Über das Fundamentaltheorem in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen

t~ber das Fundamentaltheorem in der Theorie der gew~hnlichen Diiferentialgleich ungen.

Von

Max Miiller in Heidelberg.

Das erste Kapitel der voriiegenden Arbeit besch~iftigt sich mit dem Verfahren der sukzessiven Appr6ximationem In w 1 wird ein Konvergenz- satz des tIerrn Bendixson neu bewiesen und auf den Fall angewendet, daf die rechten Seiten der Differentialgleichungen

y" = f~ (x, Yl, Y~ . . . . . Y~) (~ = 1, 2 . . . . n)

gewissen Monotoniebedingungen unterworfen sind. In w 2 wird gezeigt, dal~ das Verfahren auch dann noch konvergiert, wenn man in der Lipschitz- Bedingung

i f~ ( x , y l , y-., �9 � 9 y . ) - f~ ( ~ , z , , z~ . . . . , zn)J __< k 2 7 !y~ - z~ j Q=I

(~ = 1, 2 . . . . . n)

die Konstante ]c durch eine Funktion yon x ersetzt, die nicht me hr beschr~inkt zu sein braucht; in unserem Ergebnis sind die bisher bekannt gewordenen enthglten. w 3 bringt Beispiele yon gewShnlichen Differential- gleichungen, bei denen das Verfahren divergiert.

Im zweiten Kapitel findet man einen neuen Beweis des Fundamental- theorems flit den Fall, daf yon den Funktionen f, ( ~ 1 , 2 , . . . , n) nur Stetigkeit vorausgesetzt ist. Durch Approximation der Funktionen f, mittels ganzen rationalen Funktionen wird dieser allgemeine Fall auf den ein- facheren und als bereits erledigt betrachteten zuriickgefiihrt, daft die rechten Seiten der Differentialgleichungen eine Lipschitz-Bedingung erfiillen.

Im w 1 des dritten Kapitels w~rd in Erweiterung eines Satzes des Herin Perron auf Systeme yon gewShnlichen Differentialgleichungen ein ~ Existenzsatz bewiesen, der einen mSglichst giinstigen Bereich gesicherter Existenz der Integrale liefert. In diesem Existenzbereich sihd alle bisher

620 M. Miiller.

gefundenen enthalten. I n w 2 wird an einem Beispiel gezeigt, ~dal] die Methode der Ober, und Unterfunktionen bei Systemen nicht aUgemein zum Ziel fiihrt.

Kapitel I.

ber das Verfahren der sukzessiven Approximationen.

w Neuer Beweis eines Satzes des Herrn Bendixson.

1. Wir machen fiir diesen und die beiden folgenden Paragraphen die

Vorausse tzung A. DieFunktionen f~(x, Yl, Y~, . . . . y,,) (~ = 1, 2 , . . . , n) seien in dem dutch die Ungleichungen

x o - - a l ~ x ~ x o + a ~, i y , - - y , o ! g b ( v = l , 2 . . . . ,n ; a ~ 0 , a . ~ 0 )

de/inierten Bereich ~ stetig. Es sei

(1) 3 / = Max([ f~, I f , ! , - - . , If, i} und

(~) at = Min al, ~ , a~ -~ Min a~, ~ .

a ' Die Funktionen q~, (x) (~ ~ 1, 2 . . . . , n) seien im Intervall (Xo- al, xo ~ ~ ) stetig ; es sei daselbst

i q ~ ( x ) t ~ M t x - - X o i (v = 1, 2 , . . . , n) (8) und demnach

(4) q~,(Xo) ---- 0 (r 1 ,2 . . . . . n) . r _k. r Unter dieser Voraussetzung A kSnnen im Intervall (z o - - a l , x o ~ a~.~

sukzessive die Funktionen

(5) y , . x+~(~)=y ,o_~ f f , ( t , y~ , . ( t ) , . . . , y , ,~ ( t ) )d t - - - -1 ,2 ,3 , . xo

gebildet we rden . Wir bezeichnen sie als die nach dem Ver/ahren der sukzessiven Approximationen gebildeten Funlctionen oder kurz als S- Funktionen 1).

~) Diese S-Funktionen sind zuerst yon Herrn E. Picard eingefiihrt worden: M~moire sur la th6orie des ~quations aux d~riv~es partielles et la m~thode des approximations successives. Journal de math~matiques pures et appliqu~es (4) 6, 1890, S. 145--210, besonders S. 197--200. Das Verfahren der sukzessiven Approximationen wird in den meisten einschl~gigen Lehrbiichern auseinandergesetzt.

Gewtfhl!liche Differentialgl eichungen. 621

Die Funktionenmenge y,~(x) (~ ~ 1, 2, . . . , n; ~ ---- 2, 3, 4, , . . ) ist

im: Intervall ( xo-- a~, Xo + a~) gleichgradig stetig, denn fiir irgend zwei den Bedingungen

" < + a " xo ~ at ~_. x~ < x~ ~ xo

geniigende Zahlen x~ tmd x i ist

(6) ly~,~(x[)-y,a(:c,) 'N~'l f ,( t ,y, .~_,(t) , . . . ,y, ,~. ,( i) l tdt ~a

<Mtzg-x,t. Insbesondere ist also (fiir x 1 .~ x , x g ~ xo)

F u~,(x) - y,~(xo)! ~_ M! x . zo i oder

(7) Y,o:" M t x - xoI s y,~(x) s Y,o-~ M!x -- xoi ,

& h. die S-Funktlonen sind auch gteichmdflig beschrdnkt. 2. U b e r diese S-Funktionen gi l t nun zun~c~t

Satz 1. Konvergiert eine ]ede der n Funktianen/olgen

y,~(z) , Y, dZ) , . . . . . y,,~:(x), . . . ( , , = 1, 2 , . . . , n~ ?

au] einer im lnterva~t ( X o - a~, xo-~-a~) iiberall dieht iiegenden und insbesondere seine Endpunkte enthaltenden Punktmenge YJ~,, so kon. vergieren di~e Funktionen/oOen im ganzen Intervalt (Xo-- a~, xo ~ a~) gleichmiiflig und lie/ern in ihren Grenz/unktionen

~!i~y~.(x)=y.(x) (~= 1, 2,. .)

eln Integralsystem des Systems gewShnlicher Di/[erentialgleichungen

dy~

alas c~en An/angsbedingungen

Y,(~o) = y~o "(,--~ 1;2 . . . . , n) geniigt.

Wenn jede der Punktmengen ~Y3~ (~ = 1 ,2 , . . . , n) mit dem Inter- vail (xo--a~, Xo+a~) identiseh i st, ergibt sich der Satz des Herrn Bendixson-"). Der naclastehende "Beweis stiitzt Sich" i m Gegensatz zum Benclixsonschen Originalbeweis unmittetbar auf die gleiehgradige Stetig- keit der S-Funktionen.

~) J. Bendixson, Sur la convergence uniforme des s~ries. Of~erslgt af Kongl. Vetenskaps-Akaden~iens FSrhandlingar 1897, S. 60~--622, besonders S. 616-622.

622 M. Miiller.

Beweis fiir Satz 1. Es sei , eine beliebige positive Zahl und ,, eine der Zahlen 1, 2, . . . , n. Dann kSnnen, wir aus der Punktmenge ~.}~ ei~e endliche Menge wachsender Zahlen

xo- -a ;== X1 < X~ < : . . . < X i .~ Xr + l < . . . < X~ = xo -~- a~

derart aussondern, dab g

( s ) x , + l - x , < 3 M

wird. Da die b Zahlenfolgen

y , , ( X ~ ) , y ~ ( X ~ ) , . . . , y~x(X~), . ( i ~- 1, 2 . . . . . k )

konvergieren, kSnnen wit eine Zahl A = A ( , ) derart angeben, dal~ iiir 4 > A(e) und ]ede der Zahlen p = l , 2, 3, . . . ; i = 1 , 2, . . . ,

(9) t - l <

bleibt. Ist x eine beliebige Stelle des Intervalles <xo - a~, xo ~ a~>, so gibt-es einen Index i derart, dab

x, <_ <_ x . ,

und wegen (6), (8) und (9) ist

M ( x -- X,) + ~ + M ( x -- X,)

< M~-M+ ~+ M~-M =e,

d, h. jede der Funktionenfolgen { y , ~ ( x ) } (~, = 1, 2 . . . . , n ) ist im Inter- vall <xo--a~, xo a.~> gleichmtiI~ig konvergent. Wegen der Stetigkeit der einzelnen y~(;c) sind dann auch die n Grenzfunktionen

lim y,.~(x) = y, . (x) (~ = 1, 2 , ~ n )

stetig; daI~ sie den Anfangsbedingungen

Y~(Xo) ~- y,o (~ --~ 1 r 2 . . . . , n )

und dem Differentialgleichungssystem

y~' = f~(x, y,, y~ . . . . , y,) (v : 1, 2 , . . . , n)

geniigen, erkennt man in der iibliehen Weise.

3. Den Fall, da~ die Funktionen f , ( x , y~, Ye . . . . , y,~) einer Lipsehitz- Bedingung geniigen, wollen wit in w 2 betraehten; hier beseh~ftigen wir uns zuntiehst mit einigen w:iteren Ergebnissen des Herin Bendixson :~).

(i--. 1, 2 . . . . , k - - l )

:s) J. Bendixson a. in Anm. e) a.O.

GewShnliohe Differentialgleichungen. 623

Satz 2. Die Vora~sazung A sei mit a~ = 0, a~ > 0, d.h. /~r deu durch die Un#leichungen

~ c o ~ x ~ x o q - a 2, iy - - y , o l ~ b ( v = - l , 2 . . . . , n )

definierten Bereich H erfi211t; und zwar sei insbesondere

T , ( x ) -= -- M ( x -- Xo) (~, = 1, 2 , . ~ n).

Ferner soUen die Funktionen f, ( x , Yl , Yz . . . . . y,,) ( v = 1, 2, . : . , n) monoton wachsen, wenn man irgendeines der n letzten Argumente y~, y~ . . . . . y,, vergrdflert. Dann konvergieren die aus den S-Funktionen gebiideten Funktionen/olgen {y,x(x)} (~, = 1, 2, . . . . n) im Intervall (Xo, x o -~- a~).

Nael/ Satz 1 (es ist bier jedes 9X, identiseh mit dem Intervall (x o, x o ~ a~)) er~iillen dann die n Funk~ionen

lim y~z(x) ----- y , ( x ) (~, = 1, 2 . . . . , n)

dns Dif~erentialgleiehungssystem

g = f , ( x , y l , y , ) = 1 , 2 . . . . , n )

und die hnfangsbedingungen y,(xo) = Y,o (~' = 1, 2 . . . . , n) .

B e m e r k u n g . Herr Bendixson gewinnt einen entsprechenden Satz unter der weiteren Voraussetzung, daft in H f, ~ 0 (~, = 1, 2 , . . . , n) sein soll; in diesem Fa]l kann man das Verfahren der sukzessiven Approximationen in der meist iiblichen Form ~ , ( x ) = 0 ( ~ = 1 , 2 , . . . . n)) ansetzen. tterr Bendixson h a t die flit die Funktionen f, angegebenen Voraus- setzungen nieht nur flit den Bereieh H, sondem fiir einen Bereieh ge- machO, bei welehem aueh aa > 0, und dann behauptet, dal3 die Integrale dureh das Verfahren der sukzessiven Approximationen im ganzen Inter- valt ( x o - -a~ , Xoq-a.'~) geliefert werden; fiir x < x o ist abet diese Be- hauptung im allgemeinen nieht zutreffend, wie wit in w 3 an einem Bei- spiel zeigen werden4). Einen auf den Fall x < x o beziiglichen richtigen Satz erh~ilt man, wenn man in Satz 2 ( x - xo) dureh - - ( x - Xo) und zugleieh f, durela - - f , (v = 1, 2 . . . . . n) ersetzt, d.h. yon den Funk- tionen f, monotones Abnehmen start monot~nen Waehsens verlangt.

Beweis fiir Satz 2. Jede der n Funktionenfolgen

. . . , . . . ( , = 1 , 2 , . . . ,

wiiehst fiir ]eden Wert yon x im Intervall (x o, x 0 ~ a~) monoton. Es ist n~mlieh

a) Diese falsehe Angabo des Herrn Bendixson ist auch in den Enzyklopiidie- artikel des Herrn Painlev6 iibergegangen: Enzyklopildie der mathomatischen Wissen- sehaften mit EinsehluB ihrer Anwendungen, Bd. II, 1. Teil, 1. H~lfte, S. 200; Encyclo- pedic des sciences math6matiques pures et appliqu~es, t. 2, vol. 3, p. I5.

624 M. Miiller.

m

y,~ (z) -- y,, (x) ----- f f, (t,, y~, ( i ) , . . . , y,~ (t)) dt ~- M(x -- xo) z0

> f ( - M)dt + M(~ -- Xo)= 0 ~o

oder y,,. (x)_~ y , l (x ) (~ = l, 2 , . . . , n);

also wegen der Monotonievoraussetzungen unseres Satzes

f . ( ~ , y , , ( x ) , . , ., y . , (~)) > f . ( z , y , , ( x ) , . . . . y . , ( x ) ) ( . ::: l , 2 . . . . . ,~ ) ,

mithin

Y,3 (x) - - y,.. (x) = f [ f , ( t , Ya~. ( t ) . . . . , y , i ( t ) ) - - f , (t, y, , (t), ..., y , , (t))] d t >>_ 0 l$ O

oder y,~(~) _~ ~,~(x) (~ ~ l, 2, . . . . . ~

und allgemein

y ,~ . (x )~y , ,~_~(x) ( u - - 1 , 2 i . . . , n ; i = 2 , 3 , 4 . . . .

im ]Intervall. (Xo, Xo ~ a ~ ) . Andererseits sind naeh (7) die Zahlenfolgen ( y , ~ ( x ) ) (~' = 1, 2, . . . . n; x o <: x s x o +a .~ )naeh oben beschr~inkt, also wegen der soeben festgestellten Monotonie konvergent, w z. b. w.

w

Konvergenz bej erfiillter Lipsehitz-Bedingung.

1. Wir machen wieder die Voraussetzung A. D a n n seheint, yon dem in w 1 behandelten Problem des. tterrn Bendixson und zwei welter unU,n angegebenen Spezialfiillen abgesehen, die Konvergenz des Verfahrens dcl' Sukzessiven A.ppro'ximationen bisher nur fiir den Fall bewiesen worden zu sein,, daft die Funktionen f~ (~ ~ 1, 2, . . . , n) einer Lipscbitz-Bedingung

f, iX, y,, yo, . . . , y , ) - - f , (X, z i , Z.z,.,. ., Z,,)

s k, l y, - ~, I + k.. y: - ; ~ I + . . . § k,, i y. - ~,

mit t ons lan ten Koeffizienten t l , / ~ . . . . . /,, geniigen, d. h. dab die Derivierten -b §

bescbr~ink~ sind. Diese Einschr~inkung lassen wir fallen, machen vielmehr die allgemeinere

Vorauss .e tzung B. D~e Derivierten tier Funktionen f, (~, = l, 2, . . . , nJ sollen e~ner Ungldchung

t D ~ , f , ( x , y l , y o , . . . , y , , ) s ( , , : u = = l , 2 , : . . , u )

GewSlmliche Differentialgleichungen. 625

geniigen, wo die Funktion Ko(x ) so bescha//ert ist, (x o -- a~, x o -4- a~) die Integrale

daft im lntervall

(lo) K, (~)= t,y Ko(t)It- ~of at

(1I) ~,+~(~) -- Ko(~) K,~(t) et (~ = 1, 2, ~ , . . . )

existieren..Dabei ist es fiir das Folgende einerlei, ob unter jeweiliger Be- ntitzung des Riemannsehen Integralbegriffes die Definition des uneigent-

. lichen Integrales yon Cauehy (bei endlieh vielen Unbesehriinktheitsstellen) oder die Definition yon de la Vall6e Poussin verwendet wirdS).

Dann gelten far irgend zwei Stellen ( x, Yl , Y~ ,'..., Y,) trod ( x, z I , z.2, . . . , z~) des Bereiches ~ die Ungleiehungen

~ K o ( x ) { ] y l - z ~ i + . . . - ~ i y , ~ - - ~ , , ! } (~ = '1 , 2, . . . , n).

2. Bestehen die Voraussetzungen A und B, so kSnnen Wit wegen (1), (3), (12), (10) und (11) die folgenden Abschhtzungen vornehmen:

<::

M i x - ~o] + : M l x - X o l = 2 ' M I x - - Xo],

t y,~ (x ) - y.~. (x)i < tftf.(t,y~,(O,...,y,,,(t))--f,(t,y~(t),...,y,,~(t))idt[

I , f __<!f Ko (t){I y~,(t)-y~(t)1 + . . . + I y.. .(t)- y.~(t) 1} et Xo

<_=2Mn f K o ( t l l t - - x o t d t = : 2 M n K ~ ( x ) ,

a!lgemein finder man:

(13) I Y.,~+I (x) -- y.~ (x) ] ~ 2 M n ~-~ K~._, (x) "

( ~ = 1, 2, . . , , n ; ~----2, 3, 4, ...).

Es sei 0 <:: a ~ a~, 0 ~ fl _<_ a~. Konvergiert die Reihe

(I4) . ~ 2 M n ,~K~_~(x) -~- 2 M ~ , n . - I K x _ l ( X )

auf einer im Intervall (x o - -a , xo~-fl) iiberall dicht liegenden und ins-

5~ Wegen d i e ~ Integraldefinitionen vgl. man etwa: P. Montel und A. Rosenthal, Integration und Differentiation, Encyklop~idie II, C. 9 b Nr. 32. Uneigentliche Inte- grale, S. 1050--i056. ~

Mathematlsche Z~itschrift. XXVL 40

626 M. Mfiller.

besondere seine'EndpunlC~e enthaltenden Punk*menge ~ ' , so gill nach (13) dasselbe yon den Reihen

Y , o + ( Y , ~ ' - Y , o ) + ( Y , : - - Y , ~ ) + . . . (v == 1, 2, . . . , n)

mit den Partialsummen y~x (2 ----- 1, 2, 3, . . . ; v = 1, 2, . . . . n ) . Naeh Satz 1 (angewand~ auf den Teil (x o -- r x o + #6) des Intervalles (x o - - a~, x o + a.~)) konvergieren dann im garmen Intervall (x o -- a, xo + fl) die n Funktionen- folgen {y,~(x)} (v ---- 1, 2, . . . , n) gleiehm~illig gegen ein Integralsystem

lim y~s (x) -~ Y, (x) (~ ,= 1, 2, . . . , n).

Etwas spezieller kSnnen wir aussagen:

Sa tz 3. Konvergiert bei er/i~llten Voraussetzungen A und B die Reihe (14) in einem lntervatl (xo-- r , X o + f l ) , wo O <_ a ~ a;, O ~ fl <= a'~, so konvergiert in diesem IntervaU das Ver/ahren der sukzessiven Approxima- tionen und lie/eft Integrale des Di//erentitdgleichungssysteras

y; = f,. (x, Yl, Y:, "' . , Y,) (v = 1, 2 , . . . , n),

die den An/angabedingungen

y, (xo) - - V~o (~ = 1, 2 , . . . , ~) geni~gen.

3. Wit wollen einige Spezialfhlle hervorheben.

S a t z 4. Ld/3t sich Ko(x ) gleich einer poMtiven Konstanten k wdhlen, so konvergiert die Reihe (14). (Fall der gewShnlichen Lipschitz.Bedingung.)

Bewei s . Es wird

Ifi KI(x)=]r t - X o l d l =]r tX-Xol 2! '

K~(x)=tfo k~ tt-x~ ix'x~162

allgemein

K , + l ( x ) = k ~'+1 L~-%t~'+~"

die Reihe (14) wird in diesem Fall eine Exponentialreihe und is~ aIs solche bestiindig konvergent~).

e) Eine Exponentialreihe a|s Majorante finder sich zuerst bei E. LindelSf, Sur Fapplication de la m6thode des approximations successives aux ~quations diff6ren- tielles ordinaires du premier ordre, Comptes rendus hebdomadaires" des ~ s6ances de l'~ca~16mie des sciences 118 (1894), S. 454--457.

GewShnliche Differentialgleiehungen: 627

S a t z 5. Zvt

L(x)= f Ko(t)dt X o

im lntervall (x o --a~, Xo+ a~) vor!,anden, so konvergiert die Reihe (14).

B e w e i s . Wird Max(a~, a~)~ a' gesetzt, so ist jetzt

: :r I Z. I g~(x)= f Ko(t) It--xol dt~<a'l f Ko(t)dt =a'lL(x)l'

�9 ' ! X , o

i < a'[ f lL(t)l ko ( t )d t = a ' t L(x)t~ Z. (x ) = Ko(t ) K, (t)dt~ - - -~ - - - ,

und allgemein

K,, (x) < a' ,! L(x) l"

so dab die Reihe ( i4 ) konvergier~ ~a). Die beiden ~ folgenden F~lle hat sehon Herr Rosenblat,$ behandelt:) .

S a t z 6. list

k (k konstant, 0 < m < 1 ) , Ko(~) = i ,_~oi~

so konvergiert die Reihe (14).

Das ist eine unmittelbare Fotge von Sa?sz 5.

1 (k konstant) und S a t z 7. ! s t O < k <

k Ko(~) = I ~ - ~ o l '

so konvergiert die Reihe (14).

Beweis . Es ist

K~(~) = ~ l t - = k i x - ~ o l

I / ' K~ (~) = ~ : _ ~ ~ I t - ~o let k~l �9 - - ~ o , i

~a) Urspriinglich hatte ich hier eine ge.ometrische Reihe als Majorante erhalten und damit die Konvergenz der Reihe (14) zunii~hst nut in einer Umgebung der Stetle

x = x 0 sieherstellefi k6nnen, in welcher I L (x) I < 1 . Dutch Aneinanderreihen soleher

Intervalle ergab sieh dann die ExiStenz der Integrale im ganzen Intervall (xo--a [, xo+a~). Den Beweis des Textes und die damit m6gliche, einfache Formulierung yon Satz 5 verdanke ich Herrn Prof. Perron;

7) A. Rosenblatt., t~ber, die Existenz vpn Integralen gewShnlicher Differential- gleichungen, Arkiv fSr Matematik, As~ronomi och Fysik 5 (1909), Nr. 2.

40*

628 M. Miiller.

allgemein

d ~ al!gemeine Glied tier Reihe (14) also

2 m i x - - Xol(nk)Z; 1 die Reihe konvergiert somi~ fiir n k < t oder k < n ' w. z. b. w.

3~

Beispiele fiir Divergenz des Verfahrens der sukzessiven Approximationen,

1. Die bisherigen Untersuehungen lassen die Frage often, ob es an den verwendeten Beweismethoden oder in der Natur des Verfahrens der sukzessiven Approximationen begriinclet ist, dab man under der Voraus- setzuaag A allein seine Konvergenz nieht sieherstellen kann. Hierauf lautet die Antwo~:

Sa t zS , Beste~t allein die Voraussetzung A, 8o braucht da~ Vex- /ahren der sukzessivert. Approximationen nicht zu konvergieren; nicht einmat eine Teil/olge von S-Funktionen konvergier$ im atbjemeinen gegen ein Integral.

Den Beweis e~bringen wit dutch Angabe eines geeigneten Beispiels. Bei eine~ einzigen Diffe~entialgteiehung besteht das Veriahren der sukzessiven Approximafionen darin, dal~ man der Reihe naeh die Funktionen

y~ (x) -= yo + f f(t, yo)dt, ~a

yx(x)=yo+f f ( t , y~-_~( t ) )d t (2-----2, 3,4 . . . . ) t ~

bitdet. S44mfliche Funktionen geniigen derselben Anfangsbedingung y;.(xo)----y o ( 2 = 1 , 2 , 3 . . . . ) und haben an der Stelle x = x o diesetbe hbleihmg

\-;~--j,=,o~- f(=o, u~-~(~o)) = f(%, uo) (~ ~-1, 2, a,...).

Wix setzen xo'== 0, Yo ~ 0 ; dann is~ eine der einfachsten Funktionen- folgen, bei denen

1. die s~mtliehen Funktionen ffir x----0 den Weft 0 annehmen und dieselbe Ableitung haben und

2. mehr als el'he Grenzfunktion existiert, die folgende

Gowiihnliche Differentialgleichungen.

Wir wollen es nun s o einrichten, da~ bei unserem Beispiel

( 1 5 ) = -

wird; dann mu~ also sein

v, f f ( t , 0) dt = 0

629

(Jl=l , 2, 3 , . . . )

a$ z

= f f ( t , Y~;t-t ( t))dt = f f ( t , f ) d t = -- x ' , 0 0

a~ x

yo.~+~(x)- f f ( t , y~.~.(t))dt- f f ( t , t~)dt = x'~; 0 0

hieraus erhiilt man dureh Differentiation fiir f d i e Bedingungsgleiehungen

f (x , O) = 2x , f ( x , x ' ) = -- 2x, f,(x, x ~) -= 2x .

Eine sehr einfache Funktion, die diesen Forderungen geniigt, ist die folgende �9

0 ifiy. x - - O , - o c < y < o v ,

2x fiir O < x ~ a , - - o o < y < 0 ,

(16) f (x ,y ) - - - - 2x "4 -y ffir O < x < a , O<_y~_~x", X

2x fiir O < x < a, xg < y < oc,

(a beliebige posi t ive

Konstante);

sie ist bei fest;gehaltenem x fiir y < 0 konstant----2x, fiillt.im Bereich 0 ~ y < x*" von diesem Wert linear auf den Wert -- 2 x und beh~ilt~ dann diesen letzten Wert fiir y > x ~ wiederum kon~a~lt bei. Sie ist in ilarem Definitionsbereich stetig und dem absoluten Betrage naeh nicht grSl~er als 2 a . ' Die Voraussetzung A ist also ertiillt, und zwar mit a ~ - - 0 , a~ = a, M - - 2 a . Wendet man nunmehr auf die Differentialgleiehung

dy ~-t-~ = t'(x, y),

wo f ( x , ~1) die Funktion (16) ist, das Verfahren der sukzesSiven Approxi- mationen k~n, so erhiilt man als S-Funktionen die Funktionen (15); diese Funktionen haben keine gemeinsame Grenzfunktion fiir ) ,-~ or. Also konvergiert hier das Ver]ahren der sukzessiven Approximationen nicht. Die einzigen Funktionen, gegen welehe Teilfolgen der S-Fun~:tionen ( 1 5 ) k o n - vergieren, sind die Funktionen x ~ und ~ x ' ; dieselben sind" keinb Inte- grale, wie.man beim Einsetzen in die Differentialgleichung findet. Also konvergiert auch keine Teil/olge der nach deny Ver]ahren der sukzessiven Approximationen 9ebildeten Funktionen gegen ein Integral. Damit ist S a t z 8 bewiesen.

630 M. M~ller,

2. Ferner betrachten wir die Differentiatgleiehung, deren rechte Seite die Funktion

I A ffir x = 0 , - - o o ~ y ~ o o ,

A ~ _ x < O - - c o < y < A x , f(xl y) = A ~- 2x ffir - - ~ _ ,

�9 A ~ 2 x 4 (y -Ax) :[fir A z ~ x < 0 , A x ~ y ~ A x - ~ x ~,

A - - 2 x fiir A < x < 0 , A x q - x ~ < y < e o 2~-

ist (A beliebige positive Konstante). f ( x , y ) w~ehst in seinem Defini- tionsbereieh monoton mit y, ist daselbst stetig und nieht negativ:

0 "( f(x, y) "<: 2A.

Auch hier konvergieren die S-Funkti0nen weder insgesamt noch in Teilfolgen gegen das Integral der Differentialgleichung y ' ~ f (x , y), das dutch den Koordinatenursprung geht. Diese Differentialgleichung wider- legt also direkt die in w 1, 3 erw/ihnte Behauptung des Herrn Bendixson.

8. Es~ ist naheliegend, die Lipsehitz-Bedingung

if(X, y) -- f (x , ~J)i ~ k iy - -Y i (k konstant)

durch die allgemeinere zu ersetzen:

(17) i f (x , y) -- f(x, Y) i ----< k lY -- ~7 i r (k konstant, m > 0).

Wir wollen eine solche Bedingung kurz eine Lipschitz-Bedingung gum Exponenten m nennen. Da, falls m > 1 ist, offenbar auch eine Lipschitz- Bedingung zum Exp0nenten 1 besteht, konvergiert das Yerfahren der sukzessiven hpproximationen fiir m _>_ 1.

Fiir 0 < m <: 1 ist dies. indessen nieht mehr. allgemein der Fall. ttierflix ein Beispiel: Wit w~hlen eine positive Zah!/~ so, daft

und wollen es dann einrichten, dab % = 0, Yo= 0 und

(18)" y~(x) = (-- 1)~+1 x, " (2 = 1, 2, 3 . . . . );

hieraus ergeben sieh wie in Nr. l fiir die rechte Seite f (x, y) der ge- suehten Differentialglelchung die Forderungen

f(x,, O) = # x ' ! - ' , f ( x , x p ) = - - ,u'>', ' - l _ , , f ( x , - - x . " ) = ~ux,"-l. '

Eine fiir unsere Zweeke geeignet.e Funktion, die diesen 'Bedingungen ge.. niigt, ist ,die Iolgende:

GewShnl iehe Di f ferent ia lg le ichungen. 6 3 1

l 0 fib x = 0 , - - c ~ < y < c o (GebietI),

(19) f ( x : y i = #'x~'-I fiir x > 0 , - -or (Gebie~II), I I*x .... i _ 2/xx,,(1-~)-ly~ fiir x > 0 , O ~ y < _ x ~< (GebietIII),

- - t t X " - ' fiir x > 0 , x t ' ~ y < o o (Ge-bietIV);

sie is t bei festgehaltenem x fiir y < 0 l~onstant = t t x t ' - l , fiillt im Be. reich 0 ~ y __< x" yon diesem Weft parabolisch auf den Weft -- tty~ -1 and behilt dann diesen letzten Weft fiir y > x~ wiederum konstant bei; sie ist also in ihrem Definitionsbereieh stetig.

Wendet man auf die Differentialgleiehung y' -:- f (x , y), in der f die durch (19) definierte Funktion ist, das Verfahren de r sukzessiven Approxi- mationen an, so erh~ilt man als S-F-unktionen die Funktionen (18), dasselbe konvergiert also nicht; die einzigen vorhandenen Grenzfunktionen x~ ' und --x." erweisen sieh beim Einsetzen ' in die Differentialgleiehung nicht als Integrale; also konvergiert aueh keine Teilfolge yon S-Funk- tionen gegen ein Integral.

Wit haben noch zu zeigen, da]] f (x , y) in ]edem Streifen ~ :

0 _~ x g a, -- ~ < y < o0 (a positive Konstante)

einer Lipschitz-Bedingung zfim Exponenten ra geniigt: Im Gebiet I ist sicher fiir ~edes k ~ 0 :

If(x, y l ) - - f (x , Y~)I = 0 =< k ! y ~ - yhl~;

flit (x, y~) and (x, y~) gleiehzeitig im Gebiet II oder gleiehzeitig im Ge- biet IV ist

I f ( x , ~Sl) -- f (x , Y..)i = 1~ ~ ' ' - ' - ~ x " i ' 1 = 0 ~ k l y I - - y~t~;

fiir (x, Yi) und (x, y~) im Gebiet III ist wegen

1 t , _ > l _ m , also # ( 1 - - m) - - l : > 0:

I f x, Y , ) - - f(x, y~)I I /~x :'-1 - - 2 /~x "(l-m)-1 Y~ - - lax ~'-1 Jr 2#x '<(1-~)-1Y~

= I l - y.- l "~ ' 2 a"(i-m)-i l m m 1 -----I ~ ' , ' l Y l - - Y ~ I ,

oder, w~nn wir le~zt k~ -2~a ''(1-~')-~ set~en, wegen y1~ O, y ~ O ~ ) :

~) Hier wird die Ungleichung

(,# i t a l ~ - f b l ~ t ~ l l a t - l b l m ~ t a - - b t ~ ( O ~ m ~ l ) benut~zt, Dieselbe kann man folgendermaflen beweisen: Zunichst is~ sie sioher richtlg, w e n n m = 0 oder m = 1 , ferner w e n n eine oder jede der Zahlen a und b gleich Nul l

(Fortsetzung der Fui]note 8 auf n~chster Sefte.)

632 M. Miiller.

Ist aber etwa (x, y~) im Gebiet IV und (x, yo.) im Gebiet III, so ist

i f ( x , Y~) - - f ( x , y~).l - - t f ( x , x " ) - . f ( x ; y~.) t = < k ! x',, - y~ t ~

- - k(y : - lv, - v..? Mso wieder die LipscMtz-Bedingung erfiillL und genau so kann man schlieBen, falls (x, Yl) in III, (x, Y~) in l I , oder (x, y~) in IV und (x, Y2) in II gelegen ist; die Lipschit, z-Bedingung (17) ist in ~ erftil!t.

Satz 9. Es gelte die Voraussetzung A mit n-~ 1, und es geniige f (x , y) einer Lipschitz-Bedingung zum Exponenten m

I f (x ,y~) -- f ( x , y~)[~<= k ly ~ -- y~ I m (k positive Konstante).

Das Ver/ahren der sukzessiven Approximationen konvergleri /iir m ~ 1; /fir 0 ~ m < 1 konvergiert es im aUgemeinen nicht mehr.

Kapitel II.

Die Methode der approximat iven Polynome.

Das Fundamentaltheorem in der Theorie der gewShnlichen Differen- tialgleichungen kann man in verschiedener Weise aussprechen; f l i t uns kommen zun~chst die beiden tolgenden Formuliemngen in Betracht~).

ist, oder wenn l a i = l b l; sind diese MSglichkeiten ausgesehlossen, so kann man dureh die Zahl mit grSBerem absoluten Betrag divldieren und wird auf eine Un- gleichung yon der Form

(~) ' 1 - ~ I < t 1 - ~ 1 ~ (o<o<1, o < m < l ) gefiihrt; diese ist abet riehtig. Denn aetzt man

~(x)= ( l - x ) " (O<x__< l, ~>1), 1 x! ~

so ist wegen ~(0)=1,

q~(1)= Iim ( ' I - - x ) " - - = ' l im - - ~ ( 1 - -x ) " - I = 0 , ~-~i t - - x 'u ~ 1 - - t t x !t-1

~ ' ( x ) = " ( 1 - - x ) ' - I ( l - - x " - l ) < O (1 -x~') ~

im Intervall (0, 1 ) 0 < ~ ( x ) < ~ ( 0 ) = 1

oder ( 1 - - x ) " < = l - x " i

1 und aus dieser Ungleichung geht fiir xr*=o, ~ = m , also 0 ~ < _ ~ 1 , O < m < l . gerade (fl) hervor.

9) Der erste Beweis d~r folgenden S~itze "stammt vpn G. Peano, D6monstration de l'int6grabilit6 des 6quations diff6rentieIles ordinaires: MatCh. Annalen 37 (1890), S. 182--228. An neueren Beweisen kommen in Betracht:" I ). Montel, Sur ]es suites

Gew6hnliche Differentialgleiehu ngen. 633

S a t z 10. Die Funktionen f i ( x , Yl, Y~., . . . , Y,,') ( P = l , 2 . . . . , n) seien in dem durch die Ungleichungen

X o - - a ~ x ~ _ x o + a , y , . o - - b ~ y ~ y , o + b ( v = l , 2 . . . . . n)

de/inierten Bereich ?3 stetig. Setzt man

M = Max{I f ~ I, Ir l, . . . . L f . l } !8

u n d

a'= Min(o, " . M / '

so hat im Intervall ( x o - - a ' , x o + a ' ) das System gewdhnlicher Di//erentialgleichungen

dy,, <lx = f~(x , y , , y~, . . . . y,,) (l, = 1 , 2, . . , n),

mindestens ein System stetiger Integrale y,, ( x - ~ v : : 1, 2, . . . , n ), welche den An/angsbedingungen y ~ ( x o ) = y , , 0 ( v = 1, 2 . . . . . n) genis

S a t z i l . Sind die n reelle~ Funktionen f , ( x , Yl, Y.,., . . . , Y,,) 0 ' -~ 1, 2 . . . . . n) in dem dureh die Ungleichungen

x o - - a ~ _ x ~ _ x o + a , -- oo < y , < c o (v~---1, 2 , . . . , n )

de]inierten unendlichen Bereich ~ * stetig und beschrdnkt, so hat das System yon n gewdhnlichen Di/]erentialgleichungen

dy,. dx ---- f~(x' Yl, Y~, ". . , Y,,) (v = 1, 2 , . . . , n)

im Intervall ( x o - - a, x o + a) mindestens ein System yon Integrale n y, ( x ) (v = l, 2, . . . , n) mit beliebig vorgebbaren An/angswerten" y,, (Xo) = Y,o (b=1,2; ..,n).

Setzt man weiter, voraus, dab in ~ , bzw. ~ * die Funktionen f, (~ = 1, 2, . . . , n) einer Lipschitz-Bedingung

" ( If.(x,y,,y,,. . . . . ,y, ,)- f . (x,z.z . . . . . . z , , ) l < k 2 1 y ~ - z,t v = 1, 2 , . . . , n ;~ " = ~=1 k konstant i

geniigen, so sind die gefundenen Integralsysteme auch die einzigen, die den angegebenen Anfangsbedingungen geniigen. Dann kann man Satz 10 und Satz 11 mi~tels der Methode yon Cauchy-Lipschitz oder der Methode der sukzessiven Approximationen gewinnen 10); dabei braucht man aber nur

infinies de fonctions, Annales scientifiques de l'6eole normale sup6rieure (3), 21 (1907), S. 233--334, besonders S. 264ff.; O. Perron, Ein neuer Existenzbeweis fiir die Integrale eines Systems gewShnlieher ~Differentialgleichungen, Math. Annalen 78 (1918), S. 3~8--384; C. Carath6odory, u tiber reelle Funktionen (Leipzig u. Berlin, B. G., Teubner) (1918), S. 672ff. Hier wird ein noeh Mlgemeinerer Satz bewiesen.

lo) Vgl. ~lie einsehl~gigen Lehrbiicher.

634 ~. Miiller.

einen der beiden S~itze zu beweisen, der andere liil~t sich darm leieht aus dem zuerst gewonnenen herleiten.

Auf den so gewonnenen Satz i l ~mit Lipsehitz-Bedingung) aufbauend, wollen wit Satz 10 (ohne Lipsehitz-Bedingung) neu beweisen. Dabei kSnnen wit uns auf das Intervall (Xo, x o ~ a') beschr~inken, da auf diesen Fall der Fall x ~ x o initials der Substitution x- - - - - -~ sofort zuriiek- gefiihrt werden kann.

Nach einem yon Weierstra$ herstammenden Satz 1~) gibt es n Folgen von ganzen rationalen Funktionen {p,,,~. (x, y l , y ~ , . . . , y,,)} (l, = 1, 2 , . . . , n) der~t , daft in dem dureh die Ungleiehungen

x o ~ X ~ X o + a , ly, i y , o!<b (~ = 1, 2 , . . . , n)

definierten Bereieh !l~' gleiehm/iBig

lim p,~ (x , y , , y:., . . . , y , , ) = f , ( x , y , , y~ . . . . , y,,) ( v = 1, 2 , . . . , n ) ) , - ~

ist. Wit setzen die Funktionen f, und p,j. (v = 1, 2, . . . , n; ~ - 1, 2, 3, ...)

fiber den Bereieh ~ ' hinaus fort: Ist, (x, Yl, Y~ . . . . , Yn) eine Stelle des dureh die Ungleiehungen

X o ~ . X ~ X o - l - a , -- oc < y i < oo ( i - - 1, 2, . . . . n)

definierten Bereiches !l~", so soil

f ~ ( x ' Y . ~ ' Y ~ ' " " Y " ) = f ' ( ~ " L ' ~ d ~ . . . . . Y~)' (~,----1, 2, ..., n; 2 = 1 , 2 , 3 , . . . ) p,~ (~, yl , y~, . . . . ~,) = p .~ (~ , Yl, Y~,.. . , ~,,) sein, we die Argumente x, y~, y~, . . . , y , bestimmt sind dutch die Gleiehungen

X~X~ Y~ = Yl, , falls

Yi = Y~ o + b,

g~ = Yt o -- b, Is t

~ s = Max{if, t, so is t auch in !l~"

(20) M>__ I&L, M=> lf~

Aueh in ~ " ist gleiehmii$ig

Yi o -- b ~ Y~ <= Y~ o + b ,

falls Y~ > Y~ o ~- b,

falls Y~ < Yl o -- b,

f~t, . . . . . I f . I ) ,

. . . . . M>= I f i ,

(i = 1, 2 , . . . , n) .

(21) lira p,~.(x, yl, y ~ , - . . , y, ,)-= f , ( x , yl, y-., . . . , y,,) (~ = 1, 2 . . . . . n) .

Wegen (20) und (2 ! ) gibt es eine Kons~ante L derart, dal3 in ~ "

(22) [p,; . (x , y l , y~ . . . . , y , , ) i < L ( v = l , 2 . . . . . n; ~ = 1 , 2 , 3, . . . ) .

2x) Literatur bei M. Fr~ehet-A. Rosenthal, Eneyklopiidie II, C. 9. c. S. 1147ff.

GowSlmliehe Differentialgleiehungen. 635

Wir betrachten jetst die Kette von Differeutialgteich~ngssystemen

dy,, 1 --~-~=p~l(x, yl~,y~I . . . . . y,,~), (~----- 1, 2 . . . . , n ) ,

dy, (23) - - - ~ = p , ~ ( z , yl~.:y~.2,...,y,~), ( v - - 1, 2, . . . , n),

dy, =p,; .(x , y1~, y~ . , . . . , y~.), ( v= 1, 2 . . . . . n),

Die rechten Seiten sind in ~ " gteichm~i~ig stetig and gleichmi~flig beschr~inkt, in !3' ganze rationale Funktionsn ihrer Argumente, in dem Tell yon !8", dar nicht zu !3' gehSrt, in bezug "aaff jedes ihrer n tetzten Argu- ments vom Charakter einer Konstanten, eL ti. es i s t p~ ;. flit y~ ;. > Y~o + b gleich einer Konstaneen and fiir y ~ . < Y~o--b wieder gleich einer (ira allgemeinen v o n d e r ersten verschiedenen) Konstanten, wenn die iibrigen Arguments festgehalten werden; sie besitzen also sicher beschr~nkte Deri- vierten nac h ieder der n letzten Variablen; also gibt es zu jeder der Zahlen ). = 1, 2, 3 . . . . sine numerische Konstan~e k~ derart, dal3 die Lipschitz- Bedingung

�9 �9 ~ 7t Ip~ (~, u . v~, . . . , v . ) - p~ . (x , z . z~, . ,~,,)t < ~)2 Iv, " z , l

(~ ~- 1, 2 . . . . , n; ), ----- 1, 2, 8 , . . . )

erfiillt :is~. Bach Sara 11 (mi~ Lipschitz-Bedingung) ha~ also jedes diesor Differentialgleichungssysteme im Intervall (x o, x o + a) sin und nur ein System stetiger Integrals

w~ (~), w~ (~), . . . , v,~ (~) (~ = 1, 2, 8 . . . . )

mi~ den Anfangswerten y ~ (xo) -~ y~o (~' = 1, 2, . . . . n; 2 = 1, 2, 3 , . . . ) . Denken wit uns diese In~egralsysteme in unsere Kette yon Differential- gleiehtmgssystemen eingesetzt, so wird

(24) y~.(x) y , ,o+fp~ . ( t , y ,~ ( t ) . . . . ,y,,~.(t))dt

(~---~1, 2, . . . , n; ~ = 1 , 2, 3, . . . ) ,

und hieraus folgt wegen (22) sofor~ fiir das Intervatl (xo, xo+a):

i y , ~ ( ~ , ) _ y ~ , . ( ~ ) I _ _ < ~ t ~ , - ~ l ( v = l , 2 . . . . , n ; t = 1 , 2 , 3 . . . . ),

(v = 1, 2 . . . . , n; ~----- 1, 2, 3, . . . ) ;

d ie Funktionenmenge y~(x ) (v = 1, 2 . . . . . n; ~ = I, 2, 3, .) ist also

686 M. Mfiller.

gleiekgradig stetig und gleichm~,l~ig beschr~nkt. Mittels des Diagonal- vorfahrens kann man aus ihr n Teilfolgen

a~ondern, die im Intervall ( xo ,~o+a ) gleiohm~il]ig .gegen n Grenz- funk~ionen

(25) lira y, ~o(z)---- V,(x) (~ = 1, 2 , . , . , n )

konvergieron!~). Wegen der'Gteichm~l]igkei~ der Grenziiberggnge (21) tmd (25) folgt aus (24), dab diese Grenzfunktionen im Intervall (xo, x o + a ) dem Integralgleichungssystem

vAx)= wo + f f,(t, v~(O, ..., v,~(O)i~t (,,=1, 2, . . . , n), ~ro

also den Anfangsbedingungen

v , ( ~ o ) - - v , o (~ = t , ~,..., . ) und dem Differentialgleichungssystem

~V~ (z) d~ "= f,,(x, Yx (x),'y, (x), . . . , V, (x)) (v = 1, 2 , . . . , n)

geniigen.

Dabei bleibt abet nich~ notwendig die Stelle Ix, y~ (x), . . . . y~(x)] im urspriinglichen Definitionsbereieh !8' der Funktionen f,. Beschri~nken wit aber x auf das Intervall

(a, L~ x o _ < x ~ x o + a ' , wo a'-----Min~ M/ ' so wird

lY , ( x ) - - Y~oI <=f lf~(t, Yt(t) . . . . . y,~(f))Idt <=Ma' <= b;

d. h. dann bleiben die Integrale sieher im urspriingliehen Definifionsberoieh der Funkr f,. Satz 10 is~ dami~ bewiesen.

t~) Vgl. e~wa: ~ . Fr~chet-A. Rosenthal, a. in 'Anm. ~x) a. 0., S. 1144"1146. Ganz i~hnliche 13berlegungen sind in den in Anm. 9) genannten drei neueren hrbeiten aus- ffihrlich dargestellt.

GewShnliche Difl~eren tialgieichungen. 637

Kapite! IIL

Aufsuchen eines miiglichst giinstigen Existenzbereiches.

w Beweis des altgemeiuen Existenzthe0rems.

1 . Herr Perron ~3) hat bewiesen:

S a t z 12. Die Funktion f ( x , y) 8ei stetig in einem Gebiet T, dab dutch die Ungleichungen

Xo=<X____<X, (x) ____< ~ =< 12 (x)

defins ist. Dabd sollen die Funktionen eo (x) und 12 (x) den/otgenden Forderungen geni~gen :

1. Sic Mnd im Interi~all (xo, X) stetig und genis den Anfangs. bedingungen

2. Die vor- und riiclzwdrtsgenommenen Di//erentialquotienten D + m ( x ), D_ ~ (x ), D+ 12 (x), D_ ~ (x) sind vorhanden und genC~gen den Ungleichur~en

D• co (~) <__ f(~, ~ (x)),

UnSer diesen Voraussetzungen gibt es im Intervall ( % , X) mindestens eine Funktion y ~ y (x), die ganz im Gebiet T bleibt, so daft insbesondere y(Xo) = Yo ist, und die der Di//erentialgleichung

y ' -~ f(x> y) geni~gt.

Wit woIlen cliesen Satz auf Systeme von gewShnlichea Differential- gleichungen ausdehnen:

S a t z 13. Die 2~unktionen f~(x, Yl, Y~, , . . , Y~) (~" ----- I, 2 . . . . , n) seien 8t~ig in einem Gebiet T, das dutch die Ungleichurayen

~o<z < x , o ) , ( x ) ( _ y , ~ 2 ( x ) (~,----- 1, 2, , . . , n)

de/inlert ist. Dabei8oUen die $~unktionen o~, (x) und Q, (x) ( , ~ 1, 2, .... , n) den /olgenden Forderungen geniigen:

18) 0. Perron, Ein neuer Existenzbeweis fiir die Integrale der.Diiferential- gleichung y t = f(x, y). Math. Annalen 76 (1915)t S. 471--484; ein auf wesentlich dem- selben Grundgedanken beruhender Beweis aueh sehon bei G. Peano, Sull' Integrabflitk delle equazioni differenzia]i di primo ordine, Atti della Reale Avchdemia delle seienze di Torino 21 (1885/86), S. 677--685.

638 M. Miiller.

1. Sis sind im lntervall (x o, X ) stetig und haben die An/angswerte

w~ (xo) = D,(xo) = y,o (~ ~- 1 , 2 . . . . , n ) .

2 . Die vor- u nd riickwdrtsgenommenen Di //erentialquotienten D + ~ ~ ( x ), D_ ~o ( x ) , D + f2, ( x ), D_ ~ ~ ( x ) (l, = 1, 2, , . . , n) sind vorhanden und geniigen den Ungleichungen

D+_ ~,.(x) ~ Min [ f , ( x , y , , y . , . , . . . , y,,)], T,(~) (~ = 1, 2, . , . , n) ,

D+_.a,.(x)~ Max [f~ (x, y , , y ~ , , . . , y , ) ] T~ (x)

wobei die Bereiche T~(x) , bzw. T ~ ( x ) (~,= 1, 2 . . . . , n) /olgenderma/3en de/iniert sind :

| x = x ,

| ( o i ( x ) ~ y i ~ i ( x ) ( i = i , 2 , . . . , n ; i + 1,), bzw.

I X--~-X, T;(~) i / y, = ~ , ( ~ ) ,

I<o,(~)<y,<__~,(~) ( i = l , e . . . . . n; r [Inter die.sen Foraussetzungen gibt es im Intervall (%, X> wenigstens

sin System yon stetigen Funbtionen Yl (x) , y~ (x) . . . . , y~ (x) , die ganz im Gebiet T bleiben, so daft sle insbesondere den" An/angsbedingungen y , ( x o ) = y,,o (l, = 1, 2, . . . ; n) gen~gen, und die das System yon geu.~hnlichen Di]/erenliaigleichungen

dy,, ~-7 = f , ( x , y l , y~ . . . . , y, ,) (~ = l , 2 . . . . . ,~)

er/i~llen.

Gibt es auflerdem noeh n numerische Konstanten ]r k~. . . . . , k,, derart> daft /iir (rgend zwei Stetlen (x , Yl, Y~. . . . . . Yn) und (x, z 1, z~ . . . . , z , ) des Ge~'etes T

(26) t f . ( x , y , , y . > . . . . . y . ) - f . , ( x , , z l , z ~ . . . . . z.,)l__< Zk,> i y~ - z~ i

( , ~- 1, 2 . . . . , n ) ,

so gibt es nur sin System solcher Funktionen,

B e w e i s . Wit setzen die Funktionen f. ('x, y , , y~ . . . . , y , ) (~ = 1, 2, . . . , n) in den dutch die Ungleichungen

X o g x ~ X , -- oc < y. < oo ( ~ = 1, 2, . . . , n)

definierten Bereich fl~ hinaus fort; es sei fiir jede Stelle (x, Yl, Y~ . . . . , Y~) allS

GewShnliche Differentialgleichungen. 6 3 9

WO

y, = u , , ~alls ~,(~) =< U, _--< ~,(~), / y, = ~,(x), faUs Y' > ~' (~) ' / (i = 1 , 2 , . . . , , ) . Yl---- % ( x ) , falls y~ < ~ , ( x ) ,

Dann sind die Funktionen f, aueh in !8 gleichm~13ig stetig und gleichm~l~ig beschriinkt und gegebenenfalls gil t aueh fiir zwei Stellen (x, Yl, Y-., �9 �9 Y,) und (x, zl, z : , . . - i z,) aus ~ die Lipsehitz-Bedingung (26).

Nach Satz 11 (mit, bzw. ohne Lipsehitz-Bedingung) gibt es also (ein und nur, bzw. mindestens) ein System stetiger Funktionen y, (x) (~---- 1, 2 . . . . . n mit den Anfangswerten y, (%) ----- y,,o (~' ----- 1, 2, . . . , n), die das Differential- gleiehungssystem

dye, dx -- f~(x, y~, y~., . . , Yn) (~, = 1, 2 , . . . , n)

befriedigen. Von diesen Funktionen wollen wir nachweisen, daI~ sie ira Inte~vall (xo, X) den Ungleichungen

~o,(x) ~ y~(x) ~ D , ( x ) (~, = 1, 2 . . . . , n) geniigeh.

Es sei v irgendeine der Zahlen 1, 2 . . . . . n. Nehmen wit an, es w~re nicht immer co, ( x ) ~ y, (x), so miiBte es mindestens eine Stelle x = x' geben, fiir welche o ~ ( x ' ) > y~( x'). Die stetige Funktion

hat im Intervall (xo, X) ein Maximum m,, und zwgr ist

Wit bilden die im Intervall (xo, X) stetige Funktion

2 (~:-: Xo) (x -- xo) ; es ist

D . v , ( x o ) .~ D+ w,(xo) 2 (X-xo) < D+ m,(Xo)

s f~ (Xo, Y,o . . . . , y ,o) ----- D+ y, (Xo) , also in einer hinreiehend klein gew~ihlten rechtsseitigen Umgebung der Stelle xo, etwa fiir x o < x ~ x o-~- 5

v (z) < y, (~).

Wir betraehten eine Stelle x ~ - x ~', fiir welche

;~ fr ~ X " "

da ~(Xo) ----- 0, abet m, ) 0, so ist gewii] x o < x" ~ X . An dieser Stelle X ~ x " i s t

640 M. Miiller.

" - ~ x " ~ " ~--~" xo) y , ( x - ) v.(~ ) - u . ~ ~ = , ' . ( ~ ) ~( % ) ( ~ " - - "

> 0,. ( , " ) " . y . ( , . . ) " . = m , - - T > 0 ;

demnach i s t fiir x o ~ x _~ x o q-

~ , ( ~ ) = , , ( ~ ) - u , (~) < o , abet

, , ( ~ " ) = ~ , ( x " ) - ~ , ( ~ " ) > o ;

die stetige FunkCion /~,(x) verschw, indet also im Intervall (Xo-~5, x" ) einmal; wegen der Stetigkeit gibt es eine kleinsSe Nullstelle ~ yon # , (x ) in diesem Intervall.

abet

also such

(27~)

Es ist andererseits

Es ist /~,(~) ~- v,(~) -- y,(~) = 0 oder

v,(~) = y, (~),

v , (~ - ~) < u,(~ - h)

D _ v , ( ~ ) ~ D y , (~) .

( o < h < ~ ) ,

wiihrend doch

D_ y,(~) ~-- f,(~, y~ (~), y.. ~ ) . . . . , y , (~))

sein mul~. Wegen dieses Widerspruches ist in der Tat im ganzen Inter- vail ( xo. X) c% ( z ) ~__ y,, ( x ) ( ~' = 1, 2 . . . . . , n ), und ebenso zeigt man, dab

also y , (~) = v~(~) ~ co,(~) und

f,(~, y~, . . . , y , - , y ,(~) , y,.+~ . . . . . y , )

= f , (~ , u , . . . , u , - , , ~ , ( ~ ) , y,§ . . . . , u , )

flit ~edes Wertesystem y ~ , . . . , Y,-1, y , + l , . . . , y, ; speziell ist also such, weil der Wertevorrat der Funktion f, bei der yon uns vorgenommenen Erweiterung ihrer Definition nicht vergeSl~ert wird,

f ,(~, Y~ (~), . . . , y,-~ (~), Y, (~), Y,+~ (~ ) , . . . , Y. (~)) Min [f, (~, y~, Y2,"- , Y,)],

aus unserer Annahme wiirde also wegen-(27) f01gen, dab

D , y , . ( 8 ) ~ D _ v , ( 8 ) D_co,(8) 2(X_z.) <2 D_ co,(8)

<: Min [f. (8, yx , . . . . y,)] ~'~ (8).

f,(8, Y~ (8), Y2($) . . . . , Y, (f)),

GewShnliche "Diflerentialgleichtmgen. 641

im Intervall (Xo, X) auch stAndig y , (x) s Q,(x) ,(~ = l, 2 . . . . , n) ,s~. Damit ist Satz 13 bewiesen.

2. In Satz 13 sind, was den Existenzbereieh betriflt, alle bisher be- kannten Existenzsiitze enthalten. Wit zeigen zaniichst, dal~ Satz 10 darin enthalten ist:

Sind die Funlaionen f , (x , yl . . . . , y,) stetig in dem dutch die Un- gleiehungen

Xo_<Z<__xo§ ly,-y ol<=b ( , = 1 , 2, . . . , n)

definierten Bereieh !l~ und ist

M----- Max{lf~ i, I fo. t, . . . . If~[),

so kann man in Satz 13

X =_ xo + Min (a, b ) ,

= y . o - - - Xo) ,

~ , ( x ) = y~o-4- M(x -- Xo)

Dann ist der Bereieh T in !~ enthalten,

(~ = 1, 2, . . . , n)

also auch in T die setzen. stetigkeit der Funktionen f, gesichert. AuBerdem m(Xo)----~,(Xo)-~ Y,o ( ~ = 1 , 2 . . . . , n ) und

D+_w,(x) = -- M s Min[f ,(x, Yl, Y~, "" ", Y~)], TT(Z)

D+_ ~ , ( x ) = M ~ Max [f,(x, Yl, Y~, "" ", Y,)], T:(|

da die Bereiehe T,(x) und T f ( x ) Teilbereietie yon T, also aueh yon sind. Sind also die Voraussetzungen yon Satz 10 erfiillt, so lassen sich auch die Voraussetzungen yon Satz 13 erfiillen, Satz 10 ist in Satz 13 enthalten. Fiir n = 1 hat dies bereits Herr Perron gezeigt14).

Der Vollst~indigkeit wegen sei wenigstens erwiihnt, dab aueh der yon Herrn LindelSf 15) gefundene Existenzbereieh in dem bier angegebenen enthalten ist.

3. Ein weiterer SpezialfM1 ist:

Satz 14. Die Funktionen f , ( x , Yl, Y~ . . . . , y ,) (~----1, 2 . . . . , n ) sden stetig in einem Gebiet T, das dutch die Ungleichungen

z4) A. inAnm. ~) a.O. Peano hat in sefner dort genannteu Arbeit den Existenz* bereich nicht genau festgelegt.

15) Vg|. die in Anm. e) aufgefiihrte Arbeit, ferner E. Lindel~f: Sur l'application des m~thodes d'approximations successives ~ l'6tude des int6gr~les r6elles des ~quations diff6rentie|les ordinaires, Journal de m~th~matiques pures et appliqu6es (4) 10 (1894), S. 1 |7--128.

Mathematische Zelt'schrift. XXVI, 41

642 M. MfiUer.

Xo__<z =<X, ~o,(x)~= y , ~ D,(x) (~, = 1, 2 , . . . , n)

de/iniert ist. nabei sollen die Funktionen oJ ( x ), [2 ( x ) ( ~, = 1 ,2 . . . . . n) den /olgenden Bedingungen 9eniigen :

1. Sie sind im IntervaU (xo, X ) stetig und geniigen den An/angsbedingungen

m, (Xo) ---- ~ , (Xo)---- Y,,o (~, = l , 2 , . . . , n) .

"2. Die vor- und ri~ckwdrtsgenommenen Di//erentialquotienten D+ w, ( x ) , D oJ,(x), D+ Q,(x) , D _ ~ , ( x ) sind vorhanden und geniigen den Un- gleichungen

D+~o,.(x) s f , ( x , wl(x) , . . . , w,~(x)), (v = 1, 2 . . . . . n).

n~_[2 (x) ~ f, (x, [21 (x), . . . , ~,~(x))

Es sei f~ (x, y,, y~, . . . , Y , - I , Y,, Y,+s', . . . , Y,,) in Bezug au/ die Argumente Yl, Y~ . . . . , Y,-1, Y,+I, . . . , Y, im Gebiet T monoton wachsend, d.h. es sei

f~(x, Yl, Y~., . . . , Y~-I, Y~, Y,+a . . . . , Y,)

~ f , ( x , z l , z , . . . . , z , _ , , y,,, z , § . . . . , z,,)

/iir y,.,>__z e O, = l , 2, . . . , n; e = l , 2 . . . . , n ; 0=~ , ) .

Unter diesen Voraussetzungen gibt es im Intervall (x o, X ) mindestens ein System yon stetigen Funktionen yx(x), y~(x), . . . , y,,(x), die ganz im Gebiet T bleiben, so daft insbesondere y , ( x o) = Y,o (~' = 1, 2 . . . . . n) ist, und das System yon gewShnliehen Di//erentialgleichungen

dy~ dx = f , ( x , y~, y,,. , . . . , y ,) (~, --~ 1, 2 , . . . , n)

be/riedigen.

Denn wegen der Monotonievoraussetzung beziiglieh der Funktionen f, ( ~ = 1 , 2 . . . . , n ) ist

f , ( x , ~ ( x ) . . . . , e%(x)) = Min [f~(x, y~ . . . . . y , ) ] , T~ (s)

(~---- 1, 2, . . . , n) , f f l x , ~a ( x ) , . . . , ~,, (x)) = Max [fl (x, Ya . . . . , Y,)]

also mit den Voraussetzungen yon Satz 14 auch die Voraussetzung von Satz 13 erfiill$.

Satz 14, in welchem fiir n - : 1 wiederum Satz 12 enthalten ist, kann auch mittels der Methode der Ober- und Unter[unktionen gewonnen werden und diirite das allgemeinste sein, was mit dieser Methode bei Systemen yon gewShnlichen Differentialgleichungen erreicht werden kann. (Vgl, auch w 2.)

GewShnliche Differentialgleichungen. 643

w

Kritisehe Bemerkungen zur Methode der 0ber- und Unterfunktionen.

1. Sollen die Differentialgleiehungen dy, dz ----- f . (x , Yl, Yg . . . . ; y . ) (~, ----- 1, 2 . . . . . n )

mit den Anfangsbedingungen y, (Xo) = Y,o (~' = 1, 2, . . . . n ) integriert werden, so besteht die Methode der Ober--und Unterfunktionen darin, dab man die Differentialgleiehungen durc-h die Deriviertenungleiehungen

(28) D . i o . ( x ) < f , , (x , fo , (x) , r . . . , cp.(x)) (~, = 1 , 2 . . . . , n )

ersetzt, die aus jenen entstehen, indem man start des Gleiehheitszeiehens ein <-Zeiehen setzt und aullerdem noeh zul~flt, daft der vordere und hintere Differentialquotient versehieden sein, die LSsungen der Derivierten- ungleiehungen also auch Ecken haben kfnnen. Man sueht dann stet ige LSsungen yon (28) mit den Anfangswerten (p, (xo) = Y,o (~' -- 1, 2 . . . . , n). (Wir wolien uns der Einfaehheit wegen auf Unterfunktionen beschr~inken; fiir Oberfunktionen gilt Entspreehendes.)

Im Fall einer einzigen Differentialgleiehung erweist sieh dann die Funktion g (x) = lira sup ~o (x) als Integral der vorgelegten Differential- gleiehung. Im Fall mehrerer Gleiehungen brauehen dagegen die gleich. zeitig gebildeten Funktionen g, (x) ---- lira sup ~, (x) kein Integralsystem zu liefern, wenn sie iiberhaupt existieren. Das wird das in Nr. 3 mit- geteilte Beispiel zeigen.

2. Man kSnnte aueh noeh an eine Ausdehnung der Methode der Ober- und Unterfunktionen auf Systeme yon gewiihnliehen Differentialgieiehungen in tier Art denken, dal~ man zuniiehst aus den Ungleiehungen (28) nut die Funktion gl (x)----lira sup qol (x) ermittelt und dann unter Festhaltung yon g l ( x ) dutch einen neuen, mfgliehst /ihnliehen Prozel~ der Bildung einer oberen Grenzfunkti0n g~(x) bestimmt, usf., d .h . daft man die Inte- grale gl(x), g.,.(x), : . . . . g , ( x ) nacheinander durch Bildung von oberen Limesfunktionen gewinnt, wobei bei der Bildung von g~(x) die bereits vorher' gefundenen Funktionen gl ( x ) , . . . , g,-1 (x) beriieksiehtigt werden. Ein solehes Verfahren wiirde zumindest aber bedingen, dab die so ge- wonnene Funktion g l ( x ) t a t s ~ e h l i e h in einem Integralsystem vorkommen kann. DaB folgende Beispiel zeigt, da$ aueh diese Bedingung nicht allgemein erfiillt ist.

3. Beispie l . DaB System dyx

dy~ d--~ = -- y~ 41"

644 M. Miiller.

hat als einziges In~egralsystem mit den Anfangswerten y,(O) = O, y~ (0) = 0 die Funktionen V~(x)= O* y ~ ( x ) = O.

Ein Unterfunktionensystem ist, falls 0 < , < 1 gewiihlt wird:

Denn

- e , z far O ~ x < , , ~o~(z) = d- fiir e _< z < X ,

- - x flit O ~ x ~ ,

9 ~ ( x ) = * - - 2 * ' ( x - - e ) fiir , s 1 6 3

D ~ , ( z ) = - - ~ < 0 _ < ( - - x ) ' = [ q . ( z ) ] ' f~r 0 _ < z _ < ~ ,

D : ~ ( x ) ----- - - 1 < - - e ~ ~ -- ( e x ) ~ = - - (,-=-. e x ) ~ = - [9~(x)] ~ fiir 0 ~ x < ~ ,

D : ~ q ~ x ( x ) = O < ( - - e - - 2 e ' ( x - - e ) ) ~ - - - - - [ % ( x ) ] ~ flit e < = x < X ,

D ~ . , ( x ) = - 2~' < - ~'---- - ( - ~)~= [ ~ , ( x ) ] ~ fur ~ _< x _< X .

Da ~ beliebig klein sein konllte, ist sicher

go.(x) = lira sup q~(x) ~> 0;

in Wahrheit ist g~(x)-~0; denn w~re flit x = ~ einmal g ~ ( $ ) > 0 , so giibe es auch eine Unterfunktion q~*(x) derart, dab ~ * ( ~ ) > 0, dann g~br es eine der Ungleiehung 0 ~ �9 < ~ geniigende Zahl ~, so dab

~s( )

w~ihrend doch D+~*(~) < -- [9,(~)]~ <: 0

sein muB. Ein weiteres Unterfunktionensystem ist

l' t - g x far Os

~1(X)~---[ - t x--I f i i r t _ ~ x < X , - Y + 2 - - : fiir O___<xs 1,

~ ( x ) = _ _ } ( . _ 1 ) ~ _ I g x fiir t ~ x s

denn die Anfangs- und S~etigkeitsbedingungen sind erfiillt;' and es ist:

1 D , ~ r ( x ) = -- g < 0 ___ (-- x) ~ = [c~,(x)]' fiir 0 _< x _< 1,

1 1 5 1 D i ~ ( x ) = - - l < - - u = - - ( ~ 2 x ) = - - [ ~ ( x ) ] ~

flit 0 s 1 6 3

Gew6hnliche Differentialgleichungen.

1 1 1 1 1 1 1

1 __< [1 + _ 1)' +

1 (x - 1) ' 1 (x-- 1)' D + r s 4 ~ < 4

(1 x--1 (x41)~) < - ~- -~ = - [ ~ ( ~ : ) ] '

Da aber

o ~ ( a : ) - - - - y + - - - g - > o fiir = > 2 ,

645

I ~ = ~ _ X ,

1 4

fiir l ~ x ~ X .

so ist, wenn es iiberhaupt existiert, gl (x) > 0 zumindest flit x > 2, kann also nach dem eingangs Gesagten sieher kein Integral sein. Die Aussagen yon Nr. 1 und Nr. 2 sind damit belegt.

4. Zusammenfassend kSnnen wir sagen: S@ht man dos Charakte- riaische der Methode der Ober- und Unter]unl~ionen in dem in Nr. 1 und Nr. 2 skizzierten dn]achen Gedankengang, so ]iikrt dieselbe bei einem System yon mindeaen8 zwd gew6hnlichen Di//erentialgleichungen nich$ mehr allgemein zum Zid 16).

in) Dies hat fiir das mit der Methode der Ober- und Unterfunktionen verwandte Verfahren yon Peano (Anm. 13) schon Herr Ch.,J. de la Vall~e Poussin ohne n~ihere Begriindung behauptet: Ch.-J. de la Vall6e Pou~sin , M~moire sur l'int~gration des ~quations diff6re'ntielles, M~moires couronn6s et autres m6moires publi6s par l'Aoa- d~mie Royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique 47 (1898), 82 S.

(Eingegangen am 28. Oktober 1926.)

Über das Fundamentaltheorem in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen

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