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Informatik I - Tutorium� Wintersemester 2007/08 �

Christian Jülg

http://infotut.blogspot.com

03. Dezember 2007

Universität Karlsruhe (TH)Forschungsuniversität · gegründet 1825

Quellennachweis & Dank an:Susanne Dinkler, Bernhard Müller, Joachim Wilke

http://infotut.blogspot.com

Orga Blatt 4 Java Schleifeninvariante Nützliches / Gefährliches Halbgruppen und Monoide Abschluss Ende

Übersicht

1 Organisatorisches

2 Übungsblatt 4

3 Java

4 Schleifeninvariante

5 Nützliches / Gefährliches

6 Halbgruppen und Monoide

7 AbschlussFeedback

Informatik I - Tutorium Christian Jülg


1 Organisatorisches

2 Übungsblatt 4

3 Java




7 AbschlussFeedback



Wenn doch noch Fragen auftauchen...

Kontakt

Kontakt: [email protected]

Homepage: http://infotut.blogspot.com

bitte beachten:

Im Betre� der Emails [08] einfügen!



1 Organisatorisches

2 Übungsblatt 4

3 Java




7 AbschlussFeedback



Übungsblatt 5

Kurzer Rückblick...



Übungsblatt 5

Kurzer Rückblick...

Fragen?



Organisatorisches

Rechnerübung

Nächste normale RÜ mit Anmeldung am Di, 04.12. im RZ, Pool B- aber nur wenn es Anmeldungen gibt. Anmeldung per Email oderdirekt im Tut.



1 Organisatorisches

2 Übungsblatt 4

3 Java




7 AbschlussFeedback



Zufall

Math.random()

erzeugt double Werte im Bereich 0 ≤ d < 1

für Ganzzahlen zwischen 0 und 2: int i = Math.random()* 3

liefert nur Pseudo-Zufallszahlen⇒ sind bei gleichem �Seed� deterministisch

für mehr Kontrolle: java.util.Random

für mehr Sicherheit: java.security.SecureRandom

Für weitere Infos: Google �site:java.sun.com Math.random�



Genauigkeit

Datentyp

byte

short

int

long

bool

float

double

Werte

-128 bis 127

-32.768 bis 32.767

-2147483648 bis 2147483647

-9.223.372.036.854.775.808 bis

9.223.372.036.854.775.807

true oder false

Im Bereich ±10±38Im Bereich ±10±308



Genauigkeit

Listing 1: precision of �oat1 class Precision{2 public static void main(String cmd []){3 int max = Integer.MAX_VALUE;4 int almostMax = 2147483000;5 System.out.println(max);6 System.out.println (( float)max);7 int diff = max -almostMax;8 System.out.println(diff); //647

9 float fdif = (float)max -almostMax;10 System.out.println(fdif); //640.0

11 }12 }



Trugschluss bei call-by-reference

Listing 2: fallacy1 class CallBy{2 static void m(String in){3 in += " nochwas";}4 static void n(Object o){5 o = new Object ();}6 public static void main(String cmd []){7 String input="A text.";8 System.out.println(input);9 m(input);10 System.out.println(input);//same text

11 Object obj = new Object ();12 System.out.println(obj);13 n(obj);14 System.out.println(obj);//same object

15 }16 }



Arrays

Was wisst ihr zu dem Thema?



Arrays


wie sehen Deklaration und Initialisierung aus?



Arrays



geht das auch anders?



Arrays




wie sieht es mit default-Werten aus?



Arrays




wie sieht es mit default-Werten aus?

wie werden mehrdimensionale Arrays benutzt?



Und nochmal...

Ein Syntaxdiagramm muss...1 ... allgemein verständliche Terminale nicht enthalten.2 ... so gezeichnet werden, dass die Leserichtung eindeutig ist.3 ... nur die selbe Sprache erzeugen, um passend zu einer EBNF

zu sein.

for-Schleifen in Java ...1 ... sind wenn möglich stets while vorzuziehen.2 ... braucht man nicht unbedingt, es reicht while.3 ... können mit break abgebrochen werden.

Variablen in Java ...1 ... können während der Laufzeit durch zB. (long) c += 1;

ihren Datentyp wechseln.2 ... verlangen bei Division stets nach einem Flieÿkommatyp.3 ... rechnen Punkt vor Strich.



1 Organisatorisches

2 Übungsblatt 4

3 Java




7 AbschlussFeedback



Schon wieder Mathe...

Schleifenin...was???

Schleifeninvarianten. . .

sind Aussagen, die am Anfang und am Ende einesSchleifendurchlaufs gelten.

helfen, die Korrektheit eines Programmes zu beweisen.

beweist man meist durch vollständige Induktion.



Vollständige Induktion tut nicht weh...

Ihr seid dran...

Wer kennt das Beweisverfahren der vollständige Induktion ?

Erklärt den �Unwissenden� das Verfahren...

Wer kennt das Verfahren nicht?

Hört gespannt zu...



Vollständige Induktion tut nicht weh...

Ihr seid dran...

Ihr kennt das Beweisverfahren der vollständige Induktion ...Erklärt den �Unwissenden� das Verfahren...

Ihr kennt das Verfahren nicht...Hört gespannt zu...



Beweisverfahren der vollständigen Induktion

Die Theorie

Der Beweis erfolgt in folgenden Schritten:1 Induktionsanfang: Die Aussage wird für n = n0 gezeigt2 Induktionsvorraussetzung: Die Aussage sei für ein n wahr.3 Induktionsschritt: Aus dem Schluÿ von n auf n + 1 folgt, dass

die Aussage für alle natürlichen Zahlen n > n0 gilt.




Die Theorie

Der Beweis erfolgt in folgenden Schritten:1 Induktionsanfang: Die Aussage wird für n = n0 gezeigt2 Induktionsvorraussetzung: Die Aussage sei für ein n wahr.3 Induktionsschritt: Aus dem Schluÿ von n auf n + 1 folgt, dass

die Aussage für alle natürlichen Zahlen n > n0 gilt.

Ein Beispiel:

Beweise durch vollständig Induktion 1+ 3+ 5+ ... + (2n− 1) = n2:




Ein Beispiel:

Beweise durch vollständig Induktion 1 + 3 + 5 + ... + (2n− 1) = n2:

IA: n = 1: 1 = 12 = 1 ist erfüllt




Ein Beispiel:


IA: n = 1: 1 = 12 = 1 ist erfüllt

IV: 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 gilt für ein n ∈ N




Ein Beispiel:


IA: n = 1: 1 = 12 = 1 ist erfüllt

IV: 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 gilt für ein n ∈ NIS:

1 + 3 + 5 + ... + (2(n + 1)− 1)

= 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1)

= 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) + (2n + 1)

IV= n2 + 2n + 1

= (n + 1)2



Aufgabe

int a = In.readInt();int b = In.readInt();

if (a > b) {int h = a;a = b;b = h;

}

int z = b;int i = 1;

while ((z % a) != 0){ /*1*/z += b; /*2*/i++; /*3*/

}

Beweist oder widerlegt diefolgendenen Aussagen:

1 z = b · i ist eineSchleifeninvariante für diewhile-Schleife

2 LCM(a, b) = LCM(a, z) isteine Schleifeninvariante fürdie while-Schleife

3 Die while-Schleifeterminiert

Hinweise: Verwende geeigneteZusicherungen an den Positionen1,2 und 3.



Lösung Aufgabe 1


if (a > b) {int h = a;a = b;b = h;

}


while ((z % a) != 0){ /*1*/z += b; /*2*/i++; /*3*/

}

Induktionsanfang: n = 1Zu Beginn des 1. Schleifendurchlaufs:z1 = b = b · 1 = b · i1

√

Induktionsannahme:

Beim n-ten Durchlauf gelte beiSchleifenbeginn (/*1*/): zn = b · inInduktionsschluss: (n→ n + 1)Es gelten folgende Zusicherungen:

/*1*/ zn = b · in./*2*/ zn+1 = zn + b.

/*3*/ in+1 = in + 1.

Also gilt:

zn+1 = zn + b = b · in + b

= b · (in + 1) = b · in+1



Lösung Aufgabe 1 (Fortsetzung)


if (a > b) {int h = a;a = b;b = h;

}


while ((z % a) != 0){ /*1*/z += b; /*2*/i++; /*3*/

}

Die Schleifeninvariante gilt alsoam Ende des n-ten Durchlauf unddamit auch am Anfang desn + 1-ten Durchlauf.Duch die Induktion ist nungezeigt, dass z = b · i am Anfangund am Ende jedesSchleifendurchlaufes gilt. Damitist bewiesen, dass es eineSchleifeninvariante ist.



Lösung Aufgabe 2


if (a > b) {int h = a;a = b;b = h;

}


while ((z % a) != 0){ /*1*/z += b; /*2*/i++; /*3*/

}

Wir widerlegen durch

Gegenbeispiel:

Seien a = 3 und b = 5.

/*1*/ z1 = b = 5

⇒ LCM(a, b) = LCM(a, z1)

/*3*/ z2 = b · i2 = 5 · 2 = 10

LCM(a, b) = 15LCM(a, z2) = 30

⇒ keine Schleifeninvariante



Lösung Aufgabe 3


if (a > b) {int h = a;a = b;b = h;

}


while ((z % a) != 0){ /*1*/z += b; /*2*/i++; /*3*/

}

1 Zu Beginn gilt z = b

2 z wächst mit jedemDurchlauf monoton um b

3 z mod a = 0 genau dann,wenn z Vielfaches von a ist

4 Nach a Schritten istz = b · a Vielfaches von a

5 Die Schleife terminiert nach(spätestens) a Schritten



Entspannungspäuschen??

5 Minuten Pause zum frei werden.



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2 Übungsblatt 4

3 Java




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weitere Operatoren

ternärer Operator ? :

Dieser Operator ist besonders für kleine bedingte Zuweisungennützlich

int max = ( a > b )? a : b;

Aber auch für bedingte Ausgaben ist er nützlich:

System.out.println( ( a > b )? a : b );

Aber: der Operator liefert nur Werte zurück, keine Variablen

⇒ er lässt sich nicht auf der linken Seite von Zuweisungenverwenden.



weitere Operatoren

|| und | bzw. && und &

1 public class LazyEager {2 public static void main(String [] args) {3 if ( true || sideEffect ())4 System.out.println("Lazy.");5 if ( true | sideEffect ())6 System.out.println("Eager.");7 } // && and & likewise

8 private static boolean sideEffect () {9 System.out.println("Not yet implemented");10 return false;11 }12 }



versch. Zeichensätze

1 import java.io.OutputStreamWriter;2 import java.io.PrintWriter;3 import java.io.UnsupportedEncodingException;4 public class Encoding {5 public static void main(String [] args) {6 try {7 System.out.println("Ich kann Ä Ü Ö und ÿ");8 PrintWriter out = new PrintWriter(9 new OutputStreamWriter(System.out , "Cp850"

));10 out.println("Ich kann Ä Ü Ö und ÿ");11 out.flush (); // flush buffer

12 } catch (UnsupportedEncodingException e) {13 } // here be error handling

14 }15 }



versch. Zeichensätze

mögliche Zeichensätze

IDEs wie Eclipse oder NetBeans haben eine eigene Konsole

diese hat idR keine Probleme mit der StandardkodierungUnicode

http://java.sun.com/javase/6/docs/technotes/guides/

intl/encoding.doc.html


http://java.sun.com/javase/6/docs/technotes/guides/intl/encoding.doc.html

http://java.sun.com/javase/6/docs/technotes/guides/intl/encoding.doc.html


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Noch mehr Mathe ... - Halbgruppen

Was war das nochmal...1 Ein Menge M mit einer Abbildung ∗ : M ×M → M

In�x-Schreibweise bevorzugt (a ∗ b statt ∗(a, b))2 Diese Verknüpfung muss abgeschlossen sein

Die Schreibweise ∗ : M ×M → M sagt das bereits.Abgeschlossenheit bedeutet: Ich bekomme in jedem Fall einElement aus M heraus.

3 Das Assoziativgesetz muss gelten:(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) =: a ∗ b ∗ c



Beispiele für eine Halbgruppe

Standardbeispiele

(N, +)

(N, ∗)

Zeichenketten

Die Menge Σ+ über einem Alphabet Σ ist mit der Konkatenationeine Halbgruppe und enthält alle Zeichenketten.In der Informatik ist Σ meist endlich. Dann ist Σ+ abzählbar.



Monoide

Ein Monoid ist...1 eine Halbgruppe mit2 ein Einselement ε, für das folgende Eigenschaften gelten:

ε ∗ a = a

a ∗ ε = a

Beachte

Gibt es ein Einselement, so gibt es genau eines. Man sagt, dasEinselement ist eindeutig.Kurz-Beweis:Angenommen e und e ′ sind Einselemente:Dann ist e ∗ e ′ = e und e ∗ e ′ = e ′. Also ist e = e ′



Beispiel für Monoid

Zeichenketten mit Konkatention

Σ∗ := Σ+ ∪ {ε}ε ist das leere Wort, d.h. Länge |ε| = 0

falls wn die n-fache Wiederholung des Wortes w bezeichnet,so gilt w0 = ε

Haben wir ein allgemeines U, so ist das Einselement von [U]die leere Liste []



Nachweis: Monoid

Ist eine gegebene Struktur ein Monoid? Zu überprüfen ist:Die Verknüpfung ∗ auf der Menge M ist abgeschlossen, erfüllt dasAssoziativgesetz und besitzt ein Einselement ε.

Checkliste

Abgeschlossenheit: ∀x , y ∈ M : x ∗ y ∈ M

Assoziativität: ∀x , y , z ∈ M : (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)Einselement: ∀x ∈ M : ε ∗ x = x ∗ ε = x



Nachweis: Halbgruppe

Ist die gegebene Struktur ist eine Halbgruppe, aber kein Monoid?Zu zeigen ist: Die Verknüpfung ∗ auf der Menge M istabgeschlossen, erfüllt das Assoziativgesetz, sie besitzt aber keinEinselement.

Checkliste

Abgeschlossenheit: ∀x , y ∈ M : x ∗ y ∈ M

Assoziativität: ∀x , y , z ∈ M : (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)Einselement: @ε ∈ M : ∀x ∈ M : x ∗ ε = x und ε ∗ x = x



Nachweis: Halbgruppe - Monoid

Überprüft, ob es sich bei folgenden Strukturen um Halbgruppenoder Monoide oder keines von beidem handelt. Beweist eureAussage. Ihr dürft bei den Beweisen auf schon bekannteEigenschaften aus der Vorlesung zurückgreifen. Zum Widerlegengenügen begründete Gegenbeispiele.



Aufgabe 1

Multiplikation

Die Multiplikation · auf der Menge M = {r ∈ R|r > 1}, wobei Rdie Menge der reelen Zahlen ist.

Die Struktur ist eine Halbgruppe, aber kein Monoid. DieMultiplikation auf R ist abgeschlossen, erfüllt das Assoziativgesetz,sie besitzt aber kein Einselement.

Beweis

Abgeschlossenheit: ∀x , y ∈ R : x · y ∈ RAssoziativität: ∀x , y , z ∈ R : (x · y) · z = x · (y · z)Einselement: ∀x , y ∈ M : y > 1⇒ x · y > x ⇒ x · y 6= x

⇒ y ist kein Einselement.



Aufgabe 2

Modulo-Operator

Der Modulo-Operator auf der Menge N.

Die Struktur ist nicht mal eine Halbgruppe.

Gegenbeispiel

Für eine Halbgruppe muss das Assoziativgesetz erfüllt sein, aber

(15%9)%5 = 6%5 = 1 6= 3 = 15%4 = 15%(9%5)



Aufgabe 3

Linksidentität

Die Linksidentität mit der Verknüpfung # mit a#b := a auf einerbeliebigen Menge M 6= ∅

Die Struktur ist eine Halbgruppe, aber kein Monoid. DieLinksidentität mit der Verknüpfung # auf M ist abgeschlossen,erfüllt das Assoziativgesetz, sie besitzt aber kein Einselement.

Beweis

Abgeschlossenheit: ∀x , y ∈ M : x#y = x ∈ M

Assoziativität: ∀x , y , z ∈ M : (x#y)#z = x#z

= x = x#y = x#(y#z)Einselement: ∀x , y ∈ M, x 6= y : x#y = x 6= y = y#x

⇒ y ist nicht Linkseins.



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2 Übungsblatt 4

3 Java




7 AbschlussFeedback



Zum Schluss...

Was ihr nun wissen solltet!

Was ist der Sinn von Methoden und wie erkenne ich sie?

Wie transformiere ich Schleifen ohne einen Durchlauf zuunterschlagen oder zu viel zu machen?

Was ist eine Schleifeninvariante?

Wie beweise ich sie? Wie widerlege ich sie?

Wann terminiert formell eine Schleife?

Wie lautet die Checkliste zum Beweisen einer Halbgruppe odereines Monoids?



Zum Schluss...

Was ihr nun wissen solltet!

Was ist der Sinn von Methoden und wie erkenne ich sie?

Wie transformiere ich Schleifen ohne einen Durchlauf zu unterschlagenoder zu viel zu machen?

Was ist eine Schleifeninvariante?

Wie beweise ich sie? Wie widerlege ich sie?

Wann terminiert formell eine Schleife?

Wie lautet die Checkliste zum Beweisen einer Halbgruppe oder einesMonoids?

Ihr wisst was nicht?

Stellt jetzt Fragen!



Feedback

Dann habe ich noch eine Frage:

Wie fandet ihr dieses Tutorium?



Feedback



War ich zu schnell?



Feedback



War ich zu schnell?

Habe ich bestimmte Sachen zu kurz behandelt?


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