yi für i ∈ I von stetigen Abbildungen zwischen topologi-schen Räumen heißt trennende Familie, wenn es zu jedemx∈ X und zu jeder offenen UmgebungU vonx eini ∈ I gibt mit fi(x) /∈ fi(X \U).

Beispiel. In einemT312-Raum bildet die Menge aller stetigen Abbildungen nach[0,1] eine trennende Familie.

22 Kapitel 6. Normale Räume

Satz. Ist X ein T1-Raum und fi : X→Yi für i ∈ I eine trennende Familie, dann ist die Abbildungι : X→∏ j∈I Yjmit (ι(x)) j = f j(x) ein Homöomorphismus auf das Bild, insbesondere ist X homöomorph zu einem Teilraumvon∏i∈I Yi .

Beweis.Nach Übungsaufgabe 13(b) istι stetig. Da Singletons (einelementige Mengen) abgeschlossen sindnach Satz 5.3(a) existiert zux 6= y ein Elementfi der trennenden Familie mitfi(x) 6= fi(y). Also ist ι injektiv.

Wir zeigen zunächst, dassB = { f−1i (V) | i ∈ I ,V offen inYi} eine Basis ist: für eine offene UmgebungUvonx∈X existiert einfi mit fi(x)∈ fi(X \U), und für die offene MengeV :=Yi \ fi(X \U) gilt x∈ f−1i (V) jU . Wir zeigen nun, dassι Basiselemente ausB auf offene Teilmengen vonι(X) abbildet.

Wegenfi = πi ◦ ι haben wirι( f−1(V)) = π−1i (V)∩ ι(X), also istι( f−1(V)) offen in ι(X).

Korollar. Ein vollständig regulärer Raum X ist homöomorph zu einem Unterraum des Produkts[0,1]C =∏i∈C[0,1], wobei C die Menge der stetigen Abbildungen von X nach[0,1] ist.

Wir werden später sehen, dass obiges Produkt kompakt ist. Dies bedeutet, dass die vollständig regulärenRäume genau die Unterräume von kompakten Hausdorffräumen sind.

6.4 Satz Jeder T3-Raum mit einer abzählbaren Basis ist eine T4-Raum.

Beweis.Sei X ein T3-Raum mit abzählbarer BasisB, und seienA,B abgeschlossene disjunkte Teilmengenvon X. Für jedesa∈ A existieren disjunkte UmgebungenUa undVa von a beziehungsweiseB; dabei könnenwir die UmgebungUa in B wählen. DaB abzählbar ist, gibt es also offeneUn für n∈ N, so dassUn disjunktzuB ist undA j

⋃n∈NUn. Analog gibt es offeneVn mit Vn disjunkt zuA undB j

⋃n∈NVn.

Wir definieren rekursivU∗n := Un \ (V∗1 ∪ ·· · ∪V∗n−1) und Vn∗ := Vn \ (U∗1 ∪ ·· · ∪U∗n ). WegenU∗n j Unund V∗n j Vn sind dannU :=

⋃n∈NU

∗n und V :=

⋃n∈NV

∗n Umgebungen vonA beziehungsweiseB. Nach

Konstruktion sindU undV disjunkt, denn wäre etwax∈U∗n ∩V∗m, so folgtem> n−1 undn > m.

6.5 Ein Metrisationssatz von Urysohn Ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis ist genau dannmetrisierbar, wenn er regulär ist.

Beweis.Nach Übungsaufgabe 18 ist jeder metrisierbare Raum normal, also insbesondere regulär.SeiX also ein regulärer topologischer Raum mit abzählbarer Basis. Nach 6.4 istX normal. Also gibt es

nach dem Urysohnschen Lemma 6.1 für jedes Paar(U,V) in der abzählbaren MengeA := {(U,V) ∈ B2 |Ū j V} eine FunktionfU,V : X → [0,1] mit fU,V(Ū) = {0} und fU,V(X \V) = {1}. Diese Funktionen bildeneine trennende Familie und nach 6.3 istX homöomorph zu einem Unterraum von[0,1]A , welches nachÜbungsaufgabe 20 metrisierbar ist. Also istX als Unterraum auch metrisierbar.

Im Beweis wurde gezeigt, dass jeder reguläre Raum mit abzählbarer Basis in dem sogenannten Hilbert-würfel [0,1]N einbettbar ist. Die Sorgenfrey-Gerade (siehe Übungsaufgabe 11 und 19) ist normal, aber nichtmetrisierbar.

6.6 Abschließendes Beispiel Der RaumR×{0,1}/∼ mit (x,0)∼ (x,1) für x∈ R\{0} wird von zwei zuR homöomorphen Teilmengen überdeckt, ist aber nicht Hausdorffsch.

23

Kapitel 7

Das Zornsche Lemma

Satz. Eine partiell geordnete Menge, in der jede Kette (das heißt total geordnete Teilmenge) eine obereSchranke hat, besitzt ein maximales Element (das heißt ein Element zu dem es kein größeres gibt).

Beweis.Sei(M,

25

Kapitel 8

Moore-Smith-Konvergenz und Netze

In metrischen Räumen oder allgemeiner in Räumen mit abzählbaren Umgebungsbasen lässt sich die Topologiemit Folgen beschreiben. Dies liegt daran, dass es Umgebungsbasen von jedemx gibt, die wieN (also demDefinitionsbereich von Folgen) geordnet sind:{B1/n(x) | n∈ N}. Für eine Konvergenztheorie in allgemeinentopologischen Räumen müssen wir allgemeinere Definitionsbereiche der gesuchten Verallgemeinerung vonFolgen zulassen, die sogenannten gerichteten Mengen.

8.1 Gerichtete Mengen Eine gerichtete Mengeist eine MengeD zusammen mit einer reflexiven undtransitiven Ordnung≤, so dass fürn,m∈ D ein p∈ D existiert mitn≤ p undm≤ p. Für n∈ D heißen dieTeilmengenDn := {m∈ D | n≤m} EndstückevonD.

8.2 Beispiele

(a) N mit der gewöhnlichen Ordnung≤ ist gerichtet.

(b) Das System der Umgebungen eines Punktes ist gerichtet bezüglichk.

(c) Seien(D1,≤1) und (D2,≤2) gerichtete Mengen. Dann istD1×D2 gerichtet bezüglich der Ordnung(a,b)≤ (c,d) :⇔ a≤1 c undb≤2 c.

(d) EineZerlegungoderPartitiondes Intervalls[a,b] j R ist eine endliche TeilmengeZ j [a,b] mit a,b∈Z.Die Menge aller Zerlegungen von[a,b] mit Ordnungj ist eine gerichtete Menge, die bei der Definitiondes Riemann-Integrals eine Rolle spielt.

8.3 Netze SeiX eine Menge. EinNetzin X ist eine Abbildungσ : D → X definiert auf einer gerichtetenMengeD, und eineFolgeist ein Netz auf der gerichteten MengeN. Wie bei (den aus der Analysis bekannten)Folgen wird das Argument eines Netzesσ oft als Index geschrieben, wir schreiben alsoσn an Stelle vonσ(n)für n∈ D, ebenso wird die Abbildungσ oft auch mit(σn) bzeichnet.

SeiA j X. Wir sagen, das Netzσ ist schließlichin A, wenn einn∈ D existiert mitσp ∈ A für alle n≤ p;das heißtσ(Dn) j A, undhäufigin A, wenn es zu jedemn∈D ein p∈D mit n≤ p undσp ∈ A gibt; das heißtσ(Dn)∩A 6= /0 für allen∈ D.

Sei nunX ein topologischer Raum. Das Netzσ hat denGrenzwert x∈ X oderkonvergiertgegenx, wennσ schließlich in jeder Umgebung vonx ist; es hat denHäufungswert x, wenn es häufig in jeder Umgebungvonx ist.

8.4 Beispiele

(a) Jedes konstante Netz ist schließlich in jeder Teilmenge, die den Wert des Netzes enthält, also konvergiertjedes konstante Netz gegen seinen Wert.

(b) Das NetzN→R, n 7→ 1n konvergiert gegen 0, denn es ist schließlich in jeder Umgebung]−ε,ε[ von 0.Es ist eine Folge.

Das NetzN→ R, n 7→ (−1)n hat Häufungswerte 1 und -1.

26 Kapitel 8. Moore-Smith-Konvergenz und Netze

(c) SeiX ein topologischer Raum undU das Umgebungssystem eines Punktesx∈ X, und seiσ : U → Xeine Abbildung mitσU ∈U für U ∈U . Dann konvergiert das Netzσ gegenx.

(d) Achtung: Ein Netz oder eine Folge kann mehrere Grenzwerte haben. In einem antidiskreten RaumkonvergiertjedesNetz gegenjedenPunkt des Raums. In Hausdorff-Räumen kommt dies nicht vor,siehe Übungsaufgabe 21(b).

(e) SeiD die gerichtete Menge aller Zerlegungen von[a,b] j R, wie in Beispiel 8.2(d) und seif : [a,b]→Reine beschränkte Funktion. Für eine ZerlegungZ = {x0, . . .,xn} mit a = x0 < · · · < xn = b sei dieObersummēRf (Z) := ∑ni=1(xi − xi−1)supf ([xi−1,xi ]) von Z bezüglich f definiert. Analog mit inf anStelle von sup definiert man dieUntersumme Rf (Z) und erhält NetzēRf undRf (Z).

Man nennt die Funktionf Riemann-integrierbar, falls die NetzeR̄f undRf (Z) gegen den gleichen Wertkonvergieren, dieser Wert wird mit

∫ ba f (x) dx oder

∫ ba f bezeichnet.

8.5 Satz Seien X und Y topologische Räume.

(a) Sei A j X und x ∈ X. Es gilt x ∈ Ā genau dann, wenn es ein Netz in A mit Häufungswert x gibt.Insbesondere liegt jeder Häufungswert eines Netzes in A im Abschluss Ā.

(b) Eine Teilmenge A j X ist genau dann abgeschlossen, wenn alle Häufungswerte von Netzen χ : D→ Ain A liegen.

(c) Eine Abbildung f : X →Y ist genau dann stetig, wenn für jedes Netz χ in X mit Häufungswert x dasNetz f ◦χ den Häufungswert f (x) hat.

In diesem Satz lässt sich in jeder Aussage Häufungswert durch Grenzwert ersetzen, wie wir im folgendenAbschnitt über Teilnetze sehen werden.

Beweis. (a) Seix∈ Ā. Das UmgebungssystemU vonx ist eine gerichtete Menge. Wähle zu jedemU ∈Uein χu ∈ A∩U . Dann istχ : U → A ein Netz inA, dasx als Häufungswert (sogar Grenzwert) hat.

Ist umgekehrtχ : D → A ein Netz inA mit Häufungswertx∈ X, dann existiert zu jeder UmgebungUvonx einu∈ D mit χu ∈U und somit giltU ∩A 6= /0 für alleU . Also gilt x∈ Ā.

(b) Folgt aus (a).

(c) Sei zunächstf stetig undχ : D → X ein Netz mit Häufungswertx ∈ X undU eine Umgebung vonf (x). Dann ist f−1(U) eine Umgebung vonx, und somit istχ häufig in f−1(U). Also ist f ◦ χ häufigin f ( f−1(U)) j U .

Für die Umkehrung seix ∈ X und A j X mit x ∈ Ā. Dann gibt es nach Teil (a) ein Netzχ : D → Ain Ā mit Häufungswertx. Nach Voraussetzung hatf ◦ χ : D → f (A) den Häufungswertf (x), also giltf (x) ∈ f (A) nach (a). Also istf stetig nach Satz 3.1.

Folgen reichen im Allgemeinen nicht aus, um die Abgeschlossenheit von Mengen oder die Stetigkeit vonAbbildungen zu testen, siehe Übungsaufgabe 23(c).

8.6 Teilnetze Eine Teilfolge einer Folge ist im Wesentlichen eine Einschränkung einer Folge auf eineunendlicheTeilmenge vonN. Dieses Konzept ist für Netze nicht allgemein genug. Für zwei gerichtete MengenD undD′ heißt eine Abbildungϕ : D′ → D final, wennϕ schließlich in jedem Endstück vonD ist, das heißtfür allen∈ D gibt es einn′ ∈ D′, so dassn≤ ϕ(p) für alle p∈ D′ mit n′ ≤ p gilt.

Das Netzτ : D′ → X heißtTeilnetzvon σ : D → X, wenn es eine finale Abbildungϕ : D′ → D gibt mitτ = σ ◦ϕ.

8.7. Bemerkungen 27

8.7 Bemerkungen SeiX ein topologischer Raum;x∈ X, σ : D→ X ein Netz undτ : D′→ X ein Teilnetzvon τ.

(a) Jedes Netz ist Teilnetz von sich selbst.

(b) Ist x Grenzwert vonσ , so istx Grenzwert vonτ.

(c) Ist x ein Häufungswert vonτ, so istx Häufungswert vonσ .

Das folgende Lemma werden wir benutzen, um zu Netzen mit Häufungswerten konvergente Teilnetze zukonstruieren.

8.8 Lemma SeiX eine Menge undA ein System von Teilmengen vonX, so dass fürA,B∈A einC∈Aexistiert mitC j A∩B. Ist σ : D → X ein Netz, das häufig in jeder TeilmengeA∈ A ist, dann existiert einTeilnetz vonσ , das schließlich in jedemA∈A ist.

Beweis.Nach Voraussetzung istA vermögek gerichtet, außerdem istD′ := {(n,A)∈D×A : σn∈A} durchdie Produktordung gerichtet, das heißt(n,A)≤ (m,B) :⇔ n≤mundAk B (Reflexivität und Transitivität sindklar, und zu(n,A) und(m,B) wähle man zunächstp′ ∈ D undC ∈A mit n,m≤ p′ undA,B k C, und dannkann manp∈D mit p′ ≤ p undσp ∈C wählen, daσ häufig inC). Die Projektionϕ : D′→D, (m,A) 7→m isteine finale Abbildung, und das Teilnetzσ ◦ϕ ist schließlich in jedemA∈A nach Definition vonD′.

8.9 Satz Sei σ ein Netz in einem topologischen Raum X, mit einem Häufungswert x. Dann existiert einTeilnetz von σ mit Grenzwert x.

Beweis.Wende vorangehendes Lemma auf das System der Umgebungen vonx an.

8.10 Universelle Netze Ein Netzσ : D→ X heißtuniversell, wenn für jede TeilmengeA j X das Netzσentweder schließlich inA oder schließlich im KomplementX \A ist.

Der folgende Satz wird wesentlich für eine Charakterisierung von Kompaktheit und damit für den Satzvon Tychonoff sein.

Satz. Jedes Netz besitzt ein universelles Teilnetz.

Beweis.Seiσ : D→ X ein Netz, und seiΣ das System aller MengensystemeA , so dass

(1) σ häufig in jedemA∈A ist und

(2) für A,B∈A gilt A∩B∈A .

Das SystemΣ ist nicht leer, denn{X} ∈ Σ. Ist Σ′ eine Kette inΣ, so gilt⋃

Σ′ ∈ Σ, denn fürA,B∈⋃

Σ′existierenA ,B ∈ Σ′ mit A∈A , B∈B, also ohne EinschränkungA ⊂B 3 A,B und somitA∩B∈B ∈ Σ′,alsoA∩B∈

⋃Σ′. Wir können also das Zornsche Lemma anwenden und erhalten ein maximales ElementA

von Σ. Nach Lemma 8.8 gibt es ein Teilnetzτ von σ , das schließlich in jedem Element vonA enthalten ist.Sei nunX j B, so dassτ nicht schließlich inX \B ist. Dann istτ häufig inB. Für A∈ A beliebig istτ

schließlich inA, also istτ häufig inA∩B, und somit istσ häufig inA∩B. Dies bedeutet, dass wir alle MengenA∩B für A∈A zu A hinzufügen können und (1) und (2) immer noch erfüllt sind. Die Maximalität vonAimpliziert alsoB = B∩X ∈A . Also istτ schließlich inB.

29

Kapitel 9

Zusammenhang

Ein topologischer RaumX heißtzusammenhängend, wenn /0 undX die einzigen offenen und abgeschlosse-nen Teilmengen vonX sind, undwegzusammenhängend, wenn zux,y∈ X ein Weg vonx nachy, also einestetige Abbildungf : [0,1] → X mit f (0) = x und f (1) = y existiert. Eine TeilmengeA von X heißt (weg-)zusammenhängend, wennA als Teilraum (weg-)zusammenhängend ist.

9.1 Beispiele

(a) In einem antidiskreten Raum sind auch alle Teilräume antidiskret, also sind alle Teilmengen zusam-menhängend.

(b) Der TeilraumX := R\{0} vonR ist nicht zusammenhängend, denn]−∞,0[ und]0,∞[ sind offene undabgeschlossene Teilmengen vonX.

(c) Der euklidische RaumRn ist wegzusammenhängend, denn fürx,y ∈ Rn ist f : [0,1] → Rn, t 7→ (1−t)x+ ty stetig, also ein Weg vonx nachy. Wir werden später sehen, dass er auch zusammenhängend ist.

9.2 Satz Seien X,Y topologische Räume und f : X →Y eine stetige Abbildung. Ist X zusammenhängend,so ist auch f (X) zusammenhängend.

Ist X wegzusammenhängend, dann ist auch f (X) wegzusammenhängend.

Beweis.SeiV eine offene und abgeschlossene Teilmenge vonf (X). Dann istU := f−1(V) offen und abge-schlossen inX, alsoU = /0 oderU = X und somit giltV = f (U) = /0 oderV = f (X).

Die zweite Aussage folgt, da Verkettungen von stetigen Abbildungen stetig sind.

9.3 Satz Für einen topologischen Raum X sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) Der Raum X ist zusammenhängend.

(2) Es gibt keine offenen nicht-leeren disjunkten Teilmengen U,V von X mit U∪̇V = X.

(3) Jede stetige Abbildung von X in den diskreten Raum {0,1} ist konstant.

Beweis.(1)⇒ (3): Sei f : X →{0,1} stetig. Nach Satz 9.2 istf (x) zusammenhängend, also ungleich{0,1}.(3)⇒ (2) (Kontraposition): SeienU,V offene nicht-leere disjunkte Teilmengen vonX mit U∪̇V = X, und

setzef (x) := 0 für x∈U und f (x) := 1 für x∈V. DaU undV abgeschlossen sind, undf eingeschränkt aufdiese Teilmengen konstant ist, istf nach Satz 4.3.3 stetig.

(2)⇒ (1): SeiU eine offene und abgeschlossene Teilmenge vonX. Dann sindU undV := X \U offenedisjunkte Teilmengen vonX mit U∪̇V = X. Also gilt U = /0 oderV = /0.

In obigem Satz lässt sich der diskrete Raum{0,1} durch jeden anderen disjunkten Raum ersetzen.

30 Kapitel 9. Zusammenhang

9.4 Satz Sei X ein topologischer Raum und Z eine Menge von zusammenhängenden paarweise nicht-disjunkten Teilmengen von X. Dann ist

⋃Z zusammenhängend.

Beweis.Sei f :⋃

Z→ {0,1} stetig. Nach Satz 9.3 reicht es zu zeigen, dassf konstant ist. Zua,b∈⋃

Z gibtesA,B∈ Z mit a∈ A undb∈ B. Nach Voraussetzung existiert einc∈ A∩B, und f |A und f |B sind konstant.Also folgt f (a) = f (c) = f (b) und somit die Konstanz vonf .

9.5 Zusammenhängende Teilmengen vonR Eine TeilmengeI einer partiell geordneten Menge(M,≤)heißtIntervall (oderkonvexe Teilmenge), wenn[a,b] := {x∈M : a≤ x≤ b}j I für allea,b∈ I gilt.

Die Intervalle vonR sind genau die Teilmengen[a,b], [a,d[, ]c,b] und ]c,d[ für a,b∈ R undc,d ∈ R∪{∞}∪{−∞} mit a≤ b undc≤ d.

9.6 Satz Die zusammenhängenden Teilmengen von R sind genau die Intervalle.

Beweis.Ist X j R kein Intervall, so gibt esa,b∈ X undx∈ R\X mit a < x < b. Dann sindX∩]−∞,x[ undX∩]x,∞[ offene disjunkte nicht-leere Teilmengen vonX, deren VereinigungX ist. Also istX nicht zusammen-hängend.

Ist umgekehrtX nicht zusammenhängend, so gibt es nach Definition offene disjunkte TeilmengenU undV von X und u ∈ U und v ∈ V mit U∪̇V = X und u < v. Wir zeigens := supI /∈ X für I := {x ∈ R : u≤x und[u,x] j U}. Es giltu≤ s≤ v. Wäres∈U , so gäbe es einε > 0 mit ]s−ε,s+ε[j U im Widerspruch zus+ ε2 /∈ I . Wäres∈V, so gäbe esε > 0 mit ]s− ε,s+ ε[j V und es wäreu≤ s− ε, was einen Widerspruchzus− ε2 ∈ I j U impliziert.

In einem RaumX sind die Bilder f ([0,1]) von Wegenf : [0,1] → X nach Satz 9.6 und 9.2 zusammen-hängende Teilmengen vonX. Ist X wegzusammenhängend undx ∈ X, so erfüllt die MengeZ aller Bildervon Wegen vonx zu einem beliebigeny∈ X die Voraussetzungen von Satz 9.4 und wir haben

⋃Z = X. Dies

beweist das folgende Korollar.

9.7 Korollar Jeder wegzusammenhängende topologische Raum ist zusammenhängend.

9.8 Beispiele

(a) Der euklidische Raum ist wegzusammenhängend (siehe Beispiel 9.1(a)) und somit zusammenhängend.

(b) Eine TeilmengeSvon Rn heißtsternförmig, wenn es eins∈ Sgibt, so dass[s,x] := {(1− t)s+ tx : t ∈[0,1]} j S für alle x∈ Sgilt, und konvexwenn[x,y] j Sgilt für alle x,y∈ S. Jede nicht-leere konvexeTeilmengeS ist sternförmig. Jede konvexe Teilmenge ist per Definition wegzusammenhängend und da-mit zusammenhängend. Aber auch sternförmige Teilmengen sind (weg-)zusammenhängend, denn zweiWege vonx∈ Snachs bzw. vons nachy∈ S lassen sich zu einem Weg vonx nachy hintereinander-schalten: Betrachtef : [0,2]→ Smit f (t) = ts+(1− t)x für t ∈ [0,1] und f (t) = (t−1)y+(2− t)s fürt ∈ [1,2]; nach Satz 4.3.3 istf stetig, also ein Weg1.

(c) Test auf Homöomorphie: Fürr ∈ R ist R \ {r} nicht zusammenhängend. WärenR und Rn für n > 1homöomorph, so wäre also auchRn\{0} nicht zusammenhängend, im Widerspruch dazu, dass je zweiPunkte durch einen Weg bestehend aus höchstens zwei Strecken verbunden sind.

9.9 Zwischenwertsatz Sei X ein zusammenhängender Raum undf : X → R stetig. Dann istf (X) einIntervall, das heißt fürx,y∈ X nimmt f jeden Wert zwischenf (x) und f (y) an.

Beweis.Nach Satz 9.2 istf (X) eine zusammenhängende Teilmenge vonR und somit nach Satz 9.6 einIntervall.

1 Strenggenommen muss man natürlich auft : [0,1]→ X umparametrisieren

9.10. Anwendung 31

9.10 Anwendung Jedes abgeschlossene Intervall[a,b] j R besitzt dieFixpunkteigenschaft, das heißt jedestetige Abbildungf : [a,b]→ [a,b] hat einen Fixpunkt, also einx∈ [a,b] mit f (x) = x.

Beweis.Falls f (a) 6= a und f (b) 6= b gilt, so gelten fürg : [a,b]→R, x 7→ f (x)−x die Abschätzungeng(a) > 0undg(b) < 0. Also existiert nach dem Zwischenwertsatz einx∈ [a,b] mit g(x) = 0. Es folgt f (x) = g(x)+x=x.

Auch die abgeschlossenen BälleDn besitzen die Fixpunkteigenschaft, wie der Brouwersche Fixpunktsatzbesagt, der im Allgemeinen wesentlich schwieriger zu beweisen ist und Thema der algebraischen Topologieist. Wir werden später noch den Falln = 2 beweisen.

Eine TeilmengeA eines topologischen RaumsX heißtdicht, wennĀ = X gilt.

9.11 Satz Sei X ein topologischer Raum und A eine zusammenhängende Teilmenge von X. Dann ist jedeTeilmenge mit A j B j Ā zusammenhängend, und insbesondere ist Ā zusammenhängend und X ist zusam-menhängend, wenn X eine dichte zusammenhängende Teilmenge hat.

Beweis.Geht mit 9.3(3), siehe Übungsaufgabe 28.

9.12 Beispiel (Topologischer Sinus) Der GraphX := {(x,sin1x) : x∈R\{0}}j R2, ist nicht zusammen-

hängend, denn]−∞,0[×R und]0,∞[×R zerlegenX in zwei offene disjunkte Mengen.

PSfrag replacements

x

y

Fügen wir einen Punktx∈ X̄ \X = {0}×]−1,1[ hinzu, so istY := X∪{x} zusammenhängend. Der RaumY ist nicht wegzusammenhängend, siehe Übungsaufgabe 30.

9.13 Satz Ein Produkt von nicht-leeren Räumen ist genau dann zusammenhängend, wenn die Faktorenzusammenhängend sind.

Beweis.SeienXi für i ∈ I nicht-leere topologische Räume undX := ∏i∈I Xi . Ist X zusammenhängend, so sinddieXi zusammenhängend als stetige Bilder unter Projektionen.

Seien nun dieXi zusammenhängend, und wählex= (xi)i∈I ∈X. Die Beweisidee besteht darin, die Aussageauf endliche Produkte zurückzuführen. Wir zeigen zunächst, dassD := {(yi)i∈I ∈X | {i ∈ I | yi 6= xi} endlich}eine dichte Teilmenge vonX ist, denn dann reicht es nach obigem Satz zu zeigen, dassD zusammenhängendist. Sei alsoy = (yi)i∈I undU =

⋂i∈E π−1i (Ui) für E j I endlich undUi offen in Xi eine (Basis-) Umgebung

von y. Dann istz= (zi)i∈I mit zi := yi für i ∈ E und zi := xi für i ∈ I \E ein Element vonD∩U , also gilty∈ D̄. Für den Zusammenhang vonD reicht es nach Satz 9.4 zu zeigen, dass für endlichesE j I die MengeDE := {(yi)i∈I ∈ X | {i ∈ I | xi 6= yi}= E} zusammenhängend ist, denn all diese MengenDE enthaltenx. Nunist DE aber homöomorph zu dem endlichen Produkt∏i∈E Xi . Per Induktion reicht es zu zeigen, dassY×Zzusammenhängend ist für zwei zusammenhängende RäumeY undZ.

32 Kapitel 9. Zusammenhang

PSfrag replacementsY

Z(y,z)

{y}×Z

Y ×{z}

Nach Satz 9.4 ist({y}× Z)∪ (Y×{z}) j Y× Z für y ∈ Y und z∈ Z zusammenhängend, denn(y,z)ist in beiden Teilmengen enthalten. Die VereinigungY×Z all dieser Teilmengen ist wieder nach Satz 9.4zusammenhängend.

Beispiel. Der Hilbertwürfel[0,1]N ist zusammenhängend.

Exemplarisch für einen typischen Zusammenhangsbeweis zeigen wir den folgenden Satz.

9.14 Satz Ein zusammenhängender Raum ist genau dann wegzusammenhängend, wenn jeder Punkt einewegzusammenhängende Umgebung hat.

Beweis.Natürlich hat in einem wegzusammenhängenden Raum jeder Punkt eine wegzusammenhängendeUmgebung, nämlich den ganzen Raum.

SeiX ein zusammenhängender Raum, der in jedem Punktx∈ X eine wegzusammenhängende UmgebungUx hat. Fixierex∈X und betrachteW := {w∈X | es gibt einen Weg von x nach w}. Es giltx∈W. Seiy∈ W̄;dann existiertw∈W∩Uy; seiz∈Uy; dann gibt es Wege vonx nachw (nach Definition vonW) und vonwnachz (Uy ist wegzusammenhängend); diese Wege lassen sich ähnlich wie in Beispiel 9.8(b) zu einem Wegvon x nachz verketten. Also giltUy j W undW ist offen und abgeschlossen. DaX zusammenhängend ist,folgt W = X.

9.15 Korollar Jedes Gebiet inRn, also jede offene zusammenhängende Teilmenge ist wegzusammenhän-gend.

9.16 ZusammenhangskomponentenSei X ein topologischer Raum undx ∈ X. Die Vereinigung allerzusammenhängender Teilmengen vonX, diex enthalten, heißtZusammenhangskomponentevonx.

9.17 Beispiele

(a) In [0,1]∪ [2,3] ist [0,1] die Zusammenhangskomponente von 1 und[2,3] die von 2.

(b) Der RaumRn+1\Sn =: X hat genau zwei ZusammenhangskomponentenB1(0) = {x∈ Rn+1 : |x|< 1}undRn+1 \B1(0) = {x∈ Rn+1 : |x|> 1}. (B1(0) ist konvex,Rn+1 \B1(0) ist zusammenhängend, denner ist homöomorph zuSn×]1,∞[ ( Sn\{x} ∼= Rn zusammenhängend,dicht) vermögex 7→

(x|x| , |x|

), aber

X ist nicht zusammenhängend).

(c) Alle Zusammenhangskomponenten vonQ sind einelementig, denn fürAj Q mit a,b∈A unda< b gibtes eine irrationale Zahlr mit a < r < b undA∩]−∞, r[ undA∩]r,∞[ sind offene disjunkte nicht-leereTeilmengen vonA.

9.18. Satz 33

9.18 Satz Die Zusammenhangskomponenten eines topologischen Raums X sind maximale zusammen-hängende und abgeschlossene Teilmengen von X, die eine Partition von X bilden.

Beweis.Komponenten sind maximimal per Definition und zusammenhängend nach Satz 9.4. IstZ eine Kom-ponente, so ist̄Z nach Satz 9.11 auch zusammenhängend, und es folgtZ̄ j Z, also istZ = Z̄ abgeschlossen.Sind Z undW nicht-diskunkte Komponenten, so istZ∪W nach Satz 9.4 zusammenhängend, und es folgtZ = W.

9.19 Total unzusammenhängende RäumeEin topologischer RaumX heißttotal unzusammenhängend,wenn alle seine Zusammenhangskomponenten einelementig sind. Dies bedeutet, dass jede zusammenhängen-de Teilmenge vonX einelementig oder leer ist.

9.20 Beispiele

(a) Jeder diskrete Raum ist total unzusammenhängend. Allgemeiner ist jederT1-Raum mit einer Basis ausoffenen und abgeschlossenen Mengen (sogenanntenulldimensionale Räume) total unzusammenhän-gend.

(b) Wie wir oben gesehen haben, istQ total unzusammenhängend (sogar null-dimensional, denn die Inter-valle mit irrationalen Randpunkten bilden eine Basis und sind offen und abgeschlossen).

(c) Produkte von total unzusammenhängenden Räumen sind total unzusammenhängend, siehe Übungsauf-gabe 33.

(d) Die Cantormenge ist total unzusammenhängend, was sich ähnlich wie fürQ zeigen lässt oder mit (c).

Es gibt im Wesentlichen nur einen null-dimensionalen abzählbaren Raum:

9.21 Satz von Sierpinski Jeder abzählbare null-dimensionale (also mit einer Basis aus offenen und ab-geschlossenen Mengen) topologische Raum ohne isolierte Punkte (das heißt ohne offene Singletons{x}) isthomöomorph zuQ.

Beweis.Siehe Peter Neumann, Automorphisms of the rational world, J. London Math. Soc.(2), 32(1985),439-448.

9.22 Lokaler Zusammenhang Ein topologischer RaumX heißt lokal zusammenhängend, wenn jederPunkt eine Umgebungsbasis aus zusammenhängenden Teilmengen besitzt, das heißt für eine UmgebungUeines Punktesx∈ X existiert eine zusammenhängende UmgebungV vonx mit V j U .

9.23 Beispiele

(a) Rn, Sn undDn sind lokal zusammenhängend.

(b) Diskrete Räume sind lokal zusammenhängend. Total unzusammenhängende Räume, die nicht diskretsind, sind nicht lokal zusammenhängend.

(c) Der TeilraumX := ([0,1]×{0})∪ ({0,1, 12,13,

14, . . .}× [0,1]) vonR

2 ist (weg-) zusammenhängend undsomit hat jeder Punkt eine zusammenhängende Umgebung, aber er ist nicht lokal zusammenhängend,denn jede Umgebung von(0,1), die zu[0,1]×{0} disjunkt ist, ist nicht zusammenhängend.

Bemerkungen 9.1. (a) In einem lokal zusammenhängenden Raum sind die Zusammenhangskomponentenaller offenen Teilmengen offen. Siehe Übungsaufgabe 34.

(b) Endliche Produkte von lokal zusammenhängenden Räumen sind lokal zusammenhängend. Für unend-liche Produkte gilt dies im Allgemeinen nicht.

(c) Stetige Bilder von lokal-zusammenhängenden Räumen sind im Allgemeinen nicht lokal-zusammenhängend.

35

Kapitel 10

Kompaktheit

10.1 Definition Sei X eine Menge undA j X. Ein MengensystemU j ℘(X) heißtÜberdeckungvonA, wennA j U . Eine Überdeckung heißtoffen oder abgeschlossen, wenn alle Mengen inU offen oderabgeschlossen sind.

EineTeilüberdeckungeiner ÜberdeckungU vonA ist eine Teilmenge vonU , die eine Überdeckung vonA ist.

Ein topologischer RaumX heißtkompakt, wenn jede offene Überdeckung vonX eine endliche Teilüber-deckung besitzt. Eine Teilmenge heißt kompakt, wenn sie als Teilraum kompakt ist.

10.2 Beispiele

(a) WegenRn =⋃

n∈N Bn(0) und]0,1] =⋃

n∈N]

1n,1

]sindRn und]0,1] nicht kompakt.

(b) Trivialerweise sind alle endlichen Teilmengen eines topologischen Raums kompakt, sowie alle Teil-mengen eines topologischen Raums mit einer endlichen Topologie. In einem diskreten Raum sind genaudie endlichen Teilmengen kompakt.

(c) SindA undB kompakte Teilmengen eines topologischen Raums, so istA∪B kompakt. Für den Durch-schnitt gilt dies nur unter zusätzlicher Annahme vonT2, wie wir später sehen werden.

10.3 Satz Für a,b∈ R (mit a≤ b) ist [a,b] j R kompakt.

Beweis.Sei U eine offene Überdeckung von[a,b]. Wir zeigen, dass X := {x ∈ [a,b] |[a,x] hat endliche Teilüberdeckung} offen und abgeschlossen ist. Sei dazux ∈ X̄. Dann existiert einU ∈U mit x∈U , eine Umgebung[c,d] j U von x undy∈ [c,d]∩X. SeiE j U eine endliche Teilüberde-ckung von[a,y]. Dann istE ∪{U} eine endliche Teilüberdeckung von[a,d] j X. Wir haben damit gezeigt,dassX offen und abgeschlossen ist, und wegena∈ X folgt X = [a,b] aus dem Zusammenhang von[a,b].

10.4 Satz Abgeschlossene Teilmengen von Kompakta sind kompakt.

Beweis.SeiA eine abgeschlossene Teilmenge des kompakten RaumsX undU eine inX offene Überdeckungvon A. Dann istU ∪{X \A} eine offene Überdeckung vonX, und es gibt eine endliche TeilüberdeckungE .Dann istE \{X \A} eine endliche Teilüberdeckung vonA.

10.5 Satz Kompakte Teilmengen von Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen.

Beweis.Sei X ein Hausdorff-Raum,C eine kompakte Teilmenge undy∈ X \C. Zu x ∈C existieren offenetrennende UmgebungenUx undVx vonx bzw.y. Da dieUx das KompaktumC überdecken, existierenx1, . . .,xn,so dassCjUx1∪·· ·∪Uxn =:U gilt. DaV :=Vx1∩·· ·∩Vxn disjunkt zu allenUxi ist, sindU undV disjunkt, alsoauchC und die UmgebungV vony. Wir haben damit gezeigt, dassX \C offen ist und somitC abgeschlossen.

36 Kapitel 10. Kompaktheit

10.6 Satz Stetige Bilder von Kompakta sind kompakt.

Beweis.SeiX ein kompakter Raum undf : X →Y eine stetige Surjektion. SeiU eine offene ÜberdeckungvonY. Dann ist{ f−1(U) |U ∈U } eine offene Überdeckung vonX und die Kompaktheit vonX liefert eineTeilüberdeckung{ f−1(U) |U ∈ E } für eine endliche TeilmengeE ⊂U . Da f surjektiv ist, gilt f ( f−1(A)) =A für A j Y, und somit istE eine endliche Überdeckung vonY.

Das folgende Korollar haben wir früher schon benutzt um einzusehen, dass gewisse Abbildungen abge-schlossen und identifizierend sind, siehe 4.6.7(a), 4.6.7(b) und 4.6.8(b).

10.7 Korollar Eine stetige Abbildung eines Kompaktums in einenHaudorff-Raumist abgeschlossen undinsbesondere identifizierend. Ist sie zusätzlich bijektiv, so ist sie sogar ein Homöomorphismus.

Beweis.SeiX ein Kompaktum,Y ein Hausdorff-Raum undf : X →Y stetig. Eine abgeschlossene TeilmengeA vonX ist nach Satz 10.4 kompakt, also ist nach Satz 10.6 das Bildf (A) kompakt und somit nach Satz 10.5abgeschlossen als kompakte Teilmenge einesT2-Raums. Also istf eine abgeschlossene Abbildung und nachSatz 4.6.6 identifizierend. Istf bijektiv, so ist f−1 nach Satz 3.1 stetig.

10.8 Satz Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal.

Beweis.Dies folgt aus Satz 10.4 und Übungsaufgabe 38.

Ein MengensystemA hat die sogenannteendliche DurchschnittseigenschaftoderEDE, wennA1∩ ·· · ∩An 6= /0 für beliebigeA1, . . .,An ∈A gilt.

10.9 Satz Für einen topologischen Raum X sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) X ist kompakt.

(b) Jede Menge von abgeschlossenen Teilmengen von X mit EDE hat nicht-leeren Schnitt.

(c) Jedes universelle Netz in X konvergiert.

(d) Jedes Netz in X hat einen Häufungspunkt.

(e) Jedes Netz in X hat ein konvergentes Teilnetz.

Insbesondere hat in einem kompakten Raum jede Folge einen Häufungswert und somit eine konvergenteTeilfolge.

Beweis.(a)⇒ (c): Seiσ : D→ X ein universelles Netz. Wir nehmen an, dassσ keinen Grenzwert hat. Dannexistiert zu jedemx ∈ X eine offene UmgebungUx, so dassσ nicht schließlich inUx ist. Also ist σ alsuniverselles Netz schließlich inX \Ux und somit gibt es einnx ∈ D mit σ(Dnx)∩Ux = /0. DaX kompakt ist,existierenx1, . . .,xk mit X = Ux