Topologie

Anton Deitmar

1

Inhaltsverzeichnis1 Grundlagen 4

1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Faserprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Hausdorff-Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Finaltopologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Verklebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Initialtopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Der Satz von Tychonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9 Lokalkompakte Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Fundamentalgruppe und Ueberlagerungen 182.1 Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Uberlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Die universelle uberlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Mannigfaltigkeiten und CW-Komplexe 293.1 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 CW-Komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Einhangung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Homotopie-Aquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Simplizialkomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6 Klassifizierende Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Homologie 394.1 Simpliziale Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Singulare Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4 Deformationsretrakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5 Die Raumpaar-Sequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.6 Relative Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.7 Raumpaarabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.8 Ausschneidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.9 Aquivalenz von simplizialer und singularer Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.10 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.11 Abbildungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.12 Mayer-Vietoris Sequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.13 Homologie und Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Kategorien und Funktoren 705.1 Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2 Epis und Monos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3 Produkte und Coprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4 Faser- und Cofaserprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.5 Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.6 Natuerliche Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.7 Aequivalenz von Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.8 Abelsche Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 Kohomologie 866.1 Motivation: de Rham Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2 Singulare Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.3 Der universelle Koeffizientensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4 Homotopie-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.5 Die Raumpaar-Sequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.6 Die Mayer-Vietoris Sequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.7 Das Cup-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.8 Die Kunneth-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7 Garben 1107.1 Praegarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.2 Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.3 Halme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.4 Garbifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.5 Etalgarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.6 Aquivalenz von Garben und Etalgarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.7 Direkte und inverse Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.8 Lokalkonstante Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.9 Der Schnittfunktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2

Topologie 3

7.10 Abgeleitete Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.11 Garbenkohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.12 Feine Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.13 Gruppenkohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8 Vergleich verschiedener Kohomologietheorien 1528.1 De Rham Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.2 Singulare Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.3 Cech-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Topologie 4

1 Grundlagen

1.1 Definitionen

Zur Erinnerung: ein topologischer Raum ist ein Paar (X,O) bestehend aus einer MengeX und einem System O ⊂ P(X) von Teilmengen von X mit

• ∅,X ∈ O.

• A,B ∈ O ⇒ A ∩ B ∈ O,

• Ai ∈ O ∀i ∈ I ⇒⋃

i∈I Ai ∈ O.

Das System O heißt Topologie und die Elemente von O heißen offene Mengen.

Beispiele 1.1.1. • die triviale Topologie O =∅,X

,

• die diskrete Topologie O = P(X).

Definition 1.1.2. Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Abbildung d : X × X→ [0,∞)mit

• d(x, y) = d(y, x) Symmetrie

• d(x, y) = 0 ⇔ x = y Definitheit

• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Dreiecksungleichung

Ein Paar (X, d) bestehend aus einer Menge X und einer Metrik d auf X heißt metrischerRaum. Sei ein solcher gegeben und fur x ∈ X und r > 0 sei

Br(x) def=

y ∈ X : d(x, y) < r

der offene Ball um x vom Radius r. Sei O ⊂ P(X) die Menge aller Vereinigungen offenerBalle. Aus der Dreiecksungleichung folgt, dass

O =U ⊂ X : x ∈ U ⇒ Br(x) ⊂ U fur ein r > 0

.

Hieraus ergibt sich, dass O eine Topologie ist.

Topologie 5

Beispiel 1.1.3. Die Topologie von R und die von C sind gegeben durch die Metrik

d(x, y) = |x − y|.

Lemma 1.1.4. Sei X eine Menge und E ⊂ P(X). Dann gibt es eine kleinste Topologie OE, dieE enthalt, diese heißt die von E erzeugte Topologie.

Man kann OE explizit konstruieren wie folgt: Sei S die Menge aller endlichen Schnitte vonMengen aus E, also

S =A1 ∩ · · · ∩ An : A j ∈ E

Dann ist OE die Menge deren Elemente neben X beliebige Vereinigungen von Mengen aus Ssind.

Beweis. Man setztOE =

⋃O⊃E

O Topologie

O

dann ist dies eine Topologie, die offensichtlich jede Topologie enthalt, die ihrerseits Eumfasst. Nun zur Konstruktion. Sei O′ das im Lemma konstruierte Mengensystem.Da OE eine Topologie ist, enthalt es S und also auch O′. Andererseits ist O′ selbst aucheine Topologie, also folgt O′ ⊃ OE.

Definition 1.1.5. Ist X ein topologischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge, soinstalliere auf A die Teilraumtopologie:

OAdef=

U ∩ A : U offen in X

.

Beispiel 1.1.6. Die Topologie von R ist die Teilraumtopologie von R ⊂ C.

Definition 1.1.7. Sind X,Y topologische Raume, so ist die Produkttopologie auf X × Ydie Topologie, die erzeugt wird von allen offenen Rechtecken U × V, wobei U ⊂ X undV ⊂ Y offen sind.

Lemma 1.1.8. Die offenen Mengen in X × Y sind genau die Vereinigungen offener Rechtecke.

Beweis. Dies ergibt sich aus Lemma 1.1.4.

Definition 1.1.9. Eine Abbildung f : X→ Y zwischen topologischen Raumen heißtstetig, falls fur jede offene Menge U ⊂ Y das Urbild f −1(U) ⊂ X offen ist.

Topologie 6

Beispiel 1.1.10. Fur eine Abbildung f : R→ R stimmt diese Definition mit derDefinition aus der Analysis uberein, wie das ε − δ-Kriterium zeigt.

Sind f : X→ Y und g : Y→ Z stetig, so ist auch g f stetig.

Lemma 1.1.11. Ist f : X→ Y eine Abbildung und sind Ai ⊂ Y fur i ∈ I, dann gilt

f −1

⋃i∈I

Ai

=⋃i∈I

f −1(Ai)

f −1

⋂i∈I

Ai

=⋂i∈I

f −1(Ai)

Beweis. Klar.

Lemma 1.1.12. (a) Sind X und Y topologische Raume und ist X × Y mit derProdukttopologie versehen, so sind die Projektionen p1 : X × Y→ X und p2 : X × Y→ Ystetig.

(b) Ist A ⊂ X und X ein topologischer Raum. Sei A versehen mit der Teilraumtopologie undsei Z ein topologischer Raum. Dann ist eine Abbildung f : Z→ A genau dann stetig,

wenn die Komposition Zf−→ A i

−→ X stetig ist, wobei i : A→ X die Inklusionbezeichnet.

(c) Ist die Topologie auf Y von E ⊂ P(Y) erzeugt, dann ist eine Abbildung f : X→ Y voneinem topologischen Raum X genau dann stetig, wenn f −1(E) offen ist fur jedes E ∈ E.

Beweis. (a) Sei U ⊂ X offen, dann ist p−11 (U) = U × Y offen in X × Y. Daher ist p1 stetig.

Der Beweis fur die zweite Projektion geht ebenso.

(b) Sei f : Z→ A stetig und sei U ⊂ X offen. Dann ist (i f )−1(U) = f −1(U ∩ A) offen inZ, also ist i f stetig. Sei andersherum i f stetig und sei V ⊂ A offen, dann existiertU ⊂ X offen mit V = U ∩ A. Dann ist f −1(V) = f −1(U ∩ A) = (i f )−1(U) offen in Z, alsoist f stetig.

(c) Ist f stetig, so sind die f −1(E) offen. Seien umgekehrt alle f −1(E) offen. Da dieAbbildung f −1 mit Schnitten und Vereinigungen vertauscht, ist f −1(U) offen fur jedesoffene U.

Definition 1.1.13. Eine Abbildung f : X→ Y zwischen topologischen Raumen, diebijektiv ist so dass f und f −1 beide stetig sind, heißt Homoomorphismus. Existiert einHomoomorphismus zwischen X und Y, so heißen die Raume X und Y homoomorph.Sie sind dann topologisch nicht mehr unterscheidbar.

Topologie 7

1.2 Faserprodukte

Definition 1.2.1. Seien α : X→ Z und β : Y→ Z stetige Abbildungen. Definiere dasFaserprodukt:

X ×Z Y def=

(x, y) ∈ X × Y : α(x) = β(y)

.

Diese Menge wird mit der Teilraumtopologie von X ×Z Y ⊂ X × Y versehen. Manerhalt ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen;

X ×Z Yp1//

p2

Xα

Yβ

// Z

mit der folgenden universellen Eigenschaft: Ist T ein topologischer Raum mit stetigenAbbildungen f : T→ X und g : T→ Y so dass das Diagramm

Tf//

g

Xα

Yβ// Z

kommutiert, dann existiert genau eine stetige Abbildung ψ : T→ X ×Z Y so dass dasDiagramm

T

##

))X ×Z Y //

Xα

Yβ

// Z

kommutiert. Zum Beweis dieser Eigenschaft setze ψ(t) = ( f (t), g(t)). Man sieht leicht,dass ψ in der Tat die einzige Abbildung ist, die das Diagramm kommutativ macht.

Man nennt X ×Z Y das Faserprodukt von X und Y uber Z. Genauer heißt jedertopologische Raum mit der universellen Eigenschaft Faserprodukt. Durch dieuniverselle Eigenschaft ist er allerdings eindeutig festgelegt bis auf Homoomorphie.

Satz 1.2.2. Die universelle Eigenschaft bestimmt den Raum X ×Z Y bis aufHomoomorphie eindeutig.

Topologie 8

Beweis. Seien A,B topologische Raume, die beide die universelle Eigenschaft desFaserproduktes besitzen. Dann existieren eindeutig bestimmte Abbildungenφ : A→ B und ψ : B→ A so dass die Diagramme

A //

φ

X

Y Boo

OO

undA //

X

Y Boo

OOψ

__

kommutieren. Dann kommutiert auch das Diagramm

A //

ψφ

X

Y A

OO

oo

Dies letzte Diagramm kommutiert allerdings auch mit der Identitat an Stelle vonψ φ. Da aber nach der universellen Eigenschaft von A es nur eine Abbildung gebenkann, so dass das letzte Diagramm kommutiert, folgt

ψ φ = IdA.

Ebenso ergibt sich φ ψ = IdB. Damit ist φ ein Homoomorphismus.

Definition 1.2.3. Eine Teilmenge A ⊂ X eines topologischen Raumes heißtabgeschlossen, falls das Komplement X r A offen ist. Es gilt

• ∅,X sind abgeschlossen,

• A,B abgeschlossen⇒ A ∪ B abgeschlossen,

• Ai abgeschlossen fur jedes i ∈ I⇒⋂

i∈I Ai abgeschlossen.

Lemma 1.2.4. Sei A ⊂ X beliebig. Dann gibt es eine kleinste abgeschlossene Menge A, die Aenthalt. Diese heißt der Abschluss von A.

Beweis. Setze

A def=

⋂S⊃A

S abgeschlossen

S

Topologie 9

Da beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, ist Aabgeschlossen. Ferner enthalt es A und es enthalt jede abgeschlossene Menge, die Aenthalt.

Definition 1.2.5. Sei x ∈ X. Eine offene Menge U ⊂ X, die x enthalt, heißt offeneUmgebung von x. Eine Umgebung von x ist eine Menge A, die eine offene Umgebungenthalt.

Ebenso definiert man fur eine Teilmenge S ⊂ X eine offene Umgebung von S als eineoffene Menge U, die S umfasst, U ⊃ S.

Beispiele 1.2.6. • (−1, 1) ist eine offene Umgebung von 0 ∈ R.

• (−1, 1] ist eine Umgebung von 0 ∈ R.

Lemma 1.2.7. Sei A ⊂ X. Ein gegebenes x ∈ X liegt genau dann in A, wenn fur jede offeneUmgebung U von x gilt U ∩ A , ∅.

Beweis. Sei x ∈ A und sei V eine offene Menge mit V ∩ A = ∅, dann ist S = X r V eineabgeschlossene Menge, die A enthalt, also auch A und es folgt x ∈ S, damit ist V keineUmgebung von x. Es folgt also U ∩ A , ∅ fur jede offene Umgebung U von x.

Sei andersrum x < A, dann ist V = X r A eine offene Umgebung von x, die A nichttrifft. Trifft also jede offene Umgebung von x die Menge A, so folgt x ∈ A.

1.3 Hausdorff-Raume

Definition 1.3.1. Ein topologischer Raum X heißt separiert oder Hausdorff-Raum, fallsdie Diagonale

∆ =(x, y) ∈ X × X : x = y

abgeschlossen ist in X × X.

Lemma 1.3.2. X ist genau dann ein Hausdorffraum, wenn je zwei Punkte durch disjunkteUmgebungen getrennt werden konnen, also wenn gilt

x , y ⇒ ∃U,V ⊂ X offen mit x∈Uy∈V , U ∩ V = ∅.

Beweis. Sei X hausdorffsch und seien x , y in X. Dann ist (x, y) < ∆, also gibt es eineoffene Umgebung S ⊂ X × X von (x, y) mit S ∩ ∆ = ∅. Da S eine Vereinigung von

Topologie 10

offenen Rechtecken ist, gibt es ein offenes Rechteck U × V mit (x, y) ∈ U × V, alsox ∈ U, y ∈ V und U ∩ V = ∅, da U × V ∩ ∆ = ∅.

Sei andersherum die Bedingung des Lemmas erfullt, dann folgt, dass X × X r ∆ eineVereinigung offener Rechtecke ist, also ist ∆ abgeschlossen.

Beispiele 1.3.3. • Ein metrischer Raum ist hausdorffsch, denn fur x , y in X giltr = d(x, y) > 0, also sind U = Br/2(x) und V = Br/2(y) disjunkte offeneUmgebungen von x und y.

• Hat X mindestens 2 Elemente, dann ist die triviale Topologie auf X nichthausdorffsch.

1.4 Kompaktheit

Definition 1.4.1. Eine Familie (Ui)i∈I heißt Uberdeckung von X, falls X ⊂⋃

i∈I Ui. Sieheißt offene Uberdeckung, falls alle Ui offen sind.

Beispiel 1.4.2. Die Familie aller offenen Intervalle (a, b) mit a, b ∈ Q ist eine offeneUberdeckung von R.

Definition 1.4.3. Eine Teiluberdeckung von (Ui)i∈I ist eine Uberdeckung (U j) j∈J, wobei Jeine Teilmenge von I ist. Der Raum X heißt kompakt, falls jede Uberdeckung eineendliche Teiluberdeckung hat.

Beispiel 1.4.4. Eine Teilmenge K ⊂ Rn ist genau dann kompakt, wenn sie beschranktund abgeschlossen ist.

Lemma 1.4.5. Ein topologischer Raum X ist genau dann kompakt, wenn fur jede Familie(Ai)i∈I abgeschlossener Mengen gilt: Ist ⋂

i∈E

Ai , ∅

fur jede endliche Teilmenge E ⊂ I, so ist ⋂i∈I

Ai , ∅.

Man sagt hierzu auch: Das System der abgeschlossenen Mengen eines kompaktenRaums erfullt die endliche Schnitteigenschaft.

Topologie 11

Beweis. Sei X kompakt und sei (Ai)i∈I eine Familie abgeschlossener Mengen mit⋂i∈I Ai = ∅. Dann bilden die Mengen Ui = X r Ai eine offene Uberdeckung von X. Da

X kompakt ist, gibt es eine endliche Teiluberdeckung, also eine endliche TeilmengeE ⊂ I mit

⋂i∈E Ai = ∅. Die Umkehrung folgt analog.

Lemma 1.4.6. (a) Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist kompakt (in derTeilraumtopologie).

(b) Ist X ein Hausdorff-Raum, dann ist jede kompakte Teilmenge K ⊂ X abgeschlossen.

Beweis. (a) Sei X kompakt und A ⊂ X abgeschlossen. Sei (Ui)i∈I eine offeneUberdeckung von A. Das heißt, jedes Ui ist offen in A, es existiert also ein Vi ⊂ X, dasoffen ist in X mit Ui = A ∩ Vi. Dann ist (Vi)i∈I ∪

X r A

eine offene Uberdeckung von

X, also existiert eine endliche Menge E ⊂ I mit X = (X r A) ∪⋃

i∈E Vi. Dann ist (Ui)i∈E

eine endliche Teiluberdeckung von (Ui)i∈I.

(b) Sei X hausdorffsch und K ⊂ X kompakt. Sei a ∈ X r K. Nach derHausdorffeigenschaft existieren zu jedem x ∈ X zwei offene Mengen Ux,Vx mit x ∈ Ux,a ∈ Vx und Ux ∩ Vx = ∅. Die Familie (Ux)x∈K ist dann eine Ueberdeckung von K, alsogibt es nach der Kompaktheit von K Elemente x1, . . . , xn ∈ K so dassK ⊂ Ux1 ∪ · · · ∪Uxn =: U. Sei V = Vx1 ∩ · · · ∩ Vxn , dann ist V eine offene Umgebung vona so dass K ∩ V = ∅. Daher liegt a nicht im Abschluss K von K. Da dies fuer jedes a < Kgilt, folgt K = K, also ist K abgeschlossen.

1.5 Finaltopologien

Lemma 1.5.1. Sei X eine Menge und ( fi)i∈I eine Familie von Abbildungen fi : Ti → X, wobei(Ti,Ti) ein topologischer Raum ist. Dann gibt es eine großte Topologie O auf X, mit derEigenschaft, dass alle fi stetig sind.

Diese heißt die durch die fi induzierte Finaltopologie.

Eine Teilmenge U von X ist genau dann offen in der Finaltopologie, wenn alle Urbilder f −1i (U)

offen sind.

Beweis. DefiniereO =

U ⊂ X : f −1

i (U) ist offen in Ti ∀i∈I

.

Dann ist O eine Topologie auf X, denn

Topologie 12

• ∅ = f −1i (∅) ∈ Ti, also ist ∅ ∈ O,

• Ti = f −1i (X) ∈ Ti, also ist X ∈ O,

• A,B ∈ O ⇒ f −1i (A ∩ B) = f −1

i (A) ∩ f −1i (B) ∈ Ti also folgt A ∩ B ∈ O.

Die Abgeschlossenheit unter Vereinigungen beweist man ebenso. Damit ist O eineTopologie. Ist nun O′ eine Topologie auf X, so dass alle fi stetig sind, also f −1

i (U) ∈ Ti

gilt fur jedes U ∈ O′ und jedes i ∈ I, dann folgt O′ ⊂ O.

Proposition 1.5.2. Sei X versehen mit der Finaltopologie der fi : Ti → X. Fuer eineAbbildung φ : X→ Y gilt dann:

φ ist stetig ⇔ fuer jedes i ∈ I ist φ fi : Ti → Y stetig.

Beweis. Ist φ stetig, so auch alle Kompositionen φ fi. Umgekehrt sei φ fi stetig furjedes i. Sei dann U ⊂ Y offen. Dann ist fur jedes i die Menge (φ fi)−1(U) = f −1

i (φ−1(U))offen in Ti, also ist φ−1(U) offen in X.

Definition 1.5.3. Ein wichtiges Beispiel fur Finaltopologien liefernAquivalenzklassenraume. Sei T ein topologischer Raum und sei ∼ eineAquivalenzrelation auf T. Sei X = T/ ∼ die Menge der Aquivalenzklassen, also

X =[t] : t ∈ T

,

wobei [t] =s ∈ T : s ∼ t

die Aquivalenzklasse von t ∈ T bezeichnet. Man versieht X

dann mit der Finaltopologie der Projektion p : T→ X mit p(t) = [t] und nennt dieseTopologie die Quotiententopologie.

Beispiel 1.5.4. Auf der Kreisscheibe

D2 def=

x ∈ R2 : ||x|| ≤ 1

definiere die Aquivalenzrelation

x ∼ y ⇔

x = y oder

||x|| = ||y|| = 1.

Topologie 13

Dann gibt es die Aquivalenzklassen [x] =x

falls ||x|| < 1 und die Klasse

S1 =x ∈ R2 : ||x|| = 1

. Der RaumD2/ ∼ ist dann homoomorph zur 2-Sphare

S2 =x ∈ R3 : ||x|| = 1

.

Definition 1.5.5. Sei allgemeiner A ⊂ X eine Teilmenge, so definiere eineAquvalenzrelation auf X durch

x ∼ y ⇔

x = y

oder

x, y ∈ A.

Schreibe X/A fur den Quotienten X/ ∼. Der Teilraum A kollabiert in X/A zu einemPunkt.

1.6 Verklebung

Seien α : Z→ X und β : Z→ Y stetige Abbildungen. Wir definieren die Verklebung vonX und Y entlang Z durch

X∐

Z

Y def= X ·∪Y

/∼,

wobei x ∼ y ⇔ α(z) = x, β(z) = y fur ein z ∈ Z.

Beispiel 1.6.1. Ist Z ein Punkt und X = Y = S1, dann ist X∐

Z Y eine Acht, also zweiKreise mit einem gemeinsamen Punkt.

Satz 1.6.2. Die Verklebung hat folgende universelle Eigenschaft: Zu jedem kommutativenDiagramm stetiger Abbildungen

Z α //

β

Xf

Yg// P

existiert genau eine stetige Abbildung ψ : X∐

Z Y→ P so dass das Diagramm

Z α //

β

Xf

Yg//

((

P

X∐

Z Y

ψcc

Topologie 14

kommutiert. Hierbei sind die Abbildungen von X und Y nach X∐

Z Y von denInklusionen induziert.

Diese universelle Eigenschaft ist dual zu der des Faserproduktes in dem Sinne, dassalle Pfeile umgedreht sind. Deshalb nennt man die Verklebung auch dasCo-Faserprodukt.

Beweis. Sei P wie im Satz. Dfiniere

ψ : X ·∪Y → P

durch ψ|X = f und ψ|Y = g. Dann ist ψ stetig und aus x = α(z) und y = β(z) folgtψ(x) = ψ(y). Daher faktorisiert ψ uber X

∐Z Y, definiert also eine Abbildung

ψ : X∐

Z Y→ P. Kommutativitat des Diagramms und Eindeutigkeit von ψ sindklar.

1.7 Initialtopologie

Lemma 1.7.1. Sei X eine Menge und fur i ∈ I sei gi : X→ Ti eine Abbildung in einentopolgischen Raum Ti. Dann gibt es eine kleinste Topologie O auf X, die alle gi stetig macht.Sie heißt die Initialtopologie der Familie ( fi)i∈I.

Beweis. Sei O die Topologie, die von allen Mengen der Form g−1i (U) erzeugt wird,

wobei U ⊂ Ti offen ist. Dann macht O alle gi stetig und es enthalt jede Topologie, diealle gi stetig macht.

Proposition 1.7.2. Sei X versehen mit der Initialtopologie einer Familie gi : X→ Ti. Dannist eine Abbildung f : Z→ X von einem topologischen Raum Z genau dann stetig, wenn alleKompositionen gi f : Z→ Ti stetig sind.

Beweis. Ist f stetig, dann auch alle Kompositionen. Seien umgekehrt alle gi f stetigund sei U ⊂ Ti offen. Dann ist g−1

i (U) offen in X und die Topologie wird erzeugt vondiesen Mengen. Ferner ist f −1(g−1

i (U)) = (gi f )−1(U) offen, daher ist f stetig.

Topologie 15

1.8 Der Satz von Tychonov

Sei I eine Indexmenge und fuer jedes i ∈ I sei ein topologischer Raum Xi , ∅ gegeben.Die Produkttopologie auf X =

∏i∈I Xi ist die Initialtopologie der Projektionen

pi : X→ Xi. Sie wird erzeugt von allen Mengen der Form

p−1i (Ui) = Ui ×

∏j,i

X j,

wobei Ui eine offene Teilmenge von Xi ist. Damit ist jede offene Menge eineVereinigung von Mengen der Form

Ui1 × · · · ×Uin ×

∏i,i1,...,in

Xi,

die ja endliche Schnitte von den obengenannten sind.

Satz 1.8.1 (Tychonov). X =∏

i∈I Xi ist genau dann kompakt ist, wenn alle Faktoren Xi

kompakt sind.

Beweis. Da die Projektion pi : X→ Xi stetig ist, so ist jedes Xi kompakt, falls Xkompakt ist. Die schwierige Richtung ist die Umkehrung. Seien also alle Xi kompakt.Sei F = (Fν)ν∈N eine Familie abgeschlossener Mengen in X mit der endlichenSchnitteigenschaft (jeweils endlich viele haben nichtleeren Schitt), wobei N irgendeineIndexmenge ist. Es gibt dann eine maximale Familie F ∗ = (Fν)ν∈N∗ mit F ∗ ⊃ F , die dieendliche Schnitteigenschaft hat. Dies folgt leicht aus dem Lemma von Zorn, da manaus einer linear geordnete Mengen von Familien mit endlicher Schnitteigenschaftdurch Vereinigung eine obere Schranke gewinnt, die wieder die endlicheSchnitteigenschaft hat.

(A) Sind F1, . . . ,Fn ∈ F∗, so ist auch F1 ∩ · · · ∩ Fn in F ∗ wie aus der Maximalitat von F ∗

folgt.

(B) Ist S ⊂ X irgendeine Teilmenge mit der Eigenschaft S ∩ Fν , ∅ fuer jedes Fν ∈ F ∗,dann ist S ∈ F ∗, wie aus der Maximalitat folgt.

Sei i ∈ I. Die Familie abgeschlossener Mengen (pi(Fν))ν∈N∗ hat die endliche

Topologie 16

Schnitteigenschaft, also gibt es ein zi in deren Schnitt. Sei

U = Ui1 × · · · ×Uin ×

∏i,i1,...,in

Xi

eine offene Umgebung von z = (zi)i∈I. Sei k ∈1, . . . ,n

. So gibt es zu jedem Fν ∈ F ∗ ein

f ∈ Fν mit pik( f ) ∈ Uik , also gilt mit Sk = p−1ik

(Uik), dass Sk ∩ Fν , ∅ ist. Nach (B) istSk ∈ F

∗. Nach (A) ist dann U = S1 ∩ · · · ∩ Sn ∈ F∗. Insbesondere hat U also nichtleeren

Schnitt mit jedem F ∈ F ∗, also auch mit jedem F ∈ F . Da die Umgebungen U dieserForm eine Umgebungbasis bilden, liegt z im Abschluss von Fν also in Fν fuer jedesν ∈ N. Damit ist

⋂n∈N Fn nichtleer und X ist kompakt.

1.9 Lokalkompakte Raume

Definition 1.9.1. Ein topologischer Raum X heißt lokalkompakt, falls jeder Punkt x ∈ Xeine kompakte Umgebung besitzt.

Beispiele 1.9.2. • Rn ist lokalkompakt, da der Abschluss von B1(x) eine kompakteUmgebung von x ∈ Rn ist.

• Ein Banachraum ist genau dann lokalkompakt, wenn er endlichdimensional ist(ohne Beweis).

Definition 1.9.3. Eine Teilmenge A ⊂ X eines topologischen Raumes heißt relativkompakt, falls der Abschluss A kompakt ist.

Beispiel 1.9.4. Das Intervall (0, 1) ⊂ R ist relativ kompakt in R.

Satz 1.9.5. Sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum, K ⊂ X kompakt und A ⊂ Xabgeschlossen mit A ∩ K = ∅.

(a) Ist x ∈ X r K, dann existieren relativ kompakte offene Umgebungen U von x und Vvon K mit U ∩ V = ∅.

(b) Es existiert eine relativ kompakte offene Umgebung U von K mit

K ⊂ U ⊂ U ⊂ (X r A).

(c) Es existiert eine stetige Funktion f : X→ [0, 1] mit f ≡ 0 auf K und f ≡ 1 auf A.

Topologie 17

Beweis. (a) Fur jedes k ∈ K existieren relativ kompakte offene Umgebungen Uk,x von xund Vk von k mit Uk,x ∩Vk = ∅. Die Vk bilden eine offene Uberdeckung von K, also gibtes k1, . . . kn ∈ K mit K ⊂

⋃nj=1 Vk j = V. Sei U =

⋂nj=1 Uk j,x. Dann erfullen U und V die

Behauptung (a).

(b) Nach Teil (a) existiert eine offene, relativ kompakte Umgebung V von K. Dann istL = V ∩ A ebenfalls kompakt. Fur jedes k ∈ K existieren eine offene, relativ kompakteUmgebung Uk von k und Vk von L mit Uk ∩ Vk = ∅. Die Uk bilden eine offeneUberdeckung von K, also reichen endlich viele Uk1 , . . . ,Ukn . Sei

U = V ∩(Uk1 ∪ · · · ∪Ukn

).

Dann ist U eine offene, relativ kompakte Umgebung von K und es gilt

U ∩ A ⊂(L ∩

(Uk1 ∪ · · · ∪Ukn

))= ∅.

Teil (b) ist bewiesen.

(c) wahle U wie in (b) und nenne diese Menge U 12. Nach (b) existiert eine relativ

kompakte offene Umgebung U 14

von K mit

K ⊂ U 14⊂ U 1

4⊂ U 1

2.

Ferner existiert U 34

mitU 1

2⊂ U 3

4⊂ U 3

4⊂ (X r A).

Sei R die Menge aller Zahlen der Form k2n mit k,n ∈N im Intervall (0, 1). Durch

Iteration erhalten wir offene Mengen Ur fur r ∈ R mit

K ⊂ Ur ⊂ Ur ⊂ Us ⊂ X r A

falls r < s in R. Wir definieren f wie folgt

f (x) =

infr ∈ R : x ∈ Ur

falls das Infimum endlich ist.

1 sonst.

Dann ist f ≡ 0 auf K und f ≡ 1 auf A. Fur r < s in R gilt

f −1(r, s) =⋃

r<r′<s′<s

Us′ rUr′ ,

Topologie 18

diese Menge ist offen. Also ist f stetig.

2 Fundamentalgruppe und Ueberlagerungen

2.1 Fundamentalgruppe

Definition 2.1.1. Das Einheitsintervall [0, 1] werde fortan auch mit I bezeichnet. Sei Xwegzusammenhangend. Ein Weg γ : [0, 1]→ X heißt geschlossen, falls γ(0) = γ(1). Seix0 ∈ X ein Punkt und sei G(x0) die Menge aller geschlossenen Wege mit Endpunkt x0,also die Menge aller stetigen Abbildungen γ : [0, 1]→ X mit γ(0) = γ(1) = x0. ZweiWege γ, τ : [0, 1]→ X heißen homotop mit festen Enden, wenn es eine stetige Abbildungh : [0, 1] × [0, 1]→ X gibt mit

• h(0, t) = γ(t)

• h(1, t) = τ(t)

• h(s, 0) = γ(0) = τ(0)

• h(s, 1) = γ(1) = τ(1).

Weg 1

Weg 2

Homotopie von Wegen

Lemma 2.1.2. (a) Homotopie mit festen Enden ist eine Aquivalenzrelation ' auf G(x0).

(b) Die Menge der Aquivalenzklassen π1(X, x0) def= G(x0)/ ' ist eine Gruppe mit der

Hintereinanderschaltung von Wegen als Verknupfung. Die Inversion wird gegeben durch

Topologie 19

Ruckwartsgehen eines Weges. Also mit

γ.τ(t) =

γ(2t) 0 ≤ t ≤ 12

τ(2t − 1) 12 < t ≤ 1

γ(t) = γ(1 − t)

wird π1(X, x0) eine Gruppe mit der Verknupfung [γ][τ] = [γ.τ]. Fur die Inverse gilt[γ]−1 = [γ]. Wir nennen diese Grupe die Fundamentalgruppe von X im Punkt x0.

Beweis. (a)

• γ ' γ ist klar.

• γ ' τ ⇒ τ ' γ: Sei hierzu h : [0, 1] × [0, 1]→ X eine Homotopie mit festenEnden von γ nach τ. Dann ist h(s, t) = h(1 − s, t) eine Homotopie mit festenEnden von τ nach γ.

• γ ' τ, τ ' η ⇒ γ ' η: Seien hierzu h1 eine Homotopie von γ nach τ und h2 einevon τ nach η. Dann ist

h(s, t) =

h1(2s, t) 0 ≤ s ≤ 12

h2(2s − 1, t) 12 < s ≤ 1

eine Homotopie von γ nach η.

(b) Fur die Wohldefiniertheit ist zu zeigen, dass aus γ ' γ′ und τ ' τ′ folgt γ.τ ' γ′.τ′.Sei hierzu h1 eine Homotopie von γ nach γ′ und h2 eine von τ nach τ′. Setze

h(s, t) =

h1(s, 2t) 0 ≤ t ≤ 12

h2(s, 2t − 1) 12 < t ≤ 1.

Dann ist h eine Homotopie von γ.τ nach γ′.τ′.

Damit ist die Gruppenverknupfung wohldefiniert. Es ist leicht zu sehen, dass derkonstante Weg x0 ein neutrales Element ist. Wir zeigen noch γ.γ ' x0. Eine Homotopieist gegeben durch

h(s, t) =

γ(2t(1 − s)) 0 ≤ t ≤ 12

γ((2t − 1)(1 − s)) 12 < t ≤ 1

Topologie 20

Das Assoziativgesetz sei dem Leser zur Ubung uberlassen.

Notation Sind γ1, . . . , γn Wege in X mit

Endpunkt von γ j = Anfangspunkt von γ j+1.

Dann sei γ = γ1.γ2. · · · .γn der Weg

γ(t) =

γ1(nt) 0 ≤ t ≤ 1n

γ2(nt − 1) 1n < t ≤ 2

n...

γn(nt − (n − 1)) n−1n < t ≤ 1.

Lemma 2.1.3. Sei X wegzusammenhangend. Sind x0, x1 ∈ X, so sind die Gruppen π1(X, x0)und π1(X, x1) isomorph. Genauer liefert jeder Weg γ von x0 nach x1 einen Isomorphismusφγ : π1(X, x0)→ π1(X, x1). Sind γ und τ zwei Wege von x0 nach x1, so giltγ ' τ ⇒ φγ = φτ. Allgemeiner gilt: φγ ist konjugiert zu φτ via γ.τ ∈ π1(X, x0), d.h., es gilt

φγ(x) = φτ((γ.τ)x(γ.τ)−1).

Beweis. Der Isomorphismus φγ ist gegeben durch

φγ(η) = γ.η.γ.

Die Eigenschaften sind klar.

Beispiel 2.1.4. Sei X = T =z ∈ C : |z| = 1

S1. Dann gilt fur jedes z0 ∈ T:

π1(X, z0) Z.

Fur z0 = 1 ist ein Isomorpismus Z→ π1(X, 1) gegeben durch

k 7→ [γk],

wobei γk(t) = e2πikt.

Zum Beweis betrachte die Abbildung π : R→ T; t 7→ e2πit. Eine stetige Abbildungγ : [0, 1]→ T lasst sich in eindeutiger Weise zu einer stetigen Abbildung γ : [0, 1]→ R

Topologie 21

liften mit γ(0) = 0, so dass γ = π γ. Die Abbildung γ 7→ γ(1) ist eine Inverse zuk 7→ [γk].

Definition 2.1.5. Ein Raum X , ∅ heißt einfach zusammenhangend, wenn

• X wegzusammenhangend ist und

• die Fundamentalgruppe π1(X, x0) trivial ist.

Lemma 2.1.6. Rn ist einfach zusammenhangend fur jedes n ≥ 0. Ist n ≥ 2, so istSn =

x ∈ Rn+1 : ||x|| = 1

einfach zusammenhangend.

Beweis. Sei γ : [0, 1]→ Rn mit γ(0) = γ(1) = 0. Dann ist h(s, t) = (1 − s)γ(t) eineHomotopie mit festen Enden zum konstanten Weg 0.

Fur Sn wahle einen Punkt x ∈ Sn mit x , x0. Jeder Weg γ in Sn mit γ(0) = γ(1) = x0 isthomotop zu einem Weg γ mit x < γ([0, 1]). Der Raum Sn r

x

ist aber homoomorph zu

Rn via der stereographischen Projektion, also kann man jeden Weg in Sn rx

zueinem Punkt zusammenziehen.

2.2 Uberlagerungen

Definition 2.2.1. Eine Uberlagerung eines Raumes X ist eine stetige Abbildung

π : E→ X,

so dass ein diskreter Raum D , ∅ existiert und zu jedem x ∈ X eine offene UmgebungU, so dass das Diagramm stetiger Abbildungen

π−1(U) //

π##

U ×D

p1||

X

kommutiert, wobei der waagrechte Pfeil ein Homoomorphismus ist, p1 ist dieProjektion auf die erste Koordinate ist. Der Raum U ×D tragt die Produkttopologie.

Da D diskret ist, ist das Produkt U ×D homoomorph zur disjunkten Vereinigung∐d∈D U von Kopien von U.

Eine Umgebung U von x mit dieser Eigenschaft heißt trivialisierende Umgebung.

Topologie 22

Der Grad der uberlagerung ist die Kardinalitat der Menge D.

Beispiele 2.2.2. • Die triviale uberlagerung p1 : X ×D→ X.

• Die Abbildung p : T→ T gegeben durch p(z) = z2 ist eine nichttrivialeuberlagerung des Torus T vom Grad 2. Diese ist im naechsten Bild dargestellt.

• Die Abbildung π : R→ T, gegeben durch t 7→ e2πit ist eine nichttrivialeuberlagerung vom Grad∞. (Eigentlich ist der Grad ℵ0, man unterscheidetunendliche Grade aber nicht.)

Definition 2.2.3. Ein Homomorphismus von uberlagerungen von E→ X nach F→ X isteine stetige Abbildung ψ : E→ F so dass das Diagramm

Eψ

//

F

X

kommutiert. Ein Isomorphismus ist ein Homomorphismus mit einem InversenHomomorphismus.

Lemma 2.2.4 (Liftung von Wegen). Sei π : E→ X eine uberlagerung. Sei γ : [0, 1]→ Xeine stetige Abbildung. Dann gibt es zu jedem y ∈ π−1(x0) mit x0 = γ(0) genau einen Wegγy : [0, 1]→ E mit γy(0) = y und π γy = γ.

Jedes solche γy heißt ein Lift von γ. Die Abbildung y 7→ γy(1) ist eine Bijektion von π−1(x0)nach π−1(x1), wobei x1 = γ(1).

Sind γ und τ Wege in X mit γ ' τ, dann gilt auch γy ' τy.

Beweis. Sei y ∈ π−1(x0). Sei U ⊂ X eine trivialisierende Umgebung von x0, d.h.,π−1(U) U ×D. Dann existiert eine Umgebung Uy von y so dass π|Uy ein

Topologie 23

Homoomorphismus von Uy nach U ist. Sei t0 > 0 so dass γ([0, t0)) ⊂ U, dann lasst sichγ auf [0, t0) eindeutig liften zu einem Weg γmit γ(0) = y. Sei nun t1 > 0 das Supremumaller t0 > 0 so dass γ|[0,t0) einen eindeutigen Lift γ mit γ(0) = y besitzt. Sei V einetrivialisierende Umgebung von γ(t1). In dieser Umgebung setzt sich der Lift eindeutigfort, falls t1 < 1, also folgt t1 = 1.

Die Abbildung y 7→ γy(1) ist bijektiv, denn die entsprechende Abbildung fur γ ist eineInverse.

Seien γ ' τ in X und sei h : [0, 1] × [0, 1]→ x eine Homotopie mit festen Enden. Wieoben sieht man, dass man auch h eindeutig zu einer stetigen Abbildungh : [0, 1] × [0, 1]→ E liften kann mit π h = h und h(0, 0) = y. Dann liefert h diegewunschte Homotopie.

Proposition 2.2.5. Sei X wegzusammenhangend. Sei π : E→ X eine uberlagerung. Dann istjede Zusammenhangskomponente C von E wieder eine uberlagerung von X. Ferner ist C offenin E und wegzusammenhangend.

Also zerfullt jede uberlagerung eines wegzusammenhangenden Raums disjunkt inwegzusammenhangende uberlagerungen. Jede zusammenhangende uberlagerung eineswegzusammenhangenden Raumes ist wegzusammenhangend.

Beweis. Sei y0 ∈ E und sei x0 = π(y0). Sei W(y0) die Menge aller Punkte z ∈ E, die durcheinen Weg in E mit y0 verbunden werden konnen. Dies ist dieWegzusammenhangskomponente oder Wegkomponente von y0. Sei D = π−1(x0) ∩W(y0).Sei x1 ∈ X und sei γ ein Weg von x0 nach x1. Zu jedem z ∈ D gibt es genau einen Lift γz

von γ nach E, der in z startet. Dann liegt γz(1) in W(y0) und die Abbildung z 7→ γz(1)ist eine Bijektion von D nach D′ = π−1(x1)∩W(y0). Es ist also W(y0) eine uberlagerung.Ferner ist W(y0) eine Vereinigungen von Mengen der Form U ×DC, wobei U einetrivialisierende Umgebung ist. Damit ist W(y0) offen und E zerfullt in dieWegkomponenten, die offen sind, also mit den Zusammenhangskomponentenubereinstimmen.

2.3 Die universelle uberlagerung

Satz 2.3.1. (a) Sei x0 ∈ X. Seien πE : E→ X und πF : F→ X wegzusammenhangendeuberlagerungen und sei E einfach zusammenhangend. Wahle e ∈ π−1

E (x0) und

Topologie 24

f ∈ π−1F (x0) fest. Dann existiert genau ein Homomorphismus von Uberlagerungen

ψ : E→ F mit ψ(e) = f .

(b) Insbesondere folgt: hat X eine einfach zusammenhangende uberlagerung, so ist diesebis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, wir nennen sie die universelle uberlagerungund schreiben sie als X→ X.

Beweis. (a) Sei y ∈ E und sei γy ein Weg in E von e nach y. definiere

ψ(y) = ˜(πE γy) f (1).

Das heißt, wir projizieren γy zuerst nach X, liften es dann nach F und werten bei 1 aus.Da E einfach zusammenhangend ist, ist γy eindeutig bestimmt durch y bis aufHomotopie mit festen Enden. Damit ist die Projektion πE γy eindeutig bis aufHomotopie mit festen Enden und also ist auch der Lift eindeutig bestimmt bis aufHomotopie mit festen Enden, die Abbildung ψ ist also wohldefiniert. Da πE und πF

lokale Homoomorphismen sind, ist ψ stetig. Die Kommutativitat des Diagramms istklar. Die Eindeutigkeit ist auch klar, denn ein gegebener Homomorphismus vonuberlagerungen von E nach F muss den Weg γy auf den eindeutigen Lift von πE γy

werfen.

(b) Sind E und F zwei einfach zusammenhangende uberlagerungen, und sind e, f wieoben, dann gibt es eindeutig bestimmte Homoomorphismen ψ : E→ F und φ : F→ Emit ψ(e) = f und φ( f ) = e. Dann ist φ ψ der eindeutig bestimmte HomoomorphismusE→ E der e auf e wirft, also ist φ ψ = Id. Ebenso folgt ψ φ = Id.

Definition 2.3.2. Ein Raum X heißt lokal-wegzusammenhangend, wenn jeder Punkt eineUmgebungsbasis aus offenen wegzusammenhangende Mengen besitzt.

Lemma 2.3.3. Ein zusammenhangender Raum X, der lokal wegzusammenhangend ist, istwegzusammenhangend.

Beweis. Sei X wie im Lemma und sei x ∈ X. Sei W(x) die Wegkomponente von x. Dannist W(x) offen, denn fur y ∈W(x) gilt U ⊂W(y), wobei U einewegzusammenhangende Umgebung von y ist. Damit zerfullt X disjunkt in seineoffenen Wegkomponenten. Da X zusammenhangend ist, gibt es nur eine.

Definition 2.3.4. Ein Raum X heißt lokal einfach zusammenhangend, wenn jeder Punkteine einfach zusammenhangende Umgebung besitzt.

Topologie 25

Satz 2.3.5. Sei X zusammenhangend und lokal einfach zusammenhangend. Dann hat Xeine universelle uberlagerung p : X→ X.

Die Fundamentalgruppe Γ = π1(X, x0) operiert durch Homoomorphismen auf X, so dassX Γ\X. Zu jeder uberlagerung E→ X gibt es ein Untergruppe Σ von Γ, so dassE Σ\X.

Beweis. Wir konstruieren X wie folgt: wahle einen Basispunkt x0 ∈ X und definiere Xals die Menge aller Wege τ mit Anfangspunkt x0 modulo Homotopie bei festenEnden. Die Projektion p : X→ X ist

p([τ]) = τ(1).

Die Fundamentalgruppe Γ = π1(X, x0) operiert auf X durch

[γ][τ] = [γ.τ]

fur [γ] ∈ Γ und [τ] ∈ X. Wir konsturieren die Topologie auf X wie folgt: Sei [τ] ∈ X. Seix = τ(1) und U eine einfach zusammenhangende offene Umgebung von x in X. Furjedes y ∈ U wahle einen Weg σy von x nach y, der ganz in U verlauft. Dann ist σy bisauf Homotopie bei festen Enden eindeutig bestimmt. Sei

U =[τ.σy] : y ∈ U

Dann ist p|U eine Bijektion U→ U. Auf U installieren wir die durch diese Bijektioninduzierte Topologie. Wir versehen X schließlich mit der Finaltopologie derInklusionsabbildungen U → X, wobei U uber alle einfach zusammenhangendenoffenen Teilmengen von X lauft. Wir zeigen nun: Ist γ ∈ Γ und γU ∩ U , ∅, so folgtγ = 1. Sei also γU ∩ U , ∅. Dann gibt es y, z ∈ U mit γ.τ.σy ' τ.σz. Durch Auswertungbei 1 sieht man y = z, also γ.τ.σy ' τ.σy. Damit folgt

x0 ' γ.τ.σy.σy.τ.

Es ist σy.σy ' x0 und also τ.σy.σy.τ ' x0 und daher γ ' x0, was bedeutet, dass γ das

Topologie 26

triviale Element von Γ reprasentiert. Wir zeigen weiter

p−1(U) =∐γ∈Γ

γU U × Γ U × Γ.

Sei hierzu [η] ∈ p−1(U), also η(1) = y ∈ U, dann ist γ = [η.σy.τ] ∈ Γ und es gilt[η] = γ[τ.σy] ∈ γU. Damit ist p eine uberlagerung.

X ist wegzusammenhangend, denn sei [τ] ∈ X, dann gibt es einen Weg σ in X, der [τ]mit dem konstanten Weg verbindet, namlich

σ(s) = [t 7→ τ((1 − s)t)].

Sei π : E→ X eine zusammenhangende Uberlagerung. Nach Lemma 2.3.3 ist Ewegzusammenhangend. Wahle f ∈ π−1(x0). Definiere η : X→ E durch

η([τ]) = τ f (1),

wobei τ f der eindeutige Lift des Weges τ nach E ist mit τ f (0) = f . Da π τ f = τ ist,kommutiert das Diagramm

Xη

E

π

X.

Die Abbildung η ist surjektiv, denn sei e ∈ E und sei τ ein Weg in E von f nach e, danngilt wegen der Eindeutigkeit des Lifts: e = η([π τ]). Dann ist η eine uberlagerung. Sei

Σ =λ ∈ X : η(λ) = f

Dann ist Σ ⊂ Γ und η induziert einen Homoomorphismus Σ\X→ E.

Es bleibt zu seigen, dass X einfach zusammenhangend ist. Dafur sei σ eingeschlossenener Weg in X mit Anfangspunkt y0. Dann ist σ der eindeutig bestimmteLift des Weges p σ. Fur t ∈ [0, 1] sei τt der Weg in X gegeben durch

τt(s) = p σ((1 − s)t).

Dann ist σ(t) = τt(1) ebenfalls ein Lift von p σ mit Anfangspunkt y0, also ist σ = σ.

Topologie 27

Daher konnen wir eine Homotopie h : [0, 1] × [0, 1]→ X definieren:

h(s, t) = τt(1 − s),

wobei wir τt(1 − s) interpretieren als τs,t(1), wobei τs,t der Weg τs,t(r) = τt((1 − s)r) ist.Dann ist h eine Homotopie auf den konstanten Weg.

Beispiel 2.3.6. Fur n ∈N sei Kn ⊂ R2 der Kreis mit Radius 1n und Mittelpunkt ( 1

n , 0).Sei X ⊂ R2 die Vereinigung aller Kreise Kn fur n ∈N. Der Raum X ist nicht lokaleinfach zusammenhangend, da keine Umgebung des Punktes (0, 0) einfachzusammenhangend ist. Dieser Raum besitzt keine universelle Uberlagerung, da jedeuberlagerung das homoomorphe Bild einer Umgebung des Punktes (0, 0) enthaltenmuss, aber keine Umgebung dieses Punktes einfach zusammenhangend ist.

Beispiele 2.3.7. • Die Abbildung R→ T gegeben durch t 7→ e2πit ist dieuniverselle Uberlagerung von T S1.

• Rn→ Rn/Zn ist die universelle Uberlagerung.

• Wir schreiben R× fur R r0. Sei n ≥ 2 und sei P(Rn) der n- dimensionale

projektive Raum, d.h.:

Pn(R) = (Rn+1 r0)/R× = Sn/ ± 1.

Dann ist π : Sn→ Pn(R) eine zweifache Uberlagerung und Sn ist einfach

zusammenhangend, also ist Sn die universelle uberlagerung von Pn(R).

Lemma 2.3.8. Seien τ, σ Wege in X von x0 nach x1. Ist τ.σ ' x0, dann ist τ ' σ.

Beweis. Aus τ.σ ' x0 folgt τ ' τ.σ.σ ' σ.

Definition 2.3.9. Eine Gruppe Γ operiert frei oder fixpunktfrei auf einer Menge M, fallsfur jedes m ∈M und jedes γ ∈ Γ gilt

γm = m ⇒ γ = 1,

also wenn alle Stabilisatorgruppen trivial sind.

Sei nun Y ein topologischer Raum. Eine Gruppe Γ operiert diskontinuierlich auf Y,wenn jeder Punkt y ∈ Y eine offene Umgebung U besitzt mit

γU ∩U , ∅ → γ = 1.

Topologie 28

Operiert Γ diskontinuierlich, so operiert Γ auch frei.

Wir sagen, dass eine Gruppe Γ auf einem Raum X stetig operiert, wenn fur jedes γ ∈ Γ

die Abbildung x 7→ γx stetig ist. Diese Abbildung ist dann automatisch einHomoomorphismus.

Lemma 2.3.10. Sei G eine endliche Gruppe, die stetig und frei auf einem vollstandigenmetrischen Raum (X, d) operiert. Dann operiert G diskontinuierlich.

Beweis. Angenommen, G operiert nicht diskontinuierlich, dann existiert ein Punktx ∈ X so dass es fur jedes Un = B1/n(x), n ∈N ein gn ∈ G gibt mit gn , 1 undgnUn ∩Un , ∅. Da G endlich ist, kann man gn = g fur ein g ∈ G annehmen. Das heißt,fur jedes n gibt es xn, yn ∈ Un mit xn = gyn. Die Folgen xn und yn konvergieren beidegegen x, also folgt aus der Stetigkeit, dass gx = x. Widerspruch!

Definition 2.3.11. Eine Gruppe Γ operiert transitiv auf einer Menge M, wenn M nuraus einem einzigen Orbit besteht, wenn also gilt

m,n ∈M ⇒ ∃ γ ∈ Γ : γm = n.

Sei X wegzusammenhangend und π : E→ X eine uberlagerung. EineDecktransformation ist ein Homoomorphismus d : E→ E derart, dass das Diagramm

E d //

π

E

π

X

kommutiert. Sei Γ(π) die Gruppe aller Decktransformationen.

Proposition 2.3.12. Sei X wegzusammenhangend und π : E→ X eine uberlagerung.

(a) Ist E zusammenhangend und d eine Decktransformation mit d(e) = e fur ein e ∈ E, dannist d = IdE. Insbesondere folgt: Ist π die universelle Uberlagerung, so ist Γ(π) π1(X).

(b) Ist Y einfach zusammenhangend und operiert eine Gruppe Γ diskontinuierlich und stetigauf Y, so gilt Y = X mit X = Γ\Y, sowie Γ π1(X).

Beweis. (a) Sei d(e) = e und sei f ∈ E. Dann existiert ein Weg α von e nach f in E. Seiγ = π α. Dann ist α der eindeutig bestimmte Lift von γ nach E mit α(0) = e, also

Topologie 29

α = γe. Andererseits ist d α ebenfalls ein Lift von γ mit d α(0) = d(α(0) = d(e) = e,also folgt d α = α und somit d( f ) = d α(1) = α(1) = f , das heißt, d = Id.

Ist π universell, so operiert Γ = π1(X, x0) diskontinuierlich auf X durchDecktransformationen, also Γ → Γ(π). Nun operiert Γ auch transitiv auf der FaserF = π−1(x0). Sei also d eine Decktransformation und e ∈ F. Dann existiert ein γ ∈ Γ mitd(e) = γ(e), also γ−1d(e) = e, also γ−1d = Id oder γ = d.

(b) Sei Y einfach zusammenhangend und Γ operiere diskontinuierlich. Wir zeigen,

dass die Projektion π : Y→ X def= Γ\Y eine uberlagerung ist. Sei hierzu x ∈ Γ\Y, etwa

x = Γy. Sei V eine offene Umgebung von y mit γV ∩ V , ∅ ⇒ γ = 1. Dann istU = π(V) eine offene Umgebung von x und das Diagramm

π−1(U) =∐

γ∈Γ γV //

π''

V × Γ U × Γ

p1xx

U

kommutiert. Damit ist π eine uberlagerung. Da Y einfach zusammenhangend ist, folgtY X.

3 Mannigfaltigkeiten und CW-Komplexe

3.1 Mannigfaltigkeiten

Definition 3.1.1. Ein Raum X heißt lokal euklidisch der Dimension n, falls jeder Punktx ∈ X eine offene Umgebung U besitzt, die homoomorph ist zum Rn. EineMannigfaltigkeit ist ein lokal euklidischer Hausdorffraum, dessen Topologie abzahlbarerzeugt ist.

Beispiele 3.1.2. • Rn, Sn, Rn/Zn.

• Mobiusband.

Definition 3.1.3. Eine Flache ist eine zweidimensionale zusammenhangendeMannigfaltigkeit.

Beispiele 3.1.4. • Der Torus R2/Z2.

• Die Projektive Ebene P2(R) = S2/±1.

Topologie 30

Definition 3.1.5. Die Summe M#N zweier Flachen M und N erhalt man, indem man injeder eine Kreisscheibe entfernt und die beiden Rander verklebt. Es folgt also:

S2#M M.

Satz 3.1.6. Jede kompakte Flache gehort zu einer der folgenden Familien:

1. S2

2. Summe von g-Tori g ≥ 1,

3. Summe von k projektiven Ebenen k ≥ 1.

Beweis. Ohne Beweis.

3.2 CW-Komplexe

Definition 3.2.1. Sei X ein topologischer Raum und sei f : Sn−1→ X eine stetige

Abbildung. SeiDn =x ∈ Rn : ||x|| ≤ 1

. Dann ist Sn−1 eine Teilmenge vonDn. Sei

Y = X∐

Sn−1Dn die Verklebung von X undDn. Wir sagen, Y ist gleich X erweitert umeine n-Zelle. Die Zelle ist das Innere vonDn. Ebenso kann man X simultan um eineganze Familie von n-Zellen erweitern, es seien dazu fur jedes i ∈ I der RaumDn

i eineKopie vonDn und es seien fi : Sn−1

i → X stetige Abbildungen, dann sei D = ·∪i∈IDni ,

ferner S = ·∪i∈ISn−1i . Dann ist X

∐S D die Erweiterung von X um die n-ZellenDn

i .

Ein CW-Komplex ist ein topologischer Raum X mit einer Folge von abgeschlossenenTeilmengen (Xn)n≥0 so dass

• X =⋃

n≥0 Xn,

• X0 ist diskret.

• Xn entsteht aus Xn−1 durch Erweiterung um eine Familie von n-Zellen.

• X tragt die Finaltopologie der Einbettungen Xn → X.

Topologie 31

Es folgt, dass eine Abbildung X→ Y genau dann stetig ist, wenn Xn → Y stetig ist furjedes n. Ferner ist U ⊂ X genau dann offen/abgeschlossen, wenn U ∩ Xn

offen/abgeschlosen ist fur jedes n.

Ist X = Xn fur ein n und ist n minimal mit dieser Eigenschaft, dann sagt man X hat dieDimension n. Also ein 1-dimensionaler CW-Komplex ist ein Multigraph.

Ein CW-Komplex X heißt regular, wenn fur jede n-Zelle die Verklebungsabbildungf : Sn−1

→ Xn−1 ein Homoomorphismus aufs Bild ist. Beispiel: Ein Multigraph ohneSchleifen.

Die Menge Xn wird das n-dimensionale Skelett von X genannt.

Proposition 3.2.2. Jeder CW-Komplex ist ein Hausdorffraum.

Beweis. Sei X =⋃

n Xn ein CW-Komplex und seien x , y in X. Sei n der kleinste Indexmit x, y ∈ Xn. Liegen x, y in derselben Zelle e, so gibt es in e offene Umgebungen, die xund y trennen. Liegt x ∈ e und y ∈ Xn \ e, so gibt es offene Umgebungen, die x undXn \ e trennen. In jedem Fall gibt es offenen Teilmengen Un,Vn von Xn mit x ∈ Un,y ∈ Vn und Un ∩ Vn = ∅. Beim Anfugen einer (n + 1)-Zelle e gibt es offene MengenUn(e),Vn(e) ⊂ Xn ∪ e mit Un(e) ∩ Xn = Un, Vn(e) ∩ Xn = Vn und Un(e) ∩ Vn(e) = ∅. DurchVereinigung dieser Mengen uber alle (n + 1)-Zellen erhalte offene MengenUn+1,Vn+1 ⊂ Xn+1, die x und y trennen und Un+1 ∩ Xn = Un, sowie Vn+1 ∩ Xn = Vn

erfullen. Induktiv erhalt man eine Folge solcher Mengen und setzt

U =⋃

n

Un, V =⋃

n

Vn.

Dies sind offenen Mengen, die x und y trennen.

Definition 3.2.3. Eine stetige Abbildung f : X→ Y zwischen CW- Komplexen heißtzellular, falls f (Xn) ⊂ Yn gilt fur jedes n ≥ 0.

Ein Unterkomplex eines CW-Komplexes ist eine abgeschlossenen Teilmenge, dieVereinigung von Zellen ist. Ist A ⊂ X ein Unterkomplex, so hat X/A eine naturlicheCW-Struktur.

Satz 3.2.4. Sei K eine kompakte Teilmenge eines CW- Komplexes X. Dann trifft K nurendlich viele Zellen von X.

Umgekehrt ist eine abgeschlossene Teilemenge, die nur endlich viele Zellen trifft, kompakt.

Topologie 32

Beweis. Die Umkehrung ist trivial, da der Abschluss einer Zelle kompakt ist.

Sei A ⊂ X eine Teilmenge so dass fur jede Zelle e der Schnitt A ∩ e hochstens einenPunkt hat. Wir zeigen: A ist abgeschlossen. Sei An = Xn ∩ A. Die Menge A0 istabgeschlossen. Sei induktiv An bereits als abgeschlossen erkannt. Sei Bn+1 = An+1 \ An,also An+1 = An ·∪Bn+1. Es ist zu zeigen, dass Bn+1 in Xn abgeschlossen ist. Nun istXn+1 \ Bn+1 = Xn ∪

⋃e e·, wobei die Vereinigung uber alle (n + 1)-Zellen e lauft und e· ist

entweder gleich e oder gleich e minus ein Punkt. Damit ist Xn+1 \ Bn+1 eine offeneUmgebung von Xn in Xn+1, also ist Bn+1 abgeschlossen in Xn+1, und ist An+1

abgeschlossen. Insgesamt folgt, dass A abgeschlossen ist. Da dies ebenso fur jedeTeilmenge von A gilt, ist A auch diskret.

Sei nun K ⊂ X kompakt. Wahle fur jede Zelle e, die K trifft ein Element von K ∩ e undsei A die Menge all dieser Punkte. Dann ist A ⊂ K abgeschlossen und diskret, alsoendlich.

Satz 3.2.5. Ein CW-Komplex ist lokal einfach zusammenhangend.

Beweis. Sei X =⋃

n Xn ein CW-Komplex, sei x ∈ X und sei V eine offene Umgebungvon x in X. Wir zeigen: es gibt eine einfach zusammenhangende offene UmgebungU ⊂ V von x. Sei n0 die kleinste Zahl mit x ∈ Xn0 , dann liegt x in einer n0-Zelle e undV ∩ e enthalt eine einfach zusammenhangende Umgebung von x.

Induktiv sei Un eine einfach zusammenhangende Umgebung von x in V ∩ Xn. Wirzeigen, dass es eine einfach zusammenhangende offene Umgebung Un+1 von x inV ∩Xn+1 gibt, mit Un+1 ∩Xn = Un. Sei hierzu e eine (n + 1)-Zelle und sei f : Sn

→ Xn dieVerklebungsabbildung, die e definiert. Sei

Uen+1 =

y ∈ Dn+1\ Sn : y , 0, f

y∣∣∣∣∣∣y∣∣∣∣∣∣ ∈ Un

.Dann existiert ein ε > 0, so dass

Uen+1

def= Ue

n+1 ∩x : ||x|| > 1 − ε

⊂ V,

Topologie 33

da Un ⊂ V. Setze

Un+1def=

⋃e

Uen+1 ∩Un,

wobei die Vereinigung uber alle (n + 1)- Zellen e lauft. Dann ist jeder geschlosseneWeg in Un+1 mit Enden in Un homotop (mit festen Enden) zu einem Weg in Un. Da Un

einfach zusammenhangend und Un+1 zusammenhangend, ist also Un+1 einfachzusammenhangend. Dann ist aber auch U =

⋃n Un einfach zusammenhangend.

3.3 Einhangung

Sei X ein topologischer Raum. Die Einhangung von X ist

ΣX def= X × [0, 1]/(x, 0) ∼ (x′, 0), (x, 1) ∼ (x′, 1).

Beispiel: ΣSn = Sn+1 fur n ≥ 0.

3.4 Homotopie-Aquivalenz

Definition 3.4.1. Zwei stetige Abblidungen f , g : X→ Y heißen frei homotop odereinfach nur homotop, wenn es eine stetige Abbildung

h : [0, 1] × X→ Y

gibt mith(0, x) = f (x), h(1, x) = g(x)

fur jedes x ∈ X. Wir schreiben in diesem Fall f ∼ g.

Beispiel 3.4.2. Jeder Weg ist frei homotop zu einem konstanten Weg.

Denn: sei γ : [0, 1]→ X stetig, dann ist h(s, t) = γ((1 − s)t) eine Homotopie zumkonstanten Weg γ(0).

Definition 3.4.3. Eine stetige Abbildung f : X→ Y heißt Homotopie-Aquivalenz, falls eseine stetige Abbildung g : Y→ X gibt mit

f g ∼ IdY und g f ∼ IdX.

Topologie 34

Gibt es eine Homotpie-Aquivalenz zwischen X und Y, so heißen X und Y homotopie-aquivalent, geschrieben X ∼ Y.

Beispiele 3.4.4. • Sind X und Y homoomorph, dann sind siehomotopie-aquivalent.

• Rn ist homotopie-aquivalent zum Punkt, denn die Abbildung φ : Rn→ Rn,

x 7→ 0 ist homotop zur Identitat via der Homotopie

h(s, x) = sx.

Definition 3.4.5. Ein Raum X, der homotopie-aquivalent ist zu einem Punkt, heißtzusammenziehbar.

Sei f : X→ Y eine stetige Abbildung wegzusammenhangender Raume. Wirdefinieren die Abbildung

π( f ) : π1(X, x0)→ π1(Y, f (x0))

durch

π( f )[γ] def= [ f γ].

Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn γ ' τ ⇒ f γ ' f τ. Asserdem gilt

[ f (γ.τ)] = [( f γ).( f τ)],

so dass die Abbildung π( f ) ein Gruppenhomomorphismus ist.

Satz 3.4.6. Sind die zusammenhangenden Raume X und Y homotopie-aquivalent, danngilt

π1(X) π1(Y).

Beweis. Sei f : X→ Y eine Homotopie-aquivalenz mit Homotopie-Inverser g : Y→ X.Dann bildet π1(g f ) die Gruppe π1(X, x0) auf π1(X, g f (x0)) ab. Sei nun h : [0, 1] × X→ Xeine Homotopie von g f nach IdX, also h(0, x) = g( f (x)) und h(1, x) = x. Die Abbildungh γ : [0, 1] × [0, 1]→ X, wirft (s, t) auf h(s, γ(t)) und ist eine freie Homotopie zwischeng fγ und γ, die aber durch geschlossene Wege verlauft. Sei σ(t) = h(1 − t, x0), dann

Topologie 35

verbindet der Weg σ die Punkte x0 = γ(0) und g f (x0). Dann ist σ.γ.σ homotop mitfesten Enden zu g fγ, also ist [γ] 7→ [g fγ] 7→ [σ.g fγ.σ] die identische Abbildung aufder Gruppe π1(X, x0). Diese Abbildung ist aber gleich [γ] 7→ σ.π(g)π( f )[γ].σ. Also hatder Gruppenhomomorphismus π( f ) die Linksinverse σ.π(g).σ. ahnlich zeigt man,dass diese Abbildung auch rechtsinvers ist.

3.5 Simplizialkomplexe

Definition 3.5.1. Ein n-Simplex ist die konvexe Hulle von (n + 1) affin unabhangigenPunkten im RN, wobei N ∈N ist mit N ≥ n.

∆ = conv(v0, . . . , vn) =

n∑j=0

λ jv j : λ j ≥ 0,∑

j

λ j = 1

.Sei X ein CW-Komplex. Die Menge der Ecken einer Zelle e ist die Menge

e ∩ X0.

Der CW-Komplex X heisst Simplizialkomplex, wenn

• er regular ist,

• jede n-Zelle genau n + 1 Ecken hat und

• zwei Zellen mit gleichen Ecken ubereinstimmen, d.h.:

e ∩ X0 = f ∩ X0 ⇒ e = f .

Definition 3.5.2. Ein kombinatorischer Simplizialkomplex uber einer Menge S ist einSystem E ⊂ P(S) von nichtleeren endlichen Teilmengen, so dass aus E ⊂ F ∈ E folgtE ∈ E.

Proposition 3.5.3. Ist X ein Simplizialkomplex , so bildet das System der Eckenmengen vonSimplizes einen kombinatorischen Simplizialkomplex uber X0. Ist umgekehrt einkombinatorischer Simplizialkomplex (S,E) gegeben, so gibt es bis auf zellulare Homoomorphiegenau einen Simplizialkomplex X so dass S X0 und E ist das System der Eckenmengen vonX. Mann nennt X die geometrische Realisierung des kombinatorischen Komplexes (S,E).

Topologie 36

Beweis. Der erste Teil ist klar. Zum zweiten sei (S,E) ein kombinatorischerSimplizialkomplex. Zu jedem E =

x0, . . . , xn

mit (n + 1) Elementen wahle einen

n-Simplex ∆E ⊂ RN. Setze

X def=

∐E∈E

∆e/ ∼,

wobei ∼ die Aquivalenzrelation ist, die fur E ⊂ F den Simplex ∆E mit derentsprechenden Seite von ∆F identifiziert. Die Proposition folgt.

Beispiel 3.5.4. Sei S eine Menge. Der volle kombinatorische Simplizialkomplex uber S istdie Menge E aller endlichen Teilmengen von S.

Proposition 3.5.5. Sei S , ∅ eine Menge und sei X die geometrische Realisierung des vollenSimplizialkomplexes uber S. Dann ist X zusammenziehbar.

Beweis. Sei s0 ∈ S ein fest gewahlter Punkt. Fur jeden Simplex ∆, der s0 als Ecke hat,gibt es eine kanonische Homotopie h∆ : I × ∆→ ∆, die ∆ auf s0 zusammenzieht,namlich:

h∆(t, x) = ts0 + (1 − t)x.

Insbesondere gilt: Ist ∆′ eine Seite von ∆, die s0 enthalt, dann ist h′∆

= h∆|I×∆′ . Man kannalso die h∆ zusammensetzen zu einer Homotopie, die die Vereinigung aller ∆ mits0 ∈ ∆ auf s0 zusammenzieht. Diese Vereinigung ist im Falle des vollen Komplexesaber schon ganz X.

3.6 Klassifizierende Raume

Definition 3.6.1. Sei Γ eine Gruppe. Ein zusammenhangender CW-Komplex BΓ heißtklassifizierender Raum von Γ, falls

• π1(BΓ) Γ und

• die universelle Uberlagerung BΓ ist zusammenziehbar.

Satz 3.6.2. Zu jeder Gruppe Γ existiert ein klassifizierender Raum.

Topologie 37

Beweis. Sei Γ eine Gruppe. Sei S =N × Γ. Sei E das System aller endlichen TeilmengenE von S mit der Eigenschaft

|E ∩ (n× Γ)| ≤ 1

fur jedes n ∈N. Dann ist E ein kombinatorischer Simplizialkomplex uber S. DieGruppe Γ operiert auf E durch Linkstranslation, also

γ(k1, γ1), . . . , (kn, γn)

=

(k1, γγ1), . . . , (kn, γγn)

.

Nach Konstruktion giltγE ∩ E , ∅ ⇒ γ = 1.

Sei X die geometrische Realisierung. Dann operiert Γ auf der Eckenmenge X0 unddiese Operation kann durch Konvexkombinationen auf alle Simplizes, also auf ganz Xausgedehnt werden, so dass Γ durch zellulare Homoomorphismen operiert. Wirbehaupten, dass X zusammenziehbar ist und dass Γ diskontinuierlich auf X operiert.Sei A der Unterkomplex bestehend aus allen Simplizes, die keine Ecke der Gestalt(1, γ) enthalten. In einem ersten Schritt geben wir eine Homotopie h1 : I × X→ X and,so dass h1(s, a) = a fur jedes a ∈ A, h1(0, x) = x und h1(1, x) ∈ A fur jedes x ∈ X. Hierfursei x ∈ X. Ist x ∈ A, setze h1(s, x) = x fur alle s. Ist x < A, dann wahle einen Simplex ∆,der x enthalt. Dann gilt x = λ(1, γ) + (1 − λ)a fur ein a ∈ A. Setze h1(s, x) = (1 − s)x + sa.Diese Homotopie hangt nicht von der Wahl des Simplex ab, liefert also diegewunschte Homotopie. Als nachtes definieren wir eine Homotopie, die A innerhalbvon X auf einen Punkt zusammenzieht. Genauer sei h2 : I × A→ X definiert durch

h2(s, a) = (1 − s)a + sx0,

wobei x0 ein festes Element von1× Γ ist, etwa (1, 1). Durch

Hintereinanderausfuhren dieser Homotopien erhalt man eine Homotopie, die X aufeinenPunkt zusammenzieht, X ist also zusammenziehbar.

Um zu zeigen, dass Γ diskontinuierlich operiert, zeigen wir zunachst, dass furgegebenes n die Gruppe Γ frei auf der Menge aller n-Simplizes operiert. Dies ist abergenau aquivalent zu der oben beschriebenen Eigenschaft der freien Operation auf E.Sei nun x ∈ X und sei n0 der kleinste Index mit x ∈ Xn0 . Wir konstruieren fur jedesn ≥ n0 eine offene Umgebung Un von x in Xn so dass gilt

γUn ∩Un , ∅ ⇒ γ = 1, und Un+1 ∩ Xn = Un.

Topologie 38

Fur n = n + 0 sei Un = e die n0-Zelle, in der x liegt. Da Γ frei auf der Menge dern0-Zellen operiert, folgt die Eigenschaft. Nun sei n ≥ n0 und Un bereits konstruiert.Fier jeden (n + 1)-Simplex ∆ wahle einen festen Punkt x∆ im Inneren von ∆ und setze

V∆ =tx∆ + (1 − t)y : 0 < t < 1, y ∈ ∆ ∩Un

.

Dann setze Un+1 = Un ∪⋃

∆ V∆, wobei die Vereinigung uber alle (n + 1)-Simplices lauft.Die geforderten Eigenschaften ergeben sich. Setze schließlich

U =⋃

n

Un.

Dann ist U eine offene Umgebung von x in X mit

γU ∩U , ∅ ⇒ γ = 1.

Also operiert Γ diskontinuierlich und da X zusammenziehbar, also einfachzusammenhangend ist, folgt

Γ π1(Γ\X),

sowie dass X die universelle Uberlagerung von BΓdef= Γ\X ist.

Topologie 39

4 Homologie

4.1 Simpliziale Homologie

Definition 4.1.1. Sei S eine Menge. Die Gruppe

Fr(S) = Z(S) =

f : S→ Z : f (s) = 0 fur fast alle s

heißt freie abelsche Gruppe zur Basis S. Fur s ∈ S sei δs : S→ Z gegeben durch

δs(x) =

1 x = s,

0 x , s.

Dann ist (δs)s∈S eine Basis des Z-Moduls Z(S). Es ist ublich, δs mit s zu identifizierenund die Elemente der Gruppe in der Form∑

s∈S

css

zu schreiben, wobei cs ∈ Z, fast alle Null.

Sei (X0,E) ein kombinatorischer Simplizialkomplex mit geometrischer Realisierung X.Wir wahlen eine lineare Ordnung ≥ auf der Menge X0. Dann induziert ≥ eineOrdnung ≥E auf jeder endlichen Teilmenge E. Sei Sn die Menge aller Zellen derDimension n, also der Elemente e ∈ Emit |e| = n + 1. Sei Cn(X) die freie abelscheGruppe uber Sn. Ein Element von Sn kann man schreiben als [v0, . . . , vn] mitv0 ≤ · · · ≤ vn. Definiere eine Z-lineare Abbildung

∂n : Cn(X)→ Cn−1(X),

den Randoperator, durch

∂n[v0, . . . , vn] =

n∑i=0

(−1)i[v0, . . . vi . . . , vn].

Lemma 4.1.2. Es gilt ∂n−1∂n = 0.

Topologie 40

Beweis. Wir rechnen

∂n−1∂n[v0, . . . , vn] = ∂n−1

n∑i=0

(−1)i[. . . vi . . . ]

=∑j<i

(−1)i+ j[. . . v j . . . vi . . . ]

+∑j>i

(−1)i+ j+1[. . . vi . . . v j . . . ] = 0.

Insbesondere folgtBild ∂n+1 ⊂ ker ∂n.

Definition 4.1.3. Wir definieren die simpliziale Homologie von X als

Hn(X) def= ker ∂n/Bild ∂n+1.

Hierbei ist ∂0 die Nullabbildung.

Lemma 4.1.4. Die simpliziale Homologie hangt nicht von der wahl der Ordnung auf X0 ab.Ist ≥′ eine weitere Ordnung mit Homologie H′n(X), dann gibt es einen kanonischenIsomorphismus abelscher Gruppen

Hn(X)→ H′n(X).

Beweis. Die Anderung der Ordnung induziert auf jeder endlichen Teilmenge E ⊂ X0

eine Permutation σE : E→ E. Sei E =v0, . . . , vn

, so definiere

σ([v0, . . . , vn]) = [σ(v0), . . . , σ(vn)].

Dies induziert eine lineare Abbildung σ : Cn(X)→ C′n(X) die bijektiv ist. Man rechnetnach, dass

σ∂n = ∂′nσ

gilt. Daraus folgt die Behauptung.

Beispiele 4.1.5. • Ist X ein Punkt, dann gilt

Hn(X) =

Z n = 0

0 n ≥ 1.

Topologie 41

• Ist X Graph mit den Ecken v0, v1, v2, wobei alle drei moglichen Kantenvorhanden sind, dann gilt

Hn(X) =

Z n = 0, 1

0 n ≥ 2.

Beweis. Die zweite Aussage wird bewiesen: Es gilt Cn(X) = 0 fur n ≥ 2, deshalb istHn(X) = 0 fur n ≥ 2. Ferner gilt

C0 = Z[v0] ⊕Z[v1] ⊕Z[v2]

C1 = Z[v0, v1] ⊕Z[v0, v2] ⊕Z[v1, v2]

und

∂1[vi, v j] = [v j] − [vi].

Hieraus folgtBild ∂1 = Z([v1] − [v0]) ⊕Z([v2] − [v0]).

Damit ist die Abbildung δ : H0(X)→ Z, gegeben durchδ(a[v0] + b[v1] + c[v2]) = a + b + c ein Isomorphismus, also H0(X) Z. Schließlich:

H1(X) = ker ∂1 = Z([v1, v2] − [v0, v2] + [v0, v1]) Z.

4.2 Singulare Homologie

Definition 4.2.1. Der standard n-Simplex ist die Menge

∆n = conv(e0, . . . , en) ⊂ Rn+1,

wobei e0, . . . , en die Standard-Basis des Rn+1 bezeichnet.

Sei X ein topologischer Raum. Ein singularer n-Simplex ist eine stetige Abbildung

σ : ∆n→ X.

Sei Cn(X) die freie abelsche Gruppe erzeugt von allen singularen n-Simplices in X. Daein 0-Simplex eine Abbildung des Einpunktraums nach X ist, kann C0(X) auch mit der

Topologie 42

freien abelschen Gruppe uber X identifiziert werden.

Ferner liefert die Abbildung t 7→ (1 − t)e0 + te1 einen Homoomorphismus [0, 1]→ ∆1.Identifizieren wir auf diese Weise ∆1 mit dem Einheitsintervall, dann ist ein singularer1-Simplex nichts anderes als ein Weg in X.

Wir schreiben die konvexe Hulle von (e0, . . . , en) ab jetzt als [e0, . . . , en]. Sei[e0, . . . e j . . . , en] = [e0, . . . , e j−1, e j+1, . . . , en], dann kann man diesen Untersimplex mitdem Standard (n− 1)-Simplex ∆n−1 identifizieren via der eindeutig bestimmten affinenAbbildung S j : ∆n−1

→ ∆n gegeben durch

S j(ei) =

ei i < j

ei+1 i ≥ j.

Diese Abbildung nennt man auch die j-te Seitenabbildung.

Sei ∂n : Cn(X)→ Cn−1(X) die lineare Abbildung gegeben durch

∂n(σ) =

n∑i=0

(−1)iσ|[e0,...ei...,en].

Man nennt ∂n den Randoperator.

Lemma 4.2.2. Es gilt ∂n−1∂n = 0.

Beweis. Wir rechnen

∂n−1∂n(σ) = ∂n−1

n∑i=0

(−1)iσ|[...ei... ]

=∑j<i

(−1)i+ jσ|[...e j...ei... ]

+∑j>i

(−1)i+ j+1σ|[...ei...e j... ] = 0.

Definition 4.2.3. Die singulare Homologie des Raums X ist definiert als

Hn(X) = Ker ∂n/Bild ∂n+1.

Hierbei ist ∂0 die Nullabbildung.

Topologie 43

Proposition 4.2.4. (a) Ist X =∐

α Xα die Zerlegung von X in Weg-Komponenten, dann gilt

Hp(X) =⊕α

Hp(Xα).

(b) Ist X , ∅ und wegzusammenhangend, dann ist H0(X) Z.

(c)

Hp(x0

) =

Z p = 0,

0 p ≥ 1.

Beweis. Da ein singularer Simplex stets in einer Zusammenhangskomponente liegt, istCn(X) =

⊕α Cn(Xα). Ferner bildet ∂n den Raum Cn(Xα) nach Cn−1(Xα) ab. Daher folgt

(a).

Fur (b) betrachte die Abbildung deg : C0(X)→ Z gegeben durch

deg(∑

i

kixi) =∑

i

ki.

Da X , ∅, ist deg surjektiv. Wir mussen zeigen, dass fur wegzusammenhangendes Xder Kern von deg mit dem Bild von ∂1 ubereinstimmt. Sei hierzu σ : [0, 1]→ X einsingularer 1-Simplex. Sei x0 = σ(0) und x1 = σ(1). Dann folgt ∂1σ = x0 − x1 ∈ C0(X).Also ist deg(∂1σ) = 1 − 1 = 0, also Bild ∂1 ⊂ Ker deg. Sei umgekehrt f ∈ Ker deg. Dannfolgt f =

∑Ni=1 kixi mit

∑i ki = 0. Dann lasst sich f schreiben in der Form

f =

M∑j=1

(a j − b j)

fur geeignete Elemente a j, b j von X. Sei σ j ein Weg von a j nach b j, dann ist σ j einsingularer 1- Simplex, also ist

f =∑

j

∂1(σ j) = ∂1(∑

j

σ j) ∈ Bild ∂1.

Schließlich fur (c) sei X ein Punkt. Dann gibt es fur jedes n genau einen singul arenn-Simplex σn und es gilt

∂nσn =

n∑i=0

(−1)iσn−1 =

σn−1 n gerade,

0 n ungerade.

Topologie 44

Also bilden die Cn(X) den Komplex

· · ·0−→ Z

−→ Z

0−→ Z

−→ Z

0−→ Z→ 0.

Die Behauptung folgt.

Beispiele 4.2.5. • Sei n ≥ 1, dann ist Hp(Sn) =

Z p = 0,n

0 sonst.

• Hp(Rn/Zn) =

Z(n

p) 0 ≤ p ≤ n

0 sonst.

Beweis spater.

Fur spatere Argumente brauchen wir eine großere Flexibilitat in der Beschreibung dersingularen Simplizes. Sind v0, . . . , vn affin unabhangige Punkte im RN, so gibt es eineeindeutig bestimmte affine Bijektion φ : ∆ = conv(v0, . . . , vn)→ ∆n mit

φ(v j) = e j j = 0, . . . ,n.

Durch Vorschalten von φ kann man also einen singularen n-Simplex σ auch alsAbbildung von ∆ nach X auffassen. Beachte, dass der Isomorphismus φ eineReihenfolge der Ecken des Simplex ∆ festlegt. In der Tat ist eine Reihenfolge derEcken erforderlich, um den Randoperator zu definieren. Wir schreiben alsoσ : [v0, . . . , vn]→ X fur einen singularen n-Simplex, wobei wir σ φ meinen. DieSchreibweise [v0, . . . , vn] deutet an, dass wir uns die Reihenfolge der Ecken desSimplex ∆ merken.

Beachte, dass wir dann zwei Simplices σ : [v0, . . . , vn]→ X und τ : [w0, . . . ,wn]→ X alsgleich betrachten mussen, wenn gilt

σ

n∑j=0

λ jv j

= τ

n∑j=0

λ jw j

fur jedes Tupel (λ j) reeller Zahlen mit λ j ≥ 0 und

∑j λ j = 1.

Topologie 45

4.3 Homotopie

Definition 4.3.1. Allgemeine Sprechweise: Eine Folge von Homomorphismenabelscher Gruppen

· · · → Cn+1∂n+1−→ Cn → Cn−1

∂n−→ . . .

heißt Kettenkomplex, falls∂n∂n+1 = 0

fur jedes n gilt. Die Homologie des Komplexes ist dann

Hp(C) = Ker ∂n/Bild ∂n+1.

Die Elemente von Ker ∂n heißen auch n-Zykel. man schreibt:

Zn(C) = Ker ∂n.

Die Elemente von Bild ∂n+1 heißen n-Rander. Man schreibt:

Bn(C) = Bild ∂n+1.

Also:Hn(C) = Zn(C)/Bn(C).

Der Komplex ist exakt, oder eine exakte Sequenz, falls Hp(C) = 0 fur jedes p gilt.

Definition 4.3.2. Sind (An, ∂n)n∈Z und (Bn, ∂n)n∈Z zwei Kettenkomplexe, so ist einHomomorphismus von Kettenkomplexen φ• : A• → B• gegeben durch eine Familie vonGruppenhomomorphismen φn : An → Bn so dass fuer jedes n das Diagramm

An∂n //

φn

An−1

φn−1

Bn∂n // Bn−1

kommutiert. (Streng genommen muessten wir ∂An und ∂B

n schreiben, da es aber jeweilsklar ist, um welchen Randoperator es sich handelt, lassen wir den Index weg.)

Da ein Homomorphismus von Kettenkomplexen stets den Kern von ∂A auf den Kernvon ∂B wirft und ebenso fuer das Bild, induziert φ• stets Homomorphismen auf der

Topologie 46

Homologie:φ∗ : Hp(A)→ Hp(B).

Definition 4.3.3. Ein Homomorphismus von Kettenkomplexen φ• : A• → B• heisstketten-nullhomotop, falls es Gruppenhomomorphismen Pn : An → Bn+1 gibt, so dass

φn = ∂Pn + Pn−1∂

fuer jedes n ∈ Z gilt.

Wir verdeutlichen diese Situation durch das (nichtkommutative!) Diagram

An+1∂ //

φn+1

An∂ //

φn

Pn||

An−1

φn−1

Pn−1||

Bn+1 ∂// Bn ∂

// Bn−1.

Lemma 4.3.4. Sei φ• : A• → B• ein Homomorphismus von Kettenkomplexen. Ist φalgebraisch nullhomotop, dann ist φ∗ jeweils die Nullabildung, also

φ∗ = 0.

Beweis. Es gelte φn = ∂Pn + Pn−1∂. Sei dann α ∈ An mit ∂α = 0, so ist

φn(α) = ∂(Pnα) + Pn−1( ∂α︸︷︷︸=0

) = ∂(Pnα).

Damit liegt φn(α) im Bild von ∂, ist also Null in der Homologie, es folgt φ∗ = 0.

Definition 4.3.5. Seien X und Y topologische Raeume und f : X→ Y stetig. Seif# : Cn(X)→ Cn(Y) definiert durch

f#(σ) = f σ.

Lemma 4.3.6. Es giltf#∂ = ∂ f#.

Also ist f# ein Homomorphismus von Kettenkomplexen.

Topologie 47

Beweis.

f#∂(σ) = f#

n∑i=0

(−1)iσ|[...ei... ]

=∑

i

(−1)i f#(σ|[...ei... ])

=∑

i

(−1)i f σ|[...ei... ]

=∑

i

(−1)i f#(σ)|[...ei... ]

= ∂( f#σ).

Aus der trivialen Beobachtung ( f g)# = f#g# folgt sofort

( f g)∗ = f∗g∗.

Klar ist auchId∗ = Id.

Definition 4.3.7. Zwei stetige Abbildungen f , g : X→ Y heissen (frei) homotop, falls eseine stetige Abbildung h : [0, 1] × X→ Y gibt so dass

h(0, x) = f (x),

h(1, x) = g(x)

fuer jedes x ∈ X gilt. Wir schreiben in diesem Fall f ∼ g.

Eine Homotopie-Aequivalenz ist eine stetige Abbildung f : X→ Y so dass eine stetigeAbbildung k : Y→ X existiert so dass

f k ∼ IdY und

k f ∼ IdX.

Satz 4.3.8. Sind f , g : X→ Y homotop, dann gilt

f∗ = g∗.

Insbesondere folgt, dass eine Homotopie- Aquivalenz f einen Isomorphismus auf der

Topologie 48

Homologie induziert.

Beweis. Sei ∆ ein n-Simplex. Wir teilen I × ∆ ⊂ RN+1 in (n + 1) Simplices wie folgt. Ist0× ∆ = [v0, . . . , vn] und

1× ∆ = [w0, . . . ,wn],

Dann ist I × ∆ Vereinigung der Simplices

[v0, . . . , vi,wi, . . . ,wn]

Fur i = 0, . . . ,n. Sei nun h : I × X→ Y eine Homotopie von f nach g, also

h(0, x) = f (x). h(1, x) = g(x).

Definition 4.3.9. Definiere den Prisma Operator:

P : Cn(X)→ Cn+1(Y)

durch

P(σ) =

n∑i=0

(−1)ih (1 × σ)|[v0,...,vi,wi,...,wn],

wobei h (1 × σ) die Abbildung

I × ∆1×σ−→ I × X h

−→ Y

bezeichnet.

Wir haben folgendes i.A. nicht kommutative Diagramm:

Cn+1(X) ∂ // Cn(X) ∂ //

P

yy

Cn−1(X)P

yy

Cn+1(Y) ∂ // Cn(Y) ∂ // Cn−1(Y)

Wir wollen zeigen:g# − f# = ∂P + P∂.

Topologie 49

Hierzu berechnen wir:

∂P(σ) = ∂

n∑i=0

(−1)ih (1 × σ)|[v0,...,vi,wi,...,wn]

=

∑j≤i

(−1)i+ jh (1 × σ)|[v0,...,v j,...,vi,wi,...,wn]

+∑j≥i

(−1)i+ j+1h (1 × σ)|[v0,...,vi,wi,...w j...,wn]

und

P∂(σ) = P

n∑j=0

(−1) jσ|[v0,...v j...,vn]

=

∑j>i

(−1)i+ jh (1 × σ)|[v0,...,vi,wi,...w j...,wn]

+∑j<i

(−1)i+ j+1h (1 × σ)|[v0,...v j...,vi,wi,...,wn].

Es folgt

∂P + P∂(σ) =∑

j

h (1 × σ)|[v0,...,v j,w j,...,wn] −

∑j

h (1 × σ)|[v0,...,v j,w j,...,wn].

Diese Terme heben sich weg bis auf

h (1 × σ)|[w1,...,wn] − h (1 × σ)|v0,...,vn] = g# − f#(σ).

Wir haben also gezeigt, dass der Homomorphismus von Kettenkomplexen g# − f#

ketten-nullhomotop ist. Nach Lemma 4.3.4 ist dann g∗ − f∗ auf der Homologie dieNullabbildung, also f∗ = g∗ wie verlangt.

Beispiel 4.3.10.

Hp(Rn) =

Z p = 0

0 p ≥ 1.

Begrundung: Rn ist homotopie-aquivalent zum Punkt.

Topologie 50

4.4 Deformationsretrakte

Definition 4.4.1. Sei A ⊂ X eine abgeschlossenen Teilmenge des TopologischenRaums X. Dann ist A ein Deformationsretrakt von X, falls es eine stetige Abbildungh : I × X→ X, genannt Deformation, gibt mit

h(0, x) = x x ∈ X,

h(1, x) ∈ A x ∈ X,

h(t, a) = a a ∈ A.

Beispiel 4.4.2. S1∨ S1 ist ein Deformationsretrakt von C \

0, 1

.

Definition 4.4.3. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt regular abgeschlossen, falls Aabgeschlossen in X ist und es eine offene Umgebung U von A gibt, so dass A einDeformationsretrakt von U ist.

Beispiele 4.4.4. • Eine eingebettete glatte Untermannigfaltigkeit M in X = RN istregular abgeschlossen, denn es gibt eine Umgebung, die von Normalenfeldernaufgespannt wird.

• Die Menge

1n : n ∈N

∪

0

ist abgeschlossen in R, aber nicht regularabgeschlossen.

Proposition 4.4.5. Ist X ein regularer CW-Komplex, dann ist jeder Unterkomplex regularabgeschlossen.

Beweis. Sei X =⋃

n Xn ein regularer CW- Komplex und Y =⋃

n Yn ein Unterkomplex.Wir zeigen: Fur jedes n gibt es eine offene Menge Un ⊂ Xn, so dass Yn einDeformationsretrakt von Un ist und dass gilt

Un+1 ∩ Xn = Un.

Ferner zeigen wir, dass es eine Deformation hn : I×Un → Un gibt, so dass hn+1|I×Un = hn.

Da X0 diskret ist, kann man U0 = Y0 = Y ∩ X0 wahlen, sowie h0(t, x) = x.

Fur den Induktionsschritt seien Un und hn bereits konstruiert. Es reicht, Un+1 ∩ e zudefinieren fur eine (n + 1)-Zelle e. Ist e ⊂ Y, so definiere Un+1 ∩ e = e. Andernfalls seif : Sn

→ Xn die Verklebungsabbildung. Dann ist f ein Homoomorphismus und e kannmit dem InnerenDn+1 identifiziert werden. Sei V = Un ∩ Sn (oder V = f −1(Un)).

Topologie 51

DefiniereUn+1 ∩ e =

tx : 0 < t ≤ 1, x ∈ V

.

Definiere fernerhn+1(s, tx) = ((1 − s)t + s)hn(s, x).

Dann gilt

hn+1(0, tx) = thn(0, x) = tx,

hn+1(1, tx) = hn(1, x) ∈ Yn

hn+1(s, y) = hn(s, y) = y, y ∈ Yn.

Also definiert hn+1 eine Deformation von Un+1 auf Yn+1. Ferner gilt hn+1|I×Un = hn. Somitdefinieren die hn eine Deformation h von U =

⋃Un nach Y.

4.5 Die Raumpaar-Sequenz

Satz 4.5.1. Sei X wegzusammenhangend und A ⊂ X regular abgeschlossen. Dann gibt eseine exakte Sequenz:

· · · → Hp(A)i∗−→ Hp(X)

π∗−→ Hp(X/A) δ

−→ Hp−1(A)i∗−→ . . .

· · · → H1(X/A) δ−→ H0(A)→ Z→ 0.

Hierbei ist i die Inklusion A → X und π die Projektion X→ X/A.

Bevor wir den Satz beweisen, einige Anwendungen.

Korollar 4.5.2. (a) Es gilt

Hp(S0) =

Z2 p = 0

0 p ≥ 1.

(b) Sei n ≥ 1, dann gilt

Hp(Sn) =

Z p = 0,n

0 sonst.

Topologie 52

Beweis. Die 0-Sphare S0 ist diskret und besteht aus zwei Punkten. Damit ist die ersteBehauptung klar. Die zweite beweisen wir per Induktion nach n. Sei X = Dn, A = Sn−1,dann ist X/A = Sn. Da Hp(X) = Hp(Dn) = 0 fur p ≥ 1, ist fur p ≥ 2 die Sequenz

0→ Hp(Sn)→ Hp−1(Sn−1)→ 0

exakt. Fur p = 1 ist0→ H1(Sn)→ H0(Sn−1)→ Z→ 0

exakt. Hieraus folgt die Behauptung.

Korollar 4.5.3 (Fixpunktsatz von Brouwer).Jede stetige Abbildung f : Dn

→ Dn hat einen Fixpunkt.

Beweis. Fur n = 1 folgt die Behauptung aus dem Zwischenwertsatz der Analysis,denn sei f : [−1, 1]→ [−1, 1] stetig, dann ist h(x) = x − f (x) ebenfalls stetig und es gilth(−1) ≤ 0, sowie h(1) ≥ 0, also hat h eine Nullstelle.

Sei nun also n ≥ 2. Angenommen, f hat keinen Fixpunkt, also f (x) , x fur jedesx ∈ Dn. Fur x ∈ Dn sei dann h(x) der Punkt von Sn−1, an dem der Strahl von f (x) nach xden Rand Sn−1 trifft. Die Abbildung h : Dn

→ Sn−1 ist stetig und es gilt h|Sn−1 = Id. Seii : Sn−1 → Dn die Inklusion. Dann ist h i = Id, also ist h∗ i∗ = Id|Hp(Sn−1). Fur p = n − 1haben wir also ein kommutatives Diagramm

Hn−1(Sn−1) = Zi∗ //

Id

))

Hn−1(Dn) = 0

h∗

Hn−1(Sn−1) = Z.

Dies ist ein Widerspruch! Damit folgt die Behauptung.

4.6 Relative Homologie

Definition 4.6.1. Ein Raumpaar ist ein Paar (X,A), wobei X ein topologischer Raumund A eine Teilmenge von X ist. Sei (X,A) ein Raumpaar. Definiere

Cn(X,A) def= Cn(X)/Cn(A).

Topologie 53

Wegen ∂Cn(A) ⊂ Cn−1(A) induziert ∂ eine Abbildung

∂ : Cn(X,A)→ Cn−1(X,A).

Es gilt ∂2 = 0, da dies schon auf Cn(X) gilt. Die relativen Homologiegruppen sind

Hp(X,A) def= Ker ∂|Cn(X,A)/∂(Cn+1(X,A)).

Sprechweise:

• α ∈ Cn(X,A) mit ∂α = 0 heißt relativer Zykel.

• α ∈ Cn(X,A) mit α = ∂β fur ein β heißt relativer Rand.

Es gilt: α ∈ Cn(X,A) = Cn(X)/Cn(A) ist genau dann ein relativer Zykel, wenn es einenVertreter α in Cn(X) gibt mit ∂α ∈ Cn−1(A).

Ebenso ist α genau dann ein relativer Rand, wenn es ein β ∈ Cn+1(X) gibt mit∂β − α ∈ Cn(A).

Proposition 4.6.2. Es gibt eine exakte Sequenz

· · · → Hp(A)i∗−→ Hp(X)

j∗−→ Hp(X,A) δ

−→ Hp−1(A)→ . . .

· · · → H0(X,A)→ 0,

wobei i : A → X die Inklusion ist und j die KettenabbildungCp(X)→ Cp(X)/Cp(A) = Cp(X,A).

Beweis. Die Abbildungen i und j induzieren kommutative Diagramme mit exaktenZeilen:

0 // Cp+1(A) i //

∂

Cp+1(X)j//

∂

Cp+1(X,A) //

∂

0

0 // Cp(A) i //

∂

Cp(X)j//

∂

Cp(X,A) //

∂

0

0 // Cp−1(A) i // Cp−1(X)j// Cp−1(X,A) // 0

Topologie 54

Lemma 4.6.3. Seien (Ap), (Bp), (Cp) Kettenkomplexe und i : (Ap)→ (Bp) sowiej : (Bp)→ (Cp) Kettenabbildungen, so dass fur jedes p die Sequenz

0→ Ap → Bp → Cp → 0

exakt ist. Dann existiert ein Gruppenhommomorphismus δ : Hp(C)→ Hp−1(A) so dass dieSequenz

· · · → Hp(A)i∗−→ Hp(B)

j∗−→ Hp(C) δ

−→ Hp−1(A)→ . . .

· · · → H0(C)→ 0

exakt ist.

Beweis. Wir konstruieren δ : Hp(C)→ Hp−1(A). Sei hierzu α ∈ Cp(C) ein Zykel, also∂α = 0. Sei β ∈ Cp(B) ein Urbild von α, also jβ = α. Es ist 0 = ∂α = ∂ jβ = j∂β, also liegt∂β im Kern von j = Bild von i. Sei also γ ∈ Cp−1(A) mit iγ = ∂β. Setze

δ([α]) = [γ],

wobei [α] die Homologieklasse von α bezeichnet. Zur Wohldefiniertheit muss manzeigen, dass [α] = 0⇒ [γ] = 0 gilt. Sei also [α] = 0, d.h. α = ∂η. Sei τ ein Urbild von ηin Cp+1(B), also jτ = η. Dann gilt j∂τ = α = jβ, also β − ∂τ ∈ Ker( j) = Bild(i). Seiγ ∈ Cp(C) mit iγ = β − ∂τ. dann folgt γ = ∂γ, also ist γ ein Rand und δ wohldefiniert.Wir zeigen jetzt die behauptete Exaktheit.

Bild i∗ ⊂ Ker j∗ ist klar, denn ji = 0 ⇒ j∗i∗ = 0.

Bild j∗ ⊂ Ker δ folgt aus der Konstruktion von δ, denn wenn α im Bild der Zykelnvon Cp(B) liegt, heißt das, dass man β als einen Zykel wahlen kann, also mit ∂β = 0,was bedeutet, dass γ = 0 ist.

Bild δ ⊂ Ker i∗ ist ebenfalls nach Definition klar.

Bild i∗ ⊃ Ker j∗ Sei α ∈ Zp(B), so dass die Homologieklasse von α im Kern von j∗ liegt,also jα = ∂η fur ein η ∈ Cp+1. Sei τ ∈ Bp+1 ein Urbild von η, also jτ = η. Dann istα − ∂τ ∈ Ker j = Bild i, damit existiert ein γ ∈ Ap mit iγ = α − ∂τ. Also ist i∗[γ] = [α].

Bild j∗ ⊃ Ker δ Sei [α] ∈ Ker δ, also mit jβ = α und iγ = ∂β gilt γ ∈ Bild ∂, es existiertalso ein η ∈ Ap mit ∂η = γ. Dann ist ∂β = iγ = i∂η, also β − iη ∈ Ker ∂ und es folgt[ j(β − iη)] = [α].

Bild δ ⊃ Ker i∗ Sei γ ∈ Ap−1 mit ∂γ = 0 und iγ = ∂β fur ein β ∈ Bp. Setze dann α = jβ,

Topologie 55

dann ist α ein Zykel, denn ∂α = ∂ jβ = i∂β = jiγ = 0. Nach Konstruktion folgtδ([α]) = [γ]. Das Lemma ist bewiesen. Die Anwendung des Lemmas auf dieKomplexe Cn(A),Cn(X),Cn(X,A) liefert die Proposition.

Beispiel 4.6.4. Betrachte das Paar (X,A) = (Dn,Sn−1). Aus der Proposition erhalt man

Hp(Dn,Sn−1) =

Z p = n

0 sonst.

4.7 Raumpaarabbildungen

Definition 4.7.1. Seien (X,A) und (Y,B) Raumpaare. Eine Paar-Abbildungf : (X,A)→ (Y,B) ist eine stetige Abbildung f : X→ Y mit f (A) ⊂ B. ZweiPaar-Abbildungen f , g : (X,A)→ (Y,B) heißen homotop, falls es eine stetige Abbildungh : I × X→ Y gibt mit

h(0, x) = f (x), h(1, x) = g(x), h(I × A) ⊂ B.

Eine Paar-Abbildung f : (X,A)→ (Y,B) induziert einen Gruppenhomomorphismus

f∗ : Hp(X,A) → Hp(Y,B)

durch f∗[σ] = [ f σ].

Proposition 4.7.2. Seien f , g : (X,A)→ (Y,B) homotop. Dann gilt

f∗ = g∗.

Beweis. Der Prisma-Operator P bildet Cn(A) nach Cn+1(B) ab, induziert also einenrelativen Prisma-Operator P : Cn(X,A)→ Cn+1(Y,B). Beim Ubergang zum Quotientenbleibt die Gleichung ∂P + P∂ = g∗ − f∗ erhalten, also ist g∗ − f∗ die Nullabbildung.

Lemma 4.7.3. Sei X wegzusammenhangend.

(a) Sei x0 ∈ X ein Punkt. Dann gilt

Hp(X, x0) Hp(X), p ≥ 1

H0(X, x0) = 0.

Topologie 56

(b) Sei A ⊂ X ein Deformationsretrakt von X. Dann gilt fur jedes p:

Hp(X,A) = 0.

Beweis. Die lange exakte Sequenz von Proposition 4.6.2 liefert eine exakte Sequenz

Hp(x0)→ Hp(X)→ Hp(X, x0)→ Hp−1(x0).

Fur p ≥ 2 sind die beiden außeren Gruppen gleich Null, der mittlereHomomorphismus also ein Isomorphismus. Fur p = 1 erhalt man eine exakte Sequenz

0→ H1(X) a−→ H1(X, x0) b

−→ H0(x0) c−→ H0(X) d

−→ H0(X, x0)→ 0.

Die Abbildung c ist ein Isomorphismus, also ist b die Nullabbildung und damit ist aein Isomorphismus. Ferner ist d die Nullabbildung und H0(X, x0) = 0.

Fur den zweiten Teil sei h : I × X→ X eine Deformation nach A. Sei f : X→ X,f (x) = h(1, x). Dann ist die Paar-Abbildung f : (X,A)→ (X,A) homotop zur Identitat,also folgt f∗ = Id. Andererseits ist f (X) ⊂ A und damit ist f∗ die Nullabbildung. Esfolgt Id = 0 auf Hp(X,A), das geht nur, wenn Hp(X,A) = 0.

Lemma 4.7.4. Sei X ein topologischer Raum und B ⊂ A ⊂ X. Dann gibt es eine exakteSequenz

· · · → Hp(A,B)→ Hp(X,B)→ Hp(X,A)→ Hp−1(A,B)→ . . .

Beweis. Diese Sequenz ergibt sich mit Lemma 4.6.3 aus der exakten Sequenz

0→ Cp(A,B)→ Cp(X,B)→ Cp(X,A)→ 0.

4.8 Ausschneidung

Sei τ : ∆k→ X ein singularer Simplex der Dimension k. Sei ∆ = [w0, . . . ,wn] ein n-

dimensionaler Simplex, wobei n < k. Sei ψ : conv(w0, . . . ,wn)→ ∆k die affineAbbildung mit ψ(w j) = v j ∈ ∆k, also

ψ

n∑j=0

λ jw j

=

n∑j=0

λ jv j.

Topologie 57

Dann nennt man σ = τ ψ einen degenerierten singularen Simplex und schreibt ihn alsσ : [v0, . . . , vn]→ X.

Satz 4.8.1. Sei X ein topologischer Raum und Z ⊂ A ⊂ X Teilmengen mit Z ⊂ A. danninduziert die Inklusion (X − Z,A − Z) → (X,A) Isomorphismen

Hp(X − Z,A − Z) −→ Hp(X,A), p ≥ 0.

Beweis. Wir brauchen die baryzentrische Teilung. Sei ∆ = [v0, . . . , vn] ein geordneterSimplex und sei v ein Punkt im Inneren von ∆. Dann ist ∆ die Vereinigung derUntersimplizes:

[v, v1, . . . , vn]︸ ︷︷ ︸=∆0

, [v, v0, v2, . . . , vn]︸ ︷︷ ︸=∆1

, . . . , [v, v1, . . . , vn−1]︸ ︷︷ ︸=∆n

.

Sei nun σ : ∆→ X ein singularer Simplex. Wir behaupten, dass

σ −n∑

j=0

(−1) jσ|∆ j ∈ Bild ∂n+1.

Sei hierzu w ∈ RN affin unabhangig von v0, . . . , vn. Sei φ : conv(w, v0, . . . , vn)→ ∆ dieaffine Abbildung gegeben durch

φ(w) = v, φ(v j) = v j, j = 0, . . . ,n.

Sei τ : [w, v0, . . . , vn]→ X gegeben durch τ = σ φ. Dann ist τ ∈ Cn+1(X) und

∂τ = τ|[v0,...,vn] −

n∑j=0

(−1) jτ[w,v0,...v j...,vn]

= σ −n∑

j=0

(−1) jσ|∆ j

wie behauptet. Diese Rechnung funktioniert formal ebenso, wenn man v als einenRandpunkt von ∆ wahlt. Dann sind allerdings manche der ∆ j keine n-Simplices mehr,also muss man degenerierte Simplices zulassen. So betrachtet behalt die Rechnung

Topologie 58

Gultikeit, wenn v auf dem Rand liegt. Liegt v auf einer Kante, erhalt man Simplices, indenen diese Kante nur als Teil vorkommt. Iteriert man den Vorgang, kann man alleKanten halbieren und erhalt eine Teilung von ∆ in Simplices deren Kannten allehochstens halb so lang sind wie die von ∆, also so dass der Durchmesser

diam(S) def= sup

x,y∈S

∣∣∣∣∣∣x − y∣∣∣∣∣∣

gegen Null geht.

Lemma 4.8.2. Sei X = U ∪ V, wobei U und V offen sind. Dann gilt

Cn(X) = Cn(U) + Cn(V) + ∂Cn+1(X).

Beweis. Nach der obigen Argumentation erhalten wir eine Folge von Zerlegungenvon ∆ in Untersimplices mit Durchmessern, die gegen Null gehen. D.h. es gibt eineFolge (∆k

j)k wobei fur jedes k die ∆kj fur j = 0, . . .nk eine Zerlegung von ∆ in

Untersimplices bilden mitmax

jdiam(∆k

j) → 0

fur k→∞. Sei nun ein singularer Simplex σ : ∆→ X gegeben. Es gilt dann furgeeignete Vorzeichen ε j,k = ±1:

σ −nk∑j=0

ε j,k σ|∆kj∈ Bild(∂n+1).

Zum Beweis des Lemmas reicht es nun zu zeigen, dass es ein k gibt, so dass fur jedes jgilt

σ(∆kj) ⊂ U oder σ(∆k

j) ⊂ V.

Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann gibt es fur jedes k ein jk mit

σ(∆kjk) ⊂/ U und σ(∆k

jk) ⊂/ V.

wahle in jedem Simplex ∆kjk

einen Punkt xk. Die Folge der xk hat in der KompaktenMenge ∆ einen Haufungspunkt v. Das Bild σ(v) muss in U oder V liegen, sagen wir, esliegt in U. Dann ist σ−1(U) eine offen Umgebung von v. Es gibt daher unendlich viele kmit ∆k

jk⊂ σ−1(U), was aber bedeutet dass σ(∆k

jk) ⊂ U, ein Widerspruch! Das Lemma ist

bewiesen.

Topologie 59

Nun zum Beweis von Satz 4.8.1. Sei ψ : Cn(X − Z,A − Z)→ Cn(X,A) die durch dieInklusion induzierte Abbildung. Sei U = X − Z und V = A, so gilt U ∪V = X. Mit demLemma folgt

Cn(X,A) = Cn(X − Z,A − Z) + ∂Cn+1(X,A)

und damit ist ψ∗ : Hn(X − Z,A − Z)→ Hn(X,A) surjektiv. Fur die Injektivitat seiα ∈ Cn(X − Z) ein Reprasentant einer Klasse im Kern von ψ∗. Dann gilt∂α ∈ Cn−1(A−Z) und α = ∂β+ γ, wobei β ∈ Cn+1(X−Z) und γ ∈ Cn(A−Z). Ferner kannman α um ein Element aus Cn(A − Z) abandern, also kann man γ = 0 annehmen. Nachdem Lemma kann man β zerlegen als

β = βX−Z + βA + ∂η,

wobei βX−Z ∈ Cn+1(X − Z) und βA ∈ Cn+1(A), sowie η ∈ Cn+2(X). Es folgt

α = ∂βX−Z + ∂βA.

Aus dieser Gleichung folgt, dass ∂ηA in Cn(A − Z liegt. α kann also abgeandertwerden, so dass

α = ∂βX−Z.

Damit induziert α die Null in Hn(X − Z,A − Z) und die Injektivitat ist bewiesen.

Wir beenden nun den Beweis von Satz 4.5.1.

Lemma 4.8.3. Sei A ⊂ X regular abgeschlossen. Dann induziert die Quotientenabbildungq : (X,A)→ (X/A,A/A) Isomorphismen:

q∗ : Hn(X,A) −→ Hn(X/A,A/A).

Beweis. Sei U eine offenen Umgebung von A, so dass A ein Deformationsretrakt von Uist. Wir haben ein kommutatives Diagramm:

Hn(X,A) a //

q∗

Hn(X,U)

e

Hn(X − A,U − A)boo

f

Hn(X/A,A/A) c // Hn(X/A,U/A) Hn(X/A − A/A,U/A − A/A)doo

Die Abbildung b ist ein Isomorphismus nach dem Ausschneidungssatz fur relativeHomologie, Satz 4.8.1.

Topologie 60

Die Abbildung a ist ein Isomorphismus, denn in der exakten Sequenz von Lemma4.7.4 zum Tripel A ⊂ U ⊂ X sind die Gruppen Hn(U,A) alle Null nach Lemma 4.7.3.Aus denselben Grunden sind c und d Isomorphismen.

Da q auf dem Komplement von A ein Homoomorphismus ist, ist f einIsomorphismus. Aus der Kommutativitat des Diagramms folgt dann dann e undschließlich q∗ Isomorphismen sind. Das Lemma ist bewiesen.

Mit Lemma 4.7.3 (a) ergibt sich Satz 4.5.1 nun aus Proposition 4.6.2.

4.9 Aquivalenz von simplizialer und singularer Homologie

Sei X ein Simplizialkomplex mit einer linearen Ordnung ≤ auf X0. Sei ∆ = [v0, . . . , vn]ein Simplex von X, also die Reihenfolge der Ecken entspricht der linearen Ordnungvon X. Zu ∆ definiere einen singularen Simplex σ : [v0, . . . , vn]→ X gegeben durch dieInklusion von ∆ in X. Sei Csimp

n (X) die freie abelsche Gruppe erzeugt von denn-Simplices von X. Die Zurdnung ∆ 7→ σ∆ liefert einen Gruppenhomomorphismus

ψ : Csimpn (X)→ Cn(X).

Lemma 4.9.1. Es gilt ∂ψ = ψ∂.

Beweis.

∂ψ([v0, . . . , vn]) = ∂σ[v0,...,vn]

=

n∑i=0

(−1)i σ|[v0,...vi...,vn]

=

n∑i=0

(−1)i σ[v0,...vi...,vn]

= ψ∂([v0, . . . , vn]).

Damit induziert ψ eine Abbildung ψ∗ : Hsimpp (X)→ Hp(X).

Satz 4.9.2. ψ∗ ist ein Isomorphismus Hsimpp (X) Hp(X).

Topologie 61

Beweis. Fur p = 0 ist die Behauptung klar. Wir zeigen sie also fur p ≥ 1. Fur einenUnterkomplex A ⊂ X sei

Csimpp (X,A) = Csimp

p (X)/Csimpp (A).

Wie im singularen Fall definiert man die relativen Homologiegruppen Hsimpp (X,A). Die

exakte Sequenz0→ Csimp

p (A)→ Csimpp (X)→ Csimp

p (X,A)→ 0

induziert nach Lemma 4.6.3 eine lange exakte Sequenz

· · · → Hsimpp+1 (X,A)→ Hsimp

p (A)→ Hsimpp (X)→ Hsimp

p (X,A)→ Hsimpp−1 (A)→ . . .

Wir ersetzen X durch das n-Skelett Xn und setzen A = Xn−1 und erhalten einkommutatives Diagramm mit exakten Zeilen:

Hsimpp+1 (Xn,Xn−1) //

α

Hsimpp (Xn−1) //

β

Hsimpp (Xn) //

γ

Hsimpp (Xn,Xn−1) //

δ

Hsimpp−1 (Xn−1)

ε

Hp+1(Xn,Xn+1) // Hp(Xn−1) // Hp(Xn) // Hp(Xn,Xn−1) // Hp−1(Xn−1)

Wir zeigen, dass α und δ Isomorphismen sind. Es ist Csimpp (Xn,Xn−1) = 0 fur p , n und

Csimpn (Xn,Xn−1) Csimp

p (X) ist die freie abelsche Gruppe erzeugt von den n-Simplizes.Damit ist

Hsimpp (Xn,Xn−1)

Csimpp (X) p = n

0 p , n,

denn die Homologie eines Kettenkomplexes (Cn) mit C j = 0 fur j , n ist

Hp(C) =

Cn j = n

0 sonst.

Fur die singularen Homologiegruppen betrachte die Abbildung

φ :∐α

(∆nα, ∂∆

nα) → (Xn,Xn−1)

gegeben durch die Inklusionsabbildungen der n-Simplices ∆nα. Die Abbildung φ

induziert einen Homoomorphismus∐α

∆nα

/∐α

∂∆nα Xn/Xn−1.

Topologie 62

Da Xn−1 regular abgeschlossen ist in Xn, folgt

Hp(Xn,Xn−1) Hp(Xn/Xn−1,Xn−1/Xn−1)

Hp

∐α

∆nα

/∐α

∂∆nα,

∐α

∂∆nα

/∐α

∂∆nα

Hp

∐α

∆nα,

∐α

∂∆nα

⊕α

Hp(∆nα, ∂∆

nα).

Dies ist die freie abelsche Gruppe erzeugt von den Inklusionen ∆nα → X der

n-Simplices. Also sind α und δ Isomorphismen.

Nach Induktion (in n) kann man außdem annehmen, dass β und ε ebenfallsIsomorphismen sind.

Lemma 4.9.3 (Funfer-Lemma). Sei ein kommutatives Diagramm abelscher Gruppen mitexakten Zeilen gegeben:

A //

α

B //

β

C //

γ

D //

δ

Eε

A′ // B′ // C′ // D′ // E′

Sind α, β, δ und ε Isomorphismen, dann ist auch γ ein Isomorphismus.

Beweis. Diagrammjagd zur Ubung!

Mit dem funfer-Lemma folgt nun ψ∗ : Hsimpp (Xn)→ Hp(Xn) ist ein Isomorphismus fur

jedes n. Es bleibt, diese Aussage fur X an Stelle von Xn zu zeigen. Sei hierzu[α] ∈ Hp(X) eine Homologieklasse mit Reprasentant α ∈ Cp(X). Dann ist α eineLinearkombination von singularen Simplices, jeder von diesen hat ein kompaktesBild, da ein Simplex kompakt ist. Also trifft jeder Simplex nur endlich viele Zellen inX, es folgt, dass α schon in Cp(Xn) liegt fur ein n ∈N. Da ψ∗ auf Xn surjektiv ist, gibt esβ ∈ Zsimp

p (Xn) ⊂ Csimpp (X) mit ψβ − α ∈ ∂(Cp(Xn)) ⊂ ∂(Cp(X)). Es folgt ψ∗[β] = [α], also ist

ψ∗ surjektiv.

Fur die Injektivitat beachte, dass fur n ≥ p + 1 die Inklusion Xn → X einenIsomorphismus Hsimp

p (Xn) Hsimpp (X) induziert. Sei [α] ∈ Hsimp

p (X) im Kern von ψ∗.Dann liegt [α] schon in Hsimp

p (Xn) fur ein n ≥ p + 1 und also ist [α] = 0 in

Topologie 63

Hsimpp (Xn) Hsimp

p (X). Der Satz ist bewiesen.

4.10 Anwendungen

Satz 4.10.1. Seien U ⊂ Rn und V ⊂ Rm offene Teilmengen. Sind U und V homoomorph,dann gilt m = n.

Beweis. Sei h : U→ V ein Homoomorphismus. Ist n = 1, so kann man annehmen, dassU ein Intervall ist. Dann hat fur x ∈ U die Menge U −

x

zwei

Zusammenhangskomponenten. Dasselbe gilt fur V −h(x)

, also muss auch m = 1 sein

da sonst eine zusammenhangende offene Menge zusammenhangend bleibt, wennman einen Punkt entfernt.

Sei also m,n ≥ 2 und sei x ∈ U. Nach dem Ausschneidungssatz fur relative Homologieist

Hp(U,U −x) Hp(Rn,Rn

−

x).

Die lange exakte Sequenz des Paars (Rn,Rn−

x) liefert fur p ≥ 2 Isomorphismen

Hp(Rn,Rn−

x) Hp−1(Rn

−

x).

Ferner liefert sie eine exakte Sequenz

0→ H1(Rn,Rn−

x) a−→ H0(Rn

−

x) b−→ H0(Rn) c

−→ H0(Rn,Rn−

x)→ 0.

Die Abbildung b ist ein Isomorphismus, also ist H1(Rn,Rn−

x) = 0 = H0(Rn,Rn

−

x).

Nun ist Rn−

x

homotopie-aquivalent zur Sphare Sn−1, also ist

Hp(U,U −x)

Z p = n

0 sonst.

Der Homoomorphismus h induziert Isomorphismenh∗ : Hp(U,U −

x)→ Hp(V,V −

h(x)

), also folgt m = n.

Topologie 64

4.11 Abbildungsgrad

Sei f : Sn→ Sn stetig. Dann ist F∗ : Hn(Sn)→ Hn(Sn) eine Selbstabbildung einer Gruppe

Z, also gibt es eine Zahl deg( f ) ∈ Zmit

f∗α = deg( f )α

fur α ∈ Hn(Sn). Diese Zahl deg( f ) heißt der Abbildungsgrad von f .

Proposition 4.11.1. (a) Ist f homotop zu g, dann ist deg( f ) = deg(g).

(b) Es gilt immer deg( f g) = deg( f ) deg(g).

(c) Ist f eine Spiegelung an einer Hyperebene, dann ist deg( f ) = −1.

(d) Die Antipodenabbildung x 7→ −x hat Grad (−1)n+1.

(e) Hat f keinen Fixpunkt, dann ist deg( f ) = (−1)n+1.

Beweis. (a) folgt aus f∗ = g∗ wenn f und g homotop sind.

(b) folgt aus ( f g)∗ = f∗g∗.

(c) Die Hyperebene teilt Sn in zwei Hemispharen. Wir betrachten jede Hemisphare alseinen n- Simplex, also erhalten wir Sn, indem wir zwei n-Simplices ∆1 und ∆2 an ihrenRandern identifizieren, was wir so tun, dass die Reihenfolge der Ecken erhalten bleibt.Die Differenz ∆1 − ∆2 ist dann ein Zykel in Cn(Sn). Wir behaupten, dass dieKohomologieklasse dieses Zykels die Gruppe Hn(Sn) erzeugt. Betrachte hierzu dieIsomorphismen

Hn(Sn) −→ Hn(Sn,∆2)

−→ Hn(Sn/∆2,∆2/∆2) −→ Hn(∆1/∂∆1).

Der erste Isomorphismus kommt von der langen Sequenz zum Paar (Sn,∆2), derzweite von Lemma 4.8.3. Der dritte schließlich aus der naturlichen IdentifikationSn/∆2 ∆1/∂∆1. Die lange Sequenz zum Raumpaar (∆1, ∂∆1) idetifiziert ∆1 alsErzeuger von Hn(∆1/∂∆1) durch die Kette der isomorphismen wird ∆1 − ∆2 auf diesenErzeuger geworfen. Die Spiegelung f vertauscht nun gerade ∆1 und ∆2, induziert also−Id auf Hn(Sn).

(d) Die Antipode kann als Produkt von n + 1 Spiegelungen geschrieben werden.

Topologie 65

(e) Sei f : Sn→ Sn ohne Fixpunkt. Dann trifft die Gerade durch f (x) und −x nicht die

Null. Insbesondere ist (1 − t) f (x) − tx niemals Null fur 0 ≤ t ≤ 1. Also definiert

h(t, x) =(1 − t) f (x) − tx∣∣∣∣∣∣(1 − t) f (x) − tx

∣∣∣∣∣∣eine Homotopie von f zur Antipode.

Definition 4.11.2. Ein Vektorfeld auf S1 ist eine Abbildung F : Sn→ Rn+1 so dass f (x)

senkrecht steht auf x, also dass gilt

⟨f (x), x

⟩= 0

fur jedes x ∈ Sn.

Satz 4.11.3 (Igelsatz). Ist n gerade, so hat jedes stetige Vektorfeld auf Sn eine Nullstelle.

Beweis. Sei f : Sn→ Rn+1 ein stetiges Vektorfeld ohne Nullstelle. Ersetze f (x) durch

f (x)/∣∣∣∣∣∣ f (x)

∣∣∣∣∣∣ und nimm also∣∣∣∣∣∣ f (x)

∣∣∣∣∣∣ = 1, d.h. f (x) ∈ Sn an. Dann geht die Gerade von f (x)nach x nicht durch die Null, also ist

h(t, x) =(1 − t) f (x) + tx∣∣∣∣∣∣(1 − t) f (x) + tx

∣∣∣∣∣∣eine Homotopie von f : Sn

→ Sn zur Identitat. Damit folgt deg( f ) = 1. Andererseitshat f keinen Fixpunkt, also ist 1 = deg( f ) = (−1)n+1 und daher ist n ungerade.

4.12 Mayer-Vietoris Sequenz

Seien A,B Teilmengen von X mit X = A∪ B. Sei Cp(A + B) das Bild von Cp(A)⊕Cp(B) inCn(X). Nach Lemma 4.8.2 ist Cp(X) = Cp(A + B) + ∂Cp+1(X). Ferner ist∂Cp+1(A + B) ⊂ Cp(A + B), so dass die Cp(A + B) selbst einen Kettenkomplex bilden.

Lemma 4.12.1. Die Inklusion Cp(A + B) → Cp(X) induziert einen Isomorphismus

η : Hp(C•(A + B)) −→ Hp(X).

Topologie 66

Beweis. Aus Cp(X) = Cp(A + B) + ∂Cp+1(X) folgt die Surjektivitat von η. Fur dieInjektivitat sei [α] eine Homologieklasse, die auf Null geht, also ist α ∈ Cp(A + B) mit∂α = 0 und α = ∂β fur ein β ∈ Cp+1(X). Schreibe dieses β als γ + ∂τ mit γ ∈ Cp+1(A + B)und τ ∈ Cp+2(X). Dann folgt α = ∂β = ∂γ ∈ ∂Cp+1(A + B). Damit ist [α] = 0, also ηinjektiv.

Sei φ : Cp(A ∩ B)→ Cp(A) ⊕ Cp(B) definiert durch φ(α) = α ⊕ α, wobei wir α jeweils alsElement von Cp(A) oder Cp(B) auffassen. Sei ψ : Cp(A) ⊕ Cp(B)→ Cp(X) definiert durchψ(α ⊕ β) = α − β. Dann sind φ und ψ Kettenabbildungen, also ∂φ = φ∂ und ebenso furψ, induzieren also Abbildungen φ∗ und ψ∗ auf der Homologie.

Satz 4.12.2. Seien A,B ⊂ X Teilmengen so dass X = A ∪ B. Dann gibt es eine exakteSequenz

· · · → Hp(A ∩ B)φ∗−→ Hp(A) ⊕Hp(B)

ψ∗−→ Hp(X) δ

−→ Hp−1(A ∩ B)→ . . .

→ H0(X)→ 0.

Beweis. Betrachte die exakte Sequenz

0→ Cp(A ∩ B)φ−→ Cp(A) ⊕ Cp(B)

ψ−→ Cp(A + B)→ 0,

wobei φ(α) = α ⊕ α und ψ(α ⊕ β) = α = β. Es gilt φ∂ − ∂φ und ∂ψ = ψ∂, also ist dieseine exakte Sequenz von Kettenkomplexen, so dass Lemma 4.6.3 die exakte Sequenzim Satz liefert.

4.13 Homologie und Fundamentalgruppe

Fur eine Gruppe G sei [G,G] die Kommutatorgruppe, d.h., die Untergruppe von Gerzeugt von allen Kommutatoren

[a, b] = aba−1b−1

Wegen c[a, b]c−1 = [cac−1, cbc−1] ist [G,G] ein Normalteiler in G.

Topologie 67

Proposition 4.13.1. Der Quotient Gab = G/[G,G] ist der maximale abelsche Quotient vonG, d.h. Gab ist abelsch und fur jeden Homomorphismus φ : G→ A in eine abelsche Gruppe Agibt es genau einen Homomorphismus φab : Gab → A mit φ = φab p, wobeip : G→ Gab = G/[G,G] die naturliche Projektion ist.

Beweis. Fur a, b ∈ G gilt[p(a), p(b)] = p([a, b]) = 1.

Daher ist Gab abelsch.

Sei φ : G→ A ein Homomorphismus in eine abelsche Gruppe. Da A abelsch ist, giltfur a, b ∈ G:

φ([a, b]) = [φ(a), φ(b)] = 1.

Also faktorisiert φ in eindeutiger Weise uber Gab.

Sei γ : I→ X ein geschlossener Weg mit Anfangspunkt x0. Dann kann man γ als einensingularen 1- Simplex auffassen. Dieser ist ein Zykel, denn ∂γ = γ(1) − γ(0) = 0. Alsodefiniert γ eine Homologieklasse in H1(X).

Satz 4.13.2 (Kleiner Satz von Hurewicz). Indem man geschlossene Wege als Zykelauffasst erhalt man einen Gruppenhomomorphismus ψ : Γ = π1(X, x0)→ H1(X). DerKern von ψ ist die Kommutatorgruppe [Γ,Γ].

Ist X wegzusammenhangend, dann ist ψ surjektiv, stiftet also einen Isomorphismus

π1(X)ab H1(X).

Beweis. Fur geschlossene Wege schreiben wir γ ' τ, wenn die Wege homotop sind mitfesten Enden. Wir schreiben γ ∼ τ, wenn γ − τ ein Rand ist.

(a) Ist γ konstant, dann ist γ ein Rand.Dies ist klar, denn H1(

x0

) = 0, also ist γ schon im Bild von

∂ : C2(x0

)→ C1(

x0

) ⊂ C1(X).

(b) γ ' τ ⇒ γ ∼ τ

Sei hierzu h : I × I→ X eine Homotopie mit festen Enden. Seienv0 = (0, 0), v1 = (1, 0), v2 = (0, 1), v3 = (1, 1) die Ecken des Quadrats I × I. Wir

Topologie 68

zerlegen I × I in zwei Simplices [v0, v1, v3] und [v0, v2, v3] und erhalten durchEinschrankung von h zwei singulare Simplices σ1, σ2. Dann ist

∂(σ1 − σ2) = h|[v1,v3] − h|[v0,v3] + h|[v0,v1] − h|[v1,v3] + h|[v0,v3] − h|[v0,v2]

= h|[v1,v3] + h|[v0,v1] − h|[v1,v3] − h|[v0,v2].

Die Wege h|[v0,v1] und h|[v2,v3] sind konstant, also Rander. Damit ist

τ − γ = h|[v1,v3] − h|v0,v2]

ein Rand.

(c) γ.τ ∼ γ + τ

Sei σ : ∆2→ X die Komposition der Orthogonalprojektion von [v0, v1, v2] nach

[v0, v2] gefolgt von γ.τ : [v0, v2]→ X, dann ist ∂σ = γ − γ.τ + τ.

Damit ist ψ : π1(X, x0)→ H1(X) ein Gruppenhomomorphismus. Da H1(X) abelsch ist,folgt [Γ,Γ] ⊂ Kerψ. Wir mussen zeigen, dass [Γ,Γ] ⊃ Kerψ. Sei [γ] im Kern von ψ.Dann ist γ der Rand einer 2-Kette

∑i niσi. Indem wir ggf Simplices mehrfach

hinschreiben, konnen wir ni = ±1 annehmen. Seien τi0, τi1, τi2 die drei Randsimplicesvon σi, so dass ∂σi = τi0 − τi1 + τi2. und also

γ = ∂∑

i

niσi =∑

i, j

(−1) jniτi j.

Das bedeutet, dass alle τi j in Paaren geordnet werden konnen, dass sich jeweils zweimit den Vorzeichen aufheben bis auf ein τi j, das gleich γ ist. Betrachte eine Kanteτ = τi j, die x0 als einen Endpunkt hat, aber nicht beide Enden gleich x0. Diese kannman homotop zu dem konstanten Weg x0 deformieren und diese Deformation dehntaus auf die 2-Simplices σi, in denen τ als Rand auftitt, wobei γ gleich bleibt. DiesenVorgang iteriert man, bis alle Kanten τi j beide Enden in x0 haben, also als Elementevon Γ betrachtet werden konnen. Aus der Gleichung γ =

∑i, j(−1) jniτi j in C1(X) folgt in

π1(X)ab die Gleichung [γ] =∑

i, j(−1) jniτi j, der Grund hierfur ist die Tatsache, dass dieτi j sich paarweise aufheben. Es folgt

[γ] =∑

i

ni[∂σi],

wobei ∂σi = [τi0] − [τi1] + [τi2]. Nun stifted σi eine Nullhomotopie fur dieses Element

Topologie 69

der Fundamentalgruppe, also [γ] = 0 in π(X)ab. Damit ist der Kern von ψ dieKommutatorgruppe [Γ,Γ].

Sei schließlich X wegzusammenhangend. Sei∑

i niσi ein 1-Zykel, der ein Element hvon H1(X) reprasentiert. Wieder kann ni = ±1 angenommen werden. Da σi = −σi inH1(X) gilt, kann man jetzt sogar ni = 1 annehmen. Falls ein σi kein geschlossener Wegist, dann muss wegen ∂(

∑i σi) = 0 ein j existieren, so dass σi.σ j existiert. Wir konnen

diese zwei zu einem Ausdruck zusammenfassen und iterieren dies, bis alle Wegegeschlossen sind. Da X wegzusammenhangend ist, gibt es einen Weg γi der von x0

zum Basispunkt von σi lauft. Da σi ∼ γi.σi.γi, konnen wir annehmen, dass alle Wege inx0 starten und enden. Diese kann man durch Hintereinanderschalten zu einemeinzigen geschlossenen Weg σ machen. Es folgt h = ψ(σ) und damit ist ψ surjektiv.

Topologie 70

5 Kategorien und Funktoren

5.1 Kategorien

Definition 5.1.1. Eine Kategorie ist ein Tripel (Ob,Mor, ) wobei Ob eine Klasse ist,deren Elemente werden Objekte der Kategorie genannt. Mor ist eine Familie vonMengen (Mor(X,Y))X,Y∈Ob. Die Elemente von Mor(X,Y) werden Morphismen von Xnach Y genannt. Schließlich ist eine Familie von Abbildungen fuer je drei ObjekteX,Y,Z:

Mor(X,Y) ×Mor(Y,Z)→Mor(X,Z)

( f , g) 7→ g f .

So dass gilt:

• g ( f h) = (g f ) h wenn die Morphismen komponiert werden konnen.

• Zu jedem Objekt X gibt es einen Morphismus 1X ∈Mor(X,X) mit f 1X = f und1X g = g fur alle f , g fur die die jeweilige Komposition existiert.

Die Eins ist durch diese Eigenschaft eindeutig festgelegt, denn sei 1′X eine weitere,dann gilt

1X = 1X1′X = 1′X.

Beispiele 5.1.2. • Set ist die Kategorie der Mengen und Abbildungen mit derublichen Komposition.

• Ab ist die Kategorie der abelschen Gruppen und Gruppenhomomorphismen.

• Top ist die Kategorie der topologischen Raume und stetigen Abbildungen.

• Top0 ist die Kategorie der punktierten Raume, d.h., die Objekte sind Paare (X, x0)wobei X ein topologischer Raum ist und x0 ∈ X ein Punkt. Ein Morphismus von(X, x0) nach (Y, y0) ist eine stetige Abbildung f : X→ Y mit f (x0) = y0.

• Sei C eine Kategorie, dann ist Copp die entgegengesetzte Kategorie in der alle Pfeileumgedreht werden. Die Kategorie Copp hat dieselben Objekte wie C, nur

MorCopp(X,Y) = MorC(Y,X).

Topologie 71

• Eine Gruppe kann als Kategorie mit nur einem Objekt betrachtet werden. Istalso G eine Gruppe, so definiert man eine Kategorie Gmit einem Objekt X undMorG(X,X) := G. Die Komposition dieser Kategorie ist durch dieGruppenmultiplikation gegeben.

• Sei (A,≥) partiell geordnet. Dann kann man eine Kategorie definieren mitOb = A, indem man sagt, dass Mor(x, y) aus genau einem Element, wenn x ≤ yund sonst leer ist.

• Die Homotopie-Kategorie [Top]: Die Objekte sind die topologischen Raume, aberdie Morphismen sind Homotopieklassen von stetigen Abbildungen.

Definition 5.1.3. Zwei stetige Abbildungen f , g : X→ Y zwischen topologischenRaeumen X,Y heissen homotop, falls es eine stetige Abbildung h : [0, 1] × X→ Y gibt,so dass

h(0, x) = f (x), h(1, x) = g(x)

fuer jedes x ∈ X.

Definition 5.1.4. Ein Morphismus f : X→ Y in einer Kategorie heißt Isomorphismus,wenn es ein g : Y→ X gibt mit

g f = 1X und f g = 1Y.

Beispiele 5.1.5. • Die Isomorphismen in der Kategorie der Mengen sind dieBijektionen.

• Die Isomorphismen in der Kategorie der Gruppen sind dieGruppenisomorphismen.

• Die Isomorphismen in der Kategorie Top sind die Homoomorphismen.

• Die Isomorphismen in der Homotopiekategorie heissenHomotopie-aquivalenzen.

In der moderneren Literatur schreibt man auch HomC(X,Y) oder einfach nurHom(X,Y) statt MorC(X,Y).

Definition 5.1.6. SeiA eine Kategorie. Eine Unterkategorie ist eine Kategorie B so dassOb(B) ⊂ Ob(A) und

HomB(X,Y) ⊂ HomA(X,Y)

Topologie 72

fuer alle X,Y ∈ B gilt. Die Unterkategorie B heißt volle Unterkategorie, falls fuer je zweiX,Y ∈ B schon gilt HomB(X,Y) = HomA(X,Y). Jede Teilklasse von Ob(A) definiertalso genau eine volle Unterkategorie.

Beispiele 5.1.7. • Die Kategorie der endlichen Mengen und Abbildungen ist einevolle Unterkategorie der Kategorie Set aller Mengen.

Definition 5.1.8. Eine volle UnterkategorieA′ ⊂ A heißt dicht, falls es zu jedem X ∈ Aein X′ ∈ A′ gibt, so dass X′ inA zu X isomorph ist.

Beispiel 5.1.9. Sei K ein Koerper undA die Kategorie der endlich-dimensionalenVektorraeume. Dann ist die volle UnterkategorieA′, deren Objekte genau die Kn,n ∈N0 sind, dicht inA.

5.2 Epis und Monos

Definition 5.2.1. Ein Morphismus f : X→ Y heißt surjektiv oder Epimorphismus, fallsfur je zwei Morphismen α, β : Y→ Z gilt:

α f = β f ⇒ α = β.

Mit anderen Worten: f ist ein Epi, wenn aus der Kommutativitat des Diagramms

Xf//

f

Yα

Yβ// Z

folgt α = β.

Beispiele 5.2.2. • In Set sind die Epis genau die surjektiven Abbildungen.

• In der Kategorie der Hausdorff-Raume und stetigen Abbildungen sind die Episgenau die dominanten stetigen Abbildungen, d.h., die mit dichtem Bild.

• In der Kategorie der Gruppen sind die Epis genau die surjektivenGruppenhomomorphismen.

Beweis. Es ist klar, dass jeder surjektive Gruppenhomomorphismus ein Epi ist.Fuer die umgekehrte Richtung sei f : G→ H ein Epi. Sei H0 ⊂ H das Bild von f .Sei X =

ω∪H/H0. Dann ist X gleich der Nebenklassenmenge H/H0 erweitert

Topologie 73

um einen neuen Punkt ω. Sei x0 = 1H0 die triviale Nebenklasse. Seiα : H→ Per(X) der Gruppenhomomorphismus, der sich aus derTranslationsoperation von H auf H/H0 ergibt, also

α(h)(x) =

hx, x ∈ H/H0,

ω x = ω.

Man beachte, dass jedes h0 ∈ H0 den Punkt x0 sytabilisiert. Sei τ ∈ Per(X) diePermutation, die gerade ω und x0 vertauscht, also

τ(x) =

ω x = x0,

x0 x = ω,

x sonst.

Sei dann β : H→ Per(X) der Gruppenhomomorphismus gegeben durch

β(h) = τα(h)τ−1.

Ist nun h0 ∈ H0, dann ist sowohl α(h0)ω = ω als auch α(h0)x0 = x0, so dass folgt

α(h0) = β(h0).

Was soviel bedeutet wie α f = β f . Da f ein Epi, folgt α = β und damit H0 = H,also ist f surjektiv.

• In der Kategorie der Ringe ist der Ringhomomorphismus Z→ Q ein Epi.

Definition 5.2.3. Ein Morphismus f : X→ Y heißt injektiv oder Monomorphismus, fallsfur je zwei Morphismen g, τ : V → X gilt

f g = f τ ⇒ g = τ.

Das heißt f ist ein Mono, wenn aus der Kommutativitat des Diagramms

Vg//

τ

Xf

Xf// Y

schon γ = τ folgt.

Topologie 74

Beispiele 5.2.4. • In Set ist f genau dann ein Mono, wenn f injektiv ist.

• In Copp ist f genau dann ein Mono, wenn es in C ein Epi ist.

5.3 Produkte und Coprodukte

Definition 5.3.1. Seien X,Y Objekte einer Kategorie C. Ein Produkt von X und Y ist einObjekt P zusammen mit Morphismen p1 : P→ X und p2 : P→ Y und folgenderuniverseller Eigenschaft: Fur jedes Objekt Z und Morphismen p : Z→ X undq : Z→ Y existiert genau ein Morphismus Z→ P, so dass das Diagramm

P

X Y

Z

__ ??∃!

OO

kommutiert. Falls es existiert, ist das Produkt bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.Wir schreiben dann P = X × Y. Man beachte, dass die universelle Eigenschaft eineBijektion

Hom(Z,X × Y) Hom(Z,X) ×Hom(Z,Y)

liefert.

Definition 5.3.2. Ein Coprodukt von X und Y ist ein Objekt C zusammen mitMorphismen i1 : X→ C und i2 : Y→ C und folgender universeller Eigenschaft: Furjedes Objekt Z und Morphismen p : X→ Z und q : Y→ Z existiert genau einMorphismus C→ Z, so dass das Diagramm

C

∃!

X

??

Y

__

Z

kommutiert. Falls es existiert, ist das Coprodukt bis auf Isomorphie eindeutigbestimmt. Wir schreiben dann C = X

∐Y oder auch C = X ⊕ Y. Die universelle

Topologie 75

Eigenschaft liefert:

Hom(X ⊕ Y,Z) Hom(X,Z) ⊕Hom(Y,Z).

Beispiele 5.3.3. • In der Kategorie der Mengen ist das Produkt durch daskartesische Produkt von Mengen gegeben. Das Coprodukt ist die disjunkteVereinigung.

• In der Kategorie der Gruppen ist das Produkt ebenfalls das kartesische Produkt.Das Coprodukt ist das freie Produkt von Gruppen.

5.4 Faser- und Cofaserprodukte

Definition 5.4.1. Ein kommutatives Diagramm

F //

Xα

Yβ// Z

heißt kartesisch, falls fur jedes kommutative Diagramm

P //

Xα

Yβ// Z

genau ein Pfeil von P nach F existiert so dass das Diagramm

P

''F //

Xα

Yβ// Z

kommutiert. In diesem Fall heißt F das Faserprodukt von X und Y ueber Z. EinFaserprodukt ist, wenn es existiert, eindeutig bestimmt bis auf Isomorphie. Manschreibt dann F = X ×α,β Y oder, wenn klar ist, welche Abbildungen α,β man benutzt,auch F = X ×Z Y.

Topologie 76

Ein Diagramm heißt co-kartesisch, wenn es in Copp kartesisch ist. Ein Cofaserprodukt in Cist ein Faserprodukt in Copp. Faserprodukte existieren nicht immer.

Beispiele 5.4.2. • In der Kategorie der Mengen ist das Faserprodukt gegebendurch

X ×α,β Y =(x, y) ∈ X × Y : α(x) = β(y)

.

Die Abbildungen nach X und Y sind durch die Projektionen des kartesischenProduktes gegeben.

• Sei ein Diagramm von Mengen und Abbildungen

Y

X Zf

oo

g

OO

gegeben. Dann ist das Cofaserprodukt C in Set gegeben durch

C = (X ·∪Y) / ∼,

wobei ∼ die Aequivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung ist, gegebendurch

x ∼ x, y ∼ y, f (z) ∼ g(z)

fuer alle x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z.

Lemma 5.4.3. Ist das Diagramm

Fg//

B

Af// C

kartesisch und ist f injektiv, so auch g. Ist das Diagramm

C δ //

A

Bγ// P

co-kartesisch und ist δ surjektiv, so auch γ.

Beweis. Seien α, β : Z→ F zwei Morphismen so dass gilt h = gα = gβ. Wir muessen

Topologie 77

zeigen, dass α = β ist. Betrachte das Diagramm

Zβ

α''

h′

""

h

Fg//

η

B

Af// C

Aus gα = gβ folgt fηα = fηβ und da f injektiv ist, erhalten wir h′ = ηα = ηβ, dasDiagramm kommutiert also. Da das Anfangsdiagramm kartesisch ist, gibt es zu h undh′ genau einen Morphismus von Z nach F, der das Diagramm kommutativ macht,also folg α = β.

Die Aussage fuer cokartesische Diagramme folgt durch Uebergang zurentgegengesetzten Kategorie.

5.5 Funktoren

Definition 5.5.1. Ein Funktor von einer Kategorie A zu einer Kategorie B ist ein Paar(F,F ), wobei F : Ob(A)→ Ob(B) eine Abbildung ist und F ist eine Familie vonAbbildungen FX,Y : MorA(X,Y)→MorB(F(X),F(Y)) so dass gilt:

• FX,X(1X) = 1F(X),

• F( f g) = F( f ) F(g), hier haben wir die Indizes bei F weggelassen.

Beispiele 5.5.2. • Der Vergiss-Funktor F : Ab→ Set, der jede Gruppe auf dieunterliegende Menge wirft und die Gruppenhomomorphismen auf dieunterliegenden Mengenabbildungen.

• Der Homotopie-Funktor F von der Kategorie Top zur Homotopiekategorie. ErWirft jeden topologischen Raum X auf sich und jede stetige Abbildung f auf dieHomotopieklasse [ f ].

• Fasst man Gruppen als Kategorien auf, so sind Funktoren auf ihnen geradeGruppenhomomorphismen.

Definition 5.5.3. Ein Funktor F : C→ Dopp wird auch manchmal kontravarianterFunktor auf C genannt. Die Definition ist dieselbe wie bei Funktoren, nur dass sich bei

Topologie 78

Morphismen die Reihenfolge umdreht, also FX,Y : MorC(X,Y)→MorD(F(Y),F(X)) undF( f g) = F(g) F( f ).

Beispiel 5.5.4. Sei K ein Korper und Vekt(K) die Kategorie der K-VektorRaume undlinearen Abbildungen. Die Dualisierung V 7→ V∗ = Hom(V,K) ist ein kontravarianterFunktor von Vekt(K) in sich, denn man definiert fur eine lineare AbbildungT : V →W die duale Abbildung als

T∗(α) = α T.

Dann gilt (TS)∗ = S∗T∗.

Fur einen topologischen Raum X betrachte die Kategorie CX mit

Ob(CX) =U ⊂ X offen

wobei Mor(V,U) leer ist, falls V ⊂/ U und andernfalls enthalt Mor(V,U) genau einElement, die Inklusionsabbildung V → U.

Definition 5.5.5. Ein Funktor F : A→ B ist ein Isomorphismus von Kategorien, falls eseinen Funktor G : B → A gibt, so dass

FG = IdB und GF = IdA.

Definition 5.5.6. Ein Funktor F : A→ B heißt treu, falls fuer je zwei X,Y ∈ A dieAbbildung

F : HomA(X,Y)→ HomB(F(X),F(Y))

injektiv ist.

Der Funktor F heißt voll, falls fuer je zwei X,Y ∈ A die Abbildung

F : HomA(X,Y)→ HomB(F(X),F(Y))

surjektiv ist.

Schliesslich heißt er volltreu, falls es voll und treu ist.

Beispiel 5.5.7. Der Vergiss-Funktor Ab→ Set, der jeder abelschen Gruppe ihre Mengezuordnet, ist treu aber nicht voll.

Topologie 79

5.6 Natuerliche Transformationen

Definition 5.6.1. Seien F,G : A→ B Funktoren. Eine natuerliche Transformationt : F→ G ist eine Familie (tX)X∈A von Morphismen

tX : F(X)→ G(X),

so dass fuer jeden Pfeil f : X→ Y inA das Diagramm

F(X)F( f )

//

tX

F(Y)

tY

G(X)G( f )// G(Y)

kommutiert. Man kann natuerliche Transformationen t : F→ G und s : G→ Hhintereinanderschalten und erhaelt st : F→ H. Eine natuerliche Transformationt : F→ G ist ein natuerlicher Isomorphismus, wenn es eine natuerliche Transforma tions : G→ F gibt, so dass st = IdF und ts = IdG. Ist t ein natuerlicher Isomorphismus,dann ist insbesondere jeder Pfeil tX : F(X)→ G(X) ein Isomorphismus.

Beispiele 5.6.2. • Jede Gruppe ist natuerlich isomorph zu ihrer EntgegengesetztenGruppe.

Sei G eine Gruppe. Ihre entgegengesetzte Gruppe Gopp besteht aus derselbenMenge mit der neuen Verknuepfung

a ·opp b = ba.

Sei F der Funktor F : Grp→ Grp der Kategorie der Gruppen in sich, der jedeGruppe G auf ihre entgegengesetzte Gruppe abbildet. Die obige Aussage ist nunso zu verstehen: Es gibt einen natuerlichen Isomorphismus t : Id

−→ F.

Beweis. Fuer jede Gruppe G ist

tG : G→ Gopp,

x 7→ x−1

ein Isomorphismus. Ist φ : G→ H ein Gruppenhomomorphismus, dann folgt

φ(tG(x)) = φ(x−1) = φ(x)−1 = tH(φ(x)).

Topologie 80

Damit definiert t eine natuerliche Transformation von Id nach F, aber auch von Fnach Id und wegen

tGopptG = IdG

ist t ein Isomorphismus.

• Sei K ein Koerper und sei F : Vekt(K)→ Vekt(K) der Funktor, der jedemVektorraum V sein Bidual F(V) = V∗∗ zuordnet. Dann definiert die kanonischeAbbildung

tV : V → V∗∗

v 7→ δv,

mit δv(α) = α(v) eine natuerliche Transformation t : Id→ F.

5.7 Aequivalenz von Kategorien

Definition 5.7.1. Ein Funktor F : A→ B ist eine Aequivalenz von Kategorien, falls eseinen Funktor G : B → A gibt, so dass

FG IdB und GF IdA.

Jede Isomorphie von Kategorien ist eine Aequivalenz von Kategorien.

Beispiel 5.7.2. Sei K ein Koerper und seiA die Kategorie der endlich-dimensionalenK-Vektorraeume. Dann ist F : A→A, V 7→ V∗∗ eine Aequivalenz von Kategorien.

Satz 5.7.3. (a) Ein Funktor F : A→ B ist genau dann eine Aequivalenz von Kategorien,wenn er volltreu ist und dichtes Bild hat.

(b) Zwei KategorienA,B sind genau dann aequivalent, wenn es dichte UnterkategorienA′⊂ A und B′ ⊂ B gibt, die isomorph sind, d.h. es giltA′ B′.

Erinnerung: Eine Unterkategorie B′ ⊂ B heißt dicht, wenn es zu jedem Z ∈ B einZ′ ∈ B′ gibt, das isomorph ist zu Z.

Topologie 81

Beweis. (a) Sei F eine Aequivalenz mit Quasi-Inversem G : B → A und seit : IdA → GF die natuerliche Isomorphie. Dann ist fuer je zwei X,Y ∈ A die Abbildung

Hom(X,Y) GF−→ Hom(GF(X),GF(Y))

t−1Y ·tX−→ Hom(X,Y)

gleich der Identitaet, woraus sich ergibt, dass F treu ist. Da ferner t−1Y und tX

Isomorphismen sind, folgt auch, dass G voll ist. Durch Vertauschen von F und G folgt,dass auch F voll ist. Sei s : IdB → FG die natuerliche Isomorphie. Ist Z ∈ B, so istsX : X→ F(G(Z)) ein Isomorphismus, daher hat F dichtes Bild.

Sei nun umgekehrt F : A→ B volltreu mit dichtem Bild. Fuer jedes Z ∈ Bwaehle einX ∈ A, so dass und einen Isomorphismus νZ : Z

−→ Z′ = F(X), wobei wir verlangen,dass Z′ = Z und νZ = IdZ, falls Z im Bild liegt. Setze dann G(Z) = X. Z,W ∈ B definiereG : Hom(Z,W)→ Hom(G(Z),G(W)) durch

Hom(Z,W)νW·ν−1

Z−→ Hom(Z′ = F(X),W′ = F(Y)) F−1

−→ Hom(X = G(Z),Y = G(W)).

Dann folgt, dass G ein Funktor ist, der Quasi-invers zu F ist.

Der Beweis von (b) sei dem Leser zur Uebung gelassen.

5.8 Abelsche Kategorien

Fur eine Kategorie C schreibt man oft auch X ∈ C fur X ∈ Ob(C). Ein Objekt T einerKategorie heißt terminales Objekt, wenn es zu jedem X ∈ C genau einen MorphismusX→ T gibt. Wenn es existiert ist es eindeutig bestimmt bis auf Isomorphie, denn furjedes weitere terminale Objekt T′ gibt es genau einen Morphismus α : T→ T′ undgenau ein β : T′ → T, dann ist αβ der eindeutig bestimmte Endomorphismus T′ → T′,also gleich 1T′ . Ebenso gilt βα = 1T, also sind α und β zueinander inverseIsomorphismen.

Beispiele 5.8.1. • In Ab ist die triviale Gruppe ein terminales Objekt.

• In Top ist der Einpunktraumx0

ein terminales Objekt.

Definition 5.8.2. Ein Objekt I von C heißt initiales Objekt, wenn es zu jedem X ∈ Cgenau einen Morphismus I→ X gibt. Ein initiales Objekt ist eindeutig bestimmt bisauf Isomorphie, wenn es existiert.

Beispiele 5.8.3. • In Ab ist die triviale Gruppe auch initial.

Topologie 82

• In Top gibt es kein initiales Objekt. In Top0 ist der Einpunktraum ein initialesObjekt.

• In der Kategorie der Ringe ist Z ein initiales Objekt.

Definition 5.8.4. Ein Nullobjekt einer Kategorie ist ein Objekt X0 das sowohl initial alsauch terminal ist. Fur je zwei Objekte X,Y ∈ C gibt es dann genau einen Morphismus0, der uber das Nullobjekt faktorisiert, man nennt ihn den Nullmorphismus.

X 0 //

Y

X0

??

Ein Nullobjekt schreibt man auch selbst als 0. Eine Kategorie, die ein Nullobjektenthalt, heißt punktierte Kategorie. Sei f : X→ Y ein Morphismus in einer punktiertenKategorie. Ein Kern zu f ist ein Morphismus α : K→ X so dass folgendes gilt:

• fα = 0 und

• jeder Morphismus g : Z→ X mit f g = 0 faktorisiert eindeutig uber α, d.h. es gibtgenau einen Morphismus ψ : Z→ K mit g = αψ.

Zg

∃!ψ

0

K α // Xf// Y

Beispiel 5.8.5. In Ab ist fur f : A→ B die Einbettung der Untergruppe f −1(0) in A einKern.

Sei weiter C punktiert, dann ist ein Kokern zu f : X→ Y ein Morphismus γ : Y→ C sodass folgendes gilt

• γ f = 0 und

• jeder Morphismus g : Y→ Z mit g f = 0 faktorisiert in eindeutiger Weise uber γ,d.h. es gibt genau einen Morphismus φ : C→ Z mit g = φγ.

Z

X

0??

f// Y

g

OO

γ// C

∃!φ__

Topologie 83

Lemma 5.8.6. Sei C eine punktierte Kategorie. Ein Kern ist stets ein Monomorphismus, einCokern ist stets ein Epi.

Proof. Sei k : K→ X ein Kern zu f : X→ Y. Seien dann α, β : Z→ K Morphismen mitkα = kβ. Wir muessen zeigen, dass α = β gilt. Wir haben also das kommutativeDiagram

K k // Xf// Y

Z

α

OO

β

OO

F

??

Der Pfeil F := kα = kβ hat die Eigenschaft, dass f F = 0, also faktoriesiert er eindeutigueber k, was soviel bedeutet, dass α = β sein muss. Die zweite Aussage folgt durchDualisieren, weil ein Kern in Copp ein Cokern in C ist.

Definition 5.8.7. Eine additive Kategorie ist:

• eine punktierte Kategorie Cmit Nullobjekt 0 und

• einer abelschen Gruppenstruktur auf MorC(X,Y) fur jedes Paar (X,Y) vonObjekten, so dass die Komposition

: Mor(X,Y) ×Mor(Y,Z)→Mor(X,Z)

bilinear ist.

• Ferner soll zu je zwei Objekten X,Y das Produkt X ×Y und das Coprodukt X ⊕Yexistieren.

In einer additiven Kategorie ist der Nullmorphismus 0 ∈Mor(X,Y) stets gleich derNull in der additiven Gruppe Mor(X,Y), denn der Nullmorphismus ist ja das einzigeElement des Bildes der bilinearen Abbildung : Mor(X, 0) ×Mor(0,Y)→Mor(X,Y).

Eine additive Kategorie C heißt abelsche Kategorie, falls

• Zu jedem Morphismus existieren Kern und Cokern.

• Ist Ker( f ) = 0, dann ist f der Kern seines Cokerns. Ist coker( f ) = 0, dann ist fCokern seines Kerns. Ein Morphismus f mit Ker( f ) = 0 = coker( f ) ist einIsomorphismus.

Topologie 84

Beispiel 5.8.8. Sei R ein Ring und sei Mod(R) die Kategorie der R-Moduln undR-linearen Abbildungen. Dann ist Mod(R) eine abelsche Kategorie, wobei die Summezweier Homomorphismen durch die punktweise Summe erklaert ist.

Lemma 5.8.9. SeiA eine abelsche Kategorie.

(a) Ein Pfeil f ist genau mono, wenn Ker( f ) = 0 gilt. Ein Pfeil g ist genau dann epi, wenncoker(g) = 0 gilt.

(b) Die duale KategorieAopp ist ebenfalls abelsch.

(c) Zu zwei Objekten X,Y ist das Produkt X × Y isomorph zum Coprodukt X ⊕ Y.

(d) Zu zwei Morphismen f : A→ C und g : B→ C existiert das Faserprodukt. Zu zweiMorphismen C→ A und C→ B existiert das Cofaserprodukt.

(e) Ist das Diagramm

Fg//

B

Af// C

kartesisch und ist f surjektiv, so auch g. Ist das Diagramm

C δ //

A

Bγ// P

co-kartesisch und ist δ injektiv, so auch γ.

Beweis. (a) Ist Ker( f ) = 0, dann ist f der Kern seines Cokerns, also mono nach Lemma5.8.6. Ist andersrum f ein Monomorphismus, und α ein Kern, dann ist f 0 = 0 = fα,also folgt α = 0. Die epi-Aussage folgt analog.

(b) ist leicht einzusehen.

(c) Sind Z α−→ X und Z

β−→ Y Morphismen, so schreiben wir den durch die universelle

Eigenschaft induzierten Morphismus Z→ X × Y als α × β. Die MorphismenX 1×0−→ X × Y und Y 0×1

−→ X × Y induzieren dann nach der universellen Eigenschaft der

Topologie 85

Summe einen Morphismus φ : X ⊕ Y→ X × Y, der das Diagramm

X

##

Id // X

X ⊕ Yφ// X × Y

;;

""

Y Id //

<<

Y

kommutativ macht. Wir definieren die Komposition

ψX : X × Y→ X→ X ⊕ Y

undψY : X × Y→ Y→ X ⊕ Y.

Sei dannψ : ψX + ψY.

Man stellt fest, dass ψ invers ist zu φ und damit ist φ ein Isomorphismus.

(d) Seien f : A→ C und g : B→ C gegeben. Sei α : A × B→ C gegeben durch als

Komposition A × B→ Af−→ C und β : A × B→ B→ C ebenso. Sei dann

K = Ker(α − β), dann ist K ein Faserprodukt. Cofaserprodukte sind Faserprodukte inder KategorieAopp.

(e) sei zur Uebung.

Definition 5.8.10. In einer abelschen Kategorie definieren wir fur einen Morphismusf :

Bild( f ) := Ker(coker( f )).

Eine Sequenz von Morphismen

· · · → Ai−1di−1

−→ Aidi

−→ Ai+1 → . . .

heißt exakt an der Stelle i, falls Bild(di−1) = Ker(di) gilt. Die Sequenz heisst exaktschlechthin, wenn sie an jeder Stelle exakt ist.

Ein Funktor F : C → D additiver Kategorien heißt additiver Funktor, falls fur je zweiObjekte X,Y die induzierte Abbildung F : Mor(X,Y)→Mor(F(X),F(Y)) einGruppenhomomorphismus ist.

Topologie 86

Ein Funktor F : C → D abelscher Kategorien heißt exakter Funktor, falls er additiv istund exakte Sequenzen in exakte Sequenzen uberfuhrt.

6 Kohomologie

6.1 Motivation: de Rham Kohomologie

Definition 6.1.1. Sei M eine glatte Manngifaltigkeit und sei Ωp(M) der reelleVektorraum der p- Differentialformen. Das Außere Differential dp : Ωp

→ Ωp+1 erfulltdp+1dp = 0, also kann man die de Rham Kohomologie von M definieren als

HpdR(M) def

= Ker(dp)/Bild(dp−1).

Sei nun C∞p (M) die freie Gruppe erzeugt von allen p-Simplizes σ : ∆p→M, die glatt

sind. Dann kann man eine p-Form ω ∈ Ωp(M) mit σ zuruckziehen und definiert

〈σ,ω〉def=

∫∆

σ∗ω =

∫σ(∆)

ω.

Dies definiert eine bilineare Paarung auf C∞p (M) ×Ωp(M). Mit anderen Worten, manerhalt eine lineare Abbildung ψ : Ωp

→ C∞n (M)∗. Der Stokessche Integralsatz besagt:

〈∂σ,ω〉 = 〈σ, dω〉 .

Dies kann man lesen alsψ(dω) = ∂∗ψ(ω),

wobei ∂∗ : C∞p (M)∗ → C∞p+1(M)∗ der zum Randoperator duale Operator ist. Das heißt, ψist eine Kokettenabbildung und man kann zeigen, dass die induzierte Abbildung aufder Kohomologie fur kompaktes M ein Isomorphismus ist.

Topologie 87

6.2 Singulare Kohomologie

Definition 6.2.1. Sei G eine abelsche Gruppe und X ein topologischer Raum. DieMenge der singularen Koketten mit Koeffizienten in G ist definiert als

Cn(X,G) = Hom(Cn(X),G).

Die Korandabbildung d : Cn(X,G)→ Cn+1(X,G) ist definiert als die duale Abbildungzum Randoperator, also

dφ(σ) = φ(∂σ).

Was soviel heißt wie

dφ(σ) =

n+1∑i=0

(−1)iφ(σ|[v0,...vi...,vn+1]).

Da d2 der duale zu ∂2 = 0 ist, folgt d2 = 0, also kann man die singulare KohomolohieHp(X,G) mit Koeffizienten in G definieren als Ker d/Bild d im Grad p. Also

Hp(X,G) = Ker d ∩ Cp(X,G)/d(Cn−1(X,G)).

Man schreibtZp(X,G) = Ker d ∩ Cp(X,G)

und nennt die Elemente Kozykel. Man schreibt

Bp(X,G) = d(Cn−1(X,G))

und nennt die Elemente Korander. Die Kohomologie ist

Hp(X,G) = Zp(X,G)/Bp(X,G).

6.3 Der universelle Koeffizientensatz

Definition 6.3.1. Sei · · · → Cn+1∂−→ Cn

∂−→ Cn−1 → . . . ein Kettenkomplex freier

abelscher Gruppen. Fur eine gegebene abelsche Gruppe G sei Cn(G) = Hom(Cn,G) dieduale Gruppe. Ferner sei d : Cn

→ Cn+1 der duale Operator zu ∂, also dφ( f ) = φ(∂ f )fuer φ ∈ Cn(G). Dann ist · · · → Cn−1 d

−→ Cnd−→ Cn+1 → ein Kokettenkomplex. Die

Kohomologiegruppe Hp(C,G) von C mit Koeffizienten in G ist dann definiert als dieKohomologie des Kokettenkomplexes (Cn).

Topologie 88

Sei H eine abelsche Gruppe. Eine exakte Sequenz der Form

· · · → F2 → F1 → F0 → H→ 0

mit freien abelschen Gruppen F j heißt freie Auflosung von H. Dann ist

F ≡ . . . F1 → F0 → 0

ein Kettenkomplex freier abelscher Gruppen. Also ist die Kohomologie Hp(F,G)definiert wie oben. Beachte, dass F der abgeschnittene Komplex ist! Man schreibt dasauch so, dass F→ H eine freie Auflosung von H ist. Es gilt z.B.:

H0(F,G) = Ker(Hom(F0,G)→ Hom(F0,G))

= Hom(F0/F1,G) = Hom(H,G).

Also hangt H0(F,G) nicht von der Wahl der Auflosung ab!

Lemma 6.3.2.

(a) Seien F,F′ freie Auflosungen der abelschen Gruppen H,H′. Dann kann jederGruppenhomomorphismus α : H→ H′ fortgesetzt werden zu einer KettenabbildungF→ F′, also gibt es ein kommutatives Diagramm:

. . . // F2f2//

α2

F1f1//

α1

F0f0//

α0

H //

α

0

. . . // F′2f ′2 // F′1

f ′1 // F′0f ′0 // H′ // 0.

Je zwei verschiedene Fortsetzungen von α sind kettenhomotop.

(b) Fur je zwei freie Auflosungen F,F′ von H gibt es kanonische IsomorphismenHp(F,G) Hp(F′,G).

Beweis. Da F0 frei ist, kann man den Homomorphismus α f0 : F0 → H nach F′0 liften,das definiert α0. Sei αn−1 bereits definiert. Der Homomorphismus αn−1 fn : Fn → F′n−1

erfullt f ′n−1 (αn−1 fn) = 0, das Bild liegt also im Kern von f ′n−1, welcher gleich demBild von f ′n ist. Da Fn frei ist, kann dieser Homomorphismus zu einemHomomorphismus αn : Fn → F′n geliftet werden.

Um zu zeigen, dass zwei Fortsetzungen von α kettenhomotop sind, reicht es zu

Topologie 89

zeigen, dass im Fall α = 0 jede Fortsetzung nullhomotop ist, denn die Differenz zweierFortsetzungen ist eine Fortsetzung der Null.

Sei also α = 0 und die αn eine Fortsetzung. Wir suchen GruppenhomomorphismenPn : Fn → F′n+1 so dass

αn = f ′n+1Pn + Pn−1 fn.

Setze P−1 : H→ F′0 gleich Null. Die verlangte Relation ist dann α0 = f ′1P0. Ein solchesP0 existiert, denn das Bild von α0 liegt im Kern von f ′0 , also im Bild von f ′1 und F0 istfrei.

Induktiv sei Pn−1 bereits definiert. Wir suchen dann Pn so dass αn − Pn−1 fn = f ′n+1Pn.Damit ein solches existiert, reicht es zu zeigen, dass das Bild von αn − Pn−1 fn im Bildvon f ′n+1, also im Kern von f ′n liegt. Wegen αn−1 = f ′nPn−1 + Pn−2 fn−1 ist

f ′n(αn − Pn−1 fn) = f ′nαn − ( f ′nPn−1) fn

= f ′nαn − (αn−1 − Pn−2 fn−1) fn

= f ′nαn − αn−1 fn = 0.

Also existiert Pn und damit ist Teil (a) bewiesen.

Teil (b) folgt nun leicht. Da kettenhomotope Abbildungen die gleiche Abbildung aufder Homotopie induzieren, induziert jeder Homomorphismus α : H→ H′ eineneindeutigen Homomorphismus auf der Homotopie. Fur zwei verschiedenAuflosungen derselben Gruppe H wenden wir dies auf α = Id : H→ H an underhalten eindeutige Homomorphismen auf der Homologie, die dann wegen derEindeutigkeit mit dem ublichen Schluss Isomorphismen sein mussen.

Es folgt, dass bis auf kanonische Isomorphie Hp(F,G) nur von H und G anhangt, nichtaber von der Auflosung. Wir nennen diese Gruppe

Extp(H,G).

Lemma 6.3.3. Fur eine gegebene abelsche Gruppe H gibt es eine exakte Sequenz

0→ F1 → F0 → H→ 0.

Beweis. Sei S irgendeine Erzeugermenge von H. Sei F0 eine freie abelsche Gruppe mitErzeugermenge S′ von gleicher Kardinalitat wie S. Eine Bijektion f : S′ → S dehnt auszu einem surjektiven Gruppenhomomorphismus f : F0 → H. Sei F1 der Kern von f .

Topologie 90

Da F1 eine Untergruppe einer freien abelschen Gruppe ist, ist F1 eine freie abelscheGruppe (Lang, Algebra). Also erfullt die Sequenz F1 → F0 → H die Forderung.

Dies impliziert, dass fur abelsche Gruppen G,H immer gilt Extp(H,G) = 0 fur p ≥ 2.Ferner haben wir berechnet, dass gilt

Ext0(H,G) = Hom(H,G).

Die einzig interessante Gruppe ist also Ext1(H,G).

Lemma 6.3.4. (a) Ext1(H ⊕H′,G) Ext1(H,G) ⊕ Ext1(H′,G),

(b) Ext1(H,G) = 0 falls H frei ist,

(c) Ext(Z/nZ,G) G/nG.

Beweis. (a) folgt aus der Tatsache, dass die direkte Summe von freien Auflosungenvon H und H′ eine freie Auflosung von H ⊕H′ ist.

(b) ist klar, da dann 0→ H→ H→ 0 eine freie Auflosung ist.

(c) kommt von der Auflosung 0→ Z n−→ Z→ Z/nZ→ 0.

Lemma 6.3.5. Sei0→ A α

−→ Bβ−→ C→ 0

eine exakte Sequenz abelscher Gruppen. Dann sind aquivalent:

(a) Es gibt einen Gruppenhomomorphismus s : C→ B mit βs = IdC.

(b) Es gibt einen Gruppenhomomorphismus t : B→ A mit tα = IdA.

(c) Es gibt einen Isomomorphismus ψ : B→ A ⊕ C so dass das Diagramm

B

""ψ

0 // A

""

<<

C // 0

A ⊕ Cp2

<<

kommutiert.

Topologie 91

Definition 6.3.6. Sind diese gleichwertigen Bedingungen erfullt, dann sagen wir, dieSequenz 0→ A→ B→ C→ 0 ist spaltend oder sie spaltet.

Beweis. (c)⇒ (a) und (c)⇒ (b) sind klar.

(a)⇒ (c): Sei s : C→ B mit βs = IdC gegeben. Fur b ∈ B gilt b − sβ(b) ∈ Bildα, dennBildα = Ker β und

β(b − sβ(b)) = β(b) − βsβ(b) = β(b) − β(b) = 0.

Also kann man ψ : B→ A ⊕ C definieren:

ψ(b) = α−1(b − sβ(b)) ⊕ β(b).

Ist a ∈ A, so gilt ψ(α(a)) = α−1α(a) ⊕ 0 = a ⊕ 0. Ist b ∈ B, so gilt p2ψ(b) = β(b), alsokommutiert das Diagramm.

(b)⇒ (c): Sei t : B→ A gegeben mit tα = IdA, dann definiere

ψ(b) = α(t(b)) ⊕ β(b).

Die Kommutativitat des Diagramms ist klar.

Satz 6.3.7 (Universeller Koeffizientensatz). Es gibt eine kanonische spaltende exakteSequenz:

0→ Ext1(Hn−1(C),G)→ Hn(C,G) h−→ Hom(Hn(C),G)→ 0.

Ist f : C→ C′ eine Kettenabbildung, so induziert f ein kommutatives Diagramm

0 // Ext1(Hn−1(C),G) // Hn(C,G) h // Hom(Hn(C),G) // 0

0 // Ext1(Hn−1(C′),G) //

f ∗OO

Hn(C′,G) h //

f ∗OO

Hom(Hn(C′),G) //

f ∗OO

0

Beweis. Wir definieren den Homomorphismus

h : Hn(C,G)→ Hom(Hn(C),G)

Topologie 92

wie folgt: Sei [φ] ∈ Hn(C,G), also φ : Cn → G mit φ ∂ = dφ = 0. Das bedeutetφ(Bn) = 0, wobei Bn = Bild(∂n+1). damit induziert die Einschrankung von φ aufZn = Ker ∂n einen Homomorphismus φ : Zn/Bn → A, also ein Element vonHom(Hn(C),G). Dann definieren wir h([φ]) = φ.

Lemma 6.3.8. Der Gruppenhomomorphismus h ist surjektiv. Genauer gibt es eine spaltendeexakte Sequenz

0→ Ker h→ Hn(C,G) h−→ Hom(Hn(C),G)→ 0.

Beweis. Da Bn−1 eine Untergruppe der freien Gruppe Cn−1 ist, ist Bn−1 selbst eine freieGruppe. Also zerfullt die exakte Sequenz

0→ Zn → Cn∂−→ Bn−1 → 0.

Also gibt es eine Projektion p : Cn → Zn mit p|Zn = Id. Sei nun η ∈ Hom(Hn(C),G), alsoη : Zn/Bn → G. Definiere η = η p : Cn → G. Ferner gilt dη = η ∂ = η p ∂ = 0, alsodefiniert η eine Kohomologieklasse [η] mit h([η]) = η, damit ist h surjektiv und dieSequenz des Lemmas wird von der Abbildung η 7→ [η] gespaltet.

Wir betrachten das kommutative Diagramm mit spaltenden exakten Zeilen:

0 // Zn+1//

0

Cn+1∂ //

∂

Bn//

0

0

0 // Zn// Cn

∂ // Bn−1// 0

Da die Zeilen gespalten sind, hat das duale Diagramm ebenfalls exakte Zeilen:

0 Z∗n+1oo C∗n+1

oo B∗ndoo 0oo

0 Z∗noo

0

OO

C∗noo

d

OO

B∗n−1oo

0

OO

0oo

Das bedeutet, wir erhalten eine exakte Sequenz von Kokettenkomplexen:0← Z∗ ← C∗ ← B∗ ← 0. Die entsprechende exakte Sequenz von Kohomologiegrupenhat die Form

· · · ← B∗n ← Z∗n ← Hn(C,G)← B∗n−1 ← Z∗n−1 ← . . .

Die Verbindungshomomorphismen δ : Z∗n → B∗n in dieser Sequenz sind genau die dualenzu den Inklusionen in : Bn → Zn, denn man erhalt δ(z) ja, indem man fur z ∈ Z∗n ein

Topologie 93

Urbild in C∗n wahlt, dann d anwendet und das Urbild in B∗n nimmt. Im ersten Schrittwird der Homomorphismus z : Zn → G nach Cn ausgedehnt, im zweiten wird er mit ∂komponiert und im dritten wird diese Komposition wieder aufgehoben beiRestriktion nach Bn, im Endeffekt wird also z nur nach Bn eingeschrankt. Damit giltδ = i∗n, also hat man die exakte Sequenz

· · · ← B∗n

i∗n←− Z∗n ← Hn(C,G)← B∗n−1

i∗n−1

←− Z∗n−1 ← . . .

Woraus man die kurze exakte Sequenz

0← Ker(i∗n)← Hn(C,G)← coker(i∗n−1)← 0

extrahiert. Elemente von Ker(i∗n) sind Homomorphismen Zn → G, die auf Bn

verschwinden, also genau die Homomorphismen von Bn/Zn → G, in anderen Worten:Ker(i∗n) = Hom(Hn(C),G). Die Abbildung Hn(C,G)→ Ker(i∗n) = Hom(Hn(C),G) istgerade die Abbildung h. Also gibt es einen kanonischen IsomorphismusKer h coker i∗n−1. Die Sequenz

0→ Bn−1in−1−→ Zn−1 → Hn−1(C)→ 0

ist eine freie Auflosung von Hn−1(C), also gibt es einen kanonischen IsomorphismusKer h coker i∗n−1 Ext1(Hn−1(C)). Damit ist der Satz bewiesen.

6.4 Homotopie-Invarianz

Sei H eine fest gewahlte abelsche Gruppe. Fur einen topologischen Raum X seiCn(X,G) = Hom(Cn(X),G). Sei f : X→ Y eine stetige Abbildung. Die Abbildungf# : Cn(X)→ Cn(Y) dualisiert zu

f # : Cn(Y)→ Cn(X).

Auf diese Weise wird Cn : Top→ Ab ein kontravarianter Funktor. Es gilt: f # ist eineKokettenabbildung, d.h. es ist

d f # = f #d

Topologie 94

Dies folgt leicht aus der Tatsache, dass f# eine Kettenabbildung ist. Denn sei α ∈ Cn(Y),so gilt

d f #(α) = d( f #(α)) = d(α f#) = α f# ∂ = α ∂ f# = f #(α ∂) = f #d(α).

Analog zur Homologie definiert f damit eine Abbildung f ∗ : Hn(Y,G)→ Hn(X,G).Damit wird die Kohomologie Hn(·,G) zu einem kontravarianten Funktor von Topnach Ab.

Satz 6.4.1. Seien f , g : X→ Y stetige Abbildungen. Sind f und g homotop, so giltf ∗ = g∗.

Beweis. Sind f und g homotop, dann sind die Kettenabbildungen f# und g#

kettenhomotop, d.h. es giltf# − g# = ∂P + P∂.

Dies dualisiert zuf #− g# = P∗d + dP∗.

Damit folgt f ∗ − g∗ = 0 nach Lemma ??, wobei man nur die Nummerierung umdrehenmuss, da das Lemma fuer Kettenabbildungen statt Cokettenabbildungen formuliertwurde.

6.5 Die Raumpaar-Sequenz

Sei G eine feste abelsche Gruppe. Fur eine abelsche Gruppe A schreiben wir A∗ furHom(A,G). Fur einen Homomorphismus f : A→ B definieren wir f ∗ : B∗ → A∗ durchf ∗(α) = α f . Es folgt ( f g)∗ = g∗ f ∗ Zusammengefasst heißt das: A 7→ A∗ definierteinen kontravarianten Funktor Hom(·,G) von Ab nach Ab.

Lemma 6.5.1. Ist 0→ A α−→ B

β−→ C→ 0 eine exakte Sequenz, dann ist

0→ C∗β∗

−→ B∗ α∗−→ A∗

exakt. Ist die erste Sequenz spaltend, dann ist α∗ auch surjektiv. Im Allgemeinen ist α∗ abernicht immer surjektiv.

Topologie 95

Beweis. Sei f : C→ G in C∗ mit β∗( f ) = 0, d.h. f β = 0, also verschwindet f auf demBild von β. Da β surjektiv ist, ist f = 0 und damit ist β∗ injektiv.

Es gilt λ∗β∗ = (βα)∗ = 0∗ = 0.

Sei f ∈ B∗ mit α∗( f ) = 0, d.h. f α = 0, also verschwindet f auf dem Bild von α. Dies istder Kern von β. Damit faktorisiert f uber B/Ker β C, es gibt also ein g : C→ G mitf = g β = β∗(g).

Ist die erste Sequenz spaltend, also etwa B B1 ⊕ B2, dann zerfullt diese Sequenz inzwei Isomorphismen A

−→ B1 und B2−→ C, welche dualisieren zu Isomorphismen

der dualen Gruppen.

Fur den Zusatz betrachten wir folgendes Gegenbeispiel. Sei G = Z und sei n ∈N. DaHom(Z/nZ,Z) = 0 ist, dualisiert die exakte Sequenz

0→ Z n−→ Z→ Z/nZ→ 0

zu

0→ 0→ Z n−→ Z.

Sei nun (X,A) ein Raumpaar. Wir definieren Cn(X,G) = Cn(X)∗ und dualisieren dieexakte Sequenz

0→ Cn(A) i−→ Cn(X)

j−→ Cn(X,A)→ 0

zur exakten Sequenz

0→ Cn(X,A,G)j∗−→ Cn(X,G) i∗

−→ Cn(A,G)→ 0.

Die dualisierte Sequenz ist exakt bis zur Null, denn sei F die freie abelsche Gruppeerzeugt von allen singularen Simplices σ in X, deren Bild nicht in A liegt, dann istCn(X) Cn(A) ⊕ F und die obige Sequenz spaltet.

Man definiert die relative Corandabbildung d : Cn(X,A,G)→ Cn+1(X,A,G) durchRestriktion der absoluten d : Cn(X,G)→ Cn+1(X,G) und definiert so die relativeKohomologie Hn(X,A,G) = Zn(X,A,G)/Bn(X,A,G).

Lemma 6.5.2. Man hat eine exakte Sequenz

0→ H0(X,A,G)→ . . .

Topologie 96

· · · → Hp(X,A,G)j∗−→ Hp(X,G) i∗

−→ Hp(A,G) δ−→ Hp+1(X,A,G)→ . . .

Beweis. In der Sequenz

0→ Cn(X,A,G)j∗−→ Cn(X,G) i∗

−→ Cn(A,G)→ 0

sind j∗ und i∗ Kokettenabbildungen, d.h. i∗d = di∗ und j∗d = dj∗, denn i und j sindKettenabbildungen und daher

i∗d(α) = i∗(α ∂) = α ∂ i = α i ∂ = d(α i) = di∗(α)

und ebenso fur j. Daher ergibt sich die Behauptung aus Lemma 4.6.3.

Wenn die Gruppe G feststeht, schreiben wir oft statt Hp(X,G) auch einfach Hp(X).

Satz 6.5.3. (a) Sind A,Z ⊂ X Teilmengen mit Z ⊂ A, dann induziert die Inklusioni : (X − Z,A − Z) → (X,A) Isomorphismen

Hp(X,A) −→ Hp(X − Z,A − Z).

(b) Ist X wegzusammenhangend und A ⊂ X regular abgeschlossen, dann gibt es eineexakte Sequenz:

0→ Z→ H0(A) δ−→ H1(X/A)→ . . .

· · · → Hp(X/A) π∗−→ Hp(X) i∗

−→ Hp(A) δ−→ Hp+1(X/A)→ . . .

wobei i : A → X die Inklusion und π : X→ X/A die Projektion ist.

Beweis. (a) Die Inklusion i induziert eine Kettenabbildungi# : Cn = Cn(X − Z,A − Z)→ C′n = Cn(X,A). Nach dem Universellen Koeffizientensatzliefert diese ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen:

0 // Ext1(Hn−1(C),G) // Hn(C,G) h // Hom(Hn(C),G) // 0

0 // Ext1(Hn−1(C′),G) //

α

OO

Hn(C′,G) h //

i∗

OO

Hom(Hn(C′),G) //

β

OO

0

Topologie 97

In diesem Diagramm sind α und β induziert durch die Abbildungeni∗ : Hn(C)→ Hn(C′), die nach dem Ausschneidungssatz *** 5.20 Isomorphismen sind.Daher sind auch α und β Isomorphismen. Nach dem funfer-Lemma ist dann auch i∗

ein Isomorphismus.

Der Beweis von (b) ist analog zur Herleitung der Raumpaar-Sequenz fur dieHomologie.

Proposition 6.5.4. (a) Sei X wegzusammenhangend und x0 ∈ X ein Punkt. Dann gilt

Hp(X, x0) Hp(X), p ≥ 1

H0(X, x0) = 0.

(b) Sei A ⊂ X ein Deformationsretrakt von X. Dann gilt fur jedes p:

Hp(X,A) = 0.

(c) Sei A ⊂ X regular abgeschlossen. Dann induziert die Quotientenabbildungq : (X,A)→ (X/A,A/A) Isomorphismen:

q∗ : Hn(X/A,A/A) −→ Hn(X,A).

Beweis. Analog zu den entsprechenden Aussagen fur die Homologie.

6.6 Die Mayer-Vietoris Sequenz

Satz 6.6.1. Seien A,B Teilmengen von X mit X = A∪ B. Dann gibt es eine exakte Sequenz

0→ H0(X)ψ−→ H0(A) ⊕H0(B)→ . . .

· · · → Hp(X)ψ−→ Hp(A) ⊕Hp(B)

φ−→ Hp(A ∩ B) δ

−→ Hp+1(X)→ . . .

Beweis. Die exakte Sequenz von Kettenkomplexen:

0→ Cp(A ∩ B)→ Cp(A) ⊕ Cp(B)→ Cp(A + B)→ 0

Topologie 98

Dualisiert, da Cp(A + B) frei ist, zu einer exakten Sequenz von Kokettenkomplexen:

0→ Cp(A + B,G)ψ−→ Cp(A,G) ⊕ Cp(B,G)

φ−→ Cp(A ∩ B,G)→ 0.

Diese induziert eine lange exakte Sequenz in der Kohomologie, die mit der im Satzubereinstimmt bis auf den Term Hp(X), der durch die Kohomologie des KomplexesCp = Cp(A + B) ersetzt ist. Sei D der Komplex Dp = Cp(X), dann induziert die Inklusioni : Cp(A + B) → Cp(X) eine duale Abbildung i# : Cp(X)→ Cp(A + B). Seien i∗ und i∗ dieinduzierten Abbildungen auf der (Ko-)Homologie. Dann ist i∗ nach Lemma ***5.29 einIsomorphismus. Der Universelle Koeffizientensatz liefert ein kommutative Diagrammmit exakten Zeilen:

0 // Ext1(Hn−1(C),G) // Hn(C,G) h // Hom(Hn(C),G) // 0

0 // Ext1(Hn−1(D),G) //

α

OO

Hn(D,G) h //

i∗

OO

Hom(Hn(D),G) //

β

OO

0

Die Abbildungen α und β sind Isomorphismen, so auch i∗.

6.7 Das Cup-Produkt

Definition 6.7.1. Ab jetzt sei die Koeffizientengruppe G ein kommutativer Ring R,etwa Z, Z/nZ oder Q. Dann kann man Abbildungen mit Werten in R nicht nuraddieren, sondern auch multiplizieren. Fur zwei Koketten α ∈ Cp(X,R) undβ ∈ Cq(X,R) definieren wir das Cup- Produkt α ` β ∈ Cp+q(X,R) durch

(α ` β)(σ) = α(σ|[v0,...,vp])β(σ|[vp,...,vp+q]),

wobei σ : [v0, . . . , vp+q]→ X ein singularer Simplex ist und das Produkt rechts dieMultiplikation in R ist. Das Produkt wird als bilineare Abbildung vonCp(X,R) × Cq(X,R) nach Cp+q(X,R) fortgesetzt.

Lemma 6.7.2. (a) Das Cup-Produkt ist assoziativ, d.h. fur α ∈ Cp(X,R), β ∈ Cq(X,R) undγ ∈ Cr(X,R) gilt

(α ` β) ` γ = α ` (β ` γ).

(b) Fur α ∈ Cp(X,R) und β ∈ Cq(X,R) gilt

d(α ` β) = dα ` β + (−1)pα ` dβ.

Topologie 99

Beweis. (a) folgt aus der Assoziativitat der Multiplikation in R.

(b) Sei σ : [v0, . . . , vp+q+1]→ X ein singularer p + q + 1 Simplex in X. Dann gilt

d(α ` β)(σ) =

p+q+1∑j=0

(−1) j(α ` β)(σ|[v0,...v j...,vp+q+1])

=

p∑j=0

(−1) jα(σ|[v0,...v j...,vp+1])β(σ|[vp+1,...,vp+q+1])

+

p+q+1∑j=p+1

(−1) jα(σ[v0,...,vp])β(σ|[vp,...v j...,vp+q+1])

=

p+1∑j=0

(−1) jα(σ|[v0,...v j...,vp+1])β(σ|[vp+1,...,vp+q+1])

+

p+q+1∑j=p

(−1) jα(σ[v0,...,vp])β(σ|[vp,...v j...,vp+q+1])

= dα ` β(σ) + (−1)pα ` dβ(σ).

Definition 6.7.3. Aus dem Lemma folgt

Zp ` Zq⊂ Zp+q

undZp ` Bq, Bp ` Zq

⊂ Bp+q.

Da Hq = Zq/Bq, folgt, dass das Cup-Produkt eine assoziative und distributiveMultiplikation

Hp(X,R) ×Hq(X,R) → Hp+q(X,R)

induziert, die

H∗(X,R) =

∞⊕p=0

Hp(X,R)

zu einem Ring macht. Diesen nennt man den Kohomologiering von X mit Koeffizientenin R.

Proposition 6.7.4. Sei f : X→ Y stetig, dann ist die induzierte Abbildung

f ∗ : H∗(Y,R)→ H∗(X,R)

Topologie 100

ein Ringhomomorphismus, d.h. es gilt f ∗(α ` β) = f ∗α ` f ∗β.

Beweis. Es gilt schon auf Kokettenniveau: f #(α ` β) = f #α ` f #β. Dies rechnen wirnach:

f #(α ` β)(σ) = (α ` β)( f σ)

= α(( f σ)|[v0,...,vp])β(( f σ)|[vp,...,vp+q])

= f #(α)(σ|[v0,...,vp]) f #(β)(σ|[vp,...,vp+q])

= f #α ` f #β(σ).

Definition 6.7.5. Eine R-Algebra ist ein (nicht notwendig kommutativer) Ring A, dergleichzeitig ein R-Modul ist, so dass gilt

r(ab) = (ra)b = a(rb)

fur r ∈ r und a, b ∈ A.

Beispiele 6.7.6. • A = Matn(R) ist eine R-Algebra.

• Der Polynomring A = R[X] ist eine kommutative R-Algebra.

Definition 6.7.7. Ein Algebrenhomomorphismus ist eine Abbildung φ : A→ B zwischenR-Algebren, so dass φ gleichzeitig ein R- Modulhomomorphismus und einRinghomomorphismus ist.

Beispiele 6.7.8. • Sei α ∈ R, dann ist φα : R[X]→ R gegeben durch f (X) 7→ f (α) einAlgebrenhomomorphismus.

• Ist S eine invertierbare Matrix in Matn(R), dann ist A 7→ SAS−1 einAlgebrenhomomorphismus von Matn(R) in sich.

Definition 6.7.9. Eine R-Algebra A heißt graduierte Algebra, falls es R-Untermoduln An

gibt fur n = 0, 1, . . . , so dass A =⊕∞

n=0 An mit

AnAm ⊂ An+m.

Ein Element a ∈ An heißt homogen. Ein beliebiges Element von A ist eine Summe vonhomogenen Elementen. Sei etwa a = a0 + · · · + an mit a j ∈ A j. Ist dann an , 0, so sagenwir, der Grad von a ist n,

deg(a) = n.

Topologie 101

Ist a selbst homogen und gilt deg(a) = n, so folgt a ∈ An

.

Beispiele 6.7.10. • Der Polynomring A = R[x] ist graduiert mit An = R · xn

• Der Kohomologiering A = H∗(X,R) ist graduiert mit An = Hn(X,A).

Eine graduierte Algebra A heißt graduiert kommutativ, falls fur a ∈ Ap und b ∈ Aq gilt

ab = (−1)pqba.

Satz 6.7.11. Der Kohomologiering eines Raumes X ist graduiert kommutativ. Also, seiα ∈ Hp(X,R) und β ∈ Hq(X,R). dann gilt:

α ` β = (−1)pqβ ` α.

Beweis. Fur einen n-Simplex σ : [v0, . . . , vn]→ X sei σ der n-Simplex σ : [vn, . . . , v0]→ Xmit der umgekehrten Reihenfolge der Ecken, d.h. die Umkehr der Reihenfolge lieferteine affine Abbildung A : ∆n

→ ∆n und σ = σ A. Dann gilt σ(vi) = σ(vn−i). DieUmkehr der Reihenfolge ist eine Komposition von n + (n − 1) + · · · + 1 = n(n + 1)/2Transpositionen benachbarter Ecken. Sei εn = (−1)n(n+1)/2. Definiere eine lineareAbbildung ρ : Cn(X)→ Cn(X) durch ρ(σ) = εnσ.

Wir behaupten dass ρ eine Kettenabbildung ist, die kettenhomotop zur Identitat ist.Hieraus folgt der Satz, denn aus

(ρ∗φ ` ρ∗ψ)(σ) = φ(εpσ|vp,...,v0])ψ(εσ|[vp+q,...,vp])

ρ∗(ψ ` φ)(σ) = εp+qψ(σ|[vp+q,...,vp])φ(σ|[vp,...,v0])

folgt εpεq(ρ∗φ ` ρ∗ψ) = εp+qρ∗(ψ ` φ), da R kommutativ ist. Es gilt

εp+q = (−1)(p+q)(p+q+1)

2 = (−1)p2+2p+q2+p+q

2 = (−1)pq+p(p+1)+q(q+1)

2 = (−1)pqεpεq.

Da ρ∗ = Id auf der Kohomologie, folgt φ ` ψ = (−1)pqψ ` φ.

Topologie 102

Wir mussen zeigen dass ∂ρ = ρ∂ gilt. Hierzu sei σ ein n-Simplex. Wir rechnen

∂ρ(σ) = εn

∑i

(−1)iσ|[vn,...vn−i...,v0]

ρ∂(σ) = ρ

∑i

(−1)iσ|[v0,...vi...,vn]

= εn−1

∑i

(−1)n−iσ|[vn,...vn−i...,v0].

Es gilt εn = (−1)n(n+1)

2 = (−1)n(n−1)

2 +n = εn−1(−1)n. Damit folgt, dass ρ eine Kettenabbildungist.

Wir konstruieren nun die Kettenhomotopie zur Identitat. Sei ∆ ein n-Simplex. Wie beider Kontruktion des Prisma-Operators teilen wir I × ∆ ⊂ RN + 1 in (n + 1) Simpliceswie folgt. Ist

0× ∆ = [v0, . . . , vn] und

1× ∆ = [w0, . . . ,wn],

Dann ist I × ∆ Vereinigung der Simplices

[v0, . . . , vi,wi, . . . ,wn]

Fur i = 0, . . .n. Sei π : ∆ × I→ ∆ die Projektion. Wir definieren P : Cn(X)→ Cn+1(X)durch

P(σ) =

n∑i=0

(−1)iεn−i(σ π)|[v0,...,vi,wn,...,wi].

Wir wollen zeigen ∂P + P∂ = ρ − Id. Hierzu rechnen wir

∂P(σ) = ∂

∑i

(−1)iεn−iσπ|[v0,...,vi,wn,...,wi]

=

∑j≤i

(−1)i+ jεn−iσπ|[v0,...v j...,vi,wn...,wi]

+∑j≥i

(−1)n− j+1εn−iσπ|[v0,...,vi,wn,...w j...,wi].

Topologie 103

Die Terme mit i = j ergeben

εnσπ|[wn,...,w0] +∑i>0

εn−iσπ|[v0,...,vi−1,wn,...,wi]

+∑i<n

(−1)n+i+1εn−iσπ|[v0,...,vi,wn,...,wi+1] − σπ|[v0,...,vn].

Ersetzt man in der zweiten Summe i durch i− 1, sieht man wegen (−1)n+iεn−i+1 = −εn−i,dass sich die beiden Summen aufheben. Die beiden verbleibenden Terme liefernρ(σ) − σ. es bleibt daher zu zeigen, dass die Terme mit i , j genau −P∂ geben. Aus denDefinitionen erhalt man

P∂(σ) =∑i< j

(−1)i+ jεn−i−1σπ|[vo,...,vi,wn,...w j...,wi]

+∑i> j

(−1)i+ j−1εn−iσπ|[v0,...v j...,vi,wn,...,wi]

Wegen εn−i = (−1)n−iεn−i−1 folgt hieraus die Behauptung.

6.8 Die Kunneth-Formel

Definition 6.8.1. Das Tensorprodukt zweier abelscher Gruppen A,B ist die Gruppe mitErzeugern a ⊗ b fur a ∈ A und b ∈ B und Relationen (a + a′) ⊗ b = a ⊗ b + a′ ⊗ b sowiea ⊗ (b + b′) = a ⊗ b + a ⊗ b′. Es ist stets A ⊗ B B ⊗ A via a ⊗ b 7→ b ⊗ a.

Beispiele 6.8.2. • Fur jede abelsche Gruppe gilt Z ⊗ A A.

• Q ⊗Z/nZ = 0.

Ist R ein kommutativer Ring mit Eins und sind M,N Moduln, so definiert man denR-Modul M ⊗R N als den Quotienten von M ⊗N modulo der Untergruppe erzeugtvon allen Elementen der Form rm ⊗ n −m ⊗ rn fur r ∈ R. Die Gruppe M ⊗R N wird einR-Modul durch

r(m ⊗ n) def= rm ⊗ n.

Beispiele 6.8.3. • Fur jeden R-Modul M gilt R ⊗R M M.

• Ist R = Q(√

2), dann ist R ⊗ R R, aber R ⊗ R ist ein vierdimensionalerQ-Vektorraum.

Topologie 104

Sind A,B Algebren uber R, so kann man A⊗B zu einer R-Algebra machen mit Produkt

(a ⊗ b)(a′ ⊗ b′) = aa′ ⊗ bb′.

Beispiel 6.8.4. Mit diesem Produkt ist die Algebra Matm(R) ⊗Matn(R) isomorph zuMatmn(R).

Definition 6.8.5. Sind die Algebren A und B allerdings graduiert, dann gibt es nochein anderes Produkt, das graduierte Produkt, definiert durch

(a ⊗ b)(a′ ⊗ b′) = (−1)deg(b) deg(a′)aa′ ⊗ bb′,

wobei die Elemente b und a′ als homogen vorausgesetzt werden. Fur beliebigeElemente wird diese Formel bilinear in b und a′ fortgesetzt. Man nennt die soentstehende Algebra die graduierte Tensorprodukt-Algebra.

Das externe Cup-Produkt ist definiert als Abbildung

Hp(X,R) ×Hq(Y,R) ×

−→ Hp+q(X × Y,R)

durch (a, b) 7→ a × b = p∗1(a) ` p∗2(b), wobei p1 und p2 die Koordinatenprojektionen vonX × Y sind. Die gleiche Formel definiert die relative Version

Hp(X,A,R) ×Hq(Y,B,R) ×

−→ Hp+q(X × Y,A × B,R).

Das externe Produkt ist R-bilinear, definert also ein R-lineare Abbildung

ψ : H∗(X,R) ⊗R H∗(Y,R) → H∗(X × Y,R).

Satz 6.8.6. Seien X und Y topologische Raume. Versieht man H∗(X,R) ⊗R H∗(Y,R) mitder Struktur der graduierten Tensorprodukt- Algebra, dann ist das externe Cup-Produktein Algebrenhomomorphismus.

Sind X und Y zusammenhangende CW-Komplexe und ist Hp(Y,R) fur jedes p ≥ 0 einfreier R-Modul, dann ist das externe Cup- Produkt ein Isomorphismus. Also insbesonderegilt dann

Hn(X × Y,R) ⊕p+q=n

Hp(X,R) ⊗R Hq(Y,R).

Topologie 105

Beweis. Seien a, a′ ∈ H∗(X,R) und b, b′ ∈ H∗(Y,R) homogene Elemente. Dann gilt

ψ ((a ⊗ b)(a′ ⊗ b′)) = (−1)deg(b) deg(a′)ψ(aa′ ⊗ bb′)

= (−1)deg(b) deg(a′)p∗1(aa′) ` p2(bb′)

= (−1)deg(b) deg(a′)p∗1(a) ` p∗1(a′) ` p2(b) ` p∗2(b′)

= p∗1(a) ` p2(b) ` p∗1(a′) ` p∗2(b′)

= ψ(a ⊗ b)ψ(a′ ⊗ b′).

Damit ist ψ ein Algebrenhomomorphismus.

Seien F,G : A→ B Funktoren. Eine naturliche Transformation von F nach G ist eineAbbildung t, die jedem X ∈ A einen Morphismus tX : F(X)→ G(X) zuordnet, so dassfur jeden Morphismus f : X→ Y in A das Diagramm

F(X)F( f )

//

tX

F(Y)

tY

G(X)G( f )// G(Y)

kommutiert.

Beispiel 6.8.7. SeiA die Kategorie der Raumpaare (X,A) und Raumpaarabbildungen.Eine naturliche Transformation vom Funktor Hp(X,R) zum Funktor Hp(X,A,R) istgegeben durch ψ∗, wobei ψ die naturliche Projektion von Cp(X) nach Cp(X,A) ist.

Definition 6.8.8. Sei CW die Kategorie der CW-Komplexe und der zellularen stetigenAbbildungen. Eine Kohomologietheorie auf CW ist eine Folge von kontravariantenFunktoren hp : CW → Ab mit folgenden Eigenschaften:

• Homotopie-Axiom. Sind f , g : X→ Y homotop, dann ist f ∗ = g∗, wobei wir f ∗

fur hp( f ) schreiben.

• Raumpaar-Axiom. Fur jedes CW-Paar (X,A), wobei X zusammenhangend istund A , ∅ hat man eine lange exakte Sequenz

0→ h0(pt)pt∗−→ h0(A) δ

−→ h1(X/A)→ . . .

· · · → hp(X/A)→ hp(X)→ hp(A) δ−→ hp+1(X/A)→ . . .

Hierbei steht pt sowohl fur den Einpunktraum als auch fur die AbbildungA→ pt.

Topologie 106

• Vereinigungs-Axiom. Fur eine disjunkte Vereinigung∐

α Xα induzieren dienaturlichen Abbildungen Xα →

∐α Xα Isomorphismen

hp

∐α

Xα

−→

∏α

hp(Xα).

• uberflussiges Axiom. Fur jedes p gibt es ein n ∈N so dass fur jeden CW-Komplex X die Inklusion Xn → X einen Isomorphismus hp(X)

−→ hp(Xn)induziert.

Lemma 6.8.9. Fur jede Kohomologietheorie gilt hp(pt) = 0 fur p ≥ 1.

Beweis. Betrachte das CW-Paar (X,A) = (pt,pt). Dann ist A = X = X/A und die exakte

Sequenz hp(X/A)j∗−→ hp(X) i∗

−→ hp(A) fur p ≥ 1 besteht aus Isomorphismen. Das kannaber nur sein wenn hp(X) = 0.

Seien h und k zwei Kohomologietheorien. Eine naturliche Transformation vonKohomologietheorien ist eine Folge von naturlichen Transformationen t : hp

→ kp, so dassfur jedes CW-Paar (X,A), wobei X zusammenhangend ist und A , ∅ jedes Diagramm

hp(A) δ //

tA

hp+1(X/A)

tX/A

kp(A) δ // kp+1(X/A)

kommutiert.

Proposition 6.8.10. Seien h und k zwei Kohomologietheorien auf CW und sei t einenaturliche Transformation von h nach k so dass tpt : h0(pt)→ k0(pt) ein Isomorphismus ist.Dann ist tX : hp(X)→ kp(X) fur jedes X und jedes p ein Isomorphismus.

Beweis. Sei X ein CW-Komplex. Wir zeigen per Induktion, dass t einen Isomorphismusinduziert hp(Xn)→ kp(Xn) fur jedes n-Skelett Xn. Fur n = 0 ist X0 eine disjunkteVereinigung von Punkten und die Behauptung folgt aus dem Vereinigungsaxiom.

Sei nun n ≥ 1. Wir schreiben

Xn/Xn−1 ∐α

eα/∐

α

∂eα,

Topologie 107

wobei die eα die abgeschlossenen n- Zellen sind, bzw. deren Urbilder, also eα Dn. Dajedes eα zusammenziehbar ist, folgt, dass t Isomorphismen induziert:

hp

∐α

eα

∏α

hp(eα) ∏α

hp(pt) kp(∐

eα).

Nach Induktionsvoraussetzung konnen wir ebenfalls annehmen, dass tIsomorphismen gibt:

hp

∐α

∂eα

kp

∐α

∂eα

.Aus der exakten Sequenz fur das Raumpaar (

∐α eα,

∐α ∂eα) folgt dann mit dem

funfer-Lemma, dass t Isos liefert hp(Xn/Xn−1) kp(Xn/Xn−1). Die exakte Sequenz desPaares (Xn,Xn−1) liefert dann mit dem funfer-Lemma, dass t : hp(Xn) kp(Xn) gilt furalle p,n. Mit dem letzten Axiom folgt dann die Behauptung.

Nun zum Beweis der Kunneth-Formel. Zunachst kann man annehmen, dass X und Ywegzusammenhangend sind, da man sonst die Kohomologien jeweils als direkteProdukte der Wegkomponenten schreiben kann. Sei hp(X) =

⊕i Hi(X,R) ⊗R Hp−i(Y,R),

sowie kp(X,R) = Hp(X × Y,R). Die naturliche Transformation t : h→ k sei gegebendurch das externe Cup-Produkt. Wir mussen jetzt zunachst nachweisen, dass h und kwirklich Kohomologietheorien sind. Homotopie-Invarianz ist klar.

Fur die Raumpaar-Sequenz von h sei (X,A) ein CW-Paar mit A , ∅. Dann haben wireine exakte Sequenz

Hi(X/A,R)→ Hi(X,R)→ Hi(A,R)→ Hi+1(X/A)

Wir tensorieren jeden Term mit dem freien Modul Hn−i(Y,R), was wieder eine exakteSequenz ergibt. Summieren wir dies uber i, so erhalten wir die gewunschte exakteSequenz fur h. Fur k wahlen wir einen Punkt y0 ∈ Y, setzen B = A ×

y0

und

betrachten die exakte Sequenz zum Raumpaar (X × Y,B). Die disjunktenVereinigungen sind jeweils klar. Fur das letzte Axiom beachte folgendes Lemma.

Lemma 6.8.11. Fur p < n induziert die Inklusion Xn → X einen IsomorphismusHp(Xn) Hp(X).

Beweis. Wir betrachten zunachst die Inklusion Xn → Xn+1. Sei U ⊂ Xn+1 die offeneMenge, die entsteht, wenn man aus dem Inneren jeder (n + 1)-Zelle einen Punktentfernt. Sei V die Vereinigung aller offenen (n + 1)- Zellen. Dann ist X = U ∪ V, die

Topologie 108

Menge V ist homotopie-aquivalent zu einer Vereinigung von EinpunktRaumen undU ∩ V ist homotopie- aquivalent zu einer disjunkten Vereinigung von n-Spharen Sn.Aus dem Mayer-Vietoris-Satz erhalten wir die exakte Sequenz

Hp

∐α

Sn

→ Hp(Xn) ⊕Hp

∐α

pt

→ Hp(Xn+1)→ Hp−1

∐α

Sn

.Damit ist der durch die Einbettung induzierte Homomorphismus Hp(Xn)→ Hp(Xn+1)in der Tat ein Isomorphismus. Durch Iteration erhalt man, dass Hp(Xn)→ Hp(Xn+k) einIso ist fur jedes k ∈N. Betrachte nun die Abbildung ψ : Hp(Xn)→ Hp(X). Sei[α] ∈ Kerψ, dann existiert ein β ∈ Cp+1(X) mit α = ∂β. da β nur endlich viele Zellentrifft, existiert ein k mit β ∈ Cp+1(Xn+k). Nach dem obigen folgt damit [α] = 0, also ist ψinjektiv. Ebenso ist jede Klasse in Hp(X) schon in einem Cp(Xn+k) realisert und damit istψ surjektiv.

Mit dem universellen Koeffizientensatz und (wieder einmal) dem funfer-Lemma folgtdann, dass h und k Kohomologietheorien sind. Wir mussen zeigen, dass t einenaturliche Transformation von Kohomologietheorien ist. Die einzige nichttrivialeAussage ist die Vertauschung mit dem Verbindunghomomorphismus δ, also dieKommutativitat des Diagramms

Hp(A) ×Hq(Y) δ×1 //

×

Hp+1(X/A) ×Hq(Y)

×

Hp+q(A × Y) δ // Hp+q+1(X × Y/A ×y0

).

Um diese Kommutativitat zu zeigen seien φ ∈ Cp(A) und ψ ∈ Cq(Y) Kozykel. Mandehnt φ aus zu einer Kokette φ ∈ Cp(X). Der Pfeil nach rechts bildet das Paar auf(dφ,ψ) ab und dann abwarts auf p#

1(dφ) ` p#2(ψ). Geht man zuerst abwarts nach

p#1(φ) ` p#

2(ψ) und dann nach rechts auf d(p#1(φ) ` p#

2(ψ)) = p#1(dφ) ` p#

2(ψ), denn dψ = 0.Das ist die verlangte Kommutativitat.

Zum Schluss ist klar, dass t ein Isomorphismus ist, falls X = pt, also folgt der Satz.

Beispiel 6.8.12. Sei Rn/Zn Tn der n=dimensionale Torus. Sei α ein Erzeuger desfreien R-Moduls H1(T,R) und sei α j = p∗j(α) ∈ H1(Tn,R), wobei p j : Tn

→ T dieProjektion auf den j-ten Faktor ist. Wir behaupten, dass Hp(Tn,R) der freie R-Modulist, erzeugt von der Elementen αi1 ` . . . ` αip , wobei 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ n. Insbesondere

Topologie 109

ist also Hp(Tn,R) RN mit N =

np

. Dies folgt aus der Kunneth-Formel per

Induktion nach n.

Topologie 110

7 Garben

7.1 Praegarben

Definition 7.1.1. Sei X ein topologischer Raum. Eine Praegarbe ist eine Abbildung

F :U ⊂ X offen

→

abelsche Gruppen

zusammen mit Gruppenhomomorphismen, den sogenannten Restriktionsabbildungen:

resUV : F (U) → F (V), V ⊂ U,

so dass gilt F (∅) = 0 und

resUU = IdF (U), resV

W resUV = resU

W

falls W ⊂ V ⊂ U ⊂ X offen sind.

Ist s ∈ F (U) und ist V ⊂ U offen, so schreiben wir auch s|V statt resUV(s).

Definition 7.1.2. Die Elemente von F (U) werden auch Schnitte ueber U der Garbe Fgenannt. Diese Sprechweise wird klarer, wenn wir zu den Etalgarben kommen. EinElement s ∈ F (X) wird insbesondere ein globaler Schnitt genannt.

Beispiele 7.1.3. • Sei A eine abelsche Gruppe undA(U) die Menge allerAbbildungen von U nach A. Dann istA eine Pragarbe mit resU

V( f ) = f |V.

• (Konstante Garbe) Sei A eine gegebene abelsche Gruppe und seiKA(U) dieMenge aller Abbildungen f : U→ A, die lokalkonstant sind. Hierbei heißt flokalkonstant, falls es zu jedem x ∈ U eine offene Umgebung V ⊂ U gibt, so dassf |V konstant ist.(Eine Abbildung f : U→ A ist genau dann lokalkonstant, wenn f stetig ist,wobei A mit der diskreten Topologie versehen wird.)Dann istKA eine Pragarbe auf X.

• (Wolkenkratzergarbe) Sei A eine abelsche Gruppe und sei x0 ∈ X ein Punkt. Setze

F (U) =

A falls x0 ∈ U

0 sonst.

Topologie 111

Dann ist F eine Pragarbe.

• Sei X beliebig und fur U ⊂ X offen sei F (U) eine beliebige abelsche Gruppe.Setzt man resU

U = Id und resUV = 0 falls V , U, dann definieren diese Daten eine

Pragarbe auf X.

Lemma 7.1.4. Eine Pragarbe ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie CX in dieKategorie der R-Moduln. Umgekehrt ist jeder solche Funktor eine Pragarbe.

Beweis. Die Axiome einer Pragarbe stimmen genau mit der Definition eineskontravarianten Funktors uberein.

Definition 7.1.5. Ein Morphismus von Pragarben φ : F → G ist eine Familie vonGruppenhomomorphismen, also fur jede offene Menge U ⊂ X einGruppenhomomorphismus φU : F (U)→ G(U) so dass fur jede Inklusion offenerMengen V ⊂ U das Diagramm

F (U)φU//

resUV

G(U)

resUV

F (V)φV// G(V)

kommutiert.

7.2 Garben

Definition 7.2.1. Sei F eine Praegarbe uber X. Wir nennen F eine Garbe, wenn diefolgenden zwei Bedingungen erfullt sind.

• (Lokale Eindeutigkeit) Sei U ⊂ X offen und sei (Ui)i∈I eine offene Uberdeckungvon U, also U =

⋃i∈I Ui, sei dann s ∈ F (U) und es gelte s|Ui = 0 fur jedes i ∈ I.

Dann ist s = 0.

• (Globale Existenz) Sei U ⊂ X offen und (Ui)i∈I eine offene Uberdeckung von U.Fur jedes i ∈ I sei si ∈ F (Ui) gegeben so dass fur je zwei i, j ∈ I gilt

si|Ui∩U j = s j|Ui∩U j ,

dann existiert ein s ∈ F (U), so dass si = s|Ui fur jedes i ∈ I.

Topologie 112

Beispiele 7.2.2. • Sei A eine abelsche Gruppe und seiA(U) die Menge allerAbbildungen von U nach A, dann istA eine Garbe.

• Jede konstante Garbe ist eine Garbe.

• Jede Wolkenkratzergarbe ist eine Garbe.

• Sei A eine abelsche Gruppe, X = R und F (U) = A falls U = X, aber F (U) = 0andernfalls. Dann ist F eine Pragarbe, die zwar das Prinzip der globalenExistenz erfullt, nicht aber das der lokalen Eindeutigkeit.

• Sei A , 0 eine abelsche Gruppe, X = R und sei F (U) = 0 falls der Durchmesservon U großer ist als 1, andernfalls sei F (U) = A. Die Restriktionsabbildungenseien immer die naturlichen Einbettungen. Dann ist F eine Pragarbe, die zwardas Prinzip der lokalen Eindeutigkeit, nicht aber das der globalen Existenzerfullt.

Setzt man in diesem Beispiel die Restriktionsabbildungen alle gleich Null, soerhalt man eine Pragarbe, die keines der Garbenaxiome erfullt.

Lemma 7.2.3. Eine Pragarbe ist genau dann eine Garbe, wenn fur jede offene Uberdeckung(Ui)i∈I einer offenen Menge U ⊂ X die Sequenz

0→ F (U) α−→

∏i

F (Ui)β−→

∏i, j

F (Ui ∩U j)

exakt ist. Hierbei laufen die Produkte uber I und I × I und α(s)i = s|Ui , sowieβ(s∗)i, j = si|Ui∩U j − s j|Ui∩U j .

Beweis. Die Injektivitat von α ist aquivalent zur lokalen Eindeutigkeit. Die Aussageβ α = 0, also Ker β ⊃ Bildα ist fur jede Pragarbe erfullt. Schließlich ist die AussageKer β ⊂ Bildα aquivalent zur globalen Existenz.

Definition 7.2.4. Ein Garbenhomomorphismus ist dasselbe wie einPragarbenhomomorphismus, nur eben zwischen Garben.

Die direkte Summe zweier Garben F und G uber X ist definiert als die Garbe

U 7→ F (U) ⊕ G(U).

Man macht sich leicht klar, dass es sich in der Tat um eine Garbe handelt.

Topologie 113

Definition 7.2.5. Eine UntergarbeH einer gegebenen Garbe F ist eine Garbe, so dassfuer jede offene Menge U die GruppeH(U) eine Untergruppe von F (U) ist und dieRestriktionsabbildungen vonH und F auf diesen Untergruppen uebereinstimen.

Die letzte Bedingung bedeutet, dass fuer je zwei offene Mengen V ⊂ U das Diagramm

H(U)

//

resH

F (U)

resF

H(V)

// F (V)

kommutiert.

Beispiele 7.2.6. • Die Praegarbe P auf R, die jeder offenen Menge die Gruppe Zzuordnet, ist keine Garbe, denn: ist U = (0, 1) ∪ (2, 3), dann muesste es nach derglobalen Existenz ein s ∈ P(U) geben mit s = 0 auf (0, 1) und s = 1 auf (2, 3).

• Die Garbe O der holomorphen Funktionen auf C ist eine Garbe von Ringen.

7.3 Halme

Definition 7.3.1. Sei (I,≥) eine partiell geordnete Menge. I heißt eine gerichtete Menge,falls es zu je zwei a, b ∈ I eine obere Schranke gibt, also ein c ∈ I mit c ≥ a, b.

Beispiele 7.3.2. • N ist gerichtet.

• Sei S eine Menge und I sei die Menge aller endlichen Teilmengen E ⊂ S. Dann istI durch die Inklusion gerichtet, denn fur E,F ∈ I ist E∪ F wieder endlich, also in Iund es gilt

E ∪ F ≥ E,F.

• Sei x ∈ X und X ein topologischer Raum. Sei I die Menge aller offenenUmgebungen von x mit der umgekehrten Inklusion als Ordnung, also

U ≤ V ⇔ U ⊃ V.

Dann ist I gerichtet, denn mit U und V ist auch U ∩ V wieder eine offeneUmgebung von x und es gilt

U ∩ V ≥ U,V, also U ∩ V ⊂ U,V.

Topologie 114

Definition 7.3.3. Ein gerichtetes System von abelschen Gruppen ist ein Paar((Mi)i∈I, (φ

ji )i≤ j), wobei I eine gerichtete Menge ist, (Mi)i∈I eine Familie von abelschen

Gruppen und fur i ≤ j ein Gruppenhomomorphismus

φ ji : Mi →M j,

so dass giltφi

i = IdMi , φkj φ

ji = φk

i

falls i ≤ j ≤ k.

Beispiele 7.3.4. • Fixiere eine Primzahl p. Sei I =N und Mi = Z, ferner seiφ j

i : Z→ Z gegeben durch x 7→ p j−ix. Dann ist durch diese Daten ein gerichtetesSystem gegeben.

In diesem Fall ist die gerichtete Menge gleichN, also ist das gerichtete Systemvollstandig durch die Abbildungen φi+1

i gegeben, da sich alle weiteren durchIteration dieser ergeben. Im Falle dieses Beispiels ist φi+1

i immer gleich derp-Multiplikation auf Z, wir schreiben das System dann als Sequenz:

Zp−→ Z

p−→ Z→ . . .

• Sei z0 ∈ C. Die Menge I sei die Menge aller offenen Umgebungen von z0 in Cmitder umgekehrten Inklusion als Ordnung. Fur U ∈ I sei MU die Menge der in Uholomorphen Funktionen f : U→ C. Fur V ⊂ U sei φV

U : MU →MV gegebendurch die Restriktion, also φV

U( f ) = f |V. Dies ist das gerichtete System allerFunktionskeime in z0.

Definition 7.3.5. Der direkte Limes eines gerichteten Systems (Mi, φji ) ist definiert als

lim→

i

Mi =∐i∈I

Mi

/∼

wobei die Aquivalenzrelation ∼ auf der disjunkten Vereinigung wie folgt definiert ist:a ∈Mi und b ∈M j heißen aquivalent, falls es ein k ≥ i, j gibt mit φk

i (a) = φkj(b). Der

Nachweis, dass es sich tatsaechlich um ein Aequivalenzrelation handelt ist leicht, derschwierigste Punkt ist die Transitivitaet: Seien also a ∼ b und b ∼ c in

∐i∈I Mi. Sagen

wir etwa a ∈Mi, b ∈M j und c ∈Mk. Dann gibt es ein l ∈ I so dass l ≥ i, j, k und dann ista ∼ φl

i(a), b ∼ φlj(b) und c ∼ φl

k(c). Dann gibt es ein l ≥ i, j so dass φli(a) = φl

j(b) und esgibt ein m ≥ j, k so dass φm

j (b) = φmj (c). Sei n ≥ l,m dann ist φn

i (a) = φnj (b) = φn

k (c) alsi

Topologie 115

folgt a ∼ c.

Beachte, dass fur a ∈Mi und j ≥ i stets gilt a ∼ φ ji (a). Daher kann man fur α, β ∈ lim

−→i

Mi

stets Vertreter a, b finden , die in derselben Gruppe Mk liegen, denn ist α = [a] undβ = [b] mit a ∈Mi und b ∈M j, dann gibt es ein k ≥ i, j und also ist a ∼ φk

i (a), sowieb ∼ φk

j(b), wir konnen also a und b durch φki (a) und φk

j(b) ersetzen.

Lemma 7.3.6. Durch die Vorschrift

[a] + [b] def= [a + b] a, b ∈Mk

wird M = lim→

i

Mi zu einer abelschen Gruppe mit folgender universellen Eigenschaft: Es gibt

Gruppenhomomorphismen φi : Mi →M, die mit den Strukturmorphismen kommutativeDiagramme bilden:

M jφ j//M

Mi

φji

OO

φi

>>

i ≤ j

so dass fur jede abelsche Gruppe Z mit einer Familie von Gruppenhomomorphismenηi : Mi → Z, die ebenfalls η j φ

ji = ηi erfullt, ein eindeutig bestimmter

Gruppenhomomorphismus ψ : M→ Z existiert, so dass fur jedes i ∈ I das Diagramm

Miφi//

ηi

M∃!ψ

Z

kommutiert.

Beweis. Es ist zunachst die Wohldefiniertheit zu zeigen. Seien also a ∼ a′ und b ∼ b′,also etwa φl

k(a) = φli(a′) und φl

k(b) = φi(b′), dann giltφl

k(a + b) = φlk(a) + φl

k(b) = φli(a′) + φl

i(b′) = φl

i(a′ + b′), also ist auch (a + b) ∼ (a′ + b′) und

damit [a + b] = [a′ + b′], was die Wohldefiniertheit der Addition zeigt. DieAbbildungen φi sind die Hintereinanderschaltungen der natuerlichen AbbildungenMi →

∐i Mi →

∐i Mi/ ∼. Um die universelle Eigenschaft zu zeigen definiert man

ψ([a]) = ηk(a), wenn a ∈Mk. Die Wohldefiniertheit ist wieder Routine und ebenso dieKommutativitat der Diagramme. Die Eindeutigkeit von ψ folgt aus der

Topologie 116

Kommutativitat der Diagramme, denn sei ψ′ eine zweite solche Abbildung und sei[a] ∈M, etwa a ∈Mk, so gilt ψ([a]) = ηk(a) = ψ′([a]).

Beispiele 7.3.7. • Nimm an, die Mi sind alle Untergruppen einer gegebenenGruppe M, es gilt Mi ⊂M j fur i ≤ j und die Strukturmorphismen φ j

i sind durchdie Inklusion gegeben. Dann dann ist die Vereinigung N aller Mi ebenfalls eineUntergruppe und es gibt einen naturlichen Isomorphismus

lim→

i

Mi−→ N.

• Wir betrachten das erste Beispiel aus 7.3.4

Zp−→ Z

p−→ Z→ . . .

Wir erganzen dies zu einem kommutativen Diagramm

Zp//

1

Zp//

1p

Zp//

1p2

Zp//

1p3

. . .

QId // Q

Id // QId // Q

Id // . . .

Die Vereinigung aller Bilder in Q ist der Z-Modul

Z[1/p] =

apk∈ Q : a ∈ Z, k ∈N

.

Gemaß dem letzten Beispiel ist der direkte Limes dieses Systems isomorph zuZ[1/p].

Definition 7.3.8. Sei nun F eine Pragarbe auf dem topologischen Raum X und seix ∈ X. Sei I die Menge aller offenen Umgebungen U ⊂ X von x. Mit der umgekehrtenInklusion ist I eine gerichtete Menge und die Zuordnung U 7→ F (U) bildet mit denRestriktionsabbildungen ein gerichtetes System. Der Halm uber x ist die Gruppe

Fx = lim−→U3xF (U).

Beispiele 7.3.9. • Sei X ein topologischer Raum mit der diskreten Topologie, Meine abelsche Gruppe undA(U) die Menge aller Abbildungen von U nach M.Fur x ∈ X liefert die AbbildungA(U) 3 f 7→ f (x) ∈M einen IsomorphismusAx →M. Die Halme dieser Garbe sind also alle gleich M.

Topologie 117

• Sei M eine abelsche Gruppe undK die konstante Garbe zu M. Fur x ∈ X liefertdie Abbildung f 7→ f (x) einen IsomorphismusKx →M. Also sind auch fur diekonstante Garbe alle Halme gleich.

• Sei M eine abelsche Gruppe, x ∈ X und sei F die Wolkenkratzergarbe mitF (U) = M ⇔ x ∈ U. Sei X ein Hausdorffraum, dann gibt es fur y , x eine offeneUmgebung V mit F (V) = 0, daher ist also der Halm Fy = 0. Der Halm uber x istM. Daher der Name “Wolkenkratzergarbe”.

• Sei X = R und fur eine offene Menge U ⊂ X sei F (U) eine beliebige abelscheGruppe. Sind alle Restriktionsabbildungen gleich Null (außer resU

U), dann sindauch alle Halme gleich Null. Dies liegt daran, dass es fur jede offene UmgebungU eines Punktes x eine zweite Umgebung V von x gibt mit V ⊂ U und V , U.

Sei U ⊂ X offen und x ∈ U. Ein Schnitt s ∈ F (U) induziert ein Element des Halmes Fx,welches wir s(x) schreiben.

Lemma 7.3.10. Sei F eine Garbe. Wenn ein Schnitt in allen Halmen verschwindet, ist erNull. Genauer: Sei U ⊂ X offen und s ∈ F (U). Gilt s(x) = 0 fur jedes x ∈ U, dann ist s = 0.

Beweis. Die Gleichung s(x) = 0 heißt, dass es eine offene Umgebung Ux ⊂ U gibt mits|Ux = 0. Diese Ux bilden eine offene Uberdeckung von U, auf der s lokal verschwindet.Nach der lokalen Eindeutigkeit folgt s = 0.

Sei φ : F → G ein Pragarbenmorphismus. Nach der universellen Eigenschaftinduziert φ uber jedem Punkt x ∈ X einen Gruppenhomomorphismus der Halmeφx : Fx → Gx. Fur komponierbare Morphismen gilt (φψ)x = φxψx und es gilt Idx = Id.

Proposition 7.3.11. Ein Morphismus von Garben φ : F → G ist genau dann einIsomorphismus, wenn alle induzierten Abbildungen auf den Halmen φx : Fx → Gx

Isomorphismen sind.

Beweis. Ist φ ein Isomorphismus, dann existiert ψ : G → F so dass ψφ = Id undφψ = Id. Fur jedes x ∈ X gilt dann Id = (φψ)x = φxψx und Id = ψxφx, also ist ψx inverszu φx, welcher letztere damit ein Isomorphismus ist.

Sei umgekehrt φx ein Isomorphismus fur jedes x. Wir wollen zeigen, dass φ einIsomorphismus ist. dafur reicht es, zu zeigen dass φU : F (U)→ G(U) einIsomorphismus ist fur jedes offene U ⊂ X, denn dann setzt man ψU = φ−1

U und sieht,

Topologie 118

dass ψ eine Inverse zu φ ist. Wir zeigen also zunachst, dass φU injektiv ist. Sei hierzus ∈ F (U) mit φU(s) = 0. Dann gilt fur jedes x ∈ U, dass 0 = φU(s)(x) = φx(s(x)), damit ists(x) = 0 fur jedes x ∈ U, nach Lemma 7.3.10 ist also s = 0 und damit ist φ injektiv.

Fur die Surjektivitat sei s ∈ G(U). Fur jedes x ∈ U ist φx : Fx → Gx surjektiv, es existiertalso ein fx ∈ Fx mit φx( fx) = s(x). Es gibt daher eine offene Umgebung Ux ⊂ U von x sodass fx = tx(x) fur einen Schnitt tx ∈ F (Ux). Das bedeutet, dass die beiden Schnitteφ(Ux)(tx) und s|Ux

dasselbe Element im Halm Gx induzieren. Also gibt es eine offeneUmgebung Ux ⊂ Ux, so dass

φUx(tx|Ux) = s|Ux

gilt. Offensichlich bilden die Ux eine offene Uberdeckung von X. Wir wollen zeigen,dass tx = ty auf Ux ∩Uy gilt. Dann konnen wir wegen der Globalen Existenz folgern,dass alle tx von einem Schnitt in F (U) kommen, der dann ein Urbild zu s ist.

Zu diesem Zweck sei z ∈ Ux ∩Uy. Dann gilt tx(z) = ty(z), also gibt es eine UmgebungVz von z so dass tx|Vz = ty|Vz . Die Vz bilden eine offene Uberdeckung von Ux ∩Uy aufder lokal gilt tx − ty = 0, nach der lokalen Eindeutigkeit gilt es also auch auf Ux ∩Uy

wie verlangt.

Nach der globalen Existenz gibt es also einen Schnitt t ∈ F (U) mit t|Ux = tx fur jedes x.Die beiden Schnitte s und φU(t) stimmen in jedem Halm uberein, sind also nachLemma 7.3.10 gleich, damit ist φU surjektiv und die Proposition bewiesen.

7.4 Garbifizierung

Sei φ : F → G ein Pragarbenmorphismus. Wir definieren den Kern und Cokern alsdie Pragarben

U 7→ Kerφ(U), U 7→ cokerφ(U),

zusammen mit den sich ergebenden Pragarben homomorphismsn

Ker(φ) → F , G → coker(φ).

Lemma 7.4.1. Ist φ : F → G ein Morphismus von Garben, so ist Kerφ eine Garbe, abercokerφ ist Allgemeinen keine Garbe.

Beweis. Fur die lokale Eindeutigkeit sei U =⋃

i Ui und sie s ∈ KerφU mit s|Ui = 0 furjedes i ∈ I. Dann ist s = 0 da KerφU ⊂ F (U) und F die lokale Eindeutigkeit erfullt.

Topologie 119

Fur die globale Existenz sei si ∈ KerφUi mit si|Ui∩U j = s j|Ui∩U j fur alle i, j ∈ I. Da F dieglobale Existenz erfullt, existiert ein s ∈ F (U) mit s|Ui = si. Wir mussen zeigen:s ∈ KerφU. Nun ist aber φU(s)|Ui = φUi(s|Ui) = φUi(si) = 0, also φU(s) = 0 wegen derlokalen Eindeutigkeit auf G.

Wir konstruieren ein Beispiel, in dem cokerφ keine Garbe ist. Hierzu sei X = R/Z, essei 0 < ε < 1

4 und

U1 =(−ε,

12

+ ε)

+Z, U2 =(12− ε, 1 + ε

)+Z.

Fur eine offene Teilmenge U von X sei F (U) die Menge der lokalkonstantenFunktionen von U→ R und G(U) die Menge der stetigen Funktionen U→ R. Es seiφU : F (U) → G(U) die Inklusion. Es sei s1(x) = x fur −ε < x < 1

2 + ε, sowie s2(x) = x fur12 − ε < x < 1 + ε. Dann definieren s1, s2 Elemente von G(U1) bzw G(U2). Die Differenzs1 − s2 ist lokalkonstant auf U1 ∩U2, also gilt s1 ≡ s2 mod φU1∩U2 . Es gibt aber keinenSchnitt s ∈ G(U1 ∪U2) = G(X) mit s|Ui ≡ si mod φUi , da jeder Schnitt in G(X) bei 0 und1 denselben Wert annehmen muss.

Proposition 7.4.2. Sei F eine Pragarbe. Dann existiert eine Garbe F + und einPragarbenhomomorphismus θ : F → F + mit der Eigenschaft, dass jederPragarbenhomomorphismus φ : F → G, wobei G eine Garbe ist, eindeutig uber θ faktorisiert,also gibt es zu φ einen eindeutig bestimmten Garbenhomomorphismus ψ so dass dasDiagramm

Fθ //

φ

F+

∃! ψ

G

kommutiert. Das Paar (F +, θ) ist eindeutig bestimmt bis auf Isomorphie. Man nennt F + dieGarbifizierung von F . Es gilt also fur jede Garbe G,

Hom(F ,G) Hom(F +,G).

Beweis. Wir konstruieren die Garbe F + wie folgt. Fur eine offene Menge U ⊂ X seiF

+(U) die Menge aller Abbildungen s von U in die disjunkte Vereinigung∐

x∈U Fx sodass

• fur jedes x ∈ U ist s(x) ∈ Fx und

• fur jedes x ∈ U gibt es eine offene Umgebung V ⊂ U und ein t ∈ F (V), so dass

Topologie 120

fur jedes y ∈ V gilt t(y) = s(y).

Die Eigenschaften von F + folgen sofort. Die Eindeutigkeit folgt formal aus deruniversellen Eigenschaft. Beachte, dass fur x ∈ X der Halm Fx naturlich isomorph istzum Halm F +

x . Ist F selbst schon eine Garbe, dann ist θ ein Isomorphismus.

Definition 7.4.3. Wir definieren den Garbenkokern eines Garbenmorphismus φ als dieGarbifizierung des Pragarbenkokerns und schreiben diesen auch als cokerφ. Ebensodefinieren wir die Bildgarbe eines Garbenmorphismus φ : F → G als dieGarbifizierung der Pragarbe U 7→ BildφU und schreiben diese Garbe als Bild(φ).

Proposition 7.4.4. Der Kern k : K → F eines Garbenhomomorphismus φ : F → G hatfolgende universelle Eigenschaft: Sei ψ : H → F ein Garbenhomomorphismus mit φ ψ = 0,dann existiert ein eindeutig bestimmter Garbenhomomorphismus θ : H → K , so dass dasDiagramm

Kk // F

φ// G

H

∃!θ

``

ψ

OO

0

??

kommutiert. Der Cokern hat die analoge Eigenschaft mit umgedrehten Pfeilen.

Beweis. Sei (H , θ) wie in der Proposition. Fur jedes offene U ⊂ X ist dannφU ψU : H(U)→ G(U) der Nullmorphismus, also faktorisiert ψU uber eineneindeutig bestimmten Morphismus θU : H(U)→ K (U). Da ψ ein Garbenmorphismusist, also ψV resU

V = resUV θU gilt, und k dieselbe Eigenschaft hat, folgt

kV resUV θU = kVθV resU

V . Da kV injektiv ist, ist auch θ ein Garbenhomomorphismus.Dies beweist die Aussage uber den Kern. Der Fall des Cokerns sei dem Leser zurUbung gelassen.

7.5 Etalgarben

Definition 7.5.1. Eine Etalgarbe uber einem topologischen Raum X ist eine stetigeAbbildung π : F→ X so dass

• π ist ein lokaler Homoomorphismus, d.h., zu jedem Punkt f ∈ F existiert eineoffene Umgebung U, so dass π(U) offen in X und π|U ein Homoomorphismusaufs Bild ist.

Topologie 121

• Fur jedes x ∈ X ist π−1(x) eine abelsche Gruppe.

• Die Strukturabbildungen sind stetig.

Die letzte Eigenschaft bedeutet folgendes. Sei S die Menge aller ( f , g) ∈ F × F mitπ( f ) = π(g), dann sind die Abbildungen

S → F F → F(x, y) 7→ x + y x 7→ −x

stetig.

Die Abbildung π heißt die Projektion der Garbe, fur x ∈ X heißt π−1(x) der Halm uber x.

Beispiele 7.5.2. • (Die konstante Garbe) Sei A eine abelsche Gruppe und seiF = X × A, wobei π : F→ X die Projektion auf die erste Koordinate ist. Wirversehen A mit der diskreten Topologie und F mit der Produkttopologie. Dannist π eine Garbe, wobei alle Halme gleich sind, namlich A.

• (Wolkenkratzergarbe) Sei A , 0 eine abelsche Gruppe und sei x ∈ X einabgeschlossener Punkt, d.h. die Menge

x

ist abgeschlossen. (In einem

Hausdorff-Raum ist jeder Punkt abgeschlossen.) Sei F = (X −x) ·∪A. Sei

π : F→ X definiert durch π(y) = y fur y ∈ X −x

und π(a) = x fur a ∈ A. Es gibtdann genau eine Topologie auf F, so dass π ein lokaler Homoomorphismus ist.

Wir beschreiben diese Topologie durch die Angabe von Umgebungsbasen furalle Punkte. Fur a ∈ A ⊂ F ist eine Umgebungsbasis gegeben durch die Mengender Form

a∪ (U −

x), wobei U ⊂ X eine offene Umgebung von x ist. Ist

y ∈ X −x, so ist eine Umgebungsbasis von y gegeben durch alle Mengen der

Form U −x, wobei U eine offene Umgebung von y in X ist.

Sei eine Etalgarbe F π−→ X gegeben. Fur eine offene Menge U ⊂ X sei F (U) die Menge

aller lokalen Schnitte von π, also die Menge aller stetigen Abbildungen s : U→ F mitπ s = IdU. Dann ist F (U) eine abelsche Gruppe.

Proposition 7.5.3. Die Zuordnung U 7→ F (U) ist eine Garbe: Fur offene Mengen V ⊂ U istdie Einschrankung resU

V : F (U)→ F (V) ein Gruppenhomomorphismus. Fur W ⊂ V ⊂ U gilt

resUU = IdF (U), resV

W resUV = resU

W .

Ist (Ui)i∈I eine offene Uberdeckung der offenen Teilmenge U von X, dann gilt

Topologie 122

• (Lokale Eindeutigkeit) Ist s ∈ F (U) und gilt s|Ui = 0 fur jedes i ∈ I, dann ist s = 0.

• (Globale Existenz) Fur jedes i ∈ I sei si ∈ F (Ui) gegeben so dass fur je zwei i, j ∈ I gilt

si|Ui∩U j = s j|Ui∩U j ,

dann existiert ein s ∈ F (U), so dass si = s|Ui fur jedes i ∈ I.

Beweis. Da resUV eine Einschrankungsabbildung von Funktionen ist, sind alle diese

Eigenschaften trivial.

Definition 7.5.4. Seien π : F→ X und π′ : F′ → X Etalgarben. EinEtalgarbenhomomorphismus von π nach π′ ist eine stetige Abbildung φ : F→ F′ mit

• π′ φ = π, das heißt, das Diagramm

F

π

φ// F′

π′

X

kommutiert,

• φ|π−1(x) ist ein Gruppenhomomorphismus von π−1(x) nach (π′)−1(x).

Ist φ : F→ F′ ein Etalgarbenhomomorphismus, so erhalt man fur jede offene MengeU ⊂ X einen Gruppenhomomorphismus

φU : F (U)→ F ′(U)

definiert durch φU(s)(x) = φ(s(x)).

7.6 Aquivalenz von Garben und Etalgarben

Definition 7.6.1. Sei F eine Garbe uber X. Wir definieren den Etalraum zu F alsF =

∐x∈X Fx. Wir definieren die Projektion π : F→ X durch π( f ) = x wenn f ∈ Fx. Wir

konstruieren eine Topologie, die π : F→ X zu einer Etalgarbe macht. Fur jede offeneMenge U ⊂ X definiert jeder Schnitt s ∈ F (U) eine Abbildung s : U→ F mitπ s = IdU, namlich die Abbildung x 7→ s(x). Dann ist das Bild s(U) eine offeneTeilmenge von F und die Topologie auf F ist die von diesen Mengen erzeugte

Topologie 123

Topologie. Es folgt, dass s und damit auch π ein lokaler Homoomorphismus ist unddass die Strukturabbildungen stetig sind, kurz, dass F eine Etalgarbe ist

.

Satz 7.6.2. Sei Ψ die Abbildung, die einer Garbe F die Etalgarbe (F, π) zuordnet und seiΦ die Abbildung, die jeder Etalgarbe F die Garbe ihrere Schnitte F zuordnet. Fur jedeEtalgarbe F ist ΨΦF naturlich isomorph zu F und fuer jede Garbe F ist ΦΨF natuerlichisomorph zu F .

Fur je zwei Etalgarben F,G uber X liefert Φ einen Isomorphismus von Gruppen

HomX(F,G) −→ HomX(ΦF,ΦG).

Ebenso liefert Ψ fur zwei Garben F ,G einen Isomorphismus

HomX(F ,G) −→ HomX(ΨF ,ΨG).

Man fasst diese Aussagen auch so zusammen: Φ ist eine Aquivalenz von Kategorienvon der Kategorie der Etalgarben in die Kategorie der Garben. Ψ ist eine Quasiinverse zuΦ. Wir haben also eine Aquivalenz von Kategorien:

Etalgarben uber X↔

Garben uberX

.

Beweis. Sei F = ΨF die Garbe der Schnitte von F. Dann ist ΦΨF = ΦF die Menge derHalme von F . Wir definieren eine Abbildung uF : ΦF → F wie folgt. Sei f ∈ ΦF , dannliegt f in einem Halm Fx = lim→

U3xF (U). Es existiert dann also ein offene Umgebung U

von x und ein Schnitt s ∈ F (U) mit f = [U, s]. Wir definieren dann uF( f ) = s(x). DieAbbildung uF ist injektiv, denn aus uF( f ) = 0 folgt, dass es eine offene Umgebung Uvon x gibt mit f = [U, 0], woraus f = 0 folgt. Sie ist surjektiv, denn fur f ∈ F gibt eseine offene Umgebung V von f so dass π|V ein Homoomorphismus aufs Bild, nennenwir es U, ist. Sei s : U→ F die Umkehrabbildung zu π|V, dann ist s ein stetiger Schnitt,liegt also in F (U), definiert also ein Element s von Fx mit uF(s) = s(x) = f .

Umgekehrt konstruieren wir eine Abbildung vF : ΨΦF → F wie folgt. Sei U ⊂ Xoffen, dann ist jedes s ∈ ΦΨF (U) ein Schnitt der Etalgarbe ΨF , also eine Abbildung

Topologie 124

s : U→∐

x∈U Fx, die lokal durch Schnitte von F gegeben ist und wegen der globalenExistenz damit selbst ein Schnitt von F also ein Element von F (U) ist. Die AbbildungvF wirft s auf dieses Element. Dann ist vF ein Isomorphismus. Die Aussagen uber dieHomomorphismenmengen sind leicht einzusehen.

Definition 7.6.3. Wir nennen eine Sequenz von Garbenhomomorphismen

Ff−→ G

g−→ H

exakt, falls der induzierte Homomorphismus Bild( f )→ Ker(g) ein Isomorphismusvon Garben ist.

Korollar 7.6.4. Eine Sequenz von Garbenhomomorphismen

Ff−→ G

g−→ H

ist genau dann exakt, wenn fuer jedes x ∈ X die induzierte Sequenz der Halme

Fxfx−→ Gx

gx−→ Hx

exakt ist.

Beweis. Indem man sich F (U) als Menge von Schnitten in die Etalgarbe realisiert,wird klar, dass

g f = 0 ⇔ gx fx = 0 ∀x∈X.

Es gelte also g f = 0. Sei Ffet−→ G

get−→ H die entsprechende Sequenz von Etalgarben.

Die Halme von Bild( f ) sind gerade

Bild( f )x = limU3x

f (F (U)) = fx(Fx).

Dann ist also fet(F) die Etalgarbe zu Bild( f ). Ebenso ist Ker(get) :=x ∈ G : get(x) = 0

die Etalgarbe zu ker(g). Der induzierte Homomorphismus Bild( f )→ Ker(g)entspricht dann in den Etalgarben der Inklusion und die Exaktheit bedeutet geradedie Gleichheit von fet(F) und Ker(get). Damit folgt die Behauptung.

Topologie 125

7.7 Direkte und inverse Bilder

Definition 7.7.1. Sei f : X→ Y eine stetige Abbildung zwischen topologischenRaumen. Fur eine Garbe F uber X definiere das direkte Bild als die Garbe f∗F uber Ygegeben durch

f∗F (V) = F ( f −1(V)).

Es ist anhand der Definitionen leicht einzusehen, dass f∗F in der Tat wieder eineGarbe ist.

Beispiel 7.7.2. Ist X =x0

ein Punkt und F die konstante Garbe mit Faser M (was in

diesem Fall dasselbe ist wie die Wolkenkratzergarbe), dann ist f∗F dieWolkenkratzergarbe im Punkt f (x0). Generell gilt: direkte Bilder von Wolkenkratzernsind Wolkenkratzer.

Ist G eine Garbe uber Y, so ist das inverse Bild die Garbe f −1G, die durch

Garbifizierung aus der Pragarbe

U 7→ lim−−→

V⊃ f (U)

G(V)

entsteht.

Beispiel 7.7.3. Ist f (x) = y0 die konstante Abbildung, dann ist f −1G die konstante

Garbe mit Faser Fy0 .

Satz 7.7.4. Sei f : X→ Y eine stetige Abbildung. Sei F eine Garbe uber X und G eineGarbe uber Y. Dann gibt es eine naturliche Bijektion

HomX( f −1G,F )

−→ HomY(G, f∗F ).

Definition 7.7.5. Ist Garb(X) die Kategorie der Garben uber X und derGarbenhomomorphismen, dann sind f −1 : Garb(Y)→ Garb(X) undf∗ : Garb(X)→ Garb(Y) Funktoren. Fur die Eigenschaft des Satzes sagt man: derFunktor f −1 ist rechtsadjungiert zum Funktor f∗ oder f∗ ist linksadjungiert zu f −1.

Beweis. Da f −1G die Garbifizierung der Pragarbe f ∼G : U 7→ lim→

V⊃ f (U)G(V) ist, gibt es

Topologie 126

eine naturliche Bijektion

HomX( f −1G,F ) HomX( f ∼G,F ).

Es reicht also, eine naturliche Bijektion Φ : HomX( f ∼G,F ) → HomY(G, f∗F ) zukonstruieren. Sei α : f ∼G → F ein Pragarbenhomomorphismus. Fur ein offenes U ⊂ Xhaben wir dann einen Gruppenhomomorphismus

αU : lim→

V⊃ f (U)

G(V) → F (U).

Ist V ⊂ Y offen, so ist U = f −1(V) offen in X und G(V) lim→

V′⊃ f ( f−1(V)G(V′), da V in der

Indexmenge als großtes Element auftaucht. Wir definieren alsoβV : G(V)→ F ( f −1(V)) = f∗F (V) durch βV = α f−1(V). Dann ist β einPragarbenhomomorphismus und wir setzen Φ(α) = β.

Fur die umgekehrte Richtung sei β : G → f∗F ein Garbenhomomorphismus, als furjedes offene V ⊂ Y ist

βV : G(V)→ f∗F (V) = F ( f −1V)

ein Gruppenhomomorphismus, der vertraglich ist mit den Restriktionsabbildungen.Fur offenes U ⊂ X und V ⊃ f (U) gilt U ⊂ f −1V) und daher erhalt man einenMorphismus G(V)→ F ( f −1V) res

−→ F (U). Nach der universellen Eigenschaft desdirekten Limes setzen sich diese Morphismen zusammen zu einem

αU : lim→

V⊃ f (U)

G(V) → F (U).

Diese Morphismen definieren ein Element α ∈ HomX( f −1G,F ). Setze Ψ(β) = α. Es gilt

dann Ψ Φ = Id und Φ Ψ = Id.

7.8 Lokalkonstante Garben

Lemma 7.8.1. Sei X zusammenhangend. Eine Garbe F uber X ist genau dann konstant,wenn fur jeden Punkt x ∈ X die Abbildung F (X)→ Fx, s 7→ s(x) ein Isomorphismus ist.

Beweis. Ist F konstant, dann ist die Etalgarbe F = M × X. Sei s : X→ F = M × X einglobaler Schnitt. Dann ist s(x) = (ms(x), x) fur jedes x und die so entstehendeAbbildung ms : X→M ist stetig. Dann ist X =

⋃m∈M m−1

s (m) eine disjunkte Zerlegung

Topologie 127

von X in offene Mengen. Da X zusammenhangend ist, ist ms eine konstanteAbbildung. Damit ist F (X) M und F (X)→ Fx stets ein Isomorphismus.

Sei umgekehrt rx : F (X)→ Fx fur jedes x ein Isomorphismus. Sei M = F (X). Wirwollen zeigen, dass F isomorph ist zur konstanten GarbeKM mit Faser M. Sei U ⊂ Xoffen und sei s ∈ F (U) ein Schnitt. Sei s : U→M definiert durch s(x) = r−1

x (s(x)). Wirzeigen, dass s lokalkonstant ist. Sei dafur x ∈ U. Dann ist s(x) ∈ Fx und es gibt eineneindeutig bestimmten globalen Schnitt t ∈ F (X) mit rx(t) = s(x). Sei tU die Restriktionvon t nach U. Dann stimmen die beiden Schnitte s und t im Punkte x uberein, also gibtes eine offene Menge V ⊂ U mit s|V = t|V, das heißt aber gerade, dass s auf diesem Vkonstant ist.

Wir haben damit jedem lokalen Schnitt s einen Schnitt s der konstanten Garbezugeordnet, also einen Garbenhomomorphismus F → KM definiert. Dieser ist einIsomorphismus in jedem Halm, also ein Isomorphismus.

Definition 7.8.2. Eine Garbe F uber X heißt lokalkonstante Garbe, falls es zu jedemx ∈ X eine offene Umgebung U gibt, so dass F |U konstant ist.

Beispiel 7.8.3. Uber dem Raum X = S1 lasst sich eine Garbe abelscher Gruppen mitFaser G = Z/2 ×Z/2 herstellen, die lokalkonstant, aber nicht konstant ist.

(Der Trick ist, dass G uber genau drei nichttriviale Elemente verfugt und jedePermutation dieser drei Elemente einen Gruppenhomomorphismus definiert.)

Proposition 7.8.4. Sei F eine lokalkonstante Garbe uber dem topologischen Raum X. Ist Xzusammenhangend, dann ist die Etalgarbe π : F → X eine uberlagerung. Insbesondere lassensich dann Wege von X nach F liften.

Beweis. Sei x ∈ X und U eine offene Umgebung, auf der F konstant ist. Dann ist derEtalraum von F |U homoomorph zu M ×U, wobei M die Faser ist. Dann ist M mit derdiskreten Topologie versehen und nach Lemma 7.8.1 hangt die Faser M nicht von xab. Also insgesamt ist F eine Uberlagerung.

Definition 7.8.5. Sei G eine Gruppe. Der Gruppenring Z[G] ist die Menge allerformalen Linearkombinationen

Z[G] :=

∑g∈G

kgg : kg ∈ Z, fast alle Null

.

Topologie 128

Dies wird eine abelsche Gruppe durch∑g∈G

kgg

+

∑g∈G

lgg

:=

∑g∈G

(kg + lg)g

.Diese abelsche Gruppe ist auch als die freie abelsche Gruppe in den Erzeugern g ∈ Gbekannt. Jetzt machen wir die Menge Z[G] zu einem Ring indem wir eineMultiplikation definieren durch∑

g∈G

kgg

∑

h∈G

lhh

:=∑g,h∈G

kglh(gh),

wobei gh das Produkt in G bezeichnet. Es gilt dann∑g∈G

kgg

∑

h∈G

lhh

=∑τ∈G

mττ

mitmτ =

∑g,h∈Ggh=τ

kglh.

Ein Modul M unter dem Ring Z[G] ist gegeben durch eine abelsche Gruppe(= Z-Modul) M, auf dem G durch Gruppenhomomorphismen operiert.

Sei nun X ein wegzusammenhangender Raum, der lokal einfach zusammenhaengendist und F eine lokalkonstante Garbe uber X. Sei x0 ∈ X ein fest gewahlter Punkt undsei G = π1(X, x0) die Fundamentalgruppe. Sei [γ] ∈ G und sei m ∈M = Fx0 . Dann liftetder Weg γ zu einem eindeutig bestimmten Weg γm : [0, 1]→ F mit γm(1) = m.Schreibe γ.m = γm(0).

Lemma 7.8.6. Die Vorschrift [γ]m = γ.m definiert eine Operation von G auf der Gruppe M.Jedes γ ∈ G operiert durch einen Gruppenhomomorphismus, damit wird M also zu einemZ[G]- Modul.

Beweis. Die Aussage (γ.τ).m = γ.(τ.m) fur zwei geschlossene Wege mit Endpunkt x0 istnach Defintion klar.

Seien γ, τ Vertreter desselben Elements von G und sei h : I2→ X eine Homotopie mit

festen Enden, dann liftet h zu einer Homotopie mit festen Enden von γ nach τ.

Topologie 129

Insbesondere gilt dann h(0, 1) = γ.m und h(1, 1) = τ.m und es ist h(s, 1) ∈ Fx0 = M furjedes s ∈ [0, 1]. Damit ist s 7→ h(s, 1) ein Weg in M, der γ.m und τ.m verbindet. Da Mdiskret ist, ist dieser Weg konstant, also γ.m = τ.m und die Operation damitwohldefiniert.

Ist r ∈ R, so ist der Weg rγm der Eindeutige Lift von γ mit Anfangspunkt rm, also mitanderen Worten, es gilt rγm = γrm, was gerade bedeutet r[γ]m = [γ]rm.

Sei umgekehrt M eine abelsche Gruppe mit einer Operation von G. Sei X dieuniverselle uberlagerung von X und setze

F = G\(M × X),

wobei G auf M × X diagonal operiert, also γ(m, x) = (γm, γx). Wir versehen M mit derdiskreten Topologie, M × X mit der Produkttopologie und F mit derQuotiententopologie. Definiere π : F → X durch π(G(m, x)) = Gx.

Lemma 7.8.7. π : F → X ist eine lokalkonstante Etalgarbe.

Beweis. Sei x ∈ X und sei U eine Umgebung, die die universelle uberlagerungp : X→ X trivialisiert. Das Urbild U = p−1(U) ist dann eine disjunkte Vereinigung vonoffenen Mengen, die alle homoomorph sind zu U, und die von G permutiert werden.Fixiere eine solche U0 und einen Homoomorphismus φ : U→ U0, dann ist dienaturliche Abbildung

M ×U1×φ−→M × U0 →M × U→ G\M × U = F |U

ein Homoomorphismus, der die Garbe F lokal trivialisiert.

Wir haben nun zwei Konstruktionen. Lemma 7.8.6 liefert einen Funktor Φ von derKategorie aller lokalkonstanten Garben zu der Kategorie der Z[G]-Moduln.Umgekehrt liefert Lemma 7.8.7 einen Funktor Ψ von der Kategorie der Z[G]- Modulnin die Kategorie der lokalkonstanten Garben.

Satz 7.8.8. Die Funktoren Φ und Ψ sind quasiinvers zueinander. Fur einenwegzusammenhangenden Raum X, der lokal einfach zusammenhengend ist haben wir also

Topologie 130

eine Aquivalenz von Kategorien:lokalkonstante Garben

↔

G-Moduln

wobei G = π1(X) die Fundamentalgruppe ist.

Beweis. Sei F eine lokalkonstante Garbe. Wir konstruieren einen naturlichenEtalgarbenisomorphismus

τ : F → ΨΦF = G\Fx0 × X.

Sei f ∈ F und sei x = π( f ). wahle einen Weg η in X von x0 nach x. Dann hat η eineneindeutigen Lift ηF nach F mit ηF (1) = f . Sei f0 = ηF (0) ∈ Fx0 . Die Homotopieklasse(mit festen Enden) von γ definiert ein Element [η] von X mit p([η]) = x. Wir definierendann

τ( f ) = G( f0, [η]).

Diese Konstruktion hangt a priori von der Wahl des Weges η ab, jedenfalls moduloHomotopie mit festen Enden. Eine andere Wahl liefert modulo Homotopie einen Wegder Form γ.η fur ein [γ] ∈ G. In diesem Fall wird auch f0 ersetzt durch [γ] f0, also ist τeine wohldefinierte Abbildung.Die Definition tragt die Umkehrabbildung τ−1 praktisch schon im Bauch: Ein Elementvon G\Fx0 × X ist eben von der Gestalt G( f0, [η]) mit f0 ∈ Fx0 und [η] ∈ X. Dann liftet ηeindeutig zu einem Weg ηF mit ηF (0) = f0. Setze dann τ−1 (G( f0, [η])

)= f = ηF (1).

Damit ist τ bijektiv. Die Stetigkeit von τ und τ−1 und die Vertraglichkeit mit Additionund Inversion sei dem Leser zur Ubung gelassen.

7.9 Der Schnittfunktor

Definition 7.9.1. Sei X ein topologischer Raum. Wir betrachten den Funktor

Γ :Garben uber X

→

abelsche Gruppen

gegeben durch

Γ(F ) = F (X).

Topologie 131

Dieser wird der globale Schnittfunktor, oder auch nur Schnittfunktor genannt.

Als Beispiel betrachten wir einen wegzusammenhangenden,lokal-einfach-zusammenhaengenden Raum X und eine lokalkonstante Garbe F .Diese kommt von einer abelschen Gruppe V und die Etalgarbe lasst sich schreiben alsG\(V × X). Ein globaler Schnitt s ∈ F (X) ist dann eine Abbildung s : X→ G\(V × X)der Gestalt s(Gx) = G(as(x), x). Diese Schreibweise definiert eine eindeutig bestimmteAbbildung as : X→ V. Diese Abbildung muss stetig sein und da Xzusammenhangend und V diskret, folgt, dass as konstant ist. Es gilt nun fur γ ∈ G,

G(as, x) = s(Gx) = s(Gγx) = G(as, γx) = G(γ−1as, x).,

und daheras = γ.as,

d.h. as ∈ VG. Umgekehrt liefert jedes as ∈ VG einen globalen Schnitt, also

Γ(F ) VG.

Fur Garbenhomomorphismen haben wir die Begriffe von Kern und Bild, also konnenwir auch sagen, was eine exakte Sequenz ist.

Wir erinnern an Korollar 7.6.4, welches besagt, dass eine Sequenz von Garben

Ff−→ G

g−→ H genau dann exakt ist, wenn fur jeden Punkt x ∈ X die induzierte

Sequenz Fx → Gx →Hx exakt ist.

Lemma 7.9.2. Sei 0→ Ff−→ G

g−→ H → 0 eine exakte Sequenz von Garben. Dann ist die

Sequenz

0→ Γ(F )Γ( f )−→ Γ(G)

Γ(g)−→ Γ(H)

exakt. Im Allgemeinen ist Γ(g) nicht surjektiv.

Beweis. Da f injektiv ist, ist F (U)→ G(U) injektiv fur jedes U ⊂ X, also insbesonderefur U = X, damit ist Γ( f ) injektiv. Da gx fx = 0, gilt fur jedes s ∈ F (X) und jedes x ∈ X,dass g f s(x) = gx fx(s(x)) = 0, also in g f s = 0, was bedeutet dass Γ(g)Γ( f ) = 0. Damit istBild(Γ( f )) ⊂ Ker(Γ(g)) und wir wollen Gleichheit zeigen. Sei hierzu s ∈ Ker(Γ(g)). Dannist fur gegebenes x ∈ X das Element s(x) in Ker(gx) = Bild( fx) = lim→

U3xBild( f (U)). Es

gibt also eine offene Umgebung Ux von x mit s|Ux ∈ f (Ux). Fur jedes x fixiere eine solcheUmgebung Ux und das (eindeutig bestimmte) tx ∈ F (Ux) mit f (tx) = s|Ux . Diese Ux

Topologie 132

bilden eine offene Uberdeckung von X. Fur x, y ∈ X gilt tx|Ux∩Uy = ty|Ux∩Uy da dasselbefur s gilt und die tx eindeutig sind. Nach dem Prinzip der globalen Existenz gibt esalso ein t ∈ F (X) mit t|Ux = tx, hieraus folg nach der lokalen Eindeutigkeit aber f (t) = s.

Beispiel, dass Γ(g) nicht immer surjektiv ist: Sei X = R/Z. Es operiere G Z aufV = Z2 so dass 1.(x, y) = (y, x). Dann ist VG =

(x, x) : x ∈ Z

. Sei F die lokalkonstante

Garbe G\(V × X). G sei die konstante Garbe mit Halm Z, diese ist als lokalkonstanteGarbe assoziiert zur trivialen Operation von G auf Z. Sei f : F → G derGarbenhomomorphismus assoziiert zum G-Modulhomomorphismus V → Z,(x, y) 7→ x + y. Dieser ist surjektiv in jedem Halm, aber auf den globalen Schnitten hatVG→ Z das Bild 2Z , Z.

Sind f , g : F → G Garbenhomomorphismen, dann definieren wir den Morphismusf + g : F → G durch ( f + g)(U) = f (U) + g(U). Auf diese Weiese wird Hom(F ,G) eineabelsche Gruppe.

Proposition 7.9.3. Sei X ein topologischjer Raum. Die Kategorie Ab(X) der Garben vonabelschen Gruppen uber X ist eine abelsche Kategorie.

Beweis. Die Komposition ist bilinear, weil dies fur die Kategorie der abelschenGruppen zutrifft. Das Nullobjekt ist die Nullgarbe. Das Produkt zweier Garben istisomorph zum Coprodukt und beide sind gleich der direkten Summe. Damit istAb(X) additiv. Kerne und Cokerne existieren nach Abschnitt 7.4. Das letzte Axiom isterfullt, weil es fur die Kategorie der abelschen Gruppen gilt.

7.10 Abgeleitete Funktoren

Definition 7.10.1. Ein Objekt P einer Kategorie C heißt projektives Objekt, wenn es zujedem surjektiven Pfeil A B und jedem Pfeil P→ B einen Pfeil P→ A gibt so dassdas Diagramm

A // B

P

∃

__ OO

kommutiert. Mit anderen Worten, P ist genau dann projektiv, wenn fur jede SurjektionA B die sich durch Komposition ergebende Abbildung

Hom(P,A) → Hom(P,B)

Topologie 133

surjektiv ist.

Beispiele 7.10.2. • In der Kategorie der Mengen ist jedes Objekt projektiv.

• Sei R ein Ring. In der Kategorie der R-Moduln sind die freien R-Modulnprojektiv.

Definition 7.10.3. Ein Objekt I von C ist injektiv, falls es projektiv ist in Copp, also wennes zu jeder Injektion A → B und jedem Pfeil A→ I einen Pfeil B→ I gibt so dass dasDiagramm

A //

B

∃

I

kommutiert. Mit anderen Worten, I ist injektiv, falls fur jede Injektion A → B dieinduzierte Abbildung

Hom(B, I) → Hom(A, I)

surjektiv ist.

Beispiele 7.10.4. • In der Kategorie der Mengen und Abbildungen ist jedes Objektinjektiv.

• In der Kategorie der abelschen Gruppen ist ein Objekt, also eine abelscheGruppe (A,+) genau dann injektiv, wenn sie divisibel ist, also wenn es zu jedema ∈ A und jedem n ∈N ein b ∈ A gibt mit a = nb.

Definition 7.10.5. Wir sagen: eine abelsche KategorieA hat genugend viele Injektive,falls es zu jedem Objekt X eine Injektion X → I gibt, wobei I injektiv ist. Die Kategoriehat genugend viele Projektive, fallsAopp genugend viele Injektive hat, was aquivalentdazu ist, dass es zu jedem Objekt X eine Surjektion P X gibt, wobei P projektiv ist.

Beispiel 7.10.6. Die Kategorie Mod(R) der Moduln eines Ringes hat genuegend vieleProjektive, denn jeder Modul ist surjektives Bild eines freien Moduls.

Proposition 7.10.7. Sei R ein Ring, dann hat die Kategorie Mod(R) aller R-Modulngenugend viele Injektive.

Beweis. Sei M ein R-Modul. Wir haben die natuerliche Einbettung

M →M ⊗Q ⊕ M ⊗ (Q/Z),

Topologie 134

wobei die Tensorprodukte uber Z definiert sind. Die rechte Seite ist ein R-Modul, derals abelsche Gruppe divisibel, also injektiv ist. Fur die Proposition reicht es also,anzunehmen, dass M als abelsche Gruppe injektiv ist.

Fur einen R-Modul P und eine abelsche Gruppe A hat die Menge HomGrp(P,A) allerGruppenhomomorphismen von P nach A die Struktur einer R-Moduls via

r f (p) = f (rp).

Sei nun M ein R-Modul, der als abelsche Gruppe injektiv ist. Wir definieren

IMdef= HomGrp(R,M)

mit der oben genannten R-Modulstruktur. Es gibt eine Einbettung von M → IM

gegeben durch m 7→ αm mit αm(r) = rm. Es bleibt zu zeigen, dass HomGrp(R,M) injektivist. Hierfur beachte, dass fur jeden R-Modul P und jede Menge X ein funktoriellerIsomorphismus von R-Moduln existiert:

ψ : HomGrp(P,X)→ HomR(P,HomGrp(R,X)).

gegeben durchψ(α)(p)(r) = α(rp).

Die Inverse ist gegeben durch

ψ−1(β)(p) = β(p)(1).

Sei nun P → N ein injektiver R-Modulhomomorphismus. Das Diagramm

HomR(N,HomGrp(R,M)) //

HomR(P,HomGrp(R,M))

HomGrp(N,M) // HomGrp(P,M)

kommutiert. Die untere horizontale Abbildung ist surjektiv, da M injektiv ist alsabelsche Gruppe. Daher ist die obere horizontale Abbildung ebenfalls surjektiv undHomGrp(R,M) ist injektiv.

Definition 7.10.8. Eine Auflosung eines Objektes X einer abelschen Kategorie ist eine

Topologie 135

exakte Sequenz0→ X→ I0

→ I1→ . . . .

Eine injektive Aufloesung ist eine Aufloesung, bei der die Objekte I0, I1, . . . alle injektivsind. Wir schreiben 0→ X→ IX.

Lemma 7.10.9. HatA genugend viele Injektive, dann gibt es zu jedem Objekt injektiveAuflosungen.

Beweis. Sei X ein Objekt und X → I0 eine Injektion in ein injektives Objekt. So wird I0

konstruiert. Sei M der Cokern von X→ I0 und sei M → I1 eine Injektion in eininjektives I1, dann ist die Sequenz 0→ X→ I0

→ I1 exakt. Sei nun n ≥ 1 und I0, . . . , In

bereits konstruiert und sei M der Cokern von In−1→ In, dann wahle eine Injektion

M → In+1 in ein injektives Objekt, so ist die Sequenz 0→ X→ I0→ · · · → In+1 exakt.

Damit ist eine injektive Auflosung induktiv konstruiert.

Definition 7.10.10. Seien nunA und B abelsche Kategorien. Ein Funktor F : A→ Bheißt exakter Funktor falls er exakte Sequenzen in exakte Sequenzen uberfuhrt. Er heißtlinksexakt, falls fur jede exakte Sequenz

0→ A→ B→ C→ 0

die Sequenz0→ F(A)→ F(B)→ F(C)

exakt ist. Ist F kontravariant, so gelten die entsprechenden Begriffe furAopp, also heißtF dann linkesexakt genau dann wenn fur jede exakte Sequenz wie oben die Sequenz

0→ F(C)→ F(B)→ F(A)

exakt ist.

Beispiel 7.10.11. Der Funktor Γ von der Kategorie der Graben ueber einemtopologischen Raum X in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt.

Lemma 7.10.12. Fur jedes Objekt A einer abelschen Kategorie sind die Funktoren Hom(A, •)und Hom(•,A) linksexakt.

Das Objekt A ist genau dann projektiv, wenn Hom(A, •) exakt ist. A ist genau dann injektiv,wenn Hom(•,A) exakt ist.

Topologie 136

Beweis. Sei 0→ X α−→ Y

β−→ Z→ 0 exakt. Dann ist nach den Axiomen der abelschen

Kategorie α der Kern von β und β der Cokern von α. Sei f : A→ X mit α f = 0. Da0→ X der Kern von α ist, faktorisiert f uber die Nullabbildung, ist also selber Null.Damit ist Hom(A, α) injektiv. Es gilt Hom(A, β) Hom(A, α) = Hom(A, β α) = 0, daβ α = 0. Sei nun f : A→ Y im Kern von Hom(A, β), also β f = 0. Da α der kern vonβ ist, faktorisiert f daher uber α, es gibt also ein h : A→ X mitf = α h = Hom(A, α)(h). Zusammen folgt, dass die Sequenz

0→ Hom(A,X)→ Hom(A,Y)→ Hom(A,Z)

exakt ist. Der Fall Hom(•,A) folgt, da HomA(•,A) = HomAopp(A, •) ist undAopp

ebenfalls eine abelsche Kategorie ist.

Die Aussagen uber projektive und injektive Objekte sind jetzt nichts weiter als eineUmschreibung der Definition.

Definition 7.10.13. Sei nunA eine abelsche Kategorie mit genugend vielen Injektiven.Ein Komplex ist eine Folge von Morphismen

· · · → Ep−1 dp−1

−→ Ep dp

−→ Ep+1→ . . .

so dass dpdp−1 = 0. Die Pfeile dp heiseen die Differentiale des Komplexes. DieKohomologie des Komplexes ist dann

Hp(E) = Ker(dp)/Bild(dp−1).

Ein Homomorphismus von Komplexen α : F→ F fuer Komplexe E = (Ep, dp) undF = (Fp, dp) ist eine Familie von Pfeilen αp : Ep

→ Fp, die mit den Differentialenvertauschen, d.h. kommutative Diagramme

. . . // Ep dp//

αd

Ep+1

αp+1

// . . .

. . . // Fp dp// Fp+1 // . . .

bilden. Ist α : (Ep)→ (Fp) ein Homomorphismus von Komplexen, dann bildet αp denKern von dp

E auf den Kern von dpF ab und induziert so eine Abbildung

α∗ : Hp(E)→ Hp(F).

Topologie 137

Lemma 7.10.14. Gegeben zwei injektive Auflosungen:

0 //M //

φ

I0M

// I1M

//

0 // N // I0N

// I1N

//

Dann setzt jeder Homomorphismus φ zu einem Homomorphismus α : IM → IN vonKomplexen fort. Je zwei Fortsetzungen sind homotop.

Beweis. Diese Aussage wurde in Lemma 6.3.2 fuer freie Aufloesungen gezeigt. In demBeweis kann man das Wort frei durch das Wort projektiv ersetzen. Uebergang vonAzuAopp liefert dann die Behauptung.

SeiA eine abelsche Kategorie mit genugend vielen Injektiven und sei F : A→ B einlinksexakter Funktor in die abelsche Kategorie B. Fur jedes Objekt X vonAwahleeine injektive Auflosung 0→ X→ IX und definieren

RpF(X) = Hp(F(IX)).

Nach Lemma 7.10.14 existiert zu jedem Morphismus f : X→ Y inA ein bis aufHomotopie eindeutig bestimmter Homomorphismus IX → IY und also existiert eineindeutig bestimmter Homomorphismus Rp(F) : RpF(X)→ RpF(Y). Mit anderenWorten: RpF ist ein Funktor vonA in die Kategorie B.

Satz 7.10.15. SeiA eine abelsche Kategorie mit genugend vielen Injektiven und seiF : A→ B ein linksexakter Funktor in eine abelsche Kategorie B.

(a) Fur jedes n ≥ 0 ist RnF ein additiver Funktor vonA nach B. Bis auf eindeutigenIsomorphismus von Funktoren ist RnF unabhangig von den Wahlen von Auflosungen.

(b) Es gibt einen naturlichen Isomorphismus von Funktoren F R0F.

(c) Fur jede exakte Sequenz0→ X→ Y→ Z→ 0

und jedes n ≥ 0 gibt es einen naturlichen Morphismus

δn : RnF(Z)→ Rn+1F(X)

Topologie 138

so dass die Sequenz

· · · → RnF(X)→ RnF(Y)→ RnF(Z) δn

−→ Rn+1F(X)→ . . .

exakt ist.

(d) Fur jeden Morphismus kurzer exakter Sequenzen

0 // X //

Y //

Z //

0

0 // X′ // Y′ // Z′ // 0

und jedes n ≥ 0 kommutiert das Diagramm

RnF(Z) δn//

Rn+1F(X)

RnF(Z′) δn// Rn+1F(X′).

(e) Ist I ein injektives Objekt und n ≥ 1, dann gilt RnF(I) = 0.

Beweis. Die Argumente sind standard bis auf die Konstruktion desVerbindungshomomorphismus δ, die der Konstruktion desVerbindungshomomorphismus eines Raumpaars ahnelt. Fur Details siehe: Lang,Algebra.

Definition 7.10.16. Ein Objekt A vonA heißt azyklisch bzgl F, wenn fur jedes i ≥ 1 dieGleichung RiF(A) = 0 gilt. Sei X ∈ A. Eine exakte Sequenz

0→ X→ A0→ A1

→ . . .

heißt azyklische Auflosung von X, falls alle A j azyklisch sind.

Satz 7.10.17. Sei 0→ X→ A0→ . . . eine azyklische Auflosung, dann gibt es einen

natuerlichen Isomorphismus RiF(X)→ Hi(F(A•)). D.h. die Garbenkohomologie kann mitbeliebigen azyklischen Auflosungen berechnet werden.

Topologie 139

Beweis. Wir brauchen ein Lemma.

Lemma 7.10.18. Sei 0→ Y0→ Y1

→ · · · eine exakte Sequenz von F-azyklischen Objekten.Dann ist die Sequenz 0→ F(Y0)→ F(Y1)→ . . . exakt.

Beweis. Da F linksexakt ist, ist die Sequenz

0→ F(Y0)→ F(Y1)→ F(Y2)

exakt. Sei Z j = coker(Y j−1→ Y j). Wir erhalten ein kommutatives exaktes Diagramm

0 // Y0 // Y1 //

Y2 //

Y3

Z1

>>

Z2

>>

0

>>

0

>>

0.

Nach Anwendung von F erhalten wir eine exakte Sequenz

0→ F(Y0)→ F(Y1)→ F(Z1)→ R1F(Y0) = 0,

und also eine Surjektion coker(F(Y0)→ F(Y1)) F(Z1). Die exakte Sequenz0→ Z1

→ Y2→ Y3 liefert eine exakte Sequenz

0→ F(Z1)→ F(Y2)→ F(Y3).

Also ist auchcoker(F(Y0)→ F(Y1))→ F(Y2)→ F(Y3)

exakt. Dies ist die verlangte Exaktheit bei F(Y2). Wir iterieren das Argumentinduktiv.

Zum Beweis des Satzes wahle eine injektive Auflosung

0→ X→ I0→ I1

→ . . .

Topologie 140

dann erhalten wir ein kommutatives Diagramm

0 // X //

=

A0 // _

A1 // _

· · ·

0 // X // I0 // I1 // · · ·

wobei die vertikalen Abbildungen nach eventueller Vergroßerung von Ik als injektivvorausgesetzt werden konnen. Sei (Y j) die Folge der Kokerne. Wir erhalten einexaktes kommutatives Diagramm

0

0

0 // X //

=

A0 //

A1 //

· · ·

0 // X // I0 //

I1 //

· · ·

0 // Y0 //

Y1 //

· · ·

0 0

Da Ak und Ik azyklisch sind, liefert die lange exakte Kohomologiesequenz:RkF(Ii)→ RkF(Yi)→ Rk+1F(Ai) und damit ist auch Yk azyklisch. Wir wenden F an underhalten eine kurze exakte Sequenz von Komplexen:

0→ F(A) → F(I)→ F(Y)→ 0.

mit der zugehorigen Kohomologiesequenz:

Hi−1F(Y)→ HiF(A)→ HiF(I)→ HiF(Y).

Nach Lemma 7.10.18 sind beide Enden Null, also ist die Abbildung in der Mitte einIsomorphismus, also

HiF(A) RiF(X).

Definition 7.10.19. Seien 0→ A→ B→ C→ 0 und 0→ X→ Y→ Z→ 0 exakteSequenzen. Ein Morphismus kurzer exakter Sequenzen ist ein Tripel (α, β, γ) von

Topologie 141

Morphismen, so dass das Diagramm

0 // A //

α

B //

β

C //

γ

0

0 // X // Y // Z // 0

kommutativ ist.

Definition 7.10.20. Ein δ-Funktor vonA nach B ist eine Folge von Funktoren Ti,i = 0, 1, 2, . . . , zusammen mit einer Familie von Morphismen δi : Ti(C)→ Ti+1(A) furjede exakte Sequenz 0→ A→ B→ C→ 0 so dass

• Fur jede kurze exakte Sequenz wie oben ist die Sequenz

0→ T0(A)→ T0(B)→ T0(C) δ−→ T1(A)→ . . .

· · · → Tp(A)→ Tp(B)→ Tp(C) δ−→ Tp+1(A)→ . . .

exakt.

• Fur jeden Morphismus kurzer exakter Sequenzen

0 // A //

α

B //

β

C //

γ

0

0 // X // Y // Z // 0

ergeben die δs kommutative Diagramme:

Tp(C) δ //

Tp+1(A)

Tp(Z) δ // Tp+1(X).

Definition 7.10.21. Ein δ-Funktor T heißt universeller δ-Funktor, falls es fur jedenanderen δ-Funktor S und jede natuerliche Transformation f 0 : T0

→ S0 eine eindeutigbestimmte Folge von natuerlichen Tranformationen f p : Tp

→ Sp gibt, die mit den δsvertauschen.

Lemma 7.10.22. Sind S und T universelle δ-Funktoren und ist T0 S0, dann folgt Tp Sp

fur jedes p ≥ 0.

Topologie 142

Beweis. Sei f 0 : T0→ S0 ein Isomorphismus mit Inversem g0 : S0

→ T0. Seien f p und gp

die eindeutigen Fortsetzungen fur p ≥ 1. Dann ist f pgp eine Fortsetzung von f 0g0 = Id,die mit den δ’s vertauscht. Da eine solche Fortsetzung eindeutig ist, folgt f pgp = Id.Die andere Richtung geht ebenso, also sind die f p Isomorphismen.

Definition 7.10.23. Ein Funktor FA→ B heißt ausloschbar, falls es zu jedem ObjektX ∈ A eine Injektion u : X → I gibt mit F(u) = 0. In der Regel wird sogar F(I) = 0 sein,die Definition ist aber allgemeiner.

Beispiel 7.10.24. Ist F additiv und linksexakt und hatA genugend viele Injektive, soexistiert RpF fur p ≥ 1 und diese Funktoren sind allesamt ausloschbar, da sie aufinjektiven Objekten verschwinden.

Satz 7.10.25. Sei T ein δ-Funktor, so dass Tp ausloschbar ist fur jedes p ≥ 1. Dann ist Tuniversell.

Beweis. Sei S ein weiterer δ-Funktor und sei f 0 : T0→ S0 gegeben. Ein gegebenes

Objekt A vonA loschen wir aus mit einem Objekt I und erhalten eine exakte Sequenz

0→ A u−→ I v

−→ C→ 0

mit T1(u) = 0. Wir erhalten ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen(durchgezogene Pfeile):

T0(I)T0(v)

//

f 0(I)

T0(C)δT //

f 0(C)

T1(A) //

f 1(A)

0

S0(I)S0(v)

// S0(C)δS // S1(A).

Es folgt δT = coker(T0(v)). Da die zweite Zeile exakt ist, erhalten wir δSS0(v) f 0(I) = 0und damit δS f 0(C)T0(v) = 0. Daher existiert eine eindeutig bestimmte Abbildungf 1(A), so dass das ganze Diagramm kommutativ wird.

Wir mussen zeigen, dass f 1 eine naturliche Transformation von Funktoren ist, also

Topologie 143

dass fur jeden Morphismus τ : A→ B inA das Diagramm

T1(A)T1(τ)

//

f 1(A)

T1(B)

f 1(B)

S1(A)S1(τ)

// S1(B)

kommutiert. Hierfur sei τ : A→ B ein Morphismus inA. Betrachte dasKofaserprodukt P:

A u //

τ

I

B // P.

Da u injektiv ist, ist nach Lemma 5.8.9 die Abbildung B→ P ebenfalls injektiv. SeiP → N ein Monomorphismus, der P ausloscht. Wir erhalten ein kommutativesDiagramm mit exakten Zeilen:

0 // A //

τ

I //

α

C //

β

0

0 // B // N // Y // 0,

wobei B→ N die Komposition B→ P→ N ist und Y ist der Kokern. Das Diagramm,dessen Kommutativitat wir zeigen wollen, ist die rechte Seitenflache des folgendenwurfelfurmigen Diagramms:

T0(C)δT //

f0(C)

T0(β)

##

T1(A)T1(φ)

##

T0(Y) //

T1(B)

f1(B)

S0(C)

S0(β) ##

// S1(A)S1(φ)

##

S0(Y) // S1(B).

Alle Seiten des Diagramms kommutieren bis auf eventuell die rechte Seite. Da aber δT

ein Epimorphismus ist, muss auch die letzte Seite kommutativ sein.

Als nachstes mussen wir zeigen, dass f1 mit dem Verbindungshomomorphismus δ

Topologie 144

kommutiert. Sei0→ A→ B→ C→ 0

eine exakte Sequenz inA. Mit derselben Kofaserprodukt-Konstruktion erhalt maneinen ausloschenden Monomorphismus A→ I und ein kommutatives Diagramm mitexakten Zeilen:

0 // A //

Id

B //

α

C //

β

0

0 // A // I // X // 0.

Betrachte das Diagramm:

T0(C)

T0(β)

~~

f0(C)

δT

S0(C)

T0(X)δT //

f 0(X) S0(β)~~

δS

T1(A)

f 1(A)

S0(X)δS // S1(A).

Wir wollen zeigen, dass die rechte Seite kommutiert. Die Dreiecke oben und untensind kommutativ nach der Definition eines δ-Funktors. Das linke Quadrat istkommutativ, da f 0 eine naturliche Transformation ist. Das vordere Quadratkommutiert nach der Definition von f 1. Hieraus folgt, dass das letzte Quadratebenfalls kommutiert.

Eine Iteration des Argumentes mit dem Indexpaar (n,n + 1) an Stelle von (0, 1) liefertden Satz.

7.11 Garbenkohomologie

Proposition 7.11.1. Sei R ein Ring und X ein topologischer Raum. Dann hat die abelscheKategorie ModR(X) aller Garben von R-Moduln uber X genugend viele Injektive.

Beweis. Sei F eine Garbe uber X. Fur jedes x ∈ X ist Fx ein R-Modul, also gibt es eineinjektion Fx → Jx in einen injektiven R-Modul. Betrachte die Garbe J : U 7→

∏x∈U Jx.

Dies ist das Produkt der WolkenkratzergarbenWx(Jx) fur x ∈ X in der Kategorie

Topologie 145

ModR(X). Also ist fur jede Garbe G:

Hom(G,J) ∏x∈X

Hom(G,Wx(Jx)).

Andererseits gilt Hom(G,Wx(Jx)) Hom(Gx, Jx). Also existiert ein naturlicherinjektiver Homomorphismus F → J gegeben durch die Abbildungen Fx → Jx. DerFunktor Hom(•,J) ist das direkte Produkt uber alle x ∈ X vom Halmfunktor F 7→ Fx,der exakt ist, gefolgt von HomR(•, Jx), der exakt ist, weil Jx injektiv ist. Daher istHom(•,J) ein exakter Funktor und also ist J ein injektives Objekt.

Definition 7.11.2. Die Garbenkohomologie einer Garbe F ist dann definiert durch dieRechtsableitungen des Schnittfunktors, also

Hp(F ) = RpΓ(F ).

Eine Garbe F heißt welk, falls fur je zwei offene Teilmengen V ⊂ U ⊂ X die RestriktionresU

V : F (U)→ F (V) surjektiv ist. Wolkenkratzergaben sind Beispiele welker Garben.Man kann zeigen, dass welke Garben azyklisch sind bzgl des Schnittfunktors Γ.

7.12 Feine Garben

Definition 7.12.1. Eine offene Uberdeckung X =⋃

i∈I Ui von X heißt lokal-endlicheUberdeckung, falls es zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung V gibt so dass

i ∈ I : V ∩Ui , ∅

endlich ist.

Eine offene Uberdeckung (V j) j∈J heißt Verfeinerung einer offenen Uberdeckung (Ui)i∈I,wenn es zu jedem j ∈ J ein i ∈ I gibt mit V j ⊂ Ui.

Ein Raum X heißt parakompakt, falls jede offene Uberdeckung eine lokal-endlicheVerfeinerung besitzt.

Beispiele 7.12.2. • Kompakte Hausdorffraume sind parakompakt.

• (Satz von Stone) Metrische Raume sind parakompakt.

• (Satz von Miyazaki) CW-Komplexe sind parakompakt.

Topologie 146

Definition 7.12.3. Sei φ : F → G ein Garbenhomomorphismus. Der Trager von φ,geschrieben supp(φ) ist definiert als der Abschluss der Menge aller x ∈ X mitφx : Fx → Gx , 0.

Definition 7.12.4. Eine Garbe F heißt feine Garbe, falls es zu jeder lokal-endlichenoffenen Uberdeckung X =

⋃i∈I Ui eine Familie (φi)i∈I von Endomorphismen

φi : F → F gibt mit

• supp(φi) ⊂ Ui und

•∑

i∈I φi = Id|F .

Da die Uberdeckung lokal-endlich ist, ist auch die Summe im zweiten Punktlokal-endlich, macht also stets Sinn, da immer nur endlich viele Summanden addiertwerden.

Beispiele 7.12.5. • Ist M eine Cr-Mannigfaltigkeit mit r = 0, 1, . . . ,∞, dann existiertzu jeder lokal-endlichen Uberdeckung (Ui) eine Zerlegung der Eins, d.h. eineFamilie ui ∈ Cr(M) mit supp(ui) ⊂ Ui und∑

i∈I

ui = 1.

Daher sind ist die Garbe Cr aller Cr-Funktionskeime fein. Ferner ist die GarbeΩp,r aller r-fach differenzierbaren p-Differentialformen fein, denn man definiertdann φi(ω) = uiω, erhaelt also den Endomorphismus φi durch punktweisesProdukt mit der Funktion ui.

• Ist X ein Hausdorff-Raum, dann ist jede Wolkenkratzergarbe fein.Um dies einzusehen, seiW eine Wolkenkratzergarbe mit einzigemnichttrivialen Halm H =Wx0 ueber dem Punkt x0, alle anderen Halme sindNull. Sei dann (Ui)i∈I eine lokal-endliche Ueberdeckung. Wir definieren nun eineFamilie (φi) von Endomorphismen. Sei hierzu ein Index ii ∈ I fixiert, mit derEigenschaft, dass x0 ∈ Ui0 , so einen muss es ja geben. Wir definieren nunEndomorphismen φi :W→W wie folgt: Ist i , i0, so setzen wir φi ≡ 0. DerEndomorphismus φi0 ist die Identitaet aufW. Dann ist trivialerweise∑

i∈I

φi = IdW.

Topologie 147

Da die Traeger supp(φi) fuer i , 0 leer sind, muessen wir nur zeigen, dasssupp(φi0) ⊂ Ui0 gilt. Wir zeigen sogar supp(φi0) =

x0

. Sei hierzu y , x0 ein

anderer Punkt von X. Dann existiert eine Umgebung U von y, so dass x , U.Also istW(U) = 0 und damit ist φi0(W(U)) = 0, und da dies auch fuer alleTeilmengen von U gilt, folgt φi0 |U ≡ 0 und damit liegt y nicht im Traeger von φi0 .

• Im letzten Beispiel ist die Hausdorffeigenschaft allerdings erforderlich (oderzumindest die Trennungseigenschaft T1), wie das folgende Beispiel zeigt. SeiX =

η, a, b

eine Menge mit drei Elementen, auf der wir eine Topologie wie folgt

installieren. Die offenen Mengen sind

∅,X,a, η

,b, η

.

Damit ist η in jeder nichtleeren offenen Menge enthalten, man sagt dazu auch, ηist ein generischer Punkt. Sei nunW die Wolkenkratzergarbe mit Halm Z ueberη. Da η in jeder nichtleeren offenen Menge liegt, istW auch gleich derkonstanten GarbeKZ ueber X. Ist dann φ :W→W irgendeinEndomorphismus, dann ist φ durch seinen Halm ueber η eindeutig festgelegt.Ist diese ungleich Null, so ist supp(φ) = X, andernfalls ist supp(φ) = ∅. Daherkann es keine Familie von Endomorphismen, im Sinne der Definition derFeinheit, zu der Ueberdeckung X = U1 ∪U2 mit

U1 =η, a

, U2 =

η, b

geben.

Satz 7.12.6. Sei X ein parakompakter Hausdorff-Raum.

(a) Ist 0→ Ff−→ G

g−→ H → 0 exakt und ist F fein, so ist

0→ F (X)→ G(X)→H(X)→ 0 exakt.

(b) Fur jede Garbe G existiert eine feine Garbe F und eine Injektion G → F .Insbesondere existieren immer feine Auflosungen, d.h. Aufloesungen (Definition7.10.8), bei denen die aufloesenden Garben alle fein sind.

(c) Feine Garben sind azyklisch bezueglich des Schnittfunktors Γ.

Topologie 148

Insbesondere sind also Wolkenkratzergarben ueber parakompaktenHausdorff-Raumen azyklisch.

Beweis. (a) Es ist zu zeigen, dass Γ(g) surjektiv ist. Sei t ∈ H(X). Dann existiert eineUberdeckung (Ui) von X und si ∈ G(Ui) so dass g(si) = t|Ui . Da X parakompakt ist,konnen wir die Uberdeckung als lokal-endlich annehmen. Die Differenz

si j = si − s j

ist ein Schnitt von Kern Ker(g) F uber Ui ∩U j. Uber Ui ∩U j ∩Uk gilt

si j + s jk = sik.

Sei φi eine Familie von Endomorphismen von F Ker(g) assoziiert zu (Ui). Da derTrager von φ j in U j liegt, kann man φ j si j zu einem Schnitt in Ker(g)(Ui) ⊂ G(Ui)ausdehnen (durch Null). Sei

s′i =∑

j

φ j si j.

Dann ist s′i ∈ Ker(g)(Ui) und es gilt uber Ui ∩U j:

s′i − s′j =∑

k

φk sik −

∑k

φk s jk =∑

k

φk si j = si j.

Also folgtsi − s′i = s j − s′j

auf Ui ∩U j. Da g(s′i) = 0 und g(si) = t|Ui , definiert s(x) = (si − s′i)(x) fur x ∈ Ui einenglobalen Schnitt s von Gmit der Eigenschaft g(s) = t.

(b) Sei F eine Garbe. Wir zeigen, dass es eine exakte Sequenz 0→ F → J gibt, wobeiJ sowohl injektiv als auch fein ist. Sei J das Produkt aller WolkenkratzergarbenWx(Jx) wie konstruiert im Beweis der Existenz hinreichend vieler injektiver Garben.Sei (Ui)i∈I eine lokal-endliche Uberdeckung. Da J ein Produkt vonWolkenkratzergarben ist, existiert eine Familie (φi)i von Endomorphismen von J , diein jedem Punkt nur den Wert 0 oder Id annehmen mit supp Φi ⊂ Ui und

∑i φi = Id.

Also ist J fein. Es gibt eine offensichtliche Einbettung F → J , die man sofort sieht,wenn man die Etalgarben ansieht, also folgt (b).

(c) Sei nun F fein. Sei J wie oben und G der Quotient J/F , wir haben also eineexakte Sequenz 0→ F → J → G→ 0. Wir wissen bereits, dass J fein und injektiv

Topologie 149

ist. Wir wollen zeigen, dass auch G fein ist. Sei dazu (Ui)i eine offene Uberdeckungund sei (φi)i eine assoziierte Familie von Endomorphismen von F . Fur jedes x ∈ Xinduziert φi einen Endomorphismus φi,x von Fx. Da Fx → Jx und Jx injektiv ist, dehntdieser Endomorphismus zu einem Endomorphismus von Jx aus, den wir als Nullannehmen konnen, wenn φi,x = 0. Fur gegebenes x ∈ X gibt es nur endlich viele i mitφi,x , 0. Sei Ix diese endliche Menge von Indices. Sei i0 ∈ Ix und φi sei eine Fortzetzungvon φi nach Jx fur i ∈ Ix, i , i0. Fur den Index i0 wahlen wir dann die Fortsetzungφi,x = Id −

∑i,i0 φi,x. Wir erhalten eine Familie φi von Endomorphismen von J , die die

φi fortsetzen mit supp φi ⊂ Ui und∑

i φi = Id. Da die φi die Untergarbe F in sichabbilden, induzieren sie Endomorphismen des Quotienten G, der demzufolge auchfein ist.

Da J injektiv ist und damit Hp(J) = 0 ist fur p ≥ 1, zerfullt die langeKohomologiesequenz in die exakten Sequenzen:

0→ F (X)→ J(X)→ G(X)→ H1(F )→ 0

und0→ Hp(G)→ Hp+1(F )→ 0, p ≥ 1.

Nach Teil (a) impliziert die erste Sequenz, dass H1(F ) = 0. Indem man die exakteSequenz aus dem Satz durch die Sequenz 0→ F → F → 0→ 0 ersetzt, folgt sofort,dass fuer jede feine Garbe F die erste Kohomologie H1(F ) gleich Null ist.

Zurueck zur Situation des Satzes. Da G ebenfalls fein ist, ist auch H1(G) = 0. Induktivimpliziert damit die zweite Sequenz, dass Hp(F ) = 0 = Hp(G) fur jedes p ≥ 1.

7.13 Gruppenkohomologie

Sei G eine Gruppe. Sei Mod(Z[G]) die abelsche Kategorie aller Z[G]-Moduln. Fuereinen Z[G]-Modul M sei

MG =m ∈M : gm = m ∀g ∈ G

die Gruppe der G-invarianten Elemente. Dann definiert M 7→MG einen FunktorH0(G, ·) von Mod(Z[G]) in die Kategorie Mod(Z) der Z-Moduln, oder abelschenGruppen. Man macht sich leicht klar, dass dieser Funktor linksexakt ist. Die

Topologie 150

Rechtsableitungen dieses Funktors sind per Definitionem die Kohomologie-Gruppen:

Hp(G,M) = RpH0(G,M).

Sei X = EG die universelle Ueberlagerung eines klassifizierenden Raumes BG = G\X.Ein Z[G]-Modul M induziert eine lokalkonstante Garbe Garb(M) =M = G\(X ×M)ueber G\X. Sei Hp(G\X,M) die zugehorige Garbenkohomologie.

Satz 7.13.1. Es gibt eine natuerliche Isomorphie

Hp(G,M) Hp(G\X,M).

Beweis. Die Funktoren M 7→ Hp(G,M) bilden einen universellen δ-Funktor aufMod(Z[G]). Sei G(G\X) die Kategorie der Garben abelscher Gruppen auf G\X, so istF 7→ Hp(G\X,F ) ein universeller δ-Funktor auf G(G\X). Der Garbifizierungs-FunktorGarb : Mod(Z[G])→ G(G\X), der einem Modul M die lokalkonstante GarbeM = Garb(M) zuordnet, ist exakt. Daher ist M 7→ Hp(G\X,Garb(M)) ein δ-Funktor aufMod(Z[G]). Es bleibt die Universalitat zu zeigen. Dies tun wir wie ueblich ueber dieAusloschbarkeit der Hp fuer p ≥ 1. Fuer M ∈Mod(Z[G]) sei

IM =α : G→M

die abelsche Gruppe aller Abbildungen von G to M. Diese wird ein G-Modul durch

g.α(τ) = g(α(g−1τ)).

Die Abbildung, die m ∈M auf die konstante Abbildung mit Wert m wirft, ist eineEinbettung M → IM. Es bleibt daher zu zeigen, dass

Hp(G\X,Garb(IM)) = 0

fuer p ≥ 1. Sei π : X→ G\X die Projektion.

Lemma 7.13.2. Es giltGarb(IM) π∗KM,

wobei hierKM die konstante Garbe mit Halm M auf X bezeichnet.

Topologie 151

Beweis. Zu gegebenem x0 ∈ X existiert eine einfach zusammenhaengende, offeneUmgebung U ⊂ X, so dass U ∩ gU = ∅ fuer jedes 1 , g ∈ G gilt. Dann ist W = π(U)eine offene Umgebung von y = π(x). Sei E = X × IM der Etalraum der konstantenGarbeKIM, dann ist G\E = G\(X × IM) der Etalraum der Garbe Garb(IM).Definitionsgemaess ist Garb(IM)(W) die Menge aller stetigen Abbildungens : W → G\(X × IM) der Form s(Gx) = G(x, αx) fuer x ∈ U. Da Uwegzusammenhaengend ist und s stetig, haengt α = αx nur von U ab. Dieses α ist nunnach Definition von IM eine Abbildung α : G→M. Andererseits ist π∗KM(W) dieMenge aller stetigen Abbildungen t : π−1(W) = GU→M. Da π−1(W) die disjunkteVereinigung der Mengen gU mit g ∈ G ist, und wieder da U wegzusammenhangendist, ist jedes solche t auf jeder Komponente gU konstant, definiert also eine Abbildungαt : G→M, g 7→ t(gx0). Die Abbildung t 7→ αt ist ein Isomorphismusπ∗KM(W)

−→ Garb(IM)(W). Damit sind diese beiden Garben isomorph.

Wir zeigen nun, dass π∗KM azyklisch ist. Hierzu beachte, dass der Funktorπ∗ : G(X)→ G(G\X) exakt ist. Dies liegt an den speziellen Eigenschaften derProjektion π : X→ G\X, denn ist F eine Garbe ueber X und ist x ∈ X, dann ist derHalm von π∗F ueber dem Bildpunkt π(x) gleich

π∗Fπ(x) =∏

y∈X:π(y)=π(x)

Fy.

Da eine Sequemz von Garben genau dann exakt ist, wenn ihre Halmsequenzen exaktsind, folgt hieraus die Exaktheit von π∗.

Ferner hat π∗ die bemerkenswerte Eigenschaft, dass fuer jede Garbe F auf X gilt

H0(π∗F ) = H0(F ),

wobeiH0 der Schnittfunktor ist (links uber G\X, rechts ueber X. Wir waehlen einespezielle injektive Aufloesung vonKM, naemlich eine durch Produkte vonWolkenkratzergarben (mit injektiven Halmen).

0→ KM → I0→ I1

→ . . .

Deren Bilder π∗(Ip) unter π∗ sind dann wieder Produkte von Wolkenkratzergarben(mit injektiven Halmen). Da π∗ exakt ist, ist also

0→ π∗KM → π∗I0→ π∗I1

→ . . .

Topologie 152

eine injektive Aufloesung von π∗KM. Es folgt

Hp(G\X, π∗KM) = Hp(H0(π∗I•)) = Hp(H0(I•)) = Hp(X,KM)

Die rechte Seite ist aber Null fuer p ≥ 1, wie aus Satz 8.2.1 im nachsten Kapitel und derZusammenziehbarkeit von X folgt.

8 Vergleich verschiedener Kohomologietheorien

8.1 De Rham Kohomologie

Sei X eine glatte (C∞) Mannigfaltigkeit und sei R = R. Fur p = 0, . . . ,dim X und eineoffene Menge U ⊂ x ist die Menge Ωp(U) der p-Differentialformen ein R-Vektorraum.Die Abbildungen U 7→ Ωp(U) bilden eine Garbe Ωp. Hier ist Ω0 die Garbe der glattenFunktionskeime. Diese enthalt die konstante GarbeKR als Untergarbe.

Satz 8.1.1. Die Sequenz

0→ KR → Ω0 d−→ Ω1 d

−→ . . .

ist eine feine Auflosung der konstanten GarbeKR. Also folgt

HpdRh(X) = Hp(X,R),

wobei wir Hp(X,R) = Hp(X,KR) schreiben.

Beweis. Der Ana 4 Vorlesung entnehmen wir:

Lemma 8.1.2 (Poincare Lemma). Sei U ⊂ Rn offen und sternformig und ω eine in U stetigdifferenzierbare geschlossene k-Form, k ≥ 1. Dann ist ω exakt.

Hieraus folgt die Exaktheit der Sequenz. Nach Beispiel 7.12.5 sind die Garben Ωp

fein.

Topologie 153

8.2 Singulare Kohomologie

Sei X ein beliebiger topologischer Raum. Fur offenes U ⊂ x seiCp(U,R) = Hom(Cp(U),R) die Menge aller singularen Koketten mit Werten in R. FurV ⊂ U sei resU

V : Cp(U,R)→ Cp(V,R) die offensichtliche Einschrankung. damit bildendie Cp(U,R) eine Pragarbe. Der Korandoperator d : Cp(U,R)→ Cp+1(U,R) kommutiertmit den Restriktionen, definiert also einen Pragarbenhomomorphismus Cp

→ Cp+1. SeiC

p die Garbifizierung von Cp. Dann ist C0 die Garbe aller Funktionen mit Werten in R.Sie enthalt die konstante GarbeKR als Untergarbe.

Satz 8.2.1. Sei X parakompakt und lokal zusammenziehbar. Die Sequenz

0→ KR → C0 d−→ C

1 d−→ . . .

ist eine feine Auflosung der konstanten GarbeKR. Also folgt

Hpsing(X,R) = Hp(X,R).

Beweis. Fur die Exaktheit bei C0 reicht es zu zeigen, dass Fur jedes x ∈ X eine offeneUmgebung U existiert, so dass die SequenzKR(U)→ C0(U,R)→ C1(U,R) exakt ist.Dazu wahle U wegzusammenhangend und sei α ∈ Ker(d), also α : U→ R mitα(γ(0)) = α(γ(1) Fur jeden Weg γ in U. Da U wegzusammenhangend ist, ist αkonstant, also inKR(U). Die Exaktheit an den anderen Stellen folgt aus der lokalenZusammenziehbarkeit, da zusammenziehbare Mengen triviale singulareKohomologie haben.

Bleibt zu zeigen, dass die Garben Cp fein sind. Dafur sei (Ui) eine lokal-endlicheUberdeckung. wahle Funktionen ui : X→

0, 1

mit supp ui ⊂ Ui und

∑i ui = 1.

Definiere einen Endomorphismus φi von Cp(U,R) durch

φi( f )(σ) = ui(σ(t0)) f (σ),

wobei σ : ∆p→ U stetig und t0 ∈ ∆p ein fest gewahlter Punkt ist. Diese

Endomorphismen vertauschen mit Restriktionen und definieren alsoGarbenendomorphismen von Cp mit suppφi ⊂ Ui und

∑i φi = Id.

Topologie 154

8.3 Cech-Kohomologie

In diesem Abschnitt sei X ein parakompakter Hausdorffraum.

Lemma 8.3.1. Sei X ein parakompakter Hausdorffraum.

(a) Sei U ⊂ X offen, Z ⊂ X abgeschlossen mit Z ⊂ U. Dann existiert eine offene Menge V mit

Z ⊂ V ⊂ V ⊂ U.

(b) Fur jede lokal-endliche Uberdeckung (Ui)i∈I existiert eine Verfeinerung (Vi)i∈I, so dass Furjedes i ∈ I gilt Vi ⊂ Ui.

Beweis. (a) Sei A die abgeschlossene Menge A = X rU. Wir betrachten zunaechst denFall Z =

z. Fur jedes a ∈ A existiert dann nach dem Hausdorff-Axiom eine offene

Umgebung Wa mit z < Wa. Dann ist (Wa)a∈A ∪U

eine offene Uberdeckung von X.

Wegen der Parakompaktheit gibt es eine lokal-endliche Verfeinerung (W j) j∈J ∪U,

wobei wir voraussetzen konnen, dass es zu jedem j ∈ J ein a ∈ A gibt mit W j ⊂Wa. SeiV eine offene Umgebung von z, die nur endlich viele W j trifft. Seien W1, . . . ,Wn diese,dann ist

V = V − (W1 ∪ · · · ∪Wn)

eine offene Umgebung von z, die die Behauptung erfuellt.

Sei nun Z beliebig. Nach dem ersten Teil des Beweises gibt es zu jedem z ∈ Z eineoffene Umgebung Vz mit

z ∈ Vz ⊂ Vz ⊂ U.

Daher ist (Vz)z∈Z ∪X r Z

eine offene Uberdeckung von X. Es gibt dann eine

lokal-endliche Verfeinerung (Vi)i∈I ∪X r Z

, wobei zu jedem i ∈ I ein z ∈ Z existiert

mit Vi ⊂ Vz. Aus der lokal-Endlichkeit folgt⋃i∈I

Vi =⋃i∈I

Vi.

Sei V =⋃

i∈I, so ist V offen und es gilt

Z ⊂ V ⊂ V =⋃

i

Vi ⊂ U.

Topologie 155

Fur (b) sei nun (Ui)i∈I eine lokal-endliche Uberdeckung. Sei S die Menge aller Familienoffener Mengen (Vi)i∈J, wobei J ⊂ I und Vi ⊂ Ui, so dass (Vi)i∈J ∪ (Ui)i∈IrJ eineUberdeckung von X ist. Auf S installiere die partielle Ordnung

(Vi)i∈J ≤ (Vi)i∈ J ⇔ J ⊂ J, Vi = Vi ∀i ∈ J.

Nach Zorns Lemma existiert ein maximales Element (Vi)i∈J. Wir behaupten J = I.Angenommen, dies ist nicht der Fall. Sei dann i0 ∈ I r J. Sei

Z = X r

⋃i∈J

Vi ∪

⋃i,i0

i∈IrJ

Ui

Dann ist Z abgeschlossen und da die Vi und Ui eine Uberdeckung bilden, ist Z ⊂ Ui0 .nach (a) existiert damit eine offene Teilmenge Vi0 ⊂ X mit Z ⊂ Vi0 ⊂ Vi0 ⊂ Ui. Damitkann J um i0 vergroßert werden, die Familie war also nicht maximal und dieBehauptung folgt.

Definition 8.3.2. Sei X ein parakompakter Hausdorffraum. SeiU = (Ui)i∈I eine offeneUberdeckung von X. Ein Tupel (U0, . . . ,Uq) von Mengen der Uberdeckung heißt einCech-q-Simplex oder in diesem Abschnitt einfach q-Simplex. Ist σ = (U0, . . . ,Uq) einq-Simplex, so ist |σ| = U0 ∩ · · · ∩Uq sein Trager. Die i-te Seite eines q-Simplex σ ist derq − 1-Simplex

σi = (U0, . . . Ui . . . ,Uq).

Sei F eine Garbe ueber X und sei Cq(U,F ) die Menge aller Abbildungen f , die jedemq-Simplex σ ein Element von F (|σ|) zuordnen. Beachte hierbei, dass stets F (∅) = 0 gilt.Die Elemente von Cq(U,F ) heißen q-Koketten. Definiere

d : Cq(U,F ) → Cq+1(U,F )

durch

d f (σ) =

q+1∑i=0

(−1)i res|σi|

|σ|f (σi).

Es gilt d2 = 0, also erhalt man einen Kokettenkomplex, dessen Kohomologie man mitH

p(U,F ) bezeichnet. Ist φ : F → G ein Garbenhomomorphismus, so erhalt man

einen Morphismus von Kokettenkomplexen C•(U,F )→ C•(U,G) und also einenMorphismus H

q(U,F )→ H

q(U,G). Damit ist H

q(U, ·) ein Funktor von der Kategorie

Topologie 156

der Garben auf X zur Kategorie der abelschen Gruppen.

Ein Element f von C0(U,F ) ordnet jedem Ui einen Schnitt si ∈ F (Ui) zu. Ist d f = 0, sofolgt

0 = d f (Ui,U j) = f (U j)|Ui∩U j − f (Ui)|Ui∩U j ,

also gilt dann si|Ui∩U j = s j|Ui∩U j , woraus nach der globalen Existenz folgt, dassf (Ui) = s|Ui gilt Fur einen globalen Schnitt s ∈ F (X). nach der lokalen Eindeutigkeit ists hierdurch eindeutig bestimmt, also

H0(U,F ) H0(F ,X).

Sei nunV eine Verfeinerung der UberdeckungU. Dann gibt es eine Abbildungµ :V →U so dass V ⊂ µ(V) gilt Fur jedes V ∈ V. Fur einen q-Simplex σ = (V0, . . . ,Vq)der UberdeckungV ist µ(σ) = (µ(V0), . . . , µ(Vq)) ein q-Simplex der UberdeckungU.Diese µ induziert eine Kettenabbildung µq : C•(U,F )→ C•(V,F ) definiert durch

µq( f )(σ) = res|µ(σ)||σ|

f (µ(σ)).

Diese Kokettenabbildung liefert einen Homomorphismus

µ∗q : Hq(U,F ) → H

q(V,F ).

Lemma 8.3.3. Ist τ :V →U eine weitere Verfeinerungsabbildung, so gilt

τ∗q = µ∗q.

Beweis. Wir konstruieren eine Homotopie. Ist (σ = (V0, . . . ,Vq−1) ein (q − 1)-Simplex, sosetze

σ j = (µ(V0), . . . , µ(V j), τ(V j), . . . , τ(Vq−1)).

Definiere hq : Cq(U,F )→ Cq−1(V,F ) durch

hq( f )(σ) =

q−1∑j=0

(−1) j res|σ j|

|σ|f (σ j).

Mit derselben Rechnung wie im Beweis von Satz 4.3.8 (Homotopie-Invarianz derHomologie) rechnet man nach

hq+1d + dhq = τq − µq,

Topologie 157

damit folgt die Behauptung nach Lemma 4.3.4.

Fur zwei offene UberdeckungenU undV schreiben wirU <V wennV eineVerfeinerung vonU ist. Die Menge aller offenen Uberdeckungen ist eine gerichteteMenge mit der Relation <. IstU <V, so haben wir gerade gezeigt, dass es einenkanonischen Homomorphismus H

q(U,F )→ H

q(V,F ) gibt. Damit bilden die

R-Moduln (Hq(U,F ))U ein gerichtetes System. Wir definieren

Hq(X,F ) = lim

−−→U

Hq(U,F ).

Satz 8.3.4. (Hq)q ist ein universeller δ-Funktor auf der Kategorie ModR(X). Es folgt

Hq(X,F ) Hq(X,F ).

Sei 0→ F → G → H → 0 eine exakte Sequenz von Garben und seiU eine offeneUberdeckung von X. Dann ist die Sequenz

0→ Cq(U,F )→ Cq(U,G)→ Cq(U,H)

exakt. Sei Cq(U,H) das Bild von Cq(U,G) in Cq(U,H), dann ist also die Sequenz

0→ Cq(U,F )→ Cq(U,G)→ Cq(U,H)→ 0

exakt. So erhalt man eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen

0→ C•(U,F )→ C•(U,G)→ C•

(U,H)→ 0.

SeiV eine Verfeinerung vonU. Eine gegebene Verfeinerungsabbildung µ :V →Uliefert ein kommutatives Diagramm

0 // C•(U,F ) //

µ

C•(U,G) //

µ

C•

(U,H) //

µ

0

0 // C•(V,F ) // C•(V,G) // C•

(V,H) // 0.

Topologie 158

Dies liefert ein kommutatives Diagramm von Kohomologiegruppen

. . . // Hq−1

(U,H)s δ //

Hq(U,F ) //

Hq(U,G) //

Hq(U,H) //

. . .

. . . // Hq−1

(V,H) δ // Hq(V,F ) // H

q(V,G) // H

q(V,H) // . . .

Der ubergang zum direkten Limes gibt eine lange exakte Sequenz

· · · → Hq−1

(X,H) δ−→ H

q(X,F )→ H

q(X,G)→ H

q(X,H)→ . . .

Lemma 8.3.5. Es gilt Hq(X,H) H

q(X,H).

Beweis. Es reicht zu zeigen, dass es zu jeder gegebenen lokal-endlichen UberdeckungU und zu jedem gegebenen f ∈ Cq(U,H) eine Verfeinerung O eineVerfeinerungsabbildung µ : O → U gibt, so dass µ( f ) ∈ C

q(O,H). Seien also eine

offene UberdeckungU = (Ui)i∈I und ein f ∈ Cq(U,H) gegeben. Nach Lemma 8.3.1existiert eine offene UberdeckungV = (Vi)i∈I mit Vi ⊂ Ui Fur jedes i ∈ I. Fur jedesx ∈ X gibt es eine offene Umgebung Ox mit

• Ox ⊂ Vi Fur ein i ∈ I,

• ist Ox ∩ Vi , ∅, dann ist Ox ⊂ Ui.

• Ox liegt in dem Schnitt aller Ui, die x enthalten,

• Ist σ ein q-Simplex der UberdeckungU und ist x ∈ |σ|, (also Ox ⊂ |σ|), dann istres|σ|Ox

f (σ) das Bild eines Schnittes von G ueber Ox.

Die letzte Bedingung ist erfuellbar, da es nur endlich viele q-Simplizes zurUberdeckungU gibt, die x enthalten. Die Uberdeckung (Ox)x∈X ist unser Kandidat.Fur jedes x ∈ X wahle ein Vx ∈ V und Ux ∈ U mit Ox ⊂ Vx ⊂ Vx ⊂ Ux. Wir erhaltenalso eine Verfeinerungsabbildung µ : O → U. Sei nun σ = (Ox0 , . . . ,Oxq) ein q-Simplexder Uberdeckung O. Dann ist Ox0 ∩ Vxi , ∅ Fur 0 ≤ i ≤ q, also folgt Ox0 ⊂ Uxi . Damit

Topologie 159

also Ox0 ⊂ Ux0 ∩ . . .Uxq = |µ(σ)|. Daher

µ( f )(σ) = res|µ(σ)||σ|

f (Ux0 , . . . ,Uxq)

= resOx0|σ|

res|µ(σ)|Ox0

f (Ux0 , . . . ,Uxq)︸ ︷︷ ︸∈G(Ox0 )︸ ︷︷ ︸

∈G(|σ|)

.

Daher also µ( f ) ∈ Cq(O,H).

Damit ist die obige lange exakte Sequenz die in der Definition eines δ-Funktorsverlangte. Die Funktorialitat des δ-Morphismus ist auf Niveau der Cq(U,F ) klar undfolgt dann auch Fur den direkten Limes.

Es folgt, dass H ein δ-Funktor ist. Fur die Universalitat zeigen wir, dass Hq

ausloschbar ist Fur q ≥ 1. Nach Satz 7.12.6 reicht hierFur das folgende Lemma.

Lemma 8.3.6. Ist F fein, so gilt Hq(X,F ) = 0 Fur jedes q ≥ 1.

Beweis. Sei q ≥ 1. Es reicht zu zeigen Hq(U,F ) = 0 Fur jede lokal-endliche

UberdeckungU = (Ui)i∈I. Sei (φi) eine assoziierte Familie von Endomorphismen vonF mit suppφi ⊂ Ui und

∑i φi = 1. Wir zeigen, dass die Identitat auf C•(U,F )

nullhomotop ist. Hierzu konstruieren wir Abbildungen hp : Cq(U,F )→ Cp−1(U,F )Fur jedes p ≥ 1. Sei f ∈ Cp(U,F ) und sei σ = (U0, . . . ,Up−1) ein (p − 1)-Simplex derUberdeckungU. Dann hat φi f (Ui,U0, . . . ,Up−1) Trager in Ui ∩U0 ∩ · · · ∩Up−1. Indemwir es durch Null ausdehnen, konnen wir also φi f (Ui,U0, . . . ,Up−1) zu einem Schnittueber U0 ∩ . . . ,∩Up−1 fortsetzen. Definiere

hp( f )(σ) =∑

i

φi ( f (Ui,U0, . . . ,Up−1)).

Dann folgtd hp + hp+1 d = Id

Fur p ≥ 1. Das Lemma folgt. Damit folgt auch der Satz.

Definition 8.3.7. Eine UberdeckungU von X heißt Leray-Uberdeckung Fur die GarbeF , falls Fur jeden q-simplex σ = (U0, . . . ,Uq) die Garbe F ||σ| azyklisch ist, wobei|σ| = U0 ∩ · · · ∩Uq.

Topologie 160

Beispiel 8.3.8. Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit. Nach dem Poincare Lemma ist diekonstante Garbe R azyklisch auf jeder offenen Teilmenge U ⊂ X, die diffeomorph istzu Rn. daher besitzt X lokal-endliche Leray-Uberdeckungen. Ist X kompakt, besitzt essogar eine endliche Leray-Uberdeckung.

Satz 8.3.9. IstU eine Leray-Uberdeckung Fur die Garbe F , dann ist die natuerlicheAbbildung

Hp(U,F ) → H

p(X,F )

ein Isomorphismus.

Beweis. Bette F in eine injektive Garbe J ein und sei G der Kokern, also haben wireine exakte Sequenz

0→ F → J → G→ 0.

DaU eine Leray-Uberdeckung ist, ist Fur jeden q-Simplex σ die Sequenz

0→ F (|σ|)→ J(|σ|)→ G(|σ|)→ 0

exakt. Wir erhalten eine exakte Sequenz von Cech Komplexen

0→ C•(U,F )→ C•(U,J)→ C•(U,G)→ 0.

Hieraus ergibt sich eine lange exakte Kohomologiesequenz. Zusammen mit demHomomorphismus in die Cech-Kohomologie erhalten wir folgende kommtativenDiagramme mit exakten Zeilen:

0 // H0(U,F ) //

H0(U,J) //

H0(U,G) //

H1(U,F ) //

0

0 // H0(X,F ) // H

0(X,J) // H

0(X,G) // H

1(X,F ) // 0

und Fur p ≥ 1:

0 // Hp(U,G) //

Hp+1

(U,F ) //

0

0 // Hp(X,G) // H

p+1(X,F ) // 0.

Topologie 161

Im ersten Diagramm sind die ersten drei senkrechten Pfeile Isomorphismen, also auchder dritte. Im zweiten Diagramm konnen wir uns hochschaukeln, wenn wir wissen,dassU auch Fur die Garbe G eine Leray-Uberdeckung ist. Nun istU sowohl Fur Fals auch Fur J (injektiv) eine Leray-Uberdeckung, dann folgt mit der langen exaktenKohomologiesequenz, dass es auch Fur G eine Leray-Uberdeckung ist.

Anwendungsbeispiel Fur Cech-Kohomologie

Cousin-Problem: Sei X ⊂ Cn offen und sei (Ui) eine offene Uberdeckung. EineFunktion f : X→ C heißt holomorph, falls fur jedes z ∈ X und jedes 1 ≤ j ≤ n dieAbbildung w 7→ f (z1, . . . , z j−1,w, z j+1, . . . zn) holomorph ist in eine Umgebung von z j.

Eine meromorphe Funktion auf X ist eine Abbildung f : X→ C ∪∞

, so dass fur jedes

z ∈ X eine offene Umgebung U und holomorphe Funktionen h1, h2 auf U existieren mith2 , 0 und

f |U =h1

h2.

Sei Hol(X) die Menge der holomorphen Funktionen auf X und Mer(X) die Menge dermeromorphen Funktionen.

Sei eine offene Uberdeckung (Ui) von X gegeben. Ferner seien meromorpheFunktionen fi ∈Mer(Ui) gegeben mit fi − f j ∈ Hol(Ui ∩U j).

Frage: Gibt es f ∈Mer(X) so dass f − fi ∈ Hol(Ui) fur jedes i?

Es bezeichne Hol die Garbe der holomorphen Funktionskeime, sowie Mer die dermeromorphen. Sei C die Quotientengarbe Mer/Hol, dann hat man eine exakteSequenz

0→ Hol→Mer→ C→ 0.

Eine Familie ( fi) wie oben ist ein Element von C0(U,Mer) mit d( f ) ∈ C1(U,Hol),definiert also ein Element von H

0(U,C). Die obige Frage ist also aquivalent zur Frage,

ob die AbbildungH

0(U,Mer)→ H

0(U,C)

surjektiv ist. Dies ist richtig, falls H1(U,Hol) = 0.

IndexR-Algebra, 100δ-Funktor, 141n-Rander, 45n-Zykel, 45n-Simplex, 35n-dimensionale Skelett, 31Aquivalenz von Kategorien, 123Uberdeckung, 10Uberlagerung, 21

Abbildungsgrad, 64abelsche Kategorie, 83abgeschlossen, 8abgeschlossener Punkt, 121Abschluss, 8additive Kategorie, 83additiver Funktor, 85Aequivalenz von Kategorien, 80Algebrenhomomorphismus, 100Auflosung, 134ausloschbar, 142azyklisch, 138azyklische Auflosung, 138

Bildgarbe, 120

Cech-q-Simplex, 155Co-Faserprodukt, 14co-kartesisch, 76Cofaserprodukt, 76Coprodukt, 74Cup- Produkt, 98

de Rham Kohomologie, 86Decktransformation, 28Deformation, 50

Deformationsretrakt, 50degenerierten singularen Simplex, 57dicht, 72Differentiale, 136direkte Bild, 125direkte Limes, 114direkte Summe, 112diskontinuierlich, 27diskrete Topologie, 4divisibel, 133dominanten, 72Dualisierung, 78Durchmesser, 58

Ecken, 35einfach zusammenhangend, 21Einhangung, 33endliche Schnitteigenschaft, 10entgegengesetzte Kategorie, 70Epimorphismus, 72erweitert um eine n-Zelle, 30Etalgarbe, 120Etalgarbenhomomorphismus, 122Etalraum, 122exakt, 45, 124exakte Sequenz, 45exakter Funktor, 86, 135externe Cup-Produkt, 104

Faserprodukt, 7, 75feine Garbe, 146Finaltopologie, 11fixpunktfrei, 27frei, 27frei homotop, 33

162

Topologie 163

freie abelsche Gruppe, 128freie abelsche Gruppe zur Basis S, 39freie Auflosung, 88Fundamentalgruppe, 19Funktionskeime, 114Funktor, 77

Garbe, 111Garbenhomomorphismus, 112Garbenkohomologie, 145Garbenkokern, 120Garbifizierung, 119genugend viele Injektive, 133genugend viele Projektive, 133generischer Punkt, 147geometrische Realisierung, 35gerichtete Menge, 113gerichtetes System, 114geschlossen, 18globale Schnittfunktor, 131globaler Schnitt, 110Grad, 22, 100graduiert kommutativ, 101graduierte Algebra, 100graduierte Produkt, 104graduierte Tensorprodukt-Algebra, 104Gruppenring, 127

Halm, 116, 121Hausdorff-Raum, 9holomorph, 161homoomorph, 6Homoomorphismus, 6homogen, 100Homologie, 45Homomorphismus von uberlagerungen,

22

Homomorphismus vonKettenkomplexen, 45

Homomorphismus von Komplexen, 136homotop, 33, 47, 55, 71homotop mit festen Enden, 18homotopie- aquivalent, 34Homotopie-Aquivalenz, 33Homotopie-Aequivalenz, 47Homotopie-Funktor, 77Homotopie-Kategorie, 71

initiales Objekt, 81Initialtopologie, 14injektiv, 73, 133injektive Aufloesung, 135inverse Bild, 125Isomorphismus, 71Isomorphismus von Kategorien, 78

kartesisch, 75Kategorie, 70Kern, 82ketten-nullhomotop, 46Kettenkomplex, 45klassifizierender Raum, 36Kohomologie, 136Kohomologiegruppe, 87Kohomologiering, 99Kohomologietheorie, 105Kokern, 82Kokettenabbildung, 86, 93kombinatorischer Simplizialkomplex, 35Kommutatorgruppe, 66kompakt, 10Komplex, 136kontravarianter, 77Korander, 87

Topologie 164

Korandabbildung, 87Kozykel, 87

Leray-Uberdeckung, 159Lift, 22linksadjungiert, 125linksexakt, 135lokal einfach zusammenhangend, 24lokal-endliche Uberdeckung, 145lokal-wegzusammenhangend, 24lokalkompakt, 16lokalkonstant, 110lokalkonstante Garbe, 127

meromorphe Funktion, 161Metrik, 4metrischer Raum, 4Monomorphismus, 73Morphismen, 70Morphismus kurzer exakter Sequenzen,

140Morphismus von Pragarben, 111

naturliche Transformation, 105naturliche Transformation von

Kohomologietheorien, 106natuerliche Transformation, 79natuerlicher Isomorphismus, 79Nullmorphismus, 82Nullobjekt, 82

Objekte, 70offene Uberdeckung, 10offene Ball, 4offene Mengen, 4offene Umgebung, 9offenen Rechtecken, 5

Paar-Abbildung, 55

parakompakt, 145Praegarbe, 110Prisma Operator:, 48Produkt, 74Produkttopologie, 5Projektion, 121projektives Objekt, 132punktierte Kategorie, 82punktierten Raume, 70

Quasiinverse, 123Quotiententopologie, 12

Randoperator, 39, 42Raumpaar, 52rechtsadjungiert, 125regular abgeschlossen, 50relativ kompakt, 16relativen Homologiegruppen, 53relativer Rand, 53relativer Zykel, 53Restriktionsabbildungen:, 110

Schnitte, 110Schnittfunktor, 131Seitenabbildung, 42separiert, 9simpliziale Homologie, 40Simplizialkomplex, 35singulare Homologie, 42singulare Kohomolohie, 87singularen Koketten, 87singularer n-Simplex, 41spaltend, 91spaltet, 91standard n-Simplex, 41stetig, 5stetig operiert, 28

Topologie 165

surjektiv, 72

Teiluberdeckung, 10Teilraumtopologie, 5Tensorprodukt, 103terminales Objekt, 81Topologie, 4topologischer Raum, 4Trager, 146, 155transitiv, 28treu, 78triviale Topologie, 4trivialisierende Umgebung, 21

Umgebung, 9universelle uberlagerung, 24universellen Eigenschaft, 7universeller δ-Funktor, 141Untergarbe, 113Unterkategorie, 71

Vektorfeld, 65Verbindungshomomorphismen, 92Verfeinerung, 145Vergiss-Funktor, 77Verklebung, 13voll, 78volle kombinatorische

Simplizialkomplex, 36volle Unterkategorie, 72volltreu, 78von E erzeugte Topologie, 5

Wegkomponente, 23Wegzusammenhangskomponente, 23welk, 145

Zelle, 30zellular, 31

Zerlegung der Eins, 146zusammenziehbar, 34