Typische Struktur bei stimulus-response Obj.1 Obj.2 Obj.n...

Statistik für SoziologInnen 1

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arcus Hudec

Mittelwertsvergleiche

Mittelwertsvergleich bei 2 gebundenen Stichproben

Liegen 2 Beobachtungen an n Objekten vor, spricht man von einer gebundenen StichprobeTypische Struktur bei "stimulus-response" Versuchen

Obj.1 Obj.2 ... Obj.nBeobachtung-1 x1 x2 ... xn

Beobachtung-2 y1 y2 ... yn

Differenz d1 d2 ... dn


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Mittelwertsvergleich bei gebundenen Stichproben

Im Falle einer gebundenen Stichprobe kann die Fragestellung durch Differenzbildung der einzelnen Beobachtungen (Übergang auf di=xi-yi) auf den Einstichprobenfall reduziert werden.Diese Vorgangsweise ist auch effizienter als die Anwendung des Zweistichprobentests für MittelwerteWenn bei gegebenen Daten eine paarweise Differenzbildung sinnvoll möglich ist, ist dies die adäquate VorgangsweiseVersuchsplanung: ==> Anstreben von gebundenen Stichproben


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Beispiel

2 Düngemittel A und B werden auf 8 Versuchsfeldern unter konstanten Bedingungen getestet

Frage: besteht ein signifikanter Unterschied (α=0,05) in bezug auf den Ernteertrag pro Hektar?

Feld 1 2 3 4 5 6 7 8 MittelA 8,2 8,1 7,5 8,2 8,5 8,4 7,8 8,0 8,09B 8,1 7,3 7,2 7,8 6,9 8,2 7,2 7,1 7,48D 0,1 0,8 0,3 0,4 1,6 0,2 0,6 0,9 0,61


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Beispiel

0093,0

5482,31726,06125,0

3646,21726,08/4883,0/

4883,06125,0475,70875,8

0::

975,0,7

00

=−

==

=

===

====

=≡=

valuep

t

tnss

sdxx

HH

dd

d

BA

DBA µµµ

Signifikantes Ergebnis

H0 wird abgelehnt


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Mittelwertsvergleich bei 2 unabhängigen Stichproben

Fall1: Varianzen seien bekanntWir betrachten 2 unabhängige Stichproben von 2 GrundgesamtheitenParameter der Grundgesamtheiten:

Parameter der Stichproben:

µ µ σ σ1 2 12

22

1 2, , ,N N

x x n n1 2 1 2, ,


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Modellannahmen Fall1

Die beiden Stichproben sind unabhängigEntweder stammen die Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten, oder die Stichprobenumfänge n1, n2 sind so groß, dass mit dem zentralen Grenzwertsatz die Normalverteilung der Mittelwerte gerechtfertigt werden kann Die Grundgesamtheiten N1, N2 sind so groß, dass der Korrekturfaktor für endliche Grundgesamt-heiten vernachlässigt werden kann. Die Varianzen der Grundgesamtheit sind bekannt


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Teststatistik im Fall 1

Unter den obigen Annahmen ist

Und unter H0: µ1=µ2

z x x

n n

N=− − −

+

( ) ( ) ~ ( , )1 2 1 2

12

1

22

2

01µ µσ σ

z x x

n n

N=−

+

( ) ~ ( , )1 2

12

1

22

2

01σ σ


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Teststatistik im Fall 1

Im Spezialfall konstanter (homogener Varianzen) vereinfacht sich der Ausdruck für die Teststatistik wie folgt:

z x x

n n

x x

n n

x xn nn n

=−

+

=−

+=

−+

( ) ( ) ( )1 22

1

2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1σ σ σ σ


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Fall2: Varianzen seien unbekannt2a) Annahme homogener VarianzenParameter der Grundgesamtheiten:

Parameter der Stichproben:

µ µ σ σ σ1 2 12

22 2

1 2, ,= = N N

x x s s n n1 2 12

22

1 2, , ,

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Dic

htef

unkt

ion


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Modellannahmen Fall2a

Die beiden Stichproben sind unabhängigEntweder stammen die Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten, oder die Stichprobenumfänge n1, n2 sind so groß, dass mit dem zentralen Grenzwertsatz die Normalverteilung der Mittelwerte gerechtfertigt werden kann Die Grundgesamtheiten N1, N2 sind so groß, dass der Korrekturfaktor für endliche Grundgesamt-heiten vernachlässigt werden kann. Die Varianzen der Grundgesamtheit sind unbekannt aber in beiden Gruppen gleich


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Teststatistik im Fall 2a

t ist t-verteilt mit n1+n2-2 Freiheitsgradens..."pooled variance estimate"

z x xn nn n

t x xn nn n

mit s n s n sn n

=−+

=−+

= =− + −

+ −

( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 12

2 22

1 2

1 12

σ

σσ


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Beispiel zu Fall 2a

Die durchschnittliche Intelligenz zweier Personengruppen soll verglichen werdenAnnahmen:– IQ ist in jeder Gruppe normalverteilt und die Varianz der

ist in beiden Gruppen gleich großn x sn x sH Ht

sn s n s

n n

tx x

n nn n

1 1 1

2 2 2

0 1 2 1 1 2

20 0 995

2 1 12

2 22

1 2

2 2

1 2

1 2

1 2

12 130 210 127 18

2 8451 1

211 2 9 18

204 12

130 127

4 12 22120

3 45

= = == = =

= ≠= ±

=− + −

+ −=

⋅ + ⋅=

=−+

=−

=

,2,

: :,

( ) ( ) ,2 , ,

( )

,,

, ,

µ µ µ µ

σ


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Fall2: Varianzen seien unbekannt2b) Varianzen sind verschieden2b1) große Stichproben– Einsetzen der Stichprobenschätzer für die unbekannten

Varianzen ist bei großen Stichproben unproblematisch2b2) kleine Stichproben– Dem Einsetzen der Stichprobenschätzer für die

unbekannten Varianzen muss bei kleinen Stichproben Rechnung getragen werden


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Teststatistik im Fall 2b1

Fall2: Varianzen seien unbekannt2b) Varianzen sind verschieden2b1) große StichprobenEntweder stammen die Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten, oder wir können mit dem zentralen Grenzwertsatz die Normalverteilung der Mittelwerte rechtfertigenUnter H0: z x x

sn

sn

N=−

+

( ) ~ ( , )1 2

12

1

22

2

01


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Beispiel zu Fall 2b1)

2 Übungsgruppen von Studenten

n x sn x sH Hz

z x xsn

sn

Entscheidung Hp value

1 1 1

2 2 2

0 1 2 1 1 2

0 975

1 2

12

1

22

2

2 2

1

40 74 850 78 7

19674 78840

750

2 49

0 01277

= = == = =

= ≠= ±

=−

+=

−

+= −

− =

: :,

,

:,

,

µ µ µ µ


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Teststatistik im Fall 2b2

Fall2: Varianzen seien unbekannt2b) Varianzen sind verschieden2b2) kleine Stichproben Die Stichproben stammen aus normalverteiltenGrundgesamtheitenFisher-Behrens-ProblemApproximation nach Welch: Bei Gültigkeit von H0:

t x xsn

sn

t wobei df

s nn s

s nn s

nn

df=−

+=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − +

−

( ) ~/ ( )

1 2

12

1

22

2

12

2

1 22

2

12

2

1 22

2

12

1

1 11


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Beispiel zu Fall 2b2)

2 Gruppen von Autofahrern

1 1 1

2 2 2

0 1 2 1 1 2

1 22 2 2 21 2

1 2

2

2

32,0,95

0

15 53 / 22,820 41 / 21,5

: :53 41 1,56

22,8 21,515 20

(1 1,5) 32,02 321,5 /14 1/19

1,6939:

n x km h sn x km h sH H

x xts sn n

df

tEntscheidung H

µ µ µ µ

= = == = =

≤ >− −

= = =

++

+= = ==>

+=

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Übersicht beim 2-Stichprobenfall mit unbekannter Varianz

Kann von einer Homogenität der Varianzen ausgegangen werden?

JAFall 2a)

„Pooled Variance Estimate“

NEINGroße Stichproben?

JAFall 2b1)

Verwende die separaten Varianzschätzer

NEINDaten normalverteilt?

NEINNichtparametrischer Test

JAWelsch-Approximation


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Mann Whitney U-Test

Grundgedanke: Wie verteilen sich die Ränge in einer gemeinsamen StichprobeErmittle die Rangsumme für jede Stichprobe und teste, ob diese extreme Werte annimmt.Ordne alle Beobachtungen und zähle die Ränge der ersten Gruppe (R1) sowie der zweiten Gruppe (R2).Bestimme die Teststatistik U Für deren Verteilung gibt es bei kleinen Stichproben eigene Tabellen; bei großen Normalverteilung

1 11 1 2 1

2 22 1 2 2

1 2

( 1)2

( 1)2

min( , )

n nU n n R

n nU n n R

U U U

⋅ += + −

⋅ += + −

=

1 2

1 2

1 2 1 2

8; 8

2( 1)12

falls n nn nU

zn n n n

≥ ≥

⋅−

=⋅ ⋅ + +


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Mann Whitney U-Test

Reifen-A Reifen-B50.000 43.000 1 36.00041.000 44.000 2 37.00040.000 36.000 3 40.00049.000 37.000 4 41.000

Mittelwert: 45.000 40.000 5 43.000Varianz: 20.500.000 12.500.000 6 44.000Standardabweichung 4.528 3.536 7 49.000

8 50.000Rangsumme 3+4+7+8= 1+2+5+6=

22 14U1, U2 4 12U 4 Nachschlagen in Tabelle ==> Ho

Laufleistung in kmGemeinsame Geordnete

Stichprobe

p-value =0.17


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Berechnung mit dem Test nach Welch

Test nach WelchBestimmung der Freiheitsgrade Teststatistik

Zähler 6,9696 5000Nenner 1,22986667 2872,28132

DF= 5,66695577 1,74077656Abrunden!!! 5

t5;0,95 2,01504837 n.s. ==> Ho

p-value 0,14220258

t x xsn

sn

t wobei df

s nn s

s nn s

nn

df=−

+=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − +

−

( ) ~/ ( )

1 2

12

1

22

2

12

2

1 22

2

12

2

1 22

2

12

1

1 11


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Mittelwertsvergleich bei mehr als 2 Stichproben

Liegen k > 2 Gruppen von Beobachtungen vor und man möchte testen, ob sie sich die Gruppen signifikant im Mittelwert unterscheiden, ist es nicht adäquat einfach paarweise Vergleiche durchzuführen.Als Standardmethode wird bei Annahme der Normalverteilung und konstanter Varianz in den Gruppen die einfache Varianzanalyse verwendet.


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Beispiel

Fog-Index: Lesbarkeit von Texten

Scientific American 10,21 9,66 7,67 5,12 4,88 3,12Newsweek 15,75 11,55 11,16 9,92 9,23 8,2Sports Illustrated 9,17 8,44 6,1 5,78 5,58 5,36

0,4*(durchschnittl. Anzahl Wörter pro Satz+Prozentsatz der Wörter mit mehr als 3 Silben)

Mittelwert Varianz Standardabw.Scientific American 6,78 8,12 2,85Newsweek 10,97 7,00 2,65Sports Illustrated 6,74 2,68 1,64

Gesamtmittel 8,16


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Statistisches Modell

Faktor A mit Ausprägungen a1,…, ak

1, , 1, , 0ij i ij i ii

y i k j nµ α ε α= + + = = =∑… …

2(0, )ij Nε σ∼

0 2 4 6 8 1 0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

Im Beispiel:

A Zeitung

a1 Scient. Amer.

a2 Newsweek

a3 Sports Ill.

Annahme:Varianzhomogenität


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Notation

ykn…yk2yk1

yin…yi2yi1

…

y2ny22y21

y1n…y12y11

.1

..1 1

1

1

n

i ijj

k n

iji j

y yn

y yn k

=

= =

=

=⋅

∑

∑∑

Annahme:konstanter Anzahl von n Beobachtungen in jeder der k Gruppen

Mittelwert in Gruppe i

Gesamtmittelwert über alle Gruppen


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Rechenschema der Varianzzerlegung

Spezialfall: Jede Ausprägung des Faktors wird n-mal wiederholt. Insgesamt gibt es dann N=n*kBeobachtungen

Source of Variation

SS degrees of freedom

Sum of Squares Mean Squares

Treatment SSA k-1 2. ..

1( )

k

ii

n y y=

−∑ MSA=SSA/(k-1)

Error SSE k(n-1) 2.( )ij i

i jy y−∑ MSE=SSE/k(n-1)

Total SST kn-1 2..( )ij

i jy y−∑

SSTreatment ~ SSBetween ~ SSExplainedSSError ~ SSWithin


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Visualisierung der einfachen Varianzanalyse

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5

Treatment

Sc. Amer.

Newsweek

Sp. Illustr.

Total

SS-Within bzw. SS-Residuals


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Detaillierte Berechnung (siehe XLS)

Scientific American 10,21 9,66 7,67 5,12 4,88 3,12Newsweek 15,75 11,55 11,16 9,92 9,23 8,2Sports Illustrated 9,17 8,44 6,1 5,78 5,58 5,36

Mittelwert Varianz Standardabw.Scientific American 6,78 8,12 2,85 Gesamtmittel 8,16Newsweek 10,97 7,00 2,65Sports Illustrated 6,74 2,68 1,64

SSTREATMENT 70,93

SSTOTAL 4,20 2,25 0,24 9,25 10,77 25,4157,59 11,48 8,99 3,09 1,14 0,00

1,02 0,08 4,25 5,67 6,66 7,85159,94

SSResiduals 11,79 8,31 0,80 2,74 3,60 13,3722,86 0,34 0,04 1,10 3,02 7,66

5,91 2,90 0,41 0,92 1,34 1,9089,01


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Ergebnis

Dies testet die Hypothese, ob es überhaupt Unterschiede zwischen den Gruppen gibt.

Will man noch nachtesten, welche paarweise Unterschiede es gibt, muss man das Signifikanzniveau adjustieren (multiple comparisons problem)

Einfachste Methode: Bonferoni * /2k

α α⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

DfSum of Squares

Mean Squares F-value p-value

SSTREATMENT 2 70,93 35,46 5,98 0,01234SSResiduals 15 89,01 5,93SSTOTAL 17 159,94 9,41

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