tut08_1.pdf

Informatik I - Tutorium Wintersemester 2007/08

Christian Julg

http://infotut.blogspot.com

17. Dezember 2007

Universitt Karlsruhe (TH)Forschungsuniversitt gegrndet 1825

Quellennachweis & Dank an:Susanne Dinkler, Philipp Kern, Bernhard Muller, Joachim Wilke

Orga Blatt 6 Semi-Thue Markov Grammatiken Boolsche Algebra Endliche Automaten Ende

Ubersicht

1 OrganisatorischesWiederholung

2 Ubungsblatt 6

3 Semi-Thue-Termersetzungen

4 Markov-Algorithmus

5 Grammatiken

6 Boolsche Algebra: Normalform - Beispiel

7 Endliche Automaten

8 EndeFeedback

Informatik I - Tutorium Christian Julg



2 Ubungsblatt 6



5 Grammatiken



8 EndeFeedback



Wenn doch noch Fragen auftauchen...

Kontakt

Kontakt: [email protected]

Homepage: http://infotut.blogspot.com

bitte beachten:

Im Betreff der Emails [08] einfugen!



Organisatorisches

Rechnerubung

Nachste normale RU mit Anmeldung am Di, 18.12. im RZ, Pool B- aber nur wenn es Anmeldungen gibt. Anmeldung per Email oderdirekt im Tut.

Blatt 7

Semi-Thue und Markov: Alle Termersetzungssysteme mussenausreichend kommentiert werden.



Und nochmal...

Bei Semi-Thue-Systemen...

1 ... muss man auf die Reihenfolge der Regeln achten.

2 ... kann man zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen, wennmehr als eine Regel anwendbar ist.

3 ... kann man an der Farbe der Regel ihre Prioritat erkennen.

Nach Anwendung des Warshall-Algorithmus ist ein Graph...

1 ... reflexiv.

2 ... transitiv.

3 ... symmetrisch.

$a $b ist ...1 ... in disjunktiver Normalform.

2 ... in konjunktiver Normalform.

3 ... keines von beidem.




2 Ubungsblatt 6



5 Grammatiken



8 EndeFeedback



Ubungsblatt 6

Kurzer Ruckblick...



Ubungsblatt 6

Kurzer Ruckblick...

Fragen?




2 Ubungsblatt 6



5 Grammatiken



8 EndeFeedback



Semi-Thue

Aufbau

Semi-Thue-Systeme bestehen aus

Zeichenvorrat und

Menge der Termersetzungsregeln T

Regeln in T werden mit dargestellt.Beispiel: = {|} und T = { ||| , |||}

Anwendung

Semi-Thue-Systeme sind nicht an ein Startwort gebunden undterminieren nur, wenn sie fur jedes Wort aus terminieren.Die Reihenfolge der Regeln ist beliebig. - Produktionen terminieren nie.



Semi-Thue

Los gehts

Gib ein Semi-Thue-System an, mit dem man die Anzahl derStriche halbieren kann.Dazu sei die Anzahl immer gerade und die Striche von zwei aumschlossen: Bsp: a||||aGib die Ableitung von a||||a an.



Semi-Thue

Los gehts

Gib ein Semi-Thue-System an, mit dem man die Anzahl derStriche halbieren kann.Dazu sei die Anzahl immer gerade und die Striche von zwei aumschlossen: Bsp: a||||aGib die Ableitung von a||||a an.

Losung

= { a, | }T = { a|||a , aa }a||||a | a || a || aa ||



Semi-Thue

Losung

= { a, | }T = { a|||a , aa }a||||a | a || a || aa ||

was tun bei ungerader Anzahl?



Semi-Thue

Losung

= { a, | }T = { a|||a , aa }a||||a | a || a || aa ||

was tun bei ungerader Anzahl?

zusatzliche Regel: a|a



Semi-Thue: Hinweis

Hinweis zu den Pfeilen

ist nicht das gleiche wie

:

bei der Regeldefinition, bei der Regelanwendung.

Hinweis zum Entwurf von Regelsystemen

Wenn eigene Regelsysteme entwickelt werden, dann muss jedeRegel kommentiert werden, damit es nachvollziehbar ist.Gilt insbesondere fur Markov-Systeme.



2. Aufgabe

Und nochmal

Erstellt in eurer Gruppe eine Semi-Thue-Termersetzung mit = {a, b, c}, sodass aus jedem Startwort nur die WorteL = {a, b, c, ab, ac, bc, abc} abgeleitet werden.

Losung

1 ba ab2 ca ac3 cb bc

4 aa a5 bb b6 cc c

Die ersten 3 Regeln ordnen das Wort, wahrend die letzten 3 Regelnmehrfach vorkommende Zeichen entfernen.




2 Ubungsblatt 6



5 Grammatiken



8 EndeFeedback



Auf hoher See

Nachteile von Semi-Thue-Systemen:

Regeln lassen sich nicht kontrolliert anwenden.

Daher fur Markov-Algorithmen folgende Meta-Regeln:



Auf hoher See

Nachteile von Semi-Thue-Systemen:

Regeln lassen sich nicht kontrolliert anwenden.

Daher fur Markov-Algorithmen folgende Meta-Regeln:

1 Wende stets die erste mogliche Regel an.

2 Wende sie so weit links wie moglich an.

3 Nach einer Halteregel () beende den Algorithmus4 (Wenn keine Regel anwendbar ist, beende den Algorithmus)



Auf hoher See

1 Wende stets die erste mogliche Regel an.

2 Wende sie so weit links wie moglich an.

3 Nach einer Halteregel () beende den Algorithmus4 (Wenn keine Regel anwendbar ist, beende den Algorithmus)

Schiffchen

oft mochte manwissen, wo man gerade ist.

dazu fuhrt man Zeichen ein, die nicht in der Eingabe warenund spater wieder geloscht werden.

diese nennt man Schiffchen.

werden meist durch griechische Buchstaben dargestellt.(, , ,. . . )



Beispiel 1: Verdoppeln

Los gehts

Schreibe einen Markov-Algorithmus, der die Anzahl der Striche|

verdoppelt.

Losung

1 | 2 3



Beispiel 2: Sortieren

Und noch mal

Sortiere mit einem Markov-Algorithmus die Zeichen in einem Wortuber = {a, b, c, d}.Ist dies auch mit einem Semi-Thue-System moglich?

Losung

1 ba ab2 ca ac3 cb bc4 da ad5 db bd6 dc cd7

Ja, das ist ohne weiteresmit den Regeln 1-6 auchals Semi-Thue-System zulosen.




2 Ubungsblatt 6



5 Grammatiken



8 EndeFeedback



Was sind Grammatiken?

Markov-Algorithmen sind eine Variante der Semi-Thue-Systememit sinnvollen Einschrankungen. Fur Grammatiken kann man dasahnlich machen:

Trennung des Alphabets in Terminalsymbole undNicht-Terminale N.

Die Regeln heien Produktionen und stecken in der Menge P.

Man hat keine Eingabe, sondern beginnt immer mit demgleichen Symbol A, genannt Axiom (sinnvollerweise einNicht-Terminal).

Das ganze packt man in ein 4er-Tupel (oder Quadrupel)G = (,N,P,A) und nennt es Grammatik.

Statt fur eindeutige Ableitungsergebnisse interessieren wir unsfur alle moglichen Ableitungen des Axioms A aus , genanntdie Sprache der Grammatik und geschrieben L(G )



Chomsky-Hierarchie

Wir konnen die Grammatiken in vier Klassen einteilen, Chomsky-0bis Chomsky-3. Dabei gilt:

Chomsky-n ) Chomsky-(n + 1)Je kleiner die Nummer, desto machtiger kann die Grammatiksein

Chomsky-0 ist so gut wie Semi-Thue und Markov

Chomsky-2-Grammatiken sind aquivalent zur(Erweiterten-)Backus-Naur-Form

Auch die Sprachen werden in diese Klassen gepackt: JedeSprache hat die Chomsky-Klasse der einfachsten Grammatik,die sie erzeugt. (Einfach = groe Chomsky-Nummer)



Chomsky-Hierarchie - Definition



Beispiel 1: Chomskygrammatiken und -Sprachen

Aufgabe

Gegeben ist die GrammatikG = ({a, b, c}, {S ,A,B,C},P, {S})mit den folgenden Produktionen:

1 S AB2 A a3 Ab aab4 B b5 B C6 C cCc7 C c

Gib die Chomsky-Klasse von G ,L(G ) sowie die Klasse von L(G ) an.

Losung

Die Grammatik ist inCH-1: Regel 3 istkontext-sensitiv, aber alleRegeln sindlangenbeschrankt.

L(G ) = {ab, aab} {ac2n+1|n N0}L(G ) ist CH-3 (

regular)




Aufgabe




Losung


L(G ) = {ab, aab} {ac2n+1|n N0}

L(G ) ist CH-3 (regular)




Aufgabe




Losung


L(G ) = {ab, aab} {ac2n+1|n N0}L(G ) ist CH-3 (

regular)




Aufgabe

Gegeben ist die GrammatikG = ({a, b, c}, {S ,B,C},P, {S})P = {

1 S aSBC2 S aBC3 CB BC4 aB ab5 bB bb6 bC bc7 cC cc} Gib L(G ) und die Chomsky-Klassevon G an.

Losung

Die Grammatik ist inCH-1: Regeln 3-7 istkontext-sensitiv und alleRegeln sindlangenbeschrankt.

L(G ) = {anbncn}L(G ) ist auch CH-1




Aufgabe



Losung


L(G ) = {anbncn}

L(G ) ist auch CH-1




Aufgabe



Losung


L(G ) = {anbncn}L(G ) ist auch CH-1




2 Ubungsblatt 6



5 Grammatiken



8 EndeFeedback



Holz hacken

Ubungsaufgabe

Geben sie eine DNF fur folgenden Term an:(b c) (b a) $c

V1 Assoziativitat (x y) z = x (y z)(x y) z = x (y z)

V2 Kommutativitat x y = y x x y = y xV3 Idempotenz x x = x x x = xV4 Verschmelzung (x y) x = x (x y) x = xV5 Distributivitat x (y z) = (x y) (x z)

x (y z) = (x y) (x z)V6 Modularitat (fur z x) x (y z) = (x y) zV7 Neutrales Element x = x = x

x > = x x > = >V8 Komplement x $x = x $x = >V9 Involution $($x) = xV10 DeMorgan $(x y) = $x $y $(x y) = $x $y



Holz hacken - Losung

Ubungsaufgabe

Geben sie eine DNF fur folgenden Term an:(b c) (b a) $c

(b (c a)) $c Distributivitat $c (b (c a)) Kommutativitat ($c b) ($c (c a)) Distributivitat ($c b) (($c c) a) Assoziativitat ($c b) ( a) Komplement ($c b) Neutrales Element ($c b) (a $a) Neutrales Element ($c b a) ($c b $a) Distributivitat (a b $c) ($a b $c) 6x Kommutativitat




Ubungsaufgabe

Geben sie eine DNF fur folgenden Term an:(b c) (b a) $c (b (c a)) $c Distributivitat

$c (b (c a)) Kommutativitat ($c b) ($c (c a)) Distributivitat ($c b) (($c c) a) Assoziativitat ($c b) ( a) Komplement ($c b) Neutrales Element ($c b) (a $a) Neutrales Element ($c b a) ($c b $a) Distributivitat (a b $c) ($a b $c) 6x Kommutativitat




Ubungsaufgabe

Geben sie eine DNF fur folgenden Term an:(b c) (b a) $c (b (c a)) $c Distributivitat $c (b (c a)) Kommutativitat

($c b) ($c (c a)) Distributivitat ($c b) (($c c) a) Assoziativitat ($c b) ( a) Komplement ($c b) Neutrales Element ($c b) (a $a) Neutrales Element ($c b a) ($c b $a) Distributivitat (a b $c) ($a b $c) 6x Kommutativitat




Ubungsaufgabe

Geben sie eine DNF fur folgenden Term an:(b c) (b a) $c (b (c a)) $c Distributivitat $c (b (c a)) Kommutativitat ($c b) ($c (c a)) Distributivitat

($c b) (($c c) a) Assoziativitat ($c b) ( a) Komplement ($c b) Neutrales Element ($c b) (a $a) Neutrales Element ($c b a) ($c b $a) Distributivitat (a b $c) ($a b $c) 6x Kommutativitat




Ubungsaufgabe

Geben sie eine DNF fur folgenden Term an:(b c) (b a) $c (b (c a)) $c Distributivitat $c (b (c a)) Kommutativitat ($c b) ($c (c a)) Distributivitat ($c b) (($c c) a) Assoziativitat

($c b) ( a) Komplement ($c b) Neutrales Element ($c b) (a $a) Neutrales Element ($c b a) ($c b $a) Distributivitat (a b $c) ($a b $c) 6x Kommutativitat




Ubungsaufgabe

Geben sie eine DNF fur folgenden Term an:(b c) (b a) $c (b (c a)) $c Distributivitat $c (b (c a)) Kommutativitat ($c b) ($c (c a)) Distributivitat ($c b) (($c c) a) Assoziativitat ($c b) ( a) Komplement

($c b) Neutrales Element ($c b) (a $a) Neutrales Element ($c b a) ($c b $a) Distributivitat (a b $c) ($a b $c) 6x Kommutativitat




Ubungsaufgabe

Geben sie eine DNF fur folgenden Term an:(b c) (b a) $c (b (c a)) $c Distributivitat $c (b (c a)) Kommutativitat ($c b) ($c (c a)) Distributivitat ($c b) (($c c) a) Assoziativitat ($c b) ( a) Komplement ($c b) Neutrales Element

($c b) (a $a) Neutrales Element ($c b a) ($c b $a) Distributivitat (a b $c) ($a b $c) 6x Kommutativitat




Ubungsaufgabe

Geben sie eine DNF fur folgenden Term an:(b c) (b a) $c (b (c a)) $c Distributivitat $c (b (c a)) Kommutativitat ($c b) ($c (c a)) Distributivitat ($c b) (($c c) a) Assoziativitat ($c b) ( a) Komplement ($c b) Neutrales Element ($c b) (a $a) Neutrales Element

($c b a) ($c b $a) Distributivitat (a b $c) ($a b $c) 6x Kommutativitat




Ubungsaufgabe

Geben sie eine DNF fur folgenden Term an:(b c) (b a) $c (b (c a)) $c Distributivitat $c (b (c a)) Kommutativitat ($c b) ($c (c a)) Distributivitat ($c b) (($c c) a) Assoziativitat ($c b) ( a) Komplement ($c b) Neutrales Element ($c b) (a $a) Neutrales Element ($c b a) ($c b $a) Distributivitat

(a b $c) ($a b $c) 6x Kommutativitat




Ubungsaufgabe

Geben sie eine DNF fur folgenden Term an:(b c) (b a) $c (b (c a)) $c Distributivitat $c (b (c a)) Kommutativitat ($c b) ($c (c a)) Distributivitat ($c b) (($c c) a) Assoziativitat ($c b) ( a) Komplement ($c b) Neutrales Element ($c b) (a $a) Neutrales Element ($c b a) ($c b $a) Distributivitat (a b $c) ($a b $c) 6x Kommutativitat




2 Ubungsblatt 6



5 Grammatiken



8 EndeFeedback



Chomsky-Hierarchie

Ganz einfache Computer

Eine Maschine soll zu einer eingegebenen Zeichenreihe feststellen,ob diese Zeichenreihe zu einer Sprache gehort (oder ob nicht).Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen den durchGrammatiken erzeugten Sprachen und den Maschinen.

CH-0 Turing-Maschine

CH-1 Linear beschrankter Automat

CH-2 Kellerautomat

CH-3 Endlicher Automat

Eine vertiefte Behandlung des Zusammenhangs zwischen Sprachenund Maschinen ist Teil der Berechenbarkeitstheorie (Info 3).



Endlich ein Automat!

Wozu?

Ein endlicher Automat ist gerade machtig genug, um ein Spracheaus CH-3 zu entscheiden. Der Vorteil von endlichen Automaten ist,dass sie sehr einfach zu implementieren sind.

Was braucht man?

endliche Menge Q von Zustanden

ein Anfangszustand q0 QZeichenvorrat

Regeln fur die Zustandsubergange



Endlich ein Automat!

Wie arbeitet er?

Das Lesen eines Zeichens a fuhrt zu einem Zustandsubergangvom aktuellen Zustand q Q in einen neuen Zustand q Q

Notation: qa qDer Zustand lat sich als Gedachtnis uber die Vorgeschichte,also die bisher eingegebenen Zeichen, auffassen.Dieses ist allerdings immer endlich!



Darstellung von endlichen Automaten als Graphen

Zustande Q = {q0, q1, . . . , qn}des endlichen Automaten lassensich als Ecken eines Graphenauffassen

q0 q1 qn

Zustandsubergange qia qj mita entsprechen markiertengerichteten Kanten

qi qja

Ein im endlichen Automaten erreichter Zustand qk ist durch denAnfangszustand q0 und die bisher eingegebene Zeichenreihex = x1 . . . xi bestimmtDie Graph-Notation ist hierbei: q0 + qk bzw. q0 qk



Arten von Automaten

Es gibt zwei Arten, wie ein Automat eine Ausgabe haben kann.Wir unterscheiden dabei:

Mealy-Automat erzeugt eine Ausgabe bei jedemZustandsubergangKanten markiert mit a/ti

Moore-Automat Erzeugung einer Ausgabe bei Erreichen einesZustands

In beiden Fallen ist die Ausgabe ein Wort t = t0 . . . tn1 ubereinem Ausgabezeichenvorrat T . Die Ausgabe kann offensichtlichnicht langer sein als das Eingabewort.



Der Akzeptor

Ist der haufigste Spezialfall eines Moore-Automaten

Eine Ausgabe findet nicht bei allen Zustanden statt

Die Zustande F Q, bei denen eine Ausgabe erfolgt, heienEndzustande

Das ausgegebene Wort t T hangt nur vom erreichtenEndzustand q F ab



Akzeptoren unter der Lupe

Ein Akzeptor heit vollstandig, wenn fur jeden Zustand undjede Eingabe ein neuer Zustand definiert ist. Dies kann immerdurch die Einfuhrung eines Fehlerzustandes geschehen.

Ein endlicher Akzeptor lasst sich als Quintupel(,Q, q0,F ,P) auffassen:

ZeichenvorratQ nichtleere endliche Zustandsmengeq0 Anfangszustand aus QF nichtleere Menge von Endzustanden aus QP Ubergange qa q mit q, q Q, a

Die Sprache, die der Akzeptor akzeptiert:L(A) = {x |x , q0x qe , qe F}




2 Ubungsblatt 6



5 Grammatiken



8 EndeFeedback



Zum Schluss...

Was ihr nun wissen solltet!

Was ist ein Binarbaum und wie ist seine Hohe definiert?

Wie wandle ich einen boolschen Ausdruck in seine KNF bzw.DNF um?

Wie unterscheiden sich Semi-Thue, Markov?

Was sind Grammatiken und woraus bestehen sie?

Wie sind die Stufen der Chomsky-Hierarchie definiert?

Was macht ein endlicher Automat?



Zum Schluss...

Was ihr nun wissen solltet!

Was ist ein Binarbaum und wie ist seine Hohe definiert?

Wie wandle ich einen boolschen Ausdruck in seine KNF bzw. DNF um?

Wie unterscheiden sich Semi-Thue, Markov?

Was sind Grammatiken und woraus bestehen sie?

Wie sind die Stufen der Chomsky-Hierarchie definiert?

Was macht ein endlicher Automat?

Ihr wisst was nicht?

Stellt jetzt Fragen!



Feedback

Dann habe ich noch eine Frage:

Wie fandet ihr dieses Tutorium?



Feedback



War ich zu schnell? Zu langsam?



Feedback




Habe ich bestimmte Sachen zu kurz behandelt?



Feedback




Habe ich bestimmte Sachen zu kurz behandelt?

Was kann ich verbessern?



Eulenfest - 15.01.2008




OrganisatorischesWiederholung

bungsblatt 6Semi-Thue-TermersetzungenMarkov-AlgorithmusGrammatikenBool'sche Algebra: Normalform - BeispielEndliche AutomatenEndeFeedback

tut08_1.pdf

Documents

Transcript of tut08_1.pdf